Teor´ıa de la medida - UPV/EHU

Teorıa de la medida

Pedro Alegrı[email protected]

Departamento de MatematicasUniversidad del Paıs Vasco

Bilbao - Espana

Apuntes elaborados especialmente para mis alumnos del curso de Maestrıa en Matematicasde la Universidad Nacional de Asuncion (Paraguay), en agosto de 2007.

Indice general

1. Integral de Lebesgue en R 7

1.1. Motivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1. Deficiencias de la integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.2. Nueva forma de contar rectangulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2. Conceptos previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3. Tres principios de Littlewood . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.1. Todo conjunto medible es casi union finita de intervalos . . . . . . . . 12

1.3.2. Toda funcion medible es casi continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3.3. Toda sucesion convergente de funciones medibles es casi uniformementeconvergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.4. Integral de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.4.1. Definiciones y primeros resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.4.2. Teoremas de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.4.3. El espacio L1 de funciones integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.4.4. Convergencia en medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.5. Derivacion e integracion de funciones medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.5.1. Diferenciacion de funciones monotonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.5.2. Funciones de variacion acotada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.5.3. Derivacion de una integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1.5.4. Continuidad absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1.5.5. Funciones convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

1.6. Calculo integral de funciones integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

1.6.1. Formulas de integracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

1.6.2. Integrales dependientes de un parametro . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

1.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2. Teorıa de la medida abstracta 73

3

4 INDICE GENERAL

2.1. Espacios de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

2.2. Funciones medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2.3. Integracion de funciones medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.4. Teoremas generales de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

2.5. Medidas con signo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

2.6. Teorema de Radon-Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

2.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3. Espacios Lp 97

3.1. Espacios normados. Definicion y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.2. Desigualdades de Holder y Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.3. Espacios Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3.4. Propiedades de los espacios normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

3.5. Funcionales lineales acotados en Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

3.5.1. Teorema de representacion de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

3.5.2. Espacio dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

3.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

4. Construccion de medidas abstractas 123

4.1. Medida exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

4.2. Teorema de extension de Caratheodory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

4.3. Medidas producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

4.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

Cronologıa

1872 ... Construccion de Weierstrass de una funcion diferenciable en ningun punto.

1881 ... Definicion de Jordan de las funciones de variacion acotada.

1883 ... Definicion de Cantor de medida de un conjunto acotado de Rn.

1890 ... Construccion de Peano de la curva que llena el espacio.

1898 ... Definicion de los conjuntos medibles Borel.

1902 ... Presentacion de la teorıa de la medida e integracion de Lebesgue.

1905 ... Construccion de Vitali de conjuntos no medibles.

5

Capıtulo 1

Integral de Lebesgue en R

Lo que el analisis te da con una mano te lo quita con la otra. Retrocedo con panicofrente a esta lamentable plaga de funciones continuas que no tienen derivada.

C. Hermite

1.1. Motivacion

La teorıa de integracion de Riemann presentada en 1854 es una adaptacion de la teorıa deCauchy debilitando las hipotesis necesarias para que una funcion sea integrable. MientrasCauchy restringıa la integrabilidad a funciones continuas, Riemann dio una condicion nece-saria y suficiente para la integrabilidad de una funcion: una funcion acotada f(x) es integrableen [a, b] si y solo si la suma de Cauchy

S =n∑k=1

f(tk)(xk − xk−1),

donde a = x0 < x1 < . . . < xn = b y tk ∈ [xk−1, xk], se aproxima a un unico valor lımitecuando el tamano de la particion del intervalo se aproxima a 0. Este unico valor lımite es

por definicion∫ b

af(x) dx. Aunque lo que Riemann hizo nos pueda parecer ahora un paso

casi trivial a partir de la integral de Cauchy, historicamente represento un gran salto, yaque involucraba un concepto radicalmente diferente de funcion. De hecho, en su tiempo, lateorıa de Riemann parecıa la mas general posible: su condicion de integrabilidad era la masdebil usando la definicion tradicional de Cauchy; de hecho, permitıa extender el concepto deintegral a funciones cuyos puntos de discontinuidad forman un conjunto denso, funciones cuyaexistencia ni siquiera habıa sido sospechada por la mayorıa de los matematicos de la epoca.Una nueva generalizacion parecıa por lo tanto impensable. Impensable siempre y cuando lasuma de Cauchy fuese tomada como punto de partida para la definicion de integral. Es eneste sentido que la idea de medida se hace fundamental para sentar las bases de una nuevadefinicion de integral, la cual se hacıa cada vez mas necesaria despues de los trabajos deFourier y Dirichlet para admitir funciones cada vez mas discontinuas.

7

8 1.1. Motivacion

1.1.1. Deficiencias de la integral de Riemann

El nuevo concepto de integral que desarrollamos en este curso tratara de solventar las defi-ciencias que presentaba la integral de Riemann y que se hicieron patentes a partir de 1890.Basicamente, deseamos que la integral de Lebesgue resuelva alguna de las limitaciones queenumeramos a continuacion.

1. La clase de funciones integrables Riemann es relativamente pequena. Solo alcanza lasfunciones con una cantidad numerable de puntos de discontinuidad finita.

2. La integral de Riemann no tiene propiedades de lımite satisfactorias. Sin hipotesisadicionales, no se puede pasar al lımite bajo el signo integral.

3. En muchos casos, la primitiva de una funcion integrable no es derivable. En muchosotros, la derivada de una funcion no es integrable Riemann.

4. Los espacios Lp (p <∞) no son completos bajo la integral de Riemann.

Ejemplo 1.

Si definimos la sucesion fn : [0, 1] → R por

fn(x) =

2n si 1/2n ≤ x ≤ 1/2n−1

0 en el resto,

entonces 1 = lım∫ 1

0fn(x) dx 6=

∫ 1

0lım fn(x) dx = 0.

Ejemplo 2.

Si definimos la sucesion fn : [0, 1] → R por

fn(x) =

1 si x ∈ r1, . . . , rn0 en el resto,

donde rn es el n-esimo numero racional en [0, 1], entonces fn son integrables Riemann (porquetienen una cantidad finita de puntos de discontinuidad) pero lım fn(x), la funcion de Dirichlet,no es integrable Riemann (es discontinua en todo [0, 1]).

Este ejemplo pone de manifiesto que los teoremas de la convergencia monotona y convergenciadominada (ver seccion 1.4.2) no son ciertos para la integral de Riemann.

1.1.2. Nueva forma de contar rectangulos

Los Geometras del siglo XVII consideraban la integral de f(x) - el termino inte-gral no se habıa inventado aun, pero esto no tiene ninguna importancia - como lasuma de una infinidad de indivisibles cada uno de ellos siendo la ordenada, positivao negativa, de f(x). Y bien, nosotros simplemente hemos agrupado los indivisi-bles de tamano comparable; hemos hecho, como se dice en algebra, la reunion, la

Capıtulo 1. Integral de Lebesgue en R 9

reduccion de los terminos semejantes. Se puede decir que, con el metodo de Rie-mann, se intentaba sumar los indivisibles tomandolos en el orden suministradopor la variacion de x, se procedıa como lo harıa un comerciante desorganizado quecontara monedas y billetes segun fueran cayendo estos en sus manos; en cambionosotros procedemos como el comerciante metodico que dice:

Tengo m(E1) monedas de 1 corona lo que hace 1×m(E1), tengo m(E2) monedasde 2 coronas lo que hace 2×m(E2), tengo m(E3) monedas de 5 coronas lo que hace5×m(E3), etc. Ası tengo en total: S = 1×m(E1)+2×m(E2)+5×m(E3)+ . . . .

