SVEUĈILIŠTE U ZAGREBU

RUDARSKO – GEOLOŠKO – NAFTNI FAKULTET

Preddiplomski studij naftnog rudarstva

ALGORITAM OPĆE ISPRAVNE UPORABE SIMPSONOVE I TRAPEZNE

FORMULE ZA IZRAČUN VOLUMENA DUBINSKIH STRUKTURA

Završni rad

Josipa Paviĉić

N 2047

Zagreb, 2019.

Sveuĉilište u Zagrebu

Rudarsko –geološko- naftni fakultet Završni rad

ALGORITAM OPĆE ISPRAVNE UPORABE SIMPSONOVE I TRAPEZNE

FORMULE ZA IZRAĈUN VOLUMENA DUBINSKIH STRUKTURA

JOSIPA PAVIĈIĆ

Završni rad je izraĊen na: Sveuĉilištu u Zagrebu

Rudarsko-geološko-naftnom-fakultetu

Pierottijeva 6, 10 000 Zagreb

Saţetak

Procjenu volumena geoloških struktura moţemo izraĉunati integriranjem. Kako dubinske

strukture najĉešće nisu pravilnih oblika ne moţe se primijeniti analitiĉko integriranje već

se koristi numeriĉko integriranje, tj. trapezno i Simpsonovo pravilo. Obje metode pribliţno

odreĊuju volumen leţišta jer imaju odreĊenu pogrješku pri izraĉunu. Ovdje su opisana dva

primjera leţišta: masivno leţište i slojno leţište. Izraĉunati su volumeni trapeznom i

Simpsonovom formulom i dobiveni su rezultati većeg ili manjeg odstupanja. Ovisno o

broju podataka rezultati znaĉajno odstupaju. Razlog tome je upotreba netoĉne formule za

raĉunanje volumena Simpsonovim pravilom za neparan broj odsjeĉaka. U ovom radu

opisani su izvodi trapezne i Simpsonove formule, te je predloţen toĉan postupak proraĉuna

volumena leţišta ako je ono podijeljeno na neparan broj odsjeĉaka. Rezultati proraĉuna

volumena leţišta su prikazani u tablicama za razliĉita leţišta i razliĉite ekvidistancije.

Kljuĉne rijeĉi: leţište, antiklinala, numeriĉka integracija, trapezno pravilo,

Simpsonovo pravilo

Završni rad sadrţi: 25 stranice, 9 slika, 13 tablica

Jezik izvornika: Hrvatski

Završni rad je pohranjen u: Knjiţnici Rudarsko-geološko-naftnog fakulteta

Pierottijeva 6, 10000 Zagreb

Mentor: dr.sc. Tomislav Malvić, red. prof., RGN fakulteta

Ocjenjivaĉi: dr. sc. Rajna Rajić, red. prof., RGN fakulteta

dr.sc. Tomislav Malvić, red. prof., RGN fakulteta

dr. sc. Ţeljko Andreić, red. prof., RGN fakulteta

Datum obrane: 18. srpnja 2019., Rudarsko geološko naftni fakultet,

sveuĉilište u Zagrebu

Sadrţaj:

POPIS SLIKA……………………………………………………………………….. I

POPIS TABLICA……………………………………………………………………II

1.UVOD………………………………………………………………………………1

2.METODA NUMERIĈKOG INTEGRIRANJA…………………………………..3

2.1.Trapezna formula ..................................................................................................................................... 4

2.2. Simpsonova formula .............................................................................................................................. 7

3.PRIMJENA NUMERIĈKE INTEGRACIJE U OPISIVANJU LEŢIŠTA

UGLJIKOVODIKA………...………………………………………………………10

3.1.Proračun volumena masivnog ležišta .......................................................................................... 11

3.1.2. Neparan broj odsječaka strukture..........................................................................16

3.2. Proračun volumena slojnog ležišta .............................................................................................. 17

3.2.2. Neparan broj odsječaka ..........................................................................................20

4.ZAKLJUĈAK…………………………………………………………………….23

5.LITERATURA……………………………………………………………………24

I

POPIS SLIKA

Slika 2-1: Idealizirano, pravilno geometrijsko tijelo koje se u smjeru osi x proteže od

ravnine x=a do x=b .......................................................................................................................................... 3

Slika 2-2 Krivulja f aproksimirana pravcem L .................................................................................. 4

Slika 2-3: Krivulja interpolirana linearnom funkcijom (a) i po dijelovima linearnom

funkcijom (b) (Malvić et al., 2014) ........................................................................................................... 6

