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TALLER LINKS DE INTEGRALES
CON CIR
(MATECHO)
AUTOR DEL CUADERNILLO DE DERIVANDO CON CIR (MATECHO)
FORMACIOacuteN ACADEacuteMICA
PREGRADO Lic de Matemaacuteticas de la Universidad Santiago de Cali
POSGRADO En Edumatica Universidad Autoacutenoma De Colombia
Especializacioacuten en pedagogiacutea para el desarrollo del aprendizaje autoacutenomo con la UNAD
Magister en informaacutetica educativa del 13 de marzo del 2003 con la universidad tecnoloacutegica metropolitana de chile
OTROS
ESTUDIOS DE ESTADISTICA A NIVEL DE POSTGRADO EN LA UNIVERSIDAD DEL VALLE
Para la comparacioacuten en nivel de postgrado de la universidad del valle
Fundamental a nivel de postgrado universidad del valle
Exploracioacuten de datos a nivel de postgrado en la universidad del valle
PARTICIPACIONES
En programas de cualificacioacuten de un valle seminarios de pedagogiacutea en Univalle y Uceva y con profuturo en un curso de
actualizacioacuten en el aacuterea de sistemas
Participacioacuten en seminarios como expositor y como asistente
INFORMACION LABORAL
Docente Universitario Univalle sede Tulua Usaca( monitor) Uceva Antonio Narintildeo Unidad central del valle (Uceva)
Docente de secundaria En Cali Luis Madina Villegas Santiacutesima Trinidad Divino nintildeo Consolacioacuten y en Tuluaacute Jovita
Santacoloma Liceo Moderno y actualmente en el gimnasio del pacifico
INTERNET
CANAL DE YOUTUBE httpswwwyoutubecomuserThe26123
CON BLOG httpswordpresscompagescarlosivanrestrepowordpresscom
GRACIAS
Primero le doy gracias a Dios
Luego a mis padres Enoc y Soledad por su esfuerzo
Y dedicacioacuten en mi crianza y a mi esposa
Fanny Stella romero Maciacuteas por su paciencia al tiempo
Que no le dedico al realizar esta pequentildea compilacioacuten
que espero que sea un orgullo para mis hijos Oscar y Sandra Giovanna Restrepo
y que sus hijos Juan Guillermo Valeria y Victoria les sirva este moacutedulo como
un ejemplo de vida en un futuro
PRESENTACION DEL TALLER LINKS
En este trabajo intentamos relacionar las caracteriacutesticas de los escritos en internet sobre el manejo delas LAS INTEGRALES en el Caacutelculo de una variable utilizados a lo largo de la historia de las carreras de Ingenieriacutea de la Facultad de Ciencias Exactas con respecto a los contenidos fundamentales dadas en las de las universidades colombianas y de pronto hasta nivel mundial con las particularidades del contexto matemaacutetico y pedagoacutegico He considerado para ello he
vinculados los temas maacutes importantes y concernientes a integrales y saber que las integrales baacutesicamente se usan cotidianamente en el caacutelculo de aacutereas longitudes de curvas y voluacutemenes de cuerpos de revolucioacuten
Caacutelculo de aacutereas
Caacutelculo de longitudes de curvas
Caacutelculo de voluacutemenes de cuerpos de revolucioacuten
A efecto de caracterizar los libros propuestos en la bibliografiacutea de las asignaturas de Caacutelculo de una variable de las carreras
de Ingenieriacutea de esta Facultad llevamos a cabo maacutes bien una webgrafia para apoyar este trabajo con un anaacutelisis didaacutectico
y epistemoloacutegico en torno al enfoque praacutectico del uso de las integrales tratando de establecer las propuestas (impliacutecitas o
expliacutecitas) del autor Nos centramos en este concepto en virtud de su riqueza en el contexto de las aplicaciones ingenieriles
Este taller links presenta una metodologiacutea de ensentildeanza a traveacutes de enlaces de internet donde el estudiante completara o ampliara el manejo de conceptos e interpretacioacuten de ejercicios que haraacute que el estudiante consulte asiduamente para contar con mayor cantidad de ejercicios tendientes a reforzar la aplicacioacuten directa de definiciones o propiedades y se pueda apoyar en direcciones electroacutenicas que aparece en la web grafiacutea pues es la base del tutorial pues sobre ella se soporta el material y algunas renovaciones que el autor le hace a dichos documentos
Lo uacutenico que espero que este taller links alcance en docentes y alumnos de Tuluaacute de Colombia y porque no el mundo acadeacutemico en general de tal manera que sea impactante y que ojalaacute pase fronteras y que mis nietos lo lleguen a usar como herramientas de trabajo y sea orgullosos de este modesto taller links de integrales
Por esto mismo un principio baacutesico en la comprensioacuten del concepto de integral es el de entenderla como una sumatoria de aacutereas y consiste en vislumbrar en conjunto el concepto de aacutereas a traveacutes del concepto de integral En la educacioacuten tradicional este contenido por lo general confunde un poco a los alumnos por lo que surge la necesidad de poder explicarla de una manera maacutes clara y precisa para que el alumno pueda reproducir y aplicar el conocimiento adquirido por lo que en este trabajo utilizando modelos vanguardistas Se propone una metodologiacutea como material didaacutectico para desarrollar el concepto de este tema mediante el caacutelculo de una funcioacuten sencilla
Este taller links tiene como objetivo ser un instrumento de guiacutea en clase para el docente pues el ejercicio muchas veces se inicia se corta el proceso y luego se da la respuesta con el objetivo de que el estudiante lo continuacutee
CONTENIDOS
CONTENIDOS
CAPITULO 1
SUMATORIAS
EJERCICIOS DE SUMATORIAS
OTROS EJEMPLOS DE SUMATORIAS
EJERCICIOS GENERALES
SUMATORIAS DE RIEMAN
SUMAS DE RIEMANN
EJERCICIOS APLICANDO RIEMANN
CAPITULO 2
INTEGRALES INMEDIATAS Y POR SUSTITUCION IDONEA
TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS
GUIA DE INTEGRALES POR SUSTITUCION
EJERCICIOS 1
I) USANDO LA TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS Y LAS OTRAS FORMULAS RESOLVER
II) RESUELVE LAS SIGUIENTES INTEGRTALES DEFINIDAS Y GRAFIQUELAS
III) TALLER INTEGRALES PARA COMPLETAR
1) INTEGRALES INMEDIATAS
2) SOLUCION DE INTEGRALES LOGARITMICAS
3) INTEGRALES EXPONENCIALES
4) INTEGRALES TRIGONOMETRICAS
5) OTRAS INTEGRALES TRIGONOMETRICAS
6) OTRAS INTEGRALES
EJERCICIOS 2
I) RESOLVER LAS SIGUIENTES INTEGRALES INDEFINIDAS Y VERIFIQUE SU
RESPUESTA REALIZANDO LA DERIVADA
II) EVALUE LA INTEGRAL INDEFINIDA DADA USANDO UNA SUSTITUCION IDONEA
CAPITULO 3
INTEGRACION POR PARTES
DEFINICION
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRACIOacuteN POR PARTES
EJERCICIOS PARA RESOLVER POR SUSTITUCION
RESOLVER LAS SIGUIENTES INTEGRALES POR PARTES
CAPITULO 4
FUNCIONES HIPERBOLICAS
FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS HIPERBOacuteLICAS
EJERCICIOS DE DERIVADAS HIPERBOLICAS
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES HIPERBOLICAS
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1
Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJMEPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
EJEMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
EJERCICIOS
CAPITULO 1
SUMATORIAS
La sumatoria no es maacutes que una operacioacuten de suma repetida desde laquonraquo veces (siendo n el nuacutemero de sumandos) hasta infinito Tiene muchas aplicaciones tanto en estadiacutestica (para hallar la media etc) como en las series de nuacutemeros e incluso en integrales
Se representa con la letra griega Σ y se puede definir de la siguiente manera
La variable i se llama iacutendice de la suma que nos indica cual es el primer valor inicial (desde el cual se comienza) mientras que n es el liacutemite superior que es hasta donde va a llegar dicha suma Ademaacutes se tiene que cumplir que mlen
Los sumatorios tienen unas reglas que han de cumplirse a la hora de realizar las operaciones A continuacioacuten las citamos
Regla 1 El sumatorio de una suma es igual a la suma de las sumatorias de cada teacutermino Es decir que es lo mismo sumar primero los teacuterminos (que pueden ser datos que nos dan) y hacer luego el sumatorio que realizarlo por separado para cada uno de los teacuterminos
Regla 2 La suma del producto de una constante por una variable es igual a k veces la sumatoria de la variable
Dicho de otra forma que si tenemos una constante K multiplicando al sumatorio podemos sacarla para fuera (como si hicieacutesemos factor comuacuten que en realidad lo es)
Regla 3 El sumatorio de n veces una constante es igual a N veces esa constante
Si K es 3 sumar 3 20 veces es lo mismo que multiplicar 3times20
Regla 4 El sumatorio de un producto no es igual al producto de los sumatorios de cada teacutermino
Regla 5 El sumatorio de los cuadrados de los valores de una variable no es igual al sumatorio de la variable elevada al cuadrado
Por ejemplo no es lo mismo sumar 1+2^2+3^2= 1+4+9 =14 que hacerlo con 1+2+3=5 y elevarlo al cuadrado que nos dariacutea 25
gtgtEjemplo
Calcular la suma de los nuacutemeros impares que se encuentran entre 14 y 4492
Podriacuteamos resolver este ejercicio de la forma normal sin sumatorios pero es muy engorroso pues habraacute muchos nuacutemeros que sumar
En lugar de eso vamos a proceder de la siguiente forma con sumatorios primero planteemos la suma
Como veis son muchiacutesimos los impares existentes desde 15 que es el primero hasta 4491 que es el uacuteltimo
Esa suma la podemos escribir tambieacuten de la siguiente forma
Explicacioacuten Hemos aplicado el mismo principio que cuando tenemos una serie y queremos sacar la expresioacuten general de eacutesta En este caso para representar todos los nuacutemeros impares escribimos 2k-1
Los liacutemites que hemos escogido para el sumatorio son la mitad de la base de las potencias escritas anteriormente Esto se hace asiacute para que nos cuadre el resultado Por ejemplo veis que para k=8 si sustituimos en (2k-1)^2 nos quedariacutea (2times8-1)^2=(16-1)^2= (15)^2 y asiacute sucesivamente para los demaacutes nuacutemeros
Una vez comprendido lo anterior vamos a desarrollar el cuadrado del sumatorio anterior
En este paso hemos separado el sumatorio en varios aplicando la laquoregla 1raquo y a continuacioacuten sacamos las constantes para fuera (aplicando la laquoregla 2raquo)
Aquiacute de nuevo tengo que hacer un inciso para explicar lo que pondreacute a continuacioacuten Como veis hay un 4 multiplicando los 2 sumatorios por loacutegica se nos ocurririacutea sacar factor comuacuten de esos 2 sumatorios pero hay un problema el 1 se nos queda suelto por lo que ahora el sumatorio no nos cumple la propiedad de sumar solamente los impares para ello hacemos un pequentildeo truco cambiamos los liacutemites del sumatorio quedaacutendonos esto
Ahora siacute que podemos resolver los sumatorios uno por uno para hallar nuestro resultado
Es decir que es lo mismo sumar primero los teacuterminos (que pueden ser datos que nos dan) y hacer luego el sumatorio que realizarlo por separado para cada uno de los teacuterminos
Regla 2 La suma del producto de una constante por una variable es igual a k veces la sumatoria de la variable
Dicho de otra forma que si tenemos una constante K multiplicando al sumatorio podemos sacarla para fuera (como si hicieacutesemos factor comuacuten que en realidad lo es)
Regla 3 El sumatorio de n veces una constante es igual a N veces esa constante
Si K es 3 sumar 3 20 veces es lo mismo que multiplicar 3times20
Regla 4 El sumatorio de un producto no es igual al producto de los sumatorios de cada teacutermino
Regla 5 El sumatorio de los cuadrados de los valores de una variable no es igual al sumatorio de la variable elevada al cuadrado
Por ejemplo no es lo mismo sumar 1+2^2+3^2= 1+4+9 =14 que hacerlo con 1+2+3=5 y elevarlo al cuadrado que nos dariacutea 25
gtgtEjemplo
Calcular la suma de los nuacutemeros impares que se encuentran entre 14 y 4492
Podriacuteamos resolver este ejercicio de la forma normal sin sumatorios pero es muy engorroso pues habraacute muchos nuacutemeros que sumar
En lugar de eso vamos a proceder de la siguiente forma con sumatorios primero planteemos la suma
Como veis son muchiacutesimos los impares existentes desde 15 que es el primero hasta 4491 que es el uacuteltimo
Esa suma la podemos escribir tambieacuten de la siguiente forma
Explicacioacuten Hemos aplicado el mismo principio que cuando tenemos una serie y queremos sacar la expresioacuten general de eacutesta En este caso para representar todos los nuacutemeros impares escribimos 2k-1
Los liacutemites que hemos escogido para el sumatorio son la mitad de la base de las potencias escritas anteriormente Esto se hace asiacute para que nos cuadre el resultado Por ejemplo veis que para k=8 si sustituimos en (2k-1)^2 nos quedariacutea (2times8-1)^2=(16-1)^2= (15)^2 y asiacute sucesivamente para los demaacutes nuacutemeros
Una vez comprendido lo anterior vamos a desarrollar el cuadrado del sumatorio anterior
En este paso hemos separado el sumatorio en varios aplicando la laquoregla 1raquo y a continuacioacuten sacamos las constantes para fuera (aplicando la laquoregla 2raquo)
Aquiacute de nuevo tengo que hacer un inciso para explicar lo que pondreacute a continuacioacuten Como veis hay un 4 multiplicando los 2 sumatorios por loacutegica se nos ocurririacutea sacar factor comuacuten de esos 2 sumatorios pero hay un problema el 1 se nos queda suelto por lo que ahora el sumatorio no nos cumple la propiedad de sumar solamente los impares para ello hacemos un pequentildeo truco cambiamos los liacutemites del sumatorio quedaacutendonos esto
Ahora siacute que podemos resolver los sumatorios uno por uno para hallar nuestro resultado
Fuente httpsmatematicalaguia2000comgeneralsumatorio
I) EJERCICIOS DE SUMATORIAS
I) Encontrar los valores de las sumas indicadas
OTROS EJEMPLOS DE SUMATORIAS
A continuacioacuten veremos otros tipos de ejercicios
MATERIAL DE APOYO
httpwwwestuc3mesespnueva_docenciagetafeciencias_estadisticasanalisis_exploratorio_datosdocumentacion
_archivosejerciciosejercicios_sumatoriospdf
httpwwwmatusonmx~jldiazNotasCD-1SeriesEjemplos_de_Series-1htm
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_defiteorianotacion_sigmahtml
httpsingenieriaelectronicaorgnotacion-sumatoria-definicion-caracteristicas-ejemplos CON VIDEOS
httpwwwcalculojcbmatcomid551htm
httptrafulutemclportaldoccapsulas-de-aprendizajecapsula-
sumatoriaassetsmaterial_descargablesumatoria_20ejercicios_desarrolladospdf
httpprofe-alexzblogspotcom201208sumatorias-problemas-resueltoshtml VIDEOS
EJERCICIOS GENERALES
1) APLIQUE LA PROPIEDAD CORRESPONDIENTE
2) CALCULA LAS SIGUIENTES SUMAS
3)
4)
Escribe en forma de sumatoria
5) Desarrolla las siguientes sumatorias
6) Calcula las siguientes sumatorias
SUMATORIAS DE RIEMANN
MATERIAL DE APOYO
httpwwwinguceduve~mlaurentinvariosGuiaEjerciciosUnidadIIAMIIpdf
httpswwwrbjlabscomcalculosumas-de-riemann-ejercicios-parte-1
httpswwwstudocucomesdocumentuniversidad-del-magdalenacalculo-integralapuntesnotas-de-clases-integral-
definida-suma-de-riemann4384436view
httpsingenieriaelectronicaorgsumas-riemann-definicion-ejemplos-ejercicios-resueltos
FUENTE httpmatematicasuiseducocalculo2sumaspdf
EJERCICIOS APLICANDO RIEMANN
RESOLVER POR RIEMANN E INTEGRANDO
1) LEA BIEN PERO PRIMERO GRAFIQUE Y HALLE EL AREA DADA INTEGRANDO
R 83 U2
2) REALICE CON CUIDADO PERO PRIMERO GRAFIQUE Y HALLE EL AREA DADA INTEGRANDO
R9 U2
3) REALICE CON CUIDADO PERO PRIMERO GRAFIQUE HALLE EL AREA DADA
R8U2
4)Grafique e integre y aplique riemann
R16U2
R9U2
5)REALIZARDIBUJA
5) Realizar or riemann y la regla de barrow
R
CAPITULO 2
INTEGRALES INMEDIATAS Y POR SUSTITUCION IDONEA
FUENTE httpscampusdematematicascomtablas-y-formulariostabla-de-integrales
II) TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS
OTRAS FORMULAS
GUIA DE EJEMPLOS DE INTEGRALES POR SUSTITUCION
INTEGRALES POR SUSTITUCION
RESOLVERint radic3 119909 + 5 119889119909 = 119868 Sea 119889119906 = 3 119909 + 5
119889119906 = 3 119889119909 = 119889119909 =119889119906
3
Al sustituir tenemos
119868 = int 11990612
119889119906
3 =
1
3 int 119906
12 119889119906
119868 =1
3(
11990632
32
) + 119862 = 2
911990632 + 119862
119868 = 2
9(3119909 + 2)32 + 119862
RESOLVER int119909119889119909
(1199092+ 4)2 = 119868
Sea 119906 = 1199092 + 4
119889119906 = 2119909 119889119909 = 119909119889119909 =119889119906
2
1
2
Al sustituir tenemos
119868 = int119889119906
21199062 =
1
2 int 119906minus2 119889119906
119868 =1
2(
119906minus1
minus1) + 119862 =
1
2119906minus1 + 119862
119868 = 1
2(1199092 + 4)minus1 + 119862
119868 = 1
2(1199092 + 4)+ 119862
RESOLVER int119904119890119899 119889119909
radic1+2 cos 119909 = 119868
Sea 119906 = 1 + 2 cos 119909
119889119906 = minus2 119904119890119899 119909119889119909 = 119904119890119899 119909 119889119909 = minus119889119906
2
Al sustituir tenemos
119868 = intminus119889119906
211990612 = minus
1
2 int
119889119906
11990612
119868 = minus1
2int 119906minus12119889119906 = minus
1
2(
11990612
12
) + 119862
119868 = minus11990612 + 119862 = minus(1 + 2 cos 119909) 12 + 119862
119868 = minus radic1 + 2 cos 119909 + 119862 DE AQUIacute EN ADELANTE TU LLEGAS A LA RESPUESTA
RESOLVER int119909119889119909
radic119909+1 = 119868
Sea 119906 = radic119909 + 1
1199062 = 119909 + 1 = 119909 = 1199062 minus 1
3
4
2119906119889119906 = 119889119909
CONTINUA
R 119868 =2
3radic119909 + 1(119909 minus 2) + 119862
5)
int 1199092radic2 minus 119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = radic2 minus 119909
1199062 = 2 minus 119909 = 119909 = 2 minus 1199062 119889119909 = minus2119906119889119906
Reemplazando
119868 = int(2 minus 1199062)2(minus2119906119889119906)(119906)
119868 = minus2 int(4 minus 41199062 + 1199064)1199062119889119906
COMPLETA
Rminus2
105(2 minus 119909 )32(140 minus 84(2 minus 119909) + 15(2 minus 119909)2) + 119862
RSOLVER int119909119889119909
radic1199092+9 = 119868
Sea 119906 = 1199092+9
119889119906 = 2119909119889119909 = 119909119889119909 =119889119906
2
Sustituyendo tenemos119868 = int119889119906
211990612 = 2 int 119906minus12 119889119906
COMPLETA
R 119868 = radic1199092 + 9 + 119862
7) RESOLVER int radic1 + radic119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = radic1 + radic119909 1199062 = 1 + radic119909 = 1199062 minus 1 = radic119909 (1199062 minus 1)2 = 119909 2(1199062 minus 1)(2119906)119889119906 = 119889119909 Reemplazando
6
119868 = int 119906[2(1199062 minus 1)2(2119906)] 119889119906 119868 = 4 int 1199062(1199062 minus 1)119889119906 119868 = 4 int(1199064 minus 1199062)119889119906
119868 = (1199064
5minus +
1199063
3) + 119862
Termiacutenalo
R
4(1 + radic3)32
[3(1 + radic119909) minus 5] + 119862
8) RESOLVER
int 119890119909radic1 + 119890119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = 1 + 119890119909 119889119906 = 119890119909 119889119909 Reemplazando tenemos
119868 = int 11990612 119889119906
TERMINALO R 119868 =2
3(1 + 119890119909)32 + 119862
9) RESOLVER int 1199051198861198993119909 1199041198901198882119909 119889119909 = 119868 Sea 119906 = tan 119909
119889119906 = 1199041198901198882119909119889119909
TERMINALO R 119868 =1199051198861198994119909
4 + 119862
10)119877119864119878119874119871119881119864119877 int1199092+2119909
(119909+ 1)2 119889119909 = 119868
Al hacer el binomio y dividir se tiene
(119909 + 1)2 = 1 minus1
1199092+2119909+1 Al sustituir 119868 = int (1 minus
119909
(119909+1)2) 119889119909 = int 119889119909 minus int
119889119909
(119909+1)2
119868 = 119909 minus int119889119909
(119909+1)2
R 119868 = 119909 minus (minus 1
119909+1) + 119862 = 119909 +
1
119909+1+ 119862
11) RESOLVER int2+radic119909
1minusradic119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = 1 minus radic119909 radic119909 = 1 minus 119906 = 119909 = (1 minus 119906)2 119889119909 = 2(1 minus 119906)(minus1)119889119906 = 2(1 minus 119906)119889119906
Ahora 2 + radic119909 = 2 + (1 minus 119906) = 3 minus 119906
Al integrar 119868 = int (3minus119906
119906) [minus2(1 minus 119906)] 119889119906 119864119873119879119874119873119862119864119878 (3 int
119889119906
119906minus 4 int 119889119906 + int 119906 119889119906)
CUAL SERIA LA RESPUESTA MATERIAL DE APOYO httpscursodecalculofileswordpresscom201305ejercicios-resueltos-de-
integral-2-integrales-por-sustitucic3b3n-o-cambio-de-variablepdf
EJERCICIOS 1
I) USANDO LA TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS Y LAS OTRAS FORMULAS RESOLVER
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6 ) R 7) R
8) R 9) R
10) R
11) R 12) R
13) R
14) R 15) R
16) R 17)
18) R 19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
27) R 28) R
29 ) R
30) R
31) R 32) R
33) R
34) R 35) R
36) R 37) R
38) R
39) DEMUESTRE LAS SIGUIENTES IGUALDADES
40) USANDO LAS SIGUIENTES IGUALDADES
RESOLVERA) R
B) R
C) R
II) RESUELVE LAS SIGUIENTES INTEGRTALES DEFINIDAS Y GRAFIQUELAS
SOLUCION
A) 8
b) e-1
c) 1
d) 103
e) I
I I I ) TALLER INTEGRALES PARA COMPLETAR
OBSERVA LAS INTEGRALES RESUELTAS EN LA MAYORIA DE LOS CASOS
FALTA LA SUSTITUCION IDONEA POR AGREGAR AL DESARROLLO DEL
EJERCICIO Y ESA SUSTITUCION PUEDE SER ALGEBRAICA O FALTA EL
CAMBIO DE VARIABLE RESPECTIVO
1) INTEGRALES INMEDIATAS
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
2 Solucioacuten de las integrales logariacutetmicas
1
2
3
4
5
6
7
8
9 - ln (sen x + cos x ) +C
10
11
3 integrales exponenciales
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4 integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5 Otras integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
- 21 x
4
6 Otras integrales
1
2
3
4
5
EJERCICIOS 2
I) RESOLVER LAS SIGUIENTES INTEGRALES INDEFINIDAS Y VERIFIQUE SU
RESPUESTA REALIZANDO LA DERIVADA
II) EVALUE LA INTEGRAL INDEFINIDA DADA USANDO UNA SUSTITUCION IDONEA
62)Problemas de integrales
1Hallar una funcioacuten F(x) cuya derivada sea f(x) = x + 6 y tal que para x = 2
tome el valor 25
RESPUESTA
2De las inf in itas funciones primitivas de la funcioacuten y = xsup2 - x + 1 iquestcuaacutel
es la que para x = 3 toma el valor 5
RESPUESTA
3Hallar una recta cuya pendiente es 2 y pasa por eacutel punto P(0 4)
RESPUESTA f(x) = 2x + 4
4Escribe la funcioacuten primitiva de y = xsup2 + 2x cuya representacioacuten graacutef ica pasa
por eacutel punto (1 3)
RESPUESTA
5Calcular la ecuacioacuten de la curva que pasa por P(1 5) y cuya pendiente en cualquier punto es
3xsup2 + 5x minus 2
RESPUESTA
6Hallar la primitiva de la funcioacuten que se anula para x = 2
RESPUESTA
CAPITULO 3
INTEGRACION POR PARTES
Definicioacuten
Existen varios meacutetodos de integracioacuten consistiendo todos ellos en reducir la integral buscada a una inteacutegrala conocida como por ejemplo una de las de la tabla o bien reducirla una integral maacutes sencilla
El meacutetodo de integracioacuten por partes estaacute basado en la derivada de un producto de funciones como se muestra a continuacioacuten
d(umiddotv) = u dv + v du
por eso es que se usa para integrales que contienen dos funciones que se multiplican entre si
intd(umiddotv) = intu dv + intv du
Se llama integracioacuten por partes porque la integral se divide en dos partes en una el integrando es u y otra en la otra es v La integral debe estar completa y sin alterar la operacioacuten dentro de ella Consejos
La funcioacuten correspondiente a dv debe ser la funcioacuten maacutes faacutecil de integrar 2- En u deben ir aquellas funciones que no tienen integral directa (funciones logariacutetmicas e inversas) luego se pueden considerar las funciones algebraicas puesto que la derivada es reductiva Las funciones trigonomeacutetricas y exponenciales son maacutes sencillas de trabajar
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRACIOacuteN POR PARTES
1-
2-
3-
4-
5-
6-
7-
8-
9-
10-
INTEGRACION POR PARTES
MATERIAL DE APOYO
VIDEOS DE INTEGRACION POR PARTES
1) httpswwwprofesor10dematescom201505integrales-por-partes-resueltashtml
2) httpwwwsietecolinasesmaterialesmatintegrales-4pdf
3) httpsgpweiztuammxfilesusersuamijdfmetodos_de_integracionintegracion_por_partesp
df
EJERCICIOS EJERCICIOS PARA RESOLVER POR PARTES
1) L=Ln
R
2) R
3) R
4) R
5) R 6) R
7) R
8) R
9) R L=Ln
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
15) R
16) R
17) R
18) R
19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
INTEGRAL RESPUESTA
26) x senx dx sen x xcos x c
27) ln x dx 1x ln x c
28)2
xx sen dx 4 2
2 2
x xsen xcos c
29) x cos nx dx 2
cos nx x sennxc
nn
30) 2 u sec u du utgu lncosu c
31) 2 3 u sen v dv 21 1 16 6
4 12 72v v sen v cos v c
32) 2 y senny dy 2
3 2
2 2cosny y senny y cosnyc
nn n
33) 2 xa dx 2
1x xa c
lna ln a
34) nx ln x dx 1 1
1 1
nx
ln x cn n
35) arc sen x dx 2 1x arc sen x x c
36) arc tg x dx 21 1
2x arc tg x ln x c
37) arc c tg y dy 21 1
2y arc c tg y ln y c
38) 2 arc cos x dx 21 2 1 4
2x arc cos x x c
39) arc sec y dy 2 1y arc sec y ln y y c
40) 2
tarc csc dt 2 2 4
2
tt arc csc ln t t c
41) x arc tg x dx 2 1
2 2
x xarc tg x c
42) arc tg x dx 1 x arc tg x x c
43) 2 xx e dx
22 2xe x x c
44) e cos d
2
esen cos c
45)
2
1
ln x dx
x 1
1
xln x ln x c
x
CAPITULO 4
FUNCIONES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
1) httpwwwmtyitesmmxetiedeptosmma-841recursostab-hippdf
2) httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCION
ES20HIPERBOLICASpdfsequence=1
FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS HIPERBOacuteLICAS
Definicioacuten de las funciones
Un ciacuterculo unitario con centro en el origen sigue la foacutermula 1yx 22 un punto dado por el par
ordenado yx se puede representar como funcioacuten de un aacutengulo t de la siguiente manera
senttcosyx De igual manera una hipeacuterbola unitaria con centro en el origen sigue la foacutermula
1yx 22 un punto dado por el par ordenado yx se puede representar como funcioacuten del aacutengulo t
de la siguiente manera senhttcoshyx Estas funciones se denominan funciones trigonomeacutetricas
hiperboacutelicas en particular coseno hiperboacutelico y seno hiperboacutelico
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas presentan propiedades anaacutelogas a las de las funciones
trigonomeacutetricas o circulares La funcioacuten xsenhxf se define como 2
eexsenh
xx mientras que
la funcioacuten xcoshxf es 2
eexcosh
xx
Al igual que las funciones trigonomeacutetricas circulares en las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas se
cumplen las siguientes identidades fundamentales
xx
xx
xx
xx
xx
xx
ee
2
xsenh
1xhcsc
ee
2
xcosh
1xhsec
ee
ee
xsenh
xcoshxcoth
ee
ee
xcosh
xsenhxtanh
Debido a esto es loacutegico pensar que habraacute una relacioacuten equivalente al Teorema de Pitaacutegoras Asiacute
para las funciones hiperboacutelicas se sabe que 1xsenhxcosh 22
Ejemplo 1
Demostrar que 1xsenhxcosh 22
11
14
4
14
2
4
2
14
ee2
4
ee2
14
eee2e
4
eee2e
12
ee
2
ee
1xsenhxcosh
xxxx
x2xxx2x2xxx2
2xx
2xx
22
Graacutefica de las funciones
Sea la funcioacuten 2
eexsenhxf
xx Las intersecciones se pueden encontrar igualando la funcioacuten
a cero
0x
0x2
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
02
ee
x2
x
x
xx
xx
xx
La funcioacuten seno hiperboacutelico tiene una sola raiacutez en x=0 Para obtener los puntos criacuteticos se iguala a
cero la derivada de la funcioacuten
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
0ee2
1
ee2
1ee
dx
d
2
1
2
ee
dx
d
dx
df
x2
x
x
xx
xx
xx
xxxxxx
por lo tanto no hay puntos criacuteticos Es interesante notar que la derivada de la funcioacuten senh(x) es la
funcioacuten cosh(x)
Por uacuteltimo puntos inflexioacuten se pueden encontrar en donde la segunda derivada es igual a cero
xxxxxx
2
2
ee2
1ee
dx
d
2
1ee
2
1
dx
d
dx
fd
La segunda derivada nos llevoacute nuevamente a la funcioacuten senh(x) Esta funcioacuten ya se igualoacute a cero
para encontrar las intersecciones El resultado es que en x=0 hay una raiacutez que a su vez es un punto
de inflexioacuten
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
La misma funcioacuten 2
eexsenhxf
xx se puede ver como la resta de dos funciones exponenciales
2
e
2
e
2
ee xxxx
La graacutefica de estas dos funciones exponenciales se muestra en azul (exponencial
positiva) y verde (exponencial negativa) La resta de ambas punto por punto es la funcioacuten senh(x)
Derivadas
ucoshdx
duusenh
dx
dxcosh
2
ee
2
ee
dx
dxsenh
dx
d xxxx
usenhdx
duucosh
dx
dxsenh
2
ee
2
ee
dx
dxcosh
dx
d xxxx
uhsecdx
duutanh
dx
d
xhsecxcosh
1
xcosh
xsenhxcosh
xcosh
senhx
dx
dxtanh
dx
d
2
2
22
22
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
uhcscdx
duucoth
dx
d
xhcscxsenh
1
xsenh
xcoshxsenh
senhx
xcosh
dx
dxcoth
dx
d 2
22
22
uhsecutanhdx
duuhsec
dx
d
hxsecxtanhxcosh
1
xcosh
senhx
xcosh
senhx
xcosh
1
dx
dxhsec
dx
d2
uhcscucothdx
duuhcsc
dx
d
hxcscxcothsenhx
1
senhx
xcosh
xsenh
xcosh
senhx
1
dx
dxhcsc
dx
d2
Ejemplo 2
Derivar la funcioacuten 3x4tanhxf 2
La funcioacuten maacutes externa es la raiacutez por lo tanto es la primera en derivarse
3x4tanh2
3x4hsecx83x4tanh
dx
d
3x4tanh2
1
dx
df
2
222
2
Ejemplo 3
Derivar la funcioacuten 2x3cosh2x3tanhlnxf 22
La funcioacuten maacutes externa es el logaritmo por lo tanto es el primero en derivarse
2x3cosh2x3tanh
2x3xsenh62x3hsecx6
dx
df22
222
Integrales
Utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se puede establecer que
cuhcscduucothuhcsc
cuhsecduutanhuhsec
cucothduuhcsc
cutanhduuhsec
cusenhduucosh
cucoshduusenh
2
2
Utilizando estas foacutermulas se pueden establecer las siguientes
Ejemplo 4
Hallar la foacutermula para la integral de la tangente hiperboacutelica
dxxcosh
xsenhdxxtanh
Se hace un cambio de variable en donde dxxsenhduxcoshu Al sustituir la integral anterior
cambia a
cxcoshlnculnu
dudx
xcosh
xsenhdxxtanh
Se puede utilizar el mismo procedimiento para hallar las siguientes foacutermulas
cusenhlnduucoth
cucoshlnduutanh
Ejemplo 5
Resolver las siguientes integrales
dxx3senhx 32
Se realiza el cambio de variable dxx9
dux3u 23 por lo tanto la integral se puede escribir como
cx3cosh9
1cucosh
9
1duusenh
9
1
9
duusenhdxx3senhx 332
dx
x
xlnhsec 2
Se realiza el cambio de variablex
dxduxlnu por lo tanto la integral se puede escribir como
cxlntanhcutanhduuhsecdx
x
xlnhsec2
2
1
0
dxxcoshxsenh
Se realiza el cambio de variable dxxsenhduxcoshu por lo tanto la integral se puede escribir
como
1x
0x
1
0
2 duudxxcoshxsenh
Sin embargo dado que u=senh(x) si x=0 entonces 02
ee0senhu
00
Cuando x=1 entonces
e2
1e
2
e
1e
2
e
1e
2
ee1senhu
2
2
11
La integral es
2
32
23
23
2
e2
1e
0
23
e2
1e
0
1x
0x
1
0
2
e2
1e
3
20
3
2
e2
1e
3
2
u3
2duuduudxxcoshxsenh
22
Inversas
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas tienen funciones inversas que comuacutenmente se denotan
como 1senh o bien como arcsenh donde la funcioacuten recibe el nombre de seno hiperboacutelico inverso
Dado que las funciones estaacuten definidas en teacuterminos de exponenciales es de esperarse que sus
inversas incluyan logaritmos naturales Se pueden definir como
1x0parax
x11lnxhsec
1xparax1
x1ln
2
1xtanh
1xpara1xxlnxcosh
1xxlnxsenh
21
1
21
21
Las derivadas e integrales de estas funciones se resuelven igual que las funciones trigonomeacutetricas
inversas
Ejemplo 6
Obtener la foacutermula para la derivada de la funcioacuten xsenhy 1
Dado que no se conoce la derivada del seno hiperboacutelico inverso pero siacute la del seno hiperboacutelico se
pueden utilizar el concepto de la funcioacuten inversa y la derivada impliacutecita para hallar la foacutermula en
cuestioacuten
ycosh
1y
1yacutecoshy
xysenh
xsenhy 1
Se sabe que 1ysenhycosh 22 por lo tanto 1ysenhycosh 22 y la funcioacuten senhy=x entonces
1xycosh 2 Al sustituir se obtiene
1x
1y
2
El mismo meacutetodo se puede utilizar para encontrar cualquiera de las siguientes foacutermulas
1u
dxdu
usenhdx
d
2
1
1u1u
dxdu
ucoshdx
d
2
1
1uu1
dxdu
utanhdx
d2
1
1u0u1u
dxdu
uhsecdx
d
2
1
Ejemplo 7
Determinar si la funcioacuten 3xxsenhxf 21 es creciente o decreciente en el punto x=2
Se debe resolver la derivada de la multiplicacioacuten
10x6x
x23xsenh
19x6x
x23xsenh
13x
x2x3xsenh
dx
df
24
221
24
221
22
21
Se busca conocer como es la funcioacuten en x=2 por lo tanto se sustituye en la derivada
773131642077
80714ln
25
8257ln
225
82257ln
50
81497ln
102416
87senh
dx
df 1
2x
La funcioacuten es creciente crece a una razoacuten de 377
Las foacutermulas para la integracioacuten salen utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo y a partir de las
foacutermulas de derivacioacuten
0aca
usenhdu
ua
1 1
22
0auca
ucoshdu
au
1 1
22
au0aca
utanh
a
1du
ua
1 1
22
au00aca
uhsec
a
1du
uau
1 1
22
Ejemplo 8
Resolver la integral
dxe25
e
x6
x3
Esta integral es como la de la tangente hiperboacutelica inversa donde 5a25a 2
dxe3
dueueu x3x3x62 Al sustituir esto en la integral
c5
etanh
15
1c
5
etanh
5
1
3
1
u25
du
3
1
u25
3du x3
1x3
1
22
Aplicaciones
La velocidad de las olas en el mar bajo ciertas condiciones depende de la longitud de onda
(distancia entre cresta y cresta) y de la profundidad del agua por donde viajan las olas h La funcioacuten
que relaciona estas variables es
h2tanh
2
gv 2
donde v es la velocidad y g es la gravedad
Suponiendo que se mantiene h constante esto es que el oleaje se propaga por un oceacuteano de
profundidad constante (50 m) determinar si la velocidad aumenta o disminuye cuando m5
h2hsec
ghh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2hsec
h2
2
gh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2tanh
2
gv
h2tanh
2
gv
2
2
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
728d
dv
5
502hsec
5
50819
5
502tanh
2
819
5
502tanh
2
58192
1
d
dv 2
Entonces para este valor de la longitud de onda y de la profundidad la velocidad de la ola va
aumentando respecto a la longitud de onda
Si se requiere ahora saber como va cambiando la velocidad de propagacioacuten del oleaje respecto a la
profundidad del mar para una longitud de onda de 5 m se deberaacute entonces derivar respecto a h Sea
una profundidad de 7 m
h2tanh
2
g2
h2hsecg
dh
dv
h2hsec
2
2
g
h2tanh
2
g2
1
dh
dv
h2tanh
2
gv
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
77
2
2
1061595
10918
5
14tanh
2
05492
5
14hsec819
dh
dv
5
72tanh
2
58192
5
72hsec819
dh
dv
Asiacute que aunque la velocidad de propagacioacuten del oleaje va aumentando respecto a la profundidad la
razoacuten de cambio es muy pequentildea
EJERCICIOS DE DERIVADAS HIPERBOLICAS
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6) R
7) R
8) AYUDA R
9) R 10) R
11) R 12) R
13) R
14)DEMOSTRAR
AYUDA
15)
AYUDA
INTEGRALES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
httpcalculoccfunciones_hiperbolicasp_integrales_hiperbhtml
httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCIONES20
HIPERBOLICASpdfsequence=1
httpseswikipediaorgwikiAnexoIntegrales_de_funciones_hiperbC3B3licas
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES HIPERBOLICAS
2)
3)
5)
6)
8)
Resolvemos ambas integrales mediante integracioacuten por partes
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 5 u = 3x
11)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 3 u = 4x
13)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = radic7 u = 5x
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION MATERIAL DE APOYO
800 INTEGRALES RESUELTAS
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_metodosproblemasp_integr_sust_trigohtml
httpsmatematicasnblogspotcom201512integracion-por-sustitucionhtml CON VIDEOS INCLUIDOS
httpsdspaceupseduecbitstream12345678961191Manual20de20fracciones20parcialespdf
httpwwwtesoemedumxalumnoscuadernillos2011011pdf
httpprofe-alexzblogspotcom201104integracion-fracciones-parcialeshtml Y VIDEOS
httpswwwsectormatematicacl rsaquo media rsaquo diferenciado rsaquo FRACCIONES P httpswwwipnmxassetsfilescecyt11docsGuiasUABasicasMatematicascalculo-integral-solucion-de-problemasPDF
httpswwwacademiaedu7708664CC381LCULO_INTEGRAL_EJERCICIOS_RESUELTOS_PASO_A_PASO
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1 Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de
variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de
la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que
contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe
ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
AUTOR DEL CUADERNILLO DE DERIVANDO CON CIR (MATECHO)
FORMACIOacuteN ACADEacuteMICA
PREGRADO Lic de Matemaacuteticas de la Universidad Santiago de Cali
POSGRADO En Edumatica Universidad Autoacutenoma De Colombia
Especializacioacuten en pedagogiacutea para el desarrollo del aprendizaje autoacutenomo con la UNAD
Magister en informaacutetica educativa del 13 de marzo del 2003 con la universidad tecnoloacutegica metropolitana de chile
OTROS
ESTUDIOS DE ESTADISTICA A NIVEL DE POSTGRADO EN LA UNIVERSIDAD DEL VALLE
Para la comparacioacuten en nivel de postgrado de la universidad del valle
Fundamental a nivel de postgrado universidad del valle
Exploracioacuten de datos a nivel de postgrado en la universidad del valle
PARTICIPACIONES
En programas de cualificacioacuten de un valle seminarios de pedagogiacutea en Univalle y Uceva y con profuturo en un curso de
actualizacioacuten en el aacuterea de sistemas
Participacioacuten en seminarios como expositor y como asistente
INFORMACION LABORAL
Docente Universitario Univalle sede Tulua Usaca( monitor) Uceva Antonio Narintildeo Unidad central del valle (Uceva)
Docente de secundaria En Cali Luis Madina Villegas Santiacutesima Trinidad Divino nintildeo Consolacioacuten y en Tuluaacute Jovita
Santacoloma Liceo Moderno y actualmente en el gimnasio del pacifico
INTERNET
CANAL DE YOUTUBE httpswwwyoutubecomuserThe26123
CON BLOG httpswordpresscompagescarlosivanrestrepowordpresscom
GRACIAS
Primero le doy gracias a Dios
Luego a mis padres Enoc y Soledad por su esfuerzo
Y dedicacioacuten en mi crianza y a mi esposa
Fanny Stella romero Maciacuteas por su paciencia al tiempo
Que no le dedico al realizar esta pequentildea compilacioacuten
que espero que sea un orgullo para mis hijos Oscar y Sandra Giovanna Restrepo
y que sus hijos Juan Guillermo Valeria y Victoria les sirva este moacutedulo como
un ejemplo de vida en un futuro
PRESENTACION DEL TALLER LINKS
En este trabajo intentamos relacionar las caracteriacutesticas de los escritos en internet sobre el manejo delas LAS INTEGRALES en el Caacutelculo de una variable utilizados a lo largo de la historia de las carreras de Ingenieriacutea de la Facultad de Ciencias Exactas con respecto a los contenidos fundamentales dadas en las de las universidades colombianas y de pronto hasta nivel mundial con las particularidades del contexto matemaacutetico y pedagoacutegico He considerado para ello he
vinculados los temas maacutes importantes y concernientes a integrales y saber que las integrales baacutesicamente se usan cotidianamente en el caacutelculo de aacutereas longitudes de curvas y voluacutemenes de cuerpos de revolucioacuten
Caacutelculo de aacutereas
Caacutelculo de longitudes de curvas
Caacutelculo de voluacutemenes de cuerpos de revolucioacuten
A efecto de caracterizar los libros propuestos en la bibliografiacutea de las asignaturas de Caacutelculo de una variable de las carreras
de Ingenieriacutea de esta Facultad llevamos a cabo maacutes bien una webgrafia para apoyar este trabajo con un anaacutelisis didaacutectico
y epistemoloacutegico en torno al enfoque praacutectico del uso de las integrales tratando de establecer las propuestas (impliacutecitas o
expliacutecitas) del autor Nos centramos en este concepto en virtud de su riqueza en el contexto de las aplicaciones ingenieriles
Este taller links presenta una metodologiacutea de ensentildeanza a traveacutes de enlaces de internet donde el estudiante completara o ampliara el manejo de conceptos e interpretacioacuten de ejercicios que haraacute que el estudiante consulte asiduamente para contar con mayor cantidad de ejercicios tendientes a reforzar la aplicacioacuten directa de definiciones o propiedades y se pueda apoyar en direcciones electroacutenicas que aparece en la web grafiacutea pues es la base del tutorial pues sobre ella se soporta el material y algunas renovaciones que el autor le hace a dichos documentos
Lo uacutenico que espero que este taller links alcance en docentes y alumnos de Tuluaacute de Colombia y porque no el mundo acadeacutemico en general de tal manera que sea impactante y que ojalaacute pase fronteras y que mis nietos lo lleguen a usar como herramientas de trabajo y sea orgullosos de este modesto taller links de integrales
Por esto mismo un principio baacutesico en la comprensioacuten del concepto de integral es el de entenderla como una sumatoria de aacutereas y consiste en vislumbrar en conjunto el concepto de aacutereas a traveacutes del concepto de integral En la educacioacuten tradicional este contenido por lo general confunde un poco a los alumnos por lo que surge la necesidad de poder explicarla de una manera maacutes clara y precisa para que el alumno pueda reproducir y aplicar el conocimiento adquirido por lo que en este trabajo utilizando modelos vanguardistas Se propone una metodologiacutea como material didaacutectico para desarrollar el concepto de este tema mediante el caacutelculo de una funcioacuten sencilla
Este taller links tiene como objetivo ser un instrumento de guiacutea en clase para el docente pues el ejercicio muchas veces se inicia se corta el proceso y luego se da la respuesta con el objetivo de que el estudiante lo continuacutee
CONTENIDOS
CONTENIDOS
CAPITULO 1
SUMATORIAS
EJERCICIOS DE SUMATORIAS
OTROS EJEMPLOS DE SUMATORIAS
EJERCICIOS GENERALES
SUMATORIAS DE RIEMAN
SUMAS DE RIEMANN
EJERCICIOS APLICANDO RIEMANN
CAPITULO 2
INTEGRALES INMEDIATAS Y POR SUSTITUCION IDONEA
TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS
GUIA DE INTEGRALES POR SUSTITUCION
EJERCICIOS 1
I) USANDO LA TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS Y LAS OTRAS FORMULAS RESOLVER
II) RESUELVE LAS SIGUIENTES INTEGRTALES DEFINIDAS Y GRAFIQUELAS
III) TALLER INTEGRALES PARA COMPLETAR
1) INTEGRALES INMEDIATAS
2) SOLUCION DE INTEGRALES LOGARITMICAS
3) INTEGRALES EXPONENCIALES
4) INTEGRALES TRIGONOMETRICAS
5) OTRAS INTEGRALES TRIGONOMETRICAS
6) OTRAS INTEGRALES
EJERCICIOS 2
I) RESOLVER LAS SIGUIENTES INTEGRALES INDEFINIDAS Y VERIFIQUE SU
RESPUESTA REALIZANDO LA DERIVADA
II) EVALUE LA INTEGRAL INDEFINIDA DADA USANDO UNA SUSTITUCION IDONEA
CAPITULO 3
INTEGRACION POR PARTES
DEFINICION
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRACIOacuteN POR PARTES
EJERCICIOS PARA RESOLVER POR SUSTITUCION
RESOLVER LAS SIGUIENTES INTEGRALES POR PARTES
CAPITULO 4
FUNCIONES HIPERBOLICAS
FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS HIPERBOacuteLICAS
EJERCICIOS DE DERIVADAS HIPERBOLICAS
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES HIPERBOLICAS
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1
Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJMEPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
EJEMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
EJERCICIOS
CAPITULO 1
SUMATORIAS
La sumatoria no es maacutes que una operacioacuten de suma repetida desde laquonraquo veces (siendo n el nuacutemero de sumandos) hasta infinito Tiene muchas aplicaciones tanto en estadiacutestica (para hallar la media etc) como en las series de nuacutemeros e incluso en integrales
Se representa con la letra griega Σ y se puede definir de la siguiente manera
La variable i se llama iacutendice de la suma que nos indica cual es el primer valor inicial (desde el cual se comienza) mientras que n es el liacutemite superior que es hasta donde va a llegar dicha suma Ademaacutes se tiene que cumplir que mlen
Los sumatorios tienen unas reglas que han de cumplirse a la hora de realizar las operaciones A continuacioacuten las citamos
Regla 1 El sumatorio de una suma es igual a la suma de las sumatorias de cada teacutermino Es decir que es lo mismo sumar primero los teacuterminos (que pueden ser datos que nos dan) y hacer luego el sumatorio que realizarlo por separado para cada uno de los teacuterminos
Regla 2 La suma del producto de una constante por una variable es igual a k veces la sumatoria de la variable
Dicho de otra forma que si tenemos una constante K multiplicando al sumatorio podemos sacarla para fuera (como si hicieacutesemos factor comuacuten que en realidad lo es)
Regla 3 El sumatorio de n veces una constante es igual a N veces esa constante
Si K es 3 sumar 3 20 veces es lo mismo que multiplicar 3times20
Regla 4 El sumatorio de un producto no es igual al producto de los sumatorios de cada teacutermino
Regla 5 El sumatorio de los cuadrados de los valores de una variable no es igual al sumatorio de la variable elevada al cuadrado
Por ejemplo no es lo mismo sumar 1+2^2+3^2= 1+4+9 =14 que hacerlo con 1+2+3=5 y elevarlo al cuadrado que nos dariacutea 25
gtgtEjemplo
Calcular la suma de los nuacutemeros impares que se encuentran entre 14 y 4492
Podriacuteamos resolver este ejercicio de la forma normal sin sumatorios pero es muy engorroso pues habraacute muchos nuacutemeros que sumar
En lugar de eso vamos a proceder de la siguiente forma con sumatorios primero planteemos la suma
Como veis son muchiacutesimos los impares existentes desde 15 que es el primero hasta 4491 que es el uacuteltimo
Esa suma la podemos escribir tambieacuten de la siguiente forma
Explicacioacuten Hemos aplicado el mismo principio que cuando tenemos una serie y queremos sacar la expresioacuten general de eacutesta En este caso para representar todos los nuacutemeros impares escribimos 2k-1
Los liacutemites que hemos escogido para el sumatorio son la mitad de la base de las potencias escritas anteriormente Esto se hace asiacute para que nos cuadre el resultado Por ejemplo veis que para k=8 si sustituimos en (2k-1)^2 nos quedariacutea (2times8-1)^2=(16-1)^2= (15)^2 y asiacute sucesivamente para los demaacutes nuacutemeros
Una vez comprendido lo anterior vamos a desarrollar el cuadrado del sumatorio anterior
En este paso hemos separado el sumatorio en varios aplicando la laquoregla 1raquo y a continuacioacuten sacamos las constantes para fuera (aplicando la laquoregla 2raquo)
Aquiacute de nuevo tengo que hacer un inciso para explicar lo que pondreacute a continuacioacuten Como veis hay un 4 multiplicando los 2 sumatorios por loacutegica se nos ocurririacutea sacar factor comuacuten de esos 2 sumatorios pero hay un problema el 1 se nos queda suelto por lo que ahora el sumatorio no nos cumple la propiedad de sumar solamente los impares para ello hacemos un pequentildeo truco cambiamos los liacutemites del sumatorio quedaacutendonos esto
Ahora siacute que podemos resolver los sumatorios uno por uno para hallar nuestro resultado
Es decir que es lo mismo sumar primero los teacuterminos (que pueden ser datos que nos dan) y hacer luego el sumatorio que realizarlo por separado para cada uno de los teacuterminos
Regla 2 La suma del producto de una constante por una variable es igual a k veces la sumatoria de la variable
Dicho de otra forma que si tenemos una constante K multiplicando al sumatorio podemos sacarla para fuera (como si hicieacutesemos factor comuacuten que en realidad lo es)
Regla 3 El sumatorio de n veces una constante es igual a N veces esa constante
Si K es 3 sumar 3 20 veces es lo mismo que multiplicar 3times20
Regla 4 El sumatorio de un producto no es igual al producto de los sumatorios de cada teacutermino
Regla 5 El sumatorio de los cuadrados de los valores de una variable no es igual al sumatorio de la variable elevada al cuadrado
Por ejemplo no es lo mismo sumar 1+2^2+3^2= 1+4+9 =14 que hacerlo con 1+2+3=5 y elevarlo al cuadrado que nos dariacutea 25
gtgtEjemplo
Calcular la suma de los nuacutemeros impares que se encuentran entre 14 y 4492
Podriacuteamos resolver este ejercicio de la forma normal sin sumatorios pero es muy engorroso pues habraacute muchos nuacutemeros que sumar
En lugar de eso vamos a proceder de la siguiente forma con sumatorios primero planteemos la suma
Como veis son muchiacutesimos los impares existentes desde 15 que es el primero hasta 4491 que es el uacuteltimo
Esa suma la podemos escribir tambieacuten de la siguiente forma
Explicacioacuten Hemos aplicado el mismo principio que cuando tenemos una serie y queremos sacar la expresioacuten general de eacutesta En este caso para representar todos los nuacutemeros impares escribimos 2k-1
Los liacutemites que hemos escogido para el sumatorio son la mitad de la base de las potencias escritas anteriormente Esto se hace asiacute para que nos cuadre el resultado Por ejemplo veis que para k=8 si sustituimos en (2k-1)^2 nos quedariacutea (2times8-1)^2=(16-1)^2= (15)^2 y asiacute sucesivamente para los demaacutes nuacutemeros
Una vez comprendido lo anterior vamos a desarrollar el cuadrado del sumatorio anterior
En este paso hemos separado el sumatorio en varios aplicando la laquoregla 1raquo y a continuacioacuten sacamos las constantes para fuera (aplicando la laquoregla 2raquo)
Aquiacute de nuevo tengo que hacer un inciso para explicar lo que pondreacute a continuacioacuten Como veis hay un 4 multiplicando los 2 sumatorios por loacutegica se nos ocurririacutea sacar factor comuacuten de esos 2 sumatorios pero hay un problema el 1 se nos queda suelto por lo que ahora el sumatorio no nos cumple la propiedad de sumar solamente los impares para ello hacemos un pequentildeo truco cambiamos los liacutemites del sumatorio quedaacutendonos esto
Ahora siacute que podemos resolver los sumatorios uno por uno para hallar nuestro resultado
Fuente httpsmatematicalaguia2000comgeneralsumatorio
I) EJERCICIOS DE SUMATORIAS
I) Encontrar los valores de las sumas indicadas
OTROS EJEMPLOS DE SUMATORIAS
A continuacioacuten veremos otros tipos de ejercicios
MATERIAL DE APOYO
httpwwwestuc3mesespnueva_docenciagetafeciencias_estadisticasanalisis_exploratorio_datosdocumentacion
_archivosejerciciosejercicios_sumatoriospdf
httpwwwmatusonmx~jldiazNotasCD-1SeriesEjemplos_de_Series-1htm
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_defiteorianotacion_sigmahtml
httpsingenieriaelectronicaorgnotacion-sumatoria-definicion-caracteristicas-ejemplos CON VIDEOS
httpwwwcalculojcbmatcomid551htm
httptrafulutemclportaldoccapsulas-de-aprendizajecapsula-
sumatoriaassetsmaterial_descargablesumatoria_20ejercicios_desarrolladospdf
httpprofe-alexzblogspotcom201208sumatorias-problemas-resueltoshtml VIDEOS
EJERCICIOS GENERALES
1) APLIQUE LA PROPIEDAD CORRESPONDIENTE
2) CALCULA LAS SIGUIENTES SUMAS
3)
4)
Escribe en forma de sumatoria
5) Desarrolla las siguientes sumatorias
6) Calcula las siguientes sumatorias
SUMATORIAS DE RIEMANN
MATERIAL DE APOYO
httpwwwinguceduve~mlaurentinvariosGuiaEjerciciosUnidadIIAMIIpdf
httpswwwrbjlabscomcalculosumas-de-riemann-ejercicios-parte-1
httpswwwstudocucomesdocumentuniversidad-del-magdalenacalculo-integralapuntesnotas-de-clases-integral-
definida-suma-de-riemann4384436view
httpsingenieriaelectronicaorgsumas-riemann-definicion-ejemplos-ejercicios-resueltos
FUENTE httpmatematicasuiseducocalculo2sumaspdf
EJERCICIOS APLICANDO RIEMANN
RESOLVER POR RIEMANN E INTEGRANDO
1) LEA BIEN PERO PRIMERO GRAFIQUE Y HALLE EL AREA DADA INTEGRANDO
R 83 U2
2) REALICE CON CUIDADO PERO PRIMERO GRAFIQUE Y HALLE EL AREA DADA INTEGRANDO
R9 U2
3) REALICE CON CUIDADO PERO PRIMERO GRAFIQUE HALLE EL AREA DADA
R8U2
4)Grafique e integre y aplique riemann
R16U2
R9U2
5)REALIZARDIBUJA
5) Realizar or riemann y la regla de barrow
R
CAPITULO 2
INTEGRALES INMEDIATAS Y POR SUSTITUCION IDONEA
FUENTE httpscampusdematematicascomtablas-y-formulariostabla-de-integrales
II) TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS
OTRAS FORMULAS
GUIA DE EJEMPLOS DE INTEGRALES POR SUSTITUCION
INTEGRALES POR SUSTITUCION
RESOLVERint radic3 119909 + 5 119889119909 = 119868 Sea 119889119906 = 3 119909 + 5
119889119906 = 3 119889119909 = 119889119909 =119889119906
3
Al sustituir tenemos
119868 = int 11990612
119889119906
3 =
1
3 int 119906
12 119889119906
119868 =1
3(
11990632
32
) + 119862 = 2
911990632 + 119862
119868 = 2
9(3119909 + 2)32 + 119862
RESOLVER int119909119889119909
(1199092+ 4)2 = 119868
Sea 119906 = 1199092 + 4
119889119906 = 2119909 119889119909 = 119909119889119909 =119889119906
2
1
2
Al sustituir tenemos
119868 = int119889119906
21199062 =
1
2 int 119906minus2 119889119906
119868 =1
2(
119906minus1
minus1) + 119862 =
1
2119906minus1 + 119862
119868 = 1
2(1199092 + 4)minus1 + 119862
119868 = 1
2(1199092 + 4)+ 119862
RESOLVER int119904119890119899 119889119909
radic1+2 cos 119909 = 119868
Sea 119906 = 1 + 2 cos 119909
119889119906 = minus2 119904119890119899 119909119889119909 = 119904119890119899 119909 119889119909 = minus119889119906
2
Al sustituir tenemos
119868 = intminus119889119906
211990612 = minus
1
2 int
119889119906
11990612
119868 = minus1
2int 119906minus12119889119906 = minus
1
2(
11990612
12
) + 119862
119868 = minus11990612 + 119862 = minus(1 + 2 cos 119909) 12 + 119862
119868 = minus radic1 + 2 cos 119909 + 119862 DE AQUIacute EN ADELANTE TU LLEGAS A LA RESPUESTA
RESOLVER int119909119889119909
radic119909+1 = 119868
Sea 119906 = radic119909 + 1
1199062 = 119909 + 1 = 119909 = 1199062 minus 1
3
4
2119906119889119906 = 119889119909
CONTINUA
R 119868 =2
3radic119909 + 1(119909 minus 2) + 119862
5)
int 1199092radic2 minus 119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = radic2 minus 119909
1199062 = 2 minus 119909 = 119909 = 2 minus 1199062 119889119909 = minus2119906119889119906
Reemplazando
119868 = int(2 minus 1199062)2(minus2119906119889119906)(119906)
119868 = minus2 int(4 minus 41199062 + 1199064)1199062119889119906
COMPLETA
Rminus2
105(2 minus 119909 )32(140 minus 84(2 minus 119909) + 15(2 minus 119909)2) + 119862
RSOLVER int119909119889119909
radic1199092+9 = 119868
Sea 119906 = 1199092+9
119889119906 = 2119909119889119909 = 119909119889119909 =119889119906
2
Sustituyendo tenemos119868 = int119889119906
211990612 = 2 int 119906minus12 119889119906
COMPLETA
R 119868 = radic1199092 + 9 + 119862
7) RESOLVER int radic1 + radic119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = radic1 + radic119909 1199062 = 1 + radic119909 = 1199062 minus 1 = radic119909 (1199062 minus 1)2 = 119909 2(1199062 minus 1)(2119906)119889119906 = 119889119909 Reemplazando
6
119868 = int 119906[2(1199062 minus 1)2(2119906)] 119889119906 119868 = 4 int 1199062(1199062 minus 1)119889119906 119868 = 4 int(1199064 minus 1199062)119889119906
119868 = (1199064
5minus +
1199063
3) + 119862
Termiacutenalo
R
4(1 + radic3)32
[3(1 + radic119909) minus 5] + 119862
8) RESOLVER
int 119890119909radic1 + 119890119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = 1 + 119890119909 119889119906 = 119890119909 119889119909 Reemplazando tenemos
119868 = int 11990612 119889119906
TERMINALO R 119868 =2
3(1 + 119890119909)32 + 119862
9) RESOLVER int 1199051198861198993119909 1199041198901198882119909 119889119909 = 119868 Sea 119906 = tan 119909
119889119906 = 1199041198901198882119909119889119909
TERMINALO R 119868 =1199051198861198994119909
4 + 119862
10)119877119864119878119874119871119881119864119877 int1199092+2119909
(119909+ 1)2 119889119909 = 119868
Al hacer el binomio y dividir se tiene
(119909 + 1)2 = 1 minus1
1199092+2119909+1 Al sustituir 119868 = int (1 minus
119909
(119909+1)2) 119889119909 = int 119889119909 minus int
119889119909
(119909+1)2
119868 = 119909 minus int119889119909
(119909+1)2
R 119868 = 119909 minus (minus 1
119909+1) + 119862 = 119909 +
1
119909+1+ 119862
11) RESOLVER int2+radic119909
1minusradic119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = 1 minus radic119909 radic119909 = 1 minus 119906 = 119909 = (1 minus 119906)2 119889119909 = 2(1 minus 119906)(minus1)119889119906 = 2(1 minus 119906)119889119906
Ahora 2 + radic119909 = 2 + (1 minus 119906) = 3 minus 119906
Al integrar 119868 = int (3minus119906
119906) [minus2(1 minus 119906)] 119889119906 119864119873119879119874119873119862119864119878 (3 int
119889119906
119906minus 4 int 119889119906 + int 119906 119889119906)
CUAL SERIA LA RESPUESTA MATERIAL DE APOYO httpscursodecalculofileswordpresscom201305ejercicios-resueltos-de-
integral-2-integrales-por-sustitucic3b3n-o-cambio-de-variablepdf
EJERCICIOS 1
I) USANDO LA TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS Y LAS OTRAS FORMULAS RESOLVER
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6 ) R 7) R
8) R 9) R
10) R
11) R 12) R
13) R
14) R 15) R
16) R 17)
18) R 19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
27) R 28) R
29 ) R
30) R
31) R 32) R
33) R
34) R 35) R
36) R 37) R
38) R
39) DEMUESTRE LAS SIGUIENTES IGUALDADES
40) USANDO LAS SIGUIENTES IGUALDADES
RESOLVERA) R
B) R
C) R
II) RESUELVE LAS SIGUIENTES INTEGRTALES DEFINIDAS Y GRAFIQUELAS
SOLUCION
A) 8
b) e-1
c) 1
d) 103
e) I
I I I ) TALLER INTEGRALES PARA COMPLETAR
OBSERVA LAS INTEGRALES RESUELTAS EN LA MAYORIA DE LOS CASOS
FALTA LA SUSTITUCION IDONEA POR AGREGAR AL DESARROLLO DEL
EJERCICIO Y ESA SUSTITUCION PUEDE SER ALGEBRAICA O FALTA EL
CAMBIO DE VARIABLE RESPECTIVO
1) INTEGRALES INMEDIATAS
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
2 Solucioacuten de las integrales logariacutetmicas
1
2
3
4
5
6
7
8
9 - ln (sen x + cos x ) +C
10
11
3 integrales exponenciales
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4 integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5 Otras integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
- 21 x
4
6 Otras integrales
1
2
3
4
5
EJERCICIOS 2
I) RESOLVER LAS SIGUIENTES INTEGRALES INDEFINIDAS Y VERIFIQUE SU
RESPUESTA REALIZANDO LA DERIVADA
II) EVALUE LA INTEGRAL INDEFINIDA DADA USANDO UNA SUSTITUCION IDONEA
62)Problemas de integrales
1Hallar una funcioacuten F(x) cuya derivada sea f(x) = x + 6 y tal que para x = 2
tome el valor 25
RESPUESTA
2De las inf in itas funciones primitivas de la funcioacuten y = xsup2 - x + 1 iquestcuaacutel
es la que para x = 3 toma el valor 5
RESPUESTA
3Hallar una recta cuya pendiente es 2 y pasa por eacutel punto P(0 4)
RESPUESTA f(x) = 2x + 4
4Escribe la funcioacuten primitiva de y = xsup2 + 2x cuya representacioacuten graacutef ica pasa
por eacutel punto (1 3)
RESPUESTA
5Calcular la ecuacioacuten de la curva que pasa por P(1 5) y cuya pendiente en cualquier punto es
3xsup2 + 5x minus 2
RESPUESTA
6Hallar la primitiva de la funcioacuten que se anula para x = 2
RESPUESTA
CAPITULO 3
INTEGRACION POR PARTES
Definicioacuten
Existen varios meacutetodos de integracioacuten consistiendo todos ellos en reducir la integral buscada a una inteacutegrala conocida como por ejemplo una de las de la tabla o bien reducirla una integral maacutes sencilla
El meacutetodo de integracioacuten por partes estaacute basado en la derivada de un producto de funciones como se muestra a continuacioacuten
d(umiddotv) = u dv + v du
por eso es que se usa para integrales que contienen dos funciones que se multiplican entre si
intd(umiddotv) = intu dv + intv du
Se llama integracioacuten por partes porque la integral se divide en dos partes en una el integrando es u y otra en la otra es v La integral debe estar completa y sin alterar la operacioacuten dentro de ella Consejos
La funcioacuten correspondiente a dv debe ser la funcioacuten maacutes faacutecil de integrar 2- En u deben ir aquellas funciones que no tienen integral directa (funciones logariacutetmicas e inversas) luego se pueden considerar las funciones algebraicas puesto que la derivada es reductiva Las funciones trigonomeacutetricas y exponenciales son maacutes sencillas de trabajar
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRACIOacuteN POR PARTES
1-
2-
3-
4-
5-
6-
7-
8-
9-
10-
INTEGRACION POR PARTES
MATERIAL DE APOYO
VIDEOS DE INTEGRACION POR PARTES
1) httpswwwprofesor10dematescom201505integrales-por-partes-resueltashtml
2) httpwwwsietecolinasesmaterialesmatintegrales-4pdf
3) httpsgpweiztuammxfilesusersuamijdfmetodos_de_integracionintegracion_por_partesp
df
EJERCICIOS EJERCICIOS PARA RESOLVER POR PARTES
1) L=Ln
R
2) R
3) R
4) R
5) R 6) R
7) R
8) R
9) R L=Ln
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
15) R
16) R
17) R
18) R
19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
INTEGRAL RESPUESTA
26) x senx dx sen x xcos x c
27) ln x dx 1x ln x c
28)2
xx sen dx 4 2
2 2
x xsen xcos c
29) x cos nx dx 2
cos nx x sennxc
nn
30) 2 u sec u du utgu lncosu c
31) 2 3 u sen v dv 21 1 16 6
4 12 72v v sen v cos v c
32) 2 y senny dy 2
3 2
2 2cosny y senny y cosnyc
nn n
33) 2 xa dx 2
1x xa c
lna ln a
34) nx ln x dx 1 1
1 1
nx
ln x cn n
35) arc sen x dx 2 1x arc sen x x c
36) arc tg x dx 21 1
2x arc tg x ln x c
37) arc c tg y dy 21 1
2y arc c tg y ln y c
38) 2 arc cos x dx 21 2 1 4
2x arc cos x x c
39) arc sec y dy 2 1y arc sec y ln y y c
40) 2
tarc csc dt 2 2 4
2
tt arc csc ln t t c
41) x arc tg x dx 2 1
2 2
x xarc tg x c
42) arc tg x dx 1 x arc tg x x c
43) 2 xx e dx
22 2xe x x c
44) e cos d
2
esen cos c
45)
2
1
ln x dx
x 1
1
xln x ln x c
x
CAPITULO 4
FUNCIONES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
1) httpwwwmtyitesmmxetiedeptosmma-841recursostab-hippdf
2) httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCION
ES20HIPERBOLICASpdfsequence=1
FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS HIPERBOacuteLICAS
Definicioacuten de las funciones
Un ciacuterculo unitario con centro en el origen sigue la foacutermula 1yx 22 un punto dado por el par
ordenado yx se puede representar como funcioacuten de un aacutengulo t de la siguiente manera
senttcosyx De igual manera una hipeacuterbola unitaria con centro en el origen sigue la foacutermula
1yx 22 un punto dado por el par ordenado yx se puede representar como funcioacuten del aacutengulo t
de la siguiente manera senhttcoshyx Estas funciones se denominan funciones trigonomeacutetricas
hiperboacutelicas en particular coseno hiperboacutelico y seno hiperboacutelico
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas presentan propiedades anaacutelogas a las de las funciones
trigonomeacutetricas o circulares La funcioacuten xsenhxf se define como 2
eexsenh
xx mientras que
la funcioacuten xcoshxf es 2
eexcosh
xx
Al igual que las funciones trigonomeacutetricas circulares en las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas se
cumplen las siguientes identidades fundamentales
xx
xx
xx
xx
xx
xx
ee
2
xsenh
1xhcsc
ee
2
xcosh
1xhsec
ee
ee
xsenh
xcoshxcoth
ee
ee
xcosh
xsenhxtanh
Debido a esto es loacutegico pensar que habraacute una relacioacuten equivalente al Teorema de Pitaacutegoras Asiacute
para las funciones hiperboacutelicas se sabe que 1xsenhxcosh 22
Ejemplo 1
Demostrar que 1xsenhxcosh 22
11
14
4
14
2
4
2
14
ee2
4
ee2
14
eee2e
4
eee2e
12
ee
2
ee
1xsenhxcosh
xxxx
x2xxx2x2xxx2
2xx
2xx
22
Graacutefica de las funciones
Sea la funcioacuten 2
eexsenhxf
xx Las intersecciones se pueden encontrar igualando la funcioacuten
a cero
0x
0x2
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
02
ee
x2
x
x
xx
xx
xx
La funcioacuten seno hiperboacutelico tiene una sola raiacutez en x=0 Para obtener los puntos criacuteticos se iguala a
cero la derivada de la funcioacuten
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
0ee2
1
ee2
1ee
dx
d
2
1
2
ee
dx
d
dx
df
x2
x
x
xx
xx
xx
xxxxxx
por lo tanto no hay puntos criacuteticos Es interesante notar que la derivada de la funcioacuten senh(x) es la
funcioacuten cosh(x)
Por uacuteltimo puntos inflexioacuten se pueden encontrar en donde la segunda derivada es igual a cero
xxxxxx
2
2
ee2
1ee
dx
d
2
1ee
2
1
dx
d
dx
fd
La segunda derivada nos llevoacute nuevamente a la funcioacuten senh(x) Esta funcioacuten ya se igualoacute a cero
para encontrar las intersecciones El resultado es que en x=0 hay una raiacutez que a su vez es un punto
de inflexioacuten
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
La misma funcioacuten 2
eexsenhxf
xx se puede ver como la resta de dos funciones exponenciales
2
e
2
e
2
ee xxxx
La graacutefica de estas dos funciones exponenciales se muestra en azul (exponencial
positiva) y verde (exponencial negativa) La resta de ambas punto por punto es la funcioacuten senh(x)
Derivadas
ucoshdx
duusenh
dx
dxcosh
2
ee
2
ee
dx
dxsenh
dx
d xxxx
usenhdx
duucosh
dx
dxsenh
2
ee
2
ee
dx
dxcosh
dx
d xxxx
uhsecdx
duutanh
dx
d
xhsecxcosh
1
xcosh
xsenhxcosh
xcosh
senhx
dx
dxtanh
dx
d
2
2
22
22
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
uhcscdx
duucoth
dx
d
xhcscxsenh
1
xsenh
xcoshxsenh
senhx
xcosh
dx
dxcoth
dx
d 2
22
22
uhsecutanhdx
duuhsec
dx
d
hxsecxtanhxcosh
1
xcosh
senhx
xcosh
senhx
xcosh
1
dx
dxhsec
dx
d2
uhcscucothdx
duuhcsc
dx
d
hxcscxcothsenhx
1
senhx
xcosh
xsenh
xcosh
senhx
1
dx
dxhcsc
dx
d2
Ejemplo 2
Derivar la funcioacuten 3x4tanhxf 2
La funcioacuten maacutes externa es la raiacutez por lo tanto es la primera en derivarse
3x4tanh2
3x4hsecx83x4tanh
dx
d
3x4tanh2
1
dx
df
2
222
2
Ejemplo 3
Derivar la funcioacuten 2x3cosh2x3tanhlnxf 22
La funcioacuten maacutes externa es el logaritmo por lo tanto es el primero en derivarse
2x3cosh2x3tanh
2x3xsenh62x3hsecx6
dx
df22
222
Integrales
Utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se puede establecer que
cuhcscduucothuhcsc
cuhsecduutanhuhsec
cucothduuhcsc
cutanhduuhsec
cusenhduucosh
cucoshduusenh
2
2
Utilizando estas foacutermulas se pueden establecer las siguientes
Ejemplo 4
Hallar la foacutermula para la integral de la tangente hiperboacutelica
dxxcosh
xsenhdxxtanh
Se hace un cambio de variable en donde dxxsenhduxcoshu Al sustituir la integral anterior
cambia a
cxcoshlnculnu
dudx
xcosh
xsenhdxxtanh
Se puede utilizar el mismo procedimiento para hallar las siguientes foacutermulas
cusenhlnduucoth
cucoshlnduutanh
Ejemplo 5
Resolver las siguientes integrales
dxx3senhx 32
Se realiza el cambio de variable dxx9
dux3u 23 por lo tanto la integral se puede escribir como
cx3cosh9
1cucosh
9
1duusenh
9
1
9
duusenhdxx3senhx 332
dx
x
xlnhsec 2
Se realiza el cambio de variablex
dxduxlnu por lo tanto la integral se puede escribir como
cxlntanhcutanhduuhsecdx
x
xlnhsec2
2
1
0
dxxcoshxsenh
Se realiza el cambio de variable dxxsenhduxcoshu por lo tanto la integral se puede escribir
como
1x
0x
1
0
2 duudxxcoshxsenh
Sin embargo dado que u=senh(x) si x=0 entonces 02
ee0senhu
00
Cuando x=1 entonces
e2
1e
2
e
1e
2
e
1e
2
ee1senhu
2
2
11
La integral es
2
32
23
23
2
e2
1e
0
23
e2
1e
0
1x
0x
1
0
2
e2
1e
3
20
3
2
e2
1e
3
2
u3
2duuduudxxcoshxsenh
22
Inversas
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas tienen funciones inversas que comuacutenmente se denotan
como 1senh o bien como arcsenh donde la funcioacuten recibe el nombre de seno hiperboacutelico inverso
Dado que las funciones estaacuten definidas en teacuterminos de exponenciales es de esperarse que sus
inversas incluyan logaritmos naturales Se pueden definir como
1x0parax
x11lnxhsec
1xparax1
x1ln
2
1xtanh
1xpara1xxlnxcosh
1xxlnxsenh
21
1
21
21
Las derivadas e integrales de estas funciones se resuelven igual que las funciones trigonomeacutetricas
inversas
Ejemplo 6
Obtener la foacutermula para la derivada de la funcioacuten xsenhy 1
Dado que no se conoce la derivada del seno hiperboacutelico inverso pero siacute la del seno hiperboacutelico se
pueden utilizar el concepto de la funcioacuten inversa y la derivada impliacutecita para hallar la foacutermula en
cuestioacuten
ycosh
1y
1yacutecoshy
xysenh
xsenhy 1
Se sabe que 1ysenhycosh 22 por lo tanto 1ysenhycosh 22 y la funcioacuten senhy=x entonces
1xycosh 2 Al sustituir se obtiene
1x
1y
2
El mismo meacutetodo se puede utilizar para encontrar cualquiera de las siguientes foacutermulas
1u
dxdu
usenhdx
d
2
1
1u1u
dxdu
ucoshdx
d
2
1
1uu1
dxdu
utanhdx
d2
1
1u0u1u
dxdu
uhsecdx
d
2
1
Ejemplo 7
Determinar si la funcioacuten 3xxsenhxf 21 es creciente o decreciente en el punto x=2
Se debe resolver la derivada de la multiplicacioacuten
10x6x
x23xsenh
19x6x
x23xsenh
13x
x2x3xsenh
dx
df
24
221
24
221
22
21
Se busca conocer como es la funcioacuten en x=2 por lo tanto se sustituye en la derivada
773131642077
80714ln
25
8257ln
225
82257ln
50
81497ln
102416
87senh
dx
df 1
2x
La funcioacuten es creciente crece a una razoacuten de 377
Las foacutermulas para la integracioacuten salen utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo y a partir de las
foacutermulas de derivacioacuten
0aca
usenhdu
ua
1 1
22
0auca
ucoshdu
au
1 1
22
au0aca
utanh
a
1du
ua
1 1
22
au00aca
uhsec
a
1du
uau
1 1
22
Ejemplo 8
Resolver la integral
dxe25
e
x6
x3
Esta integral es como la de la tangente hiperboacutelica inversa donde 5a25a 2
dxe3
dueueu x3x3x62 Al sustituir esto en la integral
c5
etanh
15
1c
5
etanh
5
1
3
1
u25
du
3
1
u25
3du x3
1x3
1
22
Aplicaciones
La velocidad de las olas en el mar bajo ciertas condiciones depende de la longitud de onda
(distancia entre cresta y cresta) y de la profundidad del agua por donde viajan las olas h La funcioacuten
que relaciona estas variables es
h2tanh
2
gv 2
donde v es la velocidad y g es la gravedad
Suponiendo que se mantiene h constante esto es que el oleaje se propaga por un oceacuteano de
profundidad constante (50 m) determinar si la velocidad aumenta o disminuye cuando m5
h2hsec
ghh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2hsec
h2
2
gh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2tanh
2
gv
h2tanh
2
gv
2
2
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
728d
dv
5
502hsec
5
50819
5
502tanh
2
819
5
502tanh
2
58192
1
d
dv 2
Entonces para este valor de la longitud de onda y de la profundidad la velocidad de la ola va
aumentando respecto a la longitud de onda
Si se requiere ahora saber como va cambiando la velocidad de propagacioacuten del oleaje respecto a la
profundidad del mar para una longitud de onda de 5 m se deberaacute entonces derivar respecto a h Sea
una profundidad de 7 m
h2tanh
2
g2
h2hsecg
dh
dv
h2hsec
2
2
g
h2tanh
2
g2
1
dh
dv
h2tanh
2
gv
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
77
2
2
1061595
10918
5
14tanh
2
05492
5
14hsec819
dh
dv
5
72tanh
2
58192
5
72hsec819
dh
dv
Asiacute que aunque la velocidad de propagacioacuten del oleaje va aumentando respecto a la profundidad la
razoacuten de cambio es muy pequentildea
EJERCICIOS DE DERIVADAS HIPERBOLICAS
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6) R
7) R
8) AYUDA R
9) R 10) R
11) R 12) R
13) R
14)DEMOSTRAR
AYUDA
15)
AYUDA
INTEGRALES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
httpcalculoccfunciones_hiperbolicasp_integrales_hiperbhtml
httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCIONES20
HIPERBOLICASpdfsequence=1
httpseswikipediaorgwikiAnexoIntegrales_de_funciones_hiperbC3B3licas
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES HIPERBOLICAS
2)
3)
5)
6)
8)
Resolvemos ambas integrales mediante integracioacuten por partes
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 5 u = 3x
11)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 3 u = 4x
13)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = radic7 u = 5x
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION MATERIAL DE APOYO
800 INTEGRALES RESUELTAS
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_metodosproblemasp_integr_sust_trigohtml
httpsmatematicasnblogspotcom201512integracion-por-sustitucionhtml CON VIDEOS INCLUIDOS
httpsdspaceupseduecbitstream12345678961191Manual20de20fracciones20parcialespdf
httpwwwtesoemedumxalumnoscuadernillos2011011pdf
httpprofe-alexzblogspotcom201104integracion-fracciones-parcialeshtml Y VIDEOS
httpswwwsectormatematicacl rsaquo media rsaquo diferenciado rsaquo FRACCIONES P httpswwwipnmxassetsfilescecyt11docsGuiasUABasicasMatematicascalculo-integral-solucion-de-problemasPDF
httpswwwacademiaedu7708664CC381LCULO_INTEGRAL_EJERCICIOS_RESUELTOS_PASO_A_PASO
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1 Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de
variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de
la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que
contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe
ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
GRACIAS
Primero le doy gracias a Dios
Luego a mis padres Enoc y Soledad por su esfuerzo
Y dedicacioacuten en mi crianza y a mi esposa
Fanny Stella romero Maciacuteas por su paciencia al tiempo
Que no le dedico al realizar esta pequentildea compilacioacuten
que espero que sea un orgullo para mis hijos Oscar y Sandra Giovanna Restrepo
y que sus hijos Juan Guillermo Valeria y Victoria les sirva este moacutedulo como
un ejemplo de vida en un futuro
PRESENTACION DEL TALLER LINKS
En este trabajo intentamos relacionar las caracteriacutesticas de los escritos en internet sobre el manejo delas LAS INTEGRALES en el Caacutelculo de una variable utilizados a lo largo de la historia de las carreras de Ingenieriacutea de la Facultad de Ciencias Exactas con respecto a los contenidos fundamentales dadas en las de las universidades colombianas y de pronto hasta nivel mundial con las particularidades del contexto matemaacutetico y pedagoacutegico He considerado para ello he
vinculados los temas maacutes importantes y concernientes a integrales y saber que las integrales baacutesicamente se usan cotidianamente en el caacutelculo de aacutereas longitudes de curvas y voluacutemenes de cuerpos de revolucioacuten
Caacutelculo de aacutereas
Caacutelculo de longitudes de curvas
Caacutelculo de voluacutemenes de cuerpos de revolucioacuten
A efecto de caracterizar los libros propuestos en la bibliografiacutea de las asignaturas de Caacutelculo de una variable de las carreras
de Ingenieriacutea de esta Facultad llevamos a cabo maacutes bien una webgrafia para apoyar este trabajo con un anaacutelisis didaacutectico
y epistemoloacutegico en torno al enfoque praacutectico del uso de las integrales tratando de establecer las propuestas (impliacutecitas o
expliacutecitas) del autor Nos centramos en este concepto en virtud de su riqueza en el contexto de las aplicaciones ingenieriles
Este taller links presenta una metodologiacutea de ensentildeanza a traveacutes de enlaces de internet donde el estudiante completara o ampliara el manejo de conceptos e interpretacioacuten de ejercicios que haraacute que el estudiante consulte asiduamente para contar con mayor cantidad de ejercicios tendientes a reforzar la aplicacioacuten directa de definiciones o propiedades y se pueda apoyar en direcciones electroacutenicas que aparece en la web grafiacutea pues es la base del tutorial pues sobre ella se soporta el material y algunas renovaciones que el autor le hace a dichos documentos
Lo uacutenico que espero que este taller links alcance en docentes y alumnos de Tuluaacute de Colombia y porque no el mundo acadeacutemico en general de tal manera que sea impactante y que ojalaacute pase fronteras y que mis nietos lo lleguen a usar como herramientas de trabajo y sea orgullosos de este modesto taller links de integrales
Por esto mismo un principio baacutesico en la comprensioacuten del concepto de integral es el de entenderla como una sumatoria de aacutereas y consiste en vislumbrar en conjunto el concepto de aacutereas a traveacutes del concepto de integral En la educacioacuten tradicional este contenido por lo general confunde un poco a los alumnos por lo que surge la necesidad de poder explicarla de una manera maacutes clara y precisa para que el alumno pueda reproducir y aplicar el conocimiento adquirido por lo que en este trabajo utilizando modelos vanguardistas Se propone una metodologiacutea como material didaacutectico para desarrollar el concepto de este tema mediante el caacutelculo de una funcioacuten sencilla
Este taller links tiene como objetivo ser un instrumento de guiacutea en clase para el docente pues el ejercicio muchas veces se inicia se corta el proceso y luego se da la respuesta con el objetivo de que el estudiante lo continuacutee
CONTENIDOS
CONTENIDOS
CAPITULO 1
SUMATORIAS
EJERCICIOS DE SUMATORIAS
OTROS EJEMPLOS DE SUMATORIAS
EJERCICIOS GENERALES
SUMATORIAS DE RIEMAN
SUMAS DE RIEMANN
EJERCICIOS APLICANDO RIEMANN
CAPITULO 2
INTEGRALES INMEDIATAS Y POR SUSTITUCION IDONEA
TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS
GUIA DE INTEGRALES POR SUSTITUCION
EJERCICIOS 1
I) USANDO LA TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS Y LAS OTRAS FORMULAS RESOLVER
II) RESUELVE LAS SIGUIENTES INTEGRTALES DEFINIDAS Y GRAFIQUELAS
III) TALLER INTEGRALES PARA COMPLETAR
1) INTEGRALES INMEDIATAS
2) SOLUCION DE INTEGRALES LOGARITMICAS
3) INTEGRALES EXPONENCIALES
4) INTEGRALES TRIGONOMETRICAS
5) OTRAS INTEGRALES TRIGONOMETRICAS
6) OTRAS INTEGRALES
EJERCICIOS 2
I) RESOLVER LAS SIGUIENTES INTEGRALES INDEFINIDAS Y VERIFIQUE SU
RESPUESTA REALIZANDO LA DERIVADA
II) EVALUE LA INTEGRAL INDEFINIDA DADA USANDO UNA SUSTITUCION IDONEA
CAPITULO 3
INTEGRACION POR PARTES
DEFINICION
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRACIOacuteN POR PARTES
EJERCICIOS PARA RESOLVER POR SUSTITUCION
RESOLVER LAS SIGUIENTES INTEGRALES POR PARTES
CAPITULO 4
FUNCIONES HIPERBOLICAS
FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS HIPERBOacuteLICAS
EJERCICIOS DE DERIVADAS HIPERBOLICAS
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES HIPERBOLICAS
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1
Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJMEPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
EJEMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
EJERCICIOS
CAPITULO 1
SUMATORIAS
La sumatoria no es maacutes que una operacioacuten de suma repetida desde laquonraquo veces (siendo n el nuacutemero de sumandos) hasta infinito Tiene muchas aplicaciones tanto en estadiacutestica (para hallar la media etc) como en las series de nuacutemeros e incluso en integrales
Se representa con la letra griega Σ y se puede definir de la siguiente manera
La variable i se llama iacutendice de la suma que nos indica cual es el primer valor inicial (desde el cual se comienza) mientras que n es el liacutemite superior que es hasta donde va a llegar dicha suma Ademaacutes se tiene que cumplir que mlen
Los sumatorios tienen unas reglas que han de cumplirse a la hora de realizar las operaciones A continuacioacuten las citamos
Regla 1 El sumatorio de una suma es igual a la suma de las sumatorias de cada teacutermino Es decir que es lo mismo sumar primero los teacuterminos (que pueden ser datos que nos dan) y hacer luego el sumatorio que realizarlo por separado para cada uno de los teacuterminos
Regla 2 La suma del producto de una constante por una variable es igual a k veces la sumatoria de la variable
Dicho de otra forma que si tenemos una constante K multiplicando al sumatorio podemos sacarla para fuera (como si hicieacutesemos factor comuacuten que en realidad lo es)
Regla 3 El sumatorio de n veces una constante es igual a N veces esa constante
Si K es 3 sumar 3 20 veces es lo mismo que multiplicar 3times20
Regla 4 El sumatorio de un producto no es igual al producto de los sumatorios de cada teacutermino
Regla 5 El sumatorio de los cuadrados de los valores de una variable no es igual al sumatorio de la variable elevada al cuadrado
Por ejemplo no es lo mismo sumar 1+2^2+3^2= 1+4+9 =14 que hacerlo con 1+2+3=5 y elevarlo al cuadrado que nos dariacutea 25
gtgtEjemplo
Calcular la suma de los nuacutemeros impares que se encuentran entre 14 y 4492
Podriacuteamos resolver este ejercicio de la forma normal sin sumatorios pero es muy engorroso pues habraacute muchos nuacutemeros que sumar
En lugar de eso vamos a proceder de la siguiente forma con sumatorios primero planteemos la suma
Como veis son muchiacutesimos los impares existentes desde 15 que es el primero hasta 4491 que es el uacuteltimo
Esa suma la podemos escribir tambieacuten de la siguiente forma
Explicacioacuten Hemos aplicado el mismo principio que cuando tenemos una serie y queremos sacar la expresioacuten general de eacutesta En este caso para representar todos los nuacutemeros impares escribimos 2k-1
Los liacutemites que hemos escogido para el sumatorio son la mitad de la base de las potencias escritas anteriormente Esto se hace asiacute para que nos cuadre el resultado Por ejemplo veis que para k=8 si sustituimos en (2k-1)^2 nos quedariacutea (2times8-1)^2=(16-1)^2= (15)^2 y asiacute sucesivamente para los demaacutes nuacutemeros
Una vez comprendido lo anterior vamos a desarrollar el cuadrado del sumatorio anterior
En este paso hemos separado el sumatorio en varios aplicando la laquoregla 1raquo y a continuacioacuten sacamos las constantes para fuera (aplicando la laquoregla 2raquo)
Aquiacute de nuevo tengo que hacer un inciso para explicar lo que pondreacute a continuacioacuten Como veis hay un 4 multiplicando los 2 sumatorios por loacutegica se nos ocurririacutea sacar factor comuacuten de esos 2 sumatorios pero hay un problema el 1 se nos queda suelto por lo que ahora el sumatorio no nos cumple la propiedad de sumar solamente los impares para ello hacemos un pequentildeo truco cambiamos los liacutemites del sumatorio quedaacutendonos esto
Ahora siacute que podemos resolver los sumatorios uno por uno para hallar nuestro resultado
Es decir que es lo mismo sumar primero los teacuterminos (que pueden ser datos que nos dan) y hacer luego el sumatorio que realizarlo por separado para cada uno de los teacuterminos
Regla 2 La suma del producto de una constante por una variable es igual a k veces la sumatoria de la variable
Dicho de otra forma que si tenemos una constante K multiplicando al sumatorio podemos sacarla para fuera (como si hicieacutesemos factor comuacuten que en realidad lo es)
Regla 3 El sumatorio de n veces una constante es igual a N veces esa constante
Si K es 3 sumar 3 20 veces es lo mismo que multiplicar 3times20
Regla 4 El sumatorio de un producto no es igual al producto de los sumatorios de cada teacutermino
Regla 5 El sumatorio de los cuadrados de los valores de una variable no es igual al sumatorio de la variable elevada al cuadrado
Por ejemplo no es lo mismo sumar 1+2^2+3^2= 1+4+9 =14 que hacerlo con 1+2+3=5 y elevarlo al cuadrado que nos dariacutea 25
gtgtEjemplo
Calcular la suma de los nuacutemeros impares que se encuentran entre 14 y 4492
Podriacuteamos resolver este ejercicio de la forma normal sin sumatorios pero es muy engorroso pues habraacute muchos nuacutemeros que sumar
En lugar de eso vamos a proceder de la siguiente forma con sumatorios primero planteemos la suma
Como veis son muchiacutesimos los impares existentes desde 15 que es el primero hasta 4491 que es el uacuteltimo
Esa suma la podemos escribir tambieacuten de la siguiente forma
Explicacioacuten Hemos aplicado el mismo principio que cuando tenemos una serie y queremos sacar la expresioacuten general de eacutesta En este caso para representar todos los nuacutemeros impares escribimos 2k-1
Los liacutemites que hemos escogido para el sumatorio son la mitad de la base de las potencias escritas anteriormente Esto se hace asiacute para que nos cuadre el resultado Por ejemplo veis que para k=8 si sustituimos en (2k-1)^2 nos quedariacutea (2times8-1)^2=(16-1)^2= (15)^2 y asiacute sucesivamente para los demaacutes nuacutemeros
Una vez comprendido lo anterior vamos a desarrollar el cuadrado del sumatorio anterior
En este paso hemos separado el sumatorio en varios aplicando la laquoregla 1raquo y a continuacioacuten sacamos las constantes para fuera (aplicando la laquoregla 2raquo)
Aquiacute de nuevo tengo que hacer un inciso para explicar lo que pondreacute a continuacioacuten Como veis hay un 4 multiplicando los 2 sumatorios por loacutegica se nos ocurririacutea sacar factor comuacuten de esos 2 sumatorios pero hay un problema el 1 se nos queda suelto por lo que ahora el sumatorio no nos cumple la propiedad de sumar solamente los impares para ello hacemos un pequentildeo truco cambiamos los liacutemites del sumatorio quedaacutendonos esto
Ahora siacute que podemos resolver los sumatorios uno por uno para hallar nuestro resultado
Fuente httpsmatematicalaguia2000comgeneralsumatorio
I) EJERCICIOS DE SUMATORIAS
I) Encontrar los valores de las sumas indicadas
OTROS EJEMPLOS DE SUMATORIAS
A continuacioacuten veremos otros tipos de ejercicios
MATERIAL DE APOYO
httpwwwestuc3mesespnueva_docenciagetafeciencias_estadisticasanalisis_exploratorio_datosdocumentacion
_archivosejerciciosejercicios_sumatoriospdf
httpwwwmatusonmx~jldiazNotasCD-1SeriesEjemplos_de_Series-1htm
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_defiteorianotacion_sigmahtml
httpsingenieriaelectronicaorgnotacion-sumatoria-definicion-caracteristicas-ejemplos CON VIDEOS
httpwwwcalculojcbmatcomid551htm
httptrafulutemclportaldoccapsulas-de-aprendizajecapsula-
sumatoriaassetsmaterial_descargablesumatoria_20ejercicios_desarrolladospdf
httpprofe-alexzblogspotcom201208sumatorias-problemas-resueltoshtml VIDEOS
EJERCICIOS GENERALES
1) APLIQUE LA PROPIEDAD CORRESPONDIENTE
2) CALCULA LAS SIGUIENTES SUMAS
3)
4)
Escribe en forma de sumatoria
5) Desarrolla las siguientes sumatorias
6) Calcula las siguientes sumatorias
SUMATORIAS DE RIEMANN
MATERIAL DE APOYO
httpwwwinguceduve~mlaurentinvariosGuiaEjerciciosUnidadIIAMIIpdf
httpswwwrbjlabscomcalculosumas-de-riemann-ejercicios-parte-1
httpswwwstudocucomesdocumentuniversidad-del-magdalenacalculo-integralapuntesnotas-de-clases-integral-
definida-suma-de-riemann4384436view
httpsingenieriaelectronicaorgsumas-riemann-definicion-ejemplos-ejercicios-resueltos
FUENTE httpmatematicasuiseducocalculo2sumaspdf
EJERCICIOS APLICANDO RIEMANN
RESOLVER POR RIEMANN E INTEGRANDO
1) LEA BIEN PERO PRIMERO GRAFIQUE Y HALLE EL AREA DADA INTEGRANDO
R 83 U2
2) REALICE CON CUIDADO PERO PRIMERO GRAFIQUE Y HALLE EL AREA DADA INTEGRANDO
R9 U2
3) REALICE CON CUIDADO PERO PRIMERO GRAFIQUE HALLE EL AREA DADA
R8U2
4)Grafique e integre y aplique riemann
R16U2
R9U2
5)REALIZARDIBUJA
5) Realizar or riemann y la regla de barrow
R
CAPITULO 2
INTEGRALES INMEDIATAS Y POR SUSTITUCION IDONEA
FUENTE httpscampusdematematicascomtablas-y-formulariostabla-de-integrales
II) TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS
OTRAS FORMULAS
GUIA DE EJEMPLOS DE INTEGRALES POR SUSTITUCION
INTEGRALES POR SUSTITUCION
RESOLVERint radic3 119909 + 5 119889119909 = 119868 Sea 119889119906 = 3 119909 + 5
119889119906 = 3 119889119909 = 119889119909 =119889119906
3
Al sustituir tenemos
119868 = int 11990612
119889119906
3 =
1
3 int 119906
12 119889119906
119868 =1
3(
11990632
32
) + 119862 = 2
911990632 + 119862
119868 = 2
9(3119909 + 2)32 + 119862
RESOLVER int119909119889119909
(1199092+ 4)2 = 119868
Sea 119906 = 1199092 + 4
119889119906 = 2119909 119889119909 = 119909119889119909 =119889119906
2
1
2
Al sustituir tenemos
119868 = int119889119906
21199062 =
1
2 int 119906minus2 119889119906
119868 =1
2(
119906minus1
minus1) + 119862 =
1
2119906minus1 + 119862
119868 = 1
2(1199092 + 4)minus1 + 119862
119868 = 1
2(1199092 + 4)+ 119862
RESOLVER int119904119890119899 119889119909
radic1+2 cos 119909 = 119868
Sea 119906 = 1 + 2 cos 119909
119889119906 = minus2 119904119890119899 119909119889119909 = 119904119890119899 119909 119889119909 = minus119889119906
2
Al sustituir tenemos
119868 = intminus119889119906
211990612 = minus
1
2 int
119889119906
11990612
119868 = minus1
2int 119906minus12119889119906 = minus
1
2(
11990612
12
) + 119862
119868 = minus11990612 + 119862 = minus(1 + 2 cos 119909) 12 + 119862
119868 = minus radic1 + 2 cos 119909 + 119862 DE AQUIacute EN ADELANTE TU LLEGAS A LA RESPUESTA
RESOLVER int119909119889119909
radic119909+1 = 119868
Sea 119906 = radic119909 + 1
1199062 = 119909 + 1 = 119909 = 1199062 minus 1
3
4
2119906119889119906 = 119889119909
CONTINUA
R 119868 =2
3radic119909 + 1(119909 minus 2) + 119862
5)
int 1199092radic2 minus 119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = radic2 minus 119909
1199062 = 2 minus 119909 = 119909 = 2 minus 1199062 119889119909 = minus2119906119889119906
Reemplazando
119868 = int(2 minus 1199062)2(minus2119906119889119906)(119906)
119868 = minus2 int(4 minus 41199062 + 1199064)1199062119889119906
COMPLETA
Rminus2
105(2 minus 119909 )32(140 minus 84(2 minus 119909) + 15(2 minus 119909)2) + 119862
RSOLVER int119909119889119909
radic1199092+9 = 119868
Sea 119906 = 1199092+9
119889119906 = 2119909119889119909 = 119909119889119909 =119889119906
2
Sustituyendo tenemos119868 = int119889119906
211990612 = 2 int 119906minus12 119889119906
COMPLETA
R 119868 = radic1199092 + 9 + 119862
7) RESOLVER int radic1 + radic119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = radic1 + radic119909 1199062 = 1 + radic119909 = 1199062 minus 1 = radic119909 (1199062 minus 1)2 = 119909 2(1199062 minus 1)(2119906)119889119906 = 119889119909 Reemplazando
6
119868 = int 119906[2(1199062 minus 1)2(2119906)] 119889119906 119868 = 4 int 1199062(1199062 minus 1)119889119906 119868 = 4 int(1199064 minus 1199062)119889119906
119868 = (1199064
5minus +
1199063
3) + 119862
Termiacutenalo
R
4(1 + radic3)32
[3(1 + radic119909) minus 5] + 119862
8) RESOLVER
int 119890119909radic1 + 119890119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = 1 + 119890119909 119889119906 = 119890119909 119889119909 Reemplazando tenemos
119868 = int 11990612 119889119906
TERMINALO R 119868 =2
3(1 + 119890119909)32 + 119862
9) RESOLVER int 1199051198861198993119909 1199041198901198882119909 119889119909 = 119868 Sea 119906 = tan 119909
119889119906 = 1199041198901198882119909119889119909
TERMINALO R 119868 =1199051198861198994119909
4 + 119862
10)119877119864119878119874119871119881119864119877 int1199092+2119909
(119909+ 1)2 119889119909 = 119868
Al hacer el binomio y dividir se tiene
(119909 + 1)2 = 1 minus1
1199092+2119909+1 Al sustituir 119868 = int (1 minus
119909
(119909+1)2) 119889119909 = int 119889119909 minus int
119889119909
(119909+1)2
119868 = 119909 minus int119889119909
(119909+1)2
R 119868 = 119909 minus (minus 1
119909+1) + 119862 = 119909 +
1
119909+1+ 119862
11) RESOLVER int2+radic119909
1minusradic119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = 1 minus radic119909 radic119909 = 1 minus 119906 = 119909 = (1 minus 119906)2 119889119909 = 2(1 minus 119906)(minus1)119889119906 = 2(1 minus 119906)119889119906
Ahora 2 + radic119909 = 2 + (1 minus 119906) = 3 minus 119906
Al integrar 119868 = int (3minus119906
119906) [minus2(1 minus 119906)] 119889119906 119864119873119879119874119873119862119864119878 (3 int
119889119906
119906minus 4 int 119889119906 + int 119906 119889119906)
CUAL SERIA LA RESPUESTA MATERIAL DE APOYO httpscursodecalculofileswordpresscom201305ejercicios-resueltos-de-
integral-2-integrales-por-sustitucic3b3n-o-cambio-de-variablepdf
EJERCICIOS 1
I) USANDO LA TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS Y LAS OTRAS FORMULAS RESOLVER
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6 ) R 7) R
8) R 9) R
10) R
11) R 12) R
13) R
14) R 15) R
16) R 17)
18) R 19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
27) R 28) R
29 ) R
30) R
31) R 32) R
33) R
34) R 35) R
36) R 37) R
38) R
39) DEMUESTRE LAS SIGUIENTES IGUALDADES
40) USANDO LAS SIGUIENTES IGUALDADES
RESOLVERA) R
B) R
C) R
II) RESUELVE LAS SIGUIENTES INTEGRTALES DEFINIDAS Y GRAFIQUELAS
SOLUCION
A) 8
b) e-1
c) 1
d) 103
e) I
I I I ) TALLER INTEGRALES PARA COMPLETAR
OBSERVA LAS INTEGRALES RESUELTAS EN LA MAYORIA DE LOS CASOS
FALTA LA SUSTITUCION IDONEA POR AGREGAR AL DESARROLLO DEL
EJERCICIO Y ESA SUSTITUCION PUEDE SER ALGEBRAICA O FALTA EL
CAMBIO DE VARIABLE RESPECTIVO
1) INTEGRALES INMEDIATAS
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
2 Solucioacuten de las integrales logariacutetmicas
1
2
3
4
5
6
7
8
9 - ln (sen x + cos x ) +C
10
11
3 integrales exponenciales
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4 integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5 Otras integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
- 21 x
4
6 Otras integrales
1
2
3
4
5
EJERCICIOS 2
I) RESOLVER LAS SIGUIENTES INTEGRALES INDEFINIDAS Y VERIFIQUE SU
RESPUESTA REALIZANDO LA DERIVADA
II) EVALUE LA INTEGRAL INDEFINIDA DADA USANDO UNA SUSTITUCION IDONEA
62)Problemas de integrales
1Hallar una funcioacuten F(x) cuya derivada sea f(x) = x + 6 y tal que para x = 2
tome el valor 25
RESPUESTA
2De las inf in itas funciones primitivas de la funcioacuten y = xsup2 - x + 1 iquestcuaacutel
es la que para x = 3 toma el valor 5
RESPUESTA
3Hallar una recta cuya pendiente es 2 y pasa por eacutel punto P(0 4)
RESPUESTA f(x) = 2x + 4
4Escribe la funcioacuten primitiva de y = xsup2 + 2x cuya representacioacuten graacutef ica pasa
por eacutel punto (1 3)
RESPUESTA
5Calcular la ecuacioacuten de la curva que pasa por P(1 5) y cuya pendiente en cualquier punto es
3xsup2 + 5x minus 2
RESPUESTA
6Hallar la primitiva de la funcioacuten que se anula para x = 2
RESPUESTA
CAPITULO 3
INTEGRACION POR PARTES
Definicioacuten
Existen varios meacutetodos de integracioacuten consistiendo todos ellos en reducir la integral buscada a una inteacutegrala conocida como por ejemplo una de las de la tabla o bien reducirla una integral maacutes sencilla
El meacutetodo de integracioacuten por partes estaacute basado en la derivada de un producto de funciones como se muestra a continuacioacuten
d(umiddotv) = u dv + v du
por eso es que se usa para integrales que contienen dos funciones que se multiplican entre si
intd(umiddotv) = intu dv + intv du
Se llama integracioacuten por partes porque la integral se divide en dos partes en una el integrando es u y otra en la otra es v La integral debe estar completa y sin alterar la operacioacuten dentro de ella Consejos
La funcioacuten correspondiente a dv debe ser la funcioacuten maacutes faacutecil de integrar 2- En u deben ir aquellas funciones que no tienen integral directa (funciones logariacutetmicas e inversas) luego se pueden considerar las funciones algebraicas puesto que la derivada es reductiva Las funciones trigonomeacutetricas y exponenciales son maacutes sencillas de trabajar
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRACIOacuteN POR PARTES
1-
2-
3-
4-
5-
6-
7-
8-
9-
10-
INTEGRACION POR PARTES
MATERIAL DE APOYO
VIDEOS DE INTEGRACION POR PARTES
1) httpswwwprofesor10dematescom201505integrales-por-partes-resueltashtml
2) httpwwwsietecolinasesmaterialesmatintegrales-4pdf
3) httpsgpweiztuammxfilesusersuamijdfmetodos_de_integracionintegracion_por_partesp
df
EJERCICIOS EJERCICIOS PARA RESOLVER POR PARTES
1) L=Ln
R
2) R
3) R
4) R
5) R 6) R
7) R
8) R
9) R L=Ln
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
15) R
16) R
17) R
18) R
19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
INTEGRAL RESPUESTA
26) x senx dx sen x xcos x c
27) ln x dx 1x ln x c
28)2
xx sen dx 4 2
2 2
x xsen xcos c
29) x cos nx dx 2
cos nx x sennxc
nn
30) 2 u sec u du utgu lncosu c
31) 2 3 u sen v dv 21 1 16 6
4 12 72v v sen v cos v c
32) 2 y senny dy 2
3 2
2 2cosny y senny y cosnyc
nn n
33) 2 xa dx 2
1x xa c
lna ln a
34) nx ln x dx 1 1
1 1
nx
ln x cn n
35) arc sen x dx 2 1x arc sen x x c
36) arc tg x dx 21 1
2x arc tg x ln x c
37) arc c tg y dy 21 1
2y arc c tg y ln y c
38) 2 arc cos x dx 21 2 1 4
2x arc cos x x c
39) arc sec y dy 2 1y arc sec y ln y y c
40) 2
tarc csc dt 2 2 4
2
tt arc csc ln t t c
41) x arc tg x dx 2 1
2 2
x xarc tg x c
42) arc tg x dx 1 x arc tg x x c
43) 2 xx e dx
22 2xe x x c
44) e cos d
2
esen cos c
45)
2
1
ln x dx
x 1
1
xln x ln x c
x
CAPITULO 4
FUNCIONES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
1) httpwwwmtyitesmmxetiedeptosmma-841recursostab-hippdf
2) httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCION
ES20HIPERBOLICASpdfsequence=1
FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS HIPERBOacuteLICAS
Definicioacuten de las funciones
Un ciacuterculo unitario con centro en el origen sigue la foacutermula 1yx 22 un punto dado por el par
ordenado yx se puede representar como funcioacuten de un aacutengulo t de la siguiente manera
senttcosyx De igual manera una hipeacuterbola unitaria con centro en el origen sigue la foacutermula
1yx 22 un punto dado por el par ordenado yx se puede representar como funcioacuten del aacutengulo t
de la siguiente manera senhttcoshyx Estas funciones se denominan funciones trigonomeacutetricas
hiperboacutelicas en particular coseno hiperboacutelico y seno hiperboacutelico
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas presentan propiedades anaacutelogas a las de las funciones
trigonomeacutetricas o circulares La funcioacuten xsenhxf se define como 2
eexsenh
xx mientras que
la funcioacuten xcoshxf es 2
eexcosh
xx
Al igual que las funciones trigonomeacutetricas circulares en las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas se
cumplen las siguientes identidades fundamentales
xx
xx
xx
xx
xx
xx
ee
2
xsenh
1xhcsc
ee
2
xcosh
1xhsec
ee
ee
xsenh
xcoshxcoth
ee
ee
xcosh
xsenhxtanh
Debido a esto es loacutegico pensar que habraacute una relacioacuten equivalente al Teorema de Pitaacutegoras Asiacute
para las funciones hiperboacutelicas se sabe que 1xsenhxcosh 22
Ejemplo 1
Demostrar que 1xsenhxcosh 22
11
14
4
14
2
4
2
14
ee2
4
ee2
14
eee2e
4
eee2e
12
ee
2
ee
1xsenhxcosh
xxxx
x2xxx2x2xxx2
2xx
2xx
22
Graacutefica de las funciones
Sea la funcioacuten 2
eexsenhxf
xx Las intersecciones se pueden encontrar igualando la funcioacuten
a cero
0x
0x2
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
02
ee
x2
x
x
xx
xx
xx
La funcioacuten seno hiperboacutelico tiene una sola raiacutez en x=0 Para obtener los puntos criacuteticos se iguala a
cero la derivada de la funcioacuten
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
0ee2
1
ee2
1ee
dx
d
2
1
2
ee
dx
d
dx
df
x2
x
x
xx
xx
xx
xxxxxx
por lo tanto no hay puntos criacuteticos Es interesante notar que la derivada de la funcioacuten senh(x) es la
funcioacuten cosh(x)
Por uacuteltimo puntos inflexioacuten se pueden encontrar en donde la segunda derivada es igual a cero
xxxxxx
2
2
ee2
1ee
dx
d
2
1ee
2
1
dx
d
dx
fd
La segunda derivada nos llevoacute nuevamente a la funcioacuten senh(x) Esta funcioacuten ya se igualoacute a cero
para encontrar las intersecciones El resultado es que en x=0 hay una raiacutez que a su vez es un punto
de inflexioacuten
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
La misma funcioacuten 2
eexsenhxf
xx se puede ver como la resta de dos funciones exponenciales
2
e
2
e
2
ee xxxx
La graacutefica de estas dos funciones exponenciales se muestra en azul (exponencial
positiva) y verde (exponencial negativa) La resta de ambas punto por punto es la funcioacuten senh(x)
Derivadas
ucoshdx
duusenh
dx
dxcosh
2
ee
2
ee
dx
dxsenh
dx
d xxxx
usenhdx
duucosh
dx
dxsenh
2
ee
2
ee
dx
dxcosh
dx
d xxxx
uhsecdx
duutanh
dx
d
xhsecxcosh
1
xcosh
xsenhxcosh
xcosh
senhx
dx
dxtanh
dx
d
2
2
22
22
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
uhcscdx
duucoth
dx
d
xhcscxsenh
1
xsenh
xcoshxsenh
senhx
xcosh
dx
dxcoth
dx
d 2
22
22
uhsecutanhdx
duuhsec
dx
d
hxsecxtanhxcosh
1
xcosh
senhx
xcosh
senhx
xcosh
1
dx
dxhsec
dx
d2
uhcscucothdx
duuhcsc
dx
d
hxcscxcothsenhx
1
senhx
xcosh
xsenh
xcosh
senhx
1
dx
dxhcsc
dx
d2
Ejemplo 2
Derivar la funcioacuten 3x4tanhxf 2
La funcioacuten maacutes externa es la raiacutez por lo tanto es la primera en derivarse
3x4tanh2
3x4hsecx83x4tanh
dx
d
3x4tanh2
1
dx
df
2
222
2
Ejemplo 3
Derivar la funcioacuten 2x3cosh2x3tanhlnxf 22
La funcioacuten maacutes externa es el logaritmo por lo tanto es el primero en derivarse
2x3cosh2x3tanh
2x3xsenh62x3hsecx6
dx
df22
222
Integrales
Utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se puede establecer que
cuhcscduucothuhcsc
cuhsecduutanhuhsec
cucothduuhcsc
cutanhduuhsec
cusenhduucosh
cucoshduusenh
2
2
Utilizando estas foacutermulas se pueden establecer las siguientes
Ejemplo 4
Hallar la foacutermula para la integral de la tangente hiperboacutelica
dxxcosh
xsenhdxxtanh
Se hace un cambio de variable en donde dxxsenhduxcoshu Al sustituir la integral anterior
cambia a
cxcoshlnculnu
dudx
xcosh
xsenhdxxtanh
Se puede utilizar el mismo procedimiento para hallar las siguientes foacutermulas
cusenhlnduucoth
cucoshlnduutanh
Ejemplo 5
Resolver las siguientes integrales
dxx3senhx 32
Se realiza el cambio de variable dxx9
dux3u 23 por lo tanto la integral se puede escribir como
cx3cosh9
1cucosh
9
1duusenh
9
1
9
duusenhdxx3senhx 332
dx
x
xlnhsec 2
Se realiza el cambio de variablex
dxduxlnu por lo tanto la integral se puede escribir como
cxlntanhcutanhduuhsecdx
x
xlnhsec2
2
1
0
dxxcoshxsenh
Se realiza el cambio de variable dxxsenhduxcoshu por lo tanto la integral se puede escribir
como
1x
0x
1
0
2 duudxxcoshxsenh
Sin embargo dado que u=senh(x) si x=0 entonces 02
ee0senhu
00
Cuando x=1 entonces
e2
1e
2
e
1e
2
e
1e
2
ee1senhu
2
2
11
La integral es
2
32
23
23
2
e2
1e
0
23
e2
1e
0
1x
0x
1
0
2
e2
1e
3
20
3
2
e2
1e
3
2
u3
2duuduudxxcoshxsenh
22
Inversas
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas tienen funciones inversas que comuacutenmente se denotan
como 1senh o bien como arcsenh donde la funcioacuten recibe el nombre de seno hiperboacutelico inverso
Dado que las funciones estaacuten definidas en teacuterminos de exponenciales es de esperarse que sus
inversas incluyan logaritmos naturales Se pueden definir como
1x0parax
x11lnxhsec
1xparax1
x1ln
2
1xtanh
1xpara1xxlnxcosh
1xxlnxsenh
21
1
21
21
Las derivadas e integrales de estas funciones se resuelven igual que las funciones trigonomeacutetricas
inversas
Ejemplo 6
Obtener la foacutermula para la derivada de la funcioacuten xsenhy 1
Dado que no se conoce la derivada del seno hiperboacutelico inverso pero siacute la del seno hiperboacutelico se
pueden utilizar el concepto de la funcioacuten inversa y la derivada impliacutecita para hallar la foacutermula en
cuestioacuten
ycosh
1y
1yacutecoshy
xysenh
xsenhy 1
Se sabe que 1ysenhycosh 22 por lo tanto 1ysenhycosh 22 y la funcioacuten senhy=x entonces
1xycosh 2 Al sustituir se obtiene
1x
1y
2
El mismo meacutetodo se puede utilizar para encontrar cualquiera de las siguientes foacutermulas
1u
dxdu
usenhdx
d
2
1
1u1u
dxdu
ucoshdx
d
2
1
1uu1
dxdu
utanhdx
d2
1
1u0u1u
dxdu
uhsecdx
d
2
1
Ejemplo 7
Determinar si la funcioacuten 3xxsenhxf 21 es creciente o decreciente en el punto x=2
Se debe resolver la derivada de la multiplicacioacuten
10x6x
x23xsenh
19x6x
x23xsenh
13x
x2x3xsenh
dx
df
24
221
24
221
22
21
Se busca conocer como es la funcioacuten en x=2 por lo tanto se sustituye en la derivada
773131642077
80714ln
25
8257ln
225
82257ln
50
81497ln
102416
87senh
dx
df 1
2x
La funcioacuten es creciente crece a una razoacuten de 377
Las foacutermulas para la integracioacuten salen utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo y a partir de las
foacutermulas de derivacioacuten
0aca
usenhdu
ua
1 1
22
0auca
ucoshdu
au
1 1
22
au0aca
utanh
a
1du
ua
1 1
22
au00aca
uhsec
a
1du
uau
1 1
22
Ejemplo 8
Resolver la integral
dxe25
e
x6
x3
Esta integral es como la de la tangente hiperboacutelica inversa donde 5a25a 2
dxe3
dueueu x3x3x62 Al sustituir esto en la integral
c5
etanh
15
1c
5
etanh
5
1
3
1
u25
du
3
1
u25
3du x3
1x3
1
22
Aplicaciones
La velocidad de las olas en el mar bajo ciertas condiciones depende de la longitud de onda
(distancia entre cresta y cresta) y de la profundidad del agua por donde viajan las olas h La funcioacuten
que relaciona estas variables es
h2tanh
2
gv 2
donde v es la velocidad y g es la gravedad
Suponiendo que se mantiene h constante esto es que el oleaje se propaga por un oceacuteano de
profundidad constante (50 m) determinar si la velocidad aumenta o disminuye cuando m5
h2hsec
ghh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2hsec
h2
2
gh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2tanh
2
gv
h2tanh
2
gv
2
2
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
728d
dv
5
502hsec
5
50819
5
502tanh
2
819
5
502tanh
2
58192
1
d
dv 2
Entonces para este valor de la longitud de onda y de la profundidad la velocidad de la ola va
aumentando respecto a la longitud de onda
Si se requiere ahora saber como va cambiando la velocidad de propagacioacuten del oleaje respecto a la
profundidad del mar para una longitud de onda de 5 m se deberaacute entonces derivar respecto a h Sea
una profundidad de 7 m
h2tanh
2
g2
h2hsecg
dh
dv
h2hsec
2
2
g
h2tanh
2
g2
1
dh
dv
h2tanh
2
gv
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
77
2
2
1061595
10918
5
14tanh
2
05492
5
14hsec819
dh
dv
5
72tanh
2
58192
5
72hsec819
dh
dv
Asiacute que aunque la velocidad de propagacioacuten del oleaje va aumentando respecto a la profundidad la
razoacuten de cambio es muy pequentildea
EJERCICIOS DE DERIVADAS HIPERBOLICAS
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6) R
7) R
8) AYUDA R
9) R 10) R
11) R 12) R
13) R
14)DEMOSTRAR
AYUDA
15)
AYUDA
INTEGRALES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
httpcalculoccfunciones_hiperbolicasp_integrales_hiperbhtml
httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCIONES20
HIPERBOLICASpdfsequence=1
httpseswikipediaorgwikiAnexoIntegrales_de_funciones_hiperbC3B3licas
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES HIPERBOLICAS
2)
3)
5)
6)
8)
Resolvemos ambas integrales mediante integracioacuten por partes
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 5 u = 3x
11)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 3 u = 4x
13)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = radic7 u = 5x
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION MATERIAL DE APOYO
800 INTEGRALES RESUELTAS
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_metodosproblemasp_integr_sust_trigohtml
httpsmatematicasnblogspotcom201512integracion-por-sustitucionhtml CON VIDEOS INCLUIDOS
httpsdspaceupseduecbitstream12345678961191Manual20de20fracciones20parcialespdf
httpwwwtesoemedumxalumnoscuadernillos2011011pdf
httpprofe-alexzblogspotcom201104integracion-fracciones-parcialeshtml Y VIDEOS
httpswwwsectormatematicacl rsaquo media rsaquo diferenciado rsaquo FRACCIONES P httpswwwipnmxassetsfilescecyt11docsGuiasUABasicasMatematicascalculo-integral-solucion-de-problemasPDF
httpswwwacademiaedu7708664CC381LCULO_INTEGRAL_EJERCICIOS_RESUELTOS_PASO_A_PASO
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1 Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de
variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de
la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que
contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe
ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
PRESENTACION DEL TALLER LINKS
En este trabajo intentamos relacionar las caracteriacutesticas de los escritos en internet sobre el manejo delas LAS INTEGRALES en el Caacutelculo de una variable utilizados a lo largo de la historia de las carreras de Ingenieriacutea de la Facultad de Ciencias Exactas con respecto a los contenidos fundamentales dadas en las de las universidades colombianas y de pronto hasta nivel mundial con las particularidades del contexto matemaacutetico y pedagoacutegico He considerado para ello he
vinculados los temas maacutes importantes y concernientes a integrales y saber que las integrales baacutesicamente se usan cotidianamente en el caacutelculo de aacutereas longitudes de curvas y voluacutemenes de cuerpos de revolucioacuten
Caacutelculo de aacutereas
Caacutelculo de longitudes de curvas
Caacutelculo de voluacutemenes de cuerpos de revolucioacuten
A efecto de caracterizar los libros propuestos en la bibliografiacutea de las asignaturas de Caacutelculo de una variable de las carreras
de Ingenieriacutea de esta Facultad llevamos a cabo maacutes bien una webgrafia para apoyar este trabajo con un anaacutelisis didaacutectico
y epistemoloacutegico en torno al enfoque praacutectico del uso de las integrales tratando de establecer las propuestas (impliacutecitas o
expliacutecitas) del autor Nos centramos en este concepto en virtud de su riqueza en el contexto de las aplicaciones ingenieriles
Este taller links presenta una metodologiacutea de ensentildeanza a traveacutes de enlaces de internet donde el estudiante completara o ampliara el manejo de conceptos e interpretacioacuten de ejercicios que haraacute que el estudiante consulte asiduamente para contar con mayor cantidad de ejercicios tendientes a reforzar la aplicacioacuten directa de definiciones o propiedades y se pueda apoyar en direcciones electroacutenicas que aparece en la web grafiacutea pues es la base del tutorial pues sobre ella se soporta el material y algunas renovaciones que el autor le hace a dichos documentos
Lo uacutenico que espero que este taller links alcance en docentes y alumnos de Tuluaacute de Colombia y porque no el mundo acadeacutemico en general de tal manera que sea impactante y que ojalaacute pase fronteras y que mis nietos lo lleguen a usar como herramientas de trabajo y sea orgullosos de este modesto taller links de integrales
Por esto mismo un principio baacutesico en la comprensioacuten del concepto de integral es el de entenderla como una sumatoria de aacutereas y consiste en vislumbrar en conjunto el concepto de aacutereas a traveacutes del concepto de integral En la educacioacuten tradicional este contenido por lo general confunde un poco a los alumnos por lo que surge la necesidad de poder explicarla de una manera maacutes clara y precisa para que el alumno pueda reproducir y aplicar el conocimiento adquirido por lo que en este trabajo utilizando modelos vanguardistas Se propone una metodologiacutea como material didaacutectico para desarrollar el concepto de este tema mediante el caacutelculo de una funcioacuten sencilla
Este taller links tiene como objetivo ser un instrumento de guiacutea en clase para el docente pues el ejercicio muchas veces se inicia se corta el proceso y luego se da la respuesta con el objetivo de que el estudiante lo continuacutee
CONTENIDOS
CONTENIDOS
CAPITULO 1
SUMATORIAS
EJERCICIOS DE SUMATORIAS
OTROS EJEMPLOS DE SUMATORIAS
EJERCICIOS GENERALES
SUMATORIAS DE RIEMAN
SUMAS DE RIEMANN
EJERCICIOS APLICANDO RIEMANN
CAPITULO 2
INTEGRALES INMEDIATAS Y POR SUSTITUCION IDONEA
TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS
GUIA DE INTEGRALES POR SUSTITUCION
EJERCICIOS 1
I) USANDO LA TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS Y LAS OTRAS FORMULAS RESOLVER
II) RESUELVE LAS SIGUIENTES INTEGRTALES DEFINIDAS Y GRAFIQUELAS
III) TALLER INTEGRALES PARA COMPLETAR
1) INTEGRALES INMEDIATAS
2) SOLUCION DE INTEGRALES LOGARITMICAS
3) INTEGRALES EXPONENCIALES
4) INTEGRALES TRIGONOMETRICAS
5) OTRAS INTEGRALES TRIGONOMETRICAS
6) OTRAS INTEGRALES
EJERCICIOS 2
I) RESOLVER LAS SIGUIENTES INTEGRALES INDEFINIDAS Y VERIFIQUE SU
RESPUESTA REALIZANDO LA DERIVADA
II) EVALUE LA INTEGRAL INDEFINIDA DADA USANDO UNA SUSTITUCION IDONEA
CAPITULO 3
INTEGRACION POR PARTES
DEFINICION
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRACIOacuteN POR PARTES
EJERCICIOS PARA RESOLVER POR SUSTITUCION
RESOLVER LAS SIGUIENTES INTEGRALES POR PARTES
CAPITULO 4
FUNCIONES HIPERBOLICAS
FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS HIPERBOacuteLICAS
EJERCICIOS DE DERIVADAS HIPERBOLICAS
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES HIPERBOLICAS
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1
Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJMEPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
EJEMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
EJERCICIOS
CAPITULO 1
SUMATORIAS
La sumatoria no es maacutes que una operacioacuten de suma repetida desde laquonraquo veces (siendo n el nuacutemero de sumandos) hasta infinito Tiene muchas aplicaciones tanto en estadiacutestica (para hallar la media etc) como en las series de nuacutemeros e incluso en integrales
Se representa con la letra griega Σ y se puede definir de la siguiente manera
La variable i se llama iacutendice de la suma que nos indica cual es el primer valor inicial (desde el cual se comienza) mientras que n es el liacutemite superior que es hasta donde va a llegar dicha suma Ademaacutes se tiene que cumplir que mlen
Los sumatorios tienen unas reglas que han de cumplirse a la hora de realizar las operaciones A continuacioacuten las citamos
Regla 1 El sumatorio de una suma es igual a la suma de las sumatorias de cada teacutermino Es decir que es lo mismo sumar primero los teacuterminos (que pueden ser datos que nos dan) y hacer luego el sumatorio que realizarlo por separado para cada uno de los teacuterminos
Regla 2 La suma del producto de una constante por una variable es igual a k veces la sumatoria de la variable
Dicho de otra forma que si tenemos una constante K multiplicando al sumatorio podemos sacarla para fuera (como si hicieacutesemos factor comuacuten que en realidad lo es)
Regla 3 El sumatorio de n veces una constante es igual a N veces esa constante
Si K es 3 sumar 3 20 veces es lo mismo que multiplicar 3times20
Regla 4 El sumatorio de un producto no es igual al producto de los sumatorios de cada teacutermino
Regla 5 El sumatorio de los cuadrados de los valores de una variable no es igual al sumatorio de la variable elevada al cuadrado
Por ejemplo no es lo mismo sumar 1+2^2+3^2= 1+4+9 =14 que hacerlo con 1+2+3=5 y elevarlo al cuadrado que nos dariacutea 25
gtgtEjemplo
Calcular la suma de los nuacutemeros impares que se encuentran entre 14 y 4492
Podriacuteamos resolver este ejercicio de la forma normal sin sumatorios pero es muy engorroso pues habraacute muchos nuacutemeros que sumar
En lugar de eso vamos a proceder de la siguiente forma con sumatorios primero planteemos la suma
Como veis son muchiacutesimos los impares existentes desde 15 que es el primero hasta 4491 que es el uacuteltimo
Esa suma la podemos escribir tambieacuten de la siguiente forma
Explicacioacuten Hemos aplicado el mismo principio que cuando tenemos una serie y queremos sacar la expresioacuten general de eacutesta En este caso para representar todos los nuacutemeros impares escribimos 2k-1
Los liacutemites que hemos escogido para el sumatorio son la mitad de la base de las potencias escritas anteriormente Esto se hace asiacute para que nos cuadre el resultado Por ejemplo veis que para k=8 si sustituimos en (2k-1)^2 nos quedariacutea (2times8-1)^2=(16-1)^2= (15)^2 y asiacute sucesivamente para los demaacutes nuacutemeros
Una vez comprendido lo anterior vamos a desarrollar el cuadrado del sumatorio anterior
En este paso hemos separado el sumatorio en varios aplicando la laquoregla 1raquo y a continuacioacuten sacamos las constantes para fuera (aplicando la laquoregla 2raquo)
Aquiacute de nuevo tengo que hacer un inciso para explicar lo que pondreacute a continuacioacuten Como veis hay un 4 multiplicando los 2 sumatorios por loacutegica se nos ocurririacutea sacar factor comuacuten de esos 2 sumatorios pero hay un problema el 1 se nos queda suelto por lo que ahora el sumatorio no nos cumple la propiedad de sumar solamente los impares para ello hacemos un pequentildeo truco cambiamos los liacutemites del sumatorio quedaacutendonos esto
Ahora siacute que podemos resolver los sumatorios uno por uno para hallar nuestro resultado
Es decir que es lo mismo sumar primero los teacuterminos (que pueden ser datos que nos dan) y hacer luego el sumatorio que realizarlo por separado para cada uno de los teacuterminos
Regla 2 La suma del producto de una constante por una variable es igual a k veces la sumatoria de la variable
Dicho de otra forma que si tenemos una constante K multiplicando al sumatorio podemos sacarla para fuera (como si hicieacutesemos factor comuacuten que en realidad lo es)
Regla 3 El sumatorio de n veces una constante es igual a N veces esa constante
Si K es 3 sumar 3 20 veces es lo mismo que multiplicar 3times20
Regla 4 El sumatorio de un producto no es igual al producto de los sumatorios de cada teacutermino
Regla 5 El sumatorio de los cuadrados de los valores de una variable no es igual al sumatorio de la variable elevada al cuadrado
Por ejemplo no es lo mismo sumar 1+2^2+3^2= 1+4+9 =14 que hacerlo con 1+2+3=5 y elevarlo al cuadrado que nos dariacutea 25
gtgtEjemplo
Calcular la suma de los nuacutemeros impares que se encuentran entre 14 y 4492
Podriacuteamos resolver este ejercicio de la forma normal sin sumatorios pero es muy engorroso pues habraacute muchos nuacutemeros que sumar
En lugar de eso vamos a proceder de la siguiente forma con sumatorios primero planteemos la suma
Como veis son muchiacutesimos los impares existentes desde 15 que es el primero hasta 4491 que es el uacuteltimo
Esa suma la podemos escribir tambieacuten de la siguiente forma
Explicacioacuten Hemos aplicado el mismo principio que cuando tenemos una serie y queremos sacar la expresioacuten general de eacutesta En este caso para representar todos los nuacutemeros impares escribimos 2k-1
Los liacutemites que hemos escogido para el sumatorio son la mitad de la base de las potencias escritas anteriormente Esto se hace asiacute para que nos cuadre el resultado Por ejemplo veis que para k=8 si sustituimos en (2k-1)^2 nos quedariacutea (2times8-1)^2=(16-1)^2= (15)^2 y asiacute sucesivamente para los demaacutes nuacutemeros
Una vez comprendido lo anterior vamos a desarrollar el cuadrado del sumatorio anterior
En este paso hemos separado el sumatorio en varios aplicando la laquoregla 1raquo y a continuacioacuten sacamos las constantes para fuera (aplicando la laquoregla 2raquo)
Aquiacute de nuevo tengo que hacer un inciso para explicar lo que pondreacute a continuacioacuten Como veis hay un 4 multiplicando los 2 sumatorios por loacutegica se nos ocurririacutea sacar factor comuacuten de esos 2 sumatorios pero hay un problema el 1 se nos queda suelto por lo que ahora el sumatorio no nos cumple la propiedad de sumar solamente los impares para ello hacemos un pequentildeo truco cambiamos los liacutemites del sumatorio quedaacutendonos esto
Ahora siacute que podemos resolver los sumatorios uno por uno para hallar nuestro resultado
Fuente httpsmatematicalaguia2000comgeneralsumatorio
I) EJERCICIOS DE SUMATORIAS
I) Encontrar los valores de las sumas indicadas
OTROS EJEMPLOS DE SUMATORIAS
A continuacioacuten veremos otros tipos de ejercicios
MATERIAL DE APOYO
httpwwwestuc3mesespnueva_docenciagetafeciencias_estadisticasanalisis_exploratorio_datosdocumentacion
_archivosejerciciosejercicios_sumatoriospdf
httpwwwmatusonmx~jldiazNotasCD-1SeriesEjemplos_de_Series-1htm
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_defiteorianotacion_sigmahtml
httpsingenieriaelectronicaorgnotacion-sumatoria-definicion-caracteristicas-ejemplos CON VIDEOS
httpwwwcalculojcbmatcomid551htm
httptrafulutemclportaldoccapsulas-de-aprendizajecapsula-
sumatoriaassetsmaterial_descargablesumatoria_20ejercicios_desarrolladospdf
httpprofe-alexzblogspotcom201208sumatorias-problemas-resueltoshtml VIDEOS
EJERCICIOS GENERALES
1) APLIQUE LA PROPIEDAD CORRESPONDIENTE
2) CALCULA LAS SIGUIENTES SUMAS
3)
4)
Escribe en forma de sumatoria
5) Desarrolla las siguientes sumatorias
6) Calcula las siguientes sumatorias
SUMATORIAS DE RIEMANN
MATERIAL DE APOYO
httpwwwinguceduve~mlaurentinvariosGuiaEjerciciosUnidadIIAMIIpdf
httpswwwrbjlabscomcalculosumas-de-riemann-ejercicios-parte-1
httpswwwstudocucomesdocumentuniversidad-del-magdalenacalculo-integralapuntesnotas-de-clases-integral-
definida-suma-de-riemann4384436view
httpsingenieriaelectronicaorgsumas-riemann-definicion-ejemplos-ejercicios-resueltos
FUENTE httpmatematicasuiseducocalculo2sumaspdf
EJERCICIOS APLICANDO RIEMANN
RESOLVER POR RIEMANN E INTEGRANDO
1) LEA BIEN PERO PRIMERO GRAFIQUE Y HALLE EL AREA DADA INTEGRANDO
R 83 U2
2) REALICE CON CUIDADO PERO PRIMERO GRAFIQUE Y HALLE EL AREA DADA INTEGRANDO
R9 U2
3) REALICE CON CUIDADO PERO PRIMERO GRAFIQUE HALLE EL AREA DADA
R8U2
4)Grafique e integre y aplique riemann
R16U2
R9U2
5)REALIZARDIBUJA
5) Realizar or riemann y la regla de barrow
R
CAPITULO 2
INTEGRALES INMEDIATAS Y POR SUSTITUCION IDONEA
FUENTE httpscampusdematematicascomtablas-y-formulariostabla-de-integrales
II) TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS
OTRAS FORMULAS
GUIA DE EJEMPLOS DE INTEGRALES POR SUSTITUCION
INTEGRALES POR SUSTITUCION
RESOLVERint radic3 119909 + 5 119889119909 = 119868 Sea 119889119906 = 3 119909 + 5
119889119906 = 3 119889119909 = 119889119909 =119889119906
3
Al sustituir tenemos
119868 = int 11990612
119889119906
3 =
1
3 int 119906
12 119889119906
119868 =1
3(
11990632
32
) + 119862 = 2
911990632 + 119862
119868 = 2
9(3119909 + 2)32 + 119862
RESOLVER int119909119889119909
(1199092+ 4)2 = 119868
Sea 119906 = 1199092 + 4
119889119906 = 2119909 119889119909 = 119909119889119909 =119889119906
2
1
2
Al sustituir tenemos
119868 = int119889119906
21199062 =
1
2 int 119906minus2 119889119906
119868 =1
2(
119906minus1
minus1) + 119862 =
1
2119906minus1 + 119862
119868 = 1
2(1199092 + 4)minus1 + 119862
119868 = 1
2(1199092 + 4)+ 119862
RESOLVER int119904119890119899 119889119909
radic1+2 cos 119909 = 119868
Sea 119906 = 1 + 2 cos 119909
119889119906 = minus2 119904119890119899 119909119889119909 = 119904119890119899 119909 119889119909 = minus119889119906
2
Al sustituir tenemos
119868 = intminus119889119906
211990612 = minus
1
2 int
119889119906
11990612
119868 = minus1
2int 119906minus12119889119906 = minus
1
2(
11990612
12
) + 119862
119868 = minus11990612 + 119862 = minus(1 + 2 cos 119909) 12 + 119862
119868 = minus radic1 + 2 cos 119909 + 119862 DE AQUIacute EN ADELANTE TU LLEGAS A LA RESPUESTA
RESOLVER int119909119889119909
radic119909+1 = 119868
Sea 119906 = radic119909 + 1
1199062 = 119909 + 1 = 119909 = 1199062 minus 1
3
4
2119906119889119906 = 119889119909
CONTINUA
R 119868 =2
3radic119909 + 1(119909 minus 2) + 119862
5)
int 1199092radic2 minus 119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = radic2 minus 119909
1199062 = 2 minus 119909 = 119909 = 2 minus 1199062 119889119909 = minus2119906119889119906
Reemplazando
119868 = int(2 minus 1199062)2(minus2119906119889119906)(119906)
119868 = minus2 int(4 minus 41199062 + 1199064)1199062119889119906
COMPLETA
Rminus2
105(2 minus 119909 )32(140 minus 84(2 minus 119909) + 15(2 minus 119909)2) + 119862
RSOLVER int119909119889119909
radic1199092+9 = 119868
Sea 119906 = 1199092+9
119889119906 = 2119909119889119909 = 119909119889119909 =119889119906
2
Sustituyendo tenemos119868 = int119889119906
211990612 = 2 int 119906minus12 119889119906
COMPLETA
R 119868 = radic1199092 + 9 + 119862
7) RESOLVER int radic1 + radic119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = radic1 + radic119909 1199062 = 1 + radic119909 = 1199062 minus 1 = radic119909 (1199062 minus 1)2 = 119909 2(1199062 minus 1)(2119906)119889119906 = 119889119909 Reemplazando
6
119868 = int 119906[2(1199062 minus 1)2(2119906)] 119889119906 119868 = 4 int 1199062(1199062 minus 1)119889119906 119868 = 4 int(1199064 minus 1199062)119889119906
119868 = (1199064
5minus +
1199063
3) + 119862
Termiacutenalo
R
4(1 + radic3)32
[3(1 + radic119909) minus 5] + 119862
8) RESOLVER
int 119890119909radic1 + 119890119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = 1 + 119890119909 119889119906 = 119890119909 119889119909 Reemplazando tenemos
119868 = int 11990612 119889119906
TERMINALO R 119868 =2
3(1 + 119890119909)32 + 119862
9) RESOLVER int 1199051198861198993119909 1199041198901198882119909 119889119909 = 119868 Sea 119906 = tan 119909
119889119906 = 1199041198901198882119909119889119909
TERMINALO R 119868 =1199051198861198994119909
4 + 119862
10)119877119864119878119874119871119881119864119877 int1199092+2119909
(119909+ 1)2 119889119909 = 119868
Al hacer el binomio y dividir se tiene
(119909 + 1)2 = 1 minus1
1199092+2119909+1 Al sustituir 119868 = int (1 minus
119909
(119909+1)2) 119889119909 = int 119889119909 minus int
119889119909
(119909+1)2
119868 = 119909 minus int119889119909
(119909+1)2
R 119868 = 119909 minus (minus 1
119909+1) + 119862 = 119909 +
1
119909+1+ 119862
11) RESOLVER int2+radic119909
1minusradic119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = 1 minus radic119909 radic119909 = 1 minus 119906 = 119909 = (1 minus 119906)2 119889119909 = 2(1 minus 119906)(minus1)119889119906 = 2(1 minus 119906)119889119906
Ahora 2 + radic119909 = 2 + (1 minus 119906) = 3 minus 119906
Al integrar 119868 = int (3minus119906
119906) [minus2(1 minus 119906)] 119889119906 119864119873119879119874119873119862119864119878 (3 int
119889119906
119906minus 4 int 119889119906 + int 119906 119889119906)
CUAL SERIA LA RESPUESTA MATERIAL DE APOYO httpscursodecalculofileswordpresscom201305ejercicios-resueltos-de-
integral-2-integrales-por-sustitucic3b3n-o-cambio-de-variablepdf
EJERCICIOS 1
I) USANDO LA TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS Y LAS OTRAS FORMULAS RESOLVER
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6 ) R 7) R
8) R 9) R
10) R
11) R 12) R
13) R
14) R 15) R
16) R 17)
18) R 19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
27) R 28) R
29 ) R
30) R
31) R 32) R
33) R
34) R 35) R
36) R 37) R
38) R
39) DEMUESTRE LAS SIGUIENTES IGUALDADES
40) USANDO LAS SIGUIENTES IGUALDADES
RESOLVERA) R
B) R
C) R
II) RESUELVE LAS SIGUIENTES INTEGRTALES DEFINIDAS Y GRAFIQUELAS
SOLUCION
A) 8
b) e-1
c) 1
d) 103
e) I
I I I ) TALLER INTEGRALES PARA COMPLETAR
OBSERVA LAS INTEGRALES RESUELTAS EN LA MAYORIA DE LOS CASOS
FALTA LA SUSTITUCION IDONEA POR AGREGAR AL DESARROLLO DEL
EJERCICIO Y ESA SUSTITUCION PUEDE SER ALGEBRAICA O FALTA EL
CAMBIO DE VARIABLE RESPECTIVO
1) INTEGRALES INMEDIATAS
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
2 Solucioacuten de las integrales logariacutetmicas
1
2
3
4
5
6
7
8
9 - ln (sen x + cos x ) +C
10
11
3 integrales exponenciales
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4 integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5 Otras integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
- 21 x
4
6 Otras integrales
1
2
3
4
5
EJERCICIOS 2
I) RESOLVER LAS SIGUIENTES INTEGRALES INDEFINIDAS Y VERIFIQUE SU
RESPUESTA REALIZANDO LA DERIVADA
II) EVALUE LA INTEGRAL INDEFINIDA DADA USANDO UNA SUSTITUCION IDONEA
62)Problemas de integrales
1Hallar una funcioacuten F(x) cuya derivada sea f(x) = x + 6 y tal que para x = 2
tome el valor 25
RESPUESTA
2De las inf in itas funciones primitivas de la funcioacuten y = xsup2 - x + 1 iquestcuaacutel
es la que para x = 3 toma el valor 5
RESPUESTA
3Hallar una recta cuya pendiente es 2 y pasa por eacutel punto P(0 4)
RESPUESTA f(x) = 2x + 4
4Escribe la funcioacuten primitiva de y = xsup2 + 2x cuya representacioacuten graacutef ica pasa
por eacutel punto (1 3)
RESPUESTA
5Calcular la ecuacioacuten de la curva que pasa por P(1 5) y cuya pendiente en cualquier punto es
3xsup2 + 5x minus 2
RESPUESTA
6Hallar la primitiva de la funcioacuten que se anula para x = 2
RESPUESTA
CAPITULO 3
INTEGRACION POR PARTES
Definicioacuten
Existen varios meacutetodos de integracioacuten consistiendo todos ellos en reducir la integral buscada a una inteacutegrala conocida como por ejemplo una de las de la tabla o bien reducirla una integral maacutes sencilla
El meacutetodo de integracioacuten por partes estaacute basado en la derivada de un producto de funciones como se muestra a continuacioacuten
d(umiddotv) = u dv + v du
por eso es que se usa para integrales que contienen dos funciones que se multiplican entre si
intd(umiddotv) = intu dv + intv du
Se llama integracioacuten por partes porque la integral se divide en dos partes en una el integrando es u y otra en la otra es v La integral debe estar completa y sin alterar la operacioacuten dentro de ella Consejos
La funcioacuten correspondiente a dv debe ser la funcioacuten maacutes faacutecil de integrar 2- En u deben ir aquellas funciones que no tienen integral directa (funciones logariacutetmicas e inversas) luego se pueden considerar las funciones algebraicas puesto que la derivada es reductiva Las funciones trigonomeacutetricas y exponenciales son maacutes sencillas de trabajar
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRACIOacuteN POR PARTES
1-
2-
3-
4-
5-
6-
7-
8-
9-
10-
INTEGRACION POR PARTES
MATERIAL DE APOYO
VIDEOS DE INTEGRACION POR PARTES
1) httpswwwprofesor10dematescom201505integrales-por-partes-resueltashtml
2) httpwwwsietecolinasesmaterialesmatintegrales-4pdf
3) httpsgpweiztuammxfilesusersuamijdfmetodos_de_integracionintegracion_por_partesp
df
EJERCICIOS EJERCICIOS PARA RESOLVER POR PARTES
1) L=Ln
R
2) R
3) R
4) R
5) R 6) R
7) R
8) R
9) R L=Ln
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
15) R
16) R
17) R
18) R
19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
INTEGRAL RESPUESTA
26) x senx dx sen x xcos x c
27) ln x dx 1x ln x c
28)2
xx sen dx 4 2
2 2
x xsen xcos c
29) x cos nx dx 2
cos nx x sennxc
nn
30) 2 u sec u du utgu lncosu c
31) 2 3 u sen v dv 21 1 16 6
4 12 72v v sen v cos v c
32) 2 y senny dy 2
3 2
2 2cosny y senny y cosnyc
nn n
33) 2 xa dx 2
1x xa c
lna ln a
34) nx ln x dx 1 1
1 1
nx
ln x cn n
35) arc sen x dx 2 1x arc sen x x c
36) arc tg x dx 21 1
2x arc tg x ln x c
37) arc c tg y dy 21 1
2y arc c tg y ln y c
38) 2 arc cos x dx 21 2 1 4
2x arc cos x x c
39) arc sec y dy 2 1y arc sec y ln y y c
40) 2
tarc csc dt 2 2 4
2
tt arc csc ln t t c
41) x arc tg x dx 2 1
2 2
x xarc tg x c
42) arc tg x dx 1 x arc tg x x c
43) 2 xx e dx
22 2xe x x c
44) e cos d
2
esen cos c
45)
2
1
ln x dx
x 1
1
xln x ln x c
x
CAPITULO 4
FUNCIONES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
1) httpwwwmtyitesmmxetiedeptosmma-841recursostab-hippdf
2) httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCION
ES20HIPERBOLICASpdfsequence=1
FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS HIPERBOacuteLICAS
Definicioacuten de las funciones
Un ciacuterculo unitario con centro en el origen sigue la foacutermula 1yx 22 un punto dado por el par
ordenado yx se puede representar como funcioacuten de un aacutengulo t de la siguiente manera
senttcosyx De igual manera una hipeacuterbola unitaria con centro en el origen sigue la foacutermula
1yx 22 un punto dado por el par ordenado yx se puede representar como funcioacuten del aacutengulo t
de la siguiente manera senhttcoshyx Estas funciones se denominan funciones trigonomeacutetricas
hiperboacutelicas en particular coseno hiperboacutelico y seno hiperboacutelico
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas presentan propiedades anaacutelogas a las de las funciones
trigonomeacutetricas o circulares La funcioacuten xsenhxf se define como 2
eexsenh
xx mientras que
la funcioacuten xcoshxf es 2
eexcosh
xx
Al igual que las funciones trigonomeacutetricas circulares en las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas se
cumplen las siguientes identidades fundamentales
xx
xx
xx
xx
xx
xx
ee
2
xsenh
1xhcsc
ee
2
xcosh
1xhsec
ee
ee
xsenh
xcoshxcoth
ee
ee
xcosh
xsenhxtanh
Debido a esto es loacutegico pensar que habraacute una relacioacuten equivalente al Teorema de Pitaacutegoras Asiacute
para las funciones hiperboacutelicas se sabe que 1xsenhxcosh 22
Ejemplo 1
Demostrar que 1xsenhxcosh 22
11
14
4
14
2
4
2
14
ee2
4
ee2
14
eee2e
4
eee2e
12
ee
2
ee
1xsenhxcosh
xxxx
x2xxx2x2xxx2
2xx
2xx
22
Graacutefica de las funciones
Sea la funcioacuten 2
eexsenhxf
xx Las intersecciones se pueden encontrar igualando la funcioacuten
a cero
0x
0x2
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
02
ee
x2
x
x
xx
xx
xx
La funcioacuten seno hiperboacutelico tiene una sola raiacutez en x=0 Para obtener los puntos criacuteticos se iguala a
cero la derivada de la funcioacuten
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
0ee2
1
ee2
1ee
dx
d
2
1
2
ee
dx
d
dx
df
x2
x
x
xx
xx
xx
xxxxxx
por lo tanto no hay puntos criacuteticos Es interesante notar que la derivada de la funcioacuten senh(x) es la
funcioacuten cosh(x)
Por uacuteltimo puntos inflexioacuten se pueden encontrar en donde la segunda derivada es igual a cero
xxxxxx
2
2
ee2
1ee
dx
d
2
1ee
2
1
dx
d
dx
fd
La segunda derivada nos llevoacute nuevamente a la funcioacuten senh(x) Esta funcioacuten ya se igualoacute a cero
para encontrar las intersecciones El resultado es que en x=0 hay una raiacutez que a su vez es un punto
de inflexioacuten
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
La misma funcioacuten 2
eexsenhxf
xx se puede ver como la resta de dos funciones exponenciales
2
e
2
e
2
ee xxxx
La graacutefica de estas dos funciones exponenciales se muestra en azul (exponencial
positiva) y verde (exponencial negativa) La resta de ambas punto por punto es la funcioacuten senh(x)
Derivadas
ucoshdx
duusenh
dx
dxcosh
2
ee
2
ee
dx
dxsenh
dx
d xxxx
usenhdx
duucosh
dx
dxsenh
2
ee
2
ee
dx
dxcosh
dx
d xxxx
uhsecdx
duutanh
dx
d
xhsecxcosh
1
xcosh
xsenhxcosh
xcosh
senhx
dx
dxtanh
dx
d
2
2
22
22
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
uhcscdx
duucoth
dx
d
xhcscxsenh
1
xsenh
xcoshxsenh
senhx
xcosh
dx
dxcoth
dx
d 2
22
22
uhsecutanhdx
duuhsec
dx
d
hxsecxtanhxcosh
1
xcosh
senhx
xcosh
senhx
xcosh
1
dx
dxhsec
dx
d2
uhcscucothdx
duuhcsc
dx
d
hxcscxcothsenhx
1
senhx
xcosh
xsenh
xcosh
senhx
1
dx
dxhcsc
dx
d2
Ejemplo 2
Derivar la funcioacuten 3x4tanhxf 2
La funcioacuten maacutes externa es la raiacutez por lo tanto es la primera en derivarse
3x4tanh2
3x4hsecx83x4tanh
dx
d
3x4tanh2
1
dx
df
2
222
2
Ejemplo 3
Derivar la funcioacuten 2x3cosh2x3tanhlnxf 22
La funcioacuten maacutes externa es el logaritmo por lo tanto es el primero en derivarse
2x3cosh2x3tanh
2x3xsenh62x3hsecx6
dx
df22
222
Integrales
Utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se puede establecer que
cuhcscduucothuhcsc
cuhsecduutanhuhsec
cucothduuhcsc
cutanhduuhsec
cusenhduucosh
cucoshduusenh
2
2
Utilizando estas foacutermulas se pueden establecer las siguientes
Ejemplo 4
Hallar la foacutermula para la integral de la tangente hiperboacutelica
dxxcosh
xsenhdxxtanh
Se hace un cambio de variable en donde dxxsenhduxcoshu Al sustituir la integral anterior
cambia a
cxcoshlnculnu
dudx
xcosh
xsenhdxxtanh
Se puede utilizar el mismo procedimiento para hallar las siguientes foacutermulas
cusenhlnduucoth
cucoshlnduutanh
Ejemplo 5
Resolver las siguientes integrales
dxx3senhx 32
Se realiza el cambio de variable dxx9
dux3u 23 por lo tanto la integral se puede escribir como
cx3cosh9
1cucosh
9
1duusenh
9
1
9
duusenhdxx3senhx 332
dx
x
xlnhsec 2
Se realiza el cambio de variablex
dxduxlnu por lo tanto la integral se puede escribir como
cxlntanhcutanhduuhsecdx
x
xlnhsec2
2
1
0
dxxcoshxsenh
Se realiza el cambio de variable dxxsenhduxcoshu por lo tanto la integral se puede escribir
como
1x
0x
1
0
2 duudxxcoshxsenh
Sin embargo dado que u=senh(x) si x=0 entonces 02
ee0senhu
