Conicas degeneradas

Simetrias e simetrias das cnicas o

MODULO 1 - AULA 7

Aula 7 Simetrias e simetrias das cnicas oObjetivos Estudar as simetrias das cnicas no plano. o Entender as cnicas degeneradas. o Estudar as simetrias em relaao a um ponto e em relaao a uma reta. c cIMPORTANTE Nas prximas aulas deste o Mdulo, assumimos os o conceitos fundamentais sobre as curvas cnicas, o apresentados no Pr-Clculo, e a j conhecidos. a

Lembremos que as curvas cnicas so assim denominadas por serem o a obtidas pela interseao de um plano com um duplo cone circular reto (Figura c 7.1). Nas ilustraoes abaixo, mostramos algumas curvas cnicas: o crculo, c o a elipse, a parbola e a hiprbole: a e

Figura 7.2: C rculo.

Figura 7.3: Elipse.

Nos seus escritos, o matemtico grego Pappus de Alexandria (290-350), a atribuiu ao gemetra grego Aristeu o Ancio (370-300 a.C.) o crdito de o a e ter publicado o primeiro tratado sobre as seoes cnicas, referindo-se aos c o Cinco livros sobre seoes cnicas de Aristeu, nos quais foi apresentado um c o estudo cuidadoso das curvas cnicas e as suas propriedades. o

Figura 7.1: Cone circular reto.O duplo cone circular reto e a superf descrita por uma cie reta chamada geratriz, ao girar mantendo um angulo constante, em torno de outra reta d, chamada diretriz do cone duplo, e com a qual tem um ponto em comum, chamado vrtice do cone. e Cortando esse cone duplo por planos, obtemos as curvas cnicas. o

Figura 7.4: Parbola. a

Figura 7.5: Hiprbole. e

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Para saber mais ... Sobre Aristeu o Ancio, a veja: http://www-groups.dcs. st-and.ac.uk/~history/ Mathematicians/Aristaeus. html e sobre Menaecmus, veja: http://www-groups.dcs. st-andrews.ac.uk/history/ Mathematicians/ Menaechmus.html

Segundo Pappus, o matemtico grego Euclides de Alexandria (325-265 a a.C.), contemporneo de Aristeu, conhecia muito bem os cinco livros sobre a as curvas cnicas e evitou aprofundar-se sobre esse assunto na sua obra Os o elementos, de modo a obrigar os leitores interessados a consultar a obra original de Aristeu. Duzentos anos mais tarde, o astrnomo e matemtico grego o a Apolnio de Perga (262-190 a.C.) recompilou e aprimorou os resultados de o c o Aristeu e de Euclides nos oito livros da sua obra Seoes Cnicas. No entanto, a Histria indica que as cnicas foram descobertas pelo matemtico o o a grego Menaecmus (380-320 a.C. aproximadamente) quando estudava como resolver os trs problemas famosos da Geometria grega: a triseao do angulo, e c a duplicaao do cubo e a quadratura do c c rculo. Segundo o historiador Pro clus, Menaecmus nasceu em Alopeconnesus, na Asia Menor (o que hoje a e Turquia), foi aluno de Eudxio na academia de Plato. o a Menaecmus foi o primeiro em mostrar que as elipses, parbolas e hiprboles a e so obtidas cortando um cone com um plano no paralelo a sua base. Mesmo a a ` assim, pensava-se que os nomes dessas curvas foram inventados por Apolnio, o porm traduoes de antigos escritos arabes indicam a existncia desses nomes e c e em pocas anteriores a Apolnio. e o Notao. Designaremos por OXY um sistema cartesiano ortogonal de coca ordenadas de origem O e eixos coordenados OX e OY . As equaoes cannicas das curvas cnicas no sistema de coordenadas c o o OXY so: a Elipse: 2 + 2 = 1 , com a > 0 e b > 0. Se a = b ento a elipse o a e a b c rculo de raio a.x2 y2

