Slucajne Varijable Riemann-stieltjesov Integral

5/9/2018 Slucajne Varijable Riemann-stieltjesov Integral - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/slucajne-varijable-riemann-stieltjesov-integral 1/

5.Neprekinute slu cajne varijable

1. Slucajne varijable i razdiobe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2. Funkcije neprekinutih slucajnih varijabli . . . . . . . . . . . 16

3. Rijeseni zadatci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4. Zadatci za vjezbu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5.1. Slu cajne varijable i razdiobe

U ovom cemo poglavlju proucavati slucajne varijable kojima je skup vrijednosti interval (ogra-nicen ili ne) u skupu realnih brojeva.Takve slucajne varijable mogu poprimiti svaku vrijednost unutar tog intervala. S obzirom da

mogucih vrijednosti ima neprebrojivo mnogo, vjerojatnost realizacije svake od njih redovito ce biti jednaka nuli. Po tome se ovakve slucajne varijable razlikuju od diskretnih, gdje je takva vjerojatnostbila pozitivan broj.

Pri proucavanju neprekinutih slucajnih varijabli koristimo se aparatom matematicke analize.

Nizove brojeva koji zadaju razdiobu zamijenit ce realna funkcija, umjesto suma koristit cemo tehnike

integralnog i diferencijalnog racuna. Posebice, efikasno sredstvo u teorijskom i prakticnom pogledu

cinit ce Fourierova i Laplaceova transformacija.

Slu cajna varijabla

Zapocnimo s definicijom, koja se minimalno razlikuje od definicije diskretne slu-cajne varijable, a u sebi ukljucuje i tu vrstu slucajnih varijabli.

Slu cajne varijable i funkcija razdiobe

Neka je (:,F ,P ) vjerojatnosni prostor. Preslikavanje X : : → R naziva-mo slucajna varijabla ako je za svaki x ∈ R skup

A x = {Z ∈ : : X (Z ) < x }doga -daj, dakle element algebre F .

Skup {Z ∈ : : X (Z ) < x } oznacavat cemo krace sa { X < x } .

Funkcija razdiobe slucajne varijable X je funkcija F : R→

[0, 1] definira-na formulom

F ( x ) := P ({ X < x }). (5.1)

1



2 5. NEPREKINUTE SLU CAJNE VARIJABLE

Funkcija razdiobe (i njezina derivacija) bit ce najvazniji pojam vezan uz slucaj-nu varijablu. Poznavanjem funkcije razdiobe, mozemo u potpunosti opisati pripadnuslucajnu varijablu.

Upoznajmo se odmah s osnovnim svojstvima funkcije razdiobe.

Funkcija razdiobe

Teorem 5.1. Neka je F funkcija razdiobe slu cajne varijable X . Ona posjedujesvojstva:

1◦ P ({ x 1 X < x 2}) = F ( x 2) − F ( x 1) ,

2◦ F je neopadaju´ ca: x 1 < x 2 =⇒ F ( x 1) F ( x 2) ,

3◦ lim x →−∞

F ( x ) = 0 , lim x →∞

F ( x ) = 1 ,

4◦ F je neprekinuta slijeva:

F ( x − 0) := limH ↓0

F ( x − H ) = F ( x ), ∀ x ∈ R.

Dokaz.

1◦ Neka je x 1

< x 2

. Onda vrijedi

F ( x 2) = P ({ X < x 2}) = P ({ X < x 1} ∪ { x 1 X < x 2})

= P ({ X < x 1}) + P ({ x 1 X < x 2})

= F ( x 1) + P ({ x 1 X < x 2}).

2◦ Neka je ponovo x 1 < x 2 . Kako vrijedi { X < x 1} ⊂ { X < x 2} , tvrdnja slijedizbog monotonosti vjerojatnosti.

