Tehnička mehanika I

• Nastavnik: dr Marina Mijalković, vanredni profesor• Asistenti: mr Marina Trajković, mr Marija Spasojević

Šurdilović, Predrag Petronijević• Kabinet 120, 325 i VI sprat• www.gaf.ni.ac.rs/mehanika

OBAVEZE STUDENATA I VREDNOVANJE AKTIVNOSTI

Obaveze studenata u toku nastave:• prisustvo na predavanjima, vežbama i aktivnost na

času 5 poena,• 15 školskih zadataka po 1 poen 15 poena,• 2 testa po 10 poena 20 poena.

Studenti su obavezni da pohađaju nastavu, rade vežbe i polažu oba testa.

• Školski zadaci se rade i brane na vežbama. • Testovi se organizuju u sedmoj i četrnaestoj nedelji.

Po obavljenoj nastavi se organizuje jedan popravni test.

Minimalne obaveze studenta u toku semestra su:• 50% od a) i b) 10 poena,• 50% od c) (5 poena po testu) 10 poena.

• Ukoliko student ne ostvari 20 (10+10) poena nema pravo na potpis i mora da sluša predmet opet sledeće godine.

• Ispit se sastoji od pismenog dela i usmenog dela, koji je posle pismenog. Ispit traje četiri sata. Svaki od delova ispita se boduje sa po 30 poena. Minimalni broj poena da bi se položio pismeni deo je 50% od 30, dakle 15 poena, isto važi i za usmeni.

• Poeni ostvareni u toku semestra se sabiraju sa poenima ostvarenim na ispitu i njihov maksimalni broj je 100, (5+15+20+30+30). Prelazna ocena se dobija kada se sakupi najmanje 55 poena.

Ocenjivanje se vrši na sledeći način:• ostvarenih 55-65 poena je ocena 6 (šest);• ostvarenih 66-75 poena je ocena 7 (sedam);• ostvarenih 76-85 poena je ocena 8 (osam);• ostvarenih 86-95 poena je ocena 9 (devet);• ostvarenih 96-100 poena je ocena 10 (deset).

LITERATURAUdžbenici:• M.Mijalković – Autorizovana predavanja iz Tehničke

mehanike I – knjižara Građevinskog fakulteta• Bogunović – Mehanika I, skripta, Niš.• M.Mićunović, M. Kojić – Statika, Kragijevac.• S.M.Targ – Teorijska mehanika, kratak kurs, Beograd.Zbirke zadataka:• M. Mijalković, M. Trajković, M. Spasojević Šurdilović, B.

Milošević – Praktikum iz tehničke mehanike I• T. Igić, M. Mijalković, M. Trajković – Zbirka zadataka iz

Tehničke mehanike I, Niš.• Lj. Stojanović, D. Grbić, B. Šuvakov – Zbirka zadataka iz

Mehanike I i II, Beograd.• D. Grbić, S. Brčić, R. Mandić, Z. Mišković – Mehanika I –

zbirka ispitnih zadataka, Beograd.• N. Sokolović – Mehanika I – zbirka zadataka, Niš.

OSNOVNI PRINCIPIMEHANIKE

U zavisnosti od objekta proučavanjamehanika se deli na:

• Mehaniku čvrstog tela (mehanika kontinuuma)• Mehaniku fluida• Mehaniku gasova

Mehanika je nauka u kojoj se izučava stanje mirovanja i kretanja tela koja su

izložena dejstvu sila.

OBJEKTI PROUČAVANJA U MEHANICI

Verrzano Narrows Bridge - USA

Most Krk

Harbor bridge Sidnej, Australija, 2008.

Most Nesvil

Most u Budimpešti Most u Kanadi

Most u Japanu Wuhan Most

Most u Kini

Most u Japanu

Most u Japanu

Rešetkasti lučni most - Portugal

Most Caiyuanba – Hong Kong

Most Chaotianmen – Hong Kong

Most Dashengguan – Nanjing Kina

Most preko reke Dailing - Kina

Bridge Europe

Montjuic tower – Barselona Kalatrava

Reichstag – Berlin

Reichstag – Berlin

Čvrsto telo je deo prostora koji je neprekidnoispunjen materijom

Ono može biti:• Deformabilno (može da menja oblik i zapreminu)• Nedeformabilno – apsolutno kruto telo

Primer deformabilnog tela je sunđer.