Slika 2-4: Interpolacija krivulje f parabolom P ................................................................................. 7

Slika 2-5: Simpsonovo pravilo s 2 podintervala (a) i s n=2m podintervala (b) (Malvić

et al., 2014) .......................................................................................................................................................... 8

Slika 3-1: Masivno ležište ugljikovodika ........................................................................................... 10

Slika 3-2: Slojno ležište ugljikovodika (Brod i Jeremenko, 1957) ........................................ 11

Slika 3-3: Karta stratoizohipsa krovinske plohe sloja, ekvidistancije 5 m ....................... 12

Slika 3-4: Karta stratoizohipsa podinske plohe sloja, ekvidistancije 5 m ......................... 18

II

POPIS TABLICA

Tablica 3-1: Relativne i apsolutne površine ................................................................................... 13

Tablica 3-2:Volumen dobiven Simpsonovom metodom za paran broj odsječaka ....... 14

Tablica 3-3: Volumen dobiven trapeznom metodom kod parnog broja odsječaka..... 15

Tablica 3-4:Volumen ležišta i njihova razlika ................................................................................ 16

Tablica 3-5: Proračun volumena kombinacijom Simpsonovog i trapeznog pravila kod

neparnog broja odsječaka ......................................................................................................................... 17

Tablica 3-6: Odstupanje volumena dobivenog trapeznom formulom na cijelom

intervalu i volumena dobivenog kombinacijom trapeznog i Simpsonovog pravila ...... 17

Tablica 3-7: Očitanja planimetrom, te apsolutne površine likova koje omeđuju

izopahe od kontakta ugljikovodika i vode te podinske plohe ležišnog sloja .................... 19

Tablica 3-8:Proračun volumena Simpsonovom i trapeznim pravilom za paran broj

odsječaka ........................................................................................................................................................... 20

Tablica 3-9: Ukupni volumen slojnog ležišta ................................................................................. 20

Tablica 3-10: Volumen dobiven kombinacijom Simpsonove i trapezne formule za

neparan broj odsječaka .............................................................................................................................. 21

Tablica 3-11: Volumen dobiven trapeznom formulom za neparan broj odsječaka .... 21

Tablica 3-12: Odstupanje volumena opisanog podinskom plohom ................................... 21

Tablica 3-13: Volmen uslojenog ležišta za slučaj neparnog broja odsječaka ................. 22

1

1. UVOD

U geologiji leţišta ugljikovodika, većina geoloških karata se nazivaju

dubinskogeološke karte što ukazuje na to da je na kartama interpretacija dijelova litosfere

koje ne vidimo s površine. Zato koristimo razliĉite metode mjerenja i istraţivanja kako bi

što jasnije spoznali što se nalazi u podzemlju. Kartiranje u naftnom rudarstvu je od iznimne

vaţnosti jer na kartama moţemo grafiĉki prikazati podatke poput debljine slojeva,

litološkog sastava, odnosa i poloţaja dubinskih struktura i sliĉno. Vaţno je dobiti pouzdanu

kartu iz koje moţemo oĉitati podatke potrebne za proraĉun, primjerice izraĉuna volumena

leţišta ugljikovodika.

Poznavanje pribliţnog volumena leţišta potrebno je iz razloga što se daljnjim

analizama treba procijeniti ekonomska isplativost pridobivanja sirovine iz istoga. Naravno,

isplativost bušenja nekog leţišta ne ovisi samo o njegovoj veliĉini već i o mnogim drugim

ĉimbenicima poput vrste stijene i fluida, uvjetima u leţištu, poroznosti i propusnosti,

dubini leţišta, lokaciji leţišta, cijeni sirovine na trţištu itd. Izraĉun volumena leţišta slijedi

nakon geoloških, geofiziĉkih i geokemijskih istraţivanja, te bušenja istraţivaĉkih bušotina.

Najpouzdaniji podatci su oni dobiveni bušenjem (Malvić i Saftić, 2008). S podatcima o

dubini i debljini leţišta, dubini krovine i podine, kontakta nafte i vode itd. moţemo

rekonstruirati njegovu stratigrafiju, meĊusobni poloţaj stijena krovine i podine, tip zamke i

sliĉno.