00
Cuando x=1 entonces
e2
1e
2
e
1e
2
e
1e
2
ee1senhu
2
2
11
La integral es
2
32
23
23
2
e2
1e
0
23
e2
1e
0
1x
0x
1
0
2
e2
1e
3
20
3
2
e2
1e
3
2
u3
2duuduudxxcoshxsenh
22
Inversas
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas tienen funciones inversas que comuacutenmente se denotan
como 1senh o bien como arcsenh donde la funcioacuten recibe el nombre de seno hiperboacutelico inverso
Dado que las funciones estaacuten definidas en teacuterminos de exponenciales es de esperarse que sus
inversas incluyan logaritmos naturales Se pueden definir como
1x0parax
x11lnxhsec
1xparax1
x1ln
2
1xtanh
1xpara1xxlnxcosh
1xxlnxsenh
21
1
21
21
Las derivadas e integrales de estas funciones se resuelven igual que las funciones trigonomeacutetricas
inversas
Ejemplo 6
Obtener la foacutermula para la derivada de la funcioacuten xsenhy 1
Dado que no se conoce la derivada del seno hiperboacutelico inverso pero siacute la del seno hiperboacutelico se
pueden utilizar el concepto de la funcioacuten inversa y la derivada impliacutecita para hallar la foacutermula en
cuestioacuten
ycosh
1y
1yacutecoshy
xysenh
xsenhy 1
Se sabe que 1ysenhycosh 22 por lo tanto 1ysenhycosh 22 y la funcioacuten senhy=x entonces
1xycosh 2 Al sustituir se obtiene
1x
1y
2
El mismo meacutetodo se puede utilizar para encontrar cualquiera de las siguientes foacutermulas
1u
dxdu
usenhdx
d
2
1
1u1u
dxdu
ucoshdx
d
2
1
1uu1
dxdu
utanhdx
d2
1
1u0u1u
dxdu
uhsecdx
d
2
1
Ejemplo 7
Determinar si la funcioacuten 3xxsenhxf 21 es creciente o decreciente en el punto x=2
Se debe resolver la derivada de la multiplicacioacuten
10x6x
x23xsenh
19x6x
x23xsenh
13x
x2x3xsenh
dx
df
24
221
24
221
22
21
Se busca conocer como es la funcioacuten en x=2 por lo tanto se sustituye en la derivada
773131642077
80714ln
25
8257ln
225
82257ln
50
81497ln
102416
87senh
dx
df 1
2x
La funcioacuten es creciente crece a una razoacuten de 377
Las foacutermulas para la integracioacuten salen utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo y a partir de las
foacutermulas de derivacioacuten
0aca
usenhdu
ua
1 1
22
0auca
ucoshdu
au
1 1
22
au0aca
utanh
a
1du
ua
1 1
22
au00aca
uhsec
a
1du
uau
1 1
22
Ejemplo 8
Resolver la integral
dxe25
e
x6
x3
Esta integral es como la de la tangente hiperboacutelica inversa donde 5a25a 2
dxe3
dueueu x3x3x62 Al sustituir esto en la integral
c5
etanh
15
1c
5
etanh
5
1
3
1
u25
du
3
1
u25
3du x3
1x3
1
22
Aplicaciones
La velocidad de las olas en el mar bajo ciertas condiciones depende de la longitud de onda
(distancia entre cresta y cresta) y de la profundidad del agua por donde viajan las olas h La funcioacuten
que relaciona estas variables es
h2tanh
2
gv 2
donde v es la velocidad y g es la gravedad
Suponiendo que se mantiene h constante esto es que el oleaje se propaga por un oceacuteano de
profundidad constante (50 m) determinar si la velocidad aumenta o disminuye cuando m5
h2hsec
ghh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2hsec
h2
2
gh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2tanh
2
gv
h2tanh
2
gv
2
2
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
728d
dv
5
502hsec
5
50819
5
502tanh
2
819
5
502tanh
2
58192
1
d
dv 2
Entonces para este valor de la longitud de onda y de la profundidad la velocidad de la ola va
aumentando respecto a la longitud de onda
Si se requiere ahora saber como va cambiando la velocidad de propagacioacuten del oleaje respecto a la
profundidad del mar para una longitud de onda de 5 m se deberaacute entonces derivar respecto a h Sea
una profundidad de 7 m
h2tanh
2
g2
h2hsecg
dh
dv
h2hsec
2
2
g
h2tanh
2
g2
1
dh
dv
h2tanh
2
gv
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
77
2
2
1061595
10918
5
14tanh
2
05492
5
14hsec819
dh
dv
5
72tanh
2
58192
5
72hsec819
dh
dv
Asiacute que aunque la velocidad de propagacioacuten del oleaje va aumentando respecto a la profundidad la
razoacuten de cambio es muy pequentildea
EJERCICIOS DE DERIVADAS HIPERBOLICAS
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6) R
7) R
8) AYUDA R
9) R 10) R
11) R 12) R
13) R
14)DEMOSTRAR
AYUDA
15)
AYUDA
INTEGRALES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
httpcalculoccfunciones_hiperbolicasp_integrales_hiperbhtml
httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCIONES20
HIPERBOLICASpdfsequence=1
httpseswikipediaorgwikiAnexoIntegrales_de_funciones_hiperbC3B3licas
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES HIPERBOLICAS
2)
3)
5)
6)
8)
Resolvemos ambas integrales mediante integracioacuten por partes
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 5 u = 3x
11)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 3 u = 4x
13)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = radic7 u = 5x
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION MATERIAL DE APOYO
800 INTEGRALES RESUELTAS
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_metodosproblemasp_integr_sust_trigohtml
httpsmatematicasnblogspotcom201512integracion-por-sustitucionhtml CON VIDEOS INCLUIDOS
httpsdspaceupseduecbitstream12345678961191Manual20de20fracciones20parcialespdf
httpwwwtesoemedumxalumnoscuadernillos2011011pdf
httpprofe-alexzblogspotcom201104integracion-fracciones-parcialeshtml Y VIDEOS
httpswwwsectormatematicacl rsaquo media rsaquo diferenciado rsaquo FRACCIONES P httpswwwipnmxassetsfilescecyt11docsGuiasUABasicasMatematicascalculo-integral-solucion-de-problemasPDF
httpswwwacademiaedu7708664CC381LCULO_INTEGRAL_EJERCICIOS_RESUELTOS_PASO_A_PASO
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1 Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de
variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de
la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que
contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe
ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
CONTENIDOS
CONTENIDOS
CAPITULO 1
SUMATORIAS
EJERCICIOS DE SUMATORIAS
OTROS EJEMPLOS DE SUMATORIAS
EJERCICIOS GENERALES
SUMATORIAS DE RIEMAN
SUMAS DE RIEMANN
EJERCICIOS APLICANDO RIEMANN
CAPITULO 2
INTEGRALES INMEDIATAS Y POR SUSTITUCION IDONEA
TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS
GUIA DE INTEGRALES POR SUSTITUCION
EJERCICIOS 1
I) USANDO LA TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS Y LAS OTRAS FORMULAS RESOLVER
II) RESUELVE LAS SIGUIENTES INTEGRTALES DEFINIDAS Y GRAFIQUELAS
III) TALLER INTEGRALES PARA COMPLETAR
1) INTEGRALES INMEDIATAS
2) SOLUCION DE INTEGRALES LOGARITMICAS
3) INTEGRALES EXPONENCIALES
4) INTEGRALES TRIGONOMETRICAS
5) OTRAS INTEGRALES TRIGONOMETRICAS
6) OTRAS INTEGRALES
EJERCICIOS 2
I) RESOLVER LAS SIGUIENTES INTEGRALES INDEFINIDAS Y VERIFIQUE SU
RESPUESTA REALIZANDO LA DERIVADA
II) EVALUE LA INTEGRAL INDEFINIDA DADA USANDO UNA SUSTITUCION IDONEA
CAPITULO 3
INTEGRACION POR PARTES
DEFINICION
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRACIOacuteN POR PARTES
EJERCICIOS PARA RESOLVER POR SUSTITUCION
RESOLVER LAS SIGUIENTES INTEGRALES POR PARTES
CAPITULO 4
FUNCIONES HIPERBOLICAS
FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS HIPERBOacuteLICAS
EJERCICIOS DE DERIVADAS HIPERBOLICAS
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES HIPERBOLICAS
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1
Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJMEPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
EJEMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
EJERCICIOS
CAPITULO 1
SUMATORIAS
La sumatoria no es maacutes que una operacioacuten de suma repetida desde laquonraquo veces (siendo n el nuacutemero de sumandos) hasta infinito Tiene muchas aplicaciones tanto en estadiacutestica (para hallar la media etc) como en las series de nuacutemeros e incluso en integrales
Se representa con la letra griega Σ y se puede definir de la siguiente manera
La variable i se llama iacutendice de la suma que nos indica cual es el primer valor inicial (desde el cual se comienza) mientras que n es el liacutemite superior que es hasta donde va a llegar dicha suma Ademaacutes se tiene que cumplir que mlen
Los sumatorios tienen unas reglas que han de cumplirse a la hora de realizar las operaciones A continuacioacuten las citamos
Regla 1 El sumatorio de una suma es igual a la suma de las sumatorias de cada teacutermino Es decir que es lo mismo sumar primero los teacuterminos (que pueden ser datos que nos dan) y hacer luego el sumatorio que realizarlo por separado para cada uno de los teacuterminos
Regla 2 La suma del producto de una constante por una variable es igual a k veces la sumatoria de la variable
Dicho de otra forma que si tenemos una constante K multiplicando al sumatorio podemos sacarla para fuera (como si hicieacutesemos factor comuacuten que en realidad lo es)
Regla 3 El sumatorio de n veces una constante es igual a N veces esa constante
Si K es 3 sumar 3 20 veces es lo mismo que multiplicar 3times20
Regla 4 El sumatorio de un producto no es igual al producto de los sumatorios de cada teacutermino
Regla 5 El sumatorio de los cuadrados de los valores de una variable no es igual al sumatorio de la variable elevada al cuadrado
Por ejemplo no es lo mismo sumar 1+2^2+3^2= 1+4+9 =14 que hacerlo con 1+2+3=5 y elevarlo al cuadrado que nos dariacutea 25
gtgtEjemplo
Calcular la suma de los nuacutemeros impares que se encuentran entre 14 y 4492
Podriacuteamos resolver este ejercicio de la forma normal sin sumatorios pero es muy engorroso pues habraacute muchos nuacutemeros que sumar
En lugar de eso vamos a proceder de la siguiente forma con sumatorios primero planteemos la suma
Como veis son muchiacutesimos los impares existentes desde 15 que es el primero hasta 4491 que es el uacuteltimo
Esa suma la podemos escribir tambieacuten de la siguiente forma
Explicacioacuten Hemos aplicado el mismo principio que cuando tenemos una serie y queremos sacar la expresioacuten general de eacutesta En este caso para representar todos los nuacutemeros impares escribimos 2k-1
Los liacutemites que hemos escogido para el sumatorio son la mitad de la base de las potencias escritas anteriormente Esto se hace asiacute para que nos cuadre el resultado Por ejemplo veis que para k=8 si sustituimos en (2k-1)^2 nos quedariacutea (2times8-1)^2=(16-1)^2= (15)^2 y asiacute sucesivamente para los demaacutes nuacutemeros
Una vez comprendido lo anterior vamos a desarrollar el cuadrado del sumatorio anterior
En este paso hemos separado el sumatorio en varios aplicando la laquoregla 1raquo y a continuacioacuten sacamos las constantes para fuera (aplicando la laquoregla 2raquo)
Aquiacute de nuevo tengo que hacer un inciso para explicar lo que pondreacute a continuacioacuten Como veis hay un 4 multiplicando los 2 sumatorios por loacutegica se nos ocurririacutea sacar factor comuacuten de esos 2 sumatorios pero hay un problema el 1 se nos queda suelto por lo que ahora el sumatorio no nos cumple la propiedad de sumar solamente los impares para ello hacemos un pequentildeo truco cambiamos los liacutemites del sumatorio quedaacutendonos esto
Ahora siacute que podemos resolver los sumatorios uno por uno para hallar nuestro resultado
Es decir que es lo mismo sumar primero los teacuterminos (que pueden ser datos que nos dan) y hacer luego el sumatorio que realizarlo por separado para cada uno de los teacuterminos
Regla 2 La suma del producto de una constante por una variable es igual a k veces la sumatoria de la variable
Dicho de otra forma que si tenemos una constante K multiplicando al sumatorio podemos sacarla para fuera (como si hicieacutesemos factor comuacuten que en realidad lo es)
Regla 3 El sumatorio de n veces una constante es igual a N veces esa constante
Si K es 3 sumar 3 20 veces es lo mismo que multiplicar 3times20
Regla 4 El sumatorio de un producto no es igual al producto de los sumatorios de cada teacutermino
Regla 5 El sumatorio de los cuadrados de los valores de una variable no es igual al sumatorio de la variable elevada al cuadrado
Por ejemplo no es lo mismo sumar 1+2^2+3^2= 1+4+9 =14 que hacerlo con 1+2+3=5 y elevarlo al cuadrado que nos dariacutea 25
gtgtEjemplo
Calcular la suma de los nuacutemeros impares que se encuentran entre 14 y 4492
Podriacuteamos resolver este ejercicio de la forma normal sin sumatorios pero es muy engorroso pues habraacute muchos nuacutemeros que sumar
En lugar de eso vamos a proceder de la siguiente forma con sumatorios primero planteemos la suma
Como veis son muchiacutesimos los impares existentes desde 15 que es el primero hasta 4491 que es el uacuteltimo
Esa suma la podemos escribir tambieacuten de la siguiente forma
Explicacioacuten Hemos aplicado el mismo principio que cuando tenemos una serie y queremos sacar la expresioacuten general de eacutesta En este caso para representar todos los nuacutemeros impares escribimos 2k-1
Los liacutemites que hemos escogido para el sumatorio son la mitad de la base de las potencias escritas anteriormente Esto se hace asiacute para que nos cuadre el resultado Por ejemplo veis que para k=8 si sustituimos en (2k-1)^2 nos quedariacutea (2times8-1)^2=(16-1)^2= (15)^2 y asiacute sucesivamente para los demaacutes nuacutemeros
Una vez comprendido lo anterior vamos a desarrollar el cuadrado del sumatorio anterior
En este paso hemos separado el sumatorio en varios aplicando la laquoregla 1raquo y a continuacioacuten sacamos las constantes para fuera (aplicando la laquoregla 2raquo)
Aquiacute de nuevo tengo que hacer un inciso para explicar lo que pondreacute a continuacioacuten Como veis hay un 4 multiplicando los 2 sumatorios por loacutegica se nos ocurririacutea sacar factor comuacuten de esos 2 sumatorios pero hay un problema el 1 se nos queda suelto por lo que ahora el sumatorio no nos cumple la propiedad de sumar solamente los impares para ello hacemos un pequentildeo truco cambiamos los liacutemites del sumatorio quedaacutendonos esto
Ahora siacute que podemos resolver los sumatorios uno por uno para hallar nuestro resultado
Fuente httpsmatematicalaguia2000comgeneralsumatorio
I) EJERCICIOS DE SUMATORIAS
I) Encontrar los valores de las sumas indicadas
OTROS EJEMPLOS DE SUMATORIAS
A continuacioacuten veremos otros tipos de ejercicios
MATERIAL DE APOYO
httpwwwestuc3mesespnueva_docenciagetafeciencias_estadisticasanalisis_exploratorio_datosdocumentacion
_archivosejerciciosejercicios_sumatoriospdf
httpwwwmatusonmx~jldiazNotasCD-1SeriesEjemplos_de_Series-1htm
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_defiteorianotacion_sigmahtml
httpsingenieriaelectronicaorgnotacion-sumatoria-definicion-caracteristicas-ejemplos CON VIDEOS
httpwwwcalculojcbmatcomid551htm
httptrafulutemclportaldoccapsulas-de-aprendizajecapsula-
sumatoriaassetsmaterial_descargablesumatoria_20ejercicios_desarrolladospdf
httpprofe-alexzblogspotcom201208sumatorias-problemas-resueltoshtml VIDEOS
EJERCICIOS GENERALES
1) APLIQUE LA PROPIEDAD CORRESPONDIENTE
2) CALCULA LAS SIGUIENTES SUMAS
3)
4)
Escribe en forma de sumatoria
5) Desarrolla las siguientes sumatorias
6) Calcula las siguientes sumatorias
SUMATORIAS DE RIEMANN
MATERIAL DE APOYO
httpwwwinguceduve~mlaurentinvariosGuiaEjerciciosUnidadIIAMIIpdf
httpswwwrbjlabscomcalculosumas-de-riemann-ejercicios-parte-1
httpswwwstudocucomesdocumentuniversidad-del-magdalenacalculo-integralapuntesnotas-de-clases-integral-
definida-suma-de-riemann4384436view
httpsingenieriaelectronicaorgsumas-riemann-definicion-ejemplos-ejercicios-resueltos
FUENTE httpmatematicasuiseducocalculo2sumaspdf
EJERCICIOS APLICANDO RIEMANN
RESOLVER POR RIEMANN E INTEGRANDO
1) LEA BIEN PERO PRIMERO GRAFIQUE Y HALLE EL AREA DADA INTEGRANDO
R 83 U2
2) REALICE CON CUIDADO PERO PRIMERO GRAFIQUE Y HALLE EL AREA DADA INTEGRANDO
R9 U2
3) REALICE CON CUIDADO PERO PRIMERO GRAFIQUE HALLE EL AREA DADA
R8U2
4)Grafique e integre y aplique riemann
R16U2
R9U2
5)REALIZARDIBUJA
5) Realizar or riemann y la regla de barrow
R
CAPITULO 2
INTEGRALES INMEDIATAS Y POR SUSTITUCION IDONEA
FUENTE httpscampusdematematicascomtablas-y-formulariostabla-de-integrales
II) TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS
OTRAS FORMULAS
GUIA DE EJEMPLOS DE INTEGRALES POR SUSTITUCION
INTEGRALES POR SUSTITUCION
RESOLVERint radic3 119909 + 5 119889119909 = 119868 Sea 119889119906 = 3 119909 + 5
119889119906 = 3 119889119909 = 119889119909 =119889119906
3
Al sustituir tenemos
119868 = int 11990612
119889119906
3 =
1
3 int 119906
12 119889119906
119868 =1
3(
11990632
32
) + 119862 = 2
911990632 + 119862
119868 = 2
9(3119909 + 2)32 + 119862
RESOLVER int119909119889119909
(1199092+ 4)2 = 119868
Sea 119906 = 1199092 + 4
119889119906 = 2119909 119889119909 = 119909119889119909 =119889119906
2
1
2
Al sustituir tenemos
119868 = int119889119906
21199062 =
1
2 int 119906minus2 119889119906
119868 =1
2(
119906minus1
minus1) + 119862 =
1
2119906minus1 + 119862
119868 = 1
2(1199092 + 4)minus1 + 119862
119868 = 1
2(1199092 + 4)+ 119862
RESOLVER int119904119890119899 119889119909
radic1+2 cos 119909 = 119868
Sea 119906 = 1 + 2 cos 119909
119889119906 = minus2 119904119890119899 119909119889119909 = 119904119890119899 119909 119889119909 = minus119889119906
2
Al sustituir tenemos
119868 = intminus119889119906
211990612 = minus
1
2 int
119889119906
11990612
119868 = minus1
2int 119906minus12119889119906 = minus
1
2(
11990612
12
) + 119862
119868 = minus11990612 + 119862 = minus(1 + 2 cos 119909) 12 + 119862
119868 = minus radic1 + 2 cos 119909 + 119862 DE AQUIacute EN ADELANTE TU LLEGAS A LA RESPUESTA
RESOLVER int119909119889119909
radic119909+1 = 119868
Sea 119906 = radic119909 + 1
1199062 = 119909 + 1 = 119909 = 1199062 minus 1
3
4
2119906119889119906 = 119889119909
CONTINUA
R 119868 =2
3radic119909 + 1(119909 minus 2) + 119862
5)
int 1199092radic2 minus 119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = radic2 minus 119909
1199062 = 2 minus 119909 = 119909 = 2 minus 1199062 119889119909 = minus2119906119889119906
Reemplazando
119868 = int(2 minus 1199062)2(minus2119906119889119906)(119906)
119868 = minus2 int(4 minus 41199062 + 1199064)1199062119889119906
COMPLETA
Rminus2
105(2 minus 119909 )32(140 minus 84(2 minus 119909) + 15(2 minus 119909)2) + 119862
RSOLVER int119909119889119909
radic1199092+9 = 119868
Sea 119906 = 1199092+9
119889119906 = 2119909119889119909 = 119909119889119909 =119889119906
2
Sustituyendo tenemos119868 = int119889119906
211990612 = 2 int 119906minus12 119889119906
COMPLETA
R 119868 = radic1199092 + 9 + 119862
7) RESOLVER int radic1 + radic119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = radic1 + radic119909 1199062 = 1 + radic119909 = 1199062 minus 1 = radic119909 (1199062 minus 1)2 = 119909 2(1199062 minus 1)(2119906)119889119906 = 119889119909 Reemplazando
6
119868 = int 119906[2(1199062 minus 1)2(2119906)] 119889119906 119868 = 4 int 1199062(1199062 minus 1)119889119906 119868 = 4 int(1199064 minus 1199062)119889119906
119868 = (1199064
5minus +
1199063
3) + 119862
Termiacutenalo
R
4(1 + radic3)32
[3(1 + radic119909) minus 5] + 119862
8) RESOLVER
int 119890119909radic1 + 119890119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = 1 + 119890119909 119889119906 = 119890119909 119889119909 Reemplazando tenemos
119868 = int 11990612 119889119906
TERMINALO R 119868 =2
3(1 + 119890119909)32 + 119862
9) RESOLVER int 1199051198861198993119909 1199041198901198882119909 119889119909 = 119868 Sea 119906 = tan 119909
119889119906 = 1199041198901198882119909119889119909
TERMINALO R 119868 =1199051198861198994119909
4 + 119862
10)119877119864119878119874119871119881119864119877 int1199092+2119909
(119909+ 1)2 119889119909 = 119868
Al hacer el binomio y dividir se tiene
(119909 + 1)2 = 1 minus1
1199092+2119909+1 Al sustituir 119868 = int (1 minus
119909
(119909+1)2) 119889119909 = int 119889119909 minus int
119889119909
(119909+1)2
119868 = 119909 minus int119889119909
(119909+1)2
R 119868 = 119909 minus (minus 1
119909+1) + 119862 = 119909 +
1
119909+1+ 119862
11) RESOLVER int2+radic119909
1minusradic119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = 1 minus radic119909 radic119909 = 1 minus 119906 = 119909 = (1 minus 119906)2 119889119909 = 2(1 minus 119906)(minus1)119889119906 = 2(1 minus 119906)119889119906
Ahora 2 + radic119909 = 2 + (1 minus 119906) = 3 minus 119906
Al integrar 119868 = int (3minus119906
119906) [minus2(1 minus 119906)] 119889119906 119864119873119879119874119873119862119864119878 (3 int
119889119906
119906minus 4 int 119889119906 + int 119906 119889119906)
CUAL SERIA LA RESPUESTA MATERIAL DE APOYO httpscursodecalculofileswordpresscom201305ejercicios-resueltos-de-
integral-2-integrales-por-sustitucic3b3n-o-cambio-de-variablepdf
EJERCICIOS 1
I) USANDO LA TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS Y LAS OTRAS FORMULAS RESOLVER
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6 ) R 7) R
8) R 9) R
10) R
11) R 12) R
13) R
14) R 15) R
16) R 17)
18) R 19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
27) R 28) R
29 ) R
30) R
31) R 32) R
33) R
34) R 35) R
36) R 37) R
38) R
39) DEMUESTRE LAS SIGUIENTES IGUALDADES
40) USANDO LAS SIGUIENTES IGUALDADES
RESOLVERA) R
B) R
C) R
II) RESUELVE LAS SIGUIENTES INTEGRTALES DEFINIDAS Y GRAFIQUELAS
SOLUCION
A) 8
b) e-1
c) 1
d) 103
e) I
I I I ) TALLER INTEGRALES PARA COMPLETAR
OBSERVA LAS INTEGRALES RESUELTAS EN LA MAYORIA DE LOS CASOS
FALTA LA SUSTITUCION IDONEA POR AGREGAR AL DESARROLLO DEL
EJERCICIO Y ESA SUSTITUCION PUEDE SER ALGEBRAICA O FALTA EL
CAMBIO DE VARIABLE RESPECTIVO
1) INTEGRALES INMEDIATAS
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
2 Solucioacuten de las integrales logariacutetmicas
1
2
3
4
5
6
7
8
9 - ln (sen x + cos x ) +C
10
11
3 integrales exponenciales
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4 integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5 Otras integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
- 21 x
4
6 Otras integrales
1
2
3
4
5
EJERCICIOS 2
I) RESOLVER LAS SIGUIENTES INTEGRALES INDEFINIDAS Y VERIFIQUE SU
RESPUESTA REALIZANDO LA DERIVADA
II) EVALUE LA INTEGRAL INDEFINIDA DADA USANDO UNA SUSTITUCION IDONEA
62)Problemas de integrales
1Hallar una funcioacuten F(x) cuya derivada sea f(x) = x + 6 y tal que para x = 2
tome el valor 25
RESPUESTA
2De las inf in itas funciones primitivas de la funcioacuten y = xsup2 - x + 1 iquestcuaacutel
es la que para x = 3 toma el valor 5
RESPUESTA
3Hallar una recta cuya pendiente es 2 y pasa por eacutel punto P(0 4)
RESPUESTA f(x) = 2x + 4
4Escribe la funcioacuten primitiva de y = xsup2 + 2x cuya representacioacuten graacutef ica pasa
por eacutel punto (1 3)
RESPUESTA
5Calcular la ecuacioacuten de la curva que pasa por P(1 5) y cuya pendiente en cualquier punto es
3xsup2 + 5x minus 2
RESPUESTA
6Hallar la primitiva de la funcioacuten que se anula para x = 2
RESPUESTA
CAPITULO 3
INTEGRACION POR PARTES
Definicioacuten
Existen varios meacutetodos de integracioacuten consistiendo todos ellos en reducir la integral buscada a una inteacutegrala conocida como por ejemplo una de las de la tabla o bien reducirla una integral maacutes sencilla
El meacutetodo de integracioacuten por partes estaacute basado en la derivada de un producto de funciones como se muestra a continuacioacuten
d(umiddotv) = u dv + v du
por eso es que se usa para integrales que contienen dos funciones que se multiplican entre si
intd(umiddotv) = intu dv + intv du
Se llama integracioacuten por partes porque la integral se divide en dos partes en una el integrando es u y otra en la otra es v La integral debe estar completa y sin alterar la operacioacuten dentro de ella Consejos
La funcioacuten correspondiente a dv debe ser la funcioacuten maacutes faacutecil de integrar 2- En u deben ir aquellas funciones que no tienen integral directa (funciones logariacutetmicas e inversas) luego se pueden considerar las funciones algebraicas puesto que la derivada es reductiva Las funciones trigonomeacutetricas y exponenciales son maacutes sencillas de trabajar
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRACIOacuteN POR PARTES
1-
2-
3-
4-
5-
6-
7-
8-
9-
10-
INTEGRACION POR PARTES
MATERIAL DE APOYO
VIDEOS DE INTEGRACION POR PARTES
1) httpswwwprofesor10dematescom201505integrales-por-partes-resueltashtml
2) httpwwwsietecolinasesmaterialesmatintegrales-4pdf
3) httpsgpweiztuammxfilesusersuamijdfmetodos_de_integracionintegracion_por_partesp
df
EJERCICIOS EJERCICIOS PARA RESOLVER POR PARTES
1) L=Ln
R
2) R
3) R
4) R
5) R 6) R
7) R
8) R
9) R L=Ln
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
15) R
16) R
17) R
18) R
19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
INTEGRAL RESPUESTA
26) x senx dx sen x xcos x c
27) ln x dx 1x ln x c
28)2
xx sen dx 4 2
2 2
x xsen xcos c
29) x cos nx dx 2
cos nx x sennxc
nn
30) 2 u sec u du utgu lncosu c
31) 2 3 u sen v dv 21 1 16 6
4 12 72v v sen v cos v c
32) 2 y senny dy 2
3 2
2 2cosny y senny y cosnyc
nn n
33) 2 xa dx 2
1x xa c
lna ln a
34) nx ln x dx 1 1
1 1
nx
ln x cn n
35) arc sen x dx 2 1x arc sen x x c
36) arc tg x dx 21 1
2x arc tg x ln x c
37) arc c tg y dy 21 1
2y arc c tg y ln y c
38) 2 arc cos x dx 21 2 1 4
2x arc cos x x c
39) arc sec y dy 2 1y arc sec y ln y y c
40) 2
tarc csc dt 2 2 4
2
tt arc csc ln t t c
41) x arc tg x dx 2 1
2 2
x xarc tg x c
42) arc tg x dx 1 x arc tg x x c
43) 2 xx e dx
22 2xe x x c
44) e cos d
2
esen cos c
45)
2
1
ln x dx
x 1
1
xln x ln x c
x
CAPITULO 4
FUNCIONES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
1) httpwwwmtyitesmmxetiedeptosmma-841recursostab-hippdf
2) httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCION
ES20HIPERBOLICASpdfsequence=1
FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS HIPERBOacuteLICAS
Definicioacuten de las funciones
Un ciacuterculo unitario con centro en el origen sigue la foacutermula 1yx 22 un punto dado por el par
ordenado yx se puede representar como funcioacuten de un aacutengulo t de la siguiente manera
senttcosyx De igual manera una hipeacuterbola unitaria con centro en el origen sigue la foacutermula
1yx 22 un punto dado por el par ordenado yx se puede representar como funcioacuten del aacutengulo t
de la siguiente manera senhttcoshyx Estas funciones se denominan funciones trigonomeacutetricas
hiperboacutelicas en particular coseno hiperboacutelico y seno hiperboacutelico
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas presentan propiedades anaacutelogas a las de las funciones
trigonomeacutetricas o circulares La funcioacuten xsenhxf se define como 2
eexsenh
xx mientras que
la funcioacuten xcoshxf es 2
eexcosh
xx
Al igual que las funciones trigonomeacutetricas circulares en las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas se
cumplen las siguientes identidades fundamentales
xx
xx
xx
xx
xx
xx
ee
2
xsenh
1xhcsc
ee
2
xcosh
1xhsec
ee
ee
xsenh
xcoshxcoth
ee
ee
xcosh
xsenhxtanh
Debido a esto es loacutegico pensar que habraacute una relacioacuten equivalente al Teorema de Pitaacutegoras Asiacute
para las funciones hiperboacutelicas se sabe que 1xsenhxcosh 22
Ejemplo 1
Demostrar que 1xsenhxcosh 22
11
14
4
14
2
4
2
14
ee2
4
ee2
14
eee2e
4
eee2e
12
ee
2
ee
1xsenhxcosh
xxxx
x2xxx2x2xxx2
2xx
2xx
22
Graacutefica de las funciones
Sea la funcioacuten 2
eexsenhxf
xx Las intersecciones se pueden encontrar igualando la funcioacuten
a cero
0x
0x2
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
02
ee
x2
x
x
xx
xx
xx
La funcioacuten seno hiperboacutelico tiene una sola raiacutez en x=0 Para obtener los puntos criacuteticos se iguala a
cero la derivada de la funcioacuten
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
0ee2
1
ee2
1ee
dx
d
2
1
2
ee
dx
d
dx
df
x2
x
x
xx
xx
xx
xxxxxx
por lo tanto no hay puntos criacuteticos Es interesante notar que la derivada de la funcioacuten senh(x) es la
funcioacuten cosh(x)
Por uacuteltimo puntos inflexioacuten se pueden encontrar en donde la segunda derivada es igual a cero
xxxxxx
2
2
ee2
1ee
dx
d
2
1ee
2
1
dx
d
dx
fd
La segunda derivada nos llevoacute nuevamente a la funcioacuten senh(x) Esta funcioacuten ya se igualoacute a cero
para encontrar las intersecciones El resultado es que en x=0 hay una raiacutez que a su vez es un punto
de inflexioacuten
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
La misma funcioacuten 2
eexsenhxf
xx se puede ver como la resta de dos funciones exponenciales
2
e
2
e
2
ee xxxx
La graacutefica de estas dos funciones exponenciales se muestra en azul (exponencial
positiva) y verde (exponencial negativa) La resta de ambas punto por punto es la funcioacuten senh(x)
Derivadas
ucoshdx
duusenh
dx
dxcosh
2
ee
2
ee
dx
dxsenh
dx
d xxxx
usenhdx
duucosh
dx
dxsenh
2
ee
2
ee
dx
dxcosh
dx
d xxxx
uhsecdx
duutanh
dx
d
xhsecxcosh
1
xcosh
xsenhxcosh
xcosh
senhx
dx
dxtanh
dx
d
2
2
22
22
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
uhcscdx
duucoth
dx
d
xhcscxsenh
1
xsenh
xcoshxsenh
senhx
xcosh
dx
dxcoth
dx
d 2
22
22
uhsecutanhdx
duuhsec
dx
d
hxsecxtanhxcosh
1
xcosh
senhx
xcosh
senhx
xcosh
1
dx
dxhsec
dx
d2
uhcscucothdx
duuhcsc
dx
d
hxcscxcothsenhx
1
senhx
xcosh
xsenh
xcosh
senhx
1
dx
dxhcsc
dx
d2
Ejemplo 2
Derivar la funcioacuten 3x4tanhxf 2
La funcioacuten maacutes externa es la raiacutez por lo tanto es la primera en derivarse
3x4tanh2
3x4hsecx83x4tanh
dx
d
3x4tanh2
1
dx
df
2
222
2
Ejemplo 3
Derivar la funcioacuten 2x3cosh2x3tanhlnxf 22
La funcioacuten maacutes externa es el logaritmo por lo tanto es el primero en derivarse
2x3cosh2x3tanh
2x3xsenh62x3hsecx6
dx
df22
222
Integrales
Utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se puede establecer que
cuhcscduucothuhcsc
cuhsecduutanhuhsec
cucothduuhcsc
cutanhduuhsec
cusenhduucosh
cucoshduusenh
2
2
Utilizando estas foacutermulas se pueden establecer las siguientes
Ejemplo 4
Hallar la foacutermula para la integral de la tangente hiperboacutelica
dxxcosh
xsenhdxxtanh
Se hace un cambio de variable en donde dxxsenhduxcoshu Al sustituir la integral anterior
cambia a
cxcoshlnculnu
dudx
xcosh
xsenhdxxtanh
Se puede utilizar el mismo procedimiento para hallar las siguientes foacutermulas
cusenhlnduucoth
cucoshlnduutanh
Ejemplo 5
Resolver las siguientes integrales
dxx3senhx 32
Se realiza el cambio de variable dxx9
dux3u 23 por lo tanto la integral se puede escribir como
cx3cosh9
1cucosh
9
1duusenh
9
1
9
duusenhdxx3senhx 332
dx
x
xlnhsec 2
Se realiza el cambio de variablex
dxduxlnu por lo tanto la integral se puede escribir como
cxlntanhcutanhduuhsecdx
x
xlnhsec2
2
1
0
dxxcoshxsenh
Se realiza el cambio de variable dxxsenhduxcoshu por lo tanto la integral se puede escribir
como
1x
0x
1
0
2 duudxxcoshxsenh
Sin embargo dado que u=senh(x) si x=0 entonces 02
ee0senhu
00
Cuando x=1 entonces
e2
1e
2
e
1e
2
e
1e
2
ee1senhu
2
2
11
La integral es
2
32
23
23
2
e2
1e
0
23
e2
1e
0
1x
0x
1
0
2
e2
1e
3
20
3
2
e2
1e
3
2
u3
2duuduudxxcoshxsenh
22
Inversas
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas tienen funciones inversas que comuacutenmente se denotan
como 1senh o bien como arcsenh donde la funcioacuten recibe el nombre de seno hiperboacutelico inverso
Dado que las funciones estaacuten definidas en teacuterminos de exponenciales es de esperarse que sus
inversas incluyan logaritmos naturales Se pueden definir como
1x0parax
x11lnxhsec
1xparax1
x1ln
2
1xtanh
1xpara1xxlnxcosh
1xxlnxsenh
21
1
21
21
Las derivadas e integrales de estas funciones se resuelven igual que las funciones trigonomeacutetricas
inversas
Ejemplo 6
Obtener la foacutermula para la derivada de la funcioacuten xsenhy 1
Dado que no se conoce la derivada del seno hiperboacutelico inverso pero siacute la del seno hiperboacutelico se
pueden utilizar el concepto de la funcioacuten inversa y la derivada impliacutecita para hallar la foacutermula en
cuestioacuten
ycosh
1y
1yacutecoshy
xysenh
xsenhy 1
Se sabe que 1ysenhycosh 22 por lo tanto 1ysenhycosh 22 y la funcioacuten senhy=x entonces
1xycosh 2 Al sustituir se obtiene
1x
1y
2
El mismo meacutetodo se puede utilizar para encontrar cualquiera de las siguientes foacutermulas
1u
dxdu
usenhdx
d
2
1
1u1u
dxdu
ucoshdx
d
2
1
1uu1
dxdu
utanhdx
d2
1
1u0u1u
dxdu
uhsecdx
d
2
1
Ejemplo 7
Determinar si la funcioacuten 3xxsenhxf 21 es creciente o decreciente en el punto x=2
Se debe resolver la derivada de la multiplicacioacuten
10x6x
x23xsenh
19x6x
x23xsenh
13x
x2x3xsenh
dx
df
24
221
24
221
22
21
Se busca conocer como es la funcioacuten en x=2 por lo tanto se sustituye en la derivada
773131642077
80714ln
25
8257ln
225
82257ln
50
81497ln
102416
87senh
dx
df 1
2x
La funcioacuten es creciente crece a una razoacuten de 377
Las foacutermulas para la integracioacuten salen utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo y a partir de las
foacutermulas de derivacioacuten
0aca
usenhdu
ua
1 1
22
0auca
ucoshdu
au
1 1
22
au0aca
utanh
a
1du
ua
1 1
22
au00aca
uhsec
a
1du
uau
1 1
22
Ejemplo 8
Resolver la integral
dxe25
e
x6
x3
Esta integral es como la de la tangente hiperboacutelica inversa donde 5a25a 2
dxe3
dueueu x3x3x62 Al sustituir esto en la integral
c5
etanh
15
1c
5
etanh
5
1
3
1
u25
du
3
1
u25
3du x3
1x3
1
22
Aplicaciones
La velocidad de las olas en el mar bajo ciertas condiciones depende de la longitud de onda
(distancia entre cresta y cresta) y de la profundidad del agua por donde viajan las olas h La funcioacuten
que relaciona estas variables es
h2tanh
2
gv 2
donde v es la velocidad y g es la gravedad
Suponiendo que se mantiene h constante esto es que el oleaje se propaga por un oceacuteano de
profundidad constante (50 m) determinar si la velocidad aumenta o disminuye cuando m5
h2hsec
ghh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2hsec
h2
2
gh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2tanh
2
gv
h2tanh
2
gv
2
2
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
728d
dv
5
502hsec
5
50819
5
502tanh
2
819
5
502tanh
2
58192
1
d
dv 2
Entonces para este valor de la longitud de onda y de la profundidad la velocidad de la ola va
aumentando respecto a la longitud de onda
Si se requiere ahora saber como va cambiando la velocidad de propagacioacuten del oleaje respecto a la
profundidad del mar para una longitud de onda de 5 m se deberaacute entonces derivar respecto a h Sea
una profundidad de 7 m
h2tanh
2
g2
h2hsecg
dh
dv
h2hsec
2
2
g
h2tanh
2
g2
1
dh
dv
h2tanh
2
gv
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
77
2
2
1061595
10918
5
14tanh
2
05492
5
14hsec819
dh
dv
5
72tanh
2
58192
5
72hsec819
dh
dv
Asiacute que aunque la velocidad de propagacioacuten del oleaje va aumentando respecto a la profundidad la
razoacuten de cambio es muy pequentildea
EJERCICIOS DE DERIVADAS HIPERBOLICAS
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6) R
7) R
8) AYUDA R
9) R 10) R
11) R 12) R
13) R
14)DEMOSTRAR
AYUDA
15)
AYUDA
INTEGRALES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
httpcalculoccfunciones_hiperbolicasp_integrales_hiperbhtml
httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCIONES20
HIPERBOLICASpdfsequence=1
httpseswikipediaorgwikiAnexoIntegrales_de_funciones_hiperbC3B3licas
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES HIPERBOLICAS
2)
3)
5)
6)
8)
Resolvemos ambas integrales mediante integracioacuten por partes
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 5 u = 3x
11)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 3 u = 4x
13)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = radic7 u = 5x
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION MATERIAL DE APOYO
800 INTEGRALES RESUELTAS
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_metodosproblemasp_integr_sust_trigohtml
httpsmatematicasnblogspotcom201512integracion-por-sustitucionhtml CON VIDEOS INCLUIDOS
httpsdspaceupseduecbitstream12345678961191Manual20de20fracciones20parcialespdf
httpwwwtesoemedumxalumnoscuadernillos2011011pdf
httpprofe-alexzblogspotcom201104integracion-fracciones-parcialeshtml Y VIDEOS
httpswwwsectormatematicacl rsaquo media rsaquo diferenciado rsaquo FRACCIONES P httpswwwipnmxassetsfilescecyt11docsGuiasUABasicasMatematicascalculo-integral-solucion-de-problemasPDF
httpswwwacademiaedu7708664CC381LCULO_INTEGRAL_EJERCICIOS_RESUELTOS_PASO_A_PASO
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1 Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de
variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de
la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que
contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe
ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
EJERCICIOS PARA RESOLVER POR SUSTITUCION
RESOLVER LAS SIGUIENTES INTEGRALES POR PARTES
CAPITULO 4
FUNCIONES HIPERBOLICAS
FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS HIPERBOacuteLICAS
EJERCICIOS DE DERIVADAS HIPERBOLICAS
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES HIPERBOLICAS
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1
Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJMEPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
EJEMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
EJERCICIOS
CAPITULO 1
SUMATORIAS
La sumatoria no es maacutes que una operacioacuten de suma repetida desde laquonraquo veces (siendo n el nuacutemero de sumandos) hasta infinito Tiene muchas aplicaciones tanto en estadiacutestica (para hallar la media etc) como en las series de nuacutemeros e incluso en integrales
Se representa con la letra griega Σ y se puede definir de la siguiente manera
La variable i se llama iacutendice de la suma que nos indica cual es el primer valor inicial (desde el cual se comienza) mientras que n es el liacutemite superior que es hasta donde va a llegar dicha suma Ademaacutes se tiene que cumplir que mlen
Los sumatorios tienen unas reglas que han de cumplirse a la hora de realizar las operaciones A continuacioacuten las citamos
Regla 1 El sumatorio de una suma es igual a la suma de las sumatorias de cada teacutermino Es decir que es lo mismo sumar primero los teacuterminos (que pueden ser datos que nos dan) y hacer luego el sumatorio que realizarlo por separado para cada uno de los teacuterminos
Regla 2 La suma del producto de una constante por una variable es igual a k veces la sumatoria de la variable
Dicho de otra forma que si tenemos una constante K multiplicando al sumatorio podemos sacarla para fuera (como si hicieacutesemos factor comuacuten que en realidad lo es)
Regla 3 El sumatorio de n veces una constante es igual a N veces esa constante
Si K es 3 sumar 3 20 veces es lo mismo que multiplicar 3times20
Regla 4 El sumatorio de un producto no es igual al producto de los sumatorios de cada teacutermino
Regla 5 El sumatorio de los cuadrados de los valores de una variable no es igual al sumatorio de la variable elevada al cuadrado
Por ejemplo no es lo mismo sumar 1+2^2+3^2= 1+4+9 =14 que hacerlo con 1+2+3=5 y elevarlo al cuadrado que nos dariacutea 25
gtgtEjemplo
Calcular la suma de los nuacutemeros impares que se encuentran entre 14 y 4492
Podriacuteamos resolver este ejercicio de la forma normal sin sumatorios pero es muy engorroso pues habraacute muchos nuacutemeros que sumar
En lugar de eso vamos a proceder de la siguiente forma con sumatorios primero planteemos la suma
Como veis son muchiacutesimos los impares existentes desde 15 que es el primero hasta 4491 que es el uacuteltimo
Esa suma la podemos escribir tambieacuten de la siguiente forma
Explicacioacuten Hemos aplicado el mismo principio que cuando tenemos una serie y queremos sacar la expresioacuten general de eacutesta En este caso para representar todos los nuacutemeros impares escribimos 2k-1
Los liacutemites que hemos escogido para el sumatorio son la mitad de la base de las potencias escritas anteriormente Esto se hace asiacute para que nos cuadre el resultado Por ejemplo veis que para k=8 si sustituimos en (2k-1)^2 nos quedariacutea (2times8-1)^2=(16-1)^2= (15)^2 y asiacute sucesivamente para los demaacutes nuacutemeros
Una vez comprendido lo anterior vamos a desarrollar el cuadrado del sumatorio anterior
En este paso hemos separado el sumatorio en varios aplicando la laquoregla 1raquo y a continuacioacuten sacamos las constantes para fuera (aplicando la laquoregla 2raquo)
Aquiacute de nuevo tengo que hacer un inciso para explicar lo que pondreacute a continuacioacuten Como veis hay un 4 multiplicando los 2 sumatorios por loacutegica se nos ocurririacutea sacar factor comuacuten de esos 2 sumatorios pero hay un problema el 1 se nos queda suelto por lo que ahora el sumatorio no nos cumple la propiedad de sumar solamente los impares para ello hacemos un pequentildeo truco cambiamos los liacutemites del sumatorio quedaacutendonos esto
Ahora siacute que podemos resolver los sumatorios uno por uno para hallar nuestro resultado
Es decir que es lo mismo sumar primero los teacuterminos (que pueden ser datos que nos dan) y hacer luego el sumatorio que realizarlo por separado para cada uno de los teacuterminos
Regla 2 La suma del producto de una constante por una variable es igual a k veces la sumatoria de la variable
Dicho de otra forma que si tenemos una constante K multiplicando al sumatorio podemos sacarla para fuera (como si hicieacutesemos factor comuacuten que en realidad lo es)
Regla 3 El sumatorio de n veces una constante es igual a N veces esa constante
Si K es 3 sumar 3 20 veces es lo mismo que multiplicar 3times20
Regla 4 El sumatorio de un producto no es igual al producto de los sumatorios de cada teacutermino
Regla 5 El sumatorio de los cuadrados de los valores de una variable no es igual al sumatorio de la variable elevada al cuadrado
Por ejemplo no es lo mismo sumar 1+2^2+3^2= 1+4+9 =14 que hacerlo con 1+2+3=5 y elevarlo al cuadrado que nos dariacutea 25
gtgtEjemplo
Calcular la suma de los nuacutemeros impares que se encuentran entre 14 y 4492
Podriacuteamos resolver este ejercicio de la forma normal sin sumatorios pero es muy engorroso pues habraacute muchos nuacutemeros que sumar
En lugar de eso vamos a proceder de la siguiente forma con sumatorios primero planteemos la suma
Como veis son muchiacutesimos los impares existentes desde 15 que es el primero hasta 4491 que es el uacuteltimo
Esa suma la podemos escribir tambieacuten de la siguiente forma
Explicacioacuten Hemos aplicado el mismo principio que cuando tenemos una serie y queremos sacar la expresioacuten general de eacutesta En este caso para representar todos los nuacutemeros impares escribimos 2k-1
Los liacutemites que hemos escogido para el sumatorio son la mitad de la base de las potencias escritas anteriormente Esto se hace asiacute para que nos cuadre el resultado Por ejemplo veis que para k=8 si sustituimos en (2k-1)^2 nos quedariacutea (2times8-1)^2=(16-1)^2= (15)^2 y asiacute sucesivamente para los demaacutes nuacutemeros
Una vez comprendido lo anterior vamos a desarrollar el cuadrado del sumatorio anterior
En este paso hemos separado el sumatorio en varios aplicando la laquoregla 1raquo y a continuacioacuten sacamos las constantes para fuera (aplicando la laquoregla 2raquo)
Aquiacute de nuevo tengo que hacer un inciso para explicar lo que pondreacute a continuacioacuten Como veis hay un 4 multiplicando los 2 sumatorios por loacutegica se nos ocurririacutea sacar factor comuacuten de esos 2 sumatorios pero hay un problema el 1 se nos queda suelto por lo que ahora el sumatorio no nos cumple la propiedad de sumar solamente los impares para ello hacemos un pequentildeo truco cambiamos los liacutemites del sumatorio quedaacutendonos esto
Ahora siacute que podemos resolver los sumatorios uno por uno para hallar nuestro resultado
Fuente httpsmatematicalaguia2000comgeneralsumatorio
I) EJERCICIOS DE SUMATORIAS
I) Encontrar los valores de las sumas indicadas
OTROS EJEMPLOS DE SUMATORIAS
A continuacioacuten veremos otros tipos de ejercicios
MATERIAL DE APOYO
httpwwwestuc3mesespnueva_docenciagetafeciencias_estadisticasanalisis_exploratorio_datosdocumentacion
_archivosejerciciosejercicios_sumatoriospdf
httpwwwmatusonmx~jldiazNotasCD-1SeriesEjemplos_de_Series-1htm
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_defiteorianotacion_sigmahtml
httpsingenieriaelectronicaorgnotacion-sumatoria-definicion-caracteristicas-ejemplos CON VIDEOS
httpwwwcalculojcbmatcomid551htm
httptrafulutemclportaldoccapsulas-de-aprendizajecapsula-
sumatoriaassetsmaterial_descargablesumatoria_20ejercicios_desarrolladospdf
httpprofe-alexzblogspotcom201208sumatorias-problemas-resueltoshtml VIDEOS
EJERCICIOS GENERALES
1) APLIQUE LA PROPIEDAD CORRESPONDIENTE
2) CALCULA LAS SIGUIENTES SUMAS
3)
4)
Escribe en forma de sumatoria
5) Desarrolla las siguientes sumatorias
6) Calcula las siguientes sumatorias
SUMATORIAS DE RIEMANN
MATERIAL DE APOYO
httpwwwinguceduve~mlaurentinvariosGuiaEjerciciosUnidadIIAMIIpdf
httpswwwrbjlabscomcalculosumas-de-riemann-ejercicios-parte-1
httpswwwstudocucomesdocumentuniversidad-del-magdalenacalculo-integralapuntesnotas-de-clases-integral-
definida-suma-de-riemann4384436view
httpsingenieriaelectronicaorgsumas-riemann-definicion-ejemplos-ejercicios-resueltos
FUENTE httpmatematicasuiseducocalculo2sumaspdf
EJERCICIOS APLICANDO RIEMANN
RESOLVER POR RIEMANN E INTEGRANDO
1) LEA BIEN PERO PRIMERO GRAFIQUE Y HALLE EL AREA DADA INTEGRANDO
R 83 U2
2) REALICE CON CUIDADO PERO PRIMERO GRAFIQUE Y HALLE EL AREA DADA INTEGRANDO
R9 U2
3) REALICE CON CUIDADO PERO PRIMERO GRAFIQUE HALLE EL AREA DADA
R8U2
4)Grafique e integre y aplique riemann
R16U2
R9U2
5)REALIZARDIBUJA
5) Realizar or riemann y la regla de barrow
R
CAPITULO 2
INTEGRALES INMEDIATAS Y POR SUSTITUCION IDONEA
FUENTE httpscampusdematematicascomtablas-y-formulariostabla-de-integrales
II) TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS
OTRAS FORMULAS
GUIA DE EJEMPLOS DE INTEGRALES POR SUSTITUCION
INTEGRALES POR SUSTITUCION
RESOLVERint radic3 119909 + 5 119889119909 = 119868 Sea 119889119906 = 3 119909 + 5
119889119906 = 3 119889119909 = 119889119909 =119889119906
3
Al sustituir tenemos
119868 = int 11990612
119889119906
3 =
1
3 int 119906
12 119889119906
119868 =1
3(
11990632
32
) + 119862 = 2
911990632 + 119862
119868 = 2
9(3119909 + 2)32 + 119862
RESOLVER int119909119889119909
(1199092+ 4)2 = 119868
Sea 119906 = 1199092 + 4
119889119906 = 2119909 119889119909 = 119909119889119909 =119889119906
2
1
2
Al sustituir tenemos
119868 = int119889119906
21199062 =
1
2 int 119906minus2 119889119906
119868 =1
2(
119906minus1
minus1) + 119862 =
1
2119906minus1 + 119862
119868 = 1
2(1199092 + 4)minus1 + 119862
119868 = 1
2(1199092 + 4)+ 119862
RESOLVER int119904119890119899 119889119909
radic1+2 cos 119909 = 119868
Sea 119906 = 1 + 2 cos 119909
119889119906 = minus2 119904119890119899 119909119889119909 = 119904119890119899 119909 119889119909 = minus119889119906
2
Al sustituir tenemos
119868 = intminus119889119906
211990612 = minus
1
2 int
119889119906
11990612
119868 = minus1
2int 119906minus12119889119906 = minus
1
2(
11990612
12
) + 119862
119868 = minus11990612 + 119862 = minus(1 + 2 cos 119909) 12 + 119862
119868 = minus radic1 + 2 cos 119909 + 119862 DE AQUIacute EN ADELANTE TU LLEGAS A LA RESPUESTA
RESOLVER int119909119889119909
radic119909+1 = 119868
Sea 119906 = radic119909 + 1
1199062 = 119909 + 1 = 119909 = 1199062 minus 1
3
4
2119906119889119906 = 119889119909
CONTINUA
R 119868 =2
3radic119909 + 1(119909 minus 2) + 119862
5)
int 1199092radic2 minus 119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = radic2 minus 119909
1199062 = 2 minus 119909 = 119909 = 2 minus 1199062 119889119909 = minus2119906119889119906
Reemplazando
119868 = int(2 minus 1199062)2(minus2119906119889119906)(119906)
119868 = minus2 int(4 minus 41199062 + 1199064)1199062119889119906
COMPLETA
Rminus2
105(2 minus 119909 )32(140 minus 84(2 minus 119909) + 15(2 minus 119909)2) + 119862
RSOLVER int119909119889119909
radic1199092+9 = 119868
Sea 119906 = 1199092+9
119889119906 = 2119909119889119909 = 119909119889119909 =119889119906
2
Sustituyendo tenemos119868 = int119889119906
211990612 = 2 int 119906minus12 119889119906
COMPLETA
R 119868 = radic1199092 + 9 + 119862
7) RESOLVER int radic1 + radic119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = radic1 + radic119909 1199062 = 1 + radic119909 = 1199062 minus 1 = radic119909 (1199062 minus 1)2 = 119909 2(1199062 minus 1)(2119906)119889119906 = 119889119909 Reemplazando
6
119868 = int 119906[2(1199062 minus 1)2(2119906)] 119889119906 119868 = 4 int 1199062(1199062 minus 1)119889119906 119868 = 4 int(1199064 minus 1199062)119889119906
119868 = (1199064
5minus +
1199063
3) + 119862
Termiacutenalo
R
4(1 + radic3)32
[3(1 + radic119909) minus 5] + 119862
8) RESOLVER
int 119890119909radic1 + 119890119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = 1 + 119890119909 119889119906 = 119890119909 119889119909 Reemplazando tenemos
119868 = int 11990612 119889119906
TERMINALO R 119868 =2
3(1 + 119890119909)32 + 119862
9) RESOLVER int 1199051198861198993119909 1199041198901198882119909 119889119909 = 119868 Sea 119906 = tan 119909
119889119906 = 1199041198901198882119909119889119909
TERMINALO R 119868 =1199051198861198994119909
4 + 119862
10)119877119864119878119874119871119881119864119877 int1199092+2119909
(119909+ 1)2 119889119909 = 119868
Al hacer el binomio y dividir se tiene
(119909 + 1)2 = 1 minus1
1199092+2119909+1 Al sustituir 119868 = int (1 minus
119909
(119909+1)2) 119889119909 = int 119889119909 minus int
119889119909
(119909+1)2
119868 = 119909 minus int119889119909
(119909+1)2
R 119868 = 119909 minus (minus 1
119909+1) + 119862 = 119909 +
1
119909+1+ 119862
11) RESOLVER int2+radic119909
1minusradic119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = 1 minus radic119909 radic119909 = 1 minus 119906 = 119909 = (1 minus 119906)2 119889119909 = 2(1 minus 119906)(minus1)119889119906 = 2(1 minus 119906)119889119906
Ahora 2 + radic119909 = 2 + (1 minus 119906) = 3 minus 119906
Al integrar 119868 = int (3minus119906
119906) [minus2(1 minus 119906)] 119889119906 119864119873119879119874119873119862119864119878 (3 int
119889119906
119906minus 4 int 119889119906 + int 119906 119889119906)
CUAL SERIA LA RESPUESTA MATERIAL DE APOYO httpscursodecalculofileswordpresscom201305ejercicios-resueltos-de-
integral-2-integrales-por-sustitucic3b3n-o-cambio-de-variablepdf
EJERCICIOS 1
I) USANDO LA TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS Y LAS OTRAS FORMULAS RESOLVER
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6 ) R 7) R
8) R 9) R
10) R
11) R 12) R
13) R
14) R 15) R
16) R 17)
18) R 19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
27) R 28) R
29 ) R
30) R
31) R 32) R
33) R
34) R 35) R
36) R 37) R
38) R
39) DEMUESTRE LAS SIGUIENTES IGUALDADES
40) USANDO LAS SIGUIENTES IGUALDADES
RESOLVERA) R
B) R
C) R
II) RESUELVE LAS SIGUIENTES INTEGRTALES DEFINIDAS Y GRAFIQUELAS
SOLUCION
A) 8
b) e-1
c) 1
d) 103
e) I
I I I ) TALLER INTEGRALES PARA COMPLETAR
OBSERVA LAS INTEGRALES RESUELTAS EN LA MAYORIA DE LOS CASOS
FALTA LA SUSTITUCION IDONEA POR AGREGAR AL DESARROLLO DEL
EJERCICIO Y ESA SUSTITUCION PUEDE SER ALGEBRAICA O FALTA EL
CAMBIO DE VARIABLE RESPECTIVO
1) INTEGRALES INMEDIATAS
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
2 Solucioacuten de las integrales logariacutetmicas
1
2
3
4
5
6
7
8
9 - ln (sen x + cos x ) +C
10
11
3 integrales exponenciales
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4 integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5 Otras integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
- 21 x
4
6 Otras integrales
1
2
3
4
5
EJERCICIOS 2
I) RESOLVER LAS SIGUIENTES INTEGRALES INDEFINIDAS Y VERIFIQUE SU
RESPUESTA REALIZANDO LA DERIVADA
II) EVALUE LA INTEGRAL INDEFINIDA DADA USANDO UNA SUSTITUCION IDONEA
62)Problemas de integrales
1Hallar una funcioacuten F(x) cuya derivada sea f(x) = x + 6 y tal que para x = 2
tome el valor 25
RESPUESTA
2De las inf in itas funciones primitivas de la funcioacuten y = xsup2 - x + 1 iquestcuaacutel
es la que para x = 3 toma el valor 5
RESPUESTA
3Hallar una recta cuya pendiente es 2 y pasa por eacutel punto P(0 4)
RESPUESTA f(x) = 2x + 4
4Escribe la funcioacuten primitiva de y = xsup2 + 2x cuya representacioacuten graacutef ica pasa
por eacutel punto (1 3)
RESPUESTA
5Calcular la ecuacioacuten de la curva que pasa por P(1 5) y cuya pendiente en cualquier punto es
3xsup2 + 5x minus 2
RESPUESTA
6Hallar la primitiva de la funcioacuten que se anula para x = 2
RESPUESTA
CAPITULO 3
INTEGRACION POR PARTES
Definicioacuten
Existen varios meacutetodos de integracioacuten consistiendo todos ellos en reducir la integral buscada a una inteacutegrala conocida como por ejemplo una de las de la tabla o bien reducirla una integral maacutes sencilla
El meacutetodo de integracioacuten por partes estaacute basado en la derivada de un producto de funciones como se muestra a continuacioacuten
d(umiddotv) = u dv + v du
por eso es que se usa para integrales que contienen dos funciones que se multiplican entre si
intd(umiddotv) = intu dv + intv du
Se llama integracioacuten por partes porque la integral se divide en dos partes en una el integrando es u y otra en la otra es v La integral debe estar completa y sin alterar la operacioacuten dentro de ella Consejos
La funcioacuten correspondiente a dv debe ser la funcioacuten maacutes faacutecil de integrar 2- En u deben ir aquellas funciones que no tienen integral directa (funciones logariacutetmicas e inversas) luego se pueden considerar las funciones algebraicas puesto que la derivada es reductiva Las funciones trigonomeacutetricas y exponenciales son maacutes sencillas de trabajar
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRACIOacuteN POR PARTES
1-
2-
3-
4-
5-
6-
7-
8-
9-
10-
INTEGRACION POR PARTES
MATERIAL DE APOYO
VIDEOS DE INTEGRACION POR PARTES
1) httpswwwprofesor10dematescom201505integrales-por-partes-resueltashtml
2) httpwwwsietecolinasesmaterialesmatintegrales-4pdf
3) httpsgpweiztuammxfilesusersuamijdfmetodos_de_integracionintegracion_por_partesp
df
EJERCICIOS EJERCICIOS PARA RESOLVER POR PARTES
1) L=Ln
R
2) R
3) R
4) R
5) R 6) R
7) R
8) R
9) R L=Ln
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
15) R
16) R
17) R
18) R
19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
INTEGRAL RESPUESTA
26) x senx dx sen x xcos x c
27) ln x dx 1x ln x c
28)2
xx sen dx 4 2
2 2
x xsen xcos c
29) x cos nx dx 2
cos nx x sennxc
nn
30) 2 u sec u du utgu lncosu c
31) 2 3 u sen v dv 21 1 16 6
4 12 72v v sen v cos v c
32) 2 y senny dy 2
3 2
2 2cosny y senny y cosnyc
nn n
33) 2 xa dx 2
1x xa c
lna ln a
34) nx ln x dx 1 1
1 1
nx
ln x cn n
35) arc sen x dx 2 1x arc sen x x c
36) arc tg x dx 21 1
2x arc tg x ln x c
37) arc c tg y dy 21 1
2y arc c tg y ln y c
38) 2 arc cos x dx 21 2 1 4
2x arc cos x x c
39) arc sec y dy 2 1y arc sec y ln y y c
40) 2
tarc csc dt 2 2 4
2
tt arc csc ln t t c
41) x arc tg x dx 2 1
2 2
x xarc tg x c
42) arc tg x dx 1 x arc tg x x c
43) 2 xx e dx
22 2xe x x c
44) e cos d
2
esen cos c
45)
2
1
ln x dx
x 1
1
xln x ln x c
x
CAPITULO 4
FUNCIONES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
1) httpwwwmtyitesmmxetiedeptosmma-841recursostab-hippdf
2) httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCION
ES20HIPERBOLICASpdfsequence=1
FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS HIPERBOacuteLICAS
Definicioacuten de las funciones
Un ciacuterculo unitario con centro en el origen sigue la foacutermula 1yx 22 un punto dado por el par
ordenado yx se puede representar como funcioacuten de un aacutengulo t de la siguiente manera
senttcosyx De igual manera una hipeacuterbola unitaria con centro en el origen sigue la foacutermula
1yx 22 un punto dado por el par ordenado yx se puede representar como funcioacuten del aacutengulo t
de la siguiente manera senhttcoshyx Estas funciones se denominan funciones trigonomeacutetricas
hiperboacutelicas en particular coseno hiperboacutelico y seno hiperboacutelico
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas presentan propiedades anaacutelogas a las de las funciones
trigonomeacutetricas o circulares La funcioacuten xsenhxf se define como 2
eexsenh
xx mientras que
la funcioacuten xcoshxf es 2
eexcosh
xx
Al igual que las funciones trigonomeacutetricas circulares en las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas se
cumplen las siguientes identidades fundamentales
xx
xx
xx
xx
xx
xx
ee
2
xsenh
1xhcsc
ee
2
xcosh
1xhsec
ee
ee
xsenh
xcoshxcoth
ee
ee
xcosh
xsenhxtanh
Debido a esto es loacutegico pensar que habraacute una relacioacuten equivalente al Teorema de Pitaacutegoras Asiacute
para las funciones hiperboacutelicas se sabe que 1xsenhxcosh 22
Ejemplo 1
Demostrar que 1xsenhxcosh 22
11
14
4
14
2
4
2
14
ee2
4
ee2
14
eee2e
4
eee2e
12
ee
2
ee
1xsenhxcosh
xxxx
x2xxx2x2xxx2
2xx
2xx
22
Graacutefica de las funciones
Sea la funcioacuten 2
eexsenhxf
xx Las intersecciones se pueden encontrar igualando la funcioacuten
a cero
0x
0x2
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
02
ee
x2
x
x
xx
xx
xx
La funcioacuten seno hiperboacutelico tiene una sola raiacutez en x=0 Para obtener los puntos criacuteticos se iguala a
cero la derivada de la funcioacuten
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
0ee2
1
ee2
1ee
dx
d
2
1
2
ee
dx
d
dx
df
x2
x
x
xx
xx
xx
xxxxxx
por lo tanto no hay puntos criacuteticos Es interesante notar que la derivada de la funcioacuten senh(x) es la
funcioacuten cosh(x)
Por uacuteltimo puntos inflexioacuten se pueden encontrar en donde la segunda derivada es igual a cero
xxxxxx
2
2
ee2
1ee
dx
d
2
1ee
2
1
dx
d
dx
fd
La segunda derivada nos llevoacute nuevamente a la funcioacuten senh(x) Esta funcioacuten ya se igualoacute a cero
para encontrar las intersecciones El resultado es que en x=0 hay una raiacutez que a su vez es un punto
de inflexioacuten
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
La misma funcioacuten 2
eexsenhxf
xx se puede ver como la resta de dos funciones exponenciales
2
e
2
e
2
ee xxxx
La graacutefica de estas dos funciones exponenciales se muestra en azul (exponencial
positiva) y verde (exponencial negativa) La resta de ambas punto por punto es la funcioacuten senh(x)
Derivadas
ucoshdx
duusenh
dx
dxcosh
2
ee
2
ee
dx
dxsenh
dx
d xxxx
usenhdx
duucosh
dx
dxsenh
2
ee
2
ee
dx
dxcosh
dx
d xxxx
uhsecdx
duutanh
dx
d
xhsecxcosh
1
xcosh
xsenhxcosh
xcosh
senhx
dx
dxtanh
dx
d
2
2
22
22
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
uhcscdx
duucoth
dx
d
xhcscxsenh
1
xsenh
xcoshxsenh
senhx
xcosh
dx
dxcoth
dx
d 2
22
22
uhsecutanhdx
duuhsec
dx
d
hxsecxtanhxcosh
1
xcosh
senhx
xcosh
senhx
xcosh
1
dx
dxhsec
dx
d2
uhcscucothdx
duuhcsc
dx
d
hxcscxcothsenhx
1
senhx
xcosh
xsenh
xcosh
senhx
1
dx
dxhcsc
dx
d2
Ejemplo 2
Derivar la funcioacuten 3x4tanhxf 2
La funcioacuten maacutes externa es la raiacutez por lo tanto es la primera en derivarse
3x4tanh2
3x4hsecx83x4tanh
dx
d
3x4tanh2
1
dx
df
2
222
2
Ejemplo 3
Derivar la funcioacuten 2x3cosh2x3tanhlnxf 22
La funcioacuten maacutes externa es el logaritmo por lo tanto es el primero en derivarse
2x3cosh2x3tanh
2x3xsenh62x3hsecx6
dx
df22
222
Integrales
Utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se puede establecer que
cuhcscduucothuhcsc
cuhsecduutanhuhsec
cucothduuhcsc
cutanhduuhsec
cusenhduucosh
cucoshduusenh
2
2
Utilizando estas foacutermulas se pueden establecer las siguientes
Ejemplo 4
Hallar la foacutermula para la integral de la tangente hiperboacutelica
dxxcosh
xsenhdxxtanh
Se hace un cambio de variable en donde dxxsenhduxcoshu Al sustituir la integral anterior
cambia a
cxcoshlnculnu
dudx
xcosh
xsenhdxxtanh
Se puede utilizar el mismo procedimiento para hallar las siguientes foacutermulas
cusenhlnduucoth
cucoshlnduutanh
Ejemplo 5
Resolver las siguientes integrales
dxx3senhx 32
Se realiza el cambio de variable dxx9
dux3u 23 por lo tanto la integral se puede escribir como
cx3cosh9
1cucosh
9
1duusenh
9
1
9
duusenhdxx3senhx 332
dx
x
xlnhsec 2
Se realiza el cambio de variablex
dxduxlnu por lo tanto la integral se puede escribir como
cxlntanhcutanhduuhsecdx
x
xlnhsec2
2
1
0
dxxcoshxsenh
Se realiza el cambio de variable dxxsenhduxcoshu por lo tanto la integral se puede escribir
como
1x
0x
1
0
2 duudxxcoshxsenh
Sin embargo dado que u=senh(x) si x=0 entonces 02
ee0senhu
00
Cuando x=1 entonces
e2
1e
2
e
1e
2
e
1e
2
ee1senhu
2
2
11
La integral es
2
32
23
23
2
e2
1e
0
23
e2
1e
0
1x
0x
1
0
2
e2
1e
3
20
3
2
e2
1e
3
2
u3
2duuduudxxcoshxsenh
22
Inversas
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas tienen funciones inversas que comuacutenmente se denotan
como 1senh o bien como arcsenh donde la funcioacuten recibe el nombre de seno hiperboacutelico inverso
Dado que las funciones estaacuten definidas en teacuterminos de exponenciales es de esperarse que sus
inversas incluyan logaritmos naturales Se pueden definir como
1x0parax
x11lnxhsec
1xparax1
x1ln
2
1xtanh
1xpara1xxlnxcosh
1xxlnxsenh
21
1
21
21
Las derivadas e integrales de estas funciones se resuelven igual que las funciones trigonomeacutetricas
inversas
Ejemplo 6
Obtener la foacutermula para la derivada de la funcioacuten xsenhy 1
Dado que no se conoce la derivada del seno hiperboacutelico inverso pero siacute la del seno hiperboacutelico se
pueden utilizar el concepto de la funcioacuten inversa y la derivada impliacutecita para hallar la foacutermula en
cuestioacuten
ycosh
1y
1yacutecoshy
xysenh
xsenhy 1
Se sabe que 1ysenhycosh 22 por lo tanto 1ysenhycosh 22 y la funcioacuten senhy=x entonces
1xycosh 2 Al sustituir se obtiene
1x
1y
2
El mismo meacutetodo se puede utilizar para encontrar cualquiera de las siguientes foacutermulas
1u
dxdu
usenhdx
d
2
1
1u1u
dxdu
ucoshdx
d
2
1
1uu1
dxdu
utanhdx
d2
1
1u0u1u
dxdu
uhsecdx
d
2
1
Ejemplo 7
Determinar si la funcioacuten 3xxsenhxf 21 es creciente o decreciente en el punto x=2
Se debe resolver la derivada de la multiplicacioacuten
10x6x
x23xsenh
19x6x
x23xsenh
13x
x2x3xsenh
dx
df
24
221
24
221
22
21
Se busca conocer como es la funcioacuten en x=2 por lo tanto se sustituye en la derivada
773131642077
80714ln
25
8257ln
225
82257ln
50
81497ln
102416
87senh
dx
df 1
2x
La funcioacuten es creciente crece a una razoacuten de 377
Las foacutermulas para la integracioacuten salen utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo y a partir de las
foacutermulas de derivacioacuten
0aca
usenhdu
ua
1 1
22
0auca
ucoshdu
au
1 1
22
au0aca
utanh
a
1du
ua
1 1
22
au00aca
uhsec
a
1du
uau
1 1
22
Ejemplo 8
Resolver la integral
dxe25
e
x6
x3
Esta integral es como la de la tangente hiperboacutelica inversa donde 5a25a 2
dxe3
dueueu x3x3x62 Al sustituir esto en la integral
c5
etanh
15
1c
5
etanh
5
1
3
1
u25
du
3
1
u25
3du x3
1x3
1
22
Aplicaciones
La velocidad de las olas en el mar bajo ciertas condiciones depende de la longitud de onda
(distancia entre cresta y cresta) y de la profundidad del agua por donde viajan las olas h La funcioacuten
que relaciona estas variables es
h2tanh
2
gv 2
donde v es la velocidad y g es la gravedad
Suponiendo que se mantiene h constante esto es que el oleaje se propaga por un oceacuteano de
profundidad constante (50 m) determinar si la velocidad aumenta o disminuye cuando m5
h2hsec
ghh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2hsec
h2
2
gh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2tanh
2
gv
h2tanh
2
gv
2
2
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
728d
dv
5
502hsec
5
50819
5
502tanh
2
819
5
502tanh
2
58192
1
d
dv 2
Entonces para este valor de la longitud de onda y de la profundidad la velocidad de la ola va
aumentando respecto a la longitud de onda
Si se requiere ahora saber como va cambiando la velocidad de propagacioacuten del oleaje respecto a la
profundidad del mar para una longitud de onda de 5 m se deberaacute entonces derivar respecto a h Sea
una profundidad de 7 m
h2tanh
2
g2
h2hsecg
dh
dv
h2hsec
2
2
g
h2tanh
2
g2
1
dh
dv
h2tanh
2
gv
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
77
2
2
1061595
10918
5
14tanh
2
05492
5
14hsec819
dh
dv
5
72tanh
2
58192
5
72hsec819
dh
dv
Asiacute que aunque la velocidad de propagacioacuten del oleaje va aumentando respecto a la profundidad la
razoacuten de cambio es muy pequentildea
EJERCICIOS DE DERIVADAS HIPERBOLICAS
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6) R
7) R
8) AYUDA R
9) R 10) R
11) R 12) R
13) R
14)DEMOSTRAR
AYUDA
15)
AYUDA
INTEGRALES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
httpcalculoccfunciones_hiperbolicasp_integrales_hiperbhtml
httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCIONES20
HIPERBOLICASpdfsequence=1
httpseswikipediaorgwikiAnexoIntegrales_de_funciones_hiperbC3B3licas
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES HIPERBOLICAS
2)
3)
5)
6)
8)
Resolvemos ambas integrales mediante integracioacuten por partes
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 5 u = 3x
11)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 3 u = 4x
13)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = radic7 u = 5x
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION MATERIAL DE APOYO
800 INTEGRALES RESUELTAS
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_metodosproblemasp_integr_sust_trigohtml
httpsmatematicasnblogspotcom201512integracion-por-sustitucionhtml CON VIDEOS INCLUIDOS
httpsdspaceupseduecbitstream12345678961191Manual20de20fracciones20parcialespdf
httpwwwtesoemedumxalumnoscuadernillos2011011pdf
httpprofe-alexzblogspotcom201104integracion-fracciones-parcialeshtml Y VIDEOS
httpswwwsectormatematicacl rsaquo media rsaquo diferenciado rsaquo FRACCIONES P httpswwwipnmxassetsfilescecyt11docsGuiasUABasicasMatematicascalculo-integral-solucion-de-problemasPDF
httpswwwacademiaedu7708664CC381LCULO_INTEGRAL_EJERCICIOS_RESUELTOS_PASO_A_PASO
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1 Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de
variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de
la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que
contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe
ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
CAPITULO 1
SUMATORIAS
La sumatoria no es maacutes que una operacioacuten de suma repetida desde laquonraquo veces (siendo n el nuacutemero de sumandos) hasta infinito Tiene muchas aplicaciones tanto en estadiacutestica (para hallar la media etc) como en las series de nuacutemeros e incluso en integrales
Se representa con la letra griega Σ y se puede definir de la siguiente manera
La variable i se llama iacutendice de la suma que nos indica cual es el primer valor inicial (desde el cual se comienza) mientras que n es el liacutemite superior que es hasta donde va a llegar dicha suma Ademaacutes se tiene que cumplir que mlen
Los sumatorios tienen unas reglas que han de cumplirse a la hora de realizar las operaciones A continuacioacuten las citamos
Regla 1 El sumatorio de una suma es igual a la suma de las sumatorias de cada teacutermino Es decir que es lo mismo sumar primero los teacuterminos (que pueden ser datos que nos dan) y hacer luego el sumatorio que realizarlo por separado para cada uno de los teacuterminos
Regla 2 La suma del producto de una constante por una variable es igual a k veces la sumatoria de la variable
Dicho de otra forma que si tenemos una constante K multiplicando al sumatorio podemos sacarla para fuera (como si hicieacutesemos factor comuacuten que en realidad lo es)
Regla 3 El sumatorio de n veces una constante es igual a N veces esa constante
Si K es 3 sumar 3 20 veces es lo mismo que multiplicar 3times20
Regla 4 El sumatorio de un producto no es igual al producto de los sumatorios de cada teacutermino
Regla 5 El sumatorio de los cuadrados de los valores de una variable no es igual al sumatorio de la variable elevada al cuadrado
Por ejemplo no es lo mismo sumar 1+2^2+3^2= 1+4+9 =14 que hacerlo con 1+2+3=5 y elevarlo al cuadrado que nos dariacutea 25
gtgtEjemplo
Calcular la suma de los nuacutemeros impares que se encuentran entre 14 y 4492
Podriacuteamos resolver este ejercicio de la forma normal sin sumatorios pero es muy engorroso pues habraacute muchos nuacutemeros que sumar
En lugar de eso vamos a proceder de la siguiente forma con sumatorios primero planteemos la suma
Como veis son muchiacutesimos los impares existentes desde 15 que es el primero hasta 4491 que es el uacuteltimo
Esa suma la podemos escribir tambieacuten de la siguiente forma
Explicacioacuten Hemos aplicado el mismo principio que cuando tenemos una serie y queremos sacar la expresioacuten general de eacutesta En este caso para representar todos los nuacutemeros impares escribimos 2k-1
Los liacutemites que hemos escogido para el sumatorio son la mitad de la base de las potencias escritas anteriormente Esto se hace asiacute para que nos cuadre el resultado Por ejemplo veis que para k=8 si sustituimos en (2k-1)^2 nos quedariacutea (2times8-1)^2=(16-1)^2= (15)^2 y asiacute sucesivamente para los demaacutes nuacutemeros
Una vez comprendido lo anterior vamos a desarrollar el cuadrado del sumatorio anterior
En este paso hemos separado el sumatorio en varios aplicando la laquoregla 1raquo y a continuacioacuten sacamos las constantes para fuera (aplicando la laquoregla 2raquo)
Aquiacute de nuevo tengo que hacer un inciso para explicar lo que pondreacute a continuacioacuten Como veis hay un 4 multiplicando los 2 sumatorios por loacutegica se nos ocurririacutea sacar factor comuacuten de esos 2 sumatorios pero hay un problema el 1 se nos queda suelto por lo que ahora el sumatorio no nos cumple la propiedad de sumar solamente los impares para ello hacemos un pequentildeo truco cambiamos los liacutemites del sumatorio quedaacutendonos esto
Ahora siacute que podemos resolver los sumatorios uno por uno para hallar nuestro resultado
Es decir que es lo mismo sumar primero los teacuterminos (que pueden ser datos que nos dan) y hacer luego el sumatorio que realizarlo por separado para cada uno de los teacuterminos
Regla 2 La suma del producto de una constante por una variable es igual a k veces la sumatoria de la variable
Dicho de otra forma que si tenemos una constante K multiplicando al sumatorio podemos sacarla para fuera (como si hicieacutesemos factor comuacuten que en realidad lo es)
Regla 3 El sumatorio de n veces una constante es igual a N veces esa constante
Si K es 3 sumar 3 20 veces es lo mismo que multiplicar 3times20
Regla 4 El sumatorio de un producto no es igual al producto de los sumatorios de cada teacutermino
Regla 5 El sumatorio de los cuadrados de los valores de una variable no es igual al sumatorio de la variable elevada al cuadrado
Por ejemplo no es lo mismo sumar 1+2^2+3^2= 1+4+9 =14 que hacerlo con 1+2+3=5 y elevarlo al cuadrado que nos dariacutea 25
gtgtEjemplo
Calcular la suma de los nuacutemeros impares que se encuentran entre 14 y 4492
Podriacuteamos resolver este ejercicio de la forma normal sin sumatorios pero es muy engorroso pues habraacute muchos nuacutemeros que sumar
En lugar de eso vamos a proceder de la siguiente forma con sumatorios primero planteemos la suma
Como veis son muchiacutesimos los impares existentes desde 15 que es el primero hasta 4491 que es el uacuteltimo
Esa suma la podemos escribir tambieacuten de la siguiente forma
Explicacioacuten Hemos aplicado el mismo principio que cuando tenemos una serie y queremos sacar la expresioacuten general de eacutesta En este caso para representar todos los nuacutemeros impares escribimos 2k-1
Los liacutemites que hemos escogido para el sumatorio son la mitad de la base de las potencias escritas anteriormente Esto se hace asiacute para que nos cuadre el resultado Por ejemplo veis que para k=8 si sustituimos en (2k-1)^2 nos quedariacutea (2times8-1)^2=(16-1)^2= (15)^2 y asiacute sucesivamente para los demaacutes nuacutemeros
Una vez comprendido lo anterior vamos a desarrollar el cuadrado del sumatorio anterior
En este paso hemos separado el sumatorio en varios aplicando la laquoregla 1raquo y a continuacioacuten sacamos las constantes para fuera (aplicando la laquoregla 2raquo)
Aquiacute de nuevo tengo que hacer un inciso para explicar lo que pondreacute a continuacioacuten Como veis hay un 4 multiplicando los 2 sumatorios por loacutegica se nos ocurririacutea sacar factor comuacuten de esos 2 sumatorios pero hay un problema el 1 se nos queda suelto por lo que ahora el sumatorio no nos cumple la propiedad de sumar solamente los impares para ello hacemos un pequentildeo truco cambiamos los liacutemites del sumatorio quedaacutendonos esto
Ahora siacute que podemos resolver los sumatorios uno por uno para hallar nuestro resultado
Fuente httpsmatematicalaguia2000comgeneralsumatorio
I) EJERCICIOS DE SUMATORIAS
I) Encontrar los valores de las sumas indicadas
OTROS EJEMPLOS DE SUMATORIAS
A continuacioacuten veremos otros tipos de ejercicios
MATERIAL DE APOYO
httpwwwestuc3mesespnueva_docenciagetafeciencias_estadisticasanalisis_exploratorio_datosdocumentacion
_archivosejerciciosejercicios_sumatoriospdf
httpwwwmatusonmx~jldiazNotasCD-1SeriesEjemplos_de_Series-1htm
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_defiteorianotacion_sigmahtml
httpsingenieriaelectronicaorgnotacion-sumatoria-definicion-caracteristicas-ejemplos CON VIDEOS
httpwwwcalculojcbmatcomid551htm
httptrafulutemclportaldoccapsulas-de-aprendizajecapsula-
sumatoriaassetsmaterial_descargablesumatoria_20ejercicios_desarrolladospdf
httpprofe-alexzblogspotcom201208sumatorias-problemas-resueltoshtml VIDEOS
EJERCICIOS GENERALES
1) APLIQUE LA PROPIEDAD CORRESPONDIENTE
2) CALCULA LAS SIGUIENTES SUMAS
3)
4)
Escribe en forma de sumatoria
5) Desarrolla las siguientes sumatorias
6) Calcula las siguientes sumatorias
SUMATORIAS DE RIEMANN
MATERIAL DE APOYO
httpwwwinguceduve~mlaurentinvariosGuiaEjerciciosUnidadIIAMIIpdf
httpswwwrbjlabscomcalculosumas-de-riemann-ejercicios-parte-1
httpswwwstudocucomesdocumentuniversidad-del-magdalenacalculo-integralapuntesnotas-de-clases-integral-
definida-suma-de-riemann4384436view
httpsingenieriaelectronicaorgsumas-riemann-definicion-ejemplos-ejercicios-resueltos
FUENTE httpmatematicasuiseducocalculo2sumaspdf
EJERCICIOS APLICANDO RIEMANN
RESOLVER POR RIEMANN E INTEGRANDO
1) LEA BIEN PERO PRIMERO GRAFIQUE Y HALLE EL AREA DADA INTEGRANDO
R 83 U2
2) REALICE CON CUIDADO PERO PRIMERO GRAFIQUE Y HALLE EL AREA DADA INTEGRANDO
R9 U2
3) REALICE CON CUIDADO PERO PRIMERO GRAFIQUE HALLE EL AREA DADA
R8U2
4)Grafique e integre y aplique riemann
R16U2
R9U2
5)REALIZARDIBUJA
5) Realizar or riemann y la regla de barrow
R
CAPITULO 2
INTEGRALES INMEDIATAS Y POR SUSTITUCION IDONEA
FUENTE httpscampusdematematicascomtablas-y-formulariostabla-de-integrales
II) TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS
OTRAS FORMULAS
GUIA DE EJEMPLOS DE INTEGRALES POR SUSTITUCION
INTEGRALES POR SUSTITUCION
RESOLVERint radic3 119909 + 5 119889119909 = 119868 Sea 119889119906 = 3 119909 + 5
119889119906 = 3 119889119909 = 119889119909 =119889119906
3
Al sustituir tenemos
119868 = int 11990612
119889119906
3 =
1
3 int 119906
12 119889119906
119868 =1
3(
11990632
32
) + 119862 = 2
911990632 + 119862
119868 = 2
9(3119909 + 2)32 + 119862
RESOLVER int119909119889119909
(1199092+ 4)2 = 119868
Sea 119906 = 1199092 + 4
119889119906 = 2119909 119889119909 = 119909119889119909 =119889119906
2
1
2
Al sustituir tenemos
119868 = int119889119906
21199062 =
1
2 int 119906minus2 119889119906
119868 =1
2(
119906minus1
minus1) + 119862 =
1
2119906minus1 + 119862
119868 = 1
2(1199092 + 4)minus1 + 119862
119868 = 1
2(1199092 + 4)+ 119862
RESOLVER int119904119890119899 119889119909
radic1+2 cos 119909 = 119868
Sea 119906 = 1 + 2 cos 119909
119889119906 = minus2 119904119890119899 119909119889119909 = 119904119890119899 119909 119889119909 = minus119889119906
2
Al sustituir tenemos
119868 = intminus119889119906
211990612 = minus
1
2 int
119889119906
11990612
119868 = minus1
2int 119906minus12119889119906 = minus
1
2(
11990612
12
) + 119862
119868 = minus11990612 + 119862 = minus(1 + 2 cos 119909) 12 + 119862
119868 = minus radic1 + 2 cos 119909 + 119862 DE AQUIacute EN ADELANTE TU LLEGAS A LA RESPUESTA
RESOLVER int119909119889119909
radic119909+1 = 119868
Sea 119906 = radic119909 + 1
1199062 = 119909 + 1 = 119909 = 1199062 minus 1
3
4
2119906119889119906 = 119889119909
CONTINUA
R 119868 =2
3radic119909 + 1(119909 minus 2) + 119862
5)
int 1199092radic2 minus 119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = radic2 minus 119909
1199062 = 2 minus 119909 = 119909 = 2 minus 1199062 119889119909 = minus2119906119889119906
Reemplazando
119868 = int(2 minus 1199062)2(minus2119906119889119906)(119906)
119868 = minus2 int(4 minus 41199062 + 1199064)1199062119889119906
COMPLETA
Rminus2
105(2 minus 119909 )32(140 minus 84(2 minus 119909) + 15(2 minus 119909)2) + 119862
RSOLVER int119909119889119909
radic1199092+9 = 119868
Sea 119906 = 1199092+9
119889119906 = 2119909119889119909 = 119909119889119909 =119889119906
2
Sustituyendo tenemos119868 = int119889119906
211990612 = 2 int 119906minus12 119889119906
COMPLETA
R 119868 = radic1199092 + 9 + 119862
7) RESOLVER int radic1 + radic119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = radic1 + radic119909 1199062 = 1 + radic119909 = 1199062 minus 1 = radic119909 (1199062 minus 1)2 = 119909 2(1199062 minus 1)(2119906)119889119906 = 119889119909 Reemplazando
6
119868 = int 119906[2(1199062 minus 1)2(2119906)] 119889119906 119868 = 4 int 1199062(1199062 minus 1)119889119906 119868 = 4 int(1199064 minus 1199062)119889119906
119868 = (1199064
5minus +
1199063
3) + 119862
Termiacutenalo
R
4(1 + radic3)32
[3(1 + radic119909) minus 5] + 119862
8) RESOLVER
int 119890119909radic1 + 119890119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = 1 + 119890119909 119889119906 = 119890119909 119889119909 Reemplazando tenemos
119868 = int 11990612 119889119906
TERMINALO R 119868 =2
3(1 + 119890119909)32 + 119862
9) RESOLVER int 1199051198861198993119909 1199041198901198882119909 119889119909 = 119868 Sea 119906 = tan 119909
119889119906 = 1199041198901198882119909119889119909
TERMINALO R 119868 =1199051198861198994119909
4 + 119862
10)119877119864119878119874119871119881119864119877 int1199092+2119909
(119909+ 1)2 119889119909 = 119868
Al hacer el binomio y dividir se tiene
(119909 + 1)2 = 1 minus1
1199092+2119909+1 Al sustituir 119868 = int (1 minus
119909
(119909+1)2) 119889119909 = int 119889119909 minus int
119889119909
(119909+1)2
119868 = 119909 minus int119889119909
(119909+1)2
R 119868 = 119909 minus (minus 1
119909+1) + 119862 = 119909 +
1
119909+1+ 119862
11) RESOLVER int2+radic119909
1minusradic119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = 1 minus radic119909 radic119909 = 1 minus 119906 = 119909 = (1 minus 119906)2 119889119909 = 2(1 minus 119906)(minus1)119889119906 = 2(1 minus 119906)119889119906
Ahora 2 + radic119909 = 2 + (1 minus 119906) = 3 minus 119906
Al integrar 119868 = int (3minus119906
119906) [minus2(1 minus 119906)] 119889119906 119864119873119879119874119873119862119864119878 (3 int
119889119906
119906minus 4 int 119889119906 + int 119906 119889119906)
CUAL SERIA LA RESPUESTA MATERIAL DE APOYO httpscursodecalculofileswordpresscom201305ejercicios-resueltos-de-
integral-2-integrales-por-sustitucic3b3n-o-cambio-de-variablepdf
EJERCICIOS 1
I) USANDO LA TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS Y LAS OTRAS FORMULAS RESOLVER
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6 ) R 7) R
8) R 9) R
10) R
11) R 12) R
13) R
14) R 15) R
16) R 17)
18) R 19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
27) R 28) R
29 ) R
30) R
31) R 32) R
33) R
34) R 35) R
36) R 37) R
38) R
39) DEMUESTRE LAS SIGUIENTES IGUALDADES
40) USANDO LAS SIGUIENTES IGUALDADES
RESOLVERA) R
B) R
C) R
II) RESUELVE LAS SIGUIENTES INTEGRTALES DEFINIDAS Y GRAFIQUELAS
SOLUCION
A) 8
b) e-1
c) 1
d) 103
e) I
I I I ) TALLER INTEGRALES PARA COMPLETAR
OBSERVA LAS INTEGRALES RESUELTAS EN LA MAYORIA DE LOS CASOS
FALTA LA SUSTITUCION IDONEA POR AGREGAR AL DESARROLLO DEL
EJERCICIO Y ESA SUSTITUCION PUEDE SER ALGEBRAICA O FALTA EL
CAMBIO DE VARIABLE RESPECTIVO
1) INTEGRALES INMEDIATAS
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
2 Solucioacuten de las integrales logariacutetmicas
1
2
3
4
5
6
7
8
9 - ln (sen x + cos x ) +C
10
11
3 integrales exponenciales
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4 integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5 Otras integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
- 21 x
4
6 Otras integrales
1
2
3
4
5
EJERCICIOS 2
I) RESOLVER LAS SIGUIENTES INTEGRALES INDEFINIDAS Y VERIFIQUE SU
RESPUESTA REALIZANDO LA DERIVADA
II) EVALUE LA INTEGRAL INDEFINIDA DADA USANDO UNA SUSTITUCION IDONEA
62)Problemas de integrales
1Hallar una funcioacuten F(x) cuya derivada sea f(x) = x + 6 y tal que para x = 2
tome el valor 25
RESPUESTA
2De las inf in itas funciones primitivas de la funcioacuten y = xsup2 - x + 1 iquestcuaacutel
es la que para x = 3 toma el valor 5
RESPUESTA
3Hallar una recta cuya pendiente es 2 y pasa por eacutel punto P(0 4)
RESPUESTA f(x) = 2x + 4
4Escribe la funcioacuten primitiva de y = xsup2 + 2x cuya representacioacuten graacutef ica pasa
por eacutel punto (1 3)
RESPUESTA
5Calcular la ecuacioacuten de la curva que pasa por P(1 5) y cuya pendiente en cualquier punto es
3xsup2 + 5x minus 2
RESPUESTA
6Hallar la primitiva de la funcioacuten que se anula para x = 2
RESPUESTA
CAPITULO 3
INTEGRACION POR PARTES
Definicioacuten
Existen varios meacutetodos de integracioacuten consistiendo todos ellos en reducir la integral buscada a una inteacutegrala conocida como por ejemplo una de las de la tabla o bien reducirla una integral maacutes sencilla
El meacutetodo de integracioacuten por partes estaacute basado en la derivada de un producto de funciones como se muestra a continuacioacuten
d(umiddotv) = u dv + v du
por eso es que se usa para integrales que contienen dos funciones que se multiplican entre si
intd(umiddotv) = intu dv + intv du
Se llama integracioacuten por partes porque la integral se divide en dos partes en una el integrando es u y otra en la otra es v La integral debe estar completa y sin alterar la operacioacuten dentro de ella Consejos
La funcioacuten correspondiente a dv debe ser la funcioacuten maacutes faacutecil de integrar 2- En u deben ir aquellas funciones que no tienen integral directa (funciones logariacutetmicas e inversas) luego se pueden considerar las funciones algebraicas puesto que la derivada es reductiva Las funciones trigonomeacutetricas y exponenciales son maacutes sencillas de trabajar
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRACIOacuteN POR PARTES
1-
2-
3-
4-
5-
6-
7-
8-
9-
10-
INTEGRACION POR PARTES
MATERIAL DE APOYO
VIDEOS DE INTEGRACION POR PARTES
1) httpswwwprofesor10dematescom201505integrales-por-partes-resueltashtml
2) httpwwwsietecolinasesmaterialesmatintegrales-4pdf
3) httpsgpweiztuammxfilesusersuamijdfmetodos_de_integracionintegracion_por_partesp
df
EJERCICIOS EJERCICIOS PARA RESOLVER POR PARTES
1) L=Ln
R
2) R
3) R
4) R
5) R 6) R
7) R
8) R
9) R L=Ln
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
15) R
16) R
17) R
18) R
19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
INTEGRAL RESPUESTA
26) x senx dx sen x xcos x c
27) ln x dx 1x ln x c
28)2
xx sen dx 4 2
2 2
x xsen xcos c
29) x cos nx dx 2
cos nx x sennxc
nn
30) 2 u sec u du utgu lncosu c
31) 2 3 u sen v dv 21 1 16 6
4 12 72v v sen v cos v c
32) 2 y senny dy 2
3 2
2 2cosny y senny y cosnyc
nn n
33) 2 xa dx 2
1x xa c
lna ln a
34) nx ln x dx 1 1
1 1
nx
ln x cn n
35) arc sen x dx 2 1x arc sen x x c
36) arc tg x dx 21 1
2x arc tg x ln x c
37) arc c tg y dy 21 1
2y arc c tg y ln y c
38) 2 arc cos x dx 21 2 1 4
2x arc cos x x c
39) arc sec y dy 2 1y arc sec y ln y y c
40) 2
tarc csc dt 2 2 4
2
tt arc csc ln t t c
41) x arc tg x dx 2 1
2 2
x xarc tg x c
42) arc tg x dx 1 x arc tg x x c
43) 2 xx e dx
22 2xe x x c
44) e cos d
2
esen cos c
45)
2
1
ln x dx
x 1
1
xln x ln x c
x
CAPITULO 4
FUNCIONES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
1) httpwwwmtyitesmmxetiedeptosmma-841recursostab-hippdf
2) httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCION
ES20HIPERBOLICASpdfsequence=1
FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS HIPERBOacuteLICAS
Definicioacuten de las funciones
Un ciacuterculo unitario con centro en el origen sigue la foacutermula 1yx 22 un punto dado por el par
ordenado yx se puede representar como funcioacuten de un aacutengulo t de la siguiente manera
senttcosyx De igual manera una hipeacuterbola unitaria con centro en el origen sigue la foacutermula
1yx 22 un punto dado por el par ordenado yx se puede representar como funcioacuten del aacutengulo t
de la siguiente manera senhttcoshyx Estas funciones se denominan funciones trigonomeacutetricas
hiperboacutelicas en particular coseno hiperboacutelico y seno hiperboacutelico
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas presentan propiedades anaacutelogas a las de las funciones
trigonomeacutetricas o circulares La funcioacuten xsenhxf se define como 2
eexsenh
xx mientras que
la funcioacuten xcoshxf es 2
eexcosh
xx
Al igual que las funciones trigonomeacutetricas circulares en las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas se
cumplen las siguientes identidades fundamentales
xx
xx
xx
xx
xx
xx
ee
2
xsenh
1xhcsc
ee
2
xcosh
1xhsec
ee
ee
xsenh
xcoshxcoth
ee
ee
xcosh
xsenhxtanh
Debido a esto es loacutegico pensar que habraacute una relacioacuten equivalente al Teorema de Pitaacutegoras Asiacute
para las funciones hiperboacutelicas se sabe que 1xsenhxcosh 22
Ejemplo 1
Demostrar que 1xsenhxcosh 22
11
14
4
14
2
4
2
14
ee2
4
ee2
14
eee2e
4
eee2e
12
ee
2
ee
1xsenhxcosh
xxxx
x2xxx2x2xxx2
2xx
2xx
22
Graacutefica de las funciones
Sea la funcioacuten 2
eexsenhxf
xx Las intersecciones se pueden encontrar igualando la funcioacuten
a cero
0x
0x2
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
02
ee
x2
x
x
xx
xx
xx
La funcioacuten seno hiperboacutelico tiene una sola raiacutez en x=0 Para obtener los puntos criacuteticos se iguala a
cero la derivada de la funcioacuten
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
0ee2
1
ee2
1ee
dx
d
2
1
2
ee
dx
d
dx
df
x2
x
x
xx
xx
xx
xxxxxx
por lo tanto no hay puntos criacuteticos Es interesante notar que la derivada de la funcioacuten senh(x) es la
funcioacuten cosh(x)
Por uacuteltimo puntos inflexioacuten se pueden encontrar en donde la segunda derivada es igual a cero
xxxxxx
2
2
ee2
1ee
dx
d
2
1ee
2
1
dx
d
dx
fd
La segunda derivada nos llevoacute nuevamente a la funcioacuten senh(x) Esta funcioacuten ya se igualoacute a cero
para encontrar las intersecciones El resultado es que en x=0 hay una raiacutez que a su vez es un punto
de inflexioacuten
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
La misma funcioacuten 2
eexsenhxf
xx se puede ver como la resta de dos funciones exponenciales
2
e
2
e
2
ee xxxx
La graacutefica de estas dos funciones exponenciales se muestra en azul (exponencial
positiva) y verde (exponencial negativa) La resta de ambas punto por punto es la funcioacuten senh(x)
Derivadas
ucoshdx
duusenh
dx
dxcosh
2
ee
2
ee
dx
dxsenh
dx
d xxxx
usenhdx
duucosh
dx
dxsenh
2
ee
2
ee
dx
dxcosh
dx
d xxxx
uhsecdx
duutanh
dx
d
xhsecxcosh
1
xcosh
xsenhxcosh
xcosh
senhx
dx
dxtanh
dx
d
2
2
22
22
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
uhcscdx
duucoth
dx
d
xhcscxsenh
1
xsenh
xcoshxsenh
senhx
xcosh
dx
dxcoth
dx
d 2
22
22
uhsecutanhdx
duuhsec
dx
d
hxsecxtanhxcosh
1
xcosh
senhx
xcosh
senhx
xcosh
1
dx
dxhsec
dx
d2
uhcscucothdx
duuhcsc
dx
d
hxcscxcothsenhx
1
senhx
xcosh
xsenh
xcosh
senhx
1
dx
dxhcsc
dx
d2
Ejemplo 2
Derivar la funcioacuten 3x4tanhxf 2
La funcioacuten maacutes externa es la raiacutez por lo tanto es la primera en derivarse
3x4tanh2
3x4hsecx83x4tanh
dx
d
3x4tanh2
1
dx
df
2
222
2
Ejemplo 3
Derivar la funcioacuten 2x3cosh2x3tanhlnxf 22
La funcioacuten maacutes externa es el logaritmo por lo tanto es el primero en derivarse
2x3cosh2x3tanh
2x3xsenh62x3hsecx6
dx
df22
222
Integrales
Utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se puede establecer que
cuhcscduucothuhcsc
cuhsecduutanhuhsec
cucothduuhcsc
cutanhduuhsec
cusenhduucosh
cucoshduusenh
2
2
Utilizando estas foacutermulas se pueden establecer las siguientes
Ejemplo 4
Hallar la foacutermula para la integral de la tangente hiperboacutelica
dxxcosh
xsenhdxxtanh
Se hace un cambio de variable en donde dxxsenhduxcoshu Al sustituir la integral anterior
cambia a
cxcoshlnculnu
dudx
xcosh
xsenhdxxtanh
Se puede utilizar el mismo procedimiento para hallar las siguientes foacutermulas
cusenhlnduucoth
cucoshlnduutanh
Ejemplo 5
Resolver las siguientes integrales
dxx3senhx 32
Se realiza el cambio de variable dxx9
dux3u 23 por lo tanto la integral se puede escribir como
cx3cosh9
1cucosh
9
1duusenh
9
1
9
duusenhdxx3senhx 332
dx
x
xlnhsec 2
Se realiza el cambio de variablex
dxduxlnu por lo tanto la integral se puede escribir como
cxlntanhcutanhduuhsecdx
x
xlnhsec2
2
1
0
dxxcoshxsenh
Se realiza el cambio de variable dxxsenhduxcoshu por lo tanto la integral se puede escribir
como
1x
0x
1
0
2 duudxxcoshxsenh
Sin embargo dado que u=senh(x) si x=0 entonces 02
ee0senhu
00
Cuando x=1 entonces
e2
1e
2
e
1e
2
e
1e
2
ee1senhu
2
2
11
La integral es
2
32
23
23
2
e2
1e
0
23
e2
1e
0
1x
0x
1
0
2
e2
1e
3
20
3
2
e2
1e
3
2
u3
2duuduudxxcoshxsenh
22
Inversas
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas tienen funciones inversas que comuacutenmente se denotan
como 1senh o bien como arcsenh donde la funcioacuten recibe el nombre de seno hiperboacutelico inverso
Dado que las funciones estaacuten definidas en teacuterminos de exponenciales es de esperarse que sus
inversas incluyan logaritmos naturales Se pueden definir como
1x0parax
x11lnxhsec
1xparax1
x1ln
2
1xtanh
1xpara1xxlnxcosh
1xxlnxsenh
21
1
21
21
Las derivadas e integrales de estas funciones se resuelven igual que las funciones trigonomeacutetricas
inversas
Ejemplo 6
Obtener la foacutermula para la derivada de la funcioacuten xsenhy 1
Dado que no se conoce la derivada del seno hiperboacutelico inverso pero siacute la del seno hiperboacutelico se
pueden utilizar el concepto de la funcioacuten inversa y la derivada impliacutecita para hallar la foacutermula en
cuestioacuten
ycosh
1y
1yacutecoshy
xysenh
xsenhy 1
Se sabe que 1ysenhycosh 22 por lo tanto 1ysenhycosh 22 y la funcioacuten senhy=x entonces
1xycosh 2 Al sustituir se obtiene
1x
1y
2
El mismo meacutetodo se puede utilizar para encontrar cualquiera de las siguientes foacutermulas
1u
dxdu
usenhdx
d
2
1
1u1u
dxdu
ucoshdx
d
2
1
1uu1
dxdu
utanhdx
d2
1
1u0u1u
dxdu
uhsecdx
d
2
1
Ejemplo 7
Determinar si la funcioacuten 3xxsenhxf 21 es creciente o decreciente en el punto x=2
Se debe resolver la derivada de la multiplicacioacuten
10x6x
x23xsenh
19x6x
x23xsenh
13x
x2x3xsenh
dx
df
24
221
24
221
22
21
Se busca conocer como es la funcioacuten en x=2 por lo tanto se sustituye en la derivada
773131642077
80714ln
25
8257ln
225
82257ln
50
81497ln
102416
87senh
dx
df 1
2x
La funcioacuten es creciente crece a una razoacuten de 377
Las foacutermulas para la integracioacuten salen utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo y a partir de las
foacutermulas de derivacioacuten
0aca
usenhdu
ua
1 1
22
0auca
ucoshdu
au
1 1
22
au0aca
utanh
a
1du
ua
1 1
22
au00aca
uhsec
a
1du
uau
1 1
22
Ejemplo 8
Resolver la integral
dxe25
e
x6
x3
Esta integral es como la de la tangente hiperboacutelica inversa donde 5a25a 2
dxe3
dueueu x3x3x62 Al sustituir esto en la integral
c5
etanh
15
1c
5
etanh
5
1
3
1
u25
du
3
1
u25
3du x3
1x3
1
22
Aplicaciones
La velocidad de las olas en el mar bajo ciertas condiciones depende de la longitud de onda
(distancia entre cresta y cresta) y de la profundidad del agua por donde viajan las olas h La funcioacuten
que relaciona estas variables es
h2tanh
2
gv 2
donde v es la velocidad y g es la gravedad
Suponiendo que se mantiene h constante esto es que el oleaje se propaga por un oceacuteano de
profundidad constante (50 m) determinar si la velocidad aumenta o disminuye cuando m5
h2hsec
ghh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2hsec
h2
2
gh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2tanh
2
gv
h2tanh
2
gv
2
2
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
728d
dv
5
502hsec
5
50819
5
502tanh
2
819
5
502tanh
2
58192
1
d
dv 2
Entonces para este valor de la longitud de onda y de la profundidad la velocidad de la ola va
aumentando respecto a la longitud de onda
Si se requiere ahora saber como va cambiando la velocidad de propagacioacuten del oleaje respecto a la
profundidad del mar para una longitud de onda de 5 m se deberaacute entonces derivar respecto a h Sea
una profundidad de 7 m
h2tanh
2
g2
h2hsecg
dh
dv
h2hsec
2
2
g
h2tanh
2
g2
1
dh
dv
h2tanh
2
gv
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
77
2
2
1061595
10918
5
14tanh
2
05492
5
14hsec819
dh
dv
5
72tanh
2
58192
5
72hsec819
dh
dv
Asiacute que aunque la velocidad de propagacioacuten del oleaje va aumentando respecto a la profundidad la
razoacuten de cambio es muy pequentildea
EJERCICIOS DE DERIVADAS HIPERBOLICAS
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6) R
7) R
8) AYUDA R
9) R 10) R
11) R 12) R
13) R
14)DEMOSTRAR
AYUDA
15)
AYUDA
INTEGRALES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
httpcalculoccfunciones_hiperbolicasp_integrales_hiperbhtml
httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCIONES20
HIPERBOLICASpdfsequence=1
httpseswikipediaorgwikiAnexoIntegrales_de_funciones_hiperbC3B3licas
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES HIPERBOLICAS
2)
3)
5)
6)
8)
Resolvemos ambas integrales mediante integracioacuten por partes
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 5 u = 3x
11)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 3 u = 4x
13)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = radic7 u = 5x
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION MATERIAL DE APOYO
800 INTEGRALES RESUELTAS
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_metodosproblemasp_integr_sust_trigohtml
httpsmatematicasnblogspotcom201512integracion-por-sustitucionhtml CON VIDEOS INCLUIDOS
httpsdspaceupseduecbitstream12345678961191Manual20de20fracciones20parcialespdf
httpwwwtesoemedumxalumnoscuadernillos2011011pdf
httpprofe-alexzblogspotcom201104integracion-fracciones-parcialeshtml Y VIDEOS
httpswwwsectormatematicacl rsaquo media rsaquo diferenciado rsaquo FRACCIONES P httpswwwipnmxassetsfilescecyt11docsGuiasUABasicasMatematicascalculo-integral-solucion-de-problemasPDF
httpswwwacademiaedu7708664CC381LCULO_INTEGRAL_EJERCICIOS_RESUELTOS_PASO_A_PASO
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1 Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de
variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de
la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que
contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe
ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
Por ejemplo no es lo mismo sumar 1+2^2+3^2= 1+4+9 =14 que hacerlo con 1+2+3=5 y elevarlo al cuadrado que nos dariacutea 25
gtgtEjemplo
Calcular la suma de los nuacutemeros impares que se encuentran entre 14 y 4492
Podriacuteamos resolver este ejercicio de la forma normal sin sumatorios pero es muy engorroso pues habraacute muchos nuacutemeros que sumar
En lugar de eso vamos a proceder de la siguiente forma con sumatorios primero planteemos la suma
Como veis son muchiacutesimos los impares existentes desde 15 que es el primero hasta 4491 que es el uacuteltimo
Esa suma la podemos escribir tambieacuten de la siguiente forma
Explicacioacuten Hemos aplicado el mismo principio que cuando tenemos una serie y queremos sacar la expresioacuten general de eacutesta En este caso para representar todos los nuacutemeros impares escribimos 2k-1
Los liacutemites que hemos escogido para el sumatorio son la mitad de la base de las potencias escritas anteriormente Esto se hace asiacute para que nos cuadre el resultado Por ejemplo veis que para k=8 si sustituimos en (2k-1)^2 nos quedariacutea (2times8-1)^2=(16-1)^2= (15)^2 y asiacute sucesivamente para los demaacutes nuacutemeros
Una vez comprendido lo anterior vamos a desarrollar el cuadrado del sumatorio anterior
En este paso hemos separado el sumatorio en varios aplicando la laquoregla 1raquo y a continuacioacuten sacamos las constantes para fuera (aplicando la laquoregla 2raquo)
Aquiacute de nuevo tengo que hacer un inciso para explicar lo que pondreacute a continuacioacuten Como veis hay un 4 multiplicando los 2 sumatorios por loacutegica se nos ocurririacutea sacar factor comuacuten de esos 2 sumatorios pero hay un problema el 1 se nos queda suelto por lo que ahora el sumatorio no nos cumple la propiedad de sumar solamente los impares para ello hacemos un pequentildeo truco cambiamos los liacutemites del sumatorio quedaacutendonos esto
Ahora siacute que podemos resolver los sumatorios uno por uno para hallar nuestro resultado
Es decir que es lo mismo sumar primero los teacuterminos (que pueden ser datos que nos dan) y hacer luego el sumatorio que realizarlo por separado para cada uno de los teacuterminos
Regla 2 La suma del producto de una constante por una variable es igual a k veces la sumatoria de la variable
Dicho de otra forma que si tenemos una constante K multiplicando al sumatorio podemos sacarla para fuera (como si hicieacutesemos factor comuacuten que en realidad lo es)
Regla 3 El sumatorio de n veces una constante es igual a N veces esa constante
Si K es 3 sumar 3 20 veces es lo mismo que multiplicar 3times20
Regla 4 El sumatorio de un producto no es igual al producto de los sumatorios de cada teacutermino
Regla 5 El sumatorio de los cuadrados de los valores de una variable no es igual al sumatorio de la variable elevada al cuadrado
Por ejemplo no es lo mismo sumar 1+2^2+3^2= 1+4+9 =14 que hacerlo con 1+2+3=5 y elevarlo al cuadrado que nos dariacutea 25
gtgtEjemplo
Calcular la suma de los nuacutemeros impares que se encuentran entre 14 y 4492
Podriacuteamos resolver este ejercicio de la forma normal sin sumatorios pero es muy engorroso pues habraacute muchos nuacutemeros que sumar
En lugar de eso vamos a proceder de la siguiente forma con sumatorios primero planteemos la suma
Como veis son muchiacutesimos los impares existentes desde 15 que es el primero hasta 4491 que es el uacuteltimo
Esa suma la podemos escribir tambieacuten de la siguiente forma
Explicacioacuten Hemos aplicado el mismo principio que cuando tenemos una serie y queremos sacar la expresioacuten general de eacutesta En este caso para representar todos los nuacutemeros impares escribimos 2k-1
Los liacutemites que hemos escogido para el sumatorio son la mitad de la base de las potencias escritas anteriormente Esto se hace asiacute para que nos cuadre el resultado Por ejemplo veis que para k=8 si sustituimos en (2k-1)^2 nos quedariacutea (2times8-1)^2=(16-1)^2= (15)^2 y asiacute sucesivamente para los demaacutes nuacutemeros
Una vez comprendido lo anterior vamos a desarrollar el cuadrado del sumatorio anterior
En este paso hemos separado el sumatorio en varios aplicando la laquoregla 1raquo y a continuacioacuten sacamos las constantes para fuera (aplicando la laquoregla 2raquo)
Aquiacute de nuevo tengo que hacer un inciso para explicar lo que pondreacute a continuacioacuten Como veis hay un 4 multiplicando los 2 sumatorios por loacutegica se nos ocurririacutea sacar factor comuacuten de esos 2 sumatorios pero hay un problema el 1 se nos queda suelto por lo que ahora el sumatorio no nos cumple la propiedad de sumar solamente los impares para ello hacemos un pequentildeo truco cambiamos los liacutemites del sumatorio quedaacutendonos esto
Ahora siacute que podemos resolver los sumatorios uno por uno para hallar nuestro resultado
Fuente httpsmatematicalaguia2000comgeneralsumatorio
I) EJERCICIOS DE SUMATORIAS
I) Encontrar los valores de las sumas indicadas
OTROS EJEMPLOS DE SUMATORIAS
A continuacioacuten veremos otros tipos de ejercicios
MATERIAL DE APOYO
httpwwwestuc3mesespnueva_docenciagetafeciencias_estadisticasanalisis_exploratorio_datosdocumentacion
_archivosejerciciosejercicios_sumatoriospdf
httpwwwmatusonmx~jldiazNotasCD-1SeriesEjemplos_de_Series-1htm
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_defiteorianotacion_sigmahtml
httpsingenieriaelectronicaorgnotacion-sumatoria-definicion-caracteristicas-ejemplos CON VIDEOS
httpwwwcalculojcbmatcomid551htm
httptrafulutemclportaldoccapsulas-de-aprendizajecapsula-
sumatoriaassetsmaterial_descargablesumatoria_20ejercicios_desarrolladospdf
httpprofe-alexzblogspotcom201208sumatorias-problemas-resueltoshtml VIDEOS
EJERCICIOS GENERALES
1) APLIQUE LA PROPIEDAD CORRESPONDIENTE
2) CALCULA LAS SIGUIENTES SUMAS
3)
4)
Escribe en forma de sumatoria
5) Desarrolla las siguientes sumatorias
6) Calcula las siguientes sumatorias
SUMATORIAS DE RIEMANN
MATERIAL DE APOYO
httpwwwinguceduve~mlaurentinvariosGuiaEjerciciosUnidadIIAMIIpdf
httpswwwrbjlabscomcalculosumas-de-riemann-ejercicios-parte-1
httpswwwstudocucomesdocumentuniversidad-del-magdalenacalculo-integralapuntesnotas-de-clases-integral-
definida-suma-de-riemann4384436view
httpsingenieriaelectronicaorgsumas-riemann-definicion-ejemplos-ejercicios-resueltos
FUENTE httpmatematicasuiseducocalculo2sumaspdf
EJERCICIOS APLICANDO RIEMANN
RESOLVER POR RIEMANN E INTEGRANDO
1) LEA BIEN PERO PRIMERO GRAFIQUE Y HALLE EL AREA DADA INTEGRANDO
R 83 U2
2) REALICE CON CUIDADO PERO PRIMERO GRAFIQUE Y HALLE EL AREA DADA INTEGRANDO
R9 U2
3) REALICE CON CUIDADO PERO PRIMERO GRAFIQUE HALLE EL AREA DADA
R8U2
4)Grafique e integre y aplique riemann
R16U2
R9U2
5)REALIZARDIBUJA
5) Realizar or riemann y la regla de barrow
R
CAPITULO 2
INTEGRALES INMEDIATAS Y POR SUSTITUCION IDONEA
FUENTE httpscampusdematematicascomtablas-y-formulariostabla-de-integrales
II) TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS
OTRAS FORMULAS
GUIA DE EJEMPLOS DE INTEGRALES POR SUSTITUCION
INTEGRALES POR SUSTITUCION
RESOLVERint radic3 119909 + 5 119889119909 = 119868 Sea 119889119906 = 3 119909 + 5
119889119906 = 3 119889119909 = 119889119909 =119889119906
3
Al sustituir tenemos
119868 = int 11990612
119889119906
3 =
1
3 int 119906
12 119889119906
119868 =1
3(
11990632
32
) + 119862 = 2
911990632 + 119862
119868 = 2
9(3119909 + 2)32 + 119862
RESOLVER int119909119889119909
(1199092+ 4)2 = 119868
Sea 119906 = 1199092 + 4
119889119906 = 2119909 119889119909 = 119909119889119909 =119889119906
2
1
2
Al sustituir tenemos
119868 = int119889119906
21199062 =
1
2 int 119906minus2 119889119906
119868 =1
2(
119906minus1
minus1) + 119862 =
1
2119906minus1 + 119862
119868 = 1
2(1199092 + 4)minus1 + 119862
119868 = 1
2(1199092 + 4)+ 119862
RESOLVER int119904119890119899 119889119909
radic1+2 cos 119909 = 119868
Sea 119906 = 1 + 2 cos 119909
119889119906 = minus2 119904119890119899 119909119889119909 = 119904119890119899 119909 119889119909 = minus119889119906
2
Al sustituir tenemos
119868 = intminus119889119906
211990612 = minus
1
2 int
119889119906
11990612
119868 = minus1
2int 119906minus12119889119906 = minus
1
2(
11990612
12
) + 119862
119868 = minus11990612 + 119862 = minus(1 + 2 cos 119909) 12 + 119862
119868 = minus radic1 + 2 cos 119909 + 119862 DE AQUIacute EN ADELANTE TU LLEGAS A LA RESPUESTA
RESOLVER int119909119889119909
radic119909+1 = 119868
Sea 119906 = radic119909 + 1
1199062 = 119909 + 1 = 119909 = 1199062 minus 1
3
4
2119906119889119906 = 119889119909
CONTINUA
R 119868 =2
3radic119909 + 1(119909 minus 2) + 119862
5)
int 1199092radic2 minus 119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = radic2 minus 119909
1199062 = 2 minus 119909 = 119909 = 2 minus 1199062 119889119909 = minus2119906119889119906
Reemplazando
119868 = int(2 minus 1199062)2(minus2119906119889119906)(119906)
119868 = minus2 int(4 minus 41199062 + 1199064)1199062119889119906
COMPLETA
Rminus2
105(2 minus 119909 )32(140 minus 84(2 minus 119909) + 15(2 minus 119909)2) + 119862
RSOLVER int119909119889119909
radic1199092+9 = 119868
Sea 119906 = 1199092+9
119889119906 = 2119909119889119909 = 119909119889119909 =119889119906
2
Sustituyendo tenemos119868 = int119889119906
211990612 = 2 int 119906minus12 119889119906
COMPLETA
R 119868 = radic1199092 + 9 + 119862
7) RESOLVER int radic1 + radic119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = radic1 + radic119909 1199062 = 1 + radic119909 = 1199062 minus 1 = radic119909 (1199062 minus 1)2 = 119909 2(1199062 minus 1)(2119906)119889119906 = 119889119909 Reemplazando
6
119868 = int 119906[2(1199062 minus 1)2(2119906)] 119889119906 119868 = 4 int 1199062(1199062 minus 1)119889119906 119868 = 4 int(1199064 minus 1199062)119889119906
119868 = (1199064
5minus +
1199063
3) + 119862
Termiacutenalo
R
4(1 + radic3)32
[3(1 + radic119909) minus 5] + 119862
8) RESOLVER
int 119890119909radic1 + 119890119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = 1 + 119890119909 119889119906 = 119890119909 119889119909 Reemplazando tenemos
119868 = int 11990612 119889119906
TERMINALO R 119868 =2
3(1 + 119890119909)32 + 119862
9) RESOLVER int 1199051198861198993119909 1199041198901198882119909 119889119909 = 119868 Sea 119906 = tan 119909
119889119906 = 1199041198901198882119909119889119909
TERMINALO R 119868 =1199051198861198994119909
4 + 119862
10)119877119864119878119874119871119881119864119877 int1199092+2119909
(119909+ 1)2 119889119909 = 119868
Al hacer el binomio y dividir se tiene
(119909 + 1)2 = 1 minus1
1199092+2119909+1 Al sustituir 119868 = int (1 minus
119909
(119909+1)2) 119889119909 = int 119889119909 minus int
119889119909
(119909+1)2
119868 = 119909 minus int119889119909
(119909+1)2
R 119868 = 119909 minus (minus 1
119909+1) + 119862 = 119909 +
1
119909+1+ 119862
11) RESOLVER int2+radic119909
1minusradic119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = 1 minus radic119909 radic119909 = 1 minus 119906 = 119909 = (1 minus 119906)2 119889119909 = 2(1 minus 119906)(minus1)119889119906 = 2(1 minus 119906)119889119906
Ahora 2 + radic119909 = 2 + (1 minus 119906) = 3 minus 119906
Al integrar 119868 = int (3minus119906
119906) [minus2(1 minus 119906)] 119889119906 119864119873119879119874119873119862119864119878 (3 int
119889119906
119906minus 4 int 119889119906 + int 119906 119889119906)
CUAL SERIA LA RESPUESTA MATERIAL DE APOYO httpscursodecalculofileswordpresscom201305ejercicios-resueltos-de-
integral-2-integrales-por-sustitucic3b3n-o-cambio-de-variablepdf
EJERCICIOS 1
I) USANDO LA TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS Y LAS OTRAS FORMULAS RESOLVER
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6 ) R 7) R
8) R 9) R
10) R
11) R 12) R
13) R
14) R 15) R
16) R 17)
18) R 19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
27) R 28) R
29 ) R
30) R
31) R 32) R
33) R
34) R 35) R
36) R 37) R
38) R
39) DEMUESTRE LAS SIGUIENTES IGUALDADES
40) USANDO LAS SIGUIENTES IGUALDADES
RESOLVERA) R
B) R
C) R
II) RESUELVE LAS SIGUIENTES INTEGRTALES DEFINIDAS Y GRAFIQUELAS
SOLUCION
A) 8
b) e-1
c) 1
d) 103
e) I
I I I ) TALLER INTEGRALES PARA COMPLETAR
OBSERVA LAS INTEGRALES RESUELTAS EN LA MAYORIA DE LOS CASOS
FALTA LA SUSTITUCION IDONEA POR AGREGAR AL DESARROLLO DEL
EJERCICIO Y ESA SUSTITUCION PUEDE SER ALGEBRAICA O FALTA EL
CAMBIO DE VARIABLE RESPECTIVO
1) INTEGRALES INMEDIATAS
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
2 Solucioacuten de las integrales logariacutetmicas
1
2
3
4
5
6
7
8
9 - ln (sen x + cos x ) +C
10
11
3 integrales exponenciales
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4 integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5 Otras integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
- 21 x
4
6 Otras integrales
1
2
3
4
5
EJERCICIOS 2
I) RESOLVER LAS SIGUIENTES INTEGRALES INDEFINIDAS Y VERIFIQUE SU
RESPUESTA REALIZANDO LA DERIVADA
II) EVALUE LA INTEGRAL INDEFINIDA DADA USANDO UNA SUSTITUCION IDONEA
62)Problemas de integrales
1Hallar una funcioacuten F(x) cuya derivada sea f(x) = x + 6 y tal que para x = 2
tome el valor 25
RESPUESTA
2De las inf in itas funciones primitivas de la funcioacuten y = xsup2 - x + 1 iquestcuaacutel
es la que para x = 3 toma el valor 5
RESPUESTA
3Hallar una recta cuya pendiente es 2 y pasa por eacutel punto P(0 4)
RESPUESTA f(x) = 2x + 4
4Escribe la funcioacuten primitiva de y = xsup2 + 2x cuya representacioacuten graacutef ica pasa
por eacutel punto (1 3)
RESPUESTA
5Calcular la ecuacioacuten de la curva que pasa por P(1 5) y cuya pendiente en cualquier punto es
3xsup2 + 5x minus 2
RESPUESTA
6Hallar la primitiva de la funcioacuten que se anula para x = 2
RESPUESTA
CAPITULO 3
INTEGRACION POR PARTES
Definicioacuten
Existen varios meacutetodos de integracioacuten consistiendo todos ellos en reducir la integral buscada a una inteacutegrala conocida como por ejemplo una de las de la tabla o bien reducirla una integral maacutes sencilla
El meacutetodo de integracioacuten por partes estaacute basado en la derivada de un producto de funciones como se muestra a continuacioacuten
d(umiddotv) = u dv + v du
por eso es que se usa para integrales que contienen dos funciones que se multiplican entre si
intd(umiddotv) = intu dv + intv du
Se llama integracioacuten por partes porque la integral se divide en dos partes en una el integrando es u y otra en la otra es v La integral debe estar completa y sin alterar la operacioacuten dentro de ella Consejos
La funcioacuten correspondiente a dv debe ser la funcioacuten maacutes faacutecil de integrar 2- En u deben ir aquellas funciones que no tienen integral directa (funciones logariacutetmicas e inversas) luego se pueden considerar las funciones algebraicas puesto que la derivada es reductiva Las funciones trigonomeacutetricas y exponenciales son maacutes sencillas de trabajar
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRACIOacuteN POR PARTES
1-
2-
3-
4-
5-
6-
7-
8-
9-
10-
INTEGRACION POR PARTES
MATERIAL DE APOYO
VIDEOS DE INTEGRACION POR PARTES
1) httpswwwprofesor10dematescom201505integrales-por-partes-resueltashtml
2) httpwwwsietecolinasesmaterialesmatintegrales-4pdf
3) httpsgpweiztuammxfilesusersuamijdfmetodos_de_integracionintegracion_por_partesp
df
EJERCICIOS EJERCICIOS PARA RESOLVER POR PARTES
1) L=Ln
R
2) R
3) R
4) R
5) R 6) R
7) R
8) R
9) R L=Ln
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
15) R
16) R
17) R
18) R
19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
INTEGRAL RESPUESTA
26) x senx dx sen x xcos x c
27) ln x dx 1x ln x c
28)2
xx sen dx 4 2
2 2
x xsen xcos c
29) x cos nx dx 2
cos nx x sennxc
nn
30) 2 u sec u du utgu lncosu c
31) 2 3 u sen v dv 21 1 16 6
4 12 72v v sen v cos v c
32) 2 y senny dy 2
3 2
2 2cosny y senny y cosnyc
nn n
33) 2 xa dx 2
1x xa c
lna ln a
34) nx ln x dx 1 1
1 1
nx
ln x cn n
35) arc sen x dx 2 1x arc sen x x c
36) arc tg x dx 21 1
2x arc tg x ln x c
37) arc c tg y dy 21 1
2y arc c tg y ln y c
38) 2 arc cos x dx 21 2 1 4
2x arc cos x x c
39) arc sec y dy 2 1y arc sec y ln y y c
40) 2
tarc csc dt 2 2 4
2
tt arc csc ln t t c
41) x arc tg x dx 2 1
2 2
x xarc tg x c
42) arc tg x dx 1 x arc tg x x c
43) 2 xx e dx
22 2xe x x c
44) e cos d
2
esen cos c
45)
2
1
ln x dx
x 1
1
xln x ln x c
x
CAPITULO 4
FUNCIONES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
1) httpwwwmtyitesmmxetiedeptosmma-841recursostab-hippdf
2) httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCION
ES20HIPERBOLICASpdfsequence=1
FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS HIPERBOacuteLICAS
Definicioacuten de las funciones
Un ciacuterculo unitario con centro en el origen sigue la foacutermula 1yx 22 un punto dado por el par
ordenado yx se puede representar como funcioacuten de un aacutengulo t de la siguiente manera
senttcosyx De igual manera una hipeacuterbola unitaria con centro en el origen sigue la foacutermula
1yx 22 un punto dado por el par ordenado yx se puede representar como funcioacuten del aacutengulo t
de la siguiente manera senhttcoshyx Estas funciones se denominan funciones trigonomeacutetricas
hiperboacutelicas en particular coseno hiperboacutelico y seno hiperboacutelico
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas presentan propiedades anaacutelogas a las de las funciones
trigonomeacutetricas o circulares La funcioacuten xsenhxf se define como 2
eexsenh
xx mientras que
la funcioacuten xcoshxf es 2
eexcosh
xx
Al igual que las funciones trigonomeacutetricas circulares en las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas se
cumplen las siguientes identidades fundamentales
xx
xx
xx
xx
xx
xx
ee
2
xsenh
1xhcsc
ee
2
xcosh
1xhsec
ee
ee
xsenh
xcoshxcoth
ee
ee
xcosh
xsenhxtanh
Debido a esto es loacutegico pensar que habraacute una relacioacuten equivalente al Teorema de Pitaacutegoras Asiacute
para las funciones hiperboacutelicas se sabe que 1xsenhxcosh 22
Ejemplo 1
Demostrar que 1xsenhxcosh 22
11
14
4
14
2
4
2
14
ee2
4
ee2
14
eee2e
4
eee2e
12
ee
2
ee
1xsenhxcosh
xxxx
x2xxx2x2xxx2
2xx
2xx
22
Graacutefica de las funciones
Sea la funcioacuten 2
eexsenhxf
xx Las intersecciones se pueden encontrar igualando la funcioacuten
a cero
0x
0x2
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
02
ee
x2
x
x
xx
xx
xx
La funcioacuten seno hiperboacutelico tiene una sola raiacutez en x=0 Para obtener los puntos criacuteticos se iguala a
cero la derivada de la funcioacuten
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
0ee2
1
ee2
1ee
dx
d
2
1
2
ee
dx
d
dx
df
x2
x
x
xx
xx
xx
xxxxxx
por lo tanto no hay puntos criacuteticos Es interesante notar que la derivada de la funcioacuten senh(x) es la
funcioacuten cosh(x)
Por uacuteltimo puntos inflexioacuten se pueden encontrar en donde la segunda derivada es igual a cero
xxxxxx
2
2
ee2
1ee
dx
d
2
1ee
2
1
dx
d
dx
fd
La segunda derivada nos llevoacute nuevamente a la funcioacuten senh(x) Esta funcioacuten ya se igualoacute a cero
para encontrar las intersecciones El resultado es que en x=0 hay una raiacutez que a su vez es un punto
de inflexioacuten
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
La misma funcioacuten 2
eexsenhxf
xx se puede ver como la resta de dos funciones exponenciales
2
e
2
e
2
ee xxxx
La graacutefica de estas dos funciones exponenciales se muestra en azul (exponencial
positiva) y verde (exponencial negativa) La resta de ambas punto por punto es la funcioacuten senh(x)
Derivadas
ucoshdx
duusenh
dx
dxcosh
2
ee
2
ee
dx
dxsenh
dx
d xxxx
usenhdx
duucosh
dx
dxsenh
2
ee
2
ee
dx
dxcosh
dx
d xxxx
uhsecdx
duutanh
dx
d
xhsecxcosh
1
xcosh
xsenhxcosh
xcosh
senhx
dx
dxtanh
dx
d
2
2
22
22
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
uhcscdx
duucoth
dx
d
xhcscxsenh
1
xsenh
xcoshxsenh
senhx
xcosh
dx
dxcoth
dx
d 2
22
22
uhsecutanhdx
duuhsec
dx
d
hxsecxtanhxcosh
1
xcosh
senhx
xcosh
senhx
xcosh
1
dx
dxhsec
dx
d2
uhcscucothdx
duuhcsc
dx
d
hxcscxcothsenhx
1
senhx
xcosh
xsenh
xcosh
senhx
1
dx
dxhcsc
dx
d2
Ejemplo 2
Derivar la funcioacuten 3x4tanhxf 2
La funcioacuten maacutes externa es la raiacutez por lo tanto es la primera en derivarse
3x4tanh2
3x4hsecx83x4tanh
dx
d
3x4tanh2
1
dx
df
2
222
2
Ejemplo 3
Derivar la funcioacuten 2x3cosh2x3tanhlnxf 22
La funcioacuten maacutes externa es el logaritmo por lo tanto es el primero en derivarse
2x3cosh2x3tanh
2x3xsenh62x3hsecx6
dx
df22
222
Integrales
Utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se puede establecer que
cuhcscduucothuhcsc
cuhsecduutanhuhsec
cucothduuhcsc
cutanhduuhsec
cusenhduucosh
cucoshduusenh
2
2
Utilizando estas foacutermulas se pueden establecer las siguientes
Ejemplo 4
Hallar la foacutermula para la integral de la tangente hiperboacutelica
dxxcosh
xsenhdxxtanh
Se hace un cambio de variable en donde dxxsenhduxcoshu Al sustituir la integral anterior
cambia a
cxcoshlnculnu
dudx
xcosh
xsenhdxxtanh
Se puede utilizar el mismo procedimiento para hallar las siguientes foacutermulas
cusenhlnduucoth
cucoshlnduutanh
Ejemplo 5
Resolver las siguientes integrales
dxx3senhx 32
Se realiza el cambio de variable dxx9
dux3u 23 por lo tanto la integral se puede escribir como
cx3cosh9
1cucosh
9
1duusenh
9
1
9
duusenhdxx3senhx 332
dx
x
xlnhsec 2
Se realiza el cambio de variablex
dxduxlnu por lo tanto la integral se puede escribir como
cxlntanhcutanhduuhsecdx
x
xlnhsec2
2
1
0
dxxcoshxsenh
Se realiza el cambio de variable dxxsenhduxcoshu por lo tanto la integral se puede escribir
como
1x
0x
1
0
2 duudxxcoshxsenh
Sin embargo dado que u=senh(x) si x=0 entonces 02
ee0senhu
00
Cuando x=1 entonces
e2
1e
2
e
1e
2
e
1e
2
ee1senhu
2
2
11
La integral es
2
32
23
23
2
e2
1e
0
23
e2
1e
0
1x
0x
1
0
2
e2
1e
3
20
3
2
e2
1e
3
2
u3
2duuduudxxcoshxsenh
22
Inversas
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas tienen funciones inversas que comuacutenmente se denotan
como 1senh o bien como arcsenh donde la funcioacuten recibe el nombre de seno hiperboacutelico inverso
Dado que las funciones estaacuten definidas en teacuterminos de exponenciales es de esperarse que sus
inversas incluyan logaritmos naturales Se pueden definir como
1x0parax
x11lnxhsec
1xparax1
x1ln
2
1xtanh
1xpara1xxlnxcosh
1xxlnxsenh
21
1
21
21
Las derivadas e integrales de estas funciones se resuelven igual que las funciones trigonomeacutetricas
inversas
Ejemplo 6
Obtener la foacutermula para la derivada de la funcioacuten xsenhy 1
Dado que no se conoce la derivada del seno hiperboacutelico inverso pero siacute la del seno hiperboacutelico se
pueden utilizar el concepto de la funcioacuten inversa y la derivada impliacutecita para hallar la foacutermula en
cuestioacuten
ycosh
1y
1yacutecoshy
xysenh
xsenhy 1
Se sabe que 1ysenhycosh 22 por lo tanto 1ysenhycosh 22 y la funcioacuten senhy=x entonces
1xycosh 2 Al sustituir se obtiene
1x
1y
2
El mismo meacutetodo se puede utilizar para encontrar cualquiera de las siguientes foacutermulas
1u
dxdu
usenhdx
d
2
1
1u1u
dxdu
ucoshdx
d
2
1
1uu1
dxdu
utanhdx
d2
1
1u0u1u
dxdu
uhsecdx
d
2
1
Ejemplo 7
Determinar si la funcioacuten 3xxsenhxf 21 es creciente o decreciente en el punto x=2
Se debe resolver la derivada de la multiplicacioacuten
10x6x
x23xsenh
19x6x
x23xsenh
13x
x2x3xsenh
dx
df
24
221
24
221
22
21
Se busca conocer como es la funcioacuten en x=2 por lo tanto se sustituye en la derivada
773131642077
80714ln
25
8257ln
225
82257ln
50
81497ln
102416
87senh
dx
df 1
2x
La funcioacuten es creciente crece a una razoacuten de 377
Las foacutermulas para la integracioacuten salen utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo y a partir de las
foacutermulas de derivacioacuten
0aca
usenhdu
ua
1 1
22
0auca
ucoshdu
au
1 1
22
au0aca
utanh
a
1du
ua
1 1
22
au00aca
uhsec
a
1du
uau
1 1
22
Ejemplo 8
Resolver la integral
dxe25
e
x6
x3
Esta integral es como la de la tangente hiperboacutelica inversa donde 5a25a 2
dxe3
dueueu x3x3x62 Al sustituir esto en la integral
c5
etanh
15
1c
5
etanh
5
1
3
1
u25
du
3
1
u25
3du x3
1x3
1
22
Aplicaciones
La velocidad de las olas en el mar bajo ciertas condiciones depende de la longitud de onda
(distancia entre cresta y cresta) y de la profundidad del agua por donde viajan las olas h La funcioacuten
que relaciona estas variables es
h2tanh
2
gv 2
donde v es la velocidad y g es la gravedad
Suponiendo que se mantiene h constante esto es que el oleaje se propaga por un oceacuteano de
profundidad constante (50 m) determinar si la velocidad aumenta o disminuye cuando m5
h2hsec
ghh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2hsec
h2
2
gh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2tanh
2
gv
h2tanh
2
gv
2
2
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
728d
dv
5
502hsec
5
50819
5
502tanh
2
819
5
502tanh
2
58192
1
d
dv 2
Entonces para este valor de la longitud de onda y de la profundidad la velocidad de la ola va
aumentando respecto a la longitud de onda
Si se requiere ahora saber como va cambiando la velocidad de propagacioacuten del oleaje respecto a la
profundidad del mar para una longitud de onda de 5 m se deberaacute entonces derivar respecto a h Sea
una profundidad de 7 m
h2tanh
2
g2
h2hsecg
dh
dv
h2hsec
2
2
g
h2tanh
2
g2
1
dh
dv
h2tanh
2
gv
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
77
2
2
1061595
10918
5
14tanh
2
05492
5
14hsec819
dh
dv
5
72tanh
2
58192
5
72hsec819
dh
dv
Asiacute que aunque la velocidad de propagacioacuten del oleaje va aumentando respecto a la profundidad la
razoacuten de cambio es muy pequentildea
EJERCICIOS DE DERIVADAS HIPERBOLICAS
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6) R
7) R
8) AYUDA R
9) R 10) R
11) R 12) R
13) R
14)DEMOSTRAR
AYUDA
15)
AYUDA
INTEGRALES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
httpcalculoccfunciones_hiperbolicasp_integrales_hiperbhtml
httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCIONES20
HIPERBOLICASpdfsequence=1
httpseswikipediaorgwikiAnexoIntegrales_de_funciones_hiperbC3B3licas
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES HIPERBOLICAS
2)
3)
5)
6)
8)
Resolvemos ambas integrales mediante integracioacuten por partes
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 5 u = 3x
11)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 3 u = 4x
13)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = radic7 u = 5x
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION MATERIAL DE APOYO
800 INTEGRALES RESUELTAS
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_metodosproblemasp_integr_sust_trigohtml
httpsmatematicasnblogspotcom201512integracion-por-sustitucionhtml CON VIDEOS INCLUIDOS
httpsdspaceupseduecbitstream12345678961191Manual20de20fracciones20parcialespdf
httpwwwtesoemedumxalumnoscuadernillos2011011pdf
httpprofe-alexzblogspotcom201104integracion-fracciones-parcialeshtml Y VIDEOS
httpswwwsectormatematicacl rsaquo media rsaquo diferenciado rsaquo FRACCIONES P httpswwwipnmxassetsfilescecyt11docsGuiasUABasicasMatematicascalculo-integral-solucion-de-problemasPDF
httpswwwacademiaedu7708664CC381LCULO_INTEGRAL_EJERCICIOS_RESUELTOS_PASO_A_PASO
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1 Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de
variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de
la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que
contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe
ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
Ahora siacute que podemos resolver los sumatorios uno por uno para hallar nuestro resultado
Es decir que es lo mismo sumar primero los teacuterminos (que pueden ser datos que nos dan) y hacer luego el sumatorio que realizarlo por separado para cada uno de los teacuterminos
Regla 2 La suma del producto de una constante por una variable es igual a k veces la sumatoria de la variable
Dicho de otra forma que si tenemos una constante K multiplicando al sumatorio podemos sacarla para fuera (como si hicieacutesemos factor comuacuten que en realidad lo es)
Regla 3 El sumatorio de n veces una constante es igual a N veces esa constante
Si K es 3 sumar 3 20 veces es lo mismo que multiplicar 3times20
Regla 4 El sumatorio de un producto no es igual al producto de los sumatorios de cada teacutermino
Regla 5 El sumatorio de los cuadrados de los valores de una variable no es igual al sumatorio de la variable elevada al cuadrado
Por ejemplo no es lo mismo sumar 1+2^2+3^2= 1+4+9 =14 que hacerlo con 1+2+3=5 y elevarlo al cuadrado que nos dariacutea 25
gtgtEjemplo
Calcular la suma de los nuacutemeros impares que se encuentran entre 14 y 4492
Podriacuteamos resolver este ejercicio de la forma normal sin sumatorios pero es muy engorroso pues habraacute muchos nuacutemeros que sumar
En lugar de eso vamos a proceder de la siguiente forma con sumatorios primero planteemos la suma
Como veis son muchiacutesimos los impares existentes desde 15 que es el primero hasta 4491 que es el uacuteltimo
Esa suma la podemos escribir tambieacuten de la siguiente forma
Explicacioacuten Hemos aplicado el mismo principio que cuando tenemos una serie y queremos sacar la expresioacuten general de eacutesta En este caso para representar todos los nuacutemeros impares escribimos 2k-1
Los liacutemites que hemos escogido para el sumatorio son la mitad de la base de las potencias escritas anteriormente Esto se hace asiacute para que nos cuadre el resultado Por ejemplo veis que para k=8 si sustituimos en (2k-1)^2 nos quedariacutea (2times8-1)^2=(16-1)^2= (15)^2 y asiacute sucesivamente para los demaacutes nuacutemeros
Una vez comprendido lo anterior vamos a desarrollar el cuadrado del sumatorio anterior
En este paso hemos separado el sumatorio en varios aplicando la laquoregla 1raquo y a continuacioacuten sacamos las constantes para fuera (aplicando la laquoregla 2raquo)
Aquiacute de nuevo tengo que hacer un inciso para explicar lo que pondreacute a continuacioacuten Como veis hay un 4 multiplicando los 2 sumatorios por loacutegica se nos ocurririacutea sacar factor comuacuten de esos 2 sumatorios pero hay un problema el 1 se nos queda suelto por lo que ahora el sumatorio no nos cumple la propiedad de sumar solamente los impares para ello hacemos un pequentildeo truco cambiamos los liacutemites del sumatorio quedaacutendonos esto
Ahora siacute que podemos resolver los sumatorios uno por uno para hallar nuestro resultado
Fuente httpsmatematicalaguia2000comgeneralsumatorio
I) EJERCICIOS DE SUMATORIAS
I) Encontrar los valores de las sumas indicadas
OTROS EJEMPLOS DE SUMATORIAS
A continuacioacuten veremos otros tipos de ejercicios
MATERIAL DE APOYO
httpwwwestuc3mesespnueva_docenciagetafeciencias_estadisticasanalisis_exploratorio_datosdocumentacion
_archivosejerciciosejercicios_sumatoriospdf
httpwwwmatusonmx~jldiazNotasCD-1SeriesEjemplos_de_Series-1htm
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_defiteorianotacion_sigmahtml
httpsingenieriaelectronicaorgnotacion-sumatoria-definicion-caracteristicas-ejemplos CON VIDEOS
httpwwwcalculojcbmatcomid551htm
httptrafulutemclportaldoccapsulas-de-aprendizajecapsula-
sumatoriaassetsmaterial_descargablesumatoria_20ejercicios_desarrolladospdf
httpprofe-alexzblogspotcom201208sumatorias-problemas-resueltoshtml VIDEOS
EJERCICIOS GENERALES
1) APLIQUE LA PROPIEDAD CORRESPONDIENTE
2) CALCULA LAS SIGUIENTES SUMAS
3)
4)
Escribe en forma de sumatoria
5) Desarrolla las siguientes sumatorias
6) Calcula las siguientes sumatorias
SUMATORIAS DE RIEMANN
MATERIAL DE APOYO
httpwwwinguceduve~mlaurentinvariosGuiaEjerciciosUnidadIIAMIIpdf
httpswwwrbjlabscomcalculosumas-de-riemann-ejercicios-parte-1
httpswwwstudocucomesdocumentuniversidad-del-magdalenacalculo-integralapuntesnotas-de-clases-integral-
definida-suma-de-riemann4384436view
httpsingenieriaelectronicaorgsumas-riemann-definicion-ejemplos-ejercicios-resueltos
FUENTE httpmatematicasuiseducocalculo2sumaspdf
EJERCICIOS APLICANDO RIEMANN
RESOLVER POR RIEMANN E INTEGRANDO
1) LEA BIEN PERO PRIMERO GRAFIQUE Y HALLE EL AREA DADA INTEGRANDO
R 83 U2
2) REALICE CON CUIDADO PERO PRIMERO GRAFIQUE Y HALLE EL AREA DADA INTEGRANDO
R9 U2
3) REALICE CON CUIDADO PERO PRIMERO GRAFIQUE HALLE EL AREA DADA
R8U2
4)Grafique e integre y aplique riemann
R16U2
R9U2
5)REALIZARDIBUJA
5) Realizar or riemann y la regla de barrow
R
CAPITULO 2
INTEGRALES INMEDIATAS Y POR SUSTITUCION IDONEA
FUENTE httpscampusdematematicascomtablas-y-formulariostabla-de-integrales
II) TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS
OTRAS FORMULAS
GUIA DE EJEMPLOS DE INTEGRALES POR SUSTITUCION
INTEGRALES POR SUSTITUCION
RESOLVERint radic3 119909 + 5 119889119909 = 119868 Sea 119889119906 = 3 119909 + 5
119889119906 = 3 119889119909 = 119889119909 =119889119906
3
Al sustituir tenemos
119868 = int 11990612
119889119906
3 =
1
3 int 119906
12 119889119906
119868 =1
3(
11990632
32
) + 119862 = 2
911990632 + 119862
119868 = 2
9(3119909 + 2)32 + 119862
RESOLVER int119909119889119909
(1199092+ 4)2 = 119868
Sea 119906 = 1199092 + 4
119889119906 = 2119909 119889119909 = 119909119889119909 =119889119906
2
1
2
Al sustituir tenemos
119868 = int119889119906
21199062 =
1
2 int 119906minus2 119889119906
119868 =1
2(
119906minus1
minus1) + 119862 =
1
2119906minus1 + 119862
119868 = 1
2(1199092 + 4)minus1 + 119862
119868 = 1
2(1199092 + 4)+ 119862
RESOLVER int119904119890119899 119889119909
radic1+2 cos 119909 = 119868
Sea 119906 = 1 + 2 cos 119909
119889119906 = minus2 119904119890119899 119909119889119909 = 119904119890119899 119909 119889119909 = minus119889119906
2
Al sustituir tenemos
119868 = intminus119889119906
211990612 = minus
1
2 int
119889119906
11990612
119868 = minus1
2int 119906minus12119889119906 = minus
1
2(
11990612
12
) + 119862
119868 = minus11990612 + 119862 = minus(1 + 2 cos 119909) 12 + 119862
119868 = minus radic1 + 2 cos 119909 + 119862 DE AQUIacute EN ADELANTE TU LLEGAS A LA RESPUESTA
RESOLVER int119909119889119909
radic119909+1 = 119868
Sea 119906 = radic119909 + 1
1199062 = 119909 + 1 = 119909 = 1199062 minus 1
3
4
2119906119889119906 = 119889119909
CONTINUA
R 119868 =2
3radic119909 + 1(119909 minus 2) + 119862
5)
int 1199092radic2 minus 119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = radic2 minus 119909
1199062 = 2 minus 119909 = 119909 = 2 minus 1199062 119889119909 = minus2119906119889119906
Reemplazando
119868 = int(2 minus 1199062)2(minus2119906119889119906)(119906)
119868 = minus2 int(4 minus 41199062 + 1199064)1199062119889119906
COMPLETA
Rminus2
105(2 minus 119909 )32(140 minus 84(2 minus 119909) + 15(2 minus 119909)2) + 119862
RSOLVER int119909119889119909
radic1199092+9 = 119868
Sea 119906 = 1199092+9
119889119906 = 2119909119889119909 = 119909119889119909 =119889119906
2
Sustituyendo tenemos119868 = int119889119906
211990612 = 2 int 119906minus12 119889119906
COMPLETA
R 119868 = radic1199092 + 9 + 119862
7) RESOLVER int radic1 + radic119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = radic1 + radic119909 1199062 = 1 + radic119909 = 1199062 minus 1 = radic119909 (1199062 minus 1)2 = 119909 2(1199062 minus 1)(2119906)119889119906 = 119889119909 Reemplazando
6
119868 = int 119906[2(1199062 minus 1)2(2119906)] 119889119906 119868 = 4 int 1199062(1199062 minus 1)119889119906 119868 = 4 int(1199064 minus 1199062)119889119906
119868 = (1199064
5minus +
1199063
3) + 119862
Termiacutenalo
R
4(1 + radic3)32
[3(1 + radic119909) minus 5] + 119862
8) RESOLVER
int 119890119909radic1 + 119890119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = 1 + 119890119909 119889119906 = 119890119909 119889119909 Reemplazando tenemos
119868 = int 11990612 119889119906
TERMINALO R 119868 =2
3(1 + 119890119909)32 + 119862
9) RESOLVER int 1199051198861198993119909 1199041198901198882119909 119889119909 = 119868 Sea 119906 = tan 119909
119889119906 = 1199041198901198882119909119889119909
TERMINALO R 119868 =1199051198861198994119909
4 + 119862
10)119877119864119878119874119871119881119864119877 int1199092+2119909
(119909+ 1)2 119889119909 = 119868
Al hacer el binomio y dividir se tiene
(119909 + 1)2 = 1 minus1
1199092+2119909+1 Al sustituir 119868 = int (1 minus
119909
(119909+1)2) 119889119909 = int 119889119909 minus int
119889119909
(119909+1)2
119868 = 119909 minus int119889119909
(119909+1)2
R 119868 = 119909 minus (minus 1
119909+1) + 119862 = 119909 +
1
119909+1+ 119862
11) RESOLVER int2+radic119909
1minusradic119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = 1 minus radic119909 radic119909 = 1 minus 119906 = 119909 = (1 minus 119906)2 119889119909 = 2(1 minus 119906)(minus1)119889119906 = 2(1 minus 119906)119889119906
Ahora 2 + radic119909 = 2 + (1 minus 119906) = 3 minus 119906
Al integrar 119868 = int (3minus119906
119906) [minus2(1 minus 119906)] 119889119906 119864119873119879119874119873119862119864119878 (3 int
119889119906
119906minus 4 int 119889119906 + int 119906 119889119906)
CUAL SERIA LA RESPUESTA MATERIAL DE APOYO httpscursodecalculofileswordpresscom201305ejercicios-resueltos-de-
integral-2-integrales-por-sustitucic3b3n-o-cambio-de-variablepdf
EJERCICIOS 1
I) USANDO LA TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS Y LAS OTRAS FORMULAS RESOLVER
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6 ) R 7) R
8) R 9) R
10) R
11) R 12) R
13) R
14) R 15) R
16) R 17)
18) R 19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
27) R 28) R
29 ) R
30) R
31) R 32) R
33) R
34) R 35) R
36) R 37) R
38) R
39) DEMUESTRE LAS SIGUIENTES IGUALDADES
40) USANDO LAS SIGUIENTES IGUALDADES
RESOLVERA) R
B) R
C) R
II) RESUELVE LAS SIGUIENTES INTEGRTALES DEFINIDAS Y GRAFIQUELAS
SOLUCION
A) 8
b) e-1
c) 1
d) 103
e) I
I I I ) TALLER INTEGRALES PARA COMPLETAR
OBSERVA LAS INTEGRALES RESUELTAS EN LA MAYORIA DE LOS CASOS
FALTA LA SUSTITUCION IDONEA POR AGREGAR AL DESARROLLO DEL
EJERCICIO Y ESA SUSTITUCION PUEDE SER ALGEBRAICA O FALTA EL
CAMBIO DE VARIABLE RESPECTIVO
1) INTEGRALES INMEDIATAS
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
2 Solucioacuten de las integrales logariacutetmicas
1
2
3
4
5
6
7
8
9 - ln (sen x + cos x ) +C
10
11
3 integrales exponenciales
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4 integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5 Otras integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
- 21 x
4
6 Otras integrales
1
2
3
4
5
EJERCICIOS 2
I) RESOLVER LAS SIGUIENTES INTEGRALES INDEFINIDAS Y VERIFIQUE SU
RESPUESTA REALIZANDO LA DERIVADA
II) EVALUE LA INTEGRAL INDEFINIDA DADA USANDO UNA SUSTITUCION IDONEA
62)Problemas de integrales
1Hallar una funcioacuten F(x) cuya derivada sea f(x) = x + 6 y tal que para x = 2
tome el valor 25
RESPUESTA
2De las inf in itas funciones primitivas de la funcioacuten y = xsup2 - x + 1 iquestcuaacutel
es la que para x = 3 toma el valor 5
RESPUESTA
3Hallar una recta cuya pendiente es 2 y pasa por eacutel punto P(0 4)
RESPUESTA f(x) = 2x + 4
4Escribe la funcioacuten primitiva de y = xsup2 + 2x cuya representacioacuten graacutef ica pasa
por eacutel punto (1 3)
RESPUESTA
5Calcular la ecuacioacuten de la curva que pasa por P(1 5) y cuya pendiente en cualquier punto es
3xsup2 + 5x minus 2
RESPUESTA
6Hallar la primitiva de la funcioacuten que se anula para x = 2
RESPUESTA
CAPITULO 3
INTEGRACION POR PARTES
Definicioacuten
Existen varios meacutetodos de integracioacuten consistiendo todos ellos en reducir la integral buscada a una inteacutegrala conocida como por ejemplo una de las de la tabla o bien reducirla una integral maacutes sencilla