Ambos procedimientos conduciran al comerciante, sin ninguna duda, al mismoresultado ya que, por muy rico que sea, no hay mas que un numero finito debilletes que contar; pero para nosotros que tenemos que sumar una infinidad deindivisibles, la diferencia entre los dos metodos es capital.

“Sobre el desarrollo de la nocion de integral”H. Lebesgue, conferencia en Copenhague 1926.

La integral de Riemann se define mediante particiones del dominio de la funcion y calculandoel valor de la funcion en los puntos de cada intervalo de la particion. Sin embargo, para definirla integral de Lebesgue se realiza una particion de la imagen de la funcion y se mide el tamanodel dominio para los cuales la imagen de la funcion esta comprendida entre dichos valores.Para medir los conjuntos x ∈ D(f) : yj−1 ≤ y ≤ yj es necesario desarrollar la teorıa de lamedida.

A grandes rasgos, se pretende generalizar la nocion de longitud en R, area en R2 o volu-men en R3. Mas concretamente, buscamos una funcion no negativa m definida en todos lossubconjuntos de R, que pueda tomar el valor +∞. Intuitivamente se necesita que verifique:

i) m([a, b]) = b− a (la medida de un intervalo es su longitud).

ii) m(A ∪B) = m(A) +m(B), si A y B son disjuntos.

En realidad, los argumentos de lımite que se aplican en la teorıa hacen necesaria lacondicion

ii’) m(⋃i∈N Ai) =

∑i∈N m(Ai), con Ai disjuntos dos a dos.

iii) m(A+ h) = m(A) (la medida es invariante bajo traslaciones).

Un resultado importante de la teorıa es la existencia y unicidad de tal medida, que llamaremosmedida de Lebesgue, cuando nos referimos a una clase razonable de conjuntos, los llamadosconjuntos medibles. Esta clase de conjuntos contiene en particular a los abiertos y sera cer-rada bajo uniones numerables, intersecciones y complementos. Ahora bien, la idea previa depoder asignar una medida a todos los subconjuntos de R no es posible. Demostraremos queexisten conjuntos que no son medibles cuando pedimos las condiciones i) a iii) anteriores. Estasituacion contraria a la intuicion esta relacionada con la famosa paradoja de Banach-Tarski:se puede descomponer la bola unidad de R3 en cinco piezas, las cuales pueden recomponersemediante traslaciones y rotaciones para formar dos bolas unitarias disjuntas (lo que violarıanuestra idea de conservacion del volumen).

10 1.2. Conceptos previos

Ası, el nacimiento de medida puede ser atribuıdo a Emile Borel. Antes de que, en 1904,Lebesgue publicara sus trabajos, Emile Borel publico en 1898 el libro “Lecons sur la theoriedes fonctions”, donde investigaba sobre ciertos conjuntos del intervalo [0, 1]. Pretendıa asig-nar medidas a subconjuntos mas generales que los subintervalos, especialmente a aquellosengendrados mediante uniones numerables o paso al complementario de intervalos. De formaparalela pedıa que estos subconjuntos cumplieran la propiedad de que la medida de la unionde cualquier familia finita o numerable de tales conjuntos disjuntos dos a dos es igual a lasuma de sus medidas; y por otra parte, todos los subintervalos tienen como medida su longi-tud. Como podemos observar, esta definicion de Borel es la definicion de premedida, nombreque mas adelante asignarıa Lebesgue. Borel no probo la existencia y unicidad de dicha defini-cion. Afirma que “el lema fundamental demostrado [...] nos asegura que estas definicionesnunca seran contradictorias entre sı”, y anoto en el pie de pagina de ese mismo libro que “Heomitido toda demostracion ya que la redaccion me parecio tener que ser larga y fastidiosa[...]”. Por otra parte, Borel no hace absolutamente ninguna referencia o insinuacion sobre unaposible conexion entre su concepto de medida y la teorıa de integracion. Aunque Borel no fuecapaz de probar dicho resultado, gracias a las aportaciones de Lebesgue el resultado de Borelqueda incluido en la construccion de la integral de Lebesgue. Mas adelante, a esos conjuntosa los que se referıa Borel, Lebesgue los llamo borelianos por deferencia a su amigo.

1.2. Conceptos previos

Un conjunto A ⊂ R es abierto si

∀x ∈ A, ∃r > 0 : (x− r, x+ r) ⊂ A.

Un conjunto F ⊂ R es cerrado si su complementario F c es abierto.

Una propiedad elemental de estos conjuntos es la siguiente:

La union arbitraria y la interseccion finita de abiertos es abierto.

Un conjunto E ⊂ R es acotado si existe r > 0 tal que E ⊂ (−r, r). Si ademas es cerrado,entonces es compacto y cumple la propiedad de Heine-Borel:

Si E es compacto y E ⊂⋃α∈I Aα, conAα abierto, entonces existe una familia finita Aα1 , . . . , Aαn

tal que E ⊂ Aα1 ∪ · · · ∪Aαn .

Definicion. Se dice que F ∈ Fσ cuando F es union numerable de cerrados.

Analogamente, se dice que G ∈ Gδ cuando G es interseccion numerable de abiertos.

Definicion. Una coleccion A de conjuntos es un algebra si

i) ∅ ∈ A.

ii) A,B ∈ A =⇒ A ∪B ∈ A.

iii) A ∈ A =⇒ Ac ∈ A.

Un algebra A de conjuntos se dice que es una σ-algebra cuando

iv) (Ai)i∈N ⊂ A =⇒⋃i∈N Ai ∈ A.

Ejemplos. 1) P (R) es la mayor σ-algebra de R.

2) ∅,R es la menor σ-algebra de R.


3) Si A = A ⊂ R : A o Ac es finito, entonces A es un algebra pero no una σ-algebra.

Definicion. La coleccion B de conjuntos de Borel es la menor σ-algebra que contienetodos los conjuntos abiertos.

Veremos a continuacion (proposicion 1.2.1) que dicho conjunto existe. Ademas es tambienla mınima σ-algebra que contiene todos los conjuntos cerrados y la mınima σ-algebra quecontiene los intervalos abiertos ası como la mınima σ-algebra que contiene los intervalossemiabiertos.

Ejemplos de conjuntos de Borel son los conjuntos Fσ y Gδ.

Proposicion 1.2.1. Dada cualquier coleccion de conjuntos C, existe la mınima σ-algebra quecontiene a C.

Demostracion. Llamamos F a la familia de todas las σ-algebras que contienen a C y definimosA =

⋂B : B ∈ F. Por definicion, C ⊂ B, para todo B ∈ F , de modo que C ⊂ A. Ademas A

es una σ-algebra (por serlo B, para todo B ∈ F).

Por ultimo, si B es una σ-algebra que contiene a C, entonces B ⊃ A.

Proposicion 1.2.2. Sea A un algebra de conjuntos y (Ai)i∈N ⊂ A. Entonces existe (Bi)i∈N ⊂A tal que Bi ∩Bj = ∅, para i 6= j, y

⋃i∈N

Bi =⋃i∈N

Ai.

Demostracion. Definimos

B1 = A1

Bn = An \ (A1 ∪ . . . An−1) = An ∩Ac1 ∩ . . . Acn−1.

