Spoštovani, · 2018-11-14 · Logika & razvedrilna matematika 1 Spoštovani, Pred vami je druga številka 28. letnika revije Logika in razvedrilna matematika. Spet bi vas radi opozorili

Logika & razvedrilna matematika 1

Spoštovani,

Pred vami je druga številka 28. letnika revije Logika in razvedrilna matematika. Spet bi vas radi

opozorili na starejše številke revije, ki so zdaj dostopne na spletu, bodisi v celoti, bodisi le delno.

Do teh številk pridete prek povezave: http://www.logika.si/revija/vsebine.htm

Na spletni strani http://www.logika.si/ smo pripravili štiri sklope nalog, ki bodo lahko služile za

pripravo na tekmovanje iz logike (https://www.zotks.si/ ), iz razvedrilne matematike

(https://www.dmfa.si/ ), na tekmovanje Matemček in na tekmovanje za priznanje logične pošasti

(http://www.mathema.si/ ).

Še bolj so te naloge koristne za vsakdanje urjenje možganov, ki tako kot telo potrebujejo nekaj

vsakdanje telovadbe, potrebujejo kakšno logično nalogo za jutranji zagon naših misli.

Na spletni strani logika.si boste našli še vrsto člankov iz preteklih številk revije, ki dajejo nekaj

teoretičnih izhodišč in definicij, povezanih z logiko, ter več zbirk tipičnih logičnih nalog.

Naredili smo tudi precej zgledov sklopa računanje, kjer bomo objavljali naloge za utrjevanje

osnovnih vsebin matematike v osnovni in srednji šoli.

http://www.logika.si/revija/vsebine.htm

http://www.logika.si/

https://www.zotks.si/

http://www.mathema.si/


Barvni sudoku

V n n kvadratkov moraš vpisati začetna naravna števila od 1 do n tako, da bo v vsaki vrstici,

v vsakem stolpcu in v kvadratkih iste barve nastopalo vseh n števil.

1.

4

2

1

3

4

2

3

2

5 3

4

2

4 1 4

2

5

3

4

3

1

2 5

1

42

4 1 4

2

1

5

2

5

1

3

2

4

5 3

4

3

2


2.

1

3

2

5

1

3

4

3

2

5 1

1 3

4

1 5

4

33

1

2

4

3

2

4

3

2

3

2

1

4

3

1

2

4 2

1

1

4 3


Latinski kvadrati

V n n kvadratkov moraš vpisati začetne številke 1, 2, 3, … tako, da bo v vsaki vrstici, v

vsakem stolpcu nastopalo vseh n številk.

3

2 3

1

2 3

4

3

3 44 3

1 4 2

4 2

1

2 45 2

2 3 1

3 21 5

15 1

3

15 1 2 3

35

2 5 1

3

3 1

2

2

3

1

2 1

2 13 5

2 34

34 2

2 35 1

3

4 3

1

3

1

4 1


Sudoku s črkami

V n n kvadratkov moraš vpisati začetna naravna števila od 1 do n tako, da bo v vsaki vrstici,

v vsakem stolpcu in v kvadratkih z isto črko nastopalo vseh n števil.

E

C

B

A

D

E

A

A

B

D

C

C

A

D

D

B

C

B

E

D

C

E

A

B

E

4 2

1

5B

E

E

D

A

C

C

A

B

C

D

E

A

D

D

C

A

E

E

B

C

A

B

D

B

1

3

5 2A

C

E

C

A

E

D

B

C

D

B

C

B

C

E

A

A

E

D

D

D

E

B

A

B

1

5

3 4

E

D

D

C

A

E

A

B

E

D

E

C

C

D

B

E

B

C

B

B

A

C

D

A

A5

2 3 1E

E

D

C

C

D

E

D

C

E

B

B

D

E

C

D

B

B

C

A

A

B

A

A

A

4

3

1

2

C

C

B

A

A

E

E

B

D

A

B

A

E

D

C

D

C

A

B

C

D

E

E

D

B

1

3

2

5

B

D

B

E

C

D

E

B

A

C

C

D

B

D

D

B

C

E

A

E

E

C

A

A

A

1

2 5

4

C

D

B

B

B

A

A

E

D

E

C

E

C

B

A

C

D

C

B

D

A

D

A

E

E

2

5 4

5

3

A

A

C

C

A

A

D

E

B

E

B

E

C

D

B

E

B

E

A

D

C

D

B

C

D

5

2 4

3

D

A

A

A

C

B

B

E

D

D

E

E

C

D

C

B

B

A

A

B

E

C

E

D

C

4

1

5

3B

C

E

B

B

A

B

A

C

E

E

C

E

A

D

C

D

A

E

A

D

D

B

C

D

4

3

1 5D

D

C

B

D

D

B

E

A

D

C

A

C

E

C

E

E

C

B

B

A

A

B

E

A

5

3

2

4 2


Futoshiki

V n n kvadratkov moraš vpisati začetna naravna števila od 1 do n tako, da bo v vsaki vrstici

in v vsakem stolpcu nastopalo vseh n števil ter da bodo izpolnjene vse relacije.


Določi razpored

A JE SOSEDA OD

B.

N

A JE DESNO OD

C.

N

AJE LEVO OD C.

R

A JE LEVO OD B. N

B JE DESNO OD

C.

R

A JE SOSEDA OD D. R

C JE SOSEDA OD D. R

B JE LEVO OD D. N

C JE LEVO OD D. R

A JE DESNO OD B. N

C JE SOSEDA OD D. R

A JE SOSEDA OD C. R

A JE DESNO OD C. R

B JE SOSEDA OD D. N

D JE SOSEDA OD E. N

C JE LEVO OD D. N

D JE LEVO OD E. R

A JE LEVO OD D. R

C JE DESNO OD E. R

C JE DESNO OD D. R

A JE SOSEDA OD E. R

B JE DESNO OD D. N

A JE LEVO OD C. N

A JE SOSEDA OD C. N

B JE SOSEDA OD E. R

A JE DESNO OD D. N

B JE SOSEDA OD C. R

C JE DESNO OD E. N

A JE LEVO OD C. N

A JE DESNO OD E. R

D JE LEVO OD E. R

A JE LEVO OD C. R

B JE DESNO OD D. N

C JE SOSEDA OD E. N


Gobelini Kvadratke v razpredelnici moraš pobarvati sivo tako, da bo zaporedje sivih pasov v vrstici

ustrezalo zaporedju števil na desni in da bo zaporedje sivih pasov v stolpcu ustrezalo

zaporedju števil pod njim.

