1. gyakorlat

INCK401Előadó: Dr. Mihálydeák Tamás Sándor Gyakorlatvezető: Kovács Zita2014/2015. I. félév

AZ INFORMATIKA LOGIKAI ALAPJAI

Tartalom

Teszt 1. Alapfogalmak (ismétlés) az alábbi

témakörökből: Halmazok Relációk Függvények

Teszt 1. - Halmazok

1. Írd le matematikai jelekkel a következő halmazt!

Legyen A a 6-nál nagyobb és a 14-nél nem nagyobb természetes számok halmaza!

2. Igaz vagy hamis?

Teszt 1. - Halmazok

3. Legyen A={1;2;3} és B={2;4;6}.AUB=? A∩B=? A\B=?

4. Mennyi a számossága az alábbi halmaznak?C = {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19}

5. Legyen H= {k; e; n; y; é; r} és A = {k; é; r}.Mi az A halmaznak a H halmazra vonatkozó

komplementere?

6. Legyen A = {3; 5} és B={1;2}.AxB=?

Teszt 1. - Függvények

7. Add meg azt a függvényt, amely a számokhoz hozzárendeli a reciprokuk kétszeresét!

1. Halmazok

halmaz jelölése: nagybetűkkel, pl.: A, B, C, … halmaz eleme jelölése: kisbetűkkel, pl.: a, b, c,

… eleme, hozzátartozik:

az eleme reláció jele: ∈; ha a egy objektum, H pedig egy halmaz, akkor a∈H azt

fejezi ki, hogy az a objektum eleme a H halmaznak számosság: elemeinek darabszáma; jele: |A| üreshalmaz: egyetlen eleme sincs, jele: ∅

vagy {} megj.: |∅|=0; ∅ ≠ {0}

1. Halmazok

Megadási módok Felsorolással Matematikai kifejezéssel Szöveggel

Adott: ha egyértelműen eldönthető minden elemről, hogy a halmazhoz tartozik-e vagy sem.

Szemléltetése pl. Venn-diagrammal

1. Halmazok

Részhalmaz: A részhalmaza B-nek, ha A minden eleme B-nek is eleme.

Jele: A ⊆ B Példa:

B = {1;2;5;7;9} A = {1;7} C = {2;5;9}

Részhalmazok felsorolása az A halmaz összes részhalmazának darabszáma:

2|A|

Megj: ∅ ⊆ B, B ⊆ B (nem valódi részhalmazok)

Feladat

1. feladat:Sorold fel a következő halmazok összes

részhalmazait! Mennyi van belőlük az egyes esetekben? Mik a nem valódi részhalmazok?a) A = {1; 2; 3}b) B = {x; y; z}

Műveletek halmazokkal

1. Egyesítés (unió)2. Közös rész (metszet)3. Különbség4. Szimmetrikus különbség5. Részhalmaz kiegészítő (komplementer)

halmaza6. Két halmaz Descartes-féle (direkt)

szorzata

1. Egyesítés (unió)

Az A és B halmazok uniója azoknak az elemeknek a halmaza, amelyek A és B közül legalább az egyikhez hozzátartoznak.

Jele: A ∪ B A ∪ B = { x | x ∈ A vagy x ∈ B}A B

Unió

Példa:

A = {1; 3; 5}B = {2; 4; 6}A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5; 6}

2. feladat:A = {1; 2; 3; 4}B = {3; 4; 5; 6}

A ∪ B = ?

3. feladat:A = {1; 2; 9}A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 9}

B = ?

2. Közös rész (metszet)

Az A és B halmazok metszete azoknak az elemeknek a halmaza, amelyek A-hoz is és B-hez is hozzátartoznak.

Jele: A ∩ B A ∩ B = { x | x ∈ A és x ∈ B} Ha A ∩ B = ∅, akkor az A és a B

halmazt diszjunkt halmaznak nevezzük.

Metszet

Példa:

A = {a; b; c; d; e}B = {b; e; f; g}A ∩ B = {b; e}

4. feladat:A = {a; b; k; s; t}B = {b; k; l; m; n; t}

A ∩ B = ?

5. feladat:A = {c; e; d; s; m}A ∩ B = {e; d; s}

B = ?

