-
11
Agronomski fakultet Sveuilita u Zagrebu
OSNOVE BIOMETRIKEKoordinator:Prof. dr. sc. Marija Pecina
[email protected]
Suradnici:Prof. dr. sc. Jerko Gunjaa [email protected]. sc. Toni
Safner, znan. novak [email protected]
2
OSNOVE BIOMETRIKE6 ECTS, izvodi se od akad. god. 2007/2008
MSc - obavezni (temeljni), 1. sem60 sati izravne
nastaveOkvirno:
22 sata predavanja+ 24 sata vjebi+ 14 sati seminara
3
Nalazimo se ... VI Paviljon III kat u Zavodu za oplemenjivanje
bilja,genetiku, biometriku i eksperimentiranje Oglasna ploa!
Tajnica ga. Jasna Bajan
4
Naa prava i obaveze: Nastava, evidencija, ... Potpisi na kraju
semestra (uvjeti!) Konzultacije Ispit (pismeni i usmeni)3 x
redovito + 1 x pred povjerenstvom
-
25
Vaa prava i obaveze: Redovito pohaanje i angaman u nastavi
Izrada zadataka 2 meuispita
Literatura: Nastavni materijal - prezentacije Biljeke s nastave
Vasilj, . 2000. Biometrika i eksperimentiranje ubilinogojstvu. HAD.
Zagreb
6
Literatura (preporuena): Sokal, RR and Rohlf, FJ. 1994.
Biometry: The
Principles and Practice of Statistics in BiologicalResearch. WH
Freeman & Co.
Steel, RGD, Torrie, JH and Dickey, DA, 1996.Principles and
Procedures of Statistics: A BiometricalApproach. McGraw-Hill Higher
Education.
Gomez, KA, and Gomez, AA, 1984. StatisticalProcedures for
Agricultural Research. John Wiley &Sons.
Petz, B, 1981. Osnovne statistike metode zanematematiare.
Sveuilina naklada Liber, Zagreb.
Petz, B, 1994. Statistika za praksu. Ministarstvounutarnjih
poslova RH.
7
Sadraj predmeta: 1/2 Biometrika: pojam, ciljevi, svrha, kratka
povijest. Deskriptivna iinferencijalna statistika. Osnovni elementi
biometrike: Podaci; Varijable; Varijabilnost;Populacija vs. Uzorak;
Distribucija frekvencije - numerika i grafika, kvalitativna
ikvantitativna. Metode opisne statistike: mjerila centralne
tendencije - sredine(aritmetika sredina, medijana, modus); Mjerila
varijabilnosti -disperzije (varijacijska irina, standardna
devijacija, varijanca,varijacijski koeficijent). Teoretske
distribucije frekvencija: Nekontinuirana sluajnavarijabla i binomna
distribucija; Kontinuirana sluajna varijabla inormalna distribucija
(granice pouzdanosti; standardiziranasluajna varijabla).
8
Sadraj predmeta: 2/2 Procjena parametara populacije iz uzoraka
(samplingdistribucija); Sredinji granini teorem. Zakljuivanje
temeljeno na jednom uzorku: procjena granicapouzdanosti u t
distribuciji; Nulta hipoteza i testiranje H0;Razina
signifikantnosti (znaajnosti): p vrijednost; Snagatesta;
Zakljuivanje temeljeno na dva uzorka: Usporedba prosjeka(t testom
nezavisni i zavisni uzorci; LSD); Usporedbavarijanci (F testom)
dvije populacije. Analiza varijance: Usporedba dva i vie od dva
prosjeka;jednosmjerna i dvosmjerna ANOVA. Pretpostavke zaANOVU.
Jednostavna linearna korelacija i regresija: korelacijski
iregresijski koeficijent, pojam i testiranje koeficijenata r i
b,kovarijanca.
-
39
STATISTIKA - BIOMETRIKA status = lat. Stanje bios = gr. ivot
metron = gr. Mjeriti
10
STATISTIKA je
znanost o podacima "vodi u nepoznato (Tanur et al. 1989.) ...
pomo u razumijevanjuneodreenosti
... pomo u organiziranju svijeta,prirode, znanja...