2

1

1

1, 2

2, 1

1, 1

1, 1

1, 1

3

1 8 1

1

1

1

1

1

4

2, 2

1, 1

2

2

1, 1

2, 2

1

1

2

2

2 2 2

2

1

1

1, 1

1, 1

1, 1

1

1, 1

1, 1

1, 1

1

1

2

2

1 2

2

1

1

5

1

1

1

1

1

1

5

1

1

1

1

8 1

1

1

1

2

1

1, 3

1, 1

3

1, 1

1, 1

2, 3

1

1

8 1 1

2

1

2

2

1

1

3

1, 1

4

1, 1

1, 1

5

1

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

5 1

1

2

1

1

1

1

3

1

1

1

6

1

2, 2

1, 2

1, 1

1, 1

1, 1

4

1

3

4 1

1

1

1

1

1

1

8 1

1

3

1, 1

1, 1

1, 1

1, 1

1, 1

1, 1

3

3

6 1

1

1

2

1

2

6

1

2

1, 1

1

1

1

1, 1

2

5 1

1

1

1

1

1

3

1, 1

5

1

1

4

4 1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

1

6

1, 1

1, 1

3

1, 1

1

1

31

1

8 1

1

1

1

3

1 2


Križne vsote Naloga reševalca je, da izpolni bele kvadratke s števkami od 1 do 9 tako, da je vsota števk v

zaporednih belih kvadratkih po vrsticah in stolpcih enaka številu, ki je zapisano v rdečem

kvadratku na začetku vrstice (stolpca) nad (pod) diagonalo. Pri tem pa morajo biti vse števke

v posamezni vrstici (stolpcu) različne.

9 84

6 108

114

2012 21

1620

11

9 14

17

15

14

15

15

7

3 117

1113

219

1011

16

3 127

5 123

94

2311 21

310

11

12 138

8 510

78

910 7

1210

13

7 23

12

11

21

8

16 69

1120

116

1611

14

17 7

10

12

22

8

9

3

16 15

16

15

23

5

8

4

11 4

12

21

9

16

16

15

13 15

16

8

14

17

10

13

9 1016

911

174

411

7


Križni produkti

Naloga reševalca je, da izpolni bele kvadratke s števkami od 2 do 9 tako, da bo zmnožek števk

v zaporednih belih kvadratkih po vrsticah in stolpcih enak številu, ki je zapisano v sivem

kvadratku na zač

števke v posamezni vrstici (stolpcu) različne.

21 8

28

27

54

36

6

42

42

18

30 16 12

60

96

28 45 12

378

40

15 30

15

30

36 40

72

126

180

27

63

6

56 108

48

40

112

45


Labirint na kocki Poveži točki na kocki:


Labirinti na enostavnih poliedrih

Poveži točki na poliedru:


Poveži sličici, ki pripadata isti grupi

7

6 15

12 16

13 5

4 11

3 8

1 10

9 17

2 14


Poveži sličici, ki pripadata isti grupi

a)

b)


Prostorska predstavljivost a) Katero število moramo vpisati na mesto znaka ??, da bosta stranici pripadali istemu robu

poliedra?

6

1

5114

7

8

32??

910

12

21

3

5

74

86

??

910

1211

46

2

51

39

117

12

810

??

4

135

??11

86

7

2

910

12

46

2 35

1

117

8

910

12??

2

13

9

74

511

86

1012

??

26

78

3

14

??

9 5

5

6 2 ??

81 3

4

97 6

2

78

3

41 ??

5

9

4??

1

3

26

7

85 ??

4

2

86 7

1

3 5

57

4

32??

618

38??

264

71

59

23

54

7??

86

1

9

2

4

1??

78

6

59

3


b) Katero številko moramo vpisati na mesto znaka ??, da bosta oglišči pripadali istemu

oglišču poliedra?

1

26??3

54 8 7

34

152

6??87

1 2

3

45??

76

8

34

16??

72

58

??

6

2

843

1 57

?? 52 63

7 41

8

1?? 5

3

264

??

421

56

3

5??

3

2146

3

??5 4

1

2

52

??

134

2??34

1

5

13

624??

5

5

1

34

??6

2

1

??

4

3

5

26


Labirinti na robovih poliedra

V naslednjih nalogah moramo povezati dve oglišči poliedra, ki je podan z mrežo. Poiskati moramo

pot od oranžne do modre točke. Iz ene točke lahko gremo do druge točke, če je med njima debelejša

črta ali pa točki predstavljata isto oglišče poliedra.

1.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

2.

1

2

3

4

5

6


Večdelni labirinti na zemljevidu

1.

2.

3.


Labirint na zemljevidu


Odstranjene kocke Dan je kvader, ki sestoji iz kockic. Odstranimo vse kocke, ki so zaznamovane črno od vrha do

dna, od leve do desne in od spredaj do zadaj. Koliko kock smo odstranili?


Kocki določi mrežo

Vsaki mreži na desni (večja mreža) določi mrežo iste kocke na levi.


Labirint v kvadru

Kvader sestoji iz vodoravnih slojev kockastih oddelkov (zgornji, srednji in spodnji sloj so dani od

leve proti desni). Odebeljene črte preprečujejo prehajanje med sosednjima oddelkoma istega sloja.

Med oddelkom in oddelkom neposredno pod njim lahko prehajamo, če in samo če je prvi pobarvan

belo.

Poišči najkrajšo pot od oddelka z 1 do oddelka z A! Pot označi z zaporednimi naravnimi števili.

Prvi oddelek je že označen z 1, vsak naslednji sosednji oddelek (kocko) pa s številom, večjim za 1.

