Upload
nguyenthuan
View
228
Download
5
Embed Size (px)
Citation preview
Logika & razvedrilna matematika 1
Spoštovani, Pred vami je prva številka 26. letnika revije L&RM. Kot ponavadi, je največji poudarek na nalogah, ki so primerne za tekmovanje iz razvedrilne matematike, logike in tekmovanje Matemček. Sicer pa je logično sklepanje pomembno pri vseh tekmovanjih iz znanja, njihov koledar pa najdete na strani Zavoda za šolstvo RS: http://www.zrss.si/ucilna-zidana/tekmovanja. Tekmovalce opozarjamo tudi na zbirke nalog, ki so brezplačno na voljo na spletu: http://www.logika.si/sklop_logika/index.html Vabimo vas tudi na razstavo posvečeno matematiku in umetniku Slaviku Jablanu in na sodelovanje na natečaju Matheme: http://www.mathema.si/
Evropske zveze za matematiko in umetnosti (European Society for Mathematics and the Arts: http://www.math-art.eu/ ), vsake tri leta organizira mednarodno konferenco s področja prepletanja matematike in umetnosti. Tretja konferenca bo septembra 2016 v Ljubljani. Strokovna predavanja, javna predavanja (o M. C. Escherju, Picassojeva Guernica, od Bacha do Beethovna), razstave matematične umetnosti Lokalna organizatorja sta: Fakulteta za matematiko in fiziko in Mathema, Zavod za popularizacijo matematike. Vabljeni. Stran konference: http://mathema.si/esma/
Logika & razvedrilna matematika 2
Barvni sudoku V n ×××× n kvadratkov moraš vpisati začetna naravna števila od 1 do n tako, da bo v vsaki vrstici,
v vsakem stolpcu in v kvadratkih iste barve nastopalo vseh n števil.
1.
3 4
2
2 1 1 3
1
4
3 2
1 3 1
1
3
1 3
3
2
2
1 23
4
1
3 1
Logika & razvedrilna matematika 3
2.
1
4 2
34
1
5 3
4
4
5
1
3
2
3
1
4
24
1
5
3
3 4
3
2
5
1
1
1
3
4
3 54
2
6
33
1
1
62
4
1
4
2
326
1
21
2
35
5
3
3
2 3
1
2
13
4
4
6
56
26
2
3
Logika & razvedrilna matematika 4
Latinski kvadrati V n ×××× n kvadratkov moraš vpisati začetne črke A, B, C, … tako, da bo v vsaki vrstici, v
vsakem stolpcu nastopalo vseh n črk.
E AE BB
A D BE
B DE
D CC
A
D CA
DB
B DA C
B
CD CB
A B
CB
D C
D EE A C
C DE C
A BA
DB
C AB
A D
D
D E BC E
B E
D
D BC
C BC
A
Logika & razvedrilna matematika 5
Sudoku s črkami
V n ×××× n kvadratkov moraš vpisati začetna naravna števila od 1 do n tako, da bo v vsaki vrstici,
v vsakem stolpcu in v kvadratkih z isto črko nastopalo vseh n števil.
C
E
B
D
A
E
A
B
A
E
D
B
D
D
E
E
B
A
D
B
C
C
C
A
C
4
3
2
1
B
E
E
E
C
E
A
C
D
D
A
A
E
B
B
D
A
B
B
C
C
A
C
D
D
2
3
1 5A
E
A
A
E
B
E
D
C
C
B
B
A
C
D
C
B
B
A
E
D
D
D
C
E1
3
2
5
E
C
A
E
C
B
E
D
A
B
E
C
A
E
D
B
C
D
B
A
C
B
D
D
A
4
2
5
3
B
E
D
C
D
D
E
C
B
A
A
C
A
D
A
C
B
C
B
A
E
E
E
B
D
3
2
1
4B
E
B
B
D
C
A
A
B
E
C
D
B
E
C
C
A
D
D
D
E
C
A
E
A
5
4 2 3
B
D
E
C
A
B
B
E
E
C
C
C
A
D
E
D
B
A
B
C
A
D
A
E
D
2
3
1
5B
E
B
D
B
C
B
C
C
C
C
A
E
D
D
B
D
A
E
E
D
A
A
A
E1
3
2
4
B
C
E
B
C
E
D
A
A
D
E
A
C
E
B
C
C
B
A
A
E
D
D
B
D
2 5
3
1
B
E
C
A
D
B
C
B
D
A
B
C
B
C
E
E
D
D
C
E
D
A
A
A
E
1
4
3
5D
C
A
A
B
A
E
E
A
E
E
C
C
C
B
D
A
D
D
B
C
B
D
E
B
3
5
4 1A
E
B
E
A
D
B
C
E
C
C
D
D
A
C
A
A
D
D
B
B
C
E
E
B
4 2 1
5
Logika & razvedrilna matematika 6
Futoshiki
V n ×××× n kvadratkov moraš vpisati začetna naravna števila od 1 do n tako, da bo v vsaki vrstici
in v vsakem stolpcu nastopalo vseh n števil ter da bodo izpolnjene vse relacije.
µ2= µ2=
+1= <
+2=
+1=
<
+2= -1=
+1= +1=
< +1=
-2= +1=
<
+1= +1=
+2= +2=
<
-1=
< -1=
:2= < -1=
-1= +2=
+2=
+2= µ2=
<
-1= <
+2= +1= :2=
µ2= +1=
+2=
-1= -1= <
< -1=
<
< -1=
<
< -1= -1=
-1= :2=
< -1= -1=
-1= :2= <
< -1=
:2= <
-1= -1=
<
< -1=
<
-1= <
:2=
< -1=
µ2= -2=
-1= +2=
<
+2= µ2=
Logika & razvedrilna matematika 7
Rdeči kvadratki Naloga reševalca je, da poišče vse skrite rdeče kvadratke in jih označi z R. Pri tem veljata
naslednji pravili: a) Vsako število v preglednici pove, koliko sosednjih kvadratkov je rdečih.
Kvadratek je soseden kvadratku, če imata skupno stranico. b) Kvadratki s številkami niso
rdeči.
2 1
0 0
1 1
1 0
0
0 0
0 1
0
1 0
1 2 1
0 0
0 1 1
1
0 1
1 0
0 0
0 1
0 0 1
0 1 1
1 1
1 1
0 0 0 0
1 1
2 0
0
0 0
1 0
0
0
0 1
0 0
0
1 1 0
0 0
1
1 1 1
0
1 0
0 0 0
0
0 1
0
0 0
1 1
1 0
1 0
0
0 0 1 0
Logika & razvedrilna matematika 8
Lastnosti lika Ugotoviti moramo lastnosti lika. Lik ima obliko (trikotnik, kvadrat, petkotnik), velikost (majhen, srednji, velik), barvo (rumen, oranžen, moder) in debelino (tanek, debel). Lahko si izberemo tudi le nekaj prvih lastnosti. Dano je nekaj stavkov v simbolni obliki in njihova resničnostna vrednost (R za resničen in N za neresničen). Stavki so lahko enostavni, na primer, “Rumen” pomeni, da je lik rumen, ali sestavljeni, na primer, “Velik ∧ Moder” pomeni, da je lik velik in moder; “Petkotnik ∨ Tanek”, pomeni, da je lik petkotnik ali tanek; “Debel ∨ Oranžen” pomeni, da je lik ali debel ali oranžen; ; "Tanek fl Rumen" pomeni: če je lik tanek, potem je rumen; "Moder ñ Velik" pomeni: lik je moder, če in samo če je velik).
Trikotnik R
Majhen � Velik R
Moder fl Oranžen N
Majhen � Petkotnik N
Trikotnik fl Moder R
oblika
velikost
barva
Petkotnik � Trikotnik N
Trikotnik � Velik R
Kvadrat fl Trikotnik N
oblika
velikost
Velik fl Petkotnik R
Velik flKvadrat N
Kvadrat flVelik R
oblika
velikost
Srednji R
Majhen ÍOranžen R
Kvadrat fiRumen N
Oranžen fl Trikotnik R
oblika
velikost
barva
Logika & razvedrilna matematika 9
Določi razpored
A JE LEVO OD B. R
A JE LEVO OD C. R
A JE SOSEDA OD
C.
N
B JE LEVO OD C. R
B JE DESNO OD
C.
N
A JE SOSEDA OD
B.