Za dobar izraĉun volumena leţišta, pa time i koliĉine ugljikovodika, potrebno je

imati precizne podatke. Postoji niz raĉunalnih programa s kojima se obavljaju proraĉuni,

no kljuĉno je, posebno kod malog broja ulaznih podataka, imati i iskusnog inţenjera koji

će svojim iskustvom intuitivno odrediti ili ispraviti rezultate koje raĉunalo generira.

Stoga su ovdje opisani razliĉiti rezultati proraĉuna veliĉine volumena leţišta

dobiveni kroz nekoliko primjera numeriĉke metode integracije. Skupovi s razliĉitim

brojem podataka obraĊeni su dvjema metodama numeriĉkog integriranja, a to su

Simpsonovo i trapezno pravilo (Kevo, 1986). Rezultat dobiven trapeznom formulom

kontrola je rezultata dobivenog Simpsonovom formulom.

2

Već pri samom izvodu formule za Simpsonovo pravilo uoĉena je greška u

Simpsonovoj formuli za neparan broj odsjeĉaka koja se dugi niz godina upotrebljavala u

geologiji. Postavlja se pitanje koju metodu treba primijeniti u sluĉaju parnog i neparnog

broja odsjeĉaka, tj. koja bi bila prihvatljiva metoda kod izraĉuna volumena s neparnim

brojem odsjeĉaka. U ovom radu razmotreno je nekoliko takvih proraĉuna na primjerima

dviju dubinskih struktura, ujedno leţišta koja su prema klasifikaciji po I. O. Brodu, 1957.

odreĊena kao masivno i slojno, a prema klasifikaciji po A. I. Levorsenu, 1956. oba su

strukturne vrste.

3

2. METODA NUMERIČKOG INTEGRIRANJA

Geološke strukture poput bora i rasjeda najĉešća su mjesta gdje pronalazimo leţišta

nafte i plina (Malvić i Velić, 2008). Strukture u podzemlju rijetko kad su pravilnog oblika

(Malvić & Zelenika, 2014), te ne moţemo primijeniti analitiĉku integraciju za odreĊivanje

volumena. No, ako struktura i nije pravilna, npr. zbog rasjedanja, ona se moţe

aproksimirati s nekoliko pravilnih oblika i primjenom numeriĉke metode integriranja dobiti

zadovoljavajući rezultat.

Integralom moţemo opisati volumen tijela u odreĊenim granicama, ako poznajemo

površinu presjeka tijela ravninom paralelnom s ravninom (slika 2-1).

Slika 2-1: Idealizirano, pravilno geometrijsko tijelo koje se u smjeru osi x proteţe

od ravnine x=a do x=b

Volumen tijela koje se u smjeru osi proteţe od ravnine do opisan je

formulom 2-1, pri ĉemu oznaĉava površinu presjeka tijela ravninom .

4

∫

(2-1)

No, kako se analitiĉki mogu integrirati samo „ureĊene“ funkcije, na ovaj naĉin ne

moţemo izraĉunati volumen nekog realnog, nepravilnog tijela. Pošto su u prirodi najĉešće

strukture nepravilnog oblika, vrijednosti podintegralne funkcije su obiĉno poznate samo u

konaĉno mnogo toĉaka pa ovakav zapis nije primjenjiv te zato koristimo pribliţno rješenje

dobiveno numeriĉkim integriranjem (Scitovski, 2004).

2.1.Trapezna formula

Ideja trapeznog pravila proizlazi iz toga da funkciju f u odreĊenom integralu

∫

aproksimiramo pravcem L koji prolazi kroz toĉke ( ) i ( );

. (2-2)

Geometrijski, ako je nenegativna funkcija na segmentu [ ], površinu omeĊenu

krivuljom , pravcima i te osi aproksimiramo površinom trapeza s

osnovicama duljine i , te visinom (Ĉanĉarević, 2016 ) .

Slika 2-2 Krivulja f aproksimirana pravcem L

5

Znamo da je površina trapeza jednaka umnošku duljine visine trapeza i duljine

njegove srednjice, što u ovom sluĉaju iznosi

. (2-3)

Do istog rezultata dolazimo integriranjem funkcije L na segmentu [a,b];

∫ ∫ (

)

*

+ |

. (2-4)

Tada je:

∫

( )

. (2-5)

Pravcem moţemo relativno dobro opisati površinu, no to neće uvijek biti sluĉaj i

moguća su velika odstupanja. Kako bi greška bila manja potrebno je interval [ ]

podijeliti toĉkama na segmenata jednakih duljina

(2-6)

i na svakome podintervalu [ ] , primijeniti dobivenu formulu 2-5 (slika

2-3).

