Veleučilište u Požegi

Maja Ergović Ravančić

Interna skripta

Tehnološke operacije - zbirka zadataka (radna verzija)

Požega, 2018. godine

1

1. MEĐUNARODNI SUSTAV MJERNIH JEDINICA – SI

U Tehnološkim operacijama u pravilu se primjenjuje iskazivanje fizičkih veličina i jedinica

u skladu s Međunarodnim sustavom jedinica (SI, Le Systeme International d'Unitès).

Međunarodni sustav mjernih jedinica – SI je ustanovljen 1960. te je prihvaćen u većini zemalja

svijeta. Stoga je ovaj sustav potrebno dobro poznavati kako bi se u tehničkoj praksi prilikom

različitih proračuna moglo s njim ispravno služiti.

Nazivi i definicije fizičkih veličina i jedinica mogu se naći u odgovarajućoj literaturi.

Pojmom fizičke veličine označava se neko fizičko svojstvo (pojava, tvari, tijela), koje

omogućuje njihovo kvalitativno razlikovanje i kvantitativno određivanje. Jedinicom se

označava mjera kojom se određuju vrijednosti mjerene veličine. Osnovne jedinice su one

jedinice koje su dimenzijski neovisne, a koriste se za opisivanje samo jedne veličine (npr.

duljine, mase ili vremena).

SI sustav obuhvaća:

osnovne jedinice SI

izvedene jedinice SI

dopunske jedinice SI

decimalne jedinice SI

iznimno dopuštene jedinice.

1.1. Osnovne jedinice SI sustava

Osnovne fizikalne veličine su one veličine koje su međusobno neovisne i ne mogu se svesti

jedna na drugu, a svaka ima svoju posebnu oznaku (Tablica 1.).

Osnovne jedinice su stalne, dogovorno utvrđene i određene vrijednosti fizikalnih veličina

za promatrani sustav koje imaju poseban naziv i oznaku (znak).

2

Tablica 1. Osnovne fizikalne veličine i jedinice u SI sustavu

FIZIKALNA VELIČINA OSNOVNA SI JEDINICA

Naziv

Oznaka Naziv Oznaka

duljina L (l) metar m

masa M kilogram kg

vrijeme t (τ) sekunda s

električna struja I amper A

termodinamička temperatura T kelvin K

količina tvari n mol mol

intenzitet svjetlosti Iv kandela cd

1.2. Izvedene fizikalne veličine i jedinice SI sustava

Izvedene fizikalne veličine i jedinice SI sustava definirane su međusobnim odnosima

nezavisnih veličina, odnosno jedinica SI sustava.

Ove izvedene veličine i jedinice mogu biti takve da imaju poseban naziv i oznaku (Tablica

2.) ili takve da nemaju poseban naziv i oznaku (Tablica 3.), ali i takve da u sebi sadrže izvedene

jedinice s posebnim nazivom i oznakom (Tablica 4.).

Tablica 2. Izvedene veličine i jedinice SI sustava koje imaju poseban naziv i oznaku

IZVEDENA VELIČINA IZVEDENA JEDINICA

Naziv veličine Naziv

jedinice

Oznaka Definicija

preko

izvedenih

jedinica

Definicija preko

osnovnih jedinica

frekvencija herz Hz - s-1

sila newton N - m·kg·s-2

tlak pascal Pa N/m2 kg·m-1·s-2

energija, rad, toplina joule J N·m m2·kg·s-2

snaga watt W J/s m2·kg·s-3

električni naboj coulomb C - A·s

električni potencijal volt V W/A m·kg·s·A

3

električni kapacitet farad F C/V m-2·kg-1·s4·A2

električni otpor ohm Ω V/A m2·kg·s-3·A-2

električna vodljivost siemens S A/V m-2·kg-1·s3·A2

magnetski tok weber Wb V·s m2·kg·s-2·A-1

magnetska indukcija tesla T WB/m2 kg·s-2·A-1

induktivitet henry H Wb/A m2·kg·s-2·A-2

tok svjetlosti lumen lm cd·sr m2·m-2·cd=cd

osvjetljenost lux lx lm/m2 m2·m-4·cd=m-2·cd

aktivnost zračenja becquerel Bq - s-1

apsorbirajuća doza ioniz.

zračenja

gray Gy J/kg m2·s-2

ekvivalent doze sievert Sv J/kg m2·s-2

katalitička aktivnost katal kat - mol·s-1

Celsius-ova temperatura st. celzijusa °C - K

Tablica 3. Izvedene veličine i jedinice SI sustava koje nemaju poseban naziv i oznaku

IZVEDENA VELIČINA IZVEDENA JEDINICA

Naziv veličine

Naziv jedinice Oznaka

površina kvadratni metar m2

volumen kubni metar m3

brzina metar po sekundi m/s

ubrzanje metar po sekundi na

kvadrat

m/s2

gustoća kilogram po kubnom

metru

kg/m3

specifični volumen metar kubni po kilogramu m3/kg

gustoća električne struje amper po kvadratnom

metru

A/m2

množinska koncentracija mol po kubnom metru mol/m3

jačina magnetskog polja amper po metru A/m

4

Tablica 4. Izvedene veličine i jedinice SI sustava koje sadrže izvedene jedinice s posebnim

nazivom i oznakom

IZVEDENA VELIČINA IZVEDENA JEDINICA

dinamički viskozitet Pa·s

moment sile N·m

površinska napetost N/m

kutna brzina rad/s

kutno ubrzanje rad/s2

gustoća toplinskog toka W/m2

entropija J/K

specifični toplinski kapacitet J/(kg·K)

specifična toplina J/kg

toplinska vodljivost W/(m·K)

gustoća električnog toka C/m2

1.3. Dopunske fizikalne veličine i jedinice SI sustava

Dopunske fizikalne veličine i jedinice SI sustava nazivaju se tako jer nije odlučeno jesu li

osnovne ili izvedene veličine, odnosno jedinice. To su sljedeće fizikalne veličine, odnosno

jedinice:

- kut – radijan [rad]

Radijan je naziv jedinice, a rad njena oznaka za fizikalnu veličinu. Radijan je kut između

dvaju polumjera koji na kružnici odrezuju luk čija je duljina jednaka polumjeru, a njegova

definicija preko osnovnih i izvedenih SI jedinica je:

m ・ m-1 = 1 (1)

- prostorni kut – steradijan [sr]

Steradijan je naziv jedinice, a sr njena oznaka za fizikalnu veličinu. Steradijan je

prostorni kut čiji se vrh nalazi u središtu kugle, a na njenoj plohi omeđuje površinu jednaku

kvadratu polumjera kugle.

Njegova definicija preko izvedenih SI jedinica je:

m2 ・ m-2 = 1 (2)

5

1.4. Decimalne jedinice SI sustava

Decimalne jedinice SI sustava nastaju stavljanjem prihvaćenog predmetka (prefiksa) i to

multiple jedinice ukoliko se stavlja decimalni višekratnik i submultiple jedinice ukoliko se

stavlja decimalni dio jedinice (Tablica 5.).

Tablica 5. Multiple i submultiple SI jedinice

PREDMETAK (PREFIKS) ZA:

multiple jedinice submultiple jedinice

faktor

prefiks oznaka faktor prefiks oznaka

1024 yotta Y 10-1 deci d

1021 zetta Z 10-2 centi c

1018 exa E 10-3 mili m

1015 peta P 10-6 micro µ

1012 tera T 10-9 nano n

109 giga G 10-12 pico p

106 mega M 10-15 femto f

103 kilo k 10-18 atto a

102 hecto h 10-21 zepto z

101 deka da 10-24 yoco y

1.5. Iznimno dopuštene jedinice u SI sustavu

Jedinice koje se inače nalaze izvan SI sustava, ali su vrlo važne i često se koriste, iznimno

su dopuštene za korištenje kao i SI jedinice (Tablica 6.).

Tablica 6. Iznimno dopuštene jedinice

NAZIV OZNAKA VRIJEDNOST U SI JEDINICAMA

minuta min 1 min = 60 s

sat h 1 h = 60 min = 3600 s

dan d 1 d = 24 h = 86400 s

stupanj ° 1° = (π/180) rad

6

grad (gon) g 1 g = (π/200) rad

minuta ' 1' = (1/160)° = (π/10800)rad

sekunda " 1" = (1/60)' = (π/648000) rad

litra L 1 L = 1 dm3 = 10-3 m3

tona t 1 t = 103 kg

morska milja - 1 nautička milja = 1852 m

astronomska milja ua 1 ua ≈ 1,49598·1011 m

ångström Å 1 Å = 0,1 nm = 10-10 m

ar a 1 a = 100 m2

hektar ha 1 ha = 104 m2

čvor - morska milja/h = 1852/3600 m/h

bar bar 1 bar = 105 Pa

elektronvolt eV 1 eV ≈ 1,60218·10-19 J

jedinica

unificirane

atomske mase

u 1 u ≈ 1,66054·10-27 kg; 1/12 mase atoma

nuklida 12C

1.6. Grčka abeceda

Grčku abecedu je važno poznavati radi razumijevanja označavanja određenih veličina u

prehrambeno–tehnološkom inženjerstvu (Tablica 7.).

