11

Agronomski fakultet Sveuilita u Zagrebu

OSNOVE BIOMETRIKEKoordinator:

Prof. dr. sc. Marija Pecina mpecina@agr.hr

Suradnici:

Prof. dr. sc. Jerko Gunjaa jgunjaca@agr.hr

Dr. sc. Silvio imon, poslijedoktorand ssimon@agr.hr

Maja ulj Mihaljevi, dipl.ing, znan. novak mzulj@agr.hr2

Nalazimo se ...

VI Paviljon III kat

u Zavodu za oplemenjivanje bilja, genetiku i biometriku

Oglasna ploa!

Tajnica ga. Jasna Bajan

3

Naa prava i obaveze:

Nastava, evidencija, ...

Potpisi na kraju semestra (uvjeti!)

Ispit (pismeni i usmeni)

3 x redovito + 1 x pred povjerenstvom

odravanje modula u sustavu Merlin

(prezentacije, zadaci, statistike tablice, obavijesti razne popisi, rezultati, i sl)

4

Vaa prava i obaveze: Redovito pohaanje i angaman u nastavi Obavezna:

prijava na modul i praenje sadraja u sustavu Merlin (uz lozinku OB1516) biljenica za vjebe NA KVADRATIE, kalkulator, statistike tablice

U biljenici Uredno pisanje i crtanje Izrada zadataka

Polaganje 2 meuispita

Svi navedeni angamani se ocjenjuju i imaju utjecaj na krajnju ocjenu !

Literatura: Nastavni materijal (na Merlin-u)

predavanja ppt prezentacije, vjebe- zadaci u excelu Biljeke s nastave, izraeni zadaci Vasilj, . 2000. Biometrika i eksperimentiranje u bilinogojstvu. HAD. Zagreb

do 119 str.

25

Literatura (preporuena):

Sokal, RR and Rohlf, FJ. 1994. Biometry: The Principles and Practice of Statistics in Biological Research. WH Freeman & Co.

Steel, RGD, Torrie, JH and Dickey, DA, 1996. Principles and Procedures of Statistics: A Biometrical Approach. McGraw-Hill Higher Education.

Gomez, KA, and Gomez, AA, 1984. Statistical Procedures for Agricultural Research. John Wiley & Sons.

Petz, B, 1981. Osnovne statistike metode za nematematiare. Sveuilina naklada Liber, Zagreb.

Petz, B, 1994. Statistika za praksu. Ministarstvo unutarnjih poslova RH.

6

Sadraj predmeta: 1/2

Biometrika: pojam, ciljevi, svrha, kratka povijest. Deskriptivna i inferencijalna statistika.

Osnovni elementi biometrike: Podaci; Varijable; Varijabilnost; Populacija vs.Uzorak;

Distribucija frekvencije - numerika i grafika, kvalitativna i kvantitativna.

Metode opisne statistike: mjerila centralne tendencije - sredine (aritmetika sredina, medijana, modus); Mjerila varijabilnosti - disperzije (varijacijska irina, standardna devijacija, varijanca, varijacijski koeficijent).

Teoretske distribucije frekvencija: Nekontinuirana sluajna varijabla i binomna distribucija; Kontinuirana sluajna varijabla i normalna distribucija (granice pouzdanosti; standardizirana sluajna varijabla).

7

Sadraj predmeta: 2/2

Procjena parametara populacije iz uzoraka (sampling distribucija); Sredinji granini teorem.

Zakljuivanje temeljeno na jednom uzorku: procjena granica pouzdanosti u t distribuciji; Nulta hipoteza i testiranje H0; Razina signifikantnosti (znaajnosti): p vrijednost; Snaga testa;

Zakljuivanje temeljeno na dva uzorka: Usporedba prosjeka (t testom nezavisni i zavisni uzorci; LSD); Usporedba varijanci (F testom) dvije populacije.

