SVEUČILIŠTE U SPLITU

POMORSKI FAKULTET U SPLITU

ZAVOD ZA BRODOSTROJARSTVO

TEHNIČKA MEHANIKA IIPredavanje IX

Nastavnik:

doc.dr.sc.Đorđe Dobrota

SPLIT, travanj 2020.

MEHANIKA FLUIDA

STATIKA FLUIDA3 UVOD3.1 TLAK3.2 PASCALOV ZAKON3.3 PROMJENA TLAKA FLUIDA U MIROVANJU3.3.1 Hidrostatska diferencijalna jednadžba3.3.2 Hidrostatski tlak kod nestlačivih fluida3.3.3 Hidrostatski tlak kod stlačivih fluida3.3.4 Standardna atmosfera3.4 MJERENJE TLAKA3.4.1 Barometar3.4.2 Manometri3.4.3 Mehanički i elektronski uređaji za mjerenje tlaka3.5 PRIMJENA PASCALOVOG ZAKONA3.6 SPOJENE POSUDE

Zadaci iz skripte-VježbePRIMJER 6PRIMJER 7PRIMJER 8PRIMJER 9

ZNAČAJNI ISHODI UČENJA

Konceptualno znanje

• Opisati tlak i raspodjelu tlaka fluida u mirovanju.

• Opisati manometarski, apsolutni i vakuumski tlak.

• Navesti korake koji se koriste za dobivanje hidrostatske diferencijalne jednadžbe.

• Primijeniti hidrostatsku i manometarsku jednadžbu za predviđanje tlaka fluida u mirovanju.

PITANJA1. Što je tlak? 2. Definiraj Pascalov zakon i kako isti definira hidrostatski tlak i njegova svojstva?3. Što je atmosferski ili barometarski tlak? 4. Kako se mijenja tlak fluida u mirovanju?5. Zašto se koristi hidrostatska diferencijalna jednadžba i zašto ima negativan

predznak?6. Kako se kod nestlačivih fluida(kapljevina) hidrostatski tlak mijenja s povećanjem

dubine i zašto je ta promjena pozitivna?7. Kako se još izražava hidrostatski tlak?8. Što je potrebno za određivanje hidrostatskog tlaka ili visine stupca određene

točke fluida u mirovanju?9. Kako se određuje hidrostatski tlak stlačivih fluida (plinova)?10. Definiraj apsolutni u odnosu relativni tlak (predtlak ili vakuum)?11. Što je barometar?12. Zašto se često koristi živa kao manometarska kapljevina?13. Što je manometarski tlak?14. Kako se očitava tlak barometrom, a kako U-cijevnim manometrom? 15. Kako se postavlja manometarska jednadžba statičke ravnoteže? 16. Što pokazuje diferencijalni U-cijevni manometar?17. Zašto se manometrom s nagnutom cijevi mogu mjeriti male promjene tlaka?18. Opiši djelovanje mehaničkog manometra s Bourdonovom cijevi?19. Koji se električni uređaji koriste za mjerenje tlaka?20. Kako se ponaša kapljevina u mirovanju kod spojenih posuda?

DODATNI PRIMJERI

PRIMJER 3: U otvorenom spremniku (slika) ulje gustoće 800 kg/m3 formira sloj visine od 0,9 m. Ostatak spremnika je ispunjen vodom temperature 10°C (gustoća 1000 kg/m3). Ukupna visina vode i ulje je 3 m. Koliki je manometarski tlak na dnu spremnika.

Zadano: ρ=800 kg/m3, ρW=1000 kg/m3.

Otvoreni spremnik

ulje

ρ

voda

ρw

0,9

m2,1

0 m

RJEŠENJE:• Na slici je prikazana promjena (distribucija) tlaka (slika) u ovisnosti od dubine u

otvorenom spremniku.