Tada se dobije formula 2-7:

∫ ∫ ∫

(2-7)

gdje je

.

6

Slika 2-3: Krivulja interpolirana linearnom funkcijom (a) i po dijelovima

linearnom funkcijom (b) (Malvić et al., 2014)

Nakon sreĊivanja izraza (2-7), dobiven je konaĉni oblik trapeznog pravila, formula

2-8;

∫

( )

. (2-8)

Na ovaj naĉin smanjena je pogrješka, no ona još uvijek postoji. Ako bismo htjeli

izraĉunati grešku dobivenu trapeznim pravilom, moramo znati drugu derivaciju funkcije i

zatim raĉunamo prema formuli 2-9;

(2-9)

gdje su:

- pogrješka;

-duljina svakog podintervala;

[ ]

.

Oĉito je da ukoliko je polinom prvog stupnja, tj. funkcija ĉiji graf je pravac, dobit

ćemo toĉno rješenje, odnosno greška će biti nula.

7

2.2. Simpsonova formula

Simpsonovo pravilo temelji se na ideji da krivulju aproksimiramo polinomom P

drugog stupnja:

(2-10)

ĉiji graf je parabola, a nepoznate koeficijente a0, a1 i a2 odreĊujemo iz uvjeta:

(

) (

) .

Prema tome, parabola sijeĉe graf funkcije f u toĉkama ( ) i

(

(

)).

Slika 2-4: Interpolacija krivulje f parabolom P

Integriranjem funkcije na segmentu [ ] dobiva se formula 2-12:

∫

( (

) ) (2-11)

Tada je:

∫

( (

) )

(2-12)

8

Funkcija f se općenito moţe toĉnije aproksimirati polinomom drugog stupnja nego

linearnom funkcijom. Kako bi se dobio precizniji rezultat potrebno je, kao i kod trapeznog

pravila, zadani interval podijeliti na manje segmente. Za veću toĉnost segment [ ]

dijelimo toĉkama na paran broj podintervala

jednake duljine

(slika 2-5).

Slika 2-5: Simpsonovo pravilo s 2 podintervala (a) i s n=2m podintervala (b)

(Malvić et al., 2014)

Tada redom na segmente [ ] [ ] [ ] [ ] (od kojih se svaki

sastoji od dva podintervala) primjenjujemo formulu 2-12, sumiramo dobivene vrijednosti

te tako dobijemo generalizirani oblik Simpsonove formule:

∫

( )

(2-13)

gdje je

.

Iako je ova metoda preciznija od trapezne, zbog aproksimacije takoĊer postoji

odreĊena pogrješka, koja se moţe izraĉunati primjenom formule 2-14.

9

(2-14)

gdje je

ε – pogrješka;

-duljina svakog podintervala, ubuduće je ekvidistancija oznaĉena s oznakom „e“;

[ ]| |.

Vidimo da u sluĉaju kada je funkcija f polinom trećeg ili niţeg stupnja rezultat će

biti toĉan, tj. pogrješka će biti nula.

10

3. PRIMJENA NUMERIČKE INTEGRACIJE U OPISIVANJU

LEŢIŠTA UGLJIKOVODIKA

Numeriĉka integracija našla je primjenu u naftnom rudarstvu kod izraĉuna

pribliţnog volumena leţišta. U geologiji problemi tog tipa prouĉavani su u radu (Malvić,

Rajić, Slavinić, Novak-Zelenika, 2014). S ciljem ekonomske uštede pokušava se dobiti

dovoljno podataka potrebno za kartiranje i provoĊenje raĉuna, bez nepotrebnog dodatnog

ulaganja u geofiziĉka mjerenja ili bušenja ako nije nuţno. Ranije je reĉeno kako leţišta

najĉešće nastaju u strukturnim zamkama tj. borama i rasjedima. Stoga su ovdje prikazani

rezultati proraĉuna volumena na primjeru strukturnog tipa leţišta.

Slika 3-1: Masivno leţište ugljikovodika

Masivna leţišta (slika 3-1) odnose se na akumulaciju nafte i plina u masivnim

stijenama leţišnih znaĉajki. Slojno leţište je ono koje se nalazi u zamci unutar sloja, s

jasno odreĊenom krovinskom i podinskom plohom toga sloja (slika 3-2).