Es evidente que Bn ∈ A y que Bn ⊂ An para todo n. Por tanto,⋃Bi ⊂

⋃Ai.

Ademas, si suponemos m < n,

Bm ∩Bn ⊂ Am ∩Bn = Am ∩An ∩Ac1 ∩ · · · ∩Acn−1 = ∅.

Por ultimo, si x ∈⋃Ai, supongamos que n0 es el menor valor de i ∈ N tal que x ∈ Ai.

Ası pues, x ∈ Bn0 y x ∈⋃Bi.

1.3. Tres principios de Littlewood

La cantidad de conocimientos necesarios en la teorıa de funciones de una variablereal no es tan grande como se puede suponer. Hay tres principios, que se expresana grandes rasgos de la siguiente manera:

Todo conjunto medible es casi una union finita de intervalos;

Toda funcion medible es casi continua;

Toda sucesion convergente de funciones medibles es casi uniformemente con-vergente.

12 1.3. Tres principios de Littlewood

La mayorıa de los resultados de la teorıa consiste en aplicaciones intuitivas deestas ideas.

H. Littlewood

Realizaremos en este apartado el proceso de construccion de conjuntos medibles y funcionesintegrables en la recta real con el objetivo de cumplir los tres principios establecidos porLittlewood.

1.3.1. Todo conjunto medible es casi union finita de intervalos

El primer resultado en esta direccion no necesita ningun concepto especial de medida.

Teorema 1.3.1. Todo conjunto abierto A ⊂ R se puede escribir de forma unica como unionnumerable de intervalos abiertos disjuntos.

Demostracion. Para cualquier x ∈ A, sea Ix el mayor intervalo abierto que contiene a x yesta contenido en A. Mas concretamente, si Ix = (ax, bx), entonces

ax = ınfa < x : (a, x) ⊂ A, bx = supb > x : (x, b) ⊂ A.

De este modo, A =⋃x∈A Ix. Veamos que la union es disjunta.

Para ello, supongamos que Ix∩Iy 6= ∅. Como Ix∪Iy ⊂ A y ademas x ∈ Ix∪Iy, necesariamenteIx∪Iy ⊂ Ix. De forma analoga se prueba que Ix∪Iy ⊂ Iy, lo cual solo puede ocurrir si Ix = Iy.

Por ultimo, cada intervalo Ix debe contener un numero racional y, al ser disjuntos dos inter-valos distintos, deben contener racionales diferentes. Esto quiere decir que la familia (Ix)x∈Aes numerable.

El primer concepto que nos permitira el desarrollo de la teorıa de la medida es el de medidaexterior. Su definicion obedece a ideas intuitivas pero carece de la propiedad de aditividadnumerable.

Definicion. Dado un conjunto E ⊂ R, se define la medida exterior de E como

m∗(E) = ınfE⊂

⋃In

∑n∈N

m(In),

donde In son intervalos abiertos.

De la definicion se deduce inmediatamente que m∗(∅) = 0 y que m∗(A) ≤ m∗(B) si A ⊂ B.Ademas, si A tiene solo un punto, m∗(A) = 0. Observemos ademas que puede tomar el valor+∞. Es tambien evidente que m∗ es invariante bajo traslaciones.

La definicion intenta describir la medida de un conjunto aproximandolo desde el exterior(de ahı su nombre). Cuanto mas fino sea el cubrimiento del conjunto, mas proxima esta sumedida a la suma de las longitudes de los intervalos.

Una definicion completamente analoga se puede dar en Rk.

Proposicion 1.3.2. La medida exterior de un intervalo coincide con su longitud.


Demostracion. Caso 1. Dado el intervalo [a, b], para cualquier ε > 0, [a, b] ⊂ (a − ε, b + ε).Entonces m∗([a, b]) ≤ b− a+ 2ε, de modo que m∗([a, b]) ≤ b− a.

Falta ver que m∗([a, b]) ≥ b − a lo cual equivale a probar que, si (In)n∈N es una sucesion deintervalos que cubren a [a, b], entonces

∑n∈N m(In) ≥ b− a.

Por la compacidad de [a, b], podemos aplicar el teorema de Heine-Borel. Ası pues, basta

probar queN∑n=1

m(In) ≥ b− a, donde I1, . . . , IN es un cubrimiento finito de [a, b].

Podemos suponer que a ∈ I1 = (a1, b1). Si b1 ≤ b, como b1 ∈ [a, b], debe existir I2 = (a2, b2)tal que b1 ∈ I2.Siguiendo este proceso, obtenemos una familia (a1, b1), . . . , (ak, bk) contenida en (Ii)Ni=1 talque ai < bi−1 < bi (i = 2, . . . , k).

Como el conjunto (Ii)Ni=1 cubre al intervalo [a, b], necesariamente b ∈ (ak, bk). Entonces

N∑n=1

m(In) ≥k∑i=1

m(ai, bi) = bk − ak + bk−1 − ak−1 + · · ·+ b1 − a1 > bk − a1 > b− a

porque ai < bi−1, bk > b y a1 < a.

Caso 2. Si I es un intervalo finito, dado ε > 0, existe J intervalo cerrado tal que J ⊂ I ym(J) > m(I)− ε. Entonces

m(I)− ε < m(J) = m∗(J) ≤ m∗(I) ≤ m∗( I) = m( I) = m(I),

con lo que m∗(I) = m(I).

Caso 3. Si I es un intervalo infinito, dado cualquier M ∈ R, existe J intervalo cerrado talque J ⊂ I y m(J) = M . Entonces

m∗(I) ≥ m∗(J) = m(J) = M.

Por tanto, m∗(I) = ∞ = m(I).

Ejemplo. El conjunto de Cantor juega un importante papel en la teorıa de conjuntos y esun ejemplo de conjunto con medida exterior cero.

Para construirlo, empezamos con el intervalo cerrado

C0 = [0, 1].

Si dividimos el intervalo en tres partes iguales y eliminamos la central, obtenemos

C1 = [0, 1/3] ∪ [2/3, 1].

Repitiendo el proceso con los dos intervalos resultantes, tenemos

C2 = [0, 1/32] ∪ [2/32, 1/3] ∪ [2/3, 7/32] ∪ [8/32, 1].


C20 11

37

98

92

31

92

9

C10 11

32

3

C00 1

Con este procedimiento, obtenemos una sucesion (Ck)k≥0 de conjuntos cerrados tales queCk+1 ⊂ Ck (k ≥ 0).

Por definicion, el conjunto de Cantor es C =⋂k≥0Ck.

Sus propiedades mas importantes son las siguientes:

Es compacto.

Basta observar que es cerrado y esta contenido en [0, 1].

Es perfecto (todo punto de C es de acumulacion).

Cada Ck es union de 2k intervalos cerrados disjuntos cuyos extremos estan en C (puesun extremo de cualquier intervalo de Ck es extremo de algun intervalo de Ck+1. Ası pues,si x ∈ C, para cualquier k ∈ N, x ∈ Ck. Por tanto x esta contenido en alguno de los2k intervalos de longitud 3−k. Basta elegir xk 6= x como uno de los extremos de dichointervalo para que |x− xk| ≤ 3−k.

Es denso en ninguna parte (int C = ∅).Esto es consecuencia de que m∗(C) = 0 pues, si existe (a, b) ⊂ C, entonces b − a ≤m∗(C) = 0.