El meacutetodo de integracioacuten por partes estaacute basado en la derivada de un producto de funciones como se muestra a continuacioacuten
d(umiddotv) = u dv + v du
por eso es que se usa para integrales que contienen dos funciones que se multiplican entre si
intd(umiddotv) = intu dv + intv du
Se llama integracioacuten por partes porque la integral se divide en dos partes en una el integrando es u y otra en la otra es v La integral debe estar completa y sin alterar la operacioacuten dentro de ella Consejos
La funcioacuten correspondiente a dv debe ser la funcioacuten maacutes faacutecil de integrar 2- En u deben ir aquellas funciones que no tienen integral directa (funciones logariacutetmicas e inversas) luego se pueden considerar las funciones algebraicas puesto que la derivada es reductiva Las funciones trigonomeacutetricas y exponenciales son maacutes sencillas de trabajar
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRACIOacuteN POR PARTES
1-
2-
3-
4-
5-
6-
7-
8-
9-
10-
INTEGRACION POR PARTES
MATERIAL DE APOYO
VIDEOS DE INTEGRACION POR PARTES
1) httpswwwprofesor10dematescom201505integrales-por-partes-resueltashtml
2) httpwwwsietecolinasesmaterialesmatintegrales-4pdf
3) httpsgpweiztuammxfilesusersuamijdfmetodos_de_integracionintegracion_por_partesp
df
EJERCICIOS EJERCICIOS PARA RESOLVER POR PARTES
1) L=Ln
R
2) R
3) R
4) R
5) R 6) R
7) R
8) R
9) R L=Ln
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
15) R
16) R
17) R
18) R
19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
INTEGRAL RESPUESTA
26) x senx dx sen x xcos x c
27) ln x dx 1x ln x c
28)2
xx sen dx 4 2
2 2
x xsen xcos c
29) x cos nx dx 2
cos nx x sennxc
nn
30) 2 u sec u du utgu lncosu c
31) 2 3 u sen v dv 21 1 16 6
4 12 72v v sen v cos v c
32) 2 y senny dy 2
3 2
2 2cosny y senny y cosnyc
nn n
33) 2 xa dx 2
1x xa c
lna ln a
34) nx ln x dx 1 1
1 1
nx
ln x cn n
35) arc sen x dx 2 1x arc sen x x c
36) arc tg x dx 21 1
2x arc tg x ln x c
37) arc c tg y dy 21 1
2y arc c tg y ln y c
38) 2 arc cos x dx 21 2 1 4
2x arc cos x x c
39) arc sec y dy 2 1y arc sec y ln y y c
40) 2
tarc csc dt 2 2 4
2
tt arc csc ln t t c
41) x arc tg x dx 2 1
2 2
x xarc tg x c
42) arc tg x dx 1 x arc tg x x c
43) 2 xx e dx
22 2xe x x c
44) e cos d
2
esen cos c
45)
2
1
ln x dx
x 1
1
xln x ln x c
x
CAPITULO 4
FUNCIONES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
1) httpwwwmtyitesmmxetiedeptosmma-841recursostab-hippdf
2) httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCION
ES20HIPERBOLICASpdfsequence=1
FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS HIPERBOacuteLICAS
Definicioacuten de las funciones
Un ciacuterculo unitario con centro en el origen sigue la foacutermula 1yx 22 un punto dado por el par
ordenado yx se puede representar como funcioacuten de un aacutengulo t de la siguiente manera
senttcosyx De igual manera una hipeacuterbola unitaria con centro en el origen sigue la foacutermula
1yx 22 un punto dado por el par ordenado yx se puede representar como funcioacuten del aacutengulo t
de la siguiente manera senhttcoshyx Estas funciones se denominan funciones trigonomeacutetricas
hiperboacutelicas en particular coseno hiperboacutelico y seno hiperboacutelico
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas presentan propiedades anaacutelogas a las de las funciones
trigonomeacutetricas o circulares La funcioacuten xsenhxf se define como 2
eexsenh
xx mientras que
la funcioacuten xcoshxf es 2
eexcosh
xx
Al igual que las funciones trigonomeacutetricas circulares en las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas se
cumplen las siguientes identidades fundamentales
xx
xx
xx
xx
xx
xx
ee
2
xsenh
1xhcsc
ee
2
xcosh
1xhsec
ee
ee
xsenh
xcoshxcoth
ee
ee
xcosh
xsenhxtanh
Debido a esto es loacutegico pensar que habraacute una relacioacuten equivalente al Teorema de Pitaacutegoras Asiacute
para las funciones hiperboacutelicas se sabe que 1xsenhxcosh 22
Ejemplo 1
Demostrar que 1xsenhxcosh 22
11
14
4
14
2
4
2
14
ee2
4
ee2
14
eee2e
4
eee2e
12
ee
2
ee
1xsenhxcosh
xxxx
x2xxx2x2xxx2
2xx
2xx
22
Graacutefica de las funciones
Sea la funcioacuten 2
eexsenhxf
xx Las intersecciones se pueden encontrar igualando la funcioacuten
a cero
0x
0x2
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
02
ee
x2
x
x
xx
xx
xx
La funcioacuten seno hiperboacutelico tiene una sola raiacutez en x=0 Para obtener los puntos criacuteticos se iguala a
cero la derivada de la funcioacuten
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
0ee2
1
ee2
1ee
dx
d
2
1
2
ee
dx
d
dx
df
x2
x
x
xx
xx
xx
xxxxxx
por lo tanto no hay puntos criacuteticos Es interesante notar que la derivada de la funcioacuten senh(x) es la
funcioacuten cosh(x)
Por uacuteltimo puntos inflexioacuten se pueden encontrar en donde la segunda derivada es igual a cero
xxxxxx
2
2
ee2
1ee
dx
d
2
1ee
2
1
dx
d
dx
fd
La segunda derivada nos llevoacute nuevamente a la funcioacuten senh(x) Esta funcioacuten ya se igualoacute a cero
para encontrar las intersecciones El resultado es que en x=0 hay una raiacutez que a su vez es un punto
de inflexioacuten
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
La misma funcioacuten 2
eexsenhxf
xx se puede ver como la resta de dos funciones exponenciales
2
e
2
e
2
ee xxxx
La graacutefica de estas dos funciones exponenciales se muestra en azul (exponencial
positiva) y verde (exponencial negativa) La resta de ambas punto por punto es la funcioacuten senh(x)
Derivadas
ucoshdx
duusenh
dx
dxcosh
2
ee
2
ee
dx
dxsenh
dx
d xxxx
usenhdx
duucosh
dx
dxsenh
2
ee
2
ee
dx
dxcosh
dx
d xxxx
uhsecdx
duutanh
dx
d
xhsecxcosh
1
xcosh
xsenhxcosh
xcosh
senhx
dx
dxtanh
dx
d
2
2
22
22
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
uhcscdx
duucoth
dx
d
xhcscxsenh
1
xsenh
xcoshxsenh
senhx
xcosh
dx
dxcoth
dx
d 2
22
22
uhsecutanhdx
duuhsec
dx
d
hxsecxtanhxcosh
1
xcosh
senhx
xcosh
senhx
xcosh
1
dx
dxhsec
dx
d2
uhcscucothdx
duuhcsc
dx
d
hxcscxcothsenhx
1
senhx
xcosh
xsenh
xcosh
senhx
1
dx
dxhcsc
dx
d2
Ejemplo 2
Derivar la funcioacuten 3x4tanhxf 2
La funcioacuten maacutes externa es la raiacutez por lo tanto es la primera en derivarse
3x4tanh2
3x4hsecx83x4tanh
dx
d
3x4tanh2
1
dx
df
2
222
2
Ejemplo 3
Derivar la funcioacuten 2x3cosh2x3tanhlnxf 22
La funcioacuten maacutes externa es el logaritmo por lo tanto es el primero en derivarse
2x3cosh2x3tanh
2x3xsenh62x3hsecx6
dx
df22
222
Integrales
Utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se puede establecer que
cuhcscduucothuhcsc
cuhsecduutanhuhsec
cucothduuhcsc
cutanhduuhsec
cusenhduucosh
cucoshduusenh
2
2
Utilizando estas foacutermulas se pueden establecer las siguientes
Ejemplo 4
Hallar la foacutermula para la integral de la tangente hiperboacutelica
dxxcosh
xsenhdxxtanh
Se hace un cambio de variable en donde dxxsenhduxcoshu Al sustituir la integral anterior
cambia a
cxcoshlnculnu
dudx
xcosh
xsenhdxxtanh
Se puede utilizar el mismo procedimiento para hallar las siguientes foacutermulas
cusenhlnduucoth
cucoshlnduutanh
Ejemplo 5
Resolver las siguientes integrales
dxx3senhx 32
Se realiza el cambio de variable dxx9
dux3u 23 por lo tanto la integral se puede escribir como
cx3cosh9
1cucosh
9
1duusenh
9
1
9
duusenhdxx3senhx 332
dx
x
xlnhsec 2
Se realiza el cambio de variablex
dxduxlnu por lo tanto la integral se puede escribir como
cxlntanhcutanhduuhsecdx
x
xlnhsec2
2
1
0
dxxcoshxsenh
Se realiza el cambio de variable dxxsenhduxcoshu por lo tanto la integral se puede escribir
como
1x
0x
1
0
2 duudxxcoshxsenh
Sin embargo dado que u=senh(x) si x=0 entonces 02
ee0senhu
00
Cuando x=1 entonces
e2
1e
2
e
1e
2
e
1e
2
ee1senhu
2
2
11
La integral es
2
32
23
23
2
e2
1e
0
23
e2
1e
0
1x
0x
1
0
2
e2
1e
3
20
3
2
e2
1e
3
2
u3
2duuduudxxcoshxsenh
22
Inversas
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas tienen funciones inversas que comuacutenmente se denotan
como 1senh o bien como arcsenh donde la funcioacuten recibe el nombre de seno hiperboacutelico inverso
Dado que las funciones estaacuten definidas en teacuterminos de exponenciales es de esperarse que sus
inversas incluyan logaritmos naturales Se pueden definir como
1x0parax
x11lnxhsec
1xparax1
x1ln
2
1xtanh
1xpara1xxlnxcosh
1xxlnxsenh
21
1
21
21
Las derivadas e integrales de estas funciones se resuelven igual que las funciones trigonomeacutetricas
inversas
Ejemplo 6
Obtener la foacutermula para la derivada de la funcioacuten xsenhy 1
Dado que no se conoce la derivada del seno hiperboacutelico inverso pero siacute la del seno hiperboacutelico se
pueden utilizar el concepto de la funcioacuten inversa y la derivada impliacutecita para hallar la foacutermula en
cuestioacuten
ycosh
1y
1yacutecoshy
xysenh
xsenhy 1
Se sabe que 1ysenhycosh 22 por lo tanto 1ysenhycosh 22 y la funcioacuten senhy=x entonces
1xycosh 2 Al sustituir se obtiene
1x
1y
2
El mismo meacutetodo se puede utilizar para encontrar cualquiera de las siguientes foacutermulas
1u
dxdu
usenhdx
d
2
1
1u1u
dxdu
ucoshdx
d
2
1
1uu1
dxdu
utanhdx
d2
1
1u0u1u
dxdu
uhsecdx
d
2
1
Ejemplo 7
Determinar si la funcioacuten 3xxsenhxf 21 es creciente o decreciente en el punto x=2
Se debe resolver la derivada de la multiplicacioacuten
10x6x
x23xsenh
19x6x
x23xsenh
13x
x2x3xsenh
dx
df
24
221
24
221
22
21
Se busca conocer como es la funcioacuten en x=2 por lo tanto se sustituye en la derivada
773131642077
80714ln
25
8257ln
225
82257ln
50
81497ln
102416
87senh
dx
df 1
2x
La funcioacuten es creciente crece a una razoacuten de 377
Las foacutermulas para la integracioacuten salen utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo y a partir de las
foacutermulas de derivacioacuten
0aca
usenhdu
ua
1 1
22
0auca
ucoshdu
au
1 1
22
au0aca
utanh
a
1du
ua
1 1
22
au00aca
uhsec
a
1du
uau
1 1
22
Ejemplo 8
Resolver la integral
dxe25
e
x6
x3
Esta integral es como la de la tangente hiperboacutelica inversa donde 5a25a 2
dxe3
dueueu x3x3x62 Al sustituir esto en la integral
c5
etanh
15
1c
5
etanh
5
1
3
1
u25
du
3
1
u25
3du x3
1x3
1
22
Aplicaciones
La velocidad de las olas en el mar bajo ciertas condiciones depende de la longitud de onda
(distancia entre cresta y cresta) y de la profundidad del agua por donde viajan las olas h La funcioacuten
que relaciona estas variables es
h2tanh
2
gv 2
donde v es la velocidad y g es la gravedad
Suponiendo que se mantiene h constante esto es que el oleaje se propaga por un oceacuteano de
profundidad constante (50 m) determinar si la velocidad aumenta o disminuye cuando m5
h2hsec
ghh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2hsec
h2
2
gh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2tanh
2
gv
h2tanh
2
gv
2
2
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
728d
dv
5
502hsec
5
50819
5
502tanh
2
819
5
502tanh
2
58192
1
d
dv 2
Entonces para este valor de la longitud de onda y de la profundidad la velocidad de la ola va
aumentando respecto a la longitud de onda
Si se requiere ahora saber como va cambiando la velocidad de propagacioacuten del oleaje respecto a la
profundidad del mar para una longitud de onda de 5 m se deberaacute entonces derivar respecto a h Sea
una profundidad de 7 m
h2tanh
2
g2
h2hsecg
dh
dv
h2hsec
2
2
g
h2tanh
2
g2
1
dh
dv
h2tanh
2
gv
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
77
2
2
1061595
10918
5
14tanh
2
05492
5
14hsec819
dh
dv
5
72tanh
2
58192
5
72hsec819
dh
dv
Asiacute que aunque la velocidad de propagacioacuten del oleaje va aumentando respecto a la profundidad la
razoacuten de cambio es muy pequentildea
EJERCICIOS DE DERIVADAS HIPERBOLICAS
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6) R
7) R
8) AYUDA R
9) R 10) R
11) R 12) R
13) R
14)DEMOSTRAR
AYUDA
15)
AYUDA
INTEGRALES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
httpcalculoccfunciones_hiperbolicasp_integrales_hiperbhtml
httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCIONES20
HIPERBOLICASpdfsequence=1
httpseswikipediaorgwikiAnexoIntegrales_de_funciones_hiperbC3B3licas
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES HIPERBOLICAS
2)
3)
5)
6)
8)
Resolvemos ambas integrales mediante integracioacuten por partes
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 5 u = 3x
11)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 3 u = 4x
13)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = radic7 u = 5x
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION MATERIAL DE APOYO
800 INTEGRALES RESUELTAS
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_metodosproblemasp_integr_sust_trigohtml
httpsmatematicasnblogspotcom201512integracion-por-sustitucionhtml CON VIDEOS INCLUIDOS
httpsdspaceupseduecbitstream12345678961191Manual20de20fracciones20parcialespdf
httpwwwtesoemedumxalumnoscuadernillos2011011pdf
httpprofe-alexzblogspotcom201104integracion-fracciones-parcialeshtml Y VIDEOS
httpswwwsectormatematicacl rsaquo media rsaquo diferenciado rsaquo FRACCIONES P httpswwwipnmxassetsfilescecyt11docsGuiasUABasicasMatematicascalculo-integral-solucion-de-problemasPDF
httpswwwacademiaedu7708664CC381LCULO_INTEGRAL_EJERCICIOS_RESUELTOS_PASO_A_PASO
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1 Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de
variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de
la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que
contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe
ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
Calcular la suma de los nuacutemeros impares que se encuentran entre 14 y 4492
Podriacuteamos resolver este ejercicio de la forma normal sin sumatorios pero es muy engorroso pues habraacute muchos nuacutemeros que sumar
En lugar de eso vamos a proceder de la siguiente forma con sumatorios primero planteemos la suma
Como veis son muchiacutesimos los impares existentes desde 15 que es el primero hasta 4491 que es el uacuteltimo
Esa suma la podemos escribir tambieacuten de la siguiente forma
Explicacioacuten Hemos aplicado el mismo principio que cuando tenemos una serie y queremos sacar la expresioacuten general de eacutesta En este caso para representar todos los nuacutemeros impares escribimos 2k-1
Los liacutemites que hemos escogido para el sumatorio son la mitad de la base de las potencias escritas anteriormente Esto se hace asiacute para que nos cuadre el resultado Por ejemplo veis que para k=8 si sustituimos en (2k-1)^2 nos quedariacutea (2times8-1)^2=(16-1)^2= (15)^2 y asiacute sucesivamente para los demaacutes nuacutemeros
Una vez comprendido lo anterior vamos a desarrollar el cuadrado del sumatorio anterior
En este paso hemos separado el sumatorio en varios aplicando la laquoregla 1raquo y a continuacioacuten sacamos las constantes para fuera (aplicando la laquoregla 2raquo)
Aquiacute de nuevo tengo que hacer un inciso para explicar lo que pondreacute a continuacioacuten Como veis hay un 4 multiplicando los 2 sumatorios por loacutegica se nos ocurririacutea sacar factor comuacuten de esos 2 sumatorios pero hay un problema el 1 se nos queda suelto por lo que ahora el sumatorio no nos cumple la propiedad de sumar solamente los impares para ello hacemos un pequentildeo truco cambiamos los liacutemites del sumatorio quedaacutendonos esto
Ahora siacute que podemos resolver los sumatorios uno por uno para hallar nuestro resultado
Fuente httpsmatematicalaguia2000comgeneralsumatorio
I) EJERCICIOS DE SUMATORIAS
I) Encontrar los valores de las sumas indicadas
OTROS EJEMPLOS DE SUMATORIAS
A continuacioacuten veremos otros tipos de ejercicios
MATERIAL DE APOYO
httpwwwestuc3mesespnueva_docenciagetafeciencias_estadisticasanalisis_exploratorio_datosdocumentacion
_archivosejerciciosejercicios_sumatoriospdf
httpwwwmatusonmx~jldiazNotasCD-1SeriesEjemplos_de_Series-1htm
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_defiteorianotacion_sigmahtml
httpsingenieriaelectronicaorgnotacion-sumatoria-definicion-caracteristicas-ejemplos CON VIDEOS
httpwwwcalculojcbmatcomid551htm
httptrafulutemclportaldoccapsulas-de-aprendizajecapsula-
sumatoriaassetsmaterial_descargablesumatoria_20ejercicios_desarrolladospdf
httpprofe-alexzblogspotcom201208sumatorias-problemas-resueltoshtml VIDEOS
EJERCICIOS GENERALES
1) APLIQUE LA PROPIEDAD CORRESPONDIENTE
2) CALCULA LAS SIGUIENTES SUMAS
3)
4)
Escribe en forma de sumatoria
5) Desarrolla las siguientes sumatorias
6) Calcula las siguientes sumatorias
SUMATORIAS DE RIEMANN
MATERIAL DE APOYO
httpwwwinguceduve~mlaurentinvariosGuiaEjerciciosUnidadIIAMIIpdf
httpswwwrbjlabscomcalculosumas-de-riemann-ejercicios-parte-1
httpswwwstudocucomesdocumentuniversidad-del-magdalenacalculo-integralapuntesnotas-de-clases-integral-
definida-suma-de-riemann4384436view
httpsingenieriaelectronicaorgsumas-riemann-definicion-ejemplos-ejercicios-resueltos
FUENTE httpmatematicasuiseducocalculo2sumaspdf
EJERCICIOS APLICANDO RIEMANN
RESOLVER POR RIEMANN E INTEGRANDO
1) LEA BIEN PERO PRIMERO GRAFIQUE Y HALLE EL AREA DADA INTEGRANDO
R 83 U2
2) REALICE CON CUIDADO PERO PRIMERO GRAFIQUE Y HALLE EL AREA DADA INTEGRANDO
R9 U2
3) REALICE CON CUIDADO PERO PRIMERO GRAFIQUE HALLE EL AREA DADA
R8U2
4)Grafique e integre y aplique riemann
R16U2
R9U2
5)REALIZARDIBUJA
5) Realizar or riemann y la regla de barrow
R
CAPITULO 2
INTEGRALES INMEDIATAS Y POR SUSTITUCION IDONEA
FUENTE httpscampusdematematicascomtablas-y-formulariostabla-de-integrales
II) TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS
OTRAS FORMULAS
GUIA DE EJEMPLOS DE INTEGRALES POR SUSTITUCION
INTEGRALES POR SUSTITUCION
RESOLVERint radic3 119909 + 5 119889119909 = 119868 Sea 119889119906 = 3 119909 + 5
119889119906 = 3 119889119909 = 119889119909 =119889119906
3
Al sustituir tenemos
119868 = int 11990612
119889119906
3 =
1
3 int 119906
12 119889119906
119868 =1
3(
11990632
32
) + 119862 = 2
911990632 + 119862
119868 = 2
9(3119909 + 2)32 + 119862
RESOLVER int119909119889119909
(1199092+ 4)2 = 119868
Sea 119906 = 1199092 + 4
119889119906 = 2119909 119889119909 = 119909119889119909 =119889119906
2
1
2
Al sustituir tenemos
119868 = int119889119906
21199062 =
1
2 int 119906minus2 119889119906
119868 =1
2(
119906minus1
minus1) + 119862 =
1
2119906minus1 + 119862
119868 = 1
2(1199092 + 4)minus1 + 119862
119868 = 1
2(1199092 + 4)+ 119862
RESOLVER int119904119890119899 119889119909
radic1+2 cos 119909 = 119868
Sea 119906 = 1 + 2 cos 119909
119889119906 = minus2 119904119890119899 119909119889119909 = 119904119890119899 119909 119889119909 = minus119889119906
2
Al sustituir tenemos
119868 = intminus119889119906
211990612 = minus
1
2 int
119889119906
11990612
119868 = minus1
2int 119906minus12119889119906 = minus
1
2(
11990612
12
) + 119862
119868 = minus11990612 + 119862 = minus(1 + 2 cos 119909) 12 + 119862
119868 = minus radic1 + 2 cos 119909 + 119862 DE AQUIacute EN ADELANTE TU LLEGAS A LA RESPUESTA
RESOLVER int119909119889119909
radic119909+1 = 119868
Sea 119906 = radic119909 + 1
1199062 = 119909 + 1 = 119909 = 1199062 minus 1
3
4
2119906119889119906 = 119889119909
CONTINUA
R 119868 =2
3radic119909 + 1(119909 minus 2) + 119862
5)
int 1199092radic2 minus 119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = radic2 minus 119909
1199062 = 2 minus 119909 = 119909 = 2 minus 1199062 119889119909 = minus2119906119889119906
Reemplazando
119868 = int(2 minus 1199062)2(minus2119906119889119906)(119906)
119868 = minus2 int(4 minus 41199062 + 1199064)1199062119889119906
COMPLETA
Rminus2
105(2 minus 119909 )32(140 minus 84(2 minus 119909) + 15(2 minus 119909)2) + 119862
RSOLVER int119909119889119909
radic1199092+9 = 119868
Sea 119906 = 1199092+9
119889119906 = 2119909119889119909 = 119909119889119909 =119889119906
2
Sustituyendo tenemos119868 = int119889119906
211990612 = 2 int 119906minus12 119889119906
COMPLETA
R 119868 = radic1199092 + 9 + 119862
7) RESOLVER int radic1 + radic119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = radic1 + radic119909 1199062 = 1 + radic119909 = 1199062 minus 1 = radic119909 (1199062 minus 1)2 = 119909 2(1199062 minus 1)(2119906)119889119906 = 119889119909 Reemplazando
6
119868 = int 119906[2(1199062 minus 1)2(2119906)] 119889119906 119868 = 4 int 1199062(1199062 minus 1)119889119906 119868 = 4 int(1199064 minus 1199062)119889119906
119868 = (1199064
5minus +
1199063
3) + 119862
Termiacutenalo
R
4(1 + radic3)32
[3(1 + radic119909) minus 5] + 119862
8) RESOLVER
int 119890119909radic1 + 119890119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = 1 + 119890119909 119889119906 = 119890119909 119889119909 Reemplazando tenemos
119868 = int 11990612 119889119906
TERMINALO R 119868 =2
3(1 + 119890119909)32 + 119862
9) RESOLVER int 1199051198861198993119909 1199041198901198882119909 119889119909 = 119868 Sea 119906 = tan 119909
119889119906 = 1199041198901198882119909119889119909
TERMINALO R 119868 =1199051198861198994119909
4 + 119862
10)119877119864119878119874119871119881119864119877 int1199092+2119909
(119909+ 1)2 119889119909 = 119868
Al hacer el binomio y dividir se tiene
(119909 + 1)2 = 1 minus1
1199092+2119909+1 Al sustituir 119868 = int (1 minus
119909
(119909+1)2) 119889119909 = int 119889119909 minus int
119889119909
(119909+1)2
119868 = 119909 minus int119889119909
(119909+1)2
R 119868 = 119909 minus (minus 1
119909+1) + 119862 = 119909 +
1
119909+1+ 119862
11) RESOLVER int2+radic119909
1minusradic119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = 1 minus radic119909 radic119909 = 1 minus 119906 = 119909 = (1 minus 119906)2 119889119909 = 2(1 minus 119906)(minus1)119889119906 = 2(1 minus 119906)119889119906
Ahora 2 + radic119909 = 2 + (1 minus 119906) = 3 minus 119906
Al integrar 119868 = int (3minus119906
119906) [minus2(1 minus 119906)] 119889119906 119864119873119879119874119873119862119864119878 (3 int
119889119906
119906minus 4 int 119889119906 + int 119906 119889119906)
CUAL SERIA LA RESPUESTA MATERIAL DE APOYO httpscursodecalculofileswordpresscom201305ejercicios-resueltos-de-
integral-2-integrales-por-sustitucic3b3n-o-cambio-de-variablepdf
EJERCICIOS 1
I) USANDO LA TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS Y LAS OTRAS FORMULAS RESOLVER
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6 ) R 7) R
8) R 9) R
10) R
11) R 12) R
13) R
14) R 15) R
16) R 17)
18) R 19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
27) R 28) R
29 ) R
30) R
31) R 32) R
33) R
34) R 35) R
36) R 37) R
38) R
39) DEMUESTRE LAS SIGUIENTES IGUALDADES
40) USANDO LAS SIGUIENTES IGUALDADES
RESOLVERA) R
B) R
C) R
II) RESUELVE LAS SIGUIENTES INTEGRTALES DEFINIDAS Y GRAFIQUELAS
SOLUCION
A) 8
b) e-1
c) 1
d) 103
e) I
I I I ) TALLER INTEGRALES PARA COMPLETAR
OBSERVA LAS INTEGRALES RESUELTAS EN LA MAYORIA DE LOS CASOS
FALTA LA SUSTITUCION IDONEA POR AGREGAR AL DESARROLLO DEL
EJERCICIO Y ESA SUSTITUCION PUEDE SER ALGEBRAICA O FALTA EL
CAMBIO DE VARIABLE RESPECTIVO
1) INTEGRALES INMEDIATAS
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
2 Solucioacuten de las integrales logariacutetmicas
1
2
3
4
5
6
7
8
9 - ln (sen x + cos x ) +C
10
11
3 integrales exponenciales
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4 integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5 Otras integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
- 21 x
4
6 Otras integrales
1
2
3
4
5
EJERCICIOS 2
I) RESOLVER LAS SIGUIENTES INTEGRALES INDEFINIDAS Y VERIFIQUE SU
RESPUESTA REALIZANDO LA DERIVADA
II) EVALUE LA INTEGRAL INDEFINIDA DADA USANDO UNA SUSTITUCION IDONEA
62)Problemas de integrales
1Hallar una funcioacuten F(x) cuya derivada sea f(x) = x + 6 y tal que para x = 2
tome el valor 25
RESPUESTA
2De las inf in itas funciones primitivas de la funcioacuten y = xsup2 - x + 1 iquestcuaacutel
es la que para x = 3 toma el valor 5
RESPUESTA
3Hallar una recta cuya pendiente es 2 y pasa por eacutel punto P(0 4)
RESPUESTA f(x) = 2x + 4
4Escribe la funcioacuten primitiva de y = xsup2 + 2x cuya representacioacuten graacutef ica pasa
por eacutel punto (1 3)
RESPUESTA
5Calcular la ecuacioacuten de la curva que pasa por P(1 5) y cuya pendiente en cualquier punto es
3xsup2 + 5x minus 2
RESPUESTA
6Hallar la primitiva de la funcioacuten que se anula para x = 2
RESPUESTA
CAPITULO 3
INTEGRACION POR PARTES
Definicioacuten
Existen varios meacutetodos de integracioacuten consistiendo todos ellos en reducir la integral buscada a una inteacutegrala conocida como por ejemplo una de las de la tabla o bien reducirla una integral maacutes sencilla
El meacutetodo de integracioacuten por partes estaacute basado en la derivada de un producto de funciones como se muestra a continuacioacuten
d(umiddotv) = u dv + v du
por eso es que se usa para integrales que contienen dos funciones que se multiplican entre si
intd(umiddotv) = intu dv + intv du
Se llama integracioacuten por partes porque la integral se divide en dos partes en una el integrando es u y otra en la otra es v La integral debe estar completa y sin alterar la operacioacuten dentro de ella Consejos
La funcioacuten correspondiente a dv debe ser la funcioacuten maacutes faacutecil de integrar 2- En u deben ir aquellas funciones que no tienen integral directa (funciones logariacutetmicas e inversas) luego se pueden considerar las funciones algebraicas puesto que la derivada es reductiva Las funciones trigonomeacutetricas y exponenciales son maacutes sencillas de trabajar
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRACIOacuteN POR PARTES
1-
2-
3-
4-
5-
6-
7-
8-
9-
10-
INTEGRACION POR PARTES
MATERIAL DE APOYO
VIDEOS DE INTEGRACION POR PARTES
1) httpswwwprofesor10dematescom201505integrales-por-partes-resueltashtml
2) httpwwwsietecolinasesmaterialesmatintegrales-4pdf
3) httpsgpweiztuammxfilesusersuamijdfmetodos_de_integracionintegracion_por_partesp
df
EJERCICIOS EJERCICIOS PARA RESOLVER POR PARTES
1) L=Ln
R
2) R
3) R
4) R
5) R 6) R
7) R
8) R
9) R L=Ln
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
15) R
16) R
17) R
18) R
19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
INTEGRAL RESPUESTA
26) x senx dx sen x xcos x c
27) ln x dx 1x ln x c
28)2
xx sen dx 4 2
2 2
x xsen xcos c
29) x cos nx dx 2
cos nx x sennxc
nn
30) 2 u sec u du utgu lncosu c
31) 2 3 u sen v dv 21 1 16 6
4 12 72v v sen v cos v c
32) 2 y senny dy 2
3 2
2 2cosny y senny y cosnyc
nn n
33) 2 xa dx 2
1x xa c
lna ln a
34) nx ln x dx 1 1
1 1
nx
ln x cn n
35) arc sen x dx 2 1x arc sen x x c
36) arc tg x dx 21 1
2x arc tg x ln x c
37) arc c tg y dy 21 1
2y arc c tg y ln y c
38) 2 arc cos x dx 21 2 1 4
2x arc cos x x c
39) arc sec y dy 2 1y arc sec y ln y y c
40) 2
tarc csc dt 2 2 4
2
tt arc csc ln t t c
41) x arc tg x dx 2 1
2 2
x xarc tg x c
42) arc tg x dx 1 x arc tg x x c
43) 2 xx e dx
22 2xe x x c
44) e cos d
2
esen cos c
45)
2
1
ln x dx
x 1
1
xln x ln x c
x
CAPITULO 4
FUNCIONES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
1) httpwwwmtyitesmmxetiedeptosmma-841recursostab-hippdf
2) httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCION
ES20HIPERBOLICASpdfsequence=1
FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS HIPERBOacuteLICAS
Definicioacuten de las funciones
Un ciacuterculo unitario con centro en el origen sigue la foacutermula 1yx 22 un punto dado por el par
ordenado yx se puede representar como funcioacuten de un aacutengulo t de la siguiente manera
senttcosyx De igual manera una hipeacuterbola unitaria con centro en el origen sigue la foacutermula
1yx 22 un punto dado por el par ordenado yx se puede representar como funcioacuten del aacutengulo t
de la siguiente manera senhttcoshyx Estas funciones se denominan funciones trigonomeacutetricas
hiperboacutelicas en particular coseno hiperboacutelico y seno hiperboacutelico
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas presentan propiedades anaacutelogas a las de las funciones
trigonomeacutetricas o circulares La funcioacuten xsenhxf se define como 2
eexsenh
xx mientras que
la funcioacuten xcoshxf es 2
eexcosh
xx
Al igual que las funciones trigonomeacutetricas circulares en las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas se
cumplen las siguientes identidades fundamentales
xx
xx
xx
xx
xx
xx
ee
2
xsenh
1xhcsc
ee
2
xcosh
1xhsec
ee
ee
xsenh
xcoshxcoth
ee
ee
xcosh
xsenhxtanh
Debido a esto es loacutegico pensar que habraacute una relacioacuten equivalente al Teorema de Pitaacutegoras Asiacute
para las funciones hiperboacutelicas se sabe que 1xsenhxcosh 22
Ejemplo 1
Demostrar que 1xsenhxcosh 22
11
14
4
14
2
4
2
14
ee2
4
ee2
14
eee2e
4
eee2e
12
ee
2
ee
1xsenhxcosh
xxxx
x2xxx2x2xxx2
2xx
2xx
22
Graacutefica de las funciones
Sea la funcioacuten 2
eexsenhxf
xx Las intersecciones se pueden encontrar igualando la funcioacuten
a cero
0x
0x2
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
02
ee
x2
x
x
xx
xx
xx
La funcioacuten seno hiperboacutelico tiene una sola raiacutez en x=0 Para obtener los puntos criacuteticos se iguala a
cero la derivada de la funcioacuten
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
0ee2
1
ee2
1ee
dx
d
2
1
2
ee
dx
d
dx
df
x2
x
x
xx
xx
xx
xxxxxx
por lo tanto no hay puntos criacuteticos Es interesante notar que la derivada de la funcioacuten senh(x) es la
funcioacuten cosh(x)
Por uacuteltimo puntos inflexioacuten se pueden encontrar en donde la segunda derivada es igual a cero
xxxxxx
2
2
ee2
1ee
dx
d
2
1ee
2
1
dx
d
dx
fd
La segunda derivada nos llevoacute nuevamente a la funcioacuten senh(x) Esta funcioacuten ya se igualoacute a cero
para encontrar las intersecciones El resultado es que en x=0 hay una raiacutez que a su vez es un punto
de inflexioacuten
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
La misma funcioacuten 2
eexsenhxf
xx se puede ver como la resta de dos funciones exponenciales
2
e
2
e
2
ee xxxx
La graacutefica de estas dos funciones exponenciales se muestra en azul (exponencial
positiva) y verde (exponencial negativa) La resta de ambas punto por punto es la funcioacuten senh(x)
Derivadas
ucoshdx
duusenh
dx
dxcosh
2
ee
2
ee
dx
dxsenh
dx
d xxxx
usenhdx
duucosh
dx
dxsenh
2
ee
2
ee
dx
dxcosh
dx
d xxxx
uhsecdx
duutanh
dx
d
xhsecxcosh
1
xcosh
xsenhxcosh
xcosh
senhx
dx
dxtanh
dx
d
2
2
22
22
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
uhcscdx
duucoth
dx
d
xhcscxsenh
1
xsenh
xcoshxsenh
senhx
xcosh
dx
dxcoth
dx
d 2
22
22
uhsecutanhdx
duuhsec
dx
d
hxsecxtanhxcosh
1
xcosh
senhx
xcosh
senhx
xcosh
1
dx
dxhsec
dx
d2
uhcscucothdx
duuhcsc
dx
d
hxcscxcothsenhx
1
senhx
xcosh
xsenh
xcosh
senhx
1
dx
dxhcsc
dx
d2
Ejemplo 2
Derivar la funcioacuten 3x4tanhxf 2
La funcioacuten maacutes externa es la raiacutez por lo tanto es la primera en derivarse
3x4tanh2
3x4hsecx83x4tanh
dx
d
3x4tanh2
1
dx
df
2
222
2
Ejemplo 3
Derivar la funcioacuten 2x3cosh2x3tanhlnxf 22
La funcioacuten maacutes externa es el logaritmo por lo tanto es el primero en derivarse
2x3cosh2x3tanh
2x3xsenh62x3hsecx6
dx
df22
222
Integrales
Utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se puede establecer que
cuhcscduucothuhcsc
cuhsecduutanhuhsec
cucothduuhcsc
cutanhduuhsec
cusenhduucosh
cucoshduusenh
2
2
Utilizando estas foacutermulas se pueden establecer las siguientes
Ejemplo 4
Hallar la foacutermula para la integral de la tangente hiperboacutelica
dxxcosh
xsenhdxxtanh
Se hace un cambio de variable en donde dxxsenhduxcoshu Al sustituir la integral anterior
cambia a
cxcoshlnculnu
dudx
xcosh
xsenhdxxtanh
Se puede utilizar el mismo procedimiento para hallar las siguientes foacutermulas
cusenhlnduucoth
cucoshlnduutanh
Ejemplo 5
Resolver las siguientes integrales
dxx3senhx 32
Se realiza el cambio de variable dxx9
dux3u 23 por lo tanto la integral se puede escribir como
cx3cosh9
1cucosh
9
1duusenh
9
1
9
duusenhdxx3senhx 332
dx
x
xlnhsec 2
Se realiza el cambio de variablex
dxduxlnu por lo tanto la integral se puede escribir como
cxlntanhcutanhduuhsecdx
x
xlnhsec2
2
1
0
dxxcoshxsenh
Se realiza el cambio de variable dxxsenhduxcoshu por lo tanto la integral se puede escribir
como
1x
0x
1
0
2 duudxxcoshxsenh
Sin embargo dado que u=senh(x) si x=0 entonces 02
ee0senhu
00
Cuando x=1 entonces
e2
1e
2
e
1e
2
e
1e
2
ee1senhu
2
2
11
La integral es
2
32
23
23
2
e2
1e
0
23
e2
1e
0
1x
0x
1
0
2
e2
1e
3
20
3
2
e2
1e
3
2
u3
2duuduudxxcoshxsenh
22
Inversas
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas tienen funciones inversas que comuacutenmente se denotan
como 1senh o bien como arcsenh donde la funcioacuten recibe el nombre de seno hiperboacutelico inverso
Dado que las funciones estaacuten definidas en teacuterminos de exponenciales es de esperarse que sus
inversas incluyan logaritmos naturales Se pueden definir como
1x0parax
x11lnxhsec
1xparax1
x1ln
2
1xtanh
1xpara1xxlnxcosh
1xxlnxsenh
21
1
21
21
Las derivadas e integrales de estas funciones se resuelven igual que las funciones trigonomeacutetricas
inversas
Ejemplo 6
Obtener la foacutermula para la derivada de la funcioacuten xsenhy 1
Dado que no se conoce la derivada del seno hiperboacutelico inverso pero siacute la del seno hiperboacutelico se
pueden utilizar el concepto de la funcioacuten inversa y la derivada impliacutecita para hallar la foacutermula en
cuestioacuten
ycosh
1y
1yacutecoshy
xysenh
xsenhy 1
Se sabe que 1ysenhycosh 22 por lo tanto 1ysenhycosh 22 y la funcioacuten senhy=x entonces
1xycosh 2 Al sustituir se obtiene
1x
1y
2
El mismo meacutetodo se puede utilizar para encontrar cualquiera de las siguientes foacutermulas
1u
dxdu
usenhdx
d
2
1
1u1u
dxdu
ucoshdx
d
2
1
1uu1
dxdu
utanhdx
d2
1
1u0u1u
dxdu
uhsecdx
d
2
1
Ejemplo 7
Determinar si la funcioacuten 3xxsenhxf 21 es creciente o decreciente en el punto x=2
Se debe resolver la derivada de la multiplicacioacuten
10x6x
x23xsenh
19x6x
x23xsenh
13x
x2x3xsenh
dx
df
24
221
24
221
22
21
Se busca conocer como es la funcioacuten en x=2 por lo tanto se sustituye en la derivada
773131642077
80714ln
25
8257ln
225
82257ln
50
81497ln
102416
87senh
dx
df 1
2x
La funcioacuten es creciente crece a una razoacuten de 377
Las foacutermulas para la integracioacuten salen utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo y a partir de las
foacutermulas de derivacioacuten
0aca
usenhdu
ua
1 1
22
0auca
ucoshdu
au
1 1
22
au0aca
utanh
a
1du
ua
1 1
22
au00aca
uhsec
a
1du
uau
1 1
22
Ejemplo 8
Resolver la integral
dxe25
e
x6
x3
Esta integral es como la de la tangente hiperboacutelica inversa donde 5a25a 2
dxe3
dueueu x3x3x62 Al sustituir esto en la integral
c5
etanh
15
1c
5
etanh
5
1
3
1
u25
du
3
1
u25
3du x3
1x3
1
22
Aplicaciones
La velocidad de las olas en el mar bajo ciertas condiciones depende de la longitud de onda
(distancia entre cresta y cresta) y de la profundidad del agua por donde viajan las olas h La funcioacuten
que relaciona estas variables es
h2tanh
2
gv 2
donde v es la velocidad y g es la gravedad
Suponiendo que se mantiene h constante esto es que el oleaje se propaga por un oceacuteano de
profundidad constante (50 m) determinar si la velocidad aumenta o disminuye cuando m5
h2hsec
ghh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2hsec
h2
2
gh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2tanh
2
gv
h2tanh
2
gv
2
2
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
728d
dv
5
502hsec
5
50819
5
502tanh
2
819
5
502tanh
2
58192
1
d
dv 2
Entonces para este valor de la longitud de onda y de la profundidad la velocidad de la ola va
aumentando respecto a la longitud de onda
Si se requiere ahora saber como va cambiando la velocidad de propagacioacuten del oleaje respecto a la
profundidad del mar para una longitud de onda de 5 m se deberaacute entonces derivar respecto a h Sea
una profundidad de 7 m
h2tanh
2
g2
h2hsecg
dh
dv
h2hsec
2
2
g
h2tanh
2
g2
1
dh
dv
h2tanh
2
gv
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
77
2
2
1061595
10918
5
14tanh
2
05492
5
14hsec819
dh
dv
5
72tanh
2
58192
5
72hsec819
dh
dv
Asiacute que aunque la velocidad de propagacioacuten del oleaje va aumentando respecto a la profundidad la
razoacuten de cambio es muy pequentildea
EJERCICIOS DE DERIVADAS HIPERBOLICAS
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6) R
7) R
8) AYUDA R
9) R 10) R
11) R 12) R
13) R
14)DEMOSTRAR
AYUDA
15)
AYUDA
INTEGRALES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
httpcalculoccfunciones_hiperbolicasp_integrales_hiperbhtml
httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCIONES20
HIPERBOLICASpdfsequence=1
httpseswikipediaorgwikiAnexoIntegrales_de_funciones_hiperbC3B3licas
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES HIPERBOLICAS
2)
3)
5)
6)
8)
Resolvemos ambas integrales mediante integracioacuten por partes
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 5 u = 3x
11)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 3 u = 4x
13)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = radic7 u = 5x
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION MATERIAL DE APOYO
800 INTEGRALES RESUELTAS
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_metodosproblemasp_integr_sust_trigohtml
httpsmatematicasnblogspotcom201512integracion-por-sustitucionhtml CON VIDEOS INCLUIDOS
httpsdspaceupseduecbitstream12345678961191Manual20de20fracciones20parcialespdf
httpwwwtesoemedumxalumnoscuadernillos2011011pdf
httpprofe-alexzblogspotcom201104integracion-fracciones-parcialeshtml Y VIDEOS
httpswwwsectormatematicacl rsaquo media rsaquo diferenciado rsaquo FRACCIONES P httpswwwipnmxassetsfilescecyt11docsGuiasUABasicasMatematicascalculo-integral-solucion-de-problemasPDF
httpswwwacademiaedu7708664CC381LCULO_INTEGRAL_EJERCICIOS_RESUELTOS_PASO_A_PASO
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1 Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de
variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de
la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que
contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe
ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
Fuente httpsmatematicalaguia2000comgeneralsumatorio
I) EJERCICIOS DE SUMATORIAS
I) Encontrar los valores de las sumas indicadas
OTROS EJEMPLOS DE SUMATORIAS
A continuacioacuten veremos otros tipos de ejercicios
MATERIAL DE APOYO
httpwwwestuc3mesespnueva_docenciagetafeciencias_estadisticasanalisis_exploratorio_datosdocumentacion
_archivosejerciciosejercicios_sumatoriospdf
httpwwwmatusonmx~jldiazNotasCD-1SeriesEjemplos_de_Series-1htm
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_defiteorianotacion_sigmahtml
httpsingenieriaelectronicaorgnotacion-sumatoria-definicion-caracteristicas-ejemplos CON VIDEOS
httpwwwcalculojcbmatcomid551htm
httptrafulutemclportaldoccapsulas-de-aprendizajecapsula-
sumatoriaassetsmaterial_descargablesumatoria_20ejercicios_desarrolladospdf
httpprofe-alexzblogspotcom201208sumatorias-problemas-resueltoshtml VIDEOS
EJERCICIOS GENERALES
1) APLIQUE LA PROPIEDAD CORRESPONDIENTE
2) CALCULA LAS SIGUIENTES SUMAS
3)
4)
Escribe en forma de sumatoria
5) Desarrolla las siguientes sumatorias
6) Calcula las siguientes sumatorias
SUMATORIAS DE RIEMANN
MATERIAL DE APOYO
httpwwwinguceduve~mlaurentinvariosGuiaEjerciciosUnidadIIAMIIpdf
httpswwwrbjlabscomcalculosumas-de-riemann-ejercicios-parte-1
httpswwwstudocucomesdocumentuniversidad-del-magdalenacalculo-integralapuntesnotas-de-clases-integral-
definida-suma-de-riemann4384436view
httpsingenieriaelectronicaorgsumas-riemann-definicion-ejemplos-ejercicios-resueltos
FUENTE httpmatematicasuiseducocalculo2sumaspdf
EJERCICIOS APLICANDO RIEMANN
RESOLVER POR RIEMANN E INTEGRANDO
1) LEA BIEN PERO PRIMERO GRAFIQUE Y HALLE EL AREA DADA INTEGRANDO
R 83 U2
2) REALICE CON CUIDADO PERO PRIMERO GRAFIQUE Y HALLE EL AREA DADA INTEGRANDO
R9 U2
3) REALICE CON CUIDADO PERO PRIMERO GRAFIQUE HALLE EL AREA DADA
R8U2
4)Grafique e integre y aplique riemann
R16U2
R9U2
5)REALIZARDIBUJA
5) Realizar or riemann y la regla de barrow
R
CAPITULO 2
INTEGRALES INMEDIATAS Y POR SUSTITUCION IDONEA
FUENTE httpscampusdematematicascomtablas-y-formulariostabla-de-integrales
II) TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS
OTRAS FORMULAS
GUIA DE EJEMPLOS DE INTEGRALES POR SUSTITUCION
INTEGRALES POR SUSTITUCION
RESOLVERint radic3 119909 + 5 119889119909 = 119868 Sea 119889119906 = 3 119909 + 5
119889119906 = 3 119889119909 = 119889119909 =119889119906
3
Al sustituir tenemos
119868 = int 11990612
119889119906
3 =
1
3 int 119906
12 119889119906
119868 =1
3(
11990632
32
) + 119862 = 2
911990632 + 119862
119868 = 2
9(3119909 + 2)32 + 119862
RESOLVER int119909119889119909
(1199092+ 4)2 = 119868
Sea 119906 = 1199092 + 4
119889119906 = 2119909 119889119909 = 119909119889119909 =119889119906
2
1
2
Al sustituir tenemos
119868 = int119889119906
21199062 =
1
2 int 119906minus2 119889119906
119868 =1
2(
119906minus1
minus1) + 119862 =
1
2119906minus1 + 119862
119868 = 1
2(1199092 + 4)minus1 + 119862
119868 = 1
2(1199092 + 4)+ 119862
RESOLVER int119904119890119899 119889119909
radic1+2 cos 119909 = 119868
Sea 119906 = 1 + 2 cos 119909
119889119906 = minus2 119904119890119899 119909119889119909 = 119904119890119899 119909 119889119909 = minus119889119906
2
Al sustituir tenemos
119868 = intminus119889119906
211990612 = minus
1
2 int
119889119906
11990612
119868 = minus1
2int 119906minus12119889119906 = minus
1
2(
11990612
12
) + 119862
119868 = minus11990612 + 119862 = minus(1 + 2 cos 119909) 12 + 119862
119868 = minus radic1 + 2 cos 119909 + 119862 DE AQUIacute EN ADELANTE TU LLEGAS A LA RESPUESTA
RESOLVER int119909119889119909
radic119909+1 = 119868
Sea 119906 = radic119909 + 1
1199062 = 119909 + 1 = 119909 = 1199062 minus 1
3
4
2119906119889119906 = 119889119909
CONTINUA
R 119868 =2
3radic119909 + 1(119909 minus 2) + 119862
5)
int 1199092radic2 minus 119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = radic2 minus 119909
1199062 = 2 minus 119909 = 119909 = 2 minus 1199062 119889119909 = minus2119906119889119906
Reemplazando
119868 = int(2 minus 1199062)2(minus2119906119889119906)(119906)
119868 = minus2 int(4 minus 41199062 + 1199064)1199062119889119906
COMPLETA
Rminus2
105(2 minus 119909 )32(140 minus 84(2 minus 119909) + 15(2 minus 119909)2) + 119862
RSOLVER int119909119889119909
radic1199092+9 = 119868
Sea 119906 = 1199092+9
119889119906 = 2119909119889119909 = 119909119889119909 =119889119906
2
Sustituyendo tenemos119868 = int119889119906
211990612 = 2 int 119906minus12 119889119906
COMPLETA
R 119868 = radic1199092 + 9 + 119862
7) RESOLVER int radic1 + radic119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = radic1 + radic119909 1199062 = 1 + radic119909 = 1199062 minus 1 = radic119909 (1199062 minus 1)2 = 119909 2(1199062 minus 1)(2119906)119889119906 = 119889119909 Reemplazando
6
119868 = int 119906[2(1199062 minus 1)2(2119906)] 119889119906 119868 = 4 int 1199062(1199062 minus 1)119889119906 119868 = 4 int(1199064 minus 1199062)119889119906
119868 = (1199064
5minus +
1199063
3) + 119862
Termiacutenalo
R
4(1 + radic3)32
[3(1 + radic119909) minus 5] + 119862
8) RESOLVER
int 119890119909radic1 + 119890119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = 1 + 119890119909 119889119906 = 119890119909 119889119909 Reemplazando tenemos
119868 = int 11990612 119889119906
TERMINALO R 119868 =2
3(1 + 119890119909)32 + 119862
9) RESOLVER int 1199051198861198993119909 1199041198901198882119909 119889119909 = 119868 Sea 119906 = tan 119909
119889119906 = 1199041198901198882119909119889119909
TERMINALO R 119868 =1199051198861198994119909
4 + 119862
10)119877119864119878119874119871119881119864119877 int1199092+2119909
(119909+ 1)2 119889119909 = 119868
Al hacer el binomio y dividir se tiene
(119909 + 1)2 = 1 minus1
1199092+2119909+1 Al sustituir 119868 = int (1 minus
119909
(119909+1)2) 119889119909 = int 119889119909 minus int
119889119909
(119909+1)2
119868 = 119909 minus int119889119909
(119909+1)2
R 119868 = 119909 minus (minus 1
119909+1) + 119862 = 119909 +
1
119909+1+ 119862
11) RESOLVER int2+radic119909
1minusradic119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = 1 minus radic119909 radic119909 = 1 minus 119906 = 119909 = (1 minus 119906)2 119889119909 = 2(1 minus 119906)(minus1)119889119906 = 2(1 minus 119906)119889119906
Ahora 2 + radic119909 = 2 + (1 minus 119906) = 3 minus 119906
Al integrar 119868 = int (3minus119906
119906) [minus2(1 minus 119906)] 119889119906 119864119873119879119874119873119862119864119878 (3 int
119889119906
119906minus 4 int 119889119906 + int 119906 119889119906)
CUAL SERIA LA RESPUESTA MATERIAL DE APOYO httpscursodecalculofileswordpresscom201305ejercicios-resueltos-de-
integral-2-integrales-por-sustitucic3b3n-o-cambio-de-variablepdf
EJERCICIOS 1
I) USANDO LA TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS Y LAS OTRAS FORMULAS RESOLVER
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6 ) R 7) R
8) R 9) R
10) R
11) R 12) R
13) R
14) R 15) R
16) R 17)
18) R 19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
27) R 28) R
29 ) R
30) R
31) R 32) R
33) R
34) R 35) R
36) R 37) R
38) R
39) DEMUESTRE LAS SIGUIENTES IGUALDADES
40) USANDO LAS SIGUIENTES IGUALDADES
RESOLVERA) R
B) R
C) R
II) RESUELVE LAS SIGUIENTES INTEGRTALES DEFINIDAS Y GRAFIQUELAS
SOLUCION
A) 8
b) e-1
c) 1
d) 103
e) I
I I I ) TALLER INTEGRALES PARA COMPLETAR
OBSERVA LAS INTEGRALES RESUELTAS EN LA MAYORIA DE LOS CASOS
FALTA LA SUSTITUCION IDONEA POR AGREGAR AL DESARROLLO DEL
EJERCICIO Y ESA SUSTITUCION PUEDE SER ALGEBRAICA O FALTA EL
CAMBIO DE VARIABLE RESPECTIVO
1) INTEGRALES INMEDIATAS
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
2 Solucioacuten de las integrales logariacutetmicas
1
2
3
4
5
6
7
8
9 - ln (sen x + cos x ) +C
10
11
3 integrales exponenciales
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4 integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5 Otras integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
- 21 x
4
6 Otras integrales
1
2
3
4
5
EJERCICIOS 2
I) RESOLVER LAS SIGUIENTES INTEGRALES INDEFINIDAS Y VERIFIQUE SU
RESPUESTA REALIZANDO LA DERIVADA
II) EVALUE LA INTEGRAL INDEFINIDA DADA USANDO UNA SUSTITUCION IDONEA
62)Problemas de integrales
1Hallar una funcioacuten F(x) cuya derivada sea f(x) = x + 6 y tal que para x = 2
tome el valor 25
RESPUESTA
2De las inf in itas funciones primitivas de la funcioacuten y = xsup2 - x + 1 iquestcuaacutel
es la que para x = 3 toma el valor 5
RESPUESTA
3Hallar una recta cuya pendiente es 2 y pasa por eacutel punto P(0 4)
RESPUESTA f(x) = 2x + 4
4Escribe la funcioacuten primitiva de y = xsup2 + 2x cuya representacioacuten graacutef ica pasa
por eacutel punto (1 3)
RESPUESTA
5Calcular la ecuacioacuten de la curva que pasa por P(1 5) y cuya pendiente en cualquier punto es
3xsup2 + 5x minus 2
RESPUESTA
6Hallar la primitiva de la funcioacuten que se anula para x = 2
RESPUESTA
CAPITULO 3
INTEGRACION POR PARTES
Definicioacuten
Existen varios meacutetodos de integracioacuten consistiendo todos ellos en reducir la integral buscada a una inteacutegrala conocida como por ejemplo una de las de la tabla o bien reducirla una integral maacutes sencilla
El meacutetodo de integracioacuten por partes estaacute basado en la derivada de un producto de funciones como se muestra a continuacioacuten
d(umiddotv) = u dv + v du
por eso es que se usa para integrales que contienen dos funciones que se multiplican entre si
intd(umiddotv) = intu dv + intv du
Se llama integracioacuten por partes porque la integral se divide en dos partes en una el integrando es u y otra en la otra es v La integral debe estar completa y sin alterar la operacioacuten dentro de ella Consejos
La funcioacuten correspondiente a dv debe ser la funcioacuten maacutes faacutecil de integrar 2- En u deben ir aquellas funciones que no tienen integral directa (funciones logariacutetmicas e inversas) luego se pueden considerar las funciones algebraicas puesto que la derivada es reductiva Las funciones trigonomeacutetricas y exponenciales son maacutes sencillas de trabajar
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRACIOacuteN POR PARTES
1-
2-
3-
4-
5-
6-
7-
8-
9-
10-
INTEGRACION POR PARTES
MATERIAL DE APOYO
VIDEOS DE INTEGRACION POR PARTES
1) httpswwwprofesor10dematescom201505integrales-por-partes-resueltashtml
2) httpwwwsietecolinasesmaterialesmatintegrales-4pdf
3) httpsgpweiztuammxfilesusersuamijdfmetodos_de_integracionintegracion_por_partesp
df
EJERCICIOS EJERCICIOS PARA RESOLVER POR PARTES
1) L=Ln
R
2) R
3) R
4) R
5) R 6) R
7) R
8) R
9) R L=Ln
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
15) R
16) R
17) R
18) R
19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
INTEGRAL RESPUESTA
26) x senx dx sen x xcos x c
27) ln x dx 1x ln x c
28)2
xx sen dx 4 2
2 2
x xsen xcos c
29) x cos nx dx 2
cos nx x sennxc
nn
30) 2 u sec u du utgu lncosu c
31) 2 3 u sen v dv 21 1 16 6
4 12 72v v sen v cos v c
32) 2 y senny dy 2
3 2
2 2cosny y senny y cosnyc
nn n
33) 2 xa dx 2
1x xa c
lna ln a
34) nx ln x dx 1 1
1 1
nx
ln x cn n
35) arc sen x dx 2 1x arc sen x x c
36) arc tg x dx 21 1
2x arc tg x ln x c
37) arc c tg y dy 21 1
2y arc c tg y ln y c
38) 2 arc cos x dx 21 2 1 4
2x arc cos x x c
39) arc sec y dy 2 1y arc sec y ln y y c
40) 2
tarc csc dt 2 2 4
2
tt arc csc ln t t c
41) x arc tg x dx 2 1
2 2
x xarc tg x c
42) arc tg x dx 1 x arc tg x x c
43) 2 xx e dx
22 2xe x x c
44) e cos d
2
esen cos c
45)
2
1
ln x dx
x 1
1
xln x ln x c
x
CAPITULO 4
FUNCIONES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
1) httpwwwmtyitesmmxetiedeptosmma-841recursostab-hippdf
2) httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCION
ES20HIPERBOLICASpdfsequence=1
FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS HIPERBOacuteLICAS
Definicioacuten de las funciones
Un ciacuterculo unitario con centro en el origen sigue la foacutermula 1yx 22 un punto dado por el par
ordenado yx se puede representar como funcioacuten de un aacutengulo t de la siguiente manera
senttcosyx De igual manera una hipeacuterbola unitaria con centro en el origen sigue la foacutermula
1yx 22 un punto dado por el par ordenado yx se puede representar como funcioacuten del aacutengulo t
de la siguiente manera senhttcoshyx Estas funciones se denominan funciones trigonomeacutetricas
hiperboacutelicas en particular coseno hiperboacutelico y seno hiperboacutelico
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas presentan propiedades anaacutelogas a las de las funciones
trigonomeacutetricas o circulares La funcioacuten xsenhxf se define como 2
eexsenh
xx mientras que
la funcioacuten xcoshxf es 2
eexcosh
xx
Al igual que las funciones trigonomeacutetricas circulares en las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas se
cumplen las siguientes identidades fundamentales
xx
xx
xx
xx
xx
xx
ee
2
xsenh
1xhcsc
ee
2
xcosh
1xhsec
ee
ee
xsenh
xcoshxcoth
ee
ee
xcosh
xsenhxtanh
Debido a esto es loacutegico pensar que habraacute una relacioacuten equivalente al Teorema de Pitaacutegoras Asiacute
para las funciones hiperboacutelicas se sabe que 1xsenhxcosh 22
Ejemplo 1
Demostrar que 1xsenhxcosh 22
11
14
4
14
2
4
2
14
ee2
4
ee2
14
eee2e
4
eee2e
12
ee
2
ee
1xsenhxcosh
xxxx
x2xxx2x2xxx2
2xx
2xx
22
Graacutefica de las funciones
Sea la funcioacuten 2
eexsenhxf
xx Las intersecciones se pueden encontrar igualando la funcioacuten
a cero
0x
0x2
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
02
ee
x2
x
x
xx
xx
xx
La funcioacuten seno hiperboacutelico tiene una sola raiacutez en x=0 Para obtener los puntos criacuteticos se iguala a
cero la derivada de la funcioacuten
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
0ee2
1
ee2
1ee
dx
d
2
1
2
ee
dx
d
dx
df
x2
x
x
xx
xx
xx
xxxxxx
por lo tanto no hay puntos criacuteticos Es interesante notar que la derivada de la funcioacuten senh(x) es la
funcioacuten cosh(x)
Por uacuteltimo puntos inflexioacuten se pueden encontrar en donde la segunda derivada es igual a cero
xxxxxx
2
2
ee2
1ee
dx
d
2
1ee
2
1
dx
d
dx
fd
La segunda derivada nos llevoacute nuevamente a la funcioacuten senh(x) Esta funcioacuten ya se igualoacute a cero
para encontrar las intersecciones El resultado es que en x=0 hay una raiacutez que a su vez es un punto
de inflexioacuten
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
La misma funcioacuten 2
eexsenhxf
xx se puede ver como la resta de dos funciones exponenciales
2
e
2
e
2
ee xxxx
La graacutefica de estas dos funciones exponenciales se muestra en azul (exponencial
positiva) y verde (exponencial negativa) La resta de ambas punto por punto es la funcioacuten senh(x)
Derivadas
ucoshdx
duusenh
dx
dxcosh
2
ee
2
ee
dx
dxsenh
dx
d xxxx
usenhdx
duucosh
dx
dxsenh
2
ee
2
ee
dx
dxcosh
dx
d xxxx
uhsecdx
duutanh
dx
d
xhsecxcosh
1
xcosh
xsenhxcosh
xcosh
senhx
dx
dxtanh
dx
d
2
2
22
22
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
uhcscdx
duucoth
dx
d
xhcscxsenh
1
xsenh
xcoshxsenh
senhx
xcosh
dx
dxcoth
dx
d 2
22
22
uhsecutanhdx
duuhsec
dx
d
hxsecxtanhxcosh
1
xcosh
senhx
xcosh
senhx
xcosh
1
dx
dxhsec
dx
d2
uhcscucothdx
duuhcsc
dx
d
hxcscxcothsenhx
1
senhx
xcosh
xsenh
xcosh
senhx
1
dx
dxhcsc
dx
d2
Ejemplo 2
Derivar la funcioacuten 3x4tanhxf 2
La funcioacuten maacutes externa es la raiacutez por lo tanto es la primera en derivarse
3x4tanh2
3x4hsecx83x4tanh
dx
d
3x4tanh2
1
dx
df
2
222
2
Ejemplo 3
Derivar la funcioacuten 2x3cosh2x3tanhlnxf 22
La funcioacuten maacutes externa es el logaritmo por lo tanto es el primero en derivarse
2x3cosh2x3tanh
2x3xsenh62x3hsecx6
dx
df22
222
Integrales
Utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se puede establecer que
cuhcscduucothuhcsc
cuhsecduutanhuhsec
cucothduuhcsc
cutanhduuhsec
cusenhduucosh
cucoshduusenh
2
2
Utilizando estas foacutermulas se pueden establecer las siguientes
Ejemplo 4
Hallar la foacutermula para la integral de la tangente hiperboacutelica
dxxcosh
xsenhdxxtanh
Se hace un cambio de variable en donde dxxsenhduxcoshu Al sustituir la integral anterior
cambia a
cxcoshlnculnu
dudx
xcosh
xsenhdxxtanh
Se puede utilizar el mismo procedimiento para hallar las siguientes foacutermulas
cusenhlnduucoth
cucoshlnduutanh
Ejemplo 5
Resolver las siguientes integrales
dxx3senhx 32
Se realiza el cambio de variable dxx9
dux3u 23 por lo tanto la integral se puede escribir como
cx3cosh9
1cucosh
9
1duusenh
9
1
9
duusenhdxx3senhx 332
dx
x
xlnhsec 2
Se realiza el cambio de variablex
dxduxlnu por lo tanto la integral se puede escribir como
cxlntanhcutanhduuhsecdx
x
xlnhsec2
2
1
0
dxxcoshxsenh
Se realiza el cambio de variable dxxsenhduxcoshu por lo tanto la integral se puede escribir
como
1x
0x
1
0
2 duudxxcoshxsenh
Sin embargo dado que u=senh(x) si x=0 entonces 02
ee0senhu
00
Cuando x=1 entonces
e2
1e
2
e
1e
2
e
1e
2
ee1senhu
2
2
11
La integral es
2
32
23
23
2
e2
1e
0
23
e2
1e
0
1x
0x
1
0
2
e2
1e
3
20
3
2
e2
1e
3
2
u3
2duuduudxxcoshxsenh
22
Inversas
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas tienen funciones inversas que comuacutenmente se denotan
como 1senh o bien como arcsenh donde la funcioacuten recibe el nombre de seno hiperboacutelico inverso
Dado que las funciones estaacuten definidas en teacuterminos de exponenciales es de esperarse que sus
inversas incluyan logaritmos naturales Se pueden definir como
1x0parax
x11lnxhsec
1xparax1
x1ln
2
1xtanh
1xpara1xxlnxcosh
1xxlnxsenh
21
1
21
21
Las derivadas e integrales de estas funciones se resuelven igual que las funciones trigonomeacutetricas
inversas
Ejemplo 6
Obtener la foacutermula para la derivada de la funcioacuten xsenhy 1
Dado que no se conoce la derivada del seno hiperboacutelico inverso pero siacute la del seno hiperboacutelico se
pueden utilizar el concepto de la funcioacuten inversa y la derivada impliacutecita para hallar la foacutermula en
cuestioacuten
ycosh
1y
1yacutecoshy
xysenh
xsenhy 1
Se sabe que 1ysenhycosh 22 por lo tanto 1ysenhycosh 22 y la funcioacuten senhy=x entonces
1xycosh 2 Al sustituir se obtiene
1x
1y
2
El mismo meacutetodo se puede utilizar para encontrar cualquiera de las siguientes foacutermulas
1u
dxdu
usenhdx
d
2
1
1u1u
dxdu
ucoshdx
d
2
1
1uu1
dxdu
utanhdx
d2
1
1u0u1u
dxdu
uhsecdx
d
2
1
Ejemplo 7
Determinar si la funcioacuten 3xxsenhxf 21 es creciente o decreciente en el punto x=2
Se debe resolver la derivada de la multiplicacioacuten
10x6x
x23xsenh
19x6x
x23xsenh
13x
x2x3xsenh
dx
df
24
221
24
221
22
21
Se busca conocer como es la funcioacuten en x=2 por lo tanto se sustituye en la derivada
773131642077
80714ln
25
8257ln
225
82257ln
50
81497ln
102416
87senh
dx
df 1
2x
La funcioacuten es creciente crece a una razoacuten de 377
Las foacutermulas para la integracioacuten salen utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo y a partir de las
foacutermulas de derivacioacuten
0aca
usenhdu
ua
1 1
22
0auca
ucoshdu
au
1 1
22
au0aca
utanh
a
1du
ua
1 1
22
au00aca
uhsec
a
1du
uau
1 1
22
Ejemplo 8
Resolver la integral
dxe25
e
x6
x3
Esta integral es como la de la tangente hiperboacutelica inversa donde 5a25a 2
dxe3
dueueu x3x3x62 Al sustituir esto en la integral
c5
etanh
15
1c
5
etanh
5
1
3
1
u25
du
3
1
u25
3du x3
1x3
1
22
Aplicaciones
La velocidad de las olas en el mar bajo ciertas condiciones depende de la longitud de onda
(distancia entre cresta y cresta) y de la profundidad del agua por donde viajan las olas h La funcioacuten
que relaciona estas variables es
h2tanh
2
gv 2
donde v es la velocidad y g es la gravedad
Suponiendo que se mantiene h constante esto es que el oleaje se propaga por un oceacuteano de
profundidad constante (50 m) determinar si la velocidad aumenta o disminuye cuando m5
h2hsec
ghh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2hsec
h2
2
gh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2tanh
2
gv
h2tanh
2
gv
2
2
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
728d
dv
5
502hsec
5
50819
5
502tanh
2
819
5
502tanh
2
58192
1
d
dv 2
Entonces para este valor de la longitud de onda y de la profundidad la velocidad de la ola va
aumentando respecto a la longitud de onda
Si se requiere ahora saber como va cambiando la velocidad de propagacioacuten del oleaje respecto a la
profundidad del mar para una longitud de onda de 5 m se deberaacute entonces derivar respecto a h Sea
una profundidad de 7 m
h2tanh
2
g2
h2hsecg
dh
dv
h2hsec
2
2
g
h2tanh
2
g2
1
dh
dv
h2tanh
2
gv
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
77
2
2
1061595
10918
5
14tanh
2
05492
5
14hsec819
dh
dv
5
72tanh
2
58192
5
72hsec819
dh
dv
Asiacute que aunque la velocidad de propagacioacuten del oleaje va aumentando respecto a la profundidad la
razoacuten de cambio es muy pequentildea
EJERCICIOS DE DERIVADAS HIPERBOLICAS
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6) R
7) R
8) AYUDA R
9) R 10) R
11) R 12) R
13) R
14)DEMOSTRAR
AYUDA
15)
AYUDA
INTEGRALES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
httpcalculoccfunciones_hiperbolicasp_integrales_hiperbhtml
httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCIONES20
HIPERBOLICASpdfsequence=1
httpseswikipediaorgwikiAnexoIntegrales_de_funciones_hiperbC3B3licas
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES HIPERBOLICAS
2)
3)
5)
6)
8)
Resolvemos ambas integrales mediante integracioacuten por partes
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 5 u = 3x
11)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 3 u = 4x
13)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = radic7 u = 5x
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION MATERIAL DE APOYO
800 INTEGRALES RESUELTAS
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_metodosproblemasp_integr_sust_trigohtml
httpsmatematicasnblogspotcom201512integracion-por-sustitucionhtml CON VIDEOS INCLUIDOS
httpsdspaceupseduecbitstream12345678961191Manual20de20fracciones20parcialespdf
httpwwwtesoemedumxalumnoscuadernillos2011011pdf
httpprofe-alexzblogspotcom201104integracion-fracciones-parcialeshtml Y VIDEOS
httpswwwsectormatematicacl rsaquo media rsaquo diferenciado rsaquo FRACCIONES P httpswwwipnmxassetsfilescecyt11docsGuiasUABasicasMatematicascalculo-integral-solucion-de-problemasPDF
httpswwwacademiaedu7708664CC381LCULO_INTEGRAL_EJERCICIOS_RESUELTOS_PASO_A_PASO
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1 Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de
variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de
la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que
contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe
ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
OTROS EJEMPLOS DE SUMATORIAS
A continuacioacuten veremos otros tipos de ejercicios
MATERIAL DE APOYO
httpwwwestuc3mesespnueva_docenciagetafeciencias_estadisticasanalisis_exploratorio_datosdocumentacion
_archivosejerciciosejercicios_sumatoriospdf
httpwwwmatusonmx~jldiazNotasCD-1SeriesEjemplos_de_Series-1htm
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_defiteorianotacion_sigmahtml
httpsingenieriaelectronicaorgnotacion-sumatoria-definicion-caracteristicas-ejemplos CON VIDEOS
httpwwwcalculojcbmatcomid551htm
httptrafulutemclportaldoccapsulas-de-aprendizajecapsula-
sumatoriaassetsmaterial_descargablesumatoria_20ejercicios_desarrolladospdf
httpprofe-alexzblogspotcom201208sumatorias-problemas-resueltoshtml VIDEOS
EJERCICIOS GENERALES
1) APLIQUE LA PROPIEDAD CORRESPONDIENTE
2) CALCULA LAS SIGUIENTES SUMAS
3)
4)
Escribe en forma de sumatoria
5) Desarrolla las siguientes sumatorias
6) Calcula las siguientes sumatorias
SUMATORIAS DE RIEMANN
MATERIAL DE APOYO
httpwwwinguceduve~mlaurentinvariosGuiaEjerciciosUnidadIIAMIIpdf
httpswwwrbjlabscomcalculosumas-de-riemann-ejercicios-parte-1
httpswwwstudocucomesdocumentuniversidad-del-magdalenacalculo-integralapuntesnotas-de-clases-integral-
definida-suma-de-riemann4384436view
httpsingenieriaelectronicaorgsumas-riemann-definicion-ejemplos-ejercicios-resueltos
FUENTE httpmatematicasuiseducocalculo2sumaspdf
EJERCICIOS APLICANDO RIEMANN
RESOLVER POR RIEMANN E INTEGRANDO
1) LEA BIEN PERO PRIMERO GRAFIQUE Y HALLE EL AREA DADA INTEGRANDO
R 83 U2
2) REALICE CON CUIDADO PERO PRIMERO GRAFIQUE Y HALLE EL AREA DADA INTEGRANDO
R9 U2
3) REALICE CON CUIDADO PERO PRIMERO GRAFIQUE HALLE EL AREA DADA
R8U2
4)Grafique e integre y aplique riemann
R16U2
R9U2
5)REALIZARDIBUJA
5) Realizar or riemann y la regla de barrow
R
CAPITULO 2
INTEGRALES INMEDIATAS Y POR SUSTITUCION IDONEA
FUENTE httpscampusdematematicascomtablas-y-formulariostabla-de-integrales
II) TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS
OTRAS FORMULAS
GUIA DE EJEMPLOS DE INTEGRALES POR SUSTITUCION
INTEGRALES POR SUSTITUCION
RESOLVERint radic3 119909 + 5 119889119909 = 119868 Sea 119889119906 = 3 119909 + 5
119889119906 = 3 119889119909 = 119889119909 =119889119906
3
Al sustituir tenemos
119868 = int 11990612
119889119906
3 =
1
3 int 119906
12 119889119906
119868 =1
3(
11990632
32
) + 119862 = 2
911990632 + 119862
119868 = 2
9(3119909 + 2)32 + 119862
RESOLVER int119909119889119909
(1199092+ 4)2 = 119868
Sea 119906 = 1199092 + 4
119889119906 = 2119909 119889119909 = 119909119889119909 =119889119906
2
1
2
Al sustituir tenemos
119868 = int119889119906
21199062 =
1
2 int 119906minus2 119889119906
119868 =1
2(
119906minus1
minus1) + 119862 =
1
2119906minus1 + 119862
119868 = 1
2(1199092 + 4)minus1 + 119862
119868 = 1
2(1199092 + 4)+ 119862
RESOLVER int119904119890119899 119889119909
radic1+2 cos 119909 = 119868
Sea 119906 = 1 + 2 cos 119909
119889119906 = minus2 119904119890119899 119909119889119909 = 119904119890119899 119909 119889119909 = minus119889119906
2
Al sustituir tenemos
119868 = intminus119889119906
211990612 = minus
1
2 int
119889119906
11990612
119868 = minus1
2int 119906minus12119889119906 = minus
1
2(
11990612
12
) + 119862
119868 = minus11990612 + 119862 = minus(1 + 2 cos 119909) 12 + 119862
119868 = minus radic1 + 2 cos 119909 + 119862 DE AQUIacute EN ADELANTE TU LLEGAS A LA RESPUESTA
RESOLVER int119909119889119909
radic119909+1 = 119868
Sea 119906 = radic119909 + 1
1199062 = 119909 + 1 = 119909 = 1199062 minus 1
3
4
2119906119889119906 = 119889119909
CONTINUA
R 119868 =2
3radic119909 + 1(119909 minus 2) + 119862
5)
int 1199092radic2 minus 119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = radic2 minus 119909
1199062 = 2 minus 119909 = 119909 = 2 minus 1199062 119889119909 = minus2119906119889119906
Reemplazando
119868 = int(2 minus 1199062)2(minus2119906119889119906)(119906)
119868 = minus2 int(4 minus 41199062 + 1199064)1199062119889119906
COMPLETA
Rminus2
105(2 minus 119909 )32(140 minus 84(2 minus 119909) + 15(2 minus 119909)2) + 119862
RSOLVER int119909119889119909
radic1199092+9 = 119868
Sea 119906 = 1199092+9
119889119906 = 2119909119889119909 = 119909119889119909 =119889119906
2
Sustituyendo tenemos119868 = int119889119906
211990612 = 2 int 119906minus12 119889119906
COMPLETA
R 119868 = radic1199092 + 9 + 119862
7) RESOLVER int radic1 + radic119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = radic1 + radic119909 1199062 = 1 + radic119909 = 1199062 minus 1 = radic119909 (1199062 minus 1)2 = 119909 2(1199062 minus 1)(2119906)119889119906 = 119889119909 Reemplazando
6
119868 = int 119906[2(1199062 minus 1)2(2119906)] 119889119906 119868 = 4 int 1199062(1199062 minus 1)119889119906 119868 = 4 int(1199064 minus 1199062)119889119906
119868 = (1199064
5minus +
1199063
3) + 119862
Termiacutenalo
R
4(1 + radic3)32
[3(1 + radic119909) minus 5] + 119862
8) RESOLVER
int 119890119909radic1 + 119890119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = 1 + 119890119909 119889119906 = 119890119909 119889119909 Reemplazando tenemos
119868 = int 11990612 119889119906
TERMINALO R 119868 =2
3(1 + 119890119909)32 + 119862
9) RESOLVER int 1199051198861198993119909 1199041198901198882119909 119889119909 = 119868 Sea 119906 = tan 119909
119889119906 = 1199041198901198882119909119889119909
TERMINALO R 119868 =1199051198861198994119909
4 + 119862
10)119877119864119878119874119871119881119864119877 int1199092+2119909
(119909+ 1)2 119889119909 = 119868
Al hacer el binomio y dividir se tiene
(119909 + 1)2 = 1 minus1
1199092+2119909+1 Al sustituir 119868 = int (1 minus
119909
(119909+1)2) 119889119909 = int 119889119909 minus int
119889119909
(119909+1)2
119868 = 119909 minus int119889119909
(119909+1)2
R 119868 = 119909 minus (minus 1
119909+1) + 119862 = 119909 +
1
119909+1+ 119862
11) RESOLVER int2+radic119909
1minusradic119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = 1 minus radic119909 radic119909 = 1 minus 119906 = 119909 = (1 minus 119906)2 119889119909 = 2(1 minus 119906)(minus1)119889119906 = 2(1 minus 119906)119889119906
Ahora 2 + radic119909 = 2 + (1 minus 119906) = 3 minus 119906
Al integrar 119868 = int (3minus119906
119906) [minus2(1 minus 119906)] 119889119906 119864119873119879119874119873119862119864119878 (3 int
119889119906
119906minus 4 int 119889119906 + int 119906 119889119906)
CUAL SERIA LA RESPUESTA MATERIAL DE APOYO httpscursodecalculofileswordpresscom201305ejercicios-resueltos-de-
integral-2-integrales-por-sustitucic3b3n-o-cambio-de-variablepdf
EJERCICIOS 1
I) USANDO LA TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS Y LAS OTRAS FORMULAS RESOLVER
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6 ) R 7) R
8) R 9) R
10) R
11) R 12) R
13) R
14) R 15) R
16) R 17)
18) R 19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
27) R 28) R
29 ) R
30) R
31) R 32) R
33) R
34) R 35) R
36) R 37) R
38) R
39) DEMUESTRE LAS SIGUIENTES IGUALDADES
40) USANDO LAS SIGUIENTES IGUALDADES
RESOLVERA) R
B) R
C) R
II) RESUELVE LAS SIGUIENTES INTEGRTALES DEFINIDAS Y GRAFIQUELAS
SOLUCION
A) 8
b) e-1
c) 1
d) 103
e) I
I I I ) TALLER INTEGRALES PARA COMPLETAR
OBSERVA LAS INTEGRALES RESUELTAS EN LA MAYORIA DE LOS CASOS
FALTA LA SUSTITUCION IDONEA POR AGREGAR AL DESARROLLO DEL
EJERCICIO Y ESA SUSTITUCION PUEDE SER ALGEBRAICA O FALTA EL
CAMBIO DE VARIABLE RESPECTIVO
1) INTEGRALES INMEDIATAS
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
2 Solucioacuten de las integrales logariacutetmicas
1
2
3
4
5
6
7
8
9 - ln (sen x + cos x ) +C
10
11
3 integrales exponenciales
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4 integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5 Otras integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
- 21 x
4
6 Otras integrales
1
2
3
4
5
EJERCICIOS 2
I) RESOLVER LAS SIGUIENTES INTEGRALES INDEFINIDAS Y VERIFIQUE SU
RESPUESTA REALIZANDO LA DERIVADA
II) EVALUE LA INTEGRAL INDEFINIDA DADA USANDO UNA SUSTITUCION IDONEA
62)Problemas de integrales
1Hallar una funcioacuten F(x) cuya derivada sea f(x) = x + 6 y tal que para x = 2
tome el valor 25
RESPUESTA
2De las inf in itas funciones primitivas de la funcioacuten y = xsup2 - x + 1 iquestcuaacutel
es la que para x = 3 toma el valor 5
RESPUESTA
3Hallar una recta cuya pendiente es 2 y pasa por eacutel punto P(0 4)
RESPUESTA f(x) = 2x + 4
4Escribe la funcioacuten primitiva de y = xsup2 + 2x cuya representacioacuten graacutef ica pasa
por eacutel punto (1 3)
RESPUESTA
5Calcular la ecuacioacuten de la curva que pasa por P(1 5) y cuya pendiente en cualquier punto es
3xsup2 + 5x minus 2
RESPUESTA
6Hallar la primitiva de la funcioacuten que se anula para x = 2
RESPUESTA
CAPITULO 3
INTEGRACION POR PARTES
Definicioacuten
Existen varios meacutetodos de integracioacuten consistiendo todos ellos en reducir la integral buscada a una inteacutegrala conocida como por ejemplo una de las de la tabla o bien reducirla una integral maacutes sencilla
El meacutetodo de integracioacuten por partes estaacute basado en la derivada de un producto de funciones como se muestra a continuacioacuten
d(umiddotv) = u dv + v du
por eso es que se usa para integrales que contienen dos funciones que se multiplican entre si
intd(umiddotv) = intu dv + intv du
Se llama integracioacuten por partes porque la integral se divide en dos partes en una el integrando es u y otra en la otra es v La integral debe estar completa y sin alterar la operacioacuten dentro de ella Consejos
La funcioacuten correspondiente a dv debe ser la funcioacuten maacutes faacutecil de integrar 2- En u deben ir aquellas funciones que no tienen integral directa (funciones logariacutetmicas e inversas) luego se pueden considerar las funciones algebraicas puesto que la derivada es reductiva Las funciones trigonomeacutetricas y exponenciales son maacutes sencillas de trabajar
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRACIOacuteN POR PARTES
1-
2-
3-
4-
5-
6-
7-
8-
9-
10-
INTEGRACION POR PARTES
MATERIAL DE APOYO
VIDEOS DE INTEGRACION POR PARTES
1) httpswwwprofesor10dematescom201505integrales-por-partes-resueltashtml
2) httpwwwsietecolinasesmaterialesmatintegrales-4pdf
3) httpsgpweiztuammxfilesusersuamijdfmetodos_de_integracionintegracion_por_partesp
df
EJERCICIOS EJERCICIOS PARA RESOLVER POR PARTES
1) L=Ln
R
2) R
3) R
4) R
5) R 6) R
7) R
8) R
9) R L=Ln
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
15) R
16) R
17) R
18) R
19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
INTEGRAL RESPUESTA
26) x senx dx sen x xcos x c
27) ln x dx 1x ln x c
28)2
xx sen dx 4 2
2 2
x xsen xcos c
29) x cos nx dx 2
cos nx x sennxc
nn
30) 2 u sec u du utgu lncosu c
31) 2 3 u sen v dv 21 1 16 6
4 12 72v v sen v cos v c
32) 2 y senny dy 2
3 2
2 2cosny y senny y cosnyc
nn n
33) 2 xa dx 2
1x xa c
lna ln a
34) nx ln x dx 1 1
1 1
nx
ln x cn n
35) arc sen x dx 2 1x arc sen x x c
36) arc tg x dx 21 1
2x arc tg x ln x c
37) arc c tg y dy 21 1
2y arc c tg y ln y c
38) 2 arc cos x dx 21 2 1 4
2x arc cos x x c
39) arc sec y dy 2 1y arc sec y ln y y c
40) 2
tarc csc dt 2 2 4
2
tt arc csc ln t t c
41) x arc tg x dx 2 1
2 2
x xarc tg x c
42) arc tg x dx 1 x arc tg x x c
43) 2 xx e dx
22 2xe x x c
44) e cos d
2
esen cos c
45)
2
1
ln x dx
x 1
1
xln x ln x c
x
CAPITULO 4
FUNCIONES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
1) httpwwwmtyitesmmxetiedeptosmma-841recursostab-hippdf
2) httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCION
ES20HIPERBOLICASpdfsequence=1
FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS HIPERBOacuteLICAS
Definicioacuten de las funciones
Un ciacuterculo unitario con centro en el origen sigue la foacutermula 1yx 22 un punto dado por el par
ordenado yx se puede representar como funcioacuten de un aacutengulo t de la siguiente manera
senttcosyx De igual manera una hipeacuterbola unitaria con centro en el origen sigue la foacutermula
1yx 22 un punto dado por el par ordenado yx se puede representar como funcioacuten del aacutengulo t
de la siguiente manera senhttcoshyx Estas funciones se denominan funciones trigonomeacutetricas
hiperboacutelicas en particular coseno hiperboacutelico y seno hiperboacutelico
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas presentan propiedades anaacutelogas a las de las funciones
trigonomeacutetricas o circulares La funcioacuten xsenhxf se define como 2
eexsenh
xx mientras que
la funcioacuten xcoshxf es 2
eexcosh
xx
Al igual que las funciones trigonomeacutetricas circulares en las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas se
cumplen las siguientes identidades fundamentales
xx
xx
xx
xx
xx
xx
ee
2
xsenh
1xhcsc
ee
2
xcosh
1xhsec
ee
ee
xsenh
xcoshxcoth
ee
ee
xcosh
xsenhxtanh
Debido a esto es loacutegico pensar que habraacute una relacioacuten equivalente al Teorema de Pitaacutegoras Asiacute
para las funciones hiperboacutelicas se sabe que 1xsenhxcosh 22
Ejemplo 1
Demostrar que 1xsenhxcosh 22
11
14
4
14
2
4
2
14
ee2
4
ee2
14
eee2e
4
eee2e
12
ee
2
ee
1xsenhxcosh
xxxx
x2xxx2x2xxx2
2xx
2xx
22
Graacutefica de las funciones
Sea la funcioacuten 2
eexsenhxf
xx Las intersecciones se pueden encontrar igualando la funcioacuten
a cero
0x
0x2
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
02
ee
x2
x
x
xx
xx
xx
La funcioacuten seno hiperboacutelico tiene una sola raiacutez en x=0 Para obtener los puntos criacuteticos se iguala a
cero la derivada de la funcioacuten
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
0ee2
1
ee2
1ee
dx
d
2
1
2
ee
dx
d
dx
df
x2
x
x
xx
xx
xx
xxxxxx
por lo tanto no hay puntos criacuteticos Es interesante notar que la derivada de la funcioacuten senh(x) es la
funcioacuten cosh(x)
Por uacuteltimo puntos inflexioacuten se pueden encontrar en donde la segunda derivada es igual a cero
xxxxxx
2
2
ee2
1ee
dx
d
2
1ee
2
1
dx
d
dx
fd
La segunda derivada nos llevoacute nuevamente a la funcioacuten senh(x) Esta funcioacuten ya se igualoacute a cero
para encontrar las intersecciones El resultado es que en x=0 hay una raiacutez que a su vez es un punto
de inflexioacuten
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
La misma funcioacuten 2
eexsenhxf
xx se puede ver como la resta de dos funciones exponenciales
2
e
2
e
2
ee xxxx
La graacutefica de estas dos funciones exponenciales se muestra en azul (exponencial
positiva) y verde (exponencial negativa) La resta de ambas punto por punto es la funcioacuten senh(x)
Derivadas
ucoshdx
duusenh
dx
dxcosh
2
ee
2
ee
dx
dxsenh
dx
d xxxx
usenhdx
duucosh
dx
dxsenh
2
ee
2
ee
dx
dxcosh
dx
d xxxx
uhsecdx
duutanh
dx
d
xhsecxcosh
1
xcosh
xsenhxcosh
xcosh
senhx
dx
dxtanh
dx
d
2
2
22
22
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
uhcscdx
duucoth
dx
d
xhcscxsenh
1
xsenh
xcoshxsenh
senhx
xcosh
dx
dxcoth
dx
d 2
22
22
uhsecutanhdx
duuhsec
dx
d
hxsecxtanhxcosh
1
xcosh
senhx
xcosh
senhx
xcosh
1
dx
dxhsec
dx
d2
uhcscucothdx
duuhcsc
dx
d
hxcscxcothsenhx
1
senhx
xcosh
xsenh
xcosh
senhx
1
dx
dxhcsc
dx
d2
Ejemplo 2
Derivar la funcioacuten 3x4tanhxf 2
La funcioacuten maacutes externa es la raiacutez por lo tanto es la primera en derivarse
3x4tanh2
3x4hsecx83x4tanh
dx
d
3x4tanh2
1
dx
df
2
222
2
Ejemplo 3
Derivar la funcioacuten 2x3cosh2x3tanhlnxf 22
La funcioacuten maacutes externa es el logaritmo por lo tanto es el primero en derivarse
2x3cosh2x3tanh
2x3xsenh62x3hsecx6
dx
df22
222
Integrales
Utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se puede establecer que
cuhcscduucothuhcsc
cuhsecduutanhuhsec
cucothduuhcsc
cutanhduuhsec
cusenhduucosh
cucoshduusenh
2
2
Utilizando estas foacutermulas se pueden establecer las siguientes
Ejemplo 4
Hallar la foacutermula para la integral de la tangente hiperboacutelica
dxxcosh
xsenhdxxtanh
Se hace un cambio de variable en donde dxxsenhduxcoshu Al sustituir la integral anterior
cambia a
cxcoshlnculnu
dudx
xcosh
xsenhdxxtanh
Se puede utilizar el mismo procedimiento para hallar las siguientes foacutermulas
cusenhlnduucoth
cucoshlnduutanh
Ejemplo 5
Resolver las siguientes integrales
dxx3senhx 32
Se realiza el cambio de variable dxx9
dux3u 23 por lo tanto la integral se puede escribir como
cx3cosh9
1cucosh
9
1duusenh
9
1
9
duusenhdxx3senhx 332
dx
x
xlnhsec 2
Se realiza el cambio de variablex
dxduxlnu por lo tanto la integral se puede escribir como
cxlntanhcutanhduuhsecdx
x
xlnhsec2
2
1
0
dxxcoshxsenh
Se realiza el cambio de variable dxxsenhduxcoshu por lo tanto la integral se puede escribir
como
1x
0x
1
0
2 duudxxcoshxsenh
Sin embargo dado que u=senh(x) si x=0 entonces 02
ee0senhu
00
Cuando x=1 entonces
e2
1e
2
e
1e
2
e
1e
2
ee1senhu
2
2
11
La integral es
2
32
23
23
2
e2
1e
0
23
e2
1e
0
1x
0x
1
0
2
e2
1e
3
20
3
2
e2
1e
3
2
u3
2duuduudxxcoshxsenh
22
Inversas
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas tienen funciones inversas que comuacutenmente se denotan
como 1senh o bien como arcsenh donde la funcioacuten recibe el nombre de seno hiperboacutelico inverso
Dado que las funciones estaacuten definidas en teacuterminos de exponenciales es de esperarse que sus
inversas incluyan logaritmos naturales Se pueden definir como
1x0parax
x11lnxhsec
1xparax1
x1ln
2
1xtanh
1xpara1xxlnxcosh
1xxlnxsenh
21
1
21
21
Las derivadas e integrales de estas funciones se resuelven igual que las funciones trigonomeacutetricas
inversas
Ejemplo 6
Obtener la foacutermula para la derivada de la funcioacuten xsenhy 1
Dado que no se conoce la derivada del seno hiperboacutelico inverso pero siacute la del seno hiperboacutelico se
pueden utilizar el concepto de la funcioacuten inversa y la derivada impliacutecita para hallar la foacutermula en
cuestioacuten
ycosh
1y
1yacutecoshy
xysenh
xsenhy 1
Se sabe que 1ysenhycosh 22 por lo tanto 1ysenhycosh 22 y la funcioacuten senhy=x entonces
1xycosh 2 Al sustituir se obtiene
1x
1y
2
El mismo meacutetodo se puede utilizar para encontrar cualquiera de las siguientes foacutermulas
1u
dxdu
usenhdx
d
2
1
1u1u
dxdu
ucoshdx
d
2
1
1uu1
dxdu
utanhdx
d2
1
1u0u1u
dxdu
uhsecdx
d
2
1
Ejemplo 7
Determinar si la funcioacuten 3xxsenhxf 21 es creciente o decreciente en el punto x=2
Se debe resolver la derivada de la multiplicacioacuten
10x6x
x23xsenh
19x6x
x23xsenh
13x
x2x3xsenh
dx
df
24
221
24
221
22
21
Se busca conocer como es la funcioacuten en x=2 por lo tanto se sustituye en la derivada
773131642077
80714ln
25
8257ln
225
82257ln
50
81497ln
102416
87senh
dx
df 1
2x
La funcioacuten es creciente crece a una razoacuten de 377
Las foacutermulas para la integracioacuten salen utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo y a partir de las
foacutermulas de derivacioacuten
0aca
usenhdu
ua
1 1
22
0auca
ucoshdu
au
1 1
22
au0aca
utanh
a
1du
ua
1 1
22
au00aca
uhsec
a
1du
uau
1 1
22
Ejemplo 8
Resolver la integral
dxe25
e
x6
x3
Esta integral es como la de la tangente hiperboacutelica inversa donde 5a25a 2
dxe3
dueueu x3x3x62 Al sustituir esto en la integral
c5
etanh
15
1c
5
etanh
5
1
3
1
u25
du
3
1
u25
3du x3
1x3
1
22
Aplicaciones
La velocidad de las olas en el mar bajo ciertas condiciones depende de la longitud de onda
(distancia entre cresta y cresta) y de la profundidad del agua por donde viajan las olas h La funcioacuten
que relaciona estas variables es
h2tanh
2
gv 2
donde v es la velocidad y g es la gravedad
Suponiendo que se mantiene h constante esto es que el oleaje se propaga por un oceacuteano de
profundidad constante (50 m) determinar si la velocidad aumenta o disminuye cuando m5
h2hsec
ghh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2hsec
h2
2
gh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2tanh
2
gv
h2tanh
2
gv
2
2
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
728d
dv
5
502hsec
5
50819
5
502tanh
2
819
5
502tanh
2
58192
1
d
dv 2
Entonces para este valor de la longitud de onda y de la profundidad la velocidad de la ola va
aumentando respecto a la longitud de onda
Si se requiere ahora saber como va cambiando la velocidad de propagacioacuten del oleaje respecto a la
profundidad del mar para una longitud de onda de 5 m se deberaacute entonces derivar respecto a h Sea
una profundidad de 7 m
h2tanh
2
g2
h2hsecg
dh
dv
h2hsec
2
2
g
h2tanh
2
g2
1
dh
dv
h2tanh
2
gv
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
77
2
2
1061595
10918
5
14tanh
2
05492
5
14hsec819
dh
dv
5
72tanh
2
58192
5
72hsec819
dh
dv
Asiacute que aunque la velocidad de propagacioacuten del oleaje va aumentando respecto a la profundidad la
razoacuten de cambio es muy pequentildea
EJERCICIOS DE DERIVADAS HIPERBOLICAS
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6) R
7) R
8) AYUDA R
9) R 10) R
11) R 12) R
13) R
14)DEMOSTRAR
AYUDA
15)
AYUDA
INTEGRALES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
httpcalculoccfunciones_hiperbolicasp_integrales_hiperbhtml
httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCIONES20
HIPERBOLICASpdfsequence=1
httpseswikipediaorgwikiAnexoIntegrales_de_funciones_hiperbC3B3licas
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES HIPERBOLICAS
2)
3)
5)
6)
8)
Resolvemos ambas integrales mediante integracioacuten por partes
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 5 u = 3x
11)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 3 u = 4x
13)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = radic7 u = 5x
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION MATERIAL DE APOYO
800 INTEGRALES RESUELTAS
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_metodosproblemasp_integr_sust_trigohtml
httpsmatematicasnblogspotcom201512integracion-por-sustitucionhtml CON VIDEOS INCLUIDOS
httpsdspaceupseduecbitstream12345678961191Manual20de20fracciones20parcialespdf
httpwwwtesoemedumxalumnoscuadernillos2011011pdf
httpprofe-alexzblogspotcom201104integracion-fracciones-parcialeshtml Y VIDEOS
httpswwwsectormatematicacl rsaquo media rsaquo diferenciado rsaquo FRACCIONES P httpswwwipnmxassetsfilescecyt11docsGuiasUABasicasMatematicascalculo-integral-solucion-de-problemasPDF
httpswwwacademiaedu7708664CC381LCULO_INTEGRAL_EJERCICIOS_RESUELTOS_PASO_A_PASO
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1 Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de
variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de
la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que
contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe
ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
MATERIAL DE APOYO
httpwwwestuc3mesespnueva_docenciagetafeciencias_estadisticasanalisis_exploratorio_datosdocumentacion
_archivosejerciciosejercicios_sumatoriospdf
httpwwwmatusonmx~jldiazNotasCD-1SeriesEjemplos_de_Series-1htm
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_defiteorianotacion_sigmahtml
httpsingenieriaelectronicaorgnotacion-sumatoria-definicion-caracteristicas-ejemplos CON VIDEOS
httpwwwcalculojcbmatcomid551htm
httptrafulutemclportaldoccapsulas-de-aprendizajecapsula-
sumatoriaassetsmaterial_descargablesumatoria_20ejercicios_desarrolladospdf
httpprofe-alexzblogspotcom201208sumatorias-problemas-resueltoshtml VIDEOS
EJERCICIOS GENERALES
1) APLIQUE LA PROPIEDAD CORRESPONDIENTE
2) CALCULA LAS SIGUIENTES SUMAS
3)
4)
Escribe en forma de sumatoria
5) Desarrolla las siguientes sumatorias
6) Calcula las siguientes sumatorias
SUMATORIAS DE RIEMANN
MATERIAL DE APOYO
httpwwwinguceduve~mlaurentinvariosGuiaEjerciciosUnidadIIAMIIpdf
httpswwwrbjlabscomcalculosumas-de-riemann-ejercicios-parte-1
httpswwwstudocucomesdocumentuniversidad-del-magdalenacalculo-integralapuntesnotas-de-clases-integral-
definida-suma-de-riemann4384436view
httpsingenieriaelectronicaorgsumas-riemann-definicion-ejemplos-ejercicios-resueltos
FUENTE httpmatematicasuiseducocalculo2sumaspdf
EJERCICIOS APLICANDO RIEMANN
RESOLVER POR RIEMANN E INTEGRANDO
1) LEA BIEN PERO PRIMERO GRAFIQUE Y HALLE EL AREA DADA INTEGRANDO
R 83 U2
2) REALICE CON CUIDADO PERO PRIMERO GRAFIQUE Y HALLE EL AREA DADA INTEGRANDO
R9 U2
3) REALICE CON CUIDADO PERO PRIMERO GRAFIQUE HALLE EL AREA DADA
R8U2
4)Grafique e integre y aplique riemann
R16U2
R9U2
5)REALIZARDIBUJA
5) Realizar or riemann y la regla de barrow
R
CAPITULO 2
INTEGRALES INMEDIATAS Y POR SUSTITUCION IDONEA
FUENTE httpscampusdematematicascomtablas-y-formulariostabla-de-integrales
II) TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS
OTRAS FORMULAS
GUIA DE EJEMPLOS DE INTEGRALES POR SUSTITUCION
INTEGRALES POR SUSTITUCION
RESOLVERint radic3 119909 + 5 119889119909 = 119868 Sea 119889119906 = 3 119909 + 5
119889119906 = 3 119889119909 = 119889119909 =119889119906
3
Al sustituir tenemos
119868 = int 11990612
119889119906
3 =
1
3 int 119906
12 119889119906
119868 =1
3(
11990632
32
) + 119862 = 2
911990632 + 119862
119868 = 2
9(3119909 + 2)32 + 119862
RESOLVER int119909119889119909
(1199092+ 4)2 = 119868
Sea 119906 = 1199092 + 4
119889119906 = 2119909 119889119909 = 119909119889119909 =119889119906
2
1
2
Al sustituir tenemos
119868 = int119889119906
21199062 =
1
2 int 119906minus2 119889119906
119868 =1
2(
119906minus1
minus1) + 119862 =
1
2119906minus1 + 119862
119868 = 1
2(1199092 + 4)minus1 + 119862
119868 = 1
2(1199092 + 4)+ 119862
RESOLVER int119904119890119899 119889119909
radic1+2 cos 119909 = 119868
Sea 119906 = 1 + 2 cos 119909
119889119906 = minus2 119904119890119899 119909119889119909 = 119904119890119899 119909 119889119909 = minus119889119906
2
Al sustituir tenemos
119868 = intminus119889119906
211990612 = minus
1
2 int
119889119906
11990612
119868 = minus1
2int 119906minus12119889119906 = minus
1
2(
11990612
12
) + 119862
119868 = minus11990612 + 119862 = minus(1 + 2 cos 119909) 12 + 119862
119868 = minus radic1 + 2 cos 119909 + 119862 DE AQUIacute EN ADELANTE TU LLEGAS A LA RESPUESTA
RESOLVER int119909119889119909
radic119909+1 = 119868
Sea 119906 = radic119909 + 1
1199062 = 119909 + 1 = 119909 = 1199062 minus 1
3
4
2119906119889119906 = 119889119909
CONTINUA
R 119868 =2
3radic119909 + 1(119909 minus 2) + 119862
5)
int 1199092radic2 minus 119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = radic2 minus 119909
1199062 = 2 minus 119909 = 119909 = 2 minus 1199062 119889119909 = minus2119906119889119906
Reemplazando
119868 = int(2 minus 1199062)2(minus2119906119889119906)(119906)
119868 = minus2 int(4 minus 41199062 + 1199064)1199062119889119906
COMPLETA
Rminus2
105(2 minus 119909 )32(140 minus 84(2 minus 119909) + 15(2 minus 119909)2) + 119862
RSOLVER int119909119889119909
radic1199092+9 = 119868
Sea 119906 = 1199092+9
119889119906 = 2119909119889119909 = 119909119889119909 =119889119906
2
Sustituyendo tenemos119868 = int119889119906
211990612 = 2 int 119906minus12 119889119906
COMPLETA
R 119868 = radic1199092 + 9 + 119862
7) RESOLVER int radic1 + radic119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = radic1 + radic119909 1199062 = 1 + radic119909 = 1199062 minus 1 = radic119909 (1199062 minus 1)2 = 119909 2(1199062 minus 1)(2119906)119889119906 = 119889119909 Reemplazando
6
119868 = int 119906[2(1199062 minus 1)2(2119906)] 119889119906 119868 = 4 int 1199062(1199062 minus 1)119889119906 119868 = 4 int(1199064 minus 1199062)119889119906
119868 = (1199064
5minus +
1199063
3) + 119862
Termiacutenalo
R
4(1 + radic3)32
[3(1 + radic119909) minus 5] + 119862
8) RESOLVER
int 119890119909radic1 + 119890119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = 1 + 119890119909 119889119906 = 119890119909 119889119909 Reemplazando tenemos
119868 = int 11990612 119889119906
TERMINALO R 119868 =2
3(1 + 119890119909)32 + 119862
9) RESOLVER int 1199051198861198993119909 1199041198901198882119909 119889119909 = 119868 Sea 119906 = tan 119909
119889119906 = 1199041198901198882119909119889119909
TERMINALO R 119868 =1199051198861198994119909
4 + 119862
10)119877119864119878119874119871119881119864119877 int1199092+2119909
(119909+ 1)2 119889119909 = 119868
Al hacer el binomio y dividir se tiene
(119909 + 1)2 = 1 minus1
1199092+2119909+1 Al sustituir 119868 = int (1 minus
119909
(119909+1)2) 119889119909 = int 119889119909 minus int
119889119909
(119909+1)2
119868 = 119909 minus int119889119909
(119909+1)2
R 119868 = 119909 minus (minus 1
119909+1) + 119862 = 119909 +
1
119909+1+ 119862
11) RESOLVER int2+radic119909
1minusradic119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = 1 minus radic119909 radic119909 = 1 minus 119906 = 119909 = (1 minus 119906)2 119889119909 = 2(1 minus 119906)(minus1)119889119906 = 2(1 minus 119906)119889119906
Ahora 2 + radic119909 = 2 + (1 minus 119906) = 3 minus 119906
Al integrar 119868 = int (3minus119906
119906) [minus2(1 minus 119906)] 119889119906 119864119873119879119874119873119862119864119878 (3 int
119889119906
119906minus 4 int 119889119906 + int 119906 119889119906)
CUAL SERIA LA RESPUESTA MATERIAL DE APOYO httpscursodecalculofileswordpresscom201305ejercicios-resueltos-de-
integral-2-integrales-por-sustitucic3b3n-o-cambio-de-variablepdf
EJERCICIOS 1
I) USANDO LA TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS Y LAS OTRAS FORMULAS RESOLVER
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6 ) R 7) R
8) R 9) R
10) R
11) R 12) R
13) R
14) R 15) R
16) R 17)
18) R 19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
27) R 28) R
29 ) R
30) R
31) R 32) R
33) R
34) R 35) R
36) R 37) R
38) R
39) DEMUESTRE LAS SIGUIENTES IGUALDADES
40) USANDO LAS SIGUIENTES IGUALDADES
RESOLVERA) R
B) R
C) R
II) RESUELVE LAS SIGUIENTES INTEGRTALES DEFINIDAS Y GRAFIQUELAS
SOLUCION
A) 8
b) e-1
c) 1
d) 103
e) I
I I I ) TALLER INTEGRALES PARA COMPLETAR
OBSERVA LAS INTEGRALES RESUELTAS EN LA MAYORIA DE LOS CASOS
FALTA LA SUSTITUCION IDONEA POR AGREGAR AL DESARROLLO DEL
EJERCICIO Y ESA SUSTITUCION PUEDE SER ALGEBRAICA O FALTA EL
CAMBIO DE VARIABLE RESPECTIVO
1) INTEGRALES INMEDIATAS
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
2 Solucioacuten de las integrales logariacutetmicas
1
2
3
4
5
6
7
8
9 - ln (sen x + cos x ) +C
10
11
3 integrales exponenciales
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4 integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5 Otras integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
- 21 x
4
6 Otras integrales
1
2
3
4
5
EJERCICIOS 2
I) RESOLVER LAS SIGUIENTES INTEGRALES INDEFINIDAS Y VERIFIQUE SU
RESPUESTA REALIZANDO LA DERIVADA
II) EVALUE LA INTEGRAL INDEFINIDA DADA USANDO UNA SUSTITUCION IDONEA
62)Problemas de integrales
1Hallar una funcioacuten F(x) cuya derivada sea f(x) = x + 6 y tal que para x = 2
tome el valor 25
RESPUESTA
2De las inf in itas funciones primitivas de la funcioacuten y = xsup2 - x + 1 iquestcuaacutel
es la que para x = 3 toma el valor 5
RESPUESTA
3Hallar una recta cuya pendiente es 2 y pasa por eacutel punto P(0 4)
RESPUESTA f(x) = 2x + 4
4Escribe la funcioacuten primitiva de y = xsup2 + 2x cuya representacioacuten graacutef ica pasa
por eacutel punto (1 3)
RESPUESTA
5Calcular la ecuacioacuten de la curva que pasa por P(1 5) y cuya pendiente en cualquier punto es
3xsup2 + 5x minus 2
RESPUESTA
6Hallar la primitiva de la funcioacuten que se anula para x = 2
RESPUESTA
CAPITULO 3
INTEGRACION POR PARTES
Definicioacuten
Existen varios meacutetodos de integracioacuten consistiendo todos ellos en reducir la integral buscada a una inteacutegrala conocida como por ejemplo una de las de la tabla o bien reducirla una integral maacutes sencilla
El meacutetodo de integracioacuten por partes estaacute basado en la derivada de un producto de funciones como se muestra a continuacioacuten
d(umiddotv) = u dv + v du
por eso es que se usa para integrales que contienen dos funciones que se multiplican entre si
intd(umiddotv) = intu dv + intv du
Se llama integracioacuten por partes porque la integral se divide en dos partes en una el integrando es u y otra en la otra es v La integral debe estar completa y sin alterar la operacioacuten dentro de ella Consejos
La funcioacuten correspondiente a dv debe ser la funcioacuten maacutes faacutecil de integrar 2- En u deben ir aquellas funciones que no tienen integral directa (funciones logariacutetmicas e inversas) luego se pueden considerar las funciones algebraicas puesto que la derivada es reductiva Las funciones trigonomeacutetricas y exponenciales son maacutes sencillas de trabajar
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRACIOacuteN POR PARTES
1-
2-
3-
4-
5-
6-
7-
8-
9-
10-
INTEGRACION POR PARTES
MATERIAL DE APOYO
VIDEOS DE INTEGRACION POR PARTES
1) httpswwwprofesor10dematescom201505integrales-por-partes-resueltashtml
2) httpwwwsietecolinasesmaterialesmatintegrales-4pdf
3) httpsgpweiztuammxfilesusersuamijdfmetodos_de_integracionintegracion_por_partesp
df
EJERCICIOS EJERCICIOS PARA RESOLVER POR PARTES
1) L=Ln
R
2) R
3) R
4) R
5) R 6) R
7) R
8) R
9) R L=Ln
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
15) R
16) R
17) R
18) R
19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
INTEGRAL RESPUESTA
26) x senx dx sen x xcos x c
27) ln x dx 1x ln x c
28)2
xx sen dx 4 2
2 2
x xsen xcos c
29) x cos nx dx 2
cos nx x sennxc
nn
30) 2 u sec u du utgu lncosu c
31) 2 3 u sen v dv 21 1 16 6
4 12 72v v sen v cos v c
32) 2 y senny dy 2
3 2
2 2cosny y senny y cosnyc
nn n
33) 2 xa dx 2
1x xa c
lna ln a
34) nx ln x dx 1 1
1 1
nx
ln x cn n
35) arc sen x dx 2 1x arc sen x x c
36) arc tg x dx 21 1
2x arc tg x ln x c
37) arc c tg y dy 21 1
2y arc c tg y ln y c
38) 2 arc cos x dx 21 2 1 4
2x arc cos x x c
39) arc sec y dy 2 1y arc sec y ln y y c
40) 2
tarc csc dt 2 2 4
2
tt arc csc ln t t c
41) x arc tg x dx 2 1
2 2
x xarc tg x c
42) arc tg x dx 1 x arc tg x x c
43) 2 xx e dx
22 2xe x x c
44) e cos d
2
esen cos c
45)
2
1
ln x dx
x 1
1
xln x ln x c
x
CAPITULO 4
FUNCIONES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
1) httpwwwmtyitesmmxetiedeptosmma-841recursostab-hippdf
2) httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCION
ES20HIPERBOLICASpdfsequence=1
FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS HIPERBOacuteLICAS
Definicioacuten de las funciones
Un ciacuterculo unitario con centro en el origen sigue la foacutermula 1yx 22 un punto dado por el par
ordenado yx se puede representar como funcioacuten de un aacutengulo t de la siguiente manera
senttcosyx De igual manera una hipeacuterbola unitaria con centro en el origen sigue la foacutermula
1yx 22 un punto dado por el par ordenado yx se puede representar como funcioacuten del aacutengulo t
de la siguiente manera senhttcoshyx Estas funciones se denominan funciones trigonomeacutetricas
hiperboacutelicas en particular coseno hiperboacutelico y seno hiperboacutelico
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas presentan propiedades anaacutelogas a las de las funciones
trigonomeacutetricas o circulares La funcioacuten xsenhxf se define como 2
eexsenh
xx mientras que
la funcioacuten xcoshxf es 2
eexcosh
xx
Al igual que las funciones trigonomeacutetricas circulares en las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas se
cumplen las siguientes identidades fundamentales
xx
xx
xx
xx
xx
xx
ee
2
xsenh
1xhcsc
ee
2
xcosh
1xhsec
ee
ee
xsenh
xcoshxcoth
ee
ee
xcosh
xsenhxtanh
Debido a esto es loacutegico pensar que habraacute una relacioacuten equivalente al Teorema de Pitaacutegoras Asiacute
para las funciones hiperboacutelicas se sabe que 1xsenhxcosh 22
Ejemplo 1
Demostrar que 1xsenhxcosh 22
11
14
4
14
2
4
2
14
ee2
4
ee2
14
eee2e
4
eee2e
12
ee
2
ee
1xsenhxcosh
xxxx
x2xxx2x2xxx2
2xx
2xx
22
Graacutefica de las funciones
Sea la funcioacuten 2
eexsenhxf
xx Las intersecciones se pueden encontrar igualando la funcioacuten
a cero
0x
0x2
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
02
ee
x2
x
x
xx
xx
xx
La funcioacuten seno hiperboacutelico tiene una sola raiacutez en x=0 Para obtener los puntos criacuteticos se iguala a
cero la derivada de la funcioacuten
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
0ee2
1
ee2
1ee
dx
d
2
1
2
ee
dx
d
dx
df
x2
x
x
xx
xx
xx
xxxxxx
por lo tanto no hay puntos criacuteticos Es interesante notar que la derivada de la funcioacuten senh(x) es la
funcioacuten cosh(x)
Por uacuteltimo puntos inflexioacuten se pueden encontrar en donde la segunda derivada es igual a cero
xxxxxx
2
2
ee2
1ee
dx
d
2
1ee
2
1
dx
d
dx
fd
La segunda derivada nos llevoacute nuevamente a la funcioacuten senh(x) Esta funcioacuten ya se igualoacute a cero
para encontrar las intersecciones El resultado es que en x=0 hay una raiacutez que a su vez es un punto
de inflexioacuten
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
La misma funcioacuten 2
eexsenhxf
xx se puede ver como la resta de dos funciones exponenciales
2
e
2
e
2
ee xxxx
La graacutefica de estas dos funciones exponenciales se muestra en azul (exponencial
positiva) y verde (exponencial negativa) La resta de ambas punto por punto es la funcioacuten senh(x)
Derivadas
ucoshdx
duusenh
dx
dxcosh
2
ee
2
ee
dx
dxsenh
dx
d xxxx
usenhdx
duucosh
dx
dxsenh
2
ee
2
ee
dx
dxcosh
dx
d xxxx
uhsecdx
duutanh
dx
d
xhsecxcosh
1
xcosh
xsenhxcosh
xcosh
senhx
dx
dxtanh
dx
d
2
2
22
22
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
uhcscdx
duucoth
dx
d
xhcscxsenh
1
xsenh
xcoshxsenh
senhx
xcosh
dx
dxcoth
dx
d 2
22
22
uhsecutanhdx
duuhsec
dx
d
hxsecxtanhxcosh
1
xcosh
senhx
xcosh
senhx
xcosh
1
dx
dxhsec
dx
d2
uhcscucothdx
duuhcsc
dx
d
hxcscxcothsenhx
1
senhx
xcosh
xsenh
xcosh
senhx
1
dx
dxhcsc
dx
d2
Ejemplo 2
Derivar la funcioacuten 3x4tanhxf 2
La funcioacuten maacutes externa es la raiacutez por lo tanto es la primera en derivarse
3x4tanh2
3x4hsecx83x4tanh
dx
d
3x4tanh2
1
dx
df
2
222
2
Ejemplo 3
Derivar la funcioacuten 2x3cosh2x3tanhlnxf 22
La funcioacuten maacutes externa es el logaritmo por lo tanto es el primero en derivarse
2x3cosh2x3tanh
2x3xsenh62x3hsecx6
dx
df22
222
Integrales
Utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se puede establecer que
cuhcscduucothuhcsc
cuhsecduutanhuhsec
cucothduuhcsc
cutanhduuhsec
cusenhduucosh
cucoshduusenh
2
2
Utilizando estas foacutermulas se pueden establecer las siguientes
Ejemplo 4
Hallar la foacutermula para la integral de la tangente hiperboacutelica
dxxcosh
xsenhdxxtanh
Se hace un cambio de variable en donde dxxsenhduxcoshu Al sustituir la integral anterior
cambia a
cxcoshlnculnu
dudx
xcosh
xsenhdxxtanh
Se puede utilizar el mismo procedimiento para hallar las siguientes foacutermulas
cusenhlnduucoth
cucoshlnduutanh
Ejemplo 5
Resolver las siguientes integrales
dxx3senhx 32
Se realiza el cambio de variable dxx9
dux3u 23 por lo tanto la integral se puede escribir como
cx3cosh9
1cucosh
9
1duusenh
9
1
9
duusenhdxx3senhx 332
dx
x
xlnhsec 2
Se realiza el cambio de variablex
dxduxlnu por lo tanto la integral se puede escribir como
cxlntanhcutanhduuhsecdx
x
xlnhsec2
2
1
0
dxxcoshxsenh
Se realiza el cambio de variable dxxsenhduxcoshu por lo tanto la integral se puede escribir
como
1x
0x
1
0
2 duudxxcoshxsenh
Sin embargo dado que u=senh(x) si x=0 entonces 02
ee0senhu
00
Cuando x=1 entonces
e2
1e
2
e
1e
2
e
1e
2
ee1senhu
2
2
11
La integral es
2
32
23
23
2
e2
1e
0
23
e2
1e
0
1x
0x
1
0
2
e2
1e
3
20
3
2
e2
1e
3
2
u3
2duuduudxxcoshxsenh
22
Inversas
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas tienen funciones inversas que comuacutenmente se denotan
como 1senh o bien como arcsenh donde la funcioacuten recibe el nombre de seno hiperboacutelico inverso
Dado que las funciones estaacuten definidas en teacuterminos de exponenciales es de esperarse que sus
inversas incluyan logaritmos naturales Se pueden definir como
1x0parax
x11lnxhsec
1xparax1
x1ln
2
1xtanh
1xpara1xxlnxcosh
1xxlnxsenh
21
1
21
21
Las derivadas e integrales de estas funciones se resuelven igual que las funciones trigonomeacutetricas
inversas
Ejemplo 6
Obtener la foacutermula para la derivada de la funcioacuten xsenhy 1
Dado que no se conoce la derivada del seno hiperboacutelico inverso pero siacute la del seno hiperboacutelico se
pueden utilizar el concepto de la funcioacuten inversa y la derivada impliacutecita para hallar la foacutermula en
cuestioacuten
ycosh
1y
1yacutecoshy
xysenh
xsenhy 1
Se sabe que 1ysenhycosh 22 por lo tanto 1ysenhycosh 22 y la funcioacuten senhy=x entonces
1xycosh 2 Al sustituir se obtiene
1x
1y
2
El mismo meacutetodo se puede utilizar para encontrar cualquiera de las siguientes foacutermulas
1u
dxdu
usenhdx
d
2
1
1u1u
dxdu
ucoshdx
d
2
1
1uu1
dxdu
utanhdx
d2
1
1u0u1u
dxdu
uhsecdx
d
2
1
Ejemplo 7
Determinar si la funcioacuten 3xxsenhxf 21 es creciente o decreciente en el punto x=2
Se debe resolver la derivada de la multiplicacioacuten
10x6x
x23xsenh
19x6x
x23xsenh
13x
x2x3xsenh
dx
df
24
221
24
221
22
21
Se busca conocer como es la funcioacuten en x=2 por lo tanto se sustituye en la derivada
773131642077
80714ln
25
8257ln
225
82257ln
50
81497ln
102416
87senh
dx
df 1
2x
La funcioacuten es creciente crece a una razoacuten de 377
Las foacutermulas para la integracioacuten salen utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo y a partir de las
foacutermulas de derivacioacuten
0aca
usenhdu
ua
1 1
22
0auca
ucoshdu
au
1 1
22
au0aca
utanh
a
1du
ua
1 1
22
au00aca
uhsec
a
1du
uau
1 1
22
Ejemplo 8
Resolver la integral
dxe25
e
x6
x3
Esta integral es como la de la tangente hiperboacutelica inversa donde 5a25a 2
dxe3
dueueu x3x3x62 Al sustituir esto en la integral
c5
etanh
15
1c
5
etanh
5
1
3
1
u25
du
3
1
u25
3du x3
1x3
1
22
Aplicaciones
La velocidad de las olas en el mar bajo ciertas condiciones depende de la longitud de onda
(distancia entre cresta y cresta) y de la profundidad del agua por donde viajan las olas h La funcioacuten
que relaciona estas variables es
h2tanh
2
gv 2
donde v es la velocidad y g es la gravedad
Suponiendo que se mantiene h constante esto es que el oleaje se propaga por un oceacuteano de
profundidad constante (50 m) determinar si la velocidad aumenta o disminuye cuando m5
h2hsec
ghh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2hsec
h2
2
gh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2tanh
2
gv
h2tanh
2
gv
2
2
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
728d
dv
5
502hsec
5
50819
5
502tanh
2
819
5
502tanh
2
58192
1
d
dv 2
Entonces para este valor de la longitud de onda y de la profundidad la velocidad de la ola va
aumentando respecto a la longitud de onda
Si se requiere ahora saber como va cambiando la velocidad de propagacioacuten del oleaje respecto a la
profundidad del mar para una longitud de onda de 5 m se deberaacute entonces derivar respecto a h Sea
una profundidad de 7 m
h2tanh
2
g2
h2hsecg
dh
dv
h2hsec
2
2
g
h2tanh
2
g2
1
dh
dv
h2tanh
2
gv
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
77
2
2
1061595
10918
5
14tanh
2
05492
5
14hsec819
dh
dv
5
72tanh
2
58192
5
72hsec819
dh
dv
Asiacute que aunque la velocidad de propagacioacuten del oleaje va aumentando respecto a la profundidad la
razoacuten de cambio es muy pequentildea
EJERCICIOS DE DERIVADAS HIPERBOLICAS
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6) R
7) R
8) AYUDA R
9) R 10) R
11) R 12) R
13) R
14)DEMOSTRAR
AYUDA
15)
AYUDA
INTEGRALES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
httpcalculoccfunciones_hiperbolicasp_integrales_hiperbhtml
httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCIONES20
HIPERBOLICASpdfsequence=1
httpseswikipediaorgwikiAnexoIntegrales_de_funciones_hiperbC3B3licas
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES HIPERBOLICAS
2)
3)
5)
6)
8)
Resolvemos ambas integrales mediante integracioacuten por partes
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 5 u = 3x
11)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 3 u = 4x
13)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = radic7 u = 5x
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION MATERIAL DE APOYO
800 INTEGRALES RESUELTAS
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_metodosproblemasp_integr_sust_trigohtml
httpsmatematicasnblogspotcom201512integracion-por-sustitucionhtml CON VIDEOS INCLUIDOS
httpsdspaceupseduecbitstream12345678961191Manual20de20fracciones20parcialespdf
httpwwwtesoemedumxalumnoscuadernillos2011011pdf
httpprofe-alexzblogspotcom201104integracion-fracciones-parcialeshtml Y VIDEOS
httpswwwsectormatematicacl rsaquo media rsaquo diferenciado rsaquo FRACCIONES P httpswwwipnmxassetsfilescecyt11docsGuiasUABasicasMatematicascalculo-integral-solucion-de-problemasPDF
httpswwwacademiaedu7708664CC381LCULO_INTEGRAL_EJERCICIOS_RESUELTOS_PASO_A_PASO
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1 Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de
variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de
la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que
contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe
ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
EJERCICIOS GENERALES
1) APLIQUE LA PROPIEDAD CORRESPONDIENTE
2) CALCULA LAS SIGUIENTES SUMAS
3)
4)
Escribe en forma de sumatoria
5) Desarrolla las siguientes sumatorias
6) Calcula las siguientes sumatorias
SUMATORIAS DE RIEMANN
MATERIAL DE APOYO
httpwwwinguceduve~mlaurentinvariosGuiaEjerciciosUnidadIIAMIIpdf
httpswwwrbjlabscomcalculosumas-de-riemann-ejercicios-parte-1
httpswwwstudocucomesdocumentuniversidad-del-magdalenacalculo-integralapuntesnotas-de-clases-integral-
definida-suma-de-riemann4384436view
httpsingenieriaelectronicaorgsumas-riemann-definicion-ejemplos-ejercicios-resueltos
FUENTE httpmatematicasuiseducocalculo2sumaspdf
EJERCICIOS APLICANDO RIEMANN
RESOLVER POR RIEMANN E INTEGRANDO
1) LEA BIEN PERO PRIMERO GRAFIQUE Y HALLE EL AREA DADA INTEGRANDO
R 83 U2
2) REALICE CON CUIDADO PERO PRIMERO GRAFIQUE Y HALLE EL AREA DADA INTEGRANDO
R9 U2
3) REALICE CON CUIDADO PERO PRIMERO GRAFIQUE HALLE EL AREA DADA
R8U2
4)Grafique e integre y aplique riemann
R16U2
R9U2
5)REALIZARDIBUJA
5) Realizar or riemann y la regla de barrow
R
CAPITULO 2
INTEGRALES INMEDIATAS Y POR SUSTITUCION IDONEA
FUENTE httpscampusdematematicascomtablas-y-formulariostabla-de-integrales
II) TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS
OTRAS FORMULAS
GUIA DE EJEMPLOS DE INTEGRALES POR SUSTITUCION
INTEGRALES POR SUSTITUCION
RESOLVERint radic3 119909 + 5 119889119909 = 119868 Sea 119889119906 = 3 119909 + 5
119889119906 = 3 119889119909 = 119889119909 =119889119906
3
Al sustituir tenemos
119868 = int 11990612
119889119906
3 =
1
3 int 119906
12 119889119906
119868 =1
3(
11990632
32
) + 119862 = 2
911990632 + 119862
119868 = 2
9(3119909 + 2)32 + 119862
RESOLVER int119909119889119909
(1199092+ 4)2 = 119868
Sea 119906 = 1199092 + 4
119889119906 = 2119909 119889119909 = 119909119889119909 =119889119906
2
1
2
Al sustituir tenemos
119868 = int119889119906
21199062 =
1
2 int 119906minus2 119889119906
119868 =1
2(
119906minus1
minus1) + 119862 =
1
2119906minus1 + 119862
119868 = 1
2(1199092 + 4)minus1 + 119862
119868 = 1
2(1199092 + 4)+ 119862
RESOLVER int119904119890119899 119889119909
radic1+2 cos 119909 = 119868
Sea 119906 = 1 + 2 cos 119909
119889119906 = minus2 119904119890119899 119909119889119909 = 119904119890119899 119909 119889119909 = minus119889119906
2
Al sustituir tenemos
119868 = intminus119889119906
211990612 = minus
1
2 int
119889119906
11990612
119868 = minus1
2int 119906minus12119889119906 = minus
1
2(
11990612
12
) + 119862
119868 = minus11990612 + 119862 = minus(1 + 2 cos 119909) 12 + 119862
119868 = minus radic1 + 2 cos 119909 + 119862 DE AQUIacute EN ADELANTE TU LLEGAS A LA RESPUESTA
RESOLVER int119909119889119909
radic119909+1 = 119868
Sea 119906 = radic119909 + 1
1199062 = 119909 + 1 = 119909 = 1199062 minus 1
3
4
2119906119889119906 = 119889119909
CONTINUA
R 119868 =2
3radic119909 + 1(119909 minus 2) + 119862
5)
int 1199092radic2 minus 119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = radic2 minus 119909
1199062 = 2 minus 119909 = 119909 = 2 minus 1199062 119889119909 = minus2119906119889119906
Reemplazando
119868 = int(2 minus 1199062)2(minus2119906119889119906)(119906)
119868 = minus2 int(4 minus 41199062 + 1199064)1199062119889119906
COMPLETA
Rminus2
105(2 minus 119909 )32(140 minus 84(2 minus 119909) + 15(2 minus 119909)2) + 119862
RSOLVER int119909119889119909
radic1199092+9 = 119868
Sea 119906 = 1199092+9
119889119906 = 2119909119889119909 = 119909119889119909 =119889119906
2
Sustituyendo tenemos119868 = int119889119906
211990612 = 2 int 119906minus12 119889119906
COMPLETA
R 119868 = radic1199092 + 9 + 119862
7) RESOLVER int radic1 + radic119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = radic1 + radic119909 1199062 = 1 + radic119909 = 1199062 minus 1 = radic119909 (1199062 minus 1)2 = 119909 2(1199062 minus 1)(2119906)119889119906 = 119889119909 Reemplazando
6
119868 = int 119906[2(1199062 minus 1)2(2119906)] 119889119906 119868 = 4 int 1199062(1199062 minus 1)119889119906 119868 = 4 int(1199064 minus 1199062)119889119906
119868 = (1199064
5minus +
1199063
3) + 119862
Termiacutenalo
R
4(1 + radic3)32
[3(1 + radic119909) minus 5] + 119862
8) RESOLVER
int 119890119909radic1 + 119890119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = 1 + 119890119909 119889119906 = 119890119909 119889119909 Reemplazando tenemos
119868 = int 11990612 119889119906
TERMINALO R 119868 =2
3(1 + 119890119909)32 + 119862
9) RESOLVER int 1199051198861198993119909 1199041198901198882119909 119889119909 = 119868 Sea 119906 = tan 119909
119889119906 = 1199041198901198882119909119889119909
TERMINALO R 119868 =1199051198861198994119909
4 + 119862
10)119877119864119878119874119871119881119864119877 int1199092+2119909
(119909+ 1)2 119889119909 = 119868
Al hacer el binomio y dividir se tiene
(119909 + 1)2 = 1 minus1
1199092+2119909+1 Al sustituir 119868 = int (1 minus
119909
(119909+1)2) 119889119909 = int 119889119909 minus int
119889119909
(119909+1)2
119868 = 119909 minus int119889119909
(119909+1)2
R 119868 = 119909 minus (minus 1
119909+1) + 119862 = 119909 +
1
119909+1+ 119862
11) RESOLVER int2+radic119909
1minusradic119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = 1 minus radic119909 radic119909 = 1 minus 119906 = 119909 = (1 minus 119906)2 119889119909 = 2(1 minus 119906)(minus1)119889119906 = 2(1 minus 119906)119889119906
Ahora 2 + radic119909 = 2 + (1 minus 119906) = 3 minus 119906
Al integrar 119868 = int (3minus119906
119906) [minus2(1 minus 119906)] 119889119906 119864119873119879119874119873119862119864119878 (3 int
119889119906
119906minus 4 int 119889119906 + int 119906 119889119906)
CUAL SERIA LA RESPUESTA MATERIAL DE APOYO httpscursodecalculofileswordpresscom201305ejercicios-resueltos-de-
integral-2-integrales-por-sustitucic3b3n-o-cambio-de-variablepdf
EJERCICIOS 1
I) USANDO LA TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS Y LAS OTRAS FORMULAS RESOLVER
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6 ) R 7) R
8) R 9) R
10) R
11) R 12) R
13) R
14) R 15) R
16) R 17)
18) R 19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
27) R 28) R
29 ) R
30) R
31) R 32) R
33) R
34) R 35) R
36) R 37) R
38) R
39) DEMUESTRE LAS SIGUIENTES IGUALDADES
40) USANDO LAS SIGUIENTES IGUALDADES
RESOLVERA) R
B) R
C) R
II) RESUELVE LAS SIGUIENTES INTEGRTALES DEFINIDAS Y GRAFIQUELAS
SOLUCION
A) 8
b) e-1
c) 1
d) 103
e) I
I I I ) TALLER INTEGRALES PARA COMPLETAR
OBSERVA LAS INTEGRALES RESUELTAS EN LA MAYORIA DE LOS CASOS
FALTA LA SUSTITUCION IDONEA POR AGREGAR AL DESARROLLO DEL
EJERCICIO Y ESA SUSTITUCION PUEDE SER ALGEBRAICA O FALTA EL
CAMBIO DE VARIABLE RESPECTIVO
1) INTEGRALES INMEDIATAS
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
2 Solucioacuten de las integrales logariacutetmicas
1
2
3
4
5
6
7
8
9 - ln (sen x + cos x ) +C
10
11
3 integrales exponenciales
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4 integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5 Otras integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
- 21 x
4
6 Otras integrales
1
2
3
4
5
EJERCICIOS 2
I) RESOLVER LAS SIGUIENTES INTEGRALES INDEFINIDAS Y VERIFIQUE SU
RESPUESTA REALIZANDO LA DERIVADA
II) EVALUE LA INTEGRAL INDEFINIDA DADA USANDO UNA SUSTITUCION IDONEA
62)Problemas de integrales
1Hallar una funcioacuten F(x) cuya derivada sea f(x) = x + 6 y tal que para x = 2
tome el valor 25
RESPUESTA
2De las inf in itas funciones primitivas de la funcioacuten y = xsup2 - x + 1 iquestcuaacutel
es la que para x = 3 toma el valor 5
RESPUESTA
3Hallar una recta cuya pendiente es 2 y pasa por eacutel punto P(0 4)
RESPUESTA f(x) = 2x + 4
4Escribe la funcioacuten primitiva de y = xsup2 + 2x cuya representacioacuten graacutef ica pasa
por eacutel punto (1 3)
RESPUESTA
5Calcular la ecuacioacuten de la curva que pasa por P(1 5) y cuya pendiente en cualquier punto es
3xsup2 + 5x minus 2
RESPUESTA
6Hallar la primitiva de la funcioacuten que se anula para x = 2
RESPUESTA
CAPITULO 3
INTEGRACION POR PARTES
Definicioacuten
Existen varios meacutetodos de integracioacuten consistiendo todos ellos en reducir la integral buscada a una inteacutegrala conocida como por ejemplo una de las de la tabla o bien reducirla una integral maacutes sencilla
El meacutetodo de integracioacuten por partes estaacute basado en la derivada de un producto de funciones como se muestra a continuacioacuten
d(umiddotv) = u dv + v du
por eso es que se usa para integrales que contienen dos funciones que se multiplican entre si
intd(umiddotv) = intu dv + intv du
Se llama integracioacuten por partes porque la integral se divide en dos partes en una el integrando es u y otra en la otra es v La integral debe estar completa y sin alterar la operacioacuten dentro de ella Consejos
La funcioacuten correspondiente a dv debe ser la funcioacuten maacutes faacutecil de integrar 2- En u deben ir aquellas funciones que no tienen integral directa (funciones logariacutetmicas e inversas) luego se pueden considerar las funciones algebraicas puesto que la derivada es reductiva Las funciones trigonomeacutetricas y exponenciales son maacutes sencillas de trabajar
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRACIOacuteN POR PARTES
1-
2-
3-
4-
5-
6-
7-
8-
9-
10-
INTEGRACION POR PARTES
MATERIAL DE APOYO
VIDEOS DE INTEGRACION POR PARTES
1) httpswwwprofesor10dematescom201505integrales-por-partes-resueltashtml
2) httpwwwsietecolinasesmaterialesmatintegrales-4pdf
3) httpsgpweiztuammxfilesusersuamijdfmetodos_de_integracionintegracion_por_partesp
df
EJERCICIOS EJERCICIOS PARA RESOLVER POR PARTES
1) L=Ln
R
2) R
3) R
4) R
5) R 6) R
7) R
8) R
9) R L=Ln
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
15) R
16) R
17) R
18) R
19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
INTEGRAL RESPUESTA
26) x senx dx sen x xcos x c
27) ln x dx 1x ln x c
28)2
xx sen dx 4 2
2 2
x xsen xcos c
29) x cos nx dx 2
cos nx x sennxc
nn
30) 2 u sec u du utgu lncosu c
31) 2 3 u sen v dv 21 1 16 6
4 12 72v v sen v cos v c
32) 2 y senny dy 2
3 2
2 2cosny y senny y cosnyc
nn n
33) 2 xa dx 2
1x xa c
lna ln a
34) nx ln x dx 1 1
1 1
nx
ln x cn n
35) arc sen x dx 2 1x arc sen x x c
36) arc tg x dx 21 1
2x arc tg x ln x c
37) arc c tg y dy 21 1
2y arc c tg y ln y c
38) 2 arc cos x dx 21 2 1 4
2x arc cos x x c
39) arc sec y dy 2 1y arc sec y ln y y c
40) 2
tarc csc dt 2 2 4
2
tt arc csc ln t t c
41) x arc tg x dx 2 1
2 2
x xarc tg x c
42) arc tg x dx 1 x arc tg x x c
43) 2 xx e dx
22 2xe x x c
44) e cos d
2
esen cos c
45)
2
1
ln x dx
x 1
1
xln x ln x c
x
CAPITULO 4
FUNCIONES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
1) httpwwwmtyitesmmxetiedeptosmma-841recursostab-hippdf
2) httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCION
ES20HIPERBOLICASpdfsequence=1
FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS HIPERBOacuteLICAS
Definicioacuten de las funciones
Un ciacuterculo unitario con centro en el origen sigue la foacutermula 1yx 22 un punto dado por el par
ordenado yx se puede representar como funcioacuten de un aacutengulo t de la siguiente manera
senttcosyx De igual manera una hipeacuterbola unitaria con centro en el origen sigue la foacutermula
1yx 22 un punto dado por el par ordenado yx se puede representar como funcioacuten del aacutengulo t
de la siguiente manera senhttcoshyx Estas funciones se denominan funciones trigonomeacutetricas
hiperboacutelicas en particular coseno hiperboacutelico y seno hiperboacutelico
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas presentan propiedades anaacutelogas a las de las funciones
trigonomeacutetricas o circulares La funcioacuten xsenhxf se define como 2
eexsenh
xx mientras que
la funcioacuten xcoshxf es 2
eexcosh
xx
Al igual que las funciones trigonomeacutetricas circulares en las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas se
cumplen las siguientes identidades fundamentales
xx
xx
xx
xx
xx
xx
ee
2
xsenh
1xhcsc
ee
2
xcosh
1xhsec
ee
ee
xsenh
xcoshxcoth
ee
ee
xcosh
xsenhxtanh
Debido a esto es loacutegico pensar que habraacute una relacioacuten equivalente al Teorema de Pitaacutegoras Asiacute
para las funciones hiperboacutelicas se sabe que 1xsenhxcosh 22
Ejemplo 1
Demostrar que 1xsenhxcosh 22
11
14
4
14
2
4
2
14
ee2
4
ee2
14
eee2e
4
eee2e
12
ee
2
ee
1xsenhxcosh
xxxx
x2xxx2x2xxx2
2xx
2xx
22
Graacutefica de las funciones
Sea la funcioacuten 2
eexsenhxf
xx Las intersecciones se pueden encontrar igualando la funcioacuten
a cero
0x
0x2
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
02
ee
x2
x
x
xx
xx
xx
La funcioacuten seno hiperboacutelico tiene una sola raiacutez en x=0 Para obtener los puntos criacuteticos se iguala a
cero la derivada de la funcioacuten
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
0ee2
1
ee2
1ee
dx
d
2
1
2
ee
dx
d
dx
df
x2
x
x
xx
xx
xx
xxxxxx
por lo tanto no hay puntos criacuteticos Es interesante notar que la derivada de la funcioacuten senh(x) es la
funcioacuten cosh(x)
Por uacuteltimo puntos inflexioacuten se pueden encontrar en donde la segunda derivada es igual a cero
xxxxxx
2
2
ee2
1ee
dx
d
2
1ee
2
1
dx
d
dx
fd
La segunda derivada nos llevoacute nuevamente a la funcioacuten senh(x) Esta funcioacuten ya se igualoacute a cero
para encontrar las intersecciones El resultado es que en x=0 hay una raiacutez que a su vez es un punto
de inflexioacuten
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
La misma funcioacuten 2
eexsenhxf
xx se puede ver como la resta de dos funciones exponenciales
2
e
2
e
2
ee xxxx
La graacutefica de estas dos funciones exponenciales se muestra en azul (exponencial
positiva) y verde (exponencial negativa) La resta de ambas punto por punto es la funcioacuten senh(x)
Derivadas
ucoshdx
duusenh
dx
dxcosh
2
ee
2
ee
dx
dxsenh
dx
d xxxx
usenhdx
duucosh
dx
dxsenh
2
ee
2
ee
dx
dxcosh
dx
d xxxx
uhsecdx
duutanh
dx
d
xhsecxcosh
1
xcosh
xsenhxcosh
xcosh
senhx
dx
dxtanh
dx
d
2
2
22
22
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
uhcscdx
duucoth
dx
d
xhcscxsenh
1
xsenh
xcoshxsenh
senhx
xcosh
dx
dxcoth
dx
d 2
22
22
uhsecutanhdx
duuhsec
dx
d
hxsecxtanhxcosh
1
xcosh
senhx
xcosh
senhx
xcosh
1
dx
dxhsec
dx
d2
uhcscucothdx
duuhcsc
dx
d
hxcscxcothsenhx
1
senhx
xcosh
xsenh
xcosh
senhx
1
dx
dxhcsc
dx
d2
Ejemplo 2
Derivar la funcioacuten 3x4tanhxf 2
La funcioacuten maacutes externa es la raiacutez por lo tanto es la primera en derivarse
3x4tanh2
3x4hsecx83x4tanh
dx
d
3x4tanh2
1
dx
df
2
222
2
Ejemplo 3
Derivar la funcioacuten 2x3cosh2x3tanhlnxf 22
La funcioacuten maacutes externa es el logaritmo por lo tanto es el primero en derivarse
2x3cosh2x3tanh
2x3xsenh62x3hsecx6
dx
df22
222
Integrales
Utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se puede establecer que
cuhcscduucothuhcsc
cuhsecduutanhuhsec
cucothduuhcsc
cutanhduuhsec
cusenhduucosh
cucoshduusenh
2
2
Utilizando estas foacutermulas se pueden establecer las siguientes
Ejemplo 4
Hallar la foacutermula para la integral de la tangente hiperboacutelica
dxxcosh
xsenhdxxtanh
Se hace un cambio de variable en donde dxxsenhduxcoshu Al sustituir la integral anterior
cambia a
cxcoshlnculnu
dudx
xcosh
xsenhdxxtanh
Se puede utilizar el mismo procedimiento para hallar las siguientes foacutermulas
cusenhlnduucoth
cucoshlnduutanh
Ejemplo 5
Resolver las siguientes integrales
dxx3senhx 32
Se realiza el cambio de variable dxx9
dux3u 23 por lo tanto la integral se puede escribir como
cx3cosh9
1cucosh
9
1duusenh
9
1
9
duusenhdxx3senhx 332
dx
x
xlnhsec 2
Se realiza el cambio de variablex
dxduxlnu por lo tanto la integral se puede escribir como
cxlntanhcutanhduuhsecdx
x
xlnhsec2
2
1
0
dxxcoshxsenh
Se realiza el cambio de variable dxxsenhduxcoshu por lo tanto la integral se puede escribir
como
1x
0x
1
0
2 duudxxcoshxsenh
Sin embargo dado que u=senh(x) si x=0 entonces 02
ee0senhu
00
Cuando x=1 entonces
e2
1e
2
e
1e
2
e
1e
2
ee1senhu
2
2
11
La integral es
2
32
23
23
2
e2
1e
0
23
e2
1e
0
1x
0x
1
0
2
e2
1e
3
20
3
2
e2
1e
3
2
u3
2duuduudxxcoshxsenh
22
Inversas
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas tienen funciones inversas que comuacutenmente se denotan
como 1senh o bien como arcsenh donde la funcioacuten recibe el nombre de seno hiperboacutelico inverso
Dado que las funciones estaacuten definidas en teacuterminos de exponenciales es de esperarse que sus
inversas incluyan logaritmos naturales Se pueden definir como
1x0parax
x11lnxhsec
1xparax1
x1ln
2
1xtanh
1xpara1xxlnxcosh
1xxlnxsenh
21
1
21
21
Las derivadas e integrales de estas funciones se resuelven igual que las funciones trigonomeacutetricas
inversas
Ejemplo 6
Obtener la foacutermula para la derivada de la funcioacuten xsenhy 1
Dado que no se conoce la derivada del seno hiperboacutelico inverso pero siacute la del seno hiperboacutelico se
pueden utilizar el concepto de la funcioacuten inversa y la derivada impliacutecita para hallar la foacutermula en
cuestioacuten
ycosh
1y
1yacutecoshy
xysenh
xsenhy 1
Se sabe que 1ysenhycosh 22 por lo tanto 1ysenhycosh 22 y la funcioacuten senhy=x entonces
1xycosh 2 Al sustituir se obtiene
1x
1y
2
El mismo meacutetodo se puede utilizar para encontrar cualquiera de las siguientes foacutermulas
1u
dxdu
usenhdx
d
2
1
1u1u
dxdu
ucoshdx
d
2
1
1uu1
dxdu
utanhdx
d2
1
1u0u1u
dxdu
uhsecdx
d
2
1
Ejemplo 7
Determinar si la funcioacuten 3xxsenhxf 21 es creciente o decreciente en el punto x=2
Se debe resolver la derivada de la multiplicacioacuten
10x6x
x23xsenh
19x6x
x23xsenh
13x
x2x3xsenh
dx
df
24
221
24
221
22
21
Se busca conocer como es la funcioacuten en x=2 por lo tanto se sustituye en la derivada
773131642077
80714ln
25
8257ln
225
82257ln
50
81497ln
102416
87senh
dx
df 1
2x
La funcioacuten es creciente crece a una razoacuten de 377
Las foacutermulas para la integracioacuten salen utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo y a partir de las
foacutermulas de derivacioacuten
0aca
usenhdu
ua
1 1
22
0auca
ucoshdu
au
1 1
22
au0aca
utanh
a
1du
ua
1 1
22
au00aca
uhsec
a
1du
uau
1 1
22
Ejemplo 8
Resolver la integral
dxe25
e
x6
x3
Esta integral es como la de la tangente hiperboacutelica inversa donde 5a25a 2
dxe3
dueueu x3x3x62 Al sustituir esto en la integral
c5
etanh
15
1c
5
etanh
5
1
3
1
u25
du
3
1
u25
3du x3
1x3
1
22
Aplicaciones
La velocidad de las olas en el mar bajo ciertas condiciones depende de la longitud de onda
(distancia entre cresta y cresta) y de la profundidad del agua por donde viajan las olas h La funcioacuten
que relaciona estas variables es
h2tanh
2
gv 2
donde v es la velocidad y g es la gravedad
Suponiendo que se mantiene h constante esto es que el oleaje se propaga por un oceacuteano de
profundidad constante (50 m) determinar si la velocidad aumenta o disminuye cuando m5
h2hsec
ghh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2hsec
h2
2
gh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2tanh
2
gv
h2tanh
2
gv
2
2
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
728d
dv
5
502hsec
5
50819
5
502tanh
2
819
5
502tanh
2
58192
1
d
dv 2
Entonces para este valor de la longitud de onda y de la profundidad la velocidad de la ola va
aumentando respecto a la longitud de onda
Si se requiere ahora saber como va cambiando la velocidad de propagacioacuten del oleaje respecto a la
profundidad del mar para una longitud de onda de 5 m se deberaacute entonces derivar respecto a h Sea
una profundidad de 7 m
h2tanh
2
g2
h2hsecg
dh
dv
h2hsec
2
2
g
h2tanh
2
g2
1
dh
dv
h2tanh
2
gv
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
77
2
2
1061595
10918
5
14tanh
2
05492
5
14hsec819
dh
dv
5
72tanh
2
58192
5
72hsec819
dh
dv
Asiacute que aunque la velocidad de propagacioacuten del oleaje va aumentando respecto a la profundidad la
razoacuten de cambio es muy pequentildea
EJERCICIOS DE DERIVADAS HIPERBOLICAS
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6) R
7) R
8) AYUDA R
9) R 10) R
11) R 12) R
13) R
14)DEMOSTRAR
AYUDA
15)
AYUDA
INTEGRALES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
httpcalculoccfunciones_hiperbolicasp_integrales_hiperbhtml
httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCIONES20
HIPERBOLICASpdfsequence=1
httpseswikipediaorgwikiAnexoIntegrales_de_funciones_hiperbC3B3licas
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES HIPERBOLICAS
2)
3)
5)
6)
8)
Resolvemos ambas integrales mediante integracioacuten por partes
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 5 u = 3x
11)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 3 u = 4x
13)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = radic7 u = 5x
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION MATERIAL DE APOYO
800 INTEGRALES RESUELTAS
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_metodosproblemasp_integr_sust_trigohtml
httpsmatematicasnblogspotcom201512integracion-por-sustitucionhtml CON VIDEOS INCLUIDOS
httpsdspaceupseduecbitstream12345678961191Manual20de20fracciones20parcialespdf
httpwwwtesoemedumxalumnoscuadernillos2011011pdf
httpprofe-alexzblogspotcom201104integracion-fracciones-parcialeshtml Y VIDEOS
httpswwwsectormatematicacl rsaquo media rsaquo diferenciado rsaquo FRACCIONES P httpswwwipnmxassetsfilescecyt11docsGuiasUABasicasMatematicascalculo-integral-solucion-de-problemasPDF
httpswwwacademiaedu7708664CC381LCULO_INTEGRAL_EJERCICIOS_RESUELTOS_PASO_A_PASO
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1 Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de
variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de
la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que
contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe
ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
Escribe en forma de sumatoria
5) Desarrolla las siguientes sumatorias
6) Calcula las siguientes sumatorias
SUMATORIAS DE RIEMANN
MATERIAL DE APOYO
httpwwwinguceduve~mlaurentinvariosGuiaEjerciciosUnidadIIAMIIpdf
httpswwwrbjlabscomcalculosumas-de-riemann-ejercicios-parte-1
httpswwwstudocucomesdocumentuniversidad-del-magdalenacalculo-integralapuntesnotas-de-clases-integral-
definida-suma-de-riemann4384436view
httpsingenieriaelectronicaorgsumas-riemann-definicion-ejemplos-ejercicios-resueltos
FUENTE httpmatematicasuiseducocalculo2sumaspdf
EJERCICIOS APLICANDO RIEMANN
RESOLVER POR RIEMANN E INTEGRANDO
1) LEA BIEN PERO PRIMERO GRAFIQUE Y HALLE EL AREA DADA INTEGRANDO
R 83 U2
2) REALICE CON CUIDADO PERO PRIMERO GRAFIQUE Y HALLE EL AREA DADA INTEGRANDO
R9 U2
3) REALICE CON CUIDADO PERO PRIMERO GRAFIQUE HALLE EL AREA DADA
R8U2
4)Grafique e integre y aplique riemann
R16U2
R9U2
5)REALIZARDIBUJA
5) Realizar or riemann y la regla de barrow
R
CAPITULO 2
INTEGRALES INMEDIATAS Y POR SUSTITUCION IDONEA
FUENTE httpscampusdematematicascomtablas-y-formulariostabla-de-integrales
II) TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS
OTRAS FORMULAS
GUIA DE EJEMPLOS DE INTEGRALES POR SUSTITUCION
INTEGRALES POR SUSTITUCION
RESOLVERint radic3 119909 + 5 119889119909 = 119868 Sea 119889119906 = 3 119909 + 5
119889119906 = 3 119889119909 = 119889119909 =119889119906
3
Al sustituir tenemos
119868 = int 11990612
119889119906
3 =
1
3 int 119906
12 119889119906
119868 =1
3(
11990632
32
) + 119862 = 2
911990632 + 119862
119868 = 2
9(3119909 + 2)32 + 119862
RESOLVER int119909119889119909
(1199092+ 4)2 = 119868
Sea 119906 = 1199092 + 4
119889119906 = 2119909 119889119909 = 119909119889119909 =119889119906
2
1
2
Al sustituir tenemos
119868 = int119889119906
21199062 =
1
2 int 119906minus2 119889119906
119868 =1
2(
119906minus1
minus1) + 119862 =
1
2119906minus1 + 119862
119868 = 1
2(1199092 + 4)minus1 + 119862
119868 = 1
2(1199092 + 4)+ 119862
RESOLVER int119904119890119899 119889119909
radic1+2 cos 119909 = 119868
Sea 119906 = 1 + 2 cos 119909
119889119906 = minus2 119904119890119899 119909119889119909 = 119904119890119899 119909 119889119909 = minus119889119906
2
Al sustituir tenemos
119868 = intminus119889119906
211990612 = minus
1
2 int
119889119906
11990612
119868 = minus1
2int 119906minus12119889119906 = minus
1
2(
11990612
12
) + 119862
119868 = minus11990612 + 119862 = minus(1 + 2 cos 119909) 12 + 119862
119868 = minus radic1 + 2 cos 119909 + 119862 DE AQUIacute EN ADELANTE TU LLEGAS A LA RESPUESTA
RESOLVER int119909119889119909
radic119909+1 = 119868
Sea 119906 = radic119909 + 1
1199062 = 119909 + 1 = 119909 = 1199062 minus 1
3
4
2119906119889119906 = 119889119909
CONTINUA
R 119868 =2
3radic119909 + 1(119909 minus 2) + 119862
5)
int 1199092radic2 minus 119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = radic2 minus 119909
1199062 = 2 minus 119909 = 119909 = 2 minus 1199062 119889119909 = minus2119906119889119906
Reemplazando
119868 = int(2 minus 1199062)2(minus2119906119889119906)(119906)
119868 = minus2 int(4 minus 41199062 + 1199064)1199062119889119906
COMPLETA
Rminus2
105(2 minus 119909 )32(140 minus 84(2 minus 119909) + 15(2 minus 119909)2) + 119862
RSOLVER int119909119889119909
radic1199092+9 = 119868
Sea 119906 = 1199092+9
119889119906 = 2119909119889119909 = 119909119889119909 =119889119906
2
Sustituyendo tenemos119868 = int119889119906
211990612 = 2 int 119906minus12 119889119906
COMPLETA
R 119868 = radic1199092 + 9 + 119862
7) RESOLVER int radic1 + radic119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = radic1 + radic119909 1199062 = 1 + radic119909 = 1199062 minus 1 = radic119909 (1199062 minus 1)2 = 119909 2(1199062 minus 1)(2119906)119889119906 = 119889119909 Reemplazando
6
119868 = int 119906[2(1199062 minus 1)2(2119906)] 119889119906 119868 = 4 int 1199062(1199062 minus 1)119889119906 119868 = 4 int(1199064 minus 1199062)119889119906
119868 = (1199064
5minus +
1199063
3) + 119862
Termiacutenalo
R
4(1 + radic3)32
[3(1 + radic119909) minus 5] + 119862
8) RESOLVER
int 119890119909radic1 + 119890119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = 1 + 119890119909 119889119906 = 119890119909 119889119909 Reemplazando tenemos
119868 = int 11990612 119889119906
TERMINALO R 119868 =2
3(1 + 119890119909)32 + 119862
9) RESOLVER int 1199051198861198993119909 1199041198901198882119909 119889119909 = 119868 Sea 119906 = tan 119909
119889119906 = 1199041198901198882119909119889119909
TERMINALO R 119868 =1199051198861198994119909
4 + 119862
10)119877119864119878119874119871119881119864119877 int1199092+2119909
(119909+ 1)2 119889119909 = 119868
Al hacer el binomio y dividir se tiene
(119909 + 1)2 = 1 minus1
1199092+2119909+1 Al sustituir 119868 = int (1 minus
119909
(119909+1)2) 119889119909 = int 119889119909 minus int
119889119909
(119909+1)2
119868 = 119909 minus int119889119909
(119909+1)2
R 119868 = 119909 minus (minus 1
119909+1) + 119862 = 119909 +
1
119909+1+ 119862
11) RESOLVER int2+radic119909
1minusradic119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = 1 minus radic119909 radic119909 = 1 minus 119906 = 119909 = (1 minus 119906)2 119889119909 = 2(1 minus 119906)(minus1)119889119906 = 2(1 minus 119906)119889119906
Ahora 2 + radic119909 = 2 + (1 minus 119906) = 3 minus 119906
Al integrar 119868 = int (3minus119906
119906) [minus2(1 minus 119906)] 119889119906 119864119873119879119874119873119862119864119878 (3 int
119889119906
119906minus 4 int 119889119906 + int 119906 119889119906)
CUAL SERIA LA RESPUESTA MATERIAL DE APOYO httpscursodecalculofileswordpresscom201305ejercicios-resueltos-de-
integral-2-integrales-por-sustitucic3b3n-o-cambio-de-variablepdf
EJERCICIOS 1
I) USANDO LA TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS Y LAS OTRAS FORMULAS RESOLVER
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6 ) R 7) R
8) R 9) R
10) R
11) R 12) R
13) R
14) R 15) R
16) R 17)
18) R 19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
27) R 28) R
29 ) R
30) R
31) R 32) R
33) R
34) R 35) R
36) R 37) R
38) R
39) DEMUESTRE LAS SIGUIENTES IGUALDADES
40) USANDO LAS SIGUIENTES IGUALDADES
RESOLVERA) R
B) R
C) R
II) RESUELVE LAS SIGUIENTES INTEGRTALES DEFINIDAS Y GRAFIQUELAS
SOLUCION
A) 8
b) e-1
c) 1
d) 103
e) I
I I I ) TALLER INTEGRALES PARA COMPLETAR
OBSERVA LAS INTEGRALES RESUELTAS EN LA MAYORIA DE LOS CASOS
FALTA LA SUSTITUCION IDONEA POR AGREGAR AL DESARROLLO DEL
EJERCICIO Y ESA SUSTITUCION PUEDE SER ALGEBRAICA O FALTA EL
CAMBIO DE VARIABLE RESPECTIVO
1) INTEGRALES INMEDIATAS
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
2 Solucioacuten de las integrales logariacutetmicas
1
2
3
4
5
6
7
8
9 - ln (sen x + cos x ) +C
10
11
3 integrales exponenciales
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4 integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5 Otras integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
- 21 x
4
6 Otras integrales
1
2
3
4
5
EJERCICIOS 2
I) RESOLVER LAS SIGUIENTES INTEGRALES INDEFINIDAS Y VERIFIQUE SU
RESPUESTA REALIZANDO LA DERIVADA
II) EVALUE LA INTEGRAL INDEFINIDA DADA USANDO UNA SUSTITUCION IDONEA
62)Problemas de integrales
1Hallar una funcioacuten F(x) cuya derivada sea f(x) = x + 6 y tal que para x = 2
tome el valor 25
RESPUESTA
2De las inf in itas funciones primitivas de la funcioacuten y = xsup2 - x + 1 iquestcuaacutel
es la que para x = 3 toma el valor 5
RESPUESTA
3Hallar una recta cuya pendiente es 2 y pasa por eacutel punto P(0 4)
RESPUESTA f(x) = 2x + 4
4Escribe la funcioacuten primitiva de y = xsup2 + 2x cuya representacioacuten graacutef ica pasa
por eacutel punto (1 3)
RESPUESTA
5Calcular la ecuacioacuten de la curva que pasa por P(1 5) y cuya pendiente en cualquier punto es
3xsup2 + 5x minus 2
RESPUESTA
6Hallar la primitiva de la funcioacuten que se anula para x = 2
RESPUESTA
CAPITULO 3
INTEGRACION POR PARTES
Definicioacuten