11

Slika 3-2: Slojno leţište ugljikovodika (Brod i Jeremenko, 1957)

3.1.Proračun volumena masivnog leţišta

U prvom sluĉaju dan je primjer masivnog leţišta u strukturnom izdignuću

tektonskog podrijetla. Izduţena antiklinala debljine od kontakta nafta-voda do tjemena 50

m i s nagibom krila do 20°.

12

Slika 3-3: Karta stratoizohipsa krovinske plohe sloja, ekvidistancije 5 m

Za proraĉun su potrebne površine presjeka antiklinale vodoravnim ravninama za

svakih 5 m dubinske razlike. Površine su dobivene planimetrom, instrumentom pomoću

kojeg dobijemo površine proizvoljnih likova (Malvić, 2015). Apsolutne površine dobivene

su mnoţenjem konstante s razlikom brojeva oĉitanih planimetrom. Konstanta ovisi o

mjerilu. Za ovaj sluĉaj uzeto je mjerilo 1:4000, što znaĉi da je konstanta 1600. Površine su

prikazane u tablici 3-1.

13

Tablica 3-1: Relativne i apsolutne površine

Broj

izopahe

A (poĉetna

toĉka na

planimetru)

B (krajnja

toĉka na

planimetru)

|A-B| Površina [m2]

a0 4202 6372 2170 3 472 000

a1 6434 8405 1971 3 153 600

a2 1094 2891 1797 2 875 200

a3 2939 4559 1620 2 592 000

a4 1619 3086 1467 2 347 200

a5 4675 5982 1307 2 091 200

a6 4450 5620 1170 1 872 000

a7 5710 6730 1020 1 632 000

a8 6759 7646 887 1 419 200

a9 7768 8522 754 1 206 400

a10 8593 9233 640 1 024 000

a11 9325 9842 517 827 200

a12 37 467 430 688 000

a13 566 890 324 518 400

a14 1025 1273 248 396 800

a15 1374 1544 170 272 000

a16 1651 1755 104 166 400

a17 1848 1906 58 92 800

a18 1955 1987 32 51 200

a19 2046 2058 12 19 200

a20 2106 2109 3 4800

14

3.1.1. Paran broj odsjeĉaka strukture

Prvo je razmatran sluĉaj neparnog broja izopaha, tj. parni broj odsjeĉaka. Koristeći

Simpsonovu formulu rezultati su vidljivi u tablici 3-2. Volumen izraĉunat Simpsonovom

formulom ima oznaku , dok je volumen kape oznaĉen s . Uzete su ekvidistancije 5 m,

10 m, 25 m, i 50 m kako bi se mogli usporediti rezultati mjerenja za sluĉaj malog broja

ulaznih podataka i za sluĉaj većeg broja ulaznih podataka.

Tablica 3-2:Volumen dobiven Simpsonovom metodom za paran broj odsjeĉaka

e Broj odsjeĉaka Izopahe

5 20 124 628 666

10 10 125 319 333

25 4 124 815 334

50 2 126 215 334

Za izraĉun volumena leţišta potrebno je još izraĉunati i volumen kape, tj. volumen

podruĉja od zadnje izopahe do vrha strukture. Za to su primijenjene dvije formule kako bi

smanjili pogrješku. Izraz za piramidalnu formulu 3-15 i izraz za sfernu formulu 3-16.

Izvodi tih formula prouĉavani su u diplomskom radu (Korać, 2015);

(3-15)

gdje su:

- volumen kape izraĉunat pomoću piramidalne formule;

- debljina leţišta od zadnje izopahe do tjemena strukture;

- površina koju zatvara zadnja izopaha;

15

(3-16)

gdje su

- volumen kape;

- debljina leţišta od zadnje izopahe do tjemena strukture;

- površina koju zatvara zadnja izopaha.

Ukupan volumen leţišta dobiven Simpsonovom metodom dobiven je zbrojem

srednje vrijednost volumena kape tj.

i prethodno izraĉunatog volumena ostatka

leţišta .

Volumeni dobiveni trapeznom metodom vidljivi su u tablici 3-3. Oznaka za

volumen dobiven trapeznom formulom je .

Tablica 3-3: Volumen dobiven trapeznom metodom kod parnog broja ods jeĉaka

e Broj odsjeĉaka Izopahe

5 20 124 918 000

10 10 125 786 000

25 4 128 142 000

50 2 138 122 000

Usporedbom rezultata proraĉuna trapeznim i Simpsonovim pravilom u tablici 3-4 je

vidljiva njihova razlika. Dobiveno odstupanje koje raĉunamo kao

{ } prikazano je u

postotku.

