mehanika predavanje 1,2 (1)

Tehnička mehanika

� Prema karakteru problema koji se proučavaju tehnička mehanika se dijeli na tri odvojene discipline:

� 1.Statika

1

� 1.Statika

� a) krutih tijela-statika

� b) čvrtih tijela - Otpornost materijala

� 2. Kinematika

� 3. Dinamika

�

UVOD

�

1.Definicija mehanike

2

� 2. Apsolutno i relativno kretanje

� 3. Zadatak i podjela mehanike

Razvoj savremene tehnike postavlja pred inžinjere raznovrsne problema koji su vezani za:

• Proračun,projektovanje i eksploataciju različitih konstrukcija(mostova,građevina,puteva), mehanizama, motora i objekata koji služe za prevoz i transport kao što su cestovna vozila, lokomotive, avioni,rakete.

3

• Rješenje navedenih problema zasniva se nazajedničkoj naučnoj osnovi ?????

• U svim pomenutim konstrukcijama potrebnoproučiti zakone mehaničkog kretanja ili usloveravnoteže različitih materijalnih tijela kojaulaze u sastav konstrukcije.

4

5

• Naučna disciplina koja se bavi proučavanjem mirovanja i

mehaničkog kretanja materijalnih tijela kao i uzroka usljed

kojih nastaju promjene ovih stanja naziva se mehanika.

•Sila , deformacije tijela

6

•Sila , deformacije tijela

•Pod mehaničkim kretanjem, koje predstavlja najprostiji i

najlakše uočljiv oblik kretanja, podrazumijeva se promjena

položaja kojeg tokom vremena jedno materijalno tijelo vrši u

odnosu na drugo (osnovno tijelo) prema čijem položaju se

određuje položaj posmatranog tijela.

•tijelo miruje.

Mehaničko kretanje

t

t+dt

y

7

T

T

x0

OSNOVNO TIJELO

F

.

- apsolutno kretanje

� - relativno kretanje

� međutim, kako u prirodi ne postoje tijela koja apsolutno

miruju to ne postoje ni apsolutna kretanja, sva kretanja su

relativna.

8

relativna.

� prilikom rješavanja različitih tehničkih problema pretpostavlja

da su neka tijela nepokretna (npr. Zemlja) pa se prema njima

posmatra kretanje drugih tijela.

� promjena položaja tijela je posljedica nekog vanjskog uzroka

(sile), pa se u mehanici proučavaju i sile, odnosno u mehanici

se proučava zavisnost između kretanja i sila koje djeluju na

tijelo. Te zavisnosti se provjeravaju eksperimentalno.

Mehaničko kretanje (APSOLUTNO KRETANJE)

t

t+dt

y

9

T

T

x0

OSNOVNO TIJELO

F

RELATIVNO KRETANJE

10

Mehaničko kretanje slobodno tijelo u prostoru 3translacije,3 rotacija- 6 stepeni slobode kretanja

11

� Mehanika obrađena za potrebe tehničke prakse se naziva

� tehnička mehanika

� Po karakteru problema koje proučava i metodama rješavanja se

dijeli se na: Statiku, Kinematiku i Dinamiku.

� Statika je dio mehanike u kojem se proučavaju uslovi ravnoteže

krutih tijela na koje djeluju sile.

12

� Kinematika je dio mehanike u kojem se proučavaju geometrijski

oblici kretanja u njihovom odnosu sa vremenom, bez obzira na

uzroke zbog kojih je takvo kretanje nastalo.

� Dinamika je dio mehanike u kojem se proučava zavisnost između

kretanja i sila koje djeluju na tijelo.

Prema svojstvima materije koju proučava, mehanika se dijeli

na:

� Mehaniku materijalne tačke- proučava kretanje i mirovanje

tačke ispunjene masom.

� Mehaniku sistema materijalnih tačaka-proučava kretanje i

mirovanje više materijalnih tačaka, koje se nalaze na

konačnom rastojanju (diskretni materijalni sistem).

13

konačnom rastojanju (diskretni materijalni sistem).

� Mehaniku krutog tijela, koja proučava kretanje i mirovanje

materijalnog sistema kod kojeg su materijalne tačke

neprekidno – kontinualno raspoređene po prostoru.

Rastojanja između materijalnih tačaka pri djelovanju

opterećenja se ne mijenjaju. Kruta tijela ne postoje u prirodi.

Ona su apstraktna i uvedena su radi lakšeg objašnjenja nekih

pojmova u mehanici.

� Mehaniku čvrstih (deformabilnih) tijela, koja proučava

kretanje i mirovanje materijalnog sistema kod kojeg se pri

djelovanju opterećenja mijenja rastojanje između tačaka

tijela.

14

tijela.

Čvrsta tijela se deformišu, odnosno mijenjaju oblik.

Proučavanje čvrstih tijela pripada Otpornosti materijala.

� Mehaniku fluida, koja proučava kretanje i mirovanje vode,

zraka, plinova, kapljevina.