N
A JE SOSEDA OD C. N
C JE DESNO OD D. R
A JE DESNO OD C. R
C JE SOSEDA OD D. N
A JE DESNO OD C. N
A JE SOSEDA OD D. R
B JE LEVO OD C. N
B JE SOSEDA OD D. R
A JE SOSEDA OD E. N
D JE SOSEDA OD E. R
A JE LEVO OD B. R
B JE LEVO OD E. N
A JE DESNO OD C. R
A JE SOSEDA OD D. N
C JE LEVO OD E. N
B JE DESNO OD D. R
B JE DESNO OD E. N
A JE LEVO OD C. N
B JE LEVO OD D. N
B JE SOSEDA OD D. N
C JE DESNO OD E. R
D JE LEVO OD E. N
C JE LEVO OD D. R
B JE DESNO OD E. R
A JE DESNO OD C. N
D JE DESNO OD E. R
C JE LEVO OD E. R
B JE DESNO OD D. N
A JE SOSEDA OD D. N
Logika & razvedrilna matematika 10
Gobelini Kvadratke v razpredelnici moraš pobarvati sivo tako, da bo zaporedje sivih pasov v vrstici
ustrezalo zaporedju števil na desni in da bo zaporedje sivih pasov v stolpcu ustrezalo
zaporedju števil pod njim.
2
1, 1
4
1
1, 1
2
4 111
111
21
3, 1
1, 1, 1
1, 1, 1
1, 1, 1
1, 1, 1
711
6 11
5 11
5 1
511141111
9 11
11
11
1
2, 2
1, 1
1, 1
1, 1
1, 1
4
1 5 1 11
6 1
2, 3, 21, 1, 11, 1, 11, 2, 11, 11, 1
1 4 2 11
4 12
2 2 1
3, 3
1, 1
1, 1, 1
1, 1, 1
1, 1, 1
1, 1
1 5 11
3 11
5 1
51, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 15
9 11
11
11
11
11
5
1, 1
2
1
1
1
1
1
7 1 1
2, 21, 21, 11, 11, 1413
4 11
11
111
8 11
2, 22, 11, 11, 12, 11, 2113
11
9 111
11
11
4
211111113
11
9 1
2, 11, 21, 11, 11, 11, 22, 114
51
111
111
111
8
Logika & razvedrilna matematika 11
Križne vsote Naloga reševalca je, da izpolni bele kvadratke s števkami od 1 do 9 tako, da je vsota števk v
zaporednih belih kvadratkih po vrsticah in stolpcih enaka številu, ki je zapisano v rdečem
kvadratku na začetku vrstice (stolpca) nad (pod) diagonalo. Pri tem pa morajo biti vse števke
v posamezni vrstici (stolpcu) različne.
17 11
16
9
15
6
13 146
3 1316
158
713 9
1416
11
8 1816
8 68
125
911 11
410
4
10 126
1017
914
4
10 814
6 103
154
218 16
518
12
3 135
1615
97
14
17 1517
10 179
1214
1810 14
1321
17
7 2211
6 1010
144
1613 20
1424
7
5 13
3
12
13
14
13 128
720
147
35
9
8 93
2017
99
17
15 812
2317
612
11
Logika & razvedrilna matematika 12
Križni produkti
Naloga reševalca je, da izpolni bele kvadratke s števkami od 2 do 9 tako, da bo zmnožek števk
v zaporednih belih kvadratkih po vrsticah in stolpcih enak številu, ki je zapisano v sivem
kvadratku na začetku vrstice (stolpca) nad (pod) diagonalo. Pri tem pa morajo biti vse števke
v posamezni vrstici (stolpcu) različne.
12 216
3236 45
2756
36160
24 18021
168
35
6 28015
15 3214
5412
12648 240
45315
27
14 368
15315
546
2424
27
27 726
12 2836
88
9636 336
2060
8
36 18
24
90
54
56
40
63
56 42 45
378
280
10 144 24 84040 12
66 112
240
2418
113418
5418 90
36 4872
315
48
56 2442
18192
10515
1015
14
28 9072 5184 5612 63
63 4818
18915
1443
24 40
24 160 18 112032 15
1815 84
384
2448
108036
4820 96
24 3212
288
18
10 144 63 32030 35
126 72
270
5416
48048
4248 36
27 3548
288
30
16 5418
20 2424
4824
3012 60
56112
40
Labirint na kocki Poveži točki na kocki:
Logika & razvedrilna matematika 13
Logika & razvedrilna matematika 14
Labirinti na enostavnih poliedrih
Poveži točki na poliedru:
Logika & razvedrilna matematika 15
Poveži sličici, ki pripadata isti grupi
9
2 8
13
15
12
7
114
6 3
10 11
165
17
4
Logika & razvedrilna matematika 16
Poveži sličici, ki pripadata isti grupi a)
b)
Prostorska predstavljivost a) Katero število moramo vpisati na mesto znaka ??, da bosta stranici pripadali istemu robu
poliedra?
Logika & razvedrilna matematika 17
39
4
6
1
2
?? 7 5
8
6 13
1412
89
42
1
5
7
10
15
11
3
??
1
2??
4
3
10
6
7 5
11
8 9
12
3
26
8
9
4
7
??10
5
1
3
95
??
12
10
4
2
1
6
11
8
711
13
1514
16
6
5
12
8
4
19
103
27
??
10
7
2
3
5
??6
4
9
8
12
11
1
1
6
2
3
??
5
4 11
7
8
10
12
9
61
39
??
7
4
5
11
12
8
2
10
4
??
1
2
63
5
4
2
??
6
7
3
8
5
1 4
2
6
8
??
7
5
9
3
1
42
9
5
1
??
7
6
8
3
12
1110
6
5
1
4
??
7
12
8
10
3
2 11
9
2
??
8
3
7
1
4
9
5
6
Logika & razvedrilna matematika 18
b) Katero številko moramo vpisati na mesto znaka ??, da bosta oglišči pripadali istemu
oglišču poliedra?
1
4
??
3
6
5
2??
2 4 3
56
1
64
3 5??
12
2
3
1
??
54
1
43
5
2??
23
??
5
1 4
5
1
42
??
3
6 2
??1
6
4
35
1 3
4
??6
52
??16
2
73
8 452
46
1
8
3
7
??
5
1
23
7
??
4
5
8
6
1
2
4
6
3
8 5
??
7 3
5
6 2
??
4
1
8
7
4
6
1
2
3
8
??
7
5
Logika & razvedrilna matematika 19
Labirinti na robovih poliedra V naslednjih nalogah moramo povezati dve oglišči poliedra, ki je podan z mrežo. Poiskati moramo pot od modre do oranžne točke. Iz ene točke lahko gremo do druge točke, če je med njima zelena črta ali pa točki predstavljata isto oglišče poliedra. 1.
Logika & razvedrilna matematika 20
2.
Logika & razvedrilna matematika 21
Labirinti na zemljevidu 1.
2.
3.
Logika & razvedrilna matematika 22
Večdelni labirinti na zemljevidu 1.
2.
3.
Logika & razvedrilna matematika 23
Odstranjene kocke Dan je kvader, ki sestoji iz kockic. Odstranimo vse kocke, ki so zaznamovane črno od vrha do
dna, od leve do desne in od spredaj do zadaj. Koliko kock smo odstranili?
Logika & razvedrilna matematika 24
Kocki določi mrežo Vsaki mreži na desni (večja mreža) določi mrežo iste kocke na levi.
Logika & razvedrilna matematika 25
Labirint v kvadru Kvader sestoji iz vodoravnih slojev kockastih oddelkov (zgornji, srednji in spodnji sloj so dani od leve proti desni). Odebeljene črte preprečujejo prehajanje med sosednjima oddelkoma istega sloja. Med oddelkom in oddelkom neposredno pod njim lahko prehajamo, če in samo če je prvi pobarvan belo. Poišči najkrajšo pot od oddelka s smeškom do oddelka s srcem! Pot označi z zaporednimi naravnimi števili tako, da oddelek s smeškom označiš z 1, vsak naslednji sosednji oddelek (kocko) pa z številom, večjim za 1.
Ù
Ã
™
à ™
à ™
Logika & razvedrilna matematika 26
Labirint na Riemannovi ploskvi Imamo več listov, ki jih razlikujemo po zaporedni številki od leve proti desni. Vsak list ima obliko podkve, sredina pa je razrez. Vsi kvadratki enega lista so povezani, prehod med njimi pa nam prepreči odebeljena črta. Kako je s prehajanjem z nekega lista na drugega? To so prehodi po horizontali. Recimo, da smo se znašli na desnem zgornjem kvadratku četrtega lista. Oznaka sosednjega pravokotnika je 2 - to pomeni, da lahko nadaljujemo na levem zgornjem kvadratku drugega lista. Tak prehod pa ni možen, če je med kvadratkom in sosednim pravokotnikom odebeljena črta. Poiskati moramo pot od črne do sive pike.
3 4 2 14 3 1 2
4 1 2 32 3 4 1
3 4 2 14 3 1 2
3 1 4 22 4 1 3
3 1 4 22 4 1 3
4 1 2 32 3 4 1
4 1 2 32 3 4 1
2 3 4 14 1 2 3
2 4 1 33 1 4 2
3 4 2 14 3 1 2
4 3 1 23 4 2 1
Logika & razvedrilna matematika 27
Pri barvnem labirintu so listi označeni z barvami.