Pojam krutog tela u mehanici

Apsolutno kruto telo je telo kod koga rastojanjeAB, između bilo koje dve tačke tela, pod dejstvomsila ostaje nepromenjeno ( AB =const ).

(Apsolutno kruto telo je idealizacija koja se kao pojamuvodi u mehanici da bi se lakše i jednostavnije izvele bitne postavkemehanike)

U većini slučajeva deformacije koje se javljaju u konstrukcijama, mašinama, mehanizmima su relativno male pa je pretpostavka o krutom telu opravdana.

Prema vrsti tela koje proučava, mehanika čvrstogtela deli se na:• mehaniku krutog tela,• mehaniku deformabilnog tela.

Mehanika krutog tela obuhvata:• statiku,• kinematiku i• dinamiku.

Pojam mehaničkog kretanja i mirovanja

Sva tela u prirodi se kreću:

Ljudi se kreću u odnosu na Zemlju, Zemlja se kreće u odnosu na Sunce, Sunčev sistem se kreće kroz prostor …

U prirodi ne postoji apsolutnomirovanje i apsolutno kretanje.

U okviru ovog kursa smatramo da je Zemlja nepomična i da susva tela koja su čvrsto vezana za površinu Zemlje nepomična.

• Statika je deo mehanike u kome se proučava ravnoteža tela, odnosno određuju sile, koje deluju bilo kao spoljašnje na telo, bilo unutar njega, neophodne da bi telo zadržalo svoje stanje mirovanja ili jednolikog pravolinijskog kretanja.

• Kinematika je deo mehanike u kome se proučavaju opšta geometrijska svojstva kretanja tela.

• Dinamika je deo mehanike u kome se proučavaju zakoni kretanja tela pod dejstvom sila.

Prema mogućnosti kretanja tela se mogupodeliti na:

Slobodna - pomeranje je slobodno iz jednogpoložaja u drugi. Primer: let aviona u vazduhu.

Vezana - kretanje u prostoru je ograničeno drugimtelima. Primer: kretanje voza po šinama.

Mehanička veza je telo koje onemogućavaslobodno kretanje drugom telu.

• Kruto telo je slobodno ako se može iz položaja koji zauzima premestiti u proizvoljan susedni položaj, a u protivnom je vezano ili neslobodno.

• Primeri vezanih tela

Veza ostvarena oslanjanjem Veza ostvarena užetom

Promena položaja tela u prostoru može se uočitisamo u odnosu na drugo telo.

Za definisanje kretanja potrebno je referentno telo.

Referentno telo je telo u odnosu na koga se izučava kretanje ili mirovanje drugih tela.

Za referentno telo se vezujekoordinatni sistem u komevršimo proracun.

Referentno telo

RAVNOTEŽA TELA

Za telo kažemo da je u ravnoteži ukoliko ne menja položaj u odnosu na referentno telo, tj. ne kreće se u odnosu na njega.

Mehaničko dejstvoPod mehaničkim dejstvom podrazumeva se uzajamnodelovanje tela usled čega dolazi do:

• promene u kretanju tela,• narušavanja stanja mirovanja ili• promene oblika tela.

Mehaničko dejstvo može biti ostvareno preko:• direktnog kontakta,• bez direktnog kontakta (kretanje Zemlje oko Sunca).

Sve veličine u mehanici mogu se podeliti na:

• Skalarne veličine• Vektorske veličine

Skalarne veličine su one koje su određenesamo sa jednim podatkom, brojem:masa [kg], gustina [kg/m3], temperatura [K], vreme [s], dužina [m] ...

Vektorske veličine se opisuju sa 4 podatka i to su:• intenzitet, • pravac,• smer i• napadna tačka.