�

� Statika -kruto tijelo (uslovi ravnoteže tijela pod djelovanjem sila)

� Otpornost materijala čvrsto

(deformabilno) tijelo, (odreñivanje

15

(deformabilno) tijelo, (odreñivanje dimenzija i oblika svakog dijela konstrukcije prema stvarnom opterećenju)

� Kinematiku materijalne tačke,krutog tijela � Dinamiku materijalne tačke,dinamiku krutog tijela,

� Zadatak i podjela statike� Osnovni pojmovi i aksiome statikeStatički pojam sile

STATIKA KRUTIH TIJELA -STATIKA

16

� Statički pojam sile � Sistem sila� Klasifikacija sistema sila� Aksiomi statike� Veze i reakcije veza� Sistem sučeljnih sila� Uslovi ravnoteže tijela –sučeljni sistem sila

Osnovni pojmovi i aksiome statikeZadatak statike

� Zadatak i podjela statike

� U statici se proučavaju zakoni slaganja sila i uslovi ravnoteže materijalnih tijela pod dejstvom sila

17

� Pod statičkom ravnotežom tijela se podrazumijeva njegovo stanje mirovanja (pri djelovanju sila) s obzirom na određeni sistem referencije. Kada je sistem referencije inercijski, ravnoteža (mirovanje) je apsolutno, u protivnom je relativno.

Osnovni pojmovi i aksiome statike Zadatak statike

� U tehničkoj praksi u većini slučajeva se izučava apsolutno mirovanje.

18

� Za apsolutno nepokretni sistem referencije, u odnosu na kojeg se ispituju uslovi ravnoteže materijalne tačke, sistema materijalnih tačaka i krutog tijela, uzima se Descartov pravougli koordinatni sistem vezan za Zemlju, za koji se pretpostavlja da je uslovno nepokretan.

� STATIKA-PODJELA-metod proučavanja

� Prema agregatom stanju :statiku čvrstih tijela, statikutekućina (hidrostatiku), statiku plinovitih tijela (aerostatiku).

� Statika čvrstih tijela prema svojstvima materije koje proučava se dijeli na statiku krutih (stereostatiku) i statiku

19

� Statika čvrstih tijela prema svojstvima materije koje proučava se dijeli na statiku krutih (stereostatiku) i statiku čvrstih tijela.

� Proučavanju statike krutih tijela može se pristupiti na dva načina.

� Prvi način proučavanja statike krutih tijela podrazumijeva pručavanje statike krutih tijela prvo u prostornom obliku, pa se onda uz određene uslove prelazi na njegove jednostavnije oblike - krutu ploču, a zatim na materijalnu tačku. Ovakav način proučavanja je kraći, ali je mnogo zahtjevniji.

Statika-podjela-metod proučavanja

� Drugi način proučavanja statike zasniva se na postepenom rješavanju.

� od statike, kada sile djeluju na jednu tačku, zatim na jednu krutu ploču. Ovaj posljednji dio statike se naziva statika u ravni.

20

ravni.

� Nakon ovog uvodnog pristupa prelazi se na proučavanje proizvoljnog prostornog sistema sila koji djeluju na kruta tijela i postavljaju uslovi ravnoteže vezanog tijela pod dejstvom prostornog sistema sila.

� Statički pojam sile� Količinska mjera mehaničkog uzajamnog dejstva

materijalnih tijela u mehanici se naziva sila.

� Sila je u potpunosti definisana Newtonovim zakonima koji utvrđuju: postojanje sile, način na koji se mjeri intenzitet sile, kao i potrebne uslove za postojanje sile.

� Prvi Newtonov zakon utvrđuje uslov za postojanje sile a taj uslov je promjena stanja mirovanja ili jednolikog

21

� Prvi Newtonov zakon utvrđuje uslov za postojanje sile a taj uslov je promjena stanja mirovanja ili jednolikog pravolinijskog kretanja slobodnog krutog tijela.

� Drugi Newtonov zakon pokazuje način određivanja intenziteta sile, dok

� Treći Newtonov zakon pokazuje da je za postojanje sile potrebno najmanje dva tijela.

VRSTE SILA

� koncentrisane

� kontinualno raspoređene sile)

� vanjske i unutrašnje.

� Vanjske sile (aktivne i pasivne (sile otpora)).

22

� Vanjske sile (aktivne i pasivne (sile otpora)).

Vrste sila

•pasivne sile- sile koje se protive kretanju ili onemogućuju neko kretanje nazivaju ili sile otpora (otpori veza, otpori trenja, otpori vazduha, otpori kotrljanja).

•Unutrašnje sile su sile kojim dijelovi jednog krutog tijela

23

•Unutrašnje sile su sile kojim dijelovi jednog krutog tijela djeluju jedni na druge. Unutrašnje sile čine uravnoteženi sistem sila i ne utječu na uslove ravnoteže krutih tijela. Zbog toga se u statici krutog tijela razmatraju uslovi ravnoteže samo vanjskih sila. U statici deformabilnih tijela uzimaju se u obzir vanjske i unutrašnje sile.•Prema dužini trajanja dejstva sile, sile mogu biti trajne, koje djeluju duže vremena i trenutne koje djeluju vrlo kratko.

y

A

F

F1 F2

B

z

24

F3l

YA YB

f(x)

Qx

a b

BAq

x

y

CxcT

25

� Dakle, može se zaključiti da postoje različite vrste sila, koje predstavljaju primarni pojam u statici. One su vektorske veličine jer se njihovo djelovanje na kruto tijelo određuje sa:

� a) brojčanom vrijednošću (intenzitetom, modulom),

26

� a) brojčanom vrijednošću (intenzitetom, modulom),

� b) pravcem i smjerom i

� c) napadnom tačkom, tj. tačkom u kojoj sila djeluje na tijelo.

