Embed Size (px)
Citation preview
STATYSTYKA MATEMATYCZNAWYKŁAD 426 października 2009
Rozkład N(µ, σ). Estymacja σ
σ2 =1
σ√2π
+∞∫−∞
(x − µ)2 exp
{−12
(x − µσ
)2}dx
= Eµ,σ (X − µ)2
S2 =1n
n∑i=1
(Xi − X )2
#
Rozkład N(µ, σ). Estymacja σ
σ2 =1
σ√2π
+∞∫−∞
(x − µ)2 exp
{−12
(x − µσ
)2}dx
= Eµ,σ (X − µ)2
S2 =1n
n∑i=1
(Xi − X )2
#
[W] Wykład Ozn: S2 = 1n
∑ni=1
(Xi − X )2 S20 = 1
n
∑ni=1
(Xi − µ)2
[JB] Jarosław Bartoszewicz: Wykłady ze statystyki matematycznej. PWN 1996Ozn: S2 = 1
n
∑ni=1
(Xi − X )2, S20 = 1
n−1
∑ni=1
(Xi − X )2
[BŁ] Dobiesław Bobrowski, Krystyna Maćkowiak-Łybacka: Wybrane metodywnioskowania statystycznego. Wyd.Polit.Pozn., Poznań 2006Ozn: S2 = 1
n
∑ni=1
(Xi − X )2, S2∗ = 1
n−1
∑ni=1
(Xi − X )2, S22 = 1
n
∑ni=1
(Xi − µ)2
[GK] Lesław Gajek, Marek Kałuszka: Wnioskowanie statystyczne. Modele i metody.WNT 1996Ozn: S2
n = 1n
∑ni=1
(Xi − θ)2, S2n = 1
n
∑ni=1
(Xi − Xn)2
[WK] Witold Klonecki: Statystyka dla inżynierów. PWN 1999Ozn: S2 = 1
n−1
∑ni=1
(Xi − X )2, S20 = 1
n
∑ni=1
(Xi − µ)2
[AP] Agnieszka Plucińska i Edmund Pluciński: Rachunek prawdopodobieństwa.Statystyka matematyczna. Procesy stochastyczne. WNT 2000Ozn. S2
n = 1n
∑ni=1
(Xi − X )2, S2nieob. = 1
n−1
∑ni=1
(Xi − X )2, S20 = 1
n
∑ni=1
(Xi − µ)2
[MS] Mariusz Startek: Podstawy rachunku prawdopodobieństwa z elementamistatystyki matematycznej. Oficyna Wydawnicza Politechniki Rzeszowskiej 2005
Ozn: S2 = 1n
∑ni=1
(Xi − X )2, S∗2 = 1n−1
∑ni=1
(Xi − X )2, S2 = 1n
∑ni=1
(Xi − µ)2
#
Rozkład N(µ, σ). Estymacja σ. Estymacja przedziałowa
Jeżeli X ∼ N(µ, σ), to n S2/σ2 ma rozkład chi-kwadratz (n−1) stopniami swobody, to
PN(µ,σ)
{χn−1(α) ¬ n S
2
σ2 ¬ χn−1(1− β)
}= γ,
gdzie χν(α) jest kwantylem rzędu α rozkładu chi-kwadrato ν stopniach swobody oraz α + β = 1− γ
Typowy wybór „symetryczny”: α = β = (1− γ)/2
#
Rozkład N(µ, σ). Estymacja σ. Estymacja przedziałowa
Jeżeli X ∼ N(µ, σ), to n S2/σ2 ma rozkład chi-kwadratz (n−1) stopniami swobody, to
PN(µ,σ)
{χn−1(α) ¬ n S
2
σ2 ¬ χn−1(1− β)
}= γ,
gdzie χν(α) jest kwantylem rzędu α rozkładu chi-kwadrato ν stopniach swobody oraz α + β = 1− γ
Typowy wybór „symetryczny”: α = β = (1− γ)/2
#
Rozkład N(µ, σ). Estymacja σ. Estymacja przedziałowa
Przedział ufności dla wariancji σ2:
PN(µ,σ)
{n S2
χν(1− β)¬ σ2 ¬ n S
2
χν(α)
}= γ,
α = β = (1− γ)/2
Przedział ufności dla odchylenia średniego σ:
PN(µ,σ)
{ √n S√
χν(1− β)¬ σ ¬
√n S√χν(α)
}= γ,
Przedział „symetryczny”.Wybór „optymalny”: najkrótszy przedział ufności na danympoziomie ufności γ (∗)