Logika & razvedrilna matematika 28
Labirinti na ploskvah Podan je labirint na pravokotniku. Moramo poiskati pot od temnejše do svetlejše pike. Prehod med sosednimi kvadratki je možen, če med njima ni odebeljene črte. Skica na levi pomeni, kako sta nasprotni stranici pravokotnika povezani (miselno ju moramo zlepiti).
Logika & razvedrilna matematika 29
Labirinti na projekcijah teles Telo je projicirano v ravnino. Na projekciji je podan labirint, kjer odebeljene črte preprečujejo prehod iz projekcije mejne ploskve na projekcijo sosedne mejne ploskve.
Logika & razvedrilna matematika 30
Določi razpored črk Določi razpored črk. Pogoji so dani s tabelo. V spodnjo preglednico vpiši rešitev, v desno pa vse rešitve, kjer določen pogoj ni izpolnjen, drugi pa so. Če je premalo prostora za vpis v preglednico, nadaljuj vpis v isti vrstici. 1.
1
2
3 2.
1
2
3
4 3.
1
2
3
4
5
4.
1
2
3
4
5
6
5.
1
2
3
4
5
Logika & razvedrilna matematika 31
Labirinti na mreži valja in stožca 1.
2.
Logika & razvedrilna matematika 32
3.
4.
5.
6.
7.
Logika & razvedrilna matematika 33
Nagradna logična naloga
Tri prijateljice (Mija, Pika, Eva) imajo konje (Tornado, King, Pongo), ki so različnih pasem (poni, arabec, rjavec) in so iz različnih krajev (Kranj, Ljubljana, Lendava). Za vsako določi ime, konja, pasmo konja in kraj bivanja. 1. Evin konj je Pongo. 2. Tornado ni iz Kranja. 3. Rjavec ni iz Ljubljane. 4. Poni ni iz Ljubljane. 5. King ni rjavec. 6. Pika ni doma iz Lendave. 7. Rjavec ni iz Lendave. 8. Tornado ni arabec.
Rešitev nagradne uganke pošljite do 1.10.2016 na naslov Logika d.o.o., Svetčeva pot 11, 1241 Kamnik, s pripisom »Nagradna uganka«. Naslednji reševalci nagradne uganke iz 4. številke bodo prejeli poševno prizmo: R.O.., ILIRSKA BISTRICA, L.B., PREM, U.J. in A.S., OŠ ŠMARJE-SAP, T.Ž., NOVO MESTO.
Logika & razvedrilna matematika 34
Kalejdoskopi Običajni kalejdoskop je valjasta igrača, ki ima tri ogledala, vzporedna z osjo. Med ogledali so delci obarvanega stekla. Ko se svetloba odbija od ogledal, dobimo zanimive simetrične oblike (slika spodaj). Kalejdoskopi so zanimivi tudi z matematičnega stališča. Zrcaljenje je preslikava, ki točki A priredi točko B, ki leži na pravokotnici iz točke A na ravnino zrcaljenja in je enako oddaljena od ravnine kot A, le da je na nasprotni strani ravnine. Če imamo dve zrcali na razdalji d, ki sta vzporedni, in je os x pravokotna na zrcali, bo vtis, kot da imamo neskončno mnogo zrcal postavljenih v osi x. Če pa se ravnini zrcaljenja sekata, na primer po osi z, in je kot med njima 2π/n, bodo slike točke, ki je na simetrali ravnin, oglišča pravilnega n-kotnika. Če nadaljujemo zadnji primer tako, da dodamo zrcalno ravnino z=0 (xy-ravnino), bodo slike točke oglišča pravilne n-kotne prizme.
V splošnem primeru, ko se ravnine zrcaljenja sekajo v eni točki, so vse slike neke izbrane točke med zrcali, ki je oddaljena od presečišča za d, na sferi z radiem d. V poštev pridejo le kot oblike π/k. Veljati mora 1/m+1/n+1/p>1. Rešitve te diofantske enačbe so: 2, 2, k; 2, 3 ,3; 2, 3, 4; 2, 3, 5. Dobili bomo oglišča poliedra prizmatične, tetraedrske, oktaedrske in ikozaedrske simetrije. V teh primerih ogledala izrežemo kot krožne izseke.
Logika & razvedrilna matematika 35
Lahko pa so vse tri ravnine zrcaljenje vzporedne (na primer osi z). Prečni presek so trikotniki. V poštev pridejo koti kot prej, le veljati mora 1/m+1/n+1/p=1. Rešitve so: 3, 3, 3; 2 ,3, 6; 2, 4, 4. Trikotniki parketirajo ravnino. Število slik je zdaj neskončno.
Zrcaljenje teh trikotnikov je enako njihovemu vrtenju okoli stranic.
Zgornji sliki prikazujeta odprt polieder in njegovo mrežo za tretji primer. Primer šestih zrcal, razporejenih v kvadrasti obliki (pri tem je kvader dimenzij √2 x √2 x 1). Seveda pa moramo narediti še odprtino za opazovanje.
Zglede za štiri zrcala, postavljena v obliki nepravilnega četverca, dobimo iz zgornjega kvadra:
Logika & razvedrilna matematika 36
Seveda moramo tudi tokrat izrezati odprtino (slika spodaj).
Zglede s petimi zrcali dobimo iz prizem s trikotno osnovo (sliki zgoraj). Navodila za izdelavo. Kovinsko samolepilno folijo kupimo na oddelkih za tapete v ustreznih trgovinah. Mreže prenesemo iz demonstracij (potrebujemo brezplačni Wolfram CDF-Player) v program za pripravo besedila. Ker folija ni ravna, jo čez noč damo pod težjo knjigo. Natisnemo mrežo, jo približno izrežemo in izrežemo ustrezen del folije. Odstranimo prvo zaščitno prevleko in nalepimo ostanek na mrežo, tako da so robovi mreže vidni. Nato natančno obrežemo robove in prepognemo mrežo (še prej po robovih potegnemo s praznim kemičnim svinčnikom). Odstranimo še drugi zaščitni sloj in zlepimo s selotejpom mrežo v polieder. Ker folija ni povsem ravna, pred dokončnim lepljenjem naredimo še strani poliedra iz kartona in jih nalepimo z lepilom na ustrezna mesta. Pri kalejdoskopih z odprtino mora le-ta biti dovolj velika, da lahko skozi njo potisnemo žarnico na baterijo. Na mesto papirnatih mrež lahko uporabimo tudi ploščice Polydron, vendar z njimi ni možno tvoriti majhnih kotov. Nekaj slik: kalejdoskopi iz folije, ploščic Polydron in kockast kalejdoskop pri Mathemi.
Logika & razvedrilna matematika 37
Reference: [1] I. Hafner, "Kaleidoscope with One Horizontal and Two Vertical Mirrors" http://demonstrations.wolfram.com/KaleidoscopeWithOneHorizontalAndTwoVerticalMirrors/ Wolfram Demonstrations Project Published: May 4, 2016 [2] Izidor Hafner "Making Kaleidoscopes" http://demonstrations.wolfram.com/MakingKaleidoscopes/ Wolfram Demonstrations Project Published: June 1, 2016 [3] Izidor Hafner "Components and Nets of Regular Polyhedra" http://demonstrations.wolfram.com/ComponentsAndNetsOfRegularPolyhedra/ Wolfram Demonstrations Project Published: June 3, 2016 [4] I. Hafner, "Two Types of Kaleidoscopes" http://demonstrations.wolfram.com/TwoTypesOfKaleidoscopes/ Wolfram Demonstrations Project Poslano v objavo. [5] W.W.R. Ball, H.S.M. Coxeter, Mathematical Recreation and Essays, Dover Pub., New York, 1987
Logika & razvedrilna matematika 38
Evklidov algoritem in reševanje diofantske enačbe ax + by = c V tem sestavku bomo našteli spoznanja o reševanju diafantske enačbe ax + by = c z Evklidovim algoritmom, za katerega smo izdelali demonstracijo v sistemu mathematica.
