Universidad Autonoma de Zacatecas<<Francisco Garcıa Salinas>>

Unidad Academica de Matematicas

Teorema de Riemann-Roch para superficies de RiemannTESINA

Que para obtener el tıtulo de Licenciado en Matematicaspresenta:

Cesar Fabian Romero FelixAsesor:

Dr. Alexis Garcıa Zamora

agosto de 2008

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1. Introduccion

En esta tesina el objetivo principal es dar una demostracion del teorema de Riemann-Roch enel contexto de superficies de Riemann, para ello se utilizan resultados de cohomologıa de haces ydivisores. En la mayorıa de las proposiciones no se da una demostracion completa pero se indicaen donde se puede encontrar

En la primera seccion se ve la definicion de haces, sucesiones exactas y algunos ejemplos paraayudar a entender las ideas.

La segunda seccion trata acerca de superficies de Riemann, empezando por la definicion, de-spues se introducen funciones en estas superficies para continuar con formas diferenciales.

La tercera seccion sirve para familiarizarnos con la cohomologıa de haces, cohomologıa deCech para ser mas precisos, ya que con algunos resultados de esta teorıa demostraremos el teoremade Riemann-Roch.

La ultima seccion corresponde al teorema que le da tıtulo a este trabajo y en ella se presentael enunciado y una demostracion del famoso teorema, restringiendonos a superficies de Riemann,usando cohomologıa de haces y algunos haces especiales definidos en las secciones anteriores.

Este texto tambien puede ser usado como una introduccion para los temas de haces, coho-mologıa de haces, superficies de Riemann y divisores por la simplicidad con la que esta (o almenos se pretende que este) escrito.

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2. Prehaces y haces

Definicion 2.1(Prehaz). Un prehazF de grupos abelianos en el espacio topologico M consiste deun grupo abelianoΓ(U,F) = F(U), llamado las secciones deF sobreU, por cada abiertoU ∈ My un morfismo de gruposrU,V : F(V) → F(U),llamadorestriccion de V a U, por cada inclusionU ⊂ V de conjuntos abiertos deM satisfaciendo las siguientes condiciones:

1) rU,U = idF(U)

2) SiU ⊂ V ⊂W entoncesrU,V rV,W = rU,W

(A veces se pide queF(∅) = 0 y tambien se escribes|U en vez derU,V(s)).

Nota: Del mismo modo se pueden definir prehaces de anillos, espacios vectoriales, etc..

Ejemplo 2.2. F = C0M el prehaz de funciones continuas enM, dondeC0

M(U) es el anillo de lasfuncionesf : U → R con los morfismos restriccion obvios (restriccion del dominio) es un prehaz,ademasF0

M cumple la siguiente propiedad (la cual no es cumplida por cualquier prehaz) siU es launion de abiertosUi ⊂ M entonces:

3) Si f ,g ∈ C0M(∪Ui) con f |Ui = g|Ui para cualquieri entoncesf = g

4) Si funcionesfi ∈ C0m(Ui) son tales que para todoi y j

fi |Ui∩U j = f j |Ui∩U j

entonces existef ∈ C0M(U) con f |Ui = fi para todoi.

Definicion 2.3(Haz). Un prehazF es llamado haz si cumple:

a) Si f ,g ∈ F(∪Ui) con f |Ui = g|Ui para cualquieri entoncesf = g

b) Si funcionesfi ∈ F(Ui) son tales que para todoi y j

fi |Ui∩U j = f j |Ui∩U j

entonces existef ∈ F(U) con f |Ui = fi para todoi.

Ejemplo 2.4. El prehaz constanteR, para el cual

F(U) = funciones constantes enU con valores enR ≈ R

para cualquier abierto no vacıo U ⊂ M y F(∅) = 0 no es un haz en cuantoM contenga algun abiertodisconexo, pues siU = U1 ⊔ U2 y tomamosa ∈ F(U1) y b ∈ F(U2) cona , b entonces

0 = a|U1∩U2 = b|U1∩U2 = 0

pero no existec ∈ F(U) tal quec|U1 = a y c|u2 = b

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Usualmente se trabaja con el haz constanteR con el cual a un conjunto abiertoU ⊂ M se leasocia el conjunto de funciones continuasf : U → R, tambien suele denotarse porR en vez deRpara facilitar la escritura.

Definicion 2.5(Morfismo de (pre)haces). SeanF y G dos (pre)haces. Un morfismo de (pre)hacesϕ : F→ G esta dado por una familia de morfismos (de grupos, lineales, de anillos, etc...)ϕU : F(U)→ G(U) para cualquier abiertoU ⊂ M satisfaciendo

rGU,V ϕV = ϕU rFU,V

para cualesquiera abiertosU,V ⊂ M.

Teniendo un morfismo de (pre)hacesϕ : F → G se pueden construir los prehaces asociadosKer(ϕ), Im(ϕ) y Coker(ϕ) de la manera natural, por ejemplo

Coker(ϕ)(U) = Coker(ϕU : F→ G(U))

de aquı surge un detalle importante, siϕ es un morfismo de haces entoncesKer(ϕ) es un haz peroesto no sucede en general conIm(ϕ) ni con Coker(ϕ) por lo que solo podemos afirmar que sonprehaces. En orden de definir el cokernel y la imagen de un morfismo de haces como verdaderoshaces necesitamos la nocion de fibra.

Definicion 2.6(Fibra). SeaF un (pre)haz enM y x ∈ M la fibra deF enx es

Fx := (U, s)|x ∈ U ⊂ M, s ∈ F(U)/ ∼

donde para dos abiertosUi i = 1,2 y seccionessi ∈ F(Ui) se tiene que (U1, s1) ∼ (U2, s2) si existeun abiertox ∈ U ⊂ U1 ∩ U2 tal querU,U1(s1) = rU,U2(s2)

De aquı es notable que cualquier seccion s ∈ F(U) induce un elementosx ∈ Fx para cualquierpuntox ∈ U, mas aun, cualquier morfismo de (pre)hacesϕ : F → G induce morfismosϕx : Fx →

Gx para cualquierx ∈ M

Definicion 2.7(Haz asociado). El hazF+ asociado al prehazF es el haz para el cualF+(U), dondeU es un abierto deM, es el conjunto de funcioness : U → ∪x∈UFx con s(x) ∈ Fx y tal que paratodox ∈ U existe un abiertox ∈ V ⊂ U y una seccion t ∈ F(V) cons(y) = t(y) para cualquiery ∈ V

Con esta definicionF+ es un haz y la inclusion naturalF ⊂ f+ es un isomorfismo siF ya eraun haz. Esto esutil ya que para muchas construcciones se necesita pasar de manera “natural” de unprehaz bien definido a se haz asociado, por ejemplo el haz producto tensorial de R-modulosF⊗RG,donde R es un haz, se define como el haz asociado al prehaz

U → F⊗

R(U) G

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Definicion 2.8. Dado un morfismo de hacesϕ : F → G los hacesIm(ϕ) y Coker(ϕ) se definencomo los haces asociados a los prehacesU → Im(ϕ)(U) y U → Coker(ϕ)(U) respectivamente.

El morfismoϕ es inyectivo si y solo si el haz kernelKer(ϕ) es trivial. De una manera similarse dice queϕ es sobreyectivo si el haz cokernelCoker(ϕ) es trivial. Hay una diferencia esencialentre estas dos propiedades y reside en queϕ es inyectivo si y solo siϕU es inyectivo para cualquierabierto U peroϕ podrıa ser sobreyectivo sin queϕU lo sea para cualquier (ni siquiera para algun)abierto U, sin embargo ambas propiedades pueden ser detectadas la fibra. Mas precisamente,ϕ esinyectivo o sobreyectivo si y solo siϕx : Fx→ Gx es respectivamente inyectivo o sobreyectivo paracualquierx ∈ M.

Definicion 2.9 (Haz rascacielos). SeaX un espacio topologico, p un punto deX y G un grupoabeliano. Definimos el haz rascacielos (o skyscraper)ip(A) enX como sigue:

ip(G)(U) =

G, si p ∈ U

0, si p < U

Se puede demostrar que la fibra deip(G) esG en cualquier punto de la clausura del conjuntop ycero en cualquier otro punto.

Ejemplo 2.10. El haz rascacielosCp es la asignacion de los numeros complejos en el puntop y 0a cualquier otro punto.

Definicion 2.11(Complejo). Una sucesionF• de morfismos de haces

· · ·Fi ϕi−→ Fi+1 ϕi+1

−−→ Fi+2 ϕi+2−−→ · · ·

es un complejo siϕi+1 ϕi= 0 para todoi y es unaSucesion exactasi

Ker(ϕi+1) = Im(ϕi) para cualquieri. Un complejo de la forma

0→ F0→ F1→ F2→ 0

es llamadosucesion exacta corta.