1

A

1

A

1

A

1 A


Labirint na Riemannovi ploskvi Imamo več listov, ki jih razlikujemo po zaporedni številki od leve proti desni. Vsak list ima obliko

podkve, sredina pa je razrez. Vsi kvadratki enega lista so povezani, prehod med njimi pa nam

prepreči odebeljena črta. Kako je s prehajanjem z nekega lista na drugega? To so prehodi po

horizontali. Recimo, da smo se znašli na tretjem kvadratku od zgoraj levo na tretjem listu. Oznaka

sosednjega pravokotnika je 2 - to pomeni, da lahko nadaljujemo na desnem enako ležečem

kvadratku 2. lista.. Tak prehod pa ni možen, če je med kvadratkom in sosednim pravokotnikom

odebeljena črta. Poiskati moramo pot od črne do sive pike.

2 4 1 33 1 4 2

4 1 2 32 3 4 1

4 1 2 32 3 4 1

4 1 2 32 3 4 1

3 4 2 14 3 1 2

2 3 4 14 1 2 3

3 1 4 22 4 1 3

3 1 22 3 1

2 3 13 1 2

3 1 22 3 1

2 3 13 1 2

2 3 13 1 2

2 3 13 1 2


Labirinti na ploskvah

Podan je labirint na pravokotniku. Moramo poiskati pot od temnejše do svetlejše pike. Prehod med

sosednjimi kvadratki je možen, če med njima ni odebeljene črte. Skica na levi pomeni, kako sta

nasprotni stranici pravokotnika povezani (miselno ju moramo zlepiti).


Labirinti na projekcijah teles

Telo je projicirano v ravnino. Na projekciji je podan labirint, kjer odebeljene črte preprečujejo

prehod iz projekcije mejne ploskve na projekcijo sosednje mejne ploskve.


Labirinti na mreži valja in stožca

1.

2.

3.


Analiziraj pogoje nalog

Dobro definirana naloga je naloga, pri kateri so njeni pogoji potrebni in zadostni za njeno rešitev.

To pomeni, da noben pogoj ni odveč in da ima naloga enolično rešitev. Pri zastavljeni nalogi imamo

lahko več možnosti:

Naloga nima rešitve, pogoji so protislovni.

Naloga ima več rešitev, to je, pogoji niso zadostni (za enolično rešitev).

Naloga ima enolično rešitev, vendar pogoji niso potrebni (vsaj en pogoj bi lahko izpustili in bi

naloga še vedno imela enolično rešitev).

Naloga ima enolično rešitev in pogoji so potrebni (neodvisni) in seveda zadostni. Naloga je dobro

definirana.

V naslednjih nalogah moramo ugotoviti, kako je s pogoji naloge.

Poiskati moramo imena A, B,C, … likov, ki so označeni z 1, 2, 3, …, če so izpolnjeni pogoji na

desni strani slike. Ugotoviti moramo tudi, ali so pogoji neodvisni.


Nagradne naloge

Z letošnjim letom uvajamo kar tri nagradne uganke: nagradno logično nalogo, nalogo v esperantu in

nagradno nalogo o simetriji. Za vsako bomo med pravilnimi rešitvami izžrebali tri nagrajence. Prva

nagrada bo komplet poševna prizma in drugi modeli, druga bo Jovo mini komplet, tretja pa poševna

tristrana prizma (to je, dosedanja nagrada). Tri šole z največjim številom poslanih odgovorov

bomo tudi nagradili z omenjeno prvo nagrado.

Reševalce prosimo, da ob rešitvi čitljivo napišejo svoj domači (in ne šolski naslov), na katerega

bomo poslali morebitno nagrado. Po žrebu bodo vsi ti podatki uničeni. Rešitve pošljite z navadno

in ne priporočeno pošto. Če naloge rešujete v okviru pouka, vse rešitve posamezne naloge pošljite v

eni kuverti (ni treba dati za vsakega učenca v posebno kuverto). Če rešujete dve ali tri naloge,

zberite posamezne naloge v manjše kuverte in vse pošljite v eni večji kuverti. Posamezniki lahko

pošljete vse rešitve v eni kuverti, vendar mora biti vsaka rešitev na svojem listu in opremljena s

čitljivim naslovom.

Poševna prizma in drugi modeli je komplet 40 okvirjev Polydron (20 enakostraničnih trikotnikov,

18 kvadratov in 2 pravokotna enakostranična trikotnika). Tako boste lahko sestavili dvajseterec,

osmerec, četverec in kocko, če naštejemo le nekaj možnosti.

Jovo mini model sestoji iz dveh petkotnih, osmih kvadratnih in petnajstih trikotnih ploščic ter

ključa. Obstaja 29 enakorobnih poliedrov, katerih stranice (mejne ploskve) so pravilni

mnogokotniki in jih lahko sestavimo s tem kompletom.

Poševna prizma je komplet za sestavljanje poševne tristrane prizme. Spodaj je fotografija vseh treh

nagrad.

Največ odgovorov iz 1. številke so nam poslale šole: OŠ ŠMARJE-SAP, OŠ ANTONA MARTINA

SLOMŠKA VRNIKA in OŠ DRAGITINA KETTEJA, ILIRSKA BISTRICA. Nagrade bodo prejeli

še: A.Š., ROGAŠKA SLATINA, L:B:, KAMNIK, M.O. in T.S., ŠMARJE-SAP, M.P. in V.U.,

ILIRSKA BISTRICA, M.D. in P.R., PIVKA, V.V., VRHNIKA.


Nagradna logična naloga Štiri prijateljice (Iva, Ella, Dora, Jana) imajo različnine konje (Mistral,

King, Pongo, Reno), ki so različnih pasem (poni, lipicanec, frizijec, rjavec).

Za vsako določi ime, ime konja in njegovo pasmo.