Tablica 7. Grčka abeceda

NAZIV SLOVA SLOVO

alfa A α

beta B β

gama Г γ

delta Δ δ

epsilon E ε

zeta Z ζ

eta H η

theta Θ θ

7

jota I ι

kapa K κ

lambda Λ λ

mi М μ

ni N ν

ksi Ξ ξ

omikron O ο

pi Π π

ro P ρ

sigma Σ σ

tau T τ

ipsilon Y υ

fi Φ φ

xi X χ

psi Ψ ψ

omega Ω ω

1.7. Dimenzije i mjerne jedinice SI sustava

Svaka fizikalna veličina je definirana određenim kombinacijama (umnošcima osnovnih

dimenzija).

Osnovne dimenzije su:

1) MASA (oznaka m)

2) DULJINA (oznaka L)

3) VRIJEME (oznaka t ili τ)

4) TEMPERATURA (oznaka T).

Na temelju dimenzija od kojih se sastoji svaka fizikalna veličina izvode se i njihove

jedinice pri čemu su dimenzije univerzalne, a jedinice ovise o tome koji sustav mjernih jedinica

se koristi.

Primjeri izvedenih fizikalnih veličina:

GUSTOĆA (specifična (volumna) masa)

8

33 m

kg

L

M

V

m

V

m (3)

SILA (prema Newtonovom zakonu sila je umnožak mase i ubrzanja)

Ns

mkgLMamFamF

22 (4)

22

1

s

mLLa

dt

dwa

(5)

s

mLw

d

dLw

(6)

SILA TEŽA (sila kojom zemlja privlači tijelo)

Ns

mkgLMgmFgmF

22 (7)

TLAK (sila po jedinici površine)

Pam

N

L

LM

A

F

A

Fp

222 (8)

Pascal (Pa) je tlak što ga proizvodi sila od 1 N (Newtona) koja je jednako raspoređena i

djeluje okomito na ravnu površinu od 1 m2.

POTENCIJALNA ENERGIJA POLOŽAJA (energija koju imaju tijela u stanju

mirovanja, a koja mogu vršiti određeni rad zbog svoga položaja)

9

JmNs

mkgLML

LMzgmEzgmE pp

2

2

2

2

2 (9)

Joule (J) je jednak radu što ga izvrši sila od 1 N kada se njezino hvatište pomakne u pravcu

i smjeru sile za jedan metar.

POTENCIJALNA VOLUMNA ENERGIJA (rad kojeg može izvršiti fluid (tijelo)

određenog volumena kada se nalazi pod tlakom (p))

JmNLFL

FLEpVE vv

3

3 (10)

RAD (tijelo vrši rad ako se pod djelovanjem neke sile F giba po putu l)

JmNlFWlFW (11)

KINETIČKA ENERGIJA (energija koju ima tijelo mase m koje se giba brzinom w)

JmNs

mkgLM

wmE

wmE kk

2

2

2

222

2

1

22 (12)

SNAGA (omjer rada (W) i vremena (t) u kojem je taj rad izvršen)

Ws

J

s

mNLFWP

t

WP

(13)

1 Watt (W) je snaga kojom se obavi rad od jednog Joula (J) u 1 sekundi (s).

DINAMIČKA VISKOZNOST (viskoznost ili unutarnje trenje koje se javlja kao otpor

fluida protiv smicanja njegovih čestica)

dy

dwa

F

dy

dwAF

(14)

10

111

L

L

dy

dw (15)

sPa

m

sN

L

F

L

F

2212

(16)

Pa·s (pascal sekunda) je dinamička viskoznost homogenog fluida koji laminarno struji i u

kojem između dva ravna paralelna sloja s razlikom u brzini od 1 m/s na razmaku od 1 m nastaje

naprezanje na smicanje od 1 Pa.

KINEMATIČKA VISKOZNOST

s

mL

M

LLM

M

LF

L

M

L

F222

3

12

(17)

VOLUMNI PROTOK

s

mLLLwAQWAQ

332

(18)

MASENI PROTOK

s

kgM

L

MLLwAmwAQm

3

3 (19)

JEDINICA PLINSKE KONSTANTE

Kmol

J

Kmol

mN

Tn

LF

Tn

LLF

Tn

VpRTRnVp

32

(20)

11

molKJKmol

mPaR /314,8

2731

104,22101325 33

(opća plinska konstanta) (21)

1.8. Dimenzije i mjerne jedinice ostalih sustava

Osim SI sustava mjernih jedinica, postoji u svijetu više drugih sustava koji se sve više

napuštaju, ali budući da su u nekim zemljama u starijoj literaturi još u upotrebi, dobro je

poznavati i osnove tih najčešće korištenih sustava mjernih jedinica kako bi ih se moglo

pretvoriti u SI jedinice.

1.8.1. Tehnički sustav mjera

Tehnički sustav mjera (TSM) ima kao i SI sustav osnovne fizikalne veličine (Tablica 8.) te

izvedene fizikalne veličine i mjerne jedinice (Tablica 9.).

Tablica 8. Osnovne fizikalne veličine i mjerne jedinice TSM sustava

FIZIKALNA VELIČINA OSNOVNA JEDINICA

NAZIV NAZIV OZNAKA

duljina metar m

vrijeme sekunda s

sila kilopond kp*

*1 kp = 9,80665 N ≈ 9,81 N

Tablica 9. Glavne izvedene fizikalne veličine i mjerne jedinice TSM sustava

FIZIKALNA VELIČINA IZVEDENA JEDINICA

NAZIV OZNAKA

rad, energija kp·m

snaga kp·m/s

tlak kp/cm2 (at)

količina topline kcal

12

1.8.2. Fizikalni sustav jedinica

Fizikalni sustav jedinica (CGS cm-h-s) ima kao i SI sustav osnovne fizikalne veličine

(Tablica 10.) te izvedene fizikalne veličine i mjerne jedinice (Tablica 11.).

Tablica 10. Osnovne fizikalne veličine i mjerne jedinice CGS sustava

FIZIKALNA VELIČINA OSNOVNA JEDINICA

NAZIV NAZIV OZNAKA

duljina centimetar cm

vrijeme sekunda s

masa gram g

Tablica 11. Glavne izvedene fizikalne veličine i mjerne jedinice CGS sustava

FIZIKALNA VELIČINA IZVEDENA JEDINICA

NAZIV OZNAKA

rad, energija erg

sila dyn

dinamički viskozitet P (poise)

kinematički viskozitet ST (stokes)

tlak bar

Međuodnosi izvedenih CGS jedinica i SI jedinica:

1 dyn = 10-5 N

1 erg = 10-7 J

1 P = 10-1 Pa·s

1 St = 10-4 m2/s.

Odnos između anglosaksonskih mjernih jedinica koje se još uvijek koriste i SI jedinica:

1" inch (in) = 2,54·10-2 m

1 yd (yard) = 9,144·10-1 m

1 mile = 1609,344 m.

13

1.9. Potencije i znanstveni zapis

1.9.1. Pravila potenciranja

mnmn aaa (22)

mnmn aaa : (23)

mnmn

m

n

aaaa

a : (24)

nnnn cbaabc )( (25)

mnmn aa )( (26)

zmnzmn aa (27)

n

nn

b

a

b

a

(28)

n

nnn

a

b

a

b

b

a

(29)

10 a (30)

11 a (31)

a

a11

(32)

n

n

aa

1

(33)

14

MNOŽENJE: 102 · 105 = 107 --> baza 10 se prepiše, a eksponenti zbroje (2 + 5 = 7)

DIJELJENJE: 107 : 104 = 103 --> baza 10 se prepiše, a eksponenti oduzmu (7 – 4 = 3)

104 : 10-7 = 1011 --> PAZI --> 4 – (– 7) = 11

1.9.2. Znanstveni zapis

134,87 = 1,3487 · 102 --> decimalna točka se pomiče dva mjesta u lijevo, a broj ispred

decimalne točke mora biti manji od deset

0,0948 = 9,48 · 10-2 --> decimalna točka se pomiče dva mjesta u desno (10-2)

1340000000 = 1,34 · 109 --> decimalna točka se pomiče devet mjesta u lijevo (109)

15

2. PRIMJENA ZAKONITOSTI HIDRAULIKE NA STACIONARNA

STRUJANJA FLUIDA U CIJEVIMA

Stacionarno strujanje:

strujanje kod kojeg se u svakoj točki te struje brzina i tlak s vremenom ne mijenjaju,

i u svakoj točki, danog poprečnog presjeka struje, brzina i tlak ostaju stalno jednaki.

Zakon kontinuiteta:

u jedinici vremena kroz svaki poprečni presjek, pa prema tome i kroz presjeke 1, 2 i 3

prolazi po masi ista količina fluida, bez obzira na to, kako se veličina tog presjeka mijenja.

m’1 = m’1 = m’1 = konst.

m’ = Q’

Q’ = konst.

m’(kg/s) - maseni protok fluida,

Q’ (m3 / s) - volumni protok fluida,

(kg / m3) - specifična masa.

Kod kapljevina je = konst., pa stoga proizlazi da je i Q’ = konst. (u jedinici vremena

kroz sve presjeke prolazi isti volumen tekućine).

Q’ = A w

Q’ (m3 / s) = A1 w1 = A2 w2 = A3 w3 = konst.

A1 A2 A3

w1 w2 w3

1

1

2

2

3

3

16

A (m2) - površina presjeka,

w (m/s) - srednja brzina strujanja kroz odgovarajući presjek.