11
STATISTIKA jeskupina metoda
za prikupljanje, saimanje, tabeliranje(klasifikaciju),
organiziranje, opis(deskripciju) i prezentaciju podataka
za analizu i interpretaciju podataka, tepoopavanje - donoenje
zakljuaka opopulaciji iz koje su uzeti
12
BIOSTATISTIKA je
primjena statistike u biolokimznanostima (agronomija, umarstvo,
genetika,botanika, ekologija, zoologija,medicina, veterina, )
-
413
BIOMETRIKA je primjena matematike i statistike ubiolokim
znanostima
ukljuuje matematiko modeliranje iraunanja u biologiji
ima poetke u poljoprivrednimistraivanjima
14
DVA SU OSNOVNA DIJELASTATISTIKE:
OPISNA (DESKRIPTIVNA)STATISTIKA
INFERENCIJALNA STATISTIKA iliSTATISTIKA ZAKLJUIVANJA
15
OPISNA (DESKRIPTIVNA)STATISTIKA:
koristi se numerikim i grafikimmetodama koje opisuju
sredinu jednog skupa podataka i njihovumeusobnu razliitost
16
INFERENCIJALNA STATISTIKA iliSTATISTIKA ZAKLJUIVANJA:
koristi podatke uzorkaza procjenu, odluivanje,
predvianje(predikciju) ili neko drugo poopavanje
o veem skupu podataka - populaciji.
-
517
OSNOVNI TERMINI (izrazi):
POPULACIJAUZORAKJEDINKA ili VARIJANTASVOJSTVO ili
VARIJABLAVARIJABILNOST ili DISPERZIJA
18
POPULACIJA je
skup svih jedinki koje imaju nekezajednike karakteristike
(svojstva),a predmet su i interes naegistraivanja
19
Populacija - konana: svi glasai u RH, svi studenti II god.
Agronomskog fakulteta sve biljke F1 nekog krianja sve biljke nekog
hibrida kukuruza nanaem polju
sve voke neke sorte jabuka u jednomvonjaku
svi trsovi neke sorte vinove loze uvinogradu
20
Populacija - beskonana: svi ljudi na svijetu sve biljke nekog
hibrida kukuruza svi plodovi neke sorte jabuka svi trsovi neke
sorte vinove loze
-
621
UZORAK je
konani dio populacije podskup populacije populacija u malom
22
JEDINKA ili VARIJANTA(INDIVIDUA, OPAAJ) je
najmanji dio populacije ili uzorka u konanici jedan osnovni
podatak
ovjek, biljka, dio biljke, skupina biljaka,kolonija
mikroorganizma, dogaaj, objekt,koliina vina, povrina tla, trs,
petrijevka,
23
VARIJABLA = SVOJSTVO je
karakteristika, osobitost ili izraz jednevarijante (jedinke) u
populaciji ili uzorku
varira, mijenja se (promjenjiva je)
npr. visina 185 cm 85 kg96 kg106 kg125 kg
24
Na jedinki mjerimo i opaamosvojstva (varijable)
ovjek spol, starost, visina, teina, krvni tlak,kapacitet plua,
boja oiju ...
biljka vrsta, sorta, visina, boja cvijeta,promjer debla, prinos,
sadraj bjelanevina-eera-kiselina, broj klasia, duljina klipa,
masasuhe tvari, zaraenost ...
-
725
VARIJABILNOST jeDISPERZIJA je
RAZLIITOST
26
VARIJABILNOST jerazliitost (biljnog svijeta) i osnovni jerazlog
za potrebu: mjerenja opaanja statistike analize tih izmjera i
interpretacije statistikih analiza
27
Specifinost agronomije suvarijabilni podaci !
28
Bioloka varijabilnost
uvjetovana je:
genetskim uincima okolinskim uincima grekama u mjerenju
-
829
POPULACIJA vs. UZORAK Zadaa uzorka je da dobro
predstavljapopulaciju !
Radimo s uzorcima, a zakljuujemo opopulaciji
30
POKUS = EKSPERIMENT je proces prikupljanja podataka sasvrhom
donoenja zakljuaka
31
ZAKLJUAK se moe odnositi na:
prikupljene podatke vei skup slinih podataka uz predvianjebuduih
rezultata istih ili slinih pojava
ali uz neku vjerojatnost !(pogreke ili sigurnosti procjene)
32
TO JE DOBAR UZORAK ?