3◦ Neka je ( x n) po volji odabran padajuci niz realnih brojeva, limn→∞ x n = −∞ .Oznacimo An = { X < x n} . Onda su An padajuci skupovi: A1 ⊃ A2 ⊃ . . . i vrijedi

∩∞n=1 An =

∅. Zato je, zbog svojstva neprekinutosti vjerojatnosti,

lim x →−∞

F ( x ) = limn→∞

F ( x n) = limn→∞

P ( An) = 0.

Druga se tvrdnja dokazuje na isti nacin.

4◦ Tvrdnja ponovo slijedi iz neprekinutosti vjerojatnosti. Naime, ako je (H n) nizpozitivnih brojeva koji opada prema nuli, onda je s An = { X < x −H n} definiran rastuciniz skupova za koji vrijedi ∪∞n=1 An = { X < x } pa tvrdnja slijedi zbog neprekinutostivjerojatnosti:

F ( x − 0) = limH ↓0

F ( x − H ) = limn→∞

F ( x − H n)

= limn→∞P ( An) = P ( A) = F ( x ), ∀ x ∈ R.



5.1. SLU CAJNE VARIJABLE I RAZDIOBE 3

Sl. 5.1. Graf funkcija razdioba nekih slu cajnih varijabli. Koja se svojstvatih varijabli mogu o citati iz ovog grafa?

Primjer 5.1. Slucajna varijabla X uzima vrijednosti −1, 0, 1 s vjerojatnostima14

, 12

, 14

redom. Odredimo funkciju razdiobe varijable X i nacrtajmo njezin graf.

Ako je x −1 , tada doga -daj { X < x } ima vjerojatnost 0 te je F ( x ) = 0 zatakve x . Za −1 < x 0 vrijedi

P ( X < x ) = P ( X =−

1) = 1

4

Za 0 < x 1 vrijedi

P ( X < x ) = P ( X = −1) + P ( X = 0) = 14

+ 12

= 34

itd. Tako dobivamo

-

6

1 1

1

r

r

r

b

b

b

x

y

Sl. 5.2.

F ( x ) =

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

0, x −1,

14

, −1 < x 0,

3

4

, 0 < x 1,

1, 1 < x .

∗ ∗ ∗

Opcenito, funkcija razdiobe diskretne slucajne varijable sa zakonom

X ∼

x 1 x 2 x 3 · · · p1 p2 p3 · · ·

je stepenasta funkcija sa skokovima u tockama x 1 , x 2 ,. . . . Iznosi skokova su vjerojat-nosti p1 , p2 ,. . . .




Sl. 5.3. Graf funkcije razdiobe diskretne slu cajne varijable je stepenasta funkcija. U to ckama prekida neprekinuta je slijeva. Iznos skokova jednak je vjerojatnosti s kojom slu cajna varijabla

poprima vrijednost u toj to cki.

∗ ∗ ∗

Neprekinute slu cajne varijable

Upoznat cemo sada drugu vaznu klasu slucajnih varijabli.

Neprekinute slu cajne varijable. Gusto´ ca razdiobe

Zaslucajnu varijablu X kazemo da je neprekinuta (kontinuirana) ako postoji

nenegativna funkcija f : R → R takva da vrijedi

F ( x ) =

x

−∞

f (t )dt . (5.2)

Funkcija f naziva se gustoca razdiobe vjerojatnosti slucajne varijable X .Ona nije nuzno neprekinuta, no u tockama neprekinutosti od f vrijedi

f ( x ) =dF ( x )

dx . (5.3)

Dakako, funkcija razdiobe neprekinute slucajne varijable je i sama neprekinuta, jer je to funkcija gornje granice integrala. Zato vrijediP ( X = x ) = F ( x +0)−F ( x ) = 0 zasvaki x ∈ R . Stoga su i svi doga -daji { x 1 < X < x 2} , { x 1 X < x 2} , { x 1 < X x 2} ,{ x 1 X x 2} jednako vjerojatni. Njihova se vjerojatnost ra cuna na nacin

