Embed Size (px)
Citation preview
Algebra y Matematica Discreta Sesion de Teorıa 25
Algebra y Matematica Discreta
Sesion de Teorıa 25
(c) 2013 Leandro Marın, Francisco J. Vera, Gema M. Dıaz
9 Dic 2013 - 15 Dic 2013
Algebra y Matematica Discreta Sesion de Teorıa 25
Producto Escalar
Producto Vectorial
Titulo
Hemos visto que el metodo de Gram Schmidt nos permitecalcular bases ortogonales y ortonormales.
Algebra y Matematica Discreta Sesion de Teorıa 25
Producto Escalar
Producto Vectorial
Titulo
Hemos visto que el metodo de Gram Schmidt nos permitecalcular bases ortogonales y ortonormales.
Cuando queremos calcular una base del espacio ortogonal,podemo usar M⊥.
Algebra y Matematica Discreta Sesion de Teorıa 25
Producto Escalar
Producto Vectorial
Titulo
Hemos visto que el metodo de Gram Schmidt nos permitecalcular bases ortogonales y ortonormales.
Cuando queremos calcular una base del espacio ortogonal,podemo usar M⊥.
Vamos a introducir una tercera tecnica, que es el productovectorial.
Algebra y Matematica Discreta Sesion de Teorıa 25
Producto Escalar
Producto Vectorial
Titulo
Hemos visto que el metodo de Gram Schmidt nos permitecalcular bases ortogonales y ortonormales.
Cuando queremos calcular una base del espacio ortogonal,podemo usar M⊥.
Vamos a introducir una tercera tecnica, que es el productovectorial.
El producto vectorial tiene multiples aplicaciones, aunque aquıapenas vamos a utilizarlas. Unicamente vamos a usarlo paracalcular vectores perpendiculares en R
3.
Algebra y Matematica Discreta Sesion de Teorıa 25
Producto Escalar
Producto Vectorial
Definicion
Sean v = (v1, v2, v3) y w = (w1,w2,w3) dos vectores de R3.
Algebra y Matematica Discreta Sesion de Teorıa 25
Producto Escalar
Producto Vectorial
Definicion
Sean v = (v1, v2, v3) y w = (w1,w2,w3) dos vectores de R3.
Llamaremos producto vectorial v × w al vector
v × w =
(∣
∣
∣
∣
v2 v3w2 w3
∣
∣
∣
∣
,−
∣
∣
∣
∣
v1 v3w1 w3
∣
∣
∣
∣
,
∣
∣
∣
∣
v1 v1w1 w2
∣
∣
∣
∣
)
.
Algebra y Matematica Discreta Sesion de Teorıa 25
Producto Escalar
Producto Vectorial
Definicion
Sean v = (v1, v2, v3) y w = (w1,w2,w3) dos vectores de R3.
Llamaremos producto vectorial v × w al vector
v × w =
(∣
∣
∣
∣
v2 v3w2 w3
∣
∣
∣
∣
,−
∣
∣
∣
∣
v1 v3w1 w3
∣
∣
∣
∣
,
∣
∣
∣
∣
v1 v1w1 w2
∣
∣
∣
∣
)
.
Esto se suele recordar facilmente introduciendo tres sımbolos,i, j, k y haciendo el determinante
∣
∣
∣
∣
∣
∣
i j k
v1 v2 v3w1 w2 w3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
v2 v3w2 w3
∣
∣
∣
∣
i−
∣
∣
∣
∣
v1 v3w1 w3
∣
∣
∣
∣
j+
∣
∣
∣
∣
v1 v1w1 w2
∣
∣
∣
∣
k.
Algebra y Matematica Discreta Sesion de Teorıa 25
Producto Escalar
Producto Vectorial
Si en lugar de introducir los sımbolos i, j y k, e introducimoslos valores x , y , z , la ecuacion
∣
∣
∣
∣
∣
∣
x y z
v1 v2 v3w1 w2 w3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= 0
Algebra y Matematica Discreta Sesion de Teorıa 25
Producto Escalar
Producto Vectorial
Si en lugar de introducir los sımbolos i, j y k, e introducimoslos valores x , y , z , la ecuacion
∣
∣
∣
∣
∣
∣
x y z
v1 v2 v3w1 w2 w3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= 0
Nos representa los vectores (x , y , z) que son linealmentedependientes con v y w , es decir, precisamente el planogenerado por ellos.
Algebra y Matematica Discreta Sesion de Teorıa 25
Producto Escalar
Producto Vectorial
Si en lugar de introducir los sımbolos i, j y k, e introducimoslos valores x , y , z , la ecuacion
∣
∣
∣
∣
∣
∣
x y z
v1 v2 v3w1 w2 w3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= 0
Nos representa los vectores (x , y , z) que son linealmentedependientes con v y w , es decir, precisamente el planogenerado por ellos.
