Obrada signala 1

2017-2018

03.10.2017.

Z transformacija

• Z transformacija preslikava niz u kontinualnufunkciju komplesne promenljive z

• Postoji i unilateralna definicija koja se razlikujesamo u donjoj granici za sumu

n

nznxzX nxznxzXn

n Z

0n

n

I znxzX

Z transformacija - značaj

• Ako je niz {h[n]} impulsni odziv sistema onda je z transformacija

• funkcija prenosa posmatranog sistema.

n

nznhzH

Z tansformacija i Furijeova transformacija

• Furijeova transformacija može da se posmatra kao “specijalan slučaj” z transformacije, odnosno kao z transformacija računata samo za određene vrednosti iz skupa kompleksnih vrednosti z i to za one vrednosti koje leže na jediničnom krugu zravni

• U opštem slučaju, z transformacija može da se tumači kao Furijeova transformacija niza x[n]r -n

nj

n

j

ezenxeXzX j

n

njnj ernxreXzX

Z tansformacija i Furijeova transformacija

nj

n

j

ezenxeXzX j

Jedinični krug:z=ejω

Z transformacija

• S obzirom na to da je z transformacija funkcija kompleksne promenljive z=x+jy, |X(z)| može da se predstavi kao površ gde se svaka tačka površi dobija kao |X(z0)|, vrednost sračunata za određeno z0=x0+jy0.

-10

1

-1

0

1

-20

0

20

Re(z)Im(z)

20

log

10|X

(z)|

Z transformacija

• Očigledno da ovaj 3-D prikaz nije lako “protumaičiti”, čak ni u jednostavnijim primerima

-10

1

-1

0

1

-20

0

20

Re(z)Im(z)

20

log

10|X

(z)|

-10

1

-1

0

1

-100

-50

0

50

100

Re(z)Im(z)

20

log

10|X

(z)|

Z transformacija

-10

1

-1

0

1

-100

-50

0

50

100

Re(z)Im(z)

20

log

10|X

(z)|

Z transformacija

• Od posebnog su interesa funkcije koje mogu da se predstave kao količnik dva polinoma po z, X(z)=Q(z)/P(z).

• U nulama polinoma Q(z) funkcija X(z) ima vrednost nula - nule funkcije X(z).

• U nulama polinoma P(z)funkcija X(z) teži beskonačnosti - polovi funkcije X(z).

• Od posebne je važnosti položaj nula i polova u odnosu na jedinični krug.

Z transformacija

• Uobičajeno je da se, umesto površi X(z) posmatra položaj nula i polova u kompleksnoj z ravni. Najčešće se nule označavaju simbolom o (“kružić”) a polovi simbolom x (“krstić”).

-1

0

1

-1

0

1

-30

-20

-10

0

10

20

Re(z)Im(z)

20

log

10|X

(z)|

Z transformacija - konvergencija

• Oblast konvergencije određena je onim vrednostima z za koje suma X(z) ima konačnu vrednost. Uslov konvergencije z transformacije je:

• Za funkcije oblika X(z)=Q(z)/P(z), očigledno da polovi (vrednosti z za koje X(z) postaje beskonačno) ne mogu biti u oblasti konvergencije

n

nrnx

Z transformacija - konvergencija

• Za funkcije oblika količnika dva polinoma, oblast konvergencije određena je položajem polova

• Granice oblasti konvergencije određene su krugovima koji prolaze kroz polove

Re

z ravan

a

Im

Oblast konvegencije - primeri

• Posmatra se niz {anu[n]}

• Da bi beskonačan zbir

konvergirao, mora biti

|az-1|<1, odnosno, |z|>a

.0

1

n

n

n

nn azznuazX

azaz

zznuazX

n

nn

,

Oblast konvegencije - primeri

• Posmatra se niz {-anu[-n-1]}

• Da bi beskonačan zbir

konvergirao, mora biti

|a-1z|<1, odnosno |z|<a

azaz

zzX

,

0

1

1

1

1

1

n

n

n

nn

n

nn

n

nn

zaza

zaznuazX

Re

z ravan

a

Im

Osobine

• Linearnost

• Pomeraj u vremenskom domenu (kašnjenje)

• Inverzija u vremenu

zXznnxn0

0

Z

zXnx 1Z

1 2 1 2a x n b x n aX z bX z Z

Osobine

• Množenje eksponencijalnim nizom (modulacija)

• Množenje sa n

• Konjugovano kompleksni nizovi

n

nnn zznxnxz 00Z 00 zzXnxz Z

dz

zdXznnx Z

zXnx

Primeri

• Niz konačne dužine

• Kauzalni niz

• Dvostrani niz

Niz konačne dužine

• Konvergira za svako |z|>0

• Primer, filtar za usrednavanje dužine 3

• Diferencna jednačina:

• Impulsni odziv

1 2

3

x n x n x ny n

n -2 -1 0 1 2 3

x[n] 0 0 1 0 0 0

y[n] 0 0 1/3 1/3 1/3 0

Niz konačne dužine

21 2

0

21 2

2

1 1 1

3 3 3

1 1 11

3 3

n

n

H z h n z z z

z zz z

z

Nule:Koreni polinoma u brojiocu

Polovi:Koreni poinoma u imeniocu

1,2

1 1 4 1 3

2 2

jz

1,2 0z

Kauzalni niz

• x[n]=0.5n+0.8n, n≥0

1 1

1

1 2

1 1

1 0.5 1 0.8

2 1.3, | | max 0.5,0.8

1 1.3 0.4

X zz z

zz

z z

Dvostrani niz

1 2

1, 0

4

1, 1

2

n

n

n

x n

n

x n x n x n

1

1

11

41 1

1 110 0

1, 0

4

1 1 4 1 1, 1,

14 4 1 4 41

4

n

zn

n

n n

x n n

zX z x n z z z z

zz

2

1 11

2 2

1

2 1

1 0

1, 1

2

12

2

1 1 2 1 2 11 1 2 1 2 1 , 2 1,

1 2 1 2 1 2 2

n

nnn

n n n

zn n

n n

x n n

X z x n z z z

z zz z z z

z z z

1 1

4 2z

Inverzna z transformacija

• Košijeva teorema

.1,0

,1,1

2

1

k

kdzz

jC

k

C n

kn

C

k dzznxj

dzzzXj

11

2

1

2

1

C n C

knk dzzj

nxdzzzXj

11

2

1

2

1

kxdzzzXj

k

C

1

2

1

Inverzna z transformacija

C

n dzzzXj

nx 1

2

1

CzzX

dzzzXj

nx

n

C

n

kontureunutarpolovimaufunkcijeostaci

2

1

1

1

Računa se pomoću Košijeve teoreme o ostacima

Z transformacija - parovi

Z transformacija - parovi

Primeri - 1

• Za dato H(z) odrediti h[n], |z|>.5.

1211

121

2

25.015.015.01

25.015.01

1

z

C

z

B

z

A

zz

zzH

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

2

Real Part

Imagin

ary

Part

Primeri - 1

221

1

11

15.01

25.01

25.015.01

zzC

zB

zzA

221

1

21

125.01

25.01

125.025.01

zzzC

zB

zzA

Primeri - 1

125.0125.0

025.025.0

1

CA

CBA

CBA

2

3

14

9

42

3

5

9

15

19

086

183

82

82

04

1

B

A

C

C

BC

BC

CA

CA

CBA

CBA

Sistem odtri

jednačine

Rešenje

Primeri - 1

1211 25.01

1

3

5

5.01

12

5.01

1

3

14

zzz

zH

nuan

az

azaz

az

az

n11

1

1

1

11

1

21

121

1

21

Z

nununnunhnnn

25.03

55.0125.0

3

14

Primeri - 2

• Za dato H(z) odrediti h[n], |z|>.5.

21

21

25.05.01

21

zz

zzzH

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

2

Real Part

Imagin

ary

Part

Primer

21

21

25.05.01

21

zz

zzzH

5.0cos

5.0,25.0

cos21

21

2

221

21

p

p

rr

zrzr

zzzH

Primer

21

1

21

121

21

21

25.05.01

3

41

4

314

25.05.01

75.025.05.014

25.05.01

25.05.025.04

zz

z

zz

zzz

zz

zzzH

Primer

22

1

22

1

21

11

cos21

sin

sin

1

12

13

4

3

cos21

cos1

4

314

25.05.01

4

1

3

425.01

4

314

zrr

zr

rzrr

zr

zz

zz

zH

p

p

pp

p

2

3

4

11sin p

Primer

22

1

22

1

cos21

sin

325.0

1

12

13

4

3

cos21

cos1

4

314

zrr

zr

zrr

zrzH

p

p

p

p

p

n

p

n nrnrnnh sin33

13cos34

Konvolucija

zHzXnhnx Z

k

knhnxny

n

nznyzY

n

n

k

zknhkxzY

k

k

m

m zzmhkxzY

k

kzkxzHzY

Primer 3

• Odrediti odziv sistema datog funkcijom prenosa H(z)=(1+z-1)/2 na pobudu nizom x[n]=anu[n], a=0.5.