Rozkład N(µ, σ). Estymacja σ. Estymacja przedziałowa
Przedział ufności dla wariancji σ2:
PN(µ,σ)
{n S2
χν(1− β)¬ σ2 ¬ n S
2
χν(α)
}= γ,
α = β = (1− γ)/2
Przedział ufności dla odchylenia średniego σ:
PN(µ,σ)
{ √n S√
χν(1− β)¬ σ ¬
√n S√χν(α)
}= γ,
Przedział „symetryczny”.Wybór „optymalny”: najkrótszy przedział ufności na danympoziomie ufności γ (∗)
Rozkład N(µ, σ). Estymacja σ. Estymacja przedziałowa
Przedział ufności dla wariancji σ2:
PN(µ,σ)
{n S2
χν(1− β)¬ σ2 ¬ n S
2
χν(α)
}= γ,
α = β = (1− γ)/2
Przedział ufności dla odchylenia średniego σ:
PN(µ,σ)
{ √n S√
χν(1− β)¬ σ ¬
√n S√χν(α)
}= γ,
Przedział „symetryczny”.Wybór „optymalny”: najkrótszy przedział ufności na danympoziomie ufności γ (∗)
Rozkład N(µ, σ). Testowanie hipotezy H : σ=σ0,K : σ>σ0
(Np. zużywający się przyrząd pomiarowy)
Jeżeli X ∼ N(µ, σ0), to n S2/σ20 ma rozkład chi-kwadrat z (n−1)
stopniami swobody:
PN(µ,σ0)
{S2 >
σ20
nχn−1(1− α)
}= α
Ozn: χν(γ) - kwantyl rzędu gamma,
Moc tego testu:
β(σ) = PN(µ,σ)
{S2
σ2 >σ2
0
n σ2 χn−1(1− α)
}
R: test-sigma-plus.R
#
Rozkład N(µ, σ). Testowanie hipotezy H : σ=σ0,K : σ>σ0
(Np. zużywający się przyrząd pomiarowy)
Jeżeli X ∼ N(µ, σ0), to n S2/σ20 ma rozkład chi-kwadrat z (n−1)
stopniami swobody:
PN(µ,σ0)
{S2 >
σ20
nχn−1(1− α)
}= α
Ozn: χν(γ) - kwantyl rzędu gamma,
Moc tego testu:
β(σ) = PN(µ,σ)
{S2
σ2 >σ2
0
n σ2 χn−1(1− α)
}
R: test-sigma-plus.R
#
Rozkład N(µ, σ). Testowanie hipotezy H : σ=σ0,K : σ<σ0
(Np. nowy przyrząd pomiarowy)
Jeżeli X ∼ N(µ, σ0), to nS2/σ20 ma rozkład chi-kwadrat z (n − 1)
stopniami swobody:
PN(µ,σ0)
{S2 <
σ20
nχn−1(α)
}= α
Moc tego testu:
β(σ) = PN(µ,σ)
{S2
σ2 <σ2
0
n σ2χ(n − 1)(α)
}
R: test-sigma-minus.R
#
Rozkład N(µ, σ). Testowanie hipotezy H : σ=σ0,K : σ<σ0
(Np. nowy przyrząd pomiarowy)
Jeżeli X ∼ N(µ, σ0), to nS2/σ20 ma rozkład chi-kwadrat z (n − 1)
stopniami swobody:
PN(µ,σ0)
{S2 <
σ20
nχn−1(α)
}= α
Moc tego testu:
β(σ) = PN(µ,σ)
{S2
σ2 <σ2
0
n σ2χ(n − 1)(α)
}
R: test-sigma-minus.R
#
Rozkład N(µ, σ). Wnioskowanie o średniej µ, gdy σ nie jest znane
Rozkład t Studenta
(Rozkład Studenta, Rozkład t)
Jeżeli zmienna losowa ξ ma rozkład normalny N(0, 1), zmiennalosowa η ma rozkład chi-kwadrat o ν stopniach swobody i jeżeli tezmienne losowe są niezależne, to rozkład zmiennej losowej
t =ξ√η/ν
nazywa się rozkładem t Studenta o ν stopniach swobody
Rozkład N(µ, σ). Wnioskowanie o średniej µ, gdy σ nie jest znane
