Embed Size (px)
Citation preview
Logika & razvedrilna matematika 1
Logika & razvedrilna matematika 2
Barvni sudoku
V n n kvadratkov moraš vpisati začetna naravna števila od 1 do n tako, da bo v vsaki vrstici,
v vsakem stolpcu in v kvadratkih iste barve nastopalo vseh n števil.
1.
1
4
2
3
1
2
4
4
1 4
1
2
4
1
3
3
4
5
1
6 4
1
3
2
3
4
2
3
13
1
4
4
5
5
6
3
2
5
1
5
2
3
6
1 4
1
3
3
2
5
1
2
1
3 5
2
4
2
3
5
1
4
3
5
6
1
3
1
4
6
6
1 3
4
4 2
1 1
3
2
2
3
Logika & razvedrilna matematika 3
2.
2
3
3
4
1
4
3
15
6
6
2 5
2
4
4
6
1 5
3
1 5
1
4
5
5
1
4
3
4
3
2
1
2
3 4
1
1
2 4
24
1
3
2 5
4
5
3
3
5
2
2
2
1
1
4
6
2
2
1
4
3
2
3
1
6 2
2
6 1
3 1
5
6
5 2
3
Logika & razvedrilna matematika 4
Latinski kvadrati
V n n kvadratkov moraš vpisati začetne črke A, B, C, … tako, da bodo v vsaki vrstici in
vsakem stolpcu nastopale vse te n črke.
D B
A
D
D C
C BD E
A E
C
D B
B
B
A
D A
E AC DD C E
B
A
C
D
B A
AC B D
A BC E
A E DE
CD C
E
D
D A
C
C
D BE B
C
C A D
C D
A
D
B
A
B C
Logika & razvedrilna matematika 5
Sudoku s črkami
V n n kvadratkov moraš vpisati začetna naravna števila od 1 do n tako, da bo v vsaki vrstici,
v vsakem stolpcu in v kvadratkih z isto črko nastopalo vseh n števil.
E
D
E
C
A
D
B
B
E
E
A
A
B
E
A
B
D
B
D
C
A
C
C
D
C
4
3
1 2
5
D
D
D
B
C
B
C
C
C
E
A
E
D
A
B
B
E
C
E
E
A
B
D
A
A1
2
4
3
E
D
E
B
E
D
D
B
D
C
C
A
B
C
C
B
B
A
A
E
E
D
C
A
A
1
3 2 5
C
C
A
A
E
B
B
E
B
A
A
B
E
B
C
D
C
D
E
D
A
C
D
E
D
3
4
2 5
B
D
E
B
C
E
D
D
B
D
E
E
B
A
B
C
D
C
A
E
C
C
A
A
A
2 1
5
4
A
C
E
C
D
B
E
B
B
C
E
E
A
D
C
A
A
B
C
A
B
E
D
D
D3
4
5
1
D
C
C
B
B
A
B
E
E
C
A
C
B
A
B
A
C
E
D
D
E
D
E
D
A
4 3
2
5
B
B
E
E
A
D
A
D
C
B
E
C
D
D
B
A
A
A
B
E
C
C
E
C
D
2 3
1
5E
D
C
D
C
A
E
D
B
A
E
B
B
B
E
A
D
D
C
C
E
A
B
A
C
4
5 2 1
E
C
E
C
B
E
D
A
B
B
C
A
E
C
B
A
D
A
C
D
E
D
B
D
A
5 4 1 2E
C
E
A
E
A
D
D
D
B
C
D
D
B
A
A
A
E
C
B
C
C
B
E
B
4 3 1 5
E
A
A
B
B
D
B
D
E
B
E
C
A
E
D
C
C
D
C
E
B
A
A
C
D
5
1
2 4
Logika & razvedrilna matematika 6
Futoshiki
V n n kvadratkov moraš vpisati začetna naravna števila od 1 do n tako, da bo v vsaki vrstici
in v vsakem stolpcu nastopalo vseh n števil ter da bodo izpolnjene vse relacije.
Logika & razvedrilna matematika 7
Določi razpored
B JE SOSEDA OD
C.
N
B JE LEVO OD C. N
B JE LEVO OD C. N
B JE SOSEDA OD
C.
N
B JE DESNO OD
C.
R
A JE LEVO OD D. N
A JE DESNO OD B. N
B JE DESNO OD C. N
A JE LEVO OD B. R
A JE DESNO OD B. N
B JE LEVO OD C. R
C JE LEVO OD D. R
D JE DESNO OD E. R
A JE LEVO OD B. R
B JE LEVO OD D. N
A JE DESNO OD D. R
B JE LEVO OD C. R
C JE LEVO OD E. R
A JE DESNO OD C. N
A JE SOSEDA OD B. N
A JE SOSEDA OD C. R
B JE DESNO OD D. N
B JE DESNO OD E. R
D JE DESNO OD E. R
A JE DESNO OD E. R
A JE SOSEDA OD D. N
A JE SOSEDA OD B. R
B JE SOSEDA OD E. R
C JE SOSEDA OD D. R
B JE DESNO OD E. R
B JE DESNO OD C. N
A JE SOSEDA OD E. N
B JE SOSEDA OD D. R
Logika & razvedrilna matematika 8
Gobelini Kvadratke v razpredelnici moraš pobarvati sivo tako, da bo zaporedje sivih pasov v vrstici
ustrezalo zaporedju števil na desni in da bo zaporedje sivih pasov v stolpcu ustrezalo
zaporedju števil pod njim.
3
1, 1
1, 1, 1
1
1
1 1
1
1 1
1
3
1, 1
1, 1, 1
1
1 2 1
2
2 1
3
1, 1
1 1 1 1 1
1, 1
1, 1
1, 1
1
2
1
2
1
3
1, 1, 1
3
1 1
1
4 1
1
1
1, 1
2, 2
1, 1
1 3 3 1
1
1, 1, 1
3
1 1 2
1
1 1
1
2, 2
1 1 1 1 1
1, 1
3
3
3
4 3 4
1
1, 1, 1
1, 1
2 1
1
2
3
2, 2
1 2 1 2 1
1
3
1, 1
2 1
1
2
Logika & razvedrilna matematika 9
Križne vsote Naloga reševalca je, da izpolni bele kvadratke s števkami od 1 do 9 tako, da je vsota števk v
zaporednih belih kvadratkih po vrsticah in stolpcih enaka številu, ki je zapisano v rdečem
kvadratku na začetku vrstice (stolpca) nad (pod) diagonalo. Pri tem pa morajo biti vse števke
v posamezni vrstici (stolpcu) različne.