REPREZENTATIVAN SLUAJNO IZABRAN iz populacije
DOVOLJNO VELIK
-
933
Populacija vs. Uzorci
PopulacijaN = 958
n = 20
n = 250
n=10
n = 35
UzorciUzorci
34
REPREZENTATIVNI UZORAK sadri sve tipine varijante populacije
izkoje je uzet
svakoj varijanti populacije dati jednakupriliku (ansu) da bude
izabrana i ukljuenau uzorak
35
DOVOLJNO VELIK veliina uzorka = n
Openito: velika varijabilnost - vei uzorak mala varijabilnost -
manji uzorak
36
RADIMO S UZORCIMA,ZAKLJUUJEMO OPOPULACIJI !!!
pritom uvijek inimo stanovitu (manjuili veu) pogreku !
-
10
37
KAKO OSIGURATI DOBARUZORAK ?
sluajnim (random) uzimanjemvarijanata iz populacije
primjenomobjektivnog postupka:
metoda tablice sluajnih brojeva svaka deseta, petnaesta
varijanta raunalna randomizacija
38
Samo ako imamo dobaruzorak smijemo poopiti izUZORKA o POPULACIJI
!
39
ELEMENTI OPISNE(DESKRIPTIVNE) STATISTIKE:
1. populacija ili uzorak koji istraujemo2. varijabla (svojstvo)
koje istraujemo3. tablice, grafikoni ili numerike metode4.
utvrivanje i usporeivanje pravilnosti
(nepravilnosti) u podacima
40
ELEMENTI STATISTIKEZAKLJUIVANJA
(INFERENCIJALNE STATISTIKE):1. populacija koju istraujemo2.
varijabla (svojstvo) koje istraujemo3. uzorak iz populacije4.
zakljuak o populaciji temeljem uzorka5. pouzdanost zakljuka
-
11
41
POVIJESNI RAZVOJSTATISTIKE - BIOMETRIKE
Statistika - relativno nova disciplina primjena metoda datira od
razdoblja 3000godina p. n. e. (popis stanovnitva u vojne
ifinancijske svrhe Kina, Egipat, Grka, ...,Nazaret ...).
temelji - poetak 17. stoljea povezan je s razvojem teorije
vjerojatnosti
42
Teorija vjerojatnosti: Blaise Pascal (1623-1662) - franc. Pierre
de Fermat (1601-1665) - franc. Jacques Bernoulli (1654-1705) -
belg.
43
Normalna distribucija: Abraham de Moivre (1667-1754) -franc.
Pierre Simon Laplace (1749-1827) -franc.
Karl Fridrich Gauss(1777-1855) - njem.
44
Primjena statistike u analizi biolokeraznolikosti
(genetika):
Adolphe Quetelet (1796-1874) ) - belg.
Francis Galton(1822-1911) - eng.
Karl Pearson(1857-1936) - eng.
-
12
45
Osobiti doprinos razvojubiometrike u agronomiji:
sir Ronald Aylmer Fisher (1890-1962)- eng.planiranje i analiza
eksperimentatau agronomskim istraivanjima
William Sealey Gosset Student (1876-1937) eng. akad. Alois Tavar
(1898-1979)
1929. kod nas prva primjena u agronomiji(knjiga udbenik):
"Variaciona statistika u eksperimentalnojpoljoprivredi" 46
Biometrika danas!
intenzivni razvoj statistikih znanosti iprimjene biometrijskih
metoda u svimgranama ljudske djelatnosti
razvoj biometrike je u stalnoj interakciji srazvojem drugih
prirodnih znanosti
neophodan je dio (alat) strunog iznanstvenog rada
47
Biometrika danas! intenzivni razvoj statistikih znanosti i
primjenebiometrijskih metoda u svim granama ljudskedjelatnosti
razvoj biometrike je u stalnoj interakciji s razvojemdrugih
prirodnih znanosti upotreba raunala i raunalnih programa
ustatistikoj obradi
podatakahttp://www.statsoft.com/textbook/stathome.htmlhttp://www.sportsci.org/resource/stats/index.html
48
There are three kinds of lies: lies, damnedlies, and
statistics.
It is proven that the celebration of birthdaysis healthy.
Statistics show that those peoplewho celebrate the most birthdays
becomethe oldest.