P ( x 1 < X < x 2) = F ( x 2) − F ( x 1) =

x 2

x 1

f (t )dt . (5.4)

Funkcija gustoce pozitivna je funkcija s integralom

∞

−∞

f ( x )dx = 1. (5.5)

Slika prikazuje neku funkciju razdiobe i pripadnu gustocu




Sl. 5.4. Razlika vrijednosti funkcije razdiobe jednaka je vjerojatnosti da slu cajnavarijabla X poprimi vrijednost u tom intervalu. Kod funkcije gusto´ ce ta je vjerojatnost

predo cena povr sinom ispod grafa funkcije.

Znamo da je funkcija razdiobe neopadajuca funkcija s vrijednostima unutar inter-vala [0, 1] . Stoga cemo neke formule zapisivati u skracenom obliku. Tako npr. umjestozapisa

F ( x ) =

⎧⎨⎩

0, x 0,

x , 0 < x < 1,

1, 1 x ,

pisat cemo kratko

F ( x ) = x , 0 < x < 1,

jer je tada nuzno F ( x ) = 0 za x 0 i F ( x ) = 1 za x 1 .

Tako -der, ako gustocu razdiobe definiramo nekom formulom za x ∈ [a, b] , tadasmatramo da je van tog intervala po definiciji jednaka nuli.

Na koncu, ako je funkcija F ili f definirana nekom formulom bez naznake po-drucja definicije, tada ce to redovito biti citav R .

Jednolika razdioba

Opisimo sad jednostavnu, ali vrlo vaznu razdiobu. Prisjetimo se situacije koju smoimali kad je podrucje vrijednosti slucajne varijable S = { x 1, . . . , x n} , bio diskretanskup. Slucajna varijabla, koja je poprimala vrijednosti unutar S s jednakim vjerojat-

nostima, opisivala je pokus biranja na sre´ cu elementa skupa S . Tad je vjerojatnost

njezine realizacije bila P ( X = x k ) =1

n, za svaki k = 1, . . . , n .

Jasno je da povecanjem broja elemenata u skupu S ove vjerojatnosti teze k nuli. Ako je na

primjer S skup prirodnih brojeva, mozemo postaviti pitanje: postoji li algoritam kojim bi, s jednakom

vjerojatnoscu, birali neki prirodni broj. Odgovor na ovo vazno pitanje je negativan, takav algoritam

ne postoji. Naime, jasno je da bi vjerojatnost izbora svakog prirodnog broja morala biti jednaka nuli,

pa je zbog svojstva V -aditivnosti vjerojatnosti P i vjerojatnost izbora bilo kojeg podskupa skupa

prirodnih brojeva jednaka nuli.

Pretpostavimo sad da je skupS

interval [a, b

] . Tocaka unutar tog intervala imabeskonacno (neprebrojivo) mnogo. Zamislimo postupak odabira na srecu nekog brojaunutar tog intervala.




Na sre´ cu odabrani broj. Jednolika razdioba

Kazemo da biramo na sre´ cu broj unutar intervala [a, b] ako je vjerojatnostda ce on biti izabran unutar nekog podintervala proporcionalna duljini tog

podintervala.Za slucajnu varijablu koja uzima vrijednost ovako izabranog broja kazemoda ima jednoliku (uniformnu) razdiobu na intervalu [a, b] .

Neka X oznacava tu slucajnu varijablu. Odredimo njezinu funkciju razdiobe.Prema definiciji, mora biti

F ( x ) − F (a) = P (a X < x ) = K ( x − a).

X uzima vrijednost unutar intervala [a, b] . Zato je

P { X < a} = 0 = F (a),

1 = P {a X < b} = F (b) − F (a) = K (b − a),

i odavde je K =1

b − a. Tako dobivamo:

Jednolika razdioba, alternativna denicija, razdioba i gusto´ ca

Za slucajnu varijablu X kazemo da je jednoliko (uniformno) distribuiranana intervalu [a, b] , ako je zadana funkcijom razdiobe odnosno funkcijomgustoce:

F ( x ) =x − a

b − a, a x b,

f ( x ) =1

b − a, a x b.

