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Техничка Механика 1 ТЕХНИЧКА МЕХАНИКА Проф. Др Драган Т. Стојиљковић Мр Дарко Михајлов, асистент

Tehnicka mehanika-statika

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Tehnicka mehanika-statika

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    ;' 222 RRRR ZYXF

    R

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    R

    RR

    R

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    F

    Z

    F

    Y

    F

    X

    'cos;

    'cos;

    'cos

    (57)

    kZjYiXF iiii

    ; ()

    () () () ;1

    n

    iiR XX ;

    1

    n

    iiR YY ;

    1

    n

    iiR ZZ ()

    (2) :

    n

    i

    Fo

    iMM1

    0

    ; () kMjMiMM zyx

    0000 ; ()

    2020

    200 zyx MMMM (58)

    0

    0

    0

    0

    0

    0 cos;cos;cosM

    M

    M

    M

    M

    M zR

    yM

    xM ;

    kMjMiMM zF

    yF

    xF iii

    0000 . ()

  • 65

    , .

    (29), () :

    kMjMiMM zF

    yF

    xF iii

    0 ; (),

    :

    n

    i

    Fzz

    n

    i

    Fyy

    n

    i

    Fxx

    n

    i

    Fxx

    iiii MMMMMMMM1

    01

    01

    01

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    ,

    .

    ,0)1(1

    n

    iiX ,0)2(

    1

    n

    iiY ;0)3(

    1

    n

    iiZ

    n

    i

    Fz

    n

    i

    Fy

    n

    i

    Fx

    iii MMM111

    0.).........6,........(0).........5,.....(0)........4(

    :

  • 66

    () : 0` RF

    00 M

    ().

    ()

    : 0' RF 00 M (). (57) (58),

    () : 0222 RRR ZYX ;

    02020

    20 zyx MMM () ,

    .

    , . :

    0;0;0;0;0;0 000 zyxRRR MMMZYX () ()

    ( 57) (58), ,

    . , :

    ,0)1(1

    n

    iiX ,0)2(

    1

    n

    iiY ;0)3(

    1

    n

    iiZ

    n

    i

    Fz

    n

    i

    Fy

    n

    i

    Fx

    iii MMM111

    0.).........6,........(0).........5,.....(0)........4(

    4.2.6

    :

    . .

    .

    :

    , .

    z 0 iF

    (i=1,,n).

    , :

    ;0 iX ;0 iY

    n

    i

    Fz

    iM1

    0

    ni ,...,1 ,

    (59) , :

    ;0)1(1

    n

    iiZ

  • 67

    ;0)2(1

    n

    i

    Fz

    iM

    ;01

    n

    i

    Fy

    iM

    (60)

    (60)

    , ,

    .

    4.2.7

    : ,

    :

    n

    i

    Fx

    Fx

    iR MM1

    (61)

    :

    (.78)

    nR FFFF

    ...21 (). (3)

    (2),

    01 RR FF

    (). () (),

    , , :

    0,,..., 11 Rn FFF

    (). (4) (59)

    () (), .

    0x :

    01

    Ri Fx

    n

    i

    Fx MM

    ; ()

    RR Fx

    Fx MM

    1 ; ().

    () (),

    :

    n

    i

    Fx

    Fx

    iR MM1

  • 68

    (61) .

    1.8.4.3

    , F F Fn

    , ,......., , .28.

    .

    .

    MOF

    i

    ni

    . (41)

    .28

  • 69

    5

    5.1 ()

    iF

    (i=1,...,n)

    iA , . ,

    ,

    (30) (31).

    ,

    , .

    .

    : ,

    () C . ,

    (.85).

    : , C,

    :

    .,1;1;1

    1111

    n

    iiR

    n

    iii

    RC

    n

    iii

    RC

    n

    iii

    RC FFzFF

    zyFF

    yxFF

    x (62)

    :

    ),...,( 1 nFF

    ,

    iA (i=1,...,n) (.85).

    R

    , . -

    C.

    ,

    ( . 0z-)

  • 70

    rr FF ,...,1 , rRF

    C CCC zyx ,, . iA iii zyx ,, ,

    C CCC zyx ,, .

    (. 0y-)

    (61):

    n

    i

    rFy

    Fy

    iRr

    MM1

    ().

    :

    Cr

    RF

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    r

    , Rr

    R FF (); ir

    iF

    y xFMi

    r

    ().

    () () (), :

    n

    iii

    Rc

    n

    iiicR xFF

    xxFxF11

    1;

    C, .

    C (.85),

    .

    .,1;1;1

    1111

    n

    iiR

    n

    iii

    RC

    n

    iii

    RC

    n

    iii

    RC FFzFF

    zyFF

    yxFF

    x

    5.2

    , ,

    - .

    , ,

    .

    iiii zyxC ,, , .

    .

    :

    ,

    , .