THE END 1. predavanje
-
13
49
OPISNA (DESKRIPTIVNA)STATISTIKA
Tipovi podataka i varijabli
50
PODACI su materijal s kojim statistiar radi vrijednosti koje
poprima varijabla(svojstvo) pod razliitim utjecajima(genetskim,
okolinskim)
prikupljaju se : MJERENJEMBROJANJEMOPAANJEM
51
PODACI185.5 cm uto 5.26 cm
72.3 kg ocjena 3 0.58 g 34.26 dt/ha
klasa_II 312 zrna na klipu
1.8 % Ca u listu B zaraza_ 25%
okruglo 726 klasova / m2 zaraza_752
PODACI185.5 cm5.26 cm726 klasova / m272.3 kg0.58 g34.26 dt/ha312
zrna na klipu1.8 % Ca u listu
zaraza_ 25%klasa_IIutoocjena 3okruglozaraza_7B
-
14
53
KVALITATIVNI PODACI ne mogu biti izmjereni prema
numerikojskali
oni nastaju klasificiranjem u jednukategoriju u skupini
kategorija:
ivi - mrtvizdravi - bolesniocjene znanja, zarazeboja ploda
54
VARIJABLE (SVOJSTVA) KVANTITATIVNE(MJERNE, NUMERIKE)
KVALITATIVNE(ATRIBUTIVNE, KATEGORIKE)
55
KVANTITATIVNE VARIJABLE(MJERNE, NUMERIKE)
1. KONTINUIRANE
2. DISKONTINUIRANE -NEKONTINUIRANE, DISKRETNE
IZVEDENE (DERIVIRANE)56
1. KONTINUIRANE VARIJABLE mjere se iz beskonane populacije n
beskonaan broj vrijednosti izmeu dva fiksnabroja
izmeu duljina 1.5 m i 1.6 m moe se izmjeritibeskonano mnogo
duljina to ovisi opreciznosti mjernog instrumenta
realni su brojevi (decimalni)
-
15
57
PRIMJERI:
prinos zrna (dt/ha) temperatura zraka ( C) opseg ploda jabuke
(cm) povrina lista (cm2) vremenski period (min, sec.)
1. KONTINUIRANE VARIJABLE
58
2. DISKONTINUIRANEVARIJABLE
broje se iz beskonane ili konanepopulacije
one koje imaju vrijednost nekog fiksnogbroja tako da nema
intermedijarnihvrijednosti (ili 5 ili 6 )
prirodni su brojevi (cijeli)
59
2. DISKONTINUIRANEVARIJABLE
PRIMJERI:
broj mahuna na biljci soje broj zrna na klipu kukuruza broj
zametnutih plodova jabuke broj cvatova I klase na gladioli
60
IZVEDENE (DERIVIRANE) VARIJABLE dobiju se iz dvije ili vie
mjernih, neovisno izmjerenih kaoomjeri, postoci, indeksi esto sadre
i neku konstantu Primjeri:
- indeks lisne povrine (LAI leaf area index)LAI = Plista (m2) /
Ptla (1 ha tj 10 000 m2)
- uinkovitost pesticidaUinkovitost insekticida Abbott = 100 * 1-
(T / C) (%)
T = br. insekata na tretiranoj povrini nakon tretiranjaC = br.
insekata na kontrolnoj povrini nakon tretiranja
- kvaliteta gustog soka eerne repe (JQ juice quality)JQ = 99,36
- 0,1427 * (KD + NAD + AND) (meq/100S)
KD, NAD, AND = kalij natrij , aminoduik na digestiju
- broj zrna u mahuni soje, itd
-
16
61
KVALITATIVNE VARIJABLE(ATRIBUTIVNE, KATEGORIKE)
ne mjere se, ne broje se kategoriziraju se i opisuju
ORDINALNE - RANGOVI, OCJENE NOMINALNE - ATRIBUTI, OBILJEJA
62
ORDINALNE - RANGOVI, OCJENE kategorije po veliini varijable
kojima se biljei jaina dogaaja ta veliina se pridruuje kategorijama
(poveliini) nejednakih intervala npr. razlika izmeu 3 i 4 ne mora i
nijejednaka, ili proporcionalna onoj izmeu 5 i 6,kako je to kod
diskontinuiranih PRIMJERI: stanje mora (0 - 12)
znanje (1 - 5)zaraza nekom bolesti (1 - 9)
63
NOMINALNE - ATRIBUTI, OBILJEJA opisuju stanje odnose se na
kvalitetu pripadnosti
PRIMJERI: ensko-muko boja cvijeta, perikarpa, ploda stadij
razvoja insekta
64
GRAFIKE METODE ZA OPISKVALITATIVNIH VARIJABLI
kategorije se definiraju tako da svakavarijanta (opaaj) moe ui
samo u jednukategoriju
-
17
65
Primjer:Poljoprivredno zemljite u RH (stanje 1991.)
