BAB VMOMENT, SKEWNESS DAN KURTOSIS

A. MOMENT

1. Data TunggalMisalkan diberikan variabel X dengan harga-harga X , X , X , …,X dengan r = 0,1,2, …

maka :

Moment ke r dari X didefinisikan :

Jika r = 1 maka menjadi Mean Aritmatika

Contoh : Tentukan moment pertama, kedua, ketiga dan kempat dari 2, 3, 7, 8, 10 !

PENYELESAIAN:

a. moment pertama:

b. moment kedua:

c. moment ketiga:

d. moment kempat:

Atau dapat dikerjakan dengan :

X

2 2 4 8 16

3 3 9 27 81

7 7 49 343 2.401

8 8 64 512 4.096

10 10 100 1.000 10.000

Jumlah 30 226 1890 16.594

Moment ke r disekitar didefinisikan :

Jika r = 1 maka

Jika r = 2 maka

Contoh : Tentukan moment pertama, kedua, ketiga dan kempat disekitar rata-rata

dari 2, 3, 7, 8, 10 !

X

2 -4 16 -64 256

3 -3 9 -27 81

7 1 1 1 1

8 2 4 8 16

10 4 16 64 256

Jumlah 0 46 -18 610

Moment ke r disekitar A (A adalah sebuah bilangan tetap) didefinisikan :

Contoh : Diberikan data 2,3,7,8,10 empat moment pertama disekitar 4 adalah :

X

2 -2 4 -8 16

3 -1 1 -1 1

7 3 9 27 81

8 4 16 64 256

10 6 36 216 1296

Jumlah 10 76 298 1650

2. Data Berdaftar Distribusi Frekuensi Moment ke r dari X didefinisikan :

Dengan N = , tanda kelas interval

Contoh : Moment pertama, kedua dan ketiga dari X berikut adalah

Tabel 2.1 Tinggi 100 siswa SMA XYZTinggi badan

(in)f

60 - 62 5 61 3721 226981 30563–65 18 64 4096 262144 115266–68 42 67 4489 300763 281469–71 27 70 4900 343000 189072–74 8 73 5329 389017 584

100 - - - 6745

Moment ke r disekitar didefinisikan :

Contoh : Moment pertama, kedua dan ketiga disekitar berikut adalah

Tabel 2.1 Tinggi 100 siswa SMA XYZTinggi badan

f

60 - 62 5 6163–65 18 6466–68 42 6769–71 27 7072–74 8 73

JUMLAH 100 - - - -= … .

Moment ke r disekitar A (A adalah sebuah bilangan tetap) didefinisikan :

Contoh : Moment pertama, kedua dan ketiga disekitar A = 65 berikut adalah

Tabel 2.1 Tinggi 100 siswa SMA XYZTinggi badan

(in)f

60 - 62 5 61 -4 16 -64 -2063–65 18 64 -1 1 -1 -1866–68 42 67 2 4 8 8469–71 27 70 5 25 125 13572–74 8 73 8 64 512 64

JUMLAH 100 - - - - 245

Metode Koding

dengan d = panjang kelas interval

c = sandi

Tinggi badan (in) f c c c

60 - 62 5 -2 4 -8 -10 20 -4063–65 18 -1 1 -1 -18 18 -1866–68 42 0 0 0 0 0 069–71 27 1 1 1 27 27 2772–74 8 2 4 8 16 32 64

JUMLAH 100 - - - 15 97 33

Dari harga-harga untuk beberapa harga r dapat ditentukan berdasarkan hubungan :

Sehingga contoh di atas dengan menghubungkan hubungan di atas : 8,73 – 0,45 = … .

8,91 – 3x 0,45x8,73 + 2x0,45 = … .

Dan untuk yang lain :

B. SKEWNESSSkewness adalah ukuran ketidaksimetrisan (kemencengan) distribusi. Yang dapat menentukan

atau dapat dijadikan ukuran tentang simetris atau tidak simetris dari sebuah distribusi ialah letak dari

nilai Mean, Median, dan Modus. Makin tinggi tingkat (derajat) ketidak simetrisan suatu distribusi

frekuensi akan semakin besar pula perbedaan antara nilai ketiga ukuran tendensi pusat tersebut.

Pada diagram yang simetris besarnya mean = median = modus. Pada distribusi yang tidak

simetris besarnya mean ≠ median ≠ modus. Pada distribusi semacam ini apabila datanya cukup banyak

berlaku ketentuan sbb:

Modus – Median = 2 (median - mean)

Modus = 3 (median) - 2(mean)

Untuk mengukur tingkat kecondongan atau simetris atau tidaknya suatu distribusi dapat kita gunakan

Koefisien Kecondongan atau Coefficient of Skewness.

UKURAN SIMETRIS DAN CONDONGNYA SUATU KURVAUntuk mengukur simetris atau condongnya suatu kurva kita gunakan koefisien skewness,yang dapat

dihitung dengan rumus ;

1. METODE PEARSONKoefisien Skewness dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut

Sk = - Mo (Rumus I) s

Keterangan :

Sk = Koefisien skewness

= Rata-rata

Mo = Nilai modusContoh

Tabel 2.4 Distribusi nilai matematika 80 siswa SMA XYZ

Rentang nilai frekuensi50-54 155-59 260-64 1165-69 1070-74 1275-79 2180-84 685-89 990-94 495-99 4

80

= 97 + 5 = 97 + - 21,625 = 75,375

Mo = 74.5 + 5 = 76,375

=

=

Dengan menggunakan hub antara mean, median, modus rumus diatas dapat diubah

menjadi

Rumus ke-2Contoh :

Tabel 2.4 Distribusi nilai matematika 80 siswa SMA XYZ

Rentang nilai frekuensi50-54 155-59 260-64 1165-69 1070-74 1275-79 2180-84 685-89 990-94 495-99 4

80

= = 75,375

= 74,5 + 5 = 74,5 + 0,952 = 75,452

=

=

Jadi distribusi di atas mempunyai skewness negatif

2.METODE BOWLEY

Dalam menentukan koefisien skewness , bowley mendasarkan pada nilai-nilai Quartil

Diperoleh:Jika :

1. - = maka hasilnya akan 0.

