Operációkutatás Gyakorlat

7/27/2019 Opercikutats Gyakorlat

1/120

Opercikutats2. gyakorlat

Rtallr Orsi

[email protected] 1


2/120

Lineris programozs elmlet

2


3/120


Bzismegolds

Megoldst ad Ax = bre

Bzisvltozk: m dbNembzis vltozk: (n-m) db rtkk 0

Lehetsges bzismegolds

Megoldst ad Ax = bre s x 0 Lehetsges megoldsok halmaza:

L = { x | Ax = b; x 0 }3


4/120

Optimlis megolds

Olyan lehetsges megolds, amelynl nincs nagyobb

(kisebb) clfggvnyrtk lehetsges megolds

Optimlis megolds(ok) halmaza:

L0 = { x0 | cx0 cx; x, x0 L }


4


5/120


Standard (norml) feladat

Minden felttel

Minden vltoz nemnegatv

A jobboldal pozitv

A clfggvny maximumt keressk

max z = cxAx bx 0

5


6/120


max z = 3x1 + 2x2

2x1 + 1x2 1001x1 + 1x2 80

1x1 + 0x2 40

x1

0

x2 0

max z = cxAx bx 0

6


7/120


Kanonikus alak

Minden felttel =



max z = cxAx = b

x 0

Minden LP felrhat kanonikus alakban. 7


8/120


Kiegszt vltoz (hiny vltoz) - felttel

uii. erforrs fel nem hasznlt mennyisge

ui 0

Kiegyenlt vltoz (tbblet vltoz) - felttel

vi i. felttel tlteljestse

vi 0

8


9/120

LP feladatok megoldsa

szimplex mdszerrel

9


10/120

Feladat (Winston 4.3)

A Dakota Btorkszt Cg rasztalokat, asztalokat

s szkeket gyrt. Mindegyik btortpus

gyrtshoz faanyag s ktfle szakmunkaszksges: durva asztalosmunka s felletkezels.

Az egyes btortpusok ellltshoz a klnbz

erforrsokbl szksges mennyisget a kvetkez

tblzat adja meg:

10


11/120

Erforrs rasztal Asztal SzkFaanyag

(egysg)8 6 1

Felletkezels

(ra) 4 2 1,5

Asztalos-munka

(ra)2 1,5 0,5


11


12/120

Jelenleg 48 egysg faanyag, 20 rnyi

felletkezels s 8 rnyi asztalosmunka kapacits

ll rendelkezsre. Egy rasztal 60, egy asztal 30,egy szk pedig 20$-rt adhat el. A Dakota cg azt

gondolja, hogy rasztalokra s szkekre korltlan

kereslet van, de legfeljebb 5 asztal adhat el. Mivelaz erforrsokat mr megvsroltk, a Dakota cg

az sszjvedelmet kvnja maximalizlni.


12


13/120

A feladat felrsa

8x1 + 6x2 + 1x3 48

4x1 + 2x2 + 1,5x3 202x1 + 1,5x2 + 0,5x3 8

x2 5

x1, x2, x3 0

max z = 60x1 + 30x2 + 20x3

13


14/120

A szimplex algoritmus

LP feladat kanonikus alakra hozsa

lltsunk el egy LBM-t!

Optimalits vizsglata

Ha optimlis: kszen vagyunk

Ha nem optimlis, akkor a kvetkez lpsre megynk

Elemi bzistranszformci hasznlata, majd az

elz lps megismtlse.

14


15/120








elz lps megismtlse.

15


16/120


Kanonikus alak

Minden felttel =



max z = cxAx = b

x 0

Minden LP felrhat kanonikus alakban. 16


17/120


Kiegszt vltoz (hiny vltoz) - felttel

uii. erforrs fel nem hasznlt mennyisge

ui 0

Kiegyenlt vltoz (tbblet vltoz) - felttel

vi i. felttel tlteljestse

vi 0

17


18/120

A feladat felrsa

8x1 + 6x2 + 1x3 48

4x1 + 2x2 + 1,5x3 202x1 + 1,5x2 + 0,5x3 8

x2 5

x1, x2, x3 0

max z = 60x1 + 30x2 + 20x3

18


19/120

A feladat felrsa kanonikus alakban

8x1 + 6x2 + 1x3 + u1 = 48

4x1 + 2x2 + 1,5x3 + u2 = 202x1 + 1,5x2 + 0,5x3 + u3 = 8

x2 + u4 = 5

x1, x2, x3 0

max z = 60x1 + 30x2 + 20x3

19


20/120








elz lps megismtlse.