Es totalmente disconexo (∀x, y ∈ C, x < y, ∃z ∈ (x, y) con z 6∈ C).

Se deduce de la propia construccion.

Es no numerable.

En primer lugar, establecemos la biyeccion entre el conjunto de sucesiones de ceros yunos quitando aquellas sucesiones que tienen todos los terminos iguales a uno a partirde un cierto elemento, y el conjunto [0, 1), definida por (xk)k∈N 7→ x =

∑k∈N

xk

2k (lo queequivale a escribir xmediante su representacion binaria). A continuacion establecemos labiyeccion que a cada sucesion anterior le asigna el punto de C \1 mediante (xk)k∈N 7→y =

∑k∈N

2xk

3k =∑

k∈Nyk

3k . De este modo 0, y1y2 . . . es la representacion ternaria de y,la cual corresponde a un punto de C si y solo si yk = 0 o yk = 2.

Tiene medida exterior cero.

Por construccion, C ⊂ Ck, donde Ck es union disjunta de 2k intervalos cerrados, delongitud 3−k. Por tanto, m∗(C) ≤ (2/3)k, ∀k, con lo que m∗(C) = 0.

Proposicion 1.3.3. Si (An)n∈N es una sucesion de conjuntos en R, entonces

m∗(⋃n∈N

An) ≤∑n∈N

m∗(An).


Demostracion. Si algun An tiene medida exterior infinita, la desigualdad es evidente.

Si m∗(An) <∞, para todo n, dado ε > 0, existe una sucesion (In,i)i∈N de intervalos abiertostal que An ⊂

⋃i∈N In,i y

∑i∈N m(In,i) < m∗(An)+ 2−n · ε. La sucesion doble (In,i)n,i∈N cubre

a⋃n∈N An y

m∗(⋃n∈N

An) ≤∑n∈N

∑i∈N

m(In,i) <∑n∈N

(m∗(An) + 2−n · ε) =∑n∈N

m∗(An) + ε.

En definitiva, m∗(⋃n∈N An) ≤

∑n∈N m

∗(An).

Corolario 1.3.4. Si A es numerable, m∗(A) = 0.

Demostracion. Basta escribir

A = xk : k ∈ N ⊂⋃k∈N

(xk − εk, xk + εk), con∑k∈N

εk < ε/2.

Ası, m∗(A) ≤∑k∈N

m(xk − εk, xk + εk) < ε.

Corolario 1.3.5. El conjunto [0, 1] no es numerable.

Lema 1.3.6. Dado un conjunto E,

a) para cualquier ε > 0, existe un abierto A tal que E ⊂ A y m∗(A) ≤ m∗(E) + ε;

b) existe G ∈ Gδ tal que E ⊂ G y m∗(E) = m∗(G);

c) m∗(E) = ınfm∗(A) : A abierto, E ⊂ A.

Demostracion. a) Dado ε > 0, existe una sucesion (In)n∈N de intervalos abiertos tal queE ⊂

⋃n∈N In y m∗(E) + ε ≥

∑n∈N m(In). Si llamamos A =

⋃n∈N In, entonces

m∗(A) ≤∑n∈N

m(In) ≤ m∗(E) + ε.

b) Por el apartado a), dado n ∈ N, existe An un abierto tal que m∗(E) + 1/n ≥ m∗(An),con E ⊂ An. Si llamamos G =

⋂n∈N An, entonces G ∈ Gδ, E ⊂ G y m∗(G) ≤ m∗(An) ≤

m∗(E) + 1/n. Ademas m∗(E) ≤ m∗(G).

c) Si E ⊂ A, m∗(E) ≤ m∗(A), de donde m∗(E) ≤ ınfm∗(A).

Por otro lado, segun el apartado a), m∗(A) ≤ m∗(E) + ε. Entonces ınfm∗(A) ≤ m∗(E).

Proposicion 1.3.7. Si E = E1 ∪ E2 y d(E1, E2) > 0, entonces m∗(E1 ∪ E2) = m∗(E1) +m∗(E2).

Demostracion. Sea δ > 0 tal que d(E1, E2) > δ > 0.

Dado ε > 0 arbitrario, sea (In)n∈N una sucesion de intervalos abiertos tal que E ⊂⋃n∈N In y∑

n∈N m(In) ≤ m∗(E) + ε.


Ademas elegimos la sucesion para que la longitud de cada intervalo sea menor que δ. Deeste modo, cada intervalo solo puede cortar a uno de los conjuntos E1 o E2. Simbolicamente,podemos escribir

E1 ⊂⋃j∈J1

Ij , E2 ⊂⋃j∈J2

Ij ,

donde J1 ∩ J2 = ∅. Entonces

m∗(E1) +m∗(E2) ≤∑j∈J1

m(Ij) +∑j∈J2

m(Ij) ≤∑j∈N

m(Ij) ≤ m∗(E) + ε.

Esto implica que m∗(E1) +m∗(E2) ≤ m∗(E). La otra desigualdad es evidente.

Se puede probar tambien que, si E =⋃n∈N In, con In intervalos disjuntos, entonces m∗(E) =∑

n∈N

m(In). A pesar de ello, no podemos concluir que, si E = E1 ∪ E2, con E1 ∩ E2 = ∅,

entonces m∗(E) = m∗(E1) +m∗(E2). Hara falta que dichos conjuntos sean medibles.

Definicion. Un conjunto E es medible si, para todo conjunto A,

m∗(A) = m∗(A ∩ E) +m∗(A ∩ Ec).

Lema 1.3.8. Si m∗(E) = 0, entonces E es medible. En particular, si F ⊂ E y m∗(E) = 0,entonces F es medible.

Demostracion. Dado un conjunto A, como A ∩ E ⊂ E, entonces m∗(A ∩ E) ≤ m∗(E) = 0.Por otra parte, como A ∩ Ec ⊂ A, entonces

m∗(A) ≥ m∗(A ∩ Ec) = m∗(A ∩ Ec) +m∗(A ∩ E).

La otra desigualdad es evidente.

De esta propiedad deducimos en particular que el conjunto de Cantor es medible.

Proposicion 1.3.9. La familia M = A : A es medible es un algebra de conjuntos.

Demostracion. Hay que demostrar, en primer lugar, que, si E1 y E2 son medibles, entoncesE1 ∪ E2 es medible.

Por una parte, m∗(A ∩ Ec1) = m∗(A ∩ Ec1 ∩ E2) +m∗(A ∩ (E1 ∪ E2)c).

Por otra parte, m∗(A ∩ (E1 ∪ E2)) ≤ m∗(A ∩ E1) +m∗(A ∩ E2 ∩ Ec1). Por tanto,

m∗(A ∩ (E1 ∪ E2)) +m∗(A ∩ (E1 ∪ E2)c) ≤ m∗(A ∩ E1) +m∗(A ∩ Ec1) = m∗(A).

Para que M sea un algebra de conjuntos, falta probar que, si A es medible, entonces Ac esmedible, pero esto es consecuencia de la propia definicion.

Veremos a continuacion que la familia M es ademas una σ-algebra.


Lema 1.3.10. Si A es un conjunto y E1, . . . , En una coleccion disjunta de conjuntos me-dibles, entonces

m∗(A ∩ (

n⋃i=1

Ei))

=n∑i=1

m∗(A ∩ Ei).

Demostracion. (Por induccion) El caso n = 1 es evidente.