Proposicion 2.12.Un complejo de la forma

0→ F0→ F1→ F2→ 0

es exacto si y solo si elcomplejo inducido de fibras

0→ F0x→ F

1x→ F

2x→ 0

es exacto para cualquierx ∈ M [5, Corolario B.0.28]

Dado que la sobreyectividad no implica sobreyectividad para cualquier abierto, una sucesionexacta no define necesariamente sucesiones exactas

0→ F0(U)→ F1(U)→ F2(U)→ 0

para algun abiertoU ⊂ M y en particular no para M y resulta que el fallo en la sobreyectividad deF1(M)→ F2(M) puede ser medido con la cohomologıa deH1(F0)

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3. Superficies de Riemann

Definicion 3.1(Espacio de Hausdorff). Un espacio topologicoX se dice espacio de Hausdorff. sipara todosx, y ∈ X existenU,V abiertos de la topologıa deX tales quex ∈ U, y ∈ V y U ∩ V = ∅.

Definicion 3.2(Espacio segundo numerable). Un Espacio topologicoX se dice segundo numerablesi su topologıa tiene una base numerable

Definicion 3.3(Carta compleja). SeaM un espacio topologico de Hausdorff, Una carta compleja(de dimension n) enM es un homeomorfismo (funcion biyectiva, Contınua y con inversa Contınua)ϕ : U → V dondeU es un conjunto abierto deX y V un conjunto abierto deCn.El conjunto abiertoU es llamado el dominio de la carta. La cartaϕ se dice centrada enp ∈ U si ϕ(p) = 0. Dos cartasϕα y ϕβ se dicen compatibles si la composicionϕα ϕ−1

β es holomorfa en el conjuntoϕβ(Uα ∩Uβ)

Definicion 3.4 (Atlas). Un atlas (de dimension n) sobre un conjuntoM es una familiaA =(Uα, ϕα)α∈A dondeUαα∈A es una cubierta abierta deM y ϕα son cartas compatibles a pares.

Definicion 3.5. Dos atlasA y B se dicen equivalentes si cada carta deA es compatible concualquier carta deB

Notas: El atlas es la parte que le da la estructura compleja a un espacio topologico, cuandodecimos que un espacio topologico tiene una estructura compleja nos referimos a que tiene un atlasdefinido.

Usando el lema de Zorn se puede demostrar que cualquier atlasesta contenido en ununicoatlas maximal; mas aun dos atlas son compatibles si y solo si estan contenidos en el mismo atlasmaximal. Por este hecho no incluimos en la definicion de variedad compleja la existencia de unatlas maximal, solo es necesario un atlas.

Definicion 3.6 (Variedad Compleja). Una variedad complejaM de dimension n (o n-variedadcompleja) es un espacio topologico de Hausdorff segundo numerable con un atlas de dimension ndefinido.

La condicion de ser segundo numerable es para evitar variedades extranas, cualquier variedadencontrada “en la naturaleza”, es decir, como subconjunto deCn sera segundo numerable. En par-ticular si una estructura compleja esta definida por un atlasnumerable entoncesM sera segundonumerable.

Definicion 3.7(Superficie de Riemann). Una superficie de Riemann es una variedad compleja dedimension compleja 1.

Ejemplo 3.8. Los siguientes son algunos ejemplos de superficies de Riemann:

1. SeaM = C, considerado topologicamente comoR2, con el atlas definido por:

ϕU(x, y) = x+ iy

paraU un abierto deC, esta superficie de Riemann es llamadael plano complejo.

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2. SeaM = S2, con la estructura compleja dada por las dos cartas

ϕ1 : S2 − (0,0,1) → C ϕ1(x, y,w) = x1−w + i y

1−w

ϕ2 : S2 − (0,0,−1) ϕ2(x, y,w) = x1+w − i y

1+w

con

ϕ−11 (z) =

(

2Re(z)|z|2 + 1

,2Im(z)|z|+1

,|z|2 − 1|z|2 + 1

)

ϕ−12 (z) =

(

2Re(z)|z|2 + 1

,−2Im(z)|z|2 + 1

,1− |z|2

|z|2 + 1

)

.

El dominio comun de ambas cartas esS2 − (0,0,±1), y es llevado biyectivamente porϕ1 yϕ2 aC∗ = C− 0. La composicionϕ2 ϕ

−11 (z) = 1

z, que es holomorfa en el abierto por lo quelas cartas son compatibles. Esta superficie de Riemann es laesfera de Riemann. Note que siuna carta de la esfera de Riemann tiene coordenada z, entoncesla otra tiene coordenada1z yhay un solo punto que no esta en la carta z. La esfera de Riemann suele escribirse comoC∞oC∪∞, con el plano complejoC representando una carta y el “punto al infinito”∞ el puntoextra. La esfera de Riemann es una superficie de Riemann compacta.

3. Seanw1 y w2 dos numeros complejos linealmente independientes sobreR. DefinimosL comola latiz

L = Zw1 + Zw2 = m1w1 +m2w2|m1,m2 ∈ Z.

La latiz L es un subgrupo del grupo aditivoC. SeaX = C/L el grupo cociente, con morfismoproyeccionπ : C → X. Note que viaπ podemos imponer la topologıa cociente aX, es decir,un conjuntoU ⊂ X es abierto si y solo siπ−1(U) es un abierto deC. Esta definicion hace aπContınua.

Ademasπ es un morfismo abierto, es decir,π lleva abiertos deC a abiertos deX. Si V esabierto deC para ver queπ(V) es abierto deX hay que mostrar queπ−1(π(V)) es abierto deC, pero

π−1(π(V)) =⋃

w∈L

(w+ V)

es la union de traslaciones de V, que son todas abiertos deC.

Para cualquierz ∈ C, definimos el paralelogramo

Pz = z+ λ1w1 + λ2w2 |λi ∈ [0,1]

Note que cualquier punto deC es congruente modulo L a un punto dePz. Por lo que laproyeccionπ lleva Pz a X, dado quePz es compacto tambien lo esX.

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La latiz L es un subconjunto discreto deC, por lo que existe unǫ > 0 tal que|w| > 2ǫpara cualquierw ∈ L − 0. Fijamos talǫ y un puntoz0 ∈ C. consideremos el disco abiertoD = D(z0, ǫ) de radioǫ y centrado enz0. La eleccion deǫ asegura que dos puntos deD nopueden diferir por un elemento deL.

Afirmamos que para cualquierz0 y ǫ como el escogido, la restriccion de la proyeccion π aldisco abiertoD lleva homoemorfamenteD al conjunto abiertoπ(D). Claramenteπ|D : D →π(D) es sobreyectivo, contınuo y abierto (por queπ lo es). Por lo que solo resta comprobarque es inyectivo; esto se sigue de la eleccion deǫ.

Ahora estamos listos para definir un atlas esX. Fijamosǫ como antes. Para cadaz0 ∈ C,tomamosDz0 = D(z0, ǫ) y definimosϕz0 : π(Dz0)→ Dz0 como la inversa deπ|Dz0

. Por todo loanterior, estasϕ’s son cartas en X.

Para finalizar la construccion hay que ver que estas cartas son compatibles. Escojamos dospuntosz1 y z2, y consideremos las cartasϕ1 y ϕ2:ϕ1 = ϕz1 : π(Dz1)→ Dz1 y ϕ2 = ϕz2 : π(Dz2)→ Dz2.SeaU = π(Dz1) ∩ π(Dz2). Si U es vacıo no hay nada que probar, siU no es vacıo, tomamosT(z) = ϕ2(ϕ−1

1 (z)) = ϕ2(π(z)) paraz ∈ ϕ1(U), debemos revisar queT sea holomorfa enϕ1(U).Notemos queπ(T(z)) = π(z) para todoz ∈ ϕ1(U), por lo queT(z) − z = w(z) ∈ L para todoz ∈ ϕ1(U). Esta funcionw : ϕ1(U)→ L es Contınua yL es discreta dado quew es localmenteconstante enϕ1(U) (es constante en las componentes conexas de U).Por esto, localmente,T(z) = z+ w para algun w ∈ L fijo y es por lo tanto holomorfa. Por lo que las cartas soncompatibles.

Ası concluimos queX es una superficie de Riemann compacta, comunmente llamadatorocomplejo.