Existen varios meacutetodos de integracioacuten consistiendo todos ellos en reducir la integral buscada a una inteacutegrala conocida como por ejemplo una de las de la tabla o bien reducirla una integral maacutes sencilla
El meacutetodo de integracioacuten por partes estaacute basado en la derivada de un producto de funciones como se muestra a continuacioacuten
d(umiddotv) = u dv + v du
por eso es que se usa para integrales que contienen dos funciones que se multiplican entre si
intd(umiddotv) = intu dv + intv du
Se llama integracioacuten por partes porque la integral se divide en dos partes en una el integrando es u y otra en la otra es v La integral debe estar completa y sin alterar la operacioacuten dentro de ella Consejos
La funcioacuten correspondiente a dv debe ser la funcioacuten maacutes faacutecil de integrar 2- En u deben ir aquellas funciones que no tienen integral directa (funciones logariacutetmicas e inversas) luego se pueden considerar las funciones algebraicas puesto que la derivada es reductiva Las funciones trigonomeacutetricas y exponenciales son maacutes sencillas de trabajar
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRACIOacuteN POR PARTES
1-
2-
3-
4-
5-
6-
7-
8-
9-
10-
INTEGRACION POR PARTES
MATERIAL DE APOYO
VIDEOS DE INTEGRACION POR PARTES
1) httpswwwprofesor10dematescom201505integrales-por-partes-resueltashtml
2) httpwwwsietecolinasesmaterialesmatintegrales-4pdf
3) httpsgpweiztuammxfilesusersuamijdfmetodos_de_integracionintegracion_por_partesp
df
EJERCICIOS EJERCICIOS PARA RESOLVER POR PARTES
1) L=Ln
R
2) R
3) R
4) R
5) R 6) R
7) R
8) R
9) R L=Ln
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
15) R
16) R
17) R
18) R
19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
INTEGRAL RESPUESTA
26) x senx dx sen x xcos x c
27) ln x dx 1x ln x c
28)2
xx sen dx 4 2
2 2
x xsen xcos c
29) x cos nx dx 2
cos nx x sennxc
nn
30) 2 u sec u du utgu lncosu c
31) 2 3 u sen v dv 21 1 16 6
4 12 72v v sen v cos v c
32) 2 y senny dy 2
3 2
2 2cosny y senny y cosnyc
nn n
33) 2 xa dx 2
1x xa c
lna ln a
34) nx ln x dx 1 1
1 1
nx
ln x cn n
35) arc sen x dx 2 1x arc sen x x c
36) arc tg x dx 21 1
2x arc tg x ln x c
37) arc c tg y dy 21 1
2y arc c tg y ln y c
38) 2 arc cos x dx 21 2 1 4
2x arc cos x x c
39) arc sec y dy 2 1y arc sec y ln y y c
40) 2
tarc csc dt 2 2 4
2
tt arc csc ln t t c
41) x arc tg x dx 2 1
2 2
x xarc tg x c
42) arc tg x dx 1 x arc tg x x c
43) 2 xx e dx
22 2xe x x c
44) e cos d
2
esen cos c
45)
2
1
ln x dx
x 1
1
xln x ln x c
x
CAPITULO 4
FUNCIONES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
1) httpwwwmtyitesmmxetiedeptosmma-841recursostab-hippdf
2) httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCION
ES20HIPERBOLICASpdfsequence=1
FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS HIPERBOacuteLICAS
Definicioacuten de las funciones
Un ciacuterculo unitario con centro en el origen sigue la foacutermula 1yx 22 un punto dado por el par
ordenado yx se puede representar como funcioacuten de un aacutengulo t de la siguiente manera
senttcosyx De igual manera una hipeacuterbola unitaria con centro en el origen sigue la foacutermula
1yx 22 un punto dado por el par ordenado yx se puede representar como funcioacuten del aacutengulo t
de la siguiente manera senhttcoshyx Estas funciones se denominan funciones trigonomeacutetricas
hiperboacutelicas en particular coseno hiperboacutelico y seno hiperboacutelico
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas presentan propiedades anaacutelogas a las de las funciones
trigonomeacutetricas o circulares La funcioacuten xsenhxf se define como 2
eexsenh
xx mientras que
la funcioacuten xcoshxf es 2
eexcosh
xx
Al igual que las funciones trigonomeacutetricas circulares en las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas se
cumplen las siguientes identidades fundamentales
xx
xx
xx
xx
xx
xx
ee
2
xsenh
1xhcsc
ee
2
xcosh
1xhsec
ee
ee
xsenh
xcoshxcoth
ee
ee
xcosh
xsenhxtanh
Debido a esto es loacutegico pensar que habraacute una relacioacuten equivalente al Teorema de Pitaacutegoras Asiacute
para las funciones hiperboacutelicas se sabe que 1xsenhxcosh 22
Ejemplo 1
Demostrar que 1xsenhxcosh 22
11
14
4
14
2
4
2
14
ee2
4
ee2
14
eee2e
4
eee2e
12
ee
2
ee
1xsenhxcosh
xxxx
x2xxx2x2xxx2
2xx
2xx
22
Graacutefica de las funciones
Sea la funcioacuten 2
eexsenhxf
xx Las intersecciones se pueden encontrar igualando la funcioacuten
a cero
0x
0x2
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
02
ee
x2
x
x
xx
xx
xx
La funcioacuten seno hiperboacutelico tiene una sola raiacutez en x=0 Para obtener los puntos criacuteticos se iguala a
cero la derivada de la funcioacuten
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
0ee2
1
ee2
1ee
dx
d
2
1
2
ee
dx
d
dx
df
x2
x
x
xx
xx
xx
xxxxxx
por lo tanto no hay puntos criacuteticos Es interesante notar que la derivada de la funcioacuten senh(x) es la
funcioacuten cosh(x)
Por uacuteltimo puntos inflexioacuten se pueden encontrar en donde la segunda derivada es igual a cero
xxxxxx
2
2
ee2
1ee
dx
d
2
1ee
2
1
dx
d
dx
fd
La segunda derivada nos llevoacute nuevamente a la funcioacuten senh(x) Esta funcioacuten ya se igualoacute a cero
para encontrar las intersecciones El resultado es que en x=0 hay una raiacutez que a su vez es un punto
de inflexioacuten
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
La misma funcioacuten 2
eexsenhxf
xx se puede ver como la resta de dos funciones exponenciales
2
e
2
e
2
ee xxxx
La graacutefica de estas dos funciones exponenciales se muestra en azul (exponencial
positiva) y verde (exponencial negativa) La resta de ambas punto por punto es la funcioacuten senh(x)
Derivadas
ucoshdx
duusenh
dx
dxcosh
2
ee
2
ee
dx
dxsenh
dx
d xxxx
usenhdx
duucosh
dx
dxsenh
2
ee
2
ee
dx
dxcosh
dx
d xxxx
uhsecdx
duutanh
dx
d
xhsecxcosh
1
xcosh
xsenhxcosh
xcosh
senhx
dx
dxtanh
dx
d
2
2
22
22
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
uhcscdx
duucoth
dx
d
xhcscxsenh
1
xsenh
xcoshxsenh
senhx
xcosh
dx
dxcoth
dx
d 2
22
22
uhsecutanhdx
duuhsec
dx
d
hxsecxtanhxcosh
1
xcosh
senhx
xcosh
senhx
xcosh
1
dx
dxhsec
dx
d2
uhcscucothdx
duuhcsc
dx
d
hxcscxcothsenhx
1
senhx
xcosh
xsenh
xcosh
senhx
1
dx
dxhcsc
dx
d2
Ejemplo 2
Derivar la funcioacuten 3x4tanhxf 2
La funcioacuten maacutes externa es la raiacutez por lo tanto es la primera en derivarse
3x4tanh2
3x4hsecx83x4tanh
dx
d
3x4tanh2
1
dx
df
2
222
2
Ejemplo 3
Derivar la funcioacuten 2x3cosh2x3tanhlnxf 22
La funcioacuten maacutes externa es el logaritmo por lo tanto es el primero en derivarse
2x3cosh2x3tanh
2x3xsenh62x3hsecx6
dx
df22
222
Integrales
Utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se puede establecer que
cuhcscduucothuhcsc
cuhsecduutanhuhsec
cucothduuhcsc
cutanhduuhsec
cusenhduucosh
cucoshduusenh
2
2
Utilizando estas foacutermulas se pueden establecer las siguientes
Ejemplo 4
Hallar la foacutermula para la integral de la tangente hiperboacutelica
dxxcosh
xsenhdxxtanh
Se hace un cambio de variable en donde dxxsenhduxcoshu Al sustituir la integral anterior
cambia a
cxcoshlnculnu
dudx
xcosh
xsenhdxxtanh
Se puede utilizar el mismo procedimiento para hallar las siguientes foacutermulas
cusenhlnduucoth
cucoshlnduutanh
Ejemplo 5
Resolver las siguientes integrales
dxx3senhx 32
Se realiza el cambio de variable dxx9
dux3u 23 por lo tanto la integral se puede escribir como
cx3cosh9
1cucosh
9
1duusenh
9
1
9
duusenhdxx3senhx 332
dx
x
xlnhsec 2
Se realiza el cambio de variablex
dxduxlnu por lo tanto la integral se puede escribir como
cxlntanhcutanhduuhsecdx
x
xlnhsec2
2
1
0
dxxcoshxsenh
Se realiza el cambio de variable dxxsenhduxcoshu por lo tanto la integral se puede escribir
como
1x
0x
1
0
2 duudxxcoshxsenh
Sin embargo dado que u=senh(x) si x=0 entonces 02
ee0senhu
00
Cuando x=1 entonces
e2
1e
2
e
1e
2
e
1e
2
ee1senhu
2
2
11
La integral es
2
32
23
23
2
e2
1e
0
23
e2
1e
0
1x
0x
1
0
2
e2
1e
3
20
3
2
e2
1e
3
2
u3
2duuduudxxcoshxsenh
22
Inversas
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas tienen funciones inversas que comuacutenmente se denotan
como 1senh o bien como arcsenh donde la funcioacuten recibe el nombre de seno hiperboacutelico inverso
Dado que las funciones estaacuten definidas en teacuterminos de exponenciales es de esperarse que sus
inversas incluyan logaritmos naturales Se pueden definir como
1x0parax
x11lnxhsec
1xparax1
x1ln
2
1xtanh
1xpara1xxlnxcosh
1xxlnxsenh
21
1
21
21
Las derivadas e integrales de estas funciones se resuelven igual que las funciones trigonomeacutetricas
inversas
Ejemplo 6
Obtener la foacutermula para la derivada de la funcioacuten xsenhy 1
Dado que no se conoce la derivada del seno hiperboacutelico inverso pero siacute la del seno hiperboacutelico se
pueden utilizar el concepto de la funcioacuten inversa y la derivada impliacutecita para hallar la foacutermula en
cuestioacuten
ycosh
1y
1yacutecoshy
xysenh
xsenhy 1
Se sabe que 1ysenhycosh 22 por lo tanto 1ysenhycosh 22 y la funcioacuten senhy=x entonces
1xycosh 2 Al sustituir se obtiene
1x
1y
2
El mismo meacutetodo se puede utilizar para encontrar cualquiera de las siguientes foacutermulas
1u
dxdu
usenhdx
d
2
1
1u1u
dxdu
ucoshdx
d
2
1
1uu1
dxdu
utanhdx
d2
1
1u0u1u
dxdu
uhsecdx
d
2
1
Ejemplo 7
Determinar si la funcioacuten 3xxsenhxf 21 es creciente o decreciente en el punto x=2
Se debe resolver la derivada de la multiplicacioacuten
10x6x
x23xsenh
19x6x
x23xsenh
13x
x2x3xsenh
dx
df
24
221
24
221
22
21
Se busca conocer como es la funcioacuten en x=2 por lo tanto se sustituye en la derivada
773131642077
80714ln
25
8257ln
225
82257ln
50
81497ln
102416
87senh
dx
df 1
2x
La funcioacuten es creciente crece a una razoacuten de 377
Las foacutermulas para la integracioacuten salen utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo y a partir de las
foacutermulas de derivacioacuten
0aca
usenhdu
ua
1 1
22
0auca
ucoshdu
au
1 1
22
au0aca
utanh
a
1du
ua
1 1
22
au00aca
uhsec
a
1du
uau
1 1
22
Ejemplo 8
Resolver la integral
dxe25
e
x6
x3
Esta integral es como la de la tangente hiperboacutelica inversa donde 5a25a 2
dxe3
dueueu x3x3x62 Al sustituir esto en la integral
c5
etanh
15
1c
5
etanh
5
1
3
1
u25
du
3
1
u25
3du x3
1x3
1
22
Aplicaciones
La velocidad de las olas en el mar bajo ciertas condiciones depende de la longitud de onda
(distancia entre cresta y cresta) y de la profundidad del agua por donde viajan las olas h La funcioacuten
que relaciona estas variables es
h2tanh
2
gv 2
donde v es la velocidad y g es la gravedad
Suponiendo que se mantiene h constante esto es que el oleaje se propaga por un oceacuteano de
profundidad constante (50 m) determinar si la velocidad aumenta o disminuye cuando m5
h2hsec
ghh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2hsec
h2
2
gh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2tanh
2
gv
h2tanh
2
gv
2
2
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
728d
dv
5
502hsec
5
50819
5
502tanh
2
819
5
502tanh
2
58192
1
d
dv 2
Entonces para este valor de la longitud de onda y de la profundidad la velocidad de la ola va
aumentando respecto a la longitud de onda
Si se requiere ahora saber como va cambiando la velocidad de propagacioacuten del oleaje respecto a la
profundidad del mar para una longitud de onda de 5 m se deberaacute entonces derivar respecto a h Sea
una profundidad de 7 m
h2tanh
2
g2
h2hsecg
dh
dv
h2hsec
2
2
g
h2tanh
2
g2
1
dh
dv
h2tanh
2
gv
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
77
2
2
1061595
10918
5
14tanh
2
05492
5
14hsec819
dh
dv
5
72tanh
2
58192
5
72hsec819
dh
dv
Asiacute que aunque la velocidad de propagacioacuten del oleaje va aumentando respecto a la profundidad la
razoacuten de cambio es muy pequentildea
EJERCICIOS DE DERIVADAS HIPERBOLICAS
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6) R
7) R
8) AYUDA R
9) R 10) R
11) R 12) R
13) R
14)DEMOSTRAR
AYUDA
15)
AYUDA
INTEGRALES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
httpcalculoccfunciones_hiperbolicasp_integrales_hiperbhtml
httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCIONES20
HIPERBOLICASpdfsequence=1
httpseswikipediaorgwikiAnexoIntegrales_de_funciones_hiperbC3B3licas
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES HIPERBOLICAS
2)
3)
5)
6)
8)
Resolvemos ambas integrales mediante integracioacuten por partes
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 5 u = 3x
11)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 3 u = 4x
13)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = radic7 u = 5x
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION MATERIAL DE APOYO
800 INTEGRALES RESUELTAS
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_metodosproblemasp_integr_sust_trigohtml
httpsmatematicasnblogspotcom201512integracion-por-sustitucionhtml CON VIDEOS INCLUIDOS
httpsdspaceupseduecbitstream12345678961191Manual20de20fracciones20parcialespdf
httpwwwtesoemedumxalumnoscuadernillos2011011pdf
httpprofe-alexzblogspotcom201104integracion-fracciones-parcialeshtml Y VIDEOS
httpswwwsectormatematicacl rsaquo media rsaquo diferenciado rsaquo FRACCIONES P httpswwwipnmxassetsfilescecyt11docsGuiasUABasicasMatematicascalculo-integral-solucion-de-problemasPDF
httpswwwacademiaedu7708664CC381LCULO_INTEGRAL_EJERCICIOS_RESUELTOS_PASO_A_PASO
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1 Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de
variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de
la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que
contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe
ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
SUMATORIAS DE RIEMANN
MATERIAL DE APOYO
httpwwwinguceduve~mlaurentinvariosGuiaEjerciciosUnidadIIAMIIpdf
httpswwwrbjlabscomcalculosumas-de-riemann-ejercicios-parte-1
httpswwwstudocucomesdocumentuniversidad-del-magdalenacalculo-integralapuntesnotas-de-clases-integral-
definida-suma-de-riemann4384436view
httpsingenieriaelectronicaorgsumas-riemann-definicion-ejemplos-ejercicios-resueltos
FUENTE httpmatematicasuiseducocalculo2sumaspdf
EJERCICIOS APLICANDO RIEMANN
RESOLVER POR RIEMANN E INTEGRANDO
1) LEA BIEN PERO PRIMERO GRAFIQUE Y HALLE EL AREA DADA INTEGRANDO
R 83 U2
2) REALICE CON CUIDADO PERO PRIMERO GRAFIQUE Y HALLE EL AREA DADA INTEGRANDO
R9 U2
3) REALICE CON CUIDADO PERO PRIMERO GRAFIQUE HALLE EL AREA DADA
R8U2
4)Grafique e integre y aplique riemann
R16U2
R9U2
5)REALIZARDIBUJA
5) Realizar or riemann y la regla de barrow
R
CAPITULO 2
INTEGRALES INMEDIATAS Y POR SUSTITUCION IDONEA
FUENTE httpscampusdematematicascomtablas-y-formulariostabla-de-integrales
II) TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS
OTRAS FORMULAS
GUIA DE EJEMPLOS DE INTEGRALES POR SUSTITUCION
INTEGRALES POR SUSTITUCION
RESOLVERint radic3 119909 + 5 119889119909 = 119868 Sea 119889119906 = 3 119909 + 5
119889119906 = 3 119889119909 = 119889119909 =119889119906
3
Al sustituir tenemos
119868 = int 11990612
119889119906
3 =
1
3 int 119906
12 119889119906
119868 =1
3(
11990632
32
) + 119862 = 2
911990632 + 119862
119868 = 2
9(3119909 + 2)32 + 119862
RESOLVER int119909119889119909
(1199092+ 4)2 = 119868
Sea 119906 = 1199092 + 4
119889119906 = 2119909 119889119909 = 119909119889119909 =119889119906
2
1
2
Al sustituir tenemos
119868 = int119889119906
21199062 =
1
2 int 119906minus2 119889119906
119868 =1
2(
119906minus1
minus1) + 119862 =
1
2119906minus1 + 119862
119868 = 1
2(1199092 + 4)minus1 + 119862
119868 = 1
2(1199092 + 4)+ 119862
RESOLVER int119904119890119899 119889119909
radic1+2 cos 119909 = 119868
Sea 119906 = 1 + 2 cos 119909
119889119906 = minus2 119904119890119899 119909119889119909 = 119904119890119899 119909 119889119909 = minus119889119906
2
Al sustituir tenemos
119868 = intminus119889119906
211990612 = minus
1
2 int
119889119906
11990612
119868 = minus1
2int 119906minus12119889119906 = minus
1
2(
11990612
12
) + 119862
119868 = minus11990612 + 119862 = minus(1 + 2 cos 119909) 12 + 119862
119868 = minus radic1 + 2 cos 119909 + 119862 DE AQUIacute EN ADELANTE TU LLEGAS A LA RESPUESTA
RESOLVER int119909119889119909
radic119909+1 = 119868
Sea 119906 = radic119909 + 1
1199062 = 119909 + 1 = 119909 = 1199062 minus 1
3
4
2119906119889119906 = 119889119909
CONTINUA
R 119868 =2
3radic119909 + 1(119909 minus 2) + 119862
5)
int 1199092radic2 minus 119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = radic2 minus 119909
1199062 = 2 minus 119909 = 119909 = 2 minus 1199062 119889119909 = minus2119906119889119906
Reemplazando
119868 = int(2 minus 1199062)2(minus2119906119889119906)(119906)
119868 = minus2 int(4 minus 41199062 + 1199064)1199062119889119906
COMPLETA
Rminus2
105(2 minus 119909 )32(140 minus 84(2 minus 119909) + 15(2 minus 119909)2) + 119862
RSOLVER int119909119889119909
radic1199092+9 = 119868
Sea 119906 = 1199092+9
119889119906 = 2119909119889119909 = 119909119889119909 =119889119906
2
Sustituyendo tenemos119868 = int119889119906
211990612 = 2 int 119906minus12 119889119906
COMPLETA
R 119868 = radic1199092 + 9 + 119862
7) RESOLVER int radic1 + radic119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = radic1 + radic119909 1199062 = 1 + radic119909 = 1199062 minus 1 = radic119909 (1199062 minus 1)2 = 119909 2(1199062 minus 1)(2119906)119889119906 = 119889119909 Reemplazando
6
119868 = int 119906[2(1199062 minus 1)2(2119906)] 119889119906 119868 = 4 int 1199062(1199062 minus 1)119889119906 119868 = 4 int(1199064 minus 1199062)119889119906
119868 = (1199064
5minus +
1199063
3) + 119862
Termiacutenalo
R
4(1 + radic3)32
[3(1 + radic119909) minus 5] + 119862
8) RESOLVER
int 119890119909radic1 + 119890119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = 1 + 119890119909 119889119906 = 119890119909 119889119909 Reemplazando tenemos
119868 = int 11990612 119889119906
TERMINALO R 119868 =2
3(1 + 119890119909)32 + 119862
9) RESOLVER int 1199051198861198993119909 1199041198901198882119909 119889119909 = 119868 Sea 119906 = tan 119909
119889119906 = 1199041198901198882119909119889119909
TERMINALO R 119868 =1199051198861198994119909
4 + 119862
10)119877119864119878119874119871119881119864119877 int1199092+2119909
(119909+ 1)2 119889119909 = 119868
Al hacer el binomio y dividir se tiene
(119909 + 1)2 = 1 minus1
1199092+2119909+1 Al sustituir 119868 = int (1 minus
119909
(119909+1)2) 119889119909 = int 119889119909 minus int
119889119909
(119909+1)2
119868 = 119909 minus int119889119909
(119909+1)2
R 119868 = 119909 minus (minus 1
119909+1) + 119862 = 119909 +
1
119909+1+ 119862
11) RESOLVER int2+radic119909
1minusradic119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = 1 minus radic119909 radic119909 = 1 minus 119906 = 119909 = (1 minus 119906)2 119889119909 = 2(1 minus 119906)(minus1)119889119906 = 2(1 minus 119906)119889119906
Ahora 2 + radic119909 = 2 + (1 minus 119906) = 3 minus 119906
Al integrar 119868 = int (3minus119906
119906) [minus2(1 minus 119906)] 119889119906 119864119873119879119874119873119862119864119878 (3 int
119889119906
119906minus 4 int 119889119906 + int 119906 119889119906)
CUAL SERIA LA RESPUESTA MATERIAL DE APOYO httpscursodecalculofileswordpresscom201305ejercicios-resueltos-de-
integral-2-integrales-por-sustitucic3b3n-o-cambio-de-variablepdf
EJERCICIOS 1
I) USANDO LA TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS Y LAS OTRAS FORMULAS RESOLVER
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6 ) R 7) R
8) R 9) R
10) R
11) R 12) R
13) R
14) R 15) R
16) R 17)
18) R 19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
27) R 28) R
29 ) R
30) R
31) R 32) R
33) R
34) R 35) R
36) R 37) R
38) R
39) DEMUESTRE LAS SIGUIENTES IGUALDADES
40) USANDO LAS SIGUIENTES IGUALDADES
RESOLVERA) R
B) R
C) R
II) RESUELVE LAS SIGUIENTES INTEGRTALES DEFINIDAS Y GRAFIQUELAS
SOLUCION
A) 8
b) e-1
c) 1
d) 103
e) I
I I I ) TALLER INTEGRALES PARA COMPLETAR
OBSERVA LAS INTEGRALES RESUELTAS EN LA MAYORIA DE LOS CASOS
FALTA LA SUSTITUCION IDONEA POR AGREGAR AL DESARROLLO DEL
EJERCICIO Y ESA SUSTITUCION PUEDE SER ALGEBRAICA O FALTA EL
CAMBIO DE VARIABLE RESPECTIVO
1) INTEGRALES INMEDIATAS
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
2 Solucioacuten de las integrales logariacutetmicas
1
2
3
4
5
6
7
8
9 - ln (sen x + cos x ) +C
10
11
3 integrales exponenciales
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4 integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5 Otras integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
- 21 x
4
6 Otras integrales
1
2
3
4
5
EJERCICIOS 2
I) RESOLVER LAS SIGUIENTES INTEGRALES INDEFINIDAS Y VERIFIQUE SU
RESPUESTA REALIZANDO LA DERIVADA
II) EVALUE LA INTEGRAL INDEFINIDA DADA USANDO UNA SUSTITUCION IDONEA
62)Problemas de integrales
1Hallar una funcioacuten F(x) cuya derivada sea f(x) = x + 6 y tal que para x = 2
tome el valor 25
RESPUESTA
2De las inf in itas funciones primitivas de la funcioacuten y = xsup2 - x + 1 iquestcuaacutel
es la que para x = 3 toma el valor 5
RESPUESTA
3Hallar una recta cuya pendiente es 2 y pasa por eacutel punto P(0 4)
RESPUESTA f(x) = 2x + 4
4Escribe la funcioacuten primitiva de y = xsup2 + 2x cuya representacioacuten graacutef ica pasa
por eacutel punto (1 3)
RESPUESTA
5Calcular la ecuacioacuten de la curva que pasa por P(1 5) y cuya pendiente en cualquier punto es
3xsup2 + 5x minus 2
RESPUESTA
6Hallar la primitiva de la funcioacuten que se anula para x = 2
RESPUESTA
CAPITULO 3
INTEGRACION POR PARTES
Definicioacuten
Existen varios meacutetodos de integracioacuten consistiendo todos ellos en reducir la integral buscada a una inteacutegrala conocida como por ejemplo una de las de la tabla o bien reducirla una integral maacutes sencilla
El meacutetodo de integracioacuten por partes estaacute basado en la derivada de un producto de funciones como se muestra a continuacioacuten
d(umiddotv) = u dv + v du
por eso es que se usa para integrales que contienen dos funciones que se multiplican entre si
intd(umiddotv) = intu dv + intv du
Se llama integracioacuten por partes porque la integral se divide en dos partes en una el integrando es u y otra en la otra es v La integral debe estar completa y sin alterar la operacioacuten dentro de ella Consejos
La funcioacuten correspondiente a dv debe ser la funcioacuten maacutes faacutecil de integrar 2- En u deben ir aquellas funciones que no tienen integral directa (funciones logariacutetmicas e inversas) luego se pueden considerar las funciones algebraicas puesto que la derivada es reductiva Las funciones trigonomeacutetricas y exponenciales son maacutes sencillas de trabajar
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRACIOacuteN POR PARTES
1-
2-
3-
4-
5-
6-
7-
8-
9-
10-
INTEGRACION POR PARTES
MATERIAL DE APOYO
VIDEOS DE INTEGRACION POR PARTES
1) httpswwwprofesor10dematescom201505integrales-por-partes-resueltashtml
2) httpwwwsietecolinasesmaterialesmatintegrales-4pdf
3) httpsgpweiztuammxfilesusersuamijdfmetodos_de_integracionintegracion_por_partesp
df
EJERCICIOS EJERCICIOS PARA RESOLVER POR PARTES
1) L=Ln
R
2) R
3) R
4) R
5) R 6) R
7) R
8) R
9) R L=Ln
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
15) R
16) R
17) R
18) R
19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
INTEGRAL RESPUESTA
26) x senx dx sen x xcos x c
27) ln x dx 1x ln x c
28)2
xx sen dx 4 2
2 2
x xsen xcos c
29) x cos nx dx 2
cos nx x sennxc
nn
30) 2 u sec u du utgu lncosu c
31) 2 3 u sen v dv 21 1 16 6
4 12 72v v sen v cos v c
32) 2 y senny dy 2
3 2
2 2cosny y senny y cosnyc
nn n
33) 2 xa dx 2
1x xa c
lna ln a
34) nx ln x dx 1 1
1 1
nx
ln x cn n
35) arc sen x dx 2 1x arc sen x x c
36) arc tg x dx 21 1
2x arc tg x ln x c
37) arc c tg y dy 21 1
2y arc c tg y ln y c
38) 2 arc cos x dx 21 2 1 4
2x arc cos x x c
39) arc sec y dy 2 1y arc sec y ln y y c
40) 2
tarc csc dt 2 2 4
2
tt arc csc ln t t c
41) x arc tg x dx 2 1
2 2
x xarc tg x c
42) arc tg x dx 1 x arc tg x x c
43) 2 xx e dx
22 2xe x x c
44) e cos d
2
esen cos c
45)
2
1
ln x dx
x 1
1
xln x ln x c
x
CAPITULO 4
FUNCIONES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
1) httpwwwmtyitesmmxetiedeptosmma-841recursostab-hippdf
2) httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCION
ES20HIPERBOLICASpdfsequence=1
FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS HIPERBOacuteLICAS
Definicioacuten de las funciones
Un ciacuterculo unitario con centro en el origen sigue la foacutermula 1yx 22 un punto dado por el par
ordenado yx se puede representar como funcioacuten de un aacutengulo t de la siguiente manera
senttcosyx De igual manera una hipeacuterbola unitaria con centro en el origen sigue la foacutermula
1yx 22 un punto dado por el par ordenado yx se puede representar como funcioacuten del aacutengulo t
de la siguiente manera senhttcoshyx Estas funciones se denominan funciones trigonomeacutetricas
hiperboacutelicas en particular coseno hiperboacutelico y seno hiperboacutelico
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas presentan propiedades anaacutelogas a las de las funciones
trigonomeacutetricas o circulares La funcioacuten xsenhxf se define como 2
eexsenh
xx mientras que
la funcioacuten xcoshxf es 2
eexcosh
xx
Al igual que las funciones trigonomeacutetricas circulares en las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas se
cumplen las siguientes identidades fundamentales
xx
xx
xx
xx
xx
xx
ee
2
xsenh
1xhcsc
ee
2
xcosh
1xhsec
ee
ee
xsenh
xcoshxcoth
ee
ee
xcosh
xsenhxtanh
Debido a esto es loacutegico pensar que habraacute una relacioacuten equivalente al Teorema de Pitaacutegoras Asiacute
para las funciones hiperboacutelicas se sabe que 1xsenhxcosh 22
Ejemplo 1
Demostrar que 1xsenhxcosh 22
11
14
4
14
2
4
2
14
ee2
4
ee2
14
eee2e
4
eee2e
12
ee
2
ee
1xsenhxcosh
xxxx
x2xxx2x2xxx2
2xx
2xx
22
Graacutefica de las funciones
Sea la funcioacuten 2
eexsenhxf
xx Las intersecciones se pueden encontrar igualando la funcioacuten
a cero
0x
0x2
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
02
ee
x2
x
x
xx
xx
xx
La funcioacuten seno hiperboacutelico tiene una sola raiacutez en x=0 Para obtener los puntos criacuteticos se iguala a
cero la derivada de la funcioacuten
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
0ee2
1
ee2
1ee
dx
d
2
1
2
ee
dx
d
dx
df
x2
x
x
xx
xx
xx
xxxxxx
por lo tanto no hay puntos criacuteticos Es interesante notar que la derivada de la funcioacuten senh(x) es la
funcioacuten cosh(x)
Por uacuteltimo puntos inflexioacuten se pueden encontrar en donde la segunda derivada es igual a cero
xxxxxx
2
2
ee2
1ee
dx
d
2
1ee
2
1
dx
d
dx
fd
La segunda derivada nos llevoacute nuevamente a la funcioacuten senh(x) Esta funcioacuten ya se igualoacute a cero
para encontrar las intersecciones El resultado es que en x=0 hay una raiacutez que a su vez es un punto
de inflexioacuten
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
La misma funcioacuten 2
eexsenhxf
xx se puede ver como la resta de dos funciones exponenciales
2
e
2
e
2
ee xxxx
La graacutefica de estas dos funciones exponenciales se muestra en azul (exponencial
positiva) y verde (exponencial negativa) La resta de ambas punto por punto es la funcioacuten senh(x)
Derivadas
ucoshdx
duusenh
dx
dxcosh
2
ee
2
ee
dx
dxsenh
dx
d xxxx
usenhdx
duucosh
dx
dxsenh
2
ee
2
ee
dx
dxcosh
dx
d xxxx
uhsecdx
duutanh
dx
d
xhsecxcosh
1
xcosh
xsenhxcosh
xcosh
senhx
dx
dxtanh
dx
d
2
2
22
22
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
uhcscdx
duucoth
dx
d
xhcscxsenh
1
xsenh
xcoshxsenh
senhx
xcosh
dx
dxcoth
dx
d 2
22
22
uhsecutanhdx
duuhsec
dx
d
hxsecxtanhxcosh
1
xcosh
senhx
xcosh
senhx
xcosh
1
dx
dxhsec
dx
d2
uhcscucothdx
duuhcsc
dx
d
hxcscxcothsenhx
1
senhx
xcosh
xsenh
xcosh
senhx
1
dx
dxhcsc
dx
d2
Ejemplo 2
Derivar la funcioacuten 3x4tanhxf 2
La funcioacuten maacutes externa es la raiacutez por lo tanto es la primera en derivarse
3x4tanh2
3x4hsecx83x4tanh
dx
d
3x4tanh2
1
dx
df
2
222
2
Ejemplo 3
Derivar la funcioacuten 2x3cosh2x3tanhlnxf 22
La funcioacuten maacutes externa es el logaritmo por lo tanto es el primero en derivarse
2x3cosh2x3tanh
2x3xsenh62x3hsecx6
dx
df22
222
Integrales
Utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se puede establecer que
cuhcscduucothuhcsc
cuhsecduutanhuhsec
cucothduuhcsc
cutanhduuhsec
cusenhduucosh
cucoshduusenh
2
2
Utilizando estas foacutermulas se pueden establecer las siguientes
Ejemplo 4
Hallar la foacutermula para la integral de la tangente hiperboacutelica
dxxcosh
xsenhdxxtanh
Se hace un cambio de variable en donde dxxsenhduxcoshu Al sustituir la integral anterior
cambia a
cxcoshlnculnu
dudx
xcosh
xsenhdxxtanh
Se puede utilizar el mismo procedimiento para hallar las siguientes foacutermulas
cusenhlnduucoth
cucoshlnduutanh
Ejemplo 5
Resolver las siguientes integrales
dxx3senhx 32
Se realiza el cambio de variable dxx9
dux3u 23 por lo tanto la integral se puede escribir como
cx3cosh9
1cucosh
9
1duusenh
9
1
9
duusenhdxx3senhx 332
dx
x
xlnhsec 2
Se realiza el cambio de variablex
dxduxlnu por lo tanto la integral se puede escribir como
cxlntanhcutanhduuhsecdx
x
xlnhsec2
2
1
0
dxxcoshxsenh
Se realiza el cambio de variable dxxsenhduxcoshu por lo tanto la integral se puede escribir
como
1x
0x
1
0
2 duudxxcoshxsenh
Sin embargo dado que u=senh(x) si x=0 entonces 02
ee0senhu
00
Cuando x=1 entonces
e2
1e
2
e
1e
2
e
1e
2
ee1senhu
2
2
11
La integral es
2
32
23
23
2
e2
1e
0
23
e2
1e
0
1x
0x
1
0
2
e2
1e
3
20
3
2
e2
1e
3
2
u3
2duuduudxxcoshxsenh
22
Inversas
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas tienen funciones inversas que comuacutenmente se denotan
como 1senh o bien como arcsenh donde la funcioacuten recibe el nombre de seno hiperboacutelico inverso
Dado que las funciones estaacuten definidas en teacuterminos de exponenciales es de esperarse que sus
inversas incluyan logaritmos naturales Se pueden definir como
1x0parax
x11lnxhsec
1xparax1
x1ln
2
1xtanh
1xpara1xxlnxcosh
1xxlnxsenh
21
1
21
21
Las derivadas e integrales de estas funciones se resuelven igual que las funciones trigonomeacutetricas
inversas
Ejemplo 6
Obtener la foacutermula para la derivada de la funcioacuten xsenhy 1
Dado que no se conoce la derivada del seno hiperboacutelico inverso pero siacute la del seno hiperboacutelico se
pueden utilizar el concepto de la funcioacuten inversa y la derivada impliacutecita para hallar la foacutermula en
cuestioacuten
ycosh
1y
1yacutecoshy
xysenh
xsenhy 1
Se sabe que 1ysenhycosh 22 por lo tanto 1ysenhycosh 22 y la funcioacuten senhy=x entonces
1xycosh 2 Al sustituir se obtiene
1x
1y
2
El mismo meacutetodo se puede utilizar para encontrar cualquiera de las siguientes foacutermulas
1u
dxdu
usenhdx
d
2
1
1u1u
dxdu
ucoshdx
d
2
1
1uu1
dxdu
utanhdx
d2
1
1u0u1u
dxdu
uhsecdx
d
2
1
Ejemplo 7
Determinar si la funcioacuten 3xxsenhxf 21 es creciente o decreciente en el punto x=2
Se debe resolver la derivada de la multiplicacioacuten
10x6x
x23xsenh
19x6x
x23xsenh
13x
x2x3xsenh
dx
df
24
221
24
221
22
21
Se busca conocer como es la funcioacuten en x=2 por lo tanto se sustituye en la derivada
773131642077
80714ln
25
8257ln
225
82257ln
50
81497ln
102416
87senh
dx
df 1
2x
La funcioacuten es creciente crece a una razoacuten de 377
Las foacutermulas para la integracioacuten salen utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo y a partir de las
foacutermulas de derivacioacuten
0aca
usenhdu
ua
1 1
22
0auca
ucoshdu
au
1 1
22
au0aca
utanh
a
1du
ua
1 1
22
au00aca
uhsec
a
1du
uau
1 1
22
Ejemplo 8
Resolver la integral
dxe25
e
x6
x3
Esta integral es como la de la tangente hiperboacutelica inversa donde 5a25a 2
dxe3
dueueu x3x3x62 Al sustituir esto en la integral
c5
etanh
15
1c
5
etanh
5
1
3
1
u25
du
3
1
u25
3du x3
1x3
1
22
Aplicaciones
La velocidad de las olas en el mar bajo ciertas condiciones depende de la longitud de onda
(distancia entre cresta y cresta) y de la profundidad del agua por donde viajan las olas h La funcioacuten
que relaciona estas variables es
h2tanh
2
gv 2
donde v es la velocidad y g es la gravedad
Suponiendo que se mantiene h constante esto es que el oleaje se propaga por un oceacuteano de
profundidad constante (50 m) determinar si la velocidad aumenta o disminuye cuando m5
h2hsec
ghh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2hsec
h2
2
gh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2tanh
2
gv
h2tanh
2
gv
2
2
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
728d
dv
5
502hsec
5
50819
5
502tanh
2
819
5
502tanh
2
58192
1
d
dv 2
Entonces para este valor de la longitud de onda y de la profundidad la velocidad de la ola va
aumentando respecto a la longitud de onda
Si se requiere ahora saber como va cambiando la velocidad de propagacioacuten del oleaje respecto a la
profundidad del mar para una longitud de onda de 5 m se deberaacute entonces derivar respecto a h Sea
una profundidad de 7 m
h2tanh
2
g2
h2hsecg
dh
dv
h2hsec
2
2
g
h2tanh
2
g2
1
dh
dv
h2tanh
2
gv
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
77
2
2
1061595
10918
5
14tanh
2
05492
5
14hsec819
dh
dv
5
72tanh
2
58192
5
72hsec819
dh
dv
Asiacute que aunque la velocidad de propagacioacuten del oleaje va aumentando respecto a la profundidad la
razoacuten de cambio es muy pequentildea
EJERCICIOS DE DERIVADAS HIPERBOLICAS
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6) R
7) R
8) AYUDA R
9) R 10) R
11) R 12) R
13) R
14)DEMOSTRAR
AYUDA
15)
AYUDA
INTEGRALES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
httpcalculoccfunciones_hiperbolicasp_integrales_hiperbhtml
httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCIONES20
HIPERBOLICASpdfsequence=1
httpseswikipediaorgwikiAnexoIntegrales_de_funciones_hiperbC3B3licas
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES HIPERBOLICAS
2)
3)
5)
6)
8)
Resolvemos ambas integrales mediante integracioacuten por partes
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 5 u = 3x
11)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 3 u = 4x
13)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = radic7 u = 5x
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION MATERIAL DE APOYO
800 INTEGRALES RESUELTAS
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_metodosproblemasp_integr_sust_trigohtml
httpsmatematicasnblogspotcom201512integracion-por-sustitucionhtml CON VIDEOS INCLUIDOS
httpsdspaceupseduecbitstream12345678961191Manual20de20fracciones20parcialespdf
httpwwwtesoemedumxalumnoscuadernillos2011011pdf
httpprofe-alexzblogspotcom201104integracion-fracciones-parcialeshtml Y VIDEOS
httpswwwsectormatematicacl rsaquo media rsaquo diferenciado rsaquo FRACCIONES P httpswwwipnmxassetsfilescecyt11docsGuiasUABasicasMatematicascalculo-integral-solucion-de-problemasPDF
httpswwwacademiaedu7708664CC381LCULO_INTEGRAL_EJERCICIOS_RESUELTOS_PASO_A_PASO
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1 Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de
variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de
la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que
contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe
ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
FUENTE httpmatematicasuiseducocalculo2sumaspdf
EJERCICIOS APLICANDO RIEMANN
RESOLVER POR RIEMANN E INTEGRANDO
1) LEA BIEN PERO PRIMERO GRAFIQUE Y HALLE EL AREA DADA INTEGRANDO
R 83 U2
2) REALICE CON CUIDADO PERO PRIMERO GRAFIQUE Y HALLE EL AREA DADA INTEGRANDO
R9 U2
3) REALICE CON CUIDADO PERO PRIMERO GRAFIQUE HALLE EL AREA DADA
R8U2
4)Grafique e integre y aplique riemann
R16U2
R9U2
5)REALIZARDIBUJA
5) Realizar or riemann y la regla de barrow
R
CAPITULO 2
INTEGRALES INMEDIATAS Y POR SUSTITUCION IDONEA
FUENTE httpscampusdematematicascomtablas-y-formulariostabla-de-integrales
II) TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS
OTRAS FORMULAS
GUIA DE EJEMPLOS DE INTEGRALES POR SUSTITUCION
INTEGRALES POR SUSTITUCION
RESOLVERint radic3 119909 + 5 119889119909 = 119868 Sea 119889119906 = 3 119909 + 5
119889119906 = 3 119889119909 = 119889119909 =119889119906
3
Al sustituir tenemos
119868 = int 11990612
119889119906
3 =
1
3 int 119906
12 119889119906
119868 =1
3(
11990632
32
) + 119862 = 2
911990632 + 119862
119868 = 2
9(3119909 + 2)32 + 119862
RESOLVER int119909119889119909
(1199092+ 4)2 = 119868
Sea 119906 = 1199092 + 4
119889119906 = 2119909 119889119909 = 119909119889119909 =119889119906
2
1
2
Al sustituir tenemos
119868 = int119889119906
21199062 =
1
2 int 119906minus2 119889119906
119868 =1
2(
119906minus1
minus1) + 119862 =
1
2119906minus1 + 119862
119868 = 1
2(1199092 + 4)minus1 + 119862
119868 = 1
2(1199092 + 4)+ 119862
RESOLVER int119904119890119899 119889119909
radic1+2 cos 119909 = 119868
Sea 119906 = 1 + 2 cos 119909
119889119906 = minus2 119904119890119899 119909119889119909 = 119904119890119899 119909 119889119909 = minus119889119906
2
Al sustituir tenemos
119868 = intminus119889119906
211990612 = minus
1
2 int
119889119906
11990612
119868 = minus1
2int 119906minus12119889119906 = minus
1
2(
11990612
12
) + 119862
119868 = minus11990612 + 119862 = minus(1 + 2 cos 119909) 12 + 119862
119868 = minus radic1 + 2 cos 119909 + 119862 DE AQUIacute EN ADELANTE TU LLEGAS A LA RESPUESTA
RESOLVER int119909119889119909
radic119909+1 = 119868
Sea 119906 = radic119909 + 1
1199062 = 119909 + 1 = 119909 = 1199062 minus 1
3
4
2119906119889119906 = 119889119909
CONTINUA
R 119868 =2
3radic119909 + 1(119909 minus 2) + 119862
5)
int 1199092radic2 minus 119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = radic2 minus 119909
1199062 = 2 minus 119909 = 119909 = 2 minus 1199062 119889119909 = minus2119906119889119906
Reemplazando
119868 = int(2 minus 1199062)2(minus2119906119889119906)(119906)
119868 = minus2 int(4 minus 41199062 + 1199064)1199062119889119906
COMPLETA
Rminus2
105(2 minus 119909 )32(140 minus 84(2 minus 119909) + 15(2 minus 119909)2) + 119862
RSOLVER int119909119889119909
radic1199092+9 = 119868
Sea 119906 = 1199092+9
119889119906 = 2119909119889119909 = 119909119889119909 =119889119906
2
Sustituyendo tenemos119868 = int119889119906
211990612 = 2 int 119906minus12 119889119906
COMPLETA
R 119868 = radic1199092 + 9 + 119862
7) RESOLVER int radic1 + radic119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = radic1 + radic119909 1199062 = 1 + radic119909 = 1199062 minus 1 = radic119909 (1199062 minus 1)2 = 119909 2(1199062 minus 1)(2119906)119889119906 = 119889119909 Reemplazando
6
119868 = int 119906[2(1199062 minus 1)2(2119906)] 119889119906 119868 = 4 int 1199062(1199062 minus 1)119889119906 119868 = 4 int(1199064 minus 1199062)119889119906
119868 = (1199064
5minus +
1199063
3) + 119862
Termiacutenalo
R
4(1 + radic3)32
[3(1 + radic119909) minus 5] + 119862
8) RESOLVER
int 119890119909radic1 + 119890119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = 1 + 119890119909 119889119906 = 119890119909 119889119909 Reemplazando tenemos
119868 = int 11990612 119889119906
TERMINALO R 119868 =2
3(1 + 119890119909)32 + 119862
9) RESOLVER int 1199051198861198993119909 1199041198901198882119909 119889119909 = 119868 Sea 119906 = tan 119909
119889119906 = 1199041198901198882119909119889119909
TERMINALO R 119868 =1199051198861198994119909
4 + 119862
10)119877119864119878119874119871119881119864119877 int1199092+2119909
(119909+ 1)2 119889119909 = 119868
Al hacer el binomio y dividir se tiene
(119909 + 1)2 = 1 minus1
1199092+2119909+1 Al sustituir 119868 = int (1 minus
119909
(119909+1)2) 119889119909 = int 119889119909 minus int
119889119909
(119909+1)2
119868 = 119909 minus int119889119909
(119909+1)2
R 119868 = 119909 minus (minus 1
119909+1) + 119862 = 119909 +
1
119909+1+ 119862
11) RESOLVER int2+radic119909
1minusradic119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = 1 minus radic119909 radic119909 = 1 minus 119906 = 119909 = (1 minus 119906)2 119889119909 = 2(1 minus 119906)(minus1)119889119906 = 2(1 minus 119906)119889119906
Ahora 2 + radic119909 = 2 + (1 minus 119906) = 3 minus 119906
Al integrar 119868 = int (3minus119906
119906) [minus2(1 minus 119906)] 119889119906 119864119873119879119874119873119862119864119878 (3 int
119889119906
119906minus 4 int 119889119906 + int 119906 119889119906)
CUAL SERIA LA RESPUESTA MATERIAL DE APOYO httpscursodecalculofileswordpresscom201305ejercicios-resueltos-de-
integral-2-integrales-por-sustitucic3b3n-o-cambio-de-variablepdf
EJERCICIOS 1
I) USANDO LA TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS Y LAS OTRAS FORMULAS RESOLVER
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6 ) R 7) R
8) R 9) R
10) R
11) R 12) R
13) R
14) R 15) R
16) R 17)
18) R 19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
27) R 28) R
29 ) R
30) R
31) R 32) R
33) R
34) R 35) R
36) R 37) R
38) R
39) DEMUESTRE LAS SIGUIENTES IGUALDADES
40) USANDO LAS SIGUIENTES IGUALDADES
RESOLVERA) R
B) R
C) R
II) RESUELVE LAS SIGUIENTES INTEGRTALES DEFINIDAS Y GRAFIQUELAS
SOLUCION
A) 8
b) e-1
c) 1
d) 103
e) I
I I I ) TALLER INTEGRALES PARA COMPLETAR
OBSERVA LAS INTEGRALES RESUELTAS EN LA MAYORIA DE LOS CASOS
FALTA LA SUSTITUCION IDONEA POR AGREGAR AL DESARROLLO DEL
EJERCICIO Y ESA SUSTITUCION PUEDE SER ALGEBRAICA O FALTA EL
CAMBIO DE VARIABLE RESPECTIVO
1) INTEGRALES INMEDIATAS
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
2 Solucioacuten de las integrales logariacutetmicas
1
2
3
4
5
6
7
8
9 - ln (sen x + cos x ) +C
10
11
3 integrales exponenciales
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4 integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5 Otras integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
- 21 x
4
6 Otras integrales
1
2
3
4
5
EJERCICIOS 2
I) RESOLVER LAS SIGUIENTES INTEGRALES INDEFINIDAS Y VERIFIQUE SU
RESPUESTA REALIZANDO LA DERIVADA
II) EVALUE LA INTEGRAL INDEFINIDA DADA USANDO UNA SUSTITUCION IDONEA
62)Problemas de integrales
1Hallar una funcioacuten F(x) cuya derivada sea f(x) = x + 6 y tal que para x = 2
tome el valor 25
RESPUESTA
2De las inf in itas funciones primitivas de la funcioacuten y = xsup2 - x + 1 iquestcuaacutel
es la que para x = 3 toma el valor 5
RESPUESTA
3Hallar una recta cuya pendiente es 2 y pasa por eacutel punto P(0 4)
RESPUESTA f(x) = 2x + 4
4Escribe la funcioacuten primitiva de y = xsup2 + 2x cuya representacioacuten graacutef ica pasa
por eacutel punto (1 3)
RESPUESTA
5Calcular la ecuacioacuten de la curva que pasa por P(1 5) y cuya pendiente en cualquier punto es
3xsup2 + 5x minus 2
RESPUESTA
6Hallar la primitiva de la funcioacuten que se anula para x = 2
RESPUESTA
CAPITULO 3
INTEGRACION POR PARTES
Definicioacuten
Existen varios meacutetodos de integracioacuten consistiendo todos ellos en reducir la integral buscada a una inteacutegrala conocida como por ejemplo una de las de la tabla o bien reducirla una integral maacutes sencilla
El meacutetodo de integracioacuten por partes estaacute basado en la derivada de un producto de funciones como se muestra a continuacioacuten
d(umiddotv) = u dv + v du
por eso es que se usa para integrales que contienen dos funciones que se multiplican entre si
intd(umiddotv) = intu dv + intv du
Se llama integracioacuten por partes porque la integral se divide en dos partes en una el integrando es u y otra en la otra es v La integral debe estar completa y sin alterar la operacioacuten dentro de ella Consejos
La funcioacuten correspondiente a dv debe ser la funcioacuten maacutes faacutecil de integrar 2- En u deben ir aquellas funciones que no tienen integral directa (funciones logariacutetmicas e inversas) luego se pueden considerar las funciones algebraicas puesto que la derivada es reductiva Las funciones trigonomeacutetricas y exponenciales son maacutes sencillas de trabajar
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRACIOacuteN POR PARTES
1-
2-
3-
4-
5-
6-
7-
8-
9-
10-
INTEGRACION POR PARTES
MATERIAL DE APOYO
VIDEOS DE INTEGRACION POR PARTES
1) httpswwwprofesor10dematescom201505integrales-por-partes-resueltashtml
2) httpwwwsietecolinasesmaterialesmatintegrales-4pdf
3) httpsgpweiztuammxfilesusersuamijdfmetodos_de_integracionintegracion_por_partesp
df
EJERCICIOS EJERCICIOS PARA RESOLVER POR PARTES
1) L=Ln
R
2) R
3) R
4) R
5) R 6) R
7) R
8) R
9) R L=Ln
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
15) R
16) R
17) R
18) R
19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
INTEGRAL RESPUESTA
26) x senx dx sen x xcos x c
27) ln x dx 1x ln x c
28)2
xx sen dx 4 2
2 2
x xsen xcos c
29) x cos nx dx 2
cos nx x sennxc
nn
30) 2 u sec u du utgu lncosu c
31) 2 3 u sen v dv 21 1 16 6
4 12 72v v sen v cos v c
32) 2 y senny dy 2
3 2
2 2cosny y senny y cosnyc
nn n
33) 2 xa dx 2
1x xa c
lna ln a
34) nx ln x dx 1 1
1 1
nx
ln x cn n
35) arc sen x dx 2 1x arc sen x x c
36) arc tg x dx 21 1
2x arc tg x ln x c
37) arc c tg y dy 21 1
2y arc c tg y ln y c
38) 2 arc cos x dx 21 2 1 4
2x arc cos x x c
39) arc sec y dy 2 1y arc sec y ln y y c
40) 2
tarc csc dt 2 2 4
2
tt arc csc ln t t c
41) x arc tg x dx 2 1
2 2
x xarc tg x c
42) arc tg x dx 1 x arc tg x x c
43) 2 xx e dx
22 2xe x x c
44) e cos d
2
esen cos c
45)
2
1
ln x dx
x 1
1
xln x ln x c
x
CAPITULO 4
FUNCIONES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
1) httpwwwmtyitesmmxetiedeptosmma-841recursostab-hippdf
2) httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCION
ES20HIPERBOLICASpdfsequence=1
FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS HIPERBOacuteLICAS
Definicioacuten de las funciones
Un ciacuterculo unitario con centro en el origen sigue la foacutermula 1yx 22 un punto dado por el par
ordenado yx se puede representar como funcioacuten de un aacutengulo t de la siguiente manera
senttcosyx De igual manera una hipeacuterbola unitaria con centro en el origen sigue la foacutermula
1yx 22 un punto dado por el par ordenado yx se puede representar como funcioacuten del aacutengulo t
de la siguiente manera senhttcoshyx Estas funciones se denominan funciones trigonomeacutetricas
hiperboacutelicas en particular coseno hiperboacutelico y seno hiperboacutelico
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas presentan propiedades anaacutelogas a las de las funciones
trigonomeacutetricas o circulares La funcioacuten xsenhxf se define como 2
eexsenh
xx mientras que
la funcioacuten xcoshxf es 2
eexcosh
xx
Al igual que las funciones trigonomeacutetricas circulares en las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas se
cumplen las siguientes identidades fundamentales
xx
xx
xx
xx
xx
xx
ee
2
xsenh
1xhcsc
ee
2
xcosh
1xhsec
ee
ee
xsenh
xcoshxcoth
ee
ee
xcosh
xsenhxtanh
Debido a esto es loacutegico pensar que habraacute una relacioacuten equivalente al Teorema de Pitaacutegoras Asiacute
para las funciones hiperboacutelicas se sabe que 1xsenhxcosh 22
Ejemplo 1
Demostrar que 1xsenhxcosh 22
11
14
4
14
2
4
2
14
ee2
4
ee2
14
eee2e
4
eee2e
12
ee
2
ee
1xsenhxcosh
xxxx
x2xxx2x2xxx2
2xx
2xx
22
Graacutefica de las funciones
Sea la funcioacuten 2
eexsenhxf
xx Las intersecciones se pueden encontrar igualando la funcioacuten
a cero
0x
0x2
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
02
ee
x2
x
x
xx
xx
xx
La funcioacuten seno hiperboacutelico tiene una sola raiacutez en x=0 Para obtener los puntos criacuteticos se iguala a
cero la derivada de la funcioacuten
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
0ee2
1
ee2
1ee
dx
d
2
1
2
ee
dx
d
dx
df
x2
x
x
xx
xx
xx
xxxxxx
por lo tanto no hay puntos criacuteticos Es interesante notar que la derivada de la funcioacuten senh(x) es la
funcioacuten cosh(x)
Por uacuteltimo puntos inflexioacuten se pueden encontrar en donde la segunda derivada es igual a cero
xxxxxx
2
2
ee2
1ee
dx
d
2
1ee
2
1
dx
d
dx
fd
La segunda derivada nos llevoacute nuevamente a la funcioacuten senh(x) Esta funcioacuten ya se igualoacute a cero
para encontrar las intersecciones El resultado es que en x=0 hay una raiacutez que a su vez es un punto
de inflexioacuten
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
La misma funcioacuten 2
eexsenhxf
xx se puede ver como la resta de dos funciones exponenciales
2
e
2
e
2
ee xxxx
La graacutefica de estas dos funciones exponenciales se muestra en azul (exponencial
positiva) y verde (exponencial negativa) La resta de ambas punto por punto es la funcioacuten senh(x)
Derivadas
ucoshdx
duusenh
dx
dxcosh
2
ee
2
ee
dx
dxsenh
dx
d xxxx
usenhdx
duucosh
dx
dxsenh
2
ee
2
ee
dx
dxcosh
dx
d xxxx
uhsecdx
duutanh
dx
d
xhsecxcosh
1
xcosh
xsenhxcosh
xcosh
senhx
dx
dxtanh
dx
d
2
2
22
22
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
uhcscdx
duucoth
dx
d
xhcscxsenh
1
xsenh
xcoshxsenh
senhx
xcosh
dx
dxcoth
dx
d 2
22
22
uhsecutanhdx
duuhsec
dx
d
hxsecxtanhxcosh
1
xcosh
senhx
xcosh
senhx
xcosh
1
dx
dxhsec
dx
d2
uhcscucothdx
duuhcsc
dx
d
hxcscxcothsenhx
1
senhx
xcosh
xsenh
xcosh
senhx
1
dx
dxhcsc
dx
d2
Ejemplo 2
Derivar la funcioacuten 3x4tanhxf 2
La funcioacuten maacutes externa es la raiacutez por lo tanto es la primera en derivarse
3x4tanh2
3x4hsecx83x4tanh
dx
d
3x4tanh2
1
dx
df
2
222
2
Ejemplo 3
Derivar la funcioacuten 2x3cosh2x3tanhlnxf 22
La funcioacuten maacutes externa es el logaritmo por lo tanto es el primero en derivarse
2x3cosh2x3tanh
2x3xsenh62x3hsecx6
dx
df22
222
Integrales
Utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se puede establecer que
cuhcscduucothuhcsc
cuhsecduutanhuhsec
cucothduuhcsc
cutanhduuhsec
cusenhduucosh
cucoshduusenh
2
2
Utilizando estas foacutermulas se pueden establecer las siguientes
Ejemplo 4
Hallar la foacutermula para la integral de la tangente hiperboacutelica
dxxcosh
xsenhdxxtanh
Se hace un cambio de variable en donde dxxsenhduxcoshu Al sustituir la integral anterior
cambia a
cxcoshlnculnu
dudx
xcosh
xsenhdxxtanh
Se puede utilizar el mismo procedimiento para hallar las siguientes foacutermulas
cusenhlnduucoth
cucoshlnduutanh
Ejemplo 5
Resolver las siguientes integrales
dxx3senhx 32
Se realiza el cambio de variable dxx9
dux3u 23 por lo tanto la integral se puede escribir como
cx3cosh9
1cucosh
9
1duusenh
9
1
9
duusenhdxx3senhx 332
dx
x
xlnhsec 2
Se realiza el cambio de variablex
dxduxlnu por lo tanto la integral se puede escribir como
cxlntanhcutanhduuhsecdx
x
xlnhsec2
2
1
0
dxxcoshxsenh
Se realiza el cambio de variable dxxsenhduxcoshu por lo tanto la integral se puede escribir
como
1x
0x
1
0
2 duudxxcoshxsenh
Sin embargo dado que u=senh(x) si x=0 entonces 02
ee0senhu
00
Cuando x=1 entonces
e2
1e
2
e
1e
2
e
1e
2
ee1senhu
2
2
11
La integral es
2
32
23
23
2
e2
1e
0
23
e2
1e
0
1x
0x
1
0
2
e2
1e
3
20
3
2
e2
1e
3
2
u3
2duuduudxxcoshxsenh
22
Inversas
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas tienen funciones inversas que comuacutenmente se denotan
como 1senh o bien como arcsenh donde la funcioacuten recibe el nombre de seno hiperboacutelico inverso
Dado que las funciones estaacuten definidas en teacuterminos de exponenciales es de esperarse que sus
inversas incluyan logaritmos naturales Se pueden definir como
1x0parax
x11lnxhsec
1xparax1
x1ln
2
1xtanh
1xpara1xxlnxcosh
1xxlnxsenh
21
1
21
21
Las derivadas e integrales de estas funciones se resuelven igual que las funciones trigonomeacutetricas
inversas
Ejemplo 6
Obtener la foacutermula para la derivada de la funcioacuten xsenhy 1
Dado que no se conoce la derivada del seno hiperboacutelico inverso pero siacute la del seno hiperboacutelico se
pueden utilizar el concepto de la funcioacuten inversa y la derivada impliacutecita para hallar la foacutermula en
cuestioacuten
ycosh
1y
1yacutecoshy
xysenh
xsenhy 1
Se sabe que 1ysenhycosh 22 por lo tanto 1ysenhycosh 22 y la funcioacuten senhy=x entonces
1xycosh 2 Al sustituir se obtiene
1x
1y
2
El mismo meacutetodo se puede utilizar para encontrar cualquiera de las siguientes foacutermulas
1u
dxdu
usenhdx
d
2
1
1u1u
dxdu
ucoshdx
d
2
1
1uu1
dxdu
utanhdx
d2
1
1u0u1u
dxdu
uhsecdx
d
2
1
Ejemplo 7
Determinar si la funcioacuten 3xxsenhxf 21 es creciente o decreciente en el punto x=2
Se debe resolver la derivada de la multiplicacioacuten
10x6x
x23xsenh
19x6x
x23xsenh
13x
x2x3xsenh
dx
df
24
221
24
221
22
21
Se busca conocer como es la funcioacuten en x=2 por lo tanto se sustituye en la derivada
773131642077
80714ln
25
8257ln
225
82257ln
50
81497ln
102416
87senh
dx
df 1
2x
La funcioacuten es creciente crece a una razoacuten de 377
Las foacutermulas para la integracioacuten salen utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo y a partir de las
foacutermulas de derivacioacuten
0aca
usenhdu
ua
1 1
22
0auca
ucoshdu
au
1 1
22
au0aca
utanh
a
1du
ua
1 1
22
au00aca
uhsec
a
1du
uau
1 1
22
Ejemplo 8
Resolver la integral
dxe25
e
x6
x3
Esta integral es como la de la tangente hiperboacutelica inversa donde 5a25a 2
dxe3
dueueu x3x3x62 Al sustituir esto en la integral
c5
etanh
15
1c
5
etanh
5
1
3
1
u25
du
3
1
u25
3du x3
1x3
1
22
Aplicaciones
La velocidad de las olas en el mar bajo ciertas condiciones depende de la longitud de onda
(distancia entre cresta y cresta) y de la profundidad del agua por donde viajan las olas h La funcioacuten
que relaciona estas variables es
h2tanh
2
gv 2
donde v es la velocidad y g es la gravedad
Suponiendo que se mantiene h constante esto es que el oleaje se propaga por un oceacuteano de
profundidad constante (50 m) determinar si la velocidad aumenta o disminuye cuando m5
h2hsec
ghh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2hsec
h2
2
gh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2tanh
2
gv
h2tanh
2
gv
2
2
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
728d
dv
5
502hsec
5
50819
5
502tanh
2
819
5
502tanh
2
58192
1
d
dv 2
Entonces para este valor de la longitud de onda y de la profundidad la velocidad de la ola va
aumentando respecto a la longitud de onda
Si se requiere ahora saber como va cambiando la velocidad de propagacioacuten del oleaje respecto a la
profundidad del mar para una longitud de onda de 5 m se deberaacute entonces derivar respecto a h Sea
una profundidad de 7 m
h2tanh
2
g2
h2hsecg
dh
dv
h2hsec
2
2
g
h2tanh
2
g2
1
dh
dv
h2tanh
2
gv
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
77
2
2
1061595
10918
5
14tanh
2
05492
5
14hsec819
dh
dv
5
72tanh
2
58192
5
72hsec819
dh
dv
Asiacute que aunque la velocidad de propagacioacuten del oleaje va aumentando respecto a la profundidad la
razoacuten de cambio es muy pequentildea
EJERCICIOS DE DERIVADAS HIPERBOLICAS
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6) R
7) R
8) AYUDA R
9) R 10) R
11) R 12) R
13) R
14)DEMOSTRAR
AYUDA
15)
AYUDA
INTEGRALES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
httpcalculoccfunciones_hiperbolicasp_integrales_hiperbhtml
httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCIONES20
HIPERBOLICASpdfsequence=1
httpseswikipediaorgwikiAnexoIntegrales_de_funciones_hiperbC3B3licas
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES HIPERBOLICAS
2)
3)
5)
6)
8)
Resolvemos ambas integrales mediante integracioacuten por partes
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 5 u = 3x
11)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 3 u = 4x
13)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = radic7 u = 5x
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION MATERIAL DE APOYO
800 INTEGRALES RESUELTAS
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_metodosproblemasp_integr_sust_trigohtml
httpsmatematicasnblogspotcom201512integracion-por-sustitucionhtml CON VIDEOS INCLUIDOS
httpsdspaceupseduecbitstream12345678961191Manual20de20fracciones20parcialespdf
httpwwwtesoemedumxalumnoscuadernillos2011011pdf
httpprofe-alexzblogspotcom201104integracion-fracciones-parcialeshtml Y VIDEOS
httpswwwsectormatematicacl rsaquo media rsaquo diferenciado rsaquo FRACCIONES P httpswwwipnmxassetsfilescecyt11docsGuiasUABasicasMatematicascalculo-integral-solucion-de-problemasPDF
httpswwwacademiaedu7708664CC381LCULO_INTEGRAL_EJERCICIOS_RESUELTOS_PASO_A_PASO
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1 Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de
variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de
la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que
contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe
ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
EJERCICIOS APLICANDO RIEMANN
RESOLVER POR RIEMANN E INTEGRANDO
1) LEA BIEN PERO PRIMERO GRAFIQUE Y HALLE EL AREA DADA INTEGRANDO
R 83 U2
2) REALICE CON CUIDADO PERO PRIMERO GRAFIQUE Y HALLE EL AREA DADA INTEGRANDO
R9 U2
3) REALICE CON CUIDADO PERO PRIMERO GRAFIQUE HALLE EL AREA DADA
R8U2
4)Grafique e integre y aplique riemann
R16U2
R9U2
5)REALIZARDIBUJA
5) Realizar or riemann y la regla de barrow
R
CAPITULO 2
INTEGRALES INMEDIATAS Y POR SUSTITUCION IDONEA
FUENTE httpscampusdematematicascomtablas-y-formulariostabla-de-integrales
II) TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS
OTRAS FORMULAS
GUIA DE EJEMPLOS DE INTEGRALES POR SUSTITUCION
INTEGRALES POR SUSTITUCION
RESOLVERint radic3 119909 + 5 119889119909 = 119868 Sea 119889119906 = 3 119909 + 5
119889119906 = 3 119889119909 = 119889119909 =119889119906
3
Al sustituir tenemos
119868 = int 11990612
119889119906
3 =
1
3 int 119906
12 119889119906
119868 =1
3(
11990632
32
) + 119862 = 2
911990632 + 119862
119868 = 2
9(3119909 + 2)32 + 119862
RESOLVER int119909119889119909
(1199092+ 4)2 = 119868
Sea 119906 = 1199092 + 4
119889119906 = 2119909 119889119909 = 119909119889119909 =119889119906
2
1
2
Al sustituir tenemos
119868 = int119889119906
21199062 =
1
2 int 119906minus2 119889119906
119868 =1
2(
119906minus1
minus1) + 119862 =
1
2119906minus1 + 119862
119868 = 1
2(1199092 + 4)minus1 + 119862
119868 = 1
2(1199092 + 4)+ 119862
RESOLVER int119904119890119899 119889119909
radic1+2 cos 119909 = 119868
Sea 119906 = 1 + 2 cos 119909
119889119906 = minus2 119904119890119899 119909119889119909 = 119904119890119899 119909 119889119909 = minus119889119906
2
Al sustituir tenemos
119868 = intminus119889119906
211990612 = minus
1
2 int
119889119906
11990612
119868 = minus1
2int 119906minus12119889119906 = minus
1
2(
11990612
12
) + 119862
119868 = minus11990612 + 119862 = minus(1 + 2 cos 119909) 12 + 119862
119868 = minus radic1 + 2 cos 119909 + 119862 DE AQUIacute EN ADELANTE TU LLEGAS A LA RESPUESTA
RESOLVER int119909119889119909
radic119909+1 = 119868
Sea 119906 = radic119909 + 1
1199062 = 119909 + 1 = 119909 = 1199062 minus 1
3
4
2119906119889119906 = 119889119909
CONTINUA
R 119868 =2
3radic119909 + 1(119909 minus 2) + 119862
5)
int 1199092radic2 minus 119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = radic2 minus 119909
1199062 = 2 minus 119909 = 119909 = 2 minus 1199062 119889119909 = minus2119906119889119906
Reemplazando
119868 = int(2 minus 1199062)2(minus2119906119889119906)(119906)
119868 = minus2 int(4 minus 41199062 + 1199064)1199062119889119906
COMPLETA
Rminus2
105(2 minus 119909 )32(140 minus 84(2 minus 119909) + 15(2 minus 119909)2) + 119862
RSOLVER int119909119889119909
radic1199092+9 = 119868
Sea 119906 = 1199092+9
119889119906 = 2119909119889119909 = 119909119889119909 =119889119906
2
Sustituyendo tenemos119868 = int119889119906
211990612 = 2 int 119906minus12 119889119906
COMPLETA
R 119868 = radic1199092 + 9 + 119862
7) RESOLVER int radic1 + radic119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = radic1 + radic119909 1199062 = 1 + radic119909 = 1199062 minus 1 = radic119909 (1199062 minus 1)2 = 119909 2(1199062 minus 1)(2119906)119889119906 = 119889119909 Reemplazando
6
119868 = int 119906[2(1199062 minus 1)2(2119906)] 119889119906 119868 = 4 int 1199062(1199062 minus 1)119889119906 119868 = 4 int(1199064 minus 1199062)119889119906
119868 = (1199064
5minus +
1199063
3) + 119862
Termiacutenalo
R
4(1 + radic3)32
[3(1 + radic119909) minus 5] + 119862
8) RESOLVER
int 119890119909radic1 + 119890119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = 1 + 119890119909 119889119906 = 119890119909 119889119909 Reemplazando tenemos
119868 = int 11990612 119889119906
TERMINALO R 119868 =2
3(1 + 119890119909)32 + 119862
9) RESOLVER int 1199051198861198993119909 1199041198901198882119909 119889119909 = 119868 Sea 119906 = tan 119909
119889119906 = 1199041198901198882119909119889119909
TERMINALO R 119868 =1199051198861198994119909
4 + 119862
10)119877119864119878119874119871119881119864119877 int1199092+2119909
(119909+ 1)2 119889119909 = 119868
Al hacer el binomio y dividir se tiene
(119909 + 1)2 = 1 minus1
1199092+2119909+1 Al sustituir 119868 = int (1 minus
119909
(119909+1)2) 119889119909 = int 119889119909 minus int
119889119909
(119909+1)2
119868 = 119909 minus int119889119909
(119909+1)2
R 119868 = 119909 minus (minus 1
119909+1) + 119862 = 119909 +
1
119909+1+ 119862
11) RESOLVER int2+radic119909
1minusradic119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = 1 minus radic119909 radic119909 = 1 minus 119906 = 119909 = (1 minus 119906)2 119889119909 = 2(1 minus 119906)(minus1)119889119906 = 2(1 minus 119906)119889119906
Ahora 2 + radic119909 = 2 + (1 minus 119906) = 3 minus 119906
Al integrar 119868 = int (3minus119906
119906) [minus2(1 minus 119906)] 119889119906 119864119873119879119874119873119862119864119878 (3 int
119889119906
119906minus 4 int 119889119906 + int 119906 119889119906)
CUAL SERIA LA RESPUESTA MATERIAL DE APOYO httpscursodecalculofileswordpresscom201305ejercicios-resueltos-de-
integral-2-integrales-por-sustitucic3b3n-o-cambio-de-variablepdf
EJERCICIOS 1
I) USANDO LA TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS Y LAS OTRAS FORMULAS RESOLVER
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6 ) R 7) R
8) R 9) R
10) R
11) R 12) R
13) R
14) R 15) R
16) R 17)
18) R 19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
27) R 28) R
29 ) R
30) R
31) R 32) R
33) R
34) R 35) R
36) R 37) R
38) R
39) DEMUESTRE LAS SIGUIENTES IGUALDADES
40) USANDO LAS SIGUIENTES IGUALDADES
RESOLVERA) R
B) R
C) R
II) RESUELVE LAS SIGUIENTES INTEGRTALES DEFINIDAS Y GRAFIQUELAS
SOLUCION
A) 8
b) e-1
c) 1
d) 103
e) I
I I I ) TALLER INTEGRALES PARA COMPLETAR
OBSERVA LAS INTEGRALES RESUELTAS EN LA MAYORIA DE LOS CASOS
FALTA LA SUSTITUCION IDONEA POR AGREGAR AL DESARROLLO DEL
EJERCICIO Y ESA SUSTITUCION PUEDE SER ALGEBRAICA O FALTA EL
CAMBIO DE VARIABLE RESPECTIVO
1) INTEGRALES INMEDIATAS
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
2 Solucioacuten de las integrales logariacutetmicas
1
2
3
4
5
6
7
8
9 - ln (sen x + cos x ) +C
10
11
3 integrales exponenciales
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4 integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5 Otras integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
- 21 x
4
6 Otras integrales
1
2
3
4
5
EJERCICIOS 2
I) RESOLVER LAS SIGUIENTES INTEGRALES INDEFINIDAS Y VERIFIQUE SU
RESPUESTA REALIZANDO LA DERIVADA
II) EVALUE LA INTEGRAL INDEFINIDA DADA USANDO UNA SUSTITUCION IDONEA
62)Problemas de integrales
1Hallar una funcioacuten F(x) cuya derivada sea f(x) = x + 6 y tal que para x = 2
tome el valor 25
RESPUESTA
2De las inf in itas funciones primitivas de la funcioacuten y = xsup2 - x + 1 iquestcuaacutel
es la que para x = 3 toma el valor 5
RESPUESTA
3Hallar una recta cuya pendiente es 2 y pasa por eacutel punto P(0 4)
RESPUESTA f(x) = 2x + 4
4Escribe la funcioacuten primitiva de y = xsup2 + 2x cuya representacioacuten graacutef ica pasa
por eacutel punto (1 3)
RESPUESTA
5Calcular la ecuacioacuten de la curva que pasa por P(1 5) y cuya pendiente en cualquier punto es
3xsup2 + 5x minus 2
RESPUESTA
6Hallar la primitiva de la funcioacuten que se anula para x = 2
RESPUESTA
CAPITULO 3
INTEGRACION POR PARTES
Definicioacuten
Existen varios meacutetodos de integracioacuten consistiendo todos ellos en reducir la integral buscada a una inteacutegrala conocida como por ejemplo una de las de la tabla o bien reducirla una integral maacutes sencilla
El meacutetodo de integracioacuten por partes estaacute basado en la derivada de un producto de funciones como se muestra a continuacioacuten
d(umiddotv) = u dv + v du
por eso es que se usa para integrales que contienen dos funciones que se multiplican entre si
intd(umiddotv) = intu dv + intv du
Se llama integracioacuten por partes porque la integral se divide en dos partes en una el integrando es u y otra en la otra es v La integral debe estar completa y sin alterar la operacioacuten dentro de ella Consejos
La funcioacuten correspondiente a dv debe ser la funcioacuten maacutes faacutecil de integrar 2- En u deben ir aquellas funciones que no tienen integral directa (funciones logariacutetmicas e inversas) luego se pueden considerar las funciones algebraicas puesto que la derivada es reductiva Las funciones trigonomeacutetricas y exponenciales son maacutes sencillas de trabajar
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRACIOacuteN POR PARTES
1-
2-
3-
4-
5-
6-
7-
8-
9-
10-
INTEGRACION POR PARTES
MATERIAL DE APOYO
VIDEOS DE INTEGRACION POR PARTES
1) httpswwwprofesor10dematescom201505integrales-por-partes-resueltashtml
2) httpwwwsietecolinasesmaterialesmatintegrales-4pdf
3) httpsgpweiztuammxfilesusersuamijdfmetodos_de_integracionintegracion_por_partesp
df
EJERCICIOS EJERCICIOS PARA RESOLVER POR PARTES
1) L=Ln
R
2) R
3) R
4) R
5) R 6) R
7) R
8) R
9) R L=Ln
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
15) R
16) R
17) R
18) R
19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
INTEGRAL RESPUESTA
26) x senx dx sen x xcos x c
27) ln x dx 1x ln x c
28)2
xx sen dx 4 2
2 2
x xsen xcos c
29) x cos nx dx 2
cos nx x sennxc
nn
30) 2 u sec u du utgu lncosu c
31) 2 3 u sen v dv 21 1 16 6
4 12 72v v sen v cos v c
32) 2 y senny dy 2
3 2
2 2cosny y senny y cosnyc
nn n
33) 2 xa dx 2
1x xa c
lna ln a
34) nx ln x dx 1 1
1 1
nx
ln x cn n
35) arc sen x dx 2 1x arc sen x x c
36) arc tg x dx 21 1
2x arc tg x ln x c
37) arc c tg y dy 21 1
2y arc c tg y ln y c
38) 2 arc cos x dx 21 2 1 4
2x arc cos x x c
39) arc sec y dy 2 1y arc sec y ln y y c
40) 2
tarc csc dt 2 2 4
2
tt arc csc ln t t c
41) x arc tg x dx 2 1
2 2
x xarc tg x c
42) arc tg x dx 1 x arc tg x x c
43) 2 xx e dx
22 2xe x x c
44) e cos d
2
esen cos c
45)
2
1
ln x dx
x 1
1
xln x ln x c
x
CAPITULO 4
FUNCIONES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
1) httpwwwmtyitesmmxetiedeptosmma-841recursostab-hippdf
2) httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCION
ES20HIPERBOLICASpdfsequence=1
FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS HIPERBOacuteLICAS
Definicioacuten de las funciones
Un ciacuterculo unitario con centro en el origen sigue la foacutermula 1yx 22 un punto dado por el par
ordenado yx se puede representar como funcioacuten de un aacutengulo t de la siguiente manera
senttcosyx De igual manera una hipeacuterbola unitaria con centro en el origen sigue la foacutermula
1yx 22 un punto dado por el par ordenado yx se puede representar como funcioacuten del aacutengulo t
de la siguiente manera senhttcoshyx Estas funciones se denominan funciones trigonomeacutetricas
hiperboacutelicas en particular coseno hiperboacutelico y seno hiperboacutelico
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas presentan propiedades anaacutelogas a las de las funciones
trigonomeacutetricas o circulares La funcioacuten xsenhxf se define como 2
eexsenh
xx mientras que
la funcioacuten xcoshxf es 2
eexcosh
xx
Al igual que las funciones trigonomeacutetricas circulares en las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas se
cumplen las siguientes identidades fundamentales
xx
xx
xx
xx
xx
xx
ee
2
xsenh
1xhcsc
ee
2
xcosh
1xhsec
ee
ee
xsenh
xcoshxcoth
ee
ee
xcosh
xsenhxtanh
Debido a esto es loacutegico pensar que habraacute una relacioacuten equivalente al Teorema de Pitaacutegoras Asiacute
para las funciones hiperboacutelicas se sabe que 1xsenhxcosh 22
Ejemplo 1
Demostrar que 1xsenhxcosh 22
11
14
4
14
2
4
2
14
ee2
4
ee2
14
eee2e
4
eee2e
12
ee
2
ee
1xsenhxcosh
xxxx
x2xxx2x2xxx2
2xx
2xx
22
Graacutefica de las funciones
Sea la funcioacuten 2
eexsenhxf
xx Las intersecciones se pueden encontrar igualando la funcioacuten
a cero
0x
0x2
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
02
ee
x2
x
x
xx
xx
xx
La funcioacuten seno hiperboacutelico tiene una sola raiacutez en x=0 Para obtener los puntos criacuteticos se iguala a
cero la derivada de la funcioacuten
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
0ee2
1
ee2
1ee
dx
d
2
1
2
ee
dx
d
dx
df
x2
x
x
xx
xx
xx
xxxxxx
por lo tanto no hay puntos criacuteticos Es interesante notar que la derivada de la funcioacuten senh(x) es la
funcioacuten cosh(x)
Por uacuteltimo puntos inflexioacuten se pueden encontrar en donde la segunda derivada es igual a cero
xxxxxx
2
2
ee2
1ee
dx
d
2
1ee
2
1
dx
d
dx
fd
La segunda derivada nos llevoacute nuevamente a la funcioacuten senh(x) Esta funcioacuten ya se igualoacute a cero
para encontrar las intersecciones El resultado es que en x=0 hay una raiacutez que a su vez es un punto
de inflexioacuten
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
La misma funcioacuten 2
eexsenhxf
xx se puede ver como la resta de dos funciones exponenciales
2
e
2
e
2
ee xxxx
La graacutefica de estas dos funciones exponenciales se muestra en azul (exponencial
positiva) y verde (exponencial negativa) La resta de ambas punto por punto es la funcioacuten senh(x)
Derivadas
ucoshdx
duusenh
dx
dxcosh
2
ee
2
ee
dx
dxsenh
dx
d xxxx
usenhdx
duucosh
dx
dxsenh
2
ee
2
ee
dx
dxcosh
dx
d xxxx
uhsecdx
duutanh
dx
d
xhsecxcosh
1
xcosh
xsenhxcosh
xcosh
senhx
dx
dxtanh
dx
d
2
2
22
22
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
uhcscdx
duucoth
dx
d
xhcscxsenh
1
xsenh
xcoshxsenh
senhx
xcosh
dx
dxcoth
dx
d 2
22
22
uhsecutanhdx
duuhsec
dx
d
hxsecxtanhxcosh
1
xcosh
senhx
xcosh
senhx
xcosh
1
dx
dxhsec
dx
d2
uhcscucothdx
duuhcsc
dx
d
hxcscxcothsenhx
1
senhx
xcosh
xsenh
xcosh
senhx
1
dx
dxhcsc
dx
d2
Ejemplo 2
Derivar la funcioacuten 3x4tanhxf 2
La funcioacuten maacutes externa es la raiacutez por lo tanto es la primera en derivarse
3x4tanh2
3x4hsecx83x4tanh
dx
d
3x4tanh2
1
dx
df
2
222
2
Ejemplo 3
Derivar la funcioacuten 2x3cosh2x3tanhlnxf 22
La funcioacuten maacutes externa es el logaritmo por lo tanto es el primero en derivarse
2x3cosh2x3tanh
2x3xsenh62x3hsecx6
dx
df22
222
Integrales
Utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se puede establecer que
cuhcscduucothuhcsc
cuhsecduutanhuhsec
cucothduuhcsc
cutanhduuhsec
cusenhduucosh
cucoshduusenh
2
2
Utilizando estas foacutermulas se pueden establecer las siguientes
Ejemplo 4
Hallar la foacutermula para la integral de la tangente hiperboacutelica
dxxcosh
xsenhdxxtanh
Se hace un cambio de variable en donde dxxsenhduxcoshu Al sustituir la integral anterior
cambia a
cxcoshlnculnu
dudx
xcosh
xsenhdxxtanh
Se puede utilizar el mismo procedimiento para hallar las siguientes foacutermulas
cusenhlnduucoth
cucoshlnduutanh
Ejemplo 5
Resolver las siguientes integrales
dxx3senhx 32
Se realiza el cambio de variable dxx9
dux3u 23 por lo tanto la integral se puede escribir como
cx3cosh9
1cucosh
9
1duusenh
9
1
9
duusenhdxx3senhx 332
dx
x
xlnhsec 2
Se realiza el cambio de variablex
dxduxlnu por lo tanto la integral se puede escribir como
cxlntanhcutanhduuhsecdx
x
xlnhsec2
2
1
0
dxxcoshxsenh
Se realiza el cambio de variable dxxsenhduxcoshu por lo tanto la integral se puede escribir
como
1x
0x
1
0
2 duudxxcoshxsenh
Sin embargo dado que u=senh(x) si x=0 entonces 02
ee0senhu
00
Cuando x=1 entonces
e2
1e
2
e
1e
2
e
1e
2
ee1senhu
2
2
11
La integral es
2
32
23
23
2
e2
1e
0
23
e2
1e
0
1x
0x
1
0
2
e2
1e
3
20
3
2
e2
1e
3
2
u3
2duuduudxxcoshxsenh
22
Inversas
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas tienen funciones inversas que comuacutenmente se denotan
como 1senh o bien como arcsenh donde la funcioacuten recibe el nombre de seno hiperboacutelico inverso
Dado que las funciones estaacuten definidas en teacuterminos de exponenciales es de esperarse que sus
inversas incluyan logaritmos naturales Se pueden definir como
1x0parax
x11lnxhsec
1xparax1
x1ln
2
1xtanh
1xpara1xxlnxcosh
1xxlnxsenh
21
1
21
21
Las derivadas e integrales de estas funciones se resuelven igual que las funciones trigonomeacutetricas
inversas
Ejemplo 6
Obtener la foacutermula para la derivada de la funcioacuten xsenhy 1
Dado que no se conoce la derivada del seno hiperboacutelico inverso pero siacute la del seno hiperboacutelico se
pueden utilizar el concepto de la funcioacuten inversa y la derivada impliacutecita para hallar la foacutermula en
cuestioacuten
ycosh
1y
1yacutecoshy
xysenh
xsenhy 1
Se sabe que 1ysenhycosh 22 por lo tanto 1ysenhycosh 22 y la funcioacuten senhy=x entonces
1xycosh 2 Al sustituir se obtiene
1x
1y
2
El mismo meacutetodo se puede utilizar para encontrar cualquiera de las siguientes foacutermulas
1u
dxdu
usenhdx
d
2
1
1u1u
dxdu
ucoshdx
d
2
1
1uu1
dxdu
utanhdx
d2
1
1u0u1u
dxdu
uhsecdx
d
2
1
Ejemplo 7
Determinar si la funcioacuten 3xxsenhxf 21 es creciente o decreciente en el punto x=2
Se debe resolver la derivada de la multiplicacioacuten
10x6x
x23xsenh
19x6x
x23xsenh
13x
x2x3xsenh
dx
df
24
221
24
221
22
21
Se busca conocer como es la funcioacuten en x=2 por lo tanto se sustituye en la derivada
773131642077
80714ln
25
8257ln
225
82257ln
50
81497ln
102416
87senh
dx
df 1
2x
La funcioacuten es creciente crece a una razoacuten de 377
Las foacutermulas para la integracioacuten salen utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo y a partir de las
foacutermulas de derivacioacuten
0aca
usenhdu
ua
1 1
22
0auca
ucoshdu
au
1 1
22
au0aca
utanh
a
1du
ua
1 1
22
au00aca
uhsec
a
1du
uau
1 1
22
Ejemplo 8
Resolver la integral
dxe25
e
x6
x3
Esta integral es como la de la tangente hiperboacutelica inversa donde 5a25a 2
dxe3
dueueu x3x3x62 Al sustituir esto en la integral
c5
etanh
15
1c
5
etanh
5
1
3
1
u25
du
3
1
u25
3du x3
1x3
1
22
Aplicaciones
La velocidad de las olas en el mar bajo ciertas condiciones depende de la longitud de onda
(distancia entre cresta y cresta) y de la profundidad del agua por donde viajan las olas h La funcioacuten
que relaciona estas variables es
h2tanh
2
gv 2
donde v es la velocidad y g es la gravedad
Suponiendo que se mantiene h constante esto es que el oleaje se propaga por un oceacuteano de
profundidad constante (50 m) determinar si la velocidad aumenta o disminuye cuando m5
h2hsec
ghh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2hsec
h2
2
gh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2tanh
2
gv
h2tanh
2
gv
2
2
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
728d
dv
5
502hsec
5
50819
5
502tanh
2
819
5
502tanh
2
58192
1
d
dv 2
Entonces para este valor de la longitud de onda y de la profundidad la velocidad de la ola va
aumentando respecto a la longitud de onda
Si se requiere ahora saber como va cambiando la velocidad de propagacioacuten del oleaje respecto a la
profundidad del mar para una longitud de onda de 5 m se deberaacute entonces derivar respecto a h Sea
una profundidad de 7 m
h2tanh
2
g2
h2hsecg
dh
dv
h2hsec
2
2
g
h2tanh
2
g2
1
dh
dv
h2tanh
2
gv
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
77
2
2
1061595
10918
5
14tanh
2
05492
5
14hsec819
dh
dv
5
72tanh
2
58192
5
72hsec819
dh
dv
Asiacute que aunque la velocidad de propagacioacuten del oleaje va aumentando respecto a la profundidad la
razoacuten de cambio es muy pequentildea
EJERCICIOS DE DERIVADAS HIPERBOLICAS
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6) R
7) R
8) AYUDA R
9) R 10) R
11) R 12) R
13) R
14)DEMOSTRAR
AYUDA
15)
AYUDA
INTEGRALES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
httpcalculoccfunciones_hiperbolicasp_integrales_hiperbhtml
httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCIONES20
HIPERBOLICASpdfsequence=1
httpseswikipediaorgwikiAnexoIntegrales_de_funciones_hiperbC3B3licas
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES HIPERBOLICAS
2)
3)
5)
6)
8)
Resolvemos ambas integrales mediante integracioacuten por partes
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 5 u = 3x
11)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 3 u = 4x
13)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = radic7 u = 5x
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION MATERIAL DE APOYO
800 INTEGRALES RESUELTAS
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_metodosproblemasp_integr_sust_trigohtml
httpsmatematicasnblogspotcom201512integracion-por-sustitucionhtml CON VIDEOS INCLUIDOS
httpsdspaceupseduecbitstream12345678961191Manual20de20fracciones20parcialespdf
httpwwwtesoemedumxalumnoscuadernillos2011011pdf
httpprofe-alexzblogspotcom201104integracion-fracciones-parcialeshtml Y VIDEOS
httpswwwsectormatematicacl rsaquo media rsaquo diferenciado rsaquo FRACCIONES P httpswwwipnmxassetsfilescecyt11docsGuiasUABasicasMatematicascalculo-integral-solucion-de-problemasPDF
httpswwwacademiaedu7708664CC381LCULO_INTEGRAL_EJERCICIOS_RESUELTOS_PASO_A_PASO
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1 Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de
variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de
la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que
contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe
ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
3) REALICE CON CUIDADO PERO PRIMERO GRAFIQUE HALLE EL AREA DADA
R8U2
4)Grafique e integre y aplique riemann
R16U2
R9U2
5)REALIZARDIBUJA
5) Realizar or riemann y la regla de barrow
R
CAPITULO 2
INTEGRALES INMEDIATAS Y POR SUSTITUCION IDONEA
FUENTE httpscampusdematematicascomtablas-y-formulariostabla-de-integrales
II) TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS
OTRAS FORMULAS
GUIA DE EJEMPLOS DE INTEGRALES POR SUSTITUCION
INTEGRALES POR SUSTITUCION
RESOLVERint radic3 119909 + 5 119889119909 = 119868 Sea 119889119906 = 3 119909 + 5
119889119906 = 3 119889119909 = 119889119909 =119889119906
3
Al sustituir tenemos
119868 = int 11990612
119889119906
3 =
1
3 int 119906
12 119889119906
119868 =1
3(
11990632
32
) + 119862 = 2
911990632 + 119862
119868 = 2
9(3119909 + 2)32 + 119862
RESOLVER int119909119889119909
(1199092+ 4)2 = 119868
Sea 119906 = 1199092 + 4
119889119906 = 2119909 119889119909 = 119909119889119909 =119889119906
2
1
2
Al sustituir tenemos
119868 = int119889119906
21199062 =
1
2 int 119906minus2 119889119906
119868 =1
2(
119906minus1
minus1) + 119862 =
1
2119906minus1 + 119862
119868 = 1
2(1199092 + 4)minus1 + 119862
119868 = 1
2(1199092 + 4)+ 119862
RESOLVER int119904119890119899 119889119909
radic1+2 cos 119909 = 119868
Sea 119906 = 1 + 2 cos 119909
119889119906 = minus2 119904119890119899 119909119889119909 = 119904119890119899 119909 119889119909 = minus119889119906
2
Al sustituir tenemos
119868 = intminus119889119906
211990612 = minus
1
2 int
119889119906
11990612
119868 = minus1
2int 119906minus12119889119906 = minus
1
2(
11990612
12
) + 119862
119868 = minus11990612 + 119862 = minus(1 + 2 cos 119909) 12 + 119862
119868 = minus radic1 + 2 cos 119909 + 119862 DE AQUIacute EN ADELANTE TU LLEGAS A LA RESPUESTA
RESOLVER int119909119889119909
radic119909+1 = 119868
Sea 119906 = radic119909 + 1
1199062 = 119909 + 1 = 119909 = 1199062 minus 1
3
4
2119906119889119906 = 119889119909
CONTINUA
R 119868 =2
3radic119909 + 1(119909 minus 2) + 119862
5)
int 1199092radic2 minus 119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = radic2 minus 119909
1199062 = 2 minus 119909 = 119909 = 2 minus 1199062 119889119909 = minus2119906119889119906
Reemplazando
119868 = int(2 minus 1199062)2(minus2119906119889119906)(119906)
119868 = minus2 int(4 minus 41199062 + 1199064)1199062119889119906
COMPLETA
Rminus2
105(2 minus 119909 )32(140 minus 84(2 minus 119909) + 15(2 minus 119909)2) + 119862
RSOLVER int119909119889119909
radic1199092+9 = 119868
Sea 119906 = 1199092+9
119889119906 = 2119909119889119909 = 119909119889119909 =119889119906
2
Sustituyendo tenemos119868 = int119889119906
211990612 = 2 int 119906minus12 119889119906
COMPLETA
R 119868 = radic1199092 + 9 + 119862
7) RESOLVER int radic1 + radic119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = radic1 + radic119909 1199062 = 1 + radic119909 = 1199062 minus 1 = radic119909 (1199062 minus 1)2 = 119909 2(1199062 minus 1)(2119906)119889119906 = 119889119909 Reemplazando
6
119868 = int 119906[2(1199062 minus 1)2(2119906)] 119889119906 119868 = 4 int 1199062(1199062 minus 1)119889119906 119868 = 4 int(1199064 minus 1199062)119889119906
119868 = (1199064
5minus +
1199063
3) + 119862
Termiacutenalo
R
4(1 + radic3)32
[3(1 + radic119909) minus 5] + 119862
8) RESOLVER
int 119890119909radic1 + 119890119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = 1 + 119890119909 119889119906 = 119890119909 119889119909 Reemplazando tenemos
119868 = int 11990612 119889119906
TERMINALO R 119868 =2
3(1 + 119890119909)32 + 119862
9) RESOLVER int 1199051198861198993119909 1199041198901198882119909 119889119909 = 119868 Sea 119906 = tan 119909
119889119906 = 1199041198901198882119909119889119909
TERMINALO R 119868 =1199051198861198994119909
4 + 119862
10)119877119864119878119874119871119881119864119877 int1199092+2119909
(119909+ 1)2 119889119909 = 119868
Al hacer el binomio y dividir se tiene
(119909 + 1)2 = 1 minus1
1199092+2119909+1 Al sustituir 119868 = int (1 minus
119909
(119909+1)2) 119889119909 = int 119889119909 minus int
119889119909
(119909+1)2
119868 = 119909 minus int119889119909
(119909+1)2
R 119868 = 119909 minus (minus 1
119909+1) + 119862 = 119909 +
1
119909+1+ 119862
11) RESOLVER int2+radic119909
1minusradic119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = 1 minus radic119909 radic119909 = 1 minus 119906 = 119909 = (1 minus 119906)2 119889119909 = 2(1 minus 119906)(minus1)119889119906 = 2(1 minus 119906)119889119906
Ahora 2 + radic119909 = 2 + (1 minus 119906) = 3 minus 119906
Al integrar 119868 = int (3minus119906
119906) [minus2(1 minus 119906)] 119889119906 119864119873119879119874119873119862119864119878 (3 int
119889119906
119906minus 4 int 119889119906 + int 119906 119889119906)
CUAL SERIA LA RESPUESTA MATERIAL DE APOYO httpscursodecalculofileswordpresscom201305ejercicios-resueltos-de-
integral-2-integrales-por-sustitucic3b3n-o-cambio-de-variablepdf
EJERCICIOS 1
I) USANDO LA TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS Y LAS OTRAS FORMULAS RESOLVER
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6 ) R 7) R
8) R 9) R
10) R
11) R 12) R
13) R
14) R 15) R
16) R 17)
18) R 19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
27) R 28) R
29 ) R
30) R
31) R 32) R
33) R
34) R 35) R
36) R 37) R
38) R
39) DEMUESTRE LAS SIGUIENTES IGUALDADES
40) USANDO LAS SIGUIENTES IGUALDADES
RESOLVERA) R
B) R
C) R
II) RESUELVE LAS SIGUIENTES INTEGRTALES DEFINIDAS Y GRAFIQUELAS
SOLUCION
A) 8
b) e-1
c) 1
d) 103
e) I
I I I ) TALLER INTEGRALES PARA COMPLETAR
OBSERVA LAS INTEGRALES RESUELTAS EN LA MAYORIA DE LOS CASOS
FALTA LA SUSTITUCION IDONEA POR AGREGAR AL DESARROLLO DEL
EJERCICIO Y ESA SUSTITUCION PUEDE SER ALGEBRAICA O FALTA EL
CAMBIO DE VARIABLE RESPECTIVO
1) INTEGRALES INMEDIATAS
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
2 Solucioacuten de las integrales logariacutetmicas
1
2
3
4
5
6
7
8
9 - ln (sen x + cos x ) +C
10
11
3 integrales exponenciales
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4 integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5 Otras integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
- 21 x
4
6 Otras integrales
1
2
3
4
5
EJERCICIOS 2
I) RESOLVER LAS SIGUIENTES INTEGRALES INDEFINIDAS Y VERIFIQUE SU
RESPUESTA REALIZANDO LA DERIVADA
II) EVALUE LA INTEGRAL INDEFINIDA DADA USANDO UNA SUSTITUCION IDONEA
62)Problemas de integrales
1Hallar una funcioacuten F(x) cuya derivada sea f(x) = x + 6 y tal que para x = 2
tome el valor 25
RESPUESTA
2De las inf in itas funciones primitivas de la funcioacuten y = xsup2 - x + 1 iquestcuaacutel
es la que para x = 3 toma el valor 5
RESPUESTA
3Hallar una recta cuya pendiente es 2 y pasa por eacutel punto P(0 4)
RESPUESTA f(x) = 2x + 4
4Escribe la funcioacuten primitiva de y = xsup2 + 2x cuya representacioacuten graacutef ica pasa
por eacutel punto (1 3)
RESPUESTA
5Calcular la ecuacioacuten de la curva que pasa por P(1 5) y cuya pendiente en cualquier punto es
3xsup2 + 5x minus 2
RESPUESTA
6Hallar la primitiva de la funcioacuten que se anula para x = 2
RESPUESTA
CAPITULO 3
INTEGRACION POR PARTES
Definicioacuten
Existen varios meacutetodos de integracioacuten consistiendo todos ellos en reducir la integral buscada a una inteacutegrala conocida como por ejemplo una de las de la tabla o bien reducirla una integral maacutes sencilla
El meacutetodo de integracioacuten por partes estaacute basado en la derivada de un producto de funciones como se muestra a continuacioacuten
d(umiddotv) = u dv + v du
por eso es que se usa para integrales que contienen dos funciones que se multiplican entre si
intd(umiddotv) = intu dv + intv du
Se llama integracioacuten por partes porque la integral se divide en dos partes en una el integrando es u y otra en la otra es v La integral debe estar completa y sin alterar la operacioacuten dentro de ella Consejos
La funcioacuten correspondiente a dv debe ser la funcioacuten maacutes faacutecil de integrar 2- En u deben ir aquellas funciones que no tienen integral directa (funciones logariacutetmicas e inversas) luego se pueden considerar las funciones algebraicas puesto que la derivada es reductiva Las funciones trigonomeacutetricas y exponenciales son maacutes sencillas de trabajar
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRACIOacuteN POR PARTES
1-
2-
3-
4-
5-
6-
7-
8-
9-
10-
INTEGRACION POR PARTES
MATERIAL DE APOYO
VIDEOS DE INTEGRACION POR PARTES
1) httpswwwprofesor10dematescom201505integrales-por-partes-resueltashtml
2) httpwwwsietecolinasesmaterialesmatintegrales-4pdf
3) httpsgpweiztuammxfilesusersuamijdfmetodos_de_integracionintegracion_por_partesp
df
EJERCICIOS EJERCICIOS PARA RESOLVER POR PARTES
1) L=Ln
R
2) R
3) R
4) R
5) R 6) R
7) R
8) R
9) R L=Ln
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
15) R
16) R
17) R
18) R
19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
INTEGRAL RESPUESTA
26) x senx dx sen x xcos x c
27) ln x dx 1x ln x c
28)2
xx sen dx 4 2
2 2
x xsen xcos c
29) x cos nx dx 2
cos nx x sennxc
nn
30) 2 u sec u du utgu lncosu c
31) 2 3 u sen v dv 21 1 16 6
4 12 72v v sen v cos v c
32) 2 y senny dy 2
3 2
2 2cosny y senny y cosnyc
nn n
33) 2 xa dx 2
1x xa c
lna ln a
34) nx ln x dx 1 1
1 1
nx
ln x cn n
35) arc sen x dx 2 1x arc sen x x c
36) arc tg x dx 21 1
2x arc tg x ln x c
37) arc c tg y dy 21 1
2y arc c tg y ln y c
38) 2 arc cos x dx 21 2 1 4
2x arc cos x x c
39) arc sec y dy 2 1y arc sec y ln y y c
40) 2
tarc csc dt 2 2 4
2
tt arc csc ln t t c
41) x arc tg x dx 2 1
2 2
x xarc tg x c
42) arc tg x dx 1 x arc tg x x c
43) 2 xx e dx
22 2xe x x c
44) e cos d
2
esen cos c
45)
2
1
ln x dx
x 1
1
xln x ln x c
x
CAPITULO 4
FUNCIONES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
1) httpwwwmtyitesmmxetiedeptosmma-841recursostab-hippdf
2) httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCION
ES20HIPERBOLICASpdfsequence=1
FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS HIPERBOacuteLICAS
Definicioacuten de las funciones
Un ciacuterculo unitario con centro en el origen sigue la foacutermula 1yx 22 un punto dado por el par
ordenado yx se puede representar como funcioacuten de un aacutengulo t de la siguiente manera
senttcosyx De igual manera una hipeacuterbola unitaria con centro en el origen sigue la foacutermula
1yx 22 un punto dado por el par ordenado yx se puede representar como funcioacuten del aacutengulo t
de la siguiente manera senhttcoshyx Estas funciones se denominan funciones trigonomeacutetricas
hiperboacutelicas en particular coseno hiperboacutelico y seno hiperboacutelico
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas presentan propiedades anaacutelogas a las de las funciones
trigonomeacutetricas o circulares La funcioacuten xsenhxf se define como 2
eexsenh
xx mientras que
la funcioacuten xcoshxf es 2
eexcosh
xx
Al igual que las funciones trigonomeacutetricas circulares en las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas se
cumplen las siguientes identidades fundamentales
xx
xx
xx
xx
xx
xx
ee
2
xsenh
1xhcsc
ee
2
xcosh
1xhsec
ee
ee
xsenh
xcoshxcoth
ee
ee
xcosh
xsenhxtanh
Debido a esto es loacutegico pensar que habraacute una relacioacuten equivalente al Teorema de Pitaacutegoras Asiacute
para las funciones hiperboacutelicas se sabe que 1xsenhxcosh 22
Ejemplo 1
Demostrar que 1xsenhxcosh 22
11
14
4
14
2
4
2
14
ee2
4
ee2
14
eee2e
4
eee2e
12
ee
2
ee
1xsenhxcosh
xxxx
x2xxx2x2xxx2
2xx
2xx
22
Graacutefica de las funciones
Sea la funcioacuten 2
eexsenhxf
xx Las intersecciones se pueden encontrar igualando la funcioacuten
a cero
0x
0x2
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
02
ee
x2
x
x
xx
xx
xx
La funcioacuten seno hiperboacutelico tiene una sola raiacutez en x=0 Para obtener los puntos criacuteticos se iguala a
cero la derivada de la funcioacuten
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
0ee2
1
ee2
1ee
dx
d
2
1
2
ee
dx
d
dx
df
x2
x
x
xx
xx
xx
xxxxxx
por lo tanto no hay puntos criacuteticos Es interesante notar que la derivada de la funcioacuten senh(x) es la
funcioacuten cosh(x)
Por uacuteltimo puntos inflexioacuten se pueden encontrar en donde la segunda derivada es igual a cero
xxxxxx
2
2
ee2
1ee
dx
d
2
1ee
2
1
dx
d
dx
fd
La segunda derivada nos llevoacute nuevamente a la funcioacuten senh(x) Esta funcioacuten ya se igualoacute a cero
para encontrar las intersecciones El resultado es que en x=0 hay una raiacutez que a su vez es un punto
de inflexioacuten
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
La misma funcioacuten 2
eexsenhxf
xx se puede ver como la resta de dos funciones exponenciales
2
e
2
e
2
ee xxxx
La graacutefica de estas dos funciones exponenciales se muestra en azul (exponencial
positiva) y verde (exponencial negativa) La resta de ambas punto por punto es la funcioacuten senh(x)
Derivadas
ucoshdx
duusenh
dx
dxcosh
2
ee
2
ee
dx
dxsenh
dx
d xxxx
usenhdx
duucosh
dx
dxsenh
2
ee
2
ee
dx
dxcosh
dx
d xxxx
uhsecdx
duutanh
dx
d
xhsecxcosh
1
xcosh
xsenhxcosh
xcosh
senhx
dx
dxtanh
dx
d
2
2
22
22
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
uhcscdx
duucoth
dx
d
xhcscxsenh
1
xsenh
xcoshxsenh
senhx
xcosh
dx
dxcoth
dx
d 2
22
22
uhsecutanhdx
duuhsec
dx
d
hxsecxtanhxcosh
1
xcosh
senhx
xcosh
senhx
xcosh
1
dx
dxhsec
dx
d2
uhcscucothdx
duuhcsc
dx
d
hxcscxcothsenhx
1
senhx
xcosh
xsenh
xcosh
senhx
1
dx
dxhcsc
dx
d2
Ejemplo 2
Derivar la funcioacuten 3x4tanhxf 2
La funcioacuten maacutes externa es la raiacutez por lo tanto es la primera en derivarse
3x4tanh2
3x4hsecx83x4tanh
dx
d
3x4tanh2
1
dx
df
2
222
2
Ejemplo 3
Derivar la funcioacuten 2x3cosh2x3tanhlnxf 22
La funcioacuten maacutes externa es el logaritmo por lo tanto es el primero en derivarse
2x3cosh2x3tanh
2x3xsenh62x3hsecx6
dx
df22
222
Integrales
Utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se puede establecer que
cuhcscduucothuhcsc
cuhsecduutanhuhsec
cucothduuhcsc
cutanhduuhsec
cusenhduucosh
cucoshduusenh
2
2
Utilizando estas foacutermulas se pueden establecer las siguientes
Ejemplo 4
Hallar la foacutermula para la integral de la tangente hiperboacutelica
dxxcosh
xsenhdxxtanh
Se hace un cambio de variable en donde dxxsenhduxcoshu Al sustituir la integral anterior
cambia a
cxcoshlnculnu
dudx
xcosh
xsenhdxxtanh
Se puede utilizar el mismo procedimiento para hallar las siguientes foacutermulas
cusenhlnduucoth
cucoshlnduutanh
Ejemplo 5
Resolver las siguientes integrales
dxx3senhx 32
Se realiza el cambio de variable dxx9
dux3u 23 por lo tanto la integral se puede escribir como
cx3cosh9
1cucosh
9
1duusenh
9
1
9
duusenhdxx3senhx 332
dx
x
xlnhsec 2
Se realiza el cambio de variablex
dxduxlnu por lo tanto la integral se puede escribir como
cxlntanhcutanhduuhsecdx
x
xlnhsec2
2
1
0
dxxcoshxsenh
Se realiza el cambio de variable dxxsenhduxcoshu por lo tanto la integral se puede escribir
como
1x
0x
1
0
2 duudxxcoshxsenh
Sin embargo dado que u=senh(x) si x=0 entonces 02
ee0senhu
00
Cuando x=1 entonces
e2
1e
2
e
1e
2
e
1e
2
ee1senhu
2
2
11
La integral es
2
32
23
23
2
e2
1e
0
23
e2
1e
0
1x
0x
1
0
2
e2
1e
3
20
3
2
e2
1e
3
2
u3
2duuduudxxcoshxsenh
22
Inversas
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas tienen funciones inversas que comuacutenmente se denotan
como 1senh o bien como arcsenh donde la funcioacuten recibe el nombre de seno hiperboacutelico inverso
Dado que las funciones estaacuten definidas en teacuterminos de exponenciales es de esperarse que sus
inversas incluyan logaritmos naturales Se pueden definir como
1x0parax
x11lnxhsec
1xparax1
x1ln
2
1xtanh
1xpara1xxlnxcosh
1xxlnxsenh
21
1
21
21
Las derivadas e integrales de estas funciones se resuelven igual que las funciones trigonomeacutetricas
inversas
Ejemplo 6
Obtener la foacutermula para la derivada de la funcioacuten xsenhy 1
Dado que no se conoce la derivada del seno hiperboacutelico inverso pero siacute la del seno hiperboacutelico se
pueden utilizar el concepto de la funcioacuten inversa y la derivada impliacutecita para hallar la foacutermula en
cuestioacuten
ycosh
1y
1yacutecoshy
xysenh
xsenhy 1
Se sabe que 1ysenhycosh 22 por lo tanto 1ysenhycosh 22 y la funcioacuten senhy=x entonces
1xycosh 2 Al sustituir se obtiene
1x
1y
2
El mismo meacutetodo se puede utilizar para encontrar cualquiera de las siguientes foacutermulas
1u
dxdu
usenhdx
d
2
1
1u1u
dxdu
ucoshdx
d
2
1
1uu1
dxdu
utanhdx
d2
1
1u0u1u
dxdu
uhsecdx
d
2
1
Ejemplo 7
Determinar si la funcioacuten 3xxsenhxf 21 es creciente o decreciente en el punto x=2
Se debe resolver la derivada de la multiplicacioacuten
10x6x
x23xsenh
19x6x
x23xsenh
13x
x2x3xsenh
dx
df
24
221
24
221
22
21
Se busca conocer como es la funcioacuten en x=2 por lo tanto se sustituye en la derivada
773131642077
80714ln
25
8257ln
225
82257ln
50
81497ln
102416
87senh
dx
df 1
2x
La funcioacuten es creciente crece a una razoacuten de 377
Las foacutermulas para la integracioacuten salen utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo y a partir de las
foacutermulas de derivacioacuten
0aca
usenhdu
ua
1 1
22
0auca
ucoshdu
au
1 1
22
au0aca
utanh
a
1du
ua
1 1
22
au00aca
uhsec
a
1du
uau
1 1
22
Ejemplo 8
Resolver la integral
dxe25
e
x6
x3
Esta integral es como la de la tangente hiperboacutelica inversa donde 5a25a 2
dxe3
dueueu x3x3x62 Al sustituir esto en la integral
c5
etanh
15
1c
5
etanh
5
1
3
1
u25
du
3
1
u25
3du x3
1x3
1
22
Aplicaciones
La velocidad de las olas en el mar bajo ciertas condiciones depende de la longitud de onda
(distancia entre cresta y cresta) y de la profundidad del agua por donde viajan las olas h La funcioacuten
que relaciona estas variables es
h2tanh
2
gv 2
donde v es la velocidad y g es la gravedad
Suponiendo que se mantiene h constante esto es que el oleaje se propaga por un oceacuteano de
profundidad constante (50 m) determinar si la velocidad aumenta o disminuye cuando m5
h2hsec
ghh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2hsec
h2
2
gh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2tanh
2
gv
h2tanh
2
gv
2
2
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
728d
dv
5
502hsec
5
50819
5
502tanh
2
819
5
502tanh
2
58192
1
d
dv 2
Entonces para este valor de la longitud de onda y de la profundidad la velocidad de la ola va
aumentando respecto a la longitud de onda
Si se requiere ahora saber como va cambiando la velocidad de propagacioacuten del oleaje respecto a la
profundidad del mar para una longitud de onda de 5 m se deberaacute entonces derivar respecto a h Sea
una profundidad de 7 m
h2tanh
2
g2
h2hsecg
dh
dv
h2hsec
2
2
g
h2tanh
2
g2
1
dh
dv
h2tanh
2
gv
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
77
2
2
1061595
10918
5
14tanh
2
05492
5
14hsec819
dh
dv
5
72tanh
2
58192
5
72hsec819
dh
dv
Asiacute que aunque la velocidad de propagacioacuten del oleaje va aumentando respecto a la profundidad la
razoacuten de cambio es muy pequentildea
EJERCICIOS DE DERIVADAS HIPERBOLICAS
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6) R
7) R
8) AYUDA R
9) R 10) R
11) R 12) R
13) R
14)DEMOSTRAR
AYUDA
15)
AYUDA
INTEGRALES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
httpcalculoccfunciones_hiperbolicasp_integrales_hiperbhtml
httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCIONES20
HIPERBOLICASpdfsequence=1
httpseswikipediaorgwikiAnexoIntegrales_de_funciones_hiperbC3B3licas
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES HIPERBOLICAS
2)
3)
5)
6)
8)
Resolvemos ambas integrales mediante integracioacuten por partes
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 5 u = 3x
11)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 3 u = 4x
13)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = radic7 u = 5x
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION MATERIAL DE APOYO
800 INTEGRALES RESUELTAS
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_metodosproblemasp_integr_sust_trigohtml
httpsmatematicasnblogspotcom201512integracion-por-sustitucionhtml CON VIDEOS INCLUIDOS
httpsdspaceupseduecbitstream12345678961191Manual20de20fracciones20parcialespdf
httpwwwtesoemedumxalumnoscuadernillos2011011pdf
httpprofe-alexzblogspotcom201104integracion-fracciones-parcialeshtml Y VIDEOS
httpswwwsectormatematicacl rsaquo media rsaquo diferenciado rsaquo FRACCIONES P httpswwwipnmxassetsfilescecyt11docsGuiasUABasicasMatematicascalculo-integral-solucion-de-problemasPDF
httpswwwacademiaedu7708664CC381LCULO_INTEGRAL_EJERCICIOS_RESUELTOS_PASO_A_PASO
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1 Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de
variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de
la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que
contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe
ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
CAPITULO 2
INTEGRALES INMEDIATAS Y POR SUSTITUCION IDONEA
FUENTE httpscampusdematematicascomtablas-y-formulariostabla-de-integrales
II) TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS
OTRAS FORMULAS
GUIA DE EJEMPLOS DE INTEGRALES POR SUSTITUCION
INTEGRALES POR SUSTITUCION
RESOLVERint radic3 119909 + 5 119889119909 = 119868 Sea 119889119906 = 3 119909 + 5
119889119906 = 3 119889119909 = 119889119909 =119889119906
3
Al sustituir tenemos
119868 = int 11990612
119889119906
3 =
1
3 int 119906
12 119889119906
119868 =1
3(
11990632
32
) + 119862 = 2
911990632 + 119862
119868 = 2
9(3119909 + 2)32 + 119862
RESOLVER int119909119889119909
(1199092+ 4)2 = 119868
Sea 119906 = 1199092 + 4
119889119906 = 2119909 119889119909 = 119909119889119909 =119889119906
2
1
2
Al sustituir tenemos
119868 = int119889119906
21199062 =
1
2 int 119906minus2 119889119906
119868 =1
2(
119906minus1
minus1) + 119862 =
1
2119906minus1 + 119862
119868 = 1
2(1199092 + 4)minus1 + 119862
119868 = 1
2(1199092 + 4)+ 119862
RESOLVER int119904119890119899 119889119909
radic1+2 cos 119909 = 119868
Sea 119906 = 1 + 2 cos 119909
119889119906 = minus2 119904119890119899 119909119889119909 = 119904119890119899 119909 119889119909 = minus119889119906
2
Al sustituir tenemos
119868 = intminus119889119906
211990612 = minus
1
2 int
119889119906
11990612
119868 = minus1
2int 119906minus12119889119906 = minus
1
2(
11990612
12
) + 119862
119868 = minus11990612 + 119862 = minus(1 + 2 cos 119909) 12 + 119862
119868 = minus radic1 + 2 cos 119909 + 119862 DE AQUIacute EN ADELANTE TU LLEGAS A LA RESPUESTA
RESOLVER int119909119889119909
radic119909+1 = 119868
Sea 119906 = radic119909 + 1
1199062 = 119909 + 1 = 119909 = 1199062 minus 1
3
4
2119906119889119906 = 119889119909
CONTINUA
R 119868 =2
3radic119909 + 1(119909 minus 2) + 119862
5)
int 1199092radic2 minus 119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = radic2 minus 119909
1199062 = 2 minus 119909 = 119909 = 2 minus 1199062 119889119909 = minus2119906119889119906
Reemplazando
119868 = int(2 minus 1199062)2(minus2119906119889119906)(119906)
119868 = minus2 int(4 minus 41199062 + 1199064)1199062119889119906
COMPLETA
Rminus2
105(2 minus 119909 )32(140 minus 84(2 minus 119909) + 15(2 minus 119909)2) + 119862
RSOLVER int119909119889119909
radic1199092+9 = 119868
Sea 119906 = 1199092+9
119889119906 = 2119909119889119909 = 119909119889119909 =119889119906
2
Sustituyendo tenemos119868 = int119889119906
211990612 = 2 int 119906minus12 119889119906
COMPLETA
R 119868 = radic1199092 + 9 + 119862
7) RESOLVER int radic1 + radic119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = radic1 + radic119909 1199062 = 1 + radic119909 = 1199062 minus 1 = radic119909 (1199062 minus 1)2 = 119909 2(1199062 minus 1)(2119906)119889119906 = 119889119909 Reemplazando
6
119868 = int 119906[2(1199062 minus 1)2(2119906)] 119889119906 119868 = 4 int 1199062(1199062 minus 1)119889119906 119868 = 4 int(1199064 minus 1199062)119889119906
119868 = (1199064
5minus +
1199063
3) + 119862
Termiacutenalo
R
4(1 + radic3)32
[3(1 + radic119909) minus 5] + 119862
8) RESOLVER
int 119890119909radic1 + 119890119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = 1 + 119890119909 119889119906 = 119890119909 119889119909 Reemplazando tenemos
119868 = int 11990612 119889119906
TERMINALO R 119868 =2
3(1 + 119890119909)32 + 119862
9) RESOLVER int 1199051198861198993119909 1199041198901198882119909 119889119909 = 119868 Sea 119906 = tan 119909
119889119906 = 1199041198901198882119909119889119909
TERMINALO R 119868 =1199051198861198994119909
4 + 119862
10)119877119864119878119874119871119881119864119877 int1199092+2119909
(119909+ 1)2 119889119909 = 119868
Al hacer el binomio y dividir se tiene
(119909 + 1)2 = 1 minus1
1199092+2119909+1 Al sustituir 119868 = int (1 minus
119909
(119909+1)2) 119889119909 = int 119889119909 minus int
119889119909
(119909+1)2
119868 = 119909 minus int119889119909
(119909+1)2
R 119868 = 119909 minus (minus 1
119909+1) + 119862 = 119909 +
1
119909+1+ 119862
11) RESOLVER int2+radic119909
1minusradic119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = 1 minus radic119909 radic119909 = 1 minus 119906 = 119909 = (1 minus 119906)2 119889119909 = 2(1 minus 119906)(minus1)119889119906 = 2(1 minus 119906)119889119906
Ahora 2 + radic119909 = 2 + (1 minus 119906) = 3 minus 119906
Al integrar 119868 = int (3minus119906
119906) [minus2(1 minus 119906)] 119889119906 119864119873119879119874119873119862119864119878 (3 int
119889119906
119906minus 4 int 119889119906 + int 119906 119889119906)
CUAL SERIA LA RESPUESTA MATERIAL DE APOYO httpscursodecalculofileswordpresscom201305ejercicios-resueltos-de-
integral-2-integrales-por-sustitucic3b3n-o-cambio-de-variablepdf
EJERCICIOS 1
I) USANDO LA TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS Y LAS OTRAS FORMULAS RESOLVER
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6 ) R 7) R
8) R 9) R
10) R
11) R 12) R
13) R
14) R 15) R
16) R 17)
18) R 19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
27) R 28) R
29 ) R
30) R
31) R 32) R
33) R
34) R 35) R
36) R 37) R
38) R
39) DEMUESTRE LAS SIGUIENTES IGUALDADES
40) USANDO LAS SIGUIENTES IGUALDADES
RESOLVERA) R
B) R
C) R
II) RESUELVE LAS SIGUIENTES INTEGRTALES DEFINIDAS Y GRAFIQUELAS
SOLUCION
A) 8
b) e-1
c) 1
d) 103
e) I
I I I ) TALLER INTEGRALES PARA COMPLETAR
OBSERVA LAS INTEGRALES RESUELTAS EN LA MAYORIA DE LOS CASOS
FALTA LA SUSTITUCION IDONEA POR AGREGAR AL DESARROLLO DEL
EJERCICIO Y ESA SUSTITUCION PUEDE SER ALGEBRAICA O FALTA EL
CAMBIO DE VARIABLE RESPECTIVO
1) INTEGRALES INMEDIATAS
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
2 Solucioacuten de las integrales logariacutetmicas
1
2
3
4
5
6
7
8
9 - ln (sen x + cos x ) +C
10
11
3 integrales exponenciales
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4 integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5 Otras integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
- 21 x
4
6 Otras integrales
1
2
3
4
5
EJERCICIOS 2
I) RESOLVER LAS SIGUIENTES INTEGRALES INDEFINIDAS Y VERIFIQUE SU
RESPUESTA REALIZANDO LA DERIVADA
II) EVALUE LA INTEGRAL INDEFINIDA DADA USANDO UNA SUSTITUCION IDONEA
62)Problemas de integrales
1Hallar una funcioacuten F(x) cuya derivada sea f(x) = x + 6 y tal que para x = 2
tome el valor 25
RESPUESTA
2De las inf in itas funciones primitivas de la funcioacuten y = xsup2 - x + 1 iquestcuaacutel
es la que para x = 3 toma el valor 5
RESPUESTA
3Hallar una recta cuya pendiente es 2 y pasa por eacutel punto P(0 4)
RESPUESTA f(x) = 2x + 4
4Escribe la funcioacuten primitiva de y = xsup2 + 2x cuya representacioacuten graacutef ica pasa
por eacutel punto (1 3)
RESPUESTA
5Calcular la ecuacioacuten de la curva que pasa por P(1 5) y cuya pendiente en cualquier punto es
3xsup2 + 5x minus 2
RESPUESTA
6Hallar la primitiva de la funcioacuten que se anula para x = 2
RESPUESTA
CAPITULO 3
INTEGRACION POR PARTES
Definicioacuten
Existen varios meacutetodos de integracioacuten consistiendo todos ellos en reducir la integral buscada a una inteacutegrala conocida como por ejemplo una de las de la tabla o bien reducirla una integral maacutes sencilla
El meacutetodo de integracioacuten por partes estaacute basado en la derivada de un producto de funciones como se muestra a continuacioacuten
d(umiddotv) = u dv + v du
por eso es que se usa para integrales que contienen dos funciones que se multiplican entre si
intd(umiddotv) = intu dv + intv du
Se llama integracioacuten por partes porque la integral se divide en dos partes en una el integrando es u y otra en la otra es v La integral debe estar completa y sin alterar la operacioacuten dentro de ella Consejos
La funcioacuten correspondiente a dv debe ser la funcioacuten maacutes faacutecil de integrar 2- En u deben ir aquellas funciones que no tienen integral directa (funciones logariacutetmicas e inversas) luego se pueden considerar las funciones algebraicas puesto que la derivada es reductiva Las funciones trigonomeacutetricas y exponenciales son maacutes sencillas de trabajar
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRACIOacuteN POR PARTES
1-
2-
3-
4-
5-
6-
7-
8-
9-
10-
INTEGRACION POR PARTES
MATERIAL DE APOYO
VIDEOS DE INTEGRACION POR PARTES
1) httpswwwprofesor10dematescom201505integrales-por-partes-resueltashtml
2) httpwwwsietecolinasesmaterialesmatintegrales-4pdf
3) httpsgpweiztuammxfilesusersuamijdfmetodos_de_integracionintegracion_por_partesp
df
EJERCICIOS EJERCICIOS PARA RESOLVER POR PARTES
1) L=Ln
R
2) R
3) R
4) R
5) R 6) R
7) R
8) R
9) R L=Ln
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
15) R
16) R
17) R
18) R
19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
INTEGRAL RESPUESTA
26) x senx dx sen x xcos x c
27) ln x dx 1x ln x c
28)2
xx sen dx 4 2
2 2
x xsen xcos c
29) x cos nx dx 2
cos nx x sennxc
nn
30) 2 u sec u du utgu lncosu c
31) 2 3 u sen v dv 21 1 16 6
4 12 72v v sen v cos v c
32) 2 y senny dy 2
3 2
2 2cosny y senny y cosnyc
nn n
33) 2 xa dx 2
1x xa c
lna ln a
34) nx ln x dx 1 1
1 1
nx
ln x cn n
35) arc sen x dx 2 1x arc sen x x c
36) arc tg x dx 21 1
2x arc tg x ln x c
37) arc c tg y dy 21 1
2y arc c tg y ln y c
38) 2 arc cos x dx 21 2 1 4
2x arc cos x x c
39) arc sec y dy 2 1y arc sec y ln y y c
40) 2
tarc csc dt 2 2 4
2
tt arc csc ln t t c
41) x arc tg x dx 2 1
2 2
x xarc tg x c
42) arc tg x dx 1 x arc tg x x c
43) 2 xx e dx
22 2xe x x c
44) e cos d
2
esen cos c
45)
2
1
ln x dx
x 1
1
xln x ln x c
x
CAPITULO 4
FUNCIONES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
1) httpwwwmtyitesmmxetiedeptosmma-841recursostab-hippdf
2) httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCION
ES20HIPERBOLICASpdfsequence=1
FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS HIPERBOacuteLICAS
Definicioacuten de las funciones
Un ciacuterculo unitario con centro en el origen sigue la foacutermula 1yx 22 un punto dado por el par
ordenado yx se puede representar como funcioacuten de un aacutengulo t de la siguiente manera
senttcosyx De igual manera una hipeacuterbola unitaria con centro en el origen sigue la foacutermula
1yx 22 un punto dado por el par ordenado yx se puede representar como funcioacuten del aacutengulo t
de la siguiente manera senhttcoshyx Estas funciones se denominan funciones trigonomeacutetricas
hiperboacutelicas en particular coseno hiperboacutelico y seno hiperboacutelico
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas presentan propiedades anaacutelogas a las de las funciones
trigonomeacutetricas o circulares La funcioacuten xsenhxf se define como 2
eexsenh
xx mientras que
la funcioacuten xcoshxf es 2
eexcosh
xx
Al igual que las funciones trigonomeacutetricas circulares en las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas se
cumplen las siguientes identidades fundamentales
xx
xx
xx
xx
xx
xx
ee
2
xsenh
1xhcsc
ee
2
xcosh
1xhsec
ee
ee
xsenh
xcoshxcoth
ee
ee
xcosh
xsenhxtanh
Debido a esto es loacutegico pensar que habraacute una relacioacuten equivalente al Teorema de Pitaacutegoras Asiacute
para las funciones hiperboacutelicas se sabe que 1xsenhxcosh 22
Ejemplo 1
Demostrar que 1xsenhxcosh 22
11
14
4
14
2
4
2
14
ee2
4
ee2
14
eee2e
4
eee2e
12
ee
2
ee
1xsenhxcosh
xxxx
x2xxx2x2xxx2
2xx
2xx
22
Graacutefica de las funciones
Sea la funcioacuten 2
eexsenhxf
xx Las intersecciones se pueden encontrar igualando la funcioacuten
a cero
0x
0x2
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
02
ee
x2
x
x
xx
xx
xx
La funcioacuten seno hiperboacutelico tiene una sola raiacutez en x=0 Para obtener los puntos criacuteticos se iguala a
cero la derivada de la funcioacuten
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
0ee2
1
ee2
1ee
dx
d
2
1
2
ee
dx
d
dx
df
x2
x
x
xx
xx
xx
xxxxxx
por lo tanto no hay puntos criacuteticos Es interesante notar que la derivada de la funcioacuten senh(x) es la
funcioacuten cosh(x)
Por uacuteltimo puntos inflexioacuten se pueden encontrar en donde la segunda derivada es igual a cero
xxxxxx
2
2
ee2
1ee
dx
d
2
1ee
2
1
dx
d
dx
fd
La segunda derivada nos llevoacute nuevamente a la funcioacuten senh(x) Esta funcioacuten ya se igualoacute a cero
para encontrar las intersecciones El resultado es que en x=0 hay una raiacutez que a su vez es un punto
de inflexioacuten
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
La misma funcioacuten 2
eexsenhxf
xx se puede ver como la resta de dos funciones exponenciales
2
e
2
e
2
ee xxxx
La graacutefica de estas dos funciones exponenciales se muestra en azul (exponencial
positiva) y verde (exponencial negativa) La resta de ambas punto por punto es la funcioacuten senh(x)
Derivadas
ucoshdx
duusenh
dx
dxcosh
2
ee
2
ee
dx
dxsenh
dx
d xxxx
usenhdx
duucosh
dx
dxsenh
2
ee
2
ee
dx
dxcosh
dx
d xxxx
uhsecdx
duutanh
dx
d
xhsecxcosh
1
xcosh
xsenhxcosh
xcosh
senhx
dx
dxtanh
dx
d
2
2
22
22
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
uhcscdx
duucoth
dx
d
xhcscxsenh
1
xsenh
xcoshxsenh
senhx
xcosh
dx
dxcoth
dx
d 2
22
22
uhsecutanhdx
duuhsec
dx
d
hxsecxtanhxcosh
1
xcosh
senhx
xcosh
senhx
xcosh
1
dx
dxhsec
dx
d2
uhcscucothdx
duuhcsc
dx
d
hxcscxcothsenhx
1
senhx
xcosh
xsenh
xcosh
senhx
1
dx
dxhcsc
dx
d2
Ejemplo 2
Derivar la funcioacuten 3x4tanhxf 2
La funcioacuten maacutes externa es la raiacutez por lo tanto es la primera en derivarse
3x4tanh2
3x4hsecx83x4tanh
dx
d
3x4tanh2
1
dx
df
2
222
2
Ejemplo 3
Derivar la funcioacuten 2x3cosh2x3tanhlnxf 22
La funcioacuten maacutes externa es el logaritmo por lo tanto es el primero en derivarse
2x3cosh2x3tanh
2x3xsenh62x3hsecx6
dx
df22
222
Integrales
Utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se puede establecer que
cuhcscduucothuhcsc
cuhsecduutanhuhsec
cucothduuhcsc
cutanhduuhsec
cusenhduucosh
cucoshduusenh
2
2
Utilizando estas foacutermulas se pueden establecer las siguientes
Ejemplo 4
Hallar la foacutermula para la integral de la tangente hiperboacutelica
dxxcosh
xsenhdxxtanh
Se hace un cambio de variable en donde dxxsenhduxcoshu Al sustituir la integral anterior
cambia a
cxcoshlnculnu
dudx
xcosh
xsenhdxxtanh
Se puede utilizar el mismo procedimiento para hallar las siguientes foacutermulas
cusenhlnduucoth
cucoshlnduutanh
Ejemplo 5
Resolver las siguientes integrales
dxx3senhx 32
Se realiza el cambio de variable dxx9
dux3u 23 por lo tanto la integral se puede escribir como
cx3cosh9
1cucosh
9
1duusenh
9
1
9
duusenhdxx3senhx 332
dx
x
xlnhsec 2
Se realiza el cambio de variablex
dxduxlnu por lo tanto la integral se puede escribir como
cxlntanhcutanhduuhsecdx
x
xlnhsec2
2
1
0
dxxcoshxsenh
Se realiza el cambio de variable dxxsenhduxcoshu por lo tanto la integral se puede escribir
como
1x
0x
1
0
2 duudxxcoshxsenh
Sin embargo dado que u=senh(x) si x=0 entonces 02
ee0senhu
00
Cuando x=1 entonces
e2
1e
2
e
1e
2
e
1e
2
ee1senhu
2
2
11
La integral es
2
32
23
23
2
e2
1e
0
23
e2
1e
0
1x
0x
1
0
2
e2
1e
3
20
3
2
e2
1e
3
2
u3
2duuduudxxcoshxsenh
22
Inversas
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas tienen funciones inversas que comuacutenmente se denotan
como 1senh o bien como arcsenh donde la funcioacuten recibe el nombre de seno hiperboacutelico inverso
Dado que las funciones estaacuten definidas en teacuterminos de exponenciales es de esperarse que sus
inversas incluyan logaritmos naturales Se pueden definir como
1x0parax
x11lnxhsec
1xparax1
x1ln
2
1xtanh
1xpara1xxlnxcosh
1xxlnxsenh
21
1
21
21
Las derivadas e integrales de estas funciones se resuelven igual que las funciones trigonomeacutetricas
inversas
Ejemplo 6
Obtener la foacutermula para la derivada de la funcioacuten xsenhy 1
Dado que no se conoce la derivada del seno hiperboacutelico inverso pero siacute la del seno hiperboacutelico se
pueden utilizar el concepto de la funcioacuten inversa y la derivada impliacutecita para hallar la foacutermula en
cuestioacuten
ycosh
1y
1yacutecoshy
xysenh
xsenhy 1
Se sabe que 1ysenhycosh 22 por lo tanto 1ysenhycosh 22 y la funcioacuten senhy=x entonces
1xycosh 2 Al sustituir se obtiene
1x
1y
2
El mismo meacutetodo se puede utilizar para encontrar cualquiera de las siguientes foacutermulas
1u
dxdu
usenhdx
d
2
1
1u1u
dxdu
ucoshdx
d
2
1
1uu1
dxdu
utanhdx
d2
1
1u0u1u
dxdu
uhsecdx
d
2
1
Ejemplo 7
Determinar si la funcioacuten 3xxsenhxf 21 es creciente o decreciente en el punto x=2
Se debe resolver la derivada de la multiplicacioacuten
10x6x
x23xsenh
19x6x
x23xsenh
13x
x2x3xsenh
dx
df
24
221
24
221
22
21
Se busca conocer como es la funcioacuten en x=2 por lo tanto se sustituye en la derivada
773131642077
80714ln
25
8257ln
225
82257ln
50
81497ln
102416
87senh
dx
df 1
2x
La funcioacuten es creciente crece a una razoacuten de 377
Las foacutermulas para la integracioacuten salen utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo y a partir de las
foacutermulas de derivacioacuten
0aca
usenhdu
ua
1 1
22
0auca
ucoshdu
au
1 1
22
au0aca
utanh
a
1du
ua
1 1
22
au00aca
uhsec
a
1du
uau
1 1
22
Ejemplo 8
Resolver la integral
dxe25
e
x6
x3
Esta integral es como la de la tangente hiperboacutelica inversa donde 5a25a 2
dxe3
dueueu x3x3x62 Al sustituir esto en la integral
c5
etanh
15
1c
5
etanh
5
1
3
1
u25
du
3
1
u25
3du x3
1x3
1
22
Aplicaciones
La velocidad de las olas en el mar bajo ciertas condiciones depende de la longitud de onda
(distancia entre cresta y cresta) y de la profundidad del agua por donde viajan las olas h La funcioacuten
que relaciona estas variables es
h2tanh
2
gv 2
donde v es la velocidad y g es la gravedad
Suponiendo que se mantiene h constante esto es que el oleaje se propaga por un oceacuteano de
profundidad constante (50 m) determinar si la velocidad aumenta o disminuye cuando m5
h2hsec
ghh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2hsec
h2
2
gh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2tanh
2
gv
h2tanh
2
gv
2
2
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
728d
dv
5
502hsec
5
50819
5
502tanh
2
819
5
502tanh
2
58192
1
d
dv 2
Entonces para este valor de la longitud de onda y de la profundidad la velocidad de la ola va
aumentando respecto a la longitud de onda
Si se requiere ahora saber como va cambiando la velocidad de propagacioacuten del oleaje respecto a la
profundidad del mar para una longitud de onda de 5 m se deberaacute entonces derivar respecto a h Sea
una profundidad de 7 m
h2tanh
2
g2
h2hsecg
dh
dv
h2hsec
2
2
g
h2tanh
2
g2
1
dh
dv
h2tanh
2
gv
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
77
2
2
1061595
10918
5
14tanh
2
05492
5
14hsec819
dh
dv
5
72tanh
2
58192
5
72hsec819
dh
dv
Asiacute que aunque la velocidad de propagacioacuten del oleaje va aumentando respecto a la profundidad la
razoacuten de cambio es muy pequentildea
EJERCICIOS DE DERIVADAS HIPERBOLICAS
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6) R
7) R
8) AYUDA R
9) R 10) R
11) R 12) R
13) R
14)DEMOSTRAR
AYUDA
15)
AYUDA
INTEGRALES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
httpcalculoccfunciones_hiperbolicasp_integrales_hiperbhtml
httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCIONES20
HIPERBOLICASpdfsequence=1
httpseswikipediaorgwikiAnexoIntegrales_de_funciones_hiperbC3B3licas
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES HIPERBOLICAS
2)
3)
5)
6)
8)
Resolvemos ambas integrales mediante integracioacuten por partes
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 5 u = 3x
11)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 3 u = 4x
13)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = radic7 u = 5x
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION MATERIAL DE APOYO
800 INTEGRALES RESUELTAS
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_metodosproblemasp_integr_sust_trigohtml
httpsmatematicasnblogspotcom201512integracion-por-sustitucionhtml CON VIDEOS INCLUIDOS
httpsdspaceupseduecbitstream12345678961191Manual20de20fracciones20parcialespdf
httpwwwtesoemedumxalumnoscuadernillos2011011pdf
httpprofe-alexzblogspotcom201104integracion-fracciones-parcialeshtml Y VIDEOS
httpswwwsectormatematicacl rsaquo media rsaquo diferenciado rsaquo FRACCIONES P httpswwwipnmxassetsfilescecyt11docsGuiasUABasicasMatematicascalculo-integral-solucion-de-problemasPDF
httpswwwacademiaedu7708664CC381LCULO_INTEGRAL_EJERCICIOS_RESUELTOS_PASO_A_PASO
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1 Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de
variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de
la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que
contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe
ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
FUENTE httpscampusdematematicascomtablas-y-formulariostabla-de-integrales
II) TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS
OTRAS FORMULAS
GUIA DE EJEMPLOS DE INTEGRALES POR SUSTITUCION
INTEGRALES POR SUSTITUCION
RESOLVERint radic3 119909 + 5 119889119909 = 119868 Sea 119889119906 = 3 119909 + 5
119889119906 = 3 119889119909 = 119889119909 =119889119906
3
Al sustituir tenemos
119868 = int 11990612
119889119906
3 =
1
3 int 119906
12 119889119906
119868 =1
3(
11990632
32
) + 119862 = 2
911990632 + 119862
119868 = 2
9(3119909 + 2)32 + 119862
RESOLVER int119909119889119909
(1199092+ 4)2 = 119868
Sea 119906 = 1199092 + 4
119889119906 = 2119909 119889119909 = 119909119889119909 =119889119906
2
1
2
Al sustituir tenemos
119868 = int119889119906
21199062 =
1
2 int 119906minus2 119889119906
119868 =1
2(
119906minus1
minus1) + 119862 =
1
2119906minus1 + 119862
119868 = 1
2(1199092 + 4)minus1 + 119862
119868 = 1
2(1199092 + 4)+ 119862
RESOLVER int119904119890119899 119889119909
radic1+2 cos 119909 = 119868
Sea 119906 = 1 + 2 cos 119909
119889119906 = minus2 119904119890119899 119909119889119909 = 119904119890119899 119909 119889119909 = minus119889119906
2
Al sustituir tenemos
119868 = intminus119889119906
211990612 = minus
1
2 int
119889119906
11990612
119868 = minus1
2int 119906minus12119889119906 = minus
1
2(
11990612
12
) + 119862
119868 = minus11990612 + 119862 = minus(1 + 2 cos 119909) 12 + 119862
119868 = minus radic1 + 2 cos 119909 + 119862 DE AQUIacute EN ADELANTE TU LLEGAS A LA RESPUESTA
RESOLVER int119909119889119909
radic119909+1 = 119868
Sea 119906 = radic119909 + 1
1199062 = 119909 + 1 = 119909 = 1199062 minus 1
3
4
2119906119889119906 = 119889119909
CONTINUA
R 119868 =2
3radic119909 + 1(119909 minus 2) + 119862
5)
int 1199092radic2 minus 119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = radic2 minus 119909
1199062 = 2 minus 119909 = 119909 = 2 minus 1199062 119889119909 = minus2119906119889119906
Reemplazando
119868 = int(2 minus 1199062)2(minus2119906119889119906)(119906)
119868 = minus2 int(4 minus 41199062 + 1199064)1199062119889119906
COMPLETA
Rminus2
105(2 minus 119909 )32(140 minus 84(2 minus 119909) + 15(2 minus 119909)2) + 119862
RSOLVER int119909119889119909
radic1199092+9 = 119868
Sea 119906 = 1199092+9
119889119906 = 2119909119889119909 = 119909119889119909 =119889119906
2
Sustituyendo tenemos119868 = int119889119906
211990612 = 2 int 119906minus12 119889119906
COMPLETA
R 119868 = radic1199092 + 9 + 119862
7) RESOLVER int radic1 + radic119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = radic1 + radic119909 1199062 = 1 + radic119909 = 1199062 minus 1 = radic119909 (1199062 minus 1)2 = 119909 2(1199062 minus 1)(2119906)119889119906 = 119889119909 Reemplazando
6
119868 = int 119906[2(1199062 minus 1)2(2119906)] 119889119906 119868 = 4 int 1199062(1199062 minus 1)119889119906 119868 = 4 int(1199064 minus 1199062)119889119906
119868 = (1199064
5minus +
1199063
3) + 119862
Termiacutenalo
R
4(1 + radic3)32
[3(1 + radic119909) minus 5] + 119862
8) RESOLVER
int 119890119909radic1 + 119890119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = 1 + 119890119909 119889119906 = 119890119909 119889119909 Reemplazando tenemos
119868 = int 11990612 119889119906
TERMINALO R 119868 =2
3(1 + 119890119909)32 + 119862
9) RESOLVER int 1199051198861198993119909 1199041198901198882119909 119889119909 = 119868 Sea 119906 = tan 119909
119889119906 = 1199041198901198882119909119889119909
TERMINALO R 119868 =1199051198861198994119909
4 + 119862
10)119877119864119878119874119871119881119864119877 int1199092+2119909
(119909+ 1)2 119889119909 = 119868
Al hacer el binomio y dividir se tiene
(119909 + 1)2 = 1 minus1
1199092+2119909+1 Al sustituir 119868 = int (1 minus
119909
(119909+1)2) 119889119909 = int 119889119909 minus int
119889119909
(119909+1)2
119868 = 119909 minus int119889119909
(119909+1)2
R 119868 = 119909 minus (minus 1
119909+1) + 119862 = 119909 +
1
119909+1+ 119862
11) RESOLVER int2+radic119909
1minusradic119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = 1 minus radic119909 radic119909 = 1 minus 119906 = 119909 = (1 minus 119906)2 119889119909 = 2(1 minus 119906)(minus1)119889119906 = 2(1 minus 119906)119889119906
Ahora 2 + radic119909 = 2 + (1 minus 119906) = 3 minus 119906
Al integrar 119868 = int (3minus119906
119906) [minus2(1 minus 119906)] 119889119906 119864119873119879119874119873119862119864119878 (3 int
119889119906
119906minus 4 int 119889119906 + int 119906 119889119906)
CUAL SERIA LA RESPUESTA MATERIAL DE APOYO httpscursodecalculofileswordpresscom201305ejercicios-resueltos-de-
integral-2-integrales-por-sustitucic3b3n-o-cambio-de-variablepdf
EJERCICIOS 1
I) USANDO LA TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS Y LAS OTRAS FORMULAS RESOLVER
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6 ) R 7) R
8) R 9) R
10) R
11) R 12) R
13) R
14) R 15) R
16) R 17)
18) R 19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
27) R 28) R
29 ) R
30) R
31) R 32) R
33) R
34) R 35) R
36) R 37) R
38) R
39) DEMUESTRE LAS SIGUIENTES IGUALDADES
40) USANDO LAS SIGUIENTES IGUALDADES
RESOLVERA) R
B) R
C) R
II) RESUELVE LAS SIGUIENTES INTEGRTALES DEFINIDAS Y GRAFIQUELAS
SOLUCION
A) 8
b) e-1
c) 1
d) 103
e) I
I I I ) TALLER INTEGRALES PARA COMPLETAR
OBSERVA LAS INTEGRALES RESUELTAS EN LA MAYORIA DE LOS CASOS
FALTA LA SUSTITUCION IDONEA POR AGREGAR AL DESARROLLO DEL
EJERCICIO Y ESA SUSTITUCION PUEDE SER ALGEBRAICA O FALTA EL
CAMBIO DE VARIABLE RESPECTIVO
1) INTEGRALES INMEDIATAS
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
2 Solucioacuten de las integrales logariacutetmicas
1
2
3
4
5
6
7
8
9 - ln (sen x + cos x ) +C
10
11
3 integrales exponenciales
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4 integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5 Otras integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
- 21 x
4
6 Otras integrales
1
2
3
4
5
EJERCICIOS 2
I) RESOLVER LAS SIGUIENTES INTEGRALES INDEFINIDAS Y VERIFIQUE SU
RESPUESTA REALIZANDO LA DERIVADA
II) EVALUE LA INTEGRAL INDEFINIDA DADA USANDO UNA SUSTITUCION IDONEA
62)Problemas de integrales
1Hallar una funcioacuten F(x) cuya derivada sea f(x) = x + 6 y tal que para x = 2
tome el valor 25
RESPUESTA
2De las inf in itas funciones primitivas de la funcioacuten y = xsup2 - x + 1 iquestcuaacutel
es la que para x = 3 toma el valor 5
RESPUESTA
3Hallar una recta cuya pendiente es 2 y pasa por eacutel punto P(0 4)
RESPUESTA f(x) = 2x + 4
4Escribe la funcioacuten primitiva de y = xsup2 + 2x cuya representacioacuten graacutef ica pasa
por eacutel punto (1 3)
RESPUESTA
5Calcular la ecuacioacuten de la curva que pasa por P(1 5) y cuya pendiente en cualquier punto es
3xsup2 + 5x minus 2
RESPUESTA
6Hallar la primitiva de la funcioacuten que se anula para x = 2
RESPUESTA
CAPITULO 3
INTEGRACION POR PARTES
Definicioacuten
Existen varios meacutetodos de integracioacuten consistiendo todos ellos en reducir la integral buscada a una inteacutegrala conocida como por ejemplo una de las de la tabla o bien reducirla una integral maacutes sencilla
El meacutetodo de integracioacuten por partes estaacute basado en la derivada de un producto de funciones como se muestra a continuacioacuten
d(umiddotv) = u dv + v du
por eso es que se usa para integrales que contienen dos funciones que se multiplican entre si
intd(umiddotv) = intu dv + intv du
Se llama integracioacuten por partes porque la integral se divide en dos partes en una el integrando es u y otra en la otra es v La integral debe estar completa y sin alterar la operacioacuten dentro de ella Consejos
La funcioacuten correspondiente a dv debe ser la funcioacuten maacutes faacutecil de integrar 2- En u deben ir aquellas funciones que no tienen integral directa (funciones logariacutetmicas e inversas) luego se pueden considerar las funciones algebraicas puesto que la derivada es reductiva Las funciones trigonomeacutetricas y exponenciales son maacutes sencillas de trabajar
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRACIOacuteN POR PARTES
1-
2-
3-
4-
5-
6-
7-
8-
9-
10-
INTEGRACION POR PARTES
MATERIAL DE APOYO
VIDEOS DE INTEGRACION POR PARTES
1) httpswwwprofesor10dematescom201505integrales-por-partes-resueltashtml
2) httpwwwsietecolinasesmaterialesmatintegrales-4pdf
3) httpsgpweiztuammxfilesusersuamijdfmetodos_de_integracionintegracion_por_partesp
df
EJERCICIOS EJERCICIOS PARA RESOLVER POR PARTES
1) L=Ln
R
2) R
3) R
4) R
5) R 6) R
7) R
8) R
9) R L=Ln
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
15) R
16) R
17) R
18) R
19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
INTEGRAL RESPUESTA
26) x senx dx sen x xcos x c
27) ln x dx 1x ln x c
28)2
xx sen dx 4 2
2 2
x xsen xcos c
29) x cos nx dx 2
cos nx x sennxc
nn
30) 2 u sec u du utgu lncosu c
31) 2 3 u sen v dv 21 1 16 6
4 12 72v v sen v cos v c
32) 2 y senny dy 2
3 2
2 2cosny y senny y cosnyc
nn n
33) 2 xa dx 2
1x xa c
lna ln a
34) nx ln x dx 1 1
1 1
nx
ln x cn n
35) arc sen x dx 2 1x arc sen x x c
36) arc tg x dx 21 1
2x arc tg x ln x c
37) arc c tg y dy 21 1
2y arc c tg y ln y c
38) 2 arc cos x dx 21 2 1 4
2x arc cos x x c
39) arc sec y dy 2 1y arc sec y ln y y c
40) 2
tarc csc dt 2 2 4
2
tt arc csc ln t t c
41) x arc tg x dx 2 1
2 2
x xarc tg x c
42) arc tg x dx 1 x arc tg x x c
43) 2 xx e dx
22 2xe x x c
44) e cos d
2
esen cos c
45)
2
1
ln x dx
x 1
1
xln x ln x c
x
CAPITULO 4
FUNCIONES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
1) httpwwwmtyitesmmxetiedeptosmma-841recursostab-hippdf
2) httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCION
ES20HIPERBOLICASpdfsequence=1
FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS HIPERBOacuteLICAS
Definicioacuten de las funciones
Un ciacuterculo unitario con centro en el origen sigue la foacutermula 1yx 22 un punto dado por el par
ordenado yx se puede representar como funcioacuten de un aacutengulo t de la siguiente manera
senttcosyx De igual manera una hipeacuterbola unitaria con centro en el origen sigue la foacutermula
1yx 22 un punto dado por el par ordenado yx se puede representar como funcioacuten del aacutengulo t
de la siguiente manera senhttcoshyx Estas funciones se denominan funciones trigonomeacutetricas
hiperboacutelicas en particular coseno hiperboacutelico y seno hiperboacutelico
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas presentan propiedades anaacutelogas a las de las funciones
trigonomeacutetricas o circulares La funcioacuten xsenhxf se define como 2
eexsenh
xx mientras que
la funcioacuten xcoshxf es 2
eexcosh
xx
Al igual que las funciones trigonomeacutetricas circulares en las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas se
cumplen las siguientes identidades fundamentales
xx
xx
xx
xx
xx
xx
ee
2
xsenh
1xhcsc
ee
2
xcosh
1xhsec
ee
ee
xsenh
xcoshxcoth
ee
ee
xcosh
xsenhxtanh
Debido a esto es loacutegico pensar que habraacute una relacioacuten equivalente al Teorema de Pitaacutegoras Asiacute
para las funciones hiperboacutelicas se sabe que 1xsenhxcosh 22
Ejemplo 1
Demostrar que 1xsenhxcosh 22
11
14
4
14
2
4
2
14
ee2
4
ee2
14
eee2e
4
eee2e
12
ee
2
ee
1xsenhxcosh
xxxx
x2xxx2x2xxx2
2xx
2xx
22
Graacutefica de las funciones
Sea la funcioacuten 2
eexsenhxf
xx Las intersecciones se pueden encontrar igualando la funcioacuten
a cero
0x
0x2
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
02
ee
x2
x
x
xx
xx
xx
La funcioacuten seno hiperboacutelico tiene una sola raiacutez en x=0 Para obtener los puntos criacuteticos se iguala a
cero la derivada de la funcioacuten
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
0ee2
1
ee2
1ee
dx
d
2
1
2
ee
dx
d
dx
df
x2
x
x
xx
xx
xx
xxxxxx
por lo tanto no hay puntos criacuteticos Es interesante notar que la derivada de la funcioacuten senh(x) es la
funcioacuten cosh(x)
Por uacuteltimo puntos inflexioacuten se pueden encontrar en donde la segunda derivada es igual a cero
xxxxxx
2
2
ee2
1ee
dx
d
2
1ee
2
1
dx
d
dx
fd
La segunda derivada nos llevoacute nuevamente a la funcioacuten senh(x) Esta funcioacuten ya se igualoacute a cero
para encontrar las intersecciones El resultado es que en x=0 hay una raiacutez que a su vez es un punto
de inflexioacuten
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
La misma funcioacuten 2
eexsenhxf
xx se puede ver como la resta de dos funciones exponenciales
2
e
2
e
2
ee xxxx
La graacutefica de estas dos funciones exponenciales se muestra en azul (exponencial
positiva) y verde (exponencial negativa) La resta de ambas punto por punto es la funcioacuten senh(x)
Derivadas
ucoshdx
duusenh
dx
dxcosh
2
ee
2
ee
dx
dxsenh
dx
d xxxx
usenhdx
duucosh
dx
dxsenh
2
ee
2
ee
dx
dxcosh
dx
d xxxx
uhsecdx
duutanh
dx
d
xhsecxcosh
1
xcosh
xsenhxcosh
xcosh
senhx
dx
dxtanh
dx
d
2
2
22
22
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
uhcscdx
duucoth
dx
d
xhcscxsenh
1
xsenh
xcoshxsenh
senhx
xcosh
dx
dxcoth
dx
d 2
22
22
uhsecutanhdx
duuhsec
dx
d
hxsecxtanhxcosh
1
xcosh
senhx
xcosh
senhx
xcosh
1
dx
dxhsec
dx
d2
uhcscucothdx
duuhcsc
dx
d
hxcscxcothsenhx
1
senhx
xcosh
xsenh
xcosh
senhx
1
dx
dxhcsc
dx
d2
Ejemplo 2
Derivar la funcioacuten 3x4tanhxf 2
La funcioacuten maacutes externa es la raiacutez por lo tanto es la primera en derivarse
3x4tanh2
3x4hsecx83x4tanh
dx
d
3x4tanh2
1
dx
df
2
222
2
Ejemplo 3
Derivar la funcioacuten 2x3cosh2x3tanhlnxf 22
La funcioacuten maacutes externa es el logaritmo por lo tanto es el primero en derivarse
2x3cosh2x3tanh
2x3xsenh62x3hsecx6
dx
df22
222
Integrales
Utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se puede establecer que
cuhcscduucothuhcsc
cuhsecduutanhuhsec
cucothduuhcsc
cutanhduuhsec
cusenhduucosh
cucoshduusenh
2
2
Utilizando estas foacutermulas se pueden establecer las siguientes
Ejemplo 4
Hallar la foacutermula para la integral de la tangente hiperboacutelica
dxxcosh
xsenhdxxtanh
Se hace un cambio de variable en donde dxxsenhduxcoshu Al sustituir la integral anterior
cambia a
cxcoshlnculnu
dudx
xcosh
xsenhdxxtanh
Se puede utilizar el mismo procedimiento para hallar las siguientes foacutermulas
cusenhlnduucoth
cucoshlnduutanh
Ejemplo 5
Resolver las siguientes integrales
dxx3senhx 32
Se realiza el cambio de variable dxx9
dux3u 23 por lo tanto la integral se puede escribir como
cx3cosh9
1cucosh
9
1duusenh
9
1
9
duusenhdxx3senhx 332
dx
x
xlnhsec 2
Se realiza el cambio de variablex
dxduxlnu por lo tanto la integral se puede escribir como
cxlntanhcutanhduuhsecdx
x
xlnhsec2
2
1
0
dxxcoshxsenh
Se realiza el cambio de variable dxxsenhduxcoshu por lo tanto la integral se puede escribir
como
1x
0x
1
0
2 duudxxcoshxsenh
Sin embargo dado que u=senh(x) si x=0 entonces 02
ee0senhu
00
Cuando x=1 entonces
e2
1e
2
e
1e
2
e
1e
2
ee1senhu
2
2
11
La integral es
2
32
23
23
2
e2
1e
0
23
e2
1e
0
1x
0x
1
0
2
e2
1e
3
20
3
2
e2
1e
3
2
u3
2duuduudxxcoshxsenh
22
Inversas
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas tienen funciones inversas que comuacutenmente se denotan
como 1senh o bien como arcsenh donde la funcioacuten recibe el nombre de seno hiperboacutelico inverso
Dado que las funciones estaacuten definidas en teacuterminos de exponenciales es de esperarse que sus
inversas incluyan logaritmos naturales Se pueden definir como
1x0parax
x11lnxhsec
1xparax1
x1ln
2
1xtanh
1xpara1xxlnxcosh
1xxlnxsenh
21
1
21
21
Las derivadas e integrales de estas funciones se resuelven igual que las funciones trigonomeacutetricas
inversas
Ejemplo 6
Obtener la foacutermula para la derivada de la funcioacuten xsenhy 1
Dado que no se conoce la derivada del seno hiperboacutelico inverso pero siacute la del seno hiperboacutelico se
pueden utilizar el concepto de la funcioacuten inversa y la derivada impliacutecita para hallar la foacutermula en
cuestioacuten
ycosh
1y
1yacutecoshy
xysenh
xsenhy 1
Se sabe que 1ysenhycosh 22 por lo tanto 1ysenhycosh 22 y la funcioacuten senhy=x entonces
1xycosh 2 Al sustituir se obtiene
1x
1y
2
El mismo meacutetodo se puede utilizar para encontrar cualquiera de las siguientes foacutermulas
1u
dxdu
usenhdx
d
2
1
1u1u
dxdu
ucoshdx
d
2
1
1uu1
dxdu
utanhdx
d2
1
1u0u1u
dxdu
uhsecdx
d
2