Pisemo X ∼ U (a, b) .

Grafovi funkcije gustoce i pripadne funkcije razdiobe izgledaju ovako:

-

6

x

f

x

1b

a

a b

-

6

x

F

x

1

a b

Sl. 5.5. Funkcija razdiobe jednolike razdiobe je afina na intervalu [a, b] . Gusto´ ca jednolikerazdiobe konstantna je na tom intervalu. Odatle i ime razdiobi.




Primjer 5.2. Dvije tocke odabrane su na srecu unutar duzine duljine 1 . Definiraj-mo slucajnu varijablu Z kao udaljenost me -du njima. Odredi funkciju razdiobe varijable Z .

-

6

1 z x

y

G z

y = x + z

y=

x

z

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Sl. 5.6.

Izbor dviju tocaka x i y unutar intervala [0, 1]ekvivalentan je izboru jedne tocke ( x , y) unutar kvadra-ta [0, 1] × [0, 1] . Vrijednost koju slucajna varijabla Z poprima, jednaka je Z = | x − y| . Varijabla Z uzimavrijednosti iz intervala [0, 1] . Pritom je

| x − z| < z ⇐⇒ x − z < y < x + z.

Zato ce nejednakost | x − y| < z biti ispunjena kad seodabere tocka ( x , y) unutar podrucja G z . Zato je

F ( z) = P

{ Z < z

}= m(G z) = 2 z

− z2

, 0 z 1.

Nezavisnost slu cajnih varijabli

Pojam nezavisnosti slucajnih varijabli upoznali smo za varijable diskretnog tipa.Tako smo ukazali i na kriterij nezavisnosti koji se provjerava preko marginalnih razdiobaslucajnog vektora.

Analogne definicije i tvrdnje vrijedit ce i za opcenite slucajne varijable. O tomece biti vise rijeci u nastavku. Za sada, zadovoljit cemo se definicijom nezavisnosti, akriterije i dodatna svojstva moramo odloziti do poglavlja o slucajnim vektorima.

Denicija nezavisnostiKazemo da su slucajne varijable X i Y nezavisne, ukoliko za sve intervale A , B iz skupa R vrijedi

P ( X ∈ A, Y ∈ B) = P ( X ∈ A)P (Y ∈ B).

O cekivanje i disperzija

Neka je X neprekinuta s gustocom f . Njezino ocekivanje definira se na nacin

E ( X ) =

∞−∞

x f ( x )dx (5.6)

Ako ovaj nepravi integral ne konvergira, o cekivanje ne postoji.

Oznacimo x = E ( X ) . Disperzija D( X ) slucajne varijable X racuna se uz pomocformula:

D( X ) = E [( X − x )2] = E ( X 2) − x 2.

Dakle

D( X ) = ∞

−∞

( x

− x )2 f ( x )dx =

∞

−∞

x 2 f ( x )dx

− x 2. (5.7)

Od svojstava ocekivanja i disperzije izdvojit cemo samo najvaznija:


http://slidepdf.com/reader/full/slucajne-varijable-riemann-stieltjesov-integral 8/1


Svojstva o cekivanja i disperzije

Za sve slucajne varijable X , Y i realne brojeve s , t vrijedi

E (sX + tY ) = sE ( X ) + t E (Y )

(svojstvo linearnosti ocekivanja). Za disperziju pak vrijedi

D(sX ) = s2D( X ).

Ako su X i Y nezavisne, onda vrijedi

E ( XY ) = E ( X )E (Y ),

D( X + Y ) = D( X ) + D(Y ).

Ova cemo svojstva dokazati naknadno.