� Grafičko predstavljanje sile

B

C

A

Smjer djelovanja

Pravac djelovanja

F

Inte

zite

t

!

B

F

y

α

!

27

A

G!

A

O

x

y

x

α

r!

GRAFIČKO PREDSTAVLJANJE SILE U RAVNI

� Descartov pravougli koordinatni sistem.

� Intenzitet predstavlja pomoću duži u poznatoj razmjeri.

� Ravan npr.(Oxy) položaj napadne tačke A, sile, je određen vektorom položaja (vektor položaja tačke A), odnosno pomoću projekcija

B

F

y

!

28

odnosno pomoću projekcija vektora položaja x i y

� Pravac i smjer sile je određen uglom koji gradi napadna linija sile sa pozitivnom osom Ox..

� Dakle, sila u ravni je određena sa četiri podatka

A

O

x

y

x

α

r!

GRAFIČKO PREDSTAVLJANJE SILE

� Sila u prostoru

� šest podataka, � Intenzitet sile F, koordinate

napadne tačke sile x, y i z � i uglovi koje napadna linija sile

čini sa koordinatnim osama

29

čini sa koordinatnim osama� Iz Analitičke geometrije, postoji

odnos između uglova koje prava čini sa koordinatnim osama, za koji vrijedi:

1coscoscos 222 =++ γβα

Sistem sila

• Skup svih sila ( 1F�� , 2F

��

,... nF�� ) koje djeluju

na tijelo se naziva sistem sila. Prema mogućnostima kretanja, tijela mogu biti slobodna ili vezana

30

mogu biti slobodna ili vezana (neslobodna).

• Slobodnim tijelom se naziva tijelo koje se može slobodno pomjerati iz jednog položaja u drugi.

• Broj mogućnosti kretanja tijela naziva se stepen slobode kretanja.

Sistem sila-tijelo ograničeno u mogućnosti kretanja neslobodno, odnosno vezano. -Ako je slobodno tijelo pod djelovanjem sistema sila u ravnoteži, odnosno ako tijelo miruje, takav sistem sila se naziva uravnoteženi sistem Kada je jedan sistem sila koji djeluje na tijelo

31

Kada je jedan sistem sila koji djeluje na tijelo ekvivalentan samo jednoj sili onda se ta sila naziva rezultantom datog sistema sila i označava se sa rF

�� ~( 1F�� ,

2F�� , ... nF

�� ). Na taj način rezultanta svojim djelovanjem može da zamijeni neki sistem sila. Meñutim, treba naglasiti da svaki sistem sila nema rezultantu, odnosno ne može se zamijeniti jednom silom, što će biti objašnjeno u toku daljnjeg izlaganja.

Klasifikacija sistema sila� Sistem sila koje djeluju na kruto tijelo može biti:

� ravan (ravninski ili komplanarni) i

� prostorni.

� U općem slučaju ravnog ili komplanarnog sistema sila, sile koje djeluju u jednoj ravni nisu međusobno paralelne a njihovi pravci djelovanja se ne sijeku u jednoj tački.).

32

njihovi pravci djelovanja se ne sijeku u jednoj tački.). Specijalni slučajevi ovog sistema su:

� Pravci djelovanja svih sila sijeku se u jednoj tački (ravan sistem sučeljnih sila ili komplanarno - konkurentni sistem

� Pravci djelovanja svih sila su međusobno paralelni (ravan paralelni sistem ili komplanarno - paralelni sistem

� c) Sile imaju isti pravac djelovanja (kolinearni sistem)

Klasifikacija sistema sila

33

Klasifikacija sistema sila

� U općem slučaju prostornog sistema sila sve sile nisu međusobno paralelne, djeluju u različitim ravninama i ne prolaze kroz jednu tačku prostora (Specijalni slučajevi

34

prostora (Specijalni slučajevi prostornog sistema sila su:

� Sve sile prolaze kroz istu tačku prostora (prostorni sučeljni sistem ili prostorni konkurentni sistem sl.4.b.).

� Pravci djelovanja svih sila su paralelni (prostorni paralelni sistem sila sl.4.c.).

AKSIOMI STATIKE

� Aksiomi statike formulišu najjednostavnije opće

zakone i principe kojima se podvrgavaju sile koje

djeluju na jedno tijelo.

� U aksiomima statike svojstva sila predstavljaju rezultat mnogobrojnih neposrednih promatranja, tako da se

35

mnogobrojnih neposrednih promatranja, tako da se osnovne postavke usvajaju bez matematičkog dokaza.

� Na temelju aksioma statike se izvode teoreme i jednačine statike.

Prvi aksiomSlobodno kruto tijelo nalaziće se u stanjuravnoteže pod dejstvom dviju sila samo tadaako su te sile jednake po intenzitetu (F1 = F2 ) i ako su usmjerene duž iste napadne linije usuprotnom smjeru.

36

suprotnom smjeru.

Rezultanta tih sila jednaka je nuli. ( )0rF =��

F1

F2

BA�

�

Drugi aksiom Dejstvo datog sistema sila na kruto tijelo neće se promijeniti ako se tome sistemu dodaju ili oduzmu dvije uravnotežene sile tj. dvije sile jednake po intenzitetu, usmjerene duž iste prave u suprotnom smjeru (sl.6.b.).

