p~ ~ N~ H ,t.., Nt..t.- M.. ~ X KL 4, ISSN 1410- ,6g6

SIMULASI DINAMIKA MOLEKUL (SEBUAH PENGANT AR)

Hermawan K. Dipojono

Laboratorium Komputasi Material, Departemen Teknik Fisiko ITB.n. Ganesha 10 Bandung 40132e-mail: dipojonol@tfitb.ac.id

ABSTRAK

SIMULASI DINAMIKA MOLEKUL (SEBUAH PENGANTAR). Makalah ini akan membahas simulasi dinamika molekul sebagai sebuahmetoda alternatif yang dapat digunakan untuk mempelajari sifat sifat atau karakteristik suatu materi. Beberapa hasil simulasi untuk sistem atomdan elektron akan disajikan pula sebagai suatu contoh kegunaan dan kesederhanaan metoda ini.

ABSTRACT

MOLECULER DYNAMICS SIMULATION (AN INTRODUCTORY). Moleculer dynamics simulation as an altemative methode that can befor studying materials characteristics is presented in this paper. A number of simulation results for system os atom and electron is discussed andpresented as examples of its spectrum and simplicity.

PENDAHULUAN

menggunakan sistem sistem model. Kemajuan teknologikomputer telah memungkinkan untuk mencari jawabpersoalan yang lebih kompleks disertai meningkatnyaharapan untuk bisa mendapatkan jawaban yang lebihrealistis.

Terdapat dua buah persoalan utama yang hamsdiselesaikan dalam menggunakan metoda simulasidinamika molekul ini. Pertama adalah menentukan modelenergi potensial yang mengatur hubungan antara atomatom atau molekul molekul yang saling berinteraksi didalam sistem. Dari model energi potensial inilah gaya-gaya yang mempengaruhi dinamika sistem dapatditentukan. Kedua, menentukan algoritma daD metodanumerik yang tepat daD efisien untuk digunakan dalammemecahkan persoalan dinamika yang amat kompleksini. Makalah ini akan memulai pembahasannya denganmenyoroti persoalan pertama terlebih dahulu. Padabagian ini akan dibahas terlebih dahulu model modelenergi potensial klasik-empirik daD diakhiri denganmodel yang menggunakan sepenuhnya pendekatanmekanika kwantum. Kemudian makalah ini akanmembahas pula sejumlah algoritma daD metoda numerikyang banyak digunakan dalam studi materi denganmenggunakan metoda ini. Termasuk dalam bagian inijuga akan dikemukakan algoritma untuk melakukansimulasi dengan temperatur daD tekanan yang terkontrol.

Simulasi dinamika molekul merupakan sebuahmetoda yang dapat digunakan untuk melakukan prediksiterhadap sifat sifat statik maupun dinamik yangditurunkan secara langsung dari interaksi ditingkat atomatau molekul. Mengingat belum acta altematif lainnyayang dapat digunakan untuk memecahkan persoalan itusampai ketingkatan yang cukup rinci maka metodasimulasi dinamika molekul ini merupakan sesuatu yangtidak terhindarkan dalam penelitian baik untuk ilmumumi maupun rekayasa. Metoda ini, sejak pertama kalidipopulerkan kembali oleh Alder dan Wainwright [1],telah digunakan dengan amat luas oleh berbagai disiplinilmu, termasuk dalam ilmu dan rekayasa materi [2-6].Makalah ini akan mengupas secara rinci mengenaimetoda ini dan menyajikan sejumlah basil simulasi yangtelah dilakukan untuk sistem atom dan elektron.

Pertanyaan yang sering muncul dalam berbagaikonteks penelitian ilmu dan rekayasa materi adalahadakah relasi antara sifat sifat makroskopis materidengan interaksi yang acta di tingkat atom atau molekulpenyusun materi tersebut. Sudah barang tentu melaluieksperimen, yang pasti tidak murah dan tidak pulasederhana, dapat dideduksi sifat sifat mikroskopis yangberpengaruh terhadap sifat sifat makroskopis materi.Dinamika molekul memberikan sebuah altematif untukmereproduksi tingkah laku mikroskopis itu dengan

~, 6 J~ 2001

~ /)~"~"--~ H..llIt..l (S1t1.4 P~)H~~ K. ~

MODELENERGIPOTENSIAL

Keabsahan model materi di tataran mikroskopissangat ditentukan oleh pemahaman komprehensipmengenai komponen komponen penyusun materi itu.Meskipun deskripsi mengenai hal ini secara prinsip harusdidasarkan pada mekanika kwantum namun pendekatanmekanika klasik, yaitu memperlakukan atom atom ataumolekul molekul sebagai suatu titik massa, dalam batasbatas tertentu masih dapat digunakan. Model palingsederhana yang dapat digunakan untuk menjelaskansuatu materi didasarkan pada konsep partikel partikelberbentuk bola yang saling berinteraksi yang untukkemudahan dalam pembahasan selanjutnya partikel itudisebut atom. lnteraksi itu, dalam tataran yang palingsederhana, terjadi antar pasangan atom yang memenuhidua buah kriteria dasar hubungan antar atom. Pertama,interaksi itu harus mampu menahan tekanan pasanganatom yang saling berinteraksi daD konsekuensinya adalahpasangan yang saling mendekat akan menghadapi gayatolak menolak. Kedua, interaksi itu mempunyai sifatmengikat pasangan atom sehingga pasangan itu akantarik menarik jika saling menjauh. Model sederhana inikemudian terns berkembang hingga mencapaikemantapannya dengan dilibatkannya mekanikakwantum untuk menangani hadirnya partikel elementerseperti elektron. Dalam bagian ini kita akan membahasmodel energi potensial paling sederhana terlebih dahulusebelum membahas model ab initio yang lebihkomprehensip.

sehingga waktu komputasi dapat dihemat dengan caramengabaikan interaksi pasangan atom yang mempunyaijarak lebih besar daTi Rc. Dalam banyak kasus biasanyadipilih Rc=2,500; di mana U(Rc)=-0,0163E dan besarnyagaya adalah -0,039E /0". Parameter E, mempunyai satuan

energi sedangkan parameter 0", mempunyai satuanpanjang. Untuk tujuan dinamika molekul berbasispotensial Lennard-Jones ini sering juga digunakan satuansatuan tanpa dimensi yaitu dengan menggunakan 0;untuk satuan panjang m, untuk satuan massa, dan E,untuk satuan energi. Dengan kata lain mengganti r ~ rO"untuk panjang, e ~ eE untuk energi, dan t~ t w"d/Euntuk waktu.

Jika model energi ini digunakan untukkeperluan memodelkan sistem argon cair [7] maka relasiantara satuan satuan tanpa dimensi dan satuan fisisdinyatakan dalam besaran berikut. Panjang dinyatakandalam E = 3,4A. Satuan energi diberikan oleh E/kB =120K, yang berarti bahwa E = 120 x S,314Joule/mole.

Dengan menggunakan massa atom argon adalah m=39,95x 1,6747 x 10-24 gram, maka satuan waktu dinamikamolekul setara dengan 2,161 x 1012,detik; jadi sebuahselang waktu yang umum dipakai sebesar At = 0,005,adalah setara dengan kurang lebih 10-24, detik.Selanjutnya jika Na, adalah jumlah atom yang berada didalam boks simulator dengan panjang sisi sisinya adalahL, maka untuk rapat jenis cairan argon sebesar 0,942grarn/cm3, akan berarti bahwa L = 4,142 Nal/3 A, yangdalam satuan Yal1g telah direduksi akan menjadi L =

I,2ISNaI/3Potensial Lennard-Jones

Model energi potensial yang dianggap palingsederhana, yang pada mulanya dimaksudkan sebagaimodel cairan argon, adalah potensial Lennard-Jones.Dalam model ini untuk pasangan atom dengan indeks IdaD l' yang terletak berturut-turut di koordinat ~ daD Ri,energi potensialnya dinyatakan oleh :

(~)12Ru'

-(~)6Rll'

(1)U(Rul) = 4£

di mana Rti' = I Ri _Ri' I yaitu jarak antara atom / clan r.

