Upload
lamminh
View
284
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
1 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2006
Solusi Pengayaan Matematika Edisi 7
Pebruari Pekan Ke-4, 2006
Nomor Soal: 61-70
61. Hitunglah luas yang dibatasi oleh kurva (grafik) yang mempunyai persamaan
11 yx .
Solusi:
11 yx
110
01
yx
y
x 2 xy
110
01
yx
y
x 2 xy
110
01
yx
y
x xy
110
01
yx
y
x xy
Jadi, luasnya 1
2 2 1 22
62. Hitunglah luas yang dibatasi oleh kurva (grafik) yang mempunyai persamaan
2 yxyx .
Solusi:
2 yxyx
20
0
yxyx
yx
yx 1x
20
0
yxyx
yx
yx 1y
20
0
yxyx
yx
yx 1y
20
0
yxyx
yx
yx 1x
Jadi, luasnya 2 2 4
X
Y
O
x = 1
y = 1
x = 1
y = 1 1
1
1
1
Grafik 2 yxyx
Grafik 11 yx
X
Y
O
y = x + 2 y = x
y = x y = x 2
2 1
1
1
2 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2006
63. Hitunglah luas yang dibatasi oleh kurva (grafik) yang mempunyai persamaan
1),( yxyx .
Solusi:
1),( yxyx
10
0
yx
y
x 1 xy
10
0
yx
y
x 1 xy
10
0
yx
y
x 1 xy
10
0
yx
y
x 1 xy
Jadi, luasnya 1
2 2 1 22
64. Tentukan nilai 0M , sehingga Mx
x
2
2
untuk semua x, sehingga
2
1
2
1x .
Solusi:
2
1
2
1x
2
1
2
1
2
1 x 10 x . Sehingga:
10 x
322 x dan 122 x
32 x dan 122 xx
31
3
2
2
2
2
x
x
x
x
Jadi, nilai M adalah 3.
65. Buatlah sketsa grafik persamaan xyyx ),( .
Solusi:
xyyx ),(
xy
Jika 0x , maka xy
Jika 0x , maka xy
Daerah yang diarsir adalah xy
X
Y
O
xy
1 1
Grafik xy
1 (1, 1) (1, 1)
Grafik 1 yx
X
Y
O
y = x + 1 y = x + 1
y = x 1 y = x 1
1
1
1
3 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2006
66. Tentukan luas daerah tertutup grafik dari 302
xx y .
Solusi:
Di sini 302
xx
Untuk 0y dan 02
x sehingga 30 0x , maka
30 302 2
x xx y y
Untuk 0y dan 02
x sehingga 30 0x , maka 3
330 30
2 2
xx y y x
Untuk 0y dan 02
x sehingga 30 0x , maka
30 302 2
x xx y y
Untuk 0y dan 02
x sehingga 30 0x , maka
330 30
2 2
xx y y x
Menentukan titik potong garis 3
302
y x dan 302
xy .
330 30
2 2
xx
2 60x
30x
60
30
30
20 O X
Y
302
xy
330
2y x
330
2y x
302
xy
x x
4 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2006
30x 3
30 30 152
y
Koordinat titik potongnya adalah 30,15 .
Menentukan titik potong garis 3
302
y x dan 302
xy .
330 30
2 2
xx
2 60x
30x
30x 30
30 152
y
Koordinat titik potongnya adalah 30, 15 .
Luas daerah tertutup grafik tersebut adalah
20 30 60 30 201
0 15 0 15 02
1
20 15 30 0 60 15 30 0 30 0 60 15 30 0 20 152
1
300 0 900 0 0 900 0 3002
1
600 3002
67. Carilah himpunan penyelesaian dari 2
111 xx .