1
Ejemplo 7
Determinar si la funcioacuten 3xxsenhxf 21 es creciente o decreciente en el punto x=2
Se debe resolver la derivada de la multiplicacioacuten
10x6x
x23xsenh
19x6x
x23xsenh
13x
x2x3xsenh
dx
df
24
221
24
221
22
21
Se busca conocer como es la funcioacuten en x=2 por lo tanto se sustituye en la derivada
773131642077
80714ln
25
8257ln
225
82257ln
50
81497ln
102416
87senh
dx
df 1
2x
La funcioacuten es creciente crece a una razoacuten de 377
Las foacutermulas para la integracioacuten salen utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo y a partir de las
foacutermulas de derivacioacuten
0aca
usenhdu
ua
1 1
22
0auca
ucoshdu
au
1 1
22
au0aca
utanh
a
1du
ua
1 1
22
au00aca
uhsec
a
1du
uau
1 1
22
Ejemplo 8
Resolver la integral
dxe25
e
x6
x3
Esta integral es como la de la tangente hiperboacutelica inversa donde 5a25a 2
dxe3
dueueu x3x3x62 Al sustituir esto en la integral
c5
etanh
15
1c
5
etanh
5
1
3
1
u25
du
3
1
u25
3du x3
1x3
1
22
Aplicaciones
La velocidad de las olas en el mar bajo ciertas condiciones depende de la longitud de onda
(distancia entre cresta y cresta) y de la profundidad del agua por donde viajan las olas h La funcioacuten
que relaciona estas variables es
h2tanh
2
gv 2
donde v es la velocidad y g es la gravedad
Suponiendo que se mantiene h constante esto es que el oleaje se propaga por un oceacuteano de
profundidad constante (50 m) determinar si la velocidad aumenta o disminuye cuando m5
h2hsec
ghh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2hsec
h2
2
gh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2tanh
2
gv
h2tanh
2
gv
2
2
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
728d
dv
5
502hsec
5
50819
5
502tanh
2
819
5
502tanh
2
58192
1
d
dv 2
Entonces para este valor de la longitud de onda y de la profundidad la velocidad de la ola va
aumentando respecto a la longitud de onda
Si se requiere ahora saber como va cambiando la velocidad de propagacioacuten del oleaje respecto a la
profundidad del mar para una longitud de onda de 5 m se deberaacute entonces derivar respecto a h Sea
una profundidad de 7 m
h2tanh
2
g2
h2hsecg
dh
dv
h2hsec
2
2
g
h2tanh
2
g2
1
dh
dv
h2tanh
2
gv
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
77
2
2
1061595
10918
5
14tanh
2
05492
5
14hsec819
dh
dv
5
72tanh
2
58192
5
72hsec819
dh
dv
Asiacute que aunque la velocidad de propagacioacuten del oleaje va aumentando respecto a la profundidad la
razoacuten de cambio es muy pequentildea
EJERCICIOS DE DERIVADAS HIPERBOLICAS
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6) R
7) R
8) AYUDA R
9) R 10) R
11) R 12) R
13) R
14)DEMOSTRAR
AYUDA
15)
AYUDA
INTEGRALES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
httpcalculoccfunciones_hiperbolicasp_integrales_hiperbhtml
httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCIONES20
HIPERBOLICASpdfsequence=1
httpseswikipediaorgwikiAnexoIntegrales_de_funciones_hiperbC3B3licas
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES HIPERBOLICAS
2)
3)
5)
6)
8)
Resolvemos ambas integrales mediante integracioacuten por partes
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 5 u = 3x
11)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 3 u = 4x
13)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = radic7 u = 5x
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION MATERIAL DE APOYO
800 INTEGRALES RESUELTAS
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_metodosproblemasp_integr_sust_trigohtml
httpsmatematicasnblogspotcom201512integracion-por-sustitucionhtml CON VIDEOS INCLUIDOS
httpsdspaceupseduecbitstream12345678961191Manual20de20fracciones20parcialespdf
httpwwwtesoemedumxalumnoscuadernillos2011011pdf
httpprofe-alexzblogspotcom201104integracion-fracciones-parcialeshtml Y VIDEOS
httpswwwsectormatematicacl rsaquo media rsaquo diferenciado rsaquo FRACCIONES P httpswwwipnmxassetsfilescecyt11docsGuiasUABasicasMatematicascalculo-integral-solucion-de-problemasPDF
httpswwwacademiaedu7708664CC381LCULO_INTEGRAL_EJERCICIOS_RESUELTOS_PASO_A_PASO
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1 Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de
variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de
la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que
contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe
ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
OTRAS FORMULAS
GUIA DE EJEMPLOS DE INTEGRALES POR SUSTITUCION
INTEGRALES POR SUSTITUCION
RESOLVERint radic3 119909 + 5 119889119909 = 119868 Sea 119889119906 = 3 119909 + 5
119889119906 = 3 119889119909 = 119889119909 =119889119906
3
Al sustituir tenemos
119868 = int 11990612
119889119906
3 =
1
3 int 119906
12 119889119906
119868 =1
3(
11990632
32
) + 119862 = 2
911990632 + 119862
119868 = 2
9(3119909 + 2)32 + 119862
RESOLVER int119909119889119909
(1199092+ 4)2 = 119868
Sea 119906 = 1199092 + 4
119889119906 = 2119909 119889119909 = 119909119889119909 =119889119906
2
1
2
Al sustituir tenemos
119868 = int119889119906
21199062 =
1
2 int 119906minus2 119889119906
119868 =1
2(
119906minus1
minus1) + 119862 =
1
2119906minus1 + 119862
119868 = 1
2(1199092 + 4)minus1 + 119862
119868 = 1
2(1199092 + 4)+ 119862
RESOLVER int119904119890119899 119889119909
radic1+2 cos 119909 = 119868
Sea 119906 = 1 + 2 cos 119909
119889119906 = minus2 119904119890119899 119909119889119909 = 119904119890119899 119909 119889119909 = minus119889119906
2
Al sustituir tenemos
119868 = intminus119889119906
211990612 = minus
1
2 int
119889119906
11990612
119868 = minus1
2int 119906minus12119889119906 = minus
1
2(
11990612
12
) + 119862
119868 = minus11990612 + 119862 = minus(1 + 2 cos 119909) 12 + 119862
119868 = minus radic1 + 2 cos 119909 + 119862 DE AQUIacute EN ADELANTE TU LLEGAS A LA RESPUESTA
RESOLVER int119909119889119909
radic119909+1 = 119868
Sea 119906 = radic119909 + 1
1199062 = 119909 + 1 = 119909 = 1199062 minus 1
3
4
2119906119889119906 = 119889119909
CONTINUA
R 119868 =2
3radic119909 + 1(119909 minus 2) + 119862
5)
int 1199092radic2 minus 119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = radic2 minus 119909
1199062 = 2 minus 119909 = 119909 = 2 minus 1199062 119889119909 = minus2119906119889119906
Reemplazando
119868 = int(2 minus 1199062)2(minus2119906119889119906)(119906)
119868 = minus2 int(4 minus 41199062 + 1199064)1199062119889119906
COMPLETA
Rminus2
105(2 minus 119909 )32(140 minus 84(2 minus 119909) + 15(2 minus 119909)2) + 119862
RSOLVER int119909119889119909
radic1199092+9 = 119868
Sea 119906 = 1199092+9
119889119906 = 2119909119889119909 = 119909119889119909 =119889119906
2
Sustituyendo tenemos119868 = int119889119906
211990612 = 2 int 119906minus12 119889119906
COMPLETA
R 119868 = radic1199092 + 9 + 119862
7) RESOLVER int radic1 + radic119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = radic1 + radic119909 1199062 = 1 + radic119909 = 1199062 minus 1 = radic119909 (1199062 minus 1)2 = 119909 2(1199062 minus 1)(2119906)119889119906 = 119889119909 Reemplazando
6
119868 = int 119906[2(1199062 minus 1)2(2119906)] 119889119906 119868 = 4 int 1199062(1199062 minus 1)119889119906 119868 = 4 int(1199064 minus 1199062)119889119906
119868 = (1199064
5minus +
1199063
3) + 119862
Termiacutenalo
R
4(1 + radic3)32
[3(1 + radic119909) minus 5] + 119862
8) RESOLVER
int 119890119909radic1 + 119890119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = 1 + 119890119909 119889119906 = 119890119909 119889119909 Reemplazando tenemos
119868 = int 11990612 119889119906
TERMINALO R 119868 =2
3(1 + 119890119909)32 + 119862
9) RESOLVER int 1199051198861198993119909 1199041198901198882119909 119889119909 = 119868 Sea 119906 = tan 119909
119889119906 = 1199041198901198882119909119889119909
TERMINALO R 119868 =1199051198861198994119909
4 + 119862
10)119877119864119878119874119871119881119864119877 int1199092+2119909
(119909+ 1)2 119889119909 = 119868
Al hacer el binomio y dividir se tiene
(119909 + 1)2 = 1 minus1
1199092+2119909+1 Al sustituir 119868 = int (1 minus
119909
(119909+1)2) 119889119909 = int 119889119909 minus int
119889119909
(119909+1)2
119868 = 119909 minus int119889119909
(119909+1)2
R 119868 = 119909 minus (minus 1
119909+1) + 119862 = 119909 +
1
119909+1+ 119862
11) RESOLVER int2+radic119909
1minusradic119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = 1 minus radic119909 radic119909 = 1 minus 119906 = 119909 = (1 minus 119906)2 119889119909 = 2(1 minus 119906)(minus1)119889119906 = 2(1 minus 119906)119889119906
Ahora 2 + radic119909 = 2 + (1 minus 119906) = 3 minus 119906
Al integrar 119868 = int (3minus119906
119906) [minus2(1 minus 119906)] 119889119906 119864119873119879119874119873119862119864119878 (3 int
119889119906
119906minus 4 int 119889119906 + int 119906 119889119906)
CUAL SERIA LA RESPUESTA MATERIAL DE APOYO httpscursodecalculofileswordpresscom201305ejercicios-resueltos-de-
integral-2-integrales-por-sustitucic3b3n-o-cambio-de-variablepdf
EJERCICIOS 1
I) USANDO LA TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS Y LAS OTRAS FORMULAS RESOLVER
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6 ) R 7) R
8) R 9) R
10) R
11) R 12) R
13) R
14) R 15) R
16) R 17)
18) R 19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
27) R 28) R
29 ) R
30) R
31) R 32) R
33) R
34) R 35) R
36) R 37) R
38) R
39) DEMUESTRE LAS SIGUIENTES IGUALDADES
40) USANDO LAS SIGUIENTES IGUALDADES
RESOLVERA) R
B) R
C) R
II) RESUELVE LAS SIGUIENTES INTEGRTALES DEFINIDAS Y GRAFIQUELAS
SOLUCION
A) 8
b) e-1
c) 1
d) 103
e) I
I I I ) TALLER INTEGRALES PARA COMPLETAR
OBSERVA LAS INTEGRALES RESUELTAS EN LA MAYORIA DE LOS CASOS
FALTA LA SUSTITUCION IDONEA POR AGREGAR AL DESARROLLO DEL
EJERCICIO Y ESA SUSTITUCION PUEDE SER ALGEBRAICA O FALTA EL
CAMBIO DE VARIABLE RESPECTIVO
1) INTEGRALES INMEDIATAS
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
2 Solucioacuten de las integrales logariacutetmicas
1
2
3
4
5
6
7
8
9 - ln (sen x + cos x ) +C
10
11
3 integrales exponenciales
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4 integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5 Otras integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
- 21 x
4
6 Otras integrales
1
2
3
4
5
EJERCICIOS 2
I) RESOLVER LAS SIGUIENTES INTEGRALES INDEFINIDAS Y VERIFIQUE SU
RESPUESTA REALIZANDO LA DERIVADA
II) EVALUE LA INTEGRAL INDEFINIDA DADA USANDO UNA SUSTITUCION IDONEA
62)Problemas de integrales
1Hallar una funcioacuten F(x) cuya derivada sea f(x) = x + 6 y tal que para x = 2
tome el valor 25
RESPUESTA
2De las inf in itas funciones primitivas de la funcioacuten y = xsup2 - x + 1 iquestcuaacutel
es la que para x = 3 toma el valor 5
RESPUESTA
3Hallar una recta cuya pendiente es 2 y pasa por eacutel punto P(0 4)
RESPUESTA f(x) = 2x + 4
4Escribe la funcioacuten primitiva de y = xsup2 + 2x cuya representacioacuten graacutef ica pasa
por eacutel punto (1 3)
RESPUESTA
5Calcular la ecuacioacuten de la curva que pasa por P(1 5) y cuya pendiente en cualquier punto es
3xsup2 + 5x minus 2
RESPUESTA
6Hallar la primitiva de la funcioacuten que se anula para x = 2
RESPUESTA
CAPITULO 3
INTEGRACION POR PARTES
Definicioacuten
Existen varios meacutetodos de integracioacuten consistiendo todos ellos en reducir la integral buscada a una inteacutegrala conocida como por ejemplo una de las de la tabla o bien reducirla una integral maacutes sencilla
El meacutetodo de integracioacuten por partes estaacute basado en la derivada de un producto de funciones como se muestra a continuacioacuten
d(umiddotv) = u dv + v du
por eso es que se usa para integrales que contienen dos funciones que se multiplican entre si
intd(umiddotv) = intu dv + intv du
Se llama integracioacuten por partes porque la integral se divide en dos partes en una el integrando es u y otra en la otra es v La integral debe estar completa y sin alterar la operacioacuten dentro de ella Consejos
La funcioacuten correspondiente a dv debe ser la funcioacuten maacutes faacutecil de integrar 2- En u deben ir aquellas funciones que no tienen integral directa (funciones logariacutetmicas e inversas) luego se pueden considerar las funciones algebraicas puesto que la derivada es reductiva Las funciones trigonomeacutetricas y exponenciales son maacutes sencillas de trabajar
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRACIOacuteN POR PARTES
1-
2-
3-
4-
5-
6-
7-
8-
9-
10-
INTEGRACION POR PARTES
MATERIAL DE APOYO
VIDEOS DE INTEGRACION POR PARTES
1) httpswwwprofesor10dematescom201505integrales-por-partes-resueltashtml
2) httpwwwsietecolinasesmaterialesmatintegrales-4pdf
3) httpsgpweiztuammxfilesusersuamijdfmetodos_de_integracionintegracion_por_partesp
df
EJERCICIOS EJERCICIOS PARA RESOLVER POR PARTES
1) L=Ln
R
2) R
3) R
4) R
5) R 6) R
7) R
8) R
9) R L=Ln
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
15) R
16) R
17) R
18) R
19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
INTEGRAL RESPUESTA
26) x senx dx sen x xcos x c
27) ln x dx 1x ln x c
28)2
xx sen dx 4 2
2 2
x xsen xcos c
29) x cos nx dx 2
cos nx x sennxc
nn
30) 2 u sec u du utgu lncosu c
31) 2 3 u sen v dv 21 1 16 6
4 12 72v v sen v cos v c
32) 2 y senny dy 2
3 2
2 2cosny y senny y cosnyc
nn n
33) 2 xa dx 2
1x xa c
lna ln a
34) nx ln x dx 1 1
1 1
nx
ln x cn n
35) arc sen x dx 2 1x arc sen x x c
36) arc tg x dx 21 1
2x arc tg x ln x c
37) arc c tg y dy 21 1
2y arc c tg y ln y c
38) 2 arc cos x dx 21 2 1 4
2x arc cos x x c
39) arc sec y dy 2 1y arc sec y ln y y c
40) 2
tarc csc dt 2 2 4
2
tt arc csc ln t t c
41) x arc tg x dx 2 1
2 2
x xarc tg x c
42) arc tg x dx 1 x arc tg x x c
43) 2 xx e dx
22 2xe x x c
44) e cos d
2
esen cos c
45)
2
1
ln x dx
x 1
1
xln x ln x c
x
CAPITULO 4
FUNCIONES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
1) httpwwwmtyitesmmxetiedeptosmma-841recursostab-hippdf
2) httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCION
ES20HIPERBOLICASpdfsequence=1
FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS HIPERBOacuteLICAS
Definicioacuten de las funciones
Un ciacuterculo unitario con centro en el origen sigue la foacutermula 1yx 22 un punto dado por el par
ordenado yx se puede representar como funcioacuten de un aacutengulo t de la siguiente manera
senttcosyx De igual manera una hipeacuterbola unitaria con centro en el origen sigue la foacutermula
1yx 22 un punto dado por el par ordenado yx se puede representar como funcioacuten del aacutengulo t
de la siguiente manera senhttcoshyx Estas funciones se denominan funciones trigonomeacutetricas
hiperboacutelicas en particular coseno hiperboacutelico y seno hiperboacutelico
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas presentan propiedades anaacutelogas a las de las funciones
trigonomeacutetricas o circulares La funcioacuten xsenhxf se define como 2
eexsenh
xx mientras que
la funcioacuten xcoshxf es 2
eexcosh
xx
Al igual que las funciones trigonomeacutetricas circulares en las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas se
cumplen las siguientes identidades fundamentales
xx
xx
xx
xx
xx
xx
ee
2
xsenh
1xhcsc
ee
2
xcosh
1xhsec
ee
ee
xsenh
xcoshxcoth
ee
ee
xcosh
xsenhxtanh
Debido a esto es loacutegico pensar que habraacute una relacioacuten equivalente al Teorema de Pitaacutegoras Asiacute
para las funciones hiperboacutelicas se sabe que 1xsenhxcosh 22
Ejemplo 1
Demostrar que 1xsenhxcosh 22
11
14
4
14
2
4
2
14
ee2
4
ee2
14
eee2e
4
eee2e
12
ee
2
ee
1xsenhxcosh
xxxx
x2xxx2x2xxx2
2xx
2xx
22
Graacutefica de las funciones
Sea la funcioacuten 2
eexsenhxf
xx Las intersecciones se pueden encontrar igualando la funcioacuten
a cero
0x
0x2
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
02
ee
x2
x
x
xx
xx
xx
La funcioacuten seno hiperboacutelico tiene una sola raiacutez en x=0 Para obtener los puntos criacuteticos se iguala a
cero la derivada de la funcioacuten
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
0ee2
1
ee2
1ee
dx
d
2
1
2
ee
dx
d
dx
df
x2
x
x
xx
xx
xx
xxxxxx
por lo tanto no hay puntos criacuteticos Es interesante notar que la derivada de la funcioacuten senh(x) es la
funcioacuten cosh(x)
Por uacuteltimo puntos inflexioacuten se pueden encontrar en donde la segunda derivada es igual a cero
xxxxxx
2
2
ee2
1ee
dx
d
2
1ee
2
1
dx
d
dx
fd
La segunda derivada nos llevoacute nuevamente a la funcioacuten senh(x) Esta funcioacuten ya se igualoacute a cero
para encontrar las intersecciones El resultado es que en x=0 hay una raiacutez que a su vez es un punto
de inflexioacuten
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
La misma funcioacuten 2
eexsenhxf
xx se puede ver como la resta de dos funciones exponenciales
2
e
2
e
2
ee xxxx
La graacutefica de estas dos funciones exponenciales se muestra en azul (exponencial
positiva) y verde (exponencial negativa) La resta de ambas punto por punto es la funcioacuten senh(x)
Derivadas
ucoshdx
duusenh
dx
dxcosh
2
ee
2
ee
dx
dxsenh
dx
d xxxx
usenhdx
duucosh
dx
dxsenh
2
ee
2
ee
dx
dxcosh
dx
d xxxx
uhsecdx
duutanh
dx
d
xhsecxcosh
1
xcosh
xsenhxcosh
xcosh
senhx
dx
dxtanh
dx
d
2
2
22
22
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
uhcscdx
duucoth
dx
d
xhcscxsenh
1
xsenh
xcoshxsenh
senhx
xcosh
dx
dxcoth
dx
d 2
22
22
uhsecutanhdx
duuhsec
dx
d
hxsecxtanhxcosh
1
xcosh
senhx
xcosh
senhx
xcosh
1
dx
dxhsec
dx
d2
uhcscucothdx
duuhcsc
dx
d
hxcscxcothsenhx
1
senhx
xcosh
xsenh
xcosh
senhx
1
dx
dxhcsc
dx
d2
Ejemplo 2
Derivar la funcioacuten 3x4tanhxf 2
La funcioacuten maacutes externa es la raiacutez por lo tanto es la primera en derivarse
3x4tanh2
3x4hsecx83x4tanh
dx
d
3x4tanh2
1
dx
df
2
222
2
Ejemplo 3
Derivar la funcioacuten 2x3cosh2x3tanhlnxf 22
La funcioacuten maacutes externa es el logaritmo por lo tanto es el primero en derivarse
2x3cosh2x3tanh
2x3xsenh62x3hsecx6
dx
df22
222
Integrales
Utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se puede establecer que
cuhcscduucothuhcsc
cuhsecduutanhuhsec
cucothduuhcsc
cutanhduuhsec
cusenhduucosh
cucoshduusenh
2
2
Utilizando estas foacutermulas se pueden establecer las siguientes
Ejemplo 4
Hallar la foacutermula para la integral de la tangente hiperboacutelica
dxxcosh
xsenhdxxtanh
Se hace un cambio de variable en donde dxxsenhduxcoshu Al sustituir la integral anterior
cambia a
cxcoshlnculnu
dudx
xcosh
xsenhdxxtanh
Se puede utilizar el mismo procedimiento para hallar las siguientes foacutermulas
cusenhlnduucoth
cucoshlnduutanh
Ejemplo 5
Resolver las siguientes integrales
dxx3senhx 32
Se realiza el cambio de variable dxx9
dux3u 23 por lo tanto la integral se puede escribir como
cx3cosh9
1cucosh
9
1duusenh
9
1
9
duusenhdxx3senhx 332
dx
x
xlnhsec 2
Se realiza el cambio de variablex
dxduxlnu por lo tanto la integral se puede escribir como
cxlntanhcutanhduuhsecdx
x
xlnhsec2
2
1
0
dxxcoshxsenh
Se realiza el cambio de variable dxxsenhduxcoshu por lo tanto la integral se puede escribir
como
1x
0x
1
0
2 duudxxcoshxsenh
Sin embargo dado que u=senh(x) si x=0 entonces 02
ee0senhu
00
Cuando x=1 entonces
e2
1e
2
e
1e
2
e
1e
2
ee1senhu
2
2
11
La integral es
2
32
23
23
2
e2
1e
0
23
e2
1e
0
1x
0x
1
0
2
e2
1e
3
20
3
2
e2
1e
3
2
u3
2duuduudxxcoshxsenh
22
Inversas
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas tienen funciones inversas que comuacutenmente se denotan
como 1senh o bien como arcsenh donde la funcioacuten recibe el nombre de seno hiperboacutelico inverso
Dado que las funciones estaacuten definidas en teacuterminos de exponenciales es de esperarse que sus
inversas incluyan logaritmos naturales Se pueden definir como
1x0parax
x11lnxhsec
1xparax1
x1ln
2
1xtanh
1xpara1xxlnxcosh
1xxlnxsenh
21
1
21
21
Las derivadas e integrales de estas funciones se resuelven igual que las funciones trigonomeacutetricas
inversas
Ejemplo 6
Obtener la foacutermula para la derivada de la funcioacuten xsenhy 1
Dado que no se conoce la derivada del seno hiperboacutelico inverso pero siacute la del seno hiperboacutelico se
pueden utilizar el concepto de la funcioacuten inversa y la derivada impliacutecita para hallar la foacutermula en
cuestioacuten
ycosh
1y
1yacutecoshy
xysenh
xsenhy 1
Se sabe que 1ysenhycosh 22 por lo tanto 1ysenhycosh 22 y la funcioacuten senhy=x entonces
1xycosh 2 Al sustituir se obtiene
1x
1y
2
El mismo meacutetodo se puede utilizar para encontrar cualquiera de las siguientes foacutermulas
1u
dxdu
usenhdx
d
2
1
1u1u
dxdu
ucoshdx
d
2
1
1uu1
dxdu
utanhdx
d2
1
1u0u1u
dxdu
uhsecdx
d
2
1
Ejemplo 7
Determinar si la funcioacuten 3xxsenhxf 21 es creciente o decreciente en el punto x=2
Se debe resolver la derivada de la multiplicacioacuten
10x6x
x23xsenh
19x6x
x23xsenh
13x
x2x3xsenh
dx
df
24
221
24
221
22
21
Se busca conocer como es la funcioacuten en x=2 por lo tanto se sustituye en la derivada
773131642077
80714ln
25
8257ln
225
82257ln
50
81497ln
102416
87senh
dx
df 1
2x
La funcioacuten es creciente crece a una razoacuten de 377
Las foacutermulas para la integracioacuten salen utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo y a partir de las
foacutermulas de derivacioacuten
0aca
usenhdu
ua
1 1
22
0auca
ucoshdu
au
1 1
22
au0aca
utanh
a
1du
ua
1 1
22
au00aca
uhsec
a
1du
uau
1 1
22
Ejemplo 8
Resolver la integral
dxe25
e
x6
x3
Esta integral es como la de la tangente hiperboacutelica inversa donde 5a25a 2
dxe3
dueueu x3x3x62 Al sustituir esto en la integral
c5
etanh
15
1c
5
etanh
5
1
3
1
u25
du
3
1
u25
3du x3
1x3
1
22
Aplicaciones
La velocidad de las olas en el mar bajo ciertas condiciones depende de la longitud de onda
(distancia entre cresta y cresta) y de la profundidad del agua por donde viajan las olas h La funcioacuten
que relaciona estas variables es
h2tanh
2
gv 2
donde v es la velocidad y g es la gravedad
Suponiendo que se mantiene h constante esto es que el oleaje se propaga por un oceacuteano de
profundidad constante (50 m) determinar si la velocidad aumenta o disminuye cuando m5
h2hsec
ghh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2hsec
h2
2
gh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2tanh
2
gv
h2tanh
2
gv
2
2
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
728d
dv
5
502hsec
5
50819
5
502tanh
2
819
5
502tanh
2
58192
1
d
dv 2
Entonces para este valor de la longitud de onda y de la profundidad la velocidad de la ola va
aumentando respecto a la longitud de onda
Si se requiere ahora saber como va cambiando la velocidad de propagacioacuten del oleaje respecto a la
profundidad del mar para una longitud de onda de 5 m se deberaacute entonces derivar respecto a h Sea
una profundidad de 7 m
h2tanh
2
g2
h2hsecg
dh
dv
h2hsec
2
2
g
h2tanh
2
g2
1
dh
dv
h2tanh
2
gv
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
77
2
2
1061595
10918
5
14tanh
2
05492
5
14hsec819
dh
dv
5
72tanh
2
58192
5
72hsec819
dh
dv
Asiacute que aunque la velocidad de propagacioacuten del oleaje va aumentando respecto a la profundidad la
razoacuten de cambio es muy pequentildea
EJERCICIOS DE DERIVADAS HIPERBOLICAS
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6) R
7) R
8) AYUDA R
9) R 10) R
11) R 12) R
13) R
14)DEMOSTRAR
AYUDA
15)
AYUDA
INTEGRALES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
httpcalculoccfunciones_hiperbolicasp_integrales_hiperbhtml
httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCIONES20
HIPERBOLICASpdfsequence=1
httpseswikipediaorgwikiAnexoIntegrales_de_funciones_hiperbC3B3licas
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES HIPERBOLICAS
2)
3)
5)
6)
8)
Resolvemos ambas integrales mediante integracioacuten por partes
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 5 u = 3x
11)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 3 u = 4x
13)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = radic7 u = 5x
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION MATERIAL DE APOYO
800 INTEGRALES RESUELTAS
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_metodosproblemasp_integr_sust_trigohtml
httpsmatematicasnblogspotcom201512integracion-por-sustitucionhtml CON VIDEOS INCLUIDOS
httpsdspaceupseduecbitstream12345678961191Manual20de20fracciones20parcialespdf
httpwwwtesoemedumxalumnoscuadernillos2011011pdf
httpprofe-alexzblogspotcom201104integracion-fracciones-parcialeshtml Y VIDEOS
httpswwwsectormatematicacl rsaquo media rsaquo diferenciado rsaquo FRACCIONES P httpswwwipnmxassetsfilescecyt11docsGuiasUABasicasMatematicascalculo-integral-solucion-de-problemasPDF
httpswwwacademiaedu7708664CC381LCULO_INTEGRAL_EJERCICIOS_RESUELTOS_PASO_A_PASO
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1 Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de
variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de
la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que
contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe
ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
Al sustituir tenemos
119868 = int119889119906
21199062 =
1
2 int 119906minus2 119889119906
119868 =1
2(
119906minus1
minus1) + 119862 =
1
2119906minus1 + 119862
119868 = 1
2(1199092 + 4)minus1 + 119862
119868 = 1
2(1199092 + 4)+ 119862
RESOLVER int119904119890119899 119889119909
radic1+2 cos 119909 = 119868
Sea 119906 = 1 + 2 cos 119909
119889119906 = minus2 119904119890119899 119909119889119909 = 119904119890119899 119909 119889119909 = minus119889119906
2
Al sustituir tenemos
119868 = intminus119889119906
211990612 = minus
1
2 int
119889119906
11990612
119868 = minus1
2int 119906minus12119889119906 = minus
1
2(
11990612
12
) + 119862
119868 = minus11990612 + 119862 = minus(1 + 2 cos 119909) 12 + 119862
119868 = minus radic1 + 2 cos 119909 + 119862 DE AQUIacute EN ADELANTE TU LLEGAS A LA RESPUESTA
RESOLVER int119909119889119909
radic119909+1 = 119868
Sea 119906 = radic119909 + 1
1199062 = 119909 + 1 = 119909 = 1199062 minus 1
3
4
2119906119889119906 = 119889119909
CONTINUA
R 119868 =2
3radic119909 + 1(119909 minus 2) + 119862
5)
int 1199092radic2 minus 119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = radic2 minus 119909
1199062 = 2 minus 119909 = 119909 = 2 minus 1199062 119889119909 = minus2119906119889119906
Reemplazando
119868 = int(2 minus 1199062)2(minus2119906119889119906)(119906)
119868 = minus2 int(4 minus 41199062 + 1199064)1199062119889119906
COMPLETA
Rminus2
105(2 minus 119909 )32(140 minus 84(2 minus 119909) + 15(2 minus 119909)2) + 119862
RSOLVER int119909119889119909
radic1199092+9 = 119868
Sea 119906 = 1199092+9
119889119906 = 2119909119889119909 = 119909119889119909 =119889119906
2
Sustituyendo tenemos119868 = int119889119906
211990612 = 2 int 119906minus12 119889119906
COMPLETA
R 119868 = radic1199092 + 9 + 119862
7) RESOLVER int radic1 + radic119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = radic1 + radic119909 1199062 = 1 + radic119909 = 1199062 minus 1 = radic119909 (1199062 minus 1)2 = 119909 2(1199062 minus 1)(2119906)119889119906 = 119889119909 Reemplazando
6
119868 = int 119906[2(1199062 minus 1)2(2119906)] 119889119906 119868 = 4 int 1199062(1199062 minus 1)119889119906 119868 = 4 int(1199064 minus 1199062)119889119906
119868 = (1199064
5minus +
1199063
3) + 119862
Termiacutenalo
R
4(1 + radic3)32
[3(1 + radic119909) minus 5] + 119862
8) RESOLVER
int 119890119909radic1 + 119890119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = 1 + 119890119909 119889119906 = 119890119909 119889119909 Reemplazando tenemos
119868 = int 11990612 119889119906
TERMINALO R 119868 =2
3(1 + 119890119909)32 + 119862
9) RESOLVER int 1199051198861198993119909 1199041198901198882119909 119889119909 = 119868 Sea 119906 = tan 119909
119889119906 = 1199041198901198882119909119889119909
TERMINALO R 119868 =1199051198861198994119909
4 + 119862
10)119877119864119878119874119871119881119864119877 int1199092+2119909
(119909+ 1)2 119889119909 = 119868
Al hacer el binomio y dividir se tiene
(119909 + 1)2 = 1 minus1
1199092+2119909+1 Al sustituir 119868 = int (1 minus
119909
(119909+1)2) 119889119909 = int 119889119909 minus int
119889119909
(119909+1)2
119868 = 119909 minus int119889119909
(119909+1)2
R 119868 = 119909 minus (minus 1
119909+1) + 119862 = 119909 +
1
119909+1+ 119862
11) RESOLVER int2+radic119909
1minusradic119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = 1 minus radic119909 radic119909 = 1 minus 119906 = 119909 = (1 minus 119906)2 119889119909 = 2(1 minus 119906)(minus1)119889119906 = 2(1 minus 119906)119889119906
Ahora 2 + radic119909 = 2 + (1 minus 119906) = 3 minus 119906
Al integrar 119868 = int (3minus119906
119906) [minus2(1 minus 119906)] 119889119906 119864119873119879119874119873119862119864119878 (3 int
119889119906
119906minus 4 int 119889119906 + int 119906 119889119906)
CUAL SERIA LA RESPUESTA MATERIAL DE APOYO httpscursodecalculofileswordpresscom201305ejercicios-resueltos-de-
integral-2-integrales-por-sustitucic3b3n-o-cambio-de-variablepdf
EJERCICIOS 1
I) USANDO LA TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS Y LAS OTRAS FORMULAS RESOLVER
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6 ) R 7) R
8) R 9) R
10) R
11) R 12) R
13) R
14) R 15) R
16) R 17)
18) R 19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
27) R 28) R
29 ) R
30) R
31) R 32) R
33) R
34) R 35) R
36) R 37) R
38) R
39) DEMUESTRE LAS SIGUIENTES IGUALDADES
40) USANDO LAS SIGUIENTES IGUALDADES
RESOLVERA) R
B) R
C) R
II) RESUELVE LAS SIGUIENTES INTEGRTALES DEFINIDAS Y GRAFIQUELAS
SOLUCION
A) 8
b) e-1
c) 1
d) 103
e) I
I I I ) TALLER INTEGRALES PARA COMPLETAR
OBSERVA LAS INTEGRALES RESUELTAS EN LA MAYORIA DE LOS CASOS
FALTA LA SUSTITUCION IDONEA POR AGREGAR AL DESARROLLO DEL
EJERCICIO Y ESA SUSTITUCION PUEDE SER ALGEBRAICA O FALTA EL
CAMBIO DE VARIABLE RESPECTIVO
1) INTEGRALES INMEDIATAS
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
2 Solucioacuten de las integrales logariacutetmicas
1
2
3
4
5
6
7
8
9 - ln (sen x + cos x ) +C
10
11
3 integrales exponenciales
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4 integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5 Otras integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
- 21 x
4
6 Otras integrales
1
2
3
4
5
EJERCICIOS 2
I) RESOLVER LAS SIGUIENTES INTEGRALES INDEFINIDAS Y VERIFIQUE SU
RESPUESTA REALIZANDO LA DERIVADA
II) EVALUE LA INTEGRAL INDEFINIDA DADA USANDO UNA SUSTITUCION IDONEA
62)Problemas de integrales
1Hallar una funcioacuten F(x) cuya derivada sea f(x) = x + 6 y tal que para x = 2
tome el valor 25
RESPUESTA
2De las inf in itas funciones primitivas de la funcioacuten y = xsup2 - x + 1 iquestcuaacutel
es la que para x = 3 toma el valor 5
RESPUESTA
3Hallar una recta cuya pendiente es 2 y pasa por eacutel punto P(0 4)
RESPUESTA f(x) = 2x + 4
4Escribe la funcioacuten primitiva de y = xsup2 + 2x cuya representacioacuten graacutef ica pasa
por eacutel punto (1 3)
RESPUESTA
5Calcular la ecuacioacuten de la curva que pasa por P(1 5) y cuya pendiente en cualquier punto es
3xsup2 + 5x minus 2
RESPUESTA
6Hallar la primitiva de la funcioacuten que se anula para x = 2
RESPUESTA
CAPITULO 3
INTEGRACION POR PARTES
Definicioacuten
Existen varios meacutetodos de integracioacuten consistiendo todos ellos en reducir la integral buscada a una inteacutegrala conocida como por ejemplo una de las de la tabla o bien reducirla una integral maacutes sencilla
El meacutetodo de integracioacuten por partes estaacute basado en la derivada de un producto de funciones como se muestra a continuacioacuten
d(umiddotv) = u dv + v du
por eso es que se usa para integrales que contienen dos funciones que se multiplican entre si
intd(umiddotv) = intu dv + intv du
Se llama integracioacuten por partes porque la integral se divide en dos partes en una el integrando es u y otra en la otra es v La integral debe estar completa y sin alterar la operacioacuten dentro de ella Consejos
La funcioacuten correspondiente a dv debe ser la funcioacuten maacutes faacutecil de integrar 2- En u deben ir aquellas funciones que no tienen integral directa (funciones logariacutetmicas e inversas) luego se pueden considerar las funciones algebraicas puesto que la derivada es reductiva Las funciones trigonomeacutetricas y exponenciales son maacutes sencillas de trabajar
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRACIOacuteN POR PARTES
1-
2-
3-
4-
5-
6-
7-
8-
9-
10-
INTEGRACION POR PARTES
MATERIAL DE APOYO
VIDEOS DE INTEGRACION POR PARTES
1) httpswwwprofesor10dematescom201505integrales-por-partes-resueltashtml
2) httpwwwsietecolinasesmaterialesmatintegrales-4pdf
3) httpsgpweiztuammxfilesusersuamijdfmetodos_de_integracionintegracion_por_partesp
df
EJERCICIOS EJERCICIOS PARA RESOLVER POR PARTES
1) L=Ln
R
2) R
3) R
4) R
5) R 6) R
7) R
8) R
9) R L=Ln
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
15) R
16) R
17) R
18) R
19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
INTEGRAL RESPUESTA
26) x senx dx sen x xcos x c
27) ln x dx 1x ln x c
28)2
xx sen dx 4 2
2 2
x xsen xcos c
29) x cos nx dx 2
cos nx x sennxc
nn
30) 2 u sec u du utgu lncosu c
31) 2 3 u sen v dv 21 1 16 6
4 12 72v v sen v cos v c
32) 2 y senny dy 2
3 2
2 2cosny y senny y cosnyc
nn n
33) 2 xa dx 2
1x xa c
lna ln a
34) nx ln x dx 1 1
1 1
nx
ln x cn n
35) arc sen x dx 2 1x arc sen x x c
36) arc tg x dx 21 1
2x arc tg x ln x c
37) arc c tg y dy 21 1
2y arc c tg y ln y c
38) 2 arc cos x dx 21 2 1 4
2x arc cos x x c
39) arc sec y dy 2 1y arc sec y ln y y c
40) 2
tarc csc dt 2 2 4
2
tt arc csc ln t t c
41) x arc tg x dx 2 1
2 2
x xarc tg x c
42) arc tg x dx 1 x arc tg x x c
43) 2 xx e dx
22 2xe x x c
44) e cos d
2
esen cos c
45)
2
1
ln x dx
x 1
1
xln x ln x c
x
CAPITULO 4
FUNCIONES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
1) httpwwwmtyitesmmxetiedeptosmma-841recursostab-hippdf
2) httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCION
ES20HIPERBOLICASpdfsequence=1
FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS HIPERBOacuteLICAS
Definicioacuten de las funciones
Un ciacuterculo unitario con centro en el origen sigue la foacutermula 1yx 22 un punto dado por el par
ordenado yx se puede representar como funcioacuten de un aacutengulo t de la siguiente manera
senttcosyx De igual manera una hipeacuterbola unitaria con centro en el origen sigue la foacutermula
1yx 22 un punto dado por el par ordenado yx se puede representar como funcioacuten del aacutengulo t
de la siguiente manera senhttcoshyx Estas funciones se denominan funciones trigonomeacutetricas
hiperboacutelicas en particular coseno hiperboacutelico y seno hiperboacutelico
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas presentan propiedades anaacutelogas a las de las funciones
trigonomeacutetricas o circulares La funcioacuten xsenhxf se define como 2
eexsenh
xx mientras que
la funcioacuten xcoshxf es 2
eexcosh
xx
Al igual que las funciones trigonomeacutetricas circulares en las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas se
cumplen las siguientes identidades fundamentales
xx
xx
xx
xx
xx
xx
ee
2
xsenh
1xhcsc
ee
2
xcosh
1xhsec
ee
ee
xsenh
xcoshxcoth
ee
ee
xcosh
xsenhxtanh
Debido a esto es loacutegico pensar que habraacute una relacioacuten equivalente al Teorema de Pitaacutegoras Asiacute
para las funciones hiperboacutelicas se sabe que 1xsenhxcosh 22
Ejemplo 1
Demostrar que 1xsenhxcosh 22
11
14
4
14
2
4
2
14
ee2
4
ee2
14
eee2e
4
eee2e
12
ee
2
ee
1xsenhxcosh
xxxx
x2xxx2x2xxx2
2xx
2xx
22
Graacutefica de las funciones
Sea la funcioacuten 2
eexsenhxf
xx Las intersecciones se pueden encontrar igualando la funcioacuten
a cero
0x
0x2
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
02
ee
x2
x
x
xx
xx
xx
La funcioacuten seno hiperboacutelico tiene una sola raiacutez en x=0 Para obtener los puntos criacuteticos se iguala a
cero la derivada de la funcioacuten
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
0ee2
1
ee2
1ee
dx
d
2
1
2
ee
dx
d
dx
df
x2
x
x
xx
xx
xx
xxxxxx
por lo tanto no hay puntos criacuteticos Es interesante notar que la derivada de la funcioacuten senh(x) es la
funcioacuten cosh(x)
Por uacuteltimo puntos inflexioacuten se pueden encontrar en donde la segunda derivada es igual a cero
xxxxxx
2
2
ee2
1ee
dx
d
2
1ee
2
1
dx
d
dx
fd
La segunda derivada nos llevoacute nuevamente a la funcioacuten senh(x) Esta funcioacuten ya se igualoacute a cero
para encontrar las intersecciones El resultado es que en x=0 hay una raiacutez que a su vez es un punto
de inflexioacuten
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
La misma funcioacuten 2
eexsenhxf
xx se puede ver como la resta de dos funciones exponenciales
2
e
2
e
2
ee xxxx
La graacutefica de estas dos funciones exponenciales se muestra en azul (exponencial
positiva) y verde (exponencial negativa) La resta de ambas punto por punto es la funcioacuten senh(x)
Derivadas
ucoshdx
duusenh
dx
dxcosh
2
ee
2
ee
dx
dxsenh
dx
d xxxx
usenhdx
duucosh
dx
dxsenh
2
ee
2
ee
dx
dxcosh
dx
d xxxx
uhsecdx
duutanh
dx
d
xhsecxcosh
1
xcosh
xsenhxcosh
xcosh
senhx
dx
dxtanh
dx
d
2
2
22
22
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
uhcscdx
duucoth
dx
d
xhcscxsenh
1
xsenh
xcoshxsenh
senhx
xcosh
dx
dxcoth
dx
d 2
22
22
uhsecutanhdx
duuhsec
dx
d
hxsecxtanhxcosh
1
xcosh
senhx
xcosh
senhx
xcosh
1
dx
dxhsec
dx
d2
uhcscucothdx
duuhcsc
dx
d
hxcscxcothsenhx
1
senhx
xcosh
xsenh
xcosh
senhx
1
dx
dxhcsc
dx
d2
Ejemplo 2
Derivar la funcioacuten 3x4tanhxf 2
La funcioacuten maacutes externa es la raiacutez por lo tanto es la primera en derivarse
3x4tanh2
3x4hsecx83x4tanh
dx
d
3x4tanh2
1
dx
df
2
222
2
Ejemplo 3
Derivar la funcioacuten 2x3cosh2x3tanhlnxf 22
La funcioacuten maacutes externa es el logaritmo por lo tanto es el primero en derivarse
2x3cosh2x3tanh
2x3xsenh62x3hsecx6
dx
df22
222
Integrales
Utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se puede establecer que
cuhcscduucothuhcsc
cuhsecduutanhuhsec
cucothduuhcsc
cutanhduuhsec
cusenhduucosh
cucoshduusenh
2
2
Utilizando estas foacutermulas se pueden establecer las siguientes
Ejemplo 4
Hallar la foacutermula para la integral de la tangente hiperboacutelica
dxxcosh
xsenhdxxtanh
Se hace un cambio de variable en donde dxxsenhduxcoshu Al sustituir la integral anterior
cambia a
cxcoshlnculnu
dudx
xcosh
xsenhdxxtanh
Se puede utilizar el mismo procedimiento para hallar las siguientes foacutermulas
cusenhlnduucoth
cucoshlnduutanh
Ejemplo 5
Resolver las siguientes integrales
dxx3senhx 32
Se realiza el cambio de variable dxx9
dux3u 23 por lo tanto la integral se puede escribir como
cx3cosh9
1cucosh
9
1duusenh
9
1
9
duusenhdxx3senhx 332
dx
x
xlnhsec 2
Se realiza el cambio de variablex
dxduxlnu por lo tanto la integral se puede escribir como
cxlntanhcutanhduuhsecdx
x
xlnhsec2
2
1
0
dxxcoshxsenh
Se realiza el cambio de variable dxxsenhduxcoshu por lo tanto la integral se puede escribir
como
1x
0x
1
0
2 duudxxcoshxsenh
Sin embargo dado que u=senh(x) si x=0 entonces 02
ee0senhu
00
Cuando x=1 entonces
e2
1e
2
e
1e
2
e
1e
2
ee1senhu
2
2
11
La integral es
2
32
23
23
2
e2
1e
0
23
e2
1e
0
1x
0x
1
0
2
e2
1e
3
20
3
2
e2
1e
3
2
u3
2duuduudxxcoshxsenh
22
Inversas
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas tienen funciones inversas que comuacutenmente se denotan
como 1senh o bien como arcsenh donde la funcioacuten recibe el nombre de seno hiperboacutelico inverso
Dado que las funciones estaacuten definidas en teacuterminos de exponenciales es de esperarse que sus
inversas incluyan logaritmos naturales Se pueden definir como
1x0parax
x11lnxhsec
1xparax1
x1ln
2
1xtanh
1xpara1xxlnxcosh
1xxlnxsenh
21
1
21
21
Las derivadas e integrales de estas funciones se resuelven igual que las funciones trigonomeacutetricas
inversas
Ejemplo 6
Obtener la foacutermula para la derivada de la funcioacuten xsenhy 1
Dado que no se conoce la derivada del seno hiperboacutelico inverso pero siacute la del seno hiperboacutelico se
pueden utilizar el concepto de la funcioacuten inversa y la derivada impliacutecita para hallar la foacutermula en
cuestioacuten
ycosh
1y
1yacutecoshy
xysenh
xsenhy 1
Se sabe que 1ysenhycosh 22 por lo tanto 1ysenhycosh 22 y la funcioacuten senhy=x entonces
1xycosh 2 Al sustituir se obtiene
1x
1y
2
El mismo meacutetodo se puede utilizar para encontrar cualquiera de las siguientes foacutermulas
1u
dxdu
usenhdx
d
2
1
1u1u
dxdu
ucoshdx
d
2
1
1uu1
dxdu
utanhdx
d2
1
1u0u1u
dxdu
uhsecdx
d
2
1
Ejemplo 7
Determinar si la funcioacuten 3xxsenhxf 21 es creciente o decreciente en el punto x=2
Se debe resolver la derivada de la multiplicacioacuten
10x6x
x23xsenh
19x6x
x23xsenh
13x
x2x3xsenh
dx
df
24
221
24
221
22
21
Se busca conocer como es la funcioacuten en x=2 por lo tanto se sustituye en la derivada
773131642077
80714ln
25
8257ln
225
82257ln
50
81497ln
102416
87senh
dx
df 1
2x
La funcioacuten es creciente crece a una razoacuten de 377
Las foacutermulas para la integracioacuten salen utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo y a partir de las
foacutermulas de derivacioacuten
0aca
usenhdu
ua
1 1
22
0auca
ucoshdu
au
1 1
22
au0aca
utanh
a
1du
ua
1 1
22
au00aca
uhsec
a
1du
uau
1 1
22
Ejemplo 8
Resolver la integral
dxe25
e
x6
x3
Esta integral es como la de la tangente hiperboacutelica inversa donde 5a25a 2
dxe3
dueueu x3x3x62 Al sustituir esto en la integral
c5
etanh
15
1c
5
etanh
5
1
3
1
u25
du
3
1
u25
3du x3
1x3
1
22
Aplicaciones
La velocidad de las olas en el mar bajo ciertas condiciones depende de la longitud de onda
(distancia entre cresta y cresta) y de la profundidad del agua por donde viajan las olas h La funcioacuten
que relaciona estas variables es
h2tanh
2
gv 2
donde v es la velocidad y g es la gravedad
Suponiendo que se mantiene h constante esto es que el oleaje se propaga por un oceacuteano de
profundidad constante (50 m) determinar si la velocidad aumenta o disminuye cuando m5
h2hsec
ghh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2hsec
h2
2
gh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2tanh
2
gv
h2tanh
2
gv
2
2
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
728d
dv
5
502hsec
5
50819
5
502tanh
2
819
5
502tanh
2
58192
1
d
dv 2
Entonces para este valor de la longitud de onda y de la profundidad la velocidad de la ola va
aumentando respecto a la longitud de onda
Si se requiere ahora saber como va cambiando la velocidad de propagacioacuten del oleaje respecto a la
profundidad del mar para una longitud de onda de 5 m se deberaacute entonces derivar respecto a h Sea
una profundidad de 7 m
h2tanh
2
g2
h2hsecg
dh
dv
h2hsec
2
2
g
h2tanh
2
g2
1
dh
dv
h2tanh
2
gv
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
77
2
2
1061595
10918
5
14tanh
2
05492
5
14hsec819
dh
dv
5
72tanh
2
58192
5
72hsec819
dh
dv
Asiacute que aunque la velocidad de propagacioacuten del oleaje va aumentando respecto a la profundidad la
razoacuten de cambio es muy pequentildea
EJERCICIOS DE DERIVADAS HIPERBOLICAS
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6) R
7) R
8) AYUDA R
9) R 10) R
11) R 12) R
13) R
14)DEMOSTRAR
AYUDA
15)
AYUDA
INTEGRALES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
httpcalculoccfunciones_hiperbolicasp_integrales_hiperbhtml
httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCIONES20
HIPERBOLICASpdfsequence=1
httpseswikipediaorgwikiAnexoIntegrales_de_funciones_hiperbC3B3licas
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES HIPERBOLICAS
2)
3)
5)
6)
8)
Resolvemos ambas integrales mediante integracioacuten por partes
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 5 u = 3x
11)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 3 u = 4x
13)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = radic7 u = 5x
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION MATERIAL DE APOYO
800 INTEGRALES RESUELTAS
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_metodosproblemasp_integr_sust_trigohtml
httpsmatematicasnblogspotcom201512integracion-por-sustitucionhtml CON VIDEOS INCLUIDOS
httpsdspaceupseduecbitstream12345678961191Manual20de20fracciones20parcialespdf
httpwwwtesoemedumxalumnoscuadernillos2011011pdf
httpprofe-alexzblogspotcom201104integracion-fracciones-parcialeshtml Y VIDEOS
httpswwwsectormatematicacl rsaquo media rsaquo diferenciado rsaquo FRACCIONES P httpswwwipnmxassetsfilescecyt11docsGuiasUABasicasMatematicascalculo-integral-solucion-de-problemasPDF
httpswwwacademiaedu7708664CC381LCULO_INTEGRAL_EJERCICIOS_RESUELTOS_PASO_A_PASO
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1 Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de
variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de
la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que
contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe
ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
2119906119889119906 = 119889119909
CONTINUA
R 119868 =2
3radic119909 + 1(119909 minus 2) + 119862
5)
int 1199092radic2 minus 119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = radic2 minus 119909
1199062 = 2 minus 119909 = 119909 = 2 minus 1199062 119889119909 = minus2119906119889119906
Reemplazando
119868 = int(2 minus 1199062)2(minus2119906119889119906)(119906)
119868 = minus2 int(4 minus 41199062 + 1199064)1199062119889119906
COMPLETA
Rminus2
105(2 minus 119909 )32(140 minus 84(2 minus 119909) + 15(2 minus 119909)2) + 119862
RSOLVER int119909119889119909
radic1199092+9 = 119868
Sea 119906 = 1199092+9
119889119906 = 2119909119889119909 = 119909119889119909 =119889119906
2
Sustituyendo tenemos119868 = int119889119906
211990612 = 2 int 119906minus12 119889119906
COMPLETA
R 119868 = radic1199092 + 9 + 119862
7) RESOLVER int radic1 + radic119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = radic1 + radic119909 1199062 = 1 + radic119909 = 1199062 minus 1 = radic119909 (1199062 minus 1)2 = 119909 2(1199062 minus 1)(2119906)119889119906 = 119889119909 Reemplazando
6
119868 = int 119906[2(1199062 minus 1)2(2119906)] 119889119906 119868 = 4 int 1199062(1199062 minus 1)119889119906 119868 = 4 int(1199064 minus 1199062)119889119906
119868 = (1199064
5minus +
1199063
3) + 119862
Termiacutenalo
R
4(1 + radic3)32
[3(1 + radic119909) minus 5] + 119862
8) RESOLVER
int 119890119909radic1 + 119890119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = 1 + 119890119909 119889119906 = 119890119909 119889119909 Reemplazando tenemos
119868 = int 11990612 119889119906
TERMINALO R 119868 =2
3(1 + 119890119909)32 + 119862
9) RESOLVER int 1199051198861198993119909 1199041198901198882119909 119889119909 = 119868 Sea 119906 = tan 119909
119889119906 = 1199041198901198882119909119889119909
TERMINALO R 119868 =1199051198861198994119909
4 + 119862
10)119877119864119878119874119871119881119864119877 int1199092+2119909
(119909+ 1)2 119889119909 = 119868
Al hacer el binomio y dividir se tiene
(119909 + 1)2 = 1 minus1
1199092+2119909+1 Al sustituir 119868 = int (1 minus
119909
(119909+1)2) 119889119909 = int 119889119909 minus int
119889119909
(119909+1)2
119868 = 119909 minus int119889119909
(119909+1)2
R 119868 = 119909 minus (minus 1
119909+1) + 119862 = 119909 +
1
119909+1+ 119862
11) RESOLVER int2+radic119909
1minusradic119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = 1 minus radic119909 radic119909 = 1 minus 119906 = 119909 = (1 minus 119906)2 119889119909 = 2(1 minus 119906)(minus1)119889119906 = 2(1 minus 119906)119889119906
Ahora 2 + radic119909 = 2 + (1 minus 119906) = 3 minus 119906
Al integrar 119868 = int (3minus119906
119906) [minus2(1 minus 119906)] 119889119906 119864119873119879119874119873119862119864119878 (3 int
119889119906
119906minus 4 int 119889119906 + int 119906 119889119906)
CUAL SERIA LA RESPUESTA MATERIAL DE APOYO httpscursodecalculofileswordpresscom201305ejercicios-resueltos-de-
integral-2-integrales-por-sustitucic3b3n-o-cambio-de-variablepdf
EJERCICIOS 1
I) USANDO LA TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS Y LAS OTRAS FORMULAS RESOLVER
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6 ) R 7) R
8) R 9) R
10) R
11) R 12) R
13) R
14) R 15) R
16) R 17)
18) R 19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
27) R 28) R
29 ) R
30) R
31) R 32) R
33) R
34) R 35) R
36) R 37) R
38) R
39) DEMUESTRE LAS SIGUIENTES IGUALDADES
40) USANDO LAS SIGUIENTES IGUALDADES
RESOLVERA) R
B) R
C) R
II) RESUELVE LAS SIGUIENTES INTEGRTALES DEFINIDAS Y GRAFIQUELAS
SOLUCION
A) 8
b) e-1
c) 1
d) 103
e) I
I I I ) TALLER INTEGRALES PARA COMPLETAR
OBSERVA LAS INTEGRALES RESUELTAS EN LA MAYORIA DE LOS CASOS
FALTA LA SUSTITUCION IDONEA POR AGREGAR AL DESARROLLO DEL
EJERCICIO Y ESA SUSTITUCION PUEDE SER ALGEBRAICA O FALTA EL
CAMBIO DE VARIABLE RESPECTIVO
1) INTEGRALES INMEDIATAS
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
2 Solucioacuten de las integrales logariacutetmicas
1
2
3
4
5
6
7
8
9 - ln (sen x + cos x ) +C
10
11
3 integrales exponenciales
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4 integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5 Otras integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
- 21 x
4
6 Otras integrales
1
2
3
4
5
EJERCICIOS 2
I) RESOLVER LAS SIGUIENTES INTEGRALES INDEFINIDAS Y VERIFIQUE SU
RESPUESTA REALIZANDO LA DERIVADA
II) EVALUE LA INTEGRAL INDEFINIDA DADA USANDO UNA SUSTITUCION IDONEA
62)Problemas de integrales
1Hallar una funcioacuten F(x) cuya derivada sea f(x) = x + 6 y tal que para x = 2
tome el valor 25
RESPUESTA
2De las inf in itas funciones primitivas de la funcioacuten y = xsup2 - x + 1 iquestcuaacutel
es la que para x = 3 toma el valor 5
RESPUESTA
3Hallar una recta cuya pendiente es 2 y pasa por eacutel punto P(0 4)
RESPUESTA f(x) = 2x + 4
4Escribe la funcioacuten primitiva de y = xsup2 + 2x cuya representacioacuten graacutef ica pasa
por eacutel punto (1 3)
RESPUESTA
5Calcular la ecuacioacuten de la curva que pasa por P(1 5) y cuya pendiente en cualquier punto es
3xsup2 + 5x minus 2
RESPUESTA
6Hallar la primitiva de la funcioacuten que se anula para x = 2
RESPUESTA
CAPITULO 3
INTEGRACION POR PARTES
Definicioacuten
Existen varios meacutetodos de integracioacuten consistiendo todos ellos en reducir la integral buscada a una inteacutegrala conocida como por ejemplo una de las de la tabla o bien reducirla una integral maacutes sencilla
El meacutetodo de integracioacuten por partes estaacute basado en la derivada de un producto de funciones como se muestra a continuacioacuten
d(umiddotv) = u dv + v du
por eso es que se usa para integrales que contienen dos funciones que se multiplican entre si
intd(umiddotv) = intu dv + intv du
Se llama integracioacuten por partes porque la integral se divide en dos partes en una el integrando es u y otra en la otra es v La integral debe estar completa y sin alterar la operacioacuten dentro de ella Consejos
La funcioacuten correspondiente a dv debe ser la funcioacuten maacutes faacutecil de integrar 2- En u deben ir aquellas funciones que no tienen integral directa (funciones logariacutetmicas e inversas) luego se pueden considerar las funciones algebraicas puesto que la derivada es reductiva Las funciones trigonomeacutetricas y exponenciales son maacutes sencillas de trabajar
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRACIOacuteN POR PARTES
1-
2-
3-
4-
5-
6-
7-
8-
9-
10-
INTEGRACION POR PARTES
MATERIAL DE APOYO
VIDEOS DE INTEGRACION POR PARTES
1) httpswwwprofesor10dematescom201505integrales-por-partes-resueltashtml
2) httpwwwsietecolinasesmaterialesmatintegrales-4pdf
3) httpsgpweiztuammxfilesusersuamijdfmetodos_de_integracionintegracion_por_partesp
df
EJERCICIOS EJERCICIOS PARA RESOLVER POR PARTES
1) L=Ln
R
2) R
3) R
4) R
5) R 6) R
7) R
8) R
9) R L=Ln
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
15) R
16) R
17) R
18) R
19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
INTEGRAL RESPUESTA
26) x senx dx sen x xcos x c
27) ln x dx 1x ln x c
28)2
xx sen dx 4 2
2 2
x xsen xcos c
29) x cos nx dx 2
cos nx x sennxc
nn
30) 2 u sec u du utgu lncosu c
31) 2 3 u sen v dv 21 1 16 6
4 12 72v v sen v cos v c
32) 2 y senny dy 2
3 2
2 2cosny y senny y cosnyc
nn n
33) 2 xa dx 2
1x xa c
lna ln a
34) nx ln x dx 1 1
1 1
nx
ln x cn n
35) arc sen x dx 2 1x arc sen x x c
36) arc tg x dx 21 1
2x arc tg x ln x c
37) arc c tg y dy 21 1
2y arc c tg y ln y c
38) 2 arc cos x dx 21 2 1 4
2x arc cos x x c
39) arc sec y dy 2 1y arc sec y ln y y c
40) 2
tarc csc dt 2 2 4
2
tt arc csc ln t t c
41) x arc tg x dx 2 1
2 2
x xarc tg x c
42) arc tg x dx 1 x arc tg x x c
43) 2 xx e dx
22 2xe x x c
44) e cos d
2
esen cos c
45)
2
1
ln x dx
x 1
1
xln x ln x c
x
CAPITULO 4
FUNCIONES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
1) httpwwwmtyitesmmxetiedeptosmma-841recursostab-hippdf
2) httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCION
ES20HIPERBOLICASpdfsequence=1
FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS HIPERBOacuteLICAS
Definicioacuten de las funciones
Un ciacuterculo unitario con centro en el origen sigue la foacutermula 1yx 22 un punto dado por el par
ordenado yx se puede representar como funcioacuten de un aacutengulo t de la siguiente manera
senttcosyx De igual manera una hipeacuterbola unitaria con centro en el origen sigue la foacutermula
1yx 22 un punto dado por el par ordenado yx se puede representar como funcioacuten del aacutengulo t
de la siguiente manera senhttcoshyx Estas funciones se denominan funciones trigonomeacutetricas
hiperboacutelicas en particular coseno hiperboacutelico y seno hiperboacutelico
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas presentan propiedades anaacutelogas a las de las funciones
trigonomeacutetricas o circulares La funcioacuten xsenhxf se define como 2
eexsenh
xx mientras que
la funcioacuten xcoshxf es 2
eexcosh
xx
Al igual que las funciones trigonomeacutetricas circulares en las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas se
cumplen las siguientes identidades fundamentales
xx
xx
xx
xx
xx
xx
ee
2
xsenh
1xhcsc
ee
2
xcosh
1xhsec
ee
ee
xsenh
xcoshxcoth
ee
ee
xcosh
xsenhxtanh
Debido a esto es loacutegico pensar que habraacute una relacioacuten equivalente al Teorema de Pitaacutegoras Asiacute
para las funciones hiperboacutelicas se sabe que 1xsenhxcosh 22
Ejemplo 1
Demostrar que 1xsenhxcosh 22
11
14
4
14
2
4
2
14
ee2
4
ee2
14
eee2e
4
eee2e
12
ee
2
ee
1xsenhxcosh
xxxx
x2xxx2x2xxx2
2xx
2xx
22
Graacutefica de las funciones
Sea la funcioacuten 2
eexsenhxf
xx Las intersecciones se pueden encontrar igualando la funcioacuten
a cero
0x
0x2
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
02
ee
x2
x
x
xx
xx
xx
La funcioacuten seno hiperboacutelico tiene una sola raiacutez en x=0 Para obtener los puntos criacuteticos se iguala a
cero la derivada de la funcioacuten
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
0ee2
1
ee2
1ee
dx
d
2
1
2
ee
dx
d
dx
df
x2
x
x
xx
xx
xx
xxxxxx
por lo tanto no hay puntos criacuteticos Es interesante notar que la derivada de la funcioacuten senh(x) es la
funcioacuten cosh(x)
Por uacuteltimo puntos inflexioacuten se pueden encontrar en donde la segunda derivada es igual a cero
xxxxxx
2
2
ee2
1ee
dx
d
2
1ee
2
1
dx
d
dx
fd
La segunda derivada nos llevoacute nuevamente a la funcioacuten senh(x) Esta funcioacuten ya se igualoacute a cero
para encontrar las intersecciones El resultado es que en x=0 hay una raiacutez que a su vez es un punto
de inflexioacuten
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
La misma funcioacuten 2
eexsenhxf
xx se puede ver como la resta de dos funciones exponenciales
2
e
2
e
2
ee xxxx
La graacutefica de estas dos funciones exponenciales se muestra en azul (exponencial
positiva) y verde (exponencial negativa) La resta de ambas punto por punto es la funcioacuten senh(x)
Derivadas
ucoshdx
duusenh
dx
dxcosh
2
ee
2
ee
dx
dxsenh
dx
d xxxx
usenhdx
duucosh
dx
dxsenh
2
ee
2
ee
dx
dxcosh
dx
d xxxx
uhsecdx
duutanh
dx
d
xhsecxcosh
1
xcosh
xsenhxcosh
xcosh
senhx
dx
dxtanh
dx
d
2
2
22
22
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
uhcscdx
duucoth
dx
d
xhcscxsenh
1
xsenh
xcoshxsenh
senhx
xcosh
dx
dxcoth
dx
d 2
22
22
uhsecutanhdx
duuhsec
dx
d
hxsecxtanhxcosh
1
xcosh
senhx
xcosh
senhx
xcosh
1
dx
dxhsec
dx
d2
uhcscucothdx
duuhcsc
dx
d
hxcscxcothsenhx
1
senhx
xcosh
xsenh
xcosh
senhx
1
dx
dxhcsc
dx
d2
Ejemplo 2
Derivar la funcioacuten 3x4tanhxf 2
La funcioacuten maacutes externa es la raiacutez por lo tanto es la primera en derivarse
3x4tanh2
3x4hsecx83x4tanh
dx
d
3x4tanh2
1
dx
df
2
222
2
Ejemplo 3
Derivar la funcioacuten 2x3cosh2x3tanhlnxf 22
La funcioacuten maacutes externa es el logaritmo por lo tanto es el primero en derivarse
2x3cosh2x3tanh
2x3xsenh62x3hsecx6
dx
df22
222
Integrales
Utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se puede establecer que
cuhcscduucothuhcsc
cuhsecduutanhuhsec
cucothduuhcsc
cutanhduuhsec
cusenhduucosh
cucoshduusenh
2
2
Utilizando estas foacutermulas se pueden establecer las siguientes
Ejemplo 4
Hallar la foacutermula para la integral de la tangente hiperboacutelica
dxxcosh
xsenhdxxtanh
Se hace un cambio de variable en donde dxxsenhduxcoshu Al sustituir la integral anterior
cambia a
cxcoshlnculnu
dudx
xcosh
xsenhdxxtanh
Se puede utilizar el mismo procedimiento para hallar las siguientes foacutermulas
cusenhlnduucoth
cucoshlnduutanh
Ejemplo 5
Resolver las siguientes integrales
dxx3senhx 32
Se realiza el cambio de variable dxx9
dux3u 23 por lo tanto la integral se puede escribir como
cx3cosh9
1cucosh
9
1duusenh
9
1
9
duusenhdxx3senhx 332
dx
x
xlnhsec 2
Se realiza el cambio de variablex
dxduxlnu por lo tanto la integral se puede escribir como
cxlntanhcutanhduuhsecdx
x
xlnhsec2
2
1
0
dxxcoshxsenh
Se realiza el cambio de variable dxxsenhduxcoshu por lo tanto la integral se puede escribir
como
1x
0x
1
0
2 duudxxcoshxsenh
Sin embargo dado que u=senh(x) si x=0 entonces 02
ee0senhu
00
Cuando x=1 entonces
e2
1e
2
e
1e
2
e
1e
2
ee1senhu
2
2
11
La integral es
2
32
23
23
2
e2
1e
0
23
e2
1e
0
1x
0x
1
0
2
e2
1e
3
20
3
2
e2
1e
3
2
u3
2duuduudxxcoshxsenh
22
Inversas
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas tienen funciones inversas que comuacutenmente se denotan
como 1senh o bien como arcsenh donde la funcioacuten recibe el nombre de seno hiperboacutelico inverso
Dado que las funciones estaacuten definidas en teacuterminos de exponenciales es de esperarse que sus
inversas incluyan logaritmos naturales Se pueden definir como
1x0parax
x11lnxhsec
1xparax1
x1ln
2
1xtanh
1xpara1xxlnxcosh
1xxlnxsenh
21
1
21
21
Las derivadas e integrales de estas funciones se resuelven igual que las funciones trigonomeacutetricas
inversas
Ejemplo 6
Obtener la foacutermula para la derivada de la funcioacuten xsenhy 1
Dado que no se conoce la derivada del seno hiperboacutelico inverso pero siacute la del seno hiperboacutelico se
pueden utilizar el concepto de la funcioacuten inversa y la derivada impliacutecita para hallar la foacutermula en
cuestioacuten
ycosh
1y
1yacutecoshy
xysenh
xsenhy 1
Se sabe que 1ysenhycosh 22 por lo tanto 1ysenhycosh 22 y la funcioacuten senhy=x entonces
1xycosh 2 Al sustituir se obtiene
1x
1y
2
El mismo meacutetodo se puede utilizar para encontrar cualquiera de las siguientes foacutermulas
1u
dxdu
usenhdx
d
2
1
1u1u
dxdu
ucoshdx
d
2
1
1uu1
dxdu
utanhdx
d2
1
1u0u1u
dxdu
uhsecdx
d
2
1
Ejemplo 7
Determinar si la funcioacuten 3xxsenhxf 21 es creciente o decreciente en el punto x=2
Se debe resolver la derivada de la multiplicacioacuten
10x6x
x23xsenh
19x6x
x23xsenh
13x
x2x3xsenh
dx
df
24
221
24
221
22
21
Se busca conocer como es la funcioacuten en x=2 por lo tanto se sustituye en la derivada
773131642077
80714ln
25
8257ln
225
82257ln
50
81497ln
102416
87senh
dx
df 1
2x
La funcioacuten es creciente crece a una razoacuten de 377
Las foacutermulas para la integracioacuten salen utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo y a partir de las
foacutermulas de derivacioacuten
0aca
usenhdu
ua
1 1
22
0auca
ucoshdu
au
1 1
22
au0aca
utanh
a
1du
ua
1 1
22
au00aca
uhsec
a
1du
uau
1 1
22
Ejemplo 8
Resolver la integral
dxe25
e
x6
x3
Esta integral es como la de la tangente hiperboacutelica inversa donde 5a25a 2
dxe3
dueueu x3x3x62 Al sustituir esto en la integral
c5
etanh
15
1c
5
etanh
5
1
3
1
u25
du
3
1
u25
3du x3
1x3
1
22
Aplicaciones
La velocidad de las olas en el mar bajo ciertas condiciones depende de la longitud de onda
(distancia entre cresta y cresta) y de la profundidad del agua por donde viajan las olas h La funcioacuten
que relaciona estas variables es
h2tanh
2
gv 2
donde v es la velocidad y g es la gravedad
Suponiendo que se mantiene h constante esto es que el oleaje se propaga por un oceacuteano de
profundidad constante (50 m) determinar si la velocidad aumenta o disminuye cuando m5
h2hsec
ghh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2hsec
h2
2
gh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2tanh
2
gv
h2tanh
2
gv
2
2
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
728d
dv
5
502hsec
5
50819
5
502tanh
2
819
5
502tanh
2
58192
1
d
dv 2
Entonces para este valor de la longitud de onda y de la profundidad la velocidad de la ola va
aumentando respecto a la longitud de onda
Si se requiere ahora saber como va cambiando la velocidad de propagacioacuten del oleaje respecto a la
profundidad del mar para una longitud de onda de 5 m se deberaacute entonces derivar respecto a h Sea
una profundidad de 7 m
h2tanh
2
g2
h2hsecg
dh
dv
h2hsec
2
2
g
h2tanh
2
g2
1
dh
dv
h2tanh
2
gv
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
77
2
2
1061595
10918
5
14tanh
2
05492
5
14hsec819
dh
dv
5
72tanh
2
58192
5
72hsec819
dh
dv
Asiacute que aunque la velocidad de propagacioacuten del oleaje va aumentando respecto a la profundidad la
razoacuten de cambio es muy pequentildea
EJERCICIOS DE DERIVADAS HIPERBOLICAS
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6) R
7) R
8) AYUDA R
9) R 10) R
11) R 12) R
13) R
14)DEMOSTRAR
AYUDA
15)
AYUDA
INTEGRALES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
httpcalculoccfunciones_hiperbolicasp_integrales_hiperbhtml
httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCIONES20
HIPERBOLICASpdfsequence=1
httpseswikipediaorgwikiAnexoIntegrales_de_funciones_hiperbC3B3licas
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES HIPERBOLICAS
2)
3)
5)
6)
8)
Resolvemos ambas integrales mediante integracioacuten por partes
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 5 u = 3x
11)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 3 u = 4x
13)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = radic7 u = 5x
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION MATERIAL DE APOYO
800 INTEGRALES RESUELTAS
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_metodosproblemasp_integr_sust_trigohtml
httpsmatematicasnblogspotcom201512integracion-por-sustitucionhtml CON VIDEOS INCLUIDOS
httpsdspaceupseduecbitstream12345678961191Manual20de20fracciones20parcialespdf
httpwwwtesoemedumxalumnoscuadernillos2011011pdf
httpprofe-alexzblogspotcom201104integracion-fracciones-parcialeshtml Y VIDEOS
httpswwwsectormatematicacl rsaquo media rsaquo diferenciado rsaquo FRACCIONES P httpswwwipnmxassetsfilescecyt11docsGuiasUABasicasMatematicascalculo-integral-solucion-de-problemasPDF
httpswwwacademiaedu7708664CC381LCULO_INTEGRAL_EJERCICIOS_RESUELTOS_PASO_A_PASO
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1 Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de
variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de
la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que
contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe
ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
119868 = int 119906[2(1199062 minus 1)2(2119906)] 119889119906 119868 = 4 int 1199062(1199062 minus 1)119889119906 119868 = 4 int(1199064 minus 1199062)119889119906
119868 = (1199064
5minus +
1199063
3) + 119862
Termiacutenalo
R
4(1 + radic3)32
[3(1 + radic119909) minus 5] + 119862
8) RESOLVER
int 119890119909radic1 + 119890119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = 1 + 119890119909 119889119906 = 119890119909 119889119909 Reemplazando tenemos
119868 = int 11990612 119889119906
TERMINALO R 119868 =2
3(1 + 119890119909)32 + 119862
9) RESOLVER int 1199051198861198993119909 1199041198901198882119909 119889119909 = 119868 Sea 119906 = tan 119909
119889119906 = 1199041198901198882119909119889119909
TERMINALO R 119868 =1199051198861198994119909
4 + 119862
10)119877119864119878119874119871119881119864119877 int1199092+2119909
(119909+ 1)2 119889119909 = 119868
Al hacer el binomio y dividir se tiene
(119909 + 1)2 = 1 minus1
1199092+2119909+1 Al sustituir 119868 = int (1 minus
119909
(119909+1)2) 119889119909 = int 119889119909 minus int
119889119909
(119909+1)2
119868 = 119909 minus int119889119909
(119909+1)2
R 119868 = 119909 minus (minus 1
119909+1) + 119862 = 119909 +
1
119909+1+ 119862
11) RESOLVER int2+radic119909
1minusradic119909 119889119909 = 119868
Sea 119906 = 1 minus radic119909 radic119909 = 1 minus 119906 = 119909 = (1 minus 119906)2 119889119909 = 2(1 minus 119906)(minus1)119889119906 = 2(1 minus 119906)119889119906
Ahora 2 + radic119909 = 2 + (1 minus 119906) = 3 minus 119906
Al integrar 119868 = int (3minus119906
119906) [minus2(1 minus 119906)] 119889119906 119864119873119879119874119873119862119864119878 (3 int
119889119906
119906minus 4 int 119889119906 + int 119906 119889119906)
CUAL SERIA LA RESPUESTA MATERIAL DE APOYO httpscursodecalculofileswordpresscom201305ejercicios-resueltos-de-
integral-2-integrales-por-sustitucic3b3n-o-cambio-de-variablepdf
EJERCICIOS 1
I) USANDO LA TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS Y LAS OTRAS FORMULAS RESOLVER
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6 ) R 7) R
8) R 9) R
10) R
11) R 12) R
13) R
14) R 15) R
16) R 17)
18) R 19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
27) R 28) R
29 ) R
30) R
31) R 32) R
33) R
34) R 35) R
36) R 37) R
38) R
39) DEMUESTRE LAS SIGUIENTES IGUALDADES
40) USANDO LAS SIGUIENTES IGUALDADES
RESOLVERA) R
B) R
C) R
II) RESUELVE LAS SIGUIENTES INTEGRTALES DEFINIDAS Y GRAFIQUELAS
SOLUCION
A) 8
b) e-1
c) 1
d) 103
e) I
I I I ) TALLER INTEGRALES PARA COMPLETAR
OBSERVA LAS INTEGRALES RESUELTAS EN LA MAYORIA DE LOS CASOS
FALTA LA SUSTITUCION IDONEA POR AGREGAR AL DESARROLLO DEL
EJERCICIO Y ESA SUSTITUCION PUEDE SER ALGEBRAICA O FALTA EL
CAMBIO DE VARIABLE RESPECTIVO
1) INTEGRALES INMEDIATAS
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
2 Solucioacuten de las integrales logariacutetmicas
1
2
3
4
5
6
7
8
9 - ln (sen x + cos x ) +C
10
11
3 integrales exponenciales
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4 integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5 Otras integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
- 21 x
4
6 Otras integrales
1
2
3
4
5
EJERCICIOS 2
I) RESOLVER LAS SIGUIENTES INTEGRALES INDEFINIDAS Y VERIFIQUE SU
RESPUESTA REALIZANDO LA DERIVADA
II) EVALUE LA INTEGRAL INDEFINIDA DADA USANDO UNA SUSTITUCION IDONEA
62)Problemas de integrales
1Hallar una funcioacuten F(x) cuya derivada sea f(x) = x + 6 y tal que para x = 2
tome el valor 25
RESPUESTA
2De las inf in itas funciones primitivas de la funcioacuten y = xsup2 - x + 1 iquestcuaacutel
es la que para x = 3 toma el valor 5
RESPUESTA
3Hallar una recta cuya pendiente es 2 y pasa por eacutel punto P(0 4)
RESPUESTA f(x) = 2x + 4
4Escribe la funcioacuten primitiva de y = xsup2 + 2x cuya representacioacuten graacutef ica pasa
por eacutel punto (1 3)
RESPUESTA
5Calcular la ecuacioacuten de la curva que pasa por P(1 5) y cuya pendiente en cualquier punto es
3xsup2 + 5x minus 2
RESPUESTA
6Hallar la primitiva de la funcioacuten que se anula para x = 2
RESPUESTA
CAPITULO 3
INTEGRACION POR PARTES
Definicioacuten
Existen varios meacutetodos de integracioacuten consistiendo todos ellos en reducir la integral buscada a una inteacutegrala conocida como por ejemplo una de las de la tabla o bien reducirla una integral maacutes sencilla
El meacutetodo de integracioacuten por partes estaacute basado en la derivada de un producto de funciones como se muestra a continuacioacuten
d(umiddotv) = u dv + v du
por eso es que se usa para integrales que contienen dos funciones que se multiplican entre si
intd(umiddotv) = intu dv + intv du
Se llama integracioacuten por partes porque la integral se divide en dos partes en una el integrando es u y otra en la otra es v La integral debe estar completa y sin alterar la operacioacuten dentro de ella Consejos
La funcioacuten correspondiente a dv debe ser la funcioacuten maacutes faacutecil de integrar 2- En u deben ir aquellas funciones que no tienen integral directa (funciones logariacutetmicas e inversas) luego se pueden considerar las funciones algebraicas puesto que la derivada es reductiva Las funciones trigonomeacutetricas y exponenciales son maacutes sencillas de trabajar
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRACIOacuteN POR PARTES
1-
2-
3-
4-
5-
6-
7-
8-
9-
10-
INTEGRACION POR PARTES
MATERIAL DE APOYO
VIDEOS DE INTEGRACION POR PARTES
1) httpswwwprofesor10dematescom201505integrales-por-partes-resueltashtml
2) httpwwwsietecolinasesmaterialesmatintegrales-4pdf
3) httpsgpweiztuammxfilesusersuamijdfmetodos_de_integracionintegracion_por_partesp
df
EJERCICIOS EJERCICIOS PARA RESOLVER POR PARTES
1) L=Ln
R
2) R
3) R
4) R
5) R 6) R
7) R
8) R
9) R L=Ln
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
15) R
16) R
17) R
18) R
19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
INTEGRAL RESPUESTA
26) x senx dx sen x xcos x c
27) ln x dx 1x ln x c
28)2
xx sen dx 4 2
2 2
x xsen xcos c
29) x cos nx dx 2
cos nx x sennxc
nn
30) 2 u sec u du utgu lncosu c
31) 2 3 u sen v dv 21 1 16 6
4 12 72v v sen v cos v c
32) 2 y senny dy 2
3 2
2 2cosny y senny y cosnyc
nn n
33) 2 xa dx 2
1x xa c
lna ln a
34) nx ln x dx 1 1
1 1
nx
ln x cn n
35) arc sen x dx 2 1x arc sen x x c
36) arc tg x dx 21 1
2x arc tg x ln x c
37) arc c tg y dy 21 1
2y arc c tg y ln y c
38) 2 arc cos x dx 21 2 1 4
2x arc cos x x c
39) arc sec y dy 2 1y arc sec y ln y y c
40) 2
tarc csc dt 2 2 4
2
tt arc csc ln t t c
41) x arc tg x dx 2 1
2 2
x xarc tg x c
42) arc tg x dx 1 x arc tg x x c
43) 2 xx e dx
22 2xe x x c
44) e cos d
2
esen cos c
45)
2
1
ln x dx
x 1
1
xln x ln x c
x
CAPITULO 4
FUNCIONES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
1) httpwwwmtyitesmmxetiedeptosmma-841recursostab-hippdf
2) httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCION
ES20HIPERBOLICASpdfsequence=1
FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS HIPERBOacuteLICAS
Definicioacuten de las funciones
Un ciacuterculo unitario con centro en el origen sigue la foacutermula 1yx 22 un punto dado por el par
ordenado yx se puede representar como funcioacuten de un aacutengulo t de la siguiente manera
senttcosyx De igual manera una hipeacuterbola unitaria con centro en el origen sigue la foacutermula
1yx 22 un punto dado por el par ordenado yx se puede representar como funcioacuten del aacutengulo t
de la siguiente manera senhttcoshyx Estas funciones se denominan funciones trigonomeacutetricas
hiperboacutelicas en particular coseno hiperboacutelico y seno hiperboacutelico
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas presentan propiedades anaacutelogas a las de las funciones
trigonomeacutetricas o circulares La funcioacuten xsenhxf se define como 2
eexsenh
xx mientras que
la funcioacuten xcoshxf es 2
eexcosh
xx
Al igual que las funciones trigonomeacutetricas circulares en las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas se
cumplen las siguientes identidades fundamentales
xx
xx
xx
xx
xx
xx
ee
2
xsenh
1xhcsc
ee
2
xcosh
1xhsec
ee
ee
xsenh
xcoshxcoth
ee
ee
xcosh
xsenhxtanh
Debido a esto es loacutegico pensar que habraacute una relacioacuten equivalente al Teorema de Pitaacutegoras Asiacute
para las funciones hiperboacutelicas se sabe que 1xsenhxcosh 22
Ejemplo 1
Demostrar que 1xsenhxcosh 22
11
14
4
14
2
4
2
14
ee2
4
ee2
14
eee2e
4
eee2e
12
ee
2
ee
1xsenhxcosh
xxxx
x2xxx2x2xxx2
2xx
2xx
22
Graacutefica de las funciones
Sea la funcioacuten 2
eexsenhxf
xx Las intersecciones se pueden encontrar igualando la funcioacuten
a cero
0x
0x2
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
02
ee
x2
x
x
xx
xx
xx
La funcioacuten seno hiperboacutelico tiene una sola raiacutez en x=0 Para obtener los puntos criacuteticos se iguala a
cero la derivada de la funcioacuten
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
0ee2
1
ee2
1ee
dx
d
2
1
2
ee
dx
d
dx
df
x2
x
x
xx
xx
xx
xxxxxx
por lo tanto no hay puntos criacuteticos Es interesante notar que la derivada de la funcioacuten senh(x) es la
funcioacuten cosh(x)
Por uacuteltimo puntos inflexioacuten se pueden encontrar en donde la segunda derivada es igual a cero
xxxxxx
2
2
ee2
1ee
dx
d
2
1ee
2
1
dx
d
dx
fd
La segunda derivada nos llevoacute nuevamente a la funcioacuten senh(x) Esta funcioacuten ya se igualoacute a cero
para encontrar las intersecciones El resultado es que en x=0 hay una raiacutez que a su vez es un punto
de inflexioacuten
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
La misma funcioacuten 2
eexsenhxf
xx se puede ver como la resta de dos funciones exponenciales
2
e
2
e
2
ee xxxx
La graacutefica de estas dos funciones exponenciales se muestra en azul (exponencial
positiva) y verde (exponencial negativa) La resta de ambas punto por punto es la funcioacuten senh(x)
Derivadas
ucoshdx
duusenh
dx
dxcosh
2
ee
2
ee
dx
dxsenh
dx
d xxxx
usenhdx
duucosh
dx
dxsenh
2
ee
2
ee
dx
dxcosh
dx
d xxxx
uhsecdx
duutanh
dx
d
xhsecxcosh
1
xcosh
xsenhxcosh
xcosh
senhx
dx
dxtanh
dx
d
2
2
22
22
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
uhcscdx
duucoth
dx
d
xhcscxsenh
1
xsenh
xcoshxsenh
senhx
xcosh
dx
dxcoth
dx
d 2
22
22
uhsecutanhdx
duuhsec
dx
d
hxsecxtanhxcosh
1
xcosh
senhx
xcosh
senhx
xcosh
1
dx
dxhsec
dx
d2
uhcscucothdx
duuhcsc
dx
d
hxcscxcothsenhx
1
senhx
xcosh
xsenh
xcosh
senhx
1
dx
dxhcsc
dx
d2
Ejemplo 2
Derivar la funcioacuten 3x4tanhxf 2
La funcioacuten maacutes externa es la raiacutez por lo tanto es la primera en derivarse
3x4tanh2
3x4hsecx83x4tanh
dx
d
3x4tanh2
1
dx
df
2
222
2
Ejemplo 3
Derivar la funcioacuten 2x3cosh2x3tanhlnxf 22
La funcioacuten maacutes externa es el logaritmo por lo tanto es el primero en derivarse
2x3cosh2x3tanh
2x3xsenh62x3hsecx6
dx
df22
222
Integrales
Utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se puede establecer que
cuhcscduucothuhcsc
cuhsecduutanhuhsec
cucothduuhcsc
cutanhduuhsec
cusenhduucosh
cucoshduusenh
2
2
Utilizando estas foacutermulas se pueden establecer las siguientes
Ejemplo 4
Hallar la foacutermula para la integral de la tangente hiperboacutelica
dxxcosh
xsenhdxxtanh
Se hace un cambio de variable en donde dxxsenhduxcoshu Al sustituir la integral anterior
cambia a
cxcoshlnculnu
dudx
xcosh
xsenhdxxtanh
Se puede utilizar el mismo procedimiento para hallar las siguientes foacutermulas
cusenhlnduucoth
cucoshlnduutanh
Ejemplo 5
Resolver las siguientes integrales
dxx3senhx 32
Se realiza el cambio de variable dxx9
dux3u 23 por lo tanto la integral se puede escribir como
cx3cosh9
1cucosh
9
1duusenh
9
1
9
duusenhdxx3senhx 332
dx
x
xlnhsec 2
Se realiza el cambio de variablex
dxduxlnu por lo tanto la integral se puede escribir como
cxlntanhcutanhduuhsecdx
x
xlnhsec2
2
1
0
dxxcoshxsenh
Se realiza el cambio de variable dxxsenhduxcoshu por lo tanto la integral se puede escribir
como
1x
0x
1
0
2 duudxxcoshxsenh
Sin embargo dado que u=senh(x) si x=0 entonces 02
ee0senhu
00
Cuando x=1 entonces
e2
1e
2
e
1e
2
e
1e
2
ee1senhu
2
2
11
La integral es
2
32
23
23
2
e2
1e
0
23
e2
1e
0
1x
0x
1
0
2
e2
1e
3
20
3
2
e2
1e
3
2
u3
2duuduudxxcoshxsenh
22
Inversas
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas tienen funciones inversas que comuacutenmente se denotan
como 1senh o bien como arcsenh donde la funcioacuten recibe el nombre de seno hiperboacutelico inverso
Dado que las funciones estaacuten definidas en teacuterminos de exponenciales es de esperarse que sus
inversas incluyan logaritmos naturales Se pueden definir como
1x0parax
x11lnxhsec
1xparax1
x1ln
2
1xtanh
1xpara1xxlnxcosh
1xxlnxsenh
21
1
21
21
Las derivadas e integrales de estas funciones se resuelven igual que las funciones trigonomeacutetricas
inversas
Ejemplo 6
Obtener la foacutermula para la derivada de la funcioacuten xsenhy 1
Dado que no se conoce la derivada del seno hiperboacutelico inverso pero siacute la del seno hiperboacutelico se
pueden utilizar el concepto de la funcioacuten inversa y la derivada impliacutecita para hallar la foacutermula en
cuestioacuten
ycosh
1y
1yacutecoshy
xysenh
xsenhy 1
Se sabe que 1ysenhycosh 22 por lo tanto 1ysenhycosh 22 y la funcioacuten senhy=x entonces
1xycosh 2 Al sustituir se obtiene
1x
1y
2
El mismo meacutetodo se puede utilizar para encontrar cualquiera de las siguientes foacutermulas
1u
dxdu
usenhdx
d
2
1
1u1u
dxdu
ucoshdx
d
2
1
1uu1
dxdu
utanhdx
d2
1
1u0u1u
dxdu
uhsecdx
d
2
1
Ejemplo 7
Determinar si la funcioacuten 3xxsenhxf 21 es creciente o decreciente en el punto x=2
Se debe resolver la derivada de la multiplicacioacuten
10x6x
x23xsenh
19x6x
x23xsenh
13x
x2x3xsenh
dx
df
24
221
24
221
22
21
Se busca conocer como es la funcioacuten en x=2 por lo tanto se sustituye en la derivada
773131642077
80714ln
25
8257ln
225
82257ln
50
81497ln
102416
87senh
dx
df 1
2x
La funcioacuten es creciente crece a una razoacuten de 377
Las foacutermulas para la integracioacuten salen utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo y a partir de las
foacutermulas de derivacioacuten
0aca
usenhdu
ua
1 1
22
0auca
ucoshdu
au
1 1
22
au0aca
utanh
a
1du
ua
1 1
22
au00aca
uhsec
a
1du
uau
1 1
22
Ejemplo 8
Resolver la integral
dxe25
e
x6
x3
Esta integral es como la de la tangente hiperboacutelica inversa donde 5a25a 2
dxe3
dueueu x3x3x62 Al sustituir esto en la integral
c5
etanh
15
1c
5
etanh
5
1
3
1
u25
du
3
1
u25
3du x3
1x3
1
22
Aplicaciones
La velocidad de las olas en el mar bajo ciertas condiciones depende de la longitud de onda
(distancia entre cresta y cresta) y de la profundidad del agua por donde viajan las olas h La funcioacuten
que relaciona estas variables es
h2tanh
2
gv 2
donde v es la velocidad y g es la gravedad
Suponiendo que se mantiene h constante esto es que el oleaje se propaga por un oceacuteano de
profundidad constante (50 m) determinar si la velocidad aumenta o disminuye cuando m5
h2hsec
ghh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2hsec
h2
2
gh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2tanh
2
gv
h2tanh
2
gv
2
2
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
728d
dv
5
502hsec
5
50819
5
502tanh
2
819
5
502tanh
2
58192
1
d
dv 2
Entonces para este valor de la longitud de onda y de la profundidad la velocidad de la ola va
aumentando respecto a la longitud de onda
Si se requiere ahora saber como va cambiando la velocidad de propagacioacuten del oleaje respecto a la
profundidad del mar para una longitud de onda de 5 m se deberaacute entonces derivar respecto a h Sea
una profundidad de 7 m
h2tanh
2
g2
h2hsecg
dh
dv
h2hsec
2
2
g
h2tanh
2
g2
1
dh
dv
h2tanh
2
gv
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
77
2
2
1061595
10918
5
14tanh
2
05492
5
14hsec819
dh
dv
5
72tanh
2
58192
5
72hsec819
dh
dv
Asiacute que aunque la velocidad de propagacioacuten del oleaje va aumentando respecto a la profundidad la
razoacuten de cambio es muy pequentildea
EJERCICIOS DE DERIVADAS HIPERBOLICAS
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6) R
7) R
8) AYUDA R
9) R 10) R
11) R 12) R
13) R
14)DEMOSTRAR
AYUDA
15)
AYUDA
INTEGRALES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
httpcalculoccfunciones_hiperbolicasp_integrales_hiperbhtml
httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCIONES20
HIPERBOLICASpdfsequence=1
httpseswikipediaorgwikiAnexoIntegrales_de_funciones_hiperbC3B3licas
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES HIPERBOLICAS
2)
3)
5)
6)
8)
Resolvemos ambas integrales mediante integracioacuten por partes
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 5 u = 3x
11)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 3 u = 4x
13)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = radic7 u = 5x
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION MATERIAL DE APOYO
800 INTEGRALES RESUELTAS
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_metodosproblemasp_integr_sust_trigohtml
httpsmatematicasnblogspotcom201512integracion-por-sustitucionhtml CON VIDEOS INCLUIDOS
httpsdspaceupseduecbitstream12345678961191Manual20de20fracciones20parcialespdf
httpwwwtesoemedumxalumnoscuadernillos2011011pdf
httpprofe-alexzblogspotcom201104integracion-fracciones-parcialeshtml Y VIDEOS
httpswwwsectormatematicacl rsaquo media rsaquo diferenciado rsaquo FRACCIONES P httpswwwipnmxassetsfilescecyt11docsGuiasUABasicasMatematicascalculo-integral-solucion-de-problemasPDF
httpswwwacademiaedu7708664CC381LCULO_INTEGRAL_EJERCICIOS_RESUELTOS_PASO_A_PASO
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1 Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de
variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de
la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que
contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe
ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
Ahora 2 + radic119909 = 2 + (1 minus 119906) = 3 minus 119906
Al integrar 119868 = int (3minus119906
119906) [minus2(1 minus 119906)] 119889119906 119864119873119879119874119873119862119864119878 (3 int
119889119906
119906minus 4 int 119889119906 + int 119906 119889119906)
CUAL SERIA LA RESPUESTA MATERIAL DE APOYO httpscursodecalculofileswordpresscom201305ejercicios-resueltos-de-
integral-2-integrales-por-sustitucic3b3n-o-cambio-de-variablepdf
EJERCICIOS 1
I) USANDO LA TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS Y LAS OTRAS FORMULAS RESOLVER
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6 ) R 7) R
8) R 9) R
10) R
11) R 12) R
13) R
14) R 15) R
16) R 17)
18) R 19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
27) R 28) R
29 ) R
30) R
31) R 32) R
33) R
34) R 35) R
36) R 37) R
38) R
39) DEMUESTRE LAS SIGUIENTES IGUALDADES
40) USANDO LAS SIGUIENTES IGUALDADES
RESOLVERA) R
B) R
C) R
II) RESUELVE LAS SIGUIENTES INTEGRTALES DEFINIDAS Y GRAFIQUELAS
SOLUCION
A) 8
b) e-1
c) 1
d) 103
e) I
I I I ) TALLER INTEGRALES PARA COMPLETAR
OBSERVA LAS INTEGRALES RESUELTAS EN LA MAYORIA DE LOS CASOS
FALTA LA SUSTITUCION IDONEA POR AGREGAR AL DESARROLLO DEL
EJERCICIO Y ESA SUSTITUCION PUEDE SER ALGEBRAICA O FALTA EL
CAMBIO DE VARIABLE RESPECTIVO
1) INTEGRALES INMEDIATAS
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
2 Solucioacuten de las integrales logariacutetmicas
1
2
3
4
5
6
7
8
9 - ln (sen x + cos x ) +C
10
11
3 integrales exponenciales
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4 integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5 Otras integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
- 21 x
4
6 Otras integrales
1
2
3
4
5
EJERCICIOS 2
I) RESOLVER LAS SIGUIENTES INTEGRALES INDEFINIDAS Y VERIFIQUE SU
RESPUESTA REALIZANDO LA DERIVADA
II) EVALUE LA INTEGRAL INDEFINIDA DADA USANDO UNA SUSTITUCION IDONEA
62)Problemas de integrales
1Hallar una funcioacuten F(x) cuya derivada sea f(x) = x + 6 y tal que para x = 2
tome el valor 25
RESPUESTA
2De las inf in itas funciones primitivas de la funcioacuten y = xsup2 - x + 1 iquestcuaacutel
es la que para x = 3 toma el valor 5
RESPUESTA
3Hallar una recta cuya pendiente es 2 y pasa por eacutel punto P(0 4)
RESPUESTA f(x) = 2x + 4
4Escribe la funcioacuten primitiva de y = xsup2 + 2x cuya representacioacuten graacutef ica pasa
por eacutel punto (1 3)
RESPUESTA
5Calcular la ecuacioacuten de la curva que pasa por P(1 5) y cuya pendiente en cualquier punto es
3xsup2 + 5x minus 2
RESPUESTA
6Hallar la primitiva de la funcioacuten que se anula para x = 2
RESPUESTA
CAPITULO 3
INTEGRACION POR PARTES
Definicioacuten
Existen varios meacutetodos de integracioacuten consistiendo todos ellos en reducir la integral buscada a una inteacutegrala conocida como por ejemplo una de las de la tabla o bien reducirla una integral maacutes sencilla
El meacutetodo de integracioacuten por partes estaacute basado en la derivada de un producto de funciones como se muestra a continuacioacuten
d(umiddotv) = u dv + v du
por eso es que se usa para integrales que contienen dos funciones que se multiplican entre si
intd(umiddotv) = intu dv + intv du
Se llama integracioacuten por partes porque la integral se divide en dos partes en una el integrando es u y otra en la otra es v La integral debe estar completa y sin alterar la operacioacuten dentro de ella Consejos
La funcioacuten correspondiente a dv debe ser la funcioacuten maacutes faacutecil de integrar 2- En u deben ir aquellas funciones que no tienen integral directa (funciones logariacutetmicas e inversas) luego se pueden considerar las funciones algebraicas puesto que la derivada es reductiva Las funciones trigonomeacutetricas y exponenciales son maacutes sencillas de trabajar
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRACIOacuteN POR PARTES
1-
2-
3-
4-
5-
6-
7-
8-
9-
10-
INTEGRACION POR PARTES
MATERIAL DE APOYO
VIDEOS DE INTEGRACION POR PARTES
1) httpswwwprofesor10dematescom201505integrales-por-partes-resueltashtml
2) httpwwwsietecolinasesmaterialesmatintegrales-4pdf
3) httpsgpweiztuammxfilesusersuamijdfmetodos_de_integracionintegracion_por_partesp
df
EJERCICIOS EJERCICIOS PARA RESOLVER POR PARTES
1) L=Ln
R
2) R
3) R
4) R
5) R 6) R
7) R
8) R
9) R L=Ln
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
15) R
16) R
17) R
18) R
19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
INTEGRAL RESPUESTA
26) x senx dx sen x xcos x c
27) ln x dx 1x ln x c
28)2
xx sen dx 4 2
2 2
x xsen xcos c
29) x cos nx dx 2
cos nx x sennxc
nn
30) 2 u sec u du utgu lncosu c
31) 2 3 u sen v dv 21 1 16 6
4 12 72v v sen v cos v c
32) 2 y senny dy 2
3 2
2 2cosny y senny y cosnyc
nn n
33) 2 xa dx 2
1x xa c
lna ln a
34) nx ln x dx 1 1
1 1
nx
ln x cn n
35) arc sen x dx 2 1x arc sen x x c
36) arc tg x dx 21 1
2x arc tg x ln x c
37) arc c tg y dy 21 1
2y arc c tg y ln y c
38) 2 arc cos x dx 21 2 1 4
2x arc cos x x c
39) arc sec y dy 2 1y arc sec y ln y y c
40) 2
tarc csc dt 2 2 4
2
tt arc csc ln t t c
41) x arc tg x dx 2 1
2 2
x xarc tg x c
42) arc tg x dx 1 x arc tg x x c
43) 2 xx e dx
22 2xe x x c
44) e cos d
2
esen cos c
45)
2
1
ln x dx
x 1
1
xln x ln x c
x
CAPITULO 4
FUNCIONES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
1) httpwwwmtyitesmmxetiedeptosmma-841recursostab-hippdf
2) httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCION
ES20HIPERBOLICASpdfsequence=1
FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS HIPERBOacuteLICAS
Definicioacuten de las funciones
Un ciacuterculo unitario con centro en el origen sigue la foacutermula 1yx 22 un punto dado por el par
ordenado yx se puede representar como funcioacuten de un aacutengulo t de la siguiente manera
senttcosyx De igual manera una hipeacuterbola unitaria con centro en el origen sigue la foacutermula
1yx 22 un punto dado por el par ordenado yx se puede representar como funcioacuten del aacutengulo t
de la siguiente manera senhttcoshyx Estas funciones se denominan funciones trigonomeacutetricas
hiperboacutelicas en particular coseno hiperboacutelico y seno hiperboacutelico
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas presentan propiedades anaacutelogas a las de las funciones
trigonomeacutetricas o circulares La funcioacuten xsenhxf se define como 2
eexsenh
xx mientras que
la funcioacuten xcoshxf es 2
eexcosh
xx
Al igual que las funciones trigonomeacutetricas circulares en las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas se
cumplen las siguientes identidades fundamentales
xx
xx
xx
xx
xx
xx
ee
2
xsenh
1xhcsc
ee
2
xcosh
1xhsec
ee
ee
xsenh
xcoshxcoth
ee
ee
xcosh
xsenhxtanh
Debido a esto es loacutegico pensar que habraacute una relacioacuten equivalente al Teorema de Pitaacutegoras Asiacute
para las funciones hiperboacutelicas se sabe que 1xsenhxcosh 22
Ejemplo 1
Demostrar que 1xsenhxcosh 22
11
14
4
14
2
4
2
14
ee2
4
ee2
14
eee2e
4
eee2e
12
ee
2
ee
1xsenhxcosh
xxxx
x2xxx2x2xxx2
2xx
2xx
22
Graacutefica de las funciones
Sea la funcioacuten 2
eexsenhxf
xx Las intersecciones se pueden encontrar igualando la funcioacuten
a cero
0x
0x2
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
02
ee
x2
x
x
xx
xx
xx
La funcioacuten seno hiperboacutelico tiene una sola raiacutez en x=0 Para obtener los puntos criacuteticos se iguala a
cero la derivada de la funcioacuten
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
0ee2
1
ee2
1ee
dx
d
2
1
2
ee
dx
d
dx
df
x2
x
x
xx
xx
xx
xxxxxx
por lo tanto no hay puntos criacuteticos Es interesante notar que la derivada de la funcioacuten senh(x) es la
funcioacuten cosh(x)
Por uacuteltimo puntos inflexioacuten se pueden encontrar en donde la segunda derivada es igual a cero
xxxxxx
2
2
ee2
1ee
dx
d
2
1ee
2
1
dx
d
dx
fd
La segunda derivada nos llevoacute nuevamente a la funcioacuten senh(x) Esta funcioacuten ya se igualoacute a cero
para encontrar las intersecciones El resultado es que en x=0 hay una raiacutez que a su vez es un punto
de inflexioacuten
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
La misma funcioacuten 2
eexsenhxf
xx se puede ver como la resta de dos funciones exponenciales
2
e
2
e
2
ee xxxx
La graacutefica de estas dos funciones exponenciales se muestra en azul (exponencial
positiva) y verde (exponencial negativa) La resta de ambas punto por punto es la funcioacuten senh(x)
Derivadas
ucoshdx
duusenh
dx
dxcosh
2
ee
2
ee
dx
dxsenh
dx
d xxxx
usenhdx
duucosh
dx
dxsenh
2
ee
2
ee
dx
dxcosh
dx
d xxxx
uhsecdx
duutanh
dx
d
xhsecxcosh
1
xcosh
xsenhxcosh
xcosh
senhx
dx
dxtanh
dx
d
2
2
22
22
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
uhcscdx
duucoth
dx
d
xhcscxsenh
1
xsenh
xcoshxsenh
senhx
xcosh
dx
dxcoth
dx
d 2
22
22
uhsecutanhdx
duuhsec
dx
d
hxsecxtanhxcosh
1
xcosh
senhx
xcosh
senhx
xcosh
1
dx
dxhsec
dx
d2
uhcscucothdx
duuhcsc
dx
d
hxcscxcothsenhx
1
senhx
xcosh
xsenh
xcosh
senhx
1
dx
dxhcsc
dx
d2
Ejemplo 2
Derivar la funcioacuten 3x4tanhxf 2
La funcioacuten maacutes externa es la raiacutez por lo tanto es la primera en derivarse
3x4tanh2
3x4hsecx83x4tanh
dx
d
3x4tanh2
1
dx
df
2
222
2
Ejemplo 3
Derivar la funcioacuten 2x3cosh2x3tanhlnxf 22
La funcioacuten maacutes externa es el logaritmo por lo tanto es el primero en derivarse
2x3cosh2x3tanh
2x3xsenh62x3hsecx6
dx
df22
222
Integrales
Utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se puede establecer que
cuhcscduucothuhcsc
cuhsecduutanhuhsec
cucothduuhcsc
cutanhduuhsec
cusenhduucosh
cucoshduusenh
2
2
Utilizando estas foacutermulas se pueden establecer las siguientes
Ejemplo 4
Hallar la foacutermula para la integral de la tangente hiperboacutelica
dxxcosh
xsenhdxxtanh
Se hace un cambio de variable en donde dxxsenhduxcoshu Al sustituir la integral anterior
cambia a
cxcoshlnculnu
dudx
xcosh
xsenhdxxtanh
Se puede utilizar el mismo procedimiento para hallar las siguientes foacutermulas
cusenhlnduucoth
cucoshlnduutanh
Ejemplo 5
Resolver las siguientes integrales
dxx3senhx 32
Se realiza el cambio de variable dxx9
dux3u 23 por lo tanto la integral se puede escribir como
cx3cosh9
1cucosh
9
1duusenh
9
1
9
duusenhdxx3senhx 332
dx
x
xlnhsec 2
Se realiza el cambio de variablex
dxduxlnu por lo tanto la integral se puede escribir como
cxlntanhcutanhduuhsecdx
x
xlnhsec2
2
1
0
dxxcoshxsenh
Se realiza el cambio de variable dxxsenhduxcoshu por lo tanto la integral se puede escribir
como
1x
0x
1
0
2 duudxxcoshxsenh
Sin embargo dado que u=senh(x) si x=0 entonces 02
ee0senhu
00
Cuando x=1 entonces
e2
1e
2
e
1e
2
e
1e
2
ee1senhu
2
2
11
La integral es
2
32
23
23
2
e2
1e
0
23
e2
1e
0
1x
0x
1
0
2
e2
1e
3
20
3
2
e2
1e
3
2
u3
2duuduudxxcoshxsenh
22
Inversas
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas tienen funciones inversas que comuacutenmente se denotan
como 1senh o bien como arcsenh donde la funcioacuten recibe el nombre de seno hiperboacutelico inverso
Dado que las funciones estaacuten definidas en teacuterminos de exponenciales es de esperarse que sus
inversas incluyan logaritmos naturales Se pueden definir como
1x0parax
x11lnxhsec
1xparax1
x1ln
2
1xtanh
1xpara1xxlnxcosh
1xxlnxsenh
21
1
21
21
Las derivadas e integrales de estas funciones se resuelven igual que las funciones trigonomeacutetricas
inversas
Ejemplo 6
Obtener la foacutermula para la derivada de la funcioacuten xsenhy 1
Dado que no se conoce la derivada del seno hiperboacutelico inverso pero siacute la del seno hiperboacutelico se
pueden utilizar el concepto de la funcioacuten inversa y la derivada impliacutecita para hallar la foacutermula en
cuestioacuten
ycosh
1y
1yacutecoshy
xysenh
xsenhy 1
Se sabe que 1ysenhycosh 22 por lo tanto 1ysenhycosh 22 y la funcioacuten senhy=x entonces
1xycosh 2 Al sustituir se obtiene
1x
1y
2
El mismo meacutetodo se puede utilizar para encontrar cualquiera de las siguientes foacutermulas
1u
dxdu
usenhdx
d
2
1
1u1u
dxdu
ucoshdx
d
2
1
1uu1
dxdu
utanhdx
d2
1
1u0u1u
dxdu
uhsecdx
d
2
1
Ejemplo 7
Determinar si la funcioacuten 3xxsenhxf 21 es creciente o decreciente en el punto x=2
Se debe resolver la derivada de la multiplicacioacuten
10x6x
x23xsenh
19x6x
x23xsenh
13x
x2x3xsenh
dx
df
24
221
24
221
22
21
Se busca conocer como es la funcioacuten en x=2 por lo tanto se sustituye en la derivada
773131642077
80714ln
25
8257ln
225
82257ln
50
81497ln
102416
87senh
dx
df 1
2x
La funcioacuten es creciente crece a una razoacuten de 377
Las foacutermulas para la integracioacuten salen utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo y a partir de las
foacutermulas de derivacioacuten
0aca
usenhdu
ua
1 1
22
0auca
ucoshdu
au
1 1
22
au0aca
utanh
a
1du
ua
1 1
22
au00aca
uhsec
a
1du
uau
1 1
22
Ejemplo 8
Resolver la integral
dxe25
e
x6
x3
Esta integral es como la de la tangente hiperboacutelica inversa donde 5a25a 2
dxe3
dueueu x3x3x62 Al sustituir esto en la integral
c5
etanh
15
1c
5
etanh
5
1
3
1
u25
du
3
1
u25
3du x3
1x3
1
22
Aplicaciones
La velocidad de las olas en el mar bajo ciertas condiciones depende de la longitud de onda
(distancia entre cresta y cresta) y de la profundidad del agua por donde viajan las olas h La funcioacuten
que relaciona estas variables es
h2tanh
2
gv 2
donde v es la velocidad y g es la gravedad
Suponiendo que se mantiene h constante esto es que el oleaje se propaga por un oceacuteano de
profundidad constante (50 m) determinar si la velocidad aumenta o disminuye cuando m5
h2hsec
ghh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2hsec
h2
2
gh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2tanh
2
gv
h2tanh
2
gv
2
2
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
728d
dv
5
502hsec
5
50819
5
502tanh
2
819
5
502tanh
2
58192
1
d
dv 2
Entonces para este valor de la longitud de onda y de la profundidad la velocidad de la ola va
aumentando respecto a la longitud de onda
Si se requiere ahora saber como va cambiando la velocidad de propagacioacuten del oleaje respecto a la
profundidad del mar para una longitud de onda de 5 m se deberaacute entonces derivar respecto a h Sea
una profundidad de 7 m
h2tanh
2
g2
h2hsecg
dh
dv
h2hsec
2
2
g
h2tanh
2
g2
1
dh
dv
h2tanh
2
gv
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
77
2
2
1061595
10918
5
14tanh
2
05492
5
14hsec819
dh
dv
5
72tanh
2
58192
5
72hsec819
dh
dv
Asiacute que aunque la velocidad de propagacioacuten del oleaje va aumentando respecto a la profundidad la
razoacuten de cambio es muy pequentildea
EJERCICIOS DE DERIVADAS HIPERBOLICAS
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6) R
7) R
8) AYUDA R
9) R 10) R
11) R 12) R
13) R
14)DEMOSTRAR
AYUDA
15)
AYUDA
INTEGRALES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
httpcalculoccfunciones_hiperbolicasp_integrales_hiperbhtml
httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCIONES20
HIPERBOLICASpdfsequence=1
httpseswikipediaorgwikiAnexoIntegrales_de_funciones_hiperbC3B3licas
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES HIPERBOLICAS
2)
3)
5)
6)
8)
Resolvemos ambas integrales mediante integracioacuten por partes
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 5 u = 3x
11)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 3 u = 4x
13)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = radic7 u = 5x
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION MATERIAL DE APOYO
800 INTEGRALES RESUELTAS
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_metodosproblemasp_integr_sust_trigohtml
httpsmatematicasnblogspotcom201512integracion-por-sustitucionhtml CON VIDEOS INCLUIDOS
httpsdspaceupseduecbitstream12345678961191Manual20de20fracciones20parcialespdf
httpwwwtesoemedumxalumnoscuadernillos2011011pdf
httpprofe-alexzblogspotcom201104integracion-fracciones-parcialeshtml Y VIDEOS
httpswwwsectormatematicacl rsaquo media rsaquo diferenciado rsaquo FRACCIONES P httpswwwipnmxassetsfilescecyt11docsGuiasUABasicasMatematicascalculo-integral-solucion-de-problemasPDF
httpswwwacademiaedu7708664CC381LCULO_INTEGRAL_EJERCICIOS_RESUELTOS_PASO_A_PASO
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1 Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de
variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de
la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que
contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe
ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
18) R 19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
27) R 28) R
29 ) R
30) R
31) R 32) R
33) R
34) R 35) R
36) R 37) R
38) R
39) DEMUESTRE LAS SIGUIENTES IGUALDADES
40) USANDO LAS SIGUIENTES IGUALDADES
RESOLVERA) R
B) R
C) R
II) RESUELVE LAS SIGUIENTES INTEGRTALES DEFINIDAS Y GRAFIQUELAS
SOLUCION
A) 8
b) e-1
c) 1
d) 103
e) I
I I I ) TALLER INTEGRALES PARA COMPLETAR
OBSERVA LAS INTEGRALES RESUELTAS EN LA MAYORIA DE LOS CASOS
FALTA LA SUSTITUCION IDONEA POR AGREGAR AL DESARROLLO DEL
EJERCICIO Y ESA SUSTITUCION PUEDE SER ALGEBRAICA O FALTA EL
CAMBIO DE VARIABLE RESPECTIVO
1) INTEGRALES INMEDIATAS
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
2 Solucioacuten de las integrales logariacutetmicas
1
2
3
4
5
6
7
8
9 - ln (sen x + cos x ) +C
10
11
3 integrales exponenciales
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4 integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5 Otras integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
- 21 x
4
6 Otras integrales
1
2
3
4
5
EJERCICIOS 2
I) RESOLVER LAS SIGUIENTES INTEGRALES INDEFINIDAS Y VERIFIQUE SU
RESPUESTA REALIZANDO LA DERIVADA
II) EVALUE LA INTEGRAL INDEFINIDA DADA USANDO UNA SUSTITUCION IDONEA
62)Problemas de integrales
1Hallar una funcioacuten F(x) cuya derivada sea f(x) = x + 6 y tal que para x = 2
tome el valor 25
RESPUESTA
2De las inf in itas funciones primitivas de la funcioacuten y = xsup2 - x + 1 iquestcuaacutel
es la que para x = 3 toma el valor 5
RESPUESTA
3Hallar una recta cuya pendiente es 2 y pasa por eacutel punto P(0 4)
RESPUESTA f(x) = 2x + 4
4Escribe la funcioacuten primitiva de y = xsup2 + 2x cuya representacioacuten graacutef ica pasa
por eacutel punto (1 3)
RESPUESTA
5Calcular la ecuacioacuten de la curva que pasa por P(1 5) y cuya pendiente en cualquier punto es
3xsup2 + 5x minus 2
RESPUESTA
6Hallar la primitiva de la funcioacuten que se anula para x = 2
RESPUESTA
CAPITULO 3
INTEGRACION POR PARTES
Definicioacuten
Existen varios meacutetodos de integracioacuten consistiendo todos ellos en reducir la integral buscada a una inteacutegrala conocida como por ejemplo una de las de la tabla o bien reducirla una integral maacutes sencilla
El meacutetodo de integracioacuten por partes estaacute basado en la derivada de un producto de funciones como se muestra a continuacioacuten
d(umiddotv) = u dv + v du
por eso es que se usa para integrales que contienen dos funciones que se multiplican entre si
intd(umiddotv) = intu dv + intv du
Se llama integracioacuten por partes porque la integral se divide en dos partes en una el integrando es u y otra en la otra es v La integral debe estar completa y sin alterar la operacioacuten dentro de ella Consejos
La funcioacuten correspondiente a dv debe ser la funcioacuten maacutes faacutecil de integrar 2- En u deben ir aquellas funciones que no tienen integral directa (funciones logariacutetmicas e inversas) luego se pueden considerar las funciones algebraicas puesto que la derivada es reductiva Las funciones trigonomeacutetricas y exponenciales son maacutes sencillas de trabajar
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRACIOacuteN POR PARTES
1-
2-
3-
4-
5-
6-
7-
8-
9-
10-
INTEGRACION POR PARTES
MATERIAL DE APOYO
VIDEOS DE INTEGRACION POR PARTES
1) httpswwwprofesor10dematescom201505integrales-por-partes-resueltashtml
2) httpwwwsietecolinasesmaterialesmatintegrales-4pdf
3) httpsgpweiztuammxfilesusersuamijdfmetodos_de_integracionintegracion_por_partesp
df
EJERCICIOS EJERCICIOS PARA RESOLVER POR PARTES
1) L=Ln
R
2) R
3) R
4) R
5) R 6) R
7) R
8) R
9) R L=Ln
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
15) R
16) R
17) R
18) R
19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
INTEGRAL RESPUESTA
26) x senx dx sen x xcos x c
27) ln x dx 1x ln x c
28)2
xx sen dx 4 2
2 2
x xsen xcos c
29) x cos nx dx 2
cos nx x sennxc
nn
30) 2 u sec u du utgu lncosu c
31) 2 3 u sen v dv 21 1 16 6
4 12 72v v sen v cos v c
32) 2 y senny dy 2
3 2
2 2cosny y senny y cosnyc
nn n
33) 2 xa dx 2
1x xa c
lna ln a
34) nx ln x dx 1 1
1 1
nx
ln x cn n
35) arc sen x dx 2 1x arc sen x x c
36) arc tg x dx 21 1
2x arc tg x ln x c
37) arc c tg y dy 21 1
2y arc c tg y ln y c
38) 2 arc cos x dx 21 2 1 4
2x arc cos x x c
39) arc sec y dy 2 1y arc sec y ln y y c
40) 2
tarc csc dt 2 2 4
2
tt arc csc ln t t c
41) x arc tg x dx 2 1
2 2
x xarc tg x c
42) arc tg x dx 1 x arc tg x x c
43) 2 xx e dx
22 2xe x x c
44) e cos d
2
esen cos c
45)
2
1
ln x dx
x 1
1
xln x ln x c
x
CAPITULO 4
FUNCIONES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
1) httpwwwmtyitesmmxetiedeptosmma-841recursostab-hippdf
2) httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCION
ES20HIPERBOLICASpdfsequence=1
FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS HIPERBOacuteLICAS
Definicioacuten de las funciones
Un ciacuterculo unitario con centro en el origen sigue la foacutermula 1yx 22 un punto dado por el par
ordenado yx se puede representar como funcioacuten de un aacutengulo t de la siguiente manera
senttcosyx De igual manera una hipeacuterbola unitaria con centro en el origen sigue la foacutermula
1yx 22 un punto dado por el par ordenado yx se puede representar como funcioacuten del aacutengulo t
de la siguiente manera senhttcoshyx Estas funciones se denominan funciones trigonomeacutetricas
hiperboacutelicas en particular coseno hiperboacutelico y seno hiperboacutelico
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas presentan propiedades anaacutelogas a las de las funciones
trigonomeacutetricas o circulares La funcioacuten xsenhxf se define como 2
eexsenh
xx mientras que
la funcioacuten xcoshxf es 2
eexcosh
xx
Al igual que las funciones trigonomeacutetricas circulares en las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas se
cumplen las siguientes identidades fundamentales
xx
xx
xx
xx
xx
xx
ee
2
xsenh
1xhcsc
ee
2
xcosh
1xhsec
ee
ee
xsenh
xcoshxcoth
ee
ee
xcosh
xsenhxtanh
Debido a esto es loacutegico pensar que habraacute una relacioacuten equivalente al Teorema de Pitaacutegoras Asiacute
para las funciones hiperboacutelicas se sabe que 1xsenhxcosh 22
Ejemplo 1
Demostrar que 1xsenhxcosh 22
11
14
4
14
2
4
2
14
ee2
4
ee2
14
eee2e
4
eee2e
12
ee
2
ee
1xsenhxcosh
xxxx
x2xxx2x2xxx2
2xx
2xx
22
Graacutefica de las funciones
Sea la funcioacuten 2
eexsenhxf
xx Las intersecciones se pueden encontrar igualando la funcioacuten
a cero
0x
0x2
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
02
ee
x2
x
x
xx
xx
xx
La funcioacuten seno hiperboacutelico tiene una sola raiacutez en x=0 Para obtener los puntos criacuteticos se iguala a
cero la derivada de la funcioacuten
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
0ee2
1
ee2
1ee
dx
d
2
1
2
ee
dx
d
dx
df
x2
x
x
xx
xx
xx
xxxxxx
por lo tanto no hay puntos criacuteticos Es interesante notar que la derivada de la funcioacuten senh(x) es la
funcioacuten cosh(x)
Por uacuteltimo puntos inflexioacuten se pueden encontrar en donde la segunda derivada es igual a cero
xxxxxx
2
2
ee2
1ee
dx
d
2
1ee
2
1
dx
d
dx
fd
La segunda derivada nos llevoacute nuevamente a la funcioacuten senh(x) Esta funcioacuten ya se igualoacute a cero
para encontrar las intersecciones El resultado es que en x=0 hay una raiacutez que a su vez es un punto
de inflexioacuten
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
La misma funcioacuten 2
eexsenhxf
xx se puede ver como la resta de dos funciones exponenciales
2
e
2
e
2
ee xxxx
La graacutefica de estas dos funciones exponenciales se muestra en azul (exponencial
positiva) y verde (exponencial negativa) La resta de ambas punto por punto es la funcioacuten senh(x)
Derivadas
ucoshdx
duusenh
dx
dxcosh
2
ee
2
ee
dx
dxsenh
dx
d xxxx
usenhdx
duucosh
dx
dxsenh
2
ee
2
ee
dx
dxcosh
dx
d xxxx
uhsecdx
duutanh
dx
d
xhsecxcosh
1
xcosh
xsenhxcosh
xcosh
senhx
dx
dxtanh
dx
d
2
2
22
22
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
uhcscdx
duucoth
dx
d
xhcscxsenh
1
xsenh
xcoshxsenh
senhx
xcosh
dx
dxcoth
dx
d 2
22
22
uhsecutanhdx
duuhsec
dx
d
hxsecxtanhxcosh
1
xcosh
senhx
xcosh
senhx
xcosh
1
dx
dxhsec
dx
d2
uhcscucothdx
duuhcsc
dx
d
hxcscxcothsenhx
1
senhx
xcosh
xsenh
xcosh
senhx
1
dx
dxhcsc
dx
d2
Ejemplo 2
Derivar la funcioacuten 3x4tanhxf 2
La funcioacuten maacutes externa es la raiacutez por lo tanto es la primera en derivarse
3x4tanh2
3x4hsecx83x4tanh
dx
d
3x4tanh2
1
dx
df
2
222
2
Ejemplo 3
Derivar la funcioacuten 2x3cosh2x3tanhlnxf 22
La funcioacuten maacutes externa es el logaritmo por lo tanto es el primero en derivarse
2x3cosh2x3tanh
2x3xsenh62x3hsecx6
dx
df22
222
Integrales
Utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se puede establecer que
cuhcscduucothuhcsc
cuhsecduutanhuhsec
cucothduuhcsc
cutanhduuhsec
cusenhduucosh
cucoshduusenh
2
2
Utilizando estas foacutermulas se pueden establecer las siguientes
Ejemplo 4
Hallar la foacutermula para la integral de la tangente hiperboacutelica
dxxcosh
xsenhdxxtanh
Se hace un cambio de variable en donde dxxsenhduxcoshu Al sustituir la integral anterior
cambia a
cxcoshlnculnu
dudx
xcosh
xsenhdxxtanh
Se puede utilizar el mismo procedimiento para hallar las siguientes foacutermulas
cusenhlnduucoth
cucoshlnduutanh
Ejemplo 5
Resolver las siguientes integrales
dxx3senhx 32
Se realiza el cambio de variable dxx9
dux3u 23 por lo tanto la integral se puede escribir como
cx3cosh9
1cucosh
9
1duusenh
9
1
9
duusenhdxx3senhx 332
dx
x
xlnhsec 2
Se realiza el cambio de variablex
dxduxlnu por lo tanto la integral se puede escribir como
cxlntanhcutanhduuhsecdx
x
xlnhsec2
2
1
0
dxxcoshxsenh
Se realiza el cambio de variable dxxsenhduxcoshu por lo tanto la integral se puede escribir
como
1x
0x
1
0
2 duudxxcoshxsenh
Sin embargo dado que u=senh(x) si x=0 entonces 02
ee0senhu
00
Cuando x=1 entonces
e2
1e
2
e
1e
2
e
1e
2
ee1senhu
2
2
11
La integral es
2
32
23
23
2
e2
1e
0
23
e2
1e
0
1x
0x
1
0
2
e2
1e
3
20
3
2
e2
1e
3
2
u3
2duuduudxxcoshxsenh
22
Inversas
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas tienen funciones inversas que comuacutenmente se denotan
como 1senh o bien como arcsenh donde la funcioacuten recibe el nombre de seno hiperboacutelico inverso
Dado que las funciones estaacuten definidas en teacuterminos de exponenciales es de esperarse que sus
inversas incluyan logaritmos naturales Se pueden definir como
1x0parax
x11lnxhsec
1xparax1
x1ln
2
1xtanh
1xpara1xxlnxcosh
1xxlnxsenh
21
1
21
21
Las derivadas e integrales de estas funciones se resuelven igual que las funciones trigonomeacutetricas
inversas
Ejemplo 6
Obtener la foacutermula para la derivada de la funcioacuten xsenhy 1
Dado que no se conoce la derivada del seno hiperboacutelico inverso pero siacute la del seno hiperboacutelico se
pueden utilizar el concepto de la funcioacuten inversa y la derivada impliacutecita para hallar la foacutermula en
cuestioacuten
ycosh
1y
1yacutecoshy
xysenh
xsenhy 1
Se sabe que 1ysenhycosh 22 por lo tanto 1ysenhycosh 22 y la funcioacuten senhy=x entonces
1xycosh 2 Al sustituir se obtiene
1x
1y
2
El mismo meacutetodo se puede utilizar para encontrar cualquiera de las siguientes foacutermulas
1u
dxdu
usenhdx
d
2
1
1u1u
dxdu
ucoshdx
d
2
1
1uu1
dxdu
utanhdx
d2
1
1u0u1u
dxdu
uhsecdx
d
2
1
Ejemplo 7
Determinar si la funcioacuten 3xxsenhxf 21 es creciente o decreciente en el punto x=2
Se debe resolver la derivada de la multiplicacioacuten
10x6x
x23xsenh
19x6x
x23xsenh
13x
x2x3xsenh
dx
df
24
221
24
221
22
21
Se busca conocer como es la funcioacuten en x=2 por lo tanto se sustituye en la derivada
773131642077
80714ln
25
8257ln
225
82257ln
50
81497ln
102416
87senh
dx
df 1
2x
La funcioacuten es creciente crece a una razoacuten de 377
Las foacutermulas para la integracioacuten salen utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo y a partir de las
foacutermulas de derivacioacuten
0aca
usenhdu
ua
1 1
22
0auca
ucoshdu
au
1 1
22
au0aca
utanh
a
1du
ua
1 1
22
au00aca
uhsec
a
1du
uau
1 1
22
Ejemplo 8
Resolver la integral
dxe25
e
x6
x3
Esta integral es como la de la tangente hiperboacutelica inversa donde 5a25a 2
dxe3
dueueu x3x3x62 Al sustituir esto en la integral
c5
etanh
15
1c
5
etanh
5
1
3
1
u25
du
3
1
u25
3du x3
1x3
1
22
Aplicaciones
La velocidad de las olas en el mar bajo ciertas condiciones depende de la longitud de onda
(distancia entre cresta y cresta) y de la profundidad del agua por donde viajan las olas h La funcioacuten
que relaciona estas variables es
h2tanh
2
gv 2
donde v es la velocidad y g es la gravedad
Suponiendo que se mantiene h constante esto es que el oleaje se propaga por un oceacuteano de
profundidad constante (50 m) determinar si la velocidad aumenta o disminuye cuando m5
h2hsec
ghh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2hsec
h2
2
gh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2tanh
2
gv
h2tanh
2
gv
2
2
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
728d
dv
5
502hsec
5
50819
5
502tanh
2
819
5
502tanh
2
58192
1
d
dv 2
Entonces para este valor de la longitud de onda y de la profundidad la velocidad de la ola va
aumentando respecto a la longitud de onda
Si se requiere ahora saber como va cambiando la velocidad de propagacioacuten del oleaje respecto a la
profundidad del mar para una longitud de onda de 5 m se deberaacute entonces derivar respecto a h Sea
una profundidad de 7 m
h2tanh
2
g2
h2hsecg
dh
dv
h2hsec
2
2
g
h2tanh
2
g2
1
dh
dv
h2tanh
2
gv
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
77
2
2
1061595
10918
5
14tanh
2
05492
5
14hsec819
dh
dv
5
72tanh
2
58192
5
72hsec819
dh
dv
Asiacute que aunque la velocidad de propagacioacuten del oleaje va aumentando respecto a la profundidad la
razoacuten de cambio es muy pequentildea
EJERCICIOS DE DERIVADAS HIPERBOLICAS
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6) R
7) R
8) AYUDA R
9) R 10) R
11) R 12) R
13) R
14)DEMOSTRAR
AYUDA
15)
AYUDA
INTEGRALES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
httpcalculoccfunciones_hiperbolicasp_integrales_hiperbhtml
httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCIONES20
HIPERBOLICASpdfsequence=1
httpseswikipediaorgwikiAnexoIntegrales_de_funciones_hiperbC3B3licas
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES HIPERBOLICAS
2)
3)
5)
6)
8)
Resolvemos ambas integrales mediante integracioacuten por partes
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 5 u = 3x
11)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 3 u = 4x
13)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = radic7 u = 5x
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION MATERIAL DE APOYO
800 INTEGRALES RESUELTAS
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_metodosproblemasp_integr_sust_trigohtml
httpsmatematicasnblogspotcom201512integracion-por-sustitucionhtml CON VIDEOS INCLUIDOS
httpsdspaceupseduecbitstream12345678961191Manual20de20fracciones20parcialespdf
httpwwwtesoemedumxalumnoscuadernillos2011011pdf
httpprofe-alexzblogspotcom201104integracion-fracciones-parcialeshtml Y VIDEOS
httpswwwsectormatematicacl rsaquo media rsaquo diferenciado rsaquo FRACCIONES P httpswwwipnmxassetsfilescecyt11docsGuiasUABasicasMatematicascalculo-integral-solucion-de-problemasPDF
httpswwwacademiaedu7708664CC381LCULO_INTEGRAL_EJERCICIOS_RESUELTOS_PASO_A_PASO
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1 Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de
variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de
la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que
contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe
ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
39) DEMUESTRE LAS SIGUIENTES IGUALDADES
40) USANDO LAS SIGUIENTES IGUALDADES
RESOLVERA) R
B) R
C) R
II) RESUELVE LAS SIGUIENTES INTEGRTALES DEFINIDAS Y GRAFIQUELAS
SOLUCION
A) 8
b) e-1
c) 1
d) 103
e) I
I I I ) TALLER INTEGRALES PARA COMPLETAR
OBSERVA LAS INTEGRALES RESUELTAS EN LA MAYORIA DE LOS CASOS
FALTA LA SUSTITUCION IDONEA POR AGREGAR AL DESARROLLO DEL
EJERCICIO Y ESA SUSTITUCION PUEDE SER ALGEBRAICA O FALTA EL
CAMBIO DE VARIABLE RESPECTIVO
1) INTEGRALES INMEDIATAS
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
2 Solucioacuten de las integrales logariacutetmicas
1
2
3
4
5
6
7
8
9 - ln (sen x + cos x ) +C
10
11
3 integrales exponenciales
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4 integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5 Otras integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
- 21 x
4
6 Otras integrales
1
2
3
4
5
EJERCICIOS 2
I) RESOLVER LAS SIGUIENTES INTEGRALES INDEFINIDAS Y VERIFIQUE SU
RESPUESTA REALIZANDO LA DERIVADA
II) EVALUE LA INTEGRAL INDEFINIDA DADA USANDO UNA SUSTITUCION IDONEA
62)Problemas de integrales
1Hallar una funcioacuten F(x) cuya derivada sea f(x) = x + 6 y tal que para x = 2
tome el valor 25
RESPUESTA
2De las inf in itas funciones primitivas de la funcioacuten y = xsup2 - x + 1 iquestcuaacutel
es la que para x = 3 toma el valor 5
RESPUESTA
3Hallar una recta cuya pendiente es 2 y pasa por eacutel punto P(0 4)
RESPUESTA f(x) = 2x + 4
4Escribe la funcioacuten primitiva de y = xsup2 + 2x cuya representacioacuten graacutef ica pasa
por eacutel punto (1 3)
RESPUESTA
5Calcular la ecuacioacuten de la curva que pasa por P(1 5) y cuya pendiente en cualquier punto es
3xsup2 + 5x minus 2
RESPUESTA
6Hallar la primitiva de la funcioacuten que se anula para x = 2
RESPUESTA
CAPITULO 3
INTEGRACION POR PARTES
Definicioacuten
Existen varios meacutetodos de integracioacuten consistiendo todos ellos en reducir la integral buscada a una inteacutegrala conocida como por ejemplo una de las de la tabla o bien reducirla una integral maacutes sencilla
El meacutetodo de integracioacuten por partes estaacute basado en la derivada de un producto de funciones como se muestra a continuacioacuten
d(umiddotv) = u dv + v du
por eso es que se usa para integrales que contienen dos funciones que se multiplican entre si
intd(umiddotv) = intu dv + intv du
Se llama integracioacuten por partes porque la integral se divide en dos partes en una el integrando es u y otra en la otra es v La integral debe estar completa y sin alterar la operacioacuten dentro de ella Consejos
La funcioacuten correspondiente a dv debe ser la funcioacuten maacutes faacutecil de integrar 2- En u deben ir aquellas funciones que no tienen integral directa (funciones logariacutetmicas e inversas) luego se pueden considerar las funciones algebraicas puesto que la derivada es reductiva Las funciones trigonomeacutetricas y exponenciales son maacutes sencillas de trabajar
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRACIOacuteN POR PARTES
1-
2-
3-
4-
5-
6-
7-
8-
9-
10-
INTEGRACION POR PARTES
MATERIAL DE APOYO
VIDEOS DE INTEGRACION POR PARTES
1) httpswwwprofesor10dematescom201505integrales-por-partes-resueltashtml
2) httpwwwsietecolinasesmaterialesmatintegrales-4pdf
3) httpsgpweiztuammxfilesusersuamijdfmetodos_de_integracionintegracion_por_partesp
df
EJERCICIOS EJERCICIOS PARA RESOLVER POR PARTES
1) L=Ln
R
2) R
3) R
4) R
5) R 6) R
7) R
8) R
9) R L=Ln
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
15) R
16) R
17) R
18) R
19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
INTEGRAL RESPUESTA
26) x senx dx sen x xcos x c
27) ln x dx 1x ln x c
28)2
xx sen dx 4 2
2 2
x xsen xcos c
29) x cos nx dx 2
cos nx x sennxc
nn
30) 2 u sec u du utgu lncosu c
31) 2 3 u sen v dv 21 1 16 6
4 12 72v v sen v cos v c
32) 2 y senny dy 2
3 2
2 2cosny y senny y cosnyc
nn n
33) 2 xa dx 2
1x xa c
lna ln a
34) nx ln x dx 1 1
1 1
nx
ln x cn n
35) arc sen x dx 2 1x arc sen x x c
36) arc tg x dx 21 1
2x arc tg x ln x c
37) arc c tg y dy 21 1
2y arc c tg y ln y c
38) 2 arc cos x dx 21 2 1 4
2x arc cos x x c
39) arc sec y dy 2 1y arc sec y ln y y c
40) 2
tarc csc dt 2 2 4
2
tt arc csc ln t t c
41) x arc tg x dx 2 1
2 2
x xarc tg x c
42) arc tg x dx 1 x arc tg x x c
43) 2 xx e dx
22 2xe x x c
44) e cos d
2
esen cos c
45)
2
1
ln x dx
x 1
1
xln x ln x c
x
CAPITULO 4
FUNCIONES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
1) httpwwwmtyitesmmxetiedeptosmma-841recursostab-hippdf
2) httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCION
ES20HIPERBOLICASpdfsequence=1
FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS HIPERBOacuteLICAS
Definicioacuten de las funciones
Un ciacuterculo unitario con centro en el origen sigue la foacutermula 1yx 22 un punto dado por el par
ordenado yx se puede representar como funcioacuten de un aacutengulo t de la siguiente manera
senttcosyx De igual manera una hipeacuterbola unitaria con centro en el origen sigue la foacutermula
1yx 22 un punto dado por el par ordenado yx se puede representar como funcioacuten del aacutengulo t
de la siguiente manera senhttcoshyx Estas funciones se denominan funciones trigonomeacutetricas
hiperboacutelicas en particular coseno hiperboacutelico y seno hiperboacutelico
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas presentan propiedades anaacutelogas a las de las funciones
trigonomeacutetricas o circulares La funcioacuten xsenhxf se define como 2
eexsenh
xx mientras que
la funcioacuten xcoshxf es 2
eexcosh
xx
Al igual que las funciones trigonomeacutetricas circulares en las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas se
cumplen las siguientes identidades fundamentales
xx
xx
xx
xx
xx
xx
ee
2
xsenh
1xhcsc
ee
2
xcosh
1xhsec
ee
ee
xsenh
xcoshxcoth
ee
ee
xcosh
xsenhxtanh
Debido a esto es loacutegico pensar que habraacute una relacioacuten equivalente al Teorema de Pitaacutegoras Asiacute
para las funciones hiperboacutelicas se sabe que 1xsenhxcosh 22
Ejemplo 1
Demostrar que 1xsenhxcosh 22
11
14
4
14
2
4
2
14
ee2
4
ee2
14
eee2e
4
eee2e
12
ee
2
ee
1xsenhxcosh
xxxx
x2xxx2x2xxx2
2xx
2xx
22
Graacutefica de las funciones
Sea la funcioacuten 2
eexsenhxf
xx Las intersecciones se pueden encontrar igualando la funcioacuten
a cero
0x
0x2
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
02
ee
x2
x
x
xx
xx
xx
La funcioacuten seno hiperboacutelico tiene una sola raiacutez en x=0 Para obtener los puntos criacuteticos se iguala a
cero la derivada de la funcioacuten
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
0ee2
1
ee2
1ee
dx
d
2
1
2
ee
dx
d
dx
df
x2
x
x
xx
xx
xx
xxxxxx
por lo tanto no hay puntos criacuteticos Es interesante notar que la derivada de la funcioacuten senh(x) es la
funcioacuten cosh(x)
Por uacuteltimo puntos inflexioacuten se pueden encontrar en donde la segunda derivada es igual a cero
xxxxxx
2
2
ee2
1ee
dx
d
2
1ee
2
1
dx
d
dx
fd
La segunda derivada nos llevoacute nuevamente a la funcioacuten senh(x) Esta funcioacuten ya se igualoacute a cero
para encontrar las intersecciones El resultado es que en x=0 hay una raiacutez que a su vez es un punto
de inflexioacuten
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
La misma funcioacuten 2
eexsenhxf
xx se puede ver como la resta de dos funciones exponenciales
2
e
2
e
2
ee xxxx
La graacutefica de estas dos funciones exponenciales se muestra en azul (exponencial
positiva) y verde (exponencial negativa) La resta de ambas punto por punto es la funcioacuten senh(x)
Derivadas
ucoshdx
duusenh
dx
dxcosh
2
ee
2
ee
dx
dxsenh
dx
d xxxx
usenhdx
duucosh
dx
dxsenh
2
ee
2
ee
dx
dxcosh
dx
d xxxx
uhsecdx
duutanh
dx
d
xhsecxcosh
1
xcosh
xsenhxcosh
xcosh
senhx
dx
dxtanh
dx
d
2
2
22
22
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
uhcscdx
duucoth
dx
d
xhcscxsenh
1
xsenh
xcoshxsenh
senhx
xcosh
dx
dxcoth
dx
d 2
22
22
uhsecutanhdx
duuhsec
dx
d
hxsecxtanhxcosh
1
xcosh
senhx
xcosh
senhx
xcosh
1
dx
dxhsec
dx
d2
uhcscucothdx
duuhcsc
dx
d
hxcscxcothsenhx
1
senhx
xcosh
xsenh
xcosh
senhx
1
dx
dxhcsc
dx
d2
Ejemplo 2
Derivar la funcioacuten 3x4tanhxf 2
La funcioacuten maacutes externa es la raiacutez por lo tanto es la primera en derivarse
3x4tanh2
3x4hsecx83x4tanh
dx
d
3x4tanh2
1
dx
df
2
222
2
Ejemplo 3
Derivar la funcioacuten 2x3cosh2x3tanhlnxf 22
La funcioacuten maacutes externa es el logaritmo por lo tanto es el primero en derivarse
2x3cosh2x3tanh
2x3xsenh62x3hsecx6
dx
df22
222
Integrales
Utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se puede establecer que
cuhcscduucothuhcsc
cuhsecduutanhuhsec
cucothduuhcsc
cutanhduuhsec
cusenhduucosh
cucoshduusenh
2
2
Utilizando estas foacutermulas se pueden establecer las siguientes
Ejemplo 4
Hallar la foacutermula para la integral de la tangente hiperboacutelica
dxxcosh
xsenhdxxtanh
Se hace un cambio de variable en donde dxxsenhduxcoshu Al sustituir la integral anterior
cambia a
cxcoshlnculnu
dudx
xcosh
xsenhdxxtanh
Se puede utilizar el mismo procedimiento para hallar las siguientes foacutermulas
cusenhlnduucoth
cucoshlnduutanh
Ejemplo 5
Resolver las siguientes integrales
dxx3senhx 32
Se realiza el cambio de variable dxx9
dux3u 23 por lo tanto la integral se puede escribir como
cx3cosh9
1cucosh
9
1duusenh
9
1
9
duusenhdxx3senhx 332
dx
x
xlnhsec 2
Se realiza el cambio de variablex
dxduxlnu por lo tanto la integral se puede escribir como
cxlntanhcutanhduuhsecdx
x
xlnhsec2
2
1
0
dxxcoshxsenh
Se realiza el cambio de variable dxxsenhduxcoshu por lo tanto la integral se puede escribir
como
1x
0x
1
0
2 duudxxcoshxsenh
Sin embargo dado que u=senh(x) si x=0 entonces 02
ee0senhu
00
Cuando x=1 entonces
e2
1e
2
e
1e
2
e
1e
2
ee1senhu
2
2
11
La integral es
2
32
23
23
2
e2
1e
0
23
e2
1e
0
1x
0x
1
0
2
e2
1e
3
20
3
2
e2
1e
3
2
u3
2duuduudxxcoshxsenh
22
Inversas
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas tienen funciones inversas que comuacutenmente se denotan
como 1senh o bien como arcsenh donde la funcioacuten recibe el nombre de seno hiperboacutelico inverso
Dado que las funciones estaacuten definidas en teacuterminos de exponenciales es de esperarse que sus
inversas incluyan logaritmos naturales Se pueden definir como
1x0parax
x11lnxhsec
1xparax1
x1ln
2
1xtanh
1xpara1xxlnxcosh
1xxlnxsenh
21
1
21
21
Las derivadas e integrales de estas funciones se resuelven igual que las funciones trigonomeacutetricas
inversas
Ejemplo 6
Obtener la foacutermula para la derivada de la funcioacuten xsenhy 1
Dado que no se conoce la derivada del seno hiperboacutelico inverso pero siacute la del seno hiperboacutelico se
pueden utilizar el concepto de la funcioacuten inversa y la derivada impliacutecita para hallar la foacutermula en
cuestioacuten
ycosh
1y
1yacutecoshy
xysenh
xsenhy 1
Se sabe que 1ysenhycosh 22 por lo tanto 1ysenhycosh 22 y la funcioacuten senhy=x entonces
1xycosh 2 Al sustituir se obtiene
1x
1y
2
El mismo meacutetodo se puede utilizar para encontrar cualquiera de las siguientes foacutermulas
1u
dxdu
usenhdx
d
2
1
1u1u
dxdu
ucoshdx
d
2
1
1uu1
dxdu
utanhdx
d2
1
1u0u1u
dxdu
uhsecdx
d
2
1
Ejemplo 7
Determinar si la funcioacuten 3xxsenhxf 21 es creciente o decreciente en el punto x=2
Se debe resolver la derivada de la multiplicacioacuten
10x6x
x23xsenh
19x6x
x23xsenh
13x
x2x3xsenh
dx
df
24
221
24
221
22
21
Se busca conocer como es la funcioacuten en x=2 por lo tanto se sustituye en la derivada
773131642077
80714ln
25
8257ln
225
82257ln
50
81497ln
102416
87senh
dx
df 1
2x
La funcioacuten es creciente crece a una razoacuten de 377
Las foacutermulas para la integracioacuten salen utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo y a partir de las
foacutermulas de derivacioacuten
0aca
usenhdu
ua
1 1
22
0auca
ucoshdu
au
1 1
22
au0aca
utanh
a
1du
ua
1 1
22
au00aca
uhsec
a
1du
uau
1 1
22
Ejemplo 8
Resolver la integral
dxe25
e
x6
x3
Esta integral es como la de la tangente hiperboacutelica inversa donde 5a25a 2
dxe3
dueueu x3x3x62 Al sustituir esto en la integral
c5
etanh
15
1c
5
etanh
5
1
3
1
u25
du
3
1
u25
3du x3
1x3
1
22
Aplicaciones
La velocidad de las olas en el mar bajo ciertas condiciones depende de la longitud de onda
(distancia entre cresta y cresta) y de la profundidad del agua por donde viajan las olas h La funcioacuten
que relaciona estas variables es
h2tanh
2
gv 2
donde v es la velocidad y g es la gravedad
Suponiendo que se mantiene h constante esto es que el oleaje se propaga por un oceacuteano de
profundidad constante (50 m) determinar si la velocidad aumenta o disminuye cuando m5
h2hsec
ghh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2hsec
h2
2
gh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2tanh
2
gv
h2tanh
2
gv
2
2
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
728d
dv
5
502hsec
5
50819
5
502tanh
2
819
5
502tanh
2
58192
1
d
dv 2
Entonces para este valor de la longitud de onda y de la profundidad la velocidad de la ola va
aumentando respecto a la longitud de onda
Si se requiere ahora saber como va cambiando la velocidad de propagacioacuten del oleaje respecto a la
profundidad del mar para una longitud de onda de 5 m se deberaacute entonces derivar respecto a h Sea
una profundidad de 7 m
h2tanh
2
g2
h2hsecg
dh
dv
h2hsec
2
2
g
h2tanh
2
g2
1
dh
dv
h2tanh
2
gv
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
77
2
2
1061595
10918
5
14tanh
2
05492
5
14hsec819
dh
dv
5
72tanh
2
58192
5
72hsec819
dh
dv
Asiacute que aunque la velocidad de propagacioacuten del oleaje va aumentando respecto a la profundidad la
razoacuten de cambio es muy pequentildea
EJERCICIOS DE DERIVADAS HIPERBOLICAS
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6) R
7) R
8) AYUDA R
9) R 10) R
11) R 12) R
13) R
14)DEMOSTRAR
AYUDA
15)
AYUDA
INTEGRALES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
httpcalculoccfunciones_hiperbolicasp_integrales_hiperbhtml
httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCIONES20
HIPERBOLICASpdfsequence=1
httpseswikipediaorgwikiAnexoIntegrales_de_funciones_hiperbC3B3licas
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES HIPERBOLICAS
2)
3)
5)
6)
8)
Resolvemos ambas integrales mediante integracioacuten por partes
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 5 u = 3x
11)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 3 u = 4x
13)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = radic7 u = 5x
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION MATERIAL DE APOYO
800 INTEGRALES RESUELTAS
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_metodosproblemasp_integr_sust_trigohtml
httpsmatematicasnblogspotcom201512integracion-por-sustitucionhtml CON VIDEOS INCLUIDOS
httpsdspaceupseduecbitstream12345678961191Manual20de20fracciones20parcialespdf
httpwwwtesoemedumxalumnoscuadernillos2011011pdf
httpprofe-alexzblogspotcom201104integracion-fracciones-parcialeshtml Y VIDEOS
httpswwwsectormatematicacl rsaquo media rsaquo diferenciado rsaquo FRACCIONES P httpswwwipnmxassetsfilescecyt11docsGuiasUABasicasMatematicascalculo-integral-solucion-de-problemasPDF
httpswwwacademiaedu7708664CC381LCULO_INTEGRAL_EJERCICIOS_RESUELTOS_PASO_A_PASO
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1 Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de
variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de
la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que
contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe
ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
I I I ) TALLER INTEGRALES PARA COMPLETAR
OBSERVA LAS INTEGRALES RESUELTAS EN LA MAYORIA DE LOS CASOS
FALTA LA SUSTITUCION IDONEA POR AGREGAR AL DESARROLLO DEL
EJERCICIO Y ESA SUSTITUCION PUEDE SER ALGEBRAICA O FALTA EL
CAMBIO DE VARIABLE RESPECTIVO
1) INTEGRALES INMEDIATAS
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
2 Solucioacuten de las integrales logariacutetmicas
1
2
3
4
5
6
7
8
9 - ln (sen x + cos x ) +C
10
11
3 integrales exponenciales
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4 integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5 Otras integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
- 21 x
4
6 Otras integrales
1
2
3
4
5
EJERCICIOS 2
I) RESOLVER LAS SIGUIENTES INTEGRALES INDEFINIDAS Y VERIFIQUE SU
RESPUESTA REALIZANDO LA DERIVADA
II) EVALUE LA INTEGRAL INDEFINIDA DADA USANDO UNA SUSTITUCION IDONEA
62)Problemas de integrales
1Hallar una funcioacuten F(x) cuya derivada sea f(x) = x + 6 y tal que para x = 2
tome el valor 25
RESPUESTA
2De las inf in itas funciones primitivas de la funcioacuten y = xsup2 - x + 1 iquestcuaacutel
es la que para x = 3 toma el valor 5
RESPUESTA
3Hallar una recta cuya pendiente es 2 y pasa por eacutel punto P(0 4)
RESPUESTA f(x) = 2x + 4
4Escribe la funcioacuten primitiva de y = xsup2 + 2x cuya representacioacuten graacutef ica pasa
por eacutel punto (1 3)
RESPUESTA
5Calcular la ecuacioacuten de la curva que pasa por P(1 5) y cuya pendiente en cualquier punto es
3xsup2 + 5x minus 2
RESPUESTA
6Hallar la primitiva de la funcioacuten que se anula para x = 2
RESPUESTA
CAPITULO 3
INTEGRACION POR PARTES
Definicioacuten
Existen varios meacutetodos de integracioacuten consistiendo todos ellos en reducir la integral buscada a una inteacutegrala conocida como por ejemplo una de las de la tabla o bien reducirla una integral maacutes sencilla
El meacutetodo de integracioacuten por partes estaacute basado en la derivada de un producto de funciones como se muestra a continuacioacuten
d(umiddotv) = u dv + v du
por eso es que se usa para integrales que contienen dos funciones que se multiplican entre si
intd(umiddotv) = intu dv + intv du
Se llama integracioacuten por partes porque la integral se divide en dos partes en una el integrando es u y otra en la otra es v La integral debe estar completa y sin alterar la operacioacuten dentro de ella Consejos
La funcioacuten correspondiente a dv debe ser la funcioacuten maacutes faacutecil de integrar 2- En u deben ir aquellas funciones que no tienen integral directa (funciones logariacutetmicas e inversas) luego se pueden considerar las funciones algebraicas puesto que la derivada es reductiva Las funciones trigonomeacutetricas y exponenciales son maacutes sencillas de trabajar
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRACIOacuteN POR PARTES
1-
2-
3-
4-
5-
6-
7-
8-
9-
10-
INTEGRACION POR PARTES
MATERIAL DE APOYO
VIDEOS DE INTEGRACION POR PARTES
1) httpswwwprofesor10dematescom201505integrales-por-partes-resueltashtml
2) httpwwwsietecolinasesmaterialesmatintegrales-4pdf
3) httpsgpweiztuammxfilesusersuamijdfmetodos_de_integracionintegracion_por_partesp
df
EJERCICIOS EJERCICIOS PARA RESOLVER POR PARTES
1) L=Ln
R
2) R
3) R
4) R
5) R 6) R
7) R
8) R
9) R L=Ln
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
15) R
16) R
17) R
18) R
19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
INTEGRAL RESPUESTA
26) x senx dx sen x xcos x c
27) ln x dx 1x ln x c
28)2
xx sen dx 4 2
2 2
x xsen xcos c
29) x cos nx dx 2
cos nx x sennxc
nn
30) 2 u sec u du utgu lncosu c
31) 2 3 u sen v dv 21 1 16 6
4 12 72v v sen v cos v c
32) 2 y senny dy 2
3 2
2 2cosny y senny y cosnyc
nn n
33) 2 xa dx 2
1x xa c
lna ln a
34) nx ln x dx 1 1
1 1
nx
ln x cn n
35) arc sen x dx 2 1x arc sen x x c
36) arc tg x dx 21 1
2x arc tg x ln x c
37) arc c tg y dy 21 1
2y arc c tg y ln y c
38) 2 arc cos x dx 21 2 1 4
2x arc cos x x c
39) arc sec y dy 2 1y arc sec y ln y y c
40) 2
tarc csc dt 2 2 4
2
tt arc csc ln t t c
41) x arc tg x dx 2 1
2 2
x xarc tg x c
42) arc tg x dx 1 x arc tg x x c
43) 2 xx e dx
22 2xe x x c
44) e cos d
2
esen cos c
45)
2
1
ln x dx
x 1
1
xln x ln x c
x
CAPITULO 4
FUNCIONES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
1) httpwwwmtyitesmmxetiedeptosmma-841recursostab-hippdf
2) httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCION
ES20HIPERBOLICASpdfsequence=1
FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS HIPERBOacuteLICAS
Definicioacuten de las funciones
Un ciacuterculo unitario con centro en el origen sigue la foacutermula 1yx 22 un punto dado por el par
ordenado yx se puede representar como funcioacuten de un aacutengulo t de la siguiente manera
senttcosyx De igual manera una hipeacuterbola unitaria con centro en el origen sigue la foacutermula
1yx 22 un punto dado por el par ordenado yx se puede representar como funcioacuten del aacutengulo t
de la siguiente manera senhttcoshyx Estas funciones se denominan funciones trigonomeacutetricas
hiperboacutelicas en particular coseno hiperboacutelico y seno hiperboacutelico
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas presentan propiedades anaacutelogas a las de las funciones
trigonomeacutetricas o circulares La funcioacuten xsenhxf se define como 2
eexsenh
xx mientras que
la funcioacuten xcoshxf es 2
eexcosh
xx
Al igual que las funciones trigonomeacutetricas circulares en las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas se
cumplen las siguientes identidades fundamentales
xx
xx
xx
xx
xx
xx
ee
2
xsenh
1xhcsc
ee
2
xcosh
1xhsec
ee
ee
xsenh
xcoshxcoth
ee
ee
xcosh
xsenhxtanh
Debido a esto es loacutegico pensar que habraacute una relacioacuten equivalente al Teorema de Pitaacutegoras Asiacute
para las funciones hiperboacutelicas se sabe que 1xsenhxcosh 22
Ejemplo 1
Demostrar que 1xsenhxcosh 22
11
14
4
14
2
4
2
14
ee2
4
ee2
14
eee2e
4
eee2e
12
ee
2
ee
1xsenhxcosh
xxxx
x2xxx2x2xxx2
2xx
2xx
22
Graacutefica de las funciones
Sea la funcioacuten 2
eexsenhxf
xx Las intersecciones se pueden encontrar igualando la funcioacuten
a cero
0x
0x2
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
02
