S 08 MECHANIKA I. Statika

2015

S 08 Segédlet

8. GYAKORLAT

SÍKIDOMOK MÁSODRENDŰ NYOMATÉKA

Tartalom 1. ELMÉLET ........................................................................................................................................... 1

2. FELADATOK ...................................................................................................................................... 5

2.1. Szimmetrikus mátrix sajátérték feladatának megoldása ................................................................. 5

2.2. Összetett síkidom másodrendű nyomatéki tenzorának felírása ...................................................... 5

2.3. Fő-másodrendű nyomatékok és főirányok meghatározása ............................................................. 7

2.4. Másodrendű nyomaték tenzora (mátrixa) elforgatott koordinátarendszerben .............................. 10

2.5. „Z” alakú síkidom fő másodrendű nyomatékai és főirányai ........................................................ 12

3. GYAKORLÓ FELADATOK ........................................................................................................... 15

4. VIZSGABELÉPŐK .......................................................................................................................... 18

5. VIZSGAFELADATOK .................................................................................................................... 19

1. ELMÉLET

Ebben a segédletben a síkidom súlypontján átmenő koordinátatengelyeket (kszi) és (éta) betűkkel

jelöljük, a nem súlyponti koordinátatengelyeket pedig x és y betűkkel.

1. táblázat Alapvető síkidomok másodrendű nyomatékai

Téglalap

12

3abI

12

3baI 0I

A súlyponti és tengelyekre vonatkoztatva

Félkör

1288

44 DRII yx 0xyI

A másodrendű nyomatéknak a félkörre vonatkozó fenti

összefüggései nem a súlyponti tengelyekre, hanem a átmérőre ( x )

és az ( y ) függőleges tengelyre.

Teljes körlap

4

4RIS

Háromszög

12

3abI x

12

3baI y

A háromszög alapján átmenő x és y tengelyre vonatkoztatva.

(Súlypont koordinátái: 3

axS ;

3

byS )

2

Steiner-tétel (párhuzamos tengelyek tétele)

2tAII x (1-1)

ahol

síkidom súlyponti tengelye

I síkidom súlyponti tengelyére vonatkoztatott

másodrendű nyomatéka,

x -vel párhuzamos tengely,

A síkidom területe

t és x tengelyek távolsága (tengelyeltolás)

Egy síkidom x tengelyre vonatkoztatott (ekvatoriális) másodrendű nyomatéka egyenlő a súlyponti

tengelyre vonatkoztatott másodrendű nyomaték, plusz a síkidom területe szorozva a két tengely

távolságának négyzetével.

Steiner-tétel centrifugális másodrendű nyomatékokra

SSxy xyAII (1-2)

ahol

Steiner-tétel mátrixos alakja

Mátrixok sajátérték-feladata

3

4

Az 1x , 2x sajátvektorok tulajdonságai

Fő-másodrendű nyomatékokat számító képletek

5

2. FELADATOK

2.1. Szimmetrikus mátrix sajátérték feladatának megoldása

2.2. Összetett síkidom másodrendű nyomatéki tenzorának felírása

Határozzuk meg a vázolt síkidom másodrendű nyomatékát! Írjuk fel a berajzolt koordinátarendszerhez

tartozó másodrendű nyomatéki tenzort!

6

Itt Six , Siy rendre az i -edik síkidom súlypontjának x és y koordinátája.

Az x tengelyre számított másodrendű nyomaték:

4

2244

23

23

22

42

412

1

3

1214

32

3

8

3

8

63126

12

612

288)(

12

cm

yRRR

ybaba

I

kisfélkörnagyfélkörtéglalap

kisfélkör

Steiner

S

súlyponttengelyrex

nagyfélkör

téglalap

Steiner

S

súlypont

x

Az y tengelyre számított másodrendű nyomaték:

4

4242

3422

2

21

412

1

3

5969

8

3

2

6

8

66)126(

12

612

828)(

12

cm

Rx

RRxba

baI

kisfélkörnagyfélkörtéglalap

kisfélkör

súlypont

tengelyrexnagyfélkör

Steiner

S

téglalap

Steiner

S

súlypont

y

7

A centrifugális másodrendű nyomatékok számítása:

2.3. Fő-másodrendű nyomatékok és főirányok meghatározása

8

9

Sajátvektorok meghatározása:

Második főirány meghatározása:

10

2.4. Másodrendű nyomaték tenzora (mátrixa) elforgatott koordinátarendszerben

11

12

Ellenőrzési lehetőség:

2.5. „Z” alakú síkidom fő másodrendű nyomatékai és főirányai

13

14 3. Sajátérték, sajátvektor számítása

Sajátvektorok meghatározása

15

3. GYAKORLÓ FELADATOK

16

17

18

4. VIZSGABELÉPŐK

19

5. VIZSGAFELADATOK

Irodalomjegyzék

[1] Csizmadia Béla - Nándori Ernő: Mechanika mérnököknek. Statika. Nemzeti tankönyvkiadó. Budapest, 1999.

[2] Galambosi Frigyes: Mechanika I. gyakorlatokon egységesen tárgyalandó példák. 2014. BME KJK.

Járműelemek és Járműszerkezetanalízis Tanszék.

[3] Galambosi Frigyes: Mechanika I. Statika. Bsc hallgatók számára. 2011. PDF.

-.-