Ove relacije se mogu pisati i kao:

1

2

2

1

A

A

w

w ,

1

3

3

1

A

A

w

w ,

2

3

3

2

A

A

w

w

Što znači: pri stacionarnom strujanju srednje brzine strujanja kroz ravne presjeke su obrnuto

proporcionalne površinama presjeka okomitim na smjer tih strujanja.

Za slučaj kružnih cijevi vrijedi:

4

2dA pa je

2

1

2

2

2

1

d

d

w

w

A (m2) - površina presjeka,

w (m/s) - srednja brzina strujanja,

d (m) – promjer.

Bernoulli-ev teorem:

U jednom izoliranom hidrodinamskom sistemu zbroj svih vrsta energije konstantan.

Ep + Ev + Ek + Eu = konst.

Ep – potencijalna energija položaja.

Ep = m · z · g

Ev – potencijalna volumna energija.

Ev = pV

Ek – kinetička energija.

Eu – unutarnja energija.

2

2mwEk

17

Konačan izraz za Bernoulli-jevu jednadžbu za idealne kapljevine:

kg/J wp

gzWwp

gz22

2

222

2

111

Što znači da je energija u presjeku 1 plus izvana dovedena mehanička energija jednaka

energiji u presjeku 2.

Bernoulli-eva jednadžba za realne kapljevine :

R 22

2

2222

2

1111

wpgzW

wpgz

R - gubitak energije trenjem (J/kg),

α – Coriolis-ov koeficijent.

Što znači da je energija u presjeku 1 plus izvana dovedena mehanička energija jednaka

energiji u presjeku 2 plus gubitak energije trenjem koji nije prisutan u Bernoulli-evoj

jednadžbi za realne kapljevine.

18

Primjena Bernoulli-eve jednadžbe na mjerenje brzine strujanja fluida

1. Pomoću zaslona

2. Pomoću Venturi cijevi

2

2

1

2

221 wwpp

p

d

DCw

1

2

4

41

Za određeno strujanje vrijedi:

pKw

Kkonst

d

DC

1

4

4.

1

2

C = 0,98 – 1,15

19

3. Pomoću Pitot cijevi

Ovisnost wsr/wmax o Reynolds-ovom broju dana je u dijagramu:

2

2wp

pw

2

20

Primjer 1.

U osi cjevovoda unutarnjeg promjera 320 mm smještena je Pitot-ova cijev čiji diferencijalni

manometar pokazuje pad tlaka od 5,8 mm H2O. Cjevovodom struji suhi zrak pod atmosferskim

tlakom, temperature 21 °C. Treba izračunati protok zraka u kg/h.

Rješenje:

d = 320 mm = 0,32 m

p =5,8 mm H2O x 9,80665 = 56,9 Pa

tzr. = 21oC, = 1,16 kg/ m3 (izračuna se linearnom interpolacijom i očitavanjem se iz

tablice Toplinska svojstva zraka pri tlaku zasićenja -

Prilozi)

m' =? [kg/h]

2

wp 2

wmax = s/m905,9

16,1

9,562p2

pošto je Pitot-ova cijev

smještena u osi cijevi, ona mjeri wmax

Budući da nije poznat odnos max

sr

w

w, izračunava se Remax:

D

21

5

6

max

max 1001,210284,18

16,132,0905,9dwRe

te se iz dijagrama ovisnosti wsr/wmax o Reynolds-ovom broju očita odnos max

sr

w

w pa slijedi:

3289059840840840 ,,,w,w,w

wmaxsr

max

sr m/s

skgwd

wAQm srsr /4

2''

'm = 32,816,14

32,0 2

kg/s

m' = 776,0 kg/s ·3600 =2793,4 [kg/h]

22

Primjer 2.

U vodoravni cjevovod promjera 3" umetnut je venturimetar s unutarnjim promjerom suženja

cijevi 41 mm i faktorom C = 0.98. Kroz cjevovod struji 568 l/min vode temperature 23 °C. Treba

odrediti što pokazuje U-manometar priključen na venturimetar?

Rješenje:

D = 3'' = 78 mm = 0,078 m (očita se iz tablice Nominalni promjeri čeličnih cijevi –

Prilozi)

d = 41 mm = 0,041 m

C = 0,98

Q'=568 l/min= 9,467 10-3 m3/s

t = 23 oC; =997,6 kg/m3 (izračuna se linearnom interpolacijom i očitavanjem iz

tablice Toplinska svojstva zraka pri tlaku zasićenja -

Prilozi)

Δp=? Pa

)(2023

2025

2025

2023 CC

CC

CC

CCtt

tt

)2023(2025

2,9981,9972,998

23

C

6,99723

C

kg/m3

23

Q' = 981,1078,0

10467,944

4 2

3

2

'

11

2

1

D

Qww

DwA m/s

12

1

24

4

2

2

1

4

41d

D

C

wpp

d

DCw

3,246606,9971041,0

078,0

98,02

981,14

4

2

2

p Pa

24

Primjer 3.

Cjevovodom promjera 2,5" struji 603 l/min vode temperature 27 °C. U cjevovod je umetnut

venturimetar s unutarnjim promjerom suženja cijevi 38 mm i faktorom C = 0.98. Treba odrediti

što pokazuje U-manometar priključen na venturimetar?

Rješenje:

D = 2,5'' = 62,8 mm = 0,0628 m (očita se iz tablice Nominalni promjeri čeličnih cijevi

– Prilozi)

d = 38 mm = 0,038 m

C = 0,98

Q' = 603 l/min= 10,05 10-3 m3/s

t = 27 oC; =996,26 kg/m3 (izračuna se linearnom interpolacijom i očitavanjem iz

tablice Toplinska svojstva zraka pri tlaku zasićenja -

Prilozi)

Δp=? Pa

)(2527

2530

2530

2527 CC

CC

CC

CCtt

tt

)2527(2530

1,9977,9951,997

27

C

26,99627

C kg/m3

25

Q' = 24,30628,0

1005,1044

4 2

3

2

'

11

2

1

D

Qww

DwA m/s

12

1

24

4

2

2

1

4

41d

D

C

wpp

d

DCw

05,3520426,9961038,0

0628,0

98,02

24,34

4

2

2

p P

26

3. IZRAČUNAVANJE GUBITAKA ENERGIJE TRENJEM

Laminarno strujanje:

je mirno i slojevito, brzina strujanja fluida je razdijeljena po presjeku prema zakonu

kvadratne parabole tako da je u osi presjeka najveća, a na rubovima jednaka nuli.

Turbulentno strujanje:

sastoji se od velikog broja sitnih vrtloga, što prouzrokuje da čestice pored brzine u

smjeru strujanja dobivaju komponente brzine u ostalim smjerovima, tako da im je gibanje

nepravilno, a to ima za posljedicu da se pojedini slojevi međusobno miješaju. Komponenta

brzine čestice, okomita na smjer strujanja stalno koči strujanje i povećava među slojevima

naprezanje na smicanje. Uslijed toga se otpor trenja kod turbulentnog strujanja znatno povećava

u odnosu na laminarno strujanje.

Hagen-Poiseuille-ov zakon laminarnog strujanja:

Ukoliko se izrazu za izračunavanje gubitaka energije trenjem:

21 ppR

uvrsti vrijednost za p1 – p2 iz jednadžbe za wsred tada Hagen-Poiseulle-ov zakon poprima

oblik:

sredwd

LR

2

32

Gubitak energije nastao trenjem (R) direktno je proporcionalan prvoj potenciji srednje brzine

strujanja.

Izračunavanje koeficijenta trenja λ:

ukoliko se jednadžba Hagen-Poiseuille-ovog zakona:

2

2w

d

LR

usporedi s općenitom Darcy-Weissbach-ovom jednadžbom za trenje:

27

wd

LR

2

32

Tada izjednačavanje dvaju jednadžbi poprima oblik:

wd

Lw

d

L

2

2 32

2

64

wd

Rewd

6464

ili

wdRe ili 64Re

što predstavlja bezdimenzionalni oblik Hagen-Poiseuille-ovog zakona. Vidljivo je da je λ

funkcija od Re.

Darcy – Weissbach-ova jednadžba:

kgJw

d

LR

p

2

2

Uvrštavanjem izraza za brzinu: 2

4

d

Qw

'

dobije se oblik jednadžbe: kgJd

QLR

22

28

λ = koeficijent trenja ili otpora

L = duljina cijevi [m]

ν = kinematički viskozitet fluida [m2/s]

µ = dinamički viskozitet fluida [Pa·s]

28

Darcy – Weissbach-ova jednadžba služi za izračunavanje gubitaka trenjem R. Kod toga prvo je

potrebno izračunati Reynolds-ov broj za taj slučaj (dat je izrazom

wdRe ) i relativnu

hrapavost (d

k ) a zatim se λ iz dijagrama očita kao funkcija od Re (dijagram se nalazi u

Prilozima).

Jednadžba za relativnu hrapavost d

k obuhvaća omjer vrijednosti za relativnu hrapavost za

različite vrste cijevi, k, i unutrašnjeg promjera cijevi, d.

Vrijednosti za relativnu hrapavost za različite vrste cijevi:

V R S T E C I J E V I k [mm]

Vučene i prešane

cijevi od bakra i

mjedi, staklene

cijevi od plastičnih

masa i nove tlačne

gumene cijevi

tehnički glatke, kao i cijevi prevučene metalom (bakar,

nikal, krom) …………………………….

glatke …………………………………………...