37

FA

A

B

FA

A

B

FB

FB´

A

B

FB

� �

�

� � a. b. c.

Slika 6. Drugi aksiom statike (prikaz pravila o pomjeranju napadne tačke sile)

Drugi aksiom

� Iz ove definicije proizilazi :

� dva sistema sila ekvivalentna među sobom

ako se razlikuju samo za uravnoteženi

sistem sila.

38

sistem sila.

Posljedica prvog i drugog aksioma

Napadna tačka sile koja djeluje na tijelomože se slobodno pomjerati po pravcunjenog djelovanja, bez ikakvog utjecaja nastanje kretanja, odnosno mirovanja. Takva

39

stanje kretanja, odnosno mirovanja. Takvasila je vektor vezan za liniju (tzv. klizeći

vektor).

Treći aksiom

Dvije sile 1F

��

i 2F��

koje djeluju u jednoj tački tijela mogu se zamijeniti jednom silom

1 2R F F= +��

, koja je njihova rezultanta. Rezultanta je

40

rezultanta. Rezultanta R�� je

određena po intenzitetu, pravcu i smjeru dijagonalom paralelograma konstruisanog nad silama kao stranicama

Četvrti aksiom

Dva tijela djeluju jedno na drugo silama koje imaju isti pravac i intenzitet a suprotan smjer. Ovaj aksiom ustvari predstavlja treći Newtonov zakon. Sile F i F��

ne predstavljaju uravnoteženi

41

F21� 21 �

F12

12 21F i F��

ne predstavljaju uravnoteženi sistem sila, jer djeluju na različita tijela.

Peti aksiom

� Kada se bilo koje čvrsto (deformabilno) tijelo poddejstvom datog sistema sila nalazi u ravnoteži, ta seravnoteža neće poremetiti kada se tijelo posmatra kaokruto.

Na temelju ove aksiome može se zaključiti da su uslovi

42

� Na temelju ove aksiome može se zaključiti da su usloviravnoteže potrebni i dovoljni za kruto tijelo, ali zadeformabilno tijelo ti uslovi su potrebni ali nisu idovoljni.

VEZE I REAKCIJE VEZA

� slobodno tijelo.

� vezano-neslobodno tijelo.

� Prepreke-tijela koja sprečavaju slobodno kretanje tijela, nazivaju se veze.

� Veze koje se koriste u statici ostvaruju se pomoću

43

� Veze koje se koriste u statici ostvaruju se pomoću materijalnih tijela, koja mogu biti kruta ili savitljiva.

� Sila kojom tijelo-veza djeluje na posmatrano tijelo ograničavajući njegovo slobodno kretanje naziva se reakcijom veze (protivdejstvo veze).

� Pravac sile reakcije veze poklapa se sa pravcem u kojem je tijelo, usljed te veze, spriječeno da se kreće. Smjer reakcije veze je suprotan smjeru u kojem veza ne dopušta pomjeranje datom tijelu.

VEZE I REAKCIJE VEZA� Iz četvrte aksiome statike proizilazi da sila kojom

posmatrano vezano tijelo djeluje na vezu i reakcija veze imaju uvijek iste intenzitete a suprotno su usmjerene.

� Pri rješavanju zadataka, u statici se proučava ravnoteža vezanih (neslobodnih ) tijela tj. tijela koja se

44

ravnoteža vezanih (neslobodnih ) tijela tj. tijela koja se oslanjaju (dodiruju) druga tijela, ili su za njih vezana. U ovim zadacima značajno je izračunavanje sila reakcije veze koje nisu unaprijed date. Ove sile razlikuju se od aktivnih sila koje djeluju na tijelo a njihov intenzitet zavisi od aktivnih sila.

� U zavisnosti od karaktera pričvršćivanja ili od oblika oslonca mogu se navesti slijedeći osnovni oblici veza:

Veza ostvarena preko glatke površine .

45

Veza ostvarena preko glatke površine

46

Veza ostvarena preko glatke površine

47

b) Veza ostvarena pomoću gipkih (savitljivih)

tijela (konopac, uže, lanac)

B

SK

�

Ova veza sprečava tijelo A, težine G��

, da se udalji od tačke vješanja B u pravcu KB. Sila reakcije ove veze djeluje na tijelo u tački K, u kojoj je za tijelo pričvršćen konopac, ima pravac konopca, a usmjerena je u smjeru

48

K

G�

A

pravac konopca, a usmjerena je u smjeru

tačke vješanja (sl.11.). Sila KS��

predstavlja

reakciju konopca.

Nepokretni cilindričan zglob

� Tijelo AB možeda se obrće oko ose koja prolazi kroz tačku A, a koja je normalna na ravan štapa AB. Tačka A datog tijela ne može se pomjerati ni u kom pravcu.

49

kom pravcu. � Zanemari li se trenje u zglobu,

reakcija veze može da ima bilo koji pravac u ravnini koja je normalna na obrtnu osu štapa (ravan Axy).

� Iz tog razloga sila raekcije se zamjenjuje sa njenim komponentama i , sa napadnom tačkom u tački A.