Apolnio de Perga o 262 - 190 a.C. Nasceu em Ionia, Grcia e (hoje Turquia) e faleceu em Alexandria, Egito, onde passou a maior parte da sua vida. Embora a sua formaao fosse em c Astronomia, escreveu sobre vrios tpicos matemticos, a o a sendo Seoes Cnicas o mais c o famoso deles. A obra original consistia de oito livros, dos quais apenas sete so conhecidos. Os primeiros a quatro chegaram a Europa ` numa traduao grega e os c outros trs numa traduao e c arabe do sculo IX. Apolnio e o resumiu nos primeiros trs e livros, toda a teoria desenvolvida por Aristeu e Euclides, dedicando os cinco livros restantes a pesquisa ` original sobre as propriedades das seoes c cnicas. Veja: o http://www-groups.dcs. st-and.ac.uk/~history/ Mathematicians/ Apollonius.html

Figura 7.6: Elipse.

Hiprbole: e

x2 a22

Parbola: x = ky ou y 2 = kx, com k = 0. a

y2 b2

= 1 ou

y2 x2 2 = 1 , com a > 0 e b > 0 . a2 b

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MODULO 1 - AULA 7

Figura 7.7: Hiprbole. e

Figura 7.8: Parbola. a

Simetrias. Um fato importante que as equaoes das cnicas e, portanto, as cure c o vas cnicas que elas representam, so invariantes por determinadas transo a formaoes do plano denominadas simetrias. c Denio 7.20 (Simetria em relao a uma reta) ca ca Seja r uma reta no plano. O simtrico de um ponto P do plano em relaao e c a reta r , o ponto P sobre a perpendicular a r que passa por P e cuja a ` e distncia a r a mesma que a distncia de P a r (Figura 7.9). a e a Observe que no plano cartesiano, o simtrico de um ponto P = e (x1 , y1 ) em relaao ao eixo OX o c e ponto Q = (x1 , y1 ) e o simtrico e em relaao ao eixo OY o ponto c e S = (x1 , y1 ). Similarmente, S = (x1 , y1 ) o simtrico de R = (x1 , y1 ) e e com respeito ao eixo OX e Q = Figura 7.10: Simetria em relaao aos eixos. c (x1 , y1 ) o simtrico de R com e e respeito ao eixo OY . Veja a Figura 7.10. Exemplo 7.1 Determinemos o ponto Q simtrico ao ponto P = (1, 2) em relaao a reta e c ` r : 2x 3y = 1.Figura 7.9: Simetria relativa a r.

Soluao: Devemos determinar a reta s perpendicular a r passando pelo ponto c P e a distncia de P a r. a99

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O ponto Q procurado, ser o ponto da reta s, tal que: a Q=P e d(Q, r) = d(P, r). O vetor normal de r = (2, 3). Esse vetor um vetor direao da reta s. e n e c Assim, as equaoes paramtricas de s so: c e a x = 2t + 1 s: , t R. y = 3t + 2 Como d(P, r) =

5 |2 1 3 2 1| = , devemos determinar os pontos da 2 + 32 13 2 5 reta s cuja distncia a reta r . a ` e 13

Figura 7.11: Exemplo 7.1.Note que ... Na gura acima, o ponto Q e o simtrico de P em relaao e c a reta r e tambm o ponto P ` e o simtrico do ponto Q em e e relaao a mesma reta. c ` Portanto, vemos que a simetria em relaao a uma c reta uma relaao simtrica. e c e

Substituindo as coordenadas dos pontos de s na frmula da distncia a r e o a 5 igualando a , devemos achar os valores do parmetro t, tais que: a13 |2(2t + 1) 3(3t + 2) 1| 5 = 13 13

isto , e

|13t 5| 5 = . Ou seja, |13t 5| = 5. 13 1310 . 13

Resolvendo a equaao obtemos t = 0 ou t = c

Substituindo o valor t = 0 nas equaoes de s, obtemos o ponto P e subsc 10 4 tituindo o valor t = 13 , obtemos o ponto Q = ( 33 , 13 ) (veja a Figura 13 7.11).33 4 O ponto Q = ( 13 , 13 ) o simtrico a P = (1, 2) com respeito a reta r. e e `