Rozkład t Studenta(Rozkład Studenta,
Rozkład t)
Jeżeli zmienna losowa ξ ma rozkład normalny N(0, 1), zmiennalosowa η ma rozkład chi-kwadrat o ν stopniach swobody i jeżeli tezmienne losowe są niezależne, to rozkład zmiennej losowej
t =ξ√η/ν
nazywa się rozkładem t Studenta o ν stopniach swobody
Rozkład N(µ, σ). Wnioskowanie o średniej µ, gdy σ nie jest znane
Rozkład t Studenta(Rozkład Studenta, Rozkład t)
Jeżeli zmienna losowa ξ ma rozkład normalny N(0, 1), zmiennalosowa η ma rozkład chi-kwadrat o ν stopniach swobody i jeżeli tezmienne losowe są niezależne, to rozkład zmiennej losowej
t =ξ√η/ν
nazywa się rozkładem t Studenta o ν stopniach swobody
Rozkład N(µ, σ). Wnioskowanie o średniej µ, gdy σ nie jest znaneRozkład t Studenta
Gęstość rozkładu t Studenta o ν stopniach swobody:
gν(x) =1√πν
Γ(ν+12 )
Γ(ν2 )
[1+x2
ν
]− ν+12
, −∞ < t < +∞
Eν(t) = 0, Varν(t) =ν
ν − 2
R: rozk-t.R
Rozkład t StudentaRozkład N(µ, σ). Wnioskowanie o średniej µ, gdy σ nie jest znane
Oznaczenia:
.........................................................
..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ...........................................................
............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.............................................................................
...
...
...
...
...
...
.
...
...
...
...
...
...
.
...
...
...
...
...
...
.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
...
...
...
...
...
..
...
...
...
...
...
.
...
...
...
...
...
.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
...
...
...
...
.
...
...
...
...
.
...
...
...
...
.
...
...
...
...
.
...
...
...
...
..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.
...
...
...
...
...
.
...
...
...
...
...
..
...
...
...
...
...
..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.
...
...
...
...
...
...
.
...
...
...
...
...
...
.
γ......................................................
q
1.....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
........
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
tν(q)tν( 1+γ
2 )
•
1
ROZKŁAD t STUDENTA
Pµ {tν ¬ tν(q)} = q
Pµ
|tν| ¬ tν(1 + γ
2
) = q
Rozkład N(µ, σ). Wnioskowanie o średniej µ, gdy σ nie jest znanePRZEDZIAŁY UFNOŚCI
Przypominam:
X ∼ N(µ, σ) =⇒ X−µσ/√n ∼ N(0, 1)
Pµ
{X − µσ/√n¬ zγ
}= γ, Pµ
{µ X − zγ
σ√n
}= γ
ξ ∼ N(0, 1), η ∼ χν , ξ i η niezależne⇒ t= ξ√η/ν∼ tν
X ∼ N(µ, σ)⇒ X−µσ/√n ∼ N(0, 1), nS
2
σ2 ∼ χn−1, X i S2 niezależne