Definicion 3.9(Genero topologico). El genero topologico de una superficie conexa y orientadaXes un entero que representa el numero maximo de curvas cerradas simples, disjuntas dos a dos, quese pueden trazar sobre la superficie sin dividirla, que es igual al numero de “asas” de la superficiey se denota porg(X) (ver figura 1).

Figura 1: genero topologico

Proposicion 3.10.Toda superficie de Riemann es orientable, conexa y difeomorfaa un g-toro (torocon g agujeros) para algun enterog ≥ 0.[4]

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Definicion 3.11(Multiplicidad). La multiplicidad deF en p, denotada pormultp(F), es elunicoenterom tal que hay coordenadas locales cerca dep y F(p) conF teniendo la formaz 7→ zm.

En particular, la multiplicidad es el exponente del menor termino positivo de la serie de poten-cia parah: si h(z) = h(z0) +

∑∞i=m ci(z− z0)i conm≥ 1 y cm , 0, entoncesmultp(F) = m

Definicion 3.12(Triangulacion). SeaS una variedad compleja (o 2-variedadC∞ real). Una trian-gulacion deS es una descomposicion deS en subconjuntos cerrados, cada uno homeomorfo a untriangulo, tales que cualesquiera dos triangulos son ya sea disjuntos , comparten un solo vertice oun solo lado.

Definicion 3.13(Numero de Euler). SeaS una variedad compleja conv vertices,l lados yt triangu-los. El numero de Euler (para esa triangulacion) es el entero

e(S) = v− l + t

Proposicion 3.14. El numero de Euler es independiente de la triangulacion. Para una variedadcompleja sin frontera de genero topologicog, el numero de Euler es 2-2g.[4, Proposicion II.4.15]

Teorema (Formula de Hurwitz). SeaF : X → Y una funcion holomorfa entre superficies deRiemann, Entonces

2g(X) − 2 = deg(F)(2g(Y) − 2)+∑

p∈X

(multp(F) − 1)

Como lo importante de un conjunto no son sus puntos sino las funciones que se definen en el,vamos a ver algunos tipos de funciones que podemos definir en superficies de Riemann

Definicion 3.15(Funciones holomorfas). SeaX una superficie de Riemann,p ∈ X, y sea f unafuncion complejo-valuada definida en una vecindadW de p. Decimos quef es holomorfa enpsi existe una cartaφ : U → V con p ∈ V, tal que la composicion f φ−1 es holomorfa enφ(p).Decimos que f es holomorfa enW si es holomorfa en cada punto deW.

Ejemplo 3.16. A continuacion algunos ejemplos de funciones holomorfas en superficies de Rie-mann

1. Cualquier carta, considerada como una funcion complejo-valuada en su dominio, es holo-morfa en su dominio.

2. Seaf una funcion complejo-valuada en un abierto deC. Entonces la definicion anterior defuncion holomorfa, considerando aC como superficie de Riemann, concuerda con la defini-cion usual.

3. Suponga quef y g son funciones holomorfas enp ∈ X. Entoncesf ±g y f ·g son holomorfasen p y si g(p) , 0 tambien lo esf /g

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4. Seaf una funcion de valores complejos en la esfera de RiemannC∞ definida en una vecindadde∞. Entonces f es holomorfa en∞ si y solo sif (1/z) es holomorfa enz= 0. En particular, sif es una funcion racionalf (z) = p(z)/q(z) f es holomorfa en∞ si y solo sideg(p) ≤ deg(q).

Definicion 3.17.Una funcion entre superficies de RiemannF : X→ Y es holomorfa enp ∈ X si ysolo si existen cartasφ1 : U1 → V1 enX con p ∈ U1 y φ2 : U2 → V2 enY conF(p) ∈ U2 tales quela composicionφ2 F φ−1

1 es holomorfa enφ1(p). Si F esta definida un conjunto abiertoW ⊂ X,entonces decimos queF es holomorfa enW si es holomorfa en cada uno de sus puntos.

Proposicion 3.18. SeaF : X → Y una funcion holomorfa definida enp ∈ X, la cual no esconstante. Entonces existe ununico enterom ≥ 1 que satisface la siguiente propiedad: para cadacartaφ2 : U2 → V2 en Y centrada enF(p), existe una cartaφ1 : U1 → V1 en X centrada enp talqueφ2(F(φ−1

1 (z))) = zm.

Demostracion.Fijemos una cartaφ2 enY centrada enF(p) y cualquier otra cartaψ : U → V enX centrada enp. Entonces la serie de Taylor de la funcion T(W) = φ2(F(ψ−1(w))) debe ser de laforma

T(w) =∞∑

i=m

c1wi

concm , 0 y m≥ 1 dado queT(0) = 0.Tenemos queT(w) = wmS(w) dondeS(w) es una funcion holomorfa enw = 0, y S(0) , 0.

En este caso existe una funcion R(w) holomorfa cerca de 0 tal queR(w)m= S(w), por lo que

T(w) = (wR(w))m. Seaη(w) = wR(w); dado queη′(0) , 0, notamos que cerca de 0 la funcion η esinvertible (por el teorema de la funcion implıcita) y holomorfa. Por esto, la composicionφ1 = η ψ

es tambien una carta enX definida y centrada cerca de p. Si definimos una nueva coordenada viaη,z= η(w), vemos quez y w se relacionan porz= wR(w). Ası

φ2(F(φ−1(z))) = φ2(F(ψ−1(η−1(z))))

= T(η−1(z))

= T(w)

= (wR(w))m

= zm.

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Proposicion 3.19. SeaF : X → Y una funcion holomorfa no constante entre superficies de Rie-mann. Si para caday ∈ Y, definimosdy(F) como la suma de multiplicidades deF en puntos deXque van ay:

dy(F) =∑

p∈F−1(y)

multp(F)

Entoncesdy(F) es constante independientemente de la eleccion dey.

Demostracion.La idea de la demostracion es probar que la funcion y 7→ dy(F) es localmente con-stante, dado queY es conexo, una funcion localmente constante es constante y terminamos.

Antes de empezar, consideremos el disco abiertoD = z ∈ C : ||z|| < 1 y la funcion f : D→ Ddada porf (y) = zm para algun enteron ≥ 1. Esta funcion es por supuesto holomorfa y sobreyec-tiva; con unaunica ramificacion enz = 0, donde la multiplicidad esm. En todos los otros puntosla multiplicidad es 1. Para cualquierw ∈ D si w , o existen exactamentem preimagenes, cadauna de multiplicidad uno; siw = 0, la unica preimagen esz = 0, que tiene multiplicidad m. Poreso esta funcion cumple las condiciones de la proposicion: la suma de las multiplicidades de laspreimagenes es constante e igual am.

Claramente si se tiene una union disjunta de tales funciones, es decir, una funcion de la uniondisjunta de discosD (cada una posiblemente con diferentes potenciasm), la condicion de constan-cia prevalece. La meta es mostrar que para cualquier funcion holomorfa no constanteF, como enla proposicion anterior,F es localmente la union disjunta de estas funciones potencia.

Fijemos un puntoy ∈ Y y que seax1, . . . , xn la imagen inversa dey bajo F. Escojamos unacordenada localw en Y centrada eny. Por la proposicion anterior podemos escoger coordenadaszi enX, conzi centrada enxi para cadai = 1, . . . ,n tales que en una vecindad dexi la funcion Fmandazi a w = zmi

i . Por lo tanto, si nos fijamos en estas vecindades dexi, tenemos exactamente ladescripcion como union disjunta deF.

Lo que falta es mostrar que, cerca dey, no hay otras preimagenes no contadas que no esten enlas vecindades de losxi. Aquı es donde se usa queX sea compacta.

Supongamos que, arbitrariamente cerca dey, hay preimagenes que no estan en las vecindadesde losxi. Con esto, podriamos encontrar una sucesion de puntos, ninguno en las vecindades de losxi tales que las imagenes bajoF convergen ay ∈ Y. Dado queX es compacto podemos extraeruna subsucesion convergente,pn: esta sucesion converge a un puntox ∈ X y la sucesion de susimagenesF(pn) converge ay. Dado queF es Contınua el punto lımite x debe tener por imagen ay, F(x) = y, por lo quex esta en alguna de las vecindades de losxi, lo cual es una contradiccion.Esto prueba que no habıa ninguna preimagen sin contar lo que termina la demostracion

Esta proposicion motiva la siguiente definicion.

Definicion 3.20.SeaF : X→ Y una funcion holomorfa no constante entre superficies de Riemann.El grado deF , denotado pordeg( f ), es el enterody(F) para cualquiery ∈ Y.