Si suponemos cierta la propiedad para n− 1, teniendo en cuenta que

A ∩ (n⋃i=1

Ei) ∩ En = A ∩ En y A ∩ (n⋃i=1

Ei) ∩ Ecn = A ∩ (n−1⋃i=1

Ei),

resulta

m∗(A ∩ (

n⋃i=1

Ei))

= m∗(A ∩ En) +m∗(A ∩ (

n−1⋃i=1

Ei))

=n∑i=1

m∗(A ∩ Ei).

Proposicion 1.3.11. La familia M es una σ-algebra de conjuntos.

Demostracion. Basta ver que, si E =⋃i∈N Ei, con Ei ∈M, entonces E ∈M.

Por la proposicion 1.2.2, podemos suponer Ei ∩ Ej = ∅, si i 6= j.

Dado cualquier conjunto A, si llamamos Fn =⋃ni=1Ei, entonces Fn ∈ M y Ec ⊂ F cn. Por

tanto,m∗(A) = m∗(A ∩ Fn) +m∗(A ∩ F cn) ≥ m∗(A ∩ Fn) +m∗(A ∩ Ec).

Por el lema 1.3.10,

m∗(A ∩ Fn) =n∑i=1

m∗(A ∩ Ei),

de modo que

m∗(A) ≥n∑i=1

m∗(A ∩ Ei) +m∗(A ∩ Ec).

Como la desigualdad es cierta para todo n,

m∗(A) ≥∑i∈N

m∗(A ∩ Ei) +m∗(A ∩ Ec) ≥ m∗(A ∩ E) +m∗(A ∩ Ec)

por la subaditividad numerable de m∗.

Veamos a continuacion que la clase de conjuntos medibles contiene a la clase de conjuntos deBorel en R.

Lema 1.3.12. El intervalo (a,∞) es medible.


Demostracion. Dado A, sean A1 = A ∩ (a,∞) y A2 = A ∩ (−∞, a].

Si m∗(A) = ∞, es evidente que m∗(A1) +m∗(A2) ≤ m∗(A).

Si m∗(A) < ∞, dado ε > 0, existe una sucesion de intervalos abiertos (In)n∈N tal queA ⊂

⋃n∈N In y

∑n∈N m(In) ≤ m∗(A) + ε.

Llamamos In,1 = In ∩ (a,∞) e In,2 = In ∩ (−∞, a]. Entonces

m(In) = m(In,1) +m(In,2) = m∗(In,1) +m∗(In,2).

Como A1 ⊂⋃n∈N In,1, tenemos:

m∗(A1) ≤ m∗(⋃n∈N

In,1) ≤∑n∈N

m∗(In,1)

y, como A2 ⊂⋃n∈N In,2, tenemos

m∗(A2) ≤ m∗(⋃n∈N

In,2) ≤∑n∈N

m∗(In,2).

Ası pues,

m∗(A1) +m∗(A2) ≤∑n∈N

(m∗(In,1) +m∗(In,2)) ≤∑n∈N

m(In) ≤ m∗(A) + ε.

Al ser ε arbitario, m∗(A1) +m∗(A2) ≤ m∗(A).

Proposicion 1.3.13. Todo conjunto de Borel es medible. En particular todos los conjuntosabiertos y cerrados son medibles.

Demostracion. Como (a,∞) ∈M, entonces (−∞, a] ∈M.

Ademas, como (−∞, b) =⋃n∈N(−∞, b− 1/n], entonces (−∞, b) ∈M.

Como (a, b) = (−∞, b) ∩ (a,∞), entonces (a, b) ∈M.

Si A es abierto, A =⋃n∈N In, con In intervalos abiertos. Entonces A ∈M.

Como B es la menor σ-algebra que contiene los conjuntos abiertos, B ⊂M.

Observacion. No todos los conjuntos medibles son de Borel (una demostracion constructivapuede verse en [AB]).

Definicion. Dado un conjunto medible E, se define la medida de Lebesgue de E comom(E) = m∗(E). De este modo, m es la restriccion de m∗ a la familia M.

Proposicion 1.3.14. Si (En)n∈N es una sucesion de conjuntos medibles, entonces

m(⋃n∈N

En) ≤∑n∈N

m(En).

Si Ei ∩ Ej = ∅, para i 6= j, entonces

m(⋃n∈N

En) =∑n∈N

m(En).


Demostracion. La primera parte consiste precisamente en la subaditividad de la medidaexterior (proposicion 1.3.3).

Si (E1, . . . , Ek) es una familia finita de conjuntos medibles disjuntos, por el lema 1.3.10 conA = R, resulta que

m(k⋃

n=1

En) =k∑

n=1

m(En).

Por ultimo, si (Ei)i∈N es una sucesion infinita de conjuntos medibles disjuntos, entonces⋃i∈N

Ei ⊃n⋃i=1

Ei, de modo que

m(⋃i∈N

Ei) ≥ m(n⋃i=1

Ei) =n∑i=1

m(Ei).

Como la desigualdad es cierta para todo n,

m(⋃i∈N

En) ≥∑i∈N

m(Ei).

Proposicion 1.3.15. Si (Ei)i∈N es una sucesion de conjuntos medibles y Ek ⊂ Ek+1, paratodo k ∈ N, entonces

m(⋃i∈N

Ei) = lımn→∞

m(En).

Demostracion. Construimos los conjuntos F1 = E1, Fk = Ek \ Ek−1, k ≥ 2. Ası, (Fk)k∈N esuna sucesion de conjuntos medibles disjuntos y

⋃Fk =

⋃Ek. Por tanto,

m(⋃k∈N

Ek) =∑k∈N

m(Fk) = lımn→∞

n∑k=1

m(Fk) = lımn→∞

m(n⋃k=1

Fk) = lımn→∞

m(En).

Proposicion 1.3.16. Si (En)n∈N es una sucesion infinita de conjuntos medibles, tal queEk+1 ⊂ Ek, para todo k, y m(E1) es finita, entonces

m(⋂i∈N

Ei) = lımn→∞

m(En).

Demostracion. Llamamos E =⋂i∈N Ei y Fi = Ei \ Ei+1. Entonces

E1 \ E =⋃i∈N

Fi,

y los conjuntos Fi son disjuntos dos a dos. Por tanto,

m(E1 \ E) =∑i∈N

m(Fi) =∑i∈N

m(Ei \ Ei+1).


Ahora bien,

m(E1) = m(E) +m(E1 \ E) y m(Ei) = m(Ei+1) +m(Ei \ Ei+1),

debido a que E ⊂ E1 y Ei+1 ⊂ Ei.

Teniendo en cuenta que m(Ei) ≤ m(E1) <∞, resulta que

m(E1 \ E) = m(E1)−m(E) y m(Ei \ Ei+1) = m(Ei)−m(Ei+1).

Ası pues,

m(E1)−m(E) =∑i∈N

[m(Ei)−m(Ei+1)] = lımn→∞

n∑i=1

[m(Ei)−m(Ei+1)]

= lım[m(E1)−m(En)] = m(E1)− lımm(En).

Como m(E1) <∞, resulta que m(E) = lımm(En).

Observemos que el resultado puede ser falso si m(E1) = ∞. Basta considerar los conjuntosEn = (n,∞).

Veremos a continuacion lo establecido por el primer principio de Littlewood, que todo con-junto medible es casi union finita de intervalos.