∗ ∗ ∗

Primjer 5.3. (Jednolika razdioba) Izracunajmo ocekivanje i disperziju jednolikerazdiobe.

Promotrit cemo najprije, jednostavnosti radi, jednoliku razdiobu na intervalu[0, 1] . Za nju je gustoca f ( x ) = 1 , pa imamo

E ( X ) = 1

0 x d x =

x 2

2

1

0=

1

2 ,

D( X ) =

1

0

x 2 d x − 1

4=

x 2

2

1

0

−1

4=

1

3− 1

4=

1

12.

Ako Y ima jednoliku razdiobu na intervalu [a, b] , tada slucajna varijabla

X =Y − a

b − a

ima jednoliku razdiobu na intervalu [0, 1] . Obratno, ako X ima jednoliku razdiobu na[0, 1] , onda

Y = (b − a) X + a

ima jednoliku razdiobu na intervalu [a, b] . Ocekivanje ove slucajne varijable je

E (Y ) = E [(b − a) X + a] = (b − a)E ( X ) + a

= (b − a) · 1

2+ a =

a + b

2,

a njezina disperzija

D(Y ) = D[(b − a) X + a] = (b − a)2D( X ) =

(b − a)2

12.


http://slidepdf.com/reader/full/slucajne-varijable-riemann-stieltjesov-integral 9/1


Primjer 5.4. Na srecu odabiremo tocku T unutar kvadrata stranice 2. Neka jevrijednost slucajne varijable X najmanja od udaljenosti te tocke do stranica kvadrata.Odredimo funkciju razdiobe i ocekivanje od X .

x

G x

-

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Sl. 5.7.

Odredimo najprije funkciju razdiobe:

F ( x ) = P { X < x } = P {T ∈ G x }

=m(G x )

m(S )=

4 − (2 − 2 x )2

4

= 2 x − x 2, 0 x 1.

Gustoca razdiobe je

f ( x ) = 2 − 2 x , 0 x 1

te ocekivanje iznosi

E ( X ) =

1

0

x (2 − 2 x )dx =1

3.

Primjer 5.5. Tocka se bira na srecu unutar polukruga polumjera r . Neka je X udaljenost tocke do promjera. Odredimo ocekivanje varijable X .

U ovom primjeru necemo racunati funkciju razdiobe, vec cemo gustocu odreditina temelju veze:

f ( x ) = F ( x ) = lim' x →0

F ( x +'

x ) − F ( x )' x

= lim' x →0

P ( x < X < x +

' x )

' x .

Za male ' x vrijedi stoga

f ( x )' x .

= P ( x < X < x + ' x ) =m('S )

m(S )

.=

2√

r 2 − x 2' x 12

r 2S .

Sl. 5.8. Pri ra cunanju povr sine 'S , prugu deblji-ne ' x mo zemo aproksimirati pravokutnikom istedebljine. Pritom je u cinjena pogre ska veli cine

(' x )2 , koja u limesu ne utje ce na funkciju f ( x ) .

@ C..................

...................

...................

...............................

...................

...................

..................

x

x + Δ x

r S

ΔS

Odavde dobivamo funkciju gustoce:

f ( x ) =4

r 2S

r 2 − x 2, 0 x r .

Sad mozemo izracunati ocekivanje:

E ( X ) =

r

0

4 x r 2S

r 2 − x 2dx = − 2

r 2S

r

0

r 2 − x 2d (r 2 − x 2) = 4r

3S .


http://slidepdf.com/reader/full/slucajne-varijable-riemann-stieltjesov-integral 10


Riemann-Stieltjesov integral

Neka je F : R

→R monotono rastuca funkcija, neprekinuta slijeva. Neka je

g : [a, b] → R ogranicena.Izaberimo bilo koju particiju P = { x 0, x 1, . . . , x n} intervala [a, b] , a = x 0 <

x 1 < . . . < x n = b . Definirajmo integralnu sumu

S (P, g, F ) =

ni=1

g(˜ x i)[F ( x i) − F ( x i−1)].