ee
x2
x
x
xx
xx
xx
La funcioacuten seno hiperboacutelico tiene una sola raiacutez en x=0 Para obtener los puntos criacuteticos se iguala a
cero la derivada de la funcioacuten
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
0ee2
1
ee2
1ee
dx
d
2
1
2
ee
dx
d
dx
df
x2
x
x
xx
xx
xx
xxxxxx
por lo tanto no hay puntos criacuteticos Es interesante notar que la derivada de la funcioacuten senh(x) es la
funcioacuten cosh(x)
Por uacuteltimo puntos inflexioacuten se pueden encontrar en donde la segunda derivada es igual a cero
xxxxxx
2
2
ee2
1ee
dx
d
2
1ee
2
1
dx
d
dx
fd
La segunda derivada nos llevoacute nuevamente a la funcioacuten senh(x) Esta funcioacuten ya se igualoacute a cero
para encontrar las intersecciones El resultado es que en x=0 hay una raiacutez que a su vez es un punto
de inflexioacuten
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
La misma funcioacuten 2
eexsenhxf
xx se puede ver como la resta de dos funciones exponenciales
2
e
2
e
2
ee xxxx
La graacutefica de estas dos funciones exponenciales se muestra en azul (exponencial
positiva) y verde (exponencial negativa) La resta de ambas punto por punto es la funcioacuten senh(x)
Derivadas
ucoshdx
duusenh
dx
dxcosh
2
ee
2
ee
dx
dxsenh
dx
d xxxx
usenhdx
duucosh
dx
dxsenh
2
ee
2
ee
dx
dxcosh
dx
d xxxx
uhsecdx
duutanh
dx
d
xhsecxcosh
1
xcosh
xsenhxcosh
xcosh
senhx
dx
dxtanh
dx
d
2
2
22
22
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
uhcscdx
duucoth
dx
d
xhcscxsenh
1
xsenh
xcoshxsenh
senhx
xcosh
dx
dxcoth
dx
d 2
22
22
uhsecutanhdx
duuhsec
dx
d
hxsecxtanhxcosh
1
xcosh
senhx
xcosh
senhx
xcosh
1
dx
dxhsec
dx
d2
uhcscucothdx
duuhcsc
dx
d
hxcscxcothsenhx
1
senhx
xcosh
xsenh
xcosh
senhx
1
dx
dxhcsc
dx
d2
Ejemplo 2
Derivar la funcioacuten 3x4tanhxf 2
La funcioacuten maacutes externa es la raiacutez por lo tanto es la primera en derivarse
3x4tanh2
3x4hsecx83x4tanh
dx
d
3x4tanh2
1
dx
df
2
222
2
Ejemplo 3
Derivar la funcioacuten 2x3cosh2x3tanhlnxf 22
La funcioacuten maacutes externa es el logaritmo por lo tanto es el primero en derivarse
2x3cosh2x3tanh
2x3xsenh62x3hsecx6
dx
df22
222
Integrales
Utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se puede establecer que
cuhcscduucothuhcsc
cuhsecduutanhuhsec
cucothduuhcsc
cutanhduuhsec
cusenhduucosh
cucoshduusenh
2
2
Utilizando estas foacutermulas se pueden establecer las siguientes
Ejemplo 4
Hallar la foacutermula para la integral de la tangente hiperboacutelica
dxxcosh
xsenhdxxtanh
Se hace un cambio de variable en donde dxxsenhduxcoshu Al sustituir la integral anterior
cambia a
cxcoshlnculnu
dudx
xcosh
xsenhdxxtanh
Se puede utilizar el mismo procedimiento para hallar las siguientes foacutermulas
cusenhlnduucoth
cucoshlnduutanh
Ejemplo 5
Resolver las siguientes integrales
dxx3senhx 32
Se realiza el cambio de variable dxx9
dux3u 23 por lo tanto la integral se puede escribir como
cx3cosh9
1cucosh
9
1duusenh
9
1
9
duusenhdxx3senhx 332
dx
x
xlnhsec 2
Se realiza el cambio de variablex
dxduxlnu por lo tanto la integral se puede escribir como
cxlntanhcutanhduuhsecdx
x
xlnhsec2
2
1
0
dxxcoshxsenh
Se realiza el cambio de variable dxxsenhduxcoshu por lo tanto la integral se puede escribir
como
1x
0x
1
0
2 duudxxcoshxsenh
Sin embargo dado que u=senh(x) si x=0 entonces 02
ee0senhu
00
Cuando x=1 entonces
e2
1e
2
e
1e
2
e
1e
2
ee1senhu
2
2
11
La integral es
2
32
23
23
2
e2
1e
0
23
e2
1e
0
1x
0x
1
0
2
e2
1e
3
20
3
2
e2
1e
3
2
u3
2duuduudxxcoshxsenh
22
Inversas
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas tienen funciones inversas que comuacutenmente se denotan
como 1senh o bien como arcsenh donde la funcioacuten recibe el nombre de seno hiperboacutelico inverso
Dado que las funciones estaacuten definidas en teacuterminos de exponenciales es de esperarse que sus
inversas incluyan logaritmos naturales Se pueden definir como
1x0parax
x11lnxhsec
1xparax1
x1ln
2
1xtanh
1xpara1xxlnxcosh
1xxlnxsenh
21
1
21
21
Las derivadas e integrales de estas funciones se resuelven igual que las funciones trigonomeacutetricas
inversas
Ejemplo 6
Obtener la foacutermula para la derivada de la funcioacuten xsenhy 1
Dado que no se conoce la derivada del seno hiperboacutelico inverso pero siacute la del seno hiperboacutelico se
pueden utilizar el concepto de la funcioacuten inversa y la derivada impliacutecita para hallar la foacutermula en
cuestioacuten
ycosh
1y
1yacutecoshy
xysenh
xsenhy 1
Se sabe que 1ysenhycosh 22 por lo tanto 1ysenhycosh 22 y la funcioacuten senhy=x entonces
1xycosh 2 Al sustituir se obtiene
1x
1y
2
El mismo meacutetodo se puede utilizar para encontrar cualquiera de las siguientes foacutermulas
1u
dxdu
usenhdx
d
2
1
1u1u
dxdu
ucoshdx
d
2
1
1uu1
dxdu
utanhdx
d2
1
1u0u1u
dxdu
uhsecdx
d
2
1
Ejemplo 7
Determinar si la funcioacuten 3xxsenhxf 21 es creciente o decreciente en el punto x=2
Se debe resolver la derivada de la multiplicacioacuten
10x6x
x23xsenh
19x6x
x23xsenh
13x
x2x3xsenh
dx
df
24
221
24
221
22
21
Se busca conocer como es la funcioacuten en x=2 por lo tanto se sustituye en la derivada
773131642077
80714ln
25
8257ln
225
82257ln
50
81497ln
102416
87senh
dx
df 1
2x
La funcioacuten es creciente crece a una razoacuten de 377
Las foacutermulas para la integracioacuten salen utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo y a partir de las
foacutermulas de derivacioacuten
0aca
usenhdu
ua
1 1
22
0auca
ucoshdu
au
1 1
22
au0aca
utanh
a
1du
ua
1 1
22
au00aca
uhsec
a
1du
uau
1 1
22
Ejemplo 8
Resolver la integral
dxe25
e
x6
x3
Esta integral es como la de la tangente hiperboacutelica inversa donde 5a25a 2
dxe3
dueueu x3x3x62 Al sustituir esto en la integral
c5
etanh
15
1c
5
etanh
5
1
3
1
u25
du
3
1
u25
3du x3
1x3
1
22
Aplicaciones
La velocidad de las olas en el mar bajo ciertas condiciones depende de la longitud de onda
(distancia entre cresta y cresta) y de la profundidad del agua por donde viajan las olas h La funcioacuten
que relaciona estas variables es
h2tanh
2
gv 2
donde v es la velocidad y g es la gravedad
Suponiendo que se mantiene h constante esto es que el oleaje se propaga por un oceacuteano de
profundidad constante (50 m) determinar si la velocidad aumenta o disminuye cuando m5
h2hsec
ghh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2hsec
h2
2
gh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2tanh
2
gv
h2tanh
2
gv
2
2
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
728d
dv
5
502hsec
5
50819
5
502tanh
2
819
5
502tanh
2
58192
1
d
dv 2
Entonces para este valor de la longitud de onda y de la profundidad la velocidad de la ola va
aumentando respecto a la longitud de onda
Si se requiere ahora saber como va cambiando la velocidad de propagacioacuten del oleaje respecto a la
profundidad del mar para una longitud de onda de 5 m se deberaacute entonces derivar respecto a h Sea
una profundidad de 7 m
h2tanh
2
g2
h2hsecg
dh
dv
h2hsec
2
2
g
h2tanh
2
g2
1
dh
dv
h2tanh
2
gv
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
77
2
2
1061595
10918
5
14tanh
2
05492
5
14hsec819
dh
dv
5
72tanh
2
58192
5
72hsec819
dh
dv
Asiacute que aunque la velocidad de propagacioacuten del oleaje va aumentando respecto a la profundidad la
razoacuten de cambio es muy pequentildea
EJERCICIOS DE DERIVADAS HIPERBOLICAS
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6) R
7) R
8) AYUDA R
9) R 10) R
11) R 12) R
13) R
14)DEMOSTRAR
AYUDA
15)
AYUDA
INTEGRALES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
httpcalculoccfunciones_hiperbolicasp_integrales_hiperbhtml
httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCIONES20
HIPERBOLICASpdfsequence=1
httpseswikipediaorgwikiAnexoIntegrales_de_funciones_hiperbC3B3licas
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES HIPERBOLICAS
2)
3)
5)
6)
8)
Resolvemos ambas integrales mediante integracioacuten por partes
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 5 u = 3x
11)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 3 u = 4x
13)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = radic7 u = 5x
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION MATERIAL DE APOYO
800 INTEGRALES RESUELTAS
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_metodosproblemasp_integr_sust_trigohtml
httpsmatematicasnblogspotcom201512integracion-por-sustitucionhtml CON VIDEOS INCLUIDOS
httpsdspaceupseduecbitstream12345678961191Manual20de20fracciones20parcialespdf
httpwwwtesoemedumxalumnoscuadernillos2011011pdf
httpprofe-alexzblogspotcom201104integracion-fracciones-parcialeshtml Y VIDEOS
httpswwwsectormatematicacl rsaquo media rsaquo diferenciado rsaquo FRACCIONES P httpswwwipnmxassetsfilescecyt11docsGuiasUABasicasMatematicascalculo-integral-solucion-de-problemasPDF
httpswwwacademiaedu7708664CC381LCULO_INTEGRAL_EJERCICIOS_RESUELTOS_PASO_A_PASO
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1 Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de
variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de
la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que
contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe
ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
2 Solucioacuten de las integrales logariacutetmicas
1
2
3
4
5
6
7
8
9 - ln (sen x + cos x ) +C
10
11
3 integrales exponenciales
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4 integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5 Otras integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
- 21 x
4
6 Otras integrales
1
2
3
4
5
EJERCICIOS 2
I) RESOLVER LAS SIGUIENTES INTEGRALES INDEFINIDAS Y VERIFIQUE SU
RESPUESTA REALIZANDO LA DERIVADA
II) EVALUE LA INTEGRAL INDEFINIDA DADA USANDO UNA SUSTITUCION IDONEA
62)Problemas de integrales
1Hallar una funcioacuten F(x) cuya derivada sea f(x) = x + 6 y tal que para x = 2
tome el valor 25
RESPUESTA
2De las inf in itas funciones primitivas de la funcioacuten y = xsup2 - x + 1 iquestcuaacutel
es la que para x = 3 toma el valor 5
RESPUESTA
3Hallar una recta cuya pendiente es 2 y pasa por eacutel punto P(0 4)
RESPUESTA f(x) = 2x + 4
4Escribe la funcioacuten primitiva de y = xsup2 + 2x cuya representacioacuten graacutef ica pasa
por eacutel punto (1 3)
RESPUESTA
5Calcular la ecuacioacuten de la curva que pasa por P(1 5) y cuya pendiente en cualquier punto es
3xsup2 + 5x minus 2
RESPUESTA
6Hallar la primitiva de la funcioacuten que se anula para x = 2
RESPUESTA
CAPITULO 3
INTEGRACION POR PARTES
Definicioacuten
Existen varios meacutetodos de integracioacuten consistiendo todos ellos en reducir la integral buscada a una inteacutegrala conocida como por ejemplo una de las de la tabla o bien reducirla una integral maacutes sencilla
El meacutetodo de integracioacuten por partes estaacute basado en la derivada de un producto de funciones como se muestra a continuacioacuten
d(umiddotv) = u dv + v du
por eso es que se usa para integrales que contienen dos funciones que se multiplican entre si
intd(umiddotv) = intu dv + intv du
Se llama integracioacuten por partes porque la integral se divide en dos partes en una el integrando es u y otra en la otra es v La integral debe estar completa y sin alterar la operacioacuten dentro de ella Consejos
La funcioacuten correspondiente a dv debe ser la funcioacuten maacutes faacutecil de integrar 2- En u deben ir aquellas funciones que no tienen integral directa (funciones logariacutetmicas e inversas) luego se pueden considerar las funciones algebraicas puesto que la derivada es reductiva Las funciones trigonomeacutetricas y exponenciales son maacutes sencillas de trabajar
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRACIOacuteN POR PARTES
1-
2-
3-
4-
5-
6-
7-
8-
9-
10-
INTEGRACION POR PARTES
MATERIAL DE APOYO
VIDEOS DE INTEGRACION POR PARTES
1) httpswwwprofesor10dematescom201505integrales-por-partes-resueltashtml
2) httpwwwsietecolinasesmaterialesmatintegrales-4pdf
3) httpsgpweiztuammxfilesusersuamijdfmetodos_de_integracionintegracion_por_partesp
df
EJERCICIOS EJERCICIOS PARA RESOLVER POR PARTES
1) L=Ln
R
2) R
3) R
4) R
5) R 6) R
7) R
8) R
9) R L=Ln
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
15) R
16) R
17) R
18) R
19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
INTEGRAL RESPUESTA
26) x senx dx sen x xcos x c
27) ln x dx 1x ln x c
28)2
xx sen dx 4 2
2 2
x xsen xcos c
29) x cos nx dx 2
cos nx x sennxc
nn
30) 2 u sec u du utgu lncosu c
31) 2 3 u sen v dv 21 1 16 6
4 12 72v v sen v cos v c
32) 2 y senny dy 2
3 2
2 2cosny y senny y cosnyc
nn n
33) 2 xa dx 2
1x xa c
lna ln a
34) nx ln x dx 1 1
1 1
nx
ln x cn n
35) arc sen x dx 2 1x arc sen x x c
36) arc tg x dx 21 1
2x arc tg x ln x c
37) arc c tg y dy 21 1
2y arc c tg y ln y c
38) 2 arc cos x dx 21 2 1 4
2x arc cos x x c
39) arc sec y dy 2 1y arc sec y ln y y c
40) 2
tarc csc dt 2 2 4
2
tt arc csc ln t t c
41) x arc tg x dx 2 1
2 2
x xarc tg x c
42) arc tg x dx 1 x arc tg x x c
43) 2 xx e dx
22 2xe x x c
44) e cos d
2
esen cos c
45)
2
1
ln x dx
x 1
1
xln x ln x c
x
CAPITULO 4
FUNCIONES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
1) httpwwwmtyitesmmxetiedeptosmma-841recursostab-hippdf
2) httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCION
ES20HIPERBOLICASpdfsequence=1
FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS HIPERBOacuteLICAS
Definicioacuten de las funciones
Un ciacuterculo unitario con centro en el origen sigue la foacutermula 1yx 22 un punto dado por el par
ordenado yx se puede representar como funcioacuten de un aacutengulo t de la siguiente manera
senttcosyx De igual manera una hipeacuterbola unitaria con centro en el origen sigue la foacutermula
1yx 22 un punto dado por el par ordenado yx se puede representar como funcioacuten del aacutengulo t
de la siguiente manera senhttcoshyx Estas funciones se denominan funciones trigonomeacutetricas
hiperboacutelicas en particular coseno hiperboacutelico y seno hiperboacutelico
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas presentan propiedades anaacutelogas a las de las funciones
trigonomeacutetricas o circulares La funcioacuten xsenhxf se define como 2
eexsenh
xx mientras que
la funcioacuten xcoshxf es 2
eexcosh
xx
Al igual que las funciones trigonomeacutetricas circulares en las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas se
cumplen las siguientes identidades fundamentales
xx
xx
xx
xx
xx
xx
ee
2
xsenh
1xhcsc
ee
2
xcosh
1xhsec
ee
ee
xsenh
xcoshxcoth
ee
ee
xcosh
xsenhxtanh
Debido a esto es loacutegico pensar que habraacute una relacioacuten equivalente al Teorema de Pitaacutegoras Asiacute
para las funciones hiperboacutelicas se sabe que 1xsenhxcosh 22
Ejemplo 1
Demostrar que 1xsenhxcosh 22
11
14
4
14
2
4
2
14
ee2
4
ee2
14
eee2e
4
eee2e
12
ee
2
ee
1xsenhxcosh
xxxx
x2xxx2x2xxx2
2xx
2xx
22
Graacutefica de las funciones
Sea la funcioacuten 2
eexsenhxf
xx Las intersecciones se pueden encontrar igualando la funcioacuten
a cero
0x
0x2
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
02
ee
x2
x
x
xx
xx
xx
La funcioacuten seno hiperboacutelico tiene una sola raiacutez en x=0 Para obtener los puntos criacuteticos se iguala a
cero la derivada de la funcioacuten
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
0ee2
1
ee2
1ee
dx
d
2
1
2
ee
dx
d
dx
df
x2
x
x
xx
xx
xx
xxxxxx
por lo tanto no hay puntos criacuteticos Es interesante notar que la derivada de la funcioacuten senh(x) es la
funcioacuten cosh(x)
Por uacuteltimo puntos inflexioacuten se pueden encontrar en donde la segunda derivada es igual a cero
xxxxxx
2
2
ee2
1ee
dx
d
2
1ee
2
1
dx
d
dx
fd
La segunda derivada nos llevoacute nuevamente a la funcioacuten senh(x) Esta funcioacuten ya se igualoacute a cero
para encontrar las intersecciones El resultado es que en x=0 hay una raiacutez que a su vez es un punto
de inflexioacuten
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
La misma funcioacuten 2
eexsenhxf
xx se puede ver como la resta de dos funciones exponenciales
2
e
2
e
2
ee xxxx
La graacutefica de estas dos funciones exponenciales se muestra en azul (exponencial
positiva) y verde (exponencial negativa) La resta de ambas punto por punto es la funcioacuten senh(x)
Derivadas
ucoshdx
duusenh
dx
dxcosh
2
ee
2
ee
dx
dxsenh
dx
d xxxx
usenhdx
duucosh
dx
dxsenh
2
ee
2
ee
dx
dxcosh
dx
d xxxx
uhsecdx
duutanh
dx
d
xhsecxcosh
1
xcosh
xsenhxcosh
xcosh
senhx
dx
dxtanh
dx
d
2
2
22
22
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
uhcscdx
duucoth
dx
d
xhcscxsenh
1
xsenh
xcoshxsenh
senhx
xcosh
dx
dxcoth
dx
d 2
22
22
uhsecutanhdx
duuhsec
dx
d
hxsecxtanhxcosh
1
xcosh
senhx
xcosh
senhx
xcosh
1
dx
dxhsec
dx
d2
uhcscucothdx
duuhcsc
dx
d
hxcscxcothsenhx
1
senhx
xcosh
xsenh
xcosh
senhx
1
dx
dxhcsc
dx
d2
Ejemplo 2
Derivar la funcioacuten 3x4tanhxf 2
La funcioacuten maacutes externa es la raiacutez por lo tanto es la primera en derivarse
3x4tanh2
3x4hsecx83x4tanh
dx
d
3x4tanh2
1
dx
df
2
222
2
Ejemplo 3
Derivar la funcioacuten 2x3cosh2x3tanhlnxf 22
La funcioacuten maacutes externa es el logaritmo por lo tanto es el primero en derivarse
2x3cosh2x3tanh
2x3xsenh62x3hsecx6
dx
df22
222
Integrales
Utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se puede establecer que
cuhcscduucothuhcsc
cuhsecduutanhuhsec
cucothduuhcsc
cutanhduuhsec
cusenhduucosh
cucoshduusenh
2
2
Utilizando estas foacutermulas se pueden establecer las siguientes
Ejemplo 4
Hallar la foacutermula para la integral de la tangente hiperboacutelica
dxxcosh
xsenhdxxtanh
Se hace un cambio de variable en donde dxxsenhduxcoshu Al sustituir la integral anterior
cambia a
cxcoshlnculnu
dudx
xcosh
xsenhdxxtanh
Se puede utilizar el mismo procedimiento para hallar las siguientes foacutermulas
cusenhlnduucoth
cucoshlnduutanh
Ejemplo 5
Resolver las siguientes integrales
dxx3senhx 32
Se realiza el cambio de variable dxx9
dux3u 23 por lo tanto la integral se puede escribir como
cx3cosh9
1cucosh
9
1duusenh
9
1
9
duusenhdxx3senhx 332
dx
x
xlnhsec 2
Se realiza el cambio de variablex
dxduxlnu por lo tanto la integral se puede escribir como
cxlntanhcutanhduuhsecdx
x
xlnhsec2
2
1
0
dxxcoshxsenh
Se realiza el cambio de variable dxxsenhduxcoshu por lo tanto la integral se puede escribir
como
1x
0x
1
0
2 duudxxcoshxsenh
Sin embargo dado que u=senh(x) si x=0 entonces 02
ee0senhu
00
Cuando x=1 entonces
e2
1e
2
e
1e
2
e
1e
2
ee1senhu
2
2
11
La integral es
2
32
23
23
2
e2
1e
0
23
e2
1e
0
1x
0x
1
0
2
e2
1e
3
20
3
2
e2
1e
3
2
u3
2duuduudxxcoshxsenh
22
Inversas
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas tienen funciones inversas que comuacutenmente se denotan
como 1senh o bien como arcsenh donde la funcioacuten recibe el nombre de seno hiperboacutelico inverso
Dado que las funciones estaacuten definidas en teacuterminos de exponenciales es de esperarse que sus
inversas incluyan logaritmos naturales Se pueden definir como
1x0parax
x11lnxhsec
1xparax1
x1ln
2
1xtanh
1xpara1xxlnxcosh
1xxlnxsenh
21
1
21
21
Las derivadas e integrales de estas funciones se resuelven igual que las funciones trigonomeacutetricas
inversas
Ejemplo 6
Obtener la foacutermula para la derivada de la funcioacuten xsenhy 1
Dado que no se conoce la derivada del seno hiperboacutelico inverso pero siacute la del seno hiperboacutelico se
pueden utilizar el concepto de la funcioacuten inversa y la derivada impliacutecita para hallar la foacutermula en
cuestioacuten
ycosh
1y
1yacutecoshy
xysenh
xsenhy 1
Se sabe que 1ysenhycosh 22 por lo tanto 1ysenhycosh 22 y la funcioacuten senhy=x entonces
1xycosh 2 Al sustituir se obtiene
1x
1y
2
El mismo meacutetodo se puede utilizar para encontrar cualquiera de las siguientes foacutermulas
1u
dxdu
usenhdx
d
2
1
1u1u
dxdu
ucoshdx
d
2
1
1uu1
dxdu
utanhdx
d2
1
1u0u1u
dxdu
uhsecdx
d
2
1
Ejemplo 7
Determinar si la funcioacuten 3xxsenhxf 21 es creciente o decreciente en el punto x=2
Se debe resolver la derivada de la multiplicacioacuten
10x6x
x23xsenh
19x6x
x23xsenh
13x
x2x3xsenh
dx
df
24
221
24
221
22
21
Se busca conocer como es la funcioacuten en x=2 por lo tanto se sustituye en la derivada
773131642077
80714ln
25
8257ln
225
82257ln
50
81497ln
102416
87senh
dx
df 1
2x
La funcioacuten es creciente crece a una razoacuten de 377
Las foacutermulas para la integracioacuten salen utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo y a partir de las
foacutermulas de derivacioacuten
0aca
usenhdu
ua
1 1
22
0auca
ucoshdu
au
1 1
22
au0aca
utanh
a
1du
ua
1 1
22
au00aca
uhsec
a
1du
uau
1 1
22
Ejemplo 8
Resolver la integral
dxe25
e
x6
x3
Esta integral es como la de la tangente hiperboacutelica inversa donde 5a25a 2
dxe3
dueueu x3x3x62 Al sustituir esto en la integral
c5
etanh
15
1c
5
etanh
5
1
3
1
u25
du
3
1
u25
3du x3
1x3
1
22
Aplicaciones
La velocidad de las olas en el mar bajo ciertas condiciones depende de la longitud de onda
(distancia entre cresta y cresta) y de la profundidad del agua por donde viajan las olas h La funcioacuten
que relaciona estas variables es
h2tanh
2
gv 2
donde v es la velocidad y g es la gravedad
Suponiendo que se mantiene h constante esto es que el oleaje se propaga por un oceacuteano de
profundidad constante (50 m) determinar si la velocidad aumenta o disminuye cuando m5
h2hsec
ghh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2hsec
h2
2
gh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2tanh
2
gv
h2tanh
2
gv
2
2
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
728d
dv
5
502hsec
5
50819
5
502tanh
2
819
5
502tanh
2
58192
1
d
dv 2
Entonces para este valor de la longitud de onda y de la profundidad la velocidad de la ola va
aumentando respecto a la longitud de onda
Si se requiere ahora saber como va cambiando la velocidad de propagacioacuten del oleaje respecto a la
profundidad del mar para una longitud de onda de 5 m se deberaacute entonces derivar respecto a h Sea
una profundidad de 7 m
h2tanh
2
g2
h2hsecg
dh
dv
h2hsec
2
2
g
h2tanh
2
g2
1
dh
dv
h2tanh
2
gv
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
77
2
2
1061595
10918
5
14tanh
2
05492
5
14hsec819
dh
dv
5
72tanh
2
58192
5
72hsec819
dh
dv
Asiacute que aunque la velocidad de propagacioacuten del oleaje va aumentando respecto a la profundidad la
razoacuten de cambio es muy pequentildea
EJERCICIOS DE DERIVADAS HIPERBOLICAS
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6) R
7) R
8) AYUDA R
9) R 10) R
11) R 12) R
13) R
14)DEMOSTRAR
AYUDA
15)
AYUDA
INTEGRALES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
httpcalculoccfunciones_hiperbolicasp_integrales_hiperbhtml
httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCIONES20
HIPERBOLICASpdfsequence=1
httpseswikipediaorgwikiAnexoIntegrales_de_funciones_hiperbC3B3licas
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES HIPERBOLICAS
2)
3)
5)
6)
8)
Resolvemos ambas integrales mediante integracioacuten por partes
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 5 u = 3x
11)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 3 u = 4x
13)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = radic7 u = 5x
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION MATERIAL DE APOYO
800 INTEGRALES RESUELTAS
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_metodosproblemasp_integr_sust_trigohtml
httpsmatematicasnblogspotcom201512integracion-por-sustitucionhtml CON VIDEOS INCLUIDOS
httpsdspaceupseduecbitstream12345678961191Manual20de20fracciones20parcialespdf
httpwwwtesoemedumxalumnoscuadernillos2011011pdf
httpprofe-alexzblogspotcom201104integracion-fracciones-parcialeshtml Y VIDEOS
httpswwwsectormatematicacl rsaquo media rsaquo diferenciado rsaquo FRACCIONES P httpswwwipnmxassetsfilescecyt11docsGuiasUABasicasMatematicascalculo-integral-solucion-de-problemasPDF
httpswwwacademiaedu7708664CC381LCULO_INTEGRAL_EJERCICIOS_RESUELTOS_PASO_A_PASO
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1 Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de
variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de
la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que
contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe
ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
2 Solucioacuten de las integrales logariacutetmicas
1
2
3
4
5
6
7
8
9 - ln (sen x + cos x ) +C
10
11
3 integrales exponenciales
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4 integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5 Otras integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
- 21 x
4
6 Otras integrales
1
2
3
4
5
EJERCICIOS 2
I) RESOLVER LAS SIGUIENTES INTEGRALES INDEFINIDAS Y VERIFIQUE SU
RESPUESTA REALIZANDO LA DERIVADA
II) EVALUE LA INTEGRAL INDEFINIDA DADA USANDO UNA SUSTITUCION IDONEA
62)Problemas de integrales
1Hallar una funcioacuten F(x) cuya derivada sea f(x) = x + 6 y tal que para x = 2
tome el valor 25
RESPUESTA
2De las inf in itas funciones primitivas de la funcioacuten y = xsup2 - x + 1 iquestcuaacutel
es la que para x = 3 toma el valor 5
RESPUESTA
3Hallar una recta cuya pendiente es 2 y pasa por eacutel punto P(0 4)
RESPUESTA f(x) = 2x + 4
4Escribe la funcioacuten primitiva de y = xsup2 + 2x cuya representacioacuten graacutef ica pasa
por eacutel punto (1 3)
RESPUESTA
5Calcular la ecuacioacuten de la curva que pasa por P(1 5) y cuya pendiente en cualquier punto es
3xsup2 + 5x minus 2
RESPUESTA
6Hallar la primitiva de la funcioacuten que se anula para x = 2
RESPUESTA
CAPITULO 3
INTEGRACION POR PARTES
Definicioacuten
Existen varios meacutetodos de integracioacuten consistiendo todos ellos en reducir la integral buscada a una inteacutegrala conocida como por ejemplo una de las de la tabla o bien reducirla una integral maacutes sencilla
El meacutetodo de integracioacuten por partes estaacute basado en la derivada de un producto de funciones como se muestra a continuacioacuten
d(umiddotv) = u dv + v du
por eso es que se usa para integrales que contienen dos funciones que se multiplican entre si
intd(umiddotv) = intu dv + intv du
Se llama integracioacuten por partes porque la integral se divide en dos partes en una el integrando es u y otra en la otra es v La integral debe estar completa y sin alterar la operacioacuten dentro de ella Consejos
La funcioacuten correspondiente a dv debe ser la funcioacuten maacutes faacutecil de integrar 2- En u deben ir aquellas funciones que no tienen integral directa (funciones logariacutetmicas e inversas) luego se pueden considerar las funciones algebraicas puesto que la derivada es reductiva Las funciones trigonomeacutetricas y exponenciales son maacutes sencillas de trabajar
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRACIOacuteN POR PARTES
1-
2-
3-
4-
5-
6-
7-
8-
9-
10-
INTEGRACION POR PARTES
MATERIAL DE APOYO
VIDEOS DE INTEGRACION POR PARTES
1) httpswwwprofesor10dematescom201505integrales-por-partes-resueltashtml
2) httpwwwsietecolinasesmaterialesmatintegrales-4pdf
3) httpsgpweiztuammxfilesusersuamijdfmetodos_de_integracionintegracion_por_partesp
df
EJERCICIOS EJERCICIOS PARA RESOLVER POR PARTES
1) L=Ln
R
2) R
3) R
4) R
5) R 6) R
7) R
8) R
9) R L=Ln
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
15) R
16) R
17) R
18) R
19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
INTEGRAL RESPUESTA
26) x senx dx sen x xcos x c
27) ln x dx 1x ln x c
28)2
xx sen dx 4 2
2 2
x xsen xcos c
29) x cos nx dx 2
cos nx x sennxc
nn
30) 2 u sec u du utgu lncosu c
31) 2 3 u sen v dv 21 1 16 6
4 12 72v v sen v cos v c
32) 2 y senny dy 2
3 2
2 2cosny y senny y cosnyc
nn n
33) 2 xa dx 2
1x xa c
lna ln a
34) nx ln x dx 1 1
1 1
nx
ln x cn n
35) arc sen x dx 2 1x arc sen x x c
36) arc tg x dx 21 1
2x arc tg x ln x c
37) arc c tg y dy 21 1
2y arc c tg y ln y c
38) 2 arc cos x dx 21 2 1 4
2x arc cos x x c
39) arc sec y dy 2 1y arc sec y ln y y c
40) 2
tarc csc dt 2 2 4
2
tt arc csc ln t t c
41) x arc tg x dx 2 1
2 2
x xarc tg x c
42) arc tg x dx 1 x arc tg x x c
43) 2 xx e dx
22 2xe x x c
44) e cos d
2
esen cos c
45)
2
1
ln x dx
x 1
1
xln x ln x c
x
CAPITULO 4
FUNCIONES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
1) httpwwwmtyitesmmxetiedeptosmma-841recursostab-hippdf
2) httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCION
ES20HIPERBOLICASpdfsequence=1
FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS HIPERBOacuteLICAS
Definicioacuten de las funciones
Un ciacuterculo unitario con centro en el origen sigue la foacutermula 1yx 22 un punto dado por el par
ordenado yx se puede representar como funcioacuten de un aacutengulo t de la siguiente manera
senttcosyx De igual manera una hipeacuterbola unitaria con centro en el origen sigue la foacutermula
1yx 22 un punto dado por el par ordenado yx se puede representar como funcioacuten del aacutengulo t
de la siguiente manera senhttcoshyx Estas funciones se denominan funciones trigonomeacutetricas
hiperboacutelicas en particular coseno hiperboacutelico y seno hiperboacutelico
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas presentan propiedades anaacutelogas a las de las funciones
trigonomeacutetricas o circulares La funcioacuten xsenhxf se define como 2
eexsenh
xx mientras que
la funcioacuten xcoshxf es 2
eexcosh
xx
Al igual que las funciones trigonomeacutetricas circulares en las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas se
cumplen las siguientes identidades fundamentales
xx
xx
xx
xx
xx
xx
ee
2
xsenh
1xhcsc
ee
2
xcosh
1xhsec
ee
ee
xsenh
xcoshxcoth
ee
ee
xcosh
xsenhxtanh
Debido a esto es loacutegico pensar que habraacute una relacioacuten equivalente al Teorema de Pitaacutegoras Asiacute
para las funciones hiperboacutelicas se sabe que 1xsenhxcosh 22
Ejemplo 1
Demostrar que 1xsenhxcosh 22
11
14
4
14
2
4
2
14
ee2
4
ee2
14
eee2e
4
eee2e
12
ee
2
ee
1xsenhxcosh
xxxx
x2xxx2x2xxx2
2xx
2xx
22
Graacutefica de las funciones
Sea la funcioacuten 2
eexsenhxf
xx Las intersecciones se pueden encontrar igualando la funcioacuten
a cero
0x
0x2
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
02
ee
x2
x
x
xx
xx
xx
La funcioacuten seno hiperboacutelico tiene una sola raiacutez en x=0 Para obtener los puntos criacuteticos se iguala a
cero la derivada de la funcioacuten
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
0ee2
1
ee2
1ee
dx
d
2
1
2
ee
dx
d
dx
df
x2
x
x
xx
xx
xx
xxxxxx
por lo tanto no hay puntos criacuteticos Es interesante notar que la derivada de la funcioacuten senh(x) es la
funcioacuten cosh(x)
Por uacuteltimo puntos inflexioacuten se pueden encontrar en donde la segunda derivada es igual a cero
xxxxxx
2
2
ee2
1ee
dx
d
2
1ee
2
1
dx
d
dx
fd
La segunda derivada nos llevoacute nuevamente a la funcioacuten senh(x) Esta funcioacuten ya se igualoacute a cero
para encontrar las intersecciones El resultado es que en x=0 hay una raiacutez que a su vez es un punto
de inflexioacuten
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
La misma funcioacuten 2
eexsenhxf
xx se puede ver como la resta de dos funciones exponenciales
2
e
2
e
2
ee xxxx
La graacutefica de estas dos funciones exponenciales se muestra en azul (exponencial
positiva) y verde (exponencial negativa) La resta de ambas punto por punto es la funcioacuten senh(x)
Derivadas
ucoshdx
duusenh
dx
dxcosh
2
ee
2
ee
dx
dxsenh
dx
d xxxx
usenhdx
duucosh
dx
dxsenh
2
ee
2
ee
dx
dxcosh
dx
d xxxx
uhsecdx
duutanh
dx
d
xhsecxcosh
1
xcosh
xsenhxcosh
xcosh
senhx
dx
dxtanh
dx
d
2
2
22
22
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
uhcscdx
duucoth
dx
d
xhcscxsenh
1
xsenh
xcoshxsenh
senhx
xcosh
dx
dxcoth
dx
d 2
22
22
uhsecutanhdx
duuhsec
dx
d
hxsecxtanhxcosh
1
xcosh
senhx
xcosh
senhx
xcosh
1
dx
dxhsec
dx
d2
uhcscucothdx
duuhcsc
dx
d
hxcscxcothsenhx
1
senhx
xcosh
xsenh
xcosh
senhx
1
dx
dxhcsc
dx
d2
Ejemplo 2
Derivar la funcioacuten 3x4tanhxf 2
La funcioacuten maacutes externa es la raiacutez por lo tanto es la primera en derivarse
3x4tanh2
3x4hsecx83x4tanh
dx
d
3x4tanh2
1
dx
df
2
222
2
Ejemplo 3
Derivar la funcioacuten 2x3cosh2x3tanhlnxf 22
La funcioacuten maacutes externa es el logaritmo por lo tanto es el primero en derivarse
2x3cosh2x3tanh
2x3xsenh62x3hsecx6
dx
df22
222
Integrales
Utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se puede establecer que
cuhcscduucothuhcsc
cuhsecduutanhuhsec
cucothduuhcsc
cutanhduuhsec
cusenhduucosh
cucoshduusenh
2
2
Utilizando estas foacutermulas se pueden establecer las siguientes
Ejemplo 4
Hallar la foacutermula para la integral de la tangente hiperboacutelica
dxxcosh
xsenhdxxtanh
Se hace un cambio de variable en donde dxxsenhduxcoshu Al sustituir la integral anterior
cambia a
cxcoshlnculnu
dudx
xcosh
xsenhdxxtanh
Se puede utilizar el mismo procedimiento para hallar las siguientes foacutermulas
cusenhlnduucoth
cucoshlnduutanh
Ejemplo 5
Resolver las siguientes integrales
dxx3senhx 32
Se realiza el cambio de variable dxx9
dux3u 23 por lo tanto la integral se puede escribir como
cx3cosh9
1cucosh
9
1duusenh
9
1
9
duusenhdxx3senhx 332
dx
x
xlnhsec 2
Se realiza el cambio de variablex
dxduxlnu por lo tanto la integral se puede escribir como
cxlntanhcutanhduuhsecdx
x
xlnhsec2
2
1
0
dxxcoshxsenh
Se realiza el cambio de variable dxxsenhduxcoshu por lo tanto la integral se puede escribir
como
1x
0x
1
0
2 duudxxcoshxsenh
Sin embargo dado que u=senh(x) si x=0 entonces 02
ee0senhu
00
Cuando x=1 entonces
e2
1e
2
e
1e
2
e
1e
2
ee1senhu
2
2
11
La integral es
2
32
23
23
2
e2
1e
0
23
e2
1e
0
1x
0x
1
0
2
e2
1e
3
20
3
2
e2
1e
3
2
u3
2duuduudxxcoshxsenh
22
Inversas
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas tienen funciones inversas que comuacutenmente se denotan
como 1senh o bien como arcsenh donde la funcioacuten recibe el nombre de seno hiperboacutelico inverso
Dado que las funciones estaacuten definidas en teacuterminos de exponenciales es de esperarse que sus
inversas incluyan logaritmos naturales Se pueden definir como
1x0parax
x11lnxhsec
1xparax1
x1ln
2
1xtanh
1xpara1xxlnxcosh
1xxlnxsenh
21
1
21
21
Las derivadas e integrales de estas funciones se resuelven igual que las funciones trigonomeacutetricas
inversas
Ejemplo 6
Obtener la foacutermula para la derivada de la funcioacuten xsenhy 1
Dado que no se conoce la derivada del seno hiperboacutelico inverso pero siacute la del seno hiperboacutelico se
pueden utilizar el concepto de la funcioacuten inversa y la derivada impliacutecita para hallar la foacutermula en
cuestioacuten
ycosh
1y
1yacutecoshy
xysenh
xsenhy 1
Se sabe que 1ysenhycosh 22 por lo tanto 1ysenhycosh 22 y la funcioacuten senhy=x entonces
1xycosh 2 Al sustituir se obtiene
1x
1y
2
El mismo meacutetodo se puede utilizar para encontrar cualquiera de las siguientes foacutermulas
1u
dxdu
usenhdx
d
2
1
1u1u
dxdu
ucoshdx
d
2
1
1uu1
dxdu
utanhdx
d2
1
1u0u1u
dxdu
uhsecdx
d
2
1
Ejemplo 7
Determinar si la funcioacuten 3xxsenhxf 21 es creciente o decreciente en el punto x=2
Se debe resolver la derivada de la multiplicacioacuten
10x6x
x23xsenh
19x6x
x23xsenh
13x
x2x3xsenh
dx
df
24
221
24
221
22
21
Se busca conocer como es la funcioacuten en x=2 por lo tanto se sustituye en la derivada
773131642077
80714ln
25
8257ln
225
82257ln
50
81497ln
102416
87senh
dx
df 1
2x
La funcioacuten es creciente crece a una razoacuten de 377
Las foacutermulas para la integracioacuten salen utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo y a partir de las
foacutermulas de derivacioacuten
0aca
usenhdu
ua
1 1
22
0auca
ucoshdu
au
1 1
22
au0aca
utanh
a
1du
ua
1 1
22
au00aca
uhsec
a
1du
uau
1 1
22
Ejemplo 8
Resolver la integral
dxe25
e
x6
x3
Esta integral es como la de la tangente hiperboacutelica inversa donde 5a25a 2
dxe3
dueueu x3x3x62 Al sustituir esto en la integral
c5
etanh
15
1c
5
etanh
5
1
3
1
u25
du
3
1
u25
3du x3
1x3
1
22
Aplicaciones
La velocidad de las olas en el mar bajo ciertas condiciones depende de la longitud de onda
(distancia entre cresta y cresta) y de la profundidad del agua por donde viajan las olas h La funcioacuten
que relaciona estas variables es
h2tanh
2
gv 2
donde v es la velocidad y g es la gravedad
Suponiendo que se mantiene h constante esto es que el oleaje se propaga por un oceacuteano de
profundidad constante (50 m) determinar si la velocidad aumenta o disminuye cuando m5
h2hsec
ghh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2hsec
h2
2
gh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2tanh
2
gv
h2tanh
2
gv
2
2
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
728d
dv
5
502hsec
5
50819
5
502tanh
2
819
5
502tanh
2
58192
1
d
dv 2
Entonces para este valor de la longitud de onda y de la profundidad la velocidad de la ola va
aumentando respecto a la longitud de onda
Si se requiere ahora saber como va cambiando la velocidad de propagacioacuten del oleaje respecto a la
profundidad del mar para una longitud de onda de 5 m se deberaacute entonces derivar respecto a h Sea
una profundidad de 7 m
h2tanh
2
g2
h2hsecg
dh
dv
h2hsec
2
2
g
h2tanh
2
g2
1
dh
dv
h2tanh
2
gv
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
77
2
2
1061595
10918
5
14tanh
2
05492
5
14hsec819
dh
dv
5
72tanh
2
58192
5
72hsec819
dh
dv
Asiacute que aunque la velocidad de propagacioacuten del oleaje va aumentando respecto a la profundidad la
razoacuten de cambio es muy pequentildea
EJERCICIOS DE DERIVADAS HIPERBOLICAS
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6) R
7) R
8) AYUDA R
9) R 10) R
11) R 12) R
13) R
14)DEMOSTRAR
AYUDA
15)
AYUDA
INTEGRALES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
httpcalculoccfunciones_hiperbolicasp_integrales_hiperbhtml
httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCIONES20
HIPERBOLICASpdfsequence=1
httpseswikipediaorgwikiAnexoIntegrales_de_funciones_hiperbC3B3licas
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES HIPERBOLICAS
2)
3)
5)
6)
8)
Resolvemos ambas integrales mediante integracioacuten por partes
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 5 u = 3x
11)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 3 u = 4x
13)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = radic7 u = 5x
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION MATERIAL DE APOYO
800 INTEGRALES RESUELTAS
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_metodosproblemasp_integr_sust_trigohtml
httpsmatematicasnblogspotcom201512integracion-por-sustitucionhtml CON VIDEOS INCLUIDOS
httpsdspaceupseduecbitstream12345678961191Manual20de20fracciones20parcialespdf
httpwwwtesoemedumxalumnoscuadernillos2011011pdf
httpprofe-alexzblogspotcom201104integracion-fracciones-parcialeshtml Y VIDEOS
httpswwwsectormatematicacl rsaquo media rsaquo diferenciado rsaquo FRACCIONES P httpswwwipnmxassetsfilescecyt11docsGuiasUABasicasMatematicascalculo-integral-solucion-de-problemasPDF
httpswwwacademiaedu7708664CC381LCULO_INTEGRAL_EJERCICIOS_RESUELTOS_PASO_A_PASO
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1 Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de
variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de
la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que
contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe
ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
17
18
19
20
21
22
2 Solucioacuten de las integrales logariacutetmicas
1
2
3
4
5
6
7
8
9 - ln (sen x + cos x ) +C
10
11
3 integrales exponenciales
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4 integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5 Otras integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
- 21 x
4
6 Otras integrales
1
2
3
4
5
EJERCICIOS 2
I) RESOLVER LAS SIGUIENTES INTEGRALES INDEFINIDAS Y VERIFIQUE SU
RESPUESTA REALIZANDO LA DERIVADA
II) EVALUE LA INTEGRAL INDEFINIDA DADA USANDO UNA SUSTITUCION IDONEA
62)Problemas de integrales
1Hallar una funcioacuten F(x) cuya derivada sea f(x) = x + 6 y tal que para x = 2
tome el valor 25
RESPUESTA
2De las inf in itas funciones primitivas de la funcioacuten y = xsup2 - x + 1 iquestcuaacutel
es la que para x = 3 toma el valor 5
RESPUESTA
3Hallar una recta cuya pendiente es 2 y pasa por eacutel punto P(0 4)
RESPUESTA f(x) = 2x + 4
4Escribe la funcioacuten primitiva de y = xsup2 + 2x cuya representacioacuten graacutef ica pasa
por eacutel punto (1 3)
RESPUESTA
5Calcular la ecuacioacuten de la curva que pasa por P(1 5) y cuya pendiente en cualquier punto es
3xsup2 + 5x minus 2
RESPUESTA
6Hallar la primitiva de la funcioacuten que se anula para x = 2
RESPUESTA
CAPITULO 3
INTEGRACION POR PARTES
Definicioacuten
Existen varios meacutetodos de integracioacuten consistiendo todos ellos en reducir la integral buscada a una inteacutegrala conocida como por ejemplo una de las de la tabla o bien reducirla una integral maacutes sencilla
El meacutetodo de integracioacuten por partes estaacute basado en la derivada de un producto de funciones como se muestra a continuacioacuten
d(umiddotv) = u dv + v du
por eso es que se usa para integrales que contienen dos funciones que se multiplican entre si
intd(umiddotv) = intu dv + intv du
Se llama integracioacuten por partes porque la integral se divide en dos partes en una el integrando es u y otra en la otra es v La integral debe estar completa y sin alterar la operacioacuten dentro de ella Consejos
La funcioacuten correspondiente a dv debe ser la funcioacuten maacutes faacutecil de integrar 2- En u deben ir aquellas funciones que no tienen integral directa (funciones logariacutetmicas e inversas) luego se pueden considerar las funciones algebraicas puesto que la derivada es reductiva Las funciones trigonomeacutetricas y exponenciales son maacutes sencillas de trabajar
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRACIOacuteN POR PARTES
1-
2-
3-
4-
5-
6-
7-
8-
9-
10-
INTEGRACION POR PARTES
MATERIAL DE APOYO
VIDEOS DE INTEGRACION POR PARTES
1) httpswwwprofesor10dematescom201505integrales-por-partes-resueltashtml
2) httpwwwsietecolinasesmaterialesmatintegrales-4pdf
3) httpsgpweiztuammxfilesusersuamijdfmetodos_de_integracionintegracion_por_partesp
df
EJERCICIOS EJERCICIOS PARA RESOLVER POR PARTES
1) L=Ln
R
2) R
3) R
4) R
5) R 6) R
7) R
8) R
9) R L=Ln
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
15) R
16) R
17) R
18) R
19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
INTEGRAL RESPUESTA
26) x senx dx sen x xcos x c
27) ln x dx 1x ln x c
28)2
xx sen dx 4 2
2 2
x xsen xcos c
29) x cos nx dx 2
cos nx x sennxc
nn
30) 2 u sec u du utgu lncosu c
31) 2 3 u sen v dv 21 1 16 6
4 12 72v v sen v cos v c
32) 2 y senny dy 2
3 2
2 2cosny y senny y cosnyc
nn n
33) 2 xa dx 2
1x xa c
lna ln a
34) nx ln x dx 1 1
1 1
nx
ln x cn n
35) arc sen x dx 2 1x arc sen x x c
36) arc tg x dx 21 1
2x arc tg x ln x c
37) arc c tg y dy 21 1
2y arc c tg y ln y c
38) 2 arc cos x dx 21 2 1 4
2x arc cos x x c
39) arc sec y dy 2 1y arc sec y ln y y c
40) 2
tarc csc dt 2 2 4
2
tt arc csc ln t t c
41) x arc tg x dx 2 1
2 2
x xarc tg x c
42) arc tg x dx 1 x arc tg x x c
43) 2 xx e dx
22 2xe x x c
44) e cos d
2
esen cos c
45)
2
1
ln x dx
x 1
1
xln x ln x c
x
CAPITULO 4
FUNCIONES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
1) httpwwwmtyitesmmxetiedeptosmma-841recursostab-hippdf
2) httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCION
ES20HIPERBOLICASpdfsequence=1
FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS HIPERBOacuteLICAS
Definicioacuten de las funciones
Un ciacuterculo unitario con centro en el origen sigue la foacutermula 1yx 22 un punto dado por el par
ordenado yx se puede representar como funcioacuten de un aacutengulo t de la siguiente manera
senttcosyx De igual manera una hipeacuterbola unitaria con centro en el origen sigue la foacutermula
1yx 22 un punto dado por el par ordenado yx se puede representar como funcioacuten del aacutengulo t
de la siguiente manera senhttcoshyx Estas funciones se denominan funciones trigonomeacutetricas
hiperboacutelicas en particular coseno hiperboacutelico y seno hiperboacutelico
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas presentan propiedades anaacutelogas a las de las funciones
trigonomeacutetricas o circulares La funcioacuten xsenhxf se define como 2
eexsenh
xx mientras que
la funcioacuten xcoshxf es 2
eexcosh
xx
Al igual que las funciones trigonomeacutetricas circulares en las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas se
cumplen las siguientes identidades fundamentales
xx
xx
xx
xx
xx
xx
ee
2
xsenh
1xhcsc
ee
2
xcosh
1xhsec
ee
ee
xsenh
xcoshxcoth
ee
ee
xcosh
xsenhxtanh
Debido a esto es loacutegico pensar que habraacute una relacioacuten equivalente al Teorema de Pitaacutegoras Asiacute
para las funciones hiperboacutelicas se sabe que 1xsenhxcosh 22
Ejemplo 1
Demostrar que 1xsenhxcosh 22
11
14
4
14
2
4
2
14
ee2
4
ee2
14
eee2e
4
eee2e
12
ee
2
ee
1xsenhxcosh
xxxx
x2xxx2x2xxx2
2xx
2xx
22
Graacutefica de las funciones
Sea la funcioacuten 2
eexsenhxf
xx Las intersecciones se pueden encontrar igualando la funcioacuten
a cero
0x
0x2
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
02
ee
x2
x
x
xx
xx
xx
La funcioacuten seno hiperboacutelico tiene una sola raiacutez en x=0 Para obtener los puntos criacuteticos se iguala a
cero la derivada de la funcioacuten
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
0ee2
1
ee2
1ee
dx
d
2
1
2
ee
dx
d
dx
df
x2
x
x
xx
xx
xx
xxxxxx
por lo tanto no hay puntos criacuteticos Es interesante notar que la derivada de la funcioacuten senh(x) es la
funcioacuten cosh(x)
Por uacuteltimo puntos inflexioacuten se pueden encontrar en donde la segunda derivada es igual a cero
xxxxxx
2
2
ee2
1ee
dx
d
2
1ee
2
1
dx
d
dx
fd
La segunda derivada nos llevoacute nuevamente a la funcioacuten senh(x) Esta funcioacuten ya se igualoacute a cero
para encontrar las intersecciones El resultado es que en x=0 hay una raiacutez que a su vez es un punto
de inflexioacuten
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
La misma funcioacuten 2
eexsenhxf
xx se puede ver como la resta de dos funciones exponenciales
2
e
2
e
2
ee xxxx
La graacutefica de estas dos funciones exponenciales se muestra en azul (exponencial
positiva) y verde (exponencial negativa) La resta de ambas punto por punto es la funcioacuten senh(x)
Derivadas
ucoshdx
duusenh
dx
dxcosh
2
ee
2
ee
dx
dxsenh
dx
d xxxx
usenhdx
duucosh
dx
dxsenh
2
ee
2
ee
dx
dxcosh
dx
d xxxx
uhsecdx
duutanh
dx
d
xhsecxcosh
1
xcosh
xsenhxcosh
xcosh
senhx
dx
dxtanh
dx
d
2
2
22
22
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
uhcscdx
duucoth
dx
d
xhcscxsenh
1
xsenh
xcoshxsenh
senhx
xcosh
dx
dxcoth
dx
d 2
22
22
uhsecutanhdx
duuhsec
dx
d
hxsecxtanhxcosh
1
xcosh
senhx
xcosh
senhx
xcosh
1
dx
dxhsec
dx
d2
uhcscucothdx
duuhcsc
dx
d
hxcscxcothsenhx
1
senhx
xcosh
xsenh
xcosh
senhx
1
dx
dxhcsc
dx
d2
Ejemplo 2
Derivar la funcioacuten 3x4tanhxf 2
La funcioacuten maacutes externa es la raiacutez por lo tanto es la primera en derivarse
3x4tanh2
3x4hsecx83x4tanh
dx
d
3x4tanh2
1
dx
df
2
222
2
Ejemplo 3
Derivar la funcioacuten 2x3cosh2x3tanhlnxf 22
La funcioacuten maacutes externa es el logaritmo por lo tanto es el primero en derivarse
2x3cosh2x3tanh
2x3xsenh62x3hsecx6
dx
df22
222
Integrales
Utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se puede establecer que
cuhcscduucothuhcsc
cuhsecduutanhuhsec
cucothduuhcsc
cutanhduuhsec
cusenhduucosh
cucoshduusenh
2
2
Utilizando estas foacutermulas se pueden establecer las siguientes
Ejemplo 4
Hallar la foacutermula para la integral de la tangente hiperboacutelica
dxxcosh
xsenhdxxtanh
Se hace un cambio de variable en donde dxxsenhduxcoshu Al sustituir la integral anterior
cambia a
cxcoshlnculnu
dudx
xcosh
xsenhdxxtanh
Se puede utilizar el mismo procedimiento para hallar las siguientes foacutermulas
cusenhlnduucoth
cucoshlnduutanh
Ejemplo 5
Resolver las siguientes integrales
dxx3senhx 32
Se realiza el cambio de variable dxx9
dux3u 23 por lo tanto la integral se puede escribir como
cx3cosh9
1cucosh
9
1duusenh
9
1
9
duusenhdxx3senhx 332
dx
x
xlnhsec 2
Se realiza el cambio de variablex
dxduxlnu por lo tanto la integral se puede escribir como
cxlntanhcutanhduuhsecdx
x
xlnhsec2
2
1
0
dxxcoshxsenh
Se realiza el cambio de variable dxxsenhduxcoshu por lo tanto la integral se puede escribir
como
1x
0x
1
0
2 duudxxcoshxsenh
Sin embargo dado que u=senh(x) si x=0 entonces 02
ee0senhu
00
Cuando x=1 entonces
e2
1e
2
e
1e
2
e
1e
2
ee1senhu
2
2
11
La integral es
2
32
23
23
2
e2
1e
0
23
e2
1e
0
1x
0x
1
0
2
e2
1e
3
20
3
2
e2
1e
3
2
u3
2duuduudxxcoshxsenh
22
Inversas
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas tienen funciones inversas que comuacutenmente se denotan
como 1senh o bien como arcsenh donde la funcioacuten recibe el nombre de seno hiperboacutelico inverso
Dado que las funciones estaacuten definidas en teacuterminos de exponenciales es de esperarse que sus
inversas incluyan logaritmos naturales Se pueden definir como
1x0parax
x11lnxhsec
1xparax1
x1ln
2
1xtanh
1xpara1xxlnxcosh
1xxlnxsenh
21
1
21
21
Las derivadas e integrales de estas funciones se resuelven igual que las funciones trigonomeacutetricas
inversas
Ejemplo 6
Obtener la foacutermula para la derivada de la funcioacuten xsenhy 1
Dado que no se conoce la derivada del seno hiperboacutelico inverso pero siacute la del seno hiperboacutelico se
pueden utilizar el concepto de la funcioacuten inversa y la derivada impliacutecita para hallar la foacutermula en
cuestioacuten
ycosh
1y
1yacutecoshy
xysenh
xsenhy 1
Se sabe que 1ysenhycosh 22 por lo tanto 1ysenhycosh 22 y la funcioacuten senhy=x entonces
1xycosh 2 Al sustituir se obtiene
1x
1y
2
El mismo meacutetodo se puede utilizar para encontrar cualquiera de las siguientes foacutermulas
1u
dxdu
usenhdx
d
2
1
1u1u
dxdu
ucoshdx
d
2
1
1uu1
dxdu
utanhdx
d2
1
1u0u1u
dxdu
uhsecdx
d
2
1
Ejemplo 7
Determinar si la funcioacuten 3xxsenhxf 21 es creciente o decreciente en el punto x=2
Se debe resolver la derivada de la multiplicacioacuten
10x6x
x23xsenh
19x6x
x23xsenh
13x
x2x3xsenh
dx
df
24
221
24
221
22
21
Se busca conocer como es la funcioacuten en x=2 por lo tanto se sustituye en la derivada
773131642077
80714ln
25
8257ln
225
82257ln
50
81497ln
102416
87senh
dx
df 1
2x
La funcioacuten es creciente crece a una razoacuten de 377
Las foacutermulas para la integracioacuten salen utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo y a partir de las
foacutermulas de derivacioacuten
0aca
usenhdu
ua
1 1
22
0auca
ucoshdu
au
1 1
22
au0aca
utanh
a
1du
ua
1 1
22
au00aca
uhsec
a
1du
uau
1 1
22
Ejemplo 8
Resolver la integral
dxe25
e
x6
x3
Esta integral es como la de la tangente hiperboacutelica inversa donde 5a25a 2
dxe3
dueueu x3x3x62 Al sustituir esto en la integral
c5
etanh
15
1c
5
etanh
5
1
3
1
u25
du
3
1
u25
3du x3
1x3
1
22
Aplicaciones
La velocidad de las olas en el mar bajo ciertas condiciones depende de la longitud de onda
(distancia entre cresta y cresta) y de la profundidad del agua por donde viajan las olas h La funcioacuten
que relaciona estas variables es
h2tanh
2
gv 2
donde v es la velocidad y g es la gravedad
Suponiendo que se mantiene h constante esto es que el oleaje se propaga por un oceacuteano de
profundidad constante (50 m) determinar si la velocidad aumenta o disminuye cuando m5
h2hsec
ghh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2hsec
h2
2
gh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2tanh
2
gv
h2tanh
2
gv
2
2
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
728d
dv
5
502hsec
5
50819
5
502tanh
2
819
5
502tanh
2
58192
1
d
dv 2
Entonces para este valor de la longitud de onda y de la profundidad la velocidad de la ola va
aumentando respecto a la longitud de onda
Si se requiere ahora saber como va cambiando la velocidad de propagacioacuten del oleaje respecto a la
profundidad del mar para una longitud de onda de 5 m se deberaacute entonces derivar respecto a h Sea
una profundidad de 7 m
h2tanh
2
g2
h2hsecg
dh
dv
h2hsec
2
2
g
h2tanh
2
g2
1
dh
dv
h2tanh
2
gv
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
77
2
2
1061595
10918
5
14tanh
2
05492
5
14hsec819
dh
dv
5
72tanh
2
58192
5
72hsec819
dh
dv
Asiacute que aunque la velocidad de propagacioacuten del oleaje va aumentando respecto a la profundidad la
razoacuten de cambio es muy pequentildea
EJERCICIOS DE DERIVADAS HIPERBOLICAS
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6) R
7) R
8) AYUDA R
9) R 10) R
11) R 12) R
13) R
14)DEMOSTRAR
AYUDA
15)
AYUDA
INTEGRALES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
httpcalculoccfunciones_hiperbolicasp_integrales_hiperbhtml
httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCIONES20
HIPERBOLICASpdfsequence=1
httpseswikipediaorgwikiAnexoIntegrales_de_funciones_hiperbC3B3licas
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES HIPERBOLICAS
2)
3)
5)
6)
8)
Resolvemos ambas integrales mediante integracioacuten por partes
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 5 u = 3x
11)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 3 u = 4x
13)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = radic7 u = 5x
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION MATERIAL DE APOYO
800 INTEGRALES RESUELTAS
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_metodosproblemasp_integr_sust_trigohtml
httpsmatematicasnblogspotcom201512integracion-por-sustitucionhtml CON VIDEOS INCLUIDOS
httpsdspaceupseduecbitstream12345678961191Manual20de20fracciones20parcialespdf
httpwwwtesoemedumxalumnoscuadernillos2011011pdf
httpprofe-alexzblogspotcom201104integracion-fracciones-parcialeshtml Y VIDEOS
httpswwwsectormatematicacl rsaquo media rsaquo diferenciado rsaquo FRACCIONES P httpswwwipnmxassetsfilescecyt11docsGuiasUABasicasMatematicascalculo-integral-solucion-de-problemasPDF
httpswwwacademiaedu7708664CC381LCULO_INTEGRAL_EJERCICIOS_RESUELTOS_PASO_A_PASO
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1 Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de
variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de
la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que
contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe
ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
2
3
4
5
6
7
8
9 - ln (sen x + cos x ) +C
10
11
3 integrales exponenciales
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4 integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5 Otras integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
- 21 x
4
6 Otras integrales
1
2
3
4
5
EJERCICIOS 2
I) RESOLVER LAS SIGUIENTES INTEGRALES INDEFINIDAS Y VERIFIQUE SU
RESPUESTA REALIZANDO LA DERIVADA
II) EVALUE LA INTEGRAL INDEFINIDA DADA USANDO UNA SUSTITUCION IDONEA
62)Problemas de integrales
1Hallar una funcioacuten F(x) cuya derivada sea f(x) = x + 6 y tal que para x = 2
tome el valor 25
RESPUESTA
2De las inf in itas funciones primitivas de la funcioacuten y = xsup2 - x + 1 iquestcuaacutel
es la que para x = 3 toma el valor 5
RESPUESTA
3Hallar una recta cuya pendiente es 2 y pasa por eacutel punto P(0 4)
RESPUESTA f(x) = 2x + 4
4Escribe la funcioacuten primitiva de y = xsup2 + 2x cuya representacioacuten graacutef ica pasa
por eacutel punto (1 3)
RESPUESTA
5Calcular la ecuacioacuten de la curva que pasa por P(1 5) y cuya pendiente en cualquier punto es
3xsup2 + 5x minus 2
RESPUESTA
6Hallar la primitiva de la funcioacuten que se anula para x = 2
RESPUESTA
CAPITULO 3
INTEGRACION POR PARTES
Definicioacuten
Existen varios meacutetodos de integracioacuten consistiendo todos ellos en reducir la integral buscada a una inteacutegrala conocida como por ejemplo una de las de la tabla o bien reducirla una integral maacutes sencilla
El meacutetodo de integracioacuten por partes estaacute basado en la derivada de un producto de funciones como se muestra a continuacioacuten
d(umiddotv) = u dv + v du
por eso es que se usa para integrales que contienen dos funciones que se multiplican entre si
intd(umiddotv) = intu dv + intv du
Se llama integracioacuten por partes porque la integral se divide en dos partes en una el integrando es u y otra en la otra es v La integral debe estar completa y sin alterar la operacioacuten dentro de ella Consejos
La funcioacuten correspondiente a dv debe ser la funcioacuten maacutes faacutecil de integrar 2- En u deben ir aquellas funciones que no tienen integral directa (funciones logariacutetmicas e inversas) luego se pueden considerar las funciones algebraicas puesto que la derivada es reductiva Las funciones trigonomeacutetricas y exponenciales son maacutes sencillas de trabajar
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRACIOacuteN POR PARTES
1-
2-
3-
4-
5-
6-
7-
8-
9-
10-
INTEGRACION POR PARTES
MATERIAL DE APOYO
VIDEOS DE INTEGRACION POR PARTES
1) httpswwwprofesor10dematescom201505integrales-por-partes-resueltashtml
2) httpwwwsietecolinasesmaterialesmatintegrales-4pdf
3) httpsgpweiztuammxfilesusersuamijdfmetodos_de_integracionintegracion_por_partesp
df
EJERCICIOS EJERCICIOS PARA RESOLVER POR PARTES
1) L=Ln
R
2) R
3) R
4) R
5) R 6) R
7) R
8) R
9) R L=Ln
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
15) R
16) R
17) R
18) R
19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
INTEGRAL RESPUESTA
26) x senx dx sen x xcos x c
27) ln x dx 1x ln x c
28)2
xx sen dx 4 2
2 2
x xsen xcos c
29) x cos nx dx 2
cos nx x sennxc
nn
30) 2 u sec u du utgu lncosu c
31) 2 3 u sen v dv 21 1 16 6
4 12 72v v sen v cos v c
32) 2 y senny dy 2
3 2
2 2cosny y senny y cosnyc
nn n
33) 2 xa dx 2
1x xa c
lna ln a
34) nx ln x dx 1 1
1 1
nx
ln x cn n
35) arc sen x dx 2 1x arc sen x x c
36) arc tg x dx 21 1
2x arc tg x ln x c
37) arc c tg y dy 21 1
2y arc c tg y ln y c
38) 2 arc cos x dx 21 2 1 4
2x arc cos x x c
39) arc sec y dy 2 1y arc sec y ln y y c
40) 2
tarc csc dt 2 2 4
2
tt arc csc ln t t c
41) x arc tg x dx 2 1
2 2
x xarc tg x c
42) arc tg x dx 1 x arc tg x x c
43) 2 xx e dx
22 2xe x x c
44) e cos d
2
esen cos c
45)
2
1
ln x dx
x 1
1
xln x ln x c
x
CAPITULO 4
FUNCIONES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
1) httpwwwmtyitesmmxetiedeptosmma-841recursostab-hippdf
2) httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCION
ES20HIPERBOLICASpdfsequence=1
FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS HIPERBOacuteLICAS
Definicioacuten de las funciones
Un ciacuterculo unitario con centro en el origen sigue la foacutermula 1yx 22 un punto dado por el par
ordenado yx se puede representar como funcioacuten de un aacutengulo t de la siguiente manera
senttcosyx De igual manera una hipeacuterbola unitaria con centro en el origen sigue la foacutermula
1yx 22 un punto dado por el par ordenado yx se puede representar como funcioacuten del aacutengulo t
de la siguiente manera senhttcoshyx Estas funciones se denominan funciones trigonomeacutetricas
hiperboacutelicas en particular coseno hiperboacutelico y seno hiperboacutelico
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas presentan propiedades anaacutelogas a las de las funciones
trigonomeacutetricas o circulares La funcioacuten xsenhxf se define como 2
eexsenh
xx mientras que
la funcioacuten xcoshxf es 2
eexcosh
xx
Al igual que las funciones trigonomeacutetricas circulares en las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas se
cumplen las siguientes identidades fundamentales
xx
xx
xx
xx
xx
xx
ee
2
xsenh
1xhcsc
ee
2
xcosh
1xhsec
ee
ee
xsenh
xcoshxcoth
ee
ee
xcosh
xsenhxtanh
Debido a esto es loacutegico pensar que habraacute una relacioacuten equivalente al Teorema de Pitaacutegoras Asiacute
para las funciones hiperboacutelicas se sabe que 1xsenhxcosh 22
Ejemplo 1
Demostrar que 1xsenhxcosh 22
11
14
4
14
2
4
2
14
ee2
4
ee2
14
eee2e
4
eee2e
12
ee
2
ee
1xsenhxcosh
xxxx
x2xxx2x2xxx2
2xx
2xx
22
Graacutefica de las funciones
Sea la funcioacuten 2
eexsenhxf
xx Las intersecciones se pueden encontrar igualando la funcioacuten
a cero
0x
0x2
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
02
ee
x2
x
x
xx
xx
xx
La funcioacuten seno hiperboacutelico tiene una sola raiacutez en x=0 Para obtener los puntos criacuteticos se iguala a
cero la derivada de la funcioacuten
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
0ee2
1
ee2
1ee
dx
d
2
1
2
ee
dx
d
dx
df
x2
x
x
xx
xx
xx
xxxxxx
por lo tanto no hay puntos criacuteticos Es interesante notar que la derivada de la funcioacuten senh(x) es la
funcioacuten cosh(x)
Por uacuteltimo puntos inflexioacuten se pueden encontrar en donde la segunda derivada es igual a cero
xxxxxx
2
2
ee2
1ee
dx
d
2
1ee
2
1
dx
d
dx
fd
La segunda derivada nos llevoacute nuevamente a la funcioacuten senh(x) Esta funcioacuten ya se igualoacute a cero
para encontrar las intersecciones El resultado es que en x=0 hay una raiacutez que a su vez es un punto
de inflexioacuten
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
La misma funcioacuten 2
eexsenhxf
xx se puede ver como la resta de dos funciones exponenciales
2
e
2
e
2
ee xxxx
La graacutefica de estas dos funciones exponenciales se muestra en azul (exponencial
positiva) y verde (exponencial negativa) La resta de ambas punto por punto es la funcioacuten senh(x)
Derivadas
ucoshdx
duusenh
dx
dxcosh
2
ee
2
ee
dx
dxsenh
dx
d xxxx
usenhdx
duucosh
dx
dxsenh
2
ee
2
ee
dx
dxcosh
dx
d xxxx
uhsecdx
duutanh
dx
d
xhsecxcosh
1
xcosh
xsenhxcosh
xcosh
senhx
dx
dxtanh
dx
d
2
2
22
22
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
uhcscdx
duucoth
dx
d
xhcscxsenh
1
xsenh
xcoshxsenh
senhx
xcosh
dx
dxcoth
dx
d 2
22
22
uhsecutanhdx
duuhsec
dx
d
hxsecxtanhxcosh
1
xcosh
senhx
xcosh
senhx
xcosh
1
dx
dxhsec
dx
d2
uhcscucothdx
duuhcsc
dx
d
hxcscxcothsenhx
1
senhx
xcosh
xsenh
xcosh
senhx
1
dx
dxhcsc
dx
d2
Ejemplo 2
Derivar la funcioacuten 3x4tanhxf 2
La funcioacuten maacutes externa es la raiacutez por lo tanto es la primera en derivarse
3x4tanh2
3x4hsecx83x4tanh
dx
d
3x4tanh2
1
dx
df
2
222
2
Ejemplo 3
Derivar la funcioacuten 2x3cosh2x3tanhlnxf 22
La funcioacuten maacutes externa es el logaritmo por lo tanto es el primero en derivarse
2x3cosh2x3tanh
2x3xsenh62x3hsecx6
dx
df22
222
Integrales
Utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se puede establecer que
cuhcscduucothuhcsc
cuhsecduutanhuhsec
cucothduuhcsc
cutanhduuhsec
cusenhduucosh
cucoshduusenh
2
2
Utilizando estas foacutermulas se pueden establecer las siguientes
Ejemplo 4
Hallar la foacutermula para la integral de la tangente hiperboacutelica
dxxcosh
xsenhdxxtanh
Se hace un cambio de variable en donde dxxsenhduxcoshu Al sustituir la integral anterior
cambia a
cxcoshlnculnu
dudx
xcosh
xsenhdxxtanh
Se puede utilizar el mismo procedimiento para hallar las siguientes foacutermulas
cusenhlnduucoth
cucoshlnduutanh
Ejemplo 5
Resolver las siguientes integrales
dxx3senhx 32
Se realiza el cambio de variable dxx9
dux3u 23 por lo tanto la integral se puede escribir como
cx3cosh9
1cucosh
9
1duusenh
9
1
9
duusenhdxx3senhx 332
dx
x
xlnhsec 2
Se realiza el cambio de variablex
dxduxlnu por lo tanto la integral se puede escribir como
cxlntanhcutanhduuhsecdx
x
xlnhsec2
2
1
0
dxxcoshxsenh
Se realiza el cambio de variable dxxsenhduxcoshu por lo tanto la integral se puede escribir
como
1x
0x
1
0
2 duudxxcoshxsenh
Sin embargo dado que u=senh(x) si x=0 entonces 02
ee0senhu
00
Cuando x=1 entonces
e2
1e
2
e
1e
2
e
1e
2
ee1senhu
2
2
11
La integral es
2
32
23
23
2
e2
1e
0
23
e2
1e
0
1x
0x
1
0
2
e2
1e
3
20
3
2
e2
1e
3
2
u3
2duuduudxxcoshxsenh
22
Inversas
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas tienen funciones inversas que comuacutenmente se denotan
como 1senh o bien como arcsenh donde la funcioacuten recibe el nombre de seno hiperboacutelico inverso
Dado que las funciones estaacuten definidas en teacuterminos de exponenciales es de esperarse que sus
inversas incluyan logaritmos naturales Se pueden definir como
1x0parax
x11lnxhsec
1xparax1
x1ln
2
1xtanh
1xpara1xxlnxcosh
1xxlnxsenh
21
1
21
21
Las derivadas e integrales de estas funciones se resuelven igual que las funciones trigonomeacutetricas
inversas
Ejemplo 6
Obtener la foacutermula para la derivada de la funcioacuten xsenhy 1
Dado que no se conoce la derivada del seno hiperboacutelico inverso pero siacute la del seno hiperboacutelico se
pueden utilizar el concepto de la funcioacuten inversa y la derivada impliacutecita para hallar la foacutermula en
cuestioacuten
ycosh
1y
1yacutecoshy
xysenh
xsenhy 1
Se sabe que 1ysenhycosh 22 por lo tanto 1ysenhycosh 22 y la funcioacuten senhy=x entonces
1xycosh 2 Al sustituir se obtiene
1x
1y
2
El mismo meacutetodo se puede utilizar para encontrar cualquiera de las siguientes foacutermulas
1u
dxdu
usenhdx
d
2
1
1u1u
dxdu
ucoshdx
d
2
1
1uu1
dxdu
utanhdx
d2
1
1u0u1u
dxdu
uhsecdx
d
2
1
Ejemplo 7
Determinar si la funcioacuten 3xxsenhxf 21 es creciente o decreciente en el punto x=2
Se debe resolver la derivada de la multiplicacioacuten
10x6x
x23xsenh
19x6x
x23xsenh
13x
x2x3xsenh
dx
df
24
221
24
221
22
21
Se busca conocer como es la funcioacuten en x=2 por lo tanto se sustituye en la derivada
773131642077
80714ln
25
8257ln
225
82257ln
50
81497ln
102416
87senh
dx
df 1
2x
La funcioacuten es creciente crece a una razoacuten de 377
Las foacutermulas para la integracioacuten salen utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo y a partir de las
foacutermulas de derivacioacuten
0aca
usenhdu
ua
1 1
22
0auca
ucoshdu
au
1 1
22
au0aca
utanh
a
1du
ua
1 1
22
au00aca
uhsec
a
1du
uau
1 1
22
Ejemplo 8
Resolver la integral
dxe25
e
x6
x3
Esta integral es como la de la tangente hiperboacutelica inversa donde 5a25a 2
dxe3
dueueu x3x3x62 Al sustituir esto en la integral
c5
etanh
15
1c
5
etanh
5
1
3
1
u25
du
3
1
u25
3du x3
1x3
1
22
Aplicaciones
La velocidad de las olas en el mar bajo ciertas condiciones depende de la longitud de onda
(distancia entre cresta y cresta) y de la profundidad del agua por donde viajan las olas h La funcioacuten
que relaciona estas variables es
h2tanh
2
gv 2
donde v es la velocidad y g es la gravedad
Suponiendo que se mantiene h constante esto es que el oleaje se propaga por un oceacuteano de
profundidad constante (50 m) determinar si la velocidad aumenta o disminuye cuando m5
h2hsec
ghh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2hsec
h2
2
gh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2tanh
2
gv
h2tanh
2
gv
2
2
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
728d
dv
5
502hsec
5
50819
5
502tanh
2
819
5
502tanh
2
58192
1
d
dv 2
Entonces para este valor de la longitud de onda y de la profundidad la velocidad de la ola va
aumentando respecto a la longitud de onda
Si se requiere ahora saber como va cambiando la velocidad de propagacioacuten del oleaje respecto a la
profundidad del mar para una longitud de onda de 5 m se deberaacute entonces derivar respecto a h Sea
una profundidad de 7 m
h2tanh
2
g2
h2hsecg
dh
dv
h2hsec
2
2
g
h2tanh
2
g2
1
dh
dv
h2tanh
2
gv
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
77
2
2
1061595
10918
5
14tanh
2
05492
5
14hsec819
dh
dv
5
72tanh
2
58192
5
72hsec819
dh
dv
Asiacute que aunque la velocidad de propagacioacuten del oleaje va aumentando respecto a la profundidad la
razoacuten de cambio es muy pequentildea
EJERCICIOS DE DERIVADAS HIPERBOLICAS
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6) R
7) R
8) AYUDA R
9) R 10) R
11) R 12) R
13) R
14)DEMOSTRAR
AYUDA
15)
AYUDA
INTEGRALES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
httpcalculoccfunciones_hiperbolicasp_integrales_hiperbhtml
httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCIONES20
HIPERBOLICASpdfsequence=1
httpseswikipediaorgwikiAnexoIntegrales_de_funciones_hiperbC3B3licas
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES HIPERBOLICAS
2)
3)
5)
6)
8)
Resolvemos ambas integrales mediante integracioacuten por partes
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 5 u = 3x
11)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 3 u = 4x
13)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = radic7 u = 5x
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION MATERIAL DE APOYO
800 INTEGRALES RESUELTAS
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_metodosproblemasp_integr_sust_trigohtml
httpsmatematicasnblogspotcom201512integracion-por-sustitucionhtml CON VIDEOS INCLUIDOS
httpsdspaceupseduecbitstream12345678961191Manual20de20fracciones20parcialespdf
httpwwwtesoemedumxalumnoscuadernillos2011011pdf
httpprofe-alexzblogspotcom201104integracion-fracciones-parcialeshtml Y VIDEOS
httpswwwsectormatematicacl rsaquo media rsaquo diferenciado rsaquo FRACCIONES P httpswwwipnmxassetsfilescecyt11docsGuiasUABasicasMatematicascalculo-integral-solucion-de-problemasPDF
httpswwwacademiaedu7708664CC381LCULO_INTEGRAL_EJERCICIOS_RESUELTOS_PASO_A_PASO
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1 Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de
variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de
la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que
contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe
ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
3 integrales exponenciales
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4 integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5 Otras integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
- 21 x
4
6 Otras integrales
1
2
3
4
5
EJERCICIOS 2
I) RESOLVER LAS SIGUIENTES INTEGRALES INDEFINIDAS Y VERIFIQUE SU
RESPUESTA REALIZANDO LA DERIVADA
II) EVALUE LA INTEGRAL INDEFINIDA DADA USANDO UNA SUSTITUCION IDONEA
62)Problemas de integrales
1Hallar una funcioacuten F(x) cuya derivada sea f(x) = x + 6 y tal que para x = 2
tome el valor 25
RESPUESTA
2De las inf in itas funciones primitivas de la funcioacuten y = xsup2 - x + 1 iquestcuaacutel
es la que para x = 3 toma el valor 5
RESPUESTA
3Hallar una recta cuya pendiente es 2 y pasa por eacutel punto P(0 4)
RESPUESTA f(x) = 2x + 4
4Escribe la funcioacuten primitiva de y = xsup2 + 2x cuya representacioacuten graacutef ica pasa
por eacutel punto (1 3)
RESPUESTA
5Calcular la ecuacioacuten de la curva que pasa por P(1 5) y cuya pendiente en cualquier punto es
3xsup2 + 5x minus 2
RESPUESTA
6Hallar la primitiva de la funcioacuten que se anula para x = 2
RESPUESTA
CAPITULO 3
INTEGRACION POR PARTES
Definicioacuten
Existen varios meacutetodos de integracioacuten consistiendo todos ellos en reducir la integral buscada a una inteacutegrala conocida como por ejemplo una de las de la tabla o bien reducirla una integral maacutes sencilla
El meacutetodo de integracioacuten por partes estaacute basado en la derivada de un producto de funciones como se muestra a continuacioacuten
d(umiddotv) = u dv + v du
por eso es que se usa para integrales que contienen dos funciones que se multiplican entre si
intd(umiddotv) = intu dv + intv du
Se llama integracioacuten por partes porque la integral se divide en dos partes en una el integrando es u y otra en la otra es v La integral debe estar completa y sin alterar la operacioacuten dentro de ella Consejos
La funcioacuten correspondiente a dv debe ser la funcioacuten maacutes faacutecil de integrar 2- En u deben ir aquellas funciones que no tienen integral directa (funciones logariacutetmicas e inversas) luego se pueden considerar las funciones algebraicas puesto que la derivada es reductiva Las funciones trigonomeacutetricas y exponenciales son maacutes sencillas de trabajar
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRACIOacuteN POR PARTES
1-
2-
3-
4-
5-
6-
7-
8-
9-
10-
INTEGRACION POR PARTES
MATERIAL DE APOYO
VIDEOS DE INTEGRACION POR PARTES
1) httpswwwprofesor10dematescom201505integrales-por-partes-resueltashtml
2) httpwwwsietecolinasesmaterialesmatintegrales-4pdf
3) httpsgpweiztuammxfilesusersuamijdfmetodos_de_integracionintegracion_por_partesp
df
EJERCICIOS EJERCICIOS PARA RESOLVER POR PARTES
1) L=Ln
R
2) R
3) R
4) R
5) R 6) R
7) R
8) R
9) R L=Ln
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
15) R
16) R
17) R
18) R
19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
INTEGRAL RESPUESTA
26) x senx dx sen x xcos x c
27) ln x dx 1x ln x c
28)2
xx sen dx 4 2
2 2
x xsen xcos c
29) x cos nx dx 2
cos nx x sennxc
nn
30) 2 u sec u du utgu lncosu c
31) 2 3 u sen v dv 21 1 16 6
4 12 72v v sen v cos v c
32) 2 y senny dy 2
3 2
2 2cosny y senny y cosnyc
nn n
33) 2 xa dx 2
1x xa c
lna ln a
34) nx ln x dx 1 1
1 1
nx
ln x cn n
35) arc sen x dx 2 1x arc sen x x c
36) arc tg x dx 21 1
2x arc tg x ln x c
37) arc c tg y dy 21 1
2y arc c tg y ln y c
38) 2 arc cos x dx 21 2 1 4
2x arc cos x x c
39) arc sec y dy 2 1y arc sec y ln y y c
40) 2
tarc csc dt 2 2 4
2
tt arc csc ln t t c
41) x arc tg x dx 2 1
2 2
x xarc tg x c
42) arc tg x dx 1 x arc tg x x c
43) 2 xx e dx
22 2xe x x c
44) e cos d
2
esen cos c
45)
2
1
ln x dx
x 1
1
xln x ln x c
x
CAPITULO 4
FUNCIONES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
1) httpwwwmtyitesmmxetiedeptosmma-841recursostab-hippdf
2) httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCION
ES20HIPERBOLICASpdfsequence=1
FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS HIPERBOacuteLICAS
Definicioacuten de las funciones
Un ciacuterculo unitario con centro en el origen sigue la foacutermula 1yx 22 un punto dado por el par
ordenado yx se puede representar como funcioacuten de un aacutengulo t de la siguiente manera
senttcosyx De igual manera una hipeacuterbola unitaria con centro en el origen sigue la foacutermula
1yx 22 un punto dado por el par ordenado yx se puede representar como funcioacuten del aacutengulo t
de la siguiente manera senhttcoshyx Estas funciones se denominan funciones trigonomeacutetricas
hiperboacutelicas en particular coseno hiperboacutelico y seno hiperboacutelico
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas presentan propiedades anaacutelogas a las de las funciones
trigonomeacutetricas o circulares La funcioacuten xsenhxf se define como 2
eexsenh
xx mientras que
la funcioacuten xcoshxf es 2
eexcosh
xx
Al igual que las funciones trigonomeacutetricas circulares en las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas se
cumplen las siguientes identidades fundamentales
xx
xx
xx
xx
xx
xx
ee
2
xsenh
1xhcsc
ee
2
xcosh
1xhsec
ee
ee
xsenh
xcoshxcoth
ee
ee
xcosh
xsenhxtanh
Debido a esto es loacutegico pensar que habraacute una relacioacuten equivalente al Teorema de Pitaacutegoras Asiacute
para las funciones hiperboacutelicas se sabe que 1xsenhxcosh 22
Ejemplo 1
Demostrar que 1xsenhxcosh 22
11
14
4
14
2
4
2
14
ee2
4
ee2
14
eee2e
4
eee2e
12
ee
2
ee
1xsenhxcosh
xxxx
x2xxx2x2xxx2
2xx
2xx
22
Graacutefica de las funciones
Sea la funcioacuten 2
eexsenhxf
xx Las intersecciones se pueden encontrar igualando la funcioacuten
a cero
0x
0x2
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
02
ee
x2
x
x
xx
xx
xx
La funcioacuten seno hiperboacutelico tiene una sola raiacutez en x=0 Para obtener los puntos criacuteticos se iguala a
cero la derivada de la funcioacuten
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
0ee2
1
ee2
1ee
dx
d
2
1
2
ee
dx
d
dx
df
x2
x
x
xx
xx
xx
xxxxxx
por lo tanto no hay puntos criacuteticos Es interesante notar que la derivada de la funcioacuten senh(x) es la
funcioacuten cosh(x)
Por uacuteltimo puntos inflexioacuten se pueden encontrar en donde la segunda derivada es igual a cero
xxxxxx
2
2
ee2
1ee
dx
d
2
1ee
2
1
dx
d
dx
fd
La segunda derivada nos llevoacute nuevamente a la funcioacuten senh(x) Esta funcioacuten ya se igualoacute a cero
para encontrar las intersecciones El resultado es que en x=0 hay una raiacutez que a su vez es un punto
de inflexioacuten
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
La misma funcioacuten 2
eexsenhxf
xx se puede ver como la resta de dos funciones exponenciales
2
e
2
e
2
ee xxxx
La graacutefica de estas dos funciones exponenciales se muestra en azul (exponencial
positiva) y verde (exponencial negativa) La resta de ambas punto por punto es la funcioacuten senh(x)
Derivadas
ucoshdx
duusenh
dx
dxcosh
2
ee
2
ee
dx
dxsenh
dx
d xxxx
usenhdx
duucosh
dx
dxsenh
2
ee
2
ee
dx
dxcosh
dx
d xxxx
uhsecdx
duutanh
dx
d
xhsecxcosh
1
xcosh
xsenhxcosh
xcosh
senhx
dx
dxtanh
dx
d
2
2
22
22
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
uhcscdx
duucoth
dx
d
xhcscxsenh
1
xsenh
xcoshxsenh
senhx
xcosh
dx
dxcoth
dx
d 2
22
22
uhsecutanhdx
duuhsec
dx
d
hxsecxtanhxcosh
1
xcosh
senhx
xcosh
senhx
xcosh
1
dx
dxhsec
dx
d2
uhcscucothdx
duuhcsc
dx
d
hxcscxcothsenhx
1
senhx
xcosh
xsenh
xcosh
senhx
1
dx
dxhcsc
dx
d2
Ejemplo 2
Derivar la funcioacuten 3x4tanhxf 2
La funcioacuten maacutes externa es la raiacutez por lo tanto es la primera en derivarse
3x4tanh2
3x4hsecx83x4tanh
dx
d
3x4tanh2
1
dx
df
2
222
2
Ejemplo 3
Derivar la funcioacuten 2x3cosh2x3tanhlnxf 22
La funcioacuten maacutes externa es el logaritmo por lo tanto es el primero en derivarse
2x3cosh2x3tanh
2x3xsenh62x3hsecx6
dx
df22
222
Integrales
Utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se puede establecer que
cuhcscduucothuhcsc
cuhsecduutanhuhsec
cucothduuhcsc
cutanhduuhsec
cusenhduucosh
cucoshduusenh
2
2
Utilizando estas foacutermulas se pueden establecer las siguientes
Ejemplo 4
Hallar la foacutermula para la integral de la tangente hiperboacutelica
dxxcosh
xsenhdxxtanh
Se hace un cambio de variable en donde dxxsenhduxcoshu Al sustituir la integral anterior
cambia a
cxcoshlnculnu
dudx
xcosh
xsenhdxxtanh
Se puede utilizar el mismo procedimiento para hallar las siguientes foacutermulas
cusenhlnduucoth
cucoshlnduutanh
Ejemplo 5
Resolver las siguientes integrales
dxx3senhx 32
Se realiza el cambio de variable dxx9
dux3u 23 por lo tanto la integral se puede escribir como
cx3cosh9
1cucosh
9
1duusenh
9
1
9
duusenhdxx3senhx 332
dx
x
xlnhsec 2
Se realiza el cambio de variablex
dxduxlnu por lo tanto la integral se puede escribir como
cxlntanhcutanhduuhsecdx
x
xlnhsec2
2
1
0
dxxcoshxsenh
Se realiza el cambio de variable dxxsenhduxcoshu por lo tanto la integral se puede escribir
como
1x
0x
1
0
2 duudxxcoshxsenh
Sin embargo dado que u=senh(x) si x=0 entonces 02
ee0senhu
00
Cuando x=1 entonces
e2
1e
2
e
1e
2
e
1e
2
ee1senhu
2
2
11
La integral es
2
32
23
23
2
e2
1e
0
23
e2
1e
0
1x
0x
1
0
2
e2
1e
3
20
3
2
e2
1e
3
2
u3
2duuduudxxcoshxsenh
22
Inversas
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas tienen funciones inversas que comuacutenmente se denotan
como 1senh o bien como arcsenh donde la funcioacuten recibe el nombre de seno hiperboacutelico inverso
Dado que las funciones estaacuten definidas en teacuterminos de exponenciales es de esperarse que sus
inversas incluyan logaritmos naturales Se pueden definir como
1x0parax
x11lnxhsec
1xparax1
x1ln
2
1xtanh
1xpara1xxlnxcosh
1xxlnxsenh
21
1
21
21
Las derivadas e integrales de estas funciones se resuelven igual que las funciones trigonomeacutetricas
inversas
Ejemplo 6
Obtener la foacutermula para la derivada de la funcioacuten xsenhy 1
Dado que no se conoce la derivada del seno hiperboacutelico inverso pero siacute la del seno hiperboacutelico se
pueden utilizar el concepto de la funcioacuten inversa y la derivada impliacutecita para hallar la foacutermula en
cuestioacuten
ycosh
1y
1yacutecoshy
xysenh
xsenhy 1
Se sabe que 1ysenhycosh 22 por lo tanto 1ysenhycosh 22 y la funcioacuten senhy=x entonces
1xycosh 2 Al sustituir se obtiene
1x
1y
2
El mismo meacutetodo se puede utilizar para encontrar cualquiera de las siguientes foacutermulas
1u
dxdu
usenhdx
d
2
1
1u1u
dxdu
ucoshdx
d
2
1
1uu1
dxdu
utanhdx
d2
1
1u0u1u
dxdu
uhsecdx
d
2
1
Ejemplo 7
Determinar si la funcioacuten 3xxsenhxf 21 es creciente o decreciente en el punto x=2
Se debe resolver la derivada de la multiplicacioacuten
10x6x
x23xsenh
19x6x
x23xsenh
13x
x2x3xsenh
dx
df
24
221
24
221
22
21
Se busca conocer como es la funcioacuten en x=2 por lo tanto se sustituye en la derivada
773131642077
80714ln
25
8257ln
225
82257ln
50
81497ln
102416
87senh
dx
df 1
2x
La funcioacuten es creciente crece a una razoacuten de 377
Las foacutermulas para la integracioacuten salen utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo y a partir de las
foacutermulas de derivacioacuten
0aca
usenhdu
ua
1 1
22
0auca
ucoshdu
au
1 1
22
au0aca
utanh
a
1du
ua
1 1
22
au00aca
uhsec
a
1du
uau
1 1
22
Ejemplo 8
Resolver la integral
dxe25
e
x6
x3
Esta integral es como la de la tangente hiperboacutelica inversa donde 5a25a 2
dxe3
dueueu x3x3x62 Al sustituir esto en la integral
c5
etanh
15
1c
5
etanh
5
1
3
1
u25
du
3
1
u25
3du x3
1x3
1
22
Aplicaciones
La velocidad de las olas en el mar bajo ciertas condiciones depende de la longitud de onda
(distancia entre cresta y cresta) y de la profundidad del agua por donde viajan las olas h La funcioacuten
que relaciona estas variables es
h2tanh
2
gv 2
donde v es la velocidad y g es la gravedad
Suponiendo que se mantiene h constante esto es que el oleaje se propaga por un oceacuteano de
profundidad constante (50 m) determinar si la velocidad aumenta o disminuye cuando m5
h2hsec
ghh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2hsec
h2
2
gh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2tanh
2
gv
h2tanh
2
gv
2
2
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
728d
dv
5
502hsec
5
50819
5
502tanh
2
819
5
502tanh
2
58192
1
d
dv 2
Entonces para este valor de la longitud de onda y de la profundidad la velocidad de la ola va
aumentando respecto a la longitud de onda
Si se requiere ahora saber como va cambiando la velocidad de propagacioacuten del oleaje respecto a la
profundidad del mar para una longitud de onda de 5 m se deberaacute entonces derivar respecto a h Sea
una profundidad de 7 m
h2tanh
2
g2
h2hsecg
dh
dv
h2hsec
2
2
g
h2tanh
2
g2
1
dh
dv
h2tanh
2
gv
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
77
2
2
1061595
10918
5
14tanh
2
05492
5
14hsec819
dh
dv
5
72tanh
2
58192
5
72hsec819
dh
dv
Asiacute que aunque la velocidad de propagacioacuten del oleaje va aumentando respecto a la profundidad la
razoacuten de cambio es muy pequentildea
EJERCICIOS DE DERIVADAS HIPERBOLICAS
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6) R
7) R
8) AYUDA R
9) R 10) R
11) R 12) R
13) R
14)DEMOSTRAR
AYUDA
15)
AYUDA
INTEGRALES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
httpcalculoccfunciones_hiperbolicasp_integrales_hiperbhtml
httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCIONES20
HIPERBOLICASpdfsequence=1
httpseswikipediaorgwikiAnexoIntegrales_de_funciones_hiperbC3B3licas
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES HIPERBOLICAS
2)
3)
5)
6)
8)
Resolvemos ambas integrales mediante integracioacuten por partes
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 5 u = 3x
11)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 3 u = 4x
13)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = radic7 u = 5x
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION MATERIAL DE APOYO
800 INTEGRALES RESUELTAS
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_metodosproblemasp_integr_sust_trigohtml
httpsmatematicasnblogspotcom201512integracion-por-sustitucionhtml CON VIDEOS INCLUIDOS
httpsdspaceupseduecbitstream12345678961191Manual20de20fracciones20parcialespdf
httpwwwtesoemedumxalumnoscuadernillos2011011pdf
httpprofe-alexzblogspotcom201104integracion-fracciones-parcialeshtml Y VIDEOS
httpswwwsectormatematicacl rsaquo media rsaquo diferenciado rsaquo FRACCIONES P httpswwwipnmxassetsfilescecyt11docsGuiasUABasicasMatematicascalculo-integral-solucion-de-problemasPDF
httpswwwacademiaedu7708664CC381LCULO_INTEGRAL_EJERCICIOS_RESUELTOS_PASO_A_PASO
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1 Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de
variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de
la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que
contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe
ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
4 integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5 Otras integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
- 21 x
4
6 Otras integrales
1
2
3
4
5
EJERCICIOS 2
I) RESOLVER LAS SIGUIENTES INTEGRALES INDEFINIDAS Y VERIFIQUE SU
RESPUESTA REALIZANDO LA DERIVADA
II) EVALUE LA INTEGRAL INDEFINIDA DADA USANDO UNA SUSTITUCION IDONEA
62)Problemas de integrales
1Hallar una funcioacuten F(x) cuya derivada sea f(x) = x + 6 y tal que para x = 2
tome el valor 25
RESPUESTA
2De las inf in itas funciones primitivas de la funcioacuten y = xsup2 - x + 1 iquestcuaacutel
es la que para x = 3 toma el valor 5
RESPUESTA
3Hallar una recta cuya pendiente es 2 y pasa por eacutel punto P(0 4)
RESPUESTA f(x) = 2x + 4
4Escribe la funcioacuten primitiva de y = xsup2 + 2x cuya representacioacuten graacutef ica pasa
por eacutel punto (1 3)
RESPUESTA
5Calcular la ecuacioacuten de la curva que pasa por P(1 5) y cuya pendiente en cualquier punto es
3xsup2 + 5x minus 2
RESPUESTA
6Hallar la primitiva de la funcioacuten que se anula para x = 2
RESPUESTA
CAPITULO 3
INTEGRACION POR PARTES
Definicioacuten
Existen varios meacutetodos de integracioacuten consistiendo todos ellos en reducir la integral buscada a una inteacutegrala conocida como por ejemplo una de las de la tabla o bien reducirla una integral maacutes sencilla
El meacutetodo de integracioacuten por partes estaacute basado en la derivada de un producto de funciones como se muestra a continuacioacuten
d(umiddotv) = u dv + v du
por eso es que se usa para integrales que contienen dos funciones que se multiplican entre si
intd(umiddotv) = intu dv + intv du
Se llama integracioacuten por partes porque la integral se divide en dos partes en una el integrando es u y otra en la otra es v La integral debe estar completa y sin alterar la operacioacuten dentro de ella Consejos
La funcioacuten correspondiente a dv debe ser la funcioacuten maacutes faacutecil de integrar 2- En u deben ir aquellas funciones que no tienen integral directa (funciones logariacutetmicas e inversas) luego se pueden considerar las funciones algebraicas puesto que la derivada es reductiva Las funciones trigonomeacutetricas y exponenciales son maacutes sencillas de trabajar
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRACIOacuteN POR PARTES
1-
2-
3-
4-
5-
6-
7-
8-
9-
10-
INTEGRACION POR PARTES
MATERIAL DE APOYO
VIDEOS DE INTEGRACION POR PARTES
1) httpswwwprofesor10dematescom201505integrales-por-partes-resueltashtml
2) httpwwwsietecolinasesmaterialesmatintegrales-4pdf
3) httpsgpweiztuammxfilesusersuamijdfmetodos_de_integracionintegracion_por_partesp
df
EJERCICIOS EJERCICIOS PARA RESOLVER POR PARTES
1) L=Ln
R
2) R
3) R
4) R
5) R 6) R
7) R
8) R
9) R L=Ln
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
15) R
16) R
17) R
18) R
19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
INTEGRAL RESPUESTA
26) x senx dx sen x xcos x c
27) ln x dx 1x ln x c
28)2
xx sen dx 4 2
2 2
x xsen xcos c
29) x cos nx dx 2
cos nx x sennxc
nn
30) 2 u sec u du utgu lncosu c
31) 2 3 u sen v dv 21 1 16 6
4 12 72v v sen v cos v c
32) 2 y senny dy 2
3 2
2 2cosny y senny y cosnyc
nn n
33) 2 xa dx 2
1x xa c
lna ln a
34) nx ln x dx 1 1
1 1
nx
ln x cn n
35) arc sen x dx 2 1x arc sen x x c
36) arc tg x dx 21 1
2x arc tg x ln x c
37) arc c tg y dy 21 1
2y arc c tg y ln y c
38) 2 arc cos x dx 21 2 1 4
2x arc cos x x c
39) arc sec y dy 2 1y arc sec y ln y y c
40) 2
tarc csc dt 2 2 4
2
tt arc csc ln t t c
41) x arc tg x dx 2 1
2 2
x xarc tg x c
42) arc tg x dx 1 x arc tg x x c
43) 2 xx e dx
22 2xe x x c
44) e cos d
2
esen cos c
45)
2
1
ln x dx
x 1
1
xln x ln x c
x
CAPITULO 4
FUNCIONES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
1) httpwwwmtyitesmmxetiedeptosmma-841recursostab-hippdf
2) httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCION
ES20HIPERBOLICASpdfsequence=1
FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS HIPERBOacuteLICAS
Definicioacuten de las funciones
Un ciacuterculo unitario con centro en el origen sigue la foacutermula 1yx 22 un punto dado por el par
ordenado yx se puede representar como funcioacuten de un aacutengulo t de la siguiente manera
senttcosyx De igual manera una hipeacuterbola unitaria con centro en el origen sigue la foacutermula
1yx 22 un punto dado por el par ordenado yx se puede representar como funcioacuten del aacutengulo t
de la siguiente manera senhttcoshyx Estas funciones se denominan funciones trigonomeacutetricas
hiperboacutelicas en particular coseno hiperboacutelico y seno hiperboacutelico
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas presentan propiedades anaacutelogas a las de las funciones
trigonomeacutetricas o circulares La funcioacuten xsenhxf se define como 2
eexsenh
xx mientras que
la funcioacuten xcoshxf es 2
eexcosh
xx
Al igual que las funciones trigonomeacutetricas circulares en las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas se
cumplen las siguientes identidades fundamentales
xx
xx
xx
xx
xx
xx
ee
2
xsenh
1xhcsc
ee
2
xcosh
1xhsec
ee
ee
xsenh
xcoshxcoth
ee
ee
xcosh
xsenhxtanh
Debido a esto es loacutegico pensar que habraacute una relacioacuten equivalente al Teorema de Pitaacutegoras Asiacute
para las funciones hiperboacutelicas se sabe que 1xsenhxcosh 22
Ejemplo 1
Demostrar que 1xsenhxcosh 22
11
14
4
14
2
4
2
14
ee2
4
ee2
14
eee2e
4
eee2e
12
ee
2
ee
1xsenhxcosh
xxxx
x2xxx2x2xxx2
2xx
2xx
22
Graacutefica de las funciones
Sea la funcioacuten 2
eexsenhxf
xx Las intersecciones se pueden encontrar igualando la funcioacuten
a cero
0x
0x2
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
02
ee
x2
x
x
xx
xx
xx
La funcioacuten seno hiperboacutelico tiene una sola raiacutez en x=0 Para obtener los puntos criacuteticos se iguala a
cero la derivada de la funcioacuten
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
0ee2
1
ee2
1ee
dx
d
2
1
2
ee
dx
d
dx
df
x2
x
x
xx
xx
xx
xxxxxx
por lo tanto no hay puntos criacuteticos Es interesante notar que la derivada de la funcioacuten senh(x) es la
funcioacuten cosh(x)
Por uacuteltimo puntos inflexioacuten se pueden encontrar en donde la segunda derivada es igual a cero
xxxxxx
2
2
ee2
1ee
dx
d
2
1ee
2
1
dx
d
dx
fd
La segunda derivada nos llevoacute nuevamente a la funcioacuten senh(x) Esta funcioacuten ya se igualoacute a cero
para encontrar las intersecciones El resultado es que en x=0 hay una raiacutez que a su vez es un punto
de inflexioacuten
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
La misma funcioacuten 2
eexsenhxf
xx se puede ver como la resta de dos funciones exponenciales
2
e
2
e
2
ee xxxx
La graacutefica de estas dos funciones exponenciales se muestra en azul (exponencial
positiva) y verde (exponencial negativa) La resta de ambas punto por punto es la funcioacuten senh(x)
Derivadas
ucoshdx
duusenh
dx
dxcosh
2
ee
2
ee
dx
dxsenh
dx
d xxxx
usenhdx
duucosh
dx
dxsenh
2
ee
2
ee
dx
dxcosh
dx
d xxxx
uhsecdx
duutanh
dx
d
xhsecxcosh
1
xcosh
xsenhxcosh
xcosh
senhx
dx
dxtanh
dx
d
2
2
22
22
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
uhcscdx
duucoth
dx
d
xhcscxsenh
1
xsenh
xcoshxsenh
senhx
xcosh
dx
dxcoth
dx
d 2
22
22
uhsecutanhdx
duuhsec
dx
d
hxsecxtanhxcosh
1
xcosh
senhx
xcosh
senhx
xcosh
1
dx
dxhsec
dx
d2
uhcscucothdx
duuhcsc
dx
d
hxcscxcothsenhx
1
senhx
xcosh
xsenh
xcosh
senhx
1
dx
dxhcsc
dx
d2
Ejemplo 2
Derivar la funcioacuten 3x4tanhxf 2
La funcioacuten maacutes externa es la raiacutez por lo tanto es la primera en derivarse
3x4tanh2
3x4hsecx83x4tanh
dx
d
3x4tanh2
1
dx
df
2
222
2
Ejemplo 3
Derivar la funcioacuten 2x3cosh2x3tanhlnxf 22
La funcioacuten maacutes externa es el logaritmo por lo tanto es el primero en derivarse
2x3cosh2x3tanh
2x3xsenh62x3hsecx6
dx
df22
222
Integrales
Utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se puede establecer que
cuhcscduucothuhcsc
cuhsecduutanhuhsec
cucothduuhcsc
cutanhduuhsec
cusenhduucosh
cucoshduusenh
2
2
Utilizando estas foacutermulas se pueden establecer las siguientes
Ejemplo 4
Hallar la foacutermula para la integral de la tangente hiperboacutelica
dxxcosh
xsenhdxxtanh
Se hace un cambio de variable en donde dxxsenhduxcoshu Al sustituir la integral anterior
cambia a
cxcoshlnculnu
dudx
xcosh
xsenhdxxtanh
Se puede utilizar el mismo procedimiento para hallar las siguientes foacutermulas
cusenhlnduucoth
cucoshlnduutanh
Ejemplo 5
Resolver las siguientes integrales
dxx3senhx 32
Se realiza el cambio de variable dxx9
dux3u 23 por lo tanto la integral se puede escribir como
cx3cosh9
1cucosh
9
1duusenh
9
1
9
duusenhdxx3senhx 332
dx
x
xlnhsec 2
Se realiza el cambio de variablex
dxduxlnu por lo tanto la integral se puede escribir como
cxlntanhcutanhduuhsecdx
x
xlnhsec2
2
1
0
dxxcoshxsenh
Se realiza el cambio de variable dxxsenhduxcoshu por lo tanto la integral se puede escribir
como
1x
0x
1
0
2 duudxxcoshxsenh
Sin embargo dado que u=senh(x) si x=0 entonces 02
ee0senhu
00
Cuando x=1 entonces
e2
1e
2
e
1e
2
e
1e
2
ee1senhu
2
2
11
La integral es
2
32
23
23
2
e2
1e
0
23
e2
1e
0
1x
0x
1
0
2
e2
1e
3
20
3
2
e2
1e
3
2
u3
2duuduudxxcoshxsenh
22
Inversas
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas tienen funciones inversas que comuacutenmente se denotan
como 1senh o bien como arcsenh donde la funcioacuten recibe el nombre de seno hiperboacutelico inverso
Dado que las funciones estaacuten definidas en teacuterminos de exponenciales es de esperarse que sus
inversas incluyan logaritmos naturales Se pueden definir como
1x0parax
x11lnxhsec
1xparax1
x1ln
2
1xtanh
1xpara1xxlnxcosh
1xxlnxsenh
21
1
21
21
Las derivadas e integrales de estas funciones se resuelven igual que las funciones trigonomeacutetricas
inversas
Ejemplo 6
Obtener la foacutermula para la derivada de la funcioacuten xsenhy 1
Dado que no se conoce la derivada del seno hiperboacutelico inverso pero siacute la del seno hiperboacutelico se
pueden utilizar el concepto de la funcioacuten inversa y la derivada impliacutecita para hallar la foacutermula en
cuestioacuten
ycosh
1y
1yacutecoshy
xysenh
xsenhy 1
Se sabe que 1ysenhycosh 22 por lo tanto 1ysenhycosh 22 y la funcioacuten senhy=x entonces
1xycosh 2 Al sustituir se obtiene
1x
1y
2
El mismo meacutetodo se puede utilizar para encontrar cualquiera de las siguientes foacutermulas
1u
dxdu
usenhdx
d
2
1
1u1u
dxdu
ucoshdx
d
2
1
1uu1
dxdu
utanhdx
d2
1
1u0u1u
dxdu
uhsecdx
d
2
1
Ejemplo 7
Determinar si la funcioacuten 3xxsenhxf 21 es creciente o decreciente en el punto x=2
Se debe resolver la derivada de la multiplicacioacuten
10x6x
x23xsenh
19x6x
x23xsenh
13x
x2x3xsenh
dx
df
24
221
24
221
22
21
Se busca conocer como es la funcioacuten en x=2 por lo tanto se sustituye en la derivada
773131642077
80714ln
25
8257ln
225
82257ln
50
81497ln
102416
87senh
dx
df 1
2x
La funcioacuten es creciente crece a una razoacuten de 377
Las foacutermulas para la integracioacuten salen utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo y a partir de las
foacutermulas de derivacioacuten
0aca
usenhdu
ua
1 1
22
0auca
ucoshdu
au
1 1
22
au0aca
utanh
a
1du
ua
1 1
22
au00aca
uhsec
a
1du
uau
1 1
22
Ejemplo 8
Resolver la integral
dxe25
e
x6
x3
Esta integral es como la de la tangente hiperboacutelica inversa donde 5a25a 2
dxe3
dueueu x3x3x62 Al sustituir esto en la integral
c5
etanh
15
1c
5
etanh
5
1
3
1
u25
du
3
1
u25
3du x3
1x3
1
22
Aplicaciones
La velocidad de las olas en el mar bajo ciertas condiciones depende de la longitud de onda
(distancia entre cresta y cresta) y de la profundidad del agua por donde viajan las olas h La funcioacuten
que relaciona estas variables es
h2tanh
2
gv 2
donde v es la velocidad y g es la gravedad
Suponiendo que se mantiene h constante esto es que el oleaje se propaga por un oceacuteano de
profundidad constante (50 m) determinar si la velocidad aumenta o disminuye cuando m5
h2hsec
ghh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2hsec
h2
2
gh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2tanh
2
gv
h2tanh
2
gv
2
2
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
728d
dv
5
502hsec
5
50819
5
502tanh
2
819
5
502tanh
2
58192
1
d
dv 2
Entonces para este valor de la longitud de onda y de la profundidad la velocidad de la ola va
aumentando respecto a la longitud de onda
Si se requiere ahora saber como va cambiando la velocidad de propagacioacuten del oleaje respecto a la
profundidad del mar para una longitud de onda de 5 m se deberaacute entonces derivar respecto a h Sea
una profundidad de 7 m
h2tanh
2
g2
h2hsecg
dh
dv
h2hsec
2
2
g
h2tanh
2
g2
1
dh
dv
h2tanh
2
gv
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
77
2
2
1061595
10918
5
14tanh
2
05492
5
14hsec819
dh
dv
5
72tanh
2
58192
5
72hsec819
dh
dv
Asiacute que aunque la velocidad de propagacioacuten del oleaje va aumentando respecto a la profundidad la
razoacuten de cambio es muy pequentildea
EJERCICIOS DE DERIVADAS HIPERBOLICAS
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6) R
7) R
8) AYUDA R
9) R 10) R
11) R 12) R
13) R
14)DEMOSTRAR
AYUDA
15)
AYUDA
INTEGRALES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
httpcalculoccfunciones_hiperbolicasp_integrales_hiperbhtml
httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCIONES20
HIPERBOLICASpdfsequence=1
httpseswikipediaorgwikiAnexoIntegrales_de_funciones_hiperbC3B3licas
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES HIPERBOLICAS
2)
3)
5)
6)
8)
Resolvemos ambas integrales mediante integracioacuten por partes
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 5 u = 3x
11)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 3 u = 4x
13)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = radic7 u = 5x
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION MATERIAL DE APOYO
800 INTEGRALES RESUELTAS
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_metodosproblemasp_integr_sust_trigohtml
httpsmatematicasnblogspotcom201512integracion-por-sustitucionhtml CON VIDEOS INCLUIDOS
httpsdspaceupseduecbitstream12345678961191Manual20de20fracciones20parcialespdf
httpwwwtesoemedumxalumnoscuadernillos2011011pdf
httpprofe-alexzblogspotcom201104integracion-fracciones-parcialeshtml Y VIDEOS
httpswwwsectormatematicacl rsaquo media rsaquo diferenciado rsaquo FRACCIONES P httpswwwipnmxassetsfilescecyt11docsGuiasUABasicasMatematicascalculo-integral-solucion-de-problemasPDF
httpswwwacademiaedu7708664CC381LCULO_INTEGRAL_EJERCICIOS_RESUELTOS_PASO_A_PASO
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1 Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de
variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de
la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que
contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe
ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
8
9
10
11
12
13
14
15
5 Otras integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
- 21 x
4
6 Otras integrales
1
2
3
4
5
EJERCICIOS 2
I) RESOLVER LAS SIGUIENTES INTEGRALES INDEFINIDAS Y VERIFIQUE SU
RESPUESTA REALIZANDO LA DERIVADA
II) EVALUE LA INTEGRAL INDEFINIDA DADA USANDO UNA SUSTITUCION IDONEA
62)Problemas de integrales
1Hallar una funcioacuten F(x) cuya derivada sea f(x) = x + 6 y tal que para x = 2
tome el valor 25
RESPUESTA
2De las inf in itas funciones primitivas de la funcioacuten y = xsup2 - x + 1 iquestcuaacutel
es la que para x = 3 toma el valor 5
RESPUESTA
3Hallar una recta cuya pendiente es 2 y pasa por eacutel punto P(0 4)
RESPUESTA f(x) = 2x + 4
4Escribe la funcioacuten primitiva de y = xsup2 + 2x cuya representacioacuten graacutef ica pasa
por eacutel punto (1 3)
RESPUESTA
5Calcular la ecuacioacuten de la curva que pasa por P(1 5) y cuya pendiente en cualquier punto es
3xsup2 + 5x minus 2
RESPUESTA
6Hallar la primitiva de la funcioacuten que se anula para x = 2
RESPUESTA
CAPITULO 3
INTEGRACION POR PARTES
Definicioacuten
Existen varios meacutetodos de integracioacuten consistiendo todos ellos en reducir la integral buscada a una inteacutegrala conocida como por ejemplo una de las de la tabla o bien reducirla una integral maacutes sencilla
El meacutetodo de integracioacuten por partes estaacute basado en la derivada de un producto de funciones como se muestra a continuacioacuten
d(umiddotv) = u dv + v du
por eso es que se usa para integrales que contienen dos funciones que se multiplican entre si
intd(umiddotv) = intu dv + intv du
Se llama integracioacuten por partes porque la integral se divide en dos partes en una el integrando es u y otra en la otra es v La integral debe estar completa y sin alterar la operacioacuten dentro de ella Consejos
La funcioacuten correspondiente a dv debe ser la funcioacuten maacutes faacutecil de integrar 2- En u deben ir aquellas funciones que no tienen integral directa (funciones logariacutetmicas e inversas) luego se pueden considerar las funciones algebraicas puesto que la derivada es reductiva Las funciones trigonomeacutetricas y exponenciales son maacutes sencillas de trabajar
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRACIOacuteN POR PARTES
1-
2-
3-
4-
5-
6-
7-
8-
9-
10-
INTEGRACION POR PARTES
MATERIAL DE APOYO
VIDEOS DE INTEGRACION POR PARTES
1) httpswwwprofesor10dematescom201505integrales-por-partes-resueltashtml
2) httpwwwsietecolinasesmaterialesmatintegrales-4pdf
3) httpsgpweiztuammxfilesusersuamijdfmetodos_de_integracionintegracion_por_partesp
df
EJERCICIOS EJERCICIOS PARA RESOLVER POR PARTES
1) L=Ln
R
2) R
3) R
4) R
5) R 6) R
7) R
8) R
9) R L=Ln
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
15) R
16) R
17) R
18) R
19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
INTEGRAL RESPUESTA
26) x senx dx sen x xcos x c
27) ln x dx 1x ln x c
28)2
xx sen dx 4 2
2 2
x xsen xcos c
29) x cos nx dx 2
cos nx x sennxc
nn
30) 2 u sec u du utgu lncosu c
31) 2 3 u sen v dv 21 1 16 6
4 12 72v v sen v cos v c
32) 2 y senny dy 2
3 2
2 2cosny y senny y cosnyc
nn n
33) 2 xa dx 2
1x xa c
lna ln a
34) nx ln x dx 1 1
1 1
nx
ln x cn n
35) arc sen x dx 2 1x arc sen x x c
36) arc tg x dx 21 1
2x arc tg x ln x c
37) arc c tg y dy 21 1
2y arc c tg y ln y c
38) 2 arc cos x dx 21 2 1 4
2x arc cos x x c
39) arc sec y dy 2 1y arc sec y ln y y c
40) 2
tarc csc dt 2 2 4
2
tt arc csc ln t t c
41) x arc tg x dx 2 1
2 2
x xarc tg x c
42) arc tg x dx 1 x arc tg x x c
43) 2 xx e dx
22 2xe x x c
44) e cos d
2
esen cos c
45)
2
1
ln x dx
x 1
1
xln x ln x c
x
CAPITULO 4
FUNCIONES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
1) httpwwwmtyitesmmxetiedeptosmma-841recursostab-hippdf
2) httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCION
ES20HIPERBOLICASpdfsequence=1
FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS HIPERBOacuteLICAS
Definicioacuten de las funciones
Un ciacuterculo unitario con centro en el origen sigue la foacutermula 1yx 22 un punto dado por el par
ordenado yx se puede representar como funcioacuten de un aacutengulo t de la siguiente manera
senttcosyx De igual manera una hipeacuterbola unitaria con centro en el origen sigue la foacutermula
1yx 22 un punto dado por el par ordenado yx se puede representar como funcioacuten del aacutengulo t
de la siguiente manera senhttcoshyx Estas funciones se denominan funciones trigonomeacutetricas
hiperboacutelicas en particular coseno hiperboacutelico y seno hiperboacutelico
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas presentan propiedades anaacutelogas a las de las funciones
trigonomeacutetricas o circulares La funcioacuten xsenhxf se define como 2
eexsenh
xx mientras que
la funcioacuten xcoshxf es 2
eexcosh
xx
Al igual que las funciones trigonomeacutetricas circulares en las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas se
cumplen las siguientes identidades fundamentales
xx
xx
xx
xx
xx
xx
ee
2
xsenh
1xhcsc
ee
2
xcosh
1xhsec
ee
ee
xsenh
xcoshxcoth
ee
ee
xcosh
xsenhxtanh
Debido a esto es loacutegico pensar que habraacute una relacioacuten equivalente al Teorema de Pitaacutegoras Asiacute
para las funciones hiperboacutelicas se sabe que 1xsenhxcosh 22
Ejemplo 1
Demostrar que 1xsenhxcosh 22
11
14
4
14
2
4
2
14
ee2
4
ee2
14
eee2e
4
eee2e
12
ee
2
ee
1xsenhxcosh
xxxx
x2xxx2x2xxx2
2xx
2xx
22
Graacutefica de las funciones
Sea la funcioacuten 2
eexsenhxf
xx Las intersecciones se pueden encontrar igualando la funcioacuten
a cero
0x
0x2
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
02
ee
x2
x
x
xx
xx
xx
La funcioacuten seno hiperboacutelico tiene una sola raiacutez en x=0 Para obtener los puntos criacuteticos se iguala a
cero la derivada de la funcioacuten
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
0ee2
1
ee2
1ee
dx
d
2
1
2
ee
dx
d
dx
df
x2
x
x
xx
xx
xx
xxxxxx
por lo tanto no hay puntos criacuteticos Es interesante notar que la derivada de la funcioacuten senh(x) es la
funcioacuten cosh(x)
Por uacuteltimo puntos inflexioacuten se pueden encontrar en donde la segunda derivada es igual a cero
xxxxxx
2
2
ee2
1ee
dx
d
2
1ee
2
1
dx
d
dx
fd
La segunda derivada nos llevoacute nuevamente a la funcioacuten senh(x) Esta funcioacuten ya se igualoacute a cero
para encontrar las intersecciones El resultado es que en x=0 hay una raiacutez que a su vez es un punto
de inflexioacuten
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
La misma funcioacuten 2
eexsenhxf
xx se puede ver como la resta de dos funciones exponenciales
2
e
2
e
2
ee xxxx
La graacutefica de estas dos funciones exponenciales se muestra en azul (exponencial
positiva) y verde (exponencial negativa) La resta de ambas punto por punto es la funcioacuten senh(x)
Derivadas
ucoshdx
duusenh
dx
dxcosh
2
ee
2
ee
dx
dxsenh
dx
d xxxx
usenhdx
duucosh
dx
dxsenh
2
ee
2
ee
dx
dxcosh
dx
d xxxx
uhsecdx
duutanh
dx
d
xhsecxcosh
1
xcosh
xsenhxcosh
xcosh
senhx
dx
dxtanh
dx
d
2
2
22
22
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
uhcscdx
duucoth
dx
d
xhcscxsenh
1
xsenh
xcoshxsenh
senhx
xcosh
dx
dxcoth
dx
d 2
22
22
uhsecutanhdx
duuhsec
dx
d
hxsecxtanhxcosh
1
xcosh
senhx
xcosh
senhx
xcosh
1
dx
dxhsec
dx
d2
uhcscucothdx
duuhcsc
dx
d
hxcscxcothsenhx
1
senhx
xcosh
xsenh
xcosh
senhx
1
dx
dxhcsc
dx
d2
Ejemplo 2
Derivar la funcioacuten 3x4tanhxf 2
La funcioacuten maacutes externa es la raiacutez por lo tanto es la primera en derivarse
3x4tanh2
3x4hsecx83x4tanh
dx
d
3x4tanh2
1
dx
df
2
222
2
Ejemplo 3
Derivar la funcioacuten 2x3cosh2x3tanhlnxf 22
La funcioacuten maacutes externa es el logaritmo por lo tanto es el primero en derivarse
2x3cosh2x3tanh
2x3xsenh62x3hsecx6
dx
df22
222
Integrales
Utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se puede establecer que
cuhcscduucothuhcsc
cuhsecduutanhuhsec
cucothduuhcsc
cutanhduuhsec
cusenhduucosh
cucoshduusenh
2
2
Utilizando estas foacutermulas se pueden establecer las siguientes
Ejemplo 4
Hallar la foacutermula para la integral de la tangente hiperboacutelica
dxxcosh
xsenhdxxtanh
Se hace un cambio de variable en donde dxxsenhduxcoshu Al sustituir la integral anterior
cambia a
cxcoshlnculnu
dudx
xcosh
xsenhdxxtanh
Se puede utilizar el mismo procedimiento para hallar las siguientes foacutermulas
cusenhlnduucoth
cucoshlnduutanh
Ejemplo 5
Resolver las siguientes integrales
dxx3senhx 32
Se realiza el cambio de variable dxx9
dux3u 23 por lo tanto la integral se puede escribir como
cx3cosh9
1cucosh
9
1duusenh
9
1
9
duusenhdxx3senhx 332
dx
x
xlnhsec 2
Se realiza el cambio de variablex
dxduxlnu por lo tanto la integral se puede escribir como
cxlntanhcutanhduuhsecdx
x
xlnhsec2
2
1
0
dxxcoshxsenh
Se realiza el cambio de variable dxxsenhduxcoshu por lo tanto la integral se puede escribir
como
1x
0x
1
0
2 duudxxcoshxsenh
Sin embargo dado que u=senh(x) si x=0 entonces 02
ee0senhu
00
Cuando x=1 entonces
e2
1e
2
e
1e
2
e
1e
2
ee1senhu
2
2
11
La integral es
2
32
23
23
2
e2
1e
0
23
e2
1e
0
1x
0x
1
0
2
e2
1e
3
20
3
2
e2
1e
3
2
u3
2duuduudxxcoshxsenh
22
Inversas
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas tienen funciones inversas que comuacutenmente se denotan
como 1senh o bien como arcsenh donde la funcioacuten recibe el nombre de seno hiperboacutelico inverso
Dado que las funciones estaacuten definidas en teacuterminos de exponenciales es de esperarse que sus
inversas incluyan logaritmos naturales Se pueden definir como
1x0parax
x11lnxhsec
1xparax1
x1ln
2
1xtanh
1xpara1xxlnxcosh
1xxlnxsenh
21
1
21
21
Las derivadas e integrales de estas funciones se resuelven igual que las funciones trigonomeacutetricas
inversas
Ejemplo 6
Obtener la foacutermula para la derivada de la funcioacuten xsenhy 1
Dado que no se conoce la derivada del seno hiperboacutelico inverso pero siacute la del seno hiperboacutelico se
pueden utilizar el concepto de la funcioacuten inversa y la derivada impliacutecita para hallar la foacutermula en
cuestioacuten
ycosh
1y
1yacutecoshy
xysenh
xsenhy 1
Se sabe que 1ysenhycosh 22 por lo tanto 1ysenhycosh 22 y la funcioacuten senhy=x entonces
1xycosh 2 Al sustituir se obtiene
1x
1y
2
El mismo meacutetodo se puede utilizar para encontrar cualquiera de las siguientes foacutermulas
1u
dxdu
usenhdx
d
2
1
1u1u
dxdu
ucoshdx
d
2
1
1uu1
dxdu
utanhdx
d2
1
1u0u1u
dxdu
uhsecdx
d
2
1
Ejemplo 7
Determinar si la funcioacuten 3xxsenhxf 21 es creciente o decreciente en el punto x=2
Se debe resolver la derivada de la multiplicacioacuten
10x6x
x23xsenh
19x6x
x23xsenh
13x
x2x3xsenh
dx
df
24
221
24
221
22
21
Se busca conocer como es la funcioacuten en x=2 por lo tanto se sustituye en la derivada
773131642077
80714ln
25
8257ln
225
82257ln
50
81497ln
102416
87senh
dx
df 1
2x
La funcioacuten es creciente crece a una razoacuten de 377
Las foacutermulas para la integracioacuten salen utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo y a partir de las
foacutermulas de derivacioacuten
0aca
usenhdu
ua
1 1
22
0auca
ucoshdu
au
1 1
22
au0aca
utanh
a
1du
ua
1 1
22
au00aca
uhsec
a
1du
uau
1 1
22
Ejemplo 8
Resolver la integral
dxe25
e
x6
x3
Esta integral es como la de la tangente hiperboacutelica inversa donde 5a25a 2
dxe3
dueueu x3x3x62 Al sustituir esto en la integral
c5
etanh
15
1c
5
etanh
5
1
3
1
u25
du
3
1
u25
3du x3
1x3
1
22
Aplicaciones
La velocidad de las olas en el mar bajo ciertas condiciones depende de la longitud de onda
(distancia entre cresta y cresta) y de la profundidad del agua por donde viajan las olas h La funcioacuten
que relaciona estas variables es
h2tanh
2
gv 2
donde v es la velocidad y g es la gravedad
Suponiendo que se mantiene h constante esto es que el oleaje se propaga por un oceacuteano de
profundidad constante (50 m) determinar si la velocidad aumenta o disminuye cuando m5
h2hsec
ghh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2hsec
h2
2
gh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2tanh
2
gv
h2tanh
2
gv
2
2
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
728d
dv
5
502hsec
5
50819
5
502tanh
2
819
5
502tanh
2
58192
1
d
dv 2
Entonces para este valor de la longitud de onda y de la profundidad la velocidad de la ola va
aumentando respecto a la longitud de onda
Si se requiere ahora saber como va cambiando la velocidad de propagacioacuten del oleaje respecto a la
profundidad del mar para una longitud de onda de 5 m se deberaacute entonces derivar respecto a h Sea
una profundidad de 7 m
h2tanh
2
g2
h2hsecg
dh
dv
h2hsec
2
2
g
h2tanh
2
g2
1
dh
dv
h2tanh
2
gv
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
77
2
2
1061595
10918
5
14tanh
2
05492
5
14hsec819
dh
dv
5
72tanh
2
58192
5
72hsec819
dh
dv
Asiacute que aunque la velocidad de propagacioacuten del oleaje va aumentando respecto a la profundidad la
razoacuten de cambio es muy pequentildea
EJERCICIOS DE DERIVADAS HIPERBOLICAS
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6) R
7) R
8) AYUDA R
9) R 10) R
11) R 12) R
13) R
14)DEMOSTRAR
AYUDA
15)
AYUDA
INTEGRALES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
httpcalculoccfunciones_hiperbolicasp_integrales_hiperbhtml
httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCIONES20
HIPERBOLICASpdfsequence=1
httpseswikipediaorgwikiAnexoIntegrales_de_funciones_hiperbC3B3licas
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES HIPERBOLICAS
2)
3)
5)
6)
8)
Resolvemos ambas integrales mediante integracioacuten por partes
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 5 u = 3x
11)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 3 u = 4x
13)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = radic7 u = 5x
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION MATERIAL DE APOYO
800 INTEGRALES RESUELTAS
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_metodosproblemasp_integr_sust_trigohtml
httpsmatematicasnblogspotcom201512integracion-por-sustitucionhtml CON VIDEOS INCLUIDOS
httpsdspaceupseduecbitstream12345678961191Manual20de20fracciones20parcialespdf
httpwwwtesoemedumxalumnoscuadernillos2011011pdf
httpprofe-alexzblogspotcom201104integracion-fracciones-parcialeshtml Y VIDEOS
httpswwwsectormatematicacl rsaquo media rsaquo diferenciado rsaquo FRACCIONES P httpswwwipnmxassetsfilescecyt11docsGuiasUABasicasMatematicascalculo-integral-solucion-de-problemasPDF
httpswwwacademiaedu7708664CC381LCULO_INTEGRAL_EJERCICIOS_RESUELTOS_PASO_A_PASO
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1 Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de
variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de
la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que
contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe
ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
14
15
5 Otras integrales trigonomeacutetricas
1
2
3
- 21 x
4
6 Otras integrales
1
2
3
4
5
EJERCICIOS 2
I) RESOLVER LAS SIGUIENTES INTEGRALES INDEFINIDAS Y VERIFIQUE SU
RESPUESTA REALIZANDO LA DERIVADA
II) EVALUE LA INTEGRAL INDEFINIDA DADA USANDO UNA SUSTITUCION IDONEA
62)Problemas de integrales
1Hallar una funcioacuten F(x) cuya derivada sea f(x) = x + 6 y tal que para x = 2
tome el valor 25
RESPUESTA
2De las inf in itas funciones primitivas de la funcioacuten y = xsup2 - x + 1 iquestcuaacutel
es la que para x = 3 toma el valor 5
RESPUESTA
3Hallar una recta cuya pendiente es 2 y pasa por eacutel punto P(0 4)
RESPUESTA f(x) = 2x + 4
4Escribe la funcioacuten primitiva de y = xsup2 + 2x cuya representacioacuten graacutef ica pasa
por eacutel punto (1 3)
RESPUESTA
5Calcular la ecuacioacuten de la curva que pasa por P(1 5) y cuya pendiente en cualquier punto es
3xsup2 + 5x minus 2
RESPUESTA
6Hallar la primitiva de la funcioacuten que se anula para x = 2
RESPUESTA
CAPITULO 3
INTEGRACION POR PARTES
Definicioacuten
Existen varios meacutetodos de integracioacuten consistiendo todos ellos en reducir la integral buscada a una inteacutegrala conocida como por ejemplo una de las de la tabla o bien reducirla una integral maacutes sencilla
El meacutetodo de integracioacuten por partes estaacute basado en la derivada de un producto de funciones como se muestra a continuacioacuten
d(umiddotv) = u dv + v du
por eso es que se usa para integrales que contienen dos funciones que se multiplican entre si
intd(umiddotv) = intu dv + intv du
Se llama integracioacuten por partes porque la integral se divide en dos partes en una el integrando es u y otra en la otra es v La integral debe estar completa y sin alterar la operacioacuten dentro de ella Consejos
La funcioacuten correspondiente a dv debe ser la funcioacuten maacutes faacutecil de integrar 2- En u deben ir aquellas funciones que no tienen integral directa (funciones logariacutetmicas e inversas) luego se pueden considerar las funciones algebraicas puesto que la derivada es reductiva Las funciones trigonomeacutetricas y exponenciales son maacutes sencillas de trabajar
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRACIOacuteN POR PARTES
1-
2-
3-
4-
5-
6-
7-
8-
9-
10-
INTEGRACION POR PARTES
MATERIAL DE APOYO
VIDEOS DE INTEGRACION POR PARTES
1) httpswwwprofesor10dematescom201505integrales-por-partes-resueltashtml
2) httpwwwsietecolinasesmaterialesmatintegrales-4pdf
3) httpsgpweiztuammxfilesusersuamijdfmetodos_de_integracionintegracion_por_partesp
df
EJERCICIOS EJERCICIOS PARA RESOLVER POR PARTES
1) L=Ln
R
2) R
3) R
4) R
5) R 6) R
7) R
8) R
9) R L=Ln
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
15) R
16) R
17) R
18) R
19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
INTEGRAL RESPUESTA
26) x senx dx sen x xcos x c
27) ln x dx 1x ln x c
28)2
xx sen dx 4 2
2 2
x xsen xcos c
29) x cos nx dx 2
cos nx x sennxc
nn
30) 2 u sec u du utgu lncosu c
31) 2 3 u sen v dv 21 1 16 6
4 12 72v v sen v cos v c
32) 2 y senny dy 2
3 2
2 2cosny y senny y cosnyc
nn n
33) 2 xa dx 2
1x xa c
lna ln a
34) nx ln x dx 1 1
1 1
nx
ln x cn n
35) arc sen x dx 2 1x arc sen x x c
36) arc tg x dx 21 1
2x arc tg x ln x c
37) arc c tg y dy 21 1
2y arc c tg y ln y c
38) 2 arc cos x dx 21 2 1 4
2x arc cos x x c
39) arc sec y dy 2 1y arc sec y ln y y c
40) 2
tarc csc dt 2 2 4
2
tt arc csc ln t t c
41) x arc tg x dx 2 1
2 2
x xarc tg x c
42) arc tg x dx 1 x arc tg x x c
43) 2 xx e dx
22 2xe x x c
44) e cos d
2
esen cos c
45)
2
1
ln x dx
x 1
1
xln x ln x c
x
CAPITULO 4
FUNCIONES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
1) httpwwwmtyitesmmxetiedeptosmma-841recursostab-hippdf
2) httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCION
ES20HIPERBOLICASpdfsequence=1
FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS HIPERBOacuteLICAS
Definicioacuten de las funciones
Un ciacuterculo unitario con centro en el origen sigue la foacutermula 1yx 22 un punto dado por el par
ordenado yx se puede representar como funcioacuten de un aacutengulo t de la siguiente manera
senttcosyx De igual manera una hipeacuterbola unitaria con centro en el origen sigue la foacutermula
1yx 22 un punto dado por el par ordenado yx se puede representar como funcioacuten del aacutengulo t
de la siguiente manera senhttcoshyx Estas funciones se denominan funciones trigonomeacutetricas
hiperboacutelicas en particular coseno hiperboacutelico y seno hiperboacutelico
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas presentan propiedades anaacutelogas a las de las funciones
trigonomeacutetricas o circulares La funcioacuten xsenhxf se define como 2
eexsenh
xx mientras que
la funcioacuten xcoshxf es 2
eexcosh
xx
Al igual que las funciones trigonomeacutetricas circulares en las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas se
cumplen las siguientes identidades fundamentales
xx
xx
xx
xx
xx
xx
ee
2
xsenh
1xhcsc
ee
2
xcosh
1xhsec
ee
ee
xsenh
xcoshxcoth
ee
ee
xcosh
xsenhxtanh
Debido a esto es loacutegico pensar que habraacute una relacioacuten equivalente al Teorema de Pitaacutegoras Asiacute
para las funciones hiperboacutelicas se sabe que 1xsenhxcosh 22
Ejemplo 1
Demostrar que 1xsenhxcosh 22
11
14
4
14
2
4
2
14
ee2
4
ee2
14
eee2e
4
eee2e
12
ee
2
ee
1xsenhxcosh
xxxx
x2xxx2x2xxx2
2xx
2xx
22
Graacutefica de las funciones
Sea la funcioacuten 2
eexsenhxf
xx Las intersecciones se pueden encontrar igualando la funcioacuten
a cero
0x
0x2
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
02
ee
x2
x
x
xx
xx
xx
La funcioacuten seno hiperboacutelico tiene una sola raiacutez en x=0 Para obtener los puntos criacuteticos se iguala a
cero la derivada de la funcioacuten
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
0ee2
1
ee2
1ee
dx
d
2
1
2
ee
dx
d
dx
df
x2
x
x
xx
xx
xx
xxxxxx
por lo tanto no hay puntos criacuteticos Es interesante notar que la derivada de la funcioacuten senh(x) es la
funcioacuten cosh(x)
Por uacuteltimo puntos inflexioacuten se pueden encontrar en donde la segunda derivada es igual a cero
xxxxxx
2
2
ee2
1ee
dx
d
2
1ee
2
1
dx
d
dx
fd
La segunda derivada nos llevoacute nuevamente a la funcioacuten senh(x) Esta funcioacuten ya se igualoacute a cero
para encontrar las intersecciones El resultado es que en x=0 hay una raiacutez que a su vez es un punto
de inflexioacuten
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
La misma funcioacuten 2
eexsenhxf
xx se puede ver como la resta de dos funciones exponenciales
2
e
2
e
2
ee xxxx
La graacutefica de estas dos funciones exponenciales se muestra en azul (exponencial
positiva) y verde (exponencial negativa) La resta de ambas punto por punto es la funcioacuten senh(x)
Derivadas
ucoshdx
duusenh
dx
dxcosh
2
ee
2
ee
dx
dxsenh
dx
d xxxx
usenhdx
duucosh
dx
dxsenh
2
ee
2
ee
dx
dxcosh
dx
d xxxx
uhsecdx
duutanh
dx
d
xhsecxcosh
1
xcosh
xsenhxcosh
xcosh
senhx
dx
dxtanh
dx
d
2
2
22
22
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
uhcscdx
duucoth
dx
d
xhcscxsenh
1
xsenh
xcoshxsenh
senhx
xcosh
dx
dxcoth
dx
d 2
22
22
uhsecutanhdx
duuhsec
dx
d
hxsecxtanhxcosh
1
xcosh
senhx
xcosh
senhx
xcosh
1
dx
dxhsec
dx
d2
uhcscucothdx
duuhcsc
dx
d
hxcscxcothsenhx
1
senhx
xcosh
xsenh
xcosh
senhx
1
dx
dxhcsc
dx
d2
Ejemplo 2
Derivar la funcioacuten 3x4tanhxf 2
La funcioacuten maacutes externa es la raiacutez por lo tanto es la primera en derivarse
3x4tanh2
3x4hsecx83x4tanh
dx
d
3x4tanh2
1
dx
df
2
222
2
Ejemplo 3
Derivar la funcioacuten 2x3cosh2x3tanhlnxf 22
La funcioacuten maacutes externa es el logaritmo por lo tanto es el primero en derivarse
2x3cosh2x3tanh
2x3xsenh62x3hsecx6
dx
df22
222
Integrales
Utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se puede establecer que
cuhcscduucothuhcsc
cuhsecduutanhuhsec
cucothduuhcsc
cutanhduuhsec
cusenhduucosh
cucoshduusenh
2
2
Utilizando estas foacutermulas se pueden establecer las siguientes
Ejemplo 4
Hallar la foacutermula para la integral de la tangente hiperboacutelica
dxxcosh
xsenhdxxtanh
Se hace un cambio de variable en donde dxxsenhduxcoshu Al sustituir la integral anterior
cambia a
cxcoshlnculnu
dudx
xcosh
xsenhdxxtanh
Se puede utilizar el mismo procedimiento para hallar las siguientes foacutermulas
cusenhlnduucoth
cucoshlnduutanh
Ejemplo 5
Resolver las siguientes integrales
dxx3senhx 32
Se realiza el cambio de variable dxx9
dux3u 23 por lo tanto la integral se puede escribir como
cx3cosh9
1cucosh
9
1duusenh
9
1
9
duusenhdxx3senhx 332
dx
x
xlnhsec 2
Se realiza el cambio de variablex
dxduxlnu por lo tanto la integral se puede escribir como
cxlntanhcutanhduuhsecdx
x
xlnhsec2
2
1
0
dxxcoshxsenh
Se realiza el cambio de variable dxxsenhduxcoshu por lo tanto la integral se puede escribir
como
1x
0x
1
0
2 duudxxcoshxsenh
Sin embargo dado que u=senh(x) si x=0 entonces 02
ee0senhu
00
Cuando x=1 entonces
e2
1e
2
e
1e
2
e
1e
2
ee1senhu
2
2
11
La integral es
2
32
23
23
2
e2
1e
0
23
e2
1e
0
1x
0x
1
0
2
e2
1e
3
20
3
2
e2
1e
3
2
u3
2duuduudxxcoshxsenh
22
Inversas
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas tienen funciones inversas que comuacutenmente se denotan
como 1senh o bien como arcsenh donde la funcioacuten recibe el nombre de seno hiperboacutelico inverso
Dado que las funciones estaacuten definidas en teacuterminos de exponenciales es de esperarse que sus
inversas incluyan logaritmos naturales Se pueden definir como
1x0parax
x11lnxhsec
1xparax1
x1ln
2
1xtanh
1xpara1xxlnxcosh
1xxlnxsenh
21
1
21
21
Las derivadas e integrales de estas funciones se resuelven igual que las funciones trigonomeacutetricas
inversas
Ejemplo 6
Obtener la foacutermula para la derivada de la funcioacuten xsenhy 1
Dado que no se conoce la derivada del seno hiperboacutelico inverso pero siacute la del seno hiperboacutelico se
pueden utilizar el concepto de la funcioacuten inversa y la derivada impliacutecita para hallar la foacutermula en
cuestioacuten
ycosh
1y
1yacutecoshy
xysenh
xsenhy 1
Se sabe que 1ysenhycosh 22 por lo tanto 1ysenhycosh 22 y la funcioacuten senhy=x entonces
1xycosh 2 Al sustituir se obtiene
1x
1y
2
El mismo meacutetodo se puede utilizar para encontrar cualquiera de las siguientes foacutermulas
1u
dxdu
usenhdx
d
2
1
1u1u
dxdu
ucoshdx
d
2
1
1uu1
dxdu
utanhdx
d2
1
1u0u1u
dxdu
uhsecdx
d
2
1
Ejemplo 7
Determinar si la funcioacuten 3xxsenhxf 21 es creciente o decreciente en el punto x=2
Se debe resolver la derivada de la multiplicacioacuten
10x6x
x23xsenh
19x6x
x23xsenh
13x
x2x3xsenh
dx
df
24
221
24
221
22
21
Se busca conocer como es la funcioacuten en x=2 por lo tanto se sustituye en la derivada
773131642077
80714ln
25
8257ln
225
82257ln
50
81497ln
102416
87senh
dx
df 1
2x
La funcioacuten es creciente crece a una razoacuten de 377
Las foacutermulas para la integracioacuten salen utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo y a partir de las
foacutermulas de derivacioacuten
0aca
usenhdu
ua
1 1
22
0auca
ucoshdu
au
1 1
22
au0aca
utanh
a
1du
ua
1 1
22
au00aca
uhsec
a
1du
uau
1 1
22
Ejemplo 8
Resolver la integral
dxe25
e
x6
x3
Esta integral es como la de la tangente hiperboacutelica inversa donde 5a25a 2
dxe3
dueueu x3x3x62 Al sustituir esto en la integral
c5
etanh
15
1c
5
etanh
5
1
3
1
u25
du
3
1
u25
3du x3
1x3
1
22
Aplicaciones
La velocidad de las olas en el mar bajo ciertas condiciones depende de la longitud de onda
(distancia entre cresta y cresta) y de la profundidad del agua por donde viajan las olas h La funcioacuten
que relaciona estas variables es
h2tanh
2
gv 2
donde v es la velocidad y g es la gravedad
Suponiendo que se mantiene h constante esto es que el oleaje se propaga por un oceacuteano de
profundidad constante (50 m) determinar si la velocidad aumenta o disminuye cuando m5
h2hsec
ghh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2hsec
h2
2
gh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2tanh
2
gv
h2tanh
2
gv
2
2
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
728d
dv
5
502hsec
5
50819
5
502tanh
2
819
5
502tanh
2
58192
1
d
dv 2
Entonces para este valor de la longitud de onda y de la profundidad la velocidad de la ola va
aumentando respecto a la longitud de onda
Si se requiere ahora saber como va cambiando la velocidad de propagacioacuten del oleaje respecto a la
profundidad del mar para una longitud de onda de 5 m se deberaacute entonces derivar respecto a h Sea
una profundidad de 7 m
h2tanh
2
g2
h2hsecg
dh
dv
h2hsec
2
2
g
h2tanh
2
g2
1
dh
dv
h2tanh
2
gv
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
77
2
2
1061595
10918
5
14tanh
2
05492
5
14hsec819
dh
dv
5
72tanh
2
58192
5
72hsec819
dh
dv
Asiacute que aunque la velocidad de propagacioacuten del oleaje va aumentando respecto a la profundidad la
razoacuten de cambio es muy pequentildea
EJERCICIOS DE DERIVADAS HIPERBOLICAS
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6) R
7) R
8) AYUDA R
9) R 10) R
11) R 12) R
13) R
14)DEMOSTRAR
AYUDA
15)
AYUDA
INTEGRALES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
httpcalculoccfunciones_hiperbolicasp_integrales_hiperbhtml
httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCIONES20
HIPERBOLICASpdfsequence=1
httpseswikipediaorgwikiAnexoIntegrales_de_funciones_hiperbC3B3licas
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES HIPERBOLICAS
2)
3)
5)
6)
8)
Resolvemos ambas integrales mediante integracioacuten por partes
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 5 u = 3x
11)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 3 u = 4x
13)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = radic7 u = 5x
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION MATERIAL DE APOYO
800 INTEGRALES RESUELTAS
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_metodosproblemasp_integr_sust_trigohtml
httpsmatematicasnblogspotcom201512integracion-por-sustitucionhtml CON VIDEOS INCLUIDOS
httpsdspaceupseduecbitstream12345678961191Manual20de20fracciones20parcialespdf
httpwwwtesoemedumxalumnoscuadernillos2011011pdf
httpprofe-alexzblogspotcom201104integracion-fracciones-parcialeshtml Y VIDEOS
httpswwwsectormatematicacl rsaquo media rsaquo diferenciado rsaquo FRACCIONES P httpswwwipnmxassetsfilescecyt11docsGuiasUABasicasMatematicascalculo-integral-solucion-de-problemasPDF
httpswwwacademiaedu7708664CC381LCULO_INTEGRAL_EJERCICIOS_RESUELTOS_PASO_A_PASO
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1 Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de
variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de
la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que
contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe
ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
3
- 21 x
4
6 Otras integrales
1
2
3
4
5
EJERCICIOS 2
I) RESOLVER LAS SIGUIENTES INTEGRALES INDEFINIDAS Y VERIFIQUE SU
RESPUESTA REALIZANDO LA DERIVADA
II) EVALUE LA INTEGRAL INDEFINIDA DADA USANDO UNA SUSTITUCION IDONEA
62)Problemas de integrales
1Hallar una funcioacuten F(x) cuya derivada sea f(x) = x + 6 y tal que para x = 2
tome el valor 25
RESPUESTA
2De las inf in itas funciones primitivas de la funcioacuten y = xsup2 - x + 1 iquestcuaacutel
es la que para x = 3 toma el valor 5
RESPUESTA
3Hallar una recta cuya pendiente es 2 y pasa por eacutel punto P(0 4)
RESPUESTA f(x) = 2x + 4
4Escribe la funcioacuten primitiva de y = xsup2 + 2x cuya representacioacuten graacutef ica pasa
por eacutel punto (1 3)
RESPUESTA
5Calcular la ecuacioacuten de la curva que pasa por P(1 5) y cuya pendiente en cualquier punto es
3xsup2 + 5x minus 2
RESPUESTA
6Hallar la primitiva de la funcioacuten que se anula para x = 2
RESPUESTA
CAPITULO 3
INTEGRACION POR PARTES
Definicioacuten
Existen varios meacutetodos de integracioacuten consistiendo todos ellos en reducir la integral buscada a una inteacutegrala conocida como por ejemplo una de las de la tabla o bien reducirla una integral maacutes sencilla
El meacutetodo de integracioacuten por partes estaacute basado en la derivada de un producto de funciones como se muestra a continuacioacuten
d(umiddotv) = u dv + v du
por eso es que se usa para integrales que contienen dos funciones que se multiplican entre si
intd(umiddotv) = intu dv + intv du
Se llama integracioacuten por partes porque la integral se divide en dos partes en una el integrando es u y otra en la otra es v La integral debe estar completa y sin alterar la operacioacuten dentro de ella Consejos
La funcioacuten correspondiente a dv debe ser la funcioacuten maacutes faacutecil de integrar 2- En u deben ir aquellas funciones que no tienen integral directa (funciones logariacutetmicas e inversas) luego se pueden considerar las funciones algebraicas puesto que la derivada es reductiva Las funciones trigonomeacutetricas y exponenciales son maacutes sencillas de trabajar
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRACIOacuteN POR PARTES
1-
2-
3-
4-
5-
6-
7-
8-
9-
10-
INTEGRACION POR PARTES
MATERIAL DE APOYO
VIDEOS DE INTEGRACION POR PARTES
1) httpswwwprofesor10dematescom201505integrales-por-partes-resueltashtml
2) httpwwwsietecolinasesmaterialesmatintegrales-4pdf
3) httpsgpweiztuammxfilesusersuamijdfmetodos_de_integracionintegracion_por_partesp
df
EJERCICIOS EJERCICIOS PARA RESOLVER POR PARTES
1) L=Ln
R
2) R
3) R
4) R
5) R 6) R
7) R
8) R
9) R L=Ln
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
15) R
16) R
17) R
18) R
19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
INTEGRAL RESPUESTA
26) x senx dx sen x xcos x c
27) ln x dx 1x ln x c
28)2
xx sen dx 4 2
2 2
x xsen xcos c
29) x cos nx dx 2
cos nx x sennxc
nn
30) 2 u sec u du utgu lncosu c
31) 2 3 u sen v dv 21 1 16 6
4 12 72v v sen v cos v c
32) 2 y senny dy 2
3 2
2 2cosny y senny y cosnyc
nn n
33) 2 xa dx 2
1x xa c
lna ln a
34) nx ln x dx 1 1
1 1
nx
ln x cn n
35) arc sen x dx 2 1x arc sen x x c
36) arc tg x dx 21 1
2x arc tg x ln x c
37) arc c tg y dy 21 1
2y arc c tg y ln y c
38) 2 arc cos x dx 21 2 1 4
2x arc cos x x c
39) arc sec y dy 2 1y arc sec y ln y y c
40) 2
tarc csc dt 2 2 4
2
tt arc csc ln t t c
41) x arc tg x dx 2 1
2 2
x xarc tg x c
42) arc tg x dx 1 x arc tg x x c
43) 2 xx e dx
22 2xe x x c
44) e cos d
2
esen cos c
45)
2
1
ln x dx
x 1
1
xln x ln x c
x
CAPITULO 4
FUNCIONES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
1) httpwwwmtyitesmmxetiedeptosmma-841recursostab-hippdf
2) httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCION
ES20HIPERBOLICASpdfsequence=1
FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS HIPERBOacuteLICAS
Definicioacuten de las funciones
Un ciacuterculo unitario con centro en el origen sigue la foacutermula 1yx 22 un punto dado por el par
ordenado yx se puede representar como funcioacuten de un aacutengulo t de la siguiente manera
senttcosyx De igual manera una hipeacuterbola unitaria con centro en el origen sigue la foacutermula
1yx 22 un punto dado por el par ordenado yx se puede representar como funcioacuten del aacutengulo t
de la siguiente manera senhttcoshyx Estas funciones se denominan funciones trigonomeacutetricas
hiperboacutelicas en particular coseno hiperboacutelico y seno hiperboacutelico
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas presentan propiedades anaacutelogas a las de las funciones
trigonomeacutetricas o circulares La funcioacuten xsenhxf se define como 2
eexsenh
xx mientras que
la funcioacuten xcoshxf es 2
eexcosh
xx
Al igual que las funciones trigonomeacutetricas circulares en las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas se
cumplen las siguientes identidades fundamentales
xx
xx
xx
xx
xx
xx
ee
2
xsenh
1xhcsc
ee
2
xcosh
1xhsec
ee
ee
xsenh
xcoshxcoth
ee
ee
xcosh
xsenhxtanh
Debido a esto es loacutegico pensar que habraacute una relacioacuten equivalente al Teorema de Pitaacutegoras Asiacute
para las funciones hiperboacutelicas se sabe que 1xsenhxcosh 22
Ejemplo 1
Demostrar que 1xsenhxcosh 22
11
14
4
14
2
4
2
14
ee2
4
ee2
14
eee2e
4
eee2e
12
ee
2
ee
1xsenhxcosh
xxxx
x2xxx2x2xxx2
2xx
2xx
22
Graacutefica de las funciones
Sea la funcioacuten 2
eexsenhxf
xx Las intersecciones se pueden encontrar igualando la funcioacuten
a cero
0x
0x2
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
02
ee
x2
x
x
xx
xx
xx
La funcioacuten seno hiperboacutelico tiene una sola raiacutez en x=0 Para obtener los puntos criacuteticos se iguala a
cero la derivada de la funcioacuten
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
0ee2
1
ee2
1ee
dx
d
2
1
2
ee
dx
d
dx
df
x2
x
x
xx
xx
xx
xxxxxx
por lo tanto no hay puntos criacuteticos Es interesante notar que la derivada de la funcioacuten senh(x) es la
funcioacuten cosh(x)
Por uacuteltimo puntos inflexioacuten se pueden encontrar en donde la segunda derivada es igual a cero
xxxxxx
2
2
ee2
1ee
dx
d
2
1ee
2
1
dx
d
dx
fd
La segunda derivada nos llevoacute nuevamente a la funcioacuten senh(x) Esta funcioacuten ya se igualoacute a cero
para encontrar las intersecciones El resultado es que en x=0 hay una raiacutez que a su vez es un punto
de inflexioacuten
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
La misma funcioacuten 2
eexsenhxf
xx se puede ver como la resta de dos funciones exponenciales
2
e
2
e
2
ee xxxx
La graacutefica de estas dos funciones exponenciales se muestra en azul (exponencial
positiva) y verde (exponencial negativa) La resta de ambas punto por punto es la funcioacuten senh(x)
Derivadas
ucoshdx
duusenh
dx
dxcosh
2
ee
2
ee
dx
dxsenh
dx
d xxxx
usenhdx
duucosh
dx
dxsenh
2
ee
2
ee
dx
dxcosh
dx
d xxxx
uhsecdx
duutanh
dx
d
xhsecxcosh
1
xcosh
xsenhxcosh
xcosh
senhx
dx
dxtanh
dx
d
2
2
22
22
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
uhcscdx
duucoth
dx
d
xhcscxsenh
1
xsenh
xcoshxsenh
senhx
xcosh
dx
dxcoth
dx
d 2
22
22
uhsecutanhdx
duuhsec
dx
d
hxsecxtanhxcosh
1
xcosh