16

Tablica 3-4:Volumen leţišta i njihova razlika

e

ODSTUPANJE (%)

{ }

5 124 628 667 124 918 000 289 333 0,23

10 125 319 334 125 786 000 466 666 0,37

25 124 815 334 128 142 000 3 326 666 2,67

50 126 215 334 138 122 000 11 906 666 9,43

Vidljivo je da su rezultati zadovoljavajući i kod malog broja ulaznih podataka,

uzimajući u obzir prag tolerancije do 20% (Malvić, 2015).

3.1.2. Neparan broj odsjeĉaka strukture

Razmatran je primjer volumena leţišta s neparanim brojem odsjeĉaka strukture, tj.

parnim brojem izopaha. Naime, postavlja se pitanje koju metodu primijeniti u ovom

sluĉaju kako bi rezultat bio zadovoljavajući.

Simpsonova metoda se moţe iskljuĉivo primjenjivati za paran broj odsjeĉaka. Zato

što parabole kojima sukcesivno aproksimiramo krivulju prolaze kroz tri toĉke što znaĉi

da je svaki segment podijeljen na dva odsjeĉka (slika 2-5). Stoga bi nepravilno bilo

koristiti takav oblik formule na neparnom broju odsjeĉaka.

U sluĉaju kada je broj odsjeĉaka neparan, koristi se Simpsonovo pravilo za paran

broj odsjeĉaka, ali samo do predzadnje izopahe. Taj volumen je oznaĉen oznakom

. Od predzadnje izopahe do zadnje izopahe koristi se trapezno pravilo i

volumen je oznaĉen kao

. Ukoliko je ostala kapa, njen volumen ( ) ćemo pribrojiti

volumenu izraĉunatog Simpsonovim pravilom do predzadnje izopahe na intervalu

[ ] i volumenu izraĉunatog trapeznim pravilom izmeĊu predzadnje i zadnje izopahe

na intervalu [ ] . Proraĉun je napravljen za ekvidistanciju 20 m i rezultati su

prikazani u tablici 3-5.

17

Tablica 3-5: Proraĉun volumena kombinacijom Simpsonovog i trapeznog pravila

kod neparnog broja odsjeĉaka

Broj

odsjeĉaka Izopahe

+

+

+

20 5 124 117 333 1 712 000 125 829 333 125 831 333

Tablica 3-6: Odstupanje volumena dobivenog trapeznom formulom na cijelom

intervalu i volumena dobivenog kombinacijom trapeznog i Simpsonovog pravila

e

Broj

odsjeĉaka

+

+

+

|

|

ODSTUPANJE (%)

{

}

20 5 125 831 333 127 186 000 1 354 667 1.08

3.2. Proračun volumena slojnog leţišta

Pretpostavljeno je da slojno leţište ima oblik antiklinale, te da je krovinska ploha

jednaka kao u prethodnom primjeru masivnog leţišta. Strukturna karta stratoizohipsa po

krovini je gotovo ista kao na slici 3-3, no u profilu kontakt nafta-voda sijeĉe donju slojnu

plohu, tako da se pojavljuje još jedan volumen i to onaj od kontakta do podinske plohe

sloja. Volumen leţišta je razlika ta dva volumena, većega i manjega. Volumen opisan

podinskom plohom izraĉunat je u nastavku rada. Površine su dobivene planimetriranjem

karte stratoizopaha (slika 3.4), a rezultati su prikazani u tablici 3-7.

18

Slika 3-4: Karta stratoizohipsa podinske plohe sloja, ekvidistancije 5 m

Volumen uslojenog leţišta dobiven je na isti naĉin kao što je to prethodno opisano, uz

iznimku da je od ukupnog volumena leţišta potrebno oduzeti volumen opisan podinskom

plohom. To znaĉi da su površine iz tablice 3-1 jednake površinama krovinske plohe

antiklinale, te da je volumen opisan krovinskom plohom jednak volumenu masivnog

leţišta. Kako su podatci isti onda je volumen omeĊen krovinom jednak onome u tablici 3-2

za Simpsonovo pravilo, tj. tablici 3-3 za trapezno pravilo.