• Kako bi se odredio manometarski tlak na dnu otvorenog spremnika , pri čemu je atmosferski tlak p0=p1=0, točka 1, potrebno je prvo izračunati hidrostatski tlak na graničnom sloju ulja i vode (točka 2) koji je posljedica djelovanja visine stupca ulja:

pa je manometarski tlak na dnu spremnika (točka 3):

2 1 0 800 9,81 0,9 7063,2 Pap p ρ g h

3 2 07063,2 1000 9,81 2,1 27664,2 PaWp p ρ g h

1

2

3

ulje

ρ

voda

ρw

0,9

m2,1

0 m

po=p1

p2

p3

PRIMJER 4: Prema slici otvoreni spremnik sadrži vodu i ulje pri temperaturi od 20°C. Kolika je visina h ukoliko je gustoća ulja 898 kg/m3.

Zadano: ρw=998 kg/m3, ρ=898kg/m3.

Otvoreni spremnik

6 c

m

h1

2 c

m8 c

m

p0

p0

voda

ρW

ulje

ρ

6 c

m

h1

2 c

m8 c

m

p0

p0

voda

ρW

ulje

ρ

Objašnjenje hidrostatske jednadžbe:

Referentna linija u odnosu na koje se mjere visine

hidrostatskih tlakove ulja i vode je granični sloj ulja i vode.

Kreće se od jedne strane (u ovom slučaju lijeve strane

spremnika). Kada se visina stupca fluida u odnosu na

referentnu ravninu mjeri prema dolje je pozitivna, a prema

gore je negativna. Na taj način i postavljajući da je rezultat

jednak p0 (tlak na slobodnoj površini vode na lijevoj strani

spremnika) dobiva se primijenjena jednadžba.

PRIMJER 5: Pretpostavljajući izotermni proces (T=konst.), izračunaj tlak i gustoću zraka na visini od 2500 m iznad razine mora. Gustoća i atmosferski tlak zraka na visini od 500 m iznad razine mora su poznati i iznose 1,1677 kg/m3 i 95480 Pa.

z 1

z

z=0

1

2

z 2-z

1

z 2

p1=95480 Pa, ρ1=1,1677 kg/m3

p2=?, ρ2=?

RJEŠENJE:

• Ukoliko se pretpostavlja konstantna temperatura atmosfere tijekom promjene visine (izotermi proces), promjena tlaka s visinom je (vidi predavanja):

z 1

z

z=0

1

2

z 2-z

1

z 2

p1=95480 Pa, ρ1=1,1677 kg/m3

p2=?, ρ2=?

2 2

1 1

2

1

2 1

2 1

2 10

( )

2 2 1

1

:

( )ln

( )ln ln ln

( )(I) exp

p z

p z

p

p

g z z

R T

pdp g dz g dz p

R T

dp gdz

p R T

dp g dz

p R T

g z zp

R T

g z zp p anti

R T

p g z ze

p R T

• U najjednostavnijem slučaju, gustoću plina može se opisati pomoću jednadžbe idealnog plina:

• Kako je poznata gustoća ρ1 i tlak p1 na visini z1=500 m, može se napisati izraz:

koji se uvrsti u (I) kako bi se izračunao tlak p2

z 1

z

z=0

1

2

z 2-z

1

z 2

p1=95480 Pa, ρ1=1,1677 kg/m3

p2=?, ρ2=?

p

R T

1

1

pR T

2 2 1 1 2 1

11 1

1

1 2 12 1

1

( ) ( )exp exp

( ) 1,1677 9,81(2500 500)exp 95480 exp 75111 Pa

95480

p g z z g z z

pp p

g z zp p

p

• Kako je pretpostavljen izotermni proces (T=konst.) tijekom promjene visine vrijedi izraz:

pa je gustoća ρ2 pri tlaku p2 na visini z2=2500 m

z 1

z

z=0

1

2

z 2-z

1

z 2

p1=95480 Pa, ρ1=1,1677 kg/m3

p2=?, ρ2=?