0.00135 do 0.00152

0.00162

29

Nove bešavne

čelične valjane ili

vučene

tipična valjana površina ………………………...

močene ……………………………….…………

nemočene …………………………….…………

metalizirane …………………………………….

fino pocinčne (uronjavanjem) …………………..

obično pocinčane ……………………………….

0.02 – 0.06

0.03 – 0.04

0.03 – 0.06

0.08 – 0.09

0.07 – 0.10

0.10 – 0.16

Nove varene cijevi

od čeličnog lima

tipična valjana površina

uzdužno varena ……………………….………...

bituminizirane …………………………………..

cementirane ……………………………………..

galvanizirane ……………………………………

0.04 – 0.10

0.01 – 0.05

oko 0.18

oko 0.008

Čelične cijevi

upotrebljavane

ravnomjerno zahrđale …………………………..

umjereno zahrđale (slabe inkrustacije)………….

srednje inkrustacije ……………………………..

jake inkrustacije ………………………………...

nakon duge uporabe očišćene …………………..

bituminizirane …………………………………..

nakon višegodišnje uporabe (srednja vrijednost za rasvjetni

plin) ………………………………..

talog zrnaste površine, vod rasvjetnog plina nakon 20

godina………………………………...

plinski vod nakon 25 godina uporabe, nejednolično

nataložen katran i naftalin………...

oko 0.15

0.15 – 0.4

oko 1.5

2 – 4

0.15 – 0.20

oko 0.1

oko 0.5

oko 1.1

oko 2.5

Zakivane cijevi od

čeličnog lima

nove, lako zakivane …………………..………...

nove, teško zakivane ……………………………

25 godina stare, jako inkrustirane cijevi………...

oko 1

do 9

12.5

Cijevi od lijevanog

željeza

nove, tipična lijevana površina ……….………...

nova, bituminizirane ………………….………...

upotrebljavane, zahrđale ………………………..

inkrustirane ……………………………………..

srednja vrijednost za vodove gradske kanalizacije

……………………………………..

jako zahrđale ……………………………………

0.2 – 0.6

0.1 – 0.13

1 – 1.5

1.5 – 4

1.2

4.5

Drvene cijevi nove …………………………………..………...

nakon duge uporabe (voda) …………..………...

0.2 – 1

0.1

Betonske cijevi

nove, izglađene ……………………….………...

nove, srednje hrapave …………………………..

nove, hrapave …………………………………...

nove betonske cijevi izrađene u čeličnoj oplati, brižljivo

izglađene …………….………………..

nove centrifugalno formirane betonske cijevi, glatko

ožbukane ……………….………………..

nove centrifugalno formirane betonske cijevi bez žbuke

……………………………………………

cijevi s glatkom žbukom nakon višegodišnje uporabe

(voda)………….……………………….

srednja vrijednost cjevovoda bez naslaga ………

srednja vrijednost cjevovoda sa naslagama .……

0.3 – 0.8

1 – 2

2 – 3

0.1 – 0.15

0.1 – 0.15

0.2

0.2 – 0.8

0.2 – 0.3

0.2

2.0

Azbestnocementne

cijevi

nove, glatke …………………………..………… 0.03 – 0.1

Cijevi iz keramike nove, pečene drenažne cijevi ……….…………..

novi vodovi od opeke …………………………..

oko 0.7

oko 9

30

Izračunavanje gubitaka energije trenjem u cjevovodima s fazonskim dijelovima

Gubitak energije trenjem u ravnoj cijevi:

2

2w

d

LRc

Gubitak energije trenjem u fazonskom dijelu:

2

2wR f

Ukupni gubitak energije trenjem:

2

2

1

w

d

LR

RRR

n

i

iuk

fcuk

i = koeficijent mjesnog otpora

Koeficijenti mjesnih otpora:

Gubici u kružnim lukovima

d/r 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.80 2.00

ζ 0.14 0.16 0.21 0.29 0.44 0.66 0.98 1.98

Koeficijent mjesnog otpora za kružni luk savijen pod kutom

manjim od 90° izračunava se iz jednadžbe:

δ

31

Gubici u koljenima

Gubici pri naglom proširenju presjeka

Gubici pri naglom suženju cijevi

α α 90º 120º 135º 150º

ζ 1.1 0.55 0.35 0.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

ζ 1 0.64 0.36 0.16 0.04 0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

ζ 1 0.50 0.43 0.25 0.15 0

Pri ulazu iz spremnika u cijev je = 0,

ako su rubovi oštri ζ =0.50, dok su rubovi

zaobljeni ζ = 0.2.

32

Gubici na ventilima

Pri potpuno otvorenom ventilu koeficijenti mjesnih otpora za pojedine vrste ventila su

sljedeći:

33

Primjer 1.

Kroz neki vodoravni tlačni vod struji voda temperature 22 °C pod tlakom 2 bara. Brzina

strujanja vode iznosi 0,9 m/s. Vod je sastavljen od 100 m ravnih cijevi, unutarnjeg promjera

0,102 m, ali se u njemu nakupilo taloga tako da je slobodni presjek oko 80 mm. U cjevovod je

ugrađeno 24 pravokutna luka (d/R=0,6) i 17 pravokutnih lukova (d/R=0,4), te 2 normalna

ventila.

Koliki je otpor trenja i koji tlak će pokazivati manometar na kraju cjevovoda?

Rješenje:

w = 0,9 m

d = 80 mm = 0,080 m (čelične cijevi)

k = 2 mm = 2 10 –3 m ===== = d

k 0,025 [za jake inkrustacije k = 2-4 mm (pogledati

tablicu Vrijednosti za relativnu hrapavost za različite vrste cijevi - Prilozi)]

L = 100 m

1 = 24 · 0,16 = 3,84

2 = 17 · 0,14 =2,38

3 =2 · 3,9 = 7,8

t = 22 C; = 997,76 kg/m3 (izračuna se linearnom interpolacijom i očitavanjem iz

tablice Toplinska svojstva vode pri tlaku zasićenja -

Prilozi)

μ = 6103032,948 Pa·s (izračuna se linearnom interpolacijom i očitavanjem iz

tablice Toplinska svojstva zraka pri tlaku zasićenja -

Prilozi)

p1 = 2 bara

R = ? p2 = ?

)(2022

2025

2025

2022 CC

CC

CC

CCtt

tt

i = 14,02

34

)2022(2025

2,9981,9972,998

22

C

76,99722

C

kg/m3

)(2022

2025

2025

2022 CC

CC

CC

CCtt

tt

)2022(2025

10414,99310637,88010414,993

666

22

C

6

22103032,948

C Pa·s

kgJw

d

LpR i /

2)(

2

4

610·5,7

10·3032,948

76,99708,09,0·Re

dw

=08,0

102 3

d

k = 0,025

se očita iz Moodye-vog dijagrama ------ λ = 0,053

35

kgJp

R /51,322

9,0·)02,14

080,0

100·053,0(

2

32,018,3243776,997·51,32 PaRp bar

68,132,000,21221 pppppp bar toliko će pokazivati manometar

36

Primjer 2.

Pregrijana vodena para temperature 270 C i tlaka 5,88 bara, struji prstenastim prostorom

između dvije ravne koaksijalne cijevi izrađene od mjedi. Vanjski promjer unutarnje cijevi je 50

mm, a unutarnji promjer vanjske cijevi je 70 mm. Koliki je pad tlaka po dužnom metru cijevi,

ako je brzina strujanja pare 14 m/s. Kinematički viskozitet vodene pare za dane okolnosti je

8,21 10-6 m2/s , a gustoća 2,395 kg/m3?

Rješenje:

Pri t = 270 °C i p = 6 at : = 2,395 kg/m3

= 8,21 · 10-6 m2/s

d = 50 mm = 50 · 10-3 m

D =70 mm = 70 ·10-3 m

dekv = D – d = (70 – 50) ·10-3 = 0,020 m (u tom prostoru struji

pregrijana vodena para)

w = 14 m/s

L = 1 m/s

p ?

4

610·4,334104

10·21,8

020,0·14·Re

ekdw

turbulentno strujanje

)WeisbachDarcy(2

w·

d

LR

p 2

- cjelokupna razlika potencijalne volumne

energije troši se na savladavanje trenja

·2

·2w

d

Lp

k = 0,00162 ·10-3 m – [za glatke cijevi izrađene od mjedi k = 0,00162 mm (pogledati tablicu

Vrijednosti za relativnu hrapavost za različite vrste cijevi - Prilozi)]

d

D

37

= 5

ekv

101,820

00162,0

d

k

se očita iz Moodye-vog dijagrama ------ λ = 0,023

kg/J7,1122

14·

020,0

1·023,0

p 2

92,269395,2·7,112p·Rp Pa

38

Primjer 3.

U nekom vodoravnom tlačnom vodu stoji na raspolaganju voda temperature 6 C i tlaka 8 bara.

Cjevovod se sastoji od novih šavnih čeličnih cijevi promjera 40 mm, dužine 450 m. Voda teče

brzinom 0,95 m/s. Treba izračunati :

a) Koliki je volumen protekle tekućine u m3/s i m3/h ?

b) Koliki je gubitak energije trenjem ?

c) Koji tlak će vladati na kraju cijevi ?

Rješenje:

t = 6 C (Prilog 1); = 999,94 kg/m3

μ = 1487,081 ·10-6 Pa·s

p1 = 8 bar

d = 40 mm = 0,040 m

w = 0,95 m/s

L =450 m

Za nove varene cijevi s tipičnom valjanom površinom k = 0,04 – 0,1 mm (pogledati tablicu

Vrijednosti za relativnu hrapavost za različite vrste cijevi - Prilozi)

k = 0,05 mm (proizvoljno određeno)

Q´, R, p2 =?