=⇒X−µσ√n√
nS2
σ2 /(n−1)= X−µ
S
√(n − 1) ∼ tn−1
#
Rozkład N(µ, σ). Wnioskowanie o średniej µ, gdy σ nie jest znanePRZEDZIAŁY UFNOŚCI
Przypominam:
X ∼ N(µ, σ) =⇒ X−µσ/√n ∼ N(0, 1)
Pµ
{X − µσ/√n¬ zγ
}= γ, Pµ
{µ X − zγ
σ√n
}= γ
ξ ∼ N(0, 1), η ∼ χν , ξ i η niezależne⇒ t= ξ√η/ν∼ tν
X ∼ N(µ, σ)⇒ X−µσ/√n ∼ N(0, 1), nS
2
σ2 ∼ χn−1, X i S2 niezależne
=⇒X−µσ√n√
nS2
σ2 /(n−1)= X−µ
S
√(n − 1) ∼ tn−1
#
Rozkład N(µ, σ). Wnioskowanie o średniej µ, gdy σ nie jest znanePRZEDZIAŁY UFNOŚCI
Przypominam:
X ∼ N(µ, σ) =⇒ X−µσ/√n ∼ N(0, 1)
Pµ
{X − µσ/√n¬ zγ
}= γ, Pµ
{µ X − zγ
σ√n
}= γ
ξ ∼ N(0, 1), η ∼ χν , ξ i η niezależne⇒ t= ξ√η/ν∼ tν
X ∼ N(µ, σ)⇒ X−µσ/√n ∼ N(0, 1), nS
2
σ2 ∼ χn−1, X i S2 niezależne
=⇒X−µσ√n√
nS2
σ2 /(n−1)= X−µ
S
√(n − 1) ∼ tn−1
#
Rozkład N(µ, σ). Wnioskowanie o średniej µ, gdy σ nie jest znanePRZEDZIAŁY UFNOŚCI. Przedział jednostronny
PN(µ,σ)
{X − µS
√(n − 1) ¬ tn−1(γ)
}= γ
PN(µ,σ)
µ X − tn−1(γ)S√
(n − 1)
= γ
Rozkład N(µ, σ). Wnioskowanie o średniej µ, gdy σ nie jest znanePRZEDZIAŁY UFNOŚCI. Przedział jednostronny
PN(µ,σ)
{X − µS
√(n − 1) ¬ tn−1(γ)
}= γ
PN(µ,σ)
µ X − tn−1(γ)S√
(n − 1)
= γ
Rozkład N(µ, σ). Wnioskowanie o średniej µ, gdy σ nie jest znanePRZEDZIAŁY UFNOŚCI. Przedział dwustronny
PN(µ,σ)
{∣∣∣ X − µS
√(n − 1)
∣∣∣ ¬ tn−1
(1+ γ
2
)}= γ
X−tn−1
(1+γ2
) S√(n−1)
, X+tn−1
(1+γ2
) S√(n−1)
Rozkład N(µ, σ). Wnioskowanie o średniej µ, gdy σ nie jest znanePRZEDZIAŁY UFNOŚCI. Przedział dwustronny
PN(µ,σ)
{∣∣∣ X − µS
√(n − 1)
∣∣∣ ¬ tn−1
(1+ γ
2
)}= γ
X−tn−1
(1+γ2
) S√(n−1)
, X+tn−1
(1+γ2
) S√(n−1)
OZNACZENIA
S =?
tν(γ) =?
#
S =? tν(γ) =?[WK s. 186-] Przykład 10.1. Dokonano n = 10 pomiarówwytrzymałości (w 105N/m2) pewnego materiału budowlanego iobliczono średnią x = 20.2 oraz wariancję s2 = 0.96. Przyjmijmy,że zaobserwowane wyniki pomiarów możemy traktować jako próbęprostą z rozkładu normalnego o nieznanej wartości średniej µ oraznieznanej wariancji σ2. Podać 90-procentowy przedział ufności dlaśredniej µ.
S. 181: S2 = 1n−1
n∑i=1
(Xi − X )2. S. 184: tn−1;α/2 - kwantyl rzędu
1− α/2 dla rozkładu Studenta z ν = n − 1 stopniami swobody.Przedział ufności
[X − tn−1;α/2S√n, X + tn−1;α/2
S√n
]
S =? tν(γ) =?[BŁ s. 64] Przykład 2.21. Na podstawie danych z przykładu 2.19wyznaczymy przedział ufności dla wartości oczekiwanej siłyuplastyczniającej, przyjmując poziom ufności 0.95. Ocenapunktowa x parametru µ wyznaczona na podstawie próby byłarówna 37799N, a odchylenie standardowe z próby s = 453.71N.