20


21/120

A feladat felrsa kanonikus alakban

8x1 + 6x2 + 1x3 + u1 = 48

4x1 + 2x2 + 1,5x3 + u2 = 202x1 + 1,5x2 + 0,5x3 + u3 = 8

x2 + u4 = 5

x1, x2, x3 0

z 60x1 30x2 20x3 = 0

21


22/120


x1 x2 x3 u1 u2 u3 u4

z -60 -30 -20 0 0 0 0 0

8 6 1 1 0 0 0 48

4 2 1,5 0 1 0 0 20

2 1,5 0,5 0 0 1 0 8

0 1 0 0 0 0 1 5

22


23/120


x1 x2 x3

z -60 -30 -20 0

u1 8 6 1 48

u2 4 2 1,5 20

u3

2 1,5 0,5 8

u4 0 1 0 5

BV: u1, u2, u3, u4 NBV: x1, x2, x3

x1 = 0x2 = 0x3 = 0z = 0

23


24/120


x1 x2 x3

z -60 -30 -20 0

u1 8 6 1 48

u2 4 2 1,5 20

u3

2 1,5 0,5 8

u4 0 1 0 5

8x1 + 6x2 + 1x3 484x1 + 2x2 + 1,5x3 20

2x1 + 1,5x2 + 0,5x3 8

x2 5x1, x2, x3 0

max z = 60x1 + 30x2 + 20x3

BV: u1, u2, u3, u4 NBV: x1, x2, x3 24


25/120








elz lps megismtlse.

25


26/120


x1t 1-gyel nvelve a clfggvny 60-nal n!

x1 x2 x3

z -60 -30 -20 0

u1 8 6 1 48

u2 4 2 1,5 20

u3

2 1,5 0,5 8

u4 0 1 0 5

26


27/120








elz lps megismtlse.

27


28/120

A generl elem vlaszts szablyai

A clfggvny nvekedst gy lehet elrni,

ha negatv clfggvnybeli elem felett

vlasztunk generl elemet.

A generl elem nem lehet negatv klnben a jobb oldal negatvv vlna.

A szk keresztmetszet szerint kell generlelemet vlasztani.

28


29/120

A generl elem meghatrozsa

Azt a nembzis vltozt vlasztjuk, melynek

egytthatja a clfggvny sorban lev

nempozitv szmok kzl a legnagyobbabszoltrtk.

Hnyadosteszttel eldntjk, hogy az oszlopblmelyik elemet vlasszuk. (Mindig a legkisebb

pozitv rtkt)

29


30/120






pozitv rtkt)

30


31/120

Generl elem meghatrozsa

x1 x2 x3

z -60 -30 -20 0

u1 8 6 1 48

u2 4 2 1,5 20

u3

2 1,5 0,5 8

u4 0 1 0 5

31


32/120






pozitv rtkt)

32


33/120

48/8 = 6

20/4 = 5

8/2 = 4


x1 x2 x3

z -60 -30 -20 0

u1 8 6 1 48

u2 4 2 1,5 20

u3

2 1,5 0,5 8

u4 0 1 0 5

33


34/120

Elemi bzistranszformci

Generl elem helyre a reciproka kerl.

A generlelem oszlopban minden elemet

vgigosztunk a generlelem -1-szeresvel.

A generl elem sort vgigosztjuk a generl

elemmel.

Minden ms elem s a generl elem meghatroz

egy tglalapot. A msik kt sarkot sszeszorozzuk,

majd a generl elemmel elosztjuk, vgl kivonjuk

az eredeti elembl.34


35/120


u3 x2 x3

z

u1

u2

x1

u4

x1 x2 x3

z -60 -30 -20 0

u1 8 6 1 48

u2 4 2 1,5 20

u3 2 1,5 0,5 8

u4 0 1 0 5

35


36/120






elemmel.