Por lo tanto los coeficientes que nos salen, que son los delproducto vectorial, son los mismos que cuando calculabamosM⊥, pero de una forma mucho mas compacta.
Algebra y Matematica Discreta Sesion de Teorıa 25
Producto Escalar
Producto Vectorial
Si en lugar de introducir los sımbolos i, j y k, e introducimoslos valores x , y , z , la ecuacion
∣
∣
∣
∣
∣
∣
x y z
v1 v2 v3w1 w2 w3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= 0
Nos representa los vectores (x , y , z) que son linealmentedependientes con v y w , es decir, precisamente el planogenerado por ellos.
Por lo tanto los coeficientes que nos salen, que son los delproducto vectorial, son los mismos que cuando calculabamosM⊥, pero de una forma mucho mas compacta.
El producto vectorial solo lo definiremos en R3.
Algebra y Matematica Discreta Sesion de Teorıa 25
Producto Escalar
Producto Vectorial
Propiedades del Producto Vectorial
Vamos a listar algunas de las propiedades del productovectorial (aunque tiene muchas mas).
Algebra y Matematica Discreta Sesion de Teorıa 25
Producto Escalar
Producto Vectorial
Propiedades del Producto Vectorial
Vamos a listar algunas de las propiedades del productovectorial (aunque tiene muchas mas).
u × v = −v × u.
Algebra y Matematica Discreta Sesion de Teorıa 25
Producto Escalar
Producto Vectorial
Propiedades del Producto Vectorial
Vamos a listar algunas de las propiedades del productovectorial (aunque tiene muchas mas).
u × v = −v × u.
u × (v + w) = u × v + u × w .
Algebra y Matematica Discreta Sesion de Teorıa 25
Producto Escalar
Producto Vectorial
Propiedades del Producto Vectorial
Vamos a listar algunas de las propiedades del productovectorial (aunque tiene muchas mas).
u × v = −v × u.
u × (v + w) = u × v + u × w .
(αu)× v = α(u × v).
Algebra y Matematica Discreta Sesion de Teorıa 25
Producto Escalar
Producto Vectorial
Propiedades del Producto Vectorial
Vamos a listar algunas de las propiedades del productovectorial (aunque tiene muchas mas).
u × v = −v × u.
u × (v + w) = u × v + u × w .
(αu)× v = α(u × v).
u × (v × w) + v × (w × u) + w × (u × v) = 0 (identidad deJacobi).
Algebra y Matematica Discreta Sesion de Teorıa 25
Producto Escalar
Proyecciones en el Espacio
Planteamiento
Para definir una proyeccion, necesitamos conocer el planosobre el que proyectamos.
Algebra y Matematica Discreta Sesion de Teorıa 25
Producto Escalar
Proyecciones en el Espacio
Planteamiento
Para definir una proyeccion, necesitamos conocer el planosobre el que proyectamos.
Todos los puntos del espacio iran a ese plano siguiendo unadireccion constante, nosotros tomaremos la direccionperpendicular.
Algebra y Matematica Discreta Sesion de Teorıa 25
Producto Escalar
Proyecciones en el Espacio
Planteamiento
Para definir una proyeccion, necesitamos conocer el planosobre el que proyectamos.
Todos los puntos del espacio iran a ese plano siguiendo unadireccion constante, nosotros tomaremos la direccionperpendicular.
Por ejemlo, en una habitacion, proyectar sobre el suelosignifica calcular donde irıan todos los puntos de la habitacionsi se calleran al suelo.
Algebra y Matematica Discreta Sesion de Teorıa 25
Producto Escalar
Proyecciones en el Espacio
Planteamiento
Para definir una proyeccion, necesitamos conocer el planosobre el que proyectamos.
Todos los puntos del espacio iran a ese plano siguiendo unadireccion constante, nosotros tomaremos la direccionperpendicular.
Por ejemlo, en una habitacion, proyectar sobre el suelosignifica calcular donde irıan todos los puntos de la habitacionsi se calleran al suelo.
La proyeccion se puede hacer en cualquier plano, es como sihicieramos una fotografıa del espacio.
Algebra y Matematica Discreta Sesion de Teorıa 25
Producto Escalar
Proyecciones en el Espacio
Matriz de la Proyeccion
Volvamos al ejemplo del suelo, imaginemos que el plano queproyectamos es nuestro suelo, que tenemos en coordenadas xe y .
Algebra y Matematica Discreta Sesion de Teorıa 25
Producto Escalar
Proyecciones en el Espacio
Matriz de la Proyeccion
Volvamos al ejemplo del suelo, imaginemos que el plano queproyectamos es nuestro suelo, que tenemos en coordenadas xe y .
La altura nos viene dada por la coordenada z .