a 152
b 88
Prik aži dv a k o rak a
pok aži v eč
k orak ov algoritma
5
c 40
pok aži rešitv e
Enačba:
a x + b y � DHa, bL � g
152 = 1 × 88 + 64
88 = 1 × 64 + 24
64 = 2 × 24 + 16
24 = 1 × 16 + 8
16 = 2 × 8 + 0
64 = a − b
24 = −a + 2 b
16 = 3 a − 5 b
8 = −4 a + 7 b
Največji skupni delitelj: 8
Ena rešitev
8x, y< � 8−4, 7<
Vse rešitve
8x, y< � 811 k − 4, 7 − 19 k<
Enačba:
a x + b y � 0
Rešitev:
8x, y< � 811 k, −19 k<
Enačba:
a x + b y � c
Rešitev:
8x, y< � 811 k − 20, 35 − 19 k<
Poiskati moramo največji skupni delitelj števil a in b (a >b) to je D(a, b), v našem zgledu D(152, 88). Zapišemo 152 = 1 × 88 + 64 (1 je količnik pri deljenju 152 z 88, 64 pa je ostanek), 64 = a - b. Zdaj enako naredimo z 88 in 64, to je z b in ostankom (glej zgled). Ostanke sproti izrazimo z a in b. Ko na koncu dobimo ostanek 0, je predzadnji ostanek enak največjemu skupnemu delitelju števil a in b. Hkrati smo našli, da je le-ta 8 = -4a + 7b in smo tako našli eno rešitev diofantske enačbe 152 x + 88 y = 8. V posebnem primeru, ko je b delitelj števila a, je kar b = D(a, b). Rešujemo mbx + by = b, mx + y = 1. Ena rešitev te enačbe je (0, 1). Vse rešitve pa so (k, 1 - km), kjer je k poljubno celo število. Sicer pa velja: Izrek 1: Vzemimo, da sta a in b neničelni celi števili in da je g = D(a, b). Potem ima enačba ax + by = g vedno rešitev (x1, y1) med celimi števili, ki jo dobimo z Evklidovim algoritmom. Splošno rešitev (vse rešitve) dobimo s formulo (x1+kb/g, y1- ka/g), kjer je k poljubno celo število. Izrek 2: Homogena diofantska linearna enačba ax + by = 0 ima splošno rešitev (kb/g, -ka/g). Izrek 3: Diofantska enačba ax + by = c nima rešitve, če c ni deljiv z g. Če pa je c = ng, potem je splošna rešitev te enačbe (nx1+kb/g, ny1- ka/g), kjer je (x1, y1) rešitev enačbe ax + by = g. Dokaz: a(nx1 + kb/g) + b(ny1 – ka/g) = n(ax1 + by1) + akb/g - bka/g = ng = c.
Logika & razvedrilna matematika 39
Naloga: Primerjaj reševanje diofantske enačbe z Evklidovim algoritmom in Eulerjevo metodo. V prvem primeru rešujemo enačbo 21x +13y = 1, v drugem pa 13x+21y=1
a 21
b 13
Prik aži dv a koraka
pok aži v eč
k orak ov algoritma
6
c 30
pok aži rešitv e
Enačba:
a x + b y � DHa, bL � g
21 = 1 × 13 + 8
13 = 1 × 8 + 5
8 = 1 × 5 + 3
5 = 1 × 3 + 2
3 = 1 × 2 + 1
2 = 2 × 1 + 0
8 = a − b
5 = −a + 2 b
3 = 2 a − 3 b
2 = −3 a + 5 b
1 = 5 a − 8 b
Največji skupni delitelj: 1
Ena rešitev
8x, y< � 85, −8<
Vse rešitve
8x, y< � 813 k + 5, −21 k − 8<
Enačba:
a x + b y � 0
Rešitev:
8x, y< � 813 k, −21 k<
Enačba:
a x + b y � c
Rešitev:
8x, y< � 813 k + 150, −21 k − 240<
Postopek 1 Postopek 2
a 13
b 21
c 1
prik aži k o rak e 1 2 3 4 5 6 prik aži rešitev
Reši enačbo 13 x + 21 y � 1.
13 x + 21 y = 1 x � - y + H1
13H1 - 8 yLL z �
1
13H1 - 8 yL
8 y + H13 zL = 1 y � -z + H1
8H1 - 5 zLL s �
1
8H1 - 5 zL
5 z + H8 sL = 1 z � -s + H1
5H1 - 3 sLL t �
1
5H1 - 3 sL
3 s + H5 tL = 1 s � - t + H1
3H1 - 2 tLL u �
1
3H1 - 2 tL
2 t + H3 uL = 1 t � -u + H1-u
2L v �
1-u
2
u + H2 vL = 1 u � 1 - 2 v
Rešitev:
u = 1 - 2 vt = -1 + 3 vs = 2 - 5 vz = -3 + 8 vy = 5 - 13 vx = -8 + 21 v
Logika & razvedrilna matematika 40
Dobimo enako rešitev, le parametra v in k sta nasprotna. Število korakov je enako. Pri izboljšani Eulerjevi metodi dobimo:
Postopek 1 Postopek 2
a 13
b 21
c 1
prik aži k orak e 1 2 3 4 prik aži rešitev
Reši enačbo 13 x + 21 y � 1.
13 x + 21 y = 1 x � -2 y + H1
13H5 y + 1LL z �
1
13H5 y + 1L
-5 y + H13 zL = 1 y � 3 z + H1
5H-2 z - 1LL s �
1
5H-2 z - 1L
-2 z + H-5 sL = 1 z � -2 s - 1 + H1-s
2L t �
1-s
2
-s + H-2 tL = -1 s � 1 - 2 t
Rešitev:
s = 1 - 2 tz = -3 + 5 ty = -8 + 13 tx = 13 - 21 t
Rešitev je podana z drugačno parametrizacijo: Pri prvem postopku: x = -8 + 21v, y = 5 – 13v; pri drugem x = 13 – 21t, y = -8 +13t. Zveza med parametroma je t = -v – 1. Nalogi. Reši diofantske enačbe a) 27x + 8y = 1, 27x + 8y = 0, 27x + 8y = 17, b) 25x + 5y =5, 25x +5y = 0, 25x + 5y = 8.
Logika & razvedrilna matematika 41
Rešitve:
a 27
b 8
Prik aži dv a k orak a
pok aži v eč
korak ov algoritma
4
c 17
pok aži rešitv e
Enačba:
a x + b y � DHa, bL � g
27 = 3 × 8 + 3
8 = 2 × 3 + 2
3 = 1 × 2 + 1
2 = 2 × 1 + 0
3 = a − 3 b
2 = −2 a + 7 b
1 = 3 a − 10 b
Največji skupni delitelj: 1
Ena rešitev
8x, y< � 83, −10<
Vse rešitve
8x, y< � 88 k + 3, −27 k − 10<
Enačba:
a x + b y � 0
Rešitev:
8x, y< � 88 k, −27 k<
Enačba:
a x + b y � c
Rešitev:
8x, y< � 88 k + 51, −27 k − 170<
a 25
b 5
Prik aži dv a k orak a
pok aži v eč
korak ov algoritma
2
c 8
pok aži rešitv e
Enačba:
a x + b y � DHa, bL � g
Največji skupni delitelj: 5
Ena rešitev
8x, y< � 80, 1<
Vse rešitve
8x, y< � 8k, 1 − 5 k<
Enačba:
a x + b y � 0
Rešitev:
8x, y< � 8k, −5 k<
Enačba:
a x + b y � c
Rešitev:
Enačba nima rešitve.
Sledi program v mathematici, ki generira in reši 100 diofantskih enačb ax +by = c, s slučajno izbranimi koeficienti.