Przedział ufności:
(Xn + tα
2
S√n − 1 , Xn + t1−α2
S√n − 1
)
Rozkład N(µ, σ). Wnioskowanie o średniej µ, gdy σ nie jest znaneDŁUGOŚĆ PRZEDZIAŁU UFNOŚCI
Długość przedziału ufności Studenta:
(X−tn−1
(1+γ2
) S√(n−1) , X+tn−1
(1+γ2
) S√(n−1)
)
2 ∗ tn−1
(1+γ2
) S√(n−1)
R: Pufn-Stud-Sym.R
Rozkład N(µ, σ). Wnioskowanie o średniej µ, gdy σ nie jest znanePRZEDZIAŁU UFNOŚCI O ZADANEJ DŁUGOŚCI 2d
DWUETAPOWA PROCEDURA STEINA:Na podstawie obserwacji X1,X2, . . . ,, dla dowolnie wybranej liczbyn1 2 obliczam
S2n1
=1n1
n1∑i=1
(Xi − Xn1)2
Na podstawie założonego poziomu ufności γ oraz dowolniedobranej liczby d > 0 obliczam
n2 =n1
n1 − 1
(tn−1
(1+γ2
)Sn1
d
)2
Wyznaczam n = max{n1, n2} i obliczam Xn. Wtedy
(Xn − d , Xn + d)
jest przedziałem ufności dla µ na poziomie ufności γ
Rozkład N(µ, σ). Wnioskowanie o średniej µ, gdy σ nie jest znanePRZEDZIAŁU UFNOŚCI O ZADANEJ DŁUGOŚCI 2d
DWUETAPOWA PROCEDURA STEINA:Na podstawie obserwacji X1,X2, . . . ,, dla dowolnie wybranej liczbyn1 2 obliczam
S2n1
=1n1
n1∑i=1
(Xi − Xn1)2
Na podstawie założonego poziomu ufności γ oraz dowolniedobranej liczby d > 0 obliczam
n2 =n1
n1 − 1
(tn−1
(1+γ2
)Sn1
d
)2
Wyznaczam n = max{n1, n2} i obliczam Xn. Wtedy
(Xn − d , Xn + d)
jest przedziałem ufności dla µ na poziomie ufności γ
Rozkład N(µ, σ). Wnioskowanie o średniej µ, gdy σ nie jest znanePRZEDZIAŁU UFNOŚCI O ZADANEJ DŁUGOŚCI 2d
DWUETAPOWA PROCEDURA STEINA:Na podstawie obserwacji X1,X2, . . . ,, dla dowolnie wybranej liczbyn1 2 obliczam
S2n1
=1n1
n1∑i=1
(Xi − Xn1)2
Na podstawie założonego poziomu ufności γ oraz dowolniedobranej liczby d > 0 obliczam
n2 =n1
n1 − 1
(tn−1
(1+γ2
)Sn1
d
)2
Wyznaczam n = max{n1, n2} i obliczam Xn.