Em geral, o clculo das coordenadas do ponto Q = (x, y) simtrico do a e ponto P = (x1 , y1 ) dado na seguinte proposiao: e c Proposio 7.15 ca Sejam P = (x1 , y1 ) um ponto e r uma reta de equaao ax + by = c. Se c Q = (x, y) o simtrico de P em relaao a r ento: e e c a 1 x= (2ac + (b2 a2 )x1 2aby1 ) a2 + b 2 (7.1) 1 2 2 y= (2bc + (a b )y1 2abx1 ) . 2 2a +b

Demonstrao. Para determinarmos Q precisamos encontrar as equaoes ca c que suas coordenadas devem satisfazer. Sejam M o ponto mdio do segmento P Q e = (b, a) um vetor e v = (a, b) direao normal a r). Ento o ponto direao de r (lembre que o c e c a Q tal que as seguintes condioes so satisfeitas: e c a M um ponto da reta r; eCEDERJ 100

o segmento P Q perpendicular a r, isto , Q , = 0. e e P v

Simetrias e simetrias das cnicas o+y +x A primeira condiao nos diz que as coordenadas de M = ( x12 , y12 ) c +y +x tm que satisfazer a equaao de r, ou seja, a( x12 ) + b( y12 ) = c. De onde e c tiramos a primeira equaao, pois: c +y +x a( x12 ) + b( y12 ) = c a(x1 + x) + b(y1 + y) = 2c ax + by = 2c ax1 by1 . Da segunda relaao extra c mos a segunda equaao, de fato: c P Q , v = 0 (x x1 , y y1 ), (b, a) = 0 b(x x1 ) + a(y y1 ) = 0 bx + ay = bx1 + ay1 . Logo, as condioes dadas inicialmente equivalem as equaoes obtidas, c ` c e, portanto, para determinar as coordenadas de Q basta resolver o seguinte sistema: ax + by = 2c ax by 1 1 bx + ay = bx1 + ay1 .

MODULO 1 - AULA 7

Multiplicando a primeira equaao por a, a segunda por b e somando c as equaoes obtidas chegamos a c x= a2 1 (2ac + (b2 a2 )x1 2aby1 ) . 2 +b

Multiplicando a primeira equaao por b, a segunda por a e somando as c equaoes obtidas chegamos a c y= a2 1 (2bc + (a2 b2 )y1 2abx1 ) . + b2

Assim a proposiao est demonstrada. c a Observao. ca Note que o simtrico de P o prprio P se, e somente se, P r. e e o Exemplo 7.2 Seja r a reta de equaao 3x 5y + 2 = 0. Determinemos os simtricos dos c e pontos P0 = (6, 4) e P1 = (2, 3) em relaao a reta r. c `

Soluao: O simtrico de P0 o prprio P0 , pois P0 ponto de r (suas coorc e e o e denadas satisfazem a equaao de r). c Como P1 no ponto de r aplicamos a proposiao. a e c Para isso, importante identicar bem os elementos da equaao. e c Vejamos: a = 3, b = 5 e c = 2 (observe que na prova da proposiao a c equaao de r dada por ax + by = c). c e Obtemos ento: a2 + b2 = 34 , a a2 b2 = 16 , e b2 a2 = 16 .101 CEDERJ

Figura 7.12: Exemplo 7.2.


Logo, as coordenadas do ponto Q1 so: a x = y =35 1 (2(3)(2) + 16(2) 2(3)(5)(3)) = 34 17 1 64 (2(5)(2) 16(3) 2(3)(5)(2)) = . 34 17

e e c O ponto Q1 = ( 35 , 64 ) o simtrico de P1 em relaao a r. 17 17 Denio 7.21 (Simetria em relao a um ponto) ca ca Seja P0 um ponto xado no plano e seja P um ponto do plano distinto de P0 . O simtrico do ponto P em relaao ao ponto P0 o ponto Q que e c e pertence a reta r que passa por P0 e P , que diferente de P e, tal que: ` e d(P0 , Q) = d(P0 , P ). Esta deniao equivale a P0 ser o ponto mdio do c e segmento P Q.Figura 7.13: Simetria relativa a P0 .O ponto Q simtrico a P em e relaao ao ponto P0 , o c e vrtice do paralelogramo e OP RQ, onde OR = 2OP0 . De fato, OQ = 2OP0 OP