senhx
xcosh
senhx
xcosh
1
dx
dxhsec
dx
d2
uhcscucothdx
duuhcsc
dx
d
hxcscxcothsenhx
1
senhx
xcosh
xsenh
xcosh
senhx
1
dx
dxhcsc
dx
d2
Ejemplo 2
Derivar la funcioacuten 3x4tanhxf 2
La funcioacuten maacutes externa es la raiacutez por lo tanto es la primera en derivarse
3x4tanh2
3x4hsecx83x4tanh
dx
d
3x4tanh2
1
dx
df
2
222
2
Ejemplo 3
Derivar la funcioacuten 2x3cosh2x3tanhlnxf 22
La funcioacuten maacutes externa es el logaritmo por lo tanto es el primero en derivarse
2x3cosh2x3tanh
2x3xsenh62x3hsecx6
dx
df22
222
Integrales
Utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se puede establecer que
cuhcscduucothuhcsc
cuhsecduutanhuhsec
cucothduuhcsc
cutanhduuhsec
cusenhduucosh
cucoshduusenh
2
2
Utilizando estas foacutermulas se pueden establecer las siguientes
Ejemplo 4
Hallar la foacutermula para la integral de la tangente hiperboacutelica
dxxcosh
xsenhdxxtanh
Se hace un cambio de variable en donde dxxsenhduxcoshu Al sustituir la integral anterior
cambia a
cxcoshlnculnu
dudx
xcosh
xsenhdxxtanh
Se puede utilizar el mismo procedimiento para hallar las siguientes foacutermulas
cusenhlnduucoth
cucoshlnduutanh
Ejemplo 5
Resolver las siguientes integrales
dxx3senhx 32
Se realiza el cambio de variable dxx9
dux3u 23 por lo tanto la integral se puede escribir como
cx3cosh9
1cucosh
9
1duusenh
9
1
9
duusenhdxx3senhx 332
dx
x
xlnhsec 2
Se realiza el cambio de variablex
dxduxlnu por lo tanto la integral se puede escribir como
cxlntanhcutanhduuhsecdx
x
xlnhsec2
2
1
0
dxxcoshxsenh
Se realiza el cambio de variable dxxsenhduxcoshu por lo tanto la integral se puede escribir
como
1x
0x
1
0
2 duudxxcoshxsenh
Sin embargo dado que u=senh(x) si x=0 entonces 02
ee0senhu
00
Cuando x=1 entonces
e2
1e
2
e
1e
2
e
1e
2
ee1senhu
2
2
11
La integral es
2
32
23
23
2
e2
1e
0
23
e2
1e
0
1x
0x
1
0
2
e2
1e
3
20
3
2
e2
1e
3
2
u3
2duuduudxxcoshxsenh
22
Inversas
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas tienen funciones inversas que comuacutenmente se denotan
como 1senh o bien como arcsenh donde la funcioacuten recibe el nombre de seno hiperboacutelico inverso
Dado que las funciones estaacuten definidas en teacuterminos de exponenciales es de esperarse que sus
inversas incluyan logaritmos naturales Se pueden definir como
1x0parax
x11lnxhsec
1xparax1
x1ln
2
1xtanh
1xpara1xxlnxcosh
1xxlnxsenh
21
1
21
21
Las derivadas e integrales de estas funciones se resuelven igual que las funciones trigonomeacutetricas
inversas
Ejemplo 6
Obtener la foacutermula para la derivada de la funcioacuten xsenhy 1
Dado que no se conoce la derivada del seno hiperboacutelico inverso pero siacute la del seno hiperboacutelico se
pueden utilizar el concepto de la funcioacuten inversa y la derivada impliacutecita para hallar la foacutermula en
cuestioacuten
ycosh
1y
1yacutecoshy
xysenh
xsenhy 1
Se sabe que 1ysenhycosh 22 por lo tanto 1ysenhycosh 22 y la funcioacuten senhy=x entonces
1xycosh 2 Al sustituir se obtiene
1x
1y
2
El mismo meacutetodo se puede utilizar para encontrar cualquiera de las siguientes foacutermulas
1u
dxdu
usenhdx
d
2
1
1u1u
dxdu
ucoshdx
d
2
1
1uu1
dxdu
utanhdx
d2
1
1u0u1u
dxdu
uhsecdx
d
2
1
Ejemplo 7
Determinar si la funcioacuten 3xxsenhxf 21 es creciente o decreciente en el punto x=2
Se debe resolver la derivada de la multiplicacioacuten
10x6x
x23xsenh
19x6x
x23xsenh
13x
x2x3xsenh
dx
df
24
221
24
221
22
21
Se busca conocer como es la funcioacuten en x=2 por lo tanto se sustituye en la derivada
773131642077
80714ln
25
8257ln
225
82257ln
50
81497ln
102416
87senh
dx
df 1
2x
La funcioacuten es creciente crece a una razoacuten de 377
Las foacutermulas para la integracioacuten salen utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo y a partir de las
foacutermulas de derivacioacuten
0aca
usenhdu
ua
1 1
22
0auca
ucoshdu
au
1 1
22
au0aca
utanh
a
1du
ua
1 1
22
au00aca
uhsec
a
1du
uau
1 1
22
Ejemplo 8
Resolver la integral
dxe25
e
x6
x3
Esta integral es como la de la tangente hiperboacutelica inversa donde 5a25a 2
dxe3
dueueu x3x3x62 Al sustituir esto en la integral
c5
etanh
15
1c
5
etanh
5
1
3
1
u25
du
3
1
u25
3du x3
1x3
1
22
Aplicaciones
La velocidad de las olas en el mar bajo ciertas condiciones depende de la longitud de onda
(distancia entre cresta y cresta) y de la profundidad del agua por donde viajan las olas h La funcioacuten
que relaciona estas variables es
h2tanh
2
gv 2
donde v es la velocidad y g es la gravedad
Suponiendo que se mantiene h constante esto es que el oleaje se propaga por un oceacuteano de
profundidad constante (50 m) determinar si la velocidad aumenta o disminuye cuando m5
h2hsec
ghh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2hsec
h2
2
gh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2tanh
2
gv
h2tanh
2
gv
2
2
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
728d
dv
5
502hsec
5
50819
5
502tanh
2
819
5
502tanh
2
58192
1
d
dv 2
Entonces para este valor de la longitud de onda y de la profundidad la velocidad de la ola va
aumentando respecto a la longitud de onda
Si se requiere ahora saber como va cambiando la velocidad de propagacioacuten del oleaje respecto a la
profundidad del mar para una longitud de onda de 5 m se deberaacute entonces derivar respecto a h Sea
una profundidad de 7 m
h2tanh
2
g2
h2hsecg
dh
dv
h2hsec
2
2
g
h2tanh
2
g2
1
dh
dv
h2tanh
2
gv
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
77
2
2
1061595
10918
5
14tanh
2
05492
5
14hsec819
dh
dv
5
72tanh
2
58192
5
72hsec819
dh
dv
Asiacute que aunque la velocidad de propagacioacuten del oleaje va aumentando respecto a la profundidad la
razoacuten de cambio es muy pequentildea
EJERCICIOS DE DERIVADAS HIPERBOLICAS
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6) R
7) R
8) AYUDA R
9) R 10) R
11) R 12) R
13) R
14)DEMOSTRAR
AYUDA
15)
AYUDA
INTEGRALES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
httpcalculoccfunciones_hiperbolicasp_integrales_hiperbhtml
httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCIONES20
HIPERBOLICASpdfsequence=1
httpseswikipediaorgwikiAnexoIntegrales_de_funciones_hiperbC3B3licas
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES HIPERBOLICAS
2)
3)
5)
6)
8)
Resolvemos ambas integrales mediante integracioacuten por partes
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 5 u = 3x
11)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 3 u = 4x
13)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = radic7 u = 5x
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION MATERIAL DE APOYO
800 INTEGRALES RESUELTAS
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_metodosproblemasp_integr_sust_trigohtml
httpsmatematicasnblogspotcom201512integracion-por-sustitucionhtml CON VIDEOS INCLUIDOS
httpsdspaceupseduecbitstream12345678961191Manual20de20fracciones20parcialespdf
httpwwwtesoemedumxalumnoscuadernillos2011011pdf
httpprofe-alexzblogspotcom201104integracion-fracciones-parcialeshtml Y VIDEOS
httpswwwsectormatematicacl rsaquo media rsaquo diferenciado rsaquo FRACCIONES P httpswwwipnmxassetsfilescecyt11docsGuiasUABasicasMatematicascalculo-integral-solucion-de-problemasPDF
httpswwwacademiaedu7708664CC381LCULO_INTEGRAL_EJERCICIOS_RESUELTOS_PASO_A_PASO
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1 Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de
variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de
la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que
contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe
ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
3
4
5
EJERCICIOS 2
I) RESOLVER LAS SIGUIENTES INTEGRALES INDEFINIDAS Y VERIFIQUE SU
RESPUESTA REALIZANDO LA DERIVADA
II) EVALUE LA INTEGRAL INDEFINIDA DADA USANDO UNA SUSTITUCION IDONEA
62)Problemas de integrales
1Hallar una funcioacuten F(x) cuya derivada sea f(x) = x + 6 y tal que para x = 2
tome el valor 25
RESPUESTA
2De las inf in itas funciones primitivas de la funcioacuten y = xsup2 - x + 1 iquestcuaacutel
es la que para x = 3 toma el valor 5
RESPUESTA
3Hallar una recta cuya pendiente es 2 y pasa por eacutel punto P(0 4)
RESPUESTA f(x) = 2x + 4
4Escribe la funcioacuten primitiva de y = xsup2 + 2x cuya representacioacuten graacutef ica pasa
por eacutel punto (1 3)
RESPUESTA
5Calcular la ecuacioacuten de la curva que pasa por P(1 5) y cuya pendiente en cualquier punto es
3xsup2 + 5x minus 2
RESPUESTA
6Hallar la primitiva de la funcioacuten que se anula para x = 2
RESPUESTA
CAPITULO 3
INTEGRACION POR PARTES
Definicioacuten
Existen varios meacutetodos de integracioacuten consistiendo todos ellos en reducir la integral buscada a una inteacutegrala conocida como por ejemplo una de las de la tabla o bien reducirla una integral maacutes sencilla
El meacutetodo de integracioacuten por partes estaacute basado en la derivada de un producto de funciones como se muestra a continuacioacuten
d(umiddotv) = u dv + v du
por eso es que se usa para integrales que contienen dos funciones que se multiplican entre si
intd(umiddotv) = intu dv + intv du
Se llama integracioacuten por partes porque la integral se divide en dos partes en una el integrando es u y otra en la otra es v La integral debe estar completa y sin alterar la operacioacuten dentro de ella Consejos
La funcioacuten correspondiente a dv debe ser la funcioacuten maacutes faacutecil de integrar 2- En u deben ir aquellas funciones que no tienen integral directa (funciones logariacutetmicas e inversas) luego se pueden considerar las funciones algebraicas puesto que la derivada es reductiva Las funciones trigonomeacutetricas y exponenciales son maacutes sencillas de trabajar
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRACIOacuteN POR PARTES
1-
2-
3-
4-
5-
6-
7-
8-
9-
10-
INTEGRACION POR PARTES
MATERIAL DE APOYO
VIDEOS DE INTEGRACION POR PARTES
1) httpswwwprofesor10dematescom201505integrales-por-partes-resueltashtml
2) httpwwwsietecolinasesmaterialesmatintegrales-4pdf
3) httpsgpweiztuammxfilesusersuamijdfmetodos_de_integracionintegracion_por_partesp
df
EJERCICIOS EJERCICIOS PARA RESOLVER POR PARTES
1) L=Ln
R
2) R
3) R
4) R
5) R 6) R
7) R
8) R
9) R L=Ln
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
15) R
16) R
17) R
18) R
19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
INTEGRAL RESPUESTA
26) x senx dx sen x xcos x c
27) ln x dx 1x ln x c
28)2
xx sen dx 4 2
2 2
x xsen xcos c
29) x cos nx dx 2
cos nx x sennxc
nn
30) 2 u sec u du utgu lncosu c
31) 2 3 u sen v dv 21 1 16 6
4 12 72v v sen v cos v c
32) 2 y senny dy 2
3 2
2 2cosny y senny y cosnyc
nn n
33) 2 xa dx 2
1x xa c
lna ln a
34) nx ln x dx 1 1
1 1
nx
ln x cn n
35) arc sen x dx 2 1x arc sen x x c
36) arc tg x dx 21 1
2x arc tg x ln x c
37) arc c tg y dy 21 1
2y arc c tg y ln y c
38) 2 arc cos x dx 21 2 1 4
2x arc cos x x c
39) arc sec y dy 2 1y arc sec y ln y y c
40) 2
tarc csc dt 2 2 4
2
tt arc csc ln t t c
41) x arc tg x dx 2 1
2 2
x xarc tg x c
42) arc tg x dx 1 x arc tg x x c
43) 2 xx e dx
22 2xe x x c
44) e cos d
2
esen cos c
45)
2
1
ln x dx
x 1
1
xln x ln x c
x
CAPITULO 4
FUNCIONES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
1) httpwwwmtyitesmmxetiedeptosmma-841recursostab-hippdf
2) httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCION
ES20HIPERBOLICASpdfsequence=1
FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS HIPERBOacuteLICAS
Definicioacuten de las funciones
Un ciacuterculo unitario con centro en el origen sigue la foacutermula 1yx 22 un punto dado por el par
ordenado yx se puede representar como funcioacuten de un aacutengulo t de la siguiente manera
senttcosyx De igual manera una hipeacuterbola unitaria con centro en el origen sigue la foacutermula
1yx 22 un punto dado por el par ordenado yx se puede representar como funcioacuten del aacutengulo t
de la siguiente manera senhttcoshyx Estas funciones se denominan funciones trigonomeacutetricas
hiperboacutelicas en particular coseno hiperboacutelico y seno hiperboacutelico
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas presentan propiedades anaacutelogas a las de las funciones
trigonomeacutetricas o circulares La funcioacuten xsenhxf se define como 2
eexsenh
xx mientras que
la funcioacuten xcoshxf es 2
eexcosh
xx
Al igual que las funciones trigonomeacutetricas circulares en las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas se
cumplen las siguientes identidades fundamentales
xx
xx
xx
xx
xx
xx
ee
2
xsenh
1xhcsc
ee
2
xcosh
1xhsec
ee
ee
xsenh
xcoshxcoth
ee
ee
xcosh
xsenhxtanh
Debido a esto es loacutegico pensar que habraacute una relacioacuten equivalente al Teorema de Pitaacutegoras Asiacute
para las funciones hiperboacutelicas se sabe que 1xsenhxcosh 22
Ejemplo 1
Demostrar que 1xsenhxcosh 22
11
14
4
14
2
4
2
14
ee2
4
ee2
14
eee2e
4
eee2e
12
ee
2
ee
1xsenhxcosh
xxxx
x2xxx2x2xxx2
2xx
2xx
22
Graacutefica de las funciones
Sea la funcioacuten 2
eexsenhxf
xx Las intersecciones se pueden encontrar igualando la funcioacuten
a cero
0x
0x2
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
02
ee
x2
x
x
xx
xx
xx
La funcioacuten seno hiperboacutelico tiene una sola raiacutez en x=0 Para obtener los puntos criacuteticos se iguala a
cero la derivada de la funcioacuten
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
0ee2
1
ee2
1ee
dx
d
2
1
2
ee
dx
d
dx
df
x2
x
x
xx
xx
xx
xxxxxx
por lo tanto no hay puntos criacuteticos Es interesante notar que la derivada de la funcioacuten senh(x) es la
funcioacuten cosh(x)
Por uacuteltimo puntos inflexioacuten se pueden encontrar en donde la segunda derivada es igual a cero
xxxxxx
2
2
ee2
1ee
dx
d
2
1ee
2
1
dx
d
dx
fd
La segunda derivada nos llevoacute nuevamente a la funcioacuten senh(x) Esta funcioacuten ya se igualoacute a cero
para encontrar las intersecciones El resultado es que en x=0 hay una raiacutez que a su vez es un punto
de inflexioacuten
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
La misma funcioacuten 2
eexsenhxf
xx se puede ver como la resta de dos funciones exponenciales
2
e
2
e
2
ee xxxx
La graacutefica de estas dos funciones exponenciales se muestra en azul (exponencial
positiva) y verde (exponencial negativa) La resta de ambas punto por punto es la funcioacuten senh(x)
Derivadas
ucoshdx
duusenh
dx
dxcosh
2
ee
2
ee
dx
dxsenh
dx
d xxxx
usenhdx
duucosh
dx
dxsenh
2
ee
2
ee
dx
dxcosh
dx
d xxxx
uhsecdx
duutanh
dx
d
xhsecxcosh
1
xcosh
xsenhxcosh
xcosh
senhx
dx
dxtanh
dx
d
2
2
22
22
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
uhcscdx
duucoth
dx
d
xhcscxsenh
1
xsenh
xcoshxsenh
senhx
xcosh
dx
dxcoth
dx
d 2
22
22
uhsecutanhdx
duuhsec
dx
d
hxsecxtanhxcosh
1
xcosh
senhx
xcosh
senhx
xcosh
1
dx
dxhsec
dx
d2
uhcscucothdx
duuhcsc
dx
d
hxcscxcothsenhx
1
senhx
xcosh
xsenh
xcosh
senhx
1
dx
dxhcsc
dx
d2
Ejemplo 2
Derivar la funcioacuten 3x4tanhxf 2
La funcioacuten maacutes externa es la raiacutez por lo tanto es la primera en derivarse
3x4tanh2
3x4hsecx83x4tanh
dx
d
3x4tanh2
1
dx
df
2
222
2
Ejemplo 3
Derivar la funcioacuten 2x3cosh2x3tanhlnxf 22
La funcioacuten maacutes externa es el logaritmo por lo tanto es el primero en derivarse
2x3cosh2x3tanh
2x3xsenh62x3hsecx6
dx
df22
222
Integrales
Utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se puede establecer que
cuhcscduucothuhcsc
cuhsecduutanhuhsec
cucothduuhcsc
cutanhduuhsec
cusenhduucosh
cucoshduusenh
2
2
Utilizando estas foacutermulas se pueden establecer las siguientes
Ejemplo 4
Hallar la foacutermula para la integral de la tangente hiperboacutelica
dxxcosh
xsenhdxxtanh
Se hace un cambio de variable en donde dxxsenhduxcoshu Al sustituir la integral anterior
cambia a
cxcoshlnculnu
dudx
xcosh
xsenhdxxtanh
Se puede utilizar el mismo procedimiento para hallar las siguientes foacutermulas
cusenhlnduucoth
cucoshlnduutanh
Ejemplo 5
Resolver las siguientes integrales
dxx3senhx 32
Se realiza el cambio de variable dxx9
dux3u 23 por lo tanto la integral se puede escribir como
cx3cosh9
1cucosh
9
1duusenh
9
1
9
duusenhdxx3senhx 332
dx
x
xlnhsec 2
Se realiza el cambio de variablex
dxduxlnu por lo tanto la integral se puede escribir como
cxlntanhcutanhduuhsecdx
x
xlnhsec2
2
1
0
dxxcoshxsenh
Se realiza el cambio de variable dxxsenhduxcoshu por lo tanto la integral se puede escribir
como
1x
0x
1
0
2 duudxxcoshxsenh
Sin embargo dado que u=senh(x) si x=0 entonces 02
ee0senhu
00
Cuando x=1 entonces
e2
1e
2
e
1e
2
e
1e
2
ee1senhu
2
2
11
La integral es
2
32
23
23
2
e2
1e
0
23
e2
1e
0
1x
0x
1
0
2
e2
1e
3
20
3
2
e2
1e
3
2
u3
2duuduudxxcoshxsenh
22
Inversas
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas tienen funciones inversas que comuacutenmente se denotan
como 1senh o bien como arcsenh donde la funcioacuten recibe el nombre de seno hiperboacutelico inverso
Dado que las funciones estaacuten definidas en teacuterminos de exponenciales es de esperarse que sus
inversas incluyan logaritmos naturales Se pueden definir como
1x0parax
x11lnxhsec
1xparax1
x1ln
2
1xtanh
1xpara1xxlnxcosh
1xxlnxsenh
21
1
21
21
Las derivadas e integrales de estas funciones se resuelven igual que las funciones trigonomeacutetricas
inversas
Ejemplo 6
Obtener la foacutermula para la derivada de la funcioacuten xsenhy 1
Dado que no se conoce la derivada del seno hiperboacutelico inverso pero siacute la del seno hiperboacutelico se
pueden utilizar el concepto de la funcioacuten inversa y la derivada impliacutecita para hallar la foacutermula en
cuestioacuten
ycosh
1y
1yacutecoshy
xysenh
xsenhy 1
Se sabe que 1ysenhycosh 22 por lo tanto 1ysenhycosh 22 y la funcioacuten senhy=x entonces
1xycosh 2 Al sustituir se obtiene
1x
1y
2
El mismo meacutetodo se puede utilizar para encontrar cualquiera de las siguientes foacutermulas
1u
dxdu
usenhdx
d
2
1
1u1u
dxdu
ucoshdx
d
2
1
1uu1
dxdu
utanhdx
d2
1
1u0u1u
dxdu
uhsecdx
d
2
1
Ejemplo 7
Determinar si la funcioacuten 3xxsenhxf 21 es creciente o decreciente en el punto x=2
Se debe resolver la derivada de la multiplicacioacuten
10x6x
x23xsenh
19x6x
x23xsenh
13x
x2x3xsenh
dx
df
24
221
24
221
22
21
Se busca conocer como es la funcioacuten en x=2 por lo tanto se sustituye en la derivada
773131642077
80714ln
25
8257ln
225
82257ln
50
81497ln
102416
87senh
dx
df 1
2x
La funcioacuten es creciente crece a una razoacuten de 377
Las foacutermulas para la integracioacuten salen utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo y a partir de las
foacutermulas de derivacioacuten
0aca
usenhdu
ua
1 1
22
0auca
ucoshdu
au
1 1
22
au0aca
utanh
a
1du
ua
1 1
22
au00aca
uhsec
a
1du
uau
1 1
22
Ejemplo 8
Resolver la integral
dxe25
e
x6
x3
Esta integral es como la de la tangente hiperboacutelica inversa donde 5a25a 2
dxe3
dueueu x3x3x62 Al sustituir esto en la integral
c5
etanh
15
1c
5
etanh
5
1
3
1
u25
du
3
1
u25
3du x3
1x3
1
22
Aplicaciones
La velocidad de las olas en el mar bajo ciertas condiciones depende de la longitud de onda
(distancia entre cresta y cresta) y de la profundidad del agua por donde viajan las olas h La funcioacuten
que relaciona estas variables es
h2tanh
2
gv 2
donde v es la velocidad y g es la gravedad
Suponiendo que se mantiene h constante esto es que el oleaje se propaga por un oceacuteano de
profundidad constante (50 m) determinar si la velocidad aumenta o disminuye cuando m5
h2hsec
ghh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2hsec
h2
2
gh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2tanh
2
gv
h2tanh
2
gv
2
2
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
728d
dv
5
502hsec
5
50819
5
502tanh
2
819
5
502tanh
2
58192
1
d
dv 2
Entonces para este valor de la longitud de onda y de la profundidad la velocidad de la ola va
aumentando respecto a la longitud de onda
Si se requiere ahora saber como va cambiando la velocidad de propagacioacuten del oleaje respecto a la
profundidad del mar para una longitud de onda de 5 m se deberaacute entonces derivar respecto a h Sea
una profundidad de 7 m
h2tanh
2
g2
h2hsecg
dh
dv
h2hsec
2
2
g
h2tanh
2
g2
1
dh
dv
h2tanh
2
gv
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
77
2
2
1061595
10918
5
14tanh
2
05492
5
14hsec819
dh
dv
5
72tanh
2
58192
5
72hsec819
dh
dv
Asiacute que aunque la velocidad de propagacioacuten del oleaje va aumentando respecto a la profundidad la
razoacuten de cambio es muy pequentildea
EJERCICIOS DE DERIVADAS HIPERBOLICAS
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6) R
7) R
8) AYUDA R
9) R 10) R
11) R 12) R
13) R
14)DEMOSTRAR
AYUDA
15)
AYUDA
INTEGRALES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
httpcalculoccfunciones_hiperbolicasp_integrales_hiperbhtml
httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCIONES20
HIPERBOLICASpdfsequence=1
httpseswikipediaorgwikiAnexoIntegrales_de_funciones_hiperbC3B3licas
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES HIPERBOLICAS
2)
3)
5)
6)
8)
Resolvemos ambas integrales mediante integracioacuten por partes
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 5 u = 3x
11)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 3 u = 4x
13)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = radic7 u = 5x
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION MATERIAL DE APOYO
800 INTEGRALES RESUELTAS
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_metodosproblemasp_integr_sust_trigohtml
httpsmatematicasnblogspotcom201512integracion-por-sustitucionhtml CON VIDEOS INCLUIDOS
httpsdspaceupseduecbitstream12345678961191Manual20de20fracciones20parcialespdf
httpwwwtesoemedumxalumnoscuadernillos2011011pdf
httpprofe-alexzblogspotcom201104integracion-fracciones-parcialeshtml Y VIDEOS
httpswwwsectormatematicacl rsaquo media rsaquo diferenciado rsaquo FRACCIONES P httpswwwipnmxassetsfilescecyt11docsGuiasUABasicasMatematicascalculo-integral-solucion-de-problemasPDF
httpswwwacademiaedu7708664CC381LCULO_INTEGRAL_EJERCICIOS_RESUELTOS_PASO_A_PASO
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1 Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de
variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de
la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que
contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe
ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
EJERCICIOS 2
I) RESOLVER LAS SIGUIENTES INTEGRALES INDEFINIDAS Y VERIFIQUE SU
RESPUESTA REALIZANDO LA DERIVADA
II) EVALUE LA INTEGRAL INDEFINIDA DADA USANDO UNA SUSTITUCION IDONEA
62)Problemas de integrales
1Hallar una funcioacuten F(x) cuya derivada sea f(x) = x + 6 y tal que para x = 2
tome el valor 25
RESPUESTA
2De las inf in itas funciones primitivas de la funcioacuten y = xsup2 - x + 1 iquestcuaacutel
es la que para x = 3 toma el valor 5
RESPUESTA
3Hallar una recta cuya pendiente es 2 y pasa por eacutel punto P(0 4)
RESPUESTA f(x) = 2x + 4
4Escribe la funcioacuten primitiva de y = xsup2 + 2x cuya representacioacuten graacutef ica pasa
por eacutel punto (1 3)
RESPUESTA
5Calcular la ecuacioacuten de la curva que pasa por P(1 5) y cuya pendiente en cualquier punto es
3xsup2 + 5x minus 2
RESPUESTA
6Hallar la primitiva de la funcioacuten que se anula para x = 2
RESPUESTA
CAPITULO 3
INTEGRACION POR PARTES
Definicioacuten
Existen varios meacutetodos de integracioacuten consistiendo todos ellos en reducir la integral buscada a una inteacutegrala conocida como por ejemplo una de las de la tabla o bien reducirla una integral maacutes sencilla
El meacutetodo de integracioacuten por partes estaacute basado en la derivada de un producto de funciones como se muestra a continuacioacuten
d(umiddotv) = u dv + v du
por eso es que se usa para integrales que contienen dos funciones que se multiplican entre si
intd(umiddotv) = intu dv + intv du
Se llama integracioacuten por partes porque la integral se divide en dos partes en una el integrando es u y otra en la otra es v La integral debe estar completa y sin alterar la operacioacuten dentro de ella Consejos
La funcioacuten correspondiente a dv debe ser la funcioacuten maacutes faacutecil de integrar 2- En u deben ir aquellas funciones que no tienen integral directa (funciones logariacutetmicas e inversas) luego se pueden considerar las funciones algebraicas puesto que la derivada es reductiva Las funciones trigonomeacutetricas y exponenciales son maacutes sencillas de trabajar
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRACIOacuteN POR PARTES
1-
2-
3-
4-
5-
6-
7-
8-
9-
10-
INTEGRACION POR PARTES
MATERIAL DE APOYO
VIDEOS DE INTEGRACION POR PARTES
1) httpswwwprofesor10dematescom201505integrales-por-partes-resueltashtml
2) httpwwwsietecolinasesmaterialesmatintegrales-4pdf
3) httpsgpweiztuammxfilesusersuamijdfmetodos_de_integracionintegracion_por_partesp
df
EJERCICIOS EJERCICIOS PARA RESOLVER POR PARTES
1) L=Ln
R
2) R
3) R
4) R
5) R 6) R
7) R
8) R
9) R L=Ln
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
15) R
16) R
17) R
18) R
19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
INTEGRAL RESPUESTA
26) x senx dx sen x xcos x c
27) ln x dx 1x ln x c
28)2
xx sen dx 4 2
2 2
x xsen xcos c
29) x cos nx dx 2
cos nx x sennxc
nn
30) 2 u sec u du utgu lncosu c
31) 2 3 u sen v dv 21 1 16 6
4 12 72v v sen v cos v c
32) 2 y senny dy 2
3 2
2 2cosny y senny y cosnyc
nn n
33) 2 xa dx 2
1x xa c
lna ln a
34) nx ln x dx 1 1
1 1
nx
ln x cn n
35) arc sen x dx 2 1x arc sen x x c
36) arc tg x dx 21 1
2x arc tg x ln x c
37) arc c tg y dy 21 1
2y arc c tg y ln y c
38) 2 arc cos x dx 21 2 1 4
2x arc cos x x c
39) arc sec y dy 2 1y arc sec y ln y y c
40) 2
tarc csc dt 2 2 4
2
tt arc csc ln t t c
41) x arc tg x dx 2 1
2 2
x xarc tg x c
42) arc tg x dx 1 x arc tg x x c
43) 2 xx e dx
22 2xe x x c
44) e cos d
2
esen cos c
45)
2
1
ln x dx
x 1
1
xln x ln x c
x
CAPITULO 4
FUNCIONES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
1) httpwwwmtyitesmmxetiedeptosmma-841recursostab-hippdf
2) httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCION
ES20HIPERBOLICASpdfsequence=1
FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS HIPERBOacuteLICAS
Definicioacuten de las funciones
Un ciacuterculo unitario con centro en el origen sigue la foacutermula 1yx 22 un punto dado por el par
ordenado yx se puede representar como funcioacuten de un aacutengulo t de la siguiente manera
senttcosyx De igual manera una hipeacuterbola unitaria con centro en el origen sigue la foacutermula
1yx 22 un punto dado por el par ordenado yx se puede representar como funcioacuten del aacutengulo t
de la siguiente manera senhttcoshyx Estas funciones se denominan funciones trigonomeacutetricas
hiperboacutelicas en particular coseno hiperboacutelico y seno hiperboacutelico
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas presentan propiedades anaacutelogas a las de las funciones
trigonomeacutetricas o circulares La funcioacuten xsenhxf se define como 2
eexsenh
xx mientras que
la funcioacuten xcoshxf es 2
eexcosh
xx
Al igual que las funciones trigonomeacutetricas circulares en las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas se
cumplen las siguientes identidades fundamentales
xx
xx
xx
xx
xx
xx
ee
2
xsenh
1xhcsc
ee
2
xcosh
1xhsec
ee
ee
xsenh
xcoshxcoth
ee
ee
xcosh
xsenhxtanh
Debido a esto es loacutegico pensar que habraacute una relacioacuten equivalente al Teorema de Pitaacutegoras Asiacute
para las funciones hiperboacutelicas se sabe que 1xsenhxcosh 22
Ejemplo 1
Demostrar que 1xsenhxcosh 22
11
14
4
14
2
4
2
14
ee2
4
ee2
14
eee2e
4
eee2e
12
ee
2
ee
1xsenhxcosh
xxxx
x2xxx2x2xxx2
2xx
2xx
22
Graacutefica de las funciones
Sea la funcioacuten 2
eexsenhxf
xx Las intersecciones se pueden encontrar igualando la funcioacuten
a cero
0x
0x2
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
02
ee
x2
x
x
xx
xx
xx
La funcioacuten seno hiperboacutelico tiene una sola raiacutez en x=0 Para obtener los puntos criacuteticos se iguala a
cero la derivada de la funcioacuten
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
0ee2
1
ee2
1ee
dx
d
2
1
2
ee
dx
d
dx
df
x2
x
x
xx
xx
xx
xxxxxx
por lo tanto no hay puntos criacuteticos Es interesante notar que la derivada de la funcioacuten senh(x) es la
funcioacuten cosh(x)
Por uacuteltimo puntos inflexioacuten se pueden encontrar en donde la segunda derivada es igual a cero
xxxxxx
2
2
ee2
1ee
dx
d
2
1ee
2
1
dx
d
dx
fd
La segunda derivada nos llevoacute nuevamente a la funcioacuten senh(x) Esta funcioacuten ya se igualoacute a cero
para encontrar las intersecciones El resultado es que en x=0 hay una raiacutez que a su vez es un punto
de inflexioacuten
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
La misma funcioacuten 2
eexsenhxf
xx se puede ver como la resta de dos funciones exponenciales
2
e
2
e
2
ee xxxx
La graacutefica de estas dos funciones exponenciales se muestra en azul (exponencial
positiva) y verde (exponencial negativa) La resta de ambas punto por punto es la funcioacuten senh(x)
Derivadas
ucoshdx
duusenh
dx
dxcosh
2
ee
2
ee
dx
dxsenh
dx
d xxxx
usenhdx
duucosh
dx
dxsenh
2
ee
2
ee
dx
dxcosh
dx
d xxxx
uhsecdx
duutanh
dx
d
xhsecxcosh
1
xcosh
xsenhxcosh
xcosh
senhx
dx
dxtanh
dx
d
2
2
22
22
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
uhcscdx
duucoth
dx
d
xhcscxsenh
1
xsenh
xcoshxsenh
senhx
xcosh
dx
dxcoth
dx
d 2
22
22
uhsecutanhdx
duuhsec
dx
d
hxsecxtanhxcosh
1
xcosh
senhx
xcosh
senhx
xcosh
1
dx
dxhsec
dx
d2
uhcscucothdx
duuhcsc
dx
d
hxcscxcothsenhx
1
senhx
xcosh
xsenh
xcosh
senhx
1
dx
dxhcsc
dx
d2
Ejemplo 2
Derivar la funcioacuten 3x4tanhxf 2
La funcioacuten maacutes externa es la raiacutez por lo tanto es la primera en derivarse
3x4tanh2
3x4hsecx83x4tanh
dx
d
3x4tanh2
1
dx
df
2
222
2
Ejemplo 3
Derivar la funcioacuten 2x3cosh2x3tanhlnxf 22
La funcioacuten maacutes externa es el logaritmo por lo tanto es el primero en derivarse
2x3cosh2x3tanh
2x3xsenh62x3hsecx6
dx
df22
222
Integrales
Utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se puede establecer que
cuhcscduucothuhcsc
cuhsecduutanhuhsec
cucothduuhcsc
cutanhduuhsec
cusenhduucosh
cucoshduusenh
2
2
Utilizando estas foacutermulas se pueden establecer las siguientes
Ejemplo 4
Hallar la foacutermula para la integral de la tangente hiperboacutelica
dxxcosh
xsenhdxxtanh
Se hace un cambio de variable en donde dxxsenhduxcoshu Al sustituir la integral anterior
cambia a
cxcoshlnculnu
dudx
xcosh
xsenhdxxtanh
Se puede utilizar el mismo procedimiento para hallar las siguientes foacutermulas
cusenhlnduucoth
cucoshlnduutanh
Ejemplo 5
Resolver las siguientes integrales
dxx3senhx 32
Se realiza el cambio de variable dxx9
dux3u 23 por lo tanto la integral se puede escribir como
cx3cosh9
1cucosh
9
1duusenh
9
1
9
duusenhdxx3senhx 332
dx
x
xlnhsec 2
Se realiza el cambio de variablex
dxduxlnu por lo tanto la integral se puede escribir como
cxlntanhcutanhduuhsecdx
x
xlnhsec2
2
1
0
dxxcoshxsenh
Se realiza el cambio de variable dxxsenhduxcoshu por lo tanto la integral se puede escribir
como
1x
0x
1
0
2 duudxxcoshxsenh
Sin embargo dado que u=senh(x) si x=0 entonces 02
ee0senhu
00
Cuando x=1 entonces
e2
1e
2
e
1e
2
e
1e
2
ee1senhu
2
2
11
La integral es
2
32
23
23
2
e2
1e
0
23
e2
1e
0
1x
0x
1
0
2
e2
1e
3
20
3
2
e2
1e
3
2
u3
2duuduudxxcoshxsenh
22
Inversas
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas tienen funciones inversas que comuacutenmente se denotan
como 1senh o bien como arcsenh donde la funcioacuten recibe el nombre de seno hiperboacutelico inverso
Dado que las funciones estaacuten definidas en teacuterminos de exponenciales es de esperarse que sus
inversas incluyan logaritmos naturales Se pueden definir como
1x0parax
x11lnxhsec
1xparax1
x1ln
2
1xtanh
1xpara1xxlnxcosh
1xxlnxsenh
21
1
21
21
Las derivadas e integrales de estas funciones se resuelven igual que las funciones trigonomeacutetricas
inversas
Ejemplo 6
Obtener la foacutermula para la derivada de la funcioacuten xsenhy 1
Dado que no se conoce la derivada del seno hiperboacutelico inverso pero siacute la del seno hiperboacutelico se
pueden utilizar el concepto de la funcioacuten inversa y la derivada impliacutecita para hallar la foacutermula en
cuestioacuten
ycosh
1y
1yacutecoshy
xysenh
xsenhy 1
Se sabe que 1ysenhycosh 22 por lo tanto 1ysenhycosh 22 y la funcioacuten senhy=x entonces
1xycosh 2 Al sustituir se obtiene
1x
1y
2
El mismo meacutetodo se puede utilizar para encontrar cualquiera de las siguientes foacutermulas
1u
dxdu
usenhdx
d
2
1
1u1u
dxdu
ucoshdx
d
2
1
1uu1
dxdu
utanhdx
d2
1
1u0u1u
dxdu
uhsecdx
d
2
1
Ejemplo 7
Determinar si la funcioacuten 3xxsenhxf 21 es creciente o decreciente en el punto x=2
Se debe resolver la derivada de la multiplicacioacuten
10x6x
x23xsenh
19x6x
x23xsenh
13x
x2x3xsenh
dx
df
24
221
24
221
22
21
Se busca conocer como es la funcioacuten en x=2 por lo tanto se sustituye en la derivada
773131642077
80714ln
25
8257ln
225
82257ln
50
81497ln
102416
87senh
dx
df 1
2x
La funcioacuten es creciente crece a una razoacuten de 377
Las foacutermulas para la integracioacuten salen utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo y a partir de las
foacutermulas de derivacioacuten
0aca
usenhdu
ua
1 1
22
0auca
ucoshdu
au
1 1
22
au0aca
utanh
a
1du
ua
1 1
22
au00aca
uhsec
a
1du
uau
1 1
22
Ejemplo 8
Resolver la integral
dxe25
e
x6
x3
Esta integral es como la de la tangente hiperboacutelica inversa donde 5a25a 2
dxe3
dueueu x3x3x62 Al sustituir esto en la integral
c5
etanh
15
1c
5
etanh
5
1
3
1
u25
du
3
1
u25
3du x3
1x3
1
22
Aplicaciones
La velocidad de las olas en el mar bajo ciertas condiciones depende de la longitud de onda
(distancia entre cresta y cresta) y de la profundidad del agua por donde viajan las olas h La funcioacuten
que relaciona estas variables es
h2tanh
2
gv 2
donde v es la velocidad y g es la gravedad
Suponiendo que se mantiene h constante esto es que el oleaje se propaga por un oceacuteano de
profundidad constante (50 m) determinar si la velocidad aumenta o disminuye cuando m5
h2hsec
ghh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2hsec
h2
2
gh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2tanh
2
gv
h2tanh
2
gv
2
2
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
728d
dv
5
502hsec
5
50819
5
502tanh
2
819
5
502tanh
2
58192
1
d
dv 2
Entonces para este valor de la longitud de onda y de la profundidad la velocidad de la ola va
aumentando respecto a la longitud de onda
Si se requiere ahora saber como va cambiando la velocidad de propagacioacuten del oleaje respecto a la
profundidad del mar para una longitud de onda de 5 m se deberaacute entonces derivar respecto a h Sea
una profundidad de 7 m
h2tanh
2
g2
h2hsecg
dh
dv
h2hsec
2
2
g
h2tanh
2
g2
1
dh
dv
h2tanh
2
gv
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
77
2
2
1061595
10918
5
14tanh
2
05492
5
14hsec819
dh
dv
5
72tanh
2
58192
5
72hsec819
dh
dv
Asiacute que aunque la velocidad de propagacioacuten del oleaje va aumentando respecto a la profundidad la
razoacuten de cambio es muy pequentildea
EJERCICIOS DE DERIVADAS HIPERBOLICAS
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6) R
7) R
8) AYUDA R
9) R 10) R
11) R 12) R
13) R
14)DEMOSTRAR
AYUDA
15)
AYUDA
INTEGRALES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
httpcalculoccfunciones_hiperbolicasp_integrales_hiperbhtml
httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCIONES20
HIPERBOLICASpdfsequence=1
httpseswikipediaorgwikiAnexoIntegrales_de_funciones_hiperbC3B3licas
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES HIPERBOLICAS
2)
3)
5)
6)
8)
Resolvemos ambas integrales mediante integracioacuten por partes
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 5 u = 3x
11)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 3 u = 4x
13)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = radic7 u = 5x
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION MATERIAL DE APOYO
800 INTEGRALES RESUELTAS
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_metodosproblemasp_integr_sust_trigohtml
httpsmatematicasnblogspotcom201512integracion-por-sustitucionhtml CON VIDEOS INCLUIDOS
httpsdspaceupseduecbitstream12345678961191Manual20de20fracciones20parcialespdf
httpwwwtesoemedumxalumnoscuadernillos2011011pdf
httpprofe-alexzblogspotcom201104integracion-fracciones-parcialeshtml Y VIDEOS
httpswwwsectormatematicacl rsaquo media rsaquo diferenciado rsaquo FRACCIONES P httpswwwipnmxassetsfilescecyt11docsGuiasUABasicasMatematicascalculo-integral-solucion-de-problemasPDF
httpswwwacademiaedu7708664CC381LCULO_INTEGRAL_EJERCICIOS_RESUELTOS_PASO_A_PASO
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1 Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de
variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de
la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que
contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe
ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
II) EVALUE LA INTEGRAL INDEFINIDA DADA USANDO UNA SUSTITUCION IDONEA
62)Problemas de integrales
1Hallar una funcioacuten F(x) cuya derivada sea f(x) = x + 6 y tal que para x = 2
tome el valor 25
RESPUESTA
2De las inf in itas funciones primitivas de la funcioacuten y = xsup2 - x + 1 iquestcuaacutel
es la que para x = 3 toma el valor 5
RESPUESTA
3Hallar una recta cuya pendiente es 2 y pasa por eacutel punto P(0 4)
RESPUESTA f(x) = 2x + 4
4Escribe la funcioacuten primitiva de y = xsup2 + 2x cuya representacioacuten graacutef ica pasa
por eacutel punto (1 3)
RESPUESTA
5Calcular la ecuacioacuten de la curva que pasa por P(1 5) y cuya pendiente en cualquier punto es
3xsup2 + 5x minus 2
RESPUESTA
6Hallar la primitiva de la funcioacuten que se anula para x = 2
RESPUESTA
CAPITULO 3
INTEGRACION POR PARTES
Definicioacuten
Existen varios meacutetodos de integracioacuten consistiendo todos ellos en reducir la integral buscada a una inteacutegrala conocida como por ejemplo una de las de la tabla o bien reducirla una integral maacutes sencilla
El meacutetodo de integracioacuten por partes estaacute basado en la derivada de un producto de funciones como se muestra a continuacioacuten
d(umiddotv) = u dv + v du
por eso es que se usa para integrales que contienen dos funciones que se multiplican entre si
intd(umiddotv) = intu dv + intv du
Se llama integracioacuten por partes porque la integral se divide en dos partes en una el integrando es u y otra en la otra es v La integral debe estar completa y sin alterar la operacioacuten dentro de ella Consejos
La funcioacuten correspondiente a dv debe ser la funcioacuten maacutes faacutecil de integrar 2- En u deben ir aquellas funciones que no tienen integral directa (funciones logariacutetmicas e inversas) luego se pueden considerar las funciones algebraicas puesto que la derivada es reductiva Las funciones trigonomeacutetricas y exponenciales son maacutes sencillas de trabajar
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRACIOacuteN POR PARTES
1-
2-
3-
4-
5-
6-
7-
8-
9-
10-
INTEGRACION POR PARTES
MATERIAL DE APOYO
VIDEOS DE INTEGRACION POR PARTES
1) httpswwwprofesor10dematescom201505integrales-por-partes-resueltashtml
2) httpwwwsietecolinasesmaterialesmatintegrales-4pdf
3) httpsgpweiztuammxfilesusersuamijdfmetodos_de_integracionintegracion_por_partesp
df
EJERCICIOS EJERCICIOS PARA RESOLVER POR PARTES
1) L=Ln
R
2) R
3) R
4) R
5) R 6) R
7) R
8) R
9) R L=Ln
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
15) R
16) R
17) R
18) R
19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
INTEGRAL RESPUESTA
26) x senx dx sen x xcos x c
27) ln x dx 1x ln x c
28)2
xx sen dx 4 2
2 2
x xsen xcos c
29) x cos nx dx 2
cos nx x sennxc
nn
30) 2 u sec u du utgu lncosu c
31) 2 3 u sen v dv 21 1 16 6
4 12 72v v sen v cos v c
32) 2 y senny dy 2
3 2
2 2cosny y senny y cosnyc
nn n
33) 2 xa dx 2
1x xa c
lna ln a
34) nx ln x dx 1 1
1 1
nx
ln x cn n
35) arc sen x dx 2 1x arc sen x x c
36) arc tg x dx 21 1
2x arc tg x ln x c
37) arc c tg y dy 21 1
2y arc c tg y ln y c
38) 2 arc cos x dx 21 2 1 4
2x arc cos x x c
39) arc sec y dy 2 1y arc sec y ln y y c
40) 2
tarc csc dt 2 2 4
2
tt arc csc ln t t c
41) x arc tg x dx 2 1
2 2
x xarc tg x c
42) arc tg x dx 1 x arc tg x x c
43) 2 xx e dx
22 2xe x x c
44) e cos d
2
esen cos c
45)
2
1
ln x dx
x 1
1
xln x ln x c
x
CAPITULO 4
FUNCIONES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
1) httpwwwmtyitesmmxetiedeptosmma-841recursostab-hippdf
2) httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCION
ES20HIPERBOLICASpdfsequence=1
FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS HIPERBOacuteLICAS
Definicioacuten de las funciones
Un ciacuterculo unitario con centro en el origen sigue la foacutermula 1yx 22 un punto dado por el par
ordenado yx se puede representar como funcioacuten de un aacutengulo t de la siguiente manera
senttcosyx De igual manera una hipeacuterbola unitaria con centro en el origen sigue la foacutermula
1yx 22 un punto dado por el par ordenado yx se puede representar como funcioacuten del aacutengulo t
de la siguiente manera senhttcoshyx Estas funciones se denominan funciones trigonomeacutetricas
hiperboacutelicas en particular coseno hiperboacutelico y seno hiperboacutelico
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas presentan propiedades anaacutelogas a las de las funciones
trigonomeacutetricas o circulares La funcioacuten xsenhxf se define como 2
eexsenh
xx mientras que
la funcioacuten xcoshxf es 2
eexcosh
xx
Al igual que las funciones trigonomeacutetricas circulares en las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas se
cumplen las siguientes identidades fundamentales
xx
xx
xx
xx
xx
xx
ee
2
xsenh
1xhcsc
ee
2
xcosh
1xhsec
ee
ee
xsenh
xcoshxcoth
ee
ee
xcosh
xsenhxtanh
Debido a esto es loacutegico pensar que habraacute una relacioacuten equivalente al Teorema de Pitaacutegoras Asiacute
para las funciones hiperboacutelicas se sabe que 1xsenhxcosh 22
Ejemplo 1
Demostrar que 1xsenhxcosh 22
11
14
4
14
2
4
2
14
ee2
4
ee2
14
eee2e
4
eee2e
12
ee
2
ee
1xsenhxcosh
xxxx
x2xxx2x2xxx2
2xx
2xx
22
Graacutefica de las funciones
Sea la funcioacuten 2
eexsenhxf
xx Las intersecciones se pueden encontrar igualando la funcioacuten
a cero
0x
0x2
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
02
ee
x2
x
x
xx
xx
xx
La funcioacuten seno hiperboacutelico tiene una sola raiacutez en x=0 Para obtener los puntos criacuteticos se iguala a
cero la derivada de la funcioacuten
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
0ee2
1
ee2
1ee
dx
d
2
1
2
ee
dx
d
dx
df
x2
x
x
xx
xx
xx
xxxxxx
por lo tanto no hay puntos criacuteticos Es interesante notar que la derivada de la funcioacuten senh(x) es la
funcioacuten cosh(x)
Por uacuteltimo puntos inflexioacuten se pueden encontrar en donde la segunda derivada es igual a cero
xxxxxx
2
2
ee2
1ee
dx
d
2
1ee
2
1
dx
d
dx
fd
La segunda derivada nos llevoacute nuevamente a la funcioacuten senh(x) Esta funcioacuten ya se igualoacute a cero
para encontrar las intersecciones El resultado es que en x=0 hay una raiacutez que a su vez es un punto
de inflexioacuten
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
La misma funcioacuten 2
eexsenhxf
xx se puede ver como la resta de dos funciones exponenciales
2
e
2
e
2
ee xxxx
La graacutefica de estas dos funciones exponenciales se muestra en azul (exponencial
positiva) y verde (exponencial negativa) La resta de ambas punto por punto es la funcioacuten senh(x)
Derivadas
ucoshdx
duusenh
dx
dxcosh
2
ee
2
ee
dx
dxsenh
dx
d xxxx
usenhdx
duucosh
dx
dxsenh
2
ee
2
ee
dx
dxcosh
dx
d xxxx
uhsecdx
duutanh
dx
d
xhsecxcosh
1
xcosh
xsenhxcosh
xcosh
senhx
dx
dxtanh
dx
d
2
2
22
22
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
uhcscdx
duucoth
dx
d
xhcscxsenh
1
xsenh
xcoshxsenh
senhx
xcosh
dx
dxcoth
dx
d 2
22
22
uhsecutanhdx
duuhsec
dx
d
hxsecxtanhxcosh
1
xcosh
senhx
xcosh
senhx
xcosh
1
dx
dxhsec
dx
d2
uhcscucothdx
duuhcsc
dx
d
hxcscxcothsenhx
1
senhx
xcosh
xsenh
xcosh
senhx
1
dx
dxhcsc
dx
d2
Ejemplo 2
Derivar la funcioacuten 3x4tanhxf 2
La funcioacuten maacutes externa es la raiacutez por lo tanto es la primera en derivarse
3x4tanh2
3x4hsecx83x4tanh
dx
d
3x4tanh2
1
dx
df
2
222
2
Ejemplo 3
Derivar la funcioacuten 2x3cosh2x3tanhlnxf 22
La funcioacuten maacutes externa es el logaritmo por lo tanto es el primero en derivarse
2x3cosh2x3tanh
2x3xsenh62x3hsecx6
dx
df22
222
Integrales
Utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se puede establecer que
cuhcscduucothuhcsc
cuhsecduutanhuhsec
cucothduuhcsc
cutanhduuhsec
cusenhduucosh
cucoshduusenh
2
2
Utilizando estas foacutermulas se pueden establecer las siguientes
Ejemplo 4
Hallar la foacutermula para la integral de la tangente hiperboacutelica
dxxcosh
xsenhdxxtanh
Se hace un cambio de variable en donde dxxsenhduxcoshu Al sustituir la integral anterior
cambia a
cxcoshlnculnu
dudx
xcosh
xsenhdxxtanh
Se puede utilizar el mismo procedimiento para hallar las siguientes foacutermulas
cusenhlnduucoth
cucoshlnduutanh
Ejemplo 5
Resolver las siguientes integrales
dxx3senhx 32
Se realiza el cambio de variable dxx9
dux3u 23 por lo tanto la integral se puede escribir como
cx3cosh9
1cucosh
9
1duusenh
9
1
9
duusenhdxx3senhx 332
dx
x
xlnhsec 2
Se realiza el cambio de variablex
dxduxlnu por lo tanto la integral se puede escribir como
cxlntanhcutanhduuhsecdx
x
xlnhsec2
2
1
0
dxxcoshxsenh
Se realiza el cambio de variable dxxsenhduxcoshu por lo tanto la integral se puede escribir
como
1x
0x
1
0
2 duudxxcoshxsenh
Sin embargo dado que u=senh(x) si x=0 entonces 02
ee0senhu
00
Cuando x=1 entonces
e2
1e
2
e
1e
2
e
1e
2
ee1senhu
2
2
11
La integral es
2
32
23
23
2
e2
1e
0
23
e2
1e
0
1x
0x
1
0
2
e2
1e
3
20
3
2
e2
1e
3
2
u3
2duuduudxxcoshxsenh
22
Inversas
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas tienen funciones inversas que comuacutenmente se denotan
como 1senh o bien como arcsenh donde la funcioacuten recibe el nombre de seno hiperboacutelico inverso
Dado que las funciones estaacuten definidas en teacuterminos de exponenciales es de esperarse que sus
inversas incluyan logaritmos naturales Se pueden definir como
1x0parax
x11lnxhsec
1xparax1
x1ln
2
1xtanh
1xpara1xxlnxcosh
1xxlnxsenh
21
1
21
21
Las derivadas e integrales de estas funciones se resuelven igual que las funciones trigonomeacutetricas
inversas
Ejemplo 6
Obtener la foacutermula para la derivada de la funcioacuten xsenhy 1
Dado que no se conoce la derivada del seno hiperboacutelico inverso pero siacute la del seno hiperboacutelico se
pueden utilizar el concepto de la funcioacuten inversa y la derivada impliacutecita para hallar la foacutermula en
cuestioacuten
ycosh
1y
1yacutecoshy
xysenh
xsenhy 1
Se sabe que 1ysenhycosh 22 por lo tanto 1ysenhycosh 22 y la funcioacuten senhy=x entonces
1xycosh 2 Al sustituir se obtiene
1x
1y
2
El mismo meacutetodo se puede utilizar para encontrar cualquiera de las siguientes foacutermulas
1u
dxdu
usenhdx
d
2
1
1u1u
dxdu
ucoshdx
d
2
1
1uu1
dxdu
utanhdx
d2
1
1u0u1u
dxdu
uhsecdx
d
2
1
Ejemplo 7
Determinar si la funcioacuten 3xxsenhxf 21 es creciente o decreciente en el punto x=2
Se debe resolver la derivada de la multiplicacioacuten
10x6x
x23xsenh
19x6x
x23xsenh
13x
x2x3xsenh
dx
df
24
221
24
221
22
21
Se busca conocer como es la funcioacuten en x=2 por lo tanto se sustituye en la derivada
773131642077
80714ln
25
8257ln
225
82257ln
50
81497ln
102416
87senh
dx
df 1
2x
La funcioacuten es creciente crece a una razoacuten de 377
Las foacutermulas para la integracioacuten salen utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo y a partir de las
foacutermulas de derivacioacuten
0aca
usenhdu
ua
1 1
22
0auca
ucoshdu
au
1 1
22
au0aca
utanh
a
1du
ua
1 1
22
au00aca
uhsec
a
1du
uau
1 1
22
Ejemplo 8
Resolver la integral
dxe25
e
x6
x3
Esta integral es como la de la tangente hiperboacutelica inversa donde 5a25a 2
dxe3
dueueu x3x3x62 Al sustituir esto en la integral
c5
etanh
15
1c
5
etanh
5
1
3
1
u25
du
3
1
u25
3du x3
1x3
1
22
Aplicaciones
La velocidad de las olas en el mar bajo ciertas condiciones depende de la longitud de onda
(distancia entre cresta y cresta) y de la profundidad del agua por donde viajan las olas h La funcioacuten
que relaciona estas variables es
h2tanh
2
gv 2
donde v es la velocidad y g es la gravedad
Suponiendo que se mantiene h constante esto es que el oleaje se propaga por un oceacuteano de
profundidad constante (50 m) determinar si la velocidad aumenta o disminuye cuando m5
h2hsec
ghh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2hsec
h2
2
gh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2tanh
2
gv
h2tanh
2
gv
2
2
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
728d
dv
5
502hsec
5
50819
5
502tanh
2
819
5
502tanh
2
58192
1
d
dv 2
Entonces para este valor de la longitud de onda y de la profundidad la velocidad de la ola va
aumentando respecto a la longitud de onda
Si se requiere ahora saber como va cambiando la velocidad de propagacioacuten del oleaje respecto a la
profundidad del mar para una longitud de onda de 5 m se deberaacute entonces derivar respecto a h Sea
una profundidad de 7 m
h2tanh
2
g2
h2hsecg
dh
dv
h2hsec
2
2
g
h2tanh
2
g2
1
dh
dv
h2tanh
2
gv
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
77
2
2
1061595
10918
5
14tanh
2
05492
5
14hsec819
dh
dv
5
72tanh
2
58192
5
72hsec819
dh
dv
Asiacute que aunque la velocidad de propagacioacuten del oleaje va aumentando respecto a la profundidad la
razoacuten de cambio es muy pequentildea
EJERCICIOS DE DERIVADAS HIPERBOLICAS
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6) R
7) R
8) AYUDA R
9) R 10) R
11) R 12) R
13) R
14)DEMOSTRAR
AYUDA
15)
AYUDA
INTEGRALES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
httpcalculoccfunciones_hiperbolicasp_integrales_hiperbhtml
httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCIONES20
HIPERBOLICASpdfsequence=1
httpseswikipediaorgwikiAnexoIntegrales_de_funciones_hiperbC3B3licas
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES HIPERBOLICAS
2)
3)
5)
6)
8)
Resolvemos ambas integrales mediante integracioacuten por partes
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 5 u = 3x
11)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 3 u = 4x
13)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = radic7 u = 5x
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION MATERIAL DE APOYO
800 INTEGRALES RESUELTAS
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_metodosproblemasp_integr_sust_trigohtml
httpsmatematicasnblogspotcom201512integracion-por-sustitucionhtml CON VIDEOS INCLUIDOS
httpsdspaceupseduecbitstream12345678961191Manual20de20fracciones20parcialespdf
httpwwwtesoemedumxalumnoscuadernillos2011011pdf
httpprofe-alexzblogspotcom201104integracion-fracciones-parcialeshtml Y VIDEOS
httpswwwsectormatematicacl rsaquo media rsaquo diferenciado rsaquo FRACCIONES P httpswwwipnmxassetsfilescecyt11docsGuiasUABasicasMatematicascalculo-integral-solucion-de-problemasPDF
httpswwwacademiaedu7708664CC381LCULO_INTEGRAL_EJERCICIOS_RESUELTOS_PASO_A_PASO
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1 Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de
variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de
la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que
contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe
ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
62)Problemas de integrales
1Hallar una funcioacuten F(x) cuya derivada sea f(x) = x + 6 y tal que para x = 2
tome el valor 25
RESPUESTA
2De las inf in itas funciones primitivas de la funcioacuten y = xsup2 - x + 1 iquestcuaacutel
es la que para x = 3 toma el valor 5
RESPUESTA
3Hallar una recta cuya pendiente es 2 y pasa por eacutel punto P(0 4)
RESPUESTA f(x) = 2x + 4
4Escribe la funcioacuten primitiva de y = xsup2 + 2x cuya representacioacuten graacutef ica pasa
por eacutel punto (1 3)
RESPUESTA
5Calcular la ecuacioacuten de la curva que pasa por P(1 5) y cuya pendiente en cualquier punto es
3xsup2 + 5x minus 2
RESPUESTA
6Hallar la primitiva de la funcioacuten que se anula para x = 2
RESPUESTA
CAPITULO 3
INTEGRACION POR PARTES
Definicioacuten
Existen varios meacutetodos de integracioacuten consistiendo todos ellos en reducir la integral buscada a una inteacutegrala conocida como por ejemplo una de las de la tabla o bien reducirla una integral maacutes sencilla
El meacutetodo de integracioacuten por partes estaacute basado en la derivada de un producto de funciones como se muestra a continuacioacuten
d(umiddotv) = u dv + v du
por eso es que se usa para integrales que contienen dos funciones que se multiplican entre si
intd(umiddotv) = intu dv + intv du
Se llama integracioacuten por partes porque la integral se divide en dos partes en una el integrando es u y otra en la otra es v La integral debe estar completa y sin alterar la operacioacuten dentro de ella Consejos
La funcioacuten correspondiente a dv debe ser la funcioacuten maacutes faacutecil de integrar 2- En u deben ir aquellas funciones que no tienen integral directa (funciones logariacutetmicas e inversas) luego se pueden considerar las funciones algebraicas puesto que la derivada es reductiva Las funciones trigonomeacutetricas y exponenciales son maacutes sencillas de trabajar
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRACIOacuteN POR PARTES
1-
2-
3-
4-
5-
6-
7-
8-
9-
10-
INTEGRACION POR PARTES
MATERIAL DE APOYO
VIDEOS DE INTEGRACION POR PARTES
1) httpswwwprofesor10dematescom201505integrales-por-partes-resueltashtml
2) httpwwwsietecolinasesmaterialesmatintegrales-4pdf
3) httpsgpweiztuammxfilesusersuamijdfmetodos_de_integracionintegracion_por_partesp
df
EJERCICIOS EJERCICIOS PARA RESOLVER POR PARTES
1) L=Ln
R
2) R
3) R
4) R
5) R 6) R
7) R
8) R
9) R L=Ln
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
15) R
16) R
17) R
18) R
19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
INTEGRAL RESPUESTA
26) x senx dx sen x xcos x c
27) ln x dx 1x ln x c
28)2
xx sen dx 4 2
2 2
x xsen xcos c
29) x cos nx dx 2
cos nx x sennxc
nn
30) 2 u sec u du utgu lncosu c
31) 2 3 u sen v dv 21 1 16 6
4 12 72v v sen v cos v c
32) 2 y senny dy 2
3 2
2 2cosny y senny y cosnyc
nn n
33) 2 xa dx 2
1x xa c
lna ln a
34) nx ln x dx 1 1
1 1
nx
ln x cn n
35) arc sen x dx 2 1x arc sen x x c
36) arc tg x dx 21 1
2x arc tg x ln x c
37) arc c tg y dy 21 1
2y arc c tg y ln y c
38) 2 arc cos x dx 21 2 1 4
2x arc cos x x c
39) arc sec y dy 2 1y arc sec y ln y y c
40) 2
tarc csc dt 2 2 4
2
tt arc csc ln t t c
41) x arc tg x dx 2 1
2 2
x xarc tg x c
42) arc tg x dx 1 x arc tg x x c
43) 2 xx e dx
22 2xe x x c
44) e cos d
2
esen cos c
45)
2
1
ln x dx
x 1
1
xln x ln x c
x
CAPITULO 4
FUNCIONES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
1) httpwwwmtyitesmmxetiedeptosmma-841recursostab-hippdf
2) httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCION
ES20HIPERBOLICASpdfsequence=1
FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS HIPERBOacuteLICAS
Definicioacuten de las funciones
Un ciacuterculo unitario con centro en el origen sigue la foacutermula 1yx 22 un punto dado por el par
ordenado yx se puede representar como funcioacuten de un aacutengulo t de la siguiente manera
senttcosyx De igual manera una hipeacuterbola unitaria con centro en el origen sigue la foacutermula
1yx 22 un punto dado por el par ordenado yx se puede representar como funcioacuten del aacutengulo t
de la siguiente manera senhttcoshyx Estas funciones se denominan funciones trigonomeacutetricas
hiperboacutelicas en particular coseno hiperboacutelico y seno hiperboacutelico
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas presentan propiedades anaacutelogas a las de las funciones
trigonomeacutetricas o circulares La funcioacuten xsenhxf se define como 2
eexsenh
xx mientras que
la funcioacuten xcoshxf es 2
eexcosh
xx
Al igual que las funciones trigonomeacutetricas circulares en las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas se
cumplen las siguientes identidades fundamentales
xx
xx
xx
xx
xx
xx
ee
2
xsenh
1xhcsc
ee
2
xcosh
1xhsec
ee
ee
xsenh
xcoshxcoth
ee
ee
xcosh
xsenhxtanh
Debido a esto es loacutegico pensar que habraacute una relacioacuten equivalente al Teorema de Pitaacutegoras Asiacute
para las funciones hiperboacutelicas se sabe que 1xsenhxcosh 22
Ejemplo 1
Demostrar que 1xsenhxcosh 22
11
14
4
14
2
4
2
14
ee2
4
ee2
14
eee2e
4
eee2e
12
ee
2
ee
1xsenhxcosh
xxxx
x2xxx2x2xxx2
2xx
2xx
22
Graacutefica de las funciones
Sea la funcioacuten 2
eexsenhxf
xx Las intersecciones se pueden encontrar igualando la funcioacuten
a cero
0x
0x2
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
02
ee
x2
x
x
xx
xx
xx
La funcioacuten seno hiperboacutelico tiene una sola raiacutez en x=0 Para obtener los puntos criacuteticos se iguala a
cero la derivada de la funcioacuten
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
0ee2
1
ee2
1ee
dx
d
2
1
2
ee
dx
d
dx
df
x2
x
x
xx
xx
xx
xxxxxx
por lo tanto no hay puntos criacuteticos Es interesante notar que la derivada de la funcioacuten senh(x) es la
funcioacuten cosh(x)
Por uacuteltimo puntos inflexioacuten se pueden encontrar en donde la segunda derivada es igual a cero
xxxxxx
2
2
ee2
1ee
dx
d
2
1ee
2
1
dx
d
dx
fd
La segunda derivada nos llevoacute nuevamente a la funcioacuten senh(x) Esta funcioacuten ya se igualoacute a cero
para encontrar las intersecciones El resultado es que en x=0 hay una raiacutez que a su vez es un punto
de inflexioacuten
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
La misma funcioacuten 2
eexsenhxf
xx se puede ver como la resta de dos funciones exponenciales
2
e
2
e
2
ee xxxx
La graacutefica de estas dos funciones exponenciales se muestra en azul (exponencial
positiva) y verde (exponencial negativa) La resta de ambas punto por punto es la funcioacuten senh(x)
Derivadas
ucoshdx
duusenh
dx
dxcosh
2
ee
2
ee
dx
dxsenh
dx
d xxxx
usenhdx
duucosh
dx
dxsenh
2
ee
2
ee
dx
dxcosh
dx
d xxxx
uhsecdx
duutanh
dx
d
xhsecxcosh
1
xcosh
xsenhxcosh
xcosh
senhx
dx
dxtanh
dx
d
2
2
22
22
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
uhcscdx
duucoth
dx
d
xhcscxsenh
1
xsenh
xcoshxsenh
senhx
xcosh
dx
dxcoth
dx
d 2
22
22
uhsecutanhdx
duuhsec
dx
d
hxsecxtanhxcosh
1
xcosh
senhx
xcosh
senhx
xcosh
1
dx
dxhsec
dx
d2
uhcscucothdx
duuhcsc
dx
d
hxcscxcothsenhx
1
senhx
xcosh
xsenh
xcosh
senhx
1
dx
dxhcsc
dx
d2
Ejemplo 2
Derivar la funcioacuten 3x4tanhxf 2
La funcioacuten maacutes externa es la raiacutez por lo tanto es la primera en derivarse
3x4tanh2
3x4hsecx83x4tanh
dx
d
3x4tanh2
1
dx
df
2
222
2
Ejemplo 3
Derivar la funcioacuten 2x3cosh2x3tanhlnxf 22
La funcioacuten maacutes externa es el logaritmo por lo tanto es el primero en derivarse
2x3cosh2x3tanh
2x3xsenh62x3hsecx6
dx
df22
222
Integrales
Utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se puede establecer que
cuhcscduucothuhcsc
cuhsecduutanhuhsec
cucothduuhcsc
cutanhduuhsec
cusenhduucosh
cucoshduusenh
2
2
Utilizando estas foacutermulas se pueden establecer las siguientes
Ejemplo 4
Hallar la foacutermula para la integral de la tangente hiperboacutelica
dxxcosh
xsenhdxxtanh
Se hace un cambio de variable en donde dxxsenhduxcoshu Al sustituir la integral anterior
cambia a
cxcoshlnculnu
dudx
xcosh
xsenhdxxtanh
Se puede utilizar el mismo procedimiento para hallar las siguientes foacutermulas
cusenhlnduucoth
cucoshlnduutanh
Ejemplo 5
Resolver las siguientes integrales
dxx3senhx 32
Se realiza el cambio de variable dxx9
dux3u 23 por lo tanto la integral se puede escribir como
cx3cosh9
1cucosh
9
1duusenh
9
1
9
duusenhdxx3senhx 332
dx
x
xlnhsec 2
Se realiza el cambio de variablex
dxduxlnu por lo tanto la integral se puede escribir como
cxlntanhcutanhduuhsecdx
x
xlnhsec2
2
1
0
dxxcoshxsenh
Se realiza el cambio de variable dxxsenhduxcoshu por lo tanto la integral se puede escribir
como
1x
0x
1
0
2 duudxxcoshxsenh
Sin embargo dado que u=senh(x) si x=0 entonces 02
ee0senhu
00
Cuando x=1 entonces
e2
1e
2
e
1e
2
e
1e
2
ee1senhu
2
2
11
La integral es
2
32
23
23
2
e2
1e
0
23
e2
1e
0
1x
0x
1
0
2
e2
1e
3
20
3
2
e2
1e
3
2
u3
2duuduudxxcoshxsenh
22
Inversas
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas tienen funciones inversas que comuacutenmente se denotan
como 1senh o bien como arcsenh donde la funcioacuten recibe el nombre de seno hiperboacutelico inverso
Dado que las funciones estaacuten definidas en teacuterminos de exponenciales es de esperarse que sus
inversas incluyan logaritmos naturales Se pueden definir como
1x0parax
x11lnxhsec
1xparax1
x1ln
2
1xtanh
1xpara1xxlnxcosh
1xxlnxsenh
21
1
21
21
Las derivadas e integrales de estas funciones se resuelven igual que las funciones trigonomeacutetricas
inversas
Ejemplo 6
Obtener la foacutermula para la derivada de la funcioacuten xsenhy 1
Dado que no se conoce la derivada del seno hiperboacutelico inverso pero siacute la del seno hiperboacutelico se
pueden utilizar el concepto de la funcioacuten inversa y la derivada impliacutecita para hallar la foacutermula en
cuestioacuten
ycosh
1y
1yacutecoshy
xysenh
xsenhy 1
Se sabe que 1ysenhycosh 22 por lo tanto 1ysenhycosh 22 y la funcioacuten senhy=x entonces
1xycosh 2 Al sustituir se obtiene
1x
1y
2
El mismo meacutetodo se puede utilizar para encontrar cualquiera de las siguientes foacutermulas
1u
dxdu
usenhdx
d
2
1
1u1u
dxdu
ucoshdx
d
2
1
1uu1
dxdu
utanhdx
d2
1
1u0u1u
dxdu
uhsecdx
d
2
1
Ejemplo 7
Determinar si la funcioacuten 3xxsenhxf 21 es creciente o decreciente en el punto x=2
Se debe resolver la derivada de la multiplicacioacuten
10x6x
x23xsenh
19x6x
x23xsenh
13x
x2x3xsenh
dx
df
24
221
24
221
22
21
Se busca conocer como es la funcioacuten en x=2 por lo tanto se sustituye en la derivada
773131642077
80714ln
25
8257ln
225
82257ln
50
81497ln
102416
87senh
dx
df 1
2x
La funcioacuten es creciente crece a una razoacuten de 377
Las foacutermulas para la integracioacuten salen utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo y a partir de las
foacutermulas de derivacioacuten
0aca
usenhdu
ua
1 1
22
0auca
ucoshdu
au
1 1
22
au0aca
utanh
a
1du
ua
1 1
22
au00aca
uhsec
a
1du
uau
1 1
22
Ejemplo 8
Resolver la integral
dxe25
e
x6
x3
Esta integral es como la de la tangente hiperboacutelica inversa donde 5a25a 2
dxe3
dueueu x3x3x62 Al sustituir esto en la integral
c5
etanh
15
1c
5
etanh
5
1
3
1
u25
du
3
1
u25
3du x3
1x3
1
22
Aplicaciones
La velocidad de las olas en el mar bajo ciertas condiciones depende de la longitud de onda
(distancia entre cresta y cresta) y de la profundidad del agua por donde viajan las olas h La funcioacuten
que relaciona estas variables es
h2tanh
2
gv 2
donde v es la velocidad y g es la gravedad
Suponiendo que se mantiene h constante esto es que el oleaje se propaga por un oceacuteano de
profundidad constante (50 m) determinar si la velocidad aumenta o disminuye cuando m5
h2hsec
ghh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2hsec
h2
2
gh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2tanh
2
gv
h2tanh
2
gv
2
2
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
728d
dv
5
502hsec
5
50819
5
502tanh
2
819
5
502tanh
2
58192
1
d
dv 2
Entonces para este valor de la longitud de onda y de la profundidad la velocidad de la ola va
aumentando respecto a la longitud de onda
Si se requiere ahora saber como va cambiando la velocidad de propagacioacuten del oleaje respecto a la
profundidad del mar para una longitud de onda de 5 m se deberaacute entonces derivar respecto a h Sea
una profundidad de 7 m
h2tanh
2
g2
h2hsecg
dh
dv
h2hsec
2
2
g
h2tanh
2
g2
1
dh
dv
h2tanh
2
gv
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
77
2
2
1061595
10918
5
14tanh
2
05492
5
14hsec819
dh
dv
5
72tanh
2
58192
5
72hsec819
dh
dv
Asiacute que aunque la velocidad de propagacioacuten del oleaje va aumentando respecto a la profundidad la
razoacuten de cambio es muy pequentildea
EJERCICIOS DE DERIVADAS HIPERBOLICAS
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6) R
7) R
8) AYUDA R
9) R 10) R
11) R 12) R
13) R
14)DEMOSTRAR
AYUDA
15)
AYUDA
INTEGRALES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
httpcalculoccfunciones_hiperbolicasp_integrales_hiperbhtml
httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCIONES20
HIPERBOLICASpdfsequence=1
httpseswikipediaorgwikiAnexoIntegrales_de_funciones_hiperbC3B3licas
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES HIPERBOLICAS
2)
3)
5)
6)
8)
Resolvemos ambas integrales mediante integracioacuten por partes
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 5 u = 3x
11)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 3 u = 4x
13)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = radic7 u = 5x
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION MATERIAL DE APOYO
800 INTEGRALES RESUELTAS
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_metodosproblemasp_integr_sust_trigohtml
httpsmatematicasnblogspotcom201512integracion-por-sustitucionhtml CON VIDEOS INCLUIDOS
httpsdspaceupseduecbitstream12345678961191Manual20de20fracciones20parcialespdf
httpwwwtesoemedumxalumnoscuadernillos2011011pdf
httpprofe-alexzblogspotcom201104integracion-fracciones-parcialeshtml Y VIDEOS
httpswwwsectormatematicacl rsaquo media rsaquo diferenciado rsaquo FRACCIONES P httpswwwipnmxassetsfilescecyt11docsGuiasUABasicasMatematicascalculo-integral-solucion-de-problemasPDF
httpswwwacademiaedu7708664CC381LCULO_INTEGRAL_EJERCICIOS_RESUELTOS_PASO_A_PASO
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1 Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de
variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de
la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que
contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe
ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
2De las inf in itas funciones primitivas de la funcioacuten y = xsup2 - x + 1 iquestcuaacutel
es la que para x = 3 toma el valor 5
RESPUESTA
3Hallar una recta cuya pendiente es 2 y pasa por eacutel punto P(0 4)
RESPUESTA f(x) = 2x + 4
4Escribe la funcioacuten primitiva de y = xsup2 + 2x cuya representacioacuten graacutef ica pasa
por eacutel punto (1 3)
RESPUESTA
5Calcular la ecuacioacuten de la curva que pasa por P(1 5) y cuya pendiente en cualquier punto es
3xsup2 + 5x minus 2
RESPUESTA
6Hallar la primitiva de la funcioacuten que se anula para x = 2
RESPUESTA
CAPITULO 3
INTEGRACION POR PARTES
Definicioacuten
Existen varios meacutetodos de integracioacuten consistiendo todos ellos en reducir la integral buscada a una inteacutegrala conocida como por ejemplo una de las de la tabla o bien reducirla una integral maacutes sencilla
El meacutetodo de integracioacuten por partes estaacute basado en la derivada de un producto de funciones como se muestra a continuacioacuten
d(umiddotv) = u dv + v du
por eso es que se usa para integrales que contienen dos funciones que se multiplican entre si
intd(umiddotv) = intu dv + intv du
Se llama integracioacuten por partes porque la integral se divide en dos partes en una el integrando es u y otra en la otra es v La integral debe estar completa y sin alterar la operacioacuten dentro de ella Consejos
La funcioacuten correspondiente a dv debe ser la funcioacuten maacutes faacutecil de integrar 2- En u deben ir aquellas funciones que no tienen integral directa (funciones logariacutetmicas e inversas) luego se pueden considerar las funciones algebraicas puesto que la derivada es reductiva Las funciones trigonomeacutetricas y exponenciales son maacutes sencillas de trabajar
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRACIOacuteN POR PARTES
1-
2-
3-
4-
5-
6-
7-
8-
9-
10-
INTEGRACION POR PARTES
MATERIAL DE APOYO
VIDEOS DE INTEGRACION POR PARTES
1) httpswwwprofesor10dematescom201505integrales-por-partes-resueltashtml
2) httpwwwsietecolinasesmaterialesmatintegrales-4pdf
3) httpsgpweiztuammxfilesusersuamijdfmetodos_de_integracionintegracion_por_partesp
df
EJERCICIOS EJERCICIOS PARA RESOLVER POR PARTES
1) L=Ln
R
2) R
3) R
4) R
5) R 6) R
7) R
8) R
9) R L=Ln
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
15) R
16) R
17) R
18) R
19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
INTEGRAL RESPUESTA
26) x senx dx sen x xcos x c
27) ln x dx 1x ln x c
28)2
xx sen dx 4 2
2 2
x xsen xcos c
29) x cos nx dx 2
cos nx x sennxc
nn
30) 2 u sec u du utgu lncosu c
31) 2 3 u sen v dv 21 1 16 6
4 12 72v v sen v cos v c
32) 2 y senny dy 2
3 2
2 2cosny y senny y cosnyc
nn n
33) 2 xa dx 2
1x xa c
lna ln a
34) nx ln x dx 1 1
1 1
nx
ln x cn n
35) arc sen x dx 2 1x arc sen x x c
36) arc tg x dx 21 1
2x arc tg x ln x c
37) arc c tg y dy 21 1
2y arc c tg y ln y c
38) 2 arc cos x dx 21 2 1 4
2x arc cos x x c
39) arc sec y dy 2 1y arc sec y ln y y c
40) 2
tarc csc dt 2 2 4
2
tt arc csc ln t t c
41) x arc tg x dx 2 1
2 2
x xarc tg x c
42) arc tg x dx 1 x arc tg x x c
43) 2 xx e dx
22 2xe x x c
44) e cos d
2
esen cos c
45)
2
1
ln x dx
x 1
1
xln x ln x c
x
CAPITULO 4
FUNCIONES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
1) httpwwwmtyitesmmxetiedeptosmma-841recursostab-hippdf
2) httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCION
ES20HIPERBOLICASpdfsequence=1
FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS HIPERBOacuteLICAS
Definicioacuten de las funciones
Un ciacuterculo unitario con centro en el origen sigue la foacutermula 1yx 22 un punto dado por el par
ordenado yx se puede representar como funcioacuten de un aacutengulo t de la siguiente manera
senttcosyx De igual manera una hipeacuterbola unitaria con centro en el origen sigue la foacutermula
1yx 22 un punto dado por el par ordenado yx se puede representar como funcioacuten del aacutengulo t
de la siguiente manera senhttcoshyx Estas funciones se denominan funciones trigonomeacutetricas
hiperboacutelicas en particular coseno hiperboacutelico y seno hiperboacutelico
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas presentan propiedades anaacutelogas a las de las funciones
trigonomeacutetricas o circulares La funcioacuten xsenhxf se define como 2
eexsenh
xx mientras que
la funcioacuten xcoshxf es 2
eexcosh
xx
Al igual que las funciones trigonomeacutetricas circulares en las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas se
cumplen las siguientes identidades fundamentales
xx
xx
xx
xx
xx
xx
ee
2
xsenh
1xhcsc
ee
2
xcosh
1xhsec
ee
ee
xsenh
xcoshxcoth
ee
ee
xcosh
xsenhxtanh
Debido a esto es loacutegico pensar que habraacute una relacioacuten equivalente al Teorema de Pitaacutegoras Asiacute
para las funciones hiperboacutelicas se sabe que 1xsenhxcosh 22
Ejemplo 1
Demostrar que 1xsenhxcosh 22
11
14
4
14
2
4
2
14
ee2
4
ee2
14
eee2e
4
eee2e
12
ee
2
ee
1xsenhxcosh
xxxx
x2xxx2x2xxx2
2xx
2xx
22
Graacutefica de las funciones
Sea la funcioacuten 2
eexsenhxf
xx Las intersecciones se pueden encontrar igualando la funcioacuten
a cero
0x
0x2
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
02
ee
x2
x
x
xx
xx
xx
La funcioacuten seno hiperboacutelico tiene una sola raiacutez en x=0 Para obtener los puntos criacuteticos se iguala a
cero la derivada de la funcioacuten
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
0ee2
1
ee2
1ee
dx
d
2
1
2
ee
dx
d
dx
df
x2
x
x
xx
xx
xx
xxxxxx
por lo tanto no hay puntos criacuteticos Es interesante notar que la derivada de la funcioacuten senh(x) es la
funcioacuten cosh(x)
Por uacuteltimo puntos inflexioacuten se pueden encontrar en donde la segunda derivada es igual a cero
xxxxxx
2
2
ee2
1ee
dx
d
2
1ee
2
1
dx
d
dx
fd
La segunda derivada nos llevoacute nuevamente a la funcioacuten senh(x) Esta funcioacuten ya se igualoacute a cero
para encontrar las intersecciones El resultado es que en x=0 hay una raiacutez que a su vez es un punto
de inflexioacuten
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
La misma funcioacuten 2
eexsenhxf
xx se puede ver como la resta de dos funciones exponenciales
2
e
2
e
2
ee xxxx
La graacutefica de estas dos funciones exponenciales se muestra en azul (exponencial
positiva) y verde (exponencial negativa) La resta de ambas punto por punto es la funcioacuten senh(x)
Derivadas
ucoshdx
duusenh
dx
dxcosh
2
ee
2
ee
dx
dxsenh
dx
d xxxx
usenhdx
duucosh
dx
dxsenh
2
ee
2
ee
dx
dxcosh
dx
d xxxx
uhsecdx
duutanh
dx
d
xhsecxcosh
1
xcosh
xsenhxcosh
xcosh
senhx
dx
dxtanh
dx
d
2
2
22
22
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
uhcscdx
duucoth
dx
d
xhcscxsenh
1
xsenh
xcoshxsenh
senhx
xcosh
dx
dxcoth
dx
d 2
22
22
uhsecutanhdx
duuhsec
dx
d
hxsecxtanhxcosh
1
xcosh
senhx
xcosh
senhx
xcosh
1
dx
dxhsec
dx
d2
uhcscucothdx
duuhcsc
dx
d
hxcscxcothsenhx
1
senhx
xcosh
xsenh
xcosh
senhx
1
dx
dxhcsc
dx
d2
Ejemplo 2
Derivar la funcioacuten 3x4tanhxf 2
La funcioacuten maacutes externa es la raiacutez por lo tanto es la primera en derivarse
3x4tanh2
3x4hsecx83x4tanh
dx
d
3x4tanh2
1
dx
df
2
222
2
Ejemplo 3
Derivar la funcioacuten 2x3cosh2x3tanhlnxf 22
La funcioacuten maacutes externa es el logaritmo por lo tanto es el primero en derivarse
2x3cosh2x3tanh
2x3xsenh62x3hsecx6
dx
df22
222
Integrales
Utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se puede establecer que
cuhcscduucothuhcsc
cuhsecduutanhuhsec
cucothduuhcsc
cutanhduuhsec
cusenhduucosh
cucoshduusenh
2
2
Utilizando estas foacutermulas se pueden establecer las siguientes
Ejemplo 4
Hallar la foacutermula para la integral de la tangente hiperboacutelica
dxxcosh
xsenhdxxtanh
Se hace un cambio de variable en donde dxxsenhduxcoshu Al sustituir la integral anterior
cambia a
cxcoshlnculnu
dudx
xcosh
xsenhdxxtanh
Se puede utilizar el mismo procedimiento para hallar las siguientes foacutermulas
cusenhlnduucoth
cucoshlnduutanh
Ejemplo 5
Resolver las siguientes integrales
dxx3senhx 32
Se realiza el cambio de variable dxx9
dux3u 23 por lo tanto la integral se puede escribir como
cx3cosh9
1cucosh
9
1duusenh
9
1
9
duusenhdxx3senhx 332
dx
x
xlnhsec 2
Se realiza el cambio de variablex
dxduxlnu por lo tanto la integral se puede escribir como
cxlntanhcutanhduuhsecdx
x
xlnhsec2
2
1
0
dxxcoshxsenh
Se realiza el cambio de variable dxxsenhduxcoshu por lo tanto la integral se puede escribir
como
1x
0x
1
0
2 duudxxcoshxsenh
Sin embargo dado que u=senh(x) si x=0 entonces 02
ee0senhu
00
Cuando x=1 entonces
e2
1e
2
e
1e
2
e
1e
2
ee1senhu
2
2
11
La integral es
2
32
23
23
2
e2
1e
0
23
e2
1e
0
1x
0x
1
0
2
e2
1e
3
20
3
2
e2
1e
3
2
u3
2duuduudxxcoshxsenh
22
Inversas
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas tienen funciones inversas que comuacutenmente se denotan
como 1senh o bien como arcsenh donde la funcioacuten recibe el nombre de seno hiperboacutelico inverso
Dado que las funciones estaacuten definidas en teacuterminos de exponenciales es de esperarse que sus
inversas incluyan logaritmos naturales Se pueden definir como
1x0parax
x11lnxhsec
1xparax1
x1ln
2
1xtanh
1xpara1xxlnxcosh
1xxlnxsenh
21
1
21
21
Las derivadas e integrales de estas funciones se resuelven igual que las funciones trigonomeacutetricas
inversas
Ejemplo 6
Obtener la foacutermula para la derivada de la funcioacuten xsenhy 1
Dado que no se conoce la derivada del seno hiperboacutelico inverso pero siacute la del seno hiperboacutelico se
pueden utilizar el concepto de la funcioacuten inversa y la derivada impliacutecita para hallar la foacutermula en
cuestioacuten
ycosh
1y
1yacutecoshy
xysenh
xsenhy 1
Se sabe que 1ysenhycosh 22 por lo tanto 1ysenhycosh 22 y la funcioacuten senhy=x entonces
1xycosh 2 Al sustituir se obtiene
1x
1y
2
El mismo meacutetodo se puede utilizar para encontrar cualquiera de las siguientes foacutermulas
1u
dxdu
usenhdx
d
2
1
1u1u
dxdu
ucoshdx
d
2
1
1uu1
dxdu
utanhdx
d2
1
1u0u1u
dxdu
uhsecdx
d
2
1
Ejemplo 7
Determinar si la funcioacuten 3xxsenhxf 21 es creciente o decreciente en el punto x=2
Se debe resolver la derivada de la multiplicacioacuten
10x6x
x23xsenh
19x6x
x23xsenh
13x
x2x3xsenh
dx
df
24
221
24
221
22
21
Se busca conocer como es la funcioacuten en x=2 por lo tanto se sustituye en la derivada
773131642077
80714ln
25
8257ln
225
82257ln
50
81497ln
102416
87senh
dx
df 1
2x
La funcioacuten es creciente crece a una razoacuten de 377
Las foacutermulas para la integracioacuten salen utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo y a partir de las
foacutermulas de derivacioacuten
0aca
usenhdu
ua
1 1
22
0auca
ucoshdu
au
1 1
22
au0aca
utanh
a
1du
ua
1 1
22
au00aca
uhsec
a
1du
uau
1 1
22
Ejemplo 8
Resolver la integral
dxe25
e
x6
x3
Esta integral es como la de la tangente hiperboacutelica inversa donde 5a25a 2
dxe3
dueueu x3x3x62 Al sustituir esto en la integral
c5
etanh
15
1c
5
etanh
5
1
3
1
u25
du
3
1
u25
3du x3
1x3
1
22
Aplicaciones
La velocidad de las olas en el mar bajo ciertas condiciones depende de la longitud de onda
(distancia entre cresta y cresta) y de la profundidad del agua por donde viajan las olas h La funcioacuten
que relaciona estas variables es
h2tanh
2
gv 2
donde v es la velocidad y g es la gravedad
Suponiendo que se mantiene h constante esto es que el oleaje se propaga por un oceacuteano de
profundidad constante (50 m) determinar si la velocidad aumenta o disminuye cuando m5
h2hsec
ghh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2hsec
h2
2
gh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2tanh
2
gv
h2tanh
2
gv
2
2
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
728d
dv
5
502hsec
5
50819
5
502tanh
2
819
5
502tanh
2
58192
1
d
dv 2
Entonces para este valor de la longitud de onda y de la profundidad la velocidad de la ola va
aumentando respecto a la longitud de onda
Si se requiere ahora saber como va cambiando la velocidad de propagacioacuten del oleaje respecto a la
profundidad del mar para una longitud de onda de 5 m se deberaacute entonces derivar respecto a h Sea
una profundidad de 7 m
h2tanh
2
g2
h2hsecg
dh
dv
h2hsec
2
2
g
h2tanh
2
g2
1
dh
dv
h2tanh
2
gv
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
77
2
2
1061595
10918
5
14tanh
2
05492
5
14hsec819
dh
dv
5
72tanh
2
58192
5
72hsec819
dh
dv
Asiacute que aunque la velocidad de propagacioacuten del oleaje va aumentando respecto a la profundidad la
razoacuten de cambio es muy pequentildea
EJERCICIOS DE DERIVADAS HIPERBOLICAS
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6) R
7) R
8) AYUDA R
9) R 10) R
11) R 12) R
13) R
14)DEMOSTRAR
AYUDA
15)
AYUDA
INTEGRALES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
httpcalculoccfunciones_hiperbolicasp_integrales_hiperbhtml
httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCIONES20
HIPERBOLICASpdfsequence=1
httpseswikipediaorgwikiAnexoIntegrales_de_funciones_hiperbC3B3licas
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES HIPERBOLICAS
2)
3)
5)
6)
8)
Resolvemos ambas integrales mediante integracioacuten por partes
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 5 u = 3x
11)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 3 u = 4x
13)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = radic7 u = 5x
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION MATERIAL DE APOYO
800 INTEGRALES RESUELTAS
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_metodosproblemasp_integr_sust_trigohtml
httpsmatematicasnblogspotcom201512integracion-por-sustitucionhtml CON VIDEOS INCLUIDOS
httpsdspaceupseduecbitstream12345678961191Manual20de20fracciones20parcialespdf
httpwwwtesoemedumxalumnoscuadernillos2011011pdf
httpprofe-alexzblogspotcom201104integracion-fracciones-parcialeshtml Y VIDEOS
httpswwwsectormatematicacl rsaquo media rsaquo diferenciado rsaquo FRACCIONES P httpswwwipnmxassetsfilescecyt11docsGuiasUABasicasMatematicascalculo-integral-solucion-de-problemasPDF
httpswwwacademiaedu7708664CC381LCULO_INTEGRAL_EJERCICIOS_RESUELTOS_PASO_A_PASO
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1 Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de
variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de
la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que
contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe
ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
CAPITULO 3
INTEGRACION POR PARTES
Definicioacuten
Existen varios meacutetodos de integracioacuten consistiendo todos ellos en reducir la integral buscada a una inteacutegrala conocida como por ejemplo una de las de la tabla o bien reducirla una integral maacutes sencilla
El meacutetodo de integracioacuten por partes estaacute basado en la derivada de un producto de funciones como se muestra a continuacioacuten
d(umiddotv) = u dv + v du
por eso es que se usa para integrales que contienen dos funciones que se multiplican entre si
intd(umiddotv) = intu dv + intv du
Se llama integracioacuten por partes porque la integral se divide en dos partes en una el integrando es u y otra en la otra es v La integral debe estar completa y sin alterar la operacioacuten dentro de ella Consejos
La funcioacuten correspondiente a dv debe ser la funcioacuten maacutes faacutecil de integrar 2- En u deben ir aquellas funciones que no tienen integral directa (funciones logariacutetmicas e inversas) luego se pueden considerar las funciones algebraicas puesto que la derivada es reductiva Las funciones trigonomeacutetricas y exponenciales son maacutes sencillas de trabajar
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRACIOacuteN POR PARTES
1-
2-
3-
4-
5-
6-
7-
8-
9-
10-
INTEGRACION POR PARTES
MATERIAL DE APOYO
VIDEOS DE INTEGRACION POR PARTES
1) httpswwwprofesor10dematescom201505integrales-por-partes-resueltashtml
2) httpwwwsietecolinasesmaterialesmatintegrales-4pdf
3) httpsgpweiztuammxfilesusersuamijdfmetodos_de_integracionintegracion_por_partesp
df
EJERCICIOS EJERCICIOS PARA RESOLVER POR PARTES
1) L=Ln
R
2) R
3) R
4) R
5) R 6) R
7) R
8) R
9) R L=Ln
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
15) R
16) R
17) R
18) R
19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
INTEGRAL RESPUESTA
26) x senx dx sen x xcos x c
27) ln x dx 1x ln x c
28)2
xx sen dx 4 2
2 2
x xsen xcos c
29) x cos nx dx 2
cos nx x sennxc
nn
30) 2 u sec u du utgu lncosu c
31) 2 3 u sen v dv 21 1 16 6
4 12 72v v sen v cos v c
32) 2 y senny dy 2
3 2
2 2cosny y senny y cosnyc
nn n
33) 2 xa dx 2
1x xa c
lna ln a
34) nx ln x dx 1 1
1 1
nx
ln x cn n
35) arc sen x dx 2 1x arc sen x x c
36) arc tg x dx 21 1
2x arc tg x ln x c
37) arc c tg y dy 21 1
2y arc c tg y ln y c
38) 2 arc cos x dx 21 2 1 4
2x arc cos x x c
39) arc sec y dy 2 1y arc sec y ln y y c
40) 2
tarc csc dt 2 2 4
2
tt arc csc ln t t c
41) x arc tg x dx 2 1
2 2
x xarc tg x c
42) arc tg x dx 1 x arc tg x x c
43) 2 xx e dx
22 2xe x x c
44) e cos d
2
esen cos c
45)
2
1
ln x dx
x 1
1
xln x ln x c
x
CAPITULO 4
FUNCIONES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
1) httpwwwmtyitesmmxetiedeptosmma-841recursostab-hippdf
2) httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCION
ES20HIPERBOLICASpdfsequence=1
FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS HIPERBOacuteLICAS
Definicioacuten de las funciones
Un ciacuterculo unitario con centro en el origen sigue la foacutermula 1yx 22 un punto dado por el par
ordenado yx se puede representar como funcioacuten de un aacutengulo t de la siguiente manera
senttcosyx De igual manera una hipeacuterbola unitaria con centro en el origen sigue la foacutermula
1yx 22 un punto dado por el par ordenado yx se puede representar como funcioacuten del aacutengulo t
de la siguiente manera senhttcoshyx Estas funciones se denominan funciones trigonomeacutetricas
hiperboacutelicas en particular coseno hiperboacutelico y seno hiperboacutelico
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas presentan propiedades anaacutelogas a las de las funciones
trigonomeacutetricas o circulares La funcioacuten xsenhxf se define como 2
eexsenh
xx mientras que
la funcioacuten xcoshxf es 2
eexcosh
xx
Al igual que las funciones trigonomeacutetricas circulares en las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas se
cumplen las siguientes identidades fundamentales
xx
xx
xx
xx
xx
xx
ee
2
xsenh
1xhcsc
ee
2
xcosh
1xhsec
ee
ee
xsenh
xcoshxcoth
ee
ee
xcosh
xsenhxtanh
Debido a esto es loacutegico pensar que habraacute una relacioacuten equivalente al Teorema de Pitaacutegoras Asiacute
para las funciones hiperboacutelicas se sabe que 1xsenhxcosh 22
Ejemplo 1
Demostrar que 1xsenhxcosh 22
11
14
4
14
2
4
2
14
ee2
4
ee2
14
eee2e
4
eee2e
12
ee
2
ee
1xsenhxcosh
xxxx
x2xxx2x2xxx2
2xx
2xx
22
Graacutefica de las funciones
Sea la funcioacuten 2
eexsenhxf
xx Las intersecciones se pueden encontrar igualando la funcioacuten
a cero
0x
0x2
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
02
ee
x2
x
x
xx
xx
xx
La funcioacuten seno hiperboacutelico tiene una sola raiacutez en x=0 Para obtener los puntos criacuteticos se iguala a
cero la derivada de la funcioacuten
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
0ee2
1
ee2
1ee
dx
d
2
1
2
ee
dx
d
dx
df
x2
x
x
xx
xx
xx
xxxxxx
por lo tanto no hay puntos criacuteticos Es interesante notar que la derivada de la funcioacuten senh(x) es la
funcioacuten cosh(x)
Por uacuteltimo puntos inflexioacuten se pueden encontrar en donde la segunda derivada es igual a cero
xxxxxx
2
2
ee2
1ee
dx
d
2
1ee
2
1
dx
d
dx
fd
La segunda derivada nos llevoacute nuevamente a la funcioacuten senh(x) Esta funcioacuten ya se igualoacute a cero
para encontrar las intersecciones El resultado es que en x=0 hay una raiacutez que a su vez es un punto
de inflexioacuten
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
La misma funcioacuten 2
eexsenhxf
xx se puede ver como la resta de dos funciones exponenciales
2
e
2
e
2
ee xxxx
La graacutefica de estas dos funciones exponenciales se muestra en azul (exponencial
positiva) y verde (exponencial negativa) La resta de ambas punto por punto es la funcioacuten senh(x)
Derivadas
ucoshdx
duusenh
dx
dxcosh
2
ee
2
ee
dx
dxsenh
dx
d xxxx
usenhdx
duucosh
dx
dxsenh
2
ee
2
ee
dx
dxcosh
dx
d xxxx
uhsecdx
duutanh
dx
d
xhsecxcosh
1
xcosh
xsenhxcosh
xcosh
senhx
dx
dxtanh
dx
d
2
2
22
22
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
uhcscdx
duucoth
dx
d
xhcscxsenh
1
xsenh
xcoshxsenh
senhx
xcosh
dx
dxcoth
dx
d 2
22
22
uhsecutanhdx
duuhsec
dx
d
hxsecxtanhxcosh
1
xcosh
senhx
xcosh
senhx
xcosh
1
dx
dxhsec
dx
d2
uhcscucothdx
duuhcsc
dx
d
hxcscxcothsenhx
1
senhx
xcosh
xsenh
xcosh
senhx
1
dx
dxhcsc
dx
d2
Ejemplo 2
Derivar la funcioacuten 3x4tanhxf 2
La funcioacuten maacutes externa es la raiacutez por lo tanto es la primera en derivarse
3x4tanh2
3x4hsecx83x4tanh
dx
d
3x4tanh2
1
dx
df
2
222
2
Ejemplo 3
Derivar la funcioacuten 2x3cosh2x3tanhlnxf 22
La funcioacuten maacutes externa es el logaritmo por lo tanto es el primero en derivarse
2x3cosh2x3tanh
2x3xsenh62x3hsecx6
dx
df22
222
Integrales
Utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se puede establecer que
cuhcscduucothuhcsc
cuhsecduutanhuhsec
cucothduuhcsc
cutanhduuhsec
cusenhduucosh
cucoshduusenh
2
2
Utilizando estas foacutermulas se pueden establecer las siguientes
Ejemplo 4
Hallar la foacutermula para la integral de la tangente hiperboacutelica
dxxcosh
xsenhdxxtanh
Se hace un cambio de variable en donde dxxsenhduxcoshu Al sustituir la integral anterior
cambia a
cxcoshlnculnu
dudx
xcosh
xsenhdxxtanh
Se puede utilizar el mismo procedimiento para hallar las siguientes foacutermulas
cusenhlnduucoth
cucoshlnduutanh
Ejemplo 5
Resolver las siguientes integrales
dxx3senhx 32
Se realiza el cambio de variable dxx9
dux3u 23 por lo tanto la integral se puede escribir como
cx3cosh9
1cucosh
9
1duusenh
9
1
9
duusenhdxx3senhx 332
dx
x
xlnhsec 2
Se realiza el cambio de variablex
dxduxlnu por lo tanto la integral se puede escribir como
cxlntanhcutanhduuhsecdx
x
xlnhsec2
2
1
0
dxxcoshxsenh
Se realiza el cambio de variable dxxsenhduxcoshu por lo tanto la integral se puede escribir
como
1x
0x
1
0
2 duudxxcoshxsenh
Sin embargo dado que u=senh(x) si x=0 entonces 02
ee0senhu
00
Cuando x=1 entonces
e2
1e
2
e
1e
2
e
1e
2
ee1senhu
2
2
11
La integral es
2
32
23
23
2
e2
1e
0
23
e2
1e
0
1x
0x
1
0
2
e2
1e
3
20
3
2
e2
1e
3
2
u3
2duuduudxxcoshxsenh
22
Inversas
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas tienen funciones inversas que comuacutenmente se denotan
como 1senh o bien como arcsenh donde la funcioacuten recibe el nombre de seno hiperboacutelico inverso
Dado que las funciones estaacuten definidas en teacuterminos de exponenciales es de esperarse que sus
inversas incluyan logaritmos naturales Se pueden definir como
1x0parax
x11lnxhsec
1xparax1
x1ln
2
1xtanh
1xpara1xxlnxcosh
1xxlnxsenh
21
1
21
21
Las derivadas e integrales de estas funciones se resuelven igual que las funciones trigonomeacutetricas
inversas
Ejemplo 6
Obtener la foacutermula para la derivada de la funcioacuten xsenhy 1
Dado que no se conoce la derivada del seno hiperboacutelico inverso pero siacute la del seno hiperboacutelico se
pueden utilizar el concepto de la funcioacuten inversa y la derivada impliacutecita para hallar la foacutermula en
cuestioacuten
ycosh
1y
1yacutecoshy
xysenh
xsenhy 1
Se sabe que 1ysenhycosh 22 por lo tanto 1ysenhycosh 22 y la funcioacuten senhy=x entonces
1xycosh 2 Al sustituir se obtiene
1x
1y
2
El mismo meacutetodo se puede utilizar para encontrar cualquiera de las siguientes foacutermulas
1u
dxdu
usenhdx
d
2
1
1u1u
dxdu
ucoshdx
d
2
1
1uu1
dxdu
utanhdx
d2
1
1u0u1u
dxdu
uhsecdx
d
2
1
Ejemplo 7
Determinar si la funcioacuten 3xxsenhxf 21 es creciente o decreciente en el punto x=2
Se debe resolver la derivada de la multiplicacioacuten
10x6x
x23xsenh
19x6x
x23xsenh
13x
x2x3xsenh
dx
df
24
221
24
221
22
21
Se busca conocer como es la funcioacuten en x=2 por lo tanto se sustituye en la derivada
773131642077
80714ln
25
8257ln
225
82257ln
50
81497ln
102416
87senh
dx
df 1
2x
La funcioacuten es creciente crece a una razoacuten de 377
Las foacutermulas para la integracioacuten salen utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo y a partir de las
foacutermulas de derivacioacuten
0aca
usenhdu
ua
1 1
22
0auca
ucoshdu
au
1 1
22
au0aca
utanh
a
1du
ua
1 1
22
au00aca
uhsec
a
1du
uau
1 1
22
Ejemplo 8
Resolver la integral
dxe25
e
x6
x3
Esta integral es como la de la tangente hiperboacutelica inversa donde 5a25a 2
dxe3
dueueu x3x3x62 Al sustituir esto en la integral
c5
etanh
15
1c
5
etanh
5
1
3
1
u25
du
3
1
u25
3du x3
1x3
1
22
Aplicaciones
La velocidad de las olas en el mar bajo ciertas condiciones depende de la longitud de onda
(distancia entre cresta y cresta) y de la profundidad del agua por donde viajan las olas h La funcioacuten
que relaciona estas variables es
h2tanh
2
gv 2
donde v es la velocidad y g es la gravedad
Suponiendo que se mantiene h constante esto es que el oleaje se propaga por un oceacuteano de
profundidad constante (50 m) determinar si la velocidad aumenta o disminuye cuando m5
h2hsec
ghh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2hsec
h2
2
gh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2tanh
2
gv
h2tanh
2
gv
2
2
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
728d
dv
5
502hsec
5
50819
5
502tanh
2
819
5
502tanh
2
58192
1
d
dv 2
Entonces para este valor de la longitud de onda y de la profundidad la velocidad de la ola va
aumentando respecto a la longitud de onda
Si se requiere ahora saber como va cambiando la velocidad de propagacioacuten del oleaje respecto a la
profundidad del mar para una longitud de onda de 5 m se deberaacute entonces derivar respecto a h Sea
una profundidad de 7 m
h2tanh
2
g2
h2hsecg
dh
dv
h2hsec
2
2
g
h2tanh
2
g2
1
dh
dv
h2tanh
2
gv
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
77
2
2
1061595
10918
5
14tanh
2
05492
5
14hsec819
dh
dv
5
72tanh
2
58192
5
72hsec819
dh
dv
Asiacute que aunque la velocidad de propagacioacuten del oleaje va aumentando respecto a la profundidad la
razoacuten de cambio es muy pequentildea
EJERCICIOS DE DERIVADAS HIPERBOLICAS
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6) R
7) R
8) AYUDA R
9) R 10) R
11) R 12) R
13) R
14)DEMOSTRAR
AYUDA
15)
AYUDA
INTEGRALES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
httpcalculoccfunciones_hiperbolicasp_integrales_hiperbhtml
httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCIONES20
HIPERBOLICASpdfsequence=1
httpseswikipediaorgwikiAnexoIntegrales_de_funciones_hiperbC3B3licas
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES HIPERBOLICAS
2)
3)
5)
6)
8)
Resolvemos ambas integrales mediante integracioacuten por partes
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 5 u = 3x
11)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 3 u = 4x
13)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = radic7 u = 5x
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION MATERIAL DE APOYO
800 INTEGRALES RESUELTAS
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_metodosproblemasp_integr_sust_trigohtml
httpsmatematicasnblogspotcom201512integracion-por-sustitucionhtml CON VIDEOS INCLUIDOS
httpsdspaceupseduecbitstream12345678961191Manual20de20fracciones20parcialespdf
httpwwwtesoemedumxalumnoscuadernillos2011011pdf
httpprofe-alexzblogspotcom201104integracion-fracciones-parcialeshtml Y VIDEOS
httpswwwsectormatematicacl rsaquo media rsaquo diferenciado rsaquo FRACCIONES P httpswwwipnmxassetsfilescecyt11docsGuiasUABasicasMatematicascalculo-integral-solucion-de-problemasPDF
httpswwwacademiaedu7708664CC381LCULO_INTEGRAL_EJERCICIOS_RESUELTOS_PASO_A_PASO
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1 Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de
variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de
la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que
contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe
ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
3-
4-
5-
6-
7-
8-
9-
10-
INTEGRACION POR PARTES
MATERIAL DE APOYO
VIDEOS DE INTEGRACION POR PARTES
1) httpswwwprofesor10dematescom201505integrales-por-partes-resueltashtml
2) httpwwwsietecolinasesmaterialesmatintegrales-4pdf
3) httpsgpweiztuammxfilesusersuamijdfmetodos_de_integracionintegracion_por_partesp
df
EJERCICIOS EJERCICIOS PARA RESOLVER POR PARTES
1) L=Ln
R
2) R
3) R
4) R
5) R 6) R
7) R
8) R
9) R L=Ln
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
15) R
16) R
17) R
18) R
19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
INTEGRAL RESPUESTA
26) x senx dx sen x xcos x c
27) ln x dx 1x ln x c
28)2
xx sen dx 4 2
2 2
x xsen xcos c
29) x cos nx dx 2
cos nx x sennxc
nn
30) 2 u sec u du utgu lncosu c
31) 2 3 u sen v dv 21 1 16 6
4 12 72v v sen v cos v c
32) 2 y senny dy 2
3 2
2 2cosny y senny y cosnyc
nn n
33) 2 xa dx 2
1x xa c
lna ln a
34) nx ln x dx 1 1
1 1
nx
ln x cn n
35) arc sen x dx 2 1x arc sen x x c
36) arc tg x dx 21 1
2x arc tg x ln x c
37) arc c tg y dy 21 1
2y arc c tg y ln y c
38) 2 arc cos x dx 21 2 1 4
2x arc cos x x c
39) arc sec y dy 2 1y arc sec y ln y y c
40) 2
tarc csc dt 2 2 4
2
tt arc csc ln t t c
41) x arc tg x dx 2 1
2 2
x xarc tg x c
42) arc tg x dx 1 x arc tg x x c
43) 2 xx e dx
22 2xe x x c
44) e cos d
2
esen cos c
45)
2
1
ln x dx
x 1
1
xln x ln x c
x
CAPITULO 4
FUNCIONES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
1) httpwwwmtyitesmmxetiedeptosmma-841recursostab-hippdf
2) httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCION
ES20HIPERBOLICASpdfsequence=1
FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS HIPERBOacuteLICAS
Definicioacuten de las funciones
Un ciacuterculo unitario con centro en el origen sigue la foacutermula 1yx 22 un punto dado por el par
ordenado yx se puede representar como funcioacuten de un aacutengulo t de la siguiente manera
senttcosyx De igual manera una hipeacuterbola unitaria con centro en el origen sigue la foacutermula
1yx 22 un punto dado por el par ordenado yx se puede representar como funcioacuten del aacutengulo t
de la siguiente manera senhttcoshyx Estas funciones se denominan funciones trigonomeacutetricas
hiperboacutelicas en particular coseno hiperboacutelico y seno hiperboacutelico
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas presentan propiedades anaacutelogas a las de las funciones
trigonomeacutetricas o circulares La funcioacuten xsenhxf se define como 2
eexsenh
xx mientras que
la funcioacuten xcoshxf es 2
eexcosh
xx
Al igual que las funciones trigonomeacutetricas circulares en las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas se
cumplen las siguientes identidades fundamentales
xx
xx
xx
xx
xx
xx
ee
2
xsenh
1xhcsc
ee
2
xcosh
1xhsec
ee
ee
xsenh
xcoshxcoth
ee
ee
xcosh
xsenhxtanh
Debido a esto es loacutegico pensar que habraacute una relacioacuten equivalente al Teorema de Pitaacutegoras Asiacute
para las funciones hiperboacutelicas se sabe que 1xsenhxcosh 22
Ejemplo 1
Demostrar que 1xsenhxcosh 22
11
14
4
14
2
4
2
14
ee2
4
ee2
14
eee2e
4
eee2e
12
ee
2
ee
1xsenhxcosh
xxxx
x2xxx2x2xxx2
2xx
2xx
22
Graacutefica de las funciones
Sea la funcioacuten 2
eexsenhxf
xx Las intersecciones se pueden encontrar igualando la funcioacuten
a cero
0x
0x2
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
02
ee
x2
x
x
xx
xx
xx
La funcioacuten seno hiperboacutelico tiene una sola raiacutez en x=0 Para obtener los puntos criacuteticos se iguala a
cero la derivada de la funcioacuten
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
0ee2
1
ee2
1ee
dx
d
2
1
2
ee
dx
d
dx
df
x2
x
x
xx
xx
xx
xxxxxx
por lo tanto no hay puntos criacuteticos Es interesante notar que la derivada de la funcioacuten senh(x) es la
funcioacuten cosh(x)
Por uacuteltimo puntos inflexioacuten se pueden encontrar en donde la segunda derivada es igual a cero
xxxxxx
2
2
ee2
1ee
dx
d
2
1ee
2
1
dx
d
dx
fd
La segunda derivada nos llevoacute nuevamente a la funcioacuten senh(x) Esta funcioacuten ya se igualoacute a cero
para encontrar las intersecciones El resultado es que en x=0 hay una raiacutez que a su vez es un punto
de inflexioacuten
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
La misma funcioacuten 2
eexsenhxf
xx se puede ver como la resta de dos funciones exponenciales
2
e
2
e
2
ee xxxx
La graacutefica de estas dos funciones exponenciales se muestra en azul (exponencial
positiva) y verde (exponencial negativa) La resta de ambas punto por punto es la funcioacuten senh(x)
Derivadas
ucoshdx
duusenh
dx
dxcosh
2
ee
2
ee
dx
dxsenh
dx
d xxxx
usenhdx
duucosh
dx
dxsenh
2
ee
2
ee
dx
dxcosh
dx
d xxxx
uhsecdx
duutanh
dx
d
xhsecxcosh
1
xcosh
xsenhxcosh
xcosh
senhx
dx
dxtanh
dx
d
2
2
22
22
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
uhcscdx
duucoth
dx
d
xhcscxsenh
1
xsenh
xcoshxsenh
senhx
xcosh
dx
dxcoth
dx
d 2
22
22
uhsecutanhdx
duuhsec
dx
d
hxsecxtanhxcosh
1
xcosh
senhx
xcosh
senhx
xcosh
1
dx
dxhsec
dx
d2
uhcscucothdx
duuhcsc
dx
d
hxcscxcothsenhx
1
senhx
xcosh
xsenh
xcosh
senhx
1
dx
dxhcsc
dx
d2
Ejemplo 2
Derivar la funcioacuten 3x4tanhxf 2
La funcioacuten maacutes externa es la raiacutez por lo tanto es la primera en derivarse
3x4tanh2
3x4hsecx83x4tanh
dx
d
3x4tanh2
1
dx
df
2
222
2
Ejemplo 3
Derivar la funcioacuten 2x3cosh2x3tanhlnxf 22
La funcioacuten maacutes externa es el logaritmo por lo tanto es el primero en derivarse
2x3cosh2x3tanh
2x3xsenh62x3hsecx6
dx
df22
222
Integrales
Utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se puede establecer que
cuhcscduucothuhcsc
cuhsecduutanhuhsec
cucothduuhcsc
cutanhduuhsec
cusenhduucosh
cucoshduusenh
2
2
Utilizando estas foacutermulas se pueden establecer las siguientes
Ejemplo 4
Hallar la foacutermula para la integral de la tangente hiperboacutelica
dxxcosh
xsenhdxxtanh
Se hace un cambio de variable en donde dxxsenhduxcoshu Al sustituir la integral anterior
cambia a
cxcoshlnculnu
dudx
xcosh
xsenhdxxtanh
Se puede utilizar el mismo procedimiento para hallar las siguientes foacutermulas
cusenhlnduucoth
cucoshlnduutanh
Ejemplo 5
Resolver las siguientes integrales
dxx3senhx 32
Se realiza el cambio de variable dxx9
dux3u 23 por lo tanto la integral se puede escribir como
cx3cosh9
1cucosh
9
1duusenh
9
1
9
duusenhdxx3senhx 332
dx
x
xlnhsec 2
Se realiza el cambio de variablex
dxduxlnu por lo tanto la integral se puede escribir como
cxlntanhcutanhduuhsecdx
x
xlnhsec2
2
1
0
dxxcoshxsenh
Se realiza el cambio de variable dxxsenhduxcoshu por lo tanto la integral se puede escribir
como
1x
0x
1
0
2 duudxxcoshxsenh
Sin embargo dado que u=senh(x) si x=0 entonces 02
ee0senhu
00
Cuando x=1 entonces
e2
1e
2
e
1e
2
e
1e
2
ee1senhu
2
2
11
La integral es
2
32
23
23
2
e2
1e
0
23
e2
1e
0
1x
0x
1
0
2
e2
1e
3
20
3
2
e2
1e
3
2
u3
2duuduudxxcoshxsenh
22
Inversas
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas tienen funciones inversas que comuacutenmente se denotan
como 1senh o bien como arcsenh donde la funcioacuten recibe el nombre de seno hiperboacutelico inverso
Dado que las funciones estaacuten definidas en teacuterminos de exponenciales es de esperarse que sus
inversas incluyan logaritmos naturales Se pueden definir como
1x0parax
x11lnxhsec
1xparax1
x1ln
2
1xtanh
1xpara1xxlnxcosh
1xxlnxsenh
21
1
21
21
Las derivadas e integrales de estas funciones se resuelven igual que las funciones trigonomeacutetricas
inversas
Ejemplo 6
Obtener la foacutermula para la derivada de la funcioacuten xsenhy 1
Dado que no se conoce la derivada del seno hiperboacutelico inverso pero siacute la del seno hiperboacutelico se
pueden utilizar el concepto de la funcioacuten inversa y la derivada impliacutecita para hallar la foacutermula en
cuestioacuten
ycosh
1y
1yacutecoshy
xysenh
xsenhy 1
Se sabe que 1ysenhycosh 22 por lo tanto 1ysenhycosh 22 y la funcioacuten senhy=x entonces
1xycosh 2 Al sustituir se obtiene
1x
1y
2
El mismo meacutetodo se puede utilizar para encontrar cualquiera de las siguientes foacutermulas
1u
dxdu
usenhdx
d
2
1
1u1u
dxdu
ucoshdx
d
2
1
1uu1
dxdu
utanhdx
d2
1
1u0u1u
dxdu
uhsecdx
d
2
1
Ejemplo 7
Determinar si la funcioacuten 3xxsenhxf 21 es creciente o decreciente en el punto x=2
Se debe resolver la derivada de la multiplicacioacuten
10x6x
x23xsenh
19x6x
x23xsenh
13x
x2x3xsenh
dx
df
24
221
24
221
22
21
Se busca conocer como es la funcioacuten en x=2 por lo tanto se sustituye en la derivada
773131642077
80714ln
25
8257ln
225
82257ln
50
81497ln
102416
87senh
dx
df 1
2x
La funcioacuten es creciente crece a una razoacuten de 377
Las foacutermulas para la integracioacuten salen utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo y a partir de las
foacutermulas de derivacioacuten
0aca
usenhdu
ua
1 1
22
0auca
ucoshdu
au
1 1
22
au0aca
utanh
a
1du
ua
1 1
22
au00aca
uhsec
a
1du
uau
1 1
22
Ejemplo 8
Resolver la integral
dxe25
e
x6
x3
Esta integral es como la de la tangente hiperboacutelica inversa donde 5a25a 2
dxe3
dueueu x3x3x62 Al sustituir esto en la integral
c5
etanh
15
1c
5
etanh
5
1
3
1
u25
du
3
1
u25
3du x3
1x3
1
22
Aplicaciones
La velocidad de las olas en el mar bajo ciertas condiciones depende de la longitud de onda
(distancia entre cresta y cresta) y de la profundidad del agua por donde viajan las olas h La funcioacuten
que relaciona estas variables es
h2tanh
2
gv 2
donde v es la velocidad y g es la gravedad
Suponiendo que se mantiene h constante esto es que el oleaje se propaga por un oceacuteano de
profundidad constante (50 m) determinar si la velocidad aumenta o disminuye cuando m5
h2hsec
ghh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2hsec
h2
2
gh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2tanh
2
gv
h2tanh
2
gv
2
2
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
728d
dv
5
502hsec
5
50819
5
502tanh
2
819
5
502tanh
2
58192
1
d
dv 2
Entonces para este valor de la longitud de onda y de la profundidad la velocidad de la ola va
aumentando respecto a la longitud de onda
Si se requiere ahora saber como va cambiando la velocidad de propagacioacuten del oleaje respecto a la
profundidad del mar para una longitud de onda de 5 m se deberaacute entonces derivar respecto a h Sea
una profundidad de 7 m
h2tanh
2
g2
h2hsecg
dh
dv
h2hsec
2
2
g
h2tanh
2
g2
1
dh
dv
h2tanh
2
gv
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
77
2
2
1061595
10918
5
14tanh
2
05492
5
14hsec819
dh
dv
5
72tanh
2
58192
5
72hsec819
dh
dv
Asiacute que aunque la velocidad de propagacioacuten del oleaje va aumentando respecto a la profundidad la
razoacuten de cambio es muy pequentildea
EJERCICIOS DE DERIVADAS HIPERBOLICAS
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6) R
7) R
8) AYUDA R
9) R 10) R
11) R 12) R
13) R
14)DEMOSTRAR
AYUDA
15)
AYUDA
INTEGRALES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
httpcalculoccfunciones_hiperbolicasp_integrales_hiperbhtml
httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCIONES20
HIPERBOLICASpdfsequence=1
httpseswikipediaorgwikiAnexoIntegrales_de_funciones_hiperbC3B3licas
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES HIPERBOLICAS
2)
3)
5)
6)
8)
Resolvemos ambas integrales mediante integracioacuten por partes
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 5 u = 3x
11)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 3 u = 4x
13)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = radic7 u = 5x
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION MATERIAL DE APOYO
800 INTEGRALES RESUELTAS
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_metodosproblemasp_integr_sust_trigohtml
httpsmatematicasnblogspotcom201512integracion-por-sustitucionhtml CON VIDEOS INCLUIDOS
httpsdspaceupseduecbitstream12345678961191Manual20de20fracciones20parcialespdf
httpwwwtesoemedumxalumnoscuadernillos2011011pdf
httpprofe-alexzblogspotcom201104integracion-fracciones-parcialeshtml Y VIDEOS
httpswwwsectormatematicacl rsaquo media rsaquo diferenciado rsaquo FRACCIONES P httpswwwipnmxassetsfilescecyt11docsGuiasUABasicasMatematicascalculo-integral-solucion-de-problemasPDF
httpswwwacademiaedu7708664CC381LCULO_INTEGRAL_EJERCICIOS_RESUELTOS_PASO_A_PASO
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1 Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de
variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de
la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que
contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe
ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
5-
6-
7-
8-
9-
10-
INTEGRACION POR PARTES
MATERIAL DE APOYO
VIDEOS DE INTEGRACION POR PARTES
1) httpswwwprofesor10dematescom201505integrales-por-partes-resueltashtml
2) httpwwwsietecolinasesmaterialesmatintegrales-4pdf
3) httpsgpweiztuammxfilesusersuamijdfmetodos_de_integracionintegracion_por_partesp
df
EJERCICIOS EJERCICIOS PARA RESOLVER POR PARTES
1) L=Ln
R
2) R
3) R
4) R
5) R 6) R
7) R
8) R
9) R L=Ln
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
15) R
16) R
17) R
18) R
19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
INTEGRAL RESPUESTA
26) x senx dx sen x xcos x c
27) ln x dx 1x ln x c
28)2
xx sen dx 4 2
2 2
x xsen xcos c
29) x cos nx dx 2
cos nx x sennxc
nn
30) 2 u sec u du utgu lncosu c
31) 2 3 u sen v dv 21 1 16 6
4 12 72v v sen v cos v c
32) 2 y senny dy 2
3 2
2 2cosny y senny y cosnyc
nn n
33) 2 xa dx 2
1x xa c
lna ln a
34) nx ln x dx 1 1
1 1
nx
ln x cn n
35) arc sen x dx 2 1x arc sen x x c
36) arc tg x dx 21 1
2x arc tg x ln x c
37) arc c tg y dy 21 1
2y arc c tg y ln y c
38) 2 arc cos x dx 21 2 1 4
2x arc cos x x c
39) arc sec y dy 2 1y arc sec y ln y y c
40) 2
tarc csc dt 2 2 4
2
tt arc csc ln t t c
41) x arc tg x dx 2 1
2 2
x xarc tg x c
42) arc tg x dx 1 x arc tg x x c
43) 2 xx e dx
22 2xe x x c
44) e cos d
2
esen cos c
45)
2
1
ln x dx
x 1
1
xln x ln x c
x
CAPITULO 4
FUNCIONES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
1) httpwwwmtyitesmmxetiedeptosmma-841recursostab-hippdf
2) httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCION
ES20HIPERBOLICASpdfsequence=1
FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS HIPERBOacuteLICAS
Definicioacuten de las funciones
Un ciacuterculo unitario con centro en el origen sigue la foacutermula 1yx 22 un punto dado por el par
ordenado yx se puede representar como funcioacuten de un aacutengulo t de la siguiente manera
senttcosyx De igual manera una hipeacuterbola unitaria con centro en el origen sigue la foacutermula
1yx 22 un punto dado por el par ordenado yx se puede representar como funcioacuten del aacutengulo t
de la siguiente manera senhttcoshyx Estas funciones se denominan funciones trigonomeacutetricas
hiperboacutelicas en particular coseno hiperboacutelico y seno hiperboacutelico
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas presentan propiedades anaacutelogas a las de las funciones
trigonomeacutetricas o circulares La funcioacuten xsenhxf se define como 2
eexsenh
xx mientras que
la funcioacuten xcoshxf es 2
eexcosh
xx
Al igual que las funciones trigonomeacutetricas circulares en las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas se
cumplen las siguientes identidades fundamentales
xx
xx
xx
xx
xx
xx
ee
2
xsenh
1xhcsc
ee
2
xcosh
1xhsec
ee
ee
xsenh
xcoshxcoth
ee
ee
xcosh
xsenhxtanh
Debido a esto es loacutegico pensar que habraacute una relacioacuten equivalente al Teorema de Pitaacutegoras Asiacute
para las funciones hiperboacutelicas se sabe que 1xsenhxcosh 22
Ejemplo 1
Demostrar que 1xsenhxcosh 22
11
14
4
14
2
4
2
14
ee2
4
ee2
14
eee2e
4
eee2e
12
ee
2
ee
1xsenhxcosh
xxxx
x2xxx2x2xxx2
2xx
2xx
22
Graacutefica de las funciones
Sea la funcioacuten 2
eexsenhxf
xx Las intersecciones se pueden encontrar igualando la funcioacuten
a cero
0x
0x2
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
02
ee
x2
x
x
xx
xx
xx
La funcioacuten seno hiperboacutelico tiene una sola raiacutez en x=0 Para obtener los puntos criacuteticos se iguala a
cero la derivada de la funcioacuten
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
0ee2
1
ee2
1ee
dx
d
2
1
2
ee
dx
d
dx
df
x2
x
x
xx
xx
xx
xxxxxx
por lo tanto no hay puntos criacuteticos Es interesante notar que la derivada de la funcioacuten senh(x) es la
funcioacuten cosh(x)
Por uacuteltimo puntos inflexioacuten se pueden encontrar en donde la segunda derivada es igual a cero
xxxxxx
2
2
ee2
1ee
dx
d
2
1ee
2
1
dx
d
dx
fd
La segunda derivada nos llevoacute nuevamente a la funcioacuten senh(x) Esta funcioacuten ya se igualoacute a cero
para encontrar las intersecciones El resultado es que en x=0 hay una raiacutez que a su vez es un punto
de inflexioacuten
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
La misma funcioacuten 2
eexsenhxf
xx se puede ver como la resta de dos funciones exponenciales
2
e
2
e
2
ee xxxx
La graacutefica de estas dos funciones exponenciales se muestra en azul (exponencial
positiva) y verde (exponencial negativa) La resta de ambas punto por punto es la funcioacuten senh(x)
Derivadas
ucoshdx
duusenh
dx
dxcosh
2
ee
2
ee
dx
dxsenh
dx
d xxxx
usenhdx
duucosh
dx
dxsenh
2
ee
2
ee
dx
dxcosh
dx
d xxxx
uhsecdx
duutanh
dx
d
xhsecxcosh
1
xcosh
xsenhxcosh
xcosh
senhx
dx
dxtanh
dx
d
2
2
22
22
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
uhcscdx
duucoth
dx
d
xhcscxsenh
1
xsenh
xcoshxsenh
senhx
xcosh
dx
dxcoth
dx
d 2
22
22
uhsecutanhdx
duuhsec
dx
d
hxsecxtanhxcosh
1
xcosh
senhx
xcosh
senhx
xcosh
1
dx
dxhsec
dx
d2
uhcscucothdx
duuhcsc
dx
d
hxcscxcothsenhx
1
senhx
xcosh
xsenh
xcosh
senhx
1
dx
dxhcsc
dx
d2
Ejemplo 2
Derivar la funcioacuten 3x4tanhxf 2
La funcioacuten maacutes externa es la raiacutez por lo tanto es la primera en derivarse
3x4tanh2
3x4hsecx83x4tanh
dx
d
3x4tanh2
1
dx
df
2
222
2
Ejemplo 3
Derivar la funcioacuten 2x3cosh2x3tanhlnxf 22
La funcioacuten maacutes externa es el logaritmo por lo tanto es el primero en derivarse
2x3cosh2x3tanh
2x3xsenh62x3hsecx6
dx
df22
222
Integrales
Utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se puede establecer que
cuhcscduucothuhcsc
cuhsecduutanhuhsec
cucothduuhcsc
cutanhduuhsec
cusenhduucosh
cucoshduusenh
2
2
Utilizando estas foacutermulas se pueden establecer las siguientes
Ejemplo 4
Hallar la foacutermula para la integral de la tangente hiperboacutelica
dxxcosh
xsenhdxxtanh
Se hace un cambio de variable en donde dxxsenhduxcoshu Al sustituir la integral anterior
cambia a
cxcoshlnculnu
dudx
xcosh
xsenhdxxtanh
Se puede utilizar el mismo procedimiento para hallar las siguientes foacutermulas
cusenhlnduucoth
cucoshlnduutanh
Ejemplo 5
Resolver las siguientes integrales
dxx3senhx 32
Se realiza el cambio de variable dxx9
dux3u 23 por lo tanto la integral se puede escribir como
cx3cosh9
1cucosh
9
1duusenh
9
1
9
duusenhdxx3senhx 332
dx
x
xlnhsec 2
Se realiza el cambio de variablex
dxduxlnu por lo tanto la integral se puede escribir como
cxlntanhcutanhduuhsecdx
x
xlnhsec2
2
1
0
dxxcoshxsenh
Se realiza el cambio de variable dxxsenhduxcoshu por lo tanto la integral se puede escribir
como
1x
0x
1
0
2 duudxxcoshxsenh
Sin embargo dado que u=senh(x) si x=0 entonces 02
ee0senhu
00
Cuando x=1 entonces
e2
1e
2
e
1e
2
e
1e
2
ee1senhu
2
2
11
La integral es
2
32
23
23
2
e2
1e
0
23
e2
1e
0
1x
0x
1
0
2
e2
1e
3
20
3
2
e2
1e
3
2
u3
2duuduudxxcoshxsenh
22
Inversas
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas tienen funciones inversas que comuacutenmente se denotan
como 1senh o bien como arcsenh donde la funcioacuten recibe el nombre de seno hiperboacutelico inverso
Dado que las funciones estaacuten definidas en teacuterminos de exponenciales es de esperarse que sus
inversas incluyan logaritmos naturales Se pueden definir como
1x0parax
x11lnxhsec
1xparax1
x1ln
2
1xtanh
1xpara1xxlnxcosh
1xxlnxsenh
21
1
21
21
Las derivadas e integrales de estas funciones se resuelven igual que las funciones trigonomeacutetricas
inversas
Ejemplo 6
Obtener la foacutermula para la derivada de la funcioacuten xsenhy 1
Dado que no se conoce la derivada del seno hiperboacutelico inverso pero siacute la del seno hiperboacutelico se
pueden utilizar el concepto de la funcioacuten inversa y la derivada impliacutecita para hallar la foacutermula en
cuestioacuten
ycosh
1y
1yacutecoshy
xysenh
xsenhy 1
Se sabe que 1ysenhycosh 22 por lo tanto 1ysenhycosh 22 y la funcioacuten senhy=x entonces
1xycosh 2 Al sustituir se obtiene
1x
1y
2
El mismo meacutetodo se puede utilizar para encontrar cualquiera de las siguientes foacutermulas
1u
dxdu
usenhdx
d
2
1
1u1u
dxdu
ucoshdx
d
2
1
1uu1
dxdu
utanhdx
d2
1
1u0u1u
dxdu
uhsecdx
d
2
1
Ejemplo 7
Determinar si la funcioacuten 3xxsenhxf 21 es creciente o decreciente en el punto x=2
Se debe resolver la derivada de la multiplicacioacuten
10x6x
x23xsenh
19x6x
x23xsenh
13x
x2x3xsenh
dx
df
24
221
24
221
22
21
Se busca conocer como es la funcioacuten en x=2 por lo tanto se sustituye en la derivada
773131642077
80714ln
25
8257ln
225
82257ln
50
81497ln
102416
87senh
dx
df 1
2x
La funcioacuten es creciente crece a una razoacuten de 377
Las foacutermulas para la integracioacuten salen utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo y a partir de las
foacutermulas de derivacioacuten
0aca
usenhdu
ua
1 1
22
0auca
ucoshdu
au
1 1
22
au0aca
utanh
a
1du
ua
1 1
22
au00aca
uhsec
a
1du
uau
1 1
22
Ejemplo 8
Resolver la integral
dxe25
e
x6
x3
Esta integral es como la de la tangente hiperboacutelica inversa donde 5a25a 2
dxe3
dueueu x3x3x62 Al sustituir esto en la integral
c5
etanh
15
1c
5
etanh
5
1
3
1
u25
du
3
1
u25
3du x3
1x3
1
22
Aplicaciones
La velocidad de las olas en el mar bajo ciertas condiciones depende de la longitud de onda
(distancia entre cresta y cresta) y de la profundidad del agua por donde viajan las olas h La funcioacuten
que relaciona estas variables es
h2tanh
2
gv 2
donde v es la velocidad y g es la gravedad
Suponiendo que se mantiene h constante esto es que el oleaje se propaga por un oceacuteano de
profundidad constante (50 m) determinar si la velocidad aumenta o disminuye cuando m5
h2hsec
ghh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2hsec
h2
2
gh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2tanh
2
gv
h2tanh
2
gv
2
2
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
728d
dv
5
502hsec
5
50819
5
502tanh
2
819
5
502tanh
2
58192
1
d
dv 2
Entonces para este valor de la longitud de onda y de la profundidad la velocidad de la ola va
aumentando respecto a la longitud de onda
Si se requiere ahora saber como va cambiando la velocidad de propagacioacuten del oleaje respecto a la
profundidad del mar para una longitud de onda de 5 m se deberaacute entonces derivar respecto a h Sea
una profundidad de 7 m
h2tanh
2
g2
h2hsecg
dh
dv
h2hsec
2
2
g
h2tanh
2
g2
1
dh
dv
h2tanh
2
gv
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
77
2
2
1061595
10918
5
14tanh
2
05492
5
14hsec819
dh
dv
5
72tanh
2
58192
5
72hsec819
dh
dv
Asiacute que aunque la velocidad de propagacioacuten del oleaje va aumentando respecto a la profundidad la
razoacuten de cambio es muy pequentildea
EJERCICIOS DE DERIVADAS HIPERBOLICAS
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6) R
7) R
8) AYUDA R
9) R 10) R
11) R 12) R
13) R
14)DEMOSTRAR
AYUDA
15)
AYUDA
INTEGRALES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
httpcalculoccfunciones_hiperbolicasp_integrales_hiperbhtml
httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCIONES20
HIPERBOLICASpdfsequence=1
httpseswikipediaorgwikiAnexoIntegrales_de_funciones_hiperbC3B3licas
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES HIPERBOLICAS
2)
3)
5)
6)
8)
Resolvemos ambas integrales mediante integracioacuten por partes
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 5 u = 3x
11)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 3 u = 4x
13)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = radic7 u = 5x
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION MATERIAL DE APOYO
800 INTEGRALES RESUELTAS
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_metodosproblemasp_integr_sust_trigohtml
httpsmatematicasnblogspotcom201512integracion-por-sustitucionhtml CON VIDEOS INCLUIDOS
httpsdspaceupseduecbitstream12345678961191Manual20de20fracciones20parcialespdf
httpwwwtesoemedumxalumnoscuadernillos2011011pdf
httpprofe-alexzblogspotcom201104integracion-fracciones-parcialeshtml Y VIDEOS
httpswwwsectormatematicacl rsaquo media rsaquo diferenciado rsaquo FRACCIONES P httpswwwipnmxassetsfilescecyt11docsGuiasUABasicasMatematicascalculo-integral-solucion-de-problemasPDF
httpswwwacademiaedu7708664CC381LCULO_INTEGRAL_EJERCICIOS_RESUELTOS_PASO_A_PASO
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1 Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de
variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de
la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que
contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe
ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
7-
8-
9-
10-
INTEGRACION POR PARTES
MATERIAL DE APOYO
VIDEOS DE INTEGRACION POR PARTES
1) httpswwwprofesor10dematescom201505integrales-por-partes-resueltashtml
2) httpwwwsietecolinasesmaterialesmatintegrales-4pdf
3) httpsgpweiztuammxfilesusersuamijdfmetodos_de_integracionintegracion_por_partesp
df
EJERCICIOS EJERCICIOS PARA RESOLVER POR PARTES
1) L=Ln
R
2) R
3) R
4) R
5) R 6) R
7) R
8) R
9) R L=Ln
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
15) R
16) R
17) R
18) R
19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
INTEGRAL RESPUESTA
26) x senx dx sen x xcos x c
27) ln x dx 1x ln x c
28)2
xx sen dx 4 2
2 2
x xsen xcos c
29) x cos nx dx 2
cos nx x sennxc
nn
30) 2 u sec u du utgu lncosu c
31) 2 3 u sen v dv 21 1 16 6
4 12 72v v sen v cos v c
32) 2 y senny dy 2
3 2
2 2cosny y senny y cosnyc
nn n
33) 2 xa dx 2
1x xa c
lna ln a
34) nx ln x dx 1 1
1 1
nx
ln x cn n
35) arc sen x dx 2 1x arc sen x x c
36) arc tg x dx 21 1
2x arc tg x ln x c
37) arc c tg y dy 21 1
2y arc c tg y ln y c
38) 2 arc cos x dx 21 2 1 4
2x arc cos x x c
39) arc sec y dy 2 1y arc sec y ln y y c
40) 2
tarc csc dt 2 2 4
2
tt arc csc ln t t c
41) x arc tg x dx 2 1
2 2
x xarc tg x c
42) arc tg x dx 1 x arc tg x x c
43) 2 xx e dx
22 2xe x x c
44) e cos d
2
esen cos c
45)
2
1
ln x dx
x 1
1
xln x ln x c
x
CAPITULO 4
FUNCIONES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
1) httpwwwmtyitesmmxetiedeptosmma-841recursostab-hippdf
2) httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCION
ES20HIPERBOLICASpdfsequence=1
FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS HIPERBOacuteLICAS
Definicioacuten de las funciones
Un ciacuterculo unitario con centro en el origen sigue la foacutermula 1yx 22 un punto dado por el par
ordenado yx se puede representar como funcioacuten de un aacutengulo t de la siguiente manera
senttcosyx De igual manera una hipeacuterbola unitaria con centro en el origen sigue la foacutermula
1yx 22 un punto dado por el par ordenado yx se puede representar como funcioacuten del aacutengulo t
de la siguiente manera senhttcoshyx Estas funciones se denominan funciones trigonomeacutetricas
hiperboacutelicas en particular coseno hiperboacutelico y seno hiperboacutelico
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas presentan propiedades anaacutelogas a las de las funciones
trigonomeacutetricas o circulares La funcioacuten xsenhxf se define como 2
eexsenh
xx mientras que
la funcioacuten xcoshxf es 2
eexcosh
xx
Al igual que las funciones trigonomeacutetricas circulares en las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas se
cumplen las siguientes identidades fundamentales
xx
xx
xx
xx
xx
xx
ee
2
xsenh
1xhcsc
ee
2
xcosh
1xhsec
ee
ee
xsenh
xcoshxcoth
ee
ee
xcosh
xsenhxtanh
Debido a esto es loacutegico pensar que habraacute una relacioacuten equivalente al Teorema de Pitaacutegoras Asiacute
para las funciones hiperboacutelicas se sabe que 1xsenhxcosh 22
Ejemplo 1
Demostrar que 1xsenhxcosh 22
11
14
4
14
2
4
2
14
ee2
4
ee2
14
eee2e
4
eee2e
12
ee
2
ee
1xsenhxcosh
xxxx
x2xxx2x2xxx2
2xx
2xx
22
Graacutefica de las funciones
Sea la funcioacuten 2
eexsenhxf
xx Las intersecciones se pueden encontrar igualando la funcioacuten
a cero
0x
0x2
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
02
ee
x2
x
x
xx
xx
xx
La funcioacuten seno hiperboacutelico tiene una sola raiacutez en x=0 Para obtener los puntos criacuteticos se iguala a
cero la derivada de la funcioacuten
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
0ee2
1
ee2
1ee
dx
d
2
1
2
ee
dx
d
dx
df
x2
x
x
xx
xx
xx
xxxxxx
por lo tanto no hay puntos criacuteticos Es interesante notar que la derivada de la funcioacuten senh(x) es la
funcioacuten cosh(x)
Por uacuteltimo puntos inflexioacuten se pueden encontrar en donde la segunda derivada es igual a cero
xxxxxx
2
2
ee2
1ee
dx
d
2
1ee
2
1
dx
d
dx
fd
La segunda derivada nos llevoacute nuevamente a la funcioacuten senh(x) Esta funcioacuten ya se igualoacute a cero
para encontrar las intersecciones El resultado es que en x=0 hay una raiacutez que a su vez es un punto
de inflexioacuten
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
La misma funcioacuten 2
eexsenhxf
xx se puede ver como la resta de dos funciones exponenciales
2
e
2
e
2
ee xxxx
La graacutefica de estas dos funciones exponenciales se muestra en azul (exponencial
positiva) y verde (exponencial negativa) La resta de ambas punto por punto es la funcioacuten senh(x)
Derivadas
ucoshdx
duusenh
dx
dxcosh
2
ee
2
ee
dx
dxsenh
dx
d xxxx
usenhdx
duucosh
dx
dxsenh
2
ee
2
ee
dx
dxcosh
dx
d xxxx
uhsecdx
duutanh
dx
d
xhsecxcosh
1
xcosh
xsenhxcosh
xcosh
senhx
dx
dxtanh
dx
d
2
2
22
22
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
uhcscdx
duucoth
dx
d
xhcscxsenh
1
xsenh
xcoshxsenh
senhx
xcosh
dx
dxcoth
dx
d 2
22
22
uhsecutanhdx
duuhsec
dx
d
hxsecxtanhxcosh
1
xcosh
senhx
xcosh
senhx
xcosh
1
dx
dxhsec
dx
d2
uhcscucothdx
duuhcsc
dx
d
hxcscxcothsenhx
1
senhx
xcosh
xsenh
xcosh
senhx
1
dx
dxhcsc
dx
d2
Ejemplo 2
Derivar la funcioacuten 3x4tanhxf 2
La funcioacuten maacutes externa es la raiacutez por lo tanto es la primera en derivarse
3x4tanh2
3x4hsecx83x4tanh
dx
d
3x4tanh2
1
dx
df
2
222
2
Ejemplo 3
Derivar la funcioacuten 2x3cosh2x3tanhlnxf 22
La funcioacuten maacutes externa es el logaritmo por lo tanto es el primero en derivarse
2x3cosh2x3tanh
2x3xsenh62x3hsecx6
dx
df22
222
Integrales
Utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se puede establecer que
cuhcscduucothuhcsc
cuhsecduutanhuhsec
cucothduuhcsc
cutanhduuhsec
cusenhduucosh
cucoshduusenh
2
2
Utilizando estas foacutermulas se pueden establecer las siguientes
Ejemplo 4
Hallar la foacutermula para la integral de la tangente hiperboacutelica
dxxcosh
xsenhdxxtanh
Se hace un cambio de variable en donde dxxsenhduxcoshu Al sustituir la integral anterior
cambia a
cxcoshlnculnu
dudx
xcosh
xsenhdxxtanh
Se puede utilizar el mismo procedimiento para hallar las siguientes foacutermulas
cusenhlnduucoth
cucoshlnduutanh
Ejemplo 5
Resolver las siguientes integrales
dxx3senhx 32
Se realiza el cambio de variable dxx9
dux3u 23 por lo tanto la integral se puede escribir como
cx3cosh9
1cucosh
9
1duusenh
9
1
9
duusenhdxx3senhx 332
dx
x
xlnhsec 2
Se realiza el cambio de variablex
dxduxlnu por lo tanto la integral se puede escribir como
cxlntanhcutanhduuhsecdx
x
xlnhsec2
2
1
0
dxxcoshxsenh
Se realiza el cambio de variable dxxsenhduxcoshu por lo tanto la integral se puede escribir
como
1x
0x
1
0
2 duudxxcoshxsenh
Sin embargo dado que u=senh(x) si x=0 entonces 02
ee0senhu
00
Cuando x=1 entonces
e2
1e
2
e
1e
2
e
1e
2
ee1senhu
2
2
11
La integral es
2
32
23
23
2
e2
1e
0
23
e2
1e
0
1x
0x
1
0
2
e2
1e
3
20
3
2
e2
1e
3
2
u3
2duuduudxxcoshxsenh
22
Inversas
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas tienen funciones inversas que comuacutenmente se denotan
como 1senh o bien como arcsenh donde la funcioacuten recibe el nombre de seno hiperboacutelico inverso
Dado que las funciones estaacuten definidas en teacuterminos de exponenciales es de esperarse que sus
inversas incluyan logaritmos naturales Se pueden definir como
1x0parax
x11lnxhsec
1xparax1
x1ln
2
1xtanh
1xpara1xxlnxcosh
1xxlnxsenh
21
1
21
21
Las derivadas e integrales de estas funciones se resuelven igual que las funciones trigonomeacutetricas
inversas
Ejemplo 6
Obtener la foacutermula para la derivada de la funcioacuten xsenhy 1
Dado que no se conoce la derivada del seno hiperboacutelico inverso pero siacute la del seno hiperboacutelico se
pueden utilizar el concepto de la funcioacuten inversa y la derivada impliacutecita para hallar la foacutermula en
cuestioacuten
ycosh
1y
1yacutecoshy
xysenh
xsenhy 1
Se sabe que 1ysenhycosh 22 por lo tanto 1ysenhycosh 22 y la funcioacuten senhy=x entonces
1xycosh 2 Al sustituir se obtiene
1x
1y
2
El mismo meacutetodo se puede utilizar para encontrar cualquiera de las siguientes foacutermulas
1u
dxdu
usenhdx
d
2
1
1u1u
dxdu
ucoshdx
d
2
1
1uu1
dxdu
utanhdx
d2
1
1u0u1u
dxdu
uhsecdx
d
2
1
Ejemplo 7
Determinar si la funcioacuten 3xxsenhxf 21 es creciente o decreciente en el punto x=2
Se debe resolver la derivada de la multiplicacioacuten
10x6x
x23xsenh
19x6x
x23xsenh
13x
x2x3xsenh
dx
df
24
221
24
221
22
21
Se busca conocer como es la funcioacuten en x=2 por lo tanto se sustituye en la derivada
773131642077
80714ln
25
8257ln
225
82257ln
50
81497ln
102416
87senh
dx
df 1
2x
La funcioacuten es creciente crece a una razoacuten de 377
Las foacutermulas para la integracioacuten salen utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo y a partir de las
foacutermulas de derivacioacuten
0aca
usenhdu
ua
1 1
22
0auca
ucoshdu
au
1 1
22
au0aca
utanh
a
1du
ua
1 1
22
au00aca
uhsec
a
1du
uau
1 1
22
Ejemplo 8
Resolver la integral
dxe25
e
x6
x3
Esta integral es como la de la tangente hiperboacutelica inversa donde 5a25a 2
dxe3
dueueu x3x3x62 Al sustituir esto en la integral
c5
etanh
15
1c
5
etanh
5
1
3
1
u25
du
3
1
u25
3du x3
1x3
1
22
Aplicaciones
La velocidad de las olas en el mar bajo ciertas condiciones depende de la longitud de onda
(distancia entre cresta y cresta) y de la profundidad del agua por donde viajan las olas h La funcioacuten
que relaciona estas variables es
h2tanh
2
gv 2
donde v es la velocidad y g es la gravedad
Suponiendo que se mantiene h constante esto es que el oleaje se propaga por un oceacuteano de
profundidad constante (50 m) determinar si la velocidad aumenta o disminuye cuando m5
h2hsec
ghh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2hsec
h2
2
gh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2tanh
2
gv
h2tanh
2
gv
2
2
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
728d
dv
5
502hsec
5
50819
5
502tanh
2
819
5
502tanh
2
58192
1
d
dv 2
Entonces para este valor de la longitud de onda y de la profundidad la velocidad de la ola va
aumentando respecto a la longitud de onda
Si se requiere ahora saber como va cambiando la velocidad de propagacioacuten del oleaje respecto a la
profundidad del mar para una longitud de onda de 5 m se deberaacute entonces derivar respecto a h Sea
una profundidad de 7 m
h2tanh
2
g2
h2hsecg
dh
dv
h2hsec
2
2
g
h2tanh
2
g2
1
dh
dv
h2tanh
2
gv
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
77
2
2
1061595
10918
5
14tanh
2
05492
5
14hsec819
dh
dv
5
72tanh
2
58192
5
72hsec819
dh
dv
Asiacute que aunque la velocidad de propagacioacuten del oleaje va aumentando respecto a la profundidad la
razoacuten de cambio es muy pequentildea
EJERCICIOS DE DERIVADAS HIPERBOLICAS
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6) R
7) R
8) AYUDA R
9) R 10) R
11) R 12) R
13) R
14)DEMOSTRAR
AYUDA
15)
AYUDA
INTEGRALES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
httpcalculoccfunciones_hiperbolicasp_integrales_hiperbhtml
httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCIONES20
HIPERBOLICASpdfsequence=1
httpseswikipediaorgwikiAnexoIntegrales_de_funciones_hiperbC3B3licas
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES HIPERBOLICAS
2)
3)
5)
6)
8)
Resolvemos ambas integrales mediante integracioacuten por partes
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 5 u = 3x
11)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 3 u = 4x
13)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = radic7 u = 5x
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION MATERIAL DE APOYO
800 INTEGRALES RESUELTAS
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_metodosproblemasp_integr_sust_trigohtml
httpsmatematicasnblogspotcom201512integracion-por-sustitucionhtml CON VIDEOS INCLUIDOS
httpsdspaceupseduecbitstream12345678961191Manual20de20fracciones20parcialespdf
httpwwwtesoemedumxalumnoscuadernillos2011011pdf
httpprofe-alexzblogspotcom201104integracion-fracciones-parcialeshtml Y VIDEOS
httpswwwsectormatematicacl rsaquo media rsaquo diferenciado rsaquo FRACCIONES P httpswwwipnmxassetsfilescecyt11docsGuiasUABasicasMatematicascalculo-integral-solucion-de-problemasPDF
httpswwwacademiaedu7708664CC381LCULO_INTEGRAL_EJERCICIOS_RESUELTOS_PASO_A_PASO
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1 Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de
variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de
la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que
contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe
ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
9-
10-
INTEGRACION POR PARTES
MATERIAL DE APOYO
VIDEOS DE INTEGRACION POR PARTES
1) httpswwwprofesor10dematescom201505integrales-por-partes-resueltashtml
2) httpwwwsietecolinasesmaterialesmatintegrales-4pdf
3) httpsgpweiztuammxfilesusersuamijdfmetodos_de_integracionintegracion_por_partesp
df
EJERCICIOS EJERCICIOS PARA RESOLVER POR PARTES
1) L=Ln
R
2) R
3) R
4) R
5) R 6) R
7) R
8) R
9) R L=Ln
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
15) R
16) R
17) R
18) R
19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
INTEGRAL RESPUESTA
26) x senx dx sen x xcos x c
27) ln x dx 1x ln x c
28)2
xx sen dx 4 2
2 2
x xsen xcos c
29) x cos nx dx 2
cos nx x sennxc
nn
30) 2 u sec u du utgu lncosu c
31) 2 3 u sen v dv 21 1 16 6
4 12 72v v sen v cos v c
32) 2 y senny dy 2
3 2
2 2cosny y senny y cosnyc
nn n
33) 2 xa dx 2
1x xa c
lna ln a
34) nx ln x dx 1 1
1 1
nx
ln x cn n
35) arc sen x dx 2 1x arc sen x x c
36) arc tg x dx 21 1
2x arc tg x ln x c
37) arc c tg y dy 21 1
2y arc c tg y ln y c
38) 2 arc cos x dx 21 2 1 4
2x arc cos x x c
39) arc sec y dy 2 1y arc sec y ln y y c
40) 2
tarc csc dt 2 2 4
2
tt arc csc ln t t c
41) x arc tg x dx 2 1
2 2
x xarc tg x c
42) arc tg x dx 1 x arc tg x x c
43) 2 xx e dx
22 2xe x x c
44) e cos d
2
esen cos c
45)
2
1
ln x dx
x 1
1
xln x ln x c
x
CAPITULO 4
FUNCIONES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
1) httpwwwmtyitesmmxetiedeptosmma-841recursostab-hippdf
2) httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCION
ES20HIPERBOLICASpdfsequence=1
FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS HIPERBOacuteLICAS
Definicioacuten de las funciones
Un ciacuterculo unitario con centro en el origen sigue la foacutermula 1yx 22 un punto dado por el par
ordenado yx se puede representar como funcioacuten de un aacutengulo t de la siguiente manera
senttcosyx De igual manera una hipeacuterbola unitaria con centro en el origen sigue la foacutermula
1yx 22 un punto dado por el par ordenado yx se puede representar como funcioacuten del aacutengulo t
de la siguiente manera senhttcoshyx Estas funciones se denominan funciones trigonomeacutetricas
hiperboacutelicas en particular coseno hiperboacutelico y seno hiperboacutelico
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas presentan propiedades anaacutelogas a las de las funciones
trigonomeacutetricas o circulares La funcioacuten xsenhxf se define como 2
eexsenh
xx mientras que
la funcioacuten xcoshxf es 2
eexcosh
xx
Al igual que las funciones trigonomeacutetricas circulares en las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas se
cumplen las siguientes identidades fundamentales
xx
xx
xx
xx
xx
xx
ee
2
xsenh
1xhcsc
ee
2
xcosh
1xhsec
ee
ee
xsenh
xcoshxcoth
ee
ee
xcosh
xsenhxtanh
Debido a esto es loacutegico pensar que habraacute una relacioacuten equivalente al Teorema de Pitaacutegoras Asiacute
para las funciones hiperboacutelicas se sabe que 1xsenhxcosh 22
Ejemplo 1
Demostrar que 1xsenhxcosh 22
11
14
4
14
2
4
2
14
ee2
4
ee2
14
eee2e
4
eee2e
12
ee
2
ee
1xsenhxcosh
xxxx
x2xxx2x2xxx2
2xx
2xx
22
Graacutefica de las funciones
Sea la funcioacuten 2
eexsenhxf
xx Las intersecciones se pueden encontrar igualando la funcioacuten
a cero
0x
0x2
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
02
ee
x2
x
x
xx
xx
xx
La funcioacuten seno hiperboacutelico tiene una sola raiacutez en x=0 Para obtener los puntos criacuteticos se iguala a
cero la derivada de la funcioacuten
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
0ee2
1
ee2
1ee
dx
d
2
1
2
ee
dx
d
dx
df
x2
x
x
xx
xx
xx
xxxxxx
por lo tanto no hay puntos criacuteticos Es interesante notar que la derivada de la funcioacuten senh(x) es la
funcioacuten cosh(x)
Por uacuteltimo puntos inflexioacuten se pueden encontrar en donde la segunda derivada es igual a cero
xxxxxx
2
2
ee2
1ee
dx
d
2
1ee
2
1
dx
d
dx
fd
La segunda derivada nos llevoacute nuevamente a la funcioacuten senh(x) Esta funcioacuten ya se igualoacute a cero
para encontrar las intersecciones El resultado es que en x=0 hay una raiacutez que a su vez es un punto