Oznacimo s ' = max | x i − x i−1| ,

Riemann-Stieltjesov integral, denicija

Kazemo da je g Riemann-Stieltjes integrabilna u odnosu na F , ako postojilimes integralnih suma, neovisno o izboru particije i tocaka ˜ x i ∈ [ x i−1, x i] .Taj limes nazivamo Riemann-Stieltjesov integral, a oznacavamo na sljedecinacin: b

a

g( x )dF ( x ) := lim'→0

S (P, g, F )

Primijetimo da za F ( x ) = x Riemann-Stieltjesov integral postaje Riemannovintegral.

∗ ∗ ∗Sad cemo dovesti u vezu Riemann-Stieltjesov i klasicni Riemannov integral, za

siroku klasu funkcija F vaznih u primjenama.

Neka je F po dijelovima konstantna na intervalu [a, b] , sa skokom iznosa p utocki c unutar tog intervala:

F ( x ) =

r , x c

r + p, x > c

Izracunajmo b

ag( x )dF ( x ) , za neku funkciju g , neprekinutu na intervalu [a, b] .

Sl. 5.9.

Za bilo koju particiju vrijedi F ( x i) − F ( x i−1) = 0 za svaki indeks i osim za onajza koji je x i−1 c < x i , jer je funkcija F konstantna lijevo i desno od tocke c . Zato




u integralnoj sumi ostaje samo jedan clan:

S (P, g, F ) = g(˜ x i)[F ( x i) − F ( x i−1)] = g(˜ x i) · p

U limesu, kad ' → 0 , tocka ˜ x i tezi ka c . Zato je b

a

g( x )dF ( x ) = g(c) · p.

Opcenito, ako F ima skokove iznosa pi u tockama ci , za njezin Riemann-Stieltjesov integral vrijedi b

a

g( x )dF ( x ) =n

i=1

g(ci) · pi.

∗ ∗ ∗Neka je sad F neprekinuto diferencijabilna funkcija. Tad, po teoremu srednje

vrijednosti imamo F ( x i)− F ( x i−1) = F ([i)( x i − x i−1) , za neku tocku [i ∈ x i−1, x i .Integralna suma glasi

ni=1

g(˜ x i)F ([i)( x i − x i−1).

Limes ove integralne sume ocito definira Riemannov integral b

a

g( x )F ( x )dx .

Riemann-Stieltjesov integral, na cin ra cunanja

Ako F ima skokove iznosa pi u tockama ci , za njezin Riemann-Stieltjesovintegral vrijedi b

a

g( x )dF ( x ) =

ni=1

g(ci) · pi.

Ako je F neprekinuto diferencijabilna funkcija, onda vrijedi b

a

g( x )dF ( x ) =

b

a

g( x )F ( x )dx .

Prema tome, koristenjem Riemann-Stieltjesovog integrala mi cemo istovremenopokrivati obje vazne klase slucajnih varijabli, diskretne i neprekinute slucajne varijable.

Tako, na primjer, o cekivanje neke slucajne varijable mozemo izraziti formulom

E ( X ) =

∞−∞

xdF ( x ),

a disperziju

D( X ) = ∞

−∞

x 2 dF ( x )

−E ( X )2

.

Integrali su Riemann-Stieltjesovi.




Primjer 5.6. Izracunaj ocekivanje slucajne varijable cija je funkcija razdiobe zada-na slikom:

-

6

0 1 2

14

12

34

1

x

F

x

q

q

a

a

Sl. 5.10.

Funkcija razdiobe glasi

F ( x ) =

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

0, x 0,

14 x , 0 < x 1,

14 x + 1

4, 1 < x 2,

1, 2 x .