9 84
6 108
114
2012 21
1620
11
9 14
17
15
14
15
15
7
3 117
1113
219
1011
16
3 127
5 123
94
2311 21
310
11
12 138
8 510
78
910 7
1210
13
7 23
12
11
21
8
16 69
1120
116
1611
14
17 7
10
12
22
8
9
3
16 15
16
15
23
5
8
4
11 4
12
21
9
16
16
15
13 15
16
8
14
17
10
13
9 1016
911
174
411
7
Logika & razvedrilna matematika 10
Križni produkti
Naloga reševalca je, da izpolni bele kvadratke s števkami od 2 do 9 tako, da bo zmnožek števk
v zaporednih belih kvadratkih po vrsticah in stolpcih enak številu, ki je zapisano v sivem
kvadratku na zač ajo biti vse
števke v posamezni vrstici (stolpcu) različne.
45 144
27
56 42
40
18
42
48
18 224
56
96
42
32 15
24
20
48 36
32
54
18 105
6
72 35
45
24
56
189
28 315
63
378
27
48 12
18
24
96
63
14
36
27 40
45
45
216
70
10
24
20
42
Logika & razvedrilna matematika 11
Labirint na kocki
Poveži točki na kocki:
Logika & razvedrilna matematika 12
Labirinti na enostavnih poliedrih
Poveži točki na poliedru:
Logika & razvedrilna matematika 13
Poveži sličici, ki pripadata isti grupi
3
7
10
8 15
16 12
1 4
217
13 11
5 6
14
9
Logika & razvedrilna matematika 14
Poveži sličici, ki pripadata isti grupi
a)
b)
Logika & razvedrilna matematika 15
Prostorska predstavljivost a) Katero število moramo vpisati na mesto znaka ??, da bosta stranici pripadali istemu robu
poliedra?
??6
2 31
74
5
12810 11
9
142
39
5
76
128
11??
102
14
511
86
712
3
910
??
41
??3
511
76
8102
12 9
13
95
74
126
28
10??
11
62
1
39
5114
7
8
??
1012
6??
321
5
48
972 5
3
7
4 1
8??
96
1
62
7
3 4
9 5
??8
57 4
326
??8
1 5
142
6
7??
3
8
214
6
875??
3
7
2 3
4
1??
98
6
5 3
48
2??
6
75
9
1 2
3
5
64
1
7
??8
9
Logika & razvedrilna matematika 16
b) Katero številko moramo vpisati na mesto znaka ??, da bosta oglišči pripadali istemu
oglišču poliedra?
1
26??3
54 8 7
34
152
6??87
1 2
3
45??
76
8
34
16??
72
58
??
6
2
843
1 57
?? 52 63
7 41
8
1?? 5
3
264
??
421
56
3
5??
3
2146
3
??5 4
1
2
52
??
134
2??34
1
5
13
624??
5
5
1
34
??6
2
1
??
4
3
5
26
Logika & razvedrilna matematika 17
Labirinti na robovih poliedra
V naslednjih nalogah moramo povezati dve oglišči poliedra, ki je podan z mrežo. Poiskati moramo
pot od oranžne do modre točke. Iz ene točke lahko gremo do druge točke, če je med njima debelejša
črta ali pa točki predstavljata isto oglišče poliedra.
1.
1
23
4
5 6
7
8
9
10
11 12
1314
15
16
17
18
19
2.
1
2
34 5
6
7
8
9
10
11
Logika & razvedrilna matematika 18
Dvodelni labirinti na zemljevidu
1.
2.
3.
Logika & razvedrilna matematika 19
Labirint na zemljevidu
Logika & razvedrilna matematika 20
Odstranjene kocke Dan je kvader, ki sestoji iz kockic. Odstranimo vse kocke, ki so zaznamovane črno od vrha do
dna, od leve do desne in od spredaj do zadaj. Koliko kock smo odstranili?
Logika & razvedrilna matematika 21
Kocki določi mrežo
Vsaki kocki na desni določi mrežo iste kocke na levi.
Logika & razvedrilna matematika 22
Labirint v kvadru
Kvader sestoji iz vodoravnih slojev kockastih oddelkov (zgornji, srednji in spodnji sloj so dani od
leve proti desni). Odebeljene črte preprečujejo prehajanje med sosednjima oddelkoma istega sloja.
Med oddelkom in oddelkom neposredno pod njim lahko prehajamo, če in samo če je prvi pobarvan
belo.
Poišči najkrajšo pot od oddelka z 1 do oddelka z A! Pot označi z zaporednimi naravnimi števili.
Prvi oddelek je že označen z 1, vsak naslednji sosednji oddelek (kocko) pa s številom, večjim za 1.
1A
1
A
1
A
1 A
Logika & razvedrilna matematika 23
Labirinti na ploskvah
Podan je labirint na pravokotniku. Moramo poiskati pot od temnejše do svetlejše pike. Prehod med
sosednimi kvadratki je možen, če med njima ni odebeljene črte. Skica na levi pomeni, kako sta
nasprotni stranici pravokotnika povezani (miselno ju moramo zlepiti).
Logika & razvedrilna matematika 24
Labirinti na projekcijah teles
Telo je projicirano v ravnino. Na projekciji je podan labirint, kjer odebeljene črte preprečujejo
prehod iz projekcije mejne ploskve na projekcijo sosednje mejne ploskve.
Logika & razvedrilna matematika 25
Labirinti na mreži valja in stožca
1.
2.
3.
Logika & razvedrilna matematika 26
Analiziraj pogoje nalog
Dobro definirana naloga je naloga, pri kateri so njeni pogoji potrebni in zadostni za njeno rešitev.