1. Ella nima Rena.

2. Jana konj je rjavec.

3. Pongo ni ne frizijec ne poni.

4. Mistral ni ne lipicanec ne frizijec.

5. Dora nima ponija.

6. Reno ni frizijec.

7. Ella nima Mistrala.

8. Pongo ni lipicanec.

Iva

Ella

Dora

Jana

poni

lipicanec

frizijec

rjavec

Mis

tral

Kin

g

Pongo

Ren

o

poni

lipic

anec

friz

ijec

rjav

ec

Iva

Ella

Dora

Jana

ime konj pasma

Rešitev nagradne uganke pošljite do 1.1..2019 na naslov Logika d.o.o., Svetčeva pot 11, 1241

Kamnik, s pripisom »Nagradna uganka«. Prosimo vas, da napišete domači in ne šolski naslov, da

vam, če boste izžrebani, pošljemo nagrado.


Nagradna naloga v esperantu

Kvar amikinoj (Amelio, Kristina, Sofia, Sonja) kun diversaj familiaj nomoj

(Gonzalez, Metla, Li, Dupont) havas diversajn profesiojn (artistino, kemiistino,

muzikistino, verkistino).

Divenu iliajn nomojn, familiajn nomojn kaj profesiojn.

1. Sinjorino Dupont estas nek artistino nek verkistino.

2. Sinjorino Metla estas nek verkistino nek muzikistino.

3. La familia nomo de Sonja estas Gonzalez.

4. La profesio de sinjorino Gonzalez ne estas artistino.

5. La familia nomo de Sofia estas nek Li nek Dupont.

6. La profesio de sinjorino Metla ne estas artistino.

7. La familia nomo de Kristina ne estas Dupont.


Kamnik, s pripisom »esperanto«. Prosimo vas, da napišete domači in ne šolski naslov, da vam, če

boste izžrebani, pošljemo nagrado.


Nagradna naloga simetrija

V prvi vrstici (levem stolpcu) so simetrije likov označene z zaporednimi številkami.

Označi like v drugi vrstici (desnem stolpcu) s številko njihove simetrije.


Kamnik, s pripisom »simetrija«. Prosimo vas, da napišete domači in ne šolski naslov, da vam, če

boste izžrebani, pošljemo nagrado


Modeli iz ploščic

V tej rubriki bomo objavljali modele naših bralcev, Tokrat objavljamo model, ki ga je sestavil Bor z

manjšo pomočjo svojega očka.


Še ena rešitev Plemljeve naloge

Ko smo bili že prepričani, da smo odkrili vse možne rešitve Plemljeve naloge (konstruirati je treba

trikotnik, če je podana osnovnica c, višina na osnovnico v in razlika kotov pri A in B), smo v [2, str.

121] našli povsem nov postopek reševanja. Animacija te rešitve je objavljena v [3].

BA

K

M

F D

C

E

Na premici narišemo točko F in na njeni pravokotnici narišemo točko C, tako da je |FC|=v. Na

premici narišemo točko D, tako da je |DF|=c/2. Daljico CD podvojimo, tako da je |DK|=|CD|,

Konstruiramo točko M, tako da je MKD pravokoten trikotnik s kotom pri M. Krožnica z

radijem |MK|=|MC| in središčem v M seka premico v točki B. Od B odmerimo A na razdalji c.

Narišimo še točko E, tako da je |DB|=|DE|. Potem je EKBC paralelogram, njegov kot pri B je -,

saj je to kot nad tetivo CK, kjer je središčni kot 2. Torej je kot tega paralelograma pri C enak .

To pomeni, da je kot FEC enak +. Toda |AF|=c-(c/2+|DB|)=c/2-|ED|=|FE|. Torej je trikotnik AEC

enakokrak in je zato kot pri A enak +=.

Reference

[1] H. Holleben, P. Gerwien, Aufgaben-Systemeund Sammlungenaus der ebenen Geometrie, I. in

II. vol., Berlin, 1831 in 1832.

[2] E. Specht, 300 Aufgaben zur Geometrie und zu Ungleichungen

insbesondere zur Vorbereitung auf Mathematik-Olympiaden, Version 2.5 (Dezember 2000), Otto-

von-Guericke-Universität Magdeburg, Fakultät für Naturwissenschaften.

[3] Izidor Hafner, Marko Razpet and Nada Razpet

"The Plemelj Construction of a Triangle: 15"

http://demonstrations.wolfram.com/ThePlemeljConstructionOfATriangle15/

Wolfram Demonstrations Project

Published: August 1, 2018

http://demonstrations.wolfram.com/author.html?author=Izidor%20Hafner

http://demonstrations.wolfram.com/author.html?author=Marko%20Razpet

http://demonstrations.wolfram.com/author.html?author=Nada%20Razpet



http://demonstrations.wolfram.com/


Ekvivalentnostni račun

Ekvivalentnostni račun je podsistem izjavnega računa, ki vsebuje samo ekvivalenco. Lesniewski je

dokazal, da lahko ta račun aksiomatiziramo. Pri tem sta pravili sklepanja odcepitev in substitucija.

Lukasiewicz je dokazal, da lahko sistem aksiomatiziramo z enim samim aksiomom: EEpqEErqEpr.

Lukasiewicz [4] je najprej dokazal 20 izrekov:

length parameter of formula 1 2 3 4 new equivalential formula

show the first 21 theorems eliminate pairs of equal variables proof of the formula

show substitution or formula

Proof of the equivalential formula

EEEEEppqrrEqEpp

Proof:

Err

EpEpErr

EEppErr

EqEqEEppErr

EqEEqEppErr

EqEEEqEpprr

EqEErEqEppr

EqErErEqEpp

EpEpEqErErEqEpp

EEppEqErErEqEpp

EEEppqErErEqEpp

EEEEppqrErEqEpp

EEEEEppqrrEqEpp

6 p r

11 q Err

15 q p, r Err

11 p q, q EEppErr

20 p q, r Epp, s Err

20 p q, q EqEpp, s r

19 p q, q r , r EqEpp, s r

16 p q, q r , r ErEqEpp

11 q EqErErEqEpp

15 q p, r EqErErEqEpp

15 p Epp, r ErErEqEpp

15 p EEppq, q r , r ErEqEpp

15 p EEEppqr , q r , r EqEpp

Nato je dokazal, da je vsaka tavtologija, ki vsebuje samo ekvivalence, dokazljiva.

Zgornja slika prikazuje 20 izrekov, naslednja pa primer dokaza neke tavtologije. Oboje je narejeno

z demonstacijo [1].