Linearnom interpolacijom dobije se :

)(56

510

510

56 CC

CC

CC

CCtt

tt

)56(510

0,10007,9990,1000

6

C

94,9996

C kg/m3

39

)(56

510

510

56 CC

CC

CC

CCtt

tt

)56(510

10741,153410439,129610741,1534

666

6

C

6

610081,1487

C Pa·s

a) hmsmwd

wAQ /28,43600/10·19,195,0·4

·040,0·

4

· 33322

b) kgJw

d

LR /,

2··

2

4

610·55,288,25551

10·081,1487

94,999040,0·95,0·Re

dw

00125,040

05,0

d

k

se očita iz Moodye-vog dijagrama ------ λ = 0,027

40

kgJR /07,1372·04,0

95,0·450027,0

2

PaRpp

R 510·37,194,999·07,137·

c) Pabarppp 5

12 10·63,663,637,100,8

41

Primjer 4.

Kroz vodoravni cjevovod izrađen od lako zakivanog čeličnog lima promjera 600 mm i dužine

35 km struji 250 l/s vode temperature 12 °C. U cjevovod su ugrađena 2 DIN ventila i 10 lukova

(d/R=0,4; δ=90°). Koliki će biti pad tlaka i gubitak energije uslijed trenja u cjevovodu?

Rješenje:

d = 600 mm = 0,6 m

k = 1 mm = 1·10-3 m (očita se iz tablice iz priloga – Vrijednosti za relativnu hrapavost za

različite vrste cijevi)

l = 10 · 0,14 = 1,4

3 =2 · 3,9 = 7,8

L = 35 km = 35000 m = 35·103 m

Q = 250 l/s = 0,250 m3/s

t = 12 °C; ρ = 999,46 kg/m3

μ = 1232,101·10-6 Pa·s

R, Δp =?

Linearnom interpolacijom dobije se :

)(1012

1015

1015

1012 CC

CC

CC

CCtt

tt

)1012(1015

7,9991,9997,999

12

C

46,99912

C

kg/m3

)(1012

1015

1015

1012 CC

CC

CC

CCtt

tt

i = 9,2

42

)1012(1015

10439,129610610,113510439,1296

666

12

C

6

1210101,1232

C Pa·s

0017,06,0

101 3

d

k

smd

Q

d

Q

A

QwwAQ /885,0

1304,1

1

14,36,0

250,044

4

222

5

6103,4

10101,1232

46,9996,0885,0Re

dw

Iz Moody-evog dijagrama odredi se ------ = 0,0235

43

kgJw

d

LpR i /,

2)(

2

kgJp

R /44,5402

885,02,9

6,0

10350235,0

23

barPaRp 4,516,54014846,99944,540

44

Primjer 5.

Kroz neki vodoravni cjevovod struji voda temperature 22 °C. Brzina strujanja vode je 1,4 m/s.

Cjevovod je sastavljen od 155 m ravnih cijevi, unutarnjeg promjera 100 mm, a u njega je

ugrađeno 6 pravokutnih lukova d/R = 0,6 i 4 normalna ventila.

a) Koliki je protok, gubitak energije uslijed trenja i pad tlaka ako je cjevovod izrađen od čistih

čeličnih cijevi s valjanom površinom?

b) Kolika mora biti brzina strujanja, ako se želi zadržati isti protok kao u primjeru A ako se u

cijevima nakupilo toliko taloga da je slobodni presjek 80 mm te koliki su tada gubici energije

uslijed trenja i pad tlaka?

Rješenje:

a)

t = 22 °C

d = 100 mm = 0,1 m

k (nove bešavne čelične valjane ili vučene s tipičnom valjanom površinom) = 0,02 - 0,06 mm

= 0,05·10-3 m (očita se iz tablice iz priloga – Vrijednosti za relativnu hrapavost za

različite vrste cijevi)

L = 155 m

w = 1,4 m/s

Σςl = 6 · 0,16 = 0,96

Σςv = 4 · 3,9 = 15,6

Σςuk = 16,56

μ = 948,303·10-6 Pa·s

ρ = 997,8 kg/m3

R = ?

∆p = ?

Linearnom interpolacijom dobije se :

)(2022

2025

2025

2022 CC

CC

CC

CCtt

tt

45

)2022(2025

2,9981,9972,998

22

C

76,99722

C

kg/m3

)(2022

2025

2025

2022 CC

CC

CC

CCtt

tt

)2022(2025

10414,99310637,88010414,993

666

22

C

6

2210303,948

C Pa·s

smwd

wAQ /011,04,14

14,31,0

4

322

5

6-1047,1

948,303·10

76,9971,04,1Re

dw

0005,0100

05,0

d

k

Iz Moody-evog dijagrama odredi se ---------- = 0,0194

46

kgJw

d

LpR i /

2)(

2

kgJR /7,452

4,156,16

1,0

1550194,0

2

PaRp 41056,48,9977,45

b)

t = 22 °C

d = 80 mm = 0,08 m

k (čelične cijevi upotrebljavane s jakim inkrustracijama) = 2 - 4 mm = 2·10-3 m (očita se iz

tablice iz priloga – Vrijednosti za relativnu hrapavost za različite vrste cijevi)

L = 155 m

Σςl = 6 · 0,16 = 0,96

Σςv = 4 · 3,9 = 15,6

Σςuk = 16,56

μ = 948,303·10-6 Pa·s

ρ = 997,8 kg/m3

47

Q = 0,011 m3/s

w = ?

R = ?

∆p = ?

smd

Qww

dwAQ /2,2

02,0

044,0

14,308,0

011,044

4 22

2

5

6-1085,13803,185186

948,303·10

8,99708,02,2Re

dw

025,008,0

002,0

d

k

Iz Moody-evog dijagrama odredi se ------ = 0,0532

48

kgJw

d

LpR i /

2)(

2

kgJR /52,2892

2,256,16

08,0

1550532,0

2

PaRp 51089,2056,2888838,99752,289

49

4. PRIJENOS TOPLINE

4.1. PRIJENOS TOPLINE KONDUKCIJOM

Kondukcija kroz planparalelnu stjenku

Jednoslojna stjenka:

A

QTT

sq

21 [W/m2]

Toplinski otpor:

sR [m2K/W]

Toplinska vodljivost: R

1[W/m2K]

Višeslojna stjenka:

n

i

n

i i

i R

T

s

Tq

A

Q

11

1

[W/m2]

n – broj slojeva stijeke

Kondukcija kroz stjenku cijevi

Jednoslojna cijev:

1

2

21

1

2

r

rln

TTLQ

[W]

1

2

21

ln1

2

d

d

TTLQ

[W]

s

ds

T 2

T 1

1

s1 s2 s3

T1

T2

T3

T4

dr

r2

r1

T1

T2

A1

A2

r

50

Višeslojna cijev:

n

i i

i

i

n

d

dln

TTLQ

1

1

11

1

2

[W]

Kondukcija kroz stjenku kugle

n

i iii

n

dd

TTQ

1 1

11

111

2

[W]

L – duljina cijevi [m]

r2 – vanjski polumjer cijevi [m]

r1 – unutarnji polumjer cijevi [m]

d1 – unutarnji promjer cijevi [m]

d2 – vanjski promjer cijevi [m]

n – broj slojeva

51

Primjer 1.

Šamotno dno neke peći ima površinu 10 m2, debljinu 1 m i koeficijent toplinske vodljivosti 1,3956

W/m K. Dno se nalazi ma glinenom podu, čiji je koeficijent toplinske vodljivosti 0,5815 W/m K.

Mjerenjem je ustanovljeno da na dubini od 7 m pod ima konstantnu temperaturu 10°C.

Temperatura peći je 1000 °C.

a) Treba izračunati količinu topline koja na sat prolazi kroz pod?

b) Kolika je temperatura između slojeva gline i šamota?

Rješenje:

s1 = 1 m

s2 = 7 m

1=1,3956 W/mK

2=0,5815 W/mK

A=10 m2

T1=1000°C=1273 K

T3= 10°C =283 K

?,Q

2

a)

[W/m2] – gustoća toplinskog toka

2

32

1

21

21

31

2

2

1

1

31

1

R

TTA

R

TTA

RR

TTA

ss

TT

s

TA

Qn

i i

i

[W]

717039651

1

1

1

1 ,,

sR

[m2K/W]

T3=283 K

T2

1 2

s2 s1

T1=1273 K

n

i i

is

T

A

Qq

1

52

038,125815,0

7sR

2

22

[m2K/W]

Ruk = R1 +R2 = 12,755 [m2K/W]

277675512

283127310 ,

,

Q

[W]·3600 = 2794417, 4 J/h = 2,794 MJ/h

b) Kod termičkih otpora u seriji odnosi se pad temperature pri pojedinom otporu prema ukupnom

padu temperature kao i pojedini otpor prema ukupnom otporu

uk

11

R

R

T

T

; T

R

RT

uk

11

Toplinski tok jednak je kroz svaki sloj u seriji!