Proposicion 1.3.17. Dado un conjunto E ⊂ R, son equivalentes:

a) E es medible.

b) Dado ε > 0, existe un abierto A ⊃ E tal que m∗(A \ E) < ε.

c) Dado ε > 0, existe un cerrado F ⊂ E tal que m∗(E \ F ) < ε.

d) Existe G ∈ Gδ, con E ⊂ G, tal que m∗(G \ E) = 0.

e) Existe F ∈ Fσ, con F ⊂ E, tal que m∗(E \ F ) = 0.

Si ademas m∗(E) es finita, las proposiciones anteriores son equivalentes a

f) Dado ε > 0, existe U union finita de intervalos abiertos tal que m∗(U∆E) < ε.

Demostracion. a) =⇒ b): Si m(E) < ∞, por el lema 1.3.6, dado ε > 0, existe un abierto Atal que E ⊂ A y m∗(A) ≤ m∗(E) + ε. Como E es medible,

m∗(A) = m∗(A ∩ E) +m∗(A ∩ Ec) = m∗(E) +m∗(A \ E)=⇒ m∗(A \ E) = m∗(A)−m∗(E) ≤ ε.

Si m(E) = ∞, sea En = E ∩x : n− 1 ≤ |x| < n. Dado ε > 0, como m(En) <∞, para cadan existe un abierto An ⊃ En tal que m∗(An \En) < ε/2n. Ahora el conjunto A =

⋃n∈N An es

abierto y E ⊂ A. Como A \E ⊂⋃n∈N(An \En), entonces m∗(A \E) ≤

∑n∈N

m∗(An \En) < ε.


b) =⇒ d): Para cada n ∈ N, existe An abierto, con E ⊂ An, tal que m∗(An \ E) < 1/n. SiG =

⋂n∈N An, entonces G ∈ Gδ, E ⊂ G y

m∗(G \ E) ≤ m∗(An \ E) < 1/n, ∀n ∈ N.

Por tanto, m∗(G \ E) = 0.

d) =⇒ a): Si m∗(G\E) = 0, entonces G\E es medible. Como G es medible y E = (G\E)c∩G,entonces E es medible.

a) =⇒ c): Como Ec es medible, existe A abierto tal que Ec ⊂ A y m∗(A \Ec) < ε. EntoncesAc es cerrado y Ac ⊂ E. Ademas

m∗(E \Ac) = m∗(E ∩A) < ε.

c) =⇒ e): Para cada n ∈ N, existe Fn cerrado, con E ⊃ Fn, tal que m∗(E \ Fn) < 1/n. SiF =

⋃n∈N Fn, entonces F ∈ Fσ, F ⊂ E y

m∗(E \ F ) ≤ m∗(E \ Fn) < 1/n, ∀n ∈ N.

Por tanto, m∗(E \ F ) = 0.

e) =⇒ a): Como m∗(E \ F ) = 0, entonces E \ F es medible. Escribiendo E = (E \ F ) ∪ F ,deducimos que E es medible.

a) =⇒ f): Sea (Ij)j∈N una sucesion de intervalos abiertos tal que E ⊂⋃j∈N Ij y m∗(E)+ε/2 ≥∑

j∈N m(Ij).

Como m∗(E) <∞, la serie es convergente y existe n0 ∈ N tal que∑∞

j=n0+1m(Ij) < ε/2.

Si llamamos U =⋃n0j=1 Ij , entonces

m∗(U∆E) = m∗(U \ E) +m∗(E \ U) ≤ m∗(⋃j∈N

Ij \ E) +m∗(∞⋃

j=n0+1

Ij)

≤∑j∈N

m(Ij)−m∗(E) +∞∑

j=n0+1

m(Ij) < ε.

Corolario 1.3.18. Todo conjunto medible con medida positiva contiene un conjunto cerradocon medida positiva.

Demostracion. Si E es medible, dado ε > 0, existe F cerrado tal que F ⊂ E y m∗(E \F ) < ε.Entonces

m(F ) = m(E)−m(E \ F ) > m(E)− ε.

Basta elegir ε < m(E)/2 para que m(F ) > 0.

Otras propiedades deseables de la medida se refieren a la invariancia, como indicamos acontinuacion.


Proposicion 1.3.19. Sea E un conjunto medible. Entonces:

a) Para todo k ∈ R, el conjunto Ek = E + k = x+ k : x ∈ E es medible y m(Ek) = m(E).

b) Para todo λ > 0, el conjunto λE = λ · x : x ∈ E es medible y m(λE) = λ ·m(E).

c) El conjunto −E = −x : x ∈ E es medible y m(−E) = m(E).

Demostracion. Veamos el apartado a) (el resto es similar).

Dado A ⊂ R, llamamos A′ = A− k = u ∈ R : u+ k ∈ A. Entonces

m∗(A ∩ Ek) +m∗(A ∩ Eck) = m∗(A′ ∩ E) +m∗(A′ ∩ Ec) = m∗(A′) = m∗(A).

Para terminar la seccion, hagamos la construccion de un conjunto no medible, lo que de-muestra que no puede extenderse la nocion de longitud a cualquier subconjunto de R si sequiere que se cumpla la propiedad m∗(A ∪B) = m∗(A) +m∗(B), con A y B disjuntos. Esteresultado fue probado por Vitali en el trabajo “Sul problema della misura dei gruppi di puntidi una retta” publicado en 1905.

En primer lugar, establecemos la siguiente relacion de equivalencia en [0, 1]:

x ∼ y cuando x− y ∈ Q.

Esta relacion permite escribir [0, 1] =⋃α Eα, union disjunta de clases de equivalencia.

A continuacion, definimos N = xα : xα ∈ Eα (llamado conjunto de Vitali) eligiendoexactamente un elemento de cada clase Eα (por el axioma de eleccion). Veamos que N no esmedible.

Si numeramos los racionales en [0, 1] como rk : k ∈ N, consideramos los conjuntos traslada-dos Nk = N + rk. Probaremos que estos conjuntos son disjuntos:

Si Nk ∩Np 6= ∅, existen rk, rp racionales distintos, y existen α, β tales que xα + rk = xβ + rp,o bien xα − xβ = rp − rk ∈ Q. Esto significa que xα ∼ xβ , luego xα = xβ pues N tiene unsolo elemento de cada clase. Por tanto, rp = rk, lo que es absurdo.

Tambien es facil probar que[0, 1] ⊂

⋃k∈N

Nk ⊂ [0, 2].

En efecto, si x ∈ [0, 1], x ∼ xα para algun α, de donde x−xα = rk para algun k. Ası x ∈ Nk.La segunda inclusion es evidente.

Por ultimo, supongamos que N es medible. Entonces, para todo k, Nk tambien lo es. Como(Nk) son disjuntos, las inclusiones anteriores implican

1 ≤∑k∈N

m(Nk) ≤ 2 =⇒ 1 ≤∑k∈N

m(N ) ≤ 2.

Esto es una contradiccion, porque, si m(N ) = 0, entonces tendrıamos 1 ≤ 0 ≤ 2 y, sim(N ) > 0, entonces 1 ≤ ∞ ≤ 2.

Observacion. La construccion anterior de un conjunto no medible utiliza el axioma deeleccion. De hecho, R. Solovay, en Notices Am. Math. Society, 12 (1965), demuestra que noes posible construir conjuntos no medibles sin utilizar el axioma de eleccion.


1.3.2. Toda funcion medible es casi continua

Una vez establecida la nocion de conjunto medible, vamos a utilizarla para definir las funcionesmedibles. En primer lugar, estableceremos algunas propiedades equivalentes.