Logika & razvedrilna matematika 42
aa={}; Do[a=RandomInteger[{9,39}]; b=RandomInteger[{1,a-1}]; c=RandomInteger[{0,9}]; eq=a x+b y==c; res=Reduce[eq,{x,y},Integers]; resitev=TraditionalForm@Row[{eq,", ",If[res===False,"protislovna enačba",Take[List@@res/.{c1->"s"},{2,3}]]}] ;AppendTo[aa,resitev],{i,1,100}]; gr=Grid[Partition[aa,2],Frame->All,Alignment->Left] 12 x + 4 y � 8, 8x � s, y � 2 − 3 s< 18 x + 4 y � 0, 8x � 2 s, y � −9 s<
17 x + 8 y � 2, 8x � 8 s + 2, y � −17 s − 4< 35 x + 10 y � 3, protislovna enačba
13 x + 7 y � 8, 8x � 7 s + 6, y � −13 s − 10< 12 x + 5 y � 7, 8x � 5 s + 1, y � −12 s − 1<
29 x + 19 y � 3, 8x � 19 s + 6, y � −29 s − 9< 12 x + 3 y � 6, 8x � s, y � 2 − 4 s<
19 x + 14 y � 8, 8x � 14 s + 10, y � −19 s − 13< 21 x + y � 2, 8x � s, y � 2 − 21 s<
35 x + 15 y � 7, protislovna enačba 16 x + 2 y � 6, 8x � s, y � 3 − 8 s<
20 x + 4 y � 2, protislovna enačba 28 x + y � 2, 8x � s, y � 2 − 28 s<
35 x + 7 y � 1, protislovna enačba 20 x + 5 y � 6, protislovna enačba
31 x + 5 y � 4, 8x � 5 s + 4, y � −31 s − 24< 15 x + 4 y � 9, 8x � 4 s + 3, y � −15 s − 9<
32 x + 7 y � 7, 8x � 7 s, y � 1 − 32 s< 27 x + 3 y � 0, 8x � s, y � −9 s<
27 x + 18 y � 4, protislovna enačba 38 x + 12 y � 5, protislovna enačba
35 x + 12 y � 0, 8x � 12 s, y � −35 s< 20 x + 12 y � 6, protislovna enačba
17 x + y � 5, 8x � s, y � 5 − 17 s< 36 x + 22 y � 4, 8x � 11 s + 5, y � −18 s − 8<
38 x + 33 y � 2, 8x � 33 s + 7, y � −38 s − 8< 30 x + 28 y � 8, 8x � 14 s + 4, y � −15 s − 4<
24 x + 18 y � 6, 8x � 3 s + 1, y � −4 s − 1< 34 x + 10 y � 6, 8x � 5 s + 4, y � −17 s − 13<
16 x + 2 y � 4, 8x � s, y � 2 − 8 s< 20 x + 8 y � 4, 8x � 2 s + 1, y � −5 s − 2<
17 x + 12 y � 0, 8x � 12 s, y � −17 s< 16 x + 5 y � 9, 8x � 5 s + 4, y � −16 s − 11<
28 x + 27 y � 6, 8x � 27 s + 6, y � −28 s − 6< 11 x + 4 y � 5, 8x � 4 s + 3, y � −11 s − 7<
17 x + 4 y � 0, 8x � 4 s, y � −17 s< 18 x + y � 7, 8x � s, y � 7 − 18 s<
38 x + 12 y � 2, 8x � 6 s + 1, y � −19 s − 3< 25 x + 6 y � 5, 8x � 6 s + 5, y � −25 s − 20<
18 x + 14 y � 0, 8x � 7 s, y � −9 s< 20 x + 11 y � 2, 8x � 11 s + 10, y � −20 s − 18<
37 x + 12 y � 2, 8x � 12 s + 2, y � −37 s − 6< 38 x + 23 y � 1, 8x � 23 s + 20, y � −38 s − 33<
39 x + 32 y � 4, 8x � 32 s + 28, y � −39 s − 34< 25 x + 2 y � 0, 8x � 2 s, y � −25 s<
14 x + 7 y � 9, protislovna enačba 29 x + 14 y � 5, 8x � 14 s + 5, y � −29 s − 10<
32 x + 27 y � 8, 8x � 27 s + 7, y � −32 s − 8< 10 x + 4 y � 7, protislovna enačba
31 x + 15 y � 6, 8x � 15 s + 6, y � −31 s − 12< 24 x + 9 y � 9, 8x � 3 s, y � 1 − 8 s<
33 x + 15 y � 4, protislovna enačba 32 x + 23 y � 5, 8x � 23 s + 21, y � −32 s − 29<
24 x + 12 y � 2, protislovna enačba 22 x + 4 y � 8, 8x � 2 s, y � 2 − 11 s<
37 x + 11 y � 9, 8x � 11 s + 5, y � −37 s − 16< 13 x + 8 y � 2, 8x � 8 s + 2, y � −13 s − 3<
34 x + 28 y � 0, 8x � 14 s, y � −17 s< 17 x + 11 y � 8, 8x � 11 s + 5, y � −17 s − 7<
11 x + 6 y � 4, 8x � 6 s + 2, y � −11 s − 3< 11 x + 2 y � 2, 8x � 2 s, y � 1 − 11 s<
23 x + 19 y � 3, 8x � 19 s + 15, y � −23 s − 18< 32 x + 28 y � 0, 8x � 7 s, y � −8 s<
34 x + y � 0, 8x � s, y � −34 s< 35 x + 32 y � 1, 8x � 32 s + 11, y � −35 s − 12<
21 x + 17 y � 2, 8x � 17 s + 9, y � −21 s − 11< 21 x + 12 y � 3, 8x � 4 s + 3, y � −7 s − 5<
13 x + 2 y � 3, 8x � 2 s + 1, y � −13 s − 5< 24 x + y � 2, 8x � s, y � 2 − 24 s<
35 x + 7 y � 8, protislovna enačba 29 x + 23 y � 2, 8x � 23 s + 8, y � −29 s − 10<
25 x + 8 y � 7, 8x � 8 s + 7, y � −25 s − 21< 11 x + 2 y � 9, 8x � 2 s + 1, y � −11 s − 1<
22 x + 5 y � 8, 8x � 5 s + 4, y � −22 s − 16< 37 x + 8 y � 9, 8x � 8 s + 5, y � −37 s − 22<
25 x + 12 y � 0, 8x � 12 s, y � −25 s< 32 x + 25 y � 7, 8x � 25 s + 1, y � −32 s − 1<
9 x + y � 6, 8x � s, y � 6 − 9 s< 36 x + 31 y � 4, 8x � 31 s + 7, y � −36 s − 8<
17 x + 3 y � 7, 8x � 3 s + 2, y � −17 s − 9< 12 x + 9 y � 3, 8x � 3 s + 1, y � −4 s − 1<
37 x + 13 y � 2, 8x � 13 s + 12, y � −37 s − 34< 20 x + 9 y � 8, 8x � 9 s + 4, y � −20 s − 8<
37 x + 32 y � 6, 8x � 32 s + 14, y � −37 s − 16< 38 x + 24 y � 0, 8x � 12 s, y � −19 s<
10 x + 2 y � 5, protislovna enačba 33 x + 13 y � 7, 8x � 13 s + 1, y � −33 s − 2<
15 x + 8 y � 4, 8x � 8 s + 4, y � −15 s − 7< 21 x + 15 y � 1, protislovna enačba
35 x + 8 y � 6, 8x � 8 s + 2, y � −35 s − 8< 18 x + 7 y � 5, 8x � 7 s + 3, y � −18 s − 7<
22 x + 3 y � 2, 8x � 3 s + 2, y � −22 s − 14< 20 x + 5 y � 8, protislovna enačba
34 x + 12 y � 6, 8x � 6 s + 3, y � −17 s − 8< 26 x + 4 y � 9, protislovna enačba
39 x + 5 y � 3, 8x � 5 s + 2, y � −39 s − 15< 24 x + 5 y � 5, 8x � 5 s, y � 1 − 24 s<
39 x + 9 y � 8, protislovna enačba 26 x + 22 y � 6, 8x � 11 s + 7, y � −13 s − 8<
Referenca: J. Grasselli, Osnove teorije števil, Mladinska knjiga, Ljubljana 1966, str. 43-45.
Logika & razvedrilna matematika 43
Uniformni poliedri Janeza Lesjaka
Janez Lesjak je bil prvi slovenski izdelovalec uniformnih poliedrov. Na slikah je devet njegovih izdelkov. Rojen je bil 30. marca 1942 v Novem mestu, diplomiral je iz fizike oktobra 1966 - teoretično diplomsko delo, kar ga je napotilo k računalnikom. Za poliedre se je zanimal že v študentskih letih, razstavljene pa je začel izdelovati leta 1973, še predno je zvedel za Wennigerjevo knjigo*. Za poliedre, ki niso prirezani ("snub", zavrnjen), lahko vse konstruiramo samo s šestilom in ravnilom. Za prirezane poliedre pa je moral seveda vse izračunati z računalnikom, še posebej zato, ker so načrti v knjigi nenatančni in premajhni. Naredil je skoraj vse, koliko natančno se ne spominja, razen enega ali dveh prirezanih. Za razstavljeni velik prirezani polieder je porabil nekaj čez 3 mesece, vmes pa je imel enotedensko prekinitev z orožnimi vajami. Še kar se programa tiče: napisan je bil v algolu, žal se ni ohranil. Imel je dve fazi, najprej izračun ogliščnega prereza z bisekcijo in nato rotacije okoli posameznih stranskih ploskev in izračun vseh prebodišč robov z drugimi stranskimi ploskvami. Vidnost delov robov in ploskvic je ugotavljal peš po slikah. Poliedri so razstavljeni v vitrini FMF, Jadranska 21, Ljubljana. * M. J. Wenninger, Polyhedron Models, Cambridge University Press, 1971.
Logika & razvedrilna matematika 44
Neodvisnost pogojev Dobro definirana naloga je naloga, ki ima enolično rešitev, pogoji naloge pa so potrebni in zadostni za njeno rešitev. To pomeni, da noben pogoj ni odveč. V logiki bi temu rekli, da so pogoji zadostni in neodvisni. Zdaj pa se bomo ukvarjali z nalogami, ki imajo enolično rešitev in neodvisne pogoje. Potrebno bo pokazati, da so pogoji neodvisni. To pomeni, da ima naloga, ki sestoji iz negacije nekega pogoja, pri tem ostali pogoji ostanejo nespremenjeni, tudi rešitev. Poiskati moramo imena likov A, B,…, ki so označeni z 1, 2,…, če so izpolnjeni pogoji. Nato pa poiskati imena likov, kadar določen pogoj ni izpolnjen 1.
