Sudah Diedit

  • Published on
    25-Oct-2015

  • View
    113

  • Download
    9

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Sudah diedit

Transcript

<p>Slide 1</p> <p>PENENTUAN NILAI OPTIMUM (MEMAKSIMALKAN/MEMINIMUMKAN) DARI MASALAH PROGRAM LINIERKelompok 3 XII IPA 1Adirogo Nurkusumo || Anjelia Defani M. || Fachrul Rafiana H. || Galuh Estya || Ishlah Billy || Muminah Mustaqimah || Shafira Aghy || Vani Safira Mohani || Widya Ayu Anindita|| Syarif Wulffrat</p> <p>Dalam pembahasan Program Linear: Model Matematika telah dibahas bagaimana memodelkan suatu permasalahan ke dalam model matematika. Dalam pembahasan tersebut diperoleh pemodelan sebagai berikut.x + y 600,6.000x + 5.000y 600.000,Untuk x, y anggota bilangan cacah, x 0, y 0</p> <p>Dari sistem pertidaksamaan tersebut akan dicari nilai-nilaixdanyyang menyebabkan fungsif(x,y) = 500x+ 600ybernilai maksimum. Bentuk umum dari fungsi tersebut adalahf(x,y) =ax+by. Fungsi yang akan dioptimumkan (maksimum atau minimum) ini kemudian disebutfungsi objektif. Untuk menentukan nilai optimum tersebut, dapat digunakan metode uji titik pojok dan garis selidik.NILAI OPTIMUM SUATU FUNGSINilai Optimum suatu Fungsi ialah Nilai yang ingin dicari untuk memecahkan model matematika yang adaAda 2 cara untuk mecari Nilai Optimum suatu Fungsi :Metode Uji Titik PojokMetode Garis Selidik4Sebelum membahas metode uji titik pojok, sebaiknya kalian tahu mengenainilai optimum. Nilai optimum dapat berupa nilaimaksimumatauminimum, tergantung dari permintaan soal. Pada permasalahan ini yang diminta adalah nilai maksimum, sehingga kita akan mencari nilai-nilaixdanyyang menyebabkan fungsi objektif bernilai maksimum.METODE UJI TITIK POJOKUntuk menentukan nilai optimum dengan menggunakan metode uji titik pojok, lakukan langkah-langkah berikut.1. Tentukan kendala-kendala dari permasalahan program linear yang dimaksud.2. Gambarlah daerah penyelesaian dari kendala-kendala dalam masalah program linear tersebut.3. Tentukan titik-titik pojok dari daerah penyelesaian itu.</p> <p>4. Substitusikan koordinat setiap titik pojok itu ke dalam fungsi objektif.5. Bandingkan nilai-nilai fungsi objektif tersebut. Nilai terbesar berarti menunjukkan nilai maksimum dari fungsif(x,y), sedangkan nilai terkecil berarti menunjukkan nilai minimum dari fungsif(x,y).</p> <p>CONTOH SOALLing ling membeli 240 ton beras untuk dijual lagi. Ia menyewa dua jenis truk untuk mengangkut beras tersebut. Truk jenis A memiliki kapasitas 6 ton dan truk jenis B memiliki kapasitas 4 ton. Sewa tiap truk jenis A adalah Rp 100.000,00 sekali jalan dan truk jenis B adalah Rp 50.000,00 sekali jalan. Maka Ling ling menyewa truk itu sekurang-kurangnya 48 buah. Berapa banyak jenis truk A dan B yang harus disewa agar biaya yang dikeluarkan minimum?PEMBAHASAN SOALLangkah pertama Tentukan kendala-kendala dari permasalahan program linear yang dimaksud oleh soal. Untuk mengetahui kendala-kendalanya, sebaiknya kita ubah soal tersebut ke dalam tabel sebagai berikut.</p> <p>Sehingga, kendala-kendalanya dapat dituliskan sebagai berikut</p> <p>Dengan fungsi objektifnya adalahf(x,y) = 100.000x+ 50.000y.