Najkrajši aksiom

Dokazati, da je formula EEpqEErqEpr najkrajši aksiom, pomeni, da moramo za vse krajše

tavtologije, v katerih nastopa samo ekvivalenca, pokazati, da ne morejo biti aksiomi. Tokrat bomo

to pokazali samo za formulo Epp. Vzemimo, da E pomeni izjavno funkcijo, ki je podana s tabelo:

E 1 0

1 1 0

0 1 1

Potem je E00=1 in E11=1. Torej je Epp tavtologija (vedno ima vrednost 1). Ta tabela ohranja

resničnost pravila odcepitve: Če je a=1 in Eab=1, potem je b=1. Seveda pa ohranja resničnost pri

substituciji izjavnih spremenljivk s formulami.

Toda EEpqEErqEpr ni tavtologija. Če naredimo zamenjave (substitucije) p->1, q->1, r->0, dobimo

0 za vrednost formule.


Torej aksiom ekvivalentnostnega računa ni izpeljiv iz aksioma Epp. Dokazi za druge formule

zahtevajo bolj zahtevne tabele.

Kreativne definicije

Definicija je kreativna, če z njeno uvedbo lahko dokažemo izreke, ki ne vsebujejo novo uvedenega

simbola, a niso dokazljivi brez uporabe te definicije. V splošnem je problem »kreativnosti« zelo

težak. V primeru zelo enostavne teorije, to je, ekvivalentnostnega računa, pa se da to dobro

ilustrirati.

Ekvivalentnostni račun je izjavni račun, ki ima le eno izjavno povezavo, to je ekvivalenco.

Uporabili bomo poljsko notacijo. Na primer tavtologijo p p bomo pisali Epp.

Aksiom te teorije bo

EEsEppEEsEppEEpqEErqEpr,

Pravili sklepanja pa sta substitucija in odcepitev. Pokazali bomo, da lahko izreke te teorije dobimo

le s substitucijo.

Če lahko dobimo nov izrek te teorije z odcepitvijo, potem morata obstajati dve formuli dobljeni s

substitucijo v aksiom, ena je oblike E, druga pa . Ta pogoja lahko izrazimo:

E EEEEEEEEEEEE (a)

EEEEEEEEEEE (b)

Tu znak pomeni skladnost (enakost) izrazov. Iz prve enakosti sledi, da EE ustreza izrazu .

Zato veljajo enakosti:

EE EEEEEEEEEEE (c)

EE (d)

EE (e)

EEEEE (f)

Iz (e) in (f) dobimo:

E (g)

E (h)

E (i).

To je protislovje, saj izraz ne more imeti skladnega pravega dela.

Iz tega sledi, da v tem sistemu ne moremo dokazati krajših izrekov, kot je aksiom. Na primer Epp ni

izrek, je pa tavtologija.

Če pa vpeljemo definicijo

EVpEpp (ta definicija vpelje enomestno konstantno izjavno funkcijo Vp Epp)

in v aksiomu zamenjamo spremenljivko s z Vp dobimo z odcepitvijo izreke

EEVpEppEEVpEppEEpqEErqEpr

EVpEppEEpqEErqEpr

EEpqEErqEpr

Zadnji izraz je Lukasiewiczov aksiom za ekvivalentnosti račun. Povzeto po:[4].

Reference:

[1] Izidor Hafner "The Completeness Theorem of Equivalential Calculus"

http://demonstrations.wolfram.com/TheCompletenessTheoremOfEquivalentialCalculus/


Published: December 5 2013

[2] I. Hafner, On proof length in the equivalential calculus, Glasnik matemtički, vol.15(35)(1980),

233-242.

[3] I. Hafner, On lower bound of the proof length in the eqiuvalential calculus, Glasnik

matematički, vol.20 (40) (1985), 269-270.

[2] Jan Lukasiewicz, Equivalential calculus, Polish Logic 1920-1939, Oxford, Clarendon Press,

1967, str. 88-115.

http://demonstrations.wolfram.com/author.html?author=Izidor+Hafner





Odvod na dve decimalki

Odvod funkcije f v točki x je smerni količnik tangente na graf funkcije v točki (x, f(x)). Če

vzamemo del tangente med abscisama x in x+1, dobimo pravokotni trikotnik, katerega kateti sta 1

in f´(x). Na sivi lestvici odčitamo odvod na eno decimalko, na Vernierjevi lestvici pa določimo še

drugo decimalko.

slučajno ali drsnik x novo vprašanje

Koliko je f x ? 0.54 True

0.

0.1

0.2

0.30.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.91.

1.1

1.2

1.3

1.41.5

1.6

1.7

1.8

1.92.

01234567890

x

f x

1f x

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

V zgornjem primeru je odvod enak 0.54.

Določi odvod:

0.

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2.

01234567890

x

f x

1f x

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

Referenca: Izidor Hafner "Estimate Derivative"

http://demonstrations.wolfram.com/EstimateDerivative/


Published: February 28 2013






Prosti moduli in kemijske enačbe

Vzemimo poljubno množico T={t1, t2, …, tn} in kolobar K. Elementi modula M nad kolobarjem K

so vse formalne linearne kombinacije a1t1+a2t2+…+antn, kjer so koeficienti iz K. Seštevanje in

množenje s skalarjem sta definirana:

(a1t1+a2t2+…+antn)+ (a1t1+a2t2+…+antn) = (a1 + b1)t1+(a2 + b2)t2+…+(an + bn)tn)

a(a1t1+a2t2+…+antn) = aa1t1+aa2t2+…+aantn.

Modul, ki ga tako dobimo, označujemo K(T). Za nas je pomemben Z(T), kjer je Z kolobar celih

števil. Kadar je K obseg, govorimo o abstraktnem vektorskem prostoru, ki ima bazo T [3].

Uravnovesiti kemijsko enačbo C2H6O+O2 --> CO2+H2O pomeni, da moramo poiskati rešitev v

celih števili enačbe x(2C+6H+O)+y(2O) = z(C+2O)+w(2H+O). Lahko jo zapišemo tudi

x(2, 6, 1)+y(0, 0, 2) = z(1, 0, 2)+w(2,0,1). Atomi imajo vlogo bazičnih elementov, molekule pa so

linearne kombinacije.