19

Tablica 3-7: Oĉitanja planimetrom, te apsolutne površine likova koje omeĊuju

izopahe od kontakta ugljikovodika i vode te podinske plohe leţišnog sloja

PODINA A (poĉetna toĉka

na planimetru)

B (krajnja toĉka

na planimetru) |A-B| Površina [m

2]

a0 1164 2010 846 1 353 600

a1 2114 2754 640 1 024 000

a2 2825 3332 507 811 200

a3 3433 3820 387 619 200

a4 3892 4185 293 468 800

a5 4280 4482 202 323 200

a6 4539 4670 131 209 600

a7 4747 4835 88 140 800

a8 4914 4962 48 76 800

a9 5040 5061 21 33 600

a10 5103 5105 2 3 200

3.2.1. Paran broj odsjeĉaka

Iz dobivenih površina izraĉunat je volumen podine za ekvidistanciju 5 m, i 25 m.

Uzete su takve ekvidistancije kako bi bilo moguće napraviti usporedbu u rezultatima

proraĉuna volumena obzirom na broj ulaznih podataka, tj. odsjeĉaka. U tablici 3-8 su

rezultati dobiveni uporabom Simpsonovog i trapeznog pravila.

20

Tablica 3-8:Proraĉun volumena Simpsonovom i trapeznim pravilom za paran broj

odsjeĉaka

e

Broj

odsjeĉaka Izopahe

ODSTUPANJE

(%)

{ }

5 10 21 756 000 21 929 334 173 334 0.80

25 2 22 081 334 25 041 334 2 960 000 13.40

Oĉito je da greška nije veća od 20% tj. rezultati su zadovoljavajući (Malvić, 2015).

Kako bismo dobili ukupan volumen leţišta, uslojenog tipa, omeĊen krovinskom i

podinskom plohom oduzet ćemo volumen omeĊen krovinom od volumena omeĊenog

podinom (tablica 3-9).

Tablica 3-9: Ukupni volumen slojnog leţišta

e

5 102 872 666

25 102 734 000

3.2.2. Neparan broj odsjeĉaka

Sljedeće što je izraĉunato je volumen za sluĉaj neparnog broja odsjeĉaka analogno

metodi u primjeru masivnog leţišta s neparnim brojem odsjeĉaka. Ekvidistancija je 10 m, a

rezultati volumena podine su prikazani u tablici 3-10.

21

Tablica 3-10: Volumen dobiven kombinacijom Simpsonove i trapezne formule za

neparan broj odsjeĉaka

(m) Broj

odsjeĉaka Izopahe

+

+

10 5 21 504 000 400 000 21 905 334

U tablici 3-11 prikazan je volumen za sluĉaj neparnog broja odsjeĉaka dobiveni

trapeznom formulom.

Tablica 3-11: Volumen dobiven trapeznom formulom za neparan broj odsjeĉaka

(m) Broj

odsjeĉaka Izopahe

+

10 5 22 449 334

U tablici 3-12 su prikazana odstupanja rezultata dobivenog Simpsonovom metodom

i rezultata dobivenog trapeznim pravilom. Ukoliko je odstupanje manje ili jednako 20%

proraĉun se prihvaća kao zadovoljavajući.

Tablica 3-12: Odstupanje volumena opisanog podinskom plohom

e (m)

+

|

|

ODSTUPANJE (%)

{

}

10 22 449 334 21 905 334 544 000 2.48

22

Konaĉni rezultat volumena uslojenog leţišta vidljivi su u tablici 3-13.

Tablica 3-13: Volumen uslojenog leţišta za sluĉaj neparnog broja odsjeĉaka

e

10 103 414 000

23

4. ZAKLJUČAK

Moţe se zakljuĉiti da je razumijevanje postupka provedbe proraĉuna ponekad

vaţnije od koliĉine dostupnih podataka. Radeći proraĉun za bilo koje podruĉje u

inţenjerstvu, krucijalno je poznavanje algoritama. U ovom završnom radu prikazano je

kako toĉnost rezultata nije uvijek povezana s brojem ulaznih varijabli. Glavni zakljuĉci i

preporuke su:

1. Simpsonovo pravilo je preciznije jer ovisi o h4 što znaĉi da će pogrješka brţe

doći na nulu za razliku od trapeznog pravila gdje pogrješka ovisi o h2. Pogrješka

je nula kada je f polinom trećeg ili manjeg stupnja za Simpsonovo pravilo, a kod

trapeznog pravila rezultat je toĉan samo ako je f polinom prvog stupnja.

2. Ovisno o broju odsjeĉaka, tj. je li tijelo podijeljeno na paran ili neparan broj

odsjeĉaka ovisit će metoda proraĉuna.