</p> <p>x + y 48,6x + 4y 240,x 0, y 0, x, y anggota bilangan cacahLangkah kedua. Gambarkan daerah penyelesaian dari kendala-kendala di atas. Gambar dari daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan di atas adalah sebagai berikut</p> <p>Langkah ketiga. Tentukan titik-titik pojok dari daerah penyelesaian itu. Titik pojok dari daerah penyelesaian di atas adalah titik potong garisx+y= 48 dengan sumbu-y, titik potong garis 6x+ 4y= 240 dengan sumbu-x, dan titik potong garis-garisx+y= 48 dan 6x+ 4y= 240.Titik potong garisx+y= 48 dengan sumbu-yadalah titik (0, 48). Titik potong garis 6x+ 4y= 240 dengan sumbu-xadalah titik (40, 0). Sedangkan titik potong garis-garisx+y= 48 dan 6x+ 4y= 240 dapat dicari dengan menggunakan cara eliminasi berikut ini.Diperoleh, titik potong garis-garisx+y= 48 dan 6x+ 4y= 240 adalah pada titik (24, 24).</p> <p>Langkah keempatSubstitusikan koordinat setiap titik pojok itu ke dalam fungsi objektif.</p> <p>Langkah kelimaBandingkan nilai-nilai fungsi objektif tersebut. Dari ketiga hasil tersebut, dapat diperoleh bahwa agar biaya yang dikeluarkan minimum, Ling ling harus menyewa 48 truk jenis B dan tidak menyewa truk jenis A.</p> <p>CONTOH SOALSeorang pedagang di ITC akan membeli baju dan celana. Harga sepasang baju Rp 15.000,00 dan harga sepasang celana Rp 30.000,00. Modal yang ia miliki Rp 600.000,00. Kiosnya hanya cukup menampung 30 pasang baju dan celana. Jika keuntungan sepasang baju Rp 4.000,00 dan celana Rp 5.000,00 maka tentukan keuntungan maksimum yang diperoleh pedagang tersebut.</p> <p>20Titik (x, y)f(x, y)= 4.000x + 5.000y (0, 0)0(30, 0)120.000(20, 10)130.000(0, 20)100.000Maka dapat dilihat dari tabel bahwa Pedagang mendapatkan keuntungan maksimum ketika dia menjual 20 baju dan 10 celana21</p> <p>30204030HP(20, 10)PEMBAHASAN SOALModel matematika x + 2y &lt; 40x + y &lt; 30x &gt; 0, y &gt; 0Fungsi obyektif f(x,y) = 4.000x + 5.000y </p> <p>CONTOH SOALNilai Minimum f(x,y) = 4x + 5y 8 untuk x, y di daerah yang diarsir adalah...PEMBAHASAN SOAL1. Tentukan titik-titik perpotongannya(0,4)(5,5)(2,2)</p> <p>2. Masukkan angka-angka dari titik perpotongan diatas ke persamaan f(x,y) = 4x + 5y 8</p> <p>(0,4) 4(0)+5(4)-8 = 12(5,5) 4(5)+5(5)-8 = 37(2,2) 4(2)+5(2)-8 = 10</p> <p>3. Karena yang diminta adalah NILAI MINIMUM, berarti: (0,4) = 12 (5,5) = 37 (2,2) = 10</p> <p>JAWABANMETODE GARIS SELIDIKLangkah langkah yang dilakukan untuk mencari nilai optimum dari fungsi objektif menggunakan garis selidik adalah sebagai berikut.1. Buatlah garis acuan ax+by=k2. Buatlah gari garis sejajar ax+by=k dengan cara mengambil nilai k yang berbeda atau menggeser garis ax+by=k ke kiri atau ke kanan</p> <p>28(i) jika ax+by=k1 adalah garis paling kiri yang melalui titik (x1,y1) pada daerah penyelesaian maka k1=ax1+by1 merupakan nilai minimum (ii) Jika ax+by=k2 adalah garis yang paling kanan yang melalui titik (x2,y2) pada daerah penyelesaian maka k2=ax2+by2 merupakan nilai maksimum fungsi objektif</p> <p>CONTOH SOALTentukan nilai maksimum dari z = x + 3y pada daerah yang diarsir berikut</p> <p>Maksimumy = x + 1x + y = 730PEMBAHASAN SOALGaris selidik x + 3y = 0 melalui titik (0, 0) dan (3, -1)Diperoleh x = 3 dan y = 4 sehingga nilai maksimum</p> <p>Z = 3 + 3(4) = 15</p> <p>CONTOH SOALLuas daerah parkir 1.760 m 2 . Luas rata-rata untuk mobil kecil 4 m 2 dan mobil besar 20 m 2 . Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan, biaya parker mobil kecil Rp. 1000/jam dan mobil besar Rp.2000/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan yang pergi dan dating, maka hasil maksimum tempat parkir itu adalah:</p> <p>A. Rp.176.000,- C. Rp.260.000,- E. Rp.340.000,-B. Rp. 200.000,- D. Rp. 300.000,-32PEMBAHASAN SOALDibuat persamaan-persamaannya terlebih dahulu:Misal mobil kecil = x dan mobil besar = y 4 x + 20 y 1760x + 5y 440 ..(1)x + y 200 .