F ima skokove iznosa 14

u tockama x = 1 i x = 2. Zato je

E ( X ) =

∞−∞

xdF ( x )

=

1

0

x F ( x )dx + 1 · 14

+

2

1

x F ( x )dx + 2 · 14

=

1

0

x

4dx +

1

4+

2

1

x

4dx +

2

4=

5

4.

Karakteristi cna funkcija

Svakoj slucajnoj varijabli X mozemo pridruziti karakteristicnu funkciju. To je funkcija realnog argumenta s kompleksnim vrijednostima, - : R → C zadana

formulom- (t ) := E (eitX ) =

∞

−∞

eitx dF ( x ). (5.8)

Osnovna svojstva karakteristicne funkcije su

1◦ Karakteristicna funkcija jednoznacno odre -duje razdiobu: dvije razlicite razdi-obe ne mogu imati istu karakteristicnu funkciju.

2◦ Ako su X 1, . . . , X n nezavisne, tada je

- X 1+...+ X n (t ) = - X 1 (t ) · . . . · - X n (t ). (5.9)

3◦ Vrijedi formula

E ( X r ) =- (r )(0)

ir , r = 1, 2, . . . (5.10)




ukoliko ocekivanje postoji. Specijalno,

E ( X ) = −i- (0),

D( X ) = −- (0) + - (0)2.

(5.11)

Ako je - X karakteristicna funkcija varijable X , tada varijabla Y = a + bX imakarakteristicnu funkciju eita- X (bt ).

Primjer 5.7. Odredimo karakteristicnu funkciju slucajne varijable jednoliko distri-buirane na intervalu [a, b] .

Gustoca ove razdiobe je f ( x ) =1

b − a, a x b . Stoga

- (t ) =

∞−∞

eitx f ( x )dx =

b

a

eitx 1

b

−a

dx =eibt − e−iat

(b

−a)it

.

U slucaju simetricnog intervala [−a, a] , karakteristicna funkcija postaje realna:

- (t ) =eiat − e−iat

(a + a)it =

sin at

at .

∗ ∗ ∗Ako je X neprekinuta slucajna varijabla, s gustocom f , tada njezina karakteris-

ticna funkcija iznosi

- (t ) =

∞−∞

eitx f ( x )dx . (5.12)

To je upravo Fourierova transformacija funkcije f . Stoga ce, ukoliko - zadovo-ljava uvjet ∞−∞

|- (t )|dt < ∞ , vrijediti formula inverzije

f ( x ) =1

2S

∞−∞

- (t )e−itx dt . (5.13)

Primjer 5.8. Odredi funkciju gustoce razdiobe odre -dene karakteristicnom funkcijom

- (t ) = e−|t |, t ∈ R.

Ova je funkcija apsolutno integrabilna, stoga ce gustoca biti odre -dena formulominverzije ( 5.13)

f ( x ) =1

2S

∞

−∞

e−itx - (t )dt =1

2S

∞

−∞

e−itx e−|t |dt

=1

2S

0

−∞

e−itx et dt +

∞0

e−itx e−t dt

=1

2S

e(−ix +1)t

−ix + 1

0

−∞

+e(−ix −1)t

−ix − 1

∞

0

=1

2S

1

−ix + 1

+1

ix + 1

=

1

S (1 + x 2).

Razdioba s ovom gustocom naziva se Cauchyjeva razdioba. Zbog jedinstvenosti,

zakljucujemo da je t → e−|t | karakteristicna funkcija te razdiobe.