37/120


u3 x2 x3

z

u1

u2

x1 0,5

u4

x1 x2 x3

z -60 -30 -20 0

u1 8 6 1 48

u2 4 2 1,5 20

u3 2 1,5 0,5 8

u4 0 1 0 5

37


38/120






elemmel.






39/120


u3 x2 x3

z 30

u1 -4

u2 -2

x1 0,5

u4 0

x1 x2 x3

z -60 -30 -20 0

u1 8 6 1 48

u2 4 2 1,5 20

u3 2 1,5 0,5 8

u4 0 1 0 5

39


40/120






elemmel.






41/120


u3 x2 x3

z 30

u1 -4

u2 -2

x1 0,5 0,75 0,25 4

u4 0

x1 x2 x3

z -60 -30 -20 0

u1 8 6 1 48

u2 4 2 1,5 20

u3 2 1,5 0,5 8

u4 0 1 0 5

41


42/120






elemmel.






43/120


u3 x2 x3

z 30 15 -5 240

u1 -4 0 -1 16

u2 -2 -1 0,5 4

x1 0,5 0,75 0,25 4

u4 0 1 0 5

x1 x2 x3

z -60 -30 -20 0

u1 8 6 1 48

u2 4 2 1,5 20

u3 2 1,5 0,5 8

u4 0 1 0 5

43


44/120


u3 x2 x3

z 30 15 -5 240

u1 -4 0 -1 16

u2 -2 -1 0,5 4

x1

0,5 0,75 0,25 4

u4 0 1 0 5

44


45/120


u3 x2 x3

z 30 15 -5 240

u1 -4 0 -1 16

u2 -2 -1 0,5 4

x1

0,5 0,75 0,25 4

u4 0 1 0 5

BV: x1, u1, u2, u4 NBV: x2, x3, u3

x1 = 4x2 = 0x3 = 0z = 240

45


46/120








elz lps megismtlse.

46


47/120


u3 x2 x3

z 30 15 -5 240

u1 -4 0 -1 16

u2 -2 -1 0,5 4

x1

0,5 0,75 0,25 4

u4 0 1 0 5

x3t 1-gyel nvelve a clfggvny 5-tel n! 47


48/120








elz lps megismtlse.

48


49/120


16/-1 = -16

4/0,5 = 8

4/0,25 = 16

u3 x2 x3

z 30 15 -5 240

u1 -4 0 -1 16

u2 -2 -1 0,5 4

x1

0,5 0,75 0,25 4

u4 0 1 0 5

49


50/120


u3 x2 x3

z 30 15 -5 240

u1 -4 0 -1 16

u2 -2 -1 0,5 4

x1 0,5 0,75 0,25 4

u4 0 1 0 5

u3 x2 u2

z

u1

x3

x1

u4

50


51/120


u3 x2 x3

z 30 15 -5 240

u1 -4 0 -1 16

u2 -2 -1 0,5 4

x1 0,5 0,75 0,25 4

u4 0 1 0 5

u3 x2 u2

z

u1

x3 2

x1

u4

51


52/120


u3 x2 x3

z 30 15 -5 240

u1 -4 0 -1 16

u2 -2 -1 0,5 4

x1 0,5 0,75 0,25 4

u4 0 1 0 5

u3 x2 u2

z 10

u1 2

x3 2

x1 -0,5

u4 0

52


53/120


u3 x2 x3

z 30 15 -5 240

u1 -4 0 -1 16

u2 -2 -1 0,5 4

x1 0,5 0,75 0,25 4

u4 0 1 0 5

u3 x2 u2

z 10

u1 2

x3 -4 -2 2 8

x1 -0,5

u4 0

53


54/120


u3 x2 x3

z 30 15 -5 240

u1 -4 0 -1 16

u2 -2 -1 0,5 4

x1 0,5 0,75 0,25 4

u4 0 1 0 5

u3 x2 u2

z 10 5 10 280

u1 -8 -2 2 24

x3 -4 -2 2 8

x1 1,5 1,25 -0,5 2

u4 0 1 0 5

54


55/120


u3 x2 u2

z 10 5 10 280

u1 -8 -2 2 24

x3 -4 -2 2 8

x1 1,5 1,25 -0,5 2

u4 0 1 0 5

55


56/120


u3 x2 u2

z 10 5 10 280

u1

-8 -2 2 24

x3 -4 -2 2 8

x1 1,5 1,25 -0,5 2

u4 0 1 0 5

x1 = 2x2 = 0x3 = 8z = 280

BV: x1, x3, u1, u4 NBV: x2, u2, u3 56


57/120








elz lps megismtlse.