Parameter e , menyatakan kekuatan interaksi sedangkanparameter cr, menyatakan suatu skala panjang; interaksiitu akan tolak menolak pada jarak yang dekat clan akantarik menarik pada jarak yang relatif jauh, serta akhirnyaakan tidak berpengaruh sama sekali pada suatu jarakyang lebih besar dari jarak potong (cut oj]).

Potensial interaksi Lennard-Jones di atas dapatdisederhanakan lebih lanjut dengan mengabaikan gayatarik menarik yang terjadi di bagian yang mendekati Dolyaitu dengan cara merubah persamaan (I) menjadi :

4£ [(~j12 ~ {~)8 ] +aRu' Rll'

0

Parameterisasi Ikatan KuatParameterisasi ikatan kuat (tight binding

parameterized energy model) merupakan salah satumodel yang cukup populer karena di samping dapatdigunakan untuk memodelkan sistem yang melibatkanelektron elektron juga komputasiny relatif lebih hematwaktu (dibandingkan dengan model ab initio) yang akandibahas di bab selanjutnya. Model energi ini banyakdigunakan untuk studi bahan bahan semikonduktor baikuntuk kristal tunggal maupun amorf. Parameterparameter di dalam model ini ditentukan, misalnya,dengan menggunakan metoda fitting terhadap data daTieksperimen maupun data daTi model yang lebih akurat(seperti data model energi ab initio ). Dalam kesempatanini akan dibahas secara rinci sebuah contoh dari modelenergi ikatan kuat untuk sistem silikon. Sengaja dipilihsilikon karena sistem ini mempunyai sifat sifat yangmenarik, yaitu pada temperatur OaK, bersifat isolator,sedangkan pacta rasa caimya bersifat konduktor, danpada temperatur diantara keduanya sistem silikon bersifatsemikonduktor. Di samping itu data data sistem silikonamat lengkap sehingga merupakan sistem yang tepatuntuk dipilih sebagai contoh.

Misalkan sistem silikon terse but terdiri atas N, buahatom dengan koordinatnya dinyatakan oleh ~ dimana I =

1,2, N menyatakan identitas atom atom tersebut.

Rei' ~ RcRu' > Rc

U(Rtll) =

2 ~/6J.,., 2001

~ ~ HM..l (S4.4 P~)H~- K. ~

Mengingat masing masing atom tersebut mempunyaiempat buah elektron valensi maka keadaan bebasnyadapat dinyatakan oleh fungsi gelombang IIIi di mana i =1,2, ,2N. Kemudian keadaan bebas ini diuraikan dalamsuatu kombinasi linier basis {J2I;a}di mana t menyatakanindeks atom dan a, menyatakan indeks orbital.Dengandemikian dapat dituliskan bahwa :

N 4

'i';(r) = E E C~a(j)la(r) (2)l=la=1

di mana, C fa merupakan bobot dari fungsi gelombangdengan indeks i untuk atom dengan indeks t, pada orbitala. Adapun energi total sistem elektron dan atom untuksistem silikon U({~}{ Cj}), dapat dibangun denganmenggunakan model Tomanek dan Schluter [8], yanguntuk kepentingan dinamika molekul perlu dilakukansedikit modifikasi yaitu dengan memasukkan faktorberupa sebuah fungsi potong (cuto.fJ), sebagai berikut :

potong yang biasanya dapat diarnbil sarna denganpanjang ikatan atom (bond length). Sedangkan EoSi,adalah energi sebuah atom netral (terisolasi) yangbesarnya sarna dengan 2(Es+Ep), dimana Es=[f2JlsIHIf2Jls]dan Es=[QJixyz IHIQJ/xyz].

Faktor energi total lainnya, yaitu E2, adalahenergi tolak menolak yang diperlukan untuk menetralisirpengaruh penghitungan dua kali (double counting) dariinteraksi Coulomb yang terdapat dalarn suku energiikatan kuat. Energi E2, ini juga mengandung kontribusienergi korelasi (exchange correlation) dan interaksi antaratom. Secara terinci energi ini diberikan oleh

N t-l~ = EE Er aRt-Rill) (5)

t=2 t'=1Sedangkan E3, dimasukkan sebagai salah satu faktor darienergi total sistem dengan alasan agar sistem tidakterpaku pacta satu kemungkinan struktur atomsaja.Dengan adanya faktor ini maka sistem dapat

mengantisipasi perubahan energi akibatadanyaperubahan jumlah ikatan kimia nb. E3, ini diberikan oleh

persarnaan

u = co + E] -E3 '3)

di mana Ebs, adalah energi struktur pita (band structureenergy) yang diturunkan berdasarkan parameterisasitetangga terdekat atom terkait sebagaimana diusulkanoleh Chadi [9], Adapun elemen matriks < VJi',a IHI 'fila]untuk orbital orbital pada atom atom I', clan I, yangterpisah oleh jarak sebesar R. akan mengandung fungsipotong yang disebutkan di atas, Secara lebih terincifungsi energi tersebut di atas dapat dituliskan sebagaiberikut

Ebs

Adapun parameter parameter e/. f2fz don ej berturut-turutmempunyai harga 0,225, eV, 1,945eV, clan -1,03eV.Sedangkan harga harga parameter lainnya secara lebihterinci dapat dilihat dalam Khan[ 11].

(4)

2N

=2 L(l/JiIHll/Ji) -N Esii

2N

= 2 LLL c}'a' c}a(~l'a/IHI~la) -N Esii l/ a' ta

2N

= 2 LLL C}'a' c}a (fa' IHlla) -N Es;i l'a/ la

Adapun elemen matriks [1'a1Hlla] dapat ditentukandengan memperhatikan kedua kasus berikut ini. Pertarna,untuk kasus di mana atom I sarna dengan atom r, makadapat digunakan persarnaan berikut ini

Energi Total (Ab initio)Perbedaan utama antara metoda (ab initio) dan

metoda semi empiris (seperti metoda parameterisasiikatan kuat yang telah kita bahas sebelumnya) adalahbahwa metoda yang pertama tidak memerlukan data dataempiris sedangkan metoda memerlukan data datatersebut. Dengan demikian energi total di sini lebihbersifat generik. Meskipun demikian perlu ditekankan disini bahwa sifat generik ini tidak berarti bahwa metodaini sepenuhnya analitis dan eksak karena pada dasamyaselalu ada aproksimasi yang harus dilakukan juga dalamusaha mencari solusi sistem atom dan elektron yang amatkompleks ini. Aproksimasi yang dilakukan itu khususnyaadalah bahwa sistem atom dan elektron dapat dilihatsebagai problema elektron semata-mata (Born-Oppenheimer approximations) mengingat bahwa massaatom jauh lebih besar dibanding massa elektron. Disamping itu juga sering digunakan aproksimasi kerapatanlokal (local density approximations) untuk menentukanenergi korelasi dan exchange.