50

Veza ostvarena pomoću sfernog zgloba

51

Aksiom o vezama

� Ravnoteža vezanih tijela u statici proučava se pomoću aksioma o

vezama koji glasi:

� Svako vezano (neslobodno) tijelo može se razmatrati

kao slobodno ako se pretpostavi da su veze

52

kao slobodno ako se pretpostavi da su veze

uklonjene a njihov utjecaj zamijenjen desjtvom

reakcije veza.

Aksiom o vezama

� Na temelju ove aksiome statike se mogu i na vezana tijela primijeniti uslovi ravnoteže, odnosno može se izračunati pravac, smjer i intenzitet reakcija veza.

� Određivanje reakcija veza predstavlja jedan od

53

� Određivanje reakcija veza predstavlja jedan od najvažnijih zadataka koji se rješava u statici. Određivanjem reakcija veza, na osnovu četvrte aksiome, određeni su i pritisci kojima tijela djeluju na veze. Poznavanje sila pritiska prestavlja polazne podatke za proračun konstrukcije.

SISTEM SUČELJNIH (KONKURENTNIH) SILA

� Sistem sila kod kojeg se pravci djelovanja svih sila sijeku u jednoj tački naziva se sučeljni sistem sila.

� Kada pravci djelovanja tih sila leže u

54

� Kada pravci djelovanja tih sila leže u jednoj ravni, takav sistem sila se naziva ravan sistem sučeljnih sila.

� Kod prostornog sistema sučeljnih sila napadne linije sila ne leže u jednoj ravni.

Odreñivanje rezultante ravnog i prostornog sistema su čeljnih sila

Geometrijski postupak odreñivanja rezultante ravnog sistema su čeljnih sila Odreñivanje rezultante ravnog sistema

55

Odreñivanje rezultante ravnog sistema sučeljnih sila svodi se na primjenu trećeg aksioma statike. Ako npr. u tački C djeluju sile 1F

��

i 2F�� (sl. 15.a.) koje

meñusobno zatvaraju ugao γ onda je rezultanta tih sila jednaka njihovom vektorskom zbiru (sl.15.b.).

1 2R F F= +��


56

Odreñivanje rezultante ravnog i prostornog sistema su čeljnih sila-POLIGONA SILA –(TROGLA SILA)

Rezultanta sila 1F��

i 2F��

se može odrediti i pomoću trougla sila. U tu svrhu u proizvoljnoj tački A se

ucrta vektor sile 1F��

u odgovarajućem mjerilu. Na vrh ovog vektora se

paralelno prenosi vektor sile F��

.

57

paralelno prenosi vektor sile 2F��

. Završna stranica trougla sila povučena

iz početne tačke sile 1F��

daje rezultantu ovih sila koja je određena sa intenzitetom, smjerom i pravcem tj.

1 2R F F= +��

. Prilikom konstrukcije trougla sila, intenzitet, pravac i smjer rezultante ne zavise od redoslijeda nanošenja sila


Kada na tačku O tijela djeluje sistem od n sila, do rezultante se može doći postupno primjenom paralelograma sila ili primjenom poligona sila.

a) Ako na tijelo djeluju sučeljne sile ��

58

1 2 3 nF ,F ,F ,...F��

u tačkama A1, A2, A3

…An onda se na osnovu druge aksiome statike napadne tačke tih sila mogu pomjeriti u tačku O, u kojoj se sijeku pravci njihovih djelovanja (sl.16.a.). Slaganjem

sila 1F��

i 2F��

, po metodi paralelograma sila se dobije njihova rezultanta:

Istim postupkom dolazi se do sile nF��

i odreñuje rezultanta datog sistema sila:


1 2 1F F R+ =��

, Slaganjem sila 1 3R i F

��

�� se dobije:

��

59

2 1 3R R F= +��

= 1 2 3F F F+ +��

.

Istim postupkom dolazi se do sile nF�� i

odreñuje rezultanta datog sistema sila:

R =��

1 2 3F F F+ +��

+ …+ nF��

=

1

n

ii

F=∑��

Odreñivanje rezultante ravnog i prostornog sistema su čeljnih sila b) primjenom zakona vektorske algebre, --konstrukcijom poligona sila, prema kojoj je paralelogram vektora specijalan slučaj poligona vektora. Na osnovu vektorske algebre vektorski

60

Na osnovu vektorske algebre vektorski (geometrijski) zbir vektora je odreñen izrazom:


R =��

1 2 3F F F+ +��

+ …+ nF��

= 1

n

ii

F=∑��

Rezultujući vektor R��

jednak je vektorskom (geometrijskom) zbiru komponentnih vektora sila. Kada se rezultujući vektor paralelno prenese u tačku O, u kojoj se sijeku pravci djelovanja

61

u tačku O, u kojoj se sijeku pravci djelovanja svih sila, onda on može zamijeniti dejstvo datog sistema sila. Ovaj vektor se naziva rezultantom datog sistema sila. Intenzitet rezultante odreñuje se na taj način da se izmjeri duž AE u poligonu sila i pomnoži sa izabranim mjerilom za sile. Smjer rezultante je suprotan smjeru obilaženja datih sila. To je tzv. pravilo poligona sila.

