OASDSP2: Spektralna analiza signala slike

Novi Sad, 2019 strana 1

• Spektar 2D signala (Furijeova transformacija 2D signala)

• 2D impulsni odziv i prenosna karakteristika

• 2D DFT

• 2D DCT

OASDSP2: Spektralna analiza signala slike

Novi Sad, 2019 strana 2

Spektar 2D signala: Furijeova transformacija 2D diskretnih signala• Spektar je 2D funkcija

• Dve prostorne frekvencije (vertikalne i horizontalne)

1D spektar 2D spektar

vreme t (s) frekvencija f (Hz=1/s) vertikalno: y (m) fv (1/m)

horizontalno: x (m) fh (1/m)

Prostorne učestanosti normalizovane na učestanost odabiranja – osnovni opseg od -0.5 do +0.5

2D Furijeova transformacija diskretnog signala

v h

hfvfj

hvhvehvsffS

2),(),(

Jednačine simetrije

),(),(

),(),(

),(),(

),(),(

*

*

*

hvhv

hvhv

hvhv

hvhv

ffSffS

ffSffS

ffSffS

ffSkfnfS

fv

+0.5

-0.5

fh+0.5-0.5n, k - celi brojevi

OASDSP2: Spektralna analiza signala slike

Novi Sad, 2019 strana 3

Primer: pravouganik / vertikalna širina Y i horizontalna širina X

drugde

XhXYvYhvs

0

12/2/&12/2/1),(

hv ffj

h

h

v

vhv e

f

Xf

f

YfffS

sin

sin

sin

sin),(

signal slike 2D spektar

Y = 10

X = 10

Y = 12

X = 6

V = 50

H = 50

OASDSP2: Spektralna analiza signala slike

Novi Sad, 2019 strana 4

Separabilnost (vertikalna i horizontalna) 2D Furijeove transformacije

vfj

v h

hfj

v h

hfvfj

hvvhhv eehvsehvsffS

222),(),(),(

h

hfj

hvhehvsfS

2),()(

v

vfj

hvhvvefSffS

2)(),(

2D Furijeova transformacija

1D Furijeove transformacije po vrstama

1D Furijeove transformacije po redovima )( hv fS

),( hv ffS

OASDSP2: Spektralna analiza signala slike

Novi Sad, 2019 strana 5

2D sistemi u spektralnom domenu (prostornom)

2D diskretna konvolucija u prostornom domenu

1

0

1

0

),(),(),(N

n

N

k

khnvxknhhvy

2D sistem u spektralnom domenu

v h

hfvfj

hv

v h

hfvfj

hv

v h

hfvfj

hv

hvhvhv

hv

hv

hv

ehvyffY

ehvhffH

ehvxffX

ffXffHffY

2

2

2

),(),(

),(),(

),(),(

),(),(),(

Amplitudna karakteristika

Prenosna karakteristika

Fazna karakteristika

hv ffH ,

hvhv ffHffA ,,

hvhv ffHff ,arg,

OASDSP2: Spektralna analiza signala slike

Novi Sad, 2019 strana 6

2D sistemi : uticaj faze i amplitude

),(),( hvhv ffXffY

.),(

),(arg),(arg

constffY

ffXffY

hv

hvhv

OASDSP2: Spektralna analiza signala slike

Novi Sad, 2019 strana 7

2D filtri: Gaus7

,...,1

,...,1),(

2

2

2

2

2

)2/(

2

)2/(

NNk

Nneknh hv

NkNn

3 hv 35.0 hv

OASDSP2: Spektralna analiza signala slike

Novi Sad, 2019 strana 8

2D diskretna Furijeova transformacija (blok N x N tačaka)

v h

hfvfj

hvhvehvsffS

2),(),(

1

0

1

0

2

),(),(N

v

N

h

N

hk

N

vnj

ehvsknS

2D Furijeova transformacija

diskretnog signala 2D DFT

N

kf

N

nf hv

frekvencijska

rezolucija

2D inverzna DFT

1

0

1

0

2

),(1

),(N

n

N

n

N

hk

N

vnj

eknSNN

hvs

1,...,0, Nkn

Struktura spektra: koeficijent podospeg 1/N x 1/N

N

kfh

N

nfv

0

1

0 1N=16

OASDSP2: Spektralna analiza signala slike

Novi Sad, 2019 strana 9

2D DFT: dekompozicija i matrična forma

Dekompozicija 2D transformacije u dve 1D transformacije

N

vnjN

v

N

h

N

hkj

eehvsknS 21

0

1

0

2

),(),(

1

0

2

),()(N

h

N

hkj

v ehvskS

1

0

2

)(),(N

v

N

vnj

v ekSknS

Matrična forma direktne i inerzne transformacije

ITT

TN

T

TSTs

TsTS

T

T

T

1

1

11

1

...