(ta' IHlla) = { ~if a = 1,if a = 2,3, 4,if a:f:a'

Kedua, untuk kasus di mana I * r elemen matriks[I'a1Hlla] bagi orbital orbital pacta atom yang berbedadiasumsikan mengandung fungsi potong .f(IRr ~~ -Rc)

sehingga diperoleh

dengan Ro=2,35A, adalah jarak antar tetangga terdekat didalam struktur intan silikon. Adapun Rc, adalah jarak

~, ~ J~ 2001

Fungsi Er daD nb yang muncul dalam E2 dan E3 diberikanoleh persamaan persamaan sebagai berikut

Er(R} = E~?;(R}f(lRi -Rill '- Rc} -E~,S(R) (7)

N i-Inb = ~~ f(lRi- Rl'l- Rc} (8)

l=2 l'

~ ~ H..ilII..l (~ P~)H~- K. ~

diberikan oleh persamaan (9). Secara garis besar ada duacara untuk memperoleh energi' total minimum itu.Pertama, menghitungnya langsung denganmenganggapnya sebagai problema minimisasi numerikdaD menyelesaikannya dengan menggunakan teknikteknik minimisasi numerik berkendala. Kedua, denganmencari persamaan persamaan pengali Lagrange bagisuatu minimisasi berkendala dan selanjutnyamenggunakan metoda numerik untuk mencari solusi daripersamaan persamaan tersebut. Persamaan pengaliLagrange untuk teori fungsional rapat elektron inilahyang dikenal luas sebagai persamaan Kohn-Sham. Dapatditunjukkan bahwa persamaan ini mempunyai bentuksebagaimana halnya persamaan Schrodinger yaitu

Ii-2m V2'I/Ji(r) + U(r)'l/Ji(r) = Eit/Ji(r) (13)

di mana bentuk potensial U(r) , didetinisikan sebagaiberikut

Oi dalam metoda (ab inito) ini energi potensialpada umumnya dihitung secara konsisten (selfconsistently) dengan menggunakan rapat elektronmengikuti suatu skema teori fungsional rapat elektron(density functional theory) atau dft. Namun ada jugasejumlah metoda yang secara langsung menyelesaikanpersamaan Sch"odinger dalam suatu medan potensialyang secara cerdas diusulkan sehingga diperoleh basilbasil yang dapat dipertanggung-jawabkan. Metoda yangkedua ini biasanya sangat berguna untuk sistemnonperiodik. Oalam makalah ini hanya akan dibahasmetoda pertama yaitu metoda yang berbasis pada teorifungsional rapat elektron.

Persamaan-persamaan yang biasa digunakandalam formalisma dft adalah persamaan Kohn-Sham [12]untuk satu himpunan keadaan efektif elektron elektronPada dasarnya ini menyatakan orbital orbital elektronyang memenuhi kaidah orthonormalitas

f1jJ*cr)1jJj(r)dV={ ~ :;~ (9)

daD energi potensial total dapat dinyatakan oleh

U[{Iji(r)}] = ~k;Jljij(r)(-~V2Ijii(r))dV+JUnuc(r)n(r)dV (10)I

+ ~j;(r)n(r)dV+ jlxc(n(r))dV + Unuc-nuc

U(r) = Unuc(r) + q,(r) + f:.:cc(n(r)) (14)

di mana fnuc-nuc, adalah suatu fungsi yang diketahuibentuknya, Unuc adalah medan potensial yangditimbulkan oleh suatu inti atom yang diberikan oleh

2 ~ ZlUnuc(r) :; -kc qe L., R (11)l l

di mana kc, adalah konstanta Coulomb, Rt, adalah jarakdari titik r ke inti atom I clan qc, adalah muatanelektron.Unuc-nuc merupakan energi interaksi statik antarinti atom yang dinyatakan oleh

1 -2 ~ ZlZl'Unuc-nuc(r) = 2kC!le L., ~ (12)l~l' U

dengan Z/, menyatakan jumlah atom dari spesies I.Sedangkan kj menyatakan jumlah elektron yang mengisiorbital i (biasanya sarna dengan dua) clan

daD dalam hal ini &t = At/ ki. Mengingat bahwa pengaliLagrange di awal perhitungan merupakan konstanta yangtidak diketahui besarnya maka di sini digunakan &j, yangdapat dilihat sebagai energi untuk setiap orbital.

Strategi umum yang digunakan untuk mencarienergi total biasanya adalah sebagai berikut. Untuk dapatmenghitung semua suku daripersamaan (10) makadiperlukan orbital orbital {VIi (r)}yang tepat daD ini dapatdiperoleh dengan menyelesaikan persamaan (13) Untukmenentukan U(r), berdasarkan (14) maka semuakomponen persamaan ini hams dapat ditentukan terlebihdahulu. Harga minimum U[{(\j/,{r)}], dapat diperolehjikasemua persamaan persamaan itu dipenuhi secarasimultan. Khususnya rapat elektron hams konsisten (self-consistent): harga rapat elektron masukan hamsmenghasilkan U(r), sedemikian rupa sehingga diperolehsebuah himpunan orbital orbital \j/,{r), yangmemberikansebuah rapat elektron sarna dengan rapatelektron masukannya. Makalah ini tidak akan membahaslebih rinci lagi mengenai kedua metoda tersebut karenakedua metoda itu sudah merupakan sesuatu yang bersifatbaku daD telah cukup banyak buku acuan yangmembahasnya secara rinci (Iihat misalnya di [13]).

Sebelum menutup bab ini perlu disampaikan disini mengenai masalah saWall saWall atomis. Hal inimenjadi amat penting mengingat kesalahan kecil dalamkomputasi bisa jadi memerlukan waktu berjam-jamuntuk mencari penyebabnya. Salah satu cara untukmenghindari hal seperti ini adalah dengan menggunakananalisis dimensional (Iihat misalnya di [14]). Dalam halteori fungsional rapat elektron dapat dilihat adaempatbuah konstanta fisis: konstanta Planck II massaelektron m, konstanta Coulomb Kc, daD muatan elektronq.. Oleh karena itu dari pada menggunakan saWall satuanstandar meter, kilogram, daD detik dapat digunakansaWall satuan L. M, daD T, untuk saWall fundamental

V2tf>(r) = -41\"~ n(r)

Oari persamaan (10) terlihat dengan jelas bahwa energitotal merupakan suatu fungsional dari orbital orbitalelektron. Pilihan terhadap orbital orbital yang benardilakukan dengan cara melakukan minimisasi energi totalini dengan memperhatikan syarat orthonormalitas yang

4 ~, 6 J~ 2001

sedangkan 0(r ), menyatakan potensial yang ditimbulkanoleh muatan sebuah elektron di r, yang dapat ditentukandengan menyelesaikan persamaan Poisson sebagaiberikut

~ ~ M..it/G..l (5tt t P~)H~- K.. ~

panjang, massa, clan waktu. Ketiga alternatif satuan inisangat membantu mengingat bahwa konstanta konstantafisis itu selalu muncul dalarn dua bentuk kombinasi sajayaitu h2/m, atau Kclle2, yang selanjutnya dapat direduksimenjadi sarna dengan satu jika digunakan satuan tertentu.Jadi

di mana dengan menggunakan persamaan persamaan (4),(5) daan (6) dapat ditunjukkan bahwa

8{t'a'IHjla) -E .!!lL~+J(Ru-).!!lL~[Et'o',la]8B.t -t' 0' ,ta R~ 8B.t R:', 8Rt

8 ~ ]J(Rti') Et'a',to ~ ["R;i:')

Ji-

m')

kcq;

lEL2=(15) Jika digunakan energi total molekul diatomik silikon daTi

Raghavachari [10] maka dapat diperolehlEt=

di mana E, menyatakan energi satuan yang dalam hal iniE=IML2/r. Dari persamaan (15) dapat dengan mudahdiperoleh solusi untuk L dan E, sebagai satuan atomisstandar untuk panjang dan energi. Jadi untuk tujuansimulasi dinamika molekul dengan menggunakan modelenergi (ab initio ), dan juga untuk energi ikatan kuat,biasanya digunakan satuan panjang dan energi.