Osnovne vektorske veličine u mehanici su: vektor položaja [m], sila [N], brzina [m/s], ubrzanje[m/s2].

F

A

SILA - PRVA MERA MEHANIČKOG DEJSTVA

Sila je mera mehaničkog uzajamnog dejstva između tela. Sila teži da izazove kretanje tela ukoliko je telomirovalo ili da promeni oblik postojećem kretanju.

Sila je vektorska veličina.F

AOvo međusobno dejstvo može se javiti kad postoji direktan kontakt između tela, ali i kada su tela fizički razdvojena. Primeri prvog tipa su sila vuče ili pritiska koju možemo proizvesti svojom rukom na telo, na primer čovek pritiska zid, vučna sila lokomotive, sila pritiska vetra, snega, sila pritiska gasa ili pare, sila trenja između dodirnih površina dvaju tela. Primeri za drugi tip su gravitacione, električne ili magnetne sile.

Sila je definisana sa:1. Pravcem dejstva (pravac duž koga deluje sila) 2. Smerom dejstva (gravitaciona sila deluje vertikalno naniže)3. Intenzitetom (veličina mehaničkog dejstva)4. Napadnom tačkom dejstva (to je tačka u kojoj deluje sila, tj, tačka u kojoj se prenosi mehaničko dejstvo jednog tela nadrugo).

1

300

x

vrh

početak (napadna tačka)

linija delovanja sile (napadna linija)

Fr

O

P

Ravnoteža krutih tela ne zavisi od položaja napadne tačke na napadoj liniji sile.

Sile se dele na:• Aktivne – mogu da izazovu kretanje (sila teže, sila vetra, sila snega....)• Pasivne – ne izazovaju kretanje ( reakcije veza, sile trenja…)

Prema mestu dejstva sile se dele na:• Spoljašnje - sile kojima druga tela delujuna posmatrano• Unutrašnje - sile međusobnog dejstvadelića jednog istog tela.

Dejstvo sile može da bude:• Samo u jednoj tački - koncentrisana sila• U neprekidnom nizu tačaka - kontinualna sila

• Koncentrisana sila. Koncentrisana sila predstavlja uticaj opterećenja za koje je pretpostavljeno da deluje na tačku tela. Možemo opterećenje da predstavimo koncentrisanom silom ako utvrdimo da je površina na koju opterećenje deluje vrlo mala u odnosu na veličinu tela. Primer je kontaktna sila između točka i zemlje.

Njutnovi zakoni• Prvi zakon. Tačka koja miruje ili se kreće jednoliko

pravolinijski, ostaje u ovom stanju sve dok pod dejstvom neke sile ne bude prinuđena da to stanje promeni.

Drugi zakon Tačka na koju deluje sila ima ubrzanje koje je istog pravca i smera kao sila, a veličina mu je direktno proporcionalna sili. Ako na tačku mase m deluje sila F onda je

F m .=r ra

Treći zakonSile akcije i reakcije između dve tačke su jednakog intenziteta, istog pravca i suprotnog smera.

Jedinice mere• Četiri osnovne viličine - sila, masa, dužina i vreme su zavisne

na osnovu drugog Njutnovog zakona. Jedinice za tri od ove četiri veličine, masu, dužinu i vreme se nazivaju osnovne jedinice i one su usvojene, dok je četvrta jedinica, jedinica za silu izvedena na osnovu drugog Njutnovog zakona.

SI jedinice. Internacionalni sistem jedinica je opšte prihvaćen u svetu i u njemu je jedinica za dužinu metar (m), za vreme sekund (s) i masu kilogram (kg). Jedinica za silu se zove njutn (N) i izvedena je iz

• Jedan njutn je jednak sili koja telu mase 1 kilogram dajeubrzanje od 1m/s2.

F m .a=r r

Težina tela je sila i nju takođe treba predstavljati u njutnima.

G=mg, gde je: G sila gravitacije - težina tela, a g ubrzanje zemljine teže g=9.81m/s2.