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Tambien podemos analizar la singularidades de funciones holomorfas en superficies de Rie-mann como lo hacıamos enC. SeaX una superficie de Riemann,p un punto deX, y f una funcioncomplejo-valuada definida y holomorfa en una vecindad agujerada de p (Un conjunto de la formaU − p dondeU es una vecindad dep). El concepto del tipo de singularidad (removible, polo,esencial) puede ser extendido a superficies de Riemann facilmente del de variable compleja.

Definicion 3.21.Seaf una funcion holomorfa en una vecindad agujerada dep ∈ X

a) Decimos quef tiene una singularidad removible enp si y solo si existe una cartaφ : U → Vcon p ∈ U, tal que la composicion f φ−1 tiene una singularidad removible enφ(p)

b) Decimos quef tiene un polo enp si y solo si existe una cartaφ : U → V con p ∈ U, tal que lacomposicion f φ−1 tiene un polo enφ(p)

c) Decimos quef tiene una singularidad esencial enp si y solo si existe una cartaφ : U → V conp ∈ U, tal que la composicion f φ−1 tiene una singularidad esencial enφ(p)

Gracias a estas definiciones podemos investigar el tipo de singularidad def en p analizando elcomportamiento def (x) parax cerca dep.

a) Si | f (x)| es acotado en una vecindad dep, entoncesf tiene una singularidad removible enp.Mas aun, en este casolimx→p f (x) existe y si definimosf (p) como ese limite entoncesf esholomorfa enp.

b) Si | f (x)| tiende a∞mientrasx se acerca ap, entoncesf tiene un polo enp

c) Si | f (x)| no tiene limite cuandox se acerca ap, entoncesf tiene una singularidad esencial enp

Definicion 3.22(Funcion meromorfa). Una funcion f enX superficie de Riemann es meromorfa enun puntop ∈ X si es holomorfa en el punto, tiene una singularidad removible o tiene un polo enp.Decimos quef es meromorfa en un abiertoW si es meromorfa en cada punto deW. Tambien hayun haz de funciones meromorfas definido de manera similar al de funcines holomorfas y se denotaporM

Ejemplo 3.23. Ahora presentamos unos ejemplos de funciones meromorfas

1. Seaf una funcion complejo-valuada en un abierto deC. Entonces la definicion anterior defuncion meromorfa coincide con la usual.

2. Suponga quef y g son ambas meromorfas enp ∈ X. Entoncesf ± g y f · g son meromorfasen p y si g no es identicamente cero entoncesf /g es meromorfa enp. De hecho cualquierfuncion meromorfa en un puntop es localmente el cociente de dos funciones holomorfas.

3. Consideremos el toro complejoC/L, con morfismo cocienteπ : C → C/L. Seaf : W→ Cuna funcion de valores complejos en el abiertoW ⊂ C/L. Entoncesf es meromorfa en unpunto p ∈ W si y solo si hay una preimagenz de p enC tal que f π es meromorfa enz. Ademasf es meromorfa enW si y solo si f π es meromorfa enπ−1(W). Notemos queg = f π es siempre L-periodica, esto es,g(z+w) = g(z) para cadaz ∈ C y w ∈ L. De hechohay una correspondencia 1-1 entre funciones L-periodicas enC y funciones enC/L.

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Definicion 3.24(Orden de una funcion meromorfa). Seaf una funcion meromorfa enp, cuya seriede Laurent en una coordenada localz es

∑

n cn(z− z0)n. El orden def en p, denotado porordp( f ),es el mınimo exponente que aparece en la serie (con coeficiente no cero):

ordp( f ) = minn|cn , 0.

Proposicion 3.25. Suponga quef es meromorfa enp. Entonces f es holomorfa enp si y solo siordp( f ) ≥ 0. En este casof (p) = 0 si y solo siordp( f ) > 0. f tiene un polo enp si y solo siordp( f ) < 0. f no tiene un cero ni un polo enp si y solo siordp( f ) = 0 [4, Lema II.1.28]

Decimos quef tiene un cero de ordenn en p si ordp( f ) = n ≥ 1 y decimos que tiene un polode ordenn si ordp( f ) = n < 0.

Una funcion real-valuada de variable complejaz= x+ iy esC∞ en un puntoz0 si, como funcionde “x” y “y”, tiene derivadas parciales Contınuas de cualquier orden enz0. Una funcion de valorescomplejos esC∞ si sus partes real e imaginaria lo son. Este concepto se llevainmediatamente asuperficies de Riemann usando la misma construccion de antes.

Definicion 3.26(FuncionesC∞). Una funcion f definida en una superficie de RiemannX esC∞ enun puntop si hay una cartaφ : U → V en x conp ∈ U tal que f φ−1 esC∞ enφ(p)

Para revisar que una funcion seaC∞ cualquier carta puede ser usada. Sif esta definida en todoX es suficiente analizar localmente utilizando cualquier atlas de cartas enX.

Ahora que estamos familiarizados con haces y superficies de Riemann vamos a definir unoshaces que necesitaremos mas adelante.

Definicion 3.27(Haz de funciones holomorfas). Si paraU,V abiertos de una superficie de RiemannX

O∗(U) =funciones holomorfas sin ceros en U

y rU,V es el morfismo restriccion del dominio deU a V, esto define un haz sobreX, el haz defunciones holomorfasO∗X

Dado que toda funcion f ∈ O∗(U) tiene inversa enU por ser holomorfa y sin ceros enU, elconjuntoO∗(U) es un grupo multiplicativo, ahora probaremos las cuatro propiedades necesarias dela definicion:

1.Dado que el morfismo restriccion es solo la restriccion del dominio es claro que para cualquierf ∈ O∗(U) rU,U( f ) = f |U = f

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2.SiU ⊂ V ⊂W y f ∈ O(W)rV,W( f ) = f |V

por lo querU,V rV,W( f ) = rU,V( f |V) = f |V|U = f |U = rU,W( f )

3.Si f ,g ∈ O∗(∪Ui) y f |Ui = g|Ui para cualquieri entoncesf = g pues six ∈ ∪U j entoncesx ∈ Ui

para algun i por lo quef (x) = f |Ui (x) = g|ui (x) = g(x)

4.SiU,V ⊂ M y f ∈ O∗(U),g ∈ O∗(V) tales que

f |U∩V = g|U∩V

definimos

h(x) =

f (x), si x ∈ U\V

g(x), si x ∈ V

Esta funcion es claramente holomorfa enU ∪ V y ademas

h|U = f y h|V = g

Con lo que nos aseguramos queO∗X es un haz.

Otro haz que es muyutil es el de 1-formas, pero aun no tenemos 1-formas definidas en superfi-cies de Riemann y es lo que haremos a continuacion.

Primero hay que tener en mente lo que es una 1-forma holomorfa.

Definicion 3.28(1-forma holomorfa). Una 1-forma holomorfa en un conjunto abiertoV ⊂ C esuna expresionω de la forma

ω = f (z)dz

donde f es una funcion holomorfa enV. Decimos queω es una 1-forma holomorfa en la coordenadaz.

Este es el objeto que queremos transportar a superficies de Riemann mediante cartas y para hac-erlo requeriremos compatibilidad cuando dos cartas compartan dominio y esto motiva lo siguiente.

Definicion 3.29. Supongamos queω1 = f (z)dz es una 1-forma holomorfa en la coordenadaz,definida en el abiertoV1 y queω2 = g(w)dw es una 1-forma en la coordenadaw, definida en elabiertoV2. Si z= T(w) define una funcion holomorfa deV2 aV1. Decimos queω1 se transforma enω2 bajoT si g(w) = f (T(w))T′(w).

Notemos que la definicion anterior esta preparada para que la expresion deω1 se transforme enla expresion deω2 cuando tengamosdz= T′(w)dw

Tambien hay que notar que siT es invertible con inversaS, entoncesω1 se transforma enω2

bajoT si y solo siω2 se transforma enω1 bajoS.Con esto dicho estamos listos para transportar esta construccion a una superficie de

Riemann.

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Definicion 3.30.SeaX una superficie de Riemann. Una 1-forma holomorfa enX es una coleccionde 1-formas holomorfasωα, una por cada cartaφ : U → V, tales que si dos cartasφi : Ui → Vi,i = 1,2, tienen dominios no disjuntos, entonces la 1-forma holomorfa asociadaωφ1 se transforma aωφ2 bajo el cambio de coordenadasT = φ1 φ

−12 .

Tambien podemos definir 1-formas meromorfas, el proceso es exactamente igual salvo quecuando definamos la 1-forma unC comoω = f (z)dz, f sera meromorfa, todo lo demas es igual.