~ = --.!!:.-exp[ "I ] [p(Ru./R"jc,-l)_q(Rtl,/R"j(l-l)8Rt Rtl'R" (B-Ruo/R")"

+ {(Ru,/R-jP-(Rtl'/R")'}{,- n 'n.\(~l)( "IV j ~l)}](Rt'-RtjB-Ru'/R"

(16)

(17)

-1;1/mL= 1 baht = -, =O,52917725 Ak,q;

(k qlj1E=1 hattt..=-:,-- / , =27,211396.V1;- m

PERSAMAAN GERAK

Gaya yang bekerja pacta sebuah atom akibatsuatu distribusi energi U(R), pacta dasarnya diturunkandari negatif gradien distribusi energi ini. Dengandemikian untuk suatu sistem yang terisolasi, yaitu sistemdengan jumlah atom N, dan volume sistem V, yang tetap,dengan distribusi energi U(R), akan mempunyaipersamaan gerak untuk atom /, sebagai berikut

MtRt = -f aU(Ru/} (18)l~t aRJ;

di mana ~r= I~ -Rrl menyatakan jarak antara atom / dan/'.

Untuk sistem Lennard-Jones seperti yangdiberikan oleh persamaan (1) dengan mudah dapat kitaturunkan persamaan gerak atom I, adalah

Sedangkan turunan dari energi struktur pita untukmolekul diatomik silikon dapat diperoleh dengan carasarna. Dengan demikian lengkaplah sudah seluruhperhitungan yang diperlukan untuk menurunkanpersamaan gerak seandainya digunakan model energiikatan kuat terparameterisasi.

Persamaan gerak untuk sistem yangmenggunakan energi total ab initio dicari denganmenggunak!\n metoda Car-Parrinello [15]. Metoda inimenawarkan perhitungan yang paling murah dari segiwaktu komputasi. Oleh karena itu metoda ini banyakdigunakan untuk simulasi dinamika molekul ab initio.Pacta dasarnya metoda ini memperlakukan derajatkebebasan (degree of freedom) elektron sebagai suatumassa semu (fictitous mass) daD dengan demikianmempunyai dinamika tersendiri. Jadi orbital elektron daDposisi atom divariasikan secara bersama-sama untukmenentukan energi minimum. Dalam formalisma inisistem akan mempunyai dua jenis massa dengandinamikanya masing masing. Lagrangian dari sistemtidak saja dapat digunakan untuk menentukan energiminimum sistem namun juga dapat digunakan untukkeperluan simulasi dinamika molekul.

Jika massa semu elektron adalah J.l, daDparameter pengali Lagrange dinyatakan oleh A, makapersamaan gerak dari massa semu elektron akandiberikan oleh-N 28'3 ,,"

MI~=24.}::: ["Dir-m] [a.(Rt.-R".J+i,(R"-R,.,J+i.(R,.-R,,.J]1'..1 ..", /I'

(20)aU[{Ri},{\II.}] + L Ablr\ll",J"'l1 k = -I3'IIk '"di mana posisi atom I, dinyatakan oleh vektor Rl = a,. R1x

+Iiy R1y + ~ R1z

Adapun untuk sistem yang menggunakan energitotal dengan parameterisasi ikatan kuat seperti yangdiberikan oleh persamaan (3) maka persamaan geraknyaakan diberikan oleh

Sedangkan persamaan gerak dari atom atom diberikanoleh persamaan sebagai berikut

MtRt = _aU[{~},{\IIJ}1 + L I\,rt,.r a {\IIkl\ll"r}}

aRt kNr aRt(21)aEbs aEl aE)

..+-Mt~ = --a-R::;" -a"R; a~ (19)

Sebagaimana halnya dengan energi ikatan kuat, dalamkomputasinya, orbital elektron biasanya diuraikan

5~I 6 J~ 2001

~ /)~:-~.,.~ HM..i (.s«t.4 P~)H~- K. ~

sebagai kombinasi linier suatu basis. Dengan demikianyang tidak diketahui dari persarnaan persarnaan diatasadalah koordinat atom (Rt) koordinat massa elektronsemu yang dalarn hal ini dinyatakan oleh koefisienkoefisien basis dalarn kombinasi linier itu, dan konstantakonstanta pengali Lagrange. Perhatikan bahwa matriksAkm merupakan matriks simetri yang besarnya sarnadengan setengah keadaan yang diduduki (occupiedstates) oleh elektron elektron dalarn sistem.

Penghitungan gaya merupakan proses yangpaling menyita waktu dalam simulasi dinarnika molekulmengingat sumasi harns dilakukan untuk setiap atom.Meskipun demikian ada sejumlah cara untuk mengurangikonsumsi waktu tersebut. Salah satu di antaranya adalahmemanfaatkan hukum ke tiga Newton, yaitu aksi sarnadengan negatifreaksi atau dengan kata lain FI/'= -FI/' .Disarnping itu penggunaan fungsi potong, daftar tetangga,dan untuk kasus kasus yang memungkinkandigunakannya pembagian ruang simulator menjadibeberapa sel simulator juga dapat mereduksi konsumsiwaktu dalarn komputasi persarnaan gerak ini.

Misal koordinat x dari atom atom itudidetinisikan terletak dalam selang -L/2, dan Lx/2 dimana Lx merupakan panjang ruang simulator dalam arabx, maka tes yang harns dilakukan adalah: jika Rtx ~ L/2,maka ganti R/x dengan Rtx -Lx, dan jika Rtx < -L/2 , makaganti R/x dengan R/x + Lx. Efek syarat batas dalammenentukan jarak pasangan atom dapat ditentukandengan tes: jika RI/' > L/2 maka ganti R/x dengan RI/'- Lx,seandainya Rtx > 0 atau ganti dengan Rtx + Lx,seandainya R/x < O.

Syarat batas periodik paling mudah ditanganiuntuk ruang simulator yang berbentuk kubus. Bentukruang simulator sembarangpun sebenarnya tidak menjadihala!1gan bagi diberlakukannya syarat batas periodiknamun tentunya efek sbp menjadi tidak sesederhana jikabentuknya kubus. Motivasi utama untuk menggunakanruang simulator yang non-kubus adalah agar diperolehrasio volume terhadap permukaan sebesar mungkinsehingga memperbesar jarak maksimum yang bisadicapai sebelum pengaruh periodisitas kemudianmensyaratkan untuk menggunakan jarak terkecil. Alasanlain dalam menggunakan bentuk yang lebih kompleksadalah agar dapat digunakan untuk mensimulasikanstruktur kristal yang mempunyai sumbu sumbu non-

orthogonal.

SY ARA T BAT AS PERIODIK

DAFTARTETANGGA

Oinarnika molekul biasanya dipakai untuksistem sistem yang terdiri atas beberapa puluh sarnpaibeberapa ribu atom dengan elektron elektronnya. Sistemyang sedemikian kecil akan didominasi oleh efekpermukaan, yaitu interaksi antara atom dan dindingsimulator. Untuk simulasi di mana efek permukaan initidak menjadi perhatian utama maka dapat digunakansyarat batas periodik sbp.

Oalarn menggunakan sbp untuk mensimulasikansistem yang terdiri atas N, buah atom yang terkurung didalarn simulator dengan volume V, diasumsikan bahwavolume V, ini hanya merupakan bagian kecil daripadatan yang menjadi objek studio Volume V, ini disebutsel utama; diasumsikan bahwa sel utama ini mewakiliobjek materi yang dibentuk oleh sel utama dan replikareplikanya. Replika ini merupakan set citra ( image cell ),yang mempunyai ukuran dan bentuk yang tepat sarnadengan sel utama. Jadi sel utama itu diasumsikan secaraperiodik diulang ke seluruh arab sehingga terbentuksarnpel objek makroskopisnya.