Odreñivanje rezultante ravnog i prostornog sistema sučeljnih sila

62

� Rezultanta prostornog sistema sučeljnih sila se odreñuje na isti način kao i rezultanta sučeljnog sistema sila – primjenom postupka konstrukcije palalelograma sila odnosno poligona sila.

Geometrijski postupak odreñivanja rezultante prostornog sistema sučeljnih sila

63

� Za razliku od konstrukcije paralelograma i poligona sučeljnih sila kontrukciju paralelograma i poligona prostornih sila je teže izvesti jer se dobija prostorni

poligon sila.

Razlaganje sila na komponente

� Obrnuto postupku sabiranja dviju sila u njihovu rezultantu, jedna sila se može razložiti u dvije ili više komponenti.

� U općem slučaju ovaj zadatak nije jednoznačno odreñen, pa se može riješiti samo onda kada se postave dopunski uslovi.

� Za slučaj razlaganja sile u dvije komponente koje leže u istoj ravni sa silom koja se razlaže, zadatak je moguće riješiti ako je poznato:

64

sa silom koja se razlaže, zadatak je moguće riješiti ako je poznato:� veličina, pravac i smjer jedne komponente,� pravci traženih komponenti,� veličina traženih komponenti i� veličina jedne i pravac druge komponente.

Razlaganje sila na komponente

Na sl..a. i b. je prikazan jedan od

postupaka rastavljanja sile F��

u dvije komponente kada su poznati pravci traženih komponenti. Sila �� i

65

pravci traženih komponenti. Sila F�� i

poznati pravci leže u jednoj ravni.

Postupak rastavljanja sile F��

je slijedeći:

Projekcija sile na osu i ravan

� Analitički postupak određivanja rezultante ravnog i prostornog sistema sila zasniva se na teoremama vektorske algebre. Te teoreme

66

teoremama vektorske algebre. Te teoreme su:

Teorema o projekciji sile na osuProjekcija vektora sile na osu,

prema vektorskoj algebri, je skalarna veličina koja je jednaka proizvodu iz intenziteta vektora sile i kosinusa ugla između vektora sile i pozitivnog smjera ose.

Analitički izrazi projekcija sila 1Q,Q��

koje su prikazane na na osu x su:

zaključak: projekcijasile na osu će bitipozitivna kada je ugaoizmeñu pozitivnogsmjera ose x i pravcadjelovanja sile oštar.Kada je navedeni ugao

67

koje su prikazane na na osu x su:

1 1A B X Q cosα= = ,

1 1 1 1 1 1C D X Q cos Q cosα ϕ= = = −

Kada je navedeni ugaotup projekcija sile ćebiti negativna.

Teorema o projekciji sile na ravan

Projekcija sile Q��

na ravan Oxy je vektor xyQ

��

koji se nalazi izmeñu projekcija početne i krajnje tačke sile

Q��

na tu ravan (sl.20.). Intenzitet projekcije xyQ

��

odreñen jeizrazom:

68

izrazom: Qxy = Q.cos θ ,

gdje je θ ugao izmeñu vektora sile Q��

i njene projekcije xyQ��

. Projekcije sile Q

��

na koordinatne ose x i y dobiju se projeciranjem sile xyQ

��

nakoordinatne ose x i y. Ove projekcije su odreñene izrazima:

Qx = Q cosθ cosϕ , Qy = Q cosθ sin ϕ

gdje je ϕ ugao izmeñu vektora sile xyQ��

i ose x.

Analiti čki na čin odre ñivanja sile

Za analitičko odreñivanje sile F��

čija se napadna linija nalazi u jednoj ravni npr. u ravni 0xy potrebno je poznavati njene projekcije X i Y na ose Descartovog pravouglog koordinatnog sistema Intenzitet sile

F��

brojno je jednak dijagonali

69

F brojno je jednak dijagonali paralelograma čije su stranice projekcije X i Y a odreñuje se pomoću formule:

F = 2 2X Y+ .

Pravac djelovanja sile F��

se odreñuje pomoću izraza:

cos2 2

X

X Yα =

+, sin

2 2

Y

X Yα =

+

Analiti čki na čin odre ñivanja sile -napadna linija sile F

��

proizvoljno usmjerena u prostoru onda je za analitičko odreñivanje sile potrebno poznavati intenzitete projekcija X, Y, Z vektora F

�� na koordinatne ose. U tom

slučaju intenzitet sile F��

brojno je

70

slučaju intenzitet sile F brojno je jednak dijagonali paralelopipeda čije su

stranice projekcije X, Y, Z vektora F��

. Izračunava se pomoću formule:

F= 222 ZYX ++ Uglovi koje sila gradi sa koordinatnim osama odreñeni su pomoću izraza:

cos222 ZYX

X

++=α ,cosβ

222 ZYX

Y

++= ,

cosγ222 ZYX

Z

++=

Prema tome sila F��

kao vektorska veličina je odreñena kada su poznati:

71

� intenzitet sile F,

� uglovi γβα ,, koje vektor sile F

��

zatvara sa pozitivnim smjerovima koordinatnih osa.

Analiti čki postupak odre ñivanja rezultante prostornog i ravnog sistema su čeljnih sila

Za analitičko odreñivanje intenziteta i pravca rezultante sistema sučeljnih sila primjenjuje se teorema o projekciji sile na osu, koja se bazira na teoremi vektorske algebre o projekciji rezultujućeg vektora na osu koja glasi:

72

projekciji rezultujućeg vektora na osu koja glasi: Projekcija vektora, koji je vektorski zbirkomponentnih vektora na neku osu, jednaka jealgebarskom zbiru projekcija komponentnih vektorana tu istu osu.