Analiza varijance: Usporedba dva i vie od dva prosjeka; jednosmjerna i dvosmjerna ANOVA. Pretpostavke za ANOVU.

Jednostavna linearna korelacija i regresija: korelacijski i regresijski koeficijent, pojam i testiranje koeficijenata r i b, kovarijanca.

8

STATISTIKA - BIOMETRIKA

status = lat. Stanje

bios = gr. ivot

metron = gr. Mjeriti

39

STATISTIKA je

znanost o podacima

"vodi u nepoznato (Tanur et al. 1989.)

... pomo u razumijevanju neodreenosti

... pomo u organiziranju svijeta, prirode, znanja...

Znanost i vjetina prikupljanja, analiziranja, interpretacije i prezentacije podataka i rezultata analize

10

STATISTIKA

je skupina metoda:

za prikupljanje, saimanje, tabeliranje (klasifikaciju), organiziranje, opis (deskripciju) i prezentaciju podataka

za analizu i interpretaciju rezultata, te poopavanje -donoenje zakljuaka o populaciji iz koje su uzeti

11

BIOSTATISTIKA je primjena statistike u biolokim znanostima

(agronomija, umarstvo, genetika, botanika, ekologija, zoologija, medicina, veterina, )

12

DVA SU OSNOVNA DIJELA STATISTIKE:

OPISNA (DESKRIPTIVNA) STATISTIKA

INFERENCIJALNA STATISTIKA iliSTATISTIKA ZAKLJUIVANJA

413

OPISNA (DESKRIPTIVNA) STATISTIKA:

koristi se numerikim i grafikim metodama koje opisuju

sredinu jednog skupa podataka i njihovu

meusobnu razliitost

14

INFERENCIJALNA STATISTIKA iliSTATISTIKA ZAKLJUIVANJA:

koristi podatke uzorka

za procjenu, odluivanje, predvianje (predikciju) ili neko drugo poopavanje

o veem skupu podataka - populaciji.

15

OSNOVNI TERMINI (izrazi):

POPULACIJAUZORAKJEDINKA ili VARIJANTASVOJSTVO ili VARIJABLAVARIJABILNOST ili DISPERZIJA

16

POPULACIJA je

skup svih jedinki koje imaju neke zajednike karakteristike (svojstva), a predmet su i interes naeg istraivanja

517

Populacija - konana:

svi glasai u RH, svi studenti II god. Agronomskog fakulteta sve biljke F1 nekog krianja sve biljke nekog hibrida kukuruza na

naem polju sve voke neke sorte jabuka u jednom

vonjaku svi trsovi neke sorte vinove loze u

vinogradu 18

Populacija - beskonana:

svi ljudi na svijetu sve biljke nekog hibrida kukuruza svi plodovi neke sorte jabuka svi trsovi neke sorte vinove loze

19

UZORAK je

konani dio populacije podskup populacije populacija u malom

20

JEDINKA ili VARIJANTA (INDIVIDUA, OPAAJ) je

najmanji dio populacije ili uzorka u konanici jedan osnovni podatak

ovjek, biljka, dio biljke, skupina biljaka, kolonija mikroorganizma, dogaaj, objekt, koliina vina, povrina tla, trs, petrijevka,

621

VARIJABLA

je SVOJSTVO po kojemu su varijante (jedinke) meusobno sline ili razliite

je karakteristika, osobitost ili izraz jedne varijante (jedinke) u populaciji ili uzorku

varira, mijenja se (promjenjiva je)

npr. visina 185 cm 85 kg96 kg

106 kg125 kg 22

Na jedinki mjerimo i opaamo svojstva (varijable)

ovjek spol, starost, visina, teina, krvni tlak, kapacitet plua, boja oiju ...

biljka vrsta, sorta, visina, boja cvijeta, promjer debla, prinos, sadraj bjelanevina-eera-kiselina, broj klasia, duljina klipa, masa suhe tvari, zaraza ...