Laplaceova transformacija

Karakteristicna je funkcija Fourierova transformacija gustoce. Pri izboru trans-

formacije gustoca pozitivne slucajne varijable, mozemo koristiti i Laplaceovu trans-formaciju. Ako je F funkcija razdiobe pozitivne slucajne varijable X , onda je njezinLaplace-Stieltjesov transformat

f ∗(s) = E (e−sX ) =

∞0

e−sx dF ( x ) (5.14)

Ako je X neprekinuta s gustocom f , onda je f ∗ uobicajeni Laplaceov transformatfunkcije f :

f ∗(s) =

∞0

e−sx f ( x )dx . (5.15)

Ako je pak X diskretna slucajna varijabla koja uzima vrijednosti u skupu {0, 1, 2, . . .} ,tad Laplace-Stieltjesov transformat glasi

f ∗(s) =∞

k =0

e−sk pk = \ X (e−s). (5.16)

Dakle, u ovom se slucaju Laplaceov transformat podudara s funkcijom izvodnice ukojoj je argument z zamijenjen s e−s .

Derivacijom integrala po parametru dobivamo

d

ds f ∗(s) =

∞0

(− x )e−sx dF ( x )

d 2

ds2 f ∗(s) =

∞

0

(− x )2e−sx dF ( x )

...

d n

dsn f ∗(s) =

∞0

(− x )ne−sx dF ( x )

Odavde, stavljajuci s = 0, slijedi

E ( X n) =

∞0

x ndF ( x ) = (−1)n d n f ∗(s)

dsn

s=0

. (5.17)

Singularne slu cajne varijable

Do sada smo promatrali diskretne i neprekinute slucajne varijable. Spomenimoda uz njih postoji i treca klasa tzv. singularnih slucajnih varijabli, cija je funkcijarazdiobe neprekinuta, no nemaju gustoce. Takva se funkcija ne moze napisati u obliku x

−∞ f (t )dt . Klasu singularnih slucajnih varijabli ne susrecemo u primjenama, jer se

njihova funkcija razdiobe ne moze eksplicitno izraziti sluzeci se samo ogranicenimbrojem elementarnih funkcija (iskljucimo li granicne procese).

Definirajmo na intervalu [0, 1] funkciju F 1( x )

F 1( x ) = 12 za 13 x 23 . F 1(0) = 0. F 1(1) = 1.

F 1 je neprekinuta i afina na intervalima (0,13

), ( 23

, 1).




Graf funkcije F 1 nacrtan je na slici:

-

6

x

F 1

x

0 13

23

1

12

1

Sl. 5.11.

U drugom koraku svaki od intervala [0,13

] , [ 23

, 1] podijelimo na tri dijela i defini-ramo neprekinutu funkciju F 2 :

F 2(0) = 0. F 2(1) = 1. F 2( x ) =

⎧⎪⎨⎪⎩

1

4, x

∈[ 1

9,

2

9],

12

, x ∈ [ 13

,23

],

34

, x ∈ [ 79

,89

].

Na ostalim intervalima definiramo F 2 da bude neprekinuta i afina:

-

6

x

F 2

x

0 19

29

39

69

79

89

1

14

12

34

1

Sl. 5.12.

Nastavimo ovaj postupak. Niz funkcija {F n} tezit ce ka funkciji F koja je ne-prekinuta, neopadajuca, s vrijednostima u [0, 1] . Pritom je F (0) = 0 , F (1) = 1 i F predstavlja funkciju razdiobe neke slucajne varijable. Derivacija funkcije F jednaka

je nuli svugdje gdje je F konstantna. Duljina takvih intervala se za svaku funkciju F npovecava i iznosi

1

3

+ 2

·1

9

+ 4

·1

27

+ . . . =1

3

.1

1 − 23

= 1.

tj. F ( x ) = 0 skoro svuda i F se ne moze napisati u obliku x

−∞f (t )dt . Stoga ne

postoji gustoca ove razdiobe.

∗ ∗ ∗Svaka se funkcija razdiobe F moze napisati u obliku F = p1F 1 + p2F 2 + p3F 3 ,

gdje je pk 0 , p1 + p2 + p3 = 1 , a F 1 , F 2 , F 3 su redom funkcije razdioba diskretne,neprekinute i singularne slucajne varijable.

Documents

Slucajne Varijable Riemann-stieltjesov Integral