Solusi:
2
111 xx
2
112 x
2
11
2
1 2 x
2
3
2
1 2 x
2
12 x
022
12
2
1
xx
22
1x atau 2
2
1x …. (1)
x x
5 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2006
2
32 x
062
16
2
1
xx
62
16
2
1 x …. (2)
Dari (1) (2) kita memperoleh:
Jadi, himpunan penyelesaiannya
22
16
2
1atau2
2
16
2
1xxx
68. Tentukan banyak nilai x yang memenuhi persamaan 3645 x .
Solusi:
Kita mengetahui bahwa
0bila,
0bila,2
xx
xxxx .
3645 x
223645 x
036453645 xx
0945345 xx
345 x atau 945 x
22345 x atau 22
945 x
0345345 xx atau 0945945 xx
01575 xx atau 055135 xx
5
7x atau
5
1x atau
5
13x atau 1x
Jadi, banyaknya nilai x yang memenuhi persamaan tersebut adalah 4 buah.
69. Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh sistem pertidaksamaan 1 yx
dan 1y .
Solusi:
Kita mengetahui bahwa
0bila,
0bila,2
xx
xxxx .
22
1 6
2
1 6
2
1 2
2
1
6 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2006
Beberapa kemungkinan:
1. Untuk 0x dan 0y :
1
1
y
yx (2, 1)
2. Untuk 0x dan 0y :
1
1
y
yx (2, 1)
3. Untuk 0x dan 0y :
1
1
y
yx (2, 1)
4. Untuk 0x dan 0y :
1
1
y
yx (2, 1)
Luas daerah 6122
1224 satuan luas.
70. Jika N menyatakan banyak bilangan real x adalah solusi dari persamaan
1 2 3x x x , maka nilai dari 1003N adalah ....
Solusi:
Misalnya 2x a , sehingga
1 1a a a
Kuadratkan kedua ruas 2 2 22 1 2 1 2 1a a a a a a a
2 4 2 1a a a a
Kuadratkan kedua ruas
2 22 24 4 1a a a a
2 22 24 4 1 0a a a a
2 22 4 4 1 0a a a
2 2 28 16 4 8 4 0a a a a a
2 23 12 0a a
2 2 4 0a a
0a atau 2a
X
Y
(2, 1)
(2, 1)
(2 , 1)
(2 , 1)
x + y = 1
x y = 1
x + y = 1
x y = 1
7 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2006
Setelah disubstitusikan ke persamaan semula, yang memenuhi adalah 0a
atau 2a .
Jika 0a , maka 2 0 2 2x a .
Jika 2a , maka 2 2 2 4x a .
Banyak solusinya ada 2 buah, sehingga 2N
Jadi, 1003 1003 2 2006N .
Solusi 2:
Misalnya 1a x , 2b x , dan 3c x , sehingga persamaan menjadi
a b c .
Kasus 1:
0, 0, 0a b c
1, 2, 3x x x , kita mendapatkan 3x
Sehingga
1 2 3x x x 4x (diterima, 3x )
Kasus 2:
0, 0, 0a b c
1, 2, 3x x x , kita mendapatkan 2 3x
Sehingga
1 2 3x x x
2x (ditolak, kotradiksi 2x )
Kasus 3:
0, 0, 0a b c
1, 2, 3x x x , ini tidak mungkin
Kasus 4:
0, 0, 0a b c
1, 2, 3x x x , kita mendapatkan 1 2x
Sehingga
1 2 3x x x
2x (diterima, 2x )
Kasus 5:
0, 0, 0a b c
1, 2, 3x x x , ini tidak mungkin.
Kasus 6:
0, 0, 0a b c
8 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2006
1, 2, 3x x x , ini tidak mungkin.
Kasus 7:
0, 0, 0a b c
1, 2, 3x x x , ini tidak mungkin.
Kasus 8:
0, 0, 0a b c
1, 2, 3x x x , kita mendapatkan 1x
Ini akan menghasilkan seperrti kasus 1.
Dari uraian di atas, kita hanya menemukan 1 solusi, dan itu adalah 4x .
Tetapi, dengan simetri 2x , karena persamaan menjadi
2 1 2 2 2 3 adalah benar.
Karena itu, banyak solusinya ada 2 buah, sehingga 2N
Jadi, 1003 1003 2 2006N .