23

VARIJABILNOST =DISPERZIJA = RAZLIITOST =

(biljnog svijeta) osnovni je razlog za potrebu:

mjerenja

opaanja

statistike analize tih izmjera i

interpretacije rezultata statistikih analiza

24

Bioloka varijabilnost

uvjetovana je:

genetskim uincima

okolinskim uincima

grekama u mjerenju

725

POPULACIJA vs. UZORAK

Zadaa uzorka je

da dobro predstavlja populaciju !

Radimo s uzorcima,

a zakljuujemo o populaciji

26

POKUS = EKSPERIMENT

je kreiranje / izazivanje neke pojave ili stanja u svrhu zapaanja, istraivanja i tumaenja

je planirani proces prikupljanja podataka sa svrhom donoenja zakljuaka

27

ZAKLJUAK se moe odnositi na:

prikupljene podatke

vei skup slinih podataka uz predvianje buduih rezultata istih ili slinih pojava

ali uz neku vjerojatnost !

(pogreke ili sigurnosti procjene)

28

TO JE DOBAR UZORAK ?

REPREZENTATIVAN SLUAJNO IZABRAN iz populacije

DOVOLJNO VELIK

829

Populacija vs. Uzorci

PopulacijaN = 958

n = 20

n = 250

n=10

n = 35

Uzorci

30

REPREZENTATIVNI UZORAK

sadri sve tipine varijante populacije iz koje je uzet

svakoj varijanti populacije dati jednaku priliku (ansu) da bude izabrana i ukljuena u uzorak

31

DOVOLJNO VELIKveliina uzorka = n

Openito: velika varijabilnost - vei uzorak mala varijabilnost - manji uzorak

RADIMO S UZORCIMA,ZAKLJUUJEMO O POPULACIJI !!!

pritom uvijek inimo stanovitu (manju ili veu) pogreku !32

KAKO OSIGURATI DOBAR UZORAK ?

sluajnim (random) uzimanjem varijanata iz populacije primjenom objektivnog postupka: metoda tablice sluajnih brojeva svaka deseta, petnaesta varijanta raunalna randomizacija

Samo ako imamo dobar uzorak smijemo poopiti - zakljuiti iz UZORKA o POPULACIJI !

933

ELEMENTI OPISNE STATISTIKE

(DESKRIPTIVNE STATISTIKE):

1. populacija ili uzorak koji istraujemo2. varijabla (svojstvo) koje istraujemo3. tablice, grafikoni ili numerike metode4. utvrivanje i usporeivanje pravilnosti

(nepravilnosti) u podacima

34

ELEMENTI STATISTIKE ZAKLJUIVANJA

(INFERENCIJALNE STATISTIKE):

1. populacija koju istraujemo2. varijabla (svojstvo) koje istraujemo3. uzorak iz populacije4. zakljuak o populaciji temeljem uzorka5. pouzdanost zakljuka

35

POVIJESNI RAZVOJ STATISTIKE - BIOMETRIKE

Statistika - relativno nova disciplina primjena metoda datira od razdoblja 3000

godina p. n. e. (popis stanovnitva u vojne i financijske svrhe Kina, Egipat, Grka, ..., Nazaret ...).

temelji - poetak 17. stoljea povezan je s razvojem teorije vjerojatnosti

36

Teorija vjerojatnosti:

Blaise Pascal (1623-1662) - franc.

Pierre de Fermat (1601-1665) - franc.

Jacques Bernoulli (1654-1705) - belg.

10

37

Normalna distribucija: Abraham de Moivre (1667-1754) -

franc. Pierre Simon Laplace (1749-1827) -

franc.

Karl Fridrich Gauss (1777-1855) - njem.

38

Primjena statistike u analizi bioloke raznolikosti (genetika):

Adolphe Quetelet (1796-1874) ) - belg.

Francis Galton (1822-1911) - eng.

Karl Pearson (1857-1936) - eng.