(2)nilai maksimum 1000x + 2000y = ?buat sketsa grafiknya</p> <p>Dari grafik didapatkan tiga titik ekstrim yaitu: (0,88), (200,0) dan titik ATitik A adalah perpotongan dari dua grafik:x + 5y = 440x + y = 200 -4y = 240y = 60</p> <p>x + y = 200x = 200 y= 200 60= 140titik A = (140, 60)</p> <p>Buat tabelnya</p> <p>Didapat nilai maksimumnya adalah Rp.260.000Jawabannya adalah C</p> <p>CONTOH SOALSeorang tukang roti mempunyai bahan A,B dan C masing-masing sebanyak 160 kg, 110 kg dan 150 kg. Roti I memerlukan 2 kg bahan A, 1 kg bahan B dan 1 Kg bahan C. Roti II memerlukan 1 kg bahan A, 2 kg bahan B dan 3 Kg bahan C. Sebuah roti I dijual dengan harga Rp.30.000 dan sebuah roti II dijual dengan harga Rp.50.000, pendapatan maksimum yang dpat diperoleh tukang roti tersebut adalah</p> <p>A. Rp. 8000.000,- C. Rp. 3900.000,- E. 2900.000,-B. Rp. 4500.000,- D. Rp. 3100.000,-PEMBAHASAN SOALBuat persamaan : Misal roti I = x dan roti II = y didapat persamaan sbb:2x + y 160 ..(1)x + 2y 110 ..(2)x + 3y 150 ..(3)</p> <p>Buat sketsa grafiknya:</p> <p>Daerah yang diarsir adalah himpunan penyelesaian dari tiga grafik tsb. Didapat 4 titik ekstrim yaitu (0,50), (80,0), titik A dan titik Bperpotongan (1) dan (2) titik B2x + y = 160 |x1| 2x + y = 160x + 2y = 110 |x2| 2x +4y = 220 - - 3y = -60 y = 20titik B = (70,20)2x + y = 1602x= 160 20x = 140/2 = 70perpotongan (2) dan (3) titik Ax + 2y = 110x + 3y= 150 - - y= -40 y = 40titik A = (30,40)Yang ditanyakan adalah nilai maksimum dari 30.000 x + 50.000 y</p> <p>x + 2y = 110x = 110 2.40x = 30Buat tabel :Didapat nilai maksimumnya adalah Rp. 3100.000Jawabannya adalah D</p> <p>CONTOH SOALNilai minimum fungsi objektif 5x + 10y pada himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan yang grafik himpunan penyelesaiannya disajikan pada daerah berarsir seperti gambar di samping adalah..A. 410 B. 320 C. 240 D. 200 E. 160</p> <p>PEMBAHASAN SOALTentukan titik ekstrim terlebih dahulu:Terdapat 4 titik ekstrim, yang sudah diketahui 2 titik yaitu titik a (0,32) dan titik d (48,0), tinggal mencari posisi 2 titik ekstrim yang lain. Tentukan persamaan garis: </p> <p>Persamaan garis melalui titik (0,24) dan (36,0) ( 0,a) dan (b,0)</p> <p>2. Persamaan garis melalui titik (0,32) dan (16,0) ( 0,a) dan (b,0)</p> <p>3. Persamaan garis melaluititik (0,16) dan (48,0)( 0,a) (b,0)titik b didapat dari perpotongan grafik (1) dengan (2)2x + 3y = 722x + y = 32 -2 y = 40 y = 20</p> <p>Titik c didapat dari perpotongan grafik (1) dan (3)2x + 3y = 72x + 3y = 48- x = 24</p> <p> x + 3y = 48 3y = 48 - x 3y = 48 24 y = 24/3 = 8 titik c = (24,8)</p> <p>Buat tabelDari tabel terlihat bahwa nilai minimum adalah nilai yang terkecil yaitu 200.Jawabannya adalah D</p> <p>4. Jawaban :</p> <p>5.</p> <p>SOAL LATIHANNilai maksimum f(x,y) = 8x + 6y pada daerah yang diarsir adalah a. 11b.16c. 20d.22e.24</p> <p>2. Fungsi f(x,y) = 2x + 2y 5 yang didefinisikan pada daerah yang diarsir mencapai maksimum padaa. {(x,y) | x = 1, y = 3 }b. {(x,y) | x = 2, y = 3 }c. {(x,y) | x = 0, y = 2 }d. {(x,y) | y x = 2 }e. {(x,y) | y + x = 4 }</p> <p>3.Fungsi sasaran 8x + 2y dengan daerah penyelesaian yang diarsir di atas, mempunyai nilai maksimum sama dengan..a. 36b. 38c. 40d. 46e. 50</p> <p>4. Fungsi f(x, y) = 2x + 3y 4 yang didefinisikan pada daerah yang diarsir, mencapai maksimum dengan nilaia. 9b. 8c. 7d. 6e. 5</p> <p>ESSAY5. Diketahui fungsi f(x, y) = 2x + 2y -5 didefinisikan pada yang diarsir berikut. Tentukan nilai maksimum.. </p> <p>SUMBERKasmina, Suhendra,dkk (2008). Matematika Program Keahlian Teknologi, Kesehatan, dan Pertanian untuk SMK dan MAK kelas X, Jakarta: Penerbit Erlangga.Program Linear oleh Santosa S.P</p> <p>58TERIMA KASIH</p>