Embed Size (px)
Citation preview
Diskretna Furijeova transformacija
1
Digitalna obrada signala
Diskretna Furijeova transformacija
Za početak, podsećanje, posmatrajmo diskretan periodičan niz sa periodom N
Diskretan niz. Niz vrednosti, brojeva. Definisan redosledom, nema vremensku dimenziju.
Pitanje da li je moguće predstaviti bilo koji član niza preko harmonijskih komponenti
NjegdeekXnx
Nk
kk
jnk 2)()( 0
10
0
0
Digitalna obrada signala
Diskretna Furijeova transformacija
)()(
)()(,
0
NkXkX
NnxnxNperiodniz
Nperiodejnk
1
0
0)()(N
k
jnkekXnx
Furijeov red
1
0
0)(1
)(N
n
jknenx
NkX
Diskretna Furijeova transformacija
2
Digitalna obrada signala
Diskretna Furijeova transformacija
T
tjk
k
tjk
dtetxT
kX
TjegdeekXtx
0
0
)(1
)(
2)()(
0
00
)()()(
n
ssp nTtnTxtx
Posmatrajmo kontinualan periodičan signal sa periodom T
I diskretizovan signal koji je dobijen odabiranjem sa periodom Ts
I diskretizovan signal koji je dobijen odabiranjem prethodnog signala sa
periodom Ts
Ako je ponovo dobijen periodičan signal sa periodom T=N Ts, gde je N ceo broj
snTjkN
n
s
tjk
T n
ss
T
tjk
pp
enTxT
dtenTtnTxT
dtetxT
kX
0
00
1
0
0
)(1
)()(1
)(1
)(
Digitalna obrada signala
Diskretna Furijeova transformacija
Spektar diskretizovanog perodičnog signala je periodičan sa periodom 2π
nN
jknTT
jknTjk Ss
220
A to odgovara učestanosti
S
s
s
SsSSSs
T
TN
TNN
T
jegde
nTjnTjknTjNnTjknTNkj
22
)(
0
0000
Diskretna Furijeova transformacija
3
Digitalna obrada signala
Diskretna Furijeova transformacija
1
0
1
0
2
01
0
00 )()()(1
)(N
n
nTjksN
n
Njkn
s
N
n
jkn senxT
Tenxenx
NkX
snTjkN
n
sp enTxT
kX 0
1
0
0 )(1
)(
Diskretan periodičan niz
Diskretizovan periodičan signal
1
0
0)(1
)(N
n
jknenx
NkX
)(1
)( 0 kXT
kXs
p
Digitalna obrada signala
Diskretna Furijeova transformacija
Teorema odabiranja
)()()( jHjXjY pr
t
tTth
TjHjH cs
c
cs
)sin()(
0)(?)(
n
sspr nTthnTxthtxty )()()(*)()(
n sc
scs
Scr
nTt
nTtnTx
Tty
)(
))(sin()()(
)()()(
n
ssp nTtnTxtx
k
s
s
p kjXT
jX )((1
)(
Diskretna Furijeova transformacija
4
Digitalna obrada signala
Diskretna Furijeova transformacija
Odabiranje u spektru sa N ekvidistantnih tačaka u opsegu
N
2)2,0(
Malo matematike
Period 2π
Aperiodičan signal
Digitalna obrada signala
Diskretna Furijeova transformacija
Pretpostavimo da je ovaj signal periodičan sa periodom N
1
2
1 i 2
odnosno
Diskretna Furijeova transformacija
5
Digitalna obrada signala
Diskretna Furijeova transformacija
Znači ako u frekventnom domenu odaberemo N tačaka možemo rekonstruisati neki periodičan signal sa periodom N
Koji su uslovi da tu “bude” signal )(nx
)(nxp periodično produženje )(nx1
2 u periodi N se nalazi orginal )(nx
3 ograničenog trajanja )(nx
)(nxp
4 N veće od trаjanja tako da ne dolazi do preklapanja u vremenskom domenu
Digitalna obrada signala
Diskretna Furijeova transformacija
Diskretna Furijeova transformacija
6
Digitalna obrada signala
Diskretna Furijeova transformacija
Isto ovo na drugi način
Digitalna obrada signala
Diskretna Furijeova transformacija
N=8
Diskretna Furijeova transformacija
7
Digitalna obrada signala
Diskretna Furijeova transformacija
Moguće je rekonstruisati periodičnu sekvencu i njen spektar iz ekvidistantnih odbiraka u spektralnom domenu
L dužina aperiodične sekvence
N broj odmeraka u spektralnom domenu
DFT
IDFT
Digitalna obrada signala
Diskretna Furijeova transformacija
Matrični oblik
DFT
IDFT
gde je
Diskretna Furijeova transformacija
8
Digitalna obrada signala
Diskretna Furijeova transformacija
OSOBINE
Digitalna obrada signala
Diskretna Furijeova transformacija
OSOBINE
Diskretna Furijeova transformacija
9
Digitalna obrada signala
Diskretna Furijeova transformacija
Računanje linearne konvolucije preko DFT
Digitalna obrada signala
Diskretna Furijeova transformacija
Frekvencijske karakteristike DFT
F nije ucestanost u kojima se racuna DFT
Fs/F nije celobrojna vrednost, ili N ne odgovara periodičnosti ulaznog signala
Diskretna Furijeova transformacija
10
Digitalna obrada signala
Diskretna Furijeova transformacija
Digitalna obrada signala
Diskretna Furijeova transformacija
Prozorske funkcije
Diskretna Furijeova transformacija
11
Digitalna obrada signala
Diskretna Furijeova transformacija
Digitalna obrada signala
Diskretna Furijeova transformacija
![Splošno o DSP 1 - studentski.netstudentski.net/get/ulj_fel_el2_dp2_sno_splosno_o_dsp_01.pdf · Diskretna Fourierjeva transformacija ∑ − = = − 1 0 ( ) ( )exp[ (2 / )] N n X](https://img.dokumen.tips/doc/110x75/5a7a04e27f8b9ab80d8c949a/splosno-o-dsp-1-fourierjeva-transformacija-1-0-exp-2.jpg)