Se P0 = (x0 , y0 ) e P = (x1 , y1 ), da condiao de P0 ser ponto mdio de c e P Q obtemos as coordenadas de Q = (x, y), pois: 1 (x + x ) = x x = 2x x x + x1 y + y1 0 1 1 0 2 = (x0 , y0 ) (7.2) , 2 2 y = 2y0 y1 . 1 (y + y1 ) = y02

Note que se P0 a origem do sistema de coordenadas, ento, o simtrico do e a e ponto P = (x1 , y1 ) Q = (x1 , y1 ). e Exemplo 7.3 Se P0 = O = (0, 0) a origem do sistema de coordenadas e r uma reta que e e passa pela origem, veriquemos que o simtrico de cada ponto de r pertence e a r.

Soluao: Seja r uma reta que passa pela origem dada pelas equaoes pac c ramtricas: e x = tx 1 r: , t R. y = ty1

Seja P = (tx1 , ty1 ) r. O simtrico de P com respeito a origem o ponto e ` e Q = (tx1 , ty1 ) r Observe que o ponto Q obtido, tambm, pela relaao (7.2), pois as coordee e c nadas de Q so: a x = 2(0) tx = tx1 1

Figura 7.14: O ponto P e o seu simtrico Q em e relaao a origem. c `

Isso mostra que Q = (tx1 , ty1 ) pertence a r (veja a Figura 7.14). Em geral, temos a seguinte deniao. c

y = 2(0) ty1 = ty1 .

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MODULO 1 - AULA 7

Denio 7.22 ca Uma gura geomtrica plana chamada invariante por uma simetria do e e plano se o simtrico de qualquer ponto da gura pertence tambm a gura. e e ` Na deniao acima, o termo gura plana signica um conjunto qualquer c de pontos do plano. Por exemplo, na Figura 7.15, vemos uma curva C que simtrica com e e respeito uma reta r, o simtrico de todo ponto de C tambm um ponto de e e e C.

Uma propriedade interessante das simetrias em relaao a retas e pontos, c que elas levam retas em retas. Isto , se aplicarmos sobre todos os pontos e e de uma reta uma simetria (em relaao a um ponto ou a uma outra reta), c obtemos uma nova reta. Vamos vericar essas propriedades nas Proposioes 7.16 e 7.17. c Proposio 7.16 ca Seja r a reta de equaao ax + by = c. O simtrico de uma reta s em relaao c e c a reta r tambm uma reta. ` e e Demonstrao. Suponhamos que a reta s tenha as seguintes equaoes ca c paramtricas: e x = x + v t 0 1 , t R. y = y0 + v2 t x=

Analogamente, na Figura 7.16, vemos uma regio R do plano que a e simtrica com respeito ao ponto P0 , pois o simtrico de qualquer ponto P e e pertencente a R em relaao ao ponto P0 tambm um ponto de R. c e e

Seja P = (x0 + v1 t, y0 + v2 t) um ponto qualquer de r, ento as coordea nadas do seu simtrico Q = (x, y) so dadas pelas relaoes (7.1): e a c1 (2ac + (b2 a2 )(x0 + v1 t) 2ab(y0 + v2 t)) + b2 1 y= (2bc + (a2 b2 )(y0 + v2 t) 2ab(x0 + v1 t)). 2 + b2 a a2

Logo, o conjunto dos pontos simtricos aos pontos de r o conjunto e e dos pontos cujas coordenadas so da forma: a x = 2ac + (b2 a2 )x0 2aby0 + 2ac + (b2 a2 )v1 2abv2 t a2 + b 2 a2 + b 2 t R. 2bc + (a2 b2 )v2 2abv1 2bc + (a2 b2 )y0 2abx0 y= + t, 2 2 2 2a +b a +b103 CEDERJ


Essas so as equaoes paramtricas da reta que passa pelo ponto: a c e2ac + (b2 a2 )x0 2aby0 2bc + (a2 b2 )y0 2abx0 , a2 + b 2 a2 + b 2

e paralela ao vetor: e2ac + (b2 a2 )v1 2abv2 2bc + (a2 b2 )v2 2abv1 , a2 + b 2 a2 + b 2

.

