0

VSEBINA Prizme in antiprizme 1111

Nagradna logična naloga 6666

Preseki stožca 7777

Rotacijski hiperboloid 12121212

Izdaja: Založniško podjetje LOGIKA d.o.o., Svetčeva pot 11, 1241 Kamnik. Poslovni račun pri NLB: 02312-0016592829. Davčna številka: SI56917309. Podjetje je obvezni zavezanec po zakonu o DDV. Za izdajatelja: Izidor Hafner. Telefon: (01)8314 915. E-mail: logika@siol.net. Revija Logika & razvedrilna matematika je vpisana v register medijev pri Ministrstvu za kulturo pod številko 759. Revijo Logika in razvedrilna matematika subvencionira Ministrstvo za šolstvo in šport.

Glavni in odgovorni urednik: dr. Izidor Hafner. (torina.fe.uni-lj.si/~izidor) Člana časopisnega sveta: prof. dr. Tomaž Pisanski in Darjo Felda, prof. Sodelavci: mag. Urša Demšar, dr. Gregor Dolinar, Petra Grošelj, Monika Kavalir, mag. Meta Lah, Boštjan Kuzman, Dragoljub M. Milošević, Teja Oblak, Hiacinta Pintar, Maja Pohar, mag. Katka Šenk in dr. Aleš Vavpetič. Oblikovanje: Ana Hafner. Jezikovni pregled: Barbara Janežič Bizant. Strokovni pokrovitelj: Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko – oddelek za teoretično računalništvo. Generalni sponzor: Marand d.o.o., Zastopstvo Borland. Tisk: Tiskarna Littera picta, Rožna dolina c. IV/32-36, Ljubljana. Naklada: 1100 izvodov. 2005 LOGIKA d.o.o. ISSN 0354 – 0359 LOGIKA & RAZVEDRILNA MATEMATIKA

letnik XV, št. 1, 2005/2006 Cena revije: letna naročnina 3650 SIT (8,5% DDV je vključen). Posameznih številk ne prodajamo. Naročnina za posameznike velja do pisnega preklica

1

Prizme in antiprizme Prizme in antiprizme sodijo po definiciji med uniformne poliedre, vendar se običajno obravnavajo posebej.

V primeru prizem imamo osnovni ploskvi, ki ju povezujejo kvadrati, pri antiprizmah pa ju povezuje obroč enakokrakih trikotnikov. Kaj pa če vzamemo za osnovno ploskev pentagram ali kakšen drug zvezdasti večkotnik?

1 2

3

4

5

6

7

8

{{1,2,5,3},{1,3,7,4},{1,4,8,6,2}} Pri tem moramo paziti, da je pentagram petkotnik in ne desetkotnik. Osnovni ploskvi povezujejo kvadrati, ki sekajo drug drugega. Kvadrata {1,3,7,4} in {1,2,5,3} imata skupni rob {1,3}. Kvadrat, ki ima rob {6,8}, pa s tema kvadratoma nima skupnih robov. Pentagramska prizma ima tako kot navadna petkotna prizma 5 stranskih ploskev in ne 10, kot bi bilo sicer tudi

2

možno, vendar se dogovorimo, da velja prva možnost. Desna slika prikazuje ogliščno konfiguracijo.

1 2

3

4

56

9

Pri pentagramski antiprizmi moramo biti še bolj pozorni. Ogliščna konfiguracija sestoji iz pentagrama in treh trikotnikov. Situacija postane še nekoliko manj pregledna pri pentagramski prečni antiprizmi.

1

2

3

4

5

6

9

Ali smo pravilno razumeli dogovore, bo razvidno iz naslednjih nalog. Uniformni polieder smo projicirali na očrtano sfero. Robovi se projicirajo na dele velikih krogov na sferi. Predstavljajmo si, da imamo vse narisano na balonu. Zdaj pa ga v eni točki prebodemo in ga napnemo v obliki kroga. Kaj dobimo?

3

1

2

3

4

5

67

12

3

4

5

6

7

8

9

10

Seznam mejnih ploskev je takšen: {{1,2,5,3},{1,3,7,4},{1,4,8,6,2},{2,6,9,5},{3,5,9,10,7},{4,7,10,8},{6,8,10,9}}. {1,4,8,6,2} je zgornji osnovni pentagram. Ker je v seznamu tretji, je na sliki označen s 3. Posebej moramo biti pozorni na stranske kvadrate. Zapomnimo si obliko prvega kvadrata, to je {1,2,5,3}. Njegova sredina pade točno na sredino roba {8,10}. Zdaj si oglejmo še labirint na tem telesu in njegovo rešitev.

1

2

3

4

5

6

7

Najti je treba pot od temnejše do svetlejše točke. Debele črte predstavljejo prepreke. Pri rešitvi navajamo zaporedje mejnih ploskev. Mejna ploskev 1 ima odprto pot le do spodnje osnovne ploskve. Le ta ima odprto pot do 3, … Začeli bomo s spreprostimi nalogami na navadnih prizmah in antoprizmah, nadaljevali pa z nalogami na zvezdastih prizmah in antiprizmah. Naloge:

4

5

6

Nagradna logična naloga Štirje znanci (Robert, Tone, Izidor, Tine) s priimki (Gornik, Vodovnik, Hafner, Kranjc) imajo različne poklice (fizik, igralec, optik, policist). Doma so iz različnih krajev (Nova Gorica, Jesenice, Celje, Maribor). Za vsakega ugotovi priimek, poklic in kraj, če veš naslednje: 1. Tine se ne piše Vodovnik. 2. Gornik ni doma iz Nove Gorice. 3. Robert se ne piše ne Hafner ne Kranjc. 4. Kranjc ni doma ne iz Celja ne iz Nove Gorice. 5. Tone ni doma iz Celja. 6. Vodovnik je po poklicu policist. 7. Optik ni doma ne z Jesenic ne iz Nove Gorice. 8. Policist ni doma ne iz Celja ne iz Maribora. 9. Fizik ni doma ne iz Maribora ne iz Celja. 10. Igralec ni doma ne z Jesenic ne iz Nove Gorice. 11. Izidor ni doma iz Celja. 12. Tone je igralec. 13. Igralec ni doma iz Celja. 14. Robert ni fizik. 15. Gornik ni po poklicu igralec. 16. Tine se ne piše Kranjc. 17. Policaj ni doma z Jesenic. 18. Izidor se ne piše Gornik. 19. Tine ni doma iz Jesenic. 20. Hafner ni po poklicu fizik. 21. Kranjc ni po poklicu optik. 22. Gornik ni doma iz Maribora. 23. Hafner ni doma iz

Celja.

Robert

Tone

Izidor

Tine

fizik

igralec

optik

policaj

NovaGorica

Jesenice

Celje

Maribor

Gornik

Vodovnik

Hafner

Kranjc

fizik

igralec

optik

policaj

Nova

Gorica

Jesenice

Celje

Maribor

7

Preseki stožca Stožernice je prvi obravnaval Grk Menehem (okoli 375–325 pred našim štetjem), ki je bil Evdoksov učenec in prijatelj filozofa Platona. Bil je tudi eden od učiteljev Aleksandra Velikega, ki ga je menda vprašal, ali zanj ne obstaja kakšen enostavnejši način za učenje geometrije. Na to je Menehem odgovoril: »Veste Kralj, obstajajo v deželi kraljevske in običajne poti, a za geometrijo je le ena pot za vse.« Menehem je obravnaval preseke stožca, pravokotne na tvorilko. Pri pravokotnem stožcu (glede na kot pri vrhu) je presek parabola, pri ostrokotnem elipsa in pri topokotnem hiperbola. Imena za te krivulje je prispeval Apolonij (okoli 262–190 pred našim štetjem), ki je v osmih knjigah strnil celotno grško znanje o stožernicah. Prve štiri knjige povzemajo znanje predhodnikov, naslednje tri naj bi bile Apolonijevo originalno delo. Zadnja, osma knjiga, pa je izgubljena.

V prilogi boste našli modele za vse tri primere. V resnici ni treba gledati samo pravokotnih presekov. Glede na razmerje velikosti kotov a in b razlikujemo tri primere.

8

9

Lastnosti stožernic je najlaže ugotavljati s pomočjo t.i. Dandelinovih sfer (l. 1822). To sta v stožec včrtani sferi, ki se dotikata presečne ravnine. Naj bo E presek stožca in ravnine v prvem primeru, S in S' pa zgornja in spodnja včrtana sfera. Bodita C in C' krožnici, kjer se sferi dotikata stožca, in točki F in F' dotikališči sfer z ravnino. V naj bo vrh stožca in X poljubna točka na E. G in G' naj bosta točki, kjer se poltrak VX dotakne sfer. Potem sledi XF=XG, saj sta to tangenti iz X na G, in XF'=XG', saj sta to tangenti iz X na S'. Torej je XF+XF'=XG+XG'=GG'= konstanta. Krivuljo, ki ima to lastnost, da je vsota razdalj poljubne njene točke do dveh danih točk konstantna imenujemo elipsa.

10

Podobno dobimo, če pogledamo drugo spodnjo sliko: XF-XF'=XG-XG'=GG'= konstanta.Krivuljo, ki ima to lastnost, da je razlika razdalj poljubne njene točke do dveh danih točk konstantna, imenujemo hiperbola.

11

V primeru enakosti kotov imamo samo eno včrtano sfero. Bodi S sfera, ki se dotika stožca v krožnici C in ravnine v točki F. Naj ravnina, ki vsebuje krožnico C, seka našo ravnino v premici L. X naj bo poljubna točka na preseku stožca z dano ravnino, C' pa presečiščna krožnica ravnine, ki gre skozi X pravokotno na višino stožca. V naj bo vrh stožca in naj VX seka C v točki G. Tvorilka stožca, ki je vzporedna dani ravnini, seka C v G' in C' v X'. Naj bo XY pravokotnica iz X na L. Potem velja: XY=X'G'=XG=XF, saj sta vzporedni na vzporednih ravninah. Druga enakost velja, saj gre za razdaljo med krožnicama. Tretja enakost velja, saj gre za tangenti iz X na S. Torej je X enako oddaljena od F in L. Krivulji, katere točke imajo lastnost, da so enako oddaljene od neke premice in neke točke, pravimo parabola.

Tomislav Žitko

12

Rotacijski hiperboloid Rotacijski hiperboloid sodi med ploskve drugega reda, dobimo pa ga tako, da hiperbolo zavrtimo okoli osi y.

-2 -1 1 2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

Oblika je uporabna tudi v gradbeništvu, saj je takšna zgradba zelo stabilna proti sunkom vetra. Hladilni stolpi termocentrale v Šoštanju imajo to obliko.

13

Pomembno je, da lahko takšno strukturo zgradimo iz trikotnikov. Lahko si zamislimo, da smo na višini c in –c izbrali dve krožnici in dva pravilna mnogokotnika. Eno od obeh krožnic zavrtimo za določeni kot. Daljice, ki povezujejo enakoležne točke, ležijo na hiperboloidu. Z izbiro n-kotnika in kota bomo dobili različne poliedre.

14

Ker imamo opravka z nekonveksnim poliedrom, v splošnem ne moremo konstruirati mreže za celotno telo. Zato naredimo mreže za posamezna »nadstropja«, ki pa so tokrat različnih višin. Mreže najdete v prilogi.

Izidor Hafner