To pomeni, da noben pogoj ni odveč in da ima naloga enolično rešitev. Pri zastavljeni nalogi imamo
lahko več možnosti:
Naloga nima rešitve, pogoji so protislovni.
Naloga ima več rešitev, to je, pogoji niso zadostni (za enolično rešitev).
Naloga ima enolično rešitev, vendar pogoji niso potrebni (vsaj en pogoj bi lahko izpustili in bi
naloga še vedno imela enolično rešitev).
Naloga ima enolično rešitev in pogoji so potrebni (neodvisni) in seveda zadostni. Naloga je dobro
definirana.
V naslednjih nalogah moramo ugotoviti, kako je s pogoji naloge.
Poiskati moramo imena A, B,C, … likov, ki so označeni z 1, 2, 3, …, če so izpolnjeni pogoji na
desni strani slike. Ugotoviti moramo tudi, ali so pogoji neodvisni.
Logika & razvedrilna matematika 27
Stolpiči različnih višin
V vsakem praznem kvadratku je postavljen stolpič višine od 1 do n, kjer je n število praznih vrstic,
tako da so v vsaki vrstici in vsakem stolpcu stolpiči različnih velikosti.
Številke v levem stolpcu nam povedo, koliko stolpičev vidimo (vsaj delno) v vrstici, če gledamo
vodoravno z leve strani. Podobno velja za desni stolpec, ko gledamo z desne.
Številke v prvi vrstici nam povedo, koliko stolpičev vidimo v stolpcu,če gledamo navpično navzdol.
Podobno velja za spodnjo vrstico, ko gledamo navpično navzgor.
x 3 3 1 2 x
2 2
3 1
2 2
1 3
x 1 2 2 3 x
x 2 3 2 1 x
4 1
1 3
2 3
2 2
x 3 2 1 2 x
x 1 3 2 2 x
1 2
3 2
2 3
2 1
x 2 2 3 1 x
x 2 2 1 3 x
2 2
2 2
1 4
4 1
x 2 3 2 1 x
x 2 3 2 1 x
4 1
1 4
2 2
2 2
x 2 1 2 3 x
x 2 1 2 3 x
2 3
2 2
4 1
1 3
x 1 2 3 2 x
x 2 2 2 1 x
2 1
2 2
2 3
1 4
x 1 2 3 4 x
x 1 2 4 2 x
1 3
2 1
2 3
3 2
x 4 2 1 2 x
x 3 2 3 1 x
3 1
2 3
1 2
2 2
x 2 3 1 3 x
x 2 1 2 3 x
2 3
1 2
3 1
2 2
x 2 3 1 2 x
x 1 3 2 2 x
1 2
3 2
2 1
2 3
x 3 1 2 2 x
x 2 3 3 1 x
2 1
1 3
2 3
3 2
x 3 2 1 2 x
Logika & razvedrilna matematika 28
Nagradne naloge
Z letošnjim letom smo uvedli kar tri nagradne uganke: nagradno logično nalogo, nalogo v esperantu
in nagradno nalogo o simetriji. Za vsako bomo med pravilnimi rešitvami izžrebali tri nagrajence.
Prva nagrada bo komplet poševna prizma in drugi modeli, druga bo Jovo mini komplet, tretja pa
poševna tristrana prizma (to je, dosedanja nagrada). Tri šole z največjim številom poslanih
odgovorov bomo tudi nagradili z omenjeno prvo nagrado.
Reševalce prosimo, da ob rešitvi čitljivo napišejo svoj domači (in ne šolski naslov), na katerega
bomo poslali morebitno nagrado. Po žrebu bodo vsi ti podatki uničeni. Rešitve pošljite z navadno
in ne priporočeno pošto. Če naloge rešujete v okviru pouka, vse rešitve posamezne naloge pošljite v
eni kuverti (ni treba dati za vsakega učenca v posebno kuverto). Če rešujete dve ali tri naloge,
zberite posamezne naloge v manjše kuverte in vse pošljite v eni večji kuverti. Posamezniki lahko
pošljete vse rešitve v eni kuverti, vendar mora biti vsaka rešitev na svojem listu in opremljena s
čitljivim naslovom.
Poševna prizma in drugi modeli je komplet 40 okvirjev Polydron (20 enakostraničnih trikotnikov,
18 kvadratov in 2 pravokotna enakostranična trikotnika). Tako boste lahko sestavili dvajseterec,
osmerec, četverec in kocko, če naštejemo le nekaj možnosti.
Jovo mini model sestoji iz dveh petkotnih, osmih kvadratnih in petnajstih trikotnih ploščic ter
ključa. Obstaja 29 enakorobnih poliedrov, katerih stranice (mejne ploskve) so pravilni
mnogokotniki in jih lahko sestavimo s tem kompletom.
Poševna prizma je komplet za sestavljanje poševne tristrane prizme. Spodaj je fotografija vseh treh
nagrad.
Logično nalogo iz 2. številke je reševalo 165 učencev, nalogo v esperantu 72 in nalogo iz simetrije
36.
Največ reševalcev logične naloge je bilo iz OŠ Šmarje-Sap, pri drugih dveh nalogah pa so bili
najštevilčnejši učenci OŠ Center, Novo mesto.
Prvo nagrado dobijo L.L., Dobje, A.B., Ribnica in T.Ž., Novo mesto.
Drugo nagrado prejmejo M.D., Pivka, M.B., Novo mesto in M.B., Medvode.
Tretjo nagrado bomo poslali N.J., Laško, Z.B., Novo mesto in M.N., Ilirska Bistrica.
Logika & razvedrilna matematika 29
Nagradna logična naloga Štiri prijateljice (Lana, Maja, Nina, Ada) imajo z različne konje (Blisk, Viharnik, Mistral, Flobert),
ki so različnih pasem (poni, arabec, vranec, rjavec).
Za vsako določi ime, ime konja in njegovo pasmo.