39

Osobiti doprinos razvoju biometrike u agronomiji:

sir Ronald Aylmer Fisher (1890-1962)- eng.planiranje i analiza eksperimenata u agronomskim istraivanjima

William Sealey Gosset Student (1876-1937) eng.

akad. Alois Tavar (1898-1979) 1929. kod nas prva primjena u agronomiji (knjiga udbenik):

"Variaciona statistika

u eksperimentalnoj poljoprivredi" 40

Biometrika danas! intenzivni razvoj statistikih znanosti i primjene

biometrijskih metoda u svim granama ljudske djelatnosti

razvoj biometrike je u stalnoj interakciji s razvojem drugih prirodnih znanosti

upotreba raunala i raunalnih programa u statistikoj obradi podataka

http://www.statsoft.com/textbook/stathome.htmlhttp://www.sportsci.org/resource/stats/index.html

11

41

OPISNA (DESKRIPTIVNA)STATISTIKA

Tipovi podataka i varijabli

42

PODACI su materijal s kojim statistiar radi vrijednosti koje poprima varijabla

(svojstvo) pod razliitim utjecajima (genetskim, okolinskim)

prikupljaju se : MJERENJEMBROJANJEMOPAANJEM

43

PODACI185.5 cm uto 5.26 cm

72.3 kg ocjena 3 0.58 g 34.26 dt/ha

klasa_II 312 zrna na klipu

1.8 % Ca u listu B zaraza_ 25%

okruglo 726 klasova / m2 zaraza_7

44

KVANTITATIVNI PODACI

185.5 cm 5.26 cm 726 klasova / m2 72.3 kg 0.58 g 34.26 dt/ha 312 zrna na klipu 1.8 % Ca u listu

rezultat su mjerenja prema numerikoj skali (KONTINUIRANI, NEPREKINUTI)ili brojanja (NEKONTINUIRANI, DISKRETNI)

KVALITATIVNI PODACI

zaraza_ 25% klasa_II uto ocjena 3 okruglo zaraza_7 B

rezultat su opaanja ne mogu biti izmjereni prema numerikoj skali nastaju klasificiranjem u jednu kategoriju u skupini kategorija (NOMINALNU stanje ili ORDINALNU redoslijed) binarni i nebinarni

12

45

VARIJABLE ili SVOJSTVAprema tipu podataka:

KVANTITATIVNE(MJERNE, NUMERIKE)

KVALITATIVNE(ATRIBUTIVNE, KATEGORIKE)

46

KVANTITATIVNE VARIJABLE(MJERNE, NUMERIKE)

1. KONTINUIRANE, NEPREKINUTE

2. DISKONTINUIRANE -NEKONTINUIRANE, DISKRETNE

IZVEDENE (DERIVIRANE)

47

1. KONTINUIRANE VARIJABLE

mjere se iz beskonane populacije n beskonaan broj vrijednosti izmeu dva fiksna

broja izmeu duljina 1.5 m i 1.6 m moe se izmjeriti

beskonano mnogo duljina to ovisi o preciznosti mjernog instrumenta

realni su brojevi (decimalni)

48

PRIMJERI:

prinos zrna (dt/ha) temperatura zraka ( C) opseg ploda jabuke (cm) povrina lista (cm2) vremenski period (min, sec.)

1. KONTINUIRANE VARIJABLE

13

49

2. DISKONTINUIRANE VARIJABLE

broje se iz beskonane ili konane populacije

one koje imaju vrijednost nekog fiksnog broja tako da nema intermedijarnih vrijednosti (ili 5 ili 6 )

prirodni su brojevi (cijeli)

50

2. DISKONTINUIRANE VARIJABLE

PRIMJERI:

broj mahuna na biljci soje broj zrna na klipu kukuruza broj zametnutih plodova jabuke broj cvatova I klase na gladioli

51

IZVEDENE (DERIVIRANE) VARIJABLE dobiju se iz dvije ili vie mjernih, neovisno izmjerenih kao omjeri, postoci,

indeksi esto sadre i neku konstantu

Primjeri:indeks lisne povrine (LAI leaf area index)