2
3
1
1. Lik A ni bel. R2. Lik A je nad B. N
1 2 3
12
2.
1
3
2
1. Ali je lik C petkotnik ali je lik C kvadrat. R2. Ali je lik C petkotnik ali je lik B bel. R3. Lik A je bel in lik B je bel. N
1 2 3
123
Logika & razvedrilna matematika 45
3.
2 4
1
3
1. Lik B je kvadrat. N2. Lik B je kvadrat, če in samo če je lik B pod C. N3. Ali je lik B bel ali je lik A desno od C. R
1 2 3 4
123
4.
2
4
1
3
1. Lik C je siv. N2. Lik D je bel, če in samo če je lik A levo od B. N3. Lik B je kvadrat in lik B je nad C. N4. Ali je lik B petkotnik ali je lik C nad D. N
1 2 3 4
1234
5.
41
3
2
5
1. Lik C je kvadrat. N2. Lik B je levo od C. R3. Ali je lik D kvadrat ali je lik A bel. R4. Lik B je petkotnik, če in samo če je lik E bel. R5. Lik C je siv ali je lik B desno od C. R
1 2 3 4 5
12345
Logika & razvedrilna matematika 46
Vrtavka komplementarnih barv Krog razdelimo na 4 enake krožne izseke in dva nasprotna obarvamo z rdečo barvo -RGB(1,0,0), druga dva pa s komplementarno barvo - RGB(0,1,1). Pri hitrem vrtenju takšnega kroga dobimo bel krog. Enako velja za vsak krog, ki je obarvan na isti način z neko barvo in njeno komplementarno barvo. Seveda bo to veljalo, če je krog dobro osvetljen, na primer s sončno svetlobo, in so tiskarske barve resnično prave. Sicer bo krog obarvan z eno barvo, ki se nekoliko razlikuje od bele.
Zdaj vzamemo Mercatorjevo vrtavko Disney Frozen in med oba krožna dela vstavimo krog, v katerem smo izrezali majhen + na sredini, da ga lahko nataknemo na držalo vrtavke. Vrtavka se bo lepo vrtela in poskrbela za lep fizikalen eksperiment.
Logika & razvedrilna matematika 47
Rešitve
Barvni sudoku 1.
4
3
2
1
2
1
4
3
3
2
1
4
1
4
3
2
1
2
3
3
1
2
2
3
1
3
1
2
2
3
1
1
2
3
1
3
4
2
2
4
3
1
3
2
1
4
4
1
2
3
3
1
2
2
3
1
1
2
3
2
1
3
3
2
1
1
3
2
2
1
3
1
3
2
3
2
1
2
3
1
1
2
3
3
1
2
1
3
2
3
2
1
2
1
3
3
1
2
1
2
3
2
3
1
4
1
3
2
1
4
2
3
2
3
4
1
3
2
1
4
2
3
1
3
1
2
1
2
3
Logika & razvedrilna matematika 48
2.
4
1
2
3
3
2
1
4
1
3
4
2
2
4
3
1
3
2
4
5
1
5
4
1
2
3
1
5
3
4
2
4
3
2
1
5
2
1
5
3
4
3
2
4
5
1
5
4
1
3
2
1
5
2
4
3
4
1
3
2
5
2
3
5
1
4
4
3
1
2
1
2
4
3
3
1
2
4
2
4
3
1
1
4
5
2
3
2
5
3
4
1
3
2
1
5
4
5
1
4
3
2
4
3
2
1
5
5
4
1
3
2
2
1
3
4
5
3
5
2
1
4
1
2
4
5
3
4
3
5
2
1
2
3
4
1
4
2
1
3
3
1
2
4
1
4
3
2
613542
251436
436215
325164
142653
564321
1
4
2
3
2
3
1
4
4
2
3
1
3
1
4
2
265431
413265
531642
342516
126354
654123
4
3
1
2
2
1
3
4
3
2
4
1
1
4
2
3
612345
324516
451632
563421
135264
246153
Logika & razvedrilna matematika 49
Latinski kvadrati
D E A B CE B D C AB D C A EC A E D BA C B E D
B C A E DC B E D AE D C A BD A B C EA E D B C
A D B CD A C BC B D AB C A D
C B A DB C D AA D B CD A C B
C D A BB A D CD C B AA B C D
D C B AA D C BC B A DB A D C
A C B D EE A D B CB D E C AC B A E DD E C A B
A C B DB D C AD B A CC A D B
D C B AB A C DC D A BA B D C
D E C A BE B A D CC D E B AB A D C EA C B E D
C A B DA B D CD C A BB D C A
D C A BC D B AA B C DB A D C
Logika & razvedrilna matematika 50
Sudoku s črkami
C
E
B
D
A
E
A
B
A
E
D
B
D
D
E
E
B
A
D
B
C
C
C
A
C
3
4
5
1
2
1
5
2
4
3
4
1
3
2
5
2
3
1
5
4
5
2
4
3
1
B
E
E
E
C
E
A
C
D
D
A
A
E
B
B
D
A
B
B
C
C
A
C
D
D
4
1
5
2
3
3
2
1
4
5
1
3
4
5
2
2
5
3
1
4
5
4
2
3
1
A
E
A
A
E
B
E
D
C
C
B
B
A
C
D
C
B
B
A
E
D
D
D
C
E
4
5
3
2
1
3
4
2
1
5
5
2
1
3
4
2
1
4
5
3
1
3
5
4
2
E
C
A
E
C
B
E
D
A
B
E
C
A
E
D
B
C
D
B
A
C
B
D
D
A
3
4
1
2
5
2
1
4
5
3
5
2
3
4
1
4
3
5
1
2
1
5
2
3
4
B
E
D
C
D
D
E
C
B
A
A
C
A
D
A
C
B
C
B
A
E
E
E
B
D
1
3
5
2
4
2
4
1
3
5
3
5
4
1
2
4
2
3
5
1
5
1
2
4
3
B
E
B
B
D
C
A
A
B
E
C
D
B
E
C
C
A
D
D
D
E
C
A
E
A
1
2
3
5
4
4
3
1
2
5
2
5
4
1
3
5
4
2
3
1
3
1
5
4
2
B
D
E
C
A
B
B
E
E
C
C
C
A
D
E
D
B
A
B
C
A
D
A
E
D
4
1
5
2
3
1
2
3
4
5
3
4
1
5
2
2
5
4
3
1
5
3
2
1
4
B
E
B
D
B
C
B
C
C
C
C
A
E
D
D
B
D
A
E
E
D
A
A
A
E
3
4
2
5
1
1
5
3
2
4
5
2
1
4
3
4
1
5
3
2
2
3
4
1
5
B
C
E
B
C
E
D
A
A
D
E
A
C
E
B
C
C
B
A
A
E
D
D
B
D
5
1
4
2
3
1
2
5
3
4
3
4
2
5
1
4
5
3
1
2
2
3
1
4
5
B
E
C
A
D
B
C
B
D
A
B
C
B
C
E
E
D
D
C
E
D
A
A
A
E
2
1
4
3
5
4
3
5
2
1
3
2
1
5
4
5
4
3
1
2
1
5
2
4
3
D
C
A
A
B
A
E
E
A
E
E
C
C
C
B
D
A
D
D
B
C
B
D
E
B
5
3
1
4
2
2
1
5
3
4
3
2
4
5
1
4
5
2
1
3
1
4
3
2
5
A
E
B
E
A
D
B
C
E
C
C
D
D
A
C
A
A
D
D
B
B
C
E
E
B
1
4
2
3
5
2
5
3
1
4
5
3
1
4
2
3
2
4
5
1
4
1
5
2
3
Logika & razvedrilna matematika 51
Futošiki
1 2 4 3
2 3 1 4
4 1 3 2
3 4 2 1
µ2= µ2=
+1= <
+2=
+1=
3 2 1 4
4 1 3 2
2 3 4 1
1 4 2 3
<
+2= -1=
+1= +1=
< +1=
4 2 3 1
2 1 4 3
3 4 1 2
1 3 2 4
-2= +1=
<
+1= +1=
+2= +2=
3 2 1 4
4 3 2 1
1 4 3 2
2 1 4 3
<
-1=
< -1=
:2= < -1=
4 2 1 3
2 4 3 1
1 3 2 4
3 1 4 2
-1= +2=
+2=
+2= µ2=
<
3 2 1 4
1 3 4 2
4 1 2 3
2 4 3 1
-1= <
+2= +1= :2=