Algebra y Matematica Discreta Sesion de Teorıa 25
Producto Escalar
Proyecciones en el Espacio
Matriz de la Proyeccion
Volvamos al ejemplo del suelo, imaginemos que el plano queproyectamos es nuestro suelo, que tenemos en coordenadas xe y .
La altura nos viene dada por la coordenada z .
Si quisieramos proyectar en esta situacion ideal, lo unico quetenemos que hacer es llevar la coordenada z a 0 y quedarnoscon las coordendas x e y .
Algebra y Matematica Discreta Sesion de Teorıa 25
Producto Escalar
Proyecciones en el Espacio
Matriz de la Proyeccion
Volvamos al ejemplo del suelo, imaginemos que el plano queproyectamos es nuestro suelo, que tenemos en coordenadas xe y .
La altura nos viene dada por la coordenada z .
Si quisieramos proyectar en esta situacion ideal, lo unico quetenemos que hacer es llevar la coordenada z a 0 y quedarnoscon las coordendas x e y .
Expresado en forma matricial, esta proyeccion tiene comomatriz
P =
1 0 00 1 00 0 0
.
Algebra y Matematica Discreta Sesion de Teorıa 25
Producto Escalar
Proyecciones en el Espacio
Planteamiento General
Si no estamos en esa situacion ideal y nuestro plano escualquier otro, no tenemos mas que hacer un cambio de base.
Algebra y Matematica Discreta Sesion de Teorıa 25
Producto Escalar
Proyecciones en el Espacio
Planteamiento General
Si no estamos en esa situacion ideal y nuestro plano escualquier otro, no tenemos mas que hacer un cambio de base.
Elegiremos los dos primeros vectores de la base en el plano,para que queden fijos y el tercero perpendicular, de forma quevaya al 0.
Algebra y Matematica Discreta Sesion de Teorıa 25
Producto Escalar
Proyecciones en el Espacio
Planteamiento General
Si no estamos en esa situacion ideal y nuestro plano escualquier otro, no tenemos mas que hacer un cambio de base.
Elegiremos los dos primeros vectores de la base en el plano,para que queden fijos y el tercero perpendicular, de forma quevaya al 0.
Luego haremos un cambio de base, y despejaremos el valor dela proyeccion.
Algebra y Matematica Discreta Sesion de Teorıa 25
Producto Escalar
Proyecciones en el Espacio
Planteamiento General
Si no estamos en esa situacion ideal y nuestro plano escualquier otro, no tenemos mas que hacer un cambio de base.
Elegiremos los dos primeros vectores de la base en el plano,para que queden fijos y el tercero perpendicular, de forma quevaya al 0.
Luego haremos un cambio de base, y despejaremos el valor dela proyeccion.
Vamos a verlo con un ejemplo.
Algebra y Matematica Discreta Sesion de Teorıa 25
Producto Escalar
Proyecciones en el Espacio
Enunciado
Calcula la matriz de la proyeccion ortogonal de R3 sobre el espacio
generado por
−3−10
,
00
−1
expresada en base canonica.
Algebra y Matematica Discreta Sesion de Teorıa 25
Producto Escalar
Proyecciones en el Espacio
Poner Nombres
Siempre conviene poner los nombres a los vectores de forma quepodamos recordar facilmente que es cada vector:
v1 =
−3−10
, v2 =
00
−1
Algebra y Matematica Discreta Sesion de Teorıa 25
Producto Escalar
Proyecciones en el Espacio
Calculo de v3
El vector v3 tiene que ser perpendicular a v1 y v2 para encontrarlopodemos calcular el producto vectorial de ambos
v3 = v1 × v2 =
1−30
Algebra y Matematica Discreta Sesion de Teorıa 25
Producto Escalar
Proyecciones en el Espacio
Cambio de Base y Resultado
La base B que hemos encontrado para expresar la proyeccion deforma sencilla es
−3 0 1−1 0 −30 −1 0
.
En esa base, la matriz de la proyeccion es
P =
1 0 00 1 00 0 0
Algebra y Matematica Discreta Sesion de Teorıa 25
Producto Escalar
Proyecciones en el Espacio
Cambio de Base y Resultado II
Si llamamos π : R3→ R
3 a la aplicacion que estamos buscando,sabemos que en base B tiene como matriz P , por lo que podemosplantear el siguiente diagrama:
R3 π
//
R3
R3
B
OO
P//
R3
B
OO
Por lo tanto la matriz de π es
π = BPB−1 =
−3 0 1−1 0 −30 −1 0
1 0 00 1 00 0 0
−310
−110
00 0 −1110
−310
0
=
910
310
0310
110
00 0 1
.