1. Flobert ni ne vranec ne poni.
2. Blisk ni ne vranec ne arabec.
3. Nina nima ne Floberta ne Bliska.
4. Viharnik ni poni.
5. Majin konj je vranec.
6. Blisk ni poni.
7. Ada nima Bliska.
Lana
Maja
Nina
Ada
poni
arabec
vranec
rjavec
Bli
sk
Vih
arnik
Mis
tral
Flo
ber
t
poni
arab
ec
vra
nec
rjav
ec
Lana
Maja
Nina
Ada
ime konj pasma
Rešitev nagradne uganke pošljite do 1.5.2019 na naslov Logika d.o.o., Svetčeva pot 11, 1241
Kamnik, s pripisom »Nagradna logična uganka«. Prosimo vas, da napišete domači in ne šolski
naslov, da vam, če boste izžrebani, pošljemo nagrado.
Če pošiljate v istem pismu tudi rešitev drugih nagradnih ugank, na vsako rešitev napišite svoj
naslov.
Logika & razvedrilna matematika 30
Nagradna naloga v esperantu
Kvar amikinoj (Anjo, Belindo, Olivo, Gerda) kun diversaj familiaj nomoj (Gonzalez, Metla,
Dupont, Novak) havas diversajn profesiojn (instruistino, policistino, verkistino, juristino).
Divenu iliajn nomojn, familiajn nomojn kaj profesiojn.
1. La familia nomo de Belindo ne estas Dupont.
2. La familia nomo de Gerda ne estas Metla.
3. La profesio de sinjorino Novak estas policistino.
4. Sinjorino Dupont estas nek verkistino nek instruistino.
5. Gerda estas nek juristino nek instruistino.
6. La familia nomo de Olivo ne estas Metla.
7. La profesio de sinjorino Metla ne estas instruistino.
8. La familia nomo de Belindo ne estas Metla.
Rešitev nagradne uganke pošljite do 1.5.2019 na naslov Logika d.o.o., Svetčeva pot 11, 1241
Kamnik, s pripisom »Esperanto«. Prosimo vas, da napišete domači in ne šolski naslov, da vam, če
boste izžrebani, pošljemo nagrado. Če pošiljate v istem pismu tudi rešitev drugih nagradnih ugank,
na vsako rešitev napišite svoj naslov.
Logika & razvedrilna matematika 31
Nagradna naloga simetrija
Simetrije likov v prvi vrstici (levem stolpcu) so označene z zaporednimi številkami. Določi
simetrije likov v drugi vrstici (desnem stolpcu).
Rešitev nagradne uganke pošljite do 1.5.2019 na naslov Logika d.o.o., Svetčeva pot 11, 1241
Kamnik, s pripisom »Simetrija«. Prosimo vas, da napišete domači in ne šolski naslov, da vam, če
boste izžrebani, pošljemo nagrado. Če pošiljate v istem pismu tudi rešitev drugih nagradnih ugank,
na vsako rešitev napišite svoj naslov.
Logika & razvedrilna matematika 32
Modeli iz ploščic
V tej rubriki bomo objavljali modele naših bralcev. Tokrat nismo dobili nobenega predloga, zato
objavljamo nekaj modelov, ki smo jih sestavili v uredništvu.
Zgornji sliki prikazujeta Pitagorov izrek za trikotnik: 32+42=52, podani sta tudi razdelitvi večjega
lika, s katerima lahko sestavimo manjša lika. Beli (črni) kvadrat zaznamuje pravi kot trikotnika.
Spodnji sliki prikazujeta kocko »soma« izdelano iz plastičnih ploščic.
Logika & razvedrilna matematika 33
Mozaični portreti
V tem sestavku se bomo posvetili izdelovanju mozaičnih portretov. Na razpolago imamo do 1000
kvadratnih ploščic v več barvah. Lahko so to ploščice Jovo ali pa kvadratne kocke lego. Na spletu
(ali domačem albumu) izberemo sliko, ki ni avtorsko zaščitena. Jo pomanjšamo in iz nje odrežemo
del velikosti 30x30, ali nekaj podobnega, da bo skupna velikost tabele manj kot 1000. Kot primer
vzemimo fotografijo Ivana Cankarja.
Njene dimenzije so 82x112, kar je preveč. Izberemo del slike z očmi in brki. Del je velikosti
36x31=1116, kar je nekoliko preveč. Ker pa gre za teorijo, se bomo s tem zadovoljili.Če imamo na
razpolago le črno in belo bravo, potem moramo sive odtenke do določenega praga zamenjati z 1,
druge z 0. Zdaj pa vzemimo, da imamo na razpolago 6 barv (belo, črno, rumeno, rdečo, modro in
zeleno). Programi za obdelavo slik (na primer mathematica) omogočajo pretvorbo slike v šest
barvno sliko.
Zdaj imamo na sliki 6 odtenkov sive barve. Vse, kar lahko naredimo, je, da najsvetlejšim delom
priredimo belo, nato rumeno, na koncu pa črno. Kako bomo uporabili rdečo, modro in zeleno, je
stvar okusa. Končen rezultat je:
Posamezne dele lahko še popravimo z zamenjavo ploščic. Seveda mozaik predstavlja Cankarja le,
če ga gledamo od daleč (na primer v oddaljenosti 2m).
Logika & razvedrilna matematika 34
Naloga z dvema rešitvama
Dana je bila mreža podeljene kocke. Potrebno je bilo označiti z enakimi številkami kvadratke, ki
pripadajo isti mejni ploskvi kocke. Na spodnji sliki odebeljene črte pomenijo stike med kvadratki,
tanjše črte pa razreze! Na tekmovanju iz razvedrilne matematike odebeljenih črt ni bilo in naloga je
imela dve rešitvi.
1
2
3
4
5
1 1 1
1
2 2
2
2
333
3
4
4
4 4
55
5 5
6 6
66
Referenca:
Izidor Hafner "Advanced Space Visualization Test"
http://demonstrations.wolfram.com/AdvancedSpaceVisualizationTest/
Wolfram Demonstrations Project
Published: February 6 2012
Logika & razvedrilna matematika 35
Devet skupnih mrež dve poliedrov
Zgornja poliedra imata 9 skupnih mrež. Vprašanje: Koliko je mrež levega poliedra, ki niso mreže
desnega (in obratno)?