.),(.

...

hvss

...

.),(.

...

knSS

...

..

...2

N

nkj

eT

matrica

signalamatrica

spektra

transformaciona

matrica

2D1D x N

1D x N

OASDSP2: Spektralna analiza signala slike

Novi Sad, 2019 strana 10

2D DCT – diskretna kosinusna transformacija

0 , N

2

0 , 1

)(

u

uN

u

10 , 10

)2/1(cos)2/1(cos),()()(),(1

0

1

0

NkNn

hN

kv

N

nhvsknknS

N

v

N

h

Direktna transformacija

Inverzna transformacija

10 , 10

)2/1(cos)2/1(cos),()()(),(1

0

1

0

NhNv

hN

kv

N

nknSknhvs

N

n

N

k

Frekvencijska rezolucija

1,...,0,

22

Nkn

N

kf

N

nf hv N=16

OASDSP2: Spektralna analiza signala slike

Novi Sad, 2019 strana 11

2D DCT – matrična forma (dekompozicija na dve 1D transformacije)

ITT

TT

TSTs

TsTS

T

T

T

1

1

11

...

.)(.

...)2/1(

N

knj

enT

• Dobra kompakcija energije

V

n

H

k

B

n

B

k

knS

knS

1 1

2

1 1

2

),(

),(

B

B

• Finija rezolucija

DFT (1/N) x (1/N)

DCT (1/2N) x (1/2N)

OASDSP2: Spektralna analiza signala slike

Novi Sad, 2019 strana 12

Treba zapamtiti:

Spektar 2D signala je određen 2D DFT. 2D diskretna Furiejova transformacija je separabilna po vertikalnom i

horizontalnom pravcu – dobija se sa sekvencijalnom primenom 1D DFT transformacije, prvo po svim vrstama

(horizontalno) a zatim po svim kolonama (vertikalno).

Matrična forma 2D DFT se opisuje sa matricom 1D DFT (T matrica NxN) za 2D signal (sliku) S veičine NxN

tačaka kao Y=T.S.TT.

Amplitudni spektar je definisan kao moduo 2D DFT a fazni spektar kao argument 2D DFT. Pri tome su

promenjive par prostornih učestanosti (vertikalna i horizontalna).

Diskretna 2D konvolucija se preslikava u proizvod 2D DFT ulaznog signala i 2D impulsnog odziva linearnog

2D sistema. 2D konvolucija opisuje 2D filtre koji filtriraju signal u dva pravca, vertikalnom i horizontalnom. Ako

se u svakom pravcu definišu dva osnovna filtra NF (nisko-frekventni) i VF visoko-frekventni, onda 2D filter ima

četiri osnovna oblika NF/NF, NF/VF, VF/NF i VF/VF.

Prenosna karakteristika linearnog 2D sistema je njegova 2D DFT. Moduo definiše amplitudnu karakteristiku a

argument faznu karakteristiku sistema.

2D DCT je dvo-dimenzionalna diskretna kosinusna transformacija signala. Dobija se sekvencijalnom primenom

1D DCT na sve vrste (horizontalno) a zatim na sve kolone (vertikalno). To je takođe ortogonalna transformacija –

direktnom transformacijom se 2D signal (slika) veličine NxN preslikava u frekvencijski prostor sa NxN spektralnih

koeficijenata a inverznom transformacijom se spektralni koeficijenti opet preslikavaju u originalni 2D signal.

Za spektralnu analizu slike se najčešće koristi 2D DCT iz dva razloga:

o Dva puta finija rezolucija za istu veličinu transformacije

o Bolja kompakcija energije (veći deo energije nose manje spektralnih koeficijenata).