Exemplo 7.4 Seja a reta r : x2y = 0. Determinemos o simtrico da reta s : 2x+y2 = 0 e em relaao a reta r. c ` Soluao: Observe que a reta r perpendicular a reta s, pois os seus vetores c e ` direao so perpendiculares. Logo, o simtrico da reta s em relaao a reta r c a e c ` a prpria reta s. e o Esse fato pode ser ainda vericado fazendo uso dos resultados acima descritos. Com efeito, pela Proposiao 7.16 sabemos que o simtrico da reta s em c e relaao a reta r uma reta s . c ` e Para determinar a reta s , devemos achar os simtricos de dois pontos quaise quer de s, com respeito a r. Os simtricos dos pontos P1 = (0, 2) e P2 = (1, 0) de s so, respectivamente, e a os pontos Q1 = Podemos vericar que a equaao da reta s que passa por Q1 e Q2 2x+y2 = c e 0 , que a prpria reta s. e o Proposio 7.17 ca O simtrico de uma e P0 = (x0 , y0 ) uma reta. e reta s em relaao c a um ponto8 6 , 5 5

e Q2 =

3 4 , . 5 5

Demonstrao. Seja s a reta de equaoes paramtricas: ca c e x = x + v t 1 1 , t R. y = y1 + v2 t

Seja P = (x1 + v1 t, y1 + v2 t) um ponto qualquer de r.

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104

As coordenadas do ponto Q = (x, y) simtrico ao ponto P em relaao e c a P0 so obtidas das relaoes (7.2): a c x = 2x (x + v t) 0 1 1 y = 2y0 (y1 + v2 t).


MODULO 1 - AULA 7

Logo, o conjunto dos pontos simtricos aos pontos de r o conjunto e e dos pontos cujas coordenadas so da forma: a x = 2x x v t 0 1 1 , t R, y = 2y0 y1 v2 t

que so as equaoes paramtricas da reta paralela ao vetor (v 1 , v2 ) que passa a c e pelo ponto (2x0 x1 , 2y0 y1 ).

Observao: ca Na demonstraao da c Proposiao 7.17, vemos que c duas retas simtricas com e respeito a um ponto so a paralelas.

Exemplo 7.5 Determinemos o simtrico da reta s : 2x+y2 = 0 em relaao a P0 = (2, 1). e c Soluao: Pela proposiao anterior sabemos que o simtrico de s uma reta. c c e e Logo, basta encontrarmos o simtrico de dois pontos de s. e Usando as relaoes (7.2) vemos que os simtricos dos pontos P1 = (0, 2) e c e P2 = (1, 0) de s so, respectivamente, Q1 = (4, 0) e Q2 = (5, 2). A a equaao da reta que passa por esses pontos 2x + y + 8 = 0 . c e

Simetrias das cnicas. o Sabemos que um ponto P do plano pertence a uma cnica C se, e o somente se, as suas coordenadas satisfazem a equaao de C. Portanto, C c e simtrica com respeito a um ponto P0 ou com respeito a uma reta r se, e e somente se, as coordenadas do simtrico de cada ponto de C (com respeito e ao ponto P0 ou com respeito a reta r) tambm satisfazem a equaao de C. ` e c A princ pio fazemos a anlise da simetria para as equaoes das cnicas a c o na forma cannica. o