5176Total1978ume1155Panjaci413Livade71Vinogradi70Vonjaci23Vrtovi
1466Oranice%haNain koritenja
66
Pie Chart = torta, pita..
28.32%
0.44%1.35%1.37%
7.98%
22.31%
38.21%
OraniceVrtoviVonjaciVinogradiLivadePanjaciume
67
Bar (Column) Chart = stupasti
1466237071
4131155
1978
0 500 1000 1500 2000OraniceVrtovi
VonjaciVinogradi
LivadePanjaciume
ha
68
ili ...
0% 20% 40% 60% 80% 100%
1
OraniceVrtoviVonjaciVinogradiLivadePanjaciume
-
18
69
Uestalost dolaska ispitanika uPark Maksimir
171517
2820
3
18172520 20
0051015202530
%
stanovnici posjetiteljiGRAFIKON 1.
svaki dan2-3 puta tjednojednom tjednojednom mjeseno2-3 puta
godinjeuope ne idem
70
Razlozi dolaska ispitanika u ParkMaksimir
44
1411 9 97 5 1
52
1057
145 3 4
0%10%20%30%40%50%60%
stanovnici posjetiteljiGRAFIKON 2 .
etnjaposjet Zoo-vrtuvonja biciklomsusret s ljudimaetnja
psajoggingigra ( nogomet I sl.)pecanje, jahanje
71
NUMERIKE I GRAFIKE METODEZA OPIS
KVANTITATIVNIH VARIJABLI
FREKVENCIJA
DISTRIBUCIJA FREKVENCIJE
72
FREKVENCIJA= uestalost pojavljivanja pojedinevarijante u uzorku
ili populaciji
-
19
73
DISTRIBUCIJA frekvencija= RAZDIOBA, RASPODJELA: frekvencija u
uzorku ili populaciji uestalosti pojavljivanja varijanata u
uzorkuili populacijiMoe biti: numerika grafika
74
UZORAK VELIINE n = 11
Poredane po veliini:
Vrijednosti varijable x:76476987567
75
Numerika distribucijafrekvencije n = 11
521
f cum
(f) = n = 1119184736
(f) = ?1514fx
76
frekvencijski histogram
024681012
4 5 6 7 8 9x
f ff cum
-
20
77
frekvencijski poligon
024681012
4 5 6 7 8 9x
f ff cum
78
to je potrebno prije konstrukcijedistribucije frekvencije?
varijacijska irina ili rasponv = xmax - xminvarijacijski red=
prikaz redoslijeda frekvencija po rastuimvrijednostima varijable
(svojstva)razredi= odsjeci u varijacijskom redu jednake veliine
koje smoproizvoljno odredili temeljem v (cca 8 - 15)razredni razmak
(areal , a)= raspon izmeu gornje i donje granice u razredu
79
Kultura /vrsta = jabukaVarijabla x = opseg ploda (cm)Veliina
uzorka n = 32 ploda
19.13212.22420.51621.2820.53121.32325.31523.4719.63020.02221.41413.1614.12922.52121.11314.4519.52816.42022.21220.3422.42724.21919.71118.6320.22616.21818.21017.2219.12526.41720.4915.81xr.br.xr.br.xr.br.xr.br.
min = ? max = ? 80
varijacijska irina ili rasponv = xmax - xminv = 26.4 - 12.2 =
14.2 cmrazredni razmak (areal , a)a = 2 cm
-
21
81
Numerika distribucija frekvencije n = 32
124107332
frekvencija f
3231292515852
kumulativnafrek. f cum
I(26.0 , 28.0]II(24.0 , 26.0]IIII(22.0 , 24.0]IIII IIII(20.0 ,
22.0]IIII II(18.0 , 20.0]III(16.0 , 18.0]III(14.0 , 16.0]II(12.0 ,
14.0]simbolvarijabla x
82
Graf distribucije frekvencijeHistogram
10 12 14 16 18 20 22 24 26 28opseg
0
2
4
6
8
10
12
frekven
cija
83
Graf distribucije kumulativnefrekvencije
Histogram
10 12 14 16 18 20 22 24 26 28opseg
0
5
10
15
20
25
30
35
kumu
lativn
a frek
venc
ija
84
Primjer: n = 422 klipa kukuruzaPodaci za 3 varijable
4321216.04226161422.04214531220.54203111414.54193491415.9418
************
4761616.844891220.534421417.125011220.71
BR_ZRNABR_REDOVADULJINAr.br.