Ada dua konsekuensi dari syarat batas periodikini. Pertama, sebuah atom yang meninggalkan ruangsimulator melalui satu dinding akan digantikan olehsebuah atom citranya dari dinding dihadapan dinding dimana atom itu keluar. Kedua, jarak antar atom ditentukanoleh jarak terdekat, baik antar sesarna atom dalarn selutama atau dengan atom citra di sel citra. Efek ini harusdiperhatikan dalarn menghitung gaya dan integrasipersarnaan persarnaan geraknya. Setiap tahap integrasinumerik harus diikuti dengan mengecek kembalikoordinat koordinat yang diperolehnya. Jika sebuah atomtemyata diketahui telah keluar dari ruang simulator makakoordinatnya harus disesuaikan kembali.

Bagian yang paling menyita waktu dalarnsebuah simulasi dinarnika molekul adalah menghitunggaya gaya yang bekerja pacta sebuah atom. Sebagaicontoh jika di dalarn sistem terdapat N, buah atom makagaya yang bekerja pacta atom atom pacta dasarnya akanmelibatkan sebanyak y~ (N-I), buah pasangan atom.Konsekuensinya jika seluruh pasangan atom dilibatkandalarn menghitung gaya maka jumlah perhitungan akansebanding dengan kuadrat jumlah atom. Narnun jikadigunakan fungsi potong (cut off) sedemikian rupasehingga gaya itu besarnya akan sarna dengan nol jikajarak pasangan atom itu melebihi suatu harga makawaktu yang dibutuhkan untuk menghitung gaya menjadi

berkurang.Salah satu cara yang banyak untuk mereduksi

Waktu komputasi dalarn simulasi dinarnika molekul,khususnya dalarn mengevaluasi jarak antar pasanganatom yang saling berinteraksi, adalah denganmenggunakan daftar tetangga. Untuk setiap atom l,metoda ini menawarkan sebuah daftar atom atom yangberada dalam jarak interaksi RL, yang umumnya sedikitlebih besar dari jarak potong Rc. Untuk sistem Lennard-Jones biasanya digunakan RL=Rc+O,30cr. Dengandemikian daftar ini mengidentifikasi atom atom yangmemberi kontribusi dalarn penentuan gaya yang bekerjapacta atom l, tersebut. Daftar ini diperbaharui di setiapatau setelah beberapa langkah integrasi numerik.

Sebagai ilustrasi misalnya sistem yangdisimulasikan adalah sistem Lennard-Jones dengan rapatjenis pcr3=O,8 dan jarang potong sekitar Rc=2,5cr. Untuk

~, ~ J~ 20016

~ ~ /1..itJ...l /5tt t P~)H~- K. ~

sistem seperti ini setiap atom akan mempunyai tetanggasekitar 75, buah atom dalam radius sekitar R L=2,8cr.Tetapi di dalam daftar tetangga untuk atom ell, hanyadisimpan atom atom dengan indek f, di mana f > I,karena untuk I' < I, atom I akan muncul dalam daftartetangga dari atom f. Jadi secara rata rata, daftar tetanggaitu memerlukan sekitar 75/2 7 40, lokasi penyimpananper atom. Dengan demikian untuk simulasi sistem 256,atom dapat digunakan sebuah l(array), sebut sajamisalnya DFTR, dengan sekitar 11000, elemen.Kemudian dengan menggunakan sebuah array lainnya,sebut saja misalnya ISI, untuk menentukan lokasi didalam DFTR tetangga tetangga daTi suatu atom. Dengallmenggunakan dua buah array satu dimensi, bukansebuah array dua dimensi, dapat dihindari biayakomputasi yang harus dibayar karena menggunakanvariabel dengan dua indek. Pembahasan yang lebih rincidapat dilihat misalnya di [16].

precision akan membantu memperkecil kesalahan jeniskedua. Dalam bab di baw~ ini akan disajikan secaratiga jenis metoda integrasi numerik yang banyakdigunakan dalam simulasi dinamika molekul.

Algoritma VerletAlgoritma inilah yang paling banyak digunakan

untuk keperluan dinamika molekul. Ide dasarnya adalahmenguraikan posisi atom, misal atom dengan indek I, R[dalam deret Taylor sampai orde ketiga, baik secara maju( forward) maupun mundur (backward) dalam waktu.Jadi dapat dituliskan

R,(t + .1t) = R,(t) + ~(t).1t + ~ ~(t).1t' + i ~(t).1" + 0(.1 t4)

R,(t -.1 t) = R,(t) -~(t).1 t + ~ ~(t).1 t' -i ItI(t).1t3 + 0(.1 t4)

Jika kedua persarnaan di alas dijumlahkan maka akandiperoleh bentuk dasar dari algoritma Verlet yaitu

(22)ALGORITMA INTEGRASI W AKTU Rt{t +M) =2 Rt{t) -Rt{t-M) + ~{t)Atl + 0 (At4)

Algoritrna ini diperlukan untuk mengintegrasisecara numerik persarnaan persarnaan gerak atom atomyang saling berinteraksi. Algoritrna ini didasarkan padametoda beda hingga (finite difference), dimana waktudidiskritisasi pada sebuah grid terhingga, dengan jangkahwaktu (time step) At, merupakan jarak antara dua titikberturutan pada grid terse but. Jika diketahui posisi daDturunan waktunya pada waktu t, maka algoritrna ini akanmemberikan besaran yang sarna pada waktu berikutnya,yaitu t+At. Selanjutnya dengan mengulang (iterasi)prosedur itu maka akan diperoleh evolusi waktu darisistem yang sedang disimulasikan.

Sudah barang tentu solusi yang diperolehmerupakan suatu solusi pendekatan daD berarti selalumengandung kesalahan bawaan. Kesalahan itu sekurang-kurangnya dapat diklasifikasikan sebagai itemize item.

Truncation errors, hal ini mengingat bahwa metodabeda hingga biasanya didasarkan pada uraian deretTaylor yang dipotong sampai pada suku tertentu.Kesalahan jenis ini tidak tergantung pada faktorimplementasi tetapi merupakan kesalahan intrinsikdari algoritma yang digunakan.

Round-off errors, hal ini berkaitan denganimplementasi dari algoritma yang digunakan.Misamya, sampai seberapa banyak angka yangdigunakan dalam komputasi aritmatikanya.

Kedua jenis kesalahan di atas dapat diperkecil denganmemperkecil ~t. Untuk harga M, yang besar makakesalahan akan didominasi oleh jenis pertama namunkesalahan ini akan mengecil dengan cepat bila ~tdiperkecil. Kesalahan jenis kedua mengecillebih lambatdibanding dengan kesalahan jenis pertama denganmengecilnya ~t. Penggunaan komputasi double

Mengingat bahwa persamaan di atas diperoleh dariintegrasi numerik persamaan gerak Newton maka RAt) =

-(I/MU VU ({RAt)}). Seperti terlihat dalam persamaan(22) maka kesalahan jenis pertama dari algoritma ini hilasistem ber-evolusi sebesar Llt adalah dalam order Llt4,meskipun turunan ketiga tidak muncul secara eksplisit.Pada saat yang sarna algoritma ini amat sederhana danmudah implementasinya sehingga amat populerpenggunaannya dalam simulasi dinamika molekul.Persoalan yang timbul dalam menggunakan algoritmaVerlet versi ini adalah bahwa kecepatan atom tidaklangsung tersedia. Meskipun kecepatan itu tidakdiperlukan untuk mengetahui evolusi trayektori namunpengetahuan mengenai kecepatan ini kadang kadangdiperlukan, misalnya untuk menghitung energi kinetikyang amat diperlukan untuk menguji aspek konservasienergi total sistem. Kecepatan itu dapat saja dihitung

dengan menggunakan persamaanRt(t) = Rt(t + ~ t) -Rt(t -~ t)

2~tNamun kesalahan dalam persamaan untuk

kecepatan ini adalah dalam order Llr, bukan lagi dalamorder Llt4, sebagaimana halnya persamaan (22). Untukmengatasi persoalan ini telah dikembangkan beberapavariasi dari algoritma Verlet ini yang salah satu diantaranya adalah

Rt(t + ~ t) = Rt(t) + Rt(t) ~ t + (1/2) Rt(t) ~ t2

Rt(t + ~ t/2) ; Rt(t) + (1/2) Rt(t) ~ t

Rt(t+~t) ; -(l/MvVU(Rt(t+~t))

Rt(t + ~ t) = Rt(t + ~ t/2) + (1/2) Rt(t + ~ t) ~ t

Predictor-CorrectorAlgoritma ini pertama kali digunakan untuk

keperluan simulasi dinamika molekul oleh Rahman[17].