Proposio 7.18 (Simetrias das elipses e hiprboles) ca e As elipses e as hiprboles so invariantes por simetrias em relaao aos seus e a c eixos (no caso da equaao cannica, esses eixos so os eixos coordenados) e c o a tambm so invariantes por simetria em relaao ao seu centro (no caso da e a c equaao cannica, o centro a origem). c o e a Demonstraao. Seja P = (x, y) um ponto da elipse E : 2 + 2 = 1, ento c a b as coordenadas de P satisfazem a equaao de E. cx2 y2

Como os simtricos de P em relaao aos eixos coordenados OX e OY e c so Q = (x, y) e R = (x, y), respectivamente, e como (x)2 = x2 e a (y)2 = y 2 , vemos que as coordenadas de Q e de R satisfazem a equaao de c E.

Figura 7.17: Simetrias da elipse.

105

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Alm disso, o simtrico de P em relaao a origem S = (x, y). e e c ` e Logo, as coordenadas de S tambm satisfazem a equaao da elipse E. Veja e c a Figura 7.17. O mesmo argumento mostra a proposiao para as hiprboles, pois a c e equaao cannica dessas cnicas dada, tambm, em termos dos quadrados c o o e e das coordenadas dos seus pontos. Veja a Figura 7.18 Proposio 7.19 (Simetrias das parbolas) ca a Uma parbola invariante por simetria em relaao a reta que contm seu a e c ` e vrtice e seu foco (no caso da equaao na forma cannica essa reta pode ser e c o o eixo OX ou o eixo OY ). Demonstrao. Consideremos a parbola P : x2 = ky. A reta que contm ca a e o vrtice e o foco de P (reta focal de P) o eixo OY . Sabemos que o simtrico e e e de um ponto P = (x, y) P em relaao ao eixo OY o ponto R = (x, y). c e Como (x)2 = x2 , e P P, temos que (x)2 = ky. Logo R = (x, y) P e portanto P invariante pela simetria em e relaao ao seu eixo focal (eixo OY ). c Por outro lado, a reta focal da parbola a Figura 7.19: Simetria das parbolas. a 2 P : y = kx o eixo OX. Dado um e ponto P = (x, y) P , o seu simtrico em relaao ao eixo OX Q = (x, y), e c e que tambm satisfaz a equaao. Logo P invariante pela simetria em relaao e c e c ao seu eixo focal. Muitas vezes a equaao de uma cnica no apresentada na forma c o a e cannica. Na verdade, as cnicas aparecem como o conjunto de soluoes de o o c uma equaao geral do segundo grau da forma: c Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 (7.3)

As Figura 7.18: simetrias da hiprbole. e

Lembre que... Para determinar o grau de uma equaao algbrica c e tomamos cada termo da equaao e somamos os c valores dos expoentes das variveis que nele aparecem. a O valor encontrado o grau e do termo. O grau da equaao o maior dentre os c e graus dos seus termos. Na equaao (7.3), os termos c Ax2 , Bxy e Cy 2 so de grau a 2 e como os outros termos que aparecem so de grau 1 a ou zero, conclu mos que a equaao (7.3) de grau 2. c e Alm disso, note que se e A = B = C = 0 ento a a equaao no do segundo c a e grau.

com A, B, C no simultaneamente nulos. Os valores A, B, C, D, E, F so a a chamados os coecientes da equaao. c Faremos o estudo dessas equaoes por etapas, introduzindo conceitos c que auxiliaro na determinaao do conjunto de soluoes e na identicaao da a c c c cnica. o Sabemos que h equaoes do segundo grau em que o conjunto de a c soluoes consiste de duas retas ou de apenas um ponto ou o conjunto vazio. c e Vejamos:

CEDERJ

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MODULO 1 - AULA 7

Denio 7.23 (Cnicas degeneradas) ca o Uma cnica o degenerada e uma equaao do segundo grau a duas variveis em que o conjunto de soluoes c a c reais vazio ou no uma elipse, nem uma hiprbole e nem uma parbola. e a e e a Exemplo 7.6 Veriquemos no existem n meros reais x e y, tais que (x1)2 +(y+4)2 = 1. a u Isto , o conjunto soluao dessa identidade o conjunto vazio. e c e Soluao: De fato, a soma dos quadrados de dois n meros reais sempre um c u e n mero real no-negativo. Portanto essa equaao do segundo grau representa u a c uma cnica degenerada, o conjunto vazio. o Exemplo 7.7 Veriquemos que a equaao: c(y 1)2 (x + 5)2 + = 0, 4 3Lugar geomtrico e O conjunto formado pelos pontos P = (x, y) cujas coordenadas satisfazem uma equaao algbrica nas c e variveis x e y chamado a e lugar geomtrico. Essa e expresso oriunda da a e palavra loci, j usada por a Aristeu e os gemetras que o lhe precederam nas suas investigaoes sobre as seoes c c cnicas. o

tem por soluao um unico ponto e portanto, o lugar geomtrico que ela c e representa consiste de um ponto s. o Soluao: Reescrevendo a equaao como soma de dois quadrados, temos: c cx+5 22 2 Lembre que... A soma a2 + b2 dos quadrados de dois nmeros u reais a e b igual a zero se, e e somente se, cada um dos nmeros a e b igual a zero. u e

+

y1 3

= 0.

O ponto (x, y) satisfaz essa equaao se, e somente se: c x+5=0 e y 1 = 0.

Isto , x = 5 e y = 1 . Logo, o conjunto das soluoes da equaao proposta e c c consiste apenas do ponto (5, 1). Exemplo 7.8 O lugar geomtrico dos pontos cujas coordenadas satisfazem a equaao de e c segundo grau(x 3)2 (y 1)2 = 0, formado por duas retas concorrentes. e 4 16 x3 22

Soluao: A equaao dada se escreve como diferena de dois quadrados: c c c y1 42

= 0,

que equivale ao produto:x3 y1 + 2 4 x3 y1 2 4

= 0.

Desta identidade vemos que:x3 y1 + =0 2 4

Figura 7.20: Exemplo 7.8.

ou

x3 y1 = 0. 2 4107 CEDERJ


A primeira identidade equivale a equaao 2x+y7 = 0 e a segunda equivale a ` c ` equaao 2xy5 = 0. Essas equaoes representam retas no plano. Verique, c c voc mesmo que essas retas se intersectam no ponto (3, 1) (Figura 7.20). e Exemplo 7.9 O lugar geomtrico da equaao (y 2)2 = 3 consiste de duas retas paralelas. e c Soluao: De fato, da equaao temos as posc c sibilidades (veja a Figura 7.21): y2=+ 3 ou y 2 = 3,

que so as retas paralelas: a y =2+ 3 ou y = 2 3 .Figura 7.21: Exemplo 7.9.

Exemplo 7.10 (x 3)2 = 0 consiste O lugar geomtrico dos pontos que satisfazem a equaao e c 8 de uma reta (isto , duas retas coincidentes). e Soluao: Com efeito, temos: c(x 3)2 = 0 (x 3)2 = 0 x 3 = 0 , 8

que a equaao de uma reta vertical. Veja a Figura 7.22. e cFigura 7.22: Exemplo 7.10.

Exemplo 7.11 O lugar geomtrico dos pontos do plano que satisfazem a equaao: e c(x 3)2 = 3 , 8

o conjunto vazio. e Soluao: Observe que a equaao no tem soluao real, pois no existe n mero c c a c a u real cujo quadrado seja negativo. Classicao das cnicas degeneradas. ca o Vamos resumir as nossas consideraoes e exemplos sobre as cnicas c o degeneradas no seguinte esquema:CEDERJ 108


MODULO 1 - AULA 7

Cnica o Elipse degenerada

Equao ca

Lugar geomtrico e , se < 0 = {(x0 , y0 )}, se = 0 Retas concorrentes:

Exemplo 7.6 7.7

(xx0 )2 a2

+

(yy0 )2 b2

Hiprbole e degenerada

(xx0 )2 a2

(yy0 )2 b2

=0

r1 : bx + ay bx0 ax0 = 0 r2 : bx ay bx0 + ay0 = 0 com r1 r2 = {(x0 , y0 )} 8 >reta x = x0 , se = 0 > > 8 > > < 0 (A) paralelas > : x = x 0 a > > > > : se < 0 8 >reta y = y0 , se = 0 > 8 > > > < y = y + a < 0 , se > 0 (B) paralelas :y = y0 a > > > > > : se < 0

7.8 Esquema de classicao ca = das cnicas o degeneradas. 7.9 7.10 7.11

(A)

(xx0 )2 a2

=

Parbola a ou degenerada

(B)

(yy0 )2 b2

=

ResumoNesta aula aprendemos a noao de simetria em relaao a um ponto e a c c uma reta. Revisamos o conceito de curva cnica e analisamos suas simetrias. o Alm disso, estudamos e classicamos as cnicas degeneradas a partir de e o exemplos concretos. Exerc cios 1. Sejam as retas r : 2x + 3y + 6 = 0, s : 6x 4y + 2 = 0 e os pontos P1 = (1, 1), P2 = (0 2) . a. Determine os pontos simtricos Q1 e Q2 , aos pontos P1 e P2 , rese pectivamente, em relaao a reta r. c ` b. Determine os pontos simtricos R1 e R2 , aos pontos P1 e P2 , rese pectivamente, em relaao a reta s. c ` c. Encontre os pontos simtricos M1 e M2 , aos pontos Q1 e Q2 , rese pectivamente, em relaao a reta s. c ` d. Encontre o ponto de interseao das retas r e s. Denote esse ponto P0 . c Ache os pontos T1 e T2 simtricos aos pontos P1 e P2 , respectivamente, e em relaao ao ponto P0 . c Compare com os pontos obtidos no item c.109

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2. Seja a reta r : x 5y + 1 = 0. a. Determine o simtrico da reta s : x y + 1 = 0 em relaao a r. e c b. Considere o tringulo de vrtices A = (1, 1), B = (1, 4), C = a e (3, 1). Encontre a gura geomtrica correspondente ao simtrico desse e e tringulo em relaao a r. A gura obtida um tringulo? a c ` e a Em caso armativo, os tringulos so congruentes? a a 3. Determine o simtrico da reta x 2y + 4 = 0 em relaao ao ponto de e c interseao das retas x y = 0 e 2x y = 3. c 4. Verique que o c rculo de equaao x2 +y 2 = r 2 invariante pela simetria c e em relaao a qualquer reta que passe pela origem. c 5. Verique que as cnicas abaixo so invariantes pelas seguintes simetrias: o a em relaao a reta x = x0 , em relaao a reta y = y0 e em relaao ao c ` c ` c ponto P0 = (x0 , y0 ) .(y y0 )2 (x x0 )2 + = 1. a2 b2 (y y0 )2 (x x0 )2 = 1. b. a2 b2

a.

e 6. Conclua que, se uma elipse de equaao 2 + 2 = 1 invariante por c a b simetria em relaao a reta bissetriz do primeiro quadrante ento a elipse c ` a , de fato, um c e rculo. 7. Seja a equaao A(x a)2 + B(y b)2 = . Identique as cnicas abaixo c o incluindo os casos degenerados. Nos casos degenerados, descreva o conjunto soluao da equaao. c c a. A > 0, B > 0, = 0 ; c. A > 0, B > 0, = A ; e. A < 0, B > 0, = B ; b. A > 0, B < 0, = 0 ; d. A < 0, B > 0, = 0 ; f. A = 0, B > 0, = 0 .

x2

y2

Auto-avaliaao cSe voc resolveu os exerc e cios de 1 a 6, voc entendeu bem o conceito e de simetria em relaao a uma reta e simetria em relaao a um ponto. Resolc ` c vendo o exerc 7 voc faz um trabalho de xaao do conceito de cnicas cio e c o degeneradas e do conjunto de pontos do plano que essas equaoes denem. c Caso tenha alguma diculdade, releia a aula e tente novamente resolver os exerc cios.CEDERJ 110

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Conicas degeneradas