-
22
85
Primjer: n = 422 klipa kukuruzaOpisna statistika za 3
varijable
73479763429.89BR_ZRNA1018813.31BR_REDOVA
18.5028.009.5018.03DULJINA
RasponMaxMinProsjekVarijable
86
4222(25.00 , 30.00]42086(20.00 , 25.00]334281(15.00 ,
20.00]5352(10.00 , 15.00]11(5.00 , 10.00]
f cum (%)f (%)f cum.fa = 5 cm
kumulativnipostotak
frekvencijepostotak
frekvencije(relativna f)
kumulativnafrekvencijafrekvencija
DULJINA(cm)
18.5028.009.5018.03DULJINARasponMaxMinProsjek
n = 422 klipakukuruza
??
f % = f * 100 / n
874183616200141751261018
f cum (%)f (%)f cum.fa = 2 reda
kumulativnipostotakfrekvencije
postotakfrekvencije
kumulativnafrekvencijafrekvencijaBR_REDOVA
1018813.31BR_REDOVARasponMaxMinProsjek
n = 422 klipakukuruza
88100.000.9542241899.058.53418361690.5247.393822001443.1341.47182175121.661.4276100.240.24118
f cum (%)f (%)f cum.fa = 2 reda
kumulativnipostotakfrekvencije
postotakfrekvencije
kumulativnafrekvencijafrekvencijaBR_REDOVA
1018813.31BR_REDOVARasponMaxMinProsjek
n = 422 klipakukuruza
-
23
89100.000.244221(700 , 800]99.762.134219(600 ,
700]97.6322.2741294(500 , 600]75.3639.34318166(400 ,
500]36.0225.36152107(300 , 400]10.669.004538(200 ,
300]1.661.4276(100 , 200]0.240.2411(0 , 100]
f cum (%)f (%)f cum.fa = 100 zrna
kumulativnipostotakfrekvencije
postotakfrekvencije
kumulativnafrekvencijafrekvencijaBR_ZRNA
73479763429.89BR_ZRNARasponMaxMinProsjek
n = 422 klipakukuruza
90
Frekvencijski histogram
050
100150200250300350400450
BR_ZRN
A
(0 , 10
0 ]
(100 ,
200]
(200 ,
300]
(300 ,
400]
(400 ,
500]
(500 ,
600]
(600 ,
700]
(700 ,
800]
ff cum
91
Frekvencijski poligon
050
100150200250300350400450
BR_ZR
NA
(0 , 10
0]
(100 ,
200]
(200 ,
300]
(300 ,
400]
(400 ,
500]
(500 ,
600]
(600 ,
700]
ff cum
92
n = 422 klipa kukuruzaareal, a = 5 cm
Histogram: DULJINAK-S d=.07806, p
-
24
93
n = 422 klipa kukuruzaareal, a = 2 cm
DULJINA
6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30DULJINA
0
20
40
60
80
100
120
140
160
No of
obs
fx (10 , 12] = 0 94
DISTRIBUCIJA FREKVENCIJEKonstrukcija histograma: 1/2
1. Identificirati xmin i xmax iz podataka2. Interval xmax xmin
(=v) podijeliti u 5 do 20subintervala (razreda)3. Na apscisi (x os)
su vrijednosti varijable (x), naordinati (y os) su frekvencije (f
)Razredi moraju zadovoljiti sljedee uvjete:
- Svaki podatak mora biti u jednom i samo jednom razredu- Niti
jedan podatak nije na granici intervala
Princip: manji broj podataka manje razreda, vei broj podataka
vie razreda.
95
3. Odrediti frekvencije f , u pojedinim razredima
4. Izraunati proporcije f % , (relativnefrekvencije) varijanata
u svakom razredu
5. Plotati f ili f % kao pravokutnike iznadkorespondirajuih
razreda tako da je vertikalnaos y duljine oko horizontalne osi
x.
DISTRIBUCIJA FREKVENCIJEKonstrukcija histograma: 2/2
96
In God we trust. All others must bring data! One out of every
four people is sufferingfrom some form of mental illness.Check
three friends. If they're OK, then it'syou.
Eighty percent of all people considerthemselves to be above
average.
THE END 2. predavanje