2

32

1

21

21

31

2

2

1

1

31

1

R

TT

R

TT

RR

TT

ss

TT

s

T

A

Qn

i i

i

2

2

1

1

1

R

TA

R

TA

Q

s

T

A

Qn

i i

i

31

21

112

21

31

1

21 TTRR

RTT

RR

TT

R

TT

35,12172831273755,12

717,01273T2 [K] (944,3 °C)

53

Primjer 2 .

Industrijska peć ima cilindrični oblik unutarnjeg promjera 6 m i visine 10 m. Zid peći se sastoji

od četiri sloja, i to unutarnjeg sloja od vatrostalne opeke debljine 25 cm s koeficijentom toplinske

vodljivosti 1,145 W/mK, zatim sloja šamotne opeke debljine 25 cm toplinske vodljivosti 1,745

W/mK. Nakon toga je postavljen sloj dijatomejske zemlje s vodljivošću 0,070 W/mK i debljinom

35 cm i na kraju je peć obložena slojem građevinske opeke s toplinskom vodljivošću 0,442 W/mK

debljine 1 m. Temperatura površine vanjske stjenke građevinske opeke iznosi 55 °C, a temperatura

na granici sloja građevinske opeke i dijatomejske zemlje iznosi 300 °C.

Kolika je temperatura na površini unutarnje stjenke peći, te kolike su temperature na granicama

pojedinih slojeva ?

Rješenje:

d1 = 6 m

L= 10 m

s1 = 25 cm = 0,025 m

s2 = 25 cm = 0,025 m

s3 = 35 cm = 0,035 m

s4 =1 m

d2 = d1 + 2 · s1

d2 = 6,0 + 2 0,25 m = 6,5 m

d3 = d2 + 2 · s2

d3 = 6,5 + 2 0,25m = 7,0 m

d4 = d3 + 2 · s3

d4 = 7,0 + 2 0,35m = 7,70 m

d5 = d4 + 2 · s4

d5 = 7,70 + 2 1 m =9,70 m

1= 1,145 W/mK

2 = 1,745 W/mK

3 = 0,070 W/mK

4 = 0,442 W/mK

t5 = 55 °C

t4 =300 °C

t1, t2, t3 =?

d5

d1

d3

d2

d4

T5

T4

T3

T2

T1

1

2

3

4

54

1. vatrostalna opeka

2. šamotna opeka

3. dijatomejska zemlja

4. građevinska opeka

4

5

43

4

32

3

21

2

1

51

1

1

1

11

1111

2

1

2

d

dln

d

dln

d

dln

d

dln

TTL

d

dln

)TT(LQn

i i

i

n

Količina topline koja prolazi kroz jedan sloj, prolazi kroz sve slojeve pa će vrijediti:

4

5

4

54

3

4

3

43

2

3

2

32

1

2

1

21

1

2

1

2

1

2

1

2

d

dln

TTL

d

dln

TTL

d

dln

TTL

d

dln

)TT(LQ

W,

,

,ln

,d

dln

TTLQ8629466

707

709

4420

1

55300102

1

2

4

5

4

54

L

d

dln

Q

TT

2

1

3

4

343

C,,

,ln

,,

L

d

dln

Q

TT

55938102

07

707

0700

18629466

3002

1

3

4

343

55

C,,

,ln

,,

,L

d

dln

Q

TT

47958102

56

07

7451

18629466

559382

1

2

3

232

C,,

,ln

,,

,L

d

dln

Q

TT

25991102

06

56

1451

18629466

479582

1

1

2

121

56

Primjer 3.

20 m dugačka čelična cijev vanjskog promjera 4 cm, ima na vanjskoj površini temperaturu 200

˚C. Cijev je obložena slojem izolacije debljine 5 cm, čiji je koeficijent toplinske vodljivosti 0,0755

W/mK. Ako je temperatura na površini izolacije 40 ̊ C, koliko se topline gubi u okolinu za 24 sata?

Rješenje:

L = 20 m

d1 = 0,04 m

s1 = 0,05 m

d2 = d1 + 2 · s1

d2 = 0,04 + 2 · 0,05

d2 = 0,14 m

λ = 0,0755 W/mK

T1 = 200 °C = 473 K

T2 = 40 °C = 313 K

1

2

21

ln1

2

d

d

TTLQ

74,1211

04,0

14,0ln

0755,0

1

3134732014,32

Q W

694,10424360074,1211 Q MJ

57

Primjer 4.

Potrebno je odrediti gubitak topline kroz stjenku kotla oblika kugle unutarnjeg promjera 1,2 m

kojemu je debljina stjenke 5 mm. Kotao je izrađen od nehrđajućeg krom nikal željeza čiji je

koeficijent toplinske vodljivosti 16 W/mK, a izoliran je slojem izolacije debljine 100 mm s

koeficijentom toplinske vodljivosti 0,116 W/mK. Temperatura na unutarnjoj strani stjenke kotla

iznosi 140 °C, a na vanjskoj strani izolacije 40 °C.

Rješenje:

d1 = 1,2 m

sče = s1 = 5 mm = 0,005 m

siz = s2 = 100 mm = 0,100 m

d2 = d1 + 2 · s1

d2 = 1,2 + 2 · 0,005 = 1,21 m

d3 = d2 + 2 · s2

d3 = 1,21 + 2 · 0,1 = 1,41 m

λče = λ1 =16 W/mK

λiz = λ2 = 0,116 W/mK

T1 = 140 °C

T2 = 40 °C

n

i iii

n

dd

TTQ

1 1

11

111

2

[W]

621

41,1

1

21,1

1

116,0

1

21,1

1

2,1

1

16

1

4014014,32

Q W

58

Primjer 5.

Za koliko se poveća toplinski otpor željezne cijevi čiji je omjer unutarnjeg i vanjskog promjera

33/38 mm, ako se ona prevuče slojem emajla debljine 0,5 mm?

Koeficijent toplinske vodljivosti željeza je 58,15 W/mK, a emajla 0,58 W/mK.

Rješenje:

Ø 33/38 mm

d1 = 33 mm = 0,033 mm

d2 = 38 mm = 0,038 mm

s1 = (d2 – d1)/2 = (0,038 – 0,033)/2 = 2,5 mm = 2,5·10-3 m

s2 = 0,5 mm = 0,5·10-3 m

d3 = d2 + 2·s2

d3 = 0,038 + 2 · 0,0005 = 0,039 m

λ1 = 58,15 W/mK

λ2 = 0,58 W/mK

53

1

11 103,4

15,58

105,2

sR m2K/W

33

2

22 1086,0

58,0

105,0

sR m2K/W

435

21 1003,91086,0103,4 RRRuk m2K/W

Povećanje termičkog otpora:

21103,4

1003,95

4

1

R

Ruk puta

59

Primjer 6.

Parovod izrađen od čeličnih cijevi čiji je omjer unutarnjeg i vanjskog promjera 46/51 mm izoliran

je 30 mm debelim slojem izolacije s koeficijentom toplinske vodljivosti 0,116 W/mK.

Temperatura unutarnje strane parovoda je 175 °C, a vanjske strane izolacije 45 °C. Parovod je

dugačak 40 m. Koliko topline prolazi kroz izolaciju i čelik u jedinici vremena?

Rješenje:

Ø 46/51 mm

d1 = 46 mm = 0,046 m

d2 = 51 mm = 0,051 m

s2 = siz = 30 mm = 0,03 m

d3 = d2 + 2 · s2

d3 = 0,051 + 2 · 0,03 = 0,111 m

λiz = 0,116 W/mK

λče =50 W/mK

T1 = 175 °C

T3 = 45 °C

L = 40 m

n

i i

i

i

n

d

dln

TTLQ

1

1

11

1

2

[W]

8,4871

051,0

111,0ln

116,0

1

046,0

051,0ln

50

1

451754014,32

QW

60

Primjer 7.

Ravna stjenka neke peći sastoji se iz jednog sloja od 11 cm debelog vatrostalnog izolatorskog

kamenja s koeficijentom toplinske vodljivosti 0,15 W/mK, te od jednog sloja obične opeke 23

cm debljine s koeficijentom toplinske vodljivosti 1,4 W/mK. Temperatura stjenke iznutra je

760 °C, a izvana 77 °C.

a) Koliko se gubi topline na sat i m2?

b) Kolika je temperatura na granici između vatrostalnog kamenja i opeke?

Rješenje:

s1 = 11 cm = 0,11 m

s2 = 23 cm = 0,23 m

λ1 = 0,15 W/mK

λ2 = 1,40 W/mK

T1 = 760 °C

T3 = 77 °C

a)

i

in

i

n

i

n

i

n

UKs

TT

R

TT

R

T

A

Qq

1

11

1

11

sR

Za vatrostalno izolatorsko kamenje: 733,015,0

11,0

1

11

sR m2K/W

Za običnu opeku: 164,040,1

23,0

2

22

sR m2K/W

Za ravnu stjenku ukupno: 897,0164,0733,021 RRRuk m2K/W

9,758897,0

7776031

UKR

TT

A

Qq

W/m2

61

7,236009,758 A

Q MJ/m2h

b) Kod termičkih otpora u seriji odnosi se pad temperature u pojedinom otporu prema

ukupnom padu temperature kao pojedini otpor prema ukupnom:

R

R

T

T 11

;

R

RTT 1

1

558897,0

733,0)77760()( 1

311

1 R

RTT

R

RTT °C

Prema tome je temperatura među slojevima:

112211 TTTTTT

T2 = 760 – 558 = 202 °C.