Referenca:
Izidor Hafner
"Two Convex Polyhedra with 10 Common Nets"
http://demonstrations.wolfram.com/TwoConvexPolyhedraWith10CommonNets/
Wolfram Demonstrations Project
Published: March 8, 2018
Logika & razvedrilna matematika 36
Razdelitev kocke na štiri dele
Kocko na sliki (spodaj levo) razdelimo na štiri dele (slika spodaj desno).
Zgornja desna slika predstavlja četrtino rombskega dvanajsterca 2. vrste (slika spodaj levo). Na
drugih dveh slikah sta poševna prizma in kvader. Iz dvajsetih kock lahko sestavimo rombski
trideseterec (spodaj desno).
Logika & razvedrilna matematika 37
Zgornja fotografija prikazuje 3D tisk kocke, ki ga je izdelal Anže Rezelj, FRI (Vicos)
Reference
[1] I. Hafner, T. Zitko, A dissection of two rhombic dodecahedra of the second kind to a cube, VisMat 31(2006),
http://www.mi.sanu.ac.rs/vismath/hafner6/visual15/Visual15.html
[2] I. Hafner, T. Zitko, A dissection of quarter of rhombic dodecahedron of the second kind to a cube, VisMat 31(2006),
http://www.mi.sanu.ac.rs/vismath/hafner6/visual16/Visual16.html
[3] I. Hafner, T. Zitko, A dissection of rhombic triacontahedron, VisMat 31(2006),
http://www.mi.sanu.ac.rs/vismath/hafner6/visual22/Visual22.html
[4] Izidor Hafner "Dissection of a Cube to a Quarter of a Rhombic Dodecahedron of the Second Kind"
http://demonstrations.wolfram.com/DissectionOfACubeToAQuarterOfARhombicDodecahedronOfTheSecond/
Wolfram Demonstrations Project
Published: March 7 2011
[5] Izidor Hafner "Dissecting a Rhombic Triacontahedron into Twenty Congruent Cubes"
http://demonstrations.wolfram.com/DissectingARhombicTriacontahedronIntoTwentyCongruentCubes/
Wolfram Demonstrations Project
Published: January 15, 2019
Izdelaj kocko s pomočjo mrež na naslednji strani.
Logika & razvedrilna matematika 38
Logika & razvedrilna matematika 39
Razdelitev kocke v Bilinskijev dvanajsterec
in manjšo kocko
Naslednje slike prikazujejo razdelitev kocke v rombski dvanajsterec 2. vrste (Bilinskijev
dvanajsterec) in manjšo kocko. Dano kocko razdelimo na dve manjši in tri skladne kvadre. V
posebnem primeru je večja od obeh manjših kock po prostornini enaka kvadru. Tako kocko ali
kvader lahko razdelimo in sestavimo četrtino Bilinskijevega dvanajsterca. Kocko moramo razdeliti
na 4 dele, kvader pa na dva. Vsega skupaj smo veliko kocko razdelili na 11 delov.
Referernce:
[1] Izidor Hafner
"Dissecting a Large Cube into a Bilinski Dodecahedron and a Small Cube"
http://demonstrations.wolfram.com/DissectingALargeCubeIntoABilinskiDodecahedronAndASmall
Cube/
Wolfram Demonstrations Project
Published: February 26, 2019
[2] Hafner, I. and Zitko T.: A Dissection Of Two Rhombic Dodecahedra Of The Second Kind To A
Cube, Volume 8, No. 3, 2006, paper 1
[3] Hafner, I. and Zitko T.: A Dissection Of Quarter Of Rhombic Dodecahedron Of The Second
Kind To A Cube, VisMat, Volume 8, No. 3, 2006, paper 2
Logika & razvedrilna matematika 40
Nova knjiga: Michael Friedman, A History of
Folding in Mathematics, Mathematizing the
Margins, Birkhäuser, 2018, 419 strani
Knjiga je prvi obsežni prikaz vloge mrež, modelov in prepogibanja v matematiki in je bilo nekakšno
odrinjeno področje matematike, deloma obravnavano v didaktiki. Kaže, da je bil nemški umetnik
Dürer prvi, ki je narisal mreže teles kot njihovo dvodimenzionalno predstavitev. Zanimiv primer pa
je nepravilna mreža dvakrat prisekane kocke, saj ni mogoče, da bi bila vsota kotov v nekem oglišču
mreže 360 stopinj (srednja slika spodaj).
Mreže je posebej promoviral angleški matematik Cowley v 18. stoletju. Zanimiva je njegova
spodnja mreža na sliki levo spodaj. Imenoval jo je dodecarhombus. Toda videti je kot da jo
sestavljajo rombi z dvema kotoma 60 stopinj, kar pa ni mogoče, saj obstajata le dva rombska
dvanajsterca, Keplerjev in Bilinskijev.
Velik del je posvečen matematiki prepogibanja papirja, od začetnega dela Indijca Rowa (srednja
slika prikazuje njegovo konstrukcijo točk na paraboli s prepogibanjem), desna pa Hurwitzovo
konstrukcijo zlatega reza iz l.1907.
Omenimo še modele Beltramija, Schwarza, dveh Wienerjev in Fröbla. Po letu 1980 je dejavnost
prepogibanja natančen opis z aksiomi Japonca Huzite.
Logika & razvedrilna matematika 41
Rešitve Barvni sudoku 1.
3
1
5
4
2
4
5
2
1
3
2
3
1
5
4
5
2
4
3
1
1
4
3
2
5
1
2
4
3
3
4
2
1
2
1
3
4
4
3
1
2
4
1
3
2
3
2
4
1
1
3
2
4
2
4
1
3
5
2
3
6
1
4
4
3
1
5
2
6
1
6
2
4
5
3
3
4
5
2
6
1
6
5
4
1
3
2
2
1
6
3
4
5
1
3
2
4
4
2
3
1
2
4
1
3
3
1
4
2
6
3
2
1
4
5
4
1
3
5
6
2
2
5
4
6
1
3
5
4
6
3
2
1
3
2
1
4
5
6
1
6
5
2
3
4
2
3
5
1
4
4
5
1
2
3
1
4
3
5
2
3
1
2
4
5
5
2
4
3
1
4
6
2
3
5
1
3
2
1
5
6
4
1
5
4
6
3
2
2
3
5
4
1
6
6
4
3
1
2
5
5
1
6
2
4
3
2
1
5
4
3
6
3
4
6
1
5
2
6
5
2
3
4
1
4
3
1
2
6
5
1
6
3
5
2
4
5
2
4
6
1
3
5
6
4
3
1
2
3
2
5
1
4
6
4
1
6
2
3
5
1
4
2
6
5
3
2
3
1
5
6
4
6
5
3
4
2
1
1
4
2
3
3
2
4
1
4
3
1
2
2
1
3
4
4
1
3
2
2
3
1
4
1
2
4
3
3
4
2
1
Logika & razvedrilna matematika 42
2.