Telo mase 1kg ima težinu 9.81N, a telo mase 2kg ima težinu 19.62N

njutn(N) (kgm/s2)

kilogram(kg)

sekund(s)

metar(m)

Internacionalnisistem jedinica

SilaMasaVremeDužina

Kada su brojne vrednosti vrlo male ili vrlo velike, jedinice koje se koriste mogu biti modifikovane korišćenjem prefiksa što je prikazano u narednoj tabeli.

nnano10-90.000 000001

µmikro10-60.000 001mmili10-30.001

kkilo1031 000Mmega1061 000 000

Ggiga1091 000 000 000

SI simbolPrefiksEksponencijalni oblik

AKSIOMI STATIKE

• Aksiomi su istine koje se matematičkine dokazuju.

• Aksiomi su formirani na osnovuopažanja i eksperimentalnih istraživanja.

• Teoreme su istine koje se na osnovuaksioma matematički dokazuju.Teoreme suizvedene iz aksioma.

Statika se temelji na nekoliko postavki – aksioma.

AKSIOMI STATIKEPrvi aksiom – princip inercije (prvi Njutnov zakon)

• Svako telo zadržava svoje stanje mirovanja ili jednolikog pravolinijskog kretanja dok pod dejstvom sile ne bude prinuđeno da to svoje stanje promeni.

• Pod dejstvom sile telo koje je mirovalo počinje da se kreće, odnosno više se ne kreće jednoliko pravolinijski. Pod dejstvom sila telo može da miruje ili da se kreće jednoliko pravolinijski. U tom slučaju sile koje deluju na telo su u ravnoteži, to jest telo je u ravnoteži.

• Kako je sila potpunosti određena svojim intenzitetom, pravcem i smerom i napadnom tačkom, to se grafički predstavlja vektorom, jer je vektor veličina koja je određena intenzitetom i pravcem.

• Vektor, to jest sila se grafički predstavlja linijom na čijem je kraju strelica, koja se koristi da definiše njen intenzitet, pravac i smer. Intenzitet vektora je dužina linije, pravac je definisan uglom između referentne ose i linije delovanja sile – napadna linija sile, a smer je naznačen vrhom vektora – strelicom. Na primer, vektor prikazan na slici ima intenzitet 4 jedinice, pravac je 300 mereno u smeru suprotnom od smera kazaljke na satu od horizontalne ose, a smer je na gore i udesno. Tačka O se zove početak – napadna tačka sile, a tačka P vrh vektora.

Fr

1

300

x

vrh

početak (napadna tačka)

linija delovanja sile (napadna linija)

Fr

O

P

Drugi aksiom – ravnoteža dveju sila• Slobodno kruto telo na koje deluju dve sile nalazi se u

ravnoteži samo ako su sile istog intenziteta, pravca, suprotnog smera i deluju duž iste napadne linije.

( )1 2

1 2

F F ,

F , F 0.

= −

≡

r r

r r

• Dve sile su u ravnoteži, to jest ekvivalentne su nuli.

• Primer:• Ravnoteža štapa na koga deluju dve sile na krajevima.

Njihove napadne tačke se nalaze na težišnoj osi štapa.• Zategnut štap

• Pritisnut štap

Na osnovu aksiome dva napadne linije sila se poklapaju sa osom štapa.

1 2F F .= −r r

Skup sila koje deluju na telo naziva se sistem sila.

Sistemi sila

Ekvivalentni sistemi silaAko se jedan sistem sila koji deluje na slobodno telo može zameniti drugim sistemom sila ne remeteći pri tom njegovu ravnotežu, odnosno ne menjajući njegovo kretanje, takva dva sistema sila su ekvivalentna.

( ) ( )1 2 3 4 1 2 3 4F , F , F , F F ', F ', F ', F '≡r r r r r r r r

Rezultanta sistema silaUkoliko sistem sila može da se zameni samo jednom silom a da se stanje mirovanja ili kretanja tela ne poremeti tada je tasila rezultanta sistema sila.

Ako je sistem sila ekvivalentan jednoj sili, takva sila je rezultanta sistema sila. Sile sistema u odnosu na rezultantu su njene komponente.