Tokrat imamo delo z Z modulom z bazo {C, H, O}.

Če izenačimo število posameznih atomov na levi in desni, dobimo system homogenih enačb

2x=z

6x=2w

x+2y=2z+w

Če ima ta system racionalno rešitev, potem ima tudi rešitev v celih številih. Zato lahko glede

rešljivosti uporabimo izreke o rešljivosti linearnih enačb. Lahko bi ga tudi reševali z Gaussovo

eliminacijsko metodo. Vendar je lažje, če reduciramo število spremenljivk in uporabljamo v bistvu

Eulerjevo metodo za reševanje diofantskih enačb. Rešitve kemijskih enačb so ponavadi majhna

števila, zato pogosto računamo na pamet.

Če tretjo enačbo pomnožimo z 2 in nadomestimo z in w z x, dobimo

2x+4y=8x+6x, y=3x. Rešitev z najmanjšimi števili je (1, 3, 2, 3).

Več primerov najdete v [1, 2, 3 in 4].

Reference:

[1] D. E. Goldberg, Schaum's 3000 Solved Problems in Chemistry, New York: McGraw-Hill, 1988

[2] Izidor Hafner

"Free Modules for Balancing Abstract Chemical Equations"

http://demonstrations.wolfram.com/FreeModulesForBalancingAbstractChemicalEquations/


Published: August 2, 2018

[3] Barile, Margherita. "Free Module." From MathWorld--A Wolfram Web Resource, created by

Eric W. Weisstein. http://mathworld.wolfram.com/FreeModule.html

[4] Izidor Hafner "Balancing Abstract Chemical Equations with One Kind of Atom"

http://demonstrations.wolfram.com/BalancingAbstractChemicalEquationsWithOneKindOfAtom/


Published: November 24 2014

[5] Izidor Hafner "Balancing Abstract Chemical Equations"

http://demonstrations.wolfram.com/BalancingAbstractChemicalEquations/


Published: January 9 2014

http://demonstrations.wolfram.com/author.html?author=Izidor%20Hafner




http://mathworld.wolfram.com/topics/Barile.html

http://mathworld.wolfram.com/

http://mathworld.wolfram.com/about/author.html

http://mathworld.wolfram.com/FreeModule.html










Rešitve Barvni sudoku 1.

5

3

2

1

4

4

2

1

3

5

1

5

3

4

2

2

1

4

5

3

3

4

5

2

1

1

4

2

3

3

2

4

1

2

1

3

4

4

3

1

2

2

3

1

5

4

4

2

3

1

5

5

1

4

3

2

1

4

5

2

3

3

5

2

4

1

3

1

4

2

2

3

1

4

4

2

3

1

1

4

2

3

1

3

2

4

5

4

1

3

5

2

3

2

5

1

4

2

5

4

3

1

5

4

1

2

3

2

4

3

1

4

3

1

2

3

1

2

4

1

2

4

3

3

1

2

4

5

5

3

1

2

4

4

2

3

5

1

1

5

4

3

2

2

4

5

1

3

3

2

4

1

4

1

2

3

2

3

1

4

1

4

3

2

3

4

1

5

2

2

5

3

4

1

4

1

5

2

3

5

3

2

1

4

1

2

4

3

5

4

1

5

3

2

5

3

4

2

1

3

2

1

4

5

1

4

2

5

3

2

5

3

1

4

1

5

2

4

3

4

1

5

3

2

2

4

3

1

5

5

3

4

2

1

3

2

1

5

4

2

4

1

3

4

2

3

1

1

3

2

4

3

1

4

2


2.