    . ,

    ,

  • 71

    . C-

    () .

    .

    .

    (62). ,

    (.86) iC iG

    () ,

    :

    GFiGF Rii ;

    n

    iiiiR

    n

    iiR GGGFGFFF

    11

    ;;

    ;11

    1 1

    n

    i

    n

    iiiCii

    RC xGG

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    x

    ;11

    1 1

    n

    i

    n

    iiiCii

    RC yGG

    yyFF

    y (63) ;11

    1 1

    n

    i

    n

    iiiCii

    RC zGG

    zzFF

    z

    (63) C G

    0xy.

    5.2.1

    , . -

    :

    V

    G

    V

    G

    V

    V

    G

    G

    i

    iii ;

    ,

    .

    n - nn n ,

    n n n , n

    (n n & 5.2), :

    n

    iiVV

    1

    , iV - n i-

  • 72

    i i iiii zyxC ,, i V - in .

    :

    niVGVG ii ,...,1,, , (). () (63)

    , ,

    .

    () )63(1 1 1 1

    1 1 1; ; ; .

    n n n n

    C i i C i i C i i ii i i i

    x V x y V y z V z V VV V V

    (64)

    ,

    niVi ,...,1, . ,

    :1 1 1 1

    1 1 1; ; ;

    n n n n

    C i i C i i C i i ii i i i

    x V x y V y z V z V VV V V

    ; ()

    iii zyx ,, , ,

    . ,

    ,

    dV, . , .

    .

    :

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    n

    ii

    n1

    lim ;

    xdVxVVx

    n

    iii

    nC

    1

    lim ;

    ydVyVVy

    n

    iii

    nC

    1

    lim ;

    zdVzVVz

    n

    iiinC

    1

    lim .

    :

    xdVVxC1 ; ;

    1ydV

    VyC ;

    1zdV

    VzC dVV . (65)

    (64) (65),

    .

    5.2.2

    , ,

    (.87).

    , . , : AGAG ii , .

    iiii zyxC ,, ,

  • 73

    :

    .,1

    ;1

    ;1

    1111

    n

    ii

    n

    iiiC

    n

    iiiC

    n

    iiiC AAzAA

    zyAA

    yxAA

    x (66)

    iiii zyxC ,, , iA

    (.87). :

    1 1 1 1

    1 1 1; ; ; .

    n n n n

    C i i C i i C i i ii i i i

    x A x y A y z A z A AA A A

    iii zyx ,, ,

    .

    . ,

    ,

    dA (.86), .

    , .

    . ,

    ,

    :

    dAAA

    n

    ii

    n1

    lim ;

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    n

    ii

    nC

    1

    lim ;

    ydAyAAy i

    n

    iinC

    1

    lim ;

    zdAzAAz i

    n

    ii

    nC

    1

    lim .

    :

    xdAAxC1

    ; ydAAyC1 ; zdAAzC

    1;

    dAAAn

    ii

    1

    (67)

    (66) (67) ,

    .

    ,

  • 74

    . , ,

    , .

    5.2.3

    , ,

    (. 88). , .

    ,

    , ,

    :

    iiii zyxC ,, (.88),

    :

    ;i iG L G L ;

    .,1

    ;1

    ;1

    1111

    n

    ii

    n

    iiiC

    n

    iiiC

    n

    iiiC LLzLL

    zyLL

    yxLL

    x (68)

    iiii zyxC ,, , iL ,

    .

    (.88) ,

    ,

    :

    dLLL

    n

    iin

    1

    lim ;

    i

    n

    iinCxLLx

    1

    lim xdL ;

    i

    n

    iinCyLLy

    1

    lim ydL ;

  • 75

    i

    n

    iinCzLLz

    1

    lim zdL .

    :

    xdLLxC1 ; ydLLyC

    1 ; zdLLzC1 ; dLL . (69)

    (68) (69) ,

    .

    , ,

    , .

    5.2.4

    :

    1. ,

    , .

    2. , , .

    .

    3. ,

    , .

    4. , , .

    .

    5. ,

    .

    , , ,

    , ,

    (.89).

    ,

  • 76

    sl.90 Poloaj teita materijalnog homogenog krunog luka

    , , ,

    .

    .

    :

    23.

    , 2 , 0xy (.90).

    2 0xy,

    0y (.90).

    0Cx .

    (69)

    0y :

    cos,, ryrddL 21 1

    cos2C

    y ydL r dL r

    2 sin sin

    .2

    rr

    r

    : 0Cx ;

    sin

    ryC .

    24.

    , r 2 , 0xy (.91).

    , r

    2 , a 0y

    (.91),

    0Cx . (67)

    0y :

    , 0 ;dA d d r ;

  • 77

    cos ;y

    r

    rddA0

    2

    ;

    22

    0

    1 1cos

    r

    Cy ydA d dA r

    3

    02

    sin 2 sin.