Također se T2 može izračunati i iz jednadžbe prema kojoj su toplinski tokovi kroz sve

slojeve jednaki:

2

32

1

2131

R

TT

R

TT

R

TT

A

Q

20277760897,0

733,076031

112 TT

R

RTT °C

62

4.2. PRIJENOS TOPLINE KONVEKCIJOM

Prolaz topline kroz jednoslojnu planparalelnu stjenku

TkA

Qq

[W/m2]

Koeficijent prolaza topline:

21

11

1

s

k [W/m2K]

21

41

11

s

TTq [W/m2]

Koeficijent prijelaza topline:

Rs

1

[W/m2K]

Prolaz topline za svaki sloj posebno:

sloj laminarni drugi za

stjenkučvrstu za

sloj laminarni prvi za

432

32

211

TTq

TTs

q

TTq

fluid 1 fluid 2

T1

T2

T3 T4

1 2

s s1 s2

63

Prolaz topline kroz višeslojnu planparalelnu stjenku

n

i i

i

n

s

TT

A

Q

1 21

31

11

[W/m2]

n

ii

n

R

TT

A

Q

1 21

31

11

[W/m2]

n - broj slojeva čvrste stjenke.

PROLAZ TOPLINE KROZ STJENKU CIJEVI

Jednoslojna cijev:

221

2

11

41

1ln

2

11

dd

d

d

LTTQ

[W]

Višeslojna cijev:

n

i vvi

i

iuu

n

dd

dln

d

LTTQ

1

1

31

1

2

11

n – broj slojeva cijevi

Koeficijent prolaza topline po dužnom metru cijevi:

n

i vvi

i

iuu

L

dd

dln

d

k

1

1 1

2

11

[W/mK]

T

1 2

1

T 2 T 3

T 4 T 5

T 6

s 1 s 2 s 3

A2

r1

r2

d1

d2

1

2

A1

T1

T2

T4

T3

64

Toplina izmjenjena u jedinici vremena i dužnom metru cijevi:

TkL

Ql

[W/m]

KOEFICIJENT PRIJELAZA TOPLINE

1. Prijelaz topline s fluida koji turbulentno struji unutar čistih cijevi kružnog presjeka na stjenku

cijevi i obrnuto

dNu

duRe

cPr

d – unutrašnji promjer cjevovoda [m]

Za turbulentno područje – Re(10 000 - 500 000) i Pr(0.7 - 95) vrijedi Dittus – Bolter-ova

jednadžba:

408002250 ,, PrRe,Nu za slučaj kada se fluid grije

308002250 ,, PrRe,Nu za slučaj kada se fluid hladi

Za prijelazno područje – Re(2300 - 10000)

Korekcija faktorom vrijednosti za Nu u ovisnosti o vrijednosti Re broja kao slijedi:

4,08,0PrRe0225,0 Nu za slučaj kada se fluid grije

3,08,0PrRe0225,0 Nu za slučaj kada se fluid hladi

65

Re 2300 3000 4000 5000 6000 7000 8000

0,45 0,66 0,82 0,88 0,93 0,96 0,99

Za laminarno područje – Re(0 - 2300) vrijedi Sieder-Tate-ova jednadžba:

140330 ,

st

,

L

dPrRekNu

gdje vrijedi: 13L

dPrRe k = 1,86

135 L

dPrRe k = 1,62

5L

dPrRe

L

dPrRe,Nu 50

d – promjer cijevi [m]

L – duljina cijevi [m]

µ - viskozitet fluida na temperaturi fluida [Pa·s]

µst – viskozitet fluida na temperaturi stjenke cijevi [Pa·s]

k - konstanta

2. Prijelaz topline sa fluida koji struji prisilnom konvekcijom izvan cijevi na stjenku cijevi (i

obratno)

mnkNu PrRe

pri tome se Nu, Re i Pr izračunavaju kako slijedi:

DNu

66

f

wDRe

f

fpcPr

gdje je D – vanjski promjer cijevi [m], a indeks f se odnosi na laminarni sloj.

Vrijednosti za k, m i n ovise o Re broju:

Re k m n

0,1 - 5

50 - 10000

0,91

0,60

0,31

0,31

0,385

0,50

3. Prijelaz topline sa površine grijane prirodnom konvekcijom

Nu = a (Gr Pr)m

Vrijednosti konstanti a i m ovise o plohi (s koje se ili na koju se toplina prenosi) i o

vrijednosti umnoška Gr i Pr broja.

Sve fizičke karakteristike fluida uzimaju se kod srednje temperature filma.

Za manje, ravne, pravokutne površine kao karakteristična dužina uzima se srednja

vrijednost dužine i širine.

67

Za neke slučajeve njihove su vrijednosti date u slijedećoj tablici:

a m

Vertikalne površine

visine L < 1 m

(Gr Pr) < 104 1,36 1/5

104 < (Gr Pr) < 109 0,59 1/4

(Gr Pr) >109 0,13 1/3

Horizontalni cilindar

promjera D < 200 mm

(Gr Pr) <10-5 0,49 0

10-5 < (Gr Pr) < 10-3 0,71 1/25

10-3 < (Gr Pr) < 1 1,09 1/10

1 < (Gr Pr) < 104 1,09 1/5

104 < (Gr Pr) < 109 0,53 1/4

(Gr Pr) > 109 0,13 1/3

Horizontalne površine

okrenute prema dolje

105 < (Gr Pr) < 2107 0,54 1/4

2107 < (Gr Pr) < 31010 0,14 1/3

Horizontalne površine

okrenute prema gore 3105 < (Gr Pr) < 31010 0,27 1/4

68

Primjer 1.

Kroz cijev unutarnjeg promjera 23 mm struji zrak brzinom od 10 m/s i pri prolazu se zagrije s 0 °C

na 120 °C. Potrebno je odrediti koeficijent prijelaza topline ukoliko se zrak nalazi pod tlakom od 101

325 Pa.

Rješenje:

d = 23 mm = 0,023 m

w =10 m/s

tul =0°C

tiz =120 °C

tsr =60°C

Podatke za zrak na tsr (60°C) potrebno je pronaći u Termodinamičkim tablicama za zrak (Prilozi

– Toplinska svojstva zraka pri tlaku zasićenja)

cp =1017 J/kgK

=0,0279 W/mK

=19,90710-6 Pas

=1,025 kg/m3

57,8421110907,19

025,1023,010Re

6

dw

72002790

10171090719 6

,,

,cPr

p

dNu

dNu

4,08,0 PrRe0225,0 Nu

d

grije sezrak K W/m43,43023,0

0279,072,057,118420225,0PrRe0225,0 24,08,04,08,0

1 d

69

Primjer 2.

U nekom kotlu sa 2 m2 ogrjevne površine koji se poji vodom, proizvodi se suhozasićena para

tlaka 4 bara. Debljina stjenke kotla iznosi 5 mm, a kotao se s vanjske strane grije dimnim

plinovima temperature 500 °C. Potrebno je odrediti temperaturu stjenke na unutarnjoj i vanjskoj

strani, ako je kotao izrađen od:

a) čelika sa koeficijentom prijelaza topline 12 W/m2K i koeficijentom toplinske vodljivosti 50

W/mK;

b) bakra sa koeficijentom prijelaza topline 600 W/m2K i koeficijentom toplinske vodljivosti

372,16 W/mK?

Rješenje:

A = 2 m2

T1 = 500°C

T4 = 151,11°C

p = 4 bar

α1 = 12 W/m2K

α2 = 600 W/m2K

λ1 = λče = 50 W/mK

λ2 = λCu = 372,16 W/mK

skotl. = 5 mm = 0,005 m

a) Za kotao izrađen od čelika:

Tražene temperature se mogu izračunati po principu termičkih otpora u seriji kao da se radi

o planparalelnoj ploči, zbog toga što je mala debljina stjenke kotla, te je potrebno izračunati

pojedinačne termičke otpore.

uk

uk

R

T

R

T

R

Tq

2

2

1

1

0833,012

11

1

1

R m2K/W

0001,050

005,0.

če

kotl

sR

m2K/W

00167,0600

11

2

2

R m2K/W

70

Zbroj svih otpora:

0851,000167,00001,00833,02.1 RRRR kotluk m2K/W

Toplinski tok se računa prema jednadžbi:

79,40990851,0

11,15150041

ukR

TTq W/m2

Temperature stjenke se izračunavaju prema jednadžbi:

0833,0

50079,4099 2

1

21 T

R

TTq

49,1582 T °C

08,1580001,00833,0

50079,4099 3

3

.1

31

T

T

RR

TTq

kotl

°C

b) Za kotao izrađen od bakrenog lima:

Tražene temperature se mogu izračunati po principu termičkih otpora u seriji kao da se radi

o planparalelnoj ploči, zbog toga što je mala debljina stjenke kotla, te je potrebno izračunati

pojedinačne termičke otpore.

0833,012

11

1

1

R m2K/W

0000134,016,372

005,0.

Cu

kotl

sR

m2K/W

00167,0600

11

2

2

R m2K/W

Zbroj svih otpora:

0850,000167,00000134,00833,02.1 RRRR kotluk m2K/W

71

Toplinski tok se računa prema jednadžbi:

83,41030850,0

11,15150041

ukR

TTq W/m2

Temperature stjenke se izračunavaju prema jednadžbi:

0833,0

50083,4103 2

1

21 T

R

TTq

15,1582 T °C

10,1580000134,00833,0

50079,4099 3

3

.1

31

T

T

RR

TTq

kotl

°C

72

Primjer 3.