µ2= +1=
+2=
3 2 1 4
4 3 2 1
1 4 3 2
2 1 4 3
-1= -1= <
< -1=
<
2 1 4 3
3 2 1 4
1 4 3 2
4 3 2 1
< -1=
<
< -1= -1=
-1= :2=
1 4 3 2
4 3 2 1
3 2 1 4
2 1 4 3
< -1= -1=
-1= :2= <
< -1=
3 2 1 4
4 3 2 1
2 1 4 3
1 4 3 2
:2= <
-1= -1=
<
< -1=
2 1 4 3
3 2 1 4
4 3 2 1
1 4 3 2
<
-1= <
:2=
< -1=
2 4 3 1
4 2 1 3
3 1 4 2
1 3 2 4
µ2= -2=
-1= +2=
<
+2= µ2=
Logika & razvedrilna matematika 52
Rdeči kvadratki
R
R
R
2 1
0 0
1 1
R
R
1 0
0
0 0
0 1
R R
R
0
1 0
1 2 1
R
R
R
0 0
0 1 1
1
0 1
1 0
R
R R
0 0
0 1
0 0 1
0 1 1
R
R R
1 1
1 1
0 0 0 0
R R
R
R
1 1
2 0
0
0 0
R
R
1 0
0
0
0 1
R
R
0 0
0
1 1 0
0 0
1
R
R
1 1 1
0
1 0
0 0 0
0
R
R R
0 1
0
0 0
1 1
1 0
R
R
1 0
0
0 0 1 0
Logika & razvedrilna matematika 53
Lastnosti lika
Trikotnik R
Majhen � Velik R
Moder fl Oranžen N
Majhen � Petkotnik N
Trikotnik fl Moder R
oblika Trikotnik
velikost Velik
barva Moder
Petkotnik � Trikotnik N
Trikotnik � Velik R
Kvadrat fl Trikotnik N
oblika Kvadrat
velikost Velik
Velik fl Petkotnik R
Velik flKvadrat N
Kvadrat flVelik R
oblika Petkotnik
velikost Velik
Srednji R
Majhen ÍOranžen R
Kvadrat fiRumen N
Oranžen fl Trikotnik R
oblika Trikotnik
velikost Srednji
barva Oranžen
Razpored znakov
A B C B C A
D C B A D A C B
A C E D B D B E C A
E C D A B A C E B D
Logika & razvedrilna matematika 54
Gobelini
2
1, 1
4
1
1, 1
2
4 111
111
21
3, 1
1, 1, 1
1, 1, 1
1, 1, 1
1, 1, 1
711
6 11
5 11
5 1
511141111
9 11
11
11
1
2, 2
1, 1
1, 1
1, 1
1, 1
4
1 5 1 11
6 1
2, 3, 21, 1, 11, 1, 11, 2, 11, 11, 1
1 4 2 11
4 12
2 2 1
3, 3
1, 1
1, 1, 1
1, 1, 1
1, 1, 1
1, 1
1 5 11
3 11
5 1
51, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 15
9 11
11
11
11
11
5
1, 1
2
1
1
1
1
1
7 1 1
2, 21, 21, 11, 11, 1413
4 11
11
111
8 11
2, 22, 11, 11, 12, 11, 2113
11
9 111
11
11
4
211111113
11
9 1
2, 11, 21, 11, 11, 11, 22, 114
51
111
111
111
8
Logika & razvedrilna matematika 55
Križne vsote
9 7
8 3 4
1 5
17 11
16
9
15
6
4 29 7 1 7
5 8 1 2 6
7 5 4
9 2
13 146
3 1316
158
713 9
1416
11
7 91 7 3 2
2 9 2 5 4
3 1 6
3 1
8 1816
8 68
125
911 11
410
4
1 5
9 7 1
6 8
3 1
10 126
1017
914
4
9 5
1 2 1 3
1 7 4 5 78 1 9
4 8
10 814
6 103
154
218 16
518
12
1 4
2 9 4
3 4
9 5
3 135
1615
97
14
9 88 1 6 8
6 4 1 4 9
8 4 9
9 8
17 1517
10 179
1214
1810 14
1321
17
6 51 9 1 3
8 5 8 5 7
9 8 7
6 1
7 2211
6 1010
144
1613 20
1424
7
1 2
4 6 3
5 9
5 13
3
12
13
14
5 3
8 9 3
4 3
4 1
7 2
13 128
720
147
35
9
2 1
6 8 3
8 1
9 8
8 93
2017
99
17
7 5
8 3 6
8 4
9 2
15 812
2317
612
11
Logika & razvedrilna matematika 56
Križni produkti
4 83 9 4 9
3 8 4 9 5
7 3 8
7 5
12 21632
36 4527
5636
16024 180
21168
35
3 52 7 3 4
8 6 6 5 8
9 5 7
9 3
6 28015
15 3214
5412
12648 240
45315
27
2 4
7 9 5
3 2
3 8
9 3
14 368
15315
546
2424
27
3 2
9 4 2 4
9 4 8 6 72 5 6
4 2
27 726
12 2836
88
9636 336
2060
8
4 6
9 3 2
5 8
9 7
36 18
24
90
54
56
40
63
7 6 9
8 7 5
56 42 45
378
280
5 8 3 42 3 8 7 2
6 3 6 36 3 2 9 54 9 8 6
7 9 56 8
10 144 24 84040 12
66 112
240
2418
113418
5418 90
36 4872
315
48
7 6
8 4 6
3 5
3 5
7 2
56 2442
18192
10515
1015
14
4 3 9 7
7 9 6 8
7 9 3
6 2 4 3
3 8 8 5
28 9072 5184 5612 63
63 4818
18915
1443
24 40
8 4 3 53 5 6 7 2
8 6 4 94 5 2 6 86 4 4 8
9 4 86 3
24 160 18 112032 15
1815 84
384
2448
108036
4820 96
24 3212
288
18
5 6 7 52 3 9 4 2
8 2 8 66 8 3 6 29 3 5 7
4 8 95 6
10 144 63 32030 35
126 72
270
5416
48048
4248 36
27 3548
288
30
2 9
8 3 4 6
2 6 3 5 48 7 2
8 5
16 5418
20 2424
4824
3012 60
56112
40
Logika & razvedrilna matematika 57
Labirint na kocki
1 2
34
5
6
7
8 9 10 1112
1314
15 16
1718
19 20
21 2223
1
2
3
4
5 6
7
8
9
10
11121314
15 16
17
1819
20
21
1
2
34
5
6
7 8 9
10 11
12
1314
15 16
1718
19
20
21 22
23
1
2 3
4
5
6
7 8
9
1011
12 13 14 15
16
17
1819
20
1
2
3
4
5
67
8
9
10
11 12
13 14
15
16 17
18
19
20
1
2 3 4
5 6
7
8
9
10
11
12
13
14
1516
17
181920
21
22 23
Logika & razvedrilna matematika 58
Labirinti na enostavnih poliedrih
12
34
5
678
9 10 1112
13 14
15
16
17
1819
20 21
1 2
3 4
567
89
10
1112
13
14
15
16
1718
12
3
4
5
6
7
8 9
10
111213
14
15
16 17 18
1
2
3
4
5
6 7
8
910
11
12
1
2
3
4
5
6 7
8
9
10
11
1213
14
15
1
23
4
5
6 7
8
9 10
11
12
13
14
1516
17
18
Logika & razvedrilna matematika 59
Grupe
Sličice na drugi sliki moramo zaporedoma označiti: {14, 1, 12, 6, 15, 8, 4, 13, 17, 9, 11, 3, 2, 7, 16, 10, 5} (Prva sličica na desni ustreza 14. sličici na levi.) Linearne grupe: a) {5, 1, 3, 7, 2, 6, 4}, {6, 2, 4, 1, 7, 3, 5}} b) {7, 3, 4, 6, 2, 5, 1}, {1, 6, 2, 7, 3, 5, 4}
Prostorska predstavljivost a)
1 2 3
1
2
3
4
5
3 5 6
2 4 6
4 9 5
1 6 8
5 3 8
b)
1 2 3
1
2
3
4
5
5 7 8
1 1 3
6 3 1
3 4 4
2 3 4
Logika & razvedrilna matematika 60
Labirinti na robovih poliedra 1.