Algebra y Matematica Discreta Sesion de Teorıa 25
Producto Escalar
Simetrıas de R3
Plantemiento
Una simetrıa es casi lo mismo que una proyeccion, lo que pasaes que en lugar de llevar los puntos al plano, cada punto lollevamos a su opuesto en relacion al plano.
Algebra y Matematica Discreta Sesion de Teorıa 25
Producto Escalar
Simetrıas de R3
Plantemiento
Una simetrıa es casi lo mismo que una proyeccion, lo que pasaes que en lugar de llevar los puntos al plano, cada punto lollevamos a su opuesto en relacion al plano.
Con el mismo ejemplo del suelo, es como si los puntos queestan sobre el suelo los llevasemos a su misma posicion peroen la direccion el piso de abajo, y los de abajo los llevasemosarriba, dejando fijos los puntos del plano.
Algebra y Matematica Discreta Sesion de Teorıa 25
Producto Escalar
Simetrıas de R3
Plantemiento
Una simetrıa es casi lo mismo que una proyeccion, lo que pasaes que en lugar de llevar los puntos al plano, cada punto lollevamos a su opuesto en relacion al plano.
Con el mismo ejemplo del suelo, es como si los puntos queestan sobre el suelo los llevasemos a su misma posicion peroen la direccion el piso de abajo, y los de abajo los llevasemosarriba, dejando fijos los puntos del plano.
Dicho de otra forma, cambiamos el signo de la coordenada z .
Algebra y Matematica Discreta Sesion de Teorıa 25
Producto Escalar
Simetrıas de R3
Plantemiento
Una simetrıa es casi lo mismo que una proyeccion, lo que pasaes que en lugar de llevar los puntos al plano, cada punto lollevamos a su opuesto en relacion al plano.
Con el mismo ejemplo del suelo, es como si los puntos queestan sobre el suelo los llevasemos a su misma posicion peroen la direccion el piso de abajo, y los de abajo los llevasemosarriba, dejando fijos los puntos del plano.
Dicho de otra forma, cambiamos el signo de la coordenada z .
Expresado en forma matricial,
S =
1 0 00 1 00 0 −1
.
.
Algebra y Matematica Discreta Sesion de Teorıa 25
Producto Escalar
Simetrıas de R3
Solucion
Si nos dan un plano general, lo que tenemos que hacer comoen el otro caso es un cambio de base.
Algebra y Matematica Discreta Sesion de Teorıa 25
Producto Escalar
Simetrıas de R3
Solucion
Si nos dan un plano general, lo que tenemos que hacer comoen el otro caso es un cambio de base.
Dos vectores sobre el plano, que quedan fijos y un terceroperpendicular que cambia de signo.
Algebra y Matematica Discreta Sesion de Teorıa 25
Producto Escalar
Simetrıas de R3
Solucion
Si nos dan un plano general, lo que tenemos que hacer comoen el otro caso es un cambio de base.
Dos vectores sobre el plano, que quedan fijos y un terceroperpendicular que cambia de signo.
Los pasos son casi identicos que en el caso de la proyeccion.
Algebra y Matematica Discreta Sesion de Teorıa 25
Producto Escalar
Simetrıas de R3
Enunciado
Calcula la matriz de la simetrıa ortogonal de R3 respecto al espacio
generado por
20
−1
,
−3−10
expresada en base canonica.
Algebra y Matematica Discreta Sesion de Teorıa 25
Producto Escalar
Simetrıas de R3
Poner Nombres
v1 =
20
−1
, v2 =
−3−10
Algebra y Matematica Discreta Sesion de Teorıa 25
Producto Escalar
Simetrıas de R3
Calcular v3
El vector v3 tiene que ser perpendicular a v1 y v2 para encontrarlopodemos calcular el producto vectorial de ambos
v3 = v1 × v2 =
−13
−2
Algebra y Matematica Discreta Sesion de Teorıa 25
Producto Escalar
Simetrıas de R3
Cambio de Base y Solucion
La base B que hemos encontrado para expresar la simetrıa deforma sencilla es
2 −3 −10 −1 3
−1 0 −2
.
En esta base, la matriz de la simetrıa sera
S =
1 0 00 1 00 0 −1
Algebra y Matematica Discreta Sesion de Teorıa 25
Producto Escalar
Simetrıas de R3
Cambio de Base y Solucion II
Si llamamos σ : R3→ R
3 a la aplicacion que estamos buscando,sabemos que en base B tiene como matriz S , por lo que podemosplantear el siguiente diagrama:
R3 σ
//
R3
R3
B
OO
S//
R3
B
OO
Por lo tanto la matriz de σ es
σ = BSB−1 =
2 −3 −10 −1 3
−1 0 −2
1 0 00 1 00 0 −1
17
−37
−57
−314
−514
−37
−114
314
−17
=
67
37
−27
37
−27
67
−27
67
37
.