2. - maka hasilnya akan skewness positif.

3. - maka hasilnya akan skewness negatif.

3. METODE PERCENTIL10 – 90 persentil Sk-nya dinyatakan dengan:

Setelah kita ketahui besarnya koefisien skewness maka untuk menentukan gambar dari distribusi itu

condong ke kiri,ke kanan atau simetris didasarkan atas ketentuan berikut :

a. Bila koefisien skewness itu positif berarti mean > median dan mode ,maka kurva condong ke

kiri atau ekornya disebelah kanan.

b. Bila koefisien skewness itu negatif berarti mean < median dan mode ,maka kurva itu

condong ke kanan atau ekornya di sebelah kiri.

c. Bila koefisien skewnes itu besarnya sama dengan nol berarti mean=median=modus, maka

kurva itu simetris.

Untuk data tunggal komputasi skewness melalui Ms. Excel adalah

insert – function- select category : statistical – skew

C. KURTOSIS

Distribusi Simetrik Distribusi Positif Skewness

Distribusi Negatif Skewness

Kurtosis adalah ukuran mengenai keruncingan dari kurva suatu distribusi frekuensi.

Kurtosis ada 3 macam :

1. Leptokurtik

Ialah distribusi frekuensi yang kalau digambarkan kurvanya merupakan kurva yang

agak sempit pada bagian puncaknya atau mendekati runcing.

2. Platikurtik

Ialah distribusi frekuensi yang digambarkan kurvanya agak mendatar (tumpul) pada

puncaknya.

3. Mesokurtik

Ialah distribusi frekuensi yang kurvanya normal yakni bukan leptokurtik dan

plaktikurtik.

Dalam perhitungan untuk mengetahui runcingan kurva dapat mendasarkan pada moment

keempat.

Momen keempat ialah rata-rata dari kuatnya penyimpangan keempat dari nilai mean dalam

suatu distribusi frekuensi.

Kurtosis dalam suatu distribusi frekuensi diukur atas dasar momen keempat tersebut dan

ukuran ini diberik symbol

Distribusi frekuensi yang normal (Mesokurtik) nilai = 3

Distribusi yang lebih mendatar (Platikurtik) Nilai < 3

Distribusi yang lebih runcing (Leptokurtik) nilai > 3

Contoh :

1. Tentukan kurtosis dari 2, 3, 7, 8, 10 !

X

2 -4 16 256

3 -3 9 81

7 1 1 1

8 2 4 16

10 4 16 256

Jumlah 0 46 610

Jadi data di atas kurvanya platikurtik (distribusi yang lebih mendatar)

2. Hitunglah Kurtosis dari data berikut !

Tabel 2.1 Tinggi 100 siswa SMA XYZTinggi badan

f

60 - 62 5 61 -6,45 41,60 1730,56 208 8652.8063–65 18 64 -3,45 11,90 141,61 214,2 2548.9866–68 42 67 -0,45 0,20 0,04 8,4 1.6869–71 27 70 2,55 6,50 42,25 175,5 1140.7572–74 8 73 5,55 30,80 948,64 246,4 7589.12

JUMLAH 100 - - - - 852.5 19933.367,45

=

2,74

Jadi data di atas kurvanya platikurtik (distribusi yang lebih mendatar)

Momen coefficient of kurtosis dan alpha empat, ukuran keruncingan tersebut dapat juga

dicari dengan menggunakan nilai kuartil dan persentil. Ukuran yang demikian dinamakan quartile

coefficient of kurtosis dan dinyatakan dengn rumus ;

K =

Dari hasil koefisiensi kurtosis di atas, ada tiga kriteria untuk mengetahui model distribusi dari

sekumpulan data, yaitu:

1. Jika koefisien kurtosisnya < 0,263, maka distribusinya adalah platikurtik.

2. Jika koefisien kurtosisnya = 0,263, maka distribusinya adalah mesokurtik.

3. Jika koefisien kurtosisnya > 0,263, maka distribusinya adalah leptokurtik.

Tabel 2.1 Tinggi 100 siswa SMA XYZTinggi badan (in) frekuensi

60 - 62 563 – 65 1866 – 68 4269 – 71 2772 – 74 8

100

K = =

Jadi data di atas kurvanya platikurtik (distribusi yang lebih mendatar)

Untuk data tunggal komputasi kurtosis melalui Ms. Excel adalah insert

– function- select category : statistical – kurt

TUGASDATA TINGGI 40 MAHASISWA LAKI-LAKI

UNMUH PONOROGO

Tinggi (cm) Frekuensi121 – 130 3131 – 140 5141 – 150 9151 – 160 14161 – 170 5171 – 180 4

Jumlah 40

Hitunglah :

a.

b.

c. dengan A = 150

d. Koefisien Skewness dengan Metode Pearson I dan II Kemudian simpulkan !

e. Kurtosis ( melalui dan kuartil ) kemudian simpulkan !