( ) ( )1 2 3 4F ,F , F ,F R≡r r r r r

Postupak kojim se određuje rezultanta sistema sila je slaganje sila.

Postupak kojim se određuje ekvivlentan sistem sila ako je poznata rezultanta je razlaganje sila.

• Sile koje deluju na telo mogu biti spoljašnje i unutrašnje.• Spoljašnje sile su sile koje su posledica delovanja nekih

drugih tela na posmatrano telo.

• Unutrašnje sile su sile koje su izazvane dejstvom jednog dela tela na drugi deo tela.

• Za sistem sila koji je u ravnoteži kaže se da je uravnotežen, to jest ekvivalentan nuli.

( )1 2 3 nF , F , F , ..., F 0.≡r r r r

Treći aksiom – dodavanje i uklanjanje uravnoteženog sistema sila

Sistem sila dobijen dodavanjem ili uklanjanjem uravnoteženog sistema sila ekvivalentan je prvobitnom sistemu.

( ) ( ) ( ) ( )'1 1 1 1F , F 0, A3 F, F , F ' F .≡ ⇒ ≡

r r r r r r

Teorema o pomeranju sileDejstvo sile na telo se ne menja ako se njena napadna tačka pomeri u bilo koju tačku tela na napadnoj liniji sile.

1F F ,′= −r r

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1F , F' 0, A3 F F, F , F' F ' .≡ ⇒ ≡ ≡r r r r r r r

• Samo spoljašnji uticaji (reakcije oslonaca) ostaju nepromenjeni ako se sila premešta duž napadne linije. Unutrašnji uticaji (sile u presecima) zavise od lokacije sile. Na primer, ako sila deluje u tački A, unutrašnje sile imaju veliki intenzitet u okolini te tačke; premeštanjem sile iz te tačke uticaji oko nje se smanjuju.

• Sistem sila ekvivalentan u statičkom smislu može biti neekvivalentan u deformacijskom smislu.

1 2F F .= −r r

Četvrti aksiom – pravilo paralelograma sila

Rezultanta dve sile koje deluju na kruto telo u istoj napadnoj tački određena je po intenzitetu, pravcu i smeru dijagonalom paralelograma konstruisanog nad silama kao stranicama.

1 2R F F .= +r r r

Peti aksiomSvako vezano telo može se smatrati slobodnim ako se uklone veze i njihovo dejstvo zameni silama. Te sile se nazivaju sile veza, reakcije veza ili otpori veza.

• Na osnovu petog aksioma se svaki problem ravnoteže vezanog tela svodi na problem ravnoteže slobodnog tela.

• Reakcija veze je sila kojom veza deluje na telo i koja sprečava kretanje tela u prostoru u zavisnosti od vrste, odnosno tipa veze.

• Aktivne sile su sile koje su posledica delovanja drugih tela, odnosno uticaja (vetar, sneg, sopstvena težina) na telo. Njihov pravac, smer i intenzitet ne zavise neposredno od drugih sila koje deluju na telo.

VEZE I REAKCIJE VEZA

• Za razliku od aktivnih (spoljašnjih) sila, reakcije veza (njihov intenzitet, pravac i smer) zavise od aktivnih sila. One su posledica dejstva aktivnih sila, nisu unapred poznate i treba ih odrediti.

• U statici se proučava ravnoteža tela; tela pod dejstvom aktivnih sila treba da budu u ravnoteži, to jest aktivne sile i reakcije veza (pasivne sile) treba da budu u ravnoteži, što znači da se reakcije veza određuju na osnovu uslova ravnoteže tela.

• Ako veza sprečava kretanje tela u nekom pravcu, reakcija veze je u tom pravcu i njen smer je suprotan od smera u kome veza ne dopušta pomeranje telu. Ako je vezom sprečena rotacija tela moment se nanosi na mestu oslobađanja od veze. Ako veza istovremeno ne dopušta pomeranje tela u više pravaca, onda je pravac reakcije veze takođe unapred nepoznat i treba da se odredi rešavanjem odgovarajućeg statičkog zadatka.