U cilju dokaza ove teoreme posmatra se tijelo na koje u tački O djelujeravan sistem sučeljnih sila.

Ako se, polazeći od proizvoljne tačke A, od ovog sistema obrazuje poligonsila, rezultanta tog sistema će biti odreñena završnom stranom Anpoligona sila a usmjerena je u suprotnom smjeru od smjera obilaženja sila

Rezultujući vektor 1 32R na a a a ... a= + + + +��

,

73

dok su projekcije komponentnih sila na osu x: 1xa ab= ; 2xa bc;= 3xa cd ,= ... nxa dn= .


Projekcija rezultante Ra��

na osu x je Rxa = an . Sa slike slijedi da je:

1 2 3x x x nxa a a ... a+ + + + = Rxa . Na osnovu ove jednakosti može se pisati:

R ia a= ∑��

⇒ 1 1

n n

Rx ix i ii i

a a a cosα= =

= =∑ ∑ .

74

1 1i i= =

Ovim postupkom je teorema dokazana


U slučaju prostornog sistema sučeljnih sila koji je prikazan na sl.

glavni vektor RF��

prostornih sila

1 2 3 nF ,F ,F ,...F��

je RF��

= 1

n

ii

F=∑��

a

projekcije rezultante na koordinatne ose mogu se odrediti pomoću izraza:

75

1 1

n n

Rx ix i ii i

F F F cosα= =

= =∑ ∑

1 1

n n

Ry iy i ii i

F F F cos β= =

= =∑ ∑

1 1

n n

Rz i z i ii i

F F F cosγ= =

= =∑ ∑

VJEŽBA SA DISKUSIJOM

� Primjer

� ODREDITI REZULTANTU DATOG SISTEMA

1F

2F

045

030

76

DATOG SISTEMA SILA!

� DISKUSIJA:

� SISTEM SILA ?

� PROJEKCIJE?

� REZULTANTA ?

3F

4F

45045


Kada su poznate projekcije rezultante na koordinatne ose, intenzitet rezultante određen je relacijom:

77

je relacijom:

2 2 2R Rx Ry RzF F F F= + + ,

cos RxR

R

F

Fα = , cos

RyR

R

F

Fβ = , cos Rz

RR

F

Fγ = .

Na osnovu izraza rezultanta prostornog sistema sučeljnih sila je određena u potpunosti.

Analiti čki postupak odre ñivanja rezultante prostornog i ravnog sistema su čeljnih sila Kada sve sile djeluju u jednoj ravni (ravan sistem sila) primjenjuje se pravougaoni koordinatni sistem Oxy u toj ravni. Projekcije svih sila na osu z jednake su nuli, pa za taj slučaj vrijede relacije:

78

pa za taj slučaj vrijede relacije:

RxF1 1

n n

ix i ii i

F F cosα= =

= =∑ ∑

1 1

n n

Ry iy i ii i

F F F cos β= =

= =∑ ∑ .

Pravac rezultante određen je jednačinama:

cos RxR

R

F

Fα = , cos

RyR

R

F

Fβ = .

Ravnoteža sistema su čeljnih sila

Za ravnotežu sistema sučeljnih sila koje djeluju na kruto tijelo potrebno je i

dovoljno da rezultanta tih sila (njihov glavni vektor) bude jednak nuli. Uslovi koji

moraju biti zadovoljeni odnose se na sistem sučeljnih sila i mogu se izraziti u

geometrijskom i analitičkom obliku.

79

� Geometrijski uslovi ravnoteže sistema sučeljnih sila� Rezultanta sistema sučeljnih sila odreñena završnom stranicom

poligona sila, � može biti jednaka nuli, samo u slučaju kada je vektorski poligon

sila zatvoren tj, ako se kraj posljednjeg vektora komponentnih sila poklapa sa početkom prve komponentne sile.

� Prema tome za ravnotežu sistema sučeljnih sila potrebno je i dovoljno da poligon sila bude zatvoren, pa je to geometrijski uslov ravnoteže. Dato pravilo se najčešće koristi pri rješavanju zadataka u slučaju kada na tijelo djeluju tri sučeljne sile u ravni

Ravnoteža sistema su čeljnih sila

Kao tipičan primjer za primjenu geometrijskih uslova ravnoteže na sl.. je prikazana grafička metoda za

odreñivanje sila u žicama 1 2F i F��

, koje su u tački O meñusobno spojene i opterećene teretom G.

80

opterećene teretom G. Kako žice miruju (ravnoteža tijela), sile u žicama i sila težina G moraju biti u ravnoteži, odnosno poligon sila konstruisan od ovih sila mora biti zatvoren. Intenziteti nepoznatih sila u žicama dobiju se množenjem dužina stranica ab i ac sa odgovarajućim mjerilom za sile.