1 2

1 2

p pR T

1 2

1 2

22 1 2

1

75111 kg1,1677 0,9186

95480 m

p p

p

p

• PRIMJER 6: Dvije odvojene komore A i B zatvorenog spremnika ispunjene su vodom gustoće ρ=1000 kg/m3 kao što je prikazano na slici. Ukoliko je težina stapa G=25 N, izračunaj manometarski tlak u komorama. Visina stupaca zraka u komorama se zbog njegove male gustoće zanemaruju.

Zatvoreni spremnik

30 cm

30 cm 25

cm 5

0 c

m

90 cm

A

B

pB

pA

pC

Zrak

Zrak

ρ Voda

G

Negativna visina jer se visina stupca vode mjeri prema gore.

30 cm

30 cm 25

cm 5

0 c

m

90 cm

A

B

pB

pA

pC

Zrak

Zrak

ρ Voda

G

Pozitivna visina jer se visina stupca vode mjeri prema dolje.

30 cm

30 cm 25

cm 5

0 c

m

90 cm

A

B

pB

pA

pC

Zrak

Zrak

ρ Voda

• PRIMJER 7: Prema slici izračunaj manometarski tlak pA, ako je očitanje otvorenog U-cijevnog manometra h=320 mm. Gustoće fluida su: ρv=1000 kg/m3, ρu=820 kg/m3 i ρHg=13600 kg/m3. Visina stupca zraka u spremniku se zbog male gustoće zanemaruje.

p0

voda

ρv

živa, ρHg

3 m

4 m

h

ulje

ρu

pA

p0=0 kPa

pA

Zrak

1 2

RJEŠENJE:

• U-cijevni manometar će se analizirati s obzirom na presjek 1-2 počevši od točke A na granici zrak-ulje i pomičući se uzduž U-cijevi dodavanjem ili oduzimanjem stupca visine fluida dok se ne postigne točka u kojoj tlak p0

djeluje na menisk žive kao manometarske kapljevine. Na taj način i postavljajući da je rezultat jednak p0 (U-cijev otvorena prema atmosferi), dobiva se jednadžba manometra, a time i tlak pA:

03 (4 3)

820 9,81 3 1000 9,81(4 3) 13600 9,81 0,320 0

8750,52 0

8750,52 Pa 8,75 kPa

A u V Hg

A

A

A

p g g gh p

p

p

p

p0

voda

ρv

živa, ρHg

3 m

4 m

h

ulje

ρu

pA

p0=0 kPa

pA

Zrak

1 2

• PRIMJER 8: Diferencijalni U-cijevni manometar spaja dva spremnika A i Bkao što je prikazano na slici. Ukoliko je u B tlak pB=9,81∙104 Pa, a visina stupca (očitanja) manometarskog fluida h=10 cm, izračunaj manometarski tlak u A. Gustoće fluida su: ρu=900 kg/m3 i ρHg=13600 kg/m3. Visina stupca zraka u spremniku B se zbog njegove male gustoće zanemaruje.

živa, ρHg

zrak

A

ulje, ρu

60

cm

20

cm

h

B

1 2

RJEŠENJE:

• Diferencijalni U-cijevni manometar će se analizirati s obzirom na presjek 1-2 počevši od točke A i pomičući se uzduž U-cijevi dodavanjem ili oduzimanjem stupca visine fluida dok se ne postigne točka u kojoj tlak pB

djeluje na menisk žive kao manometarske kapljevine. Na taj način i postavljajući da je rezultat jednak pB dobiva se jednadžba manometra, a time i tlak pA:

živa, ρHg

zrak

A

ulje, ρu

60

cm

20

cm

h

B

1 2

4

4

4

0,2 0,1 0,6

900 9,81 0,2 13600 9,81 0,1 900 9,81 0,6 9,81 10

9810 9,81 10

9,81 10 9810 88290 Pa 88,29 kPa

A u Hg u B

A

A

A

p g g g p

p

p

p

PRIMJER 9: Prema slici pretpostavlja se sljedeće:

- atmosferski tlak od pa=930 mbar,

- apsolutni tlak para alkohola od pv=110 mbar,

- x=3,3 m,

- y=1,6 m,

- ρ=900 kg/m3 i ρHg=13560 kg/m3

Izračunaj očitanje:

a) manometra A,

b) U-cijevnog manometra.

p0

alkoholne pare

živine pare

alkohol

ρ

živa, ρHg

xy

hzrak+para

A

RJEŠENJE:

:

PRIMJER 10: Dva spremnika kao što prikazuje slika spojena su jedan s drugim preko diferencijalnog živinog manometra s nagnutom cijevi. Ukoliko manometar očitava razliku tlaka Δp između dva tanka, izračunaj visinu a i kut θ.

Zadano: Δp=p2-p1=20 kPa, ρ=1000 kg/m3, ρHg=13600 kg/m3.

1

2

voda

ρ

ρ

voda

živa, ρHg

RJEŠENJE:

1

2

voda

ρ

ρ

voda

živa, ρHg

1

2

voda

ρ

ρ

voda

živa, ρHg

PRIMJER 11: Hidraulička dizalica ima podizač promjera D=20 cm i klip promjera d=3 cm. Ukoliko se podiže teret težine G=30 kN, izračunaj potrebnu silu F na klipu.

G

F

ρ

D d

Hidraulička dizalica

RJEŠENJE:

• Pošto se klip i teret nalaze na istoj visini, kod analize problema potrebno je samo primijeniti Pascalov zakon.

• Sukladno Pascalovom zakonu tlakovi pD i pd koji djeluju na podizač (pD) i klip (pd) su jednaki pa je potrebna sila F na klipu:

• Potrebna sila F je manja od težine tereta G za:

puta.

2

2 2 23

2 2 2

(3 10 )4 30 10 675 N(0,2)

4

D d

d

D d

d

D

p p p

FGA

A A

dG

G A dF G

DA D

330 1044,44

675

G

F

Dakle, primjenom Pascalovog zakona

djelovanjem manje sile moguće je ostvariti

veću silu, pri čemu će dobiveni pomak biti

manji.

G

F

ρ

D d

PRIMJER 12: Hidraulička dizalica ima dimenzije kao što je prikazano na slici. Ukoliko se na ručku primjeni sila od F, koji teret F2 dizalica može podignuti. Težina podizača se zanemaruje.

• Zadano: F=100 N, d=1,5 cm, D=5 cm, a=30 cm, b=3 cm.

Hidraulička dizalica

B C

Nepovratni

ventil

D

A2

A1

a b

F

F2

d

RJEŠENJE:

B C

Nepovratni

ventil

D

A2

A1

a b

F

F2

d

RJEŠENJE:

B C

Nepovratni

ventil

D

A2

A1

a b

F

F2

d

ZADACI ZA VJEŽBU

ZADATAK 1-P9: Odredi razliku tlaka (pA-pB) kada U-cijevni manometar pokazuje kao što je prikazano na slici. Gustoća ulja je ρu=800 kg/m3, dok je gustoća žive kao manometarske kapljevine ρHg=13600 kg/m3. (Rješenje: (pA-pB) =38770 Pa)

12 c

m

16 c

m2

0 c

m

15 cm

15 c

m

A

Bulje

živa

1 2

ZADATAK 2-P9: Promjer malog i velikog stapa hidrauličke dizalice su d=3 cm i D=10 cm. Na mali stap se djeluje silom od F=80 N. Potrebno je izračunati težinu tereta G koji se podiže velikim stapom ukoliko se mali stap nalazi iznad velikog na h=40 cm. Gustoća radne kapljevine je ρ=1000 kg/m3. (Rješenje: G=919,7 N)

G

F

h

A A

ρ

D

d