Veza je ostvarena preko glatke površine –idealno glatka površina

• Glatka površina je površina takvih svojstava da trenje tela koje se nalazi na njoj može da se zanemari. Ova površina sprečava kretanje tela samo u pravcu zajedničke normale na površine dodirnih tela, u tački dodira. Reakcija veze glatke površine je u pravcu zajedničke normale na površ dodira, napadna tačka joj je u tački dodira, a smer joj je uvek prema telu, to jest suprotan od smera u kome veza ne dopušta kretanje.

Veza je ostvarena gipkim neistegljivim koncem

• Ova veza ne dopušta telu da se udalji od tačke vešanja B u pravcu AB. Prema tome reakcija veze ima pravac konca, a usmerena je prema tački vešanja. Uže je, dakle, uvek zategnuto.

Veza je ostvarena pomoću klizača ili pokretnog oslonca

• Ovakav oslonac sprečava pomeranje štapa u tački u kojoj je ostvarena veza između tela i oslonca (dodirna tačka) u vertikalnom pravcu, odnosno pravcu koji je normalan na pravac mogućeg kretanja oslonca, pa je reakcija veze u tom pravcu. Primenom aksioma pet uklanja se veza (oslonac), a na nosač se na tom mestu nanosi sila veze u ovom pravcu.

Veza ostvarena pomoću cilindričnog zgloba i nepokretnog oslonca

• Ova veza stvara veća ograničenja od prethodnih. Ostvarena je pomoću osovine (cilindričnog zgloba) provučene kroz otvore (rupe) na telu, koje je vezano i oslonac, koji je fiksiran za nepokretnu ravan. Veza sprečava kretanje štapa u bilo kom pravcu φ, ali štap može da se okreće oko ose koja prolazi kroz tačku u kojoj je ostvarena i upravna je na ravan štapa. Reakcija veze je u tom pravcu. U analizi i proračunima lakše je predstaviti rezultantnu silu pomoću njenih komponenti -horizontalnom i vertikalnom komponentom. Ako su one poznate, mogu se sračunati i φ.

šematski prikaz veze

AA

RA VA

HAφ

x

Veza ostvarena štapom čija se težina zanemaruje -prost štap

• Štap je na svojim krajevima vezan cilindričnim zglobovima za nepokretne oslonce ili neka druga tela. Njegova težina je takva da se može zanemariti. Primenom aksioma pet oslobodićemo ga veza i opteretiti ga reakcijama veza na njegovim krajevima.

• Na osnovu aksioma dva ako na štap deluju dve sile on će se nalaziti u ravnoteži ako su te sile istog intenziteta i pravca, suprotnog smera i deluju duž iste napadne linije. Prema tome, reakcije veza moraju imati pravac AB, istog su intenziteta, a suprotnog smera.

A

B

RA

A

B RB

šematski prikaz veze

Šesti aksiom - princip akcije i reakcijeDejstvo dvaju tela jedno na drugo su jednaka i suprotnog smera, to jest akciji uvek odgovara jednaka i suprotna reakcija.

• Sile kojima tela deluju jedna na drugo su iste po veličini, imaju istu napadnu liniju, a suprotnog su smera.

• Primer:Unutrašnje sile u štapu

( )( )

A

1

1 A B

A2 S R ,

A6 S S.S S R R .

⇒ = −

⇒ = −

⇒ = = =

r r

r r

A BR R= −r r

REZIME:

STATIKA JE DEO MEHANIKE KOJI SE BAVI:v ODREÐIVANJEM USLOVA RAVNOTEŽE KRUTIH

TELA KOJA SU IZLOŽENA MEHANIČKOM DEJSTVU;v SLAGANJEM SILA I SVOÐENJEM SISTEMA SILA

NA PROSTIJI OBLIK.- APSOLUTNO KRUTO TELO, - MEHANICKO DEJSTVO, - POJAM MIROVANJA I KRETANJA,- POJAM RAVNOTEŽE,- SILA, MERA MEHANIČKOG DEJSTVA.