Ravna stjenka nekog rezervoara izrađena je od čeličnog lima debljine 12 mm, izoliranog 3 cm

debelim slojem mineralne vune, a sve zajedno je obloženo aluminijskim limom debljine 0,6

mm. Temperatura unutar rezervoara je 105 °C, dok je vanjska temperatura 15 °C. Koliki je

gubitak topline s vanjske strane stjenke po jedinici površine i vremena ako je koeficijent

prijelaza topline s unutarnje strane 400 W/m2K, a s vanjske strane 12 W/m2K?

Rješenje:

s1 = 12 mm = 0,012 m

s2 = 3 cm = 0,03 m

s3 = 0,6 mm = 0,0006 m

T1 = 105 °C

T6 = 15 °C

α1 = 400 W/m2K

α2 = 12 W/m2K

λ1 = λče = 50 W/mK

λ2 = λiz = 0,047 W/mK

λ3 = λAl = 209 W/mK

2

23

3

2

2

1

1

1

61

1 21

61

/25,124

12

1

209

0006,0

047,0

030,0

50

012,0

400

1

15105

1111

mWA

Q

sss

TT

s

TT

A

Qn

i i

i

73

Primjer 4.

210 kg/h metilnog alkohola struji kroz jednu cijev izmjenjivača topline. Unutarnji promjer

cijevi je 14 mm. Pri prolazu kroz cijev metanol se ugrije sa 10 °C na 50 °C. Treba odrediti

koeficijent prijelaza topline na strani alkohola.

Rješenje:

d = 14 mm = 0,014 m

m' = 210 kg/h = 0,0583 kg/s

tul =10°C

tiz =50 °C

tsr =30°C

Podaci za metanol na 30°C uzeti iz Termodinamičkih tablica!

cp =2498 J/kgK

=0,212 W/mK

=5,1010-4 Pas

=783 kg/m3

Najprije se odredi vrsta strujanja:

555,10394

1010,5

783014,04836,0Re

4

wd turbulentno strujanje

Budući da je:

wd

wAQm4

''2

4836,0783014,0

0583,04422

'

d

mw

Radi se o području potpune turbulencije za koje vrijedi Dittus-Boelterova jednadžba:

408002250 ,, PrRe,Nu metanol se grije

d

74

10 000<Re<500 000

0,7<Pr<95

L/d>0,60

62120

249810105 4

,

,cPr

p

4,7505,273,16340225,06555,103940225,0PrRe0225,0 4,08,04,08,0 Nu

77,1411d

Nu

[W/m2K]

75

Primjer 5.

Čeličnim cjevovodom promjera 100/110 mm struji 20 l/s vode temperature 98 °C. Treba odrediti

gubitke topline po metru duljine cjevovoda, i to:

a) ako cjevovod nije izoliran i

b) ako je cjevovod izoliran s 3 cm debelim slojem izolacije čiji je koeficijent toplinske vodljivosti

0,093 W/mK.

Temperatura okolnog zraka je 0 °C, a koeficijent prijelaza topline na strani zraka iznosi 10 W/m2K.

Isijavanje zanemariti!

Rješenje:

Q=20 l/s = 0,02 m3/s

d1 =100 mm = 0,1 m

d2 = 110 mm = 0,11m

d3 = 0,11 + 2 · 0,030 = 0,170 m

tv = 98 oC; = 959,8 kg/m3; cp =4 209 J/kgK; = 0,681 W/mK; = 283,412*10-6 Pas (linearnom

interpolacijom izračunati podaci iz tablice Toplinska svojstva vode pri tlaku zasićenja – Prilozi)

če = 50 W/mK

iz = 0,093 W/mK

Tzr = 0 oC

2 = αzr = 10 W/m2K

? L

Q

a) cjevovod nije izoliran

d1

d2

76

Re =

dw

2

,4

d

Qw

Iz gore navedenih jednadžbi slijedi: 84,8623871,010412,283

8,95902,044Re

6

,

d

Q

Turbulentno područje: Re(10 000, 500 000) –Dittus Boelterova jednadžba:

7516810

420910412283 6

,,

,cPr

p

; Re > 104 i 0,7< Pr < 100

Nu = 61,1491PrRe0225,0 3,08,0

1

d

voda se hladi !!!

882,1015775,184,8623891,0

681,00225,0PrRe0225,0 3,08,03,08,0

1 d

W/m2K

TmkL

QL

W/m

5,3

11,010

1

1,0

11,0ln

502

1

1,0882,10157

11ln

2

11

1 22

1

11

n

i i

i

L

dd

d

d

k W/mK

3430985,3

mL TkL

Q

W/m

77

b) cjevovod izoliran s 3 cm debelim slojem izolacije

mKW

dd

d

d

kn

i i

i

L

/07,1

17,010

1

11,0

17,0ln

093,02

1

1,0

11,0ln

502

1

1,0882,10157

1

1ln

2

11

1 32

1

11

36,10509807,1

mL TkL

Q

W/m

1

d1 d2 d3

2

78

Primjer 6.

Treba odrediti koeficijent prijelaza topline pri zagrijavanju mazivog ulja koje protječe kroz cijev

unutarnjeg promjera 50 mm, dužine 2 m brzinom 0,5 m/s. Srednja temperatura ulja je 50 °C, a

stjenke cijevi 100 °C.

Podaci za ulje na temperaturi 50 °C su:

cp = 1842 J/kgK

ρ = 910 kg/m3

λ = 0,174 W/mK

Ovisnost dinamičke viskoznosti ulja o temperaturi dana je u tablici:

T [°C] 25 50 75 100

µ[Pa·s] 0,1903 0,0429 0,0156 0,00573

Rješenje:

µ100°C = 0,00573 Pa·s

µ50°C = 0,0429 Pa·s

w = 0,5 m/s

d = 50 mm = 0,05 m

L = 2 m

Da bi se mogla odrediti vrsta strujanja potrebno je izračunati Reynolds-ov broj:

3,5300429,0

91005,05,0Re

dwlaminarno strujanje

Budući da je područje strujanja laminarno primjenjuje se za izračunavanje koeficijenta prijelaza

topline Sieder-Tate-ova jednadžba, ali je prethodno potrebno odrediti koeficijent jednadžbe:

140330 ,

st

,

L

dPrRekNu

13L

dPrRe k = 1,86

79

135 L

dPrRe k = 1,62

5L

dPrRe

L

dPrRe,Nu 50

15,453174,0

18420429,0Pr

pc

64,60072

05,015,4533,530PrRe

L

d>13k = 1,86

54,4300573,0

0429,0

2

05,015,4533,53086,1PrRe86,1

14,033,014,033,0

stL

dNu

52,15105,0

174,054,43

d

Nu W/m2K

80

Primjer 7.

Treba odrediti koeficijent prijelaza topline sa vanjske stjenke horizontalnog neizoliranog

parovoda na okolni zrak koji miruje. Promjer parovoda je 154/168 mm, temperatura vanjske

stjenke 115 °C, a temperatura okolnog zraka 21 °C.

Rješenje:

du = d1 = 154 mm = 0,154

dv = d2 = 168 mm=0,168 m

tv= 115°C

tzr = 21°C

= ?

Podaci za svojstva zraka uzimaju se na srednjoj temperaturi filma tj. na 68 °C.

KCtsr 341682

21115

Podaci za svojstva suhog zraka na 68 °C izračunati su linearnom interpolacijom iz podataka u

tablici Toplinska svojstva zraka pri tlaku zasićenja - Prilozi

= 1,002 kg/m3

= 20,30·10-6 Pa·s

cp = 1,018 kJ/kgK = 1018 J/kgK

= 0,0285 W/mK

002930341

11,

T f

1/K

Budući da se oko cijevi nalazi zrak koji miruje, toplina se prenosi prirodnom konvekcijom, te se

Nu broj računa:

mPr)Gr(aNu

du

dv

Tv=115°C

Tzr= 21°C

81

dNu

TGaGr

FrGa

2Re

gL

wFr

2

7

26

23

2

23

1012,31030,20

)21115(00293,081,9002,1168,0

TgdGr

72002850

1018103020 6

,,

,cPr

p

77 1031,272,01021,3Pr)Gr(

Prirodna konvekcija:

a m

Vertikalne površine

visine L < 1 m

(Gr Pr) < 104 1,36 1/5

104 < (Gr Pr) < 109 0,59 1/4

(Gr Pr) >109 0,13 1/3

(Gr Pr) <10-5 0,49 0

10-5 < (Gr Pr) < 10-3 0,71 1/25

82

Horizontalni cilindar

promjera D < 200 mm

horizontalno položene

cijevi

10-3 < (Gr Pr) < 1 1,09 1/10

1 < (Gr Pr) < 104 1,09 1/5

104 < (Gr Pr) < 109 0,53 1/4

(Gr Pr) > 109 0,13 1/3

Horizontalne površine

okrenute prema dolje

105 < (Gr Pr) < 2107 0,54 1/4

2107 < (Gr Pr) < 31010 0,14 1/3

Horizontalne površine

okrenute prema gore 3105 < (Gr Pr) < 31010 0,27 1/4

Za horizontalnu cijev ukoliko je:

104<Gr·Pr<109

104<2,31·107<109

vrijedi izraz

250530 ,Pr)Gr(,Nu

odnosno

23,6168,0

0285,01031,253,0

dNu

25,07 [W/m2K]