1
3
4
2
3
1
2
4
2
4
1
3
4
2
3
1
4
3
1
2
3
4
2
1
2
1
3
4
1
2
4
3
2
5
4
3
1
6
6
3
2
1
5
4
4
1
5
6
2
3
1
4
6
5
3
2
5
2
3
4
6
1
3
6
1
2
4
5
4
2
3
1
5
1
3
5
2
4
5
4
1
3
2
3
5
2
4
1
2
1
4
5
3
1
4
2
3
5
5
2
3
4
1
3
1
5
2
4
2
5
4
1
3
4
3
1
5
2
1
2
4
3
4
3
1
2
3
1
2
4
2
4
3
1
1
3
4
2
3
1
2
4
2
4
3
1
4
2
1
3
3
2
4
1
2
3
1
4
1
4
3
2
4
1
2
3
3
5
2
4
1
1
2
4
5
3
4
1
3
2
5
2
3
5
1
4
5
4
1
3
2
6
1
4
2
5
3
2
5
1
3
4
6
4
3
5
6
1
2
3
4
6
5
2
1
5
6
2
1
3
4
1
2
3
4
6
5
4
6
2
5
1
3
5
1
4
3
6
2
2
3
6
1
4
5
3
5
1
6
2
4
6
2
3
4
5
1
1
4
5
2
3
6
3
4
1
6
5
2
2
6
3
5
4
1
5
1
4
2
3
6
4
2
6
3
1
5
6
3
5
1
2
4
1
5
2
4
6
3
Logika & razvedrilna matematika 43
Latinski kvadrati
D A B C
B D C A
C B A D
A C D B
A E D B CE D A C BC B E D AD C B A EB A C E D
B C A D
C A D B
A D B C
D B C A
A C B D
C A D B
D B A C
B D C A
E A C D BC B D E AD C A B EB D E A CA E B C D
A D C B
D C B A
B A D C
C B A D
D B A C EA C B E DE D C A BC E D B AB A E D C
C A E D BA E C B DE D B A CD B A C EB C D E A
A B C D
D A B C
C D A B
B C D A
E D C A BD E B C AB A E D CA C D B EC B A E D
A C D B
D B C A
C A B D
B D A C
C D A B
B C D A
A B C D
D A B C
Logika & razvedrilna matematika 44
Sudoku s črkami
E
D
E
C
A
D
B
B
E
E
A
A
B
E
A
B
D
B
D
C
A
C
C
D
C
5
4
2
3
1
1
2
5
4
3
2
5
3
1
4
4
3
1
5
2
3
1
4
2
5
D
D
D
B
C
B
C
C
C
E
A
E
D
A
B
B
E
C
E
E
A
B
D
A
A
1
4
5
3
2
2
3
4
5
1
3
5
2
1
4
5
2
1
4
3
4
1
3
2
5
E
D
E
B
E
D
D
B
D
C
C
A
B
C
C
B
B
A
A
E
E
D
C
A
A
4
3
1
5
2
1
5
3
2
4
3
2
4
1
5
2
1
5
4
3
5
4
2
3
1
C
C
A
A
E
B
B
E
B
A
A
B
E
B
C
D
C
D
E
D
A
C
D
E
D
5
3
2
1
4
1
2
3
4
5
4
5
1
3
2
2
1
4
5
3
3
4
5
2
1
B
D
E
B
C
E
D
D
B
D
E
E
B
A
B
C
D
C
A
E
C
C
A
A
A
3
4
1
5
2
2
1
3
4
5
4
5
2
3
1
5
2
4
1
3
1
3
5
2
4
A
C
E
C
D
B
E
B
B
C
E
E
A
D
C
A
A
B
C
A
B
E
D
D
D
5
1
3
4
2
2
5
4
1
3
1
4
2
3
5
4
3
5
2
1
3
2
1
5
4
D
C
C
B
B
A
B
E
E
C
A
C
B
A
B
A
C
E
D
D
E
D
E
D
A
3
5
2
1
4
4
2
5
3
1
1
4
3
2
5
5
3
1
4
2
2
1
4
5
3
B
B
E
E
A
D
A
D
C
B
E
C
D
D
B
A
A
A
B
E
C
C
E
C
D
4
2
1
5
3
3
4
5
2
1
2
3
4
1
5
5
1
2
3
4
1
5
3
4
2
E
D
C
D
C
A
E
D
B
A
E
B
B
B
E
A
D
D
C
C
E
A
B
A
C
3
4
1
2
5
4
2
3
5
1
5
3
2
1
4
2
1
5
4
3
1
5
4
3
2
E
C
E
C
B
E
D
A
B
B
C
A
E
C
B
A
D
A
C
D
E
D
B
D
A
3
1
4
5
2
5
2
3
4
1
4
5
1
2
3
1
4
2
3
5
2
3
5
1
4
E
C
E
A
E
A
D
D
D
B
C
D
D
B
A
A
A
E
C
B
C
C
B
E
B
5
2
4
1
3
2
5
3
4
1
4
1
2
3
5
3
4
1
5
2
1
3
5
2
4
E
A
A
B
B
D
B
D
E
B
E
C
A
E
D
C
C
D
C
E
B
A
A
C
D
2
4
3
5
1
5
2
1
3
4
4
5
2
1
3
1
3
4
2
5
3
1
5
4
2
Logika & razvedrilna matematika 45
Futoshiki
Logika & razvedrilna matematika 46
Razpored znakov
C A B C A B
D A B C A B C D
E D A B C A C E B D
E B A C D E B D C A
Gobelini
3
1, 1
1, 1, 1
1
1
1 1
1
1 1
1
3
1, 1
1, 1, 1
1
1 2 1
2
2 1
3
1, 1
1 1 1 1 1
1, 1
1, 1
1, 1
1
2
1
2
1
3
1, 1, 1
3
1 1
1
4 1
1
1
1, 1
2, 2
1, 1
1 3 3 1
1
1, 1, 1
3
1 1 2
1
1 1
1
2, 2
1 1 1 1 1
1, 1
3
3
3
4 3 4
1
1, 1, 1
1, 1
2 1
1
2
3
2, 2
1 2 1 2 1
1
3
1, 1
2 1
1
2
Logika & razvedrilna matematika 47
Križne vsote
3 1
6 2 1 3
5 7 9 5 7
4 9 7
7 4
9 84
6 108
114
2012 21
1620
11
8 9
1 5 8
6 9
1 6
9 14
17
15
14
15
15
7
1 6
2 5 6
5 4
8 3
9 7
3 117
1113
219
1011
16
1 6