Para definir 1-formasC∞ usaremos la notacion dedzy dz

Definicion 3.31(1-formasC∞). Una 1-formaC∞ en un abiertoV ⊂ C es una expresionω de laforma

ω = f (z, z)dz+ g(z, z)dz

dondedz= dx+ idy, dz= dx− idy, paraz= x+ iy, f y g son funcionesC∞ enV. Decimos queωes una 1-formaC∞ en la coordenada z.

La regla de transformacion es la siguiente:

Definicion 3.32. Supongamos queω1 = f1(z, z)dz+ g1(z, z) es una 1-formaC∞ en la coordenadaz, definida en el abiertoV1 y queω2 = f2(w,w)dw+ g2(w,w) es una 1-forma en la coordenadaw,definida en el abiertoV2. Si z= T(w) define una funcion holomorfa deV2 aV1. Decimos queω1 setransforma enω2 bajoT si f2(w,w) = f1(T(w),T(w))T′(w) y g2(w,w) = g1(T(w),T(w))T′(w).

Notemos que la definicion esta hecha de este modo por la regla de la cadena: siz = T(w),entoncesdz= T′(w)dwy dz= T′(w)dw. Tambien notemos que la partedzse transforma en la partedwy la partedzendw, no se mezclan tras el cambio de coordenadas. Esta es la razon para usar′′z′′

y ′′z′′ en vez de′′x′′ y ′′y′′

Usamos el mismo metodo de antes para movernos a superficies de Riemann.

Definicion 3.33. SeaX una superficie de Riemann. Una 1-formaC∞ en X es una coleccion de 1-formasC∞ ωα, una por cada cartaφ : U → V, tales que si dos cartasφi : Ui → Vi, i = 1,2, tienendominios no disjuntos, entonces la 1-formaC∞ asociadaωφ1 se transforma aωφ2 bajo el cambio decoordenadasT = φ1 φ

−12 .

Definicion 3.34(Diferenciales de funciones). Sea f una funcion C∞ definida en una superficie deRiemann definimos lasc∞ 1-formasd f , ∂ f y ∂ f en X por la siguiente regla. Seaφ : U → V unacarta denX dando una coordenada localz. Escribimosf enU en terminos de la coordenada localcomo f (z, z). Definimos

∂ f = ∂ f∂zdz, ∂ f = ∂ f

∂zdz,

y

d f = ∂ f + ∂ f =∂ f∂z

dz+∂ f∂z

dz

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Proposicion 3.35. Una funcion C∞ es holomorfa si y solo si∂ f = 0 [4, Lema IV.2.1]. Los oper-adoresd, ∂ y ∂ sonC-lineales y cumplen las reglas del producto

d( f g) = f dg+ gd f; ∂( f g) = f∂g+ g∂ f ; ∂( f g) = f∂g+ g∂ f

Una 1-formaC∞ ω se diceexactaen un abierto si existe una funcionC∞ definida enU tal qued f = ω enU.

Definicion 3.36(Producto Cuna). Seanω1 y ω2 dosC∞ 1-formas enX. Escogiendo una variablelocal z para escribirω1 = f1dz+ g1dz y ω2 = f2dz+ g2dz. Definimos con respecto a esta variablelocal laC∞ 2-formaω1 ∧ ω2 como

ω1 ∧ ω2 = ( f1g2 − f2g1)dz∧ dz.

Definicion 3.37(Diferenciales de 1-formas). Seaω una 1-formaC∞ en una superficie de RiemannX. Definimos lasC∞ 2-formasdω, ∂ω y ∂ω con la siguiente regla. Seaφ : U → V una cartaen X dando una coordenada localz. Escribimosω enU en terminos de la coordenada local comof (z, z)dz+ g(z, z)dz y definimos

∂ω =∂g∂zdz∧ dz, ∂ω = −

∂ f∂zdz∧ dz

y

dω = ∂ω + ∂ω = (∂g∂z

)dz∧ dz.

Definicion 3.38. UnaC∞ 1-forma es del tipo(1,0) si localmente se escribe comof (z, z)dzy es deltipo (0,1) si localmente tiene la formag(z, z)dz.

Proposicion 3.39. Una C∞ 1-formaω del tipo (1,0) es holomorfa si y solo si∂ω = 0[4, LemaIV.2.3]. Los operadoresd, ∂ y ∂ sonC-lineales y cumplen las reglas de producto

d( fω) = d f ∧ ω + f dω; ∂( fω) = ∂ f ∧ ω + f∂ω; ∂( fω) = ∂ f ∧ ω + f∂ω

si f es una funcionC∞ y ω unaC∞ 1-forma. Ademas tenemos que

dd f = ∂∂ f = ∂∂ f = 0

para cualquier funcionC∞.Tambien notemos que

∂∂ f = −∂∂ f

para funcionesC∞

UnaC∞ 1-forma se diced-cerrada(o simplemente cerrada) sidω = 0; es∂-cerrada si∂ω = 0y ∂-cerrada si∂ω = 0.

Notemos que, dado quedd f = 0, toda forma exacta es cerrada, similares observaciones sepueden hacer para∂-exactas y∂-exactas.

Ahora definimos el haz que queriamos

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Definicion 3.40 (Haz de 1-formas holomorfas). SeaX una superficie de Riemann el haz de 1-formas holomorfas enX, que se denota conΩ1

X, se define por

Ω1(U) = 1-formas holomorfas en U

paraU un abierto deX.

Este es claramente un haz ya que las propiedades de las 1-formas no son afectads por las restric-ciones y por que pueden ser definidas localmente sin problemas. El haz de 1-formas meromorfasen XM(1)(X) se define de manera analoga sin mayores complicaciones.

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4. Cohomologıa de Haces

SeaF un haz enM y U = Uα una cubierta abierta localmente finita, definimos

C0(U,F) =∏

α

F(Uα),

C1(U,F) =∏

α,β

F(Uα ∩ Uβ),

...

Cp(U,F) =∏

α0,α1,···,αp

F(Uα0 ∩ Uα1 ∩ · · · ∩ Uαp).

Un elementoσ = σI ∈ F(∩Uik)#I=p+1 deCp(U,F) es llamadop-cocadenadeF. Ahora defini-mos un operador cofrontera

δ : Cp(U,F)→ Cp+1(U,F)

con la formula

(δσ)io,...,ip+1 =

p+1∑

j=0

(−1)jσi0,...,i j ,...,ip+1

∣

∣

∣Ui0∩···∩Ui p

(i j significa remover el j-esimo subindice)En particular, siσ = σU ∈ C0(U,F),

(δσ)U,V = (−σU + σV)|U∩V;

y siσ = σU,V ∈ C1(U,F),

(δσ)U,V,W = (σUV + σVW − σUW)|U∩V∩W;

Una p-cocadenaσ ∈ Cp(U,F) es llamadacociclo si δσ = 0. Notese que un cociclo debesatisfacer la condicion

σi0,...,ip = −σi0,...,iq−1,iq+1,iq,iq+2,...,ip

σ es llamadocofronterasi σ = δτ para algun τ ∈ Cp−1(U,F). Es facil notar queδ2= 0, es decir,

toda cofrontera es un cociclo y escribimos

Zp(U,F) = Kerδ ⊂ Cp(U,F)

y

Hp(U,F) =Zp(U,F)

δCp−1(U,F)

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Dadas dos cubiertasU = Uαα∈I y U′ = U′ββ∈I ′ de M, decimos queU′ es un refinamiento deU si para cadaβ ∈ I ′ existeα ∈ I tal queU′β ⊂ Uα; escribimosU′ < U. Si U′ < U, podemosescoger una funcionϕ : I ′ → I tal queU′β ⊂ Uϕβ para todoβ: entonces tenemos una funcion

ρϕ : Cp(U,F)→ Cp(U′,F)

dado por(ρϕσ)β0...βp = σϕβ0...ϕβp

∣

∣

∣Uβ0∩...∩Uβp

Se puede demostrar queδ ρϕ = ρϕ δ por lo queρϕ induce un morfismo

ρ : Hp(U,F)→ Hp(U′,F)

que es independiente de la eleccion deϕPara deshacernos de la dependencia de la cubierta elegida necesitamos utilizar ellımite directoypara ello definimos lo siguiente.

Definicion 4.1(Categorıa). Una categorıaC consiste de:

i) Una claseob(C) de objetos

ii) Una clasehom(C) de morfismos (flechas). Cada morfismo tiene ununico objeto de salida “a”y un unico objeto de llegada “b” dondea,b ∈ ob(C), se escribe comof : a→ b y decimos que f esun morfismo de “a” a “b”. Denotamos porhom(a,b) la clase de todos los morfismos de “a” a “b”(algunos autores escribenhomC(a,b) o Mor(a,b)).

iii) Para cada tres objetosa,b, c ∈ ob(C), una operacion binaria : hom(a,b)xhom(b, c) hom(a, c)llamadocomposicion de morfismos; la composicion de f : a → b con g : b → c se escribeg f : a→ c dicha funcion debe cumplir los axiomas de

Asociatividad:Sif : a→ b, g : b→ c y h : c→ d entoncesh (g f ) = (h g) f .