4

1

3

2

3

4

2

1

2

3

1

4

1

2

4

3

2

4

5

1

3

3

5

1

2

4

1

2

4

3

5

5

3

2

4

1

4

1

3

5

2

5

4

3

1

2

1

2

5

4

3

4

3

2

5

1

3

5

1

2

4

2

1

4

3

5

1

4

3

2

4

1

2

3

3

2

4

1

2

3

1

4

5

4

3

1

2

1

2

5

3

4

2

1

4

5

3

4

3

1

2

5

3

5

2

4

1

2

3

1

4

4

2

3

1

1

4

2

3

3

1

4

2

1

2

4

3

3

1

2

4

4

3

1

2

2

4

3

1

1

2

4

3

3

4

1

2

4

3

2

1

2

1

3

4

2

3

1

5

4

1

2

5

4

3

3

1

4

2

5

5

4

2

3

1

4

5

3

1

2

1

2

4

3

3

4

1

2

4

3

2

1

2

1

3

4

3

1

4

2

1

4

2

3

4

2

3

1

2

3

1

4

3

1

4

2

1

4

2

3

2

3

1

4

4

2

3

1


Latinski kvadrati

3 2 1 4

2 4 3 1

4 1 2 3

1 3 4 2

4 2 1 3

3 1 4 2

2 4 3 1

1 3 2 4

3 2 1 5 44 3 2 1 55 1 3 4 22 5 4 3 11 4 5 2 3

1 5 4 2 32 3 5 4 15 1 2 3 43 4 1 5 24 2 3 1 5

3 2 1 5 42 1 4 3 55 3 2 4 14 5 3 1 21 4 5 2 3

4 2 5 3 15 1 4 2 31 3 2 4 53 4 1 5 22 5 3 1 4

4 2 3 1

1 4 2 3

2 3 1 4

3 1 4 2

4 1 3 2

2 3 4 1

1 4 2 3

3 2 1 4

3 2 1 5 42 5 3 4 14 3 5 1 25 1 4 2 31 4 2 3 5

5 4 3 1 24 5 1 2 31 2 4 3 52 3 5 4 13 1 2 5 4

2 4 3 1

1 2 4 3

3 1 2 4

4 3 1 2

1 4 3 2

3 1 2 4

4 2 1 3

2 3 4 1


Sudoku s črkami

E

C

B

A

D

E

A

A

B

D

C

C

A

D

D

B

C

B

E

D

C

E

A

B

E

1

5

3

2

4

4

3

5

1

2

2

1

4

5

3

5

4

2

3

1

3

2

1

4

5

B

E

E

D

A

C

C

A

B

C

D

E

A

D

D

C

A

E

E

B

C

A

B

D

B

4

1

3

2

5

1

5

2

3

4

5

2

1

4

3

2

3

4

5

1

3

4

5

1

2

A

C

E

C

A

E

D

B

C

D

B

C

B

C

E

A

A

E

D

D

D

E

B

A

B

2

1

5

4

3

3

5

4

2

1

1

3

2

5

4

5

4

1

3

2

4

2

3

1

5

E

D

D

C

A

E

A

B

E

D

E

C

C

D

B

E

B

C

B

B

A

C

D

A

A

4

1

2

3

5

2

3

5

1

4

3

2

4

5

1

5

4

1

2

3

1

5

3

4

2

E

E

D

C

C

D

E

D

C

E

B

B

D

E

C

D

B

B

C

A

A

B

A

A

A

5

4

3

1

2

4

3

2

5

1

3

1

5

2

4

1

2

4

3

5

2

5

1

4

3

C

C

B

A

A

E

E

B

D

A

B

A

E

D

C

D

C

A

B

C

D

E

E

D

B

4

5

1

3

2

1

4

3

2

5

2

1

5

4

3

3

2

4

5

1

5

3

2

1

4

B

D

B

E

C

D

E

B

A

C

C

D

B

D

D

B

C

E

A

E

E

C

A

A

A

3

5

2

1

4

1

4

5

3

2

5

2

1

4

3

4

1

3

2

5

2

3

4

5

1

C

D

B

B

B

A

A

E

D

E

C

E

C

B

A

C

D

C

B

D

A

D

A

E

E

1

4

3

2

5

2

3

1

5

4

3

5

2

4

1

5

2

4

1

3

4

1

5

3

2

A

A

C

C

A

A

D

E

B

E

B

E

C

D

B

E

B

E

A

D

C

D

B

C

D

4

5

2

3

1

3

4

1

5

2

2

3

5

1

4

5

1

4

2

3

1

2

3

4

5

D

A

A

A

C

B

B

E

D

D

E

E

C

D

C

B

B

A

A

B

E

C

E

D

C

2

4

1

5

3

3

2

4

1

5

1

3

5

4

2

4

5

3

2

1

5

1

2

3

4

B

C

E

B

B

A

B

A

C

E

E

C

E

A

D

C

D

A

E

A

D

D

B

C

D

2

1

4

5

3

1

4

3

2

5

3

5

2

4

1

4

3

5

1

2

5

2

1

3

4

D

D

C

B

D

D

B

E

A

D

C

A

C

E

C

E

E

C

B

B

A

A

B

E

A

1

4

5

3

2

5

2

4

1

3

4

5

3

2

1

3

1

2

4

5

2

3

1

5

4


Futoshiki


Razpored znakov

A C B C B A

C D A B D C A B

A D B E C B D C E A

C B E A D B D E A C

Gobelini

2

1

1

1, 2

2, 1

1, 1

1, 1

1, 1

3

1 8 1

1

1

1

1

1

4

2, 2

1, 1

2

2

1, 1

2, 2

1

1

2

2

2 2 2

2

1

1

1, 1

1, 1

1, 1

1

1, 1

1, 1

1, 1

1

1

2

2

1 2

2

1

1

5

1

1

1

1

1

1

5

1

1

1

1

8 1

1

1

1

2

1

1, 3

1, 1

3

1, 1

1, 1

2, 3

1

1

8 1 1

2

1

2

2

1

1

3

1, 1

4

1, 1

1, 1

5

1

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

5 1

1

2

1

1

1

1

3

1

1

1

6

1

2, 2

1, 2

1, 1

1, 1

1, 1

4

1

3

4 1

1

1

1

1

1

1

8 1

1

3

1, 1

1, 1

1, 1

1, 1

1, 1

1, 1

3

3

6 1

1

1

2

1

2

6

1

2

1, 1

1

1

1

1, 1

2

5 1

1

1

1

1

1

3

1, 1

5

1

1

4

4 1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

1

6

1, 1

1, 1

3

1, 1

1

1

31

1

8 1

1

1

1

3

1 2


Križne vsote

3 1

6 2 1 3

5 7 9 5 7

4 9 7

7 4

9 84

6 108

114

2012 21

1620

11

8 9

1 5 8

6 9

1 6

9 14

17

15

14

15

15

7

1 6

2 5 6

5 4

8 3

9 7

3 117

1113

219

1011

16

1 6

2 1 1 3

5 6 8 4 9

3 1 6

2 9

3 127

5 123

94

2311 21

310

11

3 5

9 1 7 1

7 3 2 1 4

4 5 1

7 6

12 138

8 510

78

910 7

1210

13

3 9

4 8 9

6 2

7 23

12

11

21

8

7 2

9 4 7

4 2

4 7

5 9

16 69

1120

116

1611

14

8 2

9 5 8

3 6

1 2

17 7

10

12

22

8

9

3

7 9

9 6 8

6 2

1 3

16 15

16

15

23

5

8

4

9 3

2 1 6

7 9

8 7

11 4

12

21

9

16

16

15

9 7

4 8 2

1 9

5 8

13 15

16

8

14

17

10

13

7 9

2 1 8

1 3

8 3

6 1

9 1016

911

174

411

7


Križni produkti

7 4

3 2 9

3 2

6 7

3 6

21 8

28

27

54

36

6

42

42

18

5 2 6

6 8 2

30 16 12

60

96

7 9 6

4 5 2

28 45 12

378

40

3 5

5 6

15 30

15

30

9 8

4 5 9

7 9

2 3

36 40

72

126

180

27

63

6

8 6

7 2 8

9 5

56 108

48

40

112

45


Labirint na kocki

1

2 3

4 5

6

7 8

9 10

11

12 13

14 15 16

17

18 19

20 21

1

2

3

45

6789

10

11

12

13

14

15

16 17

18

19

20 21 22

23 24

1

2

3

4

56

7 8

910

11 12

13 14

15

16 17

18

19

2021

22 23

1 2

3 4 5

67

8 9 10

11 12 13 1415 16 17 18

1920

21 22

1 2

3 4

5

6 7

8

9 10 11 12

13

14

15 1617 18 19

20

21

2223

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 12

13

14

1516

1718

19

20

21

22


Labirinti na enostavnih poliedrih

123

45

6

7 8

9

10 11

12

13

141516

1718

19

20

1

2

3

4 5

67 8

910 11

12

1314

15 16

17 18

19

20

2122

1

2

3

4

5 6

7

8

9

1011

12

13 1415

16

17

1

2

3

4

5 6

7

8

9

10

11

12

1

2

3 4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

1

2

3

4 5

6

7

8

9

10

11

1213

14

15

16

17

18


Grupe

Linearne grupe:

a) {6, 4, 1, 3, 5, 2, 7}, {4, 1, 5, 3, 7, 2, 6}

b) {2, 5, 1, 3, 4, 7, 6}, {2, 5, 1, 7, 4, 3, 6}

Prostorska predstavljivost

a)

1 2 3

1

2

3

4

5

8 8 11

5 11 9

8 7 8

5 7 6

5 9 2

b)

1 2 3

1

2

3

4

5

7 7 1

2 2 4

2 3 3

3 1 5

5 5 4


Labirinti na robovih poliedra

1.

8 12

2

12 10

2

10 6

24 2

6

8

24

117

1

911

1

59

11

3

5

73

1

7 11

128 12

11 9

1010

9 5

6

3

46

5 7

84

3

{11,12,10,6,4,3,7}

2.

5 3

11

3

7

7 5

1

5

4 2

33

2 6

7

6 4

57

24

6

{3,1,5,4,6,7}


Večdelni labirinti na zemljevidu 1.

2.

3.


Labirint na zemljevidu

22

23

2425

6

8

9 10 11

7

2

34

5

18

19

20

21

12

13

14

15

1617

1

Odstranjene kocke

59 58 69

69 31 65

69 76 122

74 68 96

Kocki določi mrežo {3, 1, 1, 1, 3, 4}


Labirint v kvadru

1

23 4

5 678910

1112 13 14 15

1617

181920

12

3 45678

9 10 1112

13

14 15

16 17 18

1 2 3 4 5

6

78

910 11

12

1314 15 16

12

3 4

56 7

8 9

10

1112

13 14 1516


Labirint na Riemannovi ploskvi

1

2

34

5 6

78

9 10

11 12

13

1415

16

17 18

19

20 21

22

23

24 25

2 4 1 33 1 4 2

4 1 2 32 3 4 1

4 1 2 32 3 4 1

4 1 2 32 3 4 1

3 4 2 14 3 1 2

12

3 4

5 6

78

9 10

11 12

131415

16

17 18

19

20

2 3 4 14 1 2 3

3 1 4 22 4 1 3

1 2

34

56

7 8

910

1112

13

3 1 22 3 1

2 3 13 1 2

1

23

45

6 7

89

1011

12

13

14 15

3 1 22 3 1

2 3 13 1 2

2 3 13 1 2

2 3 13 1 2


Labirint na ploskvah

1

2

34

5

678

9 10

11

121314

151617

18 19

20

21 22

23242526

27

1 2 3

456

7

8

9 10 11

12 13

14

15161718

19 20 21 22

23

2425

26 27

28

2930

31

32

33 34 35

36 37

38

3940

41

42 43 44

45

46 47

4849

50 51

52 53 54

555657

58

59 60

61 62

63

6465

66 67

6869

1

23

4 5 6

7

8 9 10

11

121314

1516

17

18

19

202122

1

2

3 4

567

8 9

1011121314

15

16

17

18

19 20

21 22

23 24

25

2627

282930

31

3233

34

35

36


Labirint na projekcijah teles


Labirinti na mreži valja in stožca 1.

123

4 5

67

89

1011

1213

1415

16

1718

1920

2122

2324

25

26 27

2829

30 31

32 33

34

35

36373839

40 41

424344

45

4647

4849

5051

52

5354

55

5657

5859

2.

12345

67

8

910

111213

14

151617 18

19

20

2122

23

2425

26 27

282930

3132

3.

1

2

3 4

5

6

789

10

1112

13

14

15

16

17

1819

202122

23

2425

26

27

2829 30

313233


Analiziraj pogoje nalog

Izdaja: Založniško podjetje LOGIKA d.o.o., Svetčeva pot 11, 1241 Kamnik. Poslovni račun pri NLB:

02312-0016592829. Davčna številka: SI56917309. Podjetje je zavezanec za DDV po zakonu o DDV. Za izdajatelja: Izidor Hafner.

E-mail: [email protected]

Spletna stran: http://www.logika.si. Revija Logika & razvedrilna matematika je vpisana v register medijev pri Ministrstvu za kulturo pod

številko 759. Strokovni pokrovitelj: Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko - oddelek za teoretično

računalništvo.

Glavni in odgovorni urednik: dr. Izidor Hafner (http://mat03.fe.uni-

lj.si/html/people/izidor/homepage/) Člana časopisnega sveta: prof. dr. Tomaž Pisanski in Darjo Felda, prof.

Recenzent: Vilko Domajnko, prof.

Sodelavci: mag. Urša Demšar, dr. Gregor Dolinar, Monika Kavalir, dr. Meta Lah, Boštjan Kuzman,Teja Oblak, Hiacinta Pintar, Maja Pohar, mag. Katka Šenk in dr. Aleš Vavpetič.

Oblikovanje: Ana Hafner

Jezikovni pregled: Besana

Za objavljene prispevke ne plačujemo honorarjev.

© 2018 LOGIKA d.o.o.

ISSN 2350-532X

LOGIKA & RAZVEDRILNA MATEMATIKA, letnik XXVIII, št. 2 od 4, 2018/2019

Elektronska izdaja. Cena revije: 0 €.

Documents

Spoštovani, · 2018-11-14 · Logika & razvedrilna matematika 1 Spoštovani, Pred vami je druga številka 28. letnika revije Logika in razvedrilna matematika. Spet bi vas radi opozorili