Analiti čki uslovi ravnoteže sistema sučeljnih sila

Rezultanta sučeljnog sistema će biti jednaka nuli ako je 0RxF ,= 0RyF ,= 0RzF ,=

odnosno sučeljne sile 1 2 3 nF ,F ,F ,...F��

, kojedjeluju u jednoj tački tijela će biti u ravnotežiako su zadovoljene jednačine:

81

ako su zadovoljene jednačine:

RxF1 1

n n

ix i ii i

F F cosα= =

= =∑ ∑ =0

1 1

n n

Ry iy i ii i

F F F cos β= =

= =∑ ∑ =0 *

1 1

n n

Rz i z i ii i

F F F cosγ= =

= =∑ ∑ =0


Jednačine * predstavljaju analitičke usloveravnoteže sučeljnog sistema sila koji glase: Za ravnotežu sistema sučeljnih sila

82

Za ravnotežu sistema sučeljnih silapotrebno je i dovoljno da algebarski zbirprojekcija svih sila zadanog sistema sila nakoordinatne ose x, y, z bude jednak nuli.


Analitički uslovi ravnoteže se mogu izrazitii u skraćenom obliku: 0X =∑ 0Y =∑ , 0Z =∑ .

83

0iX =∑ 0iY =∑ , 0iZ =∑ . Gdje su iX , iY , iZ projekcije komponentnih sila na ose koordinatnog sistema. Za sučeljni sistem sila koje djeluju u jednoj ravni tijela dovoljna su dva uslova ravnoteže: 0iX =∑ ; 0iY =∑ ;

Statički odre ñeni i neoder ñeni zadaci

U statici, pri rješavanju zadataka najčešće nepoznate sile su sile reakcije veza, koje su u većini slučajeva nepoznate bilo po pravcu bilo po intenzitetu.

Broj nepoznatih sila zavisi od broja i

84

Broj nepoznatih sila zavisi od broja i karaktera veza.

Ako je broj nepoznatih sila manji ili jednak broju jednačina ravnoteže, koje se za taj sistem mogu postaviti, takvi problemi u statici se nazivaju statički odreñeni problemi.

U protivnom se radi o statički neodreñenim problemima.


Primjer jednog statički neodreñenog problema je dat na (sl.26.) kada sila F

��

djeluje na štap AB koji je ukliješten na oba kraja. Kako je sila F

��

aksijalna sila, reakcije u uklještenju, odnosno nepoznate sile će biti sile FA

� i BF�� .

85

odnosno nepoznate sile će biti sile FA i BF .


Prema tome, broj nepoznatih sila je dva, a samo jedna jednačina ravnoteže ( 0X =∑ ) pa je zadatak jedanput statički neodreñen. Statička neodreñenost je posljedica prekobrojne veze. Pri rješavanju statičkih neodreñenih

86

Pri rješavanju statičkih neodreñenih problema mora se napustiti hipoteza o krutosti tijela, i tijelo posmatrati kao deformabilno. Statički neodreñeni problemi rješavaju se u Otpornosti materijala.

Rješavanje zadataka korištenjem analiti čkih uslovaravnoteže sistema su čeljnih sila

Primjenom analitičkih uslova ravnoteže sistema � Primjenom analitičkih uslova ravnoteže sistema sučeljnih sila se mogu rješavati zadaci kod kojih broj nepoznatih sila nije veći od tri za prostorni sistem sučeljnih sila, odnosno ako broj nepoznatih sila nije veći od dva za ravan sistem sučeljnih sila. Ovi zadaci spadaju u grupu statički određenih.

87

� .

spadaju u grupu statički određenih. � Kod zadataka u kojima je broj nepoznatih sila veći

od broja jednačina ravnoteže nije moguće odrediti nepoznate sile primjenom samo statičkih uslova ravnoteže, pa se pri rješavanu ovih zadataka koriste i dopunski uslovi iz Otpornosti materijala, koji su vezani za deformaciju tijela. Ova grupa zadataka spada u grupu statički neodređenih zadataka.

� .

Rješavanje zadataka korištenjem analiti čkih uslovaravnoteže sistema su čeljnih sila

Statički određeni zadaci se rješavaju na slijedeći način:� Statički određeni zadaci se rješavaju na slijedeći način:

� Vezano tijelo treba nacrtati u položaju u kojem se ispituje ravnoteža;

� Izvršiti analizu svih vanjskih sila koje djeluju na tijelo i ucrtati te sile;

� Primjenom aksiome o vezama tijelo osloboditi od veza i ucrtati reakcije veza. Smjer reakcija veza se proizvoljno pretpostavlja i ako se dobiju

88

veza. Smjer reakcija veza se proizvoljno pretpostavlja i ako se dobiju negativna brojna rješenja za reakcije, onda je smjer reakcije suprotan od pretpostavljenog;Provjeriti da li je zadatak statički određen;

� Izabrati odgovarajući sistem referencije. Za ishodište koordinatnog sistema referencije, kod sučeljnog sistema sila, obično se usvaja presječna tačka napadnih linija sučeljnih sila. U odnosu na utvrđeni sistem referencije definiše se položaj svih sila koje djeluju na tijelo.

� Postaviti uslove ravnoteže, odnosno napisati jednačine ravnoteže svih sila (vanjskih i reakcija veza) koje djeluju na tijelo. Rješavanjem algebarskog sistema jednačina odrediti vrijednost nepoznatih sila ili nekih drugih veličina koje se traže zadatkom.

89

90

91

92

Documents

mehanika predavanje 1,2 (1)