~, 6 J~ 2001

~ ~ HJ4d (~ P~)H~- ~. ~

pada orde dari deret Taylor yang digunakan dalam prosesprediksi. Gear mendapatkan harga harga parameter ini

dengan menggunakan setiap algoritmanya padapersamaan persamaan diferensial linier daD analisismatrik stabilitasnya.

Tabel 1. Harga parameter <Xi. dalam algoritma Gear untukpersamaan diferensial orde dua dengan menggunakanprediktor orde q.

~1/65/6

~19/120

3/4

q=5'3/6

251/3601

11/18

1/61/60

<Xi

<Xo-

~~~~as

1/2

1/12

1/3

PENGENDALIAN TEMPERA TUR

Sedangkan versi yang kemudian sering digunakanbiasanya diambil dari metoda yang koleksi oleh Gear[18]. Sesuai dengan namanya metoda ini secara garisbesar terdiri atas dua tahap yaitu prediksi dan kemudiandisusul dengan koreksi terhadap prediksi itu.

Prediksi posisi atom R" pada waktu t+Lltdilakukan dengan menggunakan deret Taylor sampaiorde ke lima yang di dasarkan atas pengetahuanmengenai posisi dan turunan turunannya pada waktu t.Dengan demikian turunan turunan R'" R"" R(iii), dan R(vi),diperlukan di setiap tahap dan nilalinya pada waktu t+Llt,dicari dengan menggunakan deret Taylor sebagai berikut

~('+4t) = R,r;(t)+~(t)4t...Iit(t)~+R}tU)(t)¥

+ R(,o>(t)~ + R(.il'(J~t 41 t 51

B.,(t+4t) = Rot(t)+~(t)4l+R}H')(t)~

+Rii")(t) ~+~t 3! 4! .

R,(t + At) ~ R.,(t) +R}4H)(t) 4£ + R}ill)(t) ~~R}V)(t)~

n~;;')(t+4t) ~ ~iji)(t)+R~;.)(~)4t+R~II)(~)~

R~w)(t+6t) = R}W)(t)+~O)(t)4t

R}°)(t+.1t) ~ Ri~)(t)

Gaya yang bekerja pada setiap atom pada waktu t,diperoleh dengan menggunakan prediksi koordinatkoordinat atom tersebut.

Koreksi terhadap prediksi koordinat clan turunanturunannya dilakukan dengan menggunakan adanyaperbedaan antara percepatan basil prediksi clan yangdiperoleh dari perhitungan gaya. Jika didefinisikanbahwa

Terdapat cukup banyak mekanisme termostatikyang tersedia dalam literatur. Banyak peneliti melakukanpengendalian temperatur dengan cara menyesuaikanharga kecepatan secara teratur clan terns menerus selamasimulasi berlangsung. Formulasi metoda dinamikamolekul pada temperatur konstan yang paling lengkappertama kali diperkenalkan oleh Nose. Ia menunjukkanbahwa metoda metoda terdahulu dapat diturunkan daTimetoda yang diperkenalkannya. Karena alasan inilahmaka hanya metoda ini yang akan disampaikan dalammakalah ini. Meskipun demikian di sini akandisampaikan metoda Nose [19] yang telahdisederhanakan oleh Hoover [20] sehingga komputasinyamenjadi lebih murah.

Berdasarkan algoritma Nose-Hoover makapersamaan gerak perlu dimodiflkasi menjadi~ == ~A Rt{At}1 = Rt{t + &} -R.~{t +At} (23)

2

di mana R~{t +t.t} , diperoleh melalui prediksi makadengan menggunakan algoritma Gear koreksi dilakukansebagai berikut

Suku tambahan zeta,dot(BR) ell, bertindak sebagaimanahalnya gaya gesek. Koefisien zeta, adalah variabeldinamis baru dengan evolusinya diatur oleh persamaansebagai berikut:

Adapun harga parameter parameter C1j, dalam algoritmaGear di atas dapat dilihat dalam tabel di bawah ini.Parameter ini rnernelihara stabilitas nurnerik darialgoritrna ini. Harga parameter (Xi, tergantung pada ordedari persamaan diferensial yang akan dipecahkan clan

Q ~ = L Mt (Rr -gkeT (25)t

di mana Q, adalah masa dinamis dari tennostat, k B,adalah konstanta Botlzmann, daD T, adalah temperaturatom yang diinginkan, serta g=3N, dengan N, adalahjurnlah atom yang acta di d~lam simulator. Penggerakperubahan dari koefisien ~ adalah adanyaketidakseimbangan antara energi kinetik daD harga ratarata gkBT. Umpan balik negatif akan menjamin energikinetik berosilasi di sekitar harga konstan yang diberikan

~, 6 J~ 20018

Rt = Rf +~ao

~& = ~t\t +~!Xl

~ ~ M..itIt..l (Stt t P~)H,-- 1(. ~

tekanan dapat dikendalikan. Sebagairnana dalampengendalian temperatur di sini pun digunakan sebuahmassa semua Mv, yang merepresentasikan massa piston

yang bergerak sehingga memungkinkan volumebervariasi besarnya. Namun untuk mengurangikompleksitas jika harus menganalisis dinamika pistonmaka diasumsikan bahwa perubahan volume bersifatuniform. Kedalam sistem ditambahkan dua buah derajatkebebasan sehingga persamaan persamaan gerak yangterlibat adalah

., 1 (s ?V )~ = -M;Vl73VU{{~})- :;+w R.t

.? GS- ISS = -+-

S Ms

sV G')SlV = -+. -S 3M\,V

oleh gkBT. Jika harga energi kinetik ini lebih besar darigk BT, turunan terhadap waktu dari ~, berharga positif,atau ~' > 0, dan ~ bertarnbah besar harganya sehingga

rnenjadi positif. Di daerah ~ positif sistern akanrnengalarni pendinginan. Jika harga energi kinetik lebihrendah dari gkBT rnekanisrna umpan balik negatif bekerjasebaliknya; dalarn hal ini ~ akan rnengecil sarnpairnenjadi negatif, dan di daerah ~ negatif sistern akanrnengalarni pernanasan. Dengan tara seperti inilah energikinetik akan berosilasi di sekitar harga rata rata gkBT.Jadi energi kinetik rata rata akan rnernpunyai harga yangsarna dengan hasil teori ekuipartisi gkBT.

Jika didefmisikan suatu variabel s sedernikian

rupa sehingga

,=~s(31)

sehingga dapat dituliskan persamaan dinamis untuk ssebagai berikut

di mana

Gl = Mt.yl/3I: Rl-gkBT.Gl = mV1/3 L Ri+Vl/3 L Rtt .Fu'- 3PV

.l<l!

di mana RD' = R, -R', dan FI/' adalah gaya yang bekerja

pacta atom I akibat interaksinya dengan atom r.Sedangkan untuk harga tekanan P, dan temperatur T,merupakan harga yang diinginkan dan oleh karena itumerupakan harga awal yang diberikan. Adanya tambahandua derajat kebebasan maka perataan dinamika sistemfisis ini akan menghasilkan perataan yang berada dalamensambel (NPT). Hamilton dari sistem dengan tarnbahandua derajat kebebasan menjadi

11 = ~MtV1/J 1;: ai+U{{~}}+ ~M,{lls}1 +~M"{V Is}1+tk6nns+PV (32)

~(t+&)= ~ ['2RtCt)-(I-I3)~(t-&)+~(,)&?] +0(&' (27)

Walaupun Hamilton ini lestari namun tidakmempunyai arti fisis. Mengingat sifat kelestariannyaHamilton ini dapat digunakan untuk mengecekkeabsahan daTi prosessimulasi untuk ensambel (NPT) ini.

Sedangkan evolusi untuk variabel dinarnis l;; dapat dicaridengan menggunakan persarnaan berikut