Identidad: Para cualquier objetox ∈ ob(C) existe un morfismoidx ∈ hom(x, x) llamadomorfis-mo identidad de xtal que para cualquierf : a→ b enhom(a,b) se satisface queidb f = f ida

Nota: En una categorıa los objetos no tienen que ser conjuntos ni los morfismos tienen que serfunciones.

Ejemplo 4.2. i) La categorıa S eten la cualob(S et) es la clase de todos los conjuntos,hom(S et)son las funciones entre conjuntos y el morfismo composicion es la composicion usual.

ii) La categorıa Grp con todos los grupos como objetos, morfismos de grupos como flechas yla composicion usual.

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Definicion 4.3(Functor). SeanC y D dos categorıas, un functorF deC aD asocia a cada objetox ∈ C un objetoF(x) ∈ D y a cada morfismof : x→ y enhom(C) un morfismoF( f ) : F(x)→ F(y)enhom(D) satisfaciendo las siguientes condiciones:

i)F(idx) = idF(x) para cualquier objetox ∈ ob(C

ii) F(g f ) = F(g) F( f ) para cualesquiera morfismosf ∈ hom(x, y),g ∈ hom(y, z)

Definicion 4.4(Sistema Directo). SeaI un conjunto con una relacion de orden parcial definida yCuna categorıa. Un sistema directo enC con conjunto de indicesI es un functorF : I → C, dondepara cadai ∈ I existe un objetoFi y siempre que parai, j ∈ I se satisfacei ≤ j, existe un morfismoϕi

j : Fi → F j tal quei) ϕi

i : Fi → Fi es la identidad para cadai ∈ Iii) Si i ≤ j ≤ k, entonces hay un diagrama conmutativo

Fi Fk

F j

//ϕi

k

??

???

ϕil

??ϕ

jk

Ejemplo 4.5. EnC la categorıa de los modulos tenemos los siguientes ejemplos:

i) Para cualquierI , fijamos un moduloA y tomamos aAi = A para todoi ∈ I y ϕij = 1A para

todo i ≤ j, este es el sistema directo constante con indices enI denotado por [A].

ii) Si I tiene la relacion de orden parcial triviali ≤ j si y solo sii = j un sistema directo conindices enI es una familia indizada de modulos fi |i ∈ I .

iii) Si I = 1,2,3, con la relacion 1< 2 y 1< 3, un sistema directo es el diagrama

F1 F3

F2

//

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Definicion 4.6 (Lımite Directo). SeaF = Fi , ϕij un sistema directo enC. El lımite directo de

este sistema, denotado porlim−−→

Fi, es un objeto y una familia de morfismosαi : Fi → lim−−→

Fi con

αi = α j ϕij siempre quei ≤ j que satisfacen el siguiente problema universal de morfismos:

lim−−→

Fi X

Fi

F j

//________β

__????????αi

??

fi

ϕi

j

WW//////////////////

α j

GG

fi

para cualquier objetoX y cada familia de morfismosfi : Fi → X con fi = f j ϕij siempre que

i ≤ j, hay ununico morfismoβ : lim−−→

Fi → X haciendo que el diagrama de arriba conmute.

Ejemplo 4.7. Los siguientes son los lımites directos de los sistemas directos mencionados en elejemplo anterior

i) El l ımite directo del sistema directo constante [A] esA

ii) Si I tiene el orden parcial trivial, entonceslim−−→

Fi =∐

Fi el coproducto de losFi que se definecomo sigueSiC es una categorıa y Xi |i ∈ I es una familia indizada de objetos deC el coproducto del conjuntoXi |i ∈ I es un objetoX junto con una familia de morfismosi j : Xj → X, que satisfacen el problemauniversal

X

Xj Y

??

??

?f

OO i j

//

f j

Para cualquier objetoY y coleccion de morfismosf j : Xj → Y existe ununico morfismof : X→ Ytal quei j f = f j

iii)Si I = 1,2,3 con el orden parcial ya descrito, entonces el lımite directo es llamado elpushout. Retomando el diagrama del ejemplo

F1 F3

F2

//

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El pushout es un moduloF y morfismosαy β tales que

F1 F3

F2 F

//a

b

β

//α

Conmuta

Continuando con la construccion del grupo de cohomologia deF enM

Definicion 4.8(Cohomologıa deCech). Dado un hazF enM el p-esimo grupo de cohomologia deCech deF enM es el lımite directo deHp(U,F) mientrasU se vuelve mas fina:

Hp(M,F) :=lim

GGGGGGGA

UHp(U,F).

Por comodidad escribiremosh∗(M,F) = dimH∗(M,F) y cuando exista la posibilidad de confusiondenotaremos porH a los grupos de cohomologıa deCech. Tambien es usual omitir el espacio dedefinicion del haz escribiendoH∗(F) en vez deH∗(M,F). Claramente, para cualquier cubiertaU

H0(M,F) = H0(U,F) = F(M).

Ejemplo 4.9. Vamos a calcular la cohomologia deCech deS1. Tomemos la cubierta estandar deS1

por dos hemisferiosU1 y U2, ambos homeomorfos aR. Su interseccion consiste de dos intervalosabiertos disjuntos. Por lo tanto el complejo deCech para el caso en queF = Z es

Z x Z→ Z x Z (a,b)→ (a− b,a− b).

Esto determina la cohomologia deCech deS1 con respecto a esta cubierta, de hecho tambienen el lımite:H(S1,Z) = Z parai = 1,0 y es 0 en cualquier otro caso.

La definicion deH∗(M,F) es algo complicada para calcular los grupos de cohomologiapor loque nos convendrıa tener una simple condicion suficiente para la cubiertaU para que

H∗(M,F) = H∗(U,F)

y la obtenemos del siguiente teorema.

Teorema 4.10(de Leray). Si la cubiertaU es aciclica para el hazF en el sentido de que

Hq(Ui1 ∩ · · · ∩ Uip,F) = 0

paraq > 0 y cualquieri1 · · · ip, entoncesH∗(M,F) H∗(U,F)

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La propiedad mas basica de la cohomologia de haces es: Dada una sucesion exacta

0→ Eα→ F

β→ G → 0

de haces enM, tenemos morfismos

Cp(U,E)α→ Cp(U,F), Cp(U,F)

β→ Cp(U,G)

que conmutan conδ por lo que inducen morfismos

Hp(M,E)α∗

→ Hp(M,F), Hp(M,F)β∗

→ Hp(M,G)

Despues definimos el morfismo cofronteraδ∗ : Hp(M,G) → Hp+1(M,E) : dado unσ ∈Cp(U,G) con δσ = 0, siempre podemos pasar a un refinamientoU′ de U y encontrar unτ ∈Cp(U′,F) tal queβ(τ) = ρσ. Entoncesβδτ = δβτ = δρσ = 0 por lo que pasando a un nuevorefinamientoU′′ podemos encontrar unµ ∈ Cp+1(U′′,E) tal queαµ = δτ; αδµ = δαµ = δ2τ = 0 ydado queα es inyectivo esto implica queδµ = 0. Asi puesµ ∈ Zp+1(U′′,E) y tomamosδ∗σ = [µ] ∈Hp+1(M,E).

Hecho Basico. La sucesion

0→ H0(M,E)→ H0(M,F)→ H0(M,G)

→ H1(M,E)→ H1(M,F)→ H1(M,G)→ · · ·

...

→ Hp(M,E)→ Hp(M,F)→ Hp(M,G)→ · · ·

es exacta.

Para la mayorıa de las sucesiones exactas 0→ E → F → G → 0 que surgen naturalmenteexisten cubiertas arbitrariamente finasU tales que para cualquier conjunto abiertoU = Uio ∩ . . . ∩ Uip, la sucesion

0→ E(U)→ F(U)→ G(U)→ 0

es exacta. Asi, podemos encontrar cubiertas arbitrariamente finasU de M para la cual los gruposde cocadenas forman una sucesion exacta

0→ Cp(U,E)→ Cp(U,F)→ Cp(U,G)→ 0

23

En este caso, es facil verificar nuestro hecho basico: por ejemplo, para ver que

Hp(U,F)β∗

→ Hp(U,G)δ∗

→ Hp+1(U,E)

es exacta, seaσ ∈ Cp(U,G) conδσ = 0 y δ∗σ = 0 enHp+1(U,E). Entonces existeτ ∈ Cp(U,F) talqueβτ = σ y µ ∈ Cp+1(U,F) tal queαµ = δτ; por definicion µ = δ∗σ en Hp+1(U,E), por lo queµ = δν para algunν ∈ Cp(U,E). Entoncesτ−αν es un cociclo enCp(U,F) conβ(τ−αν) = βτ = σ,mostrando queσ ∈ β∗(Hp(U,F)). inversamente, es claro queδ∗β∗ = 0. Las siguientes partes sonsimilares.