2 1 1 3
5 6 8 4 9
3 1 6
2 9
3 127
5 123
94
2311 21
310
11
3 5
9 1 7 1
7 3 2 1 4
4 5 1
7 6
12 138
8 510
78
910 7
1210
13
3 9
4 8 9
6 2
7 23
12
11
21
8
7 2
9 4 7
4 2
4 7
5 9
16 69
1120
116
1611
14
8 2
9 5 8
3 6
1 2
17 7
10
12
22
8
9
3
7 9
9 6 8
6 2
1 3
16 15
16
15
23
5
8
4
9 3
2 1 6
7 9
8 7
11 4
12
21
9
16
16
15
9 7
4 8 2
1 9
5 8
13 15
16
8
14
17
10
13
7 9
2 1 8
1 3
8 3
6 1
9 1016
911
174
411
7
Logika & razvedrilna matematika 48
Križni produkti
9 3
5 8 7 6
6 3 4 8 7
6 8 2
7 6
45 144
27
56 42
40
18
42
48
18 224
56
96
42
8 3
4 5
32 15
24
20
8 4
6 9
48 36
32
54
2 3
9 5 8 7
7 4 7 9 5
6 7 9
9 3
18 105
6
72 35
45
24
56
189
28 315
63
378
27
6 3
8 4 3
2 7
4 9
48 12
18
24
96
63
14
36
9 5
3 8 9
5 2
5 4
7 6
27 40
45
45
216
70
10
24
20
42
Logika & razvedrilna matematika 49
Labirint na kocki
1
2
3
4
56
7 8 9
10
11
121314
15 16
171819
20 21 22
23
2425
26
27
2829
3031
32
33
34 35
36
37
38 39
40
4142
4344
45 46
47
4849
50 51 52
53 54
555657
58
1
2
3 4
5 6
7
89
10 11
12
13
14
15
16
171819
2021
222324
2526
27
2829
30
3132
33
3435
36
37
38 39
40 41
42 43 44
45 46
47
48
1
2
34
5
6
7 8
910
11 12 13
14 15
1617181920
21
22 23
24 25
26 27 28
29
30
3132
3334
35
36 37
383940
41
42
4344
45
46 47 48
49
50 51 52 53
54 55 56
5758
5960
61 62 63
64
1
2
3 4
5 6 7
89
10
1112
13
14
151617
18
1920
21
2223
2425
26 27
28
29
3031
32 33
34
35 36
37 38
39
40 41
4243
44 45
1 2
34
5 6
7 8 9 10 11 12
13 14
15 16
17 18
19
2021
22
23 24
25
26 27 28
2930
3132
33343536
3738 39
4041 42
4344
45 46
47
48
49
505152
5354
5556
57
1
2 3
4
5
6
7 8 9
1011
121314
15
16 17
18
19
20
21 22
23 24
25 2627
28 29
3031
32 33
34
35 36
37 38
39
40
4142
43 44 45
46
47
48
49
50 51
52
53
545556
57
58
596061
626364
65
66
67
Logika & razvedrilna matematika 50
Labirinti na enostavnih poliedrih
12
3 45
6 78
9 10
11
1213
14
15
16 17
1819
20 21
22
23
24
12
3
4
5
6 7 8 9
1011
12
13
14 15
1617
18
19
20 21
22
23
24
1
2
3
4
5
67
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
67
8
9 10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
910
11
12
1314
15
16
17
Logika & razvedrilna matematika 51
Grupe
Linearne grupe:
a) {7, 3, 5, 4, 1, 2, 6}, {1, 3, 2, 7, 6, 5, 4}
b) {7, 2, 6, 5, 4, 1, 3}, {6, 7, 3, 2, 1, 5, 4}
Prostorska predstavljivost
a)
1 2 3
1
2
3
4
5
4 9 11
1 12 8
2 5 4
7 8 1
2 1 9
b)
1 2 3
1
2
3
4
5
7 7 1
2 2 4
2 3 3
3 1 5
5 5 4
Logika & razvedrilna matematika 52
Labirinti na robovih poliedra
1.
15 10
9
14
1
5
2
6
1211
3 19
5
11
7
11 12
8
16
7
6
20
4
812
6
2
13 18
2019
17 13
2
5
1015
4
20
18
9
10
18
13
17
14
9
17
193
1
14
37
16
15
116
8
4
{19,3,7,16,8,12,6,20,18,10,15,1,14}
2.
2
12
8
72
8
7
11
2
2 11
4
2
412 5
9
15 1
66
1
1010
1 31
9 3
108
12
37
8
911
7
4
11
54
612
5
11 9
4 5
6
10
12 6
3
8 10
9
7 3
{10,12,6,5,11,9,1}
Logika & razvedrilna matematika 53
Dvočdelni labirinti na zemljevidu 1.
3
4
5
89
10
11
12
13
14
15
16
24
28
29
31
32
1
2
6
7
17
1819
20
21
22
23
25
26
27
30
33
34
3536
37
3839
40 41
2.
56
78
13
16
3132
33
34
353637
38
3940
41
42
1
2
3
4
9
10
11
12
14
15
17
18
19
2021
22
23
24
25
2627
28
29
30
3.