Wtedy
(Xn − d , Xn + d)
jest przedziałem ufności dla µ na poziomie ufności γ
Rozkład N(µ, σ). Wnioskowanie o średniej µ, gdy σ nie jest znanePRZEDZIAŁU UFNOŚCI O ZADANEJ DŁUGOŚCI 2d
DWUETAPOWA PROCEDURA STEINA:Na podstawie obserwacji X1,X2, . . . ,, dla dowolnie wybranej liczbyn1 2 obliczam
S2n1
=1n1
n1∑i=1
(Xi − Xn1)2
Na podstawie założonego poziomu ufności γ oraz dowolniedobranej liczby d > 0 obliczam
n2 =n1
n1 − 1
(tn−1
(1+γ2
)Sn1
d
)2
Wyznaczam n = max{n1, n2} i obliczam Xn. Wtedy
(Xn − d , Xn + d)
jest przedziałem ufności dla µ na poziomie ufności γ
Rozkład N(µ, σ). Wnioskowanie o średniej µ, gdy σ nie jest znanePRZEDZIAŁU UFNOŚCI O ZADANEJ DŁUGOŚCI 2d
Dwuetapowa procedura Steina. Uzasadnienie (szkic):
√n1S2n1
σ2 ∼ χ2n1−1,
Xn2 − µσ
√n2 ∼ N(0, 1)
(Xn2 − µ)√
(n1 − 1)n2
Sn1
√n1
∼ tn1−1
Granice przedziału ufności na poziomie ufności γ:
Xn2 ±√
n1
(n1 − 1)n2tn−1
(1+γ2
)Sn1
(./.)
Rozkład N(µ, σ). Wnioskowanie o średniej µ, gdy σ nie jest znanePRZEDZIAŁU UFNOŚCI O ZADANEJ DŁUGOŚCI 2d
Dwuetapowa procedura Steina. Uzasadnienie (szkic):
√n1S2n1
σ2 ∼ χ2n1−1,
Xn2 − µσ
√n2 ∼ N(0, 1)
(Xn2 − µ)√
(n1 − 1)n2
Sn1
√n1
∼ tn1−1
Granice przedziału ufności na poziomie ufności γ:
Xn2 ±√
n1
(n1 − 1)n2tn−1
(1+γ2
)Sn1
(./.)
Rozkład N(µ, σ). Wnioskowanie o średniej µ, gdy σ nie jest znanePRZEDZIAŁU UFNOŚCI O ZADANEJ DŁUGOŚCI 2d
Dwuetapowa procedura Steina. Uzasadnienie (szkic) c.d:
Postulat √n1
(n1 − 1)n2tn−1
(1+γ2
)Sn1 ¬ d
Warunek dla n2:
n2 n1
n1 − 1
(tn−1
(1+γ2
) Sn1
d
)2
(∗)
Problem: sumaryczna wielkość próby w dwuetapowej procedurzeSteina (∗)
Tu koniec wykładu 4 (26.X.2009) #
Rozkład N(µ, σ). Wnioskowanie o średniej µ, gdy σ nie jest znanePRZEDZIAŁU UFNOŚCI O ZADANEJ DŁUGOŚCI 2d
Dwuetapowa procedura Steina. Uzasadnienie (szkic) c.d:
Postulat √n1
(n1 − 1)n2tn−1
(1+γ2
)Sn1 ¬ d
Warunek dla n2:
n2 n1
n1 − 1
(tn−1
(1+γ2
) Sn1
d
)2
(∗)
Problem: sumaryczna wielkość próby w dwuetapowej procedurzeSteina (∗)
Tu koniec wykładu 4 (26.X.2009) #
Rozkład N(µ, σ). Wnioskowanie o średniej µ, gdy σ nie jest znanePRZEDZIAŁU UFNOŚCI O ZADANEJ DŁUGOŚCI 2d
Dwuetapowa procedura Steina. Uzasadnienie (szkic) c.d:
Postulat √n1
(n1 − 1)n2tn−1
(1+γ2
)Sn1 ¬ d
Warunek dla n2:
n2 n1
n1 − 1
(tn−1
(1+γ2
) Sn1
d
)2
(∗)
Problem: sumaryczna wielkość próby w dwuetapowej procedurzeSteina (∗)
Tu koniec wykładu 4 (26.X.2009) #
![Statystyka Matematyczna Anna Janickacoin.wne.uw.edu.pl/azylicz/sm/sm05_2016.pdf · 2016. 3. 20. · Microsoft PowerPoint - sm05_2016.ppt [tryb zgodności] Author: Anusia Created Date:](https://img.dokumen.tips/doc/110x75/60b19bd03be16611fb13f87c/statystyka-matematyczna-anna-2016-3-20-microsoft-powerpoint-sm052016ppt.jpg)