3. Posebnu pozornost treba obratiti na proraĉun kod neparnog broja odsjeĉaka.

Dugo je bila u uporabi prilagoĊena Simpsonova formula za neparan broj

odsjeĉaka koja nije toĉna. Iz tog razloga su rezultati dobiveni tom formulom

odstupali preko 20% i to za ekvidistanciju manju od 10 m.

4. U radu je prikazan naĉin rješavanja ovog problema. Ukoliko je broj odsjeĉaka

neparan treba primijeniti Simpsonovu metodu na parnom broju odsjeĉaka, tj. do

predzadnje izopahe. Preostali volumen leţišta iznad te izopahe izraĉunati

trapeznom formulom, te izraĉunati kapu. Konaĉni volumen leţišta je zbroj ta tri

volumena:

.

5. Svi provedeni proraĉuni u ovim primjerima su zadovoljavajući, no treba uzeti u

obzir i to da je u našem sluĉaju leţište bilo relativno simetriĉnog oblika, što u

prirodi ne mora biti i najĉešće nije.

6. Za poĉetno razmatranje isplativosti ulaganja u leţište, ovakav pristup je dobar.

No, svaka daljnja razmatranja temeljena na ovom principu izraĉuna volumena

trebaju biti uzeta s odreĊenim stupnjem rizika.

24

5. LITERATURA

1. BROD, I. O. & JEREMENKO, N. A. ,1957: Osnovi geologii niefti i gasa. Izdanie

tretie, Gostoptehizdat, 480 str., Moskva.

2. ĈANĈAREVIĆ, M.,2016: Primijenjena i numeriĉka matematika. Intus informatika

d.o.o., 179 str., Zagreb.

3. KEVO, M., 1986: Numeriĉka integracija (Numerical integration – Slovenian, issue

in Serbian). Moj mikro, 2, 7, 25.-28. str.

4. KORAĆ, R., 2015: Geometrija kugle i sfere. Sveuĉilište u Zagrebu, Prirodoslovno-

matematiĉki fakultet, Matematiĉki odsjek, diplomski rad, 50. str., Zagreb.

5. LEVORSEN, A.I., 1956: Geology of petroleum. Freeman, 703 srt., San Francisco.

6. MALVIĆ, T., 2015: Upute za uporabu planimetra. Sveuĉilište u Zagrebu,

Rudarsko-geološko-naftni fakultet, skripta,18 str. , Zagreb.

7. MALVIĆ, T., NOVAK-ZELENIKA, K., 2014:Why we use Simpson and

trapezoidal rule for hydrocarbon reservoir volume calculation? In: Cvetković, M.,

Novak Zelenika, K. and Geiger, J. (editors): Congress book “Geomathematics -

from theory to practice”, Hrvatsko geološko društvo, 37-44, Opatija.

8. MALVIĆ, T., RAJIĆ, R., SLAVINIĆ, P., NOVAK-ZELENIKA, K., 2014:

Numeriĉko integriranje kod izraĉuna volumena nepravilnih antiklinala. Rudarsko-

geološko-naftni zbornik. 28, 2, 1- 8, Zagreb.

9. MALVIĆ, T., SAFTIĆ B., 2008: Dubinsko kartiranje. Sveuĉilište u Zagrebu,

Rudarsko-geološko-naftni fakultet, skripta, str., Zagreb.

10. MALVIĆ, T., VELIĆ, J., 2008: Geologija leţišta fluida. Sveuĉilište u Zagrebu,

Rudarsko-geološko-naftni fakultet, skripta, 139 str., Zagreb.

11. SCITOVSKI R., 2004: Numeriĉka matematika. Odjel za matematiku Sveuĉilišta u

Osijeku, 164 str., Osijek.

Online sadrţaji:

12. Mihalić, S., INŽENJERSKOGEOLOŠKO KARTIRANJE, URL:

http://rgn.hr/~smihalic/nids_snjezanamihalic/22_poglavlje.pdf (15. 5. 2018.)

25

13. Wikipedia, 2018., Simpson's rule, URL:

https://en.wikipedia.org/wiki/Simpson%27s_rule#Simpson's_3/8_rule (10. 6.

2018.)

14. Frangeš, S. i Franĉula, N., 2015., KARTIRANJE I/ILI KARTOGRAFIRANJE,

URL: https://bib.irb.hr/datoteka/760786.Kartiranje_i_ili_kartografiranje.pdf (10.6.

2018.)