57


58/120


u3 x2 u2

z 10 5 10 280

u1 -8 -2 2 24

x3 -4 -2 2 8

x1

1,5 1,25 -0,5 2

u4 0 1 0 5

x1 = 2x2 = 0x3 = 8z = 280

Nincsen negatv elem a clfggvny sorban:

Optimumban vagyunk. 58


59/120

Megolds

u1 = 24

u2 = 0

u3 = 0

u4 = 5

x1 = 2

x2 = 0

x3 = 8

z = 602 + 300 + 208 = 280

z = 60x1 + 30x2 + 20x3

59


60/120

Lehetsges LP megoldsok

Az LP-nek egyrtelm megoldsa van

Az LP-nek alternatv optimuma van:

vgtelen sok megoldsa van

Az LP nem megoldhat:

a lehetsges megoldsok halmaza res

Az LP nem korltos

60


61/120







Az LP nem korltos

61


62/120







Az LP nem korltos

62


63/120

63

Alternatv optimum

max z = 4x1 + x2

8x1 + 2x2 165x1 + 2x2 12

x1 0

x2 0


64/120

Lehetsges alternatv optimumok

Szakasz

Flegyenes

Egyenes

Skidomok

Stb.

64


65/120

Alternatv optimum

5x1 + 7x2 35

-x1 + 2x2 2

x1, x2 0

max z = -3x1 + 6x2

65

Alternatv optimum


66/120

Alternatv optimum

A kanonikus feladat felrsa

5x1 + 7x2 + u1 = 35

-x1 + 2x2 + u2= 2

x1, x2 0

z + 3x1 6x2 = 0

66

Alternatv optimum


67/120

Alternatv optimum

A szimplex tbla

x1 x2

z 3 -6 0

u1 5 7 35

u2

-1 2 2

67

Alternatv optimum


68/120

Alternatv optimum

A szimplex tbla

x1 x2

z 3 -6 0

u1 5 7 35

u2

-1 2 2

BV: u1, u2 NBV: x1, x2

x1 = 0x2 = 0z = 0

68

Alternatv optimum


69/120

x1 x2

z 3 -6 0

u1 5 7 35

u2

-1 2 2

Alternatv optimum

Generlelem meghatrozsa

35/7 = 5

2/2 = 1

69

Alternatv optimum


70/120

Alternatv optimum


x1 x2

z 3 -6 0

u1 5 7 35

u2

-1 2 2

x1 u2

z

u1

x2

70

Alternatv optimum


71/120

Alternatv optimum


x1 x2

z 3 -6 0

u1 5 7 35

u2

-1 2 2

x1 u2

z

u1

x2

0,5

71

Alternatv optimum


72/120

Alternatv optimum


x1 x2

z 3 -6 0

u1 5 7 35

u2 -1 2 2

x1 u2

z 3

u1 -3,5

x2 0,5

72

Alternatv optimum


73/120

Alternatv optimum


x1 x2

z 3 -6 0

u1 5 7 35

u2 -1 2 2

x1 u2

z 3

u1 -3,5

x2 -0,5 0,5 1

73

Alternatv optimum


74/120

Alternatv optimum


x1 x2

z 3 -6 0

u1 5 7 35

u2 -1 2 2

x1 u2

z 0 3 6

u1 8,5 -3,5 28

x2 -0,5 0,5 1

74

Alternatv optimum


75/120

Alternatv optimum


x1 u2

z 0 3 6

u1 8,5 -3,5 28

x2 -0,5 0,5 1

75

Alternatv optimum


76/120

Alternatv optimum


x1 u2

z 0 3 6

u1 8,5 -3,5 28

x2 -0,5 0,5 1

BV: u1, u2 NBV: x1, x2

x1 = 0x2 = 1z = 6

76

Alternatv optimum


77/120

Alternatv optimum


x1 u2

z 0 3 6

u1 8,5 -3,5 28

x2 -0,5 0,5 1

Honnan ltszik hogy alternatvoptimuma van?77


78/120




nempozitv szmok kzl a legnagyobbabszoltrtk.Hnyadosteszttel eldntjk, hogy az oszlopbl

melyik elemet vlasszuk. (Mindig a legkisebb

pozitv rtkt)