+ O(At]) (28)

SIMULASI SISTEM SILIKONPENGENDALIAN TEKANAN DAN TEMPERA TUR

Sebagai contoh dari metodologi simulasidinarnika molekul di sini disajikan simulasi sistem 64-atom silikon dengan struktur intan yang ditempatkandalarn suatu simulator kubus dengan sisi L=lO,48ADengan demikian kepadatannya adalah 2,59gr/cm3 yaitutepat sarna dengan kepadatan silikon cair padatemperatur leburnya. Selanjutnya diberlakukan syaratbatas periodik sehingga di setiap saat sebuah atom dalarnkubus akan memiliki 26 citra. Kepadatan sistem akan

Walaupun cukup banyak metoda pengendaliantekanan namun gabungan pengendalian tekanan dantemperatur cukup menarik untuk disoroti di sini. Metodaini pada dasarnya diturunkan dari ensambel isotermal -isobarik (NPT). Dalam makalah ini secara ringkas akandisampaikan algoritma (NPT) yang secara lebih rincidapat dilihat misalnya di [21]. Diasumsikan bahwavolume sistem dapat divariasikan untuk menjaga agar

9~, 6 J~ 2001

maka Hamilton sistem dengan tambahan derajatkebebasan itu menjadi

Walaupun Hamilton ini lestari namun tidak mempunyaiarti fisis. Mengingat sifat kelestariannya Hamilton inidapat digunakan untuk mengecek keabsahan dari prosessimulasi untuk ensambel (NVT) ini.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan (24)secara numerik dapat diturunkan sebagaimana halnyaalgoritma Verlet. Jika didefinisikan /3 = (1/2),l;(t)~t,maka dapat diperoleh evolusi posisi atom sebagai berikut

~ ~ H..lt/...l (Slt.4 P~)H~- K. ~

dimampatkan. Mengembangnya kaki kaki fungsi deltadisebabkan oleh karena adanya pergeseran acak posisiatom dari posisi keseimbangannya. Posisi posisi puncakpertama dan kedua menunjukkan jarak tetangga tetanggaterdekat pertama dan kedua, yaitu si 2,27 Adan 3,72,A.Sebagai pembanding kami sampaikan disini bahwa jaraktetangga terdekat pertama dan kedua dari kristal silikondengan struktur intan (normal dan tidak dimampatkan)adalah 2,35Adan 3,84,A,. Dalam studi ini kami memilihuntuk menggunakan fungsi pasangan korelasi g(r),dibanding dengan faktor struktur statis S(k), mengingatterbatasnya ukuran sel yang kami gunakan. Tabel 2menunjukkan sejumlah parameter penting basil studimengenai silikon pada rasa cair dari para penelititerdahulu.

konstan karena diberlakukannya syarat batas periodikini. Selang waktu integrasi yang digunakan di sini adalah1,0 X10-15 detik.

Energi potensial sistem yang kami gunakanadalah ikatan kuat terparameterisasi sebagaimanadiberikan oleh persamaan (3). Untuk mendapatkan energiminimum sekaligus menurunkan persamaan gerak kamimenggunakan formalisme Carr-Parrinello. Dengandemikian pada dasarnya digunakan persamaanpersamaan (20) clan (21) hanya energi total kamiturunkan dari ikatan kuat terparameterisasi. Juga kamisajikan di sini penggunaan mekanisme termostatikaNose-Hoover baik pada temperatur rendah maupun padatemperatur tinggi, yaitu temperatur lebur silikon.

1500 I '

1000 ~

'.:''5\

500

nL--0 -2 4 -6

jarak r(A)

Gambar 1. Korelasi pasangan korelasi (pair correlation)untuk sistem 64 atom silikon yang dimampatkan(compressed). Posisi puncak-puncak pertama dan keduaberturut-turut menunjukkan jarak tetangga terdekatpertama dan kedua

a

O'Oe+OO

~ I.

-6.00-06 .

1.2e.05

-2.4e-Q5

7.0e-1J 1.4e-12 2.1e-12 ~- -"waktu (detik)

Gambar 3. Evolusi ketelitian; garis tebal merupakanevolusi ketelitian jika sistem mengalami quenching satukali di awal simulasi dengan melakukan diagonalisasimatrik Hamilton, sedangkan garis terputus adalah evolusijika sistem mengalami quenching sebanyak due kalidengan menggunakan metoda steepest descent di awalsimulasi .

Evolusi temperatur elektron elektron semu.Garis tebal merupakan evolusi jika sistem mengalamiquenching satu kali dengan melakukan diagonalisasimatrik Hamilton. Garis terputus merupakan evolusi

temperatur jika sister:n mengalami quenching sebanyak

2.~lJ 3.5e-lJ

Konfigurasi atom atom pada rasa cair sangatlahberbeda dengan konfigurasi atom atom padatan. Olehkarena itu perlu digunakan suatu kuantitas yang mampumemberikan deskripsi kuantitatif mengenai distribusijarak antar atom. Besaran ini dapat digunakan sebagaiukuran konfigurasi atom atom dalam rasa cairo Untuktujuan ini di sini digunakan fungsi distribusi pasangang(r), sebagaimana halnya [] yang didefinisikan sebagai

V [ n(r) ]g(r) = N 47fr2 Ar

dimana n(r), adalah jumlah atom yang berada pada jarakantara r daD r+Ar dari suatu atom yang dimaksud, N,adalah jumlah atom di dalam volume V. Persamaan diatas pada dasarnya juga menyatakan bahwa n(r) sarnadengan jumlah atom yang berada di dalam elemen bolakonsentris dengan jari jari r, daD r+L\r dengan atom yangdimaksud sebagai titik pusatnya. Dalam prakteknyaperhitungan numerik dilakukan dengan cara perataan darisemua atom di dalam kubus simulator sebagai titik

pusatnya.1. menunjukkan fungsi pasangansistem 64 atom silikon yang

Gambaruntukkorelasi

~I 6 J~ 200110

.-05'1.Oe...oo

~ ~ /1..id..l (~ P~)H~- K. ~

parameter Q=2850, daD didapatkan temperatur sistemberosilasi di sekitar temperatur yang diinginkan denganamplitudo yang wajar. Potensial sistem dimanatemperatur dikendalikan menggunakan mekanismetermostat melalui penyesuaian kembali kecepatanditumpangtindihkan sebagai perbandingan.

dua kali dengan menggunakan metoda steepest descentdi awal simulasiGambar 2 daD 3 menunjukkan temperatur dan ketelitianelektron elektron semu jika sistem mengalami quenchingsatu kali di awal simulasi dengan menggunakandiagonalisasi langsung matrik Hamilton. Hasil basilproses sejenis jika dilakukan quenchingsampai dua kali ditampilkan secara bersama sarna untukmembandingkan kinerja kedua metoda tersebut. Di sinikami tidak menyajikan evolusi potensial daD temperaturion ion untuk kedua kasus itu karena harga harganyanyaris sarna.

2200

2000

g5~~E

1!.

190

184.I"

/,' ,':" ..

.\ ., \

.c .." I ...' ..

1400g~8-E~ " " .-,