La aplicacion mas comun de la sucesion exacta de cohomologıa asociada a la sucesion de haces

0→ Eα→ F

β→ G → 0

es responder a la pregunta: ¿Dada una seccion globalσ deG, cuando esσ la imagen bajoβ de unaseccion global deF? La respuesta, de acuerdo a la sucesion exacta de cohomologia, es que ocurreexactamente cuandoδ∗σ = 0 enH1(M,E).

24

5. Divisores

Los divisores son , a primera vista, una forma de organizar enun paquete los ceros y polos deuna funcion meromorfa o 1-forma. Resulta que esta aparentemente simple idea tiene muchas otraaplicaciones.

Definicion 5.1(Soporte). SeaX una superficie de Riemann. Denotaremos porZX al grupo de todaslas funciones deX a los enteros, que es un grupo aditivo. Dada una funcion D : X→ Z, el soportedeD es el conjunto de puntosp ∈ Z dondeD(p) , 0.

Definicion 5.2(Divisor). Un divisor enX es una funcion D : X → Z cuyo soporte es un subcon-junto discreto deX. Los divisores deX forman un grupo aditivo denotado porDiv(X).

De aquı se sigue que siX es una superficie de Riemann compacta, entonces la funcion D : X→Z es un divisor si y solo si tiene soporte finito; por lo tanto el grupo Div(X) paraX compacta esexactamente el grupo abeliano libre en el conjunto de puntosdeX.

Usualmente denotamos un divisorD con la notacion de suma escribiendo

D =∑

p∈X

D(p) · p

oD =

∑

ni pi

donde el conjunto de puntos dondeD(p) = ni , 0 es discreto. Consideramos enDiv(X) el ordenparcial inducido por el orden enZ

∑

ni pi ≥∑

miqi , si y solo sini ≥ mi ,∀i

Un divisor D se llamaefectivosi D ≥ 0.

Definicion 5.3 (Grado de un divisor). El grado de un divisor en una superficie de Riemann com-pacta es la suma de los valores deD:

deg(D) =∑

p∈X

D(p).

La suma anterior esta bien definida porque el soporte deD es finito.La funciondeg: Div(X)→ Z es un morfismo de grupos. Su kernel es el subgrupoDiv0(X) que

consiste de los divisores de grado 0.

Definicion 5.4 (Divisor de una funcion meromorfa). SeaX una superficie de Riemann yF unafuncion meromorfa no identicamente cero enX. El divisor de f , denotado por (f ), es el divisordefinido por la funcion de orden:

( f ) =∑

p

ordp( f ).p

Cualquier divisor de esta forma es llamadodivisor principal en X. El conjunto de divisoresprincipales enX se denota porPDiv(X), es un subgrupo deDiv(X) y cuando X es compacta essubgrupo deDiv0(X).

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Proposicion 5.5. Si f es una funcion meromorfa no cero en una superficie de Riemann compacta,entoncesdeg(( f )) = 0 [4, Lema V.1.5]

Esta proposicion es equivalente a decir que la suma de los ordenes de una funcion meromorfaen una superficie de Riemann es cero.

Definicion 5.6(Equivalencia de divisores). En el conjuntoDiv(X) definimos la relacion≡: D1 ≡ D2

si y solo si existe una funcion meromorfa tal que (f ) = D1 − D2

Proposicion 5.7. SeaX una superficie de Riemann, entonces:

(a) La relacion≡ es una relacion de equivalencia enDiv(X)

(b) Un divisor es equivalente a cero si y solo si es un divisor principal

(c) Si X es compacta entonces divisores equivalentes tienen el mismo grado, i.e., siD1 ≡ D2

entoncesdeg(D1) = deg(D2). [4, Lema V.2.2]

Ejemplo 5.8. SeaX la esfera de RiemannC∞, con coordenadaz en el plano finitoC. Sea f (z)cualquier funcion racional que podamos factorizar y escribir de la forma

f (z) = cn

∏

i=1

(z− λi)ei

donde losei, son enteros y kisλi son numeros complejos. Entonces

( f ) =n

∑

i=1

ei · λi − (n

∑

i=1

ei) · ∞

A vecesutil enfocarse solo en los ceros o polos de una funcion meromorfaf .

Definicion 5.9. El divisor de ceros def , denotado pordiv0( f ), es el divisor

div0( f ) =∑

p conordp( f )>0

ordp( f ) · p

similarmente, el divisor de polos def , denotado pordiv∞( f ), es el divisor

div∞( f ) =∑

p conordp( f )<0

−ordp( f ) · p

Notemos que ambos divisores son funciones no negativas, consoporte disjunto y

( f ) = div0( f ) + div∞( f ).

Podemos definir tambien divisores de 1-formas meromorfas como sigue

26

Definicion 5.10. Seax una superficie de Riemann yω una 1-forma meromorfa enX que no esidenticamente cero. El divisor deω, denotado por (ω), es el divisor definido por la funcion deorden:

(ω) =∑

p

ordp(ω) · p

Cualquier divisor de esta forma es llamadodivisor canonicoenX. La clase de divisores canonicosdeX es denotado porK(X).

Ejemplo 5.11. Seaω la 1-formadz definida en la esfera de Riemann. Entonces (ω) = −2 · ∞,dado queω no tiene ceros, y tiene un polo doble en∞. Mas generalmente siω = f (z)dz, dondef = c

∑

i (z− λi)ei es una funcion racional dez, entonces

(ω) =∑

i

ei · λi − (2+∑

i

ei) · ∞.

En particular, dichas 1-formas meromorfas enC∞ tienen grado -2.

Tenemos la formula( fω) = ( f ) + (ω)

Cuandof es una funcion meromorfa no cero yω es una 1-forma meromorfa no cero enX.La formula de arriba se puede generalizar con la siguiente proposicion.

Proposicion 5.12. Seanω1 y ω2 dos 1-formas meromorfas en una superficie de RiemannX, conω1 no identicamente cero. Existe unaunica funcion meromorfaf en X con (ω2) − (ω1) = ( f ) [4,lema V.1.12]

Corolario 5.12.1. El ConjuntoKDiv(X) es exactamente una clase lateral del subgrupoPDiv(X) dedivisores principales. En otras palabras, la diferencia decualesquiera dos divisores canonicos es undivisor principal.

Por lo que tenemosKDiv(X) = (ω) + PDiv(X)

Para cualquier 1-forma meromorfa no cero.

Tambien notemos que podemos definir el concepto de divisor de cerosy de polos en 1-formasmeromorfas de la misma manera que con funciones meromorfas.

SeaX una superficie de Riemann compacta de generog. Supongamos quef es una funcionmeromorfa enX; consideremosF como una funcion holomorfaF : X→ C∞ con gradod. Entoncespor la formula de Hurwitz, tenemos que

∑

p

(multp(F) − 1) = 2g− 2+ 2d

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Consideremos ahora la 1-forma meromorfaω enC∞ de grado -2, definida porω = dz; esta tieneun doble polo en∞ y no tiene ningun otro polo o cero. Seaη = F∗(ω) el pullbackdeω enX, no esdifıcil notar, usando la formula de Hurwitz, que el grado de (η) es 2g-2.

Este calculo motiva la siguiente proposicion

Proposicion 5.13. Si X es una superficie de Riemann compacta de genero “g” con una funcionmeromorfa no constante, entonces existe un divisor canonico enX de grado 2g-2.[4, ProposicionV.1.14]

Se puede demostrar que toda superficie de Riemann compacta tiene una funcion meromorfa noconstante, pero esto es altamente no trivial.

A continuacion vamos a definir otros haces importante para este trabajo.

Definicion 5.14(Haz asociado a un divisor). SeaD un divisor en una superficie de RiemannXdefinimos elhaz asociado a D, OX(D), con la asignacion

D 7→ OX(D)(U) = f ∈ MX(U) |( f ) ≥ −D |U

paraU un abierto deX

Definicion 5.15.Para un divisorD definimos los gruposH0(OX(D)) y H1(OX(D) como sigue

H0(OX(D)) = f : X→ C |( f ) ≥ −D ∪ 0

H1(OX(D) = ω, diferenciales meromorfas tales que (ω) ≥ D ∪ 0

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6. Teorema de Riemann-Roch

En esta ultima seccion primero enunciaremos lo que falta para demostrar el teorema de Riemann-Roch.