78

Alternatv optimum


79/120

Alternatv optimum


x1 u2

z 0 3 6

u1 8,5 -3,5 28

x2 -0,5 0,5 1

x1t 1-gyel nvelve a clfggvny 0-val n!

x1 = 0x2 = 1z = 6

79

Alternatv optimum


80/120

28/(17/2)= 56/17

1/ (-1/2) = -2

x1 u2

z 0 3 6

u1 8,5 -3,5 28

x2 -0,5 0,5 1

Alternatv optimum


80

Alternatv optimum


81/120

Alternatv optimum


x1 u2

z 0 3 6

u1 8,5 -3,5 28

x2 -0,5 0,5 1

u1 u2

z

x1

x2

81

Alternatv optimum


82/120

Alternatv optimum


x1 u2

z 0 3 6

u1 8,5 -3,5 28

x2 -0,5 0,5 1

u1 u2

z

x1 2/17

x2

82

Alternatv optimum


83/120

Alternatv optimum


x1 u2

z 0 3 6

u1 8,5 -3,5 28

x2 -0,5 0,5 1

u1 u2

z 0

x1 2/17

x2 1/17

83

Alternatv optimum


84/120

Alternatv optimum


x1 u2

z 0 3 6

u1 8,5 -3,5 28

x2 -0,5 0,5 1

u1 u2

z 0

x1 2/17 -7/17 56/17

x2 1/17

84

Alternatv optimum


85/120

Alternatv optimum


x1 u2

z 0 3 6

u1 8,5 -3,5 28

x2 -0,5 0,5 1

u1 u2

z 0 3 6

x1 2/17 -7/17 56/17

x2 1/17 5/17 45/17

85

Alternatv optimum


86/120

Alternatv optimum


u1 u2

z 0 3 6

x1 2/17 -7/17 56/17

x2 1/17 5/17 45/17

86

Alternatv optimum


87/120

te at opt u


u1 u2

z 0 3 6

x1 2/17 -7/17 56/17

x2 1/17 5/17 45/17

x1 = 56/17x2 = 45/17z = 6

BV: x1, x2 NBV: u1, u287

Alternatv optimum


88/120

p

Megoldsok

x1 = 0x2 = 1z = 6x1 = 56/17x2 = 45/17z = 6

Az optimlis megoldsok halmaza{(x1; x2): (x1; x2)=(0; 1)+(1- )(56/17; 45/17), 0 1}

