Diskretna Furijeova transformacija

1

Digitalna obrada signala

Diskretna Furijeova transformacija

Za poetak, podseanje, posmatrajmo diskretan periodian niz sa periodom N

Diskretan niz. Niz vrednosti, brojeva. Definisan redosledom, nema vremensku dimenziju.

Pitanje da li je mogue predstaviti bilo koji lan niza preko harmonijskih komponenti

NjegdeekXnx

Nk

kk

jnk 2)()( 0

10

0

0

Digitalna obrada signala

Diskretna Furijeova transformacija

)()(

)()(,

0

NkXkX

NnxnxNperiodniz

Nperiodejnk

1

0

0)()(N

k

jnkekXnx

Furijeov red

1

0

0)(1

)(N

n

jknenx

NkX

Diskretna Furijeova transformacija

2

Digitalna obrada signala

Diskretna Furijeova transformacija

T

tjk

k

tjk

dtetxT

kX

TjegdeekXtx

0

0

)(1

)(

2)()(

0

00

)()()(

n

ssp nTtnTxtx

Posmatrajmo kontinualan periodian signal sa periodom T

I diskretizovan signal koji je dobijen odabiranjem sa periodom Ts

I diskretizovan signal koji je dobijen odabiranjem prethodnog signala sa

periodom Ts

Ako je ponovo dobijen periodian signal sa periodom T=N Ts, gde je N ceo broj

snTjkN

n

s

tjk

T n

ss

T

tjk

pp

enTxT

dtenTtnTxT

dtetxT

kX

0

00

1

0

0

)(1

)()(1

)(1

)(

Digitalna obrada signala

Diskretna Furijeova transformacija

Spektar diskretizovanog perodinog signala je periodian sa periodom 2

nN

jknTT

jknTjk Ss

22

0

A to odgovara uestanosti

S

s

s

SsSSSs

T

TN

TNN

T

jegde

nTjnTjknTjNnTjknTNkj

22

)(

0

0000

Diskretna Furijeova transformacija

3

Digitalna obrada signala

Diskretna Furijeova transformacija

1

0

1

0

2

01

0

00 )()()(1

)(N

n

nTjksN

n

Njkn

s

N

n

jkn senxT

Tenxenx

NkX

snTjkN

n

sp enTxT

kX 01

0

0 )(1

)(

Diskretan periodian niz

Diskretizovan periodian signal

1

0

0)(1

)(N

n

jknenx

NkX

)(1

)( 0 kXT

kXs

p

Digitalna obrada signala

Diskretna Furijeova transformacija

Teorema odabiranja

)()()( jHjXjY pr

t

tTth

TjHjH cs

c

cs

)sin()(

0)(?)(

n

sspr nTthnTxthtxty )()()(*)()(

n sc

scs

Scr

nTt

nTtnTx

Tty

)(

))(sin()()(

)()()(

n

ssp nTtnTxtx

k

s

s

p kjXT

jX )((1

)(

Diskretna Furijeova transformacija

4

Digitalna obrada signala

Diskretna Furijeova transformacija

Odabiranje u spektru sa N ekvidistantnih taaka u opsegu

N

2)2,0(

Malo matematike

Period 2

Aperiodian signal

Digitalna obrada signala

Diskretna Furijeova transformacija

Pretpostavimo da je ovaj signal periodian sa periodom N

1

2

1 i 2

odnosno

Diskretna Furijeova transformacija

5

Digitalna obrada signala

Diskretna Furijeova transformacija

Znai ako u frekventnom domenu odaberemo N taaka moemo rekonstruisati neki periodian signal sa periodom N

Koji su uslovi da tu bude signal )(nx

)(nxp periodino produenje )(nx1

2 u periodi N se nalazi orginal )(nx

3 ogranienog trajanja )(nx

)(nxp

4 N vee od trjanja tako da ne dolazi do preklapanja u vremenskom domenu

Digitalna obrada signala

Diskretna Furijeova transformacija

Diskretna Furijeova transformacija

6

Digitalna obrada signala

Diskretna Furijeova transformacija

Isto ovo na drugi nain

Digitalna obrada signala

Diskretna Furijeova transformacija

N=8

Diskretna Furijeova transformacija

7

Digitalna obrada signala

Diskretna Furijeova transformacija

Mogue je rekonstruisati periodinu sekvencu i njen spektar iz ekvidistantnih odbiraka u spektralnom domenu

L duina aperiodine sekvence

N broj odmeraka u spektralnom domenu

DFT

IDFT

Digitalna obrada signala

Diskretna Furijeova transformacija

Matrini oblik

DFT

IDFT

gde je

Diskretna Furijeova transformacija

8

Digitalna obrada signala

Diskretna Furijeova transformacija

OSOBINE

Digitalna obrada signala

Diskretna Furijeova transformacija

OSOBINE

Diskretna Furijeova transformacija

9

Digitalna obrada signala

Diskretna Furijeova transformacija

Raunanje linearne konvolucije preko DFT

Digitalna obrada signala

Diskretna Furijeova transformacija

Frekvencijske karakteristike DFT

F nije ucestanost u kojima se racuna DFT

Fs/F nije celobrojna vrednost, ili N ne odgovara periodinosti ulaznog signala

Diskretna Furijeova transformacija

10

Digitalna obrada signala

Diskretna Furijeova transformacija

Digitalna obrada signala

Diskretna Furijeova transformacija

Prozorske funkcije

Diskretna Furijeova transformacija

11

Digitalna obrada signala

Diskretna Furijeova transformacija

Digitalna obrada signala

Diskretna Furijeova transformacija