de inflexioacuten
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
La misma funcioacuten 2
eexsenhxf
xx se puede ver como la resta de dos funciones exponenciales
2
e
2
e
2
ee xxxx
La graacutefica de estas dos funciones exponenciales se muestra en azul (exponencial
positiva) y verde (exponencial negativa) La resta de ambas punto por punto es la funcioacuten senh(x)
Derivadas
ucoshdx
duusenh
dx
dxcosh
2
ee
2
ee
dx
dxsenh
dx
d xxxx
usenhdx
duucosh
dx
dxsenh
2
ee
2
ee
dx
dxcosh
dx
d xxxx
uhsecdx
duutanh
dx
d
xhsecxcosh
1
xcosh
xsenhxcosh
xcosh
senhx
dx
dxtanh
dx
d
2
2
22
22
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
uhcscdx
duucoth
dx
d
xhcscxsenh
1
xsenh
xcoshxsenh
senhx
xcosh
dx
dxcoth
dx
d 2
22
22
uhsecutanhdx
duuhsec
dx
d
hxsecxtanhxcosh
1
xcosh
senhx
xcosh
senhx
xcosh
1
dx
dxhsec
dx
d2
uhcscucothdx
duuhcsc
dx
d
hxcscxcothsenhx
1
senhx
xcosh
xsenh
xcosh
senhx
1
dx
dxhcsc
dx
d2
Ejemplo 2
Derivar la funcioacuten 3x4tanhxf 2
La funcioacuten maacutes externa es la raiacutez por lo tanto es la primera en derivarse
3x4tanh2
3x4hsecx83x4tanh
dx
d
3x4tanh2
1
dx
df
2
222
2
Ejemplo 3
Derivar la funcioacuten 2x3cosh2x3tanhlnxf 22
La funcioacuten maacutes externa es el logaritmo por lo tanto es el primero en derivarse
2x3cosh2x3tanh
2x3xsenh62x3hsecx6
dx
df22
222
Integrales
Utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se puede establecer que
cuhcscduucothuhcsc
cuhsecduutanhuhsec
cucothduuhcsc
cutanhduuhsec
cusenhduucosh
cucoshduusenh
2
2
Utilizando estas foacutermulas se pueden establecer las siguientes
Ejemplo 4
Hallar la foacutermula para la integral de la tangente hiperboacutelica
dxxcosh
xsenhdxxtanh
Se hace un cambio de variable en donde dxxsenhduxcoshu Al sustituir la integral anterior
cambia a
cxcoshlnculnu
dudx
xcosh
xsenhdxxtanh
Se puede utilizar el mismo procedimiento para hallar las siguientes foacutermulas
cusenhlnduucoth
cucoshlnduutanh
Ejemplo 5
Resolver las siguientes integrales
dxx3senhx 32
Se realiza el cambio de variable dxx9
dux3u 23 por lo tanto la integral se puede escribir como
cx3cosh9
1cucosh
9
1duusenh
9
1
9
duusenhdxx3senhx 332
dx
x
xlnhsec 2
Se realiza el cambio de variablex
dxduxlnu por lo tanto la integral se puede escribir como
cxlntanhcutanhduuhsecdx
x
xlnhsec2
2
1
0
dxxcoshxsenh
Se realiza el cambio de variable dxxsenhduxcoshu por lo tanto la integral se puede escribir
como
1x
0x
1
0
2 duudxxcoshxsenh
Sin embargo dado que u=senh(x) si x=0 entonces 02
ee0senhu
00
Cuando x=1 entonces
e2
1e
2
e
1e
2
e
1e
2
ee1senhu
2
2
11
La integral es
2
32
23
23
2
e2
1e
0
23
e2
1e
0
1x
0x
1
0
2
e2
1e
3
20
3
2
e2
1e
3
2
u3
2duuduudxxcoshxsenh
22
Inversas
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas tienen funciones inversas que comuacutenmente se denotan
como 1senh o bien como arcsenh donde la funcioacuten recibe el nombre de seno hiperboacutelico inverso
Dado que las funciones estaacuten definidas en teacuterminos de exponenciales es de esperarse que sus
inversas incluyan logaritmos naturales Se pueden definir como
1x0parax
x11lnxhsec
1xparax1
x1ln
2
1xtanh
1xpara1xxlnxcosh
1xxlnxsenh
21
1
21
21
Las derivadas e integrales de estas funciones se resuelven igual que las funciones trigonomeacutetricas
inversas
Ejemplo 6
Obtener la foacutermula para la derivada de la funcioacuten xsenhy 1
Dado que no se conoce la derivada del seno hiperboacutelico inverso pero siacute la del seno hiperboacutelico se
pueden utilizar el concepto de la funcioacuten inversa y la derivada impliacutecita para hallar la foacutermula en
cuestioacuten
ycosh
1y
1yacutecoshy
xysenh
xsenhy 1
Se sabe que 1ysenhycosh 22 por lo tanto 1ysenhycosh 22 y la funcioacuten senhy=x entonces
1xycosh 2 Al sustituir se obtiene
1x
1y
2
El mismo meacutetodo se puede utilizar para encontrar cualquiera de las siguientes foacutermulas
1u
dxdu
usenhdx
d
2
1
1u1u
dxdu
ucoshdx
d
2
1
1uu1
dxdu
utanhdx
d2
1
1u0u1u
dxdu
uhsecdx
d
2
1
Ejemplo 7
Determinar si la funcioacuten 3xxsenhxf 21 es creciente o decreciente en el punto x=2
Se debe resolver la derivada de la multiplicacioacuten
10x6x
x23xsenh
19x6x
x23xsenh
13x
x2x3xsenh
dx
df
24
221
24
221
22
21
Se busca conocer como es la funcioacuten en x=2 por lo tanto se sustituye en la derivada
773131642077
80714ln
25
8257ln
225
82257ln
50
81497ln
102416
87senh
dx
df 1
2x
La funcioacuten es creciente crece a una razoacuten de 377
Las foacutermulas para la integracioacuten salen utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo y a partir de las
foacutermulas de derivacioacuten
0aca
usenhdu
ua
1 1
22
0auca
ucoshdu
au
1 1
22
au0aca
utanh
a
1du
ua
1 1
22
au00aca
uhsec
a
1du
uau
1 1
22
Ejemplo 8
Resolver la integral
dxe25
e
x6
x3
Esta integral es como la de la tangente hiperboacutelica inversa donde 5a25a 2
dxe3
dueueu x3x3x62 Al sustituir esto en la integral
c5
etanh
15
1c
5
etanh
5
1
3
1
u25
du
3
1
u25
3du x3
1x3
1
22
Aplicaciones
La velocidad de las olas en el mar bajo ciertas condiciones depende de la longitud de onda
(distancia entre cresta y cresta) y de la profundidad del agua por donde viajan las olas h La funcioacuten
que relaciona estas variables es
h2tanh
2
gv 2
donde v es la velocidad y g es la gravedad
Suponiendo que se mantiene h constante esto es que el oleaje se propaga por un oceacuteano de
profundidad constante (50 m) determinar si la velocidad aumenta o disminuye cuando m5
h2hsec
ghh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2hsec
h2
2
gh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2tanh
2
gv
h2tanh
2
gv
2
2
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
728d
dv
5
502hsec
5
50819
5
502tanh
2
819
5
502tanh
2
58192
1
d
dv 2
Entonces para este valor de la longitud de onda y de la profundidad la velocidad de la ola va
aumentando respecto a la longitud de onda
Si se requiere ahora saber como va cambiando la velocidad de propagacioacuten del oleaje respecto a la
profundidad del mar para una longitud de onda de 5 m se deberaacute entonces derivar respecto a h Sea
una profundidad de 7 m
h2tanh
2
g2
h2hsecg
dh
dv
h2hsec
2
2
g
h2tanh
2
g2
1
dh
dv
h2tanh
2
gv
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
77
2
2
1061595
10918
5
14tanh
2
05492
5
14hsec819
dh
dv
5
72tanh
2
58192
5
72hsec819
dh
dv
Asiacute que aunque la velocidad de propagacioacuten del oleaje va aumentando respecto a la profundidad la
razoacuten de cambio es muy pequentildea
EJERCICIOS DE DERIVADAS HIPERBOLICAS
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6) R
7) R
8) AYUDA R
9) R 10) R
11) R 12) R
13) R
14)DEMOSTRAR
AYUDA
15)
AYUDA
INTEGRALES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
httpcalculoccfunciones_hiperbolicasp_integrales_hiperbhtml
httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCIONES20
HIPERBOLICASpdfsequence=1
httpseswikipediaorgwikiAnexoIntegrales_de_funciones_hiperbC3B3licas
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES HIPERBOLICAS
2)
3)
5)
6)
8)
Resolvemos ambas integrales mediante integracioacuten por partes
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 5 u = 3x
11)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 3 u = 4x
13)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = radic7 u = 5x
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION MATERIAL DE APOYO
800 INTEGRALES RESUELTAS
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_metodosproblemasp_integr_sust_trigohtml
httpsmatematicasnblogspotcom201512integracion-por-sustitucionhtml CON VIDEOS INCLUIDOS
httpsdspaceupseduecbitstream12345678961191Manual20de20fracciones20parcialespdf
httpwwwtesoemedumxalumnoscuadernillos2011011pdf
httpprofe-alexzblogspotcom201104integracion-fracciones-parcialeshtml Y VIDEOS
httpswwwsectormatematicacl rsaquo media rsaquo diferenciado rsaquo FRACCIONES P httpswwwipnmxassetsfilescecyt11docsGuiasUABasicasMatematicascalculo-integral-solucion-de-problemasPDF
httpswwwacademiaedu7708664CC381LCULO_INTEGRAL_EJERCICIOS_RESUELTOS_PASO_A_PASO
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1 Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de
variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de
la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que
contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe
ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
3) httpsgpweiztuammxfilesusersuamijdfmetodos_de_integracionintegracion_por_partesp
df
EJERCICIOS EJERCICIOS PARA RESOLVER POR PARTES
1) L=Ln
R
2) R
3) R
4) R
5) R 6) R
7) R
8) R
9) R L=Ln
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
15) R
16) R
17) R
18) R
19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
INTEGRAL RESPUESTA
26) x senx dx sen x xcos x c
27) ln x dx 1x ln x c
28)2
xx sen dx 4 2
2 2
x xsen xcos c
29) x cos nx dx 2
cos nx x sennxc
nn
30) 2 u sec u du utgu lncosu c
31) 2 3 u sen v dv 21 1 16 6
4 12 72v v sen v cos v c
32) 2 y senny dy 2
3 2
2 2cosny y senny y cosnyc
nn n
33) 2 xa dx 2
1x xa c
lna ln a
34) nx ln x dx 1 1
1 1
nx
ln x cn n
35) arc sen x dx 2 1x arc sen x x c
36) arc tg x dx 21 1
2x arc tg x ln x c
37) arc c tg y dy 21 1
2y arc c tg y ln y c
38) 2 arc cos x dx 21 2 1 4
2x arc cos x x c
39) arc sec y dy 2 1y arc sec y ln y y c
40) 2
tarc csc dt 2 2 4
2
tt arc csc ln t t c
41) x arc tg x dx 2 1
2 2
x xarc tg x c
42) arc tg x dx 1 x arc tg x x c
43) 2 xx e dx
22 2xe x x c
44) e cos d
2
esen cos c
45)
2
1
ln x dx
x 1
1
xln x ln x c
x
CAPITULO 4
FUNCIONES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
1) httpwwwmtyitesmmxetiedeptosmma-841recursostab-hippdf
2) httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCION
ES20HIPERBOLICASpdfsequence=1
FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS HIPERBOacuteLICAS
Definicioacuten de las funciones
Un ciacuterculo unitario con centro en el origen sigue la foacutermula 1yx 22 un punto dado por el par
ordenado yx se puede representar como funcioacuten de un aacutengulo t de la siguiente manera
senttcosyx De igual manera una hipeacuterbola unitaria con centro en el origen sigue la foacutermula
1yx 22 un punto dado por el par ordenado yx se puede representar como funcioacuten del aacutengulo t
de la siguiente manera senhttcoshyx Estas funciones se denominan funciones trigonomeacutetricas
hiperboacutelicas en particular coseno hiperboacutelico y seno hiperboacutelico
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas presentan propiedades anaacutelogas a las de las funciones
trigonomeacutetricas o circulares La funcioacuten xsenhxf se define como 2
eexsenh
xx mientras que
la funcioacuten xcoshxf es 2
eexcosh
xx
Al igual que las funciones trigonomeacutetricas circulares en las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas se
cumplen las siguientes identidades fundamentales
xx
xx
xx
xx
xx
xx
ee
2
xsenh
1xhcsc
ee
2
xcosh
1xhsec
ee
ee
xsenh
xcoshxcoth
ee
ee
xcosh
xsenhxtanh
Debido a esto es loacutegico pensar que habraacute una relacioacuten equivalente al Teorema de Pitaacutegoras Asiacute
para las funciones hiperboacutelicas se sabe que 1xsenhxcosh 22
Ejemplo 1
Demostrar que 1xsenhxcosh 22
11
14
4
14
2
4
2
14
ee2
4
ee2
14
eee2e
4
eee2e
12
ee
2
ee
1xsenhxcosh
xxxx
x2xxx2x2xxx2
2xx
2xx
22
Graacutefica de las funciones
Sea la funcioacuten 2
eexsenhxf
xx Las intersecciones se pueden encontrar igualando la funcioacuten
a cero
0x
0x2
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
02
ee
x2
x
x
xx
xx
xx
La funcioacuten seno hiperboacutelico tiene una sola raiacutez en x=0 Para obtener los puntos criacuteticos se iguala a
cero la derivada de la funcioacuten
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
0ee2
1
ee2
1ee
dx
d
2
1
2
ee
dx
d
dx
df
x2
x
x
xx
xx
xx
xxxxxx
por lo tanto no hay puntos criacuteticos Es interesante notar que la derivada de la funcioacuten senh(x) es la
funcioacuten cosh(x)
Por uacuteltimo puntos inflexioacuten se pueden encontrar en donde la segunda derivada es igual a cero
xxxxxx
2
2
ee2
1ee
dx
d
2
1ee
2
1
dx
d
dx
fd
La segunda derivada nos llevoacute nuevamente a la funcioacuten senh(x) Esta funcioacuten ya se igualoacute a cero
para encontrar las intersecciones El resultado es que en x=0 hay una raiacutez que a su vez es un punto
de inflexioacuten
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
La misma funcioacuten 2
eexsenhxf
xx se puede ver como la resta de dos funciones exponenciales
2
e
2
e
2
ee xxxx
La graacutefica de estas dos funciones exponenciales se muestra en azul (exponencial
positiva) y verde (exponencial negativa) La resta de ambas punto por punto es la funcioacuten senh(x)
Derivadas
ucoshdx
duusenh
dx
dxcosh
2
ee
2
ee
dx
dxsenh
dx
d xxxx
usenhdx
duucosh
dx
dxsenh
2
ee
2
ee
dx
dxcosh
dx
d xxxx
uhsecdx
duutanh
dx
d
xhsecxcosh
1
xcosh
xsenhxcosh
xcosh
senhx
dx
dxtanh
dx
d
2
2
22
22
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
uhcscdx
duucoth
dx
d
xhcscxsenh
1
xsenh
xcoshxsenh
senhx
xcosh
dx
dxcoth
dx
d 2
22
22
uhsecutanhdx
duuhsec
dx
d
hxsecxtanhxcosh
1
xcosh
senhx
xcosh
senhx
xcosh
1
dx
dxhsec
dx
d2
uhcscucothdx
duuhcsc
dx
d
hxcscxcothsenhx
1
senhx
xcosh
xsenh
xcosh
senhx
1
dx
dxhcsc
dx
d2
Ejemplo 2
Derivar la funcioacuten 3x4tanhxf 2
La funcioacuten maacutes externa es la raiacutez por lo tanto es la primera en derivarse
3x4tanh2
3x4hsecx83x4tanh
dx
d
3x4tanh2
1
dx
df
2
222
2
Ejemplo 3
Derivar la funcioacuten 2x3cosh2x3tanhlnxf 22
La funcioacuten maacutes externa es el logaritmo por lo tanto es el primero en derivarse
2x3cosh2x3tanh
2x3xsenh62x3hsecx6
dx
df22
222
Integrales
Utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se puede establecer que
cuhcscduucothuhcsc
cuhsecduutanhuhsec
cucothduuhcsc
cutanhduuhsec
cusenhduucosh
cucoshduusenh
2
2
Utilizando estas foacutermulas se pueden establecer las siguientes
Ejemplo 4
Hallar la foacutermula para la integral de la tangente hiperboacutelica
dxxcosh
xsenhdxxtanh
Se hace un cambio de variable en donde dxxsenhduxcoshu Al sustituir la integral anterior
cambia a
cxcoshlnculnu
dudx
xcosh
xsenhdxxtanh
Se puede utilizar el mismo procedimiento para hallar las siguientes foacutermulas
cusenhlnduucoth
cucoshlnduutanh
Ejemplo 5
Resolver las siguientes integrales
dxx3senhx 32
Se realiza el cambio de variable dxx9
dux3u 23 por lo tanto la integral se puede escribir como
cx3cosh9
1cucosh
9
1duusenh
9
1
9
duusenhdxx3senhx 332
dx
x
xlnhsec 2
Se realiza el cambio de variablex
dxduxlnu por lo tanto la integral se puede escribir como
cxlntanhcutanhduuhsecdx
x
xlnhsec2
2
1
0
dxxcoshxsenh
Se realiza el cambio de variable dxxsenhduxcoshu por lo tanto la integral se puede escribir
como
1x
0x
1
0
2 duudxxcoshxsenh
Sin embargo dado que u=senh(x) si x=0 entonces 02
ee0senhu
00
Cuando x=1 entonces
e2
1e
2
e
1e
2
e
1e
2
ee1senhu
2
2
11
La integral es
2
32
23
23
2
e2
1e
0
23
e2
1e
0
1x
0x
1
0
2
e2
1e
3
20
3
2
e2
1e
3
2
u3
2duuduudxxcoshxsenh
22
Inversas
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas tienen funciones inversas que comuacutenmente se denotan
como 1senh o bien como arcsenh donde la funcioacuten recibe el nombre de seno hiperboacutelico inverso
Dado que las funciones estaacuten definidas en teacuterminos de exponenciales es de esperarse que sus
inversas incluyan logaritmos naturales Se pueden definir como
1x0parax
x11lnxhsec
1xparax1
x1ln
2
1xtanh
1xpara1xxlnxcosh
1xxlnxsenh
21
1
21
21
Las derivadas e integrales de estas funciones se resuelven igual que las funciones trigonomeacutetricas
inversas
Ejemplo 6
Obtener la foacutermula para la derivada de la funcioacuten xsenhy 1
Dado que no se conoce la derivada del seno hiperboacutelico inverso pero siacute la del seno hiperboacutelico se
pueden utilizar el concepto de la funcioacuten inversa y la derivada impliacutecita para hallar la foacutermula en
cuestioacuten
ycosh
1y
1yacutecoshy
xysenh
xsenhy 1
Se sabe que 1ysenhycosh 22 por lo tanto 1ysenhycosh 22 y la funcioacuten senhy=x entonces
1xycosh 2 Al sustituir se obtiene
1x
1y
2
El mismo meacutetodo se puede utilizar para encontrar cualquiera de las siguientes foacutermulas
1u
dxdu
usenhdx
d
2
1
1u1u
dxdu
ucoshdx
d
2
1
1uu1
dxdu
utanhdx
d2
1
1u0u1u
dxdu
uhsecdx
d
2
1
Ejemplo 7
Determinar si la funcioacuten 3xxsenhxf 21 es creciente o decreciente en el punto x=2
Se debe resolver la derivada de la multiplicacioacuten
10x6x
x23xsenh
19x6x
x23xsenh
13x
x2x3xsenh
dx
df
24
221
24
221
22
21
Se busca conocer como es la funcioacuten en x=2 por lo tanto se sustituye en la derivada
773131642077
80714ln
25
8257ln
225
82257ln
50
81497ln
102416
87senh
dx
df 1
2x
La funcioacuten es creciente crece a una razoacuten de 377
Las foacutermulas para la integracioacuten salen utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo y a partir de las
foacutermulas de derivacioacuten
0aca
usenhdu
ua
1 1
22
0auca
ucoshdu
au
1 1
22
au0aca
utanh
a
1du
ua
1 1
22
au00aca
uhsec
a
1du
uau
1 1
22
Ejemplo 8
Resolver la integral
dxe25
e
x6
x3
Esta integral es como la de la tangente hiperboacutelica inversa donde 5a25a 2
dxe3
dueueu x3x3x62 Al sustituir esto en la integral
c5
etanh
15
1c
5
etanh
5
1
3
1
u25
du
3
1
u25
3du x3
1x3
1
22
Aplicaciones
La velocidad de las olas en el mar bajo ciertas condiciones depende de la longitud de onda
(distancia entre cresta y cresta) y de la profundidad del agua por donde viajan las olas h La funcioacuten
que relaciona estas variables es
h2tanh
2
gv 2
donde v es la velocidad y g es la gravedad
Suponiendo que se mantiene h constante esto es que el oleaje se propaga por un oceacuteano de
profundidad constante (50 m) determinar si la velocidad aumenta o disminuye cuando m5
h2hsec
ghh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2hsec
h2
2
gh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2tanh
2
gv
h2tanh
2
gv
2
2
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
728d
dv
5
502hsec
5
50819
5
502tanh
2
819
5
502tanh
2
58192
1
d
dv 2
Entonces para este valor de la longitud de onda y de la profundidad la velocidad de la ola va
aumentando respecto a la longitud de onda
Si se requiere ahora saber como va cambiando la velocidad de propagacioacuten del oleaje respecto a la
profundidad del mar para una longitud de onda de 5 m se deberaacute entonces derivar respecto a h Sea
una profundidad de 7 m
h2tanh
2
g2
h2hsecg
dh
dv
h2hsec
2
2
g
h2tanh
2
g2
1
dh
dv
h2tanh
2
gv
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
77
2
2
1061595
10918
5
14tanh
2
05492
5
14hsec819
dh
dv
5
72tanh
2
58192
5
72hsec819
dh
dv
Asiacute que aunque la velocidad de propagacioacuten del oleaje va aumentando respecto a la profundidad la
razoacuten de cambio es muy pequentildea
EJERCICIOS DE DERIVADAS HIPERBOLICAS
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6) R
7) R
8) AYUDA R
9) R 10) R
11) R 12) R
13) R
14)DEMOSTRAR
AYUDA
15)
AYUDA
INTEGRALES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
httpcalculoccfunciones_hiperbolicasp_integrales_hiperbhtml
httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCIONES20
HIPERBOLICASpdfsequence=1
httpseswikipediaorgwikiAnexoIntegrales_de_funciones_hiperbC3B3licas
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES HIPERBOLICAS
2)
3)
5)
6)
8)
Resolvemos ambas integrales mediante integracioacuten por partes
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 5 u = 3x
11)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 3 u = 4x
13)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = radic7 u = 5x
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION MATERIAL DE APOYO
800 INTEGRALES RESUELTAS
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_metodosproblemasp_integr_sust_trigohtml
httpsmatematicasnblogspotcom201512integracion-por-sustitucionhtml CON VIDEOS INCLUIDOS
httpsdspaceupseduecbitstream12345678961191Manual20de20fracciones20parcialespdf
httpwwwtesoemedumxalumnoscuadernillos2011011pdf
httpprofe-alexzblogspotcom201104integracion-fracciones-parcialeshtml Y VIDEOS
httpswwwsectormatematicacl rsaquo media rsaquo diferenciado rsaquo FRACCIONES P httpswwwipnmxassetsfilescecyt11docsGuiasUABasicasMatematicascalculo-integral-solucion-de-problemasPDF
httpswwwacademiaedu7708664CC381LCULO_INTEGRAL_EJERCICIOS_RESUELTOS_PASO_A_PASO
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1 Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de
variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de
la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que
contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe
ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
12) R
13) R
14) R
15) R
16) R
17) R
18) R
19) R
20) R 21) R
22) R 23) R
24) R 25) R
INTEGRAL RESPUESTA
26) x senx dx sen x xcos x c
27) ln x dx 1x ln x c
28)2
xx sen dx 4 2
2 2
x xsen xcos c
29) x cos nx dx 2
cos nx x sennxc
nn
30) 2 u sec u du utgu lncosu c
31) 2 3 u sen v dv 21 1 16 6
4 12 72v v sen v cos v c
32) 2 y senny dy 2
3 2
2 2cosny y senny y cosnyc
nn n
33) 2 xa dx 2
1x xa c
lna ln a
34) nx ln x dx 1 1
1 1
nx
ln x cn n
35) arc sen x dx 2 1x arc sen x x c
36) arc tg x dx 21 1
2x arc tg x ln x c
37) arc c tg y dy 21 1
2y arc c tg y ln y c
38) 2 arc cos x dx 21 2 1 4
2x arc cos x x c
39) arc sec y dy 2 1y arc sec y ln y y c
40) 2
tarc csc dt 2 2 4
2
tt arc csc ln t t c
41) x arc tg x dx 2 1
2 2
x xarc tg x c
42) arc tg x dx 1 x arc tg x x c
43) 2 xx e dx
22 2xe x x c
44) e cos d
2
esen cos c
45)
2
1
ln x dx
x 1
1
xln x ln x c
x
CAPITULO 4
FUNCIONES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
1) httpwwwmtyitesmmxetiedeptosmma-841recursostab-hippdf
2) httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCION
ES20HIPERBOLICASpdfsequence=1
FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS HIPERBOacuteLICAS
Definicioacuten de las funciones
Un ciacuterculo unitario con centro en el origen sigue la foacutermula 1yx 22 un punto dado por el par
ordenado yx se puede representar como funcioacuten de un aacutengulo t de la siguiente manera
senttcosyx De igual manera una hipeacuterbola unitaria con centro en el origen sigue la foacutermula
1yx 22 un punto dado por el par ordenado yx se puede representar como funcioacuten del aacutengulo t
de la siguiente manera senhttcoshyx Estas funciones se denominan funciones trigonomeacutetricas
hiperboacutelicas en particular coseno hiperboacutelico y seno hiperboacutelico
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas presentan propiedades anaacutelogas a las de las funciones
trigonomeacutetricas o circulares La funcioacuten xsenhxf se define como 2
eexsenh
xx mientras que
la funcioacuten xcoshxf es 2
eexcosh
xx
Al igual que las funciones trigonomeacutetricas circulares en las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas se
cumplen las siguientes identidades fundamentales
xx
xx
xx
xx
xx
xx
ee
2
xsenh
1xhcsc
ee
2
xcosh
1xhsec
ee
ee
xsenh
xcoshxcoth
ee
ee
xcosh
xsenhxtanh
Debido a esto es loacutegico pensar que habraacute una relacioacuten equivalente al Teorema de Pitaacutegoras Asiacute
para las funciones hiperboacutelicas se sabe que 1xsenhxcosh 22
Ejemplo 1
Demostrar que 1xsenhxcosh 22
11
14
4
14
2
4
2
14
ee2
4
ee2
14
eee2e
4
eee2e
12
ee
2
ee
1xsenhxcosh
xxxx
x2xxx2x2xxx2
2xx
2xx
22
Graacutefica de las funciones
Sea la funcioacuten 2
eexsenhxf
xx Las intersecciones se pueden encontrar igualando la funcioacuten
a cero
0x
0x2
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
02
ee
x2
x
x
xx
xx
xx
La funcioacuten seno hiperboacutelico tiene una sola raiacutez en x=0 Para obtener los puntos criacuteticos se iguala a
cero la derivada de la funcioacuten
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
0ee2
1
ee2
1ee
dx
d
2
1
2
ee
dx
d
dx
df
x2
x
x
xx
xx
xx
xxxxxx
por lo tanto no hay puntos criacuteticos Es interesante notar que la derivada de la funcioacuten senh(x) es la
funcioacuten cosh(x)
Por uacuteltimo puntos inflexioacuten se pueden encontrar en donde la segunda derivada es igual a cero
xxxxxx
2
2
ee2
1ee
dx
d
2
1ee
2
1
dx
d
dx
fd
La segunda derivada nos llevoacute nuevamente a la funcioacuten senh(x) Esta funcioacuten ya se igualoacute a cero
para encontrar las intersecciones El resultado es que en x=0 hay una raiacutez que a su vez es un punto
de inflexioacuten
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
La misma funcioacuten 2
eexsenhxf
xx se puede ver como la resta de dos funciones exponenciales
2
e
2
e
2
ee xxxx
La graacutefica de estas dos funciones exponenciales se muestra en azul (exponencial
positiva) y verde (exponencial negativa) La resta de ambas punto por punto es la funcioacuten senh(x)
Derivadas
ucoshdx
duusenh
dx
dxcosh
2
ee
2
ee
dx
dxsenh
dx
d xxxx
usenhdx
duucosh
dx
dxsenh
2
ee
2
ee
dx
dxcosh
dx
d xxxx
uhsecdx
duutanh
dx
d
xhsecxcosh
1
xcosh
xsenhxcosh
xcosh
senhx
dx
dxtanh
dx
d
2
2
22
22
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
uhcscdx
duucoth
dx
d
xhcscxsenh
1
xsenh
xcoshxsenh
senhx
xcosh
dx
dxcoth
dx
d 2
22
22
uhsecutanhdx
duuhsec
dx
d
hxsecxtanhxcosh
1
xcosh
senhx
xcosh
senhx
xcosh
1
dx
dxhsec
dx
d2
uhcscucothdx
duuhcsc
dx
d
hxcscxcothsenhx
1
senhx
xcosh
xsenh
xcosh
senhx
1
dx
dxhcsc
dx
d2
Ejemplo 2
Derivar la funcioacuten 3x4tanhxf 2
La funcioacuten maacutes externa es la raiacutez por lo tanto es la primera en derivarse
3x4tanh2
3x4hsecx83x4tanh
dx
d
3x4tanh2
1
dx
df
2
222
2
Ejemplo 3
Derivar la funcioacuten 2x3cosh2x3tanhlnxf 22
La funcioacuten maacutes externa es el logaritmo por lo tanto es el primero en derivarse
2x3cosh2x3tanh
2x3xsenh62x3hsecx6
dx
df22
222
Integrales
Utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se puede establecer que
cuhcscduucothuhcsc
cuhsecduutanhuhsec
cucothduuhcsc
cutanhduuhsec
cusenhduucosh
cucoshduusenh
2
2
Utilizando estas foacutermulas se pueden establecer las siguientes
Ejemplo 4
Hallar la foacutermula para la integral de la tangente hiperboacutelica
dxxcosh
xsenhdxxtanh
Se hace un cambio de variable en donde dxxsenhduxcoshu Al sustituir la integral anterior
cambia a
cxcoshlnculnu
dudx
xcosh
xsenhdxxtanh
Se puede utilizar el mismo procedimiento para hallar las siguientes foacutermulas
cusenhlnduucoth
cucoshlnduutanh
Ejemplo 5
Resolver las siguientes integrales
dxx3senhx 32
Se realiza el cambio de variable dxx9
dux3u 23 por lo tanto la integral se puede escribir como
cx3cosh9
1cucosh
9
1duusenh
9
1
9
duusenhdxx3senhx 332
dx
x
xlnhsec 2
Se realiza el cambio de variablex
dxduxlnu por lo tanto la integral se puede escribir como
cxlntanhcutanhduuhsecdx
x
xlnhsec2
2
1
0
dxxcoshxsenh
Se realiza el cambio de variable dxxsenhduxcoshu por lo tanto la integral se puede escribir
como
1x
0x
1
0
2 duudxxcoshxsenh
Sin embargo dado que u=senh(x) si x=0 entonces 02
ee0senhu
00
Cuando x=1 entonces
e2
1e
2
e
1e
2
e
1e
2
ee1senhu
2
2
11
La integral es
2
32
23
23
2
e2
1e
0
23
e2
1e
0
1x
0x
1
0
2
e2
1e
3
20
3
2
e2
1e
3
2
u3
2duuduudxxcoshxsenh
22
Inversas
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas tienen funciones inversas que comuacutenmente se denotan
como 1senh o bien como arcsenh donde la funcioacuten recibe el nombre de seno hiperboacutelico inverso
Dado que las funciones estaacuten definidas en teacuterminos de exponenciales es de esperarse que sus
inversas incluyan logaritmos naturales Se pueden definir como
1x0parax
x11lnxhsec
1xparax1
x1ln
2
1xtanh
1xpara1xxlnxcosh
1xxlnxsenh
21
1
21
21
Las derivadas e integrales de estas funciones se resuelven igual que las funciones trigonomeacutetricas
inversas
Ejemplo 6
Obtener la foacutermula para la derivada de la funcioacuten xsenhy 1
Dado que no se conoce la derivada del seno hiperboacutelico inverso pero siacute la del seno hiperboacutelico se
pueden utilizar el concepto de la funcioacuten inversa y la derivada impliacutecita para hallar la foacutermula en
cuestioacuten
ycosh
1y
1yacutecoshy
xysenh
xsenhy 1
Se sabe que 1ysenhycosh 22 por lo tanto 1ysenhycosh 22 y la funcioacuten senhy=x entonces
1xycosh 2 Al sustituir se obtiene
1x
1y
2
El mismo meacutetodo se puede utilizar para encontrar cualquiera de las siguientes foacutermulas
1u
dxdu
usenhdx
d
2
1
1u1u
dxdu
ucoshdx
d
2
1
1uu1
dxdu
utanhdx
d2
1
1u0u1u
dxdu
uhsecdx
d
2
1
Ejemplo 7
Determinar si la funcioacuten 3xxsenhxf 21 es creciente o decreciente en el punto x=2
Se debe resolver la derivada de la multiplicacioacuten
10x6x
x23xsenh
19x6x
x23xsenh
13x
x2x3xsenh
dx
df
24
221
24
221
22
21
Se busca conocer como es la funcioacuten en x=2 por lo tanto se sustituye en la derivada
773131642077
80714ln
25
8257ln
225
82257ln
50
81497ln
102416
87senh
dx
df 1
2x
La funcioacuten es creciente crece a una razoacuten de 377
Las foacutermulas para la integracioacuten salen utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo y a partir de las
foacutermulas de derivacioacuten
0aca
usenhdu
ua
1 1
22
0auca
ucoshdu
au
1 1
22
au0aca
utanh
a
1du
ua
1 1
22
au00aca
uhsec
a
1du
uau
1 1
22
Ejemplo 8
Resolver la integral
dxe25
e
x6
x3
Esta integral es como la de la tangente hiperboacutelica inversa donde 5a25a 2
dxe3
dueueu x3x3x62 Al sustituir esto en la integral
c5
etanh
15
1c
5
etanh
5
1
3
1
u25
du
3
1
u25
3du x3
1x3
1
22
Aplicaciones
La velocidad de las olas en el mar bajo ciertas condiciones depende de la longitud de onda
(distancia entre cresta y cresta) y de la profundidad del agua por donde viajan las olas h La funcioacuten
que relaciona estas variables es
h2tanh
2
gv 2
donde v es la velocidad y g es la gravedad
Suponiendo que se mantiene h constante esto es que el oleaje se propaga por un oceacuteano de
profundidad constante (50 m) determinar si la velocidad aumenta o disminuye cuando m5
h2hsec
ghh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2hsec
h2
2
gh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2tanh
2
gv
h2tanh
2
gv
2
2
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
728d
dv
5
502hsec
5
50819
5
502tanh
2
819
5
502tanh
2
58192
1
d
dv 2
Entonces para este valor de la longitud de onda y de la profundidad la velocidad de la ola va
aumentando respecto a la longitud de onda
Si se requiere ahora saber como va cambiando la velocidad de propagacioacuten del oleaje respecto a la
profundidad del mar para una longitud de onda de 5 m se deberaacute entonces derivar respecto a h Sea
una profundidad de 7 m
h2tanh
2
g2
h2hsecg
dh
dv
h2hsec
2
2
g
h2tanh
2
g2
1
dh
dv
h2tanh
2
gv
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
77
2
2
1061595
10918
5
14tanh
2
05492
5
14hsec819
dh
dv
5
72tanh
2
58192
5
72hsec819
dh
dv
Asiacute que aunque la velocidad de propagacioacuten del oleaje va aumentando respecto a la profundidad la
razoacuten de cambio es muy pequentildea
EJERCICIOS DE DERIVADAS HIPERBOLICAS
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6) R
7) R
8) AYUDA R
9) R 10) R
11) R 12) R
13) R
14)DEMOSTRAR
AYUDA
15)
AYUDA
INTEGRALES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
httpcalculoccfunciones_hiperbolicasp_integrales_hiperbhtml
httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCIONES20
HIPERBOLICASpdfsequence=1
httpseswikipediaorgwikiAnexoIntegrales_de_funciones_hiperbC3B3licas
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES HIPERBOLICAS
2)
3)
5)
6)
8)
Resolvemos ambas integrales mediante integracioacuten por partes
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 5 u = 3x
11)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 3 u = 4x
13)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = radic7 u = 5x
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION MATERIAL DE APOYO
800 INTEGRALES RESUELTAS
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_metodosproblemasp_integr_sust_trigohtml
httpsmatematicasnblogspotcom201512integracion-por-sustitucionhtml CON VIDEOS INCLUIDOS
httpsdspaceupseduecbitstream12345678961191Manual20de20fracciones20parcialespdf
httpwwwtesoemedumxalumnoscuadernillos2011011pdf
httpprofe-alexzblogspotcom201104integracion-fracciones-parcialeshtml Y VIDEOS
httpswwwsectormatematicacl rsaquo media rsaquo diferenciado rsaquo FRACCIONES P httpswwwipnmxassetsfilescecyt11docsGuiasUABasicasMatematicascalculo-integral-solucion-de-problemasPDF
httpswwwacademiaedu7708664CC381LCULO_INTEGRAL_EJERCICIOS_RESUELTOS_PASO_A_PASO
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1 Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de
variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de
la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que
contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe
ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
INTEGRAL RESPUESTA
26) x senx dx sen x xcos x c
27) ln x dx 1x ln x c
28)2
xx sen dx 4 2
2 2
x xsen xcos c
29) x cos nx dx 2
cos nx x sennxc
nn
30) 2 u sec u du utgu lncosu c
31) 2 3 u sen v dv 21 1 16 6
4 12 72v v sen v cos v c
32) 2 y senny dy 2
3 2
2 2cosny y senny y cosnyc
nn n
33) 2 xa dx 2
1x xa c
lna ln a
34) nx ln x dx 1 1
1 1
nx
ln x cn n
35) arc sen x dx 2 1x arc sen x x c
36) arc tg x dx 21 1
2x arc tg x ln x c
37) arc c tg y dy 21 1
2y arc c tg y ln y c
38) 2 arc cos x dx 21 2 1 4
2x arc cos x x c
39) arc sec y dy 2 1y arc sec y ln y y c
40) 2
tarc csc dt 2 2 4
2
tt arc csc ln t t c
41) x arc tg x dx 2 1
2 2
x xarc tg x c
42) arc tg x dx 1 x arc tg x x c
43) 2 xx e dx
22 2xe x x c
44) e cos d
2
esen cos c
45)
2
1
ln x dx
x 1
1
xln x ln x c
x
CAPITULO 4
FUNCIONES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
1) httpwwwmtyitesmmxetiedeptosmma-841recursostab-hippdf
2) httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCION
ES20HIPERBOLICASpdfsequence=1
FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS HIPERBOacuteLICAS
Definicioacuten de las funciones
Un ciacuterculo unitario con centro en el origen sigue la foacutermula 1yx 22 un punto dado por el par
ordenado yx se puede representar como funcioacuten de un aacutengulo t de la siguiente manera
senttcosyx De igual manera una hipeacuterbola unitaria con centro en el origen sigue la foacutermula
1yx 22 un punto dado por el par ordenado yx se puede representar como funcioacuten del aacutengulo t
de la siguiente manera senhttcoshyx Estas funciones se denominan funciones trigonomeacutetricas
hiperboacutelicas en particular coseno hiperboacutelico y seno hiperboacutelico
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas presentan propiedades anaacutelogas a las de las funciones
trigonomeacutetricas o circulares La funcioacuten xsenhxf se define como 2
eexsenh
xx mientras que
la funcioacuten xcoshxf es 2
eexcosh
xx
Al igual que las funciones trigonomeacutetricas circulares en las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas se
cumplen las siguientes identidades fundamentales
xx
xx
xx
xx
xx
xx
ee
2
xsenh
1xhcsc
ee
2
xcosh
1xhsec
ee
ee
xsenh
xcoshxcoth
ee
ee
xcosh
xsenhxtanh
Debido a esto es loacutegico pensar que habraacute una relacioacuten equivalente al Teorema de Pitaacutegoras Asiacute
para las funciones hiperboacutelicas se sabe que 1xsenhxcosh 22
Ejemplo 1
Demostrar que 1xsenhxcosh 22
11
14
4
14
2
4
2
14
ee2
4
ee2
14
eee2e
4
eee2e
12
ee
2
ee
1xsenhxcosh
xxxx
x2xxx2x2xxx2
2xx
2xx
22
Graacutefica de las funciones
Sea la funcioacuten 2
eexsenhxf
xx Las intersecciones se pueden encontrar igualando la funcioacuten
a cero
0x
0x2
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
02
ee
x2
x
x
xx
xx
xx
La funcioacuten seno hiperboacutelico tiene una sola raiacutez en x=0 Para obtener los puntos criacuteticos se iguala a
cero la derivada de la funcioacuten
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
0ee2
1
ee2
1ee
dx
d
2
1
2
ee
dx
d
dx
df
x2
x
x
xx
xx
xx
xxxxxx
por lo tanto no hay puntos criacuteticos Es interesante notar que la derivada de la funcioacuten senh(x) es la
funcioacuten cosh(x)
Por uacuteltimo puntos inflexioacuten se pueden encontrar en donde la segunda derivada es igual a cero
xxxxxx
2
2
ee2
1ee
dx
d
2
1ee
2
1
dx
d
dx
fd
La segunda derivada nos llevoacute nuevamente a la funcioacuten senh(x) Esta funcioacuten ya se igualoacute a cero
para encontrar las intersecciones El resultado es que en x=0 hay una raiacutez que a su vez es un punto
de inflexioacuten
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
La misma funcioacuten 2
eexsenhxf
xx se puede ver como la resta de dos funciones exponenciales
2
e
2
e
2
ee xxxx
La graacutefica de estas dos funciones exponenciales se muestra en azul (exponencial
positiva) y verde (exponencial negativa) La resta de ambas punto por punto es la funcioacuten senh(x)
Derivadas
ucoshdx
duusenh
dx
dxcosh
2
ee
2
ee
dx
dxsenh
dx
d xxxx
usenhdx
duucosh
dx
dxsenh
2
ee
2
ee
dx
dxcosh
dx
d xxxx
uhsecdx
duutanh
dx
d
xhsecxcosh
1
xcosh
xsenhxcosh
xcosh
senhx
dx
dxtanh
dx
d
2
2
22
22
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
uhcscdx
duucoth
dx
d
xhcscxsenh
1
xsenh
xcoshxsenh
senhx
xcosh
dx
dxcoth
dx
d 2
22
22
uhsecutanhdx
duuhsec
dx
d
hxsecxtanhxcosh
1
xcosh
senhx
xcosh
senhx
xcosh
1
dx
dxhsec
dx
d2
uhcscucothdx
duuhcsc
dx
d
hxcscxcothsenhx
1
senhx
xcosh
xsenh
xcosh
senhx
1
dx
dxhcsc
dx
d2
Ejemplo 2
Derivar la funcioacuten 3x4tanhxf 2
La funcioacuten maacutes externa es la raiacutez por lo tanto es la primera en derivarse
3x4tanh2
3x4hsecx83x4tanh
dx
d
3x4tanh2
1
dx
df
2
222
2
Ejemplo 3
Derivar la funcioacuten 2x3cosh2x3tanhlnxf 22
La funcioacuten maacutes externa es el logaritmo por lo tanto es el primero en derivarse
2x3cosh2x3tanh
2x3xsenh62x3hsecx6
dx
df22
222
Integrales
Utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se puede establecer que
cuhcscduucothuhcsc
cuhsecduutanhuhsec
cucothduuhcsc
cutanhduuhsec
cusenhduucosh
cucoshduusenh
2
2
Utilizando estas foacutermulas se pueden establecer las siguientes
Ejemplo 4
Hallar la foacutermula para la integral de la tangente hiperboacutelica
dxxcosh
xsenhdxxtanh
Se hace un cambio de variable en donde dxxsenhduxcoshu Al sustituir la integral anterior
cambia a
cxcoshlnculnu
dudx
xcosh
xsenhdxxtanh
Se puede utilizar el mismo procedimiento para hallar las siguientes foacutermulas
cusenhlnduucoth
cucoshlnduutanh
Ejemplo 5
Resolver las siguientes integrales
dxx3senhx 32
Se realiza el cambio de variable dxx9
dux3u 23 por lo tanto la integral se puede escribir como
cx3cosh9
1cucosh
9
1duusenh
9
1
9
duusenhdxx3senhx 332
dx
x
xlnhsec 2
Se realiza el cambio de variablex
dxduxlnu por lo tanto la integral se puede escribir como
cxlntanhcutanhduuhsecdx
x
xlnhsec2
2
1
0
dxxcoshxsenh
Se realiza el cambio de variable dxxsenhduxcoshu por lo tanto la integral se puede escribir
como
1x
0x
1
0
2 duudxxcoshxsenh
Sin embargo dado que u=senh(x) si x=0 entonces 02
ee0senhu
00
Cuando x=1 entonces
e2
1e
2
e
1e
2
e
1e
2
ee1senhu
2
2
11
La integral es
2
32
23
23
2
e2
1e
0
23
e2
1e
0
1x
0x
1
0
2
e2
1e
3
20
3
2
e2
1e
3
2
u3
2duuduudxxcoshxsenh
22
Inversas
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas tienen funciones inversas que comuacutenmente se denotan
como 1senh o bien como arcsenh donde la funcioacuten recibe el nombre de seno hiperboacutelico inverso
Dado que las funciones estaacuten definidas en teacuterminos de exponenciales es de esperarse que sus
inversas incluyan logaritmos naturales Se pueden definir como
1x0parax
x11lnxhsec
1xparax1
x1ln
2
1xtanh
1xpara1xxlnxcosh
1xxlnxsenh
21
1
21
21
Las derivadas e integrales de estas funciones se resuelven igual que las funciones trigonomeacutetricas
inversas
Ejemplo 6
Obtener la foacutermula para la derivada de la funcioacuten xsenhy 1
Dado que no se conoce la derivada del seno hiperboacutelico inverso pero siacute la del seno hiperboacutelico se
pueden utilizar el concepto de la funcioacuten inversa y la derivada impliacutecita para hallar la foacutermula en
cuestioacuten
ycosh
1y
1yacutecoshy
xysenh
xsenhy 1
Se sabe que 1ysenhycosh 22 por lo tanto 1ysenhycosh 22 y la funcioacuten senhy=x entonces
1xycosh 2 Al sustituir se obtiene
1x
1y
2
El mismo meacutetodo se puede utilizar para encontrar cualquiera de las siguientes foacutermulas
1u
dxdu
usenhdx
d
2
1
1u1u
dxdu
ucoshdx
d
2
1
1uu1
dxdu
utanhdx
d2
1
1u0u1u
dxdu
uhsecdx
d
2
1
Ejemplo 7
Determinar si la funcioacuten 3xxsenhxf 21 es creciente o decreciente en el punto x=2
Se debe resolver la derivada de la multiplicacioacuten
10x6x
x23xsenh
19x6x
x23xsenh
13x
x2x3xsenh
dx
df
24
221
24
221
22
21
Se busca conocer como es la funcioacuten en x=2 por lo tanto se sustituye en la derivada
773131642077
80714ln
25
8257ln
225
82257ln
50
81497ln
102416
87senh
dx
df 1
2x
La funcioacuten es creciente crece a una razoacuten de 377
Las foacutermulas para la integracioacuten salen utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo y a partir de las
foacutermulas de derivacioacuten
0aca
usenhdu
ua
1 1
22
0auca
ucoshdu
au
1 1
22
au0aca
utanh
a
1du
ua
1 1
22
au00aca
uhsec
a
1du
uau
1 1
22
Ejemplo 8
Resolver la integral
dxe25
e
x6
x3
Esta integral es como la de la tangente hiperboacutelica inversa donde 5a25a 2
dxe3
dueueu x3x3x62 Al sustituir esto en la integral
c5
etanh
15
1c
5
etanh
5
1
3
1
u25
du
3
1
u25
3du x3
1x3
1
22
Aplicaciones
La velocidad de las olas en el mar bajo ciertas condiciones depende de la longitud de onda
(distancia entre cresta y cresta) y de la profundidad del agua por donde viajan las olas h La funcioacuten
que relaciona estas variables es
h2tanh
2
gv 2
donde v es la velocidad y g es la gravedad
Suponiendo que se mantiene h constante esto es que el oleaje se propaga por un oceacuteano de
profundidad constante (50 m) determinar si la velocidad aumenta o disminuye cuando m5
h2hsec
ghh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2hsec
h2
2
gh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2tanh
2
gv
h2tanh
2
gv
2
2
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
728d
dv
5
502hsec
5
50819
5
502tanh
2
819
5
502tanh
2
58192
1
d
dv 2
Entonces para este valor de la longitud de onda y de la profundidad la velocidad de la ola va
aumentando respecto a la longitud de onda
Si se requiere ahora saber como va cambiando la velocidad de propagacioacuten del oleaje respecto a la
profundidad del mar para una longitud de onda de 5 m se deberaacute entonces derivar respecto a h Sea
una profundidad de 7 m
h2tanh
2
g2
h2hsecg
dh
dv
h2hsec
2
2
g
h2tanh
2
g2
1
dh
dv
h2tanh
2
gv
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
77
2
2
1061595
10918
5
14tanh
2
05492
5
14hsec819
dh
dv
5
72tanh
2
58192
5
72hsec819
dh
dv
Asiacute que aunque la velocidad de propagacioacuten del oleaje va aumentando respecto a la profundidad la
razoacuten de cambio es muy pequentildea
EJERCICIOS DE DERIVADAS HIPERBOLICAS
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6) R
7) R
8) AYUDA R
9) R 10) R
11) R 12) R
13) R
14)DEMOSTRAR
AYUDA
15)
AYUDA
INTEGRALES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
httpcalculoccfunciones_hiperbolicasp_integrales_hiperbhtml
httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCIONES20
HIPERBOLICASpdfsequence=1
httpseswikipediaorgwikiAnexoIntegrales_de_funciones_hiperbC3B3licas
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES HIPERBOLICAS
2)
3)
5)
6)
8)
Resolvemos ambas integrales mediante integracioacuten por partes
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 5 u = 3x
11)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 3 u = 4x
13)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = radic7 u = 5x
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION MATERIAL DE APOYO
800 INTEGRALES RESUELTAS
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_metodosproblemasp_integr_sust_trigohtml
httpsmatematicasnblogspotcom201512integracion-por-sustitucionhtml CON VIDEOS INCLUIDOS
httpsdspaceupseduecbitstream12345678961191Manual20de20fracciones20parcialespdf
httpwwwtesoemedumxalumnoscuadernillos2011011pdf
httpprofe-alexzblogspotcom201104integracion-fracciones-parcialeshtml Y VIDEOS
httpswwwsectormatematicacl rsaquo media rsaquo diferenciado rsaquo FRACCIONES P httpswwwipnmxassetsfilescecyt11docsGuiasUABasicasMatematicascalculo-integral-solucion-de-problemasPDF
httpswwwacademiaedu7708664CC381LCULO_INTEGRAL_EJERCICIOS_RESUELTOS_PASO_A_PASO
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1 Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de
variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de
la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que
contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe
ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
CAPITULO 4
FUNCIONES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
1) httpwwwmtyitesmmxetiedeptosmma-841recursostab-hippdf
2) httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCION
ES20HIPERBOLICASpdfsequence=1
FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS HIPERBOacuteLICAS
Definicioacuten de las funciones
Un ciacuterculo unitario con centro en el origen sigue la foacutermula 1yx 22 un punto dado por el par
ordenado yx se puede representar como funcioacuten de un aacutengulo t de la siguiente manera
senttcosyx De igual manera una hipeacuterbola unitaria con centro en el origen sigue la foacutermula
1yx 22 un punto dado por el par ordenado yx se puede representar como funcioacuten del aacutengulo t
de la siguiente manera senhttcoshyx Estas funciones se denominan funciones trigonomeacutetricas
hiperboacutelicas en particular coseno hiperboacutelico y seno hiperboacutelico
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas presentan propiedades anaacutelogas a las de las funciones
trigonomeacutetricas o circulares La funcioacuten xsenhxf se define como 2
eexsenh
xx mientras que
la funcioacuten xcoshxf es 2
eexcosh
xx
Al igual que las funciones trigonomeacutetricas circulares en las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas se
cumplen las siguientes identidades fundamentales
xx
xx
xx
xx
xx
xx
ee
2
xsenh
1xhcsc
ee
2
xcosh
1xhsec
ee
ee
xsenh
xcoshxcoth
ee
ee
xcosh
xsenhxtanh
Debido a esto es loacutegico pensar que habraacute una relacioacuten equivalente al Teorema de Pitaacutegoras Asiacute
para las funciones hiperboacutelicas se sabe que 1xsenhxcosh 22
Ejemplo 1
Demostrar que 1xsenhxcosh 22
11
14
4
14
2
4
2
14
ee2
4
ee2
14
eee2e
4
eee2e
12
ee
2
ee
1xsenhxcosh
xxxx
x2xxx2x2xxx2
2xx
2xx
22
Graacutefica de las funciones
Sea la funcioacuten 2
eexsenhxf
xx Las intersecciones se pueden encontrar igualando la funcioacuten
a cero
0x
0x2
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
02
ee
x2
x
x
xx
xx
xx
La funcioacuten seno hiperboacutelico tiene una sola raiacutez en x=0 Para obtener los puntos criacuteticos se iguala a
cero la derivada de la funcioacuten
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
0ee2
1
ee2
1ee
dx
d
2
1
2
ee
dx
d
dx
df
x2
x
x
xx
xx
xx
xxxxxx
por lo tanto no hay puntos criacuteticos Es interesante notar que la derivada de la funcioacuten senh(x) es la
funcioacuten cosh(x)
Por uacuteltimo puntos inflexioacuten se pueden encontrar en donde la segunda derivada es igual a cero
xxxxxx
2
2
ee2
1ee
dx
d
2
1ee
2
1
dx
d
dx
fd
La segunda derivada nos llevoacute nuevamente a la funcioacuten senh(x) Esta funcioacuten ya se igualoacute a cero
para encontrar las intersecciones El resultado es que en x=0 hay una raiacutez que a su vez es un punto
de inflexioacuten
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
La misma funcioacuten 2
eexsenhxf
xx se puede ver como la resta de dos funciones exponenciales
2
e
2
e
2
ee xxxx
La graacutefica de estas dos funciones exponenciales se muestra en azul (exponencial
positiva) y verde (exponencial negativa) La resta de ambas punto por punto es la funcioacuten senh(x)
Derivadas
ucoshdx
duusenh
dx
dxcosh
2
ee
2
ee
dx
dxsenh
dx
d xxxx
usenhdx
duucosh
dx
dxsenh
2
ee
2
ee
dx
dxcosh
dx
d xxxx
uhsecdx
duutanh
dx
d
xhsecxcosh
1
xcosh
xsenhxcosh
xcosh
senhx
dx
dxtanh
dx
d
2
2
22
22
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
uhcscdx
duucoth
dx
d
xhcscxsenh
1
xsenh
xcoshxsenh
senhx
xcosh
dx
dxcoth
dx
d 2
22
22
uhsecutanhdx
duuhsec
dx
d
hxsecxtanhxcosh
1
xcosh
senhx
xcosh
senhx
xcosh
1
dx
dxhsec
dx
d2
uhcscucothdx
duuhcsc
dx
d
hxcscxcothsenhx
1
senhx
xcosh
xsenh
xcosh
senhx
1
dx
dxhcsc
dx
d2
Ejemplo 2
Derivar la funcioacuten 3x4tanhxf 2
La funcioacuten maacutes externa es la raiacutez por lo tanto es la primera en derivarse
3x4tanh2
3x4hsecx83x4tanh
dx
d
3x4tanh2
1
dx
df
2
222
2
Ejemplo 3
Derivar la funcioacuten 2x3cosh2x3tanhlnxf 22
La funcioacuten maacutes externa es el logaritmo por lo tanto es el primero en derivarse
2x3cosh2x3tanh
2x3xsenh62x3hsecx6
dx
df22
222
Integrales
Utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se puede establecer que
cuhcscduucothuhcsc
cuhsecduutanhuhsec
cucothduuhcsc
cutanhduuhsec
cusenhduucosh
cucoshduusenh
2
2
Utilizando estas foacutermulas se pueden establecer las siguientes
Ejemplo 4
Hallar la foacutermula para la integral de la tangente hiperboacutelica
dxxcosh
xsenhdxxtanh
Se hace un cambio de variable en donde dxxsenhduxcoshu Al sustituir la integral anterior
cambia a
cxcoshlnculnu
dudx
xcosh
xsenhdxxtanh
Se puede utilizar el mismo procedimiento para hallar las siguientes foacutermulas
cusenhlnduucoth
cucoshlnduutanh
Ejemplo 5
Resolver las siguientes integrales
dxx3senhx 32
Se realiza el cambio de variable dxx9
dux3u 23 por lo tanto la integral se puede escribir como
cx3cosh9
1cucosh
9
1duusenh
9
1
9
duusenhdxx3senhx 332
dx
x
xlnhsec 2
Se realiza el cambio de variablex
dxduxlnu por lo tanto la integral se puede escribir como
cxlntanhcutanhduuhsecdx
x
xlnhsec2
2
1
0
dxxcoshxsenh
Se realiza el cambio de variable dxxsenhduxcoshu por lo tanto la integral se puede escribir
como
1x
0x
1
0
2 duudxxcoshxsenh
Sin embargo dado que u=senh(x) si x=0 entonces 02
ee0senhu
00
Cuando x=1 entonces
e2
1e
2
e
1e
2
e
1e
2
ee1senhu
2
2
11
La integral es
2
32
23
23
2
e2
1e
0
23
e2
1e
0
1x
0x
1
0
2
e2
1e
3
20
3
2
e2
1e
3
2
u3
2duuduudxxcoshxsenh
22
Inversas
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas tienen funciones inversas que comuacutenmente se denotan
como 1senh o bien como arcsenh donde la funcioacuten recibe el nombre de seno hiperboacutelico inverso
Dado que las funciones estaacuten definidas en teacuterminos de exponenciales es de esperarse que sus
inversas incluyan logaritmos naturales Se pueden definir como
1x0parax
x11lnxhsec
1xparax1
x1ln
2
1xtanh
1xpara1xxlnxcosh
1xxlnxsenh
21
1
21
21
Las derivadas e integrales de estas funciones se resuelven igual que las funciones trigonomeacutetricas
inversas
Ejemplo 6
Obtener la foacutermula para la derivada de la funcioacuten xsenhy 1
Dado que no se conoce la derivada del seno hiperboacutelico inverso pero siacute la del seno hiperboacutelico se
pueden utilizar el concepto de la funcioacuten inversa y la derivada impliacutecita para hallar la foacutermula en
cuestioacuten
ycosh
1y
1yacutecoshy
xysenh
xsenhy 1
Se sabe que 1ysenhycosh 22 por lo tanto 1ysenhycosh 22 y la funcioacuten senhy=x entonces
1xycosh 2 Al sustituir se obtiene
1x
1y
2
El mismo meacutetodo se puede utilizar para encontrar cualquiera de las siguientes foacutermulas
1u
dxdu
usenhdx
d
2
1
1u1u
dxdu
ucoshdx
d
2
1
1uu1
dxdu
utanhdx
d2
1
1u0u1u
dxdu
uhsecdx
d
2
1
Ejemplo 7
Determinar si la funcioacuten 3xxsenhxf 21 es creciente o decreciente en el punto x=2
Se debe resolver la derivada de la multiplicacioacuten
10x6x
x23xsenh
19x6x
x23xsenh
13x
x2x3xsenh
dx
df
24
221
24
221
22
21
Se busca conocer como es la funcioacuten en x=2 por lo tanto se sustituye en la derivada
773131642077
80714ln
25
8257ln
225
82257ln
50
81497ln
102416
87senh
dx
df 1
2x
La funcioacuten es creciente crece a una razoacuten de 377
Las foacutermulas para la integracioacuten salen utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo y a partir de las
foacutermulas de derivacioacuten
0aca
usenhdu
ua
1 1
22
0auca
ucoshdu
au
1 1
22
au0aca
utanh
a
1du
ua
1 1
22
au00aca
uhsec
a
1du
uau
1 1
22
Ejemplo 8
Resolver la integral
dxe25
e
x6
x3
Esta integral es como la de la tangente hiperboacutelica inversa donde 5a25a 2
dxe3
dueueu x3x3x62 Al sustituir esto en la integral
c5
etanh
15
1c
5
etanh
5
1
3
1
u25
du
3
1
u25
3du x3
1x3
1
22
Aplicaciones
La velocidad de las olas en el mar bajo ciertas condiciones depende de la longitud de onda
(distancia entre cresta y cresta) y de la profundidad del agua por donde viajan las olas h La funcioacuten
que relaciona estas variables es
h2tanh
2
gv 2
donde v es la velocidad y g es la gravedad
Suponiendo que se mantiene h constante esto es que el oleaje se propaga por un oceacuteano de
profundidad constante (50 m) determinar si la velocidad aumenta o disminuye cuando m5
h2hsec
ghh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2hsec
h2
2
gh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2tanh
2
gv
h2tanh
2
gv
2
2
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
728d
dv
5
502hsec
5
50819
5
502tanh
2
819
5
502tanh
2
58192
1
d
dv 2
Entonces para este valor de la longitud de onda y de la profundidad la velocidad de la ola va
aumentando respecto a la longitud de onda
Si se requiere ahora saber como va cambiando la velocidad de propagacioacuten del oleaje respecto a la
profundidad del mar para una longitud de onda de 5 m se deberaacute entonces derivar respecto a h Sea
una profundidad de 7 m
h2tanh
2
g2
h2hsecg
dh
dv
h2hsec
2
2
g
h2tanh
2
g2
1
dh
dv
h2tanh
2
gv
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
77
2
2
1061595
10918
5
14tanh
2
05492
5
14hsec819
dh
dv
5
72tanh
2
58192
5
72hsec819
dh
dv
Asiacute que aunque la velocidad de propagacioacuten del oleaje va aumentando respecto a la profundidad la
razoacuten de cambio es muy pequentildea
EJERCICIOS DE DERIVADAS HIPERBOLICAS
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6) R
7) R
8) AYUDA R
9) R 10) R
11) R 12) R
13) R
14)DEMOSTRAR
AYUDA
15)
AYUDA
INTEGRALES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
httpcalculoccfunciones_hiperbolicasp_integrales_hiperbhtml
httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCIONES20
HIPERBOLICASpdfsequence=1
httpseswikipediaorgwikiAnexoIntegrales_de_funciones_hiperbC3B3licas
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES HIPERBOLICAS
2)
3)
5)
6)
8)
Resolvemos ambas integrales mediante integracioacuten por partes
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 5 u = 3x
11)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 3 u = 4x
13)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = radic7 u = 5x
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION MATERIAL DE APOYO
800 INTEGRALES RESUELTAS
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_metodosproblemasp_integr_sust_trigohtml
httpsmatematicasnblogspotcom201512integracion-por-sustitucionhtml CON VIDEOS INCLUIDOS
httpsdspaceupseduecbitstream12345678961191Manual20de20fracciones20parcialespdf
httpwwwtesoemedumxalumnoscuadernillos2011011pdf
httpprofe-alexzblogspotcom201104integracion-fracciones-parcialeshtml Y VIDEOS
httpswwwsectormatematicacl rsaquo media rsaquo diferenciado rsaquo FRACCIONES P httpswwwipnmxassetsfilescecyt11docsGuiasUABasicasMatematicascalculo-integral-solucion-de-problemasPDF
httpswwwacademiaedu7708664CC381LCULO_INTEGRAL_EJERCICIOS_RESUELTOS_PASO_A_PASO
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1 Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de
variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de
la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que
contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe
ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
Debido a esto es loacutegico pensar que habraacute una relacioacuten equivalente al Teorema de Pitaacutegoras Asiacute
para las funciones hiperboacutelicas se sabe que 1xsenhxcosh 22
Ejemplo 1
Demostrar que 1xsenhxcosh 22
11
14
4
14
2
4
2
14
ee2
4
ee2
14
eee2e
4
eee2e
12
ee
2
ee
1xsenhxcosh
xxxx
x2xxx2x2xxx2
2xx
2xx
22
Graacutefica de las funciones
Sea la funcioacuten 2
eexsenhxf
xx Las intersecciones se pueden encontrar igualando la funcioacuten
a cero
0x
0x2
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
02
ee
x2
x
x
xx
xx
xx
La funcioacuten seno hiperboacutelico tiene una sola raiacutez en x=0 Para obtener los puntos criacuteticos se iguala a
cero la derivada de la funcioacuten
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
0ee2
1
ee2
1ee
dx
d
2
1
2
ee
dx
d
dx
df
x2
x
x
xx
xx
xx
xxxxxx
por lo tanto no hay puntos criacuteticos Es interesante notar que la derivada de la funcioacuten senh(x) es la
funcioacuten cosh(x)
Por uacuteltimo puntos inflexioacuten se pueden encontrar en donde la segunda derivada es igual a cero
xxxxxx
2
2
ee2
1ee
dx
d
2
1ee
2
1
dx
d
dx
fd
La segunda derivada nos llevoacute nuevamente a la funcioacuten senh(x) Esta funcioacuten ya se igualoacute a cero
para encontrar las intersecciones El resultado es que en x=0 hay una raiacutez que a su vez es un punto
de inflexioacuten
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
La misma funcioacuten 2
eexsenhxf
xx se puede ver como la resta de dos funciones exponenciales
2
e
2
e
2
ee xxxx
La graacutefica de estas dos funciones exponenciales se muestra en azul (exponencial
positiva) y verde (exponencial negativa) La resta de ambas punto por punto es la funcioacuten senh(x)
Derivadas
ucoshdx
duusenh
dx
dxcosh
2
ee
2
ee
dx
dxsenh
dx
d xxxx
usenhdx
duucosh
dx
dxsenh
2
ee
2
ee
dx
dxcosh
dx
d xxxx
uhsecdx
duutanh
dx
d
xhsecxcosh
1
xcosh
xsenhxcosh
xcosh
senhx
dx
dxtanh
dx
d
2
2
22
22
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
uhcscdx
duucoth
dx
d
xhcscxsenh
1
xsenh
xcoshxsenh
senhx
xcosh
dx
dxcoth
dx
d 2
22
22
uhsecutanhdx
duuhsec
dx
d
hxsecxtanhxcosh
1
xcosh
senhx
xcosh
senhx
xcosh
1
dx
dxhsec
dx
d2
uhcscucothdx
duuhcsc
dx
d
hxcscxcothsenhx
1
senhx
xcosh
xsenh
xcosh
senhx
1
dx
dxhcsc
dx
d2
Ejemplo 2
Derivar la funcioacuten 3x4tanhxf 2
La funcioacuten maacutes externa es la raiacutez por lo tanto es la primera en derivarse
3x4tanh2
3x4hsecx83x4tanh
dx
d
3x4tanh2
1
dx
df
2
222
2
Ejemplo 3
Derivar la funcioacuten 2x3cosh2x3tanhlnxf 22
La funcioacuten maacutes externa es el logaritmo por lo tanto es el primero en derivarse
2x3cosh2x3tanh
2x3xsenh62x3hsecx6
dx
df22
222
Integrales
Utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se puede establecer que
cuhcscduucothuhcsc
cuhsecduutanhuhsec
cucothduuhcsc
cutanhduuhsec
cusenhduucosh
cucoshduusenh
2
2
Utilizando estas foacutermulas se pueden establecer las siguientes
Ejemplo 4
Hallar la foacutermula para la integral de la tangente hiperboacutelica
dxxcosh
xsenhdxxtanh
Se hace un cambio de variable en donde dxxsenhduxcoshu Al sustituir la integral anterior
cambia a
cxcoshlnculnu
dudx
xcosh
xsenhdxxtanh
Se puede utilizar el mismo procedimiento para hallar las siguientes foacutermulas
cusenhlnduucoth
cucoshlnduutanh
Ejemplo 5
Resolver las siguientes integrales
dxx3senhx 32
Se realiza el cambio de variable dxx9
dux3u 23 por lo tanto la integral se puede escribir como
cx3cosh9
1cucosh
9
1duusenh
9
1
9
duusenhdxx3senhx 332
dx
x
xlnhsec 2
Se realiza el cambio de variablex
dxduxlnu por lo tanto la integral se puede escribir como
cxlntanhcutanhduuhsecdx
x
xlnhsec2
2
1
0
dxxcoshxsenh
Se realiza el cambio de variable dxxsenhduxcoshu por lo tanto la integral se puede escribir
como
1x
0x
1
0
2 duudxxcoshxsenh
Sin embargo dado que u=senh(x) si x=0 entonces 02
ee0senhu
00
Cuando x=1 entonces
e2
1e
2
e
1e
2
e
1e
2
ee1senhu
2
2
11
La integral es
2
32
23
23
2
e2
1e
0
23
e2
1e
0
1x
0x
1
0
2
e2
1e
3
20
3
2
e2
1e
3
2
u3
2duuduudxxcoshxsenh
22
Inversas
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas tienen funciones inversas que comuacutenmente se denotan
como 1senh o bien como arcsenh donde la funcioacuten recibe el nombre de seno hiperboacutelico inverso
Dado que las funciones estaacuten definidas en teacuterminos de exponenciales es de esperarse que sus
inversas incluyan logaritmos naturales Se pueden definir como
1x0parax
x11lnxhsec
1xparax1
x1ln
2
1xtanh
1xpara1xxlnxcosh
1xxlnxsenh
21
1
21
21
Las derivadas e integrales de estas funciones se resuelven igual que las funciones trigonomeacutetricas
inversas
Ejemplo 6
Obtener la foacutermula para la derivada de la funcioacuten xsenhy 1
Dado que no se conoce la derivada del seno hiperboacutelico inverso pero siacute la del seno hiperboacutelico se
pueden utilizar el concepto de la funcioacuten inversa y la derivada impliacutecita para hallar la foacutermula en
cuestioacuten
ycosh
1y
1yacutecoshy
xysenh
xsenhy 1
Se sabe que 1ysenhycosh 22 por lo tanto 1ysenhycosh 22 y la funcioacuten senhy=x entonces
1xycosh 2 Al sustituir se obtiene
1x
1y
2
El mismo meacutetodo se puede utilizar para encontrar cualquiera de las siguientes foacutermulas
1u
dxdu
usenhdx
d
2
1
1u1u
dxdu
ucoshdx
d
2
1
1uu1
dxdu
utanhdx
d2
1
1u0u1u
dxdu
uhsecdx
d
2
1
Ejemplo 7
Determinar si la funcioacuten 3xxsenhxf 21 es creciente o decreciente en el punto x=2
Se debe resolver la derivada de la multiplicacioacuten
10x6x
x23xsenh
19x6x
x23xsenh
13x
x2x3xsenh
dx
df
24
221
24
221
22
21
Se busca conocer como es la funcioacuten en x=2 por lo tanto se sustituye en la derivada
773131642077
80714ln
25
8257ln
225
82257ln
50
81497ln
102416
87senh
dx
df 1
2x
La funcioacuten es creciente crece a una razoacuten de 377
Las foacutermulas para la integracioacuten salen utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo y a partir de las
foacutermulas de derivacioacuten
0aca
usenhdu
ua
1 1
22
0auca
ucoshdu
au
1 1
22
au0aca
utanh
a
1du
ua
1 1
22
au00aca
uhsec
a
1du
uau
1 1
22
Ejemplo 8
Resolver la integral
dxe25
e
x6
x3
Esta integral es como la de la tangente hiperboacutelica inversa donde 5a25a 2
dxe3
dueueu x3x3x62 Al sustituir esto en la integral
c5
etanh
15
1c
5
etanh
5
1
3
1
u25
du
3
1
u25
3du x3
1x3
1
22
Aplicaciones
La velocidad de las olas en el mar bajo ciertas condiciones depende de la longitud de onda
(distancia entre cresta y cresta) y de la profundidad del agua por donde viajan las olas h La funcioacuten
que relaciona estas variables es
h2tanh
2
gv 2
donde v es la velocidad y g es la gravedad
Suponiendo que se mantiene h constante esto es que el oleaje se propaga por un oceacuteano de
profundidad constante (50 m) determinar si la velocidad aumenta o disminuye cuando m5
h2hsec
ghh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2hsec
h2
2
gh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2tanh
2
gv
h2tanh
2
gv
2
2
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
728d
dv
5
502hsec
5
50819
5
502tanh
2
819
5
502tanh
2
58192
1
d
dv 2
Entonces para este valor de la longitud de onda y de la profundidad la velocidad de la ola va
aumentando respecto a la longitud de onda
Si se requiere ahora saber como va cambiando la velocidad de propagacioacuten del oleaje respecto a la
profundidad del mar para una longitud de onda de 5 m se deberaacute entonces derivar respecto a h Sea
una profundidad de 7 m
h2tanh
2
g2
h2hsecg
dh
dv
h2hsec
2
2
g
h2tanh
2
g2
1
dh
dv
h2tanh
2
gv
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
77
2
2
1061595
10918
5
14tanh
2
05492
5
14hsec819
dh
dv
5
72tanh
2
58192
5
72hsec819
dh
dv
Asiacute que aunque la velocidad de propagacioacuten del oleaje va aumentando respecto a la profundidad la
razoacuten de cambio es muy pequentildea
EJERCICIOS DE DERIVADAS HIPERBOLICAS
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6) R
7) R
8) AYUDA R
9) R 10) R
11) R 12) R
13) R
14)DEMOSTRAR
AYUDA
15)
AYUDA
INTEGRALES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
httpcalculoccfunciones_hiperbolicasp_integrales_hiperbhtml
httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCIONES20
HIPERBOLICASpdfsequence=1
httpseswikipediaorgwikiAnexoIntegrales_de_funciones_hiperbC3B3licas
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES HIPERBOLICAS
2)
3)
5)
6)
8)
Resolvemos ambas integrales mediante integracioacuten por partes
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 5 u = 3x
11)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 3 u = 4x
13)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = radic7 u = 5x
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION MATERIAL DE APOYO
800 INTEGRALES RESUELTAS
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_metodosproblemasp_integr_sust_trigohtml
httpsmatematicasnblogspotcom201512integracion-por-sustitucionhtml CON VIDEOS INCLUIDOS
httpsdspaceupseduecbitstream12345678961191Manual20de20fracciones20parcialespdf
httpwwwtesoemedumxalumnoscuadernillos2011011pdf
httpprofe-alexzblogspotcom201104integracion-fracciones-parcialeshtml Y VIDEOS
httpswwwsectormatematicacl rsaquo media rsaquo diferenciado rsaquo FRACCIONES P httpswwwipnmxassetsfilescecyt11docsGuiasUABasicasMatematicascalculo-integral-solucion-de-problemasPDF
httpswwwacademiaedu7708664CC381LCULO_INTEGRAL_EJERCICIOS_RESUELTOS_PASO_A_PASO
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1 Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de
variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de
la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que
contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe
ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
1lnx2
1e
1e
e
ee
0ee
0ee2
1
ee2
1ee
dx
d
2
1
2
ee
dx
d
dx
df
x2
x
x
xx
xx
xx
xxxxxx
por lo tanto no hay puntos criacuteticos Es interesante notar que la derivada de la funcioacuten senh(x) es la
funcioacuten cosh(x)
Por uacuteltimo puntos inflexioacuten se pueden encontrar en donde la segunda derivada es igual a cero
xxxxxx
2
2
ee2
1ee
dx
d
2
1ee
2
1
dx
d
dx
fd
La segunda derivada nos llevoacute nuevamente a la funcioacuten senh(x) Esta funcioacuten ya se igualoacute a cero
para encontrar las intersecciones El resultado es que en x=0 hay una raiacutez que a su vez es un punto
de inflexioacuten
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
La misma funcioacuten 2
eexsenhxf
xx se puede ver como la resta de dos funciones exponenciales
2
e
2
e
2
ee xxxx
La graacutefica de estas dos funciones exponenciales se muestra en azul (exponencial
positiva) y verde (exponencial negativa) La resta de ambas punto por punto es la funcioacuten senh(x)
Derivadas
ucoshdx
duusenh
dx
dxcosh
2
ee
2
ee
dx
dxsenh
dx
d xxxx
usenhdx
duucosh
dx
dxsenh
2
ee
2
ee
dx
dxcosh
dx
d xxxx
uhsecdx
duutanh
dx
d
xhsecxcosh
1
xcosh
xsenhxcosh
xcosh
senhx
dx
dxtanh
dx
d
2
2
22
22
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
uhcscdx
duucoth
dx
d
xhcscxsenh
1
xsenh
xcoshxsenh
senhx
xcosh
dx
dxcoth
dx
d 2
22
22
uhsecutanhdx
duuhsec
dx
d
hxsecxtanhxcosh
1
xcosh
senhx
xcosh
senhx
xcosh
1
dx
dxhsec
dx
d2
uhcscucothdx
duuhcsc
dx
d
hxcscxcothsenhx
1
senhx
xcosh
xsenh
xcosh
senhx
1
dx
dxhcsc
dx
d2
Ejemplo 2
Derivar la funcioacuten 3x4tanhxf 2
La funcioacuten maacutes externa es la raiacutez por lo tanto es la primera en derivarse
3x4tanh2
3x4hsecx83x4tanh
dx
d
3x4tanh2
1
dx
df
2
222
2
Ejemplo 3
Derivar la funcioacuten 2x3cosh2x3tanhlnxf 22
La funcioacuten maacutes externa es el logaritmo por lo tanto es el primero en derivarse
2x3cosh2x3tanh
2x3xsenh62x3hsecx6
dx
df22
222
Integrales
Utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se puede establecer que
cuhcscduucothuhcsc
cuhsecduutanhuhsec
cucothduuhcsc
cutanhduuhsec
cusenhduucosh
cucoshduusenh
2
2
Utilizando estas foacutermulas se pueden establecer las siguientes
Ejemplo 4
Hallar la foacutermula para la integral de la tangente hiperboacutelica
dxxcosh
xsenhdxxtanh
Se hace un cambio de variable en donde dxxsenhduxcoshu Al sustituir la integral anterior
cambia a
cxcoshlnculnu
dudx
xcosh
xsenhdxxtanh
Se puede utilizar el mismo procedimiento para hallar las siguientes foacutermulas
cusenhlnduucoth
cucoshlnduutanh
Ejemplo 5
Resolver las siguientes integrales
dxx3senhx 32
Se realiza el cambio de variable dxx9
dux3u 23 por lo tanto la integral se puede escribir como
cx3cosh9
1cucosh
9
1duusenh
9
1
9
duusenhdxx3senhx 332
dx
x
xlnhsec 2
Se realiza el cambio de variablex
dxduxlnu por lo tanto la integral se puede escribir como
cxlntanhcutanhduuhsecdx
x
xlnhsec2
2
1
0
dxxcoshxsenh
Se realiza el cambio de variable dxxsenhduxcoshu por lo tanto la integral se puede escribir
como
1x
0x
1
0
2 duudxxcoshxsenh
Sin embargo dado que u=senh(x) si x=0 entonces 02
ee0senhu
00
Cuando x=1 entonces
e2
1e
2
e
1e
2
e
1e
2
ee1senhu
2
2
11
La integral es
2
32
23
23
2
e2
1e
0
23
e2
1e
0
1x
0x
1
0
2
e2
1e
3
20
3
2
e2
1e
3
2
u3
2duuduudxxcoshxsenh
22
Inversas
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas tienen funciones inversas que comuacutenmente se denotan
como 1senh o bien como arcsenh donde la funcioacuten recibe el nombre de seno hiperboacutelico inverso
Dado que las funciones estaacuten definidas en teacuterminos de exponenciales es de esperarse que sus
inversas incluyan logaritmos naturales Se pueden definir como
1x0parax
x11lnxhsec
1xparax1
x1ln
2
1xtanh
1xpara1xxlnxcosh
1xxlnxsenh
21
1
21
21
Las derivadas e integrales de estas funciones se resuelven igual que las funciones trigonomeacutetricas
inversas
Ejemplo 6
Obtener la foacutermula para la derivada de la funcioacuten xsenhy 1
Dado que no se conoce la derivada del seno hiperboacutelico inverso pero siacute la del seno hiperboacutelico se
pueden utilizar el concepto de la funcioacuten inversa y la derivada impliacutecita para hallar la foacutermula en
cuestioacuten
ycosh
1y
1yacutecoshy
xysenh
xsenhy 1
Se sabe que 1ysenhycosh 22 por lo tanto 1ysenhycosh 22 y la funcioacuten senhy=x entonces
1xycosh 2 Al sustituir se obtiene
1x
1y
2
El mismo meacutetodo se puede utilizar para encontrar cualquiera de las siguientes foacutermulas
1u
dxdu
usenhdx
d
2
1
1u1u
dxdu
ucoshdx
d
2
1
1uu1
dxdu
utanhdx
d2
1
1u0u1u
dxdu
uhsecdx
d
2
1
Ejemplo 7
Determinar si la funcioacuten 3xxsenhxf 21 es creciente o decreciente en el punto x=2
Se debe resolver la derivada de la multiplicacioacuten
10x6x
x23xsenh
19x6x
x23xsenh
13x
x2x3xsenh
dx
df
24
221
24
221
22
21
Se busca conocer como es la funcioacuten en x=2 por lo tanto se sustituye en la derivada
773131642077
80714ln
25
8257ln
225
82257ln
50
81497ln
102416
87senh
dx
df 1
2x
La funcioacuten es creciente crece a una razoacuten de 377
Las foacutermulas para la integracioacuten salen utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo y a partir de las
foacutermulas de derivacioacuten
0aca
usenhdu
ua
1 1
22
0auca
ucoshdu
au
1 1
22
au0aca
utanh
a
1du
ua
1 1
22
au00aca
uhsec
a
1du
uau
1 1
22
Ejemplo 8
Resolver la integral
dxe25
e
x6
x3
Esta integral es como la de la tangente hiperboacutelica inversa donde 5a25a 2
dxe3
dueueu x3x3x62 Al sustituir esto en la integral
c5
etanh
15
1c
5
etanh
5
1
3
1
u25
du
3
1
u25
3du x3
1x3
1
22
Aplicaciones
La velocidad de las olas en el mar bajo ciertas condiciones depende de la longitud de onda
(distancia entre cresta y cresta) y de la profundidad del agua por donde viajan las olas h La funcioacuten
que relaciona estas variables es
h2tanh
2
gv 2
donde v es la velocidad y g es la gravedad
Suponiendo que se mantiene h constante esto es que el oleaje se propaga por un oceacuteano de
profundidad constante (50 m) determinar si la velocidad aumenta o disminuye cuando m5
h2hsec
ghh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2hsec
h2
2
gh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2tanh
2
gv
h2tanh
2
gv
2
2
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
728d
dv
5
502hsec
5
50819
5
502tanh
2
819
5
502tanh
2
58192
1
d
dv 2
Entonces para este valor de la longitud de onda y de la profundidad la velocidad de la ola va
aumentando respecto a la longitud de onda
Si se requiere ahora saber como va cambiando la velocidad de propagacioacuten del oleaje respecto a la
profundidad del mar para una longitud de onda de 5 m se deberaacute entonces derivar respecto a h Sea
una profundidad de 7 m
h2tanh
2
g2
h2hsecg
dh
dv
h2hsec
2
2
g
h2tanh
2
g2
1
dh
dv
h2tanh
2
gv
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
77
2
2
1061595
10918
5
14tanh
2
05492
5
14hsec819
dh
dv
5
72tanh
2
58192
5
72hsec819
dh
dv
Asiacute que aunque la velocidad de propagacioacuten del oleaje va aumentando respecto a la profundidad la
razoacuten de cambio es muy pequentildea
EJERCICIOS DE DERIVADAS HIPERBOLICAS
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6) R
7) R
8) AYUDA R
9) R 10) R
11) R 12) R
13) R
14)DEMOSTRAR
AYUDA
15)
AYUDA
INTEGRALES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
httpcalculoccfunciones_hiperbolicasp_integrales_hiperbhtml
httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCIONES20
HIPERBOLICASpdfsequence=1
httpseswikipediaorgwikiAnexoIntegrales_de_funciones_hiperbC3B3licas
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES HIPERBOLICAS
2)
3)
5)
6)
8)
Resolvemos ambas integrales mediante integracioacuten por partes
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 5 u = 3x
11)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 3 u = 4x
13)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = radic7 u = 5x
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION MATERIAL DE APOYO
800 INTEGRALES RESUELTAS
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_metodosproblemasp_integr_sust_trigohtml
httpsmatematicasnblogspotcom201512integracion-por-sustitucionhtml CON VIDEOS INCLUIDOS
httpsdspaceupseduecbitstream12345678961191Manual20de20fracciones20parcialespdf
httpwwwtesoemedumxalumnoscuadernillos2011011pdf
httpprofe-alexzblogspotcom201104integracion-fracciones-parcialeshtml Y VIDEOS
httpswwwsectormatematicacl rsaquo media rsaquo diferenciado rsaquo FRACCIONES P httpswwwipnmxassetsfilescecyt11docsGuiasUABasicasMatematicascalculo-integral-solucion-de-problemasPDF
httpswwwacademiaedu7708664CC381LCULO_INTEGRAL_EJERCICIOS_RESUELTOS_PASO_A_PASO
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1 Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de
variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de
la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que
contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe
ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
La misma funcioacuten 2
eexsenhxf
xx se puede ver como la resta de dos funciones exponenciales
2
e
2
e
2
ee xxxx
La graacutefica de estas dos funciones exponenciales se muestra en azul (exponencial
positiva) y verde (exponencial negativa) La resta de ambas punto por punto es la funcioacuten senh(x)
Derivadas
ucoshdx
duusenh
dx
dxcosh
2
ee
2
ee
dx
dxsenh
dx
d xxxx
usenhdx
duucosh
dx
dxsenh
2
ee
2
ee
dx
dxcosh
dx
d xxxx
uhsecdx
duutanh
dx
d
xhsecxcosh
1
xcosh
xsenhxcosh
xcosh
senhx
dx
dxtanh
dx
d
2
2
22
22
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
uhcscdx
duucoth
dx
d
xhcscxsenh
1
xsenh
xcoshxsenh
senhx
xcosh
dx
dxcoth
dx
d 2
22
22
uhsecutanhdx
duuhsec
dx
d
hxsecxtanhxcosh
1
xcosh
senhx
xcosh
senhx
xcosh
1
dx
dxhsec
dx
d2
uhcscucothdx
duuhcsc
dx
d
hxcscxcothsenhx
1
senhx
xcosh
xsenh
xcosh
senhx
1
dx
dxhcsc
dx
d2
Ejemplo 2
Derivar la funcioacuten 3x4tanhxf 2
La funcioacuten maacutes externa es la raiacutez por lo tanto es la primera en derivarse
3x4tanh2
3x4hsecx83x4tanh
dx
d
3x4tanh2
1
dx
df
2
222
2
Ejemplo 3
Derivar la funcioacuten 2x3cosh2x3tanhlnxf 22
La funcioacuten maacutes externa es el logaritmo por lo tanto es el primero en derivarse
2x3cosh2x3tanh
2x3xsenh62x3hsecx6
dx
df22
222
Integrales
Utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se puede establecer que
cuhcscduucothuhcsc
cuhsecduutanhuhsec
cucothduuhcsc
cutanhduuhsec
cusenhduucosh
cucoshduusenh
2
2
Utilizando estas foacutermulas se pueden establecer las siguientes
Ejemplo 4
Hallar la foacutermula para la integral de la tangente hiperboacutelica
dxxcosh
xsenhdxxtanh
Se hace un cambio de variable en donde dxxsenhduxcoshu Al sustituir la integral anterior
cambia a
cxcoshlnculnu
dudx
xcosh
xsenhdxxtanh
Se puede utilizar el mismo procedimiento para hallar las siguientes foacutermulas
cusenhlnduucoth
cucoshlnduutanh
Ejemplo 5
Resolver las siguientes integrales
dxx3senhx 32
Se realiza el cambio de variable dxx9
dux3u 23 por lo tanto la integral se puede escribir como
cx3cosh9
1cucosh
9
1duusenh
9
1
9
duusenhdxx3senhx 332
dx
x
xlnhsec 2
Se realiza el cambio de variablex
dxduxlnu por lo tanto la integral se puede escribir como
cxlntanhcutanhduuhsecdx
x
xlnhsec2
2
1
0
dxxcoshxsenh
Se realiza el cambio de variable dxxsenhduxcoshu por lo tanto la integral se puede escribir
como
1x
0x
1
0
2 duudxxcoshxsenh
Sin embargo dado que u=senh(x) si x=0 entonces 02
ee0senhu
00
Cuando x=1 entonces
e2
1e
2
e
1e
2
e
1e
2
ee1senhu
2
2
11
La integral es
2
32
23
23
2
e2
1e
0
23
e2
1e
0
1x
0x
1
0
2
e2
1e
3
20
3
2
e2
1e
3
2
u3
2duuduudxxcoshxsenh
22
Inversas
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas tienen funciones inversas que comuacutenmente se denotan
como 1senh o bien como arcsenh donde la funcioacuten recibe el nombre de seno hiperboacutelico inverso
Dado que las funciones estaacuten definidas en teacuterminos de exponenciales es de esperarse que sus
inversas incluyan logaritmos naturales Se pueden definir como
1x0parax
x11lnxhsec
1xparax1
x1ln
2
1xtanh
1xpara1xxlnxcosh
1xxlnxsenh
21
1
21
21
Las derivadas e integrales de estas funciones se resuelven igual que las funciones trigonomeacutetricas
inversas
Ejemplo 6
Obtener la foacutermula para la derivada de la funcioacuten xsenhy 1
Dado que no se conoce la derivada del seno hiperboacutelico inverso pero siacute la del seno hiperboacutelico se
pueden utilizar el concepto de la funcioacuten inversa y la derivada impliacutecita para hallar la foacutermula en
cuestioacuten
ycosh
1y
1yacutecoshy
xysenh
xsenhy 1
Se sabe que 1ysenhycosh 22 por lo tanto 1ysenhycosh 22 y la funcioacuten senhy=x entonces
1xycosh 2 Al sustituir se obtiene
1x
1y
2
El mismo meacutetodo se puede utilizar para encontrar cualquiera de las siguientes foacutermulas
1u
dxdu
usenhdx
d
2
1
1u1u
dxdu
ucoshdx
d
2
1
1uu1
dxdu
utanhdx
d2
1
1u0u1u
dxdu
uhsecdx
d
2
1
Ejemplo 7
Determinar si la funcioacuten 3xxsenhxf 21 es creciente o decreciente en el punto x=2
Se debe resolver la derivada de la multiplicacioacuten
10x6x
x23xsenh
19x6x
x23xsenh
13x
x2x3xsenh
dx
df
24
221
24
221
22
21
Se busca conocer como es la funcioacuten en x=2 por lo tanto se sustituye en la derivada
773131642077
80714ln
25
8257ln
225
82257ln
50
81497ln
102416
87senh
dx
df 1
2x
La funcioacuten es creciente crece a una razoacuten de 377
Las foacutermulas para la integracioacuten salen utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo y a partir de las
foacutermulas de derivacioacuten
0aca
usenhdu
ua
1 1
22
0auca
ucoshdu
au
1 1
22
au0aca
utanh
a
1du
ua
1 1
22
au00aca
uhsec
a
1du
uau
1 1
22
Ejemplo 8
Resolver la integral
dxe25
e
x6
x3
Esta integral es como la de la tangente hiperboacutelica inversa donde 5a25a 2
dxe3
dueueu x3x3x62 Al sustituir esto en la integral
c5
etanh
15
1c
5
etanh
5
1
3
1
u25
du
3
1
u25
3du x3
1x3
1
22
Aplicaciones
La velocidad de las olas en el mar bajo ciertas condiciones depende de la longitud de onda
(distancia entre cresta y cresta) y de la profundidad del agua por donde viajan las olas h La funcioacuten
que relaciona estas variables es
h2tanh
2
gv 2
donde v es la velocidad y g es la gravedad
Suponiendo que se mantiene h constante esto es que el oleaje se propaga por un oceacuteano de
profundidad constante (50 m) determinar si la velocidad aumenta o disminuye cuando m5
h2hsec
ghh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2hsec
h2
2
gh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2tanh
2
gv
h2tanh
2
gv
2
2
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
728d
dv
5
502hsec
5
50819
5
502tanh
2
819
5
502tanh
2
58192
1
d
dv 2
Entonces para este valor de la longitud de onda y de la profundidad la velocidad de la ola va
aumentando respecto a la longitud de onda
Si se requiere ahora saber como va cambiando la velocidad de propagacioacuten del oleaje respecto a la
profundidad del mar para una longitud de onda de 5 m se deberaacute entonces derivar respecto a h Sea
una profundidad de 7 m
h2tanh
2
g2
h2hsecg
dh
dv
h2hsec
2
2
g
h2tanh
2
g2
1
dh
dv
h2tanh
2
gv
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
77
2
2
1061595
10918
5
14tanh
2
05492
5
14hsec819
dh
dv
5
72tanh
2
58192
5
72hsec819
dh
dv
Asiacute que aunque la velocidad de propagacioacuten del oleaje va aumentando respecto a la profundidad la
razoacuten de cambio es muy pequentildea
EJERCICIOS DE DERIVADAS HIPERBOLICAS
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6) R
7) R
8) AYUDA R
9) R 10) R
11) R 12) R
13) R
14)DEMOSTRAR
AYUDA
15)
AYUDA
INTEGRALES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
httpcalculoccfunciones_hiperbolicasp_integrales_hiperbhtml
httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCIONES20
HIPERBOLICASpdfsequence=1
httpseswikipediaorgwikiAnexoIntegrales_de_funciones_hiperbC3B3licas
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES HIPERBOLICAS
2)
3)
5)
6)
8)
Resolvemos ambas integrales mediante integracioacuten por partes
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 5 u = 3x
11)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 3 u = 4x
13)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = radic7 u = 5x
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION MATERIAL DE APOYO
800 INTEGRALES RESUELTAS
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_metodosproblemasp_integr_sust_trigohtml
httpsmatematicasnblogspotcom201512integracion-por-sustitucionhtml CON VIDEOS INCLUIDOS
httpsdspaceupseduecbitstream12345678961191Manual20de20fracciones20parcialespdf
httpwwwtesoemedumxalumnoscuadernillos2011011pdf
httpprofe-alexzblogspotcom201104integracion-fracciones-parcialeshtml Y VIDEOS
httpswwwsectormatematicacl rsaquo media rsaquo diferenciado rsaquo FRACCIONES P httpswwwipnmxassetsfilescecyt11docsGuiasUABasicasMatematicascalculo-integral-solucion-de-problemasPDF
httpswwwacademiaedu7708664CC381LCULO_INTEGRAL_EJERCICIOS_RESUELTOS_PASO_A_PASO
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1 Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de
variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de
la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que
contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe
ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
uhcscdx
duucoth
dx
d
xhcscxsenh
1
xsenh
xcoshxsenh
senhx
xcosh
dx
dxcoth
dx
d 2
22
22
uhsecutanhdx
duuhsec
dx
d
hxsecxtanhxcosh
1
xcosh
senhx
xcosh
senhx
xcosh
1
dx
dxhsec
dx
d2
uhcscucothdx
duuhcsc
dx
d
hxcscxcothsenhx
1
senhx
xcosh
xsenh
xcosh
senhx
1
dx
dxhcsc
dx
d2
Ejemplo 2
Derivar la funcioacuten 3x4tanhxf 2
La funcioacuten maacutes externa es la raiacutez por lo tanto es la primera en derivarse
3x4tanh2
3x4hsecx83x4tanh
dx
d
3x4tanh2
1
dx
df
2
222
2
Ejemplo 3
Derivar la funcioacuten 2x3cosh2x3tanhlnxf 22
La funcioacuten maacutes externa es el logaritmo por lo tanto es el primero en derivarse
2x3cosh2x3tanh
2x3xsenh62x3hsecx6
dx
df22
222
Integrales
Utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo se puede establecer que
cuhcscduucothuhcsc
cuhsecduutanhuhsec
cucothduuhcsc
cutanhduuhsec
cusenhduucosh
cucoshduusenh
2
2
Utilizando estas foacutermulas se pueden establecer las siguientes
Ejemplo 4
Hallar la foacutermula para la integral de la tangente hiperboacutelica
dxxcosh
xsenhdxxtanh
Se hace un cambio de variable en donde dxxsenhduxcoshu Al sustituir la integral anterior
cambia a
cxcoshlnculnu
dudx
xcosh
xsenhdxxtanh
Se puede utilizar el mismo procedimiento para hallar las siguientes foacutermulas
cusenhlnduucoth
cucoshlnduutanh
Ejemplo 5
Resolver las siguientes integrales
dxx3senhx 32
Se realiza el cambio de variable dxx9
dux3u 23 por lo tanto la integral se puede escribir como
cx3cosh9
1cucosh
9
1duusenh
9
1
9
duusenhdxx3senhx 332
dx
x
xlnhsec 2
Se realiza el cambio de variablex
dxduxlnu por lo tanto la integral se puede escribir como
cxlntanhcutanhduuhsecdx
x
xlnhsec2
2
1
0
dxxcoshxsenh
Se realiza el cambio de variable dxxsenhduxcoshu por lo tanto la integral se puede escribir
como
1x
0x
1
0
2 duudxxcoshxsenh
Sin embargo dado que u=senh(x) si x=0 entonces 02
ee0senhu
00
Cuando x=1 entonces
e2
1e
2
e
1e
2
e
1e
2
ee1senhu
2
2
11
La integral es
2
32
23
23
2
e2
1e
0
23
e2
1e
0
1x
0x
1
0
2
e2
1e
3
20
3
2
e2
1e
3
2
u3
2duuduudxxcoshxsenh
22
Inversas
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas tienen funciones inversas que comuacutenmente se denotan
como 1senh o bien como arcsenh donde la funcioacuten recibe el nombre de seno hiperboacutelico inverso
Dado que las funciones estaacuten definidas en teacuterminos de exponenciales es de esperarse que sus
inversas incluyan logaritmos naturales Se pueden definir como
1x0parax
x11lnxhsec
1xparax1
x1ln
2
1xtanh
1xpara1xxlnxcosh
1xxlnxsenh
21
1
21
21
Las derivadas e integrales de estas funciones se resuelven igual que las funciones trigonomeacutetricas
inversas
Ejemplo 6
Obtener la foacutermula para la derivada de la funcioacuten xsenhy 1
Dado que no se conoce la derivada del seno hiperboacutelico inverso pero siacute la del seno hiperboacutelico se
pueden utilizar el concepto de la funcioacuten inversa y la derivada impliacutecita para hallar la foacutermula en
cuestioacuten
ycosh
1y
1yacutecoshy
xysenh
xsenhy 1
Se sabe que 1ysenhycosh 22 por lo tanto 1ysenhycosh 22 y la funcioacuten senhy=x entonces
1xycosh 2 Al sustituir se obtiene
1x
1y
2
El mismo meacutetodo se puede utilizar para encontrar cualquiera de las siguientes foacutermulas
1u
dxdu
usenhdx
d
2
1
1u1u
dxdu
ucoshdx
d
2
1
1uu1
dxdu
utanhdx
d2
1
1u0u1u
dxdu
uhsecdx
d
2
1
Ejemplo 7
Determinar si la funcioacuten 3xxsenhxf 21 es creciente o decreciente en el punto x=2
Se debe resolver la derivada de la multiplicacioacuten
10x6x
x23xsenh
19x6x
x23xsenh
13x
x2x3xsenh
dx
df
24
221
24
221
22
21
Se busca conocer como es la funcioacuten en x=2 por lo tanto se sustituye en la derivada
773131642077
80714ln
25
8257ln
225
82257ln
50
81497ln
102416
87senh
dx
df 1
2x
La funcioacuten es creciente crece a una razoacuten de 377
Las foacutermulas para la integracioacuten salen utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo y a partir de las
foacutermulas de derivacioacuten
0aca
usenhdu
ua
1 1
22
0auca
ucoshdu
au
1 1
22
au0aca
utanh
a
1du
ua
1 1
22
au00aca
uhsec
a
1du
uau
1 1
22
Ejemplo 8
Resolver la integral
dxe25
e
x6
x3
Esta integral es como la de la tangente hiperboacutelica inversa donde 5a25a 2
dxe3
dueueu x3x3x62 Al sustituir esto en la integral
c5
etanh
15
1c
5
etanh
5
1
3
1
u25
du
3
1
u25
3du x3
1x3
1
22
Aplicaciones
La velocidad de las olas en el mar bajo ciertas condiciones depende de la longitud de onda
(distancia entre cresta y cresta) y de la profundidad del agua por donde viajan las olas h La funcioacuten
que relaciona estas variables es
h2tanh
2
gv 2
donde v es la velocidad y g es la gravedad
Suponiendo que se mantiene h constante esto es que el oleaje se propaga por un oceacuteano de
profundidad constante (50 m) determinar si la velocidad aumenta o disminuye cuando m5
h2hsec
ghh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2hsec
h2
2
gh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2tanh
2
gv
h2tanh
2
gv
2
2
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
728d
dv
5
502hsec
5
50819
5
502tanh
2
819
5
502tanh
2
58192
1
d
dv 2
Entonces para este valor de la longitud de onda y de la profundidad la velocidad de la ola va
aumentando respecto a la longitud de onda
Si se requiere ahora saber como va cambiando la velocidad de propagacioacuten del oleaje respecto a la
profundidad del mar para una longitud de onda de 5 m se deberaacute entonces derivar respecto a h Sea
una profundidad de 7 m
h2tanh
2
g2
h2hsecg
dh
dv
h2hsec
2
2
g
h2tanh
2
g2
1
dh
dv
h2tanh
2
gv
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
77
2
2
1061595
10918
5
14tanh
2
05492
5
14hsec819
dh
dv
5
72tanh
2
58192
5
72hsec819
dh
dv
Asiacute que aunque la velocidad de propagacioacuten del oleaje va aumentando respecto a la profundidad la
razoacuten de cambio es muy pequentildea
EJERCICIOS DE DERIVADAS HIPERBOLICAS
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6) R
7) R
8) AYUDA R
9) R 10) R
11) R 12) R
13) R
14)DEMOSTRAR
AYUDA
15)
AYUDA
INTEGRALES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
httpcalculoccfunciones_hiperbolicasp_integrales_hiperbhtml
httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCIONES20
HIPERBOLICASpdfsequence=1
httpseswikipediaorgwikiAnexoIntegrales_de_funciones_hiperbC3B3licas
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES HIPERBOLICAS
2)
3)
5)
6)
8)
Resolvemos ambas integrales mediante integracioacuten por partes
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 5 u = 3x
11)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 3 u = 4x
13)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = radic7 u = 5x
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION MATERIAL DE APOYO
800 INTEGRALES RESUELTAS
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_metodosproblemasp_integr_sust_trigohtml
httpsmatematicasnblogspotcom201512integracion-por-sustitucionhtml CON VIDEOS INCLUIDOS
httpsdspaceupseduecbitstream12345678961191Manual20de20fracciones20parcialespdf
httpwwwtesoemedumxalumnoscuadernillos2011011pdf
httpprofe-alexzblogspotcom201104integracion-fracciones-parcialeshtml Y VIDEOS
httpswwwsectormatematicacl rsaquo media rsaquo diferenciado rsaquo FRACCIONES P httpswwwipnmxassetsfilescecyt11docsGuiasUABasicasMatematicascalculo-integral-solucion-de-problemasPDF
httpswwwacademiaedu7708664CC381LCULO_INTEGRAL_EJERCICIOS_RESUELTOS_PASO_A_PASO
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1 Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de
variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de
la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que
contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe
ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
cuhcscduucothuhcsc
cuhsecduutanhuhsec
cucothduuhcsc
cutanhduuhsec
cusenhduucosh
cucoshduusenh
2
2
Utilizando estas foacutermulas se pueden establecer las siguientes
Ejemplo 4
Hallar la foacutermula para la integral de la tangente hiperboacutelica
dxxcosh
xsenhdxxtanh
Se hace un cambio de variable en donde dxxsenhduxcoshu Al sustituir la integral anterior
cambia a
cxcoshlnculnu
dudx
xcosh
xsenhdxxtanh
Se puede utilizar el mismo procedimiento para hallar las siguientes foacutermulas
cusenhlnduucoth
cucoshlnduutanh
Ejemplo 5
Resolver las siguientes integrales
dxx3senhx 32
Se realiza el cambio de variable dxx9
dux3u 23 por lo tanto la integral se puede escribir como
cx3cosh9
1cucosh
9
1duusenh
9
1
9
duusenhdxx3senhx 332
dx
x
xlnhsec 2
Se realiza el cambio de variablex
dxduxlnu por lo tanto la integral se puede escribir como
cxlntanhcutanhduuhsecdx
x
xlnhsec2
2
1
0
dxxcoshxsenh
Se realiza el cambio de variable dxxsenhduxcoshu por lo tanto la integral se puede escribir
como
1x
0x
1
0
2 duudxxcoshxsenh
Sin embargo dado que u=senh(x) si x=0 entonces 02
ee0senhu
00
Cuando x=1 entonces
e2
1e
2
e
1e
2
e
1e
2
ee1senhu
2
2
11
La integral es
2
32
23
23
2
e2
1e
0
23
e2
1e
0
1x
0x
1
0
2
e2
1e
3
20
3
2
e2
1e
3
2
u3
2duuduudxxcoshxsenh
22
Inversas
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas tienen funciones inversas que comuacutenmente se denotan
como 1senh o bien como arcsenh donde la funcioacuten recibe el nombre de seno hiperboacutelico inverso
Dado que las funciones estaacuten definidas en teacuterminos de exponenciales es de esperarse que sus
inversas incluyan logaritmos naturales Se pueden definir como
1x0parax
x11lnxhsec
1xparax1
x1ln
2
1xtanh
1xpara1xxlnxcosh
1xxlnxsenh
21
1
21
21
Las derivadas e integrales de estas funciones se resuelven igual que las funciones trigonomeacutetricas
inversas
Ejemplo 6
Obtener la foacutermula para la derivada de la funcioacuten xsenhy 1
Dado que no se conoce la derivada del seno hiperboacutelico inverso pero siacute la del seno hiperboacutelico se
pueden utilizar el concepto de la funcioacuten inversa y la derivada impliacutecita para hallar la foacutermula en
cuestioacuten
ycosh
1y
1yacutecoshy
xysenh
xsenhy 1
Se sabe que 1ysenhycosh 22 por lo tanto 1ysenhycosh 22 y la funcioacuten senhy=x entonces
1xycosh 2 Al sustituir se obtiene
1x
1y
2
El mismo meacutetodo se puede utilizar para encontrar cualquiera de las siguientes foacutermulas
1u
dxdu
usenhdx
d
2
1
1u1u
dxdu
ucoshdx
d
2
1
1uu1
dxdu
utanhdx
d2
1
1u0u1u
dxdu
uhsecdx
d
2
1
Ejemplo 7
Determinar si la funcioacuten 3xxsenhxf 21 es creciente o decreciente en el punto x=2
Se debe resolver la derivada de la multiplicacioacuten
10x6x
x23xsenh
19x6x
x23xsenh
13x
x2x3xsenh
dx
df
24
221
24
221
22
21
Se busca conocer como es la funcioacuten en x=2 por lo tanto se sustituye en la derivada
773131642077
80714ln
25
8257ln
225
82257ln
50
81497ln
102416
87senh
dx
df 1
2x
La funcioacuten es creciente crece a una razoacuten de 377
Las foacutermulas para la integracioacuten salen utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo y a partir de las
foacutermulas de derivacioacuten
0aca
usenhdu
ua
1 1
22
0auca
ucoshdu
au
1 1
22
au0aca
utanh
a
1du
ua
1 1
22
au00aca
uhsec
a
1du
uau
1 1
22
Ejemplo 8
Resolver la integral
dxe25
e
x6
x3
Esta integral es como la de la tangente hiperboacutelica inversa donde 5a25a 2
dxe3
dueueu x3x3x62 Al sustituir esto en la integral
c5
etanh
15
1c
5
etanh
5
1
3
1
u25
du
3
1
u25
3du x3
1x3
1
22
Aplicaciones
La velocidad de las olas en el mar bajo ciertas condiciones depende de la longitud de onda
(distancia entre cresta y cresta) y de la profundidad del agua por donde viajan las olas h La funcioacuten
que relaciona estas variables es
h2tanh
2
gv 2
donde v es la velocidad y g es la gravedad
Suponiendo que se mantiene h constante esto es que el oleaje se propaga por un oceacuteano de
profundidad constante (50 m) determinar si la velocidad aumenta o disminuye cuando m5
h2hsec
ghh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2hsec
h2
2
gh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2tanh
2
gv
h2tanh
2
gv
2
2
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
728d
dv
5
502hsec
5
50819
5
502tanh
2
819
5
502tanh
2
58192
1
d
dv 2
Entonces para este valor de la longitud de onda y de la profundidad la velocidad de la ola va
aumentando respecto a la longitud de onda
Si se requiere ahora saber como va cambiando la velocidad de propagacioacuten del oleaje respecto a la
profundidad del mar para una longitud de onda de 5 m se deberaacute entonces derivar respecto a h Sea
una profundidad de 7 m
h2tanh
2
g2
h2hsecg
dh
dv
h2hsec
2
2
g
h2tanh
2
g2
1
dh
dv
h2tanh
2
gv
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
77
2
2
1061595
10918
5
14tanh
2
05492
5
14hsec819
dh
dv
5
72tanh
2
58192
5
72hsec819
dh
dv
Asiacute que aunque la velocidad de propagacioacuten del oleaje va aumentando respecto a la profundidad la
razoacuten de cambio es muy pequentildea
EJERCICIOS DE DERIVADAS HIPERBOLICAS
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6) R
7) R
8) AYUDA R
9) R 10) R
11) R 12) R
13) R
14)DEMOSTRAR
AYUDA
15)
AYUDA
INTEGRALES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
httpcalculoccfunciones_hiperbolicasp_integrales_hiperbhtml
httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCIONES20
HIPERBOLICASpdfsequence=1
httpseswikipediaorgwikiAnexoIntegrales_de_funciones_hiperbC3B3licas
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES HIPERBOLICAS
2)
3)
5)
6)
8)
Resolvemos ambas integrales mediante integracioacuten por partes
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 5 u = 3x
11)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 3 u = 4x
13)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = radic7 u = 5x
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION MATERIAL DE APOYO
800 INTEGRALES RESUELTAS
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_metodosproblemasp_integr_sust_trigohtml
httpsmatematicasnblogspotcom201512integracion-por-sustitucionhtml CON VIDEOS INCLUIDOS
httpsdspaceupseduecbitstream12345678961191Manual20de20fracciones20parcialespdf
httpwwwtesoemedumxalumnoscuadernillos2011011pdf
httpprofe-alexzblogspotcom201104integracion-fracciones-parcialeshtml Y VIDEOS
httpswwwsectormatematicacl rsaquo media rsaquo diferenciado rsaquo FRACCIONES P httpswwwipnmxassetsfilescecyt11docsGuiasUABasicasMatematicascalculo-integral-solucion-de-problemasPDF
httpswwwacademiaedu7708664CC381LCULO_INTEGRAL_EJERCICIOS_RESUELTOS_PASO_A_PASO
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1 Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de
variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de
la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que
contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe
ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
1
0
dxxcoshxsenh
Se realiza el cambio de variable dxxsenhduxcoshu por lo tanto la integral se puede escribir
como
1x
0x
1
0
2 duudxxcoshxsenh
Sin embargo dado que u=senh(x) si x=0 entonces 02
ee0senhu
00
Cuando x=1 entonces
e2
1e
2
e
1e
2
e
1e
2
ee1senhu
2
2
11
La integral es
2
32
23
23
2
e2
1e
0
23
e2
1e
0
1x
0x
1
0
2
e2
1e
3
20
3
2
e2
1e
3
2
u3
2duuduudxxcoshxsenh
22
Inversas
Las funciones trigonomeacutetricas hiperboacutelicas tienen funciones inversas que comuacutenmente se denotan
como 1senh o bien como arcsenh donde la funcioacuten recibe el nombre de seno hiperboacutelico inverso
Dado que las funciones estaacuten definidas en teacuterminos de exponenciales es de esperarse que sus
inversas incluyan logaritmos naturales Se pueden definir como
1x0parax
x11lnxhsec
1xparax1
x1ln
2
1xtanh
1xpara1xxlnxcosh
1xxlnxsenh
21
1
21
21
Las derivadas e integrales de estas funciones se resuelven igual que las funciones trigonomeacutetricas
inversas
Ejemplo 6
Obtener la foacutermula para la derivada de la funcioacuten xsenhy 1
Dado que no se conoce la derivada del seno hiperboacutelico inverso pero siacute la del seno hiperboacutelico se
pueden utilizar el concepto de la funcioacuten inversa y la derivada impliacutecita para hallar la foacutermula en
cuestioacuten
ycosh
1y
1yacutecoshy
xysenh
xsenhy 1
Se sabe que 1ysenhycosh 22 por lo tanto 1ysenhycosh 22 y la funcioacuten senhy=x entonces
1xycosh 2 Al sustituir se obtiene
1x
1y
2
El mismo meacutetodo se puede utilizar para encontrar cualquiera de las siguientes foacutermulas
1u
dxdu
usenhdx
d
2
1
1u1u
dxdu
ucoshdx
d
2
1
1uu1
dxdu
utanhdx
d2
1
1u0u1u
dxdu
uhsecdx
d
2
1
Ejemplo 7
Determinar si la funcioacuten 3xxsenhxf 21 es creciente o decreciente en el punto x=2
Se debe resolver la derivada de la multiplicacioacuten
10x6x
x23xsenh
19x6x
x23xsenh
13x
x2x3xsenh
dx
df
24
221
24
221
22
21
Se busca conocer como es la funcioacuten en x=2 por lo tanto se sustituye en la derivada
773131642077
80714ln
25
8257ln
225
82257ln
50
81497ln
102416
87senh
dx
df 1
2x
La funcioacuten es creciente crece a una razoacuten de 377
Las foacutermulas para la integracioacuten salen utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo y a partir de las
foacutermulas de derivacioacuten
0aca
usenhdu
ua
1 1
22
0auca
ucoshdu
au
1 1
22
au0aca
utanh
a
1du
ua
1 1
22
au00aca
uhsec
a
1du
uau
1 1
22
Ejemplo 8
Resolver la integral
dxe25
e
x6
x3
Esta integral es como la de la tangente hiperboacutelica inversa donde 5a25a 2
dxe3
dueueu x3x3x62 Al sustituir esto en la integral
c5
etanh
15
1c
5
etanh
5
1
3
1
u25
du
3
1
u25
3du x3
1x3
1
22
Aplicaciones
La velocidad de las olas en el mar bajo ciertas condiciones depende de la longitud de onda
(distancia entre cresta y cresta) y de la profundidad del agua por donde viajan las olas h La funcioacuten
que relaciona estas variables es
h2tanh
2
gv 2
donde v es la velocidad y g es la gravedad
Suponiendo que se mantiene h constante esto es que el oleaje se propaga por un oceacuteano de
profundidad constante (50 m) determinar si la velocidad aumenta o disminuye cuando m5
h2hsec
ghh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2hsec
h2
2
gh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2tanh
2
gv
h2tanh
2
gv
2
2
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
728d
dv
5
502hsec
5
50819
5
502tanh
2
819
5
502tanh
2
58192
1
d
dv 2
Entonces para este valor de la longitud de onda y de la profundidad la velocidad de la ola va
aumentando respecto a la longitud de onda
Si se requiere ahora saber como va cambiando la velocidad de propagacioacuten del oleaje respecto a la
profundidad del mar para una longitud de onda de 5 m se deberaacute entonces derivar respecto a h Sea
una profundidad de 7 m
h2tanh
2
g2
h2hsecg
dh
dv
h2hsec
2
2
g
h2tanh
2
g2
1
dh
dv
h2tanh
2
gv
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
77
2
2
1061595
10918
5
14tanh
2
05492
5
14hsec819
dh
dv
5
72tanh
2
58192
5
72hsec819
dh
dv
Asiacute que aunque la velocidad de propagacioacuten del oleaje va aumentando respecto a la profundidad la
razoacuten de cambio es muy pequentildea
EJERCICIOS DE DERIVADAS HIPERBOLICAS
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6) R
7) R
8) AYUDA R
9) R 10) R
11) R 12) R
13) R
14)DEMOSTRAR
AYUDA
15)
AYUDA
INTEGRALES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
httpcalculoccfunciones_hiperbolicasp_integrales_hiperbhtml
httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCIONES20
HIPERBOLICASpdfsequence=1
httpseswikipediaorgwikiAnexoIntegrales_de_funciones_hiperbC3B3licas
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES HIPERBOLICAS
2)
3)
5)
6)
8)
Resolvemos ambas integrales mediante integracioacuten por partes
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 5 u = 3x
11)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 3 u = 4x
13)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = radic7 u = 5x
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION MATERIAL DE APOYO
800 INTEGRALES RESUELTAS
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_metodosproblemasp_integr_sust_trigohtml
httpsmatematicasnblogspotcom201512integracion-por-sustitucionhtml CON VIDEOS INCLUIDOS
httpsdspaceupseduecbitstream12345678961191Manual20de20fracciones20parcialespdf
httpwwwtesoemedumxalumnoscuadernillos2011011pdf
httpprofe-alexzblogspotcom201104integracion-fracciones-parcialeshtml Y VIDEOS
httpswwwsectormatematicacl rsaquo media rsaquo diferenciado rsaquo FRACCIONES P httpswwwipnmxassetsfilescecyt11docsGuiasUABasicasMatematicascalculo-integral-solucion-de-problemasPDF
httpswwwacademiaedu7708664CC381LCULO_INTEGRAL_EJERCICIOS_RESUELTOS_PASO_A_PASO
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1 Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de
variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de
la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que
contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe
ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
Dado que no se conoce la derivada del seno hiperboacutelico inverso pero siacute la del seno hiperboacutelico se
pueden utilizar el concepto de la funcioacuten inversa y la derivada impliacutecita para hallar la foacutermula en
cuestioacuten
ycosh
1y
1yacutecoshy
xysenh
xsenhy 1
Se sabe que 1ysenhycosh 22 por lo tanto 1ysenhycosh 22 y la funcioacuten senhy=x entonces
1xycosh 2 Al sustituir se obtiene
1x
1y
2
El mismo meacutetodo se puede utilizar para encontrar cualquiera de las siguientes foacutermulas
1u
dxdu
usenhdx
d
2
1
1u1u
dxdu
ucoshdx
d
2
1
1uu1
dxdu
utanhdx
d2
1
1u0u1u
dxdu
uhsecdx
d
2
1
Ejemplo 7
Determinar si la funcioacuten 3xxsenhxf 21 es creciente o decreciente en el punto x=2
Se debe resolver la derivada de la multiplicacioacuten
10x6x
x23xsenh
19x6x
x23xsenh
13x
x2x3xsenh
dx
df
24
221
24
221
22
21
Se busca conocer como es la funcioacuten en x=2 por lo tanto se sustituye en la derivada
773131642077
80714ln
25
8257ln
225
82257ln
50
81497ln
102416
87senh
dx
df 1
2x
La funcioacuten es creciente crece a una razoacuten de 377
Las foacutermulas para la integracioacuten salen utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo y a partir de las
foacutermulas de derivacioacuten
0aca
usenhdu
ua
1 1
22
0auca
ucoshdu
au
1 1
22
au0aca
utanh
a
1du
ua
1 1
22
au00aca
uhsec
a
1du
uau
1 1
22
Ejemplo 8
Resolver la integral
dxe25
e
x6
x3
Esta integral es como la de la tangente hiperboacutelica inversa donde 5a25a 2
dxe3
dueueu x3x3x62 Al sustituir esto en la integral
c5
etanh
15
1c
5
etanh
5
1
3
1
u25
du
3
1
u25
3du x3
1x3
1
22
Aplicaciones
La velocidad de las olas en el mar bajo ciertas condiciones depende de la longitud de onda
(distancia entre cresta y cresta) y de la profundidad del agua por donde viajan las olas h La funcioacuten
que relaciona estas variables es
h2tanh
2
gv 2
donde v es la velocidad y g es la gravedad
Suponiendo que se mantiene h constante esto es que el oleaje se propaga por un oceacuteano de
profundidad constante (50 m) determinar si la velocidad aumenta o disminuye cuando m5
h2hsec
ghh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2hsec
h2
2
gh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2tanh
2
gv
h2tanh
2
gv
2
2
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
728d
dv
5
502hsec
5
50819
5
502tanh
2
819
5
502tanh
2
58192
1
d
dv 2
Entonces para este valor de la longitud de onda y de la profundidad la velocidad de la ola va
aumentando respecto a la longitud de onda
Si se requiere ahora saber como va cambiando la velocidad de propagacioacuten del oleaje respecto a la
profundidad del mar para una longitud de onda de 5 m se deberaacute entonces derivar respecto a h Sea
una profundidad de 7 m
h2tanh
2
g2
h2hsecg
dh
dv
h2hsec
2
2
g
h2tanh
2
g2
1
dh
dv
h2tanh
2
gv
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
77
2
2
1061595
10918
5
14tanh
2
05492
5
14hsec819
dh
dv
5
72tanh
2
58192
5
72hsec819
dh
dv
Asiacute que aunque la velocidad de propagacioacuten del oleaje va aumentando respecto a la profundidad la
razoacuten de cambio es muy pequentildea
EJERCICIOS DE DERIVADAS HIPERBOLICAS
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6) R
7) R
8) AYUDA R
9) R 10) R
11) R 12) R
13) R
14)DEMOSTRAR
AYUDA
15)
AYUDA
INTEGRALES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
httpcalculoccfunciones_hiperbolicasp_integrales_hiperbhtml
httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCIONES20
HIPERBOLICASpdfsequence=1
httpseswikipediaorgwikiAnexoIntegrales_de_funciones_hiperbC3B3licas
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES HIPERBOLICAS
2)
3)
5)
6)
8)
Resolvemos ambas integrales mediante integracioacuten por partes
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 5 u = 3x
11)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 3 u = 4x
13)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = radic7 u = 5x
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION MATERIAL DE APOYO
800 INTEGRALES RESUELTAS
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_metodosproblemasp_integr_sust_trigohtml
httpsmatematicasnblogspotcom201512integracion-por-sustitucionhtml CON VIDEOS INCLUIDOS
httpsdspaceupseduecbitstream12345678961191Manual20de20fracciones20parcialespdf
httpwwwtesoemedumxalumnoscuadernillos2011011pdf
httpprofe-alexzblogspotcom201104integracion-fracciones-parcialeshtml Y VIDEOS
httpswwwsectormatematicacl rsaquo media rsaquo diferenciado rsaquo FRACCIONES P httpswwwipnmxassetsfilescecyt11docsGuiasUABasicasMatematicascalculo-integral-solucion-de-problemasPDF
httpswwwacademiaedu7708664CC381LCULO_INTEGRAL_EJERCICIOS_RESUELTOS_PASO_A_PASO
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1 Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de
variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de
la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que
contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe
ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
Se busca conocer como es la funcioacuten en x=2 por lo tanto se sustituye en la derivada
773131642077
80714ln
25
8257ln
225
82257ln
50
81497ln
102416
87senh
dx
df 1
2x
La funcioacuten es creciente crece a una razoacuten de 377
Las foacutermulas para la integracioacuten salen utilizando el Teorema Fundamental del Caacutelculo y a partir de las
foacutermulas de derivacioacuten
0aca
usenhdu
ua
1 1
22
0auca
ucoshdu
au
1 1
22
au0aca
utanh
a
1du
ua
1 1
22
au00aca
uhsec
a
1du
uau
1 1
22
Ejemplo 8
Resolver la integral
dxe25
e
x6
x3
Esta integral es como la de la tangente hiperboacutelica inversa donde 5a25a 2
dxe3
dueueu x3x3x62 Al sustituir esto en la integral
c5
etanh
15
1c
5
etanh
5
1
3
1
u25
du
3
1
u25
3du x3
1x3
1
22
Aplicaciones
La velocidad de las olas en el mar bajo ciertas condiciones depende de la longitud de onda
(distancia entre cresta y cresta) y de la profundidad del agua por donde viajan las olas h La funcioacuten
que relaciona estas variables es
h2tanh
2
gv 2
donde v es la velocidad y g es la gravedad
Suponiendo que se mantiene h constante esto es que el oleaje se propaga por un oceacuteano de
profundidad constante (50 m) determinar si la velocidad aumenta o disminuye cuando m5
h2hsec
ghh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2hsec
h2
2
gh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2tanh
2
gv
h2tanh
2
gv
2
2
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
728d
dv
5
502hsec
5
50819
5
502tanh
2
819
5
502tanh
2
58192
1
d
dv 2
Entonces para este valor de la longitud de onda y de la profundidad la velocidad de la ola va
aumentando respecto a la longitud de onda
Si se requiere ahora saber como va cambiando la velocidad de propagacioacuten del oleaje respecto a la
profundidad del mar para una longitud de onda de 5 m se deberaacute entonces derivar respecto a h Sea
una profundidad de 7 m
h2tanh
2
g2
h2hsecg
dh
dv
h2hsec
2
2
g
h2tanh
2
g2
1
dh
dv
h2tanh
2
gv
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
77
2
2
1061595
10918
5
14tanh
2
05492
5
14hsec819
dh
dv
5
72tanh
2
58192
5
72hsec819
dh
dv
Asiacute que aunque la velocidad de propagacioacuten del oleaje va aumentando respecto a la profundidad la
razoacuten de cambio es muy pequentildea
EJERCICIOS DE DERIVADAS HIPERBOLICAS
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6) R
7) R
8) AYUDA R
9) R 10) R
11) R 12) R
13) R
14)DEMOSTRAR
AYUDA
15)
AYUDA
INTEGRALES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
httpcalculoccfunciones_hiperbolicasp_integrales_hiperbhtml
httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCIONES20
HIPERBOLICASpdfsequence=1
httpseswikipediaorgwikiAnexoIntegrales_de_funciones_hiperbC3B3licas
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES HIPERBOLICAS
2)
3)
5)
6)
8)
Resolvemos ambas integrales mediante integracioacuten por partes
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 5 u = 3x
11)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 3 u = 4x
13)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = radic7 u = 5x
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION MATERIAL DE APOYO
800 INTEGRALES RESUELTAS
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_metodosproblemasp_integr_sust_trigohtml
httpsmatematicasnblogspotcom201512integracion-por-sustitucionhtml CON VIDEOS INCLUIDOS
httpsdspaceupseduecbitstream12345678961191Manual20de20fracciones20parcialespdf
httpwwwtesoemedumxalumnoscuadernillos2011011pdf
httpprofe-alexzblogspotcom201104integracion-fracciones-parcialeshtml Y VIDEOS
httpswwwsectormatematicacl rsaquo media rsaquo diferenciado rsaquo FRACCIONES P httpswwwipnmxassetsfilescecyt11docsGuiasUABasicasMatematicascalculo-integral-solucion-de-problemasPDF
httpswwwacademiaedu7708664CC381LCULO_INTEGRAL_EJERCICIOS_RESUELTOS_PASO_A_PASO
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1 Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de
variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de
la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que
contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe
ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
donde v es la velocidad y g es la gravedad
Suponiendo que se mantiene h constante esto es que el oleaje se propaga por un oceacuteano de
profundidad constante (50 m) determinar si la velocidad aumenta o disminuye cuando m5
h2hsec
ghh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2hsec
h2
2
gh2tanh
2
g
h2tanh
2
g2
1
d
dv
h2tanh
2
gv
h2tanh
2
gv
2
2
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
728d
dv
5
502hsec
5
50819
5
502tanh
2
819
5
502tanh
2
58192
1
d
dv 2
Entonces para este valor de la longitud de onda y de la profundidad la velocidad de la ola va
aumentando respecto a la longitud de onda
Si se requiere ahora saber como va cambiando la velocidad de propagacioacuten del oleaje respecto a la
profundidad del mar para una longitud de onda de 5 m se deberaacute entonces derivar respecto a h Sea
una profundidad de 7 m
h2tanh
2
g2
h2hsecg
dh
dv
h2hsec
2
2
g
h2tanh
2
g2
1
dh
dv
h2tanh
2
gv
2
2
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
77
2
2
1061595
10918
5
14tanh
2
05492
5
14hsec819
dh
dv
5
72tanh
2
58192
5
72hsec819
dh
dv
Asiacute que aunque la velocidad de propagacioacuten del oleaje va aumentando respecto a la profundidad la
razoacuten de cambio es muy pequentildea
EJERCICIOS DE DERIVADAS HIPERBOLICAS
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6) R
7) R
8) AYUDA R
9) R 10) R
11) R 12) R
13) R
14)DEMOSTRAR
AYUDA
15)
AYUDA
INTEGRALES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
httpcalculoccfunciones_hiperbolicasp_integrales_hiperbhtml
httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCIONES20
HIPERBOLICASpdfsequence=1
httpseswikipediaorgwikiAnexoIntegrales_de_funciones_hiperbC3B3licas
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES HIPERBOLICAS
2)
3)
5)
6)
8)
Resolvemos ambas integrales mediante integracioacuten por partes
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 5 u = 3x
11)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 3 u = 4x
13)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = radic7 u = 5x
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION MATERIAL DE APOYO
800 INTEGRALES RESUELTAS
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_metodosproblemasp_integr_sust_trigohtml
httpsmatematicasnblogspotcom201512integracion-por-sustitucionhtml CON VIDEOS INCLUIDOS
httpsdspaceupseduecbitstream12345678961191Manual20de20fracciones20parcialespdf
httpwwwtesoemedumxalumnoscuadernillos2011011pdf
httpprofe-alexzblogspotcom201104integracion-fracciones-parcialeshtml Y VIDEOS
httpswwwsectormatematicacl rsaquo media rsaquo diferenciado rsaquo FRACCIONES P httpswwwipnmxassetsfilescecyt11docsGuiasUABasicasMatematicascalculo-integral-solucion-de-problemasPDF
httpswwwacademiaedu7708664CC381LCULO_INTEGRAL_EJERCICIOS_RESUELTOS_PASO_A_PASO
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1 Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de
variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de
la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que
contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe
ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
Se sustituyen los valores numeacutericos en cuestioacuten
77
2
2
1061595
10918
5
14tanh
2
05492
5
14hsec819
dh
dv
5
72tanh
2
58192
5
72hsec819
dh
dv
Asiacute que aunque la velocidad de propagacioacuten del oleaje va aumentando respecto a la profundidad la
razoacuten de cambio es muy pequentildea
EJERCICIOS DE DERIVADAS HIPERBOLICAS
1) R 2) R
3) R
4) R 5) R
6) R
7) R
8) AYUDA R
9) R 10) R
11) R 12) R
13) R
14)DEMOSTRAR
AYUDA
15)
AYUDA
INTEGRALES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
httpcalculoccfunciones_hiperbolicasp_integrales_hiperbhtml
httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCIONES20
HIPERBOLICASpdfsequence=1
httpseswikipediaorgwikiAnexoIntegrales_de_funciones_hiperbC3B3licas
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES HIPERBOLICAS
2)
3)
5)
6)
8)
Resolvemos ambas integrales mediante integracioacuten por partes
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 5 u = 3x
11)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 3 u = 4x
13)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = radic7 u = 5x
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION MATERIAL DE APOYO
800 INTEGRALES RESUELTAS
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_metodosproblemasp_integr_sust_trigohtml
httpsmatematicasnblogspotcom201512integracion-por-sustitucionhtml CON VIDEOS INCLUIDOS
httpsdspaceupseduecbitstream12345678961191Manual20de20fracciones20parcialespdf
httpwwwtesoemedumxalumnoscuadernillos2011011pdf
httpprofe-alexzblogspotcom201104integracion-fracciones-parcialeshtml Y VIDEOS
httpswwwsectormatematicacl rsaquo media rsaquo diferenciado rsaquo FRACCIONES P httpswwwipnmxassetsfilescecyt11docsGuiasUABasicasMatematicascalculo-integral-solucion-de-problemasPDF
httpswwwacademiaedu7708664CC381LCULO_INTEGRAL_EJERCICIOS_RESUELTOS_PASO_A_PASO
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1 Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de
variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de
la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que
contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe
ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
11) R 12) R
13) R
14)DEMOSTRAR
AYUDA
15)
AYUDA
INTEGRALES HIPERBOLICAS
MATERIAL DE APOYO
httpcalculoccfunciones_hiperbolicasp_integrales_hiperbhtml
httpwwwptolomeounammx8080xmluibitstreamhandle1322485210013254FUNCIONES20
HIPERBOLICASpdfsequence=1
httpseswikipediaorgwikiAnexoIntegrales_de_funciones_hiperbC3B3licas
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES HIPERBOLICAS
2)
3)
5)
6)
8)
Resolvemos ambas integrales mediante integracioacuten por partes
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 5 u = 3x
11)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 3 u = 4x
13)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = radic7 u = 5x
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION MATERIAL DE APOYO
800 INTEGRALES RESUELTAS
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_metodosproblemasp_integr_sust_trigohtml
httpsmatematicasnblogspotcom201512integracion-por-sustitucionhtml CON VIDEOS INCLUIDOS
httpsdspaceupseduecbitstream12345678961191Manual20de20fracciones20parcialespdf
httpwwwtesoemedumxalumnoscuadernillos2011011pdf
httpprofe-alexzblogspotcom201104integracion-fracciones-parcialeshtml Y VIDEOS
httpswwwsectormatematicacl rsaquo media rsaquo diferenciado rsaquo FRACCIONES P httpswwwipnmxassetsfilescecyt11docsGuiasUABasicasMatematicascalculo-integral-solucion-de-problemasPDF
httpswwwacademiaedu7708664CC381LCULO_INTEGRAL_EJERCICIOS_RESUELTOS_PASO_A_PASO
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1 Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de
variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de
la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que
contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe
ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
3)
5)
6)
8)
Resolvemos ambas integrales mediante integracioacuten por partes
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 5 u = 3x
11)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 3 u = 4x
13)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = radic7 u = 5x
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION MATERIAL DE APOYO
800 INTEGRALES RESUELTAS
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_metodosproblemasp_integr_sust_trigohtml
httpsmatematicasnblogspotcom201512integracion-por-sustitucionhtml CON VIDEOS INCLUIDOS
httpsdspaceupseduecbitstream12345678961191Manual20de20fracciones20parcialespdf
httpwwwtesoemedumxalumnoscuadernillos2011011pdf
httpprofe-alexzblogspotcom201104integracion-fracciones-parcialeshtml Y VIDEOS
httpswwwsectormatematicacl rsaquo media rsaquo diferenciado rsaquo FRACCIONES P httpswwwipnmxassetsfilescecyt11docsGuiasUABasicasMatematicascalculo-integral-solucion-de-problemasPDF
httpswwwacademiaedu7708664CC381LCULO_INTEGRAL_EJERCICIOS_RESUELTOS_PASO_A_PASO
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1 Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de
variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de
la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que
contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe
ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 5 u = 3x
11)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = 3 u = 4x
13)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = radic7 u = 5x
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION MATERIAL DE APOYO
800 INTEGRALES RESUELTAS
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_metodosproblemasp_integr_sust_trigohtml
httpsmatematicasnblogspotcom201512integracion-por-sustitucionhtml CON VIDEOS INCLUIDOS
httpsdspaceupseduecbitstream12345678961191Manual20de20fracciones20parcialespdf
httpwwwtesoemedumxalumnoscuadernillos2011011pdf
httpprofe-alexzblogspotcom201104integracion-fracciones-parcialeshtml Y VIDEOS
httpswwwsectormatematicacl rsaquo media rsaquo diferenciado rsaquo FRACCIONES P httpswwwipnmxassetsfilescecyt11docsGuiasUABasicasMatematicascalculo-integral-solucion-de-problemasPDF
httpswwwacademiaedu7708664CC381LCULO_INTEGRAL_EJERCICIOS_RESUELTOS_PASO_A_PASO
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1 Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de
variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de
la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que
contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe
ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
13)
Aplicando la foacutermula correspondiente de la tabla de integrales para funciones hiperboacutelicas a = radic7 u = 5x
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION MATERIAL DE APOYO
800 INTEGRALES RESUELTAS
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_metodosproblemasp_integr_sust_trigohtml
httpsmatematicasnblogspotcom201512integracion-por-sustitucionhtml CON VIDEOS INCLUIDOS
httpsdspaceupseduecbitstream12345678961191Manual20de20fracciones20parcialespdf
httpwwwtesoemedumxalumnoscuadernillos2011011pdf
httpprofe-alexzblogspotcom201104integracion-fracciones-parcialeshtml Y VIDEOS
httpswwwsectormatematicacl rsaquo media rsaquo diferenciado rsaquo FRACCIONES P httpswwwipnmxassetsfilescecyt11docsGuiasUABasicasMatematicascalculo-integral-solucion-de-problemasPDF
httpswwwacademiaedu7708664CC381LCULO_INTEGRAL_EJERCICIOS_RESUELTOS_PASO_A_PASO
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1 Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de
variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de
la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que
contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe
ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION MATERIAL DE APOYO
800 INTEGRALES RESUELTAS
httpcalculocctemastemas_bachilleratosegundo_cienciasintegral_metodosproblemasp_integr_sust_trigohtml
httpsmatematicasnblogspotcom201512integracion-por-sustitucionhtml CON VIDEOS INCLUIDOS
httpsdspaceupseduecbitstream12345678961191Manual20de20fracciones20parcialespdf
httpwwwtesoemedumxalumnoscuadernillos2011011pdf
httpprofe-alexzblogspotcom201104integracion-fracciones-parcialeshtml Y VIDEOS
httpswwwsectormatematicacl rsaquo media rsaquo diferenciado rsaquo FRACCIONES P httpswwwipnmxassetsfilescecyt11docsGuiasUABasicasMatematicascalculo-integral-solucion-de-problemasPDF
httpswwwacademiaedu7708664CC381LCULO_INTEGRAL_EJERCICIOS_RESUELTOS_PASO_A_PASO
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1 Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de
variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de
la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que
contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe
ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
CAPITULO 5
OTRAS TECNICAS DE INTEGRACION
TECNICA DE INTEGRACION 1 Integracioacuten por sustitucioacuten o cambio de
variable
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de
la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que
contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe
ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
TECNICA DE INTEGRACION 2
INTEGRALES DE CAMBIO DE VARIABLE POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de
la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que
contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe
ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
DIBUJA ELTRAINGULO
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
4) RESOLVER
5) RESOLVER
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
TALLER DE INTEGRALES CON SUSTUTCION TRIGONOMETRICA
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
14) R
TECNICA DE INTEGRACION 3
EJEMPLOS DE FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones
maacutes simples
Hay cuatro casos
1) Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal 2) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido 3) Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor cuadraacutetico irreducible 4) Descomposicioacuten en fracciones parciales con factor cuadraacutetico repetido Procedimiento para
Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
Paso 1
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcioacuten del numerador es menor que la del denominador Si es mayor debo
realizar una divisioacuten larga para bajar el grado de la funcioacuten del numerador
Paso 2
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales px +q o factores cuadraacuteticos
irreductibles cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que la funcioacuten del denominador sea un producto de
factores diferentes de la forma mqpx donde 1m o ncbxax 2 los nuacutemeros m y n no pueden ser negativos
Paso 3
Si son Descomposicioacuten en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un
factor lineal repetido
factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1
Determinar la descomposicioacuten en fracciones parciales de
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una
divisioacuten larga
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
Segundo factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el meacutetodo que maacutes nos convenga
Opero los pareacutentesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacioacuten con los teacuterminos al cuadrado asi
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacioacuten y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar uacutenicamente cuando los teacuterminos son lineales y no repetidos que es mucho mas faacutecil
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el miacutenimo comuacuten denominador lo opero y lo igualo al numerador
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccioacuten parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Descomposicioacuten en fracciones parciales con un factor lineal repetido
Ejemplo 2
2
3
3610
xx
xx
Notamos en el ejercicio que hay un teacutermino lineal repetido que es 23x
Entonces lo colocamos asi
233
x
C
x
B
x
A
Si fuera al cubo el teacutermino repetido 33x lo pondriacuteamos
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
32333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos 2
2
3
3610
xx
xx
Primero escribimos en el denominador del teacutermino lineal x luego escribimos en el denominador el teacutermino repetido
elevado a la 1 y por uacuteltimo escribimos en el denominador el teacutermino repetido elevado al cuadrado asiacute
22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como tenemos teacutermino repetido ya no podemos usar la forma faacutecil de resolver uacutenicamente por sistemas de ecuaciones
Pasos operamos el miacutenimo comuacuten denominador y lo igualamos al numerador
xCxxBxAxx 33361022
Operamos los pareacutentesis
xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxx
ACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacioacuten
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacioacuten
Multiplico las letras en los pareacutentesis Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
22
2
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
1) 32
18
xx
x 2)
14
29
xx
x 3)
124
342
xx
x
4) xx
x
4
1252
5)
321
1154 2
xxx
xx 6)
52
20192
xxx
xx
7) xxx
xx
54
155423
2
8)
651
11372
xxx
9) 21
32
x
x 10)
2
452
2
xx
x 11)
23
2
53
255019
xx
xx
12) 2510
102
xx
x 13)
122
62
xx
x 14)
22
2
11
2
xx
xx
Descomposicioacuten de una fraccioacuten parcial que contiene un factor cuadraacutetico irreducible
482
2915423
23
xxx
xxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una divisioacuten larga
2
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
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INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
482 23 xxx 2915 4 23 xxx
8 1624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador
12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x es un teacutermino cuadraacutetico irreducible por lo que ahora opero asi
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xx
Operamos el miacutenimo comuacuten denominador
CBBAxCAxxx
CBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones
214
12
12
CB
BA
CA
R AL RESOLVER LLEGARAS A QUE C=-5 B=1 A=3
RESPUESTA
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los pareacutentesis
Quito los pareacutentesis
Los ordeno
Factorizo asi
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
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httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
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INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
EJMPLOS DE INTEGRALES RACIONALES
1-
2-
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
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httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
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Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
Solucioacuten
6)
Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
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INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
3-
4-
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
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CAPITULO 6
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Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
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Solucioacuten
7)
Solucioacuten
8)
Solucioacuten
9)
Solucioacuten
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INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
Sust i tu imos x por minus2
Der ivamos y vo lvemos a sust i tu i r por menos minus3
Vo lvemos a der ivar
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
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CAPITULO 6
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Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
3)
Solucioacuten
4)
Solucioacuten
5)
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6)
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7)
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8)
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9)
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INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
6
7
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
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CAPITULO 6
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1)
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Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
8
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
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8)
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9)
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INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
EJERCICIOS
I RESOLVER MIRANDO EL CASO DE CADA INTEGRAL
1) R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
12) R
13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
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Ejemplos
1)
2)
Solucioacuten
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9)
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FUENTE httpwww2udecclwebmathcieriim10htm
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
7) Rconverge a1
8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
14) R converge
15)
Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
2)
R
2) R
3) R
4) R
5) R
6) R
7) R
8) R
9) R
10) R
11) R
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13) R
EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUENTES INTEGRALES RACIONALES
CAPITULO 6
INTEGRALES IMPROPIAS
MATERIAL DE APOYO
httpsdocenciadimuchileclcalculo_difmaterialtutoria_semanasemana13pdf
httpwwwehueus~mtpalezpmundoana1EJERCICIOSINTEGRALIMPROPIApdf
httpbdigitalunaleduco65211bernardoacevedofrias1994_Parte1pdf
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INTEGRALES IMPROPIAS
Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
3) Rconverge a 0
4) R converge pi2
5) R converge
6) Rconverge 1
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8) R converge pi4
9) Rconverge 5pi12
10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
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Ejercicios 2
Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
R el valor de la integral es
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R
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Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
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10) Rconverge a 0
11) Rconverge a 1
12) R diverge
13) R converge
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Lea bien lo que se pide en cada ejercicio
1)
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Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
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Ejercicios 1
Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
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Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
2) R converge a 2
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1) R converge a 1
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1) R converge a 1
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Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias
1) R converge a 1
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1) R converge a 1
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