Definicion 6.1(Caracterıstica de Euler). SeaX una variedad compleja yF un haz enX. Definimosla caracterıstica de Eulercomo

χ(F) =∑

(−1)ihi(X,F)

Proposicion 6.2. Si0→ F′ → F→ F′′ → 0

es exacta, entoncesχ(F) = χ(F′) + χ(F′′)

Esto se puede demostrar usando la sucesion exacta

0→ H0(M,F′)→ H0(M,F)→ H0(M,F′′)

→ H1(M,F′)→ H1(M,F)→ H1(M,F′′)→ · · ·...

→ Hp(M,F′)→ Hp(M,F)→ Hp(M,F′′)→ · · ·

y el hecho de que∑

(−1)idim(Vi) = 0 para cualquier sucesion exacta

· · · → Vk → Vk+1→ Vk+2→ · · ·

de espacios vectoriales.

Proposicion 6.3(Dualidad de Serre). Supongamos que sobreX existe una diferencial meromorfaω , 0. Entonces tenemos un isomorfismo natural:

Φω : H0(OX(D))→ H1(OX(K − D)).

Demostracion.El isomorfismo esta dado por: si (f ) ≥ −D le asignamos af la diferencialf ·ω.

Proposicion 6.4. SeaD un divisor sobreX, entoncesh0(OX(D)) y h1(OX(D)) son finitos

Demostracion.Para el casoD ≥ 0, haremos induccion sobre el grado deD. SeaD = 0, obviamenteh0(OX(D)) = 1. Ahora supongamos que, para todo divisor≥ 0 de gradod, h0(OX(D)) es finito. SeaD un divisor de gradod + 1, tenemos una sucesion exacta

0→ H0(OX(D − p))→ H0(OX(D))→ C

dondep es cualquier punto que satisfagaD − p ≥ 0. De aquı se sigue queh0(OX(D)) ≤ h0(OX(D −p)) + 1. Si usamos la hipotesis de induccion concluimos que la dimension deH0(OX(D)) es finita.Si D 0, entonces escribimosD = D+ − D−. Tenemos de modo evidente la inclusion:

0→ H0(OX(D))→ H0(OX(D+))

Esto demuestra queh0(OX(D)) es finito y, por la dualidad de Serre y la existencia de una diferencialno cero de grado 2g− 2 el hecho de queh1(OX(D)) es finito es consecuencia inmediata.

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Ahora enunciaremos y daremos una demostracion para el teorema que motiva este trabajo.

Teorema (de Riemann-Roch). SeaD un divisor en un abiertoU de una superficie de RiemannXcompacta de genero topologicog, entonces

h0(OX(D) − h1(OX(D)) = deg(D) + 1− g

Fue Riemann quien demostro que

h0(OX(D)) ≥ deg(D) + 1− g

y luego Roch encontro cual era la diferencia entre los terminos de la desigualdad.

Demostracion.Al divisor K − D le corresponde el hazωX ⊗ OX(−D), ya que paraD y E divisoresenX

OX(D) ⊗ OX(E) OX(D + E)

con el isomorfismo dado por (f ,g) 7→ f · g, por que si (f ,g) ∈ OX(D) ⊗ OX(E) entonces (f ) ≥ −Dy (g) ≥ −E por lo que

( f · g) = ( f ) + (g) ≥ −D − E

ComoωX,x = f (z)dz, para una coordenada localz, es isomorfo aOX con el isomorfismo

f (z)dz 7→ f (z)

y la correspondencia de ceros entre ambos nos da

OX(K) ωX

lo que significaOx(K − D) ωX ⊗ OX(−D)

Aplicamos la dualidad de Serre para concluir que

H0(ωX ⊗ OX(−D)) es isomorfo aH1(OX(D))

por lo que basta demostrar El siguiente lema.

Lema 6.5. SeaD un divisor en una superficie de RiemannX, entonces

χ(OX(D)) = deg(D) + 1− g

Demostracion.Dado que para una superficie de Riemann la caracterıstica de Euler de un hazF es,

χ(F) = h0(X,F) − h1(X,F)

por la trivialidad de los grupos de cohomologıa de grado mayor.

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Para demostrar esto primero consideraremos el casoD = 0, la formula dice que

h0(X,OX) − h1(X,OX) = 0+ 1− g

esto es cierto por queH0(OX) = C y H1(OX) H0(ωX) por la dualidad de Serre, yh0(ωX) = g.Ahora, seaD cualquier divisor yp algun punto, mostraremos que la formula es cierta paraD

si y solo si es cierta paraD + p. Dado que cualquier divisor puede seralcanzadodesde cero en unnumero finito de pasos, sumando o restando un punto a la vez (porel soporte finito deD). Usamosla sucesion

0→ OX(−P)→ OXα→ Op

dondeOp es el haz rascacielos centrado en p, que es exacta por que

Ker(α) = f | f (p) = 0 = f |( f ) ≥ p ,

cuando se tensoriza conOX(D + P) tenemos que la sucesion

0→ OX(D)→ OX(D + P)→ Op→ 0

tambien es exacta porqueOX(D) es localmente libre de rango 1 y el producto tensorial no afecta aOp.

Como la caracterıstica de Euler es aditiva en sucesiones exactas cortas yχ(Op) = 1 tenemosque

χ(OX(D + P)) = χ(OX(D)) + 1

por otro lado,deg(D + p) = deg(D) + 1, asi que la formula es cierta paraD si y solo si lo es paraD + p como se requerıa

Lo que concluye la demostracion.

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Referencias

[1] A. G. Zamora, Aportaciones Matematicas: Topicos de Geometrıa Algebraica, SociedadMatematica Mexicana, (2002) 53-73

[2] P. Griffiths, J. Harris,Principles of Algebraic Geometry,John Wiley & Sons, 1978

[3] R. Hartshorne,Algebraic Geometry,Springer Verlag, 1977

[4] R. Miranda,Algebraic Curves and Riemann Surfaces, Graduate Studies in Mathematics,AMS,1993

[5] D. Huybrechts,Complex Geometry: An Introduction,Springer Verlag, 2005

[6] J. Rotman,An introduction to homological algebra,Academic Press, 1979

32

Indice alfabetico1-forma

C∞, 15C∞ en una superficie de Riemann, 15cerrada, 16de tipo (1,0) y (1,0), 16diferencial de, 16exacta, 16holomorfa, 15

Atlas, 6equivalencia de, 6

Carta compleja, 6Categorıa, 19Cocadena, 18Cociclo, 18Cofrontera, 18Cohomologıa deCech, 22Complejo, 5

inducido de fibras, 5Cubierta

refinamiento de, 18

Divisor, 25canonico, 27de 1-formas meromorfas, 27de ceros, 26de polos, 26de una funcion meromorfa, 25efectivo, 25equivalencia de, 26grado de un, 25principal, 25relacion de orden parcial, 25

Dualidad de Serre, 29

Esfera de Riemann, 7Espacio

de Hausdorff, 6segundo numerable, 6

Eulercaracterıstica de, 29numero de, 9

Fibra, 4Formula de Hurwitz, 9Funcion

C∞, 13diferencial de una, 15holomorfa, 10meromorfa, 12

Functor, 20

Genero topologico, 8Grado

de una funcion holomorfa, 11

Haz, 3asociado a un divisor, 28asociado a un prehaz, 4de 1-formas holomorfas, 17de 1-formas meromorfas, 17de funciones holomorfas, 13de funciones meromorfas, 12rascacielos, skyscraper, 5

Lımite directo, 21

Morfismoentre (pre)haces, 4cofrontera, 23restriccion de un prehaz, 3

Multiplicidad, 9

Orden de una funcion meromorfa, 13

Plano complejo, 6Polo, 12Prehaz, 3Producto cuna, 16Pullback, 28

33

Singularidadesencial, 12removible, 12

Sistema directo, 20Soporte, 25Sucesion

exacta, 5exacta corta, 5

Superficie de Riemann, 6

Teoremade Leray, 22de Riemann-Roch, 30

Toro complejo, 8g-toro, 8

Triangulacion, 9

Variedad compleja, 6

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Indice

1. Introduccion 2

2. Prehaces y haces 3

3. Superficies de Riemann 6

4. Cohomologıa de Haces 18

5. Divisores 25

6. Teorema de Riemann-Roch 29