Proposicion 1.3.20. Sea f : R → R una funcion cuyo dominio D es medible. Son equiva-lentes:

i) ∀α ∈ R : x : f(x) > α es medible.

ii) ∀α ∈ R : x : f(x) ≥ α es medible.

iii) ∀α ∈ R : x : f(x) < α es medible.

iv) ∀α ∈ R : x : f(x) ≤ α es medible.

Todas estas proposiciones implican

v) ∀α ∈ R : x : f(x) = α es medible.

Demostracion. i) ⇐⇒ iv) porque x : f(x) ≤ α = D \ x : f(x) > α.ii) ⇐⇒ iii) por la misma razon.

i) =⇒ ii) porque x : f(x) ≥ α =⋂n∈Nx : f(x) > α− 1/n.

ii) =⇒ i) porque x : f(x) > α =⋃n∈Nx : f(x) ≥ α+ 1/n.

Por ultimo, si α ∈ R, x : f(x) = α = x : f(x) ≤ α ∩ x : f(x) ≥ α de modo que, en estecaso, ii) y iv) implican v).

Ademas, x : f(x) = ∞ =⋂n∈Nx : f(x) ≥ n con lo que ii) implica v) si α = ∞

(analogamente con α = −∞).

Observacion. En el caso de que la funcion solo tome valores reales, las propiedades ante-riores son equivalentes a que la imagen inversa de cualquier abierto sea medible y a que laimagen inversa de cualquier cerrado sea medible.

Definicion. Una funcion f : R → R se dice que es medible Lebesgue cuando su dominioes medible y verifica una cualquiera de las cuatro afirmaciones equivalentes de la proposicionanterior.

La definicion involucra ası a los conjuntos mas importantes relacionados con una funcioncomo son las imagenes inversas de intervalos.

De la definicion se deduce que toda funcion continua es medible; toda funcion escalonadaes medible; la restriccion de una funcion medible a un subconjunto medible del dominio estambien medible.

Una caracterizacion interesante se demuestra en el siguiente resultado.

Proposicion 1.3.21. Sea E ⊂ R un conjunto medible y f : E → R. Entonces f es mediblesi y solo si f−1(B) es medible, para todo B de Borel en R.

Demostracion. Si f es medible, definimos

A = A ⊂ R : f−1(A) es medible.


Es claro que ∅ ∈ A. Ademas, f−1(Ac) = f−1(R) \ f−1(A) = E \ f−1(A). Por tanto, si A ∈ A,entonces Ac ∈ A.

Por ultimo, si (An)n∈N ⊂ A, entonces

f−1(⋃n∈N

An

)=⋃n∈N

f−1(An) es medible.

Ası pues, A es una σ-algebra. Como ademas

f−1(a, b) = f−1(a,∞) ∩ f−1(−∞, b],

entonces (a, b) ∈ A.

Por tanto, A contiene todos los conjuntos abiertos, con lo que contiene tambien a todos losconjuntos de Borel.

El recıproco es trivial.

Proposicion 1.3.22. Si c ∈ R y f, g : D ⊂ R → R son funciones medibles, entonces f + g,c · f y f · g son medibles. En consecuencia, fk es medible para todo k ∈ N.

Demostracion. a) Dado α ∈ R, sea x ∈ D tal que f(x)+ g(x) < α. Entonces f(x) < α− g(x)y, como consecuencia de la propiedad arquimediana de los numeros reales, existe r ∈ Q talque f(x) < r < α− g(x). Por tanto,

x : f(x) + g(x) < α =⋃r∈Q

x : f(x) < r ∩ x : g(x) < α− r.

Como Q es numerable, este conjunto es medible.

b) Como x : c · f(x) < α = x : f(x) < α/c, entonces c · f es medible.

c) Si α ≥ 0, entonces

x : f2(x) > α = x : f(x) >√α ∪ x : f(x) < −

√α

y, si α < 0, entoncesx : f2(x) > α = D.

En ambos casos, se deduce que f2 es medible.

Como f · g = 12

[(f + g)2 − (f2 + g2)

], entonces f · g es medible.

Teorema 1.3.23. Para cada n ∈ N, sea fn : D → R medible. Entonces supn∈N fn, ınfn∈N fn,lım sup fn y lım inf fn son medibles.

Demostracion. Si llamamos g(x) = supn∈N fn(x), entonces

x : g(x) > α =⋃n∈N

x : fn(x) > α,

de modo que g es medible (analogamente con el ınfimo pues ınf fn = − sup(−fn)).Como lım sup fn = ınfk∈N supn≥k fn, entonces es una funcion medible (analogamente con ellımite inferior).


Corolario 1.3.24. Si (fn)n∈N es una sucesion de funciones medibles y f(x) = lım fn(x),entonces f es medible.

Ejemplo. Para probar que la funcion de Dirichlet f = χQ es medible en [0, 1], consideramos

la sucesion fn(x) =

1 si x ∈ r1, . . . , rn0 en el resto,

donde r1, . . . , rn, . . . es una ordenacion de los

racionales en [0, 1]. Es facil comprobar que cada fn es medible (basta determinar el conjuntox : fn(x) > r en los casos r ≥ 1, 0 ≤ r < 1 y r < 0). Como lım fn(x) = f(x), ∀x ∈ [0, 1],entonces f es medible.

Definicion. Decimos que una propiedad se cumple en casi todo punto (o casi seguramente,abreviadamente c.s.) cuando el conjunto donde no es cierta tiene medida cero.

En particular se dice que f = g c.s. cuando ambas funciones tienen el mismo dominio ym(x : f(x) 6= g(x)) = 0. Del mismo modo, decimos que fn → f c.s. cuando existe unconjunto E de medida cero tal que fn(x) → g(x), para todo x 6∈ E.

Proposicion 1.3.25. Si f es medible y f = g c.s., entonces g es medible.

Demostracion. Sean A = x : f(x) > α y B = x : g(x) > α. Por hipotesis, A es medibley m(A \B) = m(B \A) = 0. Entonces

B = (B \A) ∪ (B ∩A) = (B \A) ∪ (A \ (A \B))

es medible.

Los ejemplos basicos de funciones medibles son las funciones escalonadas y las funciones sim-ples: las primeras son los elementos basicos en la teorıa de integracion de Riemann mientraslas segundas lo seran en la teorıa de integracion de Lebesgue.

Definicion. Se llama funcion escalonada a una funcion que se puede escribir como combi-nacion lineal de funciones caracterısticas de intervalos en R. Ası, si f es escalonada, existenconstantes a1, . . . , , aN e intervalos I1, . . . , IN tales que

f(x) =N∑i=1

aiχIi(x).

Por otra parte, diremos que ϕ es una funcion simple si

ϕ(x) =N∑i=1

aiχEi(x),

donde Ei son medibles y de medida finita.

Esta representacion no es unica pero una funcion es simple si y solo si es medible y toma soloun numero finito de valores.

Si ϕ es simple y su conjunto de valores no nulos es a1, . . . , an, entonces ϕ =n∑i=1

aiχAi , con

Ai = x : ϕ(x) = ai. Esta es la llamada representacion canonica de ϕ y se caracterizaporque Ai son disjuntos y ai son distintos y no nulos.


Veamos que las funciones medibles pueden aproximarse por funciones simples.