LAI = Plista (m2) / Ptla (1 ha tj 10 000 m2)

uinkovitost pesticidaUinkovitost insekticida Abbott = 100 * 1- (T / C) (%)

T = br. insekata na tretiranoj povrini nakon tretiranjaC = br. insekata na kontrolnoj povrini nakon tretiranja

kvaliteta gustog soka eerne repe (JQ juice quality)JQ = 99,36 - 0,1427 * (KD + NAD + AND) (meq/100S)

KD, NAD, AND = kalij natrij , aminoduik na digestiju

broj zrna u mahuni soje (br. zrna na biljci / br. mahuna na biljci) , itd

52

KVALITATIVNE VARIJABLE(ATRIBUTIVNE, KATEGORIKE)

ne mjere se, ne broje se, podaci se kategoriziraju

po redoslijedu (veliine): ORDINALNE - RANGOVI, OCJENE

ili po opisu stanja (nazivu):

NOMINALNE - ATRIBUTI, OBILJEJA

14

53

ORDINALNE - RANGOVI, OCJENE kategorije po veliini

varijable kojima se biljei jaina dogaaja

ta veliina se pridruuje kategorijama (po veliini) nejednakih intervala

npr. razlika izmeu 3 i 4 ne mora i nije jednaka, ili proporcionalna onoj izmeu 5 i 6, kako je to kod diskontinuiranih

PRIMJERI: stanje mora (0 - 12)znanje (1 - 5)zaraza nekom bolesti (1 - 9) 54

NOMINALNE - ATRIBUTI, OBILJEJA

opisuju stanje odnose se na kvalitetu pripadnosti

PRIMJERI: ensko-muko boja cvijeta, perikarpa, ploda stadij razvoja insekta

55

GRAFIKE METODE ZA OPIS KVALITATIVNIH VARIJABLI

kategorije se definiraju tako da svaka varijanta (opaaj) moe ui samo u jednu kategoriju

56

Primjer:Poljoprivredno zemljite u RH (stanje 1991.)

Nain koritenja 1000 ha %Oranice 1466Vrtovi 23Vonjaci 70Vinogradi 71Livade 413Panjaci 1155ume 1978Total 5176

15

57

Primjer:Poljoprivredno zemljite u RH (stanje 1991.)

Nain koritenja 1000 ha %Oranice 1466 28.32Vrtovi 23 0.44Vonjaci 70 1.35Vinogradi 71 1.37Livade 413 7.98Panjaci 1155 22.31ume 1978 38.21Total 5176 100

58

Pie Chart = torta, pita..

59

Bar (Column) Chart = stupasti

1466

23

70

71

413

1155

1978

0 500 1000 1500 2000

Oranice

Vrtovi

VonjaciVinogradi

Livade

Panjaciume

ha

60

ili ...

0% 20% 40% 60% 80% 100%

1

OraniceVrtoviVonjaciVinogradiLivadePanjaciume

16

61

Uestalost dolaska ispitanika u Park Maksimir

171517

28

20

3

1817

25

20 20

005

1015202530

%

stanovnici posjetitelji

svaki dan

2-3 puta tjednojednom tjednojednom mjeseno2-3 puta godinjeuope ne idem

62

Razlozi dolaska ispitanika u ParkMaksimir

44

1411

9 9 7 5 1

52

105 7

14

5 3 4

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

stanovnici posjetitelji

etnja posjet Zoo-vrtuvonja biciklomsusret s ljudimaetnja psajoggingigra ( nogomet I s l.)pecanje, jahanje

63

NUMERIKE I GRAFIKE METODE ZA OPISKVANTITATIVNIH VARIJABLI

FREKVENCIJA =uestalost pojavljivanja pojedine varijante u uzorku ili populaciji

DISTRIBUCIJA FREKVENCIJA =RAZDIOBA, RASPODJELA uestalosti pojavljivanja varijanata u uzorku ili populaciji