    3 3

    r

    rr

    (.91) :

    0Cx ; sin

    3

    2ryC

    25.

    f(x) 0xy

    (-) 0x-, x=

    x=b (.92).

    1 1 ;2 2

    y y f x

    bxadxxfydxdA ;)( ;

    b

    a

    dxxfdAA )( ;

    b

    a

    C xdxxfAxdA

    Ax )(

    11 ;

    dxxfA

    ydAA

    dAyA

    yb

    a

    C 2

    2

    1

    2

    111 .

    26.

    b f(x) 0x-

    (.93).

    y=f(x) 0x

    .

    0x - ,

    .

    ,

    : ;0 CC zy

  • 78

    22dV y dx f x dx ; a x b ;

    2

    b

    a

    V f x dx ;

    21 b

    C

    a

    x x f x dxV

    2

    2.

    b

    ab

    a

    x f x dx

    f x dx

    27. b

    r (.94). 0z-

    .

    : V

    CCC zdVVzyx

    1;0 .

    a a

    , dz:

    2 2 2 ; 0dV y dz r z dz z r

    3

    2 2 2 30

    0

    2;

    3 3

    rrzV r z dz r z r

    2 42 2 2 4

    0

    0

    1.

    2 4 4

    rr

    C

    z zz V z r z dz r r

    0z (69):

    rr

    rdzzrz

    Vz

    r

    C 8

    3

    3

    24

    11

    3

    4

    0

    22

    .

    28.

    , 0x : bx

    (.95); b

    hkkxy tan, ; x

    b

    hxfy )( ; 1 0x ;

    2x b ; 0,x b .

  • 79

    2 2

    1 0 0

    1

    2 2

    x b b

    x

    h h h bA f x dx xdx xdx hb

    b b b ;

    2 3

    2 2 2

    1 0 0

    1

    3 3

    x b b

    x

    h h h bf x xdx x dx x dx b h

    b b b ;

    22

    2

    1 0

    1 1

    2 2

    x b

    x

    hf x dx x dx

    b

    2 2 3 2 32 2

    02 2 20

    1 1 1 1

    2 2 3 2 3 6

    bbh h x h bx dx bh

    b b b ;

    2

    22

    1

    1 12 16

    1 32

    x

    xC C

    f x dx bhy y h

    A bh

    .

    29. ABCD

    ABE, (.96).

    .

    2

    axE ;

    21

    2211

    AA

    yAyAyE

    ; Eyh ;

    32

    1 1 1 1; ;2 2

    a aA a y A y ;

    2

    2 2 2 2

    1 1; ;

    2 3 6E

    E E

    ayA ay y y A y ;

    EayaAA 2

    1221 ;

    )2(3

    3

    2

    26

    3

    2

    162

    2

    22

    2

    23

    E

    E

    E

    E

    E

    E

    E ya

    yaya

    ya

    aya

    aya

    y

    ;

    22 336 EEE yayay ;

    0362 2 aayy EE ;

    32

    1

    2

    3

    4

    326

    4

    24366 22

    2,1aa

    aaaaayE

    ;

    aaaayE 635,03321

    32

    1

    2

    3 .

    2123

    1 32

    C C

    b hx x b

    bh

  • 80

    6.

    6.1

    ()

    , , ,

    , ,

    .

    : ,

    .

    .

    .

    .

    :

    ()

    . ,

    ,

    , .

    :

    .

  • 81

    (. )

    y,

    y,

    x y,

    , .

    ( ) ,

    x y x

    y, , z.

    x y z.

    , ,

    ( ), ,

    .

    :

    .

    .

    .

    .

    ()

    () .

    , .

  • 82

    :

    .

    ( ,

    , ).

    :

    r=3 r=6

    . ()

    n=r-3=0 , n=r-6=0

    ,

    ,

    , . ,

    (

    ).

    r>3

    r>6.

    /

    , .

  • 83

    .

    , ,

    .

    ,

    .

    (q)

    ( . N/m, kN/m).

    (q=const.).

    .

    ).(xqq

    .

    ,

    .

    .

  • 84

    ,

    B,

    x y.

    . .

    :

    :

    AB

    .

    B.

    ,

    .

    ,

    ,

    z ( C-C). ,

    . AF

    , (

    F

    ,

    .0sin;0sin

    ;0cos

    alFlFM

    YFFYYFY

    XFXXX

    AB

    BABAi

    BBi

    .sin

    ;sin;.cos

    Fl

    alF

    Fl

    aYFX

    A

    BB

  • 85

    .

    C-C

    .

    ,

    .

    BX

    BY

    (

    F

    ,

    .

    C-C

    .

    C-C ,

    .

    .

    C

    ,

  • 86

    . : iLi

    DRi

    LR MFF ,,

    iDM ,

    .

    : tF

    -

    ( ) aF

    -

    , (.108).

    .

    :

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