17
18
21
22
25
26
27
29
35
3637
38
39
40
41
42
43
44
45
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
19
20
23
24
28
30
31
3233
34
Logika & razvedrilna matematika 54
Labirint na zemljevidu
21
22
2
23
1
4
3
5 6
13
14
15
16
17
18 19
20
25
26 27
28
29
24
7
1011
12
8
9
30
Odstranjene kocke
71 92 91
53 67 77
81 47 62
52 90 61
Logika & razvedrilna matematika 55
Kocki določi mrežo {3, 4, 2, 4, 1, 1} Labirint v kvadru
12 3
4 56
789
10 11 12
1314
15
161718
1 2
3 4
5 6
7
89
1011 12 13
1415
16
17
1 23
4
5 6
7 8 9
1011
121314 1516
1 2 3
456 7 8
910 11 12
13
14 15
Logika & razvedrilna matematika 56
Labirint na ploskvah
12
3 4
56
78
910
11
1213
14 15
1617
18
1920
2122
23
24 25
26
2728
2930
1
2 3
4 5
6
78
910
1112
13
14
15
16
17 18 19
20 21
22 23
24 25
26
27 28
29 30
3132
33
34 35363738
39
40 41 42
43 44
4546
47
48 49
50 51
52 53
54
5556
57 58
5960
6162
63
6465
1
2345
6 7 8
910
11
1213
141516
17
18 19 20 21
22 23 24
25
26
27
1
2
3 4 5 6
789
10 11 12 13
14
15
16
17
1819202122232425
2627
28
29 30
31 32
33 34
35
3637
Logika & razvedrilna matematika 57
Labirint na projekcijah teles
Logika & razvedrilna matematika 58
Labirinti na mreži valja in stožca 1.
123456
7
8 91011
1213
141516171819
20212223
24
2526
272829
30
31
32333435
36
37 38 39
40
414243 44
4546
47
48
4950
5152
535455
565758
59
6061
6263
6465666768
6970
2.
1 2 3 4
5
67
8
9
1011121314
15
16
1718
19
20
21 22
2324
25
26
272829
303132
3.
12345
67
8
910
11
12
13
1415
1617
18
192021
22
23
24
2526
27
28
29
30
31
32
333435
36
37
3839
40 4142
Logika & razvedrilna matematika 59
Analiziraj pogoje nalog
Stolpiči različnih višin
x 3 3 1 2 x
2 2 1 4 3 2
3 1 3 2 4 1
2 3 4 1 2 2
1 4 2 3 1 3
x 1 2 2 3 x
x 2 3 2 1 x
4 1 2 3 4 1
1 4 3 1 2 3
2 3 4 2 1 3
2 2 1 4 3 2
x 3 2 1 2 x
x 1 3 2 2 x
1 4 1 2 3 2
3 1 3 4 2 2
2 2 4 3 1 3
2 3 2 1 4 1
x 2 2 3 1 x
x 2 2 1 3 x
2 3 1 4 2 2
2 2 4 1 3 2
1 4 3 2 1 4
4 1 2 3 4 1
x 2 3 2 1 x
x 2 3 2 1 x
4 1 2 3 4 1
1 4 3 2 1 4
2 2 1 4 3 2
2 3 4 1 2 2
x 2 1 2 3 x
x 2 1 2 3 x
2 3 4 2 1 3
2 2 1 4 3 2
4 1 2 3 4 1
1 4 3 1 2 3
x 1 2 3 2 x
x 2 2 2 1 x
2 3 2 1 4 1
2 2 1 4 3 2
2 1 4 3 2 3
1 4 3 2 1 4
x 1 2 3 4 x
x 1 2 4 2 x
1 4 3 1 2 3
2 3 1 2 4 1
2 2 4 3 1 3
3 1 2 4 3 2
x 4 2 1 2 x
x 3 2 3 1 x
3 1 3 2 4 1
2 2 4 3 1 3
1 4 2 1 3 2
2 3 1 4 2 2
x 2 3 1 3 x
x 2 1 2 3 x
2 1 4 3 2 3
1 4 1 2 3 2
3 2 3 1 4 1
2 3 2 4 1 2
x 2 3 1 2 x
x 1 3 2 2 x
1 4 1 2 3 2
3 2 3 4 1 2
2 3 2 1 4 1
2 1 4 3 2 3
x 3 1 2 2 x
x 2 3 3 1 x
2 3 1 2 4 1
1 4 3 1 2 3
2 2 4 3 1 3
3 1 2 4 3 2
x 3 2 1 2 x
Logika & razvedrilna matematika 60
Izdaja: Založniško podjetje LOGIKA d.o.o., Svetčeva pot 11, 1241 Kamnik. Poslovni račun pri NLB:
02312-0016592829. Davčna številka: SI56917309. Podjetje je zavezanec za DDV po zakonu o DDV.
Za izdajatelja: Izidor Hafner. E-mail: [email protected]
Spletna stran: http://www.logika.si.
Revija Logika & razvedrilna matematika je vpisana v register medijev pri Ministrstvu za kulturo pod številko 759. Strokovni pokrovitelj: Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko - oddelek za teoretično
računalništvo.
Glavni in odgovorni urednik: dr. Izidor Hafner (http://mat03.fe.uni-
lj.si/html/people/izidor/homepage/)
Člana časopisnega sveta: prof. dr. Tomaž Pisanski in Darjo Felda, prof. Recenzent: Vilko Domajnko, prof.
Sodelavci: mag. Urša Demšar, dr. Gregor Dolinar, Monika Kavalir, dr. Meta Lah, Boštjan Kuzman,Teja Oblak, Hiacinta Pintar, Maja Pohar, mag. Katka Šenk in dr. Aleš Vavpetič.
Oblikovanje: Ana Hafner
Jezikovni pregled: Besana
Za objavljene prispevke ne plačujemo honorarjev.
© 2019 LOGIKA d.o.o.
ISSN 2350-532X
LOGIKA & RAZVEDRILNA MATEMATIKA, letnik XXVIII, št. 3 od 4, 2018/2019
Elektronska izdaja. Cena revije: 0 €.