6. feladat:A ∩ B = {k; o}A = {a; b; d; k; o; t}A ∪ B = {a; b; d; e; t; f; h; k; o; s}B = ?

3. Különbség

Az A és B halmazok különbséghalmazán azoknak az elemeknek a halmazát értjük, amelyek A-hoz hozzátartoznak, de B-hez nem.

Jele: A \ BA \ B = { x | x ∈ A és x ∉

B}B \ A = { x | x ∈ B és x ∉

A}A B A B

Különbség

Példa:

A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}B = {2; 4; 6; 8; 10}A \ B = {1; 3; 5}B \ A = {8; 10}

7. feladat:A = {2; 4; 8; 16; 32}B = {1; 2; 8; 16; 64}

A \ B = ?B \ A = ?

8. feladat:A \ B = {1; 3; 8}B \ A = {4; 7; 9; 10}A U B = {1; 2; 3 ; 4; 6; 7; 8; 9;

10}

A ∩ B = ?

4. Szimmetrikus különbség

Az A és a B halmazok szimmetrikus különbségén az halmazt értjük.

Jele:

Szimmetrikus különbség

A = {1;2;3;4;5} B = {2;4;6;8} A∆B=(A\B) U (B\A)={1;3;5} U

{6;8}={1;3;5;6;8}

5. Kiegészítő (komplementer) halmaz

Legyen . H azon elemeinek halmazát, amelyek nem elemei A-nak, az A halmaz H halmazra vonatkozó kiegészítő halmazának nevezzük.

Jele:

A

H

Komplementer

 

9. feladat:H = {10;11; 12; 13; 14;15}A = {10; 12; 13}

CHA = ?

10. feladat:A = {1; 7; 8; 9}CHA = {2; 3; 5}

H = ?

6. Két halmaz Descartes (direkt) - szorzata

Azoknak a rendezett pároknak a halmazát, amelyeknek az első komponense az A-nak, a második komponense a B-nek eleme, az A és a B halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük.

Jele: A x B A x B = { (x;y) | x ∈ A és y ∈ B } Ha |A|=n és |B|=m, akkor |A x B|=n*m

Descartes-szorzat

Példa: A = {1; 2} B = {1; 3} A x B = {(1;1); (1;3); (2;1); (2;3)}

11. feladat:A = {1; 4}B = {2; 3; 4}

A x B = ?

12. feladat:A = {1; 4; 7}B = {2; 3; 4}a. Melyek elemei AxB-nek?

(1;3) (7;2) (3;4) (4;4)(3;7) (4;1) (4;7) (2;7)(2;1) (7;4) (2;3) (1;4)

b. Add meg a hiányzó elemeket!

c. B x A = ?

6+1. n db halmaz Descartes (direkt) - szorzata

Azoknak a rendezett elem-n-eseknek a halmazát, amelyeknek az első komponense az A1-nek, a második komponense a A2-nek, …, és az n-dik komponense az An-nek eleme, az A1, A2, …An halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük.

Jele: A1 x A2 x … x An

A1 x A2 x … x An = { (a1,a2,…,an) | a1 ∈ A1, a2 ∈ A2, …, an ∈ An }

Halmazműveletek főbb azonosságai

Két halmaz egyenlő, ha ugyanazok az elemeik. Kommutatív Asszociatív Disztributív Idempotens De-Morgan Stb…

Segédletek logikából

Halmazokhoz: http://www.math.klte.hu/~kovacsa/Halmaz.pdf

Dr. Mihálydeák Tamás: http://www.inf.unideb.hu/~mihalydeak/

Logika_html_2011_11_15.zip http://www.inf.unideb.hu/~mihalydeak/Logika_my_twt-treeview.

html http://www.inf.unideb.hu/~mihalydeak/Inf_log_ea_06_07_1.pdf

Dr. Várterész Magda: http://www.inf.unideb.hu/~varteres/logika/Logikafo.pdf http://www.inf.unideb.hu/~varteres/logika_peldatar/matlog.pdf http://www.inf.unideb.hu/~varteres/logika_peldatar/megoldas.pdf

Lengyel Zoltán: http://www.inf.unideb.hu/~lengyelz/docs/logika.pdf