Moe biti numerika ili grafika64

UZORAK VELIINE n = 11

Vrijednosti varijable x:

7 6 5 7 8 9 6 7 4 6 7

Poredane po veliini:

4 5 6 6 6 7 7 7 7 8 9

17

65

Numerika distribucija frekvencije n = 11

x f f cum

4 1 1

5 1 2 (f) = ?6 3 5

7 4 9

8 1 10

9 1 1166

Numerika distribucija frekvencije n = 11

x f f cum

4 1 1

5 1 2 (f) = n = 116 3 5

7 4 9

8 1 10

9 1 11

67

frekvencijski histogram

02468

1012

4 5 6 7 8 9x

f ff cum

68

frekvencijski poligon

02468

1012

4 5 6 7 8 9x

f ff cum

18

69

to je potrebno prije konstrukcije distribucije frekvencije?

varijacijska irina ili rasponv = xmax - xminvarijacijski red= prikaz redoslijeda frekvencija po rastuim

vrijednostima varijable (svojstva)

razredi= odsjeci u varijacijskom redu jednake veliine koje smo

proizvoljno odredili temeljem v (cca 8 - 15)

razredni razmak (areal , a) = raspon izmeu gornje i donje granice u razredu

70

Kultura /vrsta = jabukaVarijabla x = opseg ploda (cm)Veliina uzorka n = 32 ploda

r.br. x r.br. x r.br. x r.br. x

1 15.8 9 20.4 17 26.4 25 19.1

2 17.2 10 18.2 18 16.2 26 20.2

3 18.6 11 19.7 19 24.2 27 22.4

4 20.3 12 22.2 20 16.4 28 19.5

5 14.4 13 21.1 21 22.5 29 14.1

6 13.1 14 21.4 22 20.0 30 19.6

7 23.4 15 25.3 23 21.3 31 20.5

8 21.2 16 20.5 24 12.2 32 19.1

min = ? max = ?

71

Kultura /vrsta = jabukaVarijabla x = opseg ploda (cm)Veliina uzorka n = 32 ploda

r.br. x r.br. x r.br. x r.br. x

1 15.8 9 20.4 17 26.4 25 19.1

2 17.2 10 18.2 18 16.2 26 20.2

3 18.6 11 19.7 19 24.2 27 22.4

4 20.3 12 22.2 20 16.4 28 19.5

5 14.4 13 21.1 21 22.5 29 14.1

6 13.1 14 21.4 22 20.0 30 19.6

7 23.4 15 25.3 23 21.3 31 20.5

8 21.2 16 20.5 24 12.2 32 19.1

min

max

72

varijacijska irina ili rasponv = xmax - xminv = 26.4 - 12.2 = 14.2 cm

razredni razmak (areal , a)a = 2 cm

19

73

Numerika distribucija frekvencije n = 32

varijabla x simbol frekvencija fkumulativna frek. f cum

(12.0 , 14.0] II 2 2(14.0 , 16.0] III 3 5(16.0 , 18.0] III 3 8(18.0 , 20.0] IIII II 7 15(20.0 , 22.0] IIII IIII 10 25(22.0 , 24.0] IIII 4 29(24.0 , 26.0] II 2 31(26.0 , 28.0] I 1 32