88

L h t g LP g ld k


89/120







Az LP nem korltos

89

N g ldh t


90/120

90

Nem megoldhat

max z = x1 + x2

x1 + x2 4x1 - x2 5

x1 0

x2

0

L h t g LP g ld k


91/120







Az LP nem korltos

Majd ksbb91

L h t g LP g ld k


92/120







Az LP nem korltos

92

Nem korltos


93/120

93

Nem korltos

max z = -x1 + 3x2

x1 - x2 4x1 + 2x2 4

x1 0

x2

0

Nem korltos LP


94/120

Nem korltos LP

x1 x2 4

-x1 + x2 1x1, x2 0

max z = 2x2

94

Nem korltos LP


95/120

A kanonikus feladat felrsa

x1 x2 + u1 = 4

-x1 + x2 + u2= 1x1, x2 0

z 2x2 = 0

95

Nem korltos LP


96/120

A szimplex tbla

x1 x2

z 0 -2 0

u1 1 -1 4

u2 -1 1 1

96

Nem korltos LP


97/120

A szimplex tbla

x1 x2

z 0 -2 0

u1 1 -1 4

u2 -1 1 1

x1 = 0x2 = 0z = 0

BV: u1, u2 NBV: x1, x297

Nem korltos LP


98/120


4/(-1)= -4

1/1 = 1

x1 x2

z 0 -2 0

u1 1 -1 4

u2 -1 1 1

98

Nem korltos LP


99/120


x1 x2

z 0 -2 0

u1 1 -1 4

u2 -1 1 1

x1 u2

z

u1

x2

99

Nem korltos LP


100/120


x1 x2

z 0 -2 0

u1 1 -1 4

u2 -1 1 1

x1 u2

z

u1

x2 1

100

Nem korltos LP


101/120


x1 x2

z 0 -2 0

u1 1 -1 4

u2 -1 1 1

x1 u2

z 2

u1 1

x2 1

101

Nem korltos LP


102/120


x1 x2

z 0 -2 0

u1 1 -1 4

u2 -1 1 1

x1 u2

z 2

u1 1

x2 -1 1 1

102

Nem korltos LP


103/120


x1 x2

z 0 -2 0

u1 1 -1 4

u2 -1 1 1

x1 u2

z -2 2 2

u1 0 1 5

x2 -1 1 1

103

Nem korltos LP


104/120


x1 u2

z -2 2 2

u1 0 1 5

x2 -1 1 1

x1 = 0x2 = 1z = 2

BV: u1, x2 NBV: x1, u2104

Nem korltos LP


105/120


x1 u2

z -2 2 2

u1 0 1 5

x2 -1 1 1

Honnan ltszik hogynem korltos az LP?105

Nem korltos LP


106/120

Generlelem vlasztsa

5/0

1/(-1)

Nincs eredmnye a hnyadostesztnek!

x1 u2

z -2 2 2

u1 0 1 5

x2 -1 1 1

106


107/120

Minimum feladat felrsa

107



108/120


A clfggvny cskkenst gy lehet elrni,ha pozitv clfggvnybeli elem felett

vlasztunk generl elemet.

A generl elem nem lehet negatv klnben a jobb oldal negatvv vlna.

A szk keresztmetszet szerint kell generl

elemet vlasztani.

108



109/120


x1 + x2 4

x1 x2 6x1, x2 0

min z = 2x1 3x2

109



110/120


4/1 = 4

6/(-1) = -6

x1 x2

z -2 3 0

u1 1 1 4

u2 1 -1 6

A clfggvny sorban a nemnegatv

szmok kzl vlasztunk!110



111/120

x1 x2

z -2 3 0

u1 1 1 4

u2 1 -1 6


x1 u1

z

x2

u2

111



112/120

x1 x2

z -2 3 0

u1 1 1 4

u2 1 -1 6


x1 u1

z

x2 1

u2

112



113/120

x1 x2

z -2 3 0

u1 1 1 4

u2 1 -1 6


x1 u1

z -3

x2 1

u2 1

113



114/120

x1 x2

z -2 3 0

u1 1 1 4

u2 1 -1 6


x1 u1

z -3

x2 1 1 4

u2 1

114



115/120

x1 x2

z -2 3 0

u1 1 1 4

u2 1 -1 6


x1 u1

z -5 -3 -12

x2 1 1 4

u2 2 1 10

115



116/120


x1 u1

z -5 -3 -12

x2 1 1 4

u2 2 1 10

Nincsen pozitv elem a clfggvny sorban:

Optimumban vagyunk116


117/120

LP feladatok felrsa

kanonikus alakban

117

A feladat eredeti alakban


118/120

A feladat eredeti alakban

2x1 + 4x2 + 1x3 + 5x4 8

4x1 + 2x2 + 1,5x3 + 5x4 53x1 + 2x2 6

x1, x2, x3, x4 0

min z = 500x1 + 200x2 + 300x3 + 800x4

118

A feladat kanonikus alakban


119/120

A feladat kanonikus alakban

2x1 + 4x2 + 1x3 + 5x4 v1 = 8

4x1 + 2x2 + 1,5x3 + 5x4 v2 = 53x1 + 2x2 + u3 = 6

x1, x2, x3, x4 0

max -z = -500x1 - 200x2 - 300x3 - 800x4

Megolds?119


120/120

?

Documents

Operációkutatás Gyakorlat