« " .' ..., :'

.; " ..", ,I

..'I' I

l~~+OO .2.sOe:13 .S.oOe:13 7.sOe:13 1.00e:12 1.2ie-12waktu (detik)

Gambar 5. Temperatur sistem versus waktu dengantermostat diatur pads T=17000K dan Q=2400. Posisi awalatom atom diambil dari keadaan cair yang amat panas

166

160 I ., ..O.Oe+OO 4.De-13 B.De-13 1.2e-12 1.6e-12 2.De-12

.waktu (detik)

Gambar 4. Temperatur atom sebagai fungsi waktu. Garistebal berasal dari Lagrangean semu sedangkan garisterputus-putus dari Lagrangean fisis. Dalam kedua kasuspengamatan ini temperatur sistem dikendalikan denganmenggunakan mekanisme Nose-Hoover

Gambar 6 menunjukkan mean squaredisplacement ~ msd yang dihitung dengan menggunakanposisi atom R (t) dalam selang waktu t, sebagai berikut

(R2(t») =

di mana 't menyatakan himpunan keadaan awal daD tanda

kurung miring menyatakan perataan. Selanjutnyakoefisien difusi D, dihitung dengan menggunakan bagianlinier dari msd ini. Simulasi pada gambar 6 berlangsungselama 0,15, pikodetik. Sedangkan gambar 7menunjukkan korelasi pasangan g(r),terhadap jarak r.Ketelitian darisimulasi ini ditunjukkan oleh gambar 8.

Temperatur atom atom adalah sekitar 175°K yang berartijauh di atas temperatur elektron semu tersebut. Dengandemikian dapat disimpulkan di sini bahwa pada dasarnyamelakukan proses quenching satu kali dengandiagonalisasi matrik Hamilton adalah sarna baiknyadengan melakukan proses quenching dua kali denganmetoda minimisasi steepest descent. Oleh karena itudalam penelitian yang kami sajikan di sini telahdigunakan metoda diagonalisasi matrik Hamilton di awalsimulasi sistem.

Dalam simulasi pada temperatur konstan 175°K,tersebut kami menggunakan parameter Q=205, dengansatuan energi x waktu2, dan titik potong Rc=2,80A.Gambar 4 menunjukkan temperatur sistem sebagai fungsiwaktu untuk suatu simulasi selama 2 pikodetik. Dalamgambar tersebut ditunjukkan keadaan temperatur sistemuntuk kedua metoda simulasi, yaitu baik untukLagrangean semu maupun Lagrangean fisis (minimisasienergi sistem dilakukan di setiap langkah integrasi.Sedangkan di gambar 5 kami tunjukkan potensial atomatom sebagai fungsi waktu. Dari kedua gambar ini dapatkita lihat bahwa meskipun temperatur sistem Lagrangeansemu lebih dekat ke temperatur yang diinginkandibandingkan Lagrangean fisis namun potensialkeduanya nyaris sarna.

Gambar 5 menunjukkan sistem pada temperaturleburnya. Untuk simulasi ini kami menggunakan

~, 6 J~ 2001

~ ~ H..ltiL..l 15tt...t P~)H~~ 1(. ~

Harga Q, yang terlalu kecil akan menyebabkan tiadanyainteraksi antara massa sumber panas dan massa atom,masing masing mencapai keadaan seimbangnya sendirisendiri. Untuk harga Q=2400, kami mencapai ketelitiandalam orde 10.3.

dukungan terse but penelitian dan hasilnya tidak dapatkami sajikan dan laporkan di sini. '

DAFTARPUSTAKA

[1]. B.J. ALDER AND T.E. WAINWRIGHT, J.Chern. Phys. 27,1208 (1957)

[2]. T.E. KAP.AKASIDIS AND M. MEYER,Modeling Simul. in Mat. Sci. and Eng. (8 ),117(2000)

[3]. O.M. CABARCOS ADN J.M. LISY, Inti. Journalof Mass Spectroscopy (185 186187),883 (1999)

[4]. S. PALUCHA AND Z. GBURSKI, J. Mol.Structure (480-481 ),343 (1999)

[5]. YOUNG-KYUN KWON, D. TOMANEK, ADNS. IIJIMA, Phys. Rev. Lett. (82), 1470 (1999)

[6]. M. J. MEHL AND D. A. PAPACONSTANTOPOULOS, Phys. Rev. B (54), 4519(1996)

[7]. L. VERLET, Phys. Rev. (159),98 (1967)[8]. TOMANEK AND SCHL"UTER, Phys. Rev. Lett.

(56), 1055 (1986)[9]. D.J. CHADI, Phys. Rev. B (29),785 (1984) 9[10]. K. RAGHAVACHARI, J. Chern. Phys. (83),

3520 (1985 )[11]. F.S. KHAN AND J.Q. BROUGHTON, Phys. Rev.

(39 ), 3688 (1989 )[12]. W. KOHN AND L.J. SHAM, Phys. Rev. (140),

Al133 (1965 )[13]. J.M. THIJSSEN, Computational Physics,

Cambridge University Press, Cambridge 1999[14]. TOM'AS A. ARIAS, Notes on the (ab initio)

theory of molecules and solids: Density functionaltheory, Physics 680 class notes, Department ofPhysics, Cornell University, Cornell 2000

[15]. R. CAR AND M. PARRINELLO, Phys. Rev.Lett. (55),2471 (1985 )

[16]. J.M. HAILE, Molecular Dynamics Simulation:Elementary Methods, John Wiley, New York,1992 16

[17]. RAHMAN, Phys. Rev. (136) (2A), 405 (1964)[18]. C.W. GEAR, Numerical Initial Value Problems

in Ordinary Differential Equations, Prentice-Hall,Englewood Cliffs, NJ 1971

[19]. S. NOS'E, Molec. Phys. (52),255 (1984)(20]. W.G. HOOVER, Phys. Rev. A (31 ),1695 (1985)[21]. D.C. RAPAPORT, The Art of Molecular

Dynamics Simulation, Cambridge UniversityPress, Cambridge 1995

[22]. STICH, R. CAR, M. PARRINELLO, Phys. Rev.Lett. 63,2240 (1989 )

3.0

l

2.0

-;:-'51

.0

"

0.0 ...J! .I ..I0.0 1.2 2.4 3.6 4.8 6.0

jarak r(A)

Gambar 7. Korelasi pasangan g(r), versus jarak r, padatemperatur lebur sistem.Simulasi berlangsung dalamwaktu 0,15 pikodetik. Bulatan hitam berasal dari difraksisinar X [22] sedangkan garis vertikal terputus-putusmerupakan lokasi titik potong

KESIMPULAN

Dalam makalah ini telah dikemukakan secaracukup rinci mengenai metoda simulasi dinamikamolekul. Kerincian dari makalah ini dimaksudkan agardapat digunakan sebagai sumber bagi para pemuladalam menggunakan metoda ini untuk keperluannyamasing masing. Sebagai contoh aplikasi sederhana telahdisajikan basil simulasi sistem silikon denganmenggunakan energi ikatan kuat dan formalisma Carr-Parrinello. Sengaja dipilih sistem ini karena telah banyakbasil basil mengenai sistem ini dari peniliti terdahuluyang menggunakan berbagai metoda lainnya. Dengandemikian sistem silikon ini dapat digunakan untukmenguji keabsahan simulasi yang telah kami lakukan itu.Walaupun simulasi yang kami lakukan bersifat sangatdini dan sederhana namun hasilnya temyata tidak banyakberbeda dengan basil para peneliti terdahulu.

PENGHARGAAN

Kami ingin menyampaikan ucapan terima kasihkepada Menteri Riset dan Teknologi Republik Indonesiayang telah memberikan dukungan keuangan bagipenelitian ini melalui RUT V 1997 -1999. Tanpa

12 ~I 6 J~ 2001