74

Graf distribucije frekvencijeHistogram

10 12 14 16 18 20 22 24 26 28

opseg

0

2

4

6

8

10

12

f

r

e

k

v

e

n

c

i

j

a

75

Graf distribucije kumulativne frekvencije

Histogram

10 12 14 16 18 20 22 24 26 28

opseg

0

5

10

15

20

25

30

35

k

u

m

u

l

a

t

i

v

n

a

f

r

e

k

v

e

n

c

i

j

a

76

Primjer: n = 422 klipa kukuruzaPodaci za 3 varijable

r.br. DULJINA BR_REDOVA BR_ZRNA1 20.7 12 5012 17.1 14 4423 20.5 12 4894 16.8 16 476* * * *

* * * *

* * * *

418 15.9 14 349419 14.5 14 311420 20.5 12 453421 22.0 14 616422 16.0 12 432

20

77

Primjer: n = 422 klipa kukuruzaOpisna statistika za 3 varijable

Varijable Prosjek Min Max Raspon

DULJINA 18.03 9.50 28.00 18.50

BR_REDOVA 13.31 8 18 10

BR_ZRNA 429.89 63 797 734

78

DULJINA (cm) frekvencija

kumulativnafrekvencija

postotakfrekvencije(relativna f)

kumulativni postotak

frekvencije

a = 5 cm f f cum. f (%) f cum (%)(5.00 , 10.00] 1 1

(10.00 , 15.00] 52 53(15.00 , 20.00] 281 334(20.00 , 25.00] 86 420(25.00 , 30.00] 2 422

n = 422 klipa kukuruza Prosjek Min Max RasponDULJINA 18.03 9.50 28.00 18.50

? ?

79

DULJINA (cm) frekvencija

kumulativnafrekvencija

postotakfrekvencije(relativna f)

kumulativni postotak

frekvencije

a = 5 cm f f cum. f (%) f cum (%)(5.00 , 10.00] 1 1 0.24 0.24

(10.00 , 15.00] 52 53 12.32 12.56(15.00 , 20.00] 281 334 66.59 79.15(20.00 , 25.00] 86 420 20.38 99.53(25.00 , 30.00] 2 422 0.47 100.00

n = 422 klipa kukuruza Prosjek Min Max RasponDULJINA 18.03 9.50 28.00 18.50

0.24 = 100 / 422

12.32 = 52*100 / 422

f % = f * 100 / n

80

BR_REDOVA frekvencija kumulativna frekvencija

postotak frekvencije

kumulativni postotak

frekvencije

a = 2 reda f f cum. f (%) f cum (%)8 1

10 6

12 175

14 200

16 36

18 4

n = 422 klipa kukuruza Prosjek Min Max RasponBR_REDOVA 13.31 8 18 10

21

81

BR_REDOVA frekvencija kumulativna frekvencija

postotak frekvencije

kumulativni postotak

frekvencije

a = 2 reda f f cum. f (%) f cum (%)8 1 1 0.24 0.24

10 6 7 1.42 1.66

12 175 182 41.47 43.13

14 200 382 47.39 90.52

16 36 418 8.53 99.05

18 4 422 0.95 100.00

n = 422 klipa kukuruza Prosjek Min Max RasponBR_REDOVA 13.31 8 18 10

82

BR_ZRNA frekvencija kumulativnafrekvencija

postotak frekvencije

kumulativni postotak

frekvencijea = 100 zrna f f cum. f (%) f cum (%)

(0 , 100] 1 1 0.24 0.24(100 , 200] 6 7 1.42 1.66(200 , 300] 38 45 9.00 10.66(300 , 400] 107 152 25.36 36.02(400 , 500] 166 318 39.34 75.36(500 , 600] 94 412 22.27 97.63(600 , 700] 9 421 2.13 99.76(700 , 800] 1 422 0.24 100.00

n = 422 klipa kukuruza Prosjek Min Max RasponBR_ZRNA 429.89 63 797 734

83

Frekvencijski histogram

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

BR_

ZRNA

(0 ,

100]

(100 ,

200]

(200 ,

300]

(300 ,

400]

(400 ,

500]

(500 ,

600]

(600 ,

700]

(700 ,

800]

ff cum

84

Frekvencijski poligon

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

BR_

ZRNA

(0 ,

100]

(100 ,

200]

(200 ,

300]

(300 ,

400]

(400 ,

500]

(500 ,

600]

(600 ,

700]

ff cum

22

85

n = 422 klipa kukuruzaareal, a = 5 cm

Histogram: DULJINAK-S d=.07806, p