64
5
4 6
2
2
1
44
1 513
5
6
5 3
2
3 1
6
3
2
82, 3, 5, 6<
2 3
4
2
1
3 2
41 4
3
1
83, 1, 4<
610
9
5
1
2 8
4
3
7
2
10
8
4
8 6
3
4
1
7
35
9
27 8
10 6
1
46
53
1
9
7
5 9 10
2
88, 2, 7, 3, 5, 1, 6<
4
23 2
1
3
4 1
2
14
3
84, 2, 3, 1<
2
12
8
7
2
8
112
7
2 11
4
2
412
1
5 9
6
5
16 1
1010
1
3
1
9
312
108
78
3
911
7
4
11
54
612
5
11 9
4 5
612 6
10
3
8
10
3
9 7
810, 12, 2, 7, 3, 9, 5<
6
45
2
4
6
14
2
4 1
55
1
35 3
6
1
2 326
381, 5, 3, 6, 2<
Logika & razvedrilna matematika 61
2.
10 8
24
115
3 912
9
68
31
26
7
41
5 7
1112
10
11
912
5
13
6
9
3
5 11
710
12
8
4 2
1
86
2
710
4
89, 11, 7, 4, 1, 5, 3<
128
11 14
1312
14
8 12
5
11
86
11
1014
9
1314
10
75
12 13
94
8
5
12
6
2
310
11
6
7
49
5
412
13
3 7
10
1 4
73
813, 12, 8, 6, 11, 10, 7, 9<
4 2
68
8 6
57
3
48
7 3 1
24
7 5
13
2
1 5
6
86, 5, 1, 3, 7, 8<
59
1
7
3
4
8
2 10
6
9
102
1 9 5
610 6
5 3
4
3
7
8
47
1
2
8
86, 10, 9, 5, 3, 7, 8, 2<
610
9
5
1
8 4
3
7
2
10
82
6
48
3
41
7
3
5
7
92
6
8
10 6 1
4
5
31
5
9
7
10
2
9
81, 6, 8, 2, 7, 3<
610
9
5
1
8 4
3
7
2
10
82 8
6
4
3
4 1
5
73
9
27
10 6
8 4
6 1
1
53
9
7
5 10
2
9
81, 5, 7, 2, 8, 6<
Logika & razvedrilna matematika 62
Labirinti na zemljevidu 1.
12
3
45
67
8
9
1011
12
1314
15 16
17
18 19
20 21
2223 24
25
2627
28 29
30 31
32 33
34
3536
37383940
41
42
2,
12
3 4
5
6
7
8910
11 12
13141516
17 18
1920
21 22 23
2425
26
27282930
31
3233
34 35 36
37
3839
40 4142
43 44
45
3.
1 23
45
67
89
10
11 12
1314
15
16
17
18
1920
21
2223
24 2526
2728
29 30
31 32
3334
35
36
37
38
Logika & razvedrilna matematika 63
Večdelni labirinti na zemljevidu 1.
1 2
345678
910
1112
13 14
15
16
1718
19
20
21
22
23 24
25
26
27
28
29
30 31
32
2.
12
345
6 7
8
910
11
12
13
1415
3.
1 2
3 4
5 6
7
8
9
1011
12 13
14
15
16
1718
19
20
212223 2425
26
Logika & razvedrilna matematika 64
Labirint v kvadru
12
3 4 56 789
1011
12
3 4
56
789
10 11
1213 14
12
34
5 6 7
8
9 10
1112
13
12 3 4
56 7
89 10 11
12
13
Logika & razvedrilna matematika 65
Labirint na Reimannovi ploskvi
1 2
34
5
678
9
10
11 12
1314
15 16
17 18
19
20 21
3 4 2 14 3 1 2
4 1 2 32 3 4 1
3 4 2 14 3 1 2
1 2
34
56
7 8
9
1011
12
1314
15 16
1718
192021
2223
24 25
2627
28
3 1 4 22 4 1 3
3 1 4 22 4 1 3
4 1 2 32 3 4 1
4 1 2 32 3 4 1
12
3 4
567
8 9
10 11
1213
14
2 3 4 14 1 2 3
2 4 1 33 1 4 2
1
2 3
45
6 7
8 9 10
11
1213
14 15
161718
3 4 2 14 3 1 2
4 3 1 23 4 2 1
Logika & razvedrilna matematika 66
12
3
4 5
6 7
89
10 11
1213
1415
3 4 2 14 3 1 2
2 4 1 33 1 4 2
2 4 1 33 1 4 2
12
3
45
67
8 9
1011
12
1314
15 16
17
1819
20 21
2 3 4 14 1 2 3
3 4 2 14 3 1 2
3 1 4 22 4 1 3
2 3 4 14 1 2 3
2 3 4 14 1 2 3
1
2
34
5
678
9 10
1112
13 14
15 16
17
3 4 2 14 3 1 2
4 1 2 32 3 4 1
4 1 2 32 3 4 1
1
23
45
6 7
89
1011
12 13
14
15 16
3 1 22 3 1
2 3 13 1 2
3 1 22 3 1
3 1 22 3 1
Logika & razvedrilna matematika 67
Labirint na ploskvah
1
2
34
5
6
7
8
910
11
1213
1415
16 17
18 19
20
2122
23
1 2
34
5 67
8 9
10 11
12 13 14
15
16 17
18
192021
22
2324
25
2627
2829
30 31
323334
35 36
12
3
45
6
78
910
11
121314
1516
17
1819
20
Logika & razvedrilna matematika 68
1 2
34
5 6 7
8 9
10 11
12 13
14
15
1617181920
212223
2425
262728
29 30
3132
33
34
353637
3839
40
Labirint na projekcijah teles
Logika & razvedrilna matematika 69
Določi razpored črk 1.
2.
3.
Logika & razvedrilna matematika 70
4.
5.
Labirinti na mreži valja in stožca 1.
1
2
3
4
5
6 7
8
9
10 11 12
1314 15
1617
18
19 20 21 2223
24
Logika & razvedrilna matematika 71
2.
1
2
3
45
6
7
8
9
10
11 12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
2223
2425
3.
12
3
4
5
6
7 8
9
10
1112
13
14
15
16
4.
12
3
4
5
67
8910
11
12
13
14
1516
17
18 1920
21
5.
123
45 6
78
9 10
11
1213 14
1516
17
18
19
202122
23
24
2526
27
28
2930
Logika & razvedrilna matematika 72
6.
1234
5
6
78
9
10
1112
13
14
15
1617
1819
20
21
22
23
2425
2627
28
29
3031
32 3334
7.
12 3
45
6
7 8
9
1011
12
1314 15
16
17
18
1920212223
242526
27 28
2930
3132
33
Neodvisnost pogojev 1.
1 2 3
C A B
1 ABC ACB2 BAC
2.
1 2 3
A C B
1 ABC2 BCA3 CBA CAB
3.
1 2 3 4
C A D B
1 BCDA BCAD2 DACB DBCA ABDC ABCD ADCB DBAC3 CBDA CBAD CDAB
4.
1 2 3 4
C A D B
1 ACDB BCAD2 BADC CABD3 DBAC4 CDBA ADBC CBAD
5.
1 2 3 4 5
B D C A E
1 BDEAC EBDAC AEBDC ABEDC EBADC EADBC2 EDCAB ECDAB ABCDE ACEDB ECADB EBCDA3 ADCBE DACBE EACBD BACDE EDCBA4 AECBD DECBA BECDA5 BCDAE ACEBD DCABE ECABD BCADE DCEBA BCEDA
Logika & razvedrilna matematika 73
Odstranjene kockice 83 54 65
68 76 71
56 52 66
55 70 96 Kocki določi mrežo 3, 3, 2, 1, 4, 4.
Izdaja: Založniško podjetje LOGIKA d.o.o., Svetčeva pot 11, 1241 Kamnik. Poslovni račun pri NLB: 02312-0016592829. Davčna številka: SI56917309. Podjetje je zavezanec za DDV po zakonu o DDV. Za izdajatelja: Izidor Hafner. E-mail: [email protected]. Spletna stran: http://www.logika.si. Revija Logika & razvedrilna matematika je vpisana v register medijev pri Ministrstvu za kulturo pod številko 759. Strokovni pokrovitelj: Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko - oddelek za teoretično računalništvo. Glavni in odgovorni urednik: dr. Izidor Hafner (http://mat03.fe.uni-
lj.si/html/people/izidor/homepage/) Člana časopisnega sveta: prof. dr. Tomaž Pisanski in Darjo Felda, prof. Recenzent: Vilko Domajnko, prof. Sodelavci: mag. Urša Demšar, dr. Gregor Dolinar, Monika Kavalir, dr. Meta Lah, Boštjan Kuzman,Teja Oblak, Hiacinta Pintar, Maja Pohar, mag. Katka Šenk in dr. Aleš Vavpetič. Oblikovanje: Ana Hafner Jezikovni pregled: Besana Za objavljene prispevke ne plačujemo honorarjev. © 2016 LOGIKA d.o.o. ISSN 2350-532X LOGIKA & RAZVEDRILNA MATEMATIKA, letnik XXVI, št. 1 od 4, 2016/2017 Elektronska izdaja. Cena revije: 0 €.