Proposicion 1.3.26. Sea f : D → R.

a) Existe una sucesion de funciones simples que converge puntualmente a f .

b) Si f es acotada, se puede elegir la sucesion para que converja uniformemente a f .

Demostracion. Supondremos que f ≥ 0 (en el caso general se descompone f como diferenciade funciones no negativas a las que se aplica el razonamiento siguiente).

a) Para cada n ∈ N y cada i con 1 ≤ i ≤ n · 2n, sea

Eni =x ∈ D :

i− 12n

≤ f(x) <i

2n

.

Ası, Eni ∩ Enj = ∅, si 1 ≤ i, j ≤ n · 2n, i 6= j, y

En =n·2n⋃i=1

Eni = x ∈ D : f(x) < n.

Definimos

ϕn(x) =n·2n∑i=1

i− 12n

· χEni + n · χEcn, n ≥ 1,

la cual es una funcion simple. Veamos que lımϕn(x) = f(x), ∀x ∈ D:

Dado x ∈ D, si f(x) <∞, para cualquier ε > 0, existe n0 ∈ N tal que 1/2n0 < ε y f(x) < n0.Por tanto, x ∈ En, para todo n ≥ n0, con lo que existe i ∈ [1, n ·2n] tal que x ∈ Eni. Entonces

i− 12n

≤ f(x) <i

2ny ϕn(x) =

i− 12n

.

Ası pues, 0 ≤ f(x)− ϕn(x) < 1/2n < ε, ∀n ≥ n0.

En el caso de que f(x) = ∞, entonces f(x) ≥ n, ∀n ∈ N, es decir x ∈ Ecn, ∀n ∈ N. Por tanto,ϕn(x) = n con lo que lımϕn(x) = ∞ = f(x).

b) Si f es acotada, existe M tal que f(x) < M , ∀x ∈ D. En este caso, D = En, ∀n ≥M , conlo que, dado ε > 0, podemos elegir n0 ∈ N tal que 1/2n0 < ε. Entonces 0 ≤ f(x)−ϕn(x) < ε,∀x ∈ D, ∀n ≥ n0, con lo que la convergencia es uniforme.

Observacion. Tambien es posible aproximar una funcion medible por una sucesion de fun-ciones escalonadas. En este caso, sin embargo, la convergencia solo sera en casi todo punto. Elcaso particular de las funciones continuas en un intervalo cerrado sı permite la convergenciauniforme mediante funciones escalonadas como veremos a continuacion.

Si f es continua en [a, b], entonces es uniformemente continua. Por tanto, para cada m ∈ N,existe δ > 0 tal que, ∀x, y ∈ [a, b],

|x− y| < δ =⇒ |f(x)− f(y)| < 1/m.

Dado n ∈ N tal que δ > 1/n, sea ai = a + i(b−a)n , 0 ≤ i ≤ n. Entonces, si x ∈ [ai−1, ai),

|x− ai−1| ≤ 1/n < δ.


Definimos gm(x) =∑n

i=1 f(ai−1) · χ[ai−1,ai)(x), ∀x ∈ [a, b), gm(b) = f(b). Entonces (gm) esuna sucesion de funciones escalonadas que converge uniformemente a f .

A continuacion enunciamos el segundo principio de Littlewood, mediante el que aproximamoscualquier funcion medible por funciones continuas.

Proposicion 1.3.27. Sea f : [a, b] → R una funcion medible tal que x : f(x) = ±∞ tienemedida cero. Entonces, dado ε > 0, existe una funcion escalonada g y una funcion continuah tales que |f − g| < ε y |f − h| < ε, excepto en un conjunto de medida menor que ε.

Si, ademas, m ≤ f ≤ M , entonces podemos elegir g y h de modo que m ≤ g ≤ M ym ≤ h ≤M .

Esquema de la prueba.

Paso 1. Sea f : [a, b] → R una funcion medible tal que x : f(x) = ±∞ tiene medida cero.Entonces, dado ε > 0, existe M ∈ R tal que |f | ≤ M excepto en un conjunto de medidamenor que ε/3.

Paso 2. Sea f : [a, b] → R una funcion medible. Dados ε > 0 y M ∈ R, existe una funcionsimple ϕ =

∑ni=1 αiχAi , con Ai = x : ϕ(x) = αi, tal que |f(x) − ϕ(x)| < ε excepto donde

|f(x)| ≥M .

Si m ≤ f ≤M , podemos elegir ϕ de modo que m ≤ ϕ ≤M .

Paso 3. Dada una funcion simple ϕ en [a, b], existe una funcion escalonada g en [a, b] tal queϕ(x) = g(x), excepto en un conjunto de medida menor que ε/3 (usar la proposicion 1.3.17).

Si m ≤ ϕ ≤M , podemos elegir g de modo que m ≤ g ≤M .

Paso 4. Dada una funcion escalonada g en [a, b], existe una funcion continua h tal queg(x) = h(x), excepto en un conjunto de medida menor que ε/3.

Si m ≤ g ≤M , podemos elegir h de modo que m ≤ h ≤M .

1.3.3. Toda sucesion convergente de funciones medibles es casi uniforme-mente convergente

El tercer principio de Littlewood establece la casi convergencia uniforme de las sucesionesconvergentes de funciones medibles. Su formulacion exacta es la siguiente.

Proposicion 1.3.28 (teorema de Egorov). Sea E un conjunto medible con m(E) < ∞y, para cada n ∈ N, fn : E → R una funcion medible. Sea f : R → R una funcion tal quefn(x) → f(x), para casi todo x ∈ E. Entonces, dados ε > 0 y δ > 0, existe un conjuntomedible A ⊂ E, con m(A) < δ, y N ∈ N tales que |fn(x)− f(x)| < ε, ∀x 6∈ A y n ≥ N .

Demostracion. Sin perdida de generalidad, podemos suponer que fn(x) → f(x) para todox ∈ E. Esto asegura que la funcion f es medible.

Sea Gn = x ∈ E : |fn(x)− f(x)| ≥ ε y, para cada N ∈ N, llamamos

EN =∞⋃n=N

Gn = x ∈ E : |fn(x)− f(x)| ≥ ε, para algun n ≥ N.

28 1.4. Integral de Lebesgue

Ası, EN+1 ⊂ EN y, si x ∈ E, existe n0 tal que x 6∈ En0 (debido a que fn(x) → f(x)). Estoquiere decir que

⋂N∈N EN = ∅, de donde lımm(EN ) = 0 (por la proposicion 1.3.16).

De este modo, dado δ > 0, existe N tal que m(EN ) < δ, o bien

m(x ∈ E : |fn(x)− f(x)| ≥ ε, para algun n ≥ N) < δ.

Si llamamos A a dicho conjunto EN , entonces m(A) < δ y

Ac = x ∈ E : |fn(x)− f(x)| < ε,∀n ≥ N.

Por tanto, (fn) converge uniformemente a f en Ac.

Observaciones. 1) El teorema no asegura que puede obtenerse la convergencia uniforme en

todo el conjunto. Si consideramos, por ejemplo, la sucesion fn(x) =

n2x si x ∈ [0, 1/n]−n2x+ 2n si x ∈ [1/n, 2/n]0 en el resto,

entonces fn → 0 en [0, 1] pero la convergencia no es uniforme en todo [0, 1].

2) Ni siquiera puede asegurarse la convergencia uniforme salvo en un conjunto de medidacero. Para comprobarlo, sea gn = χ(0,1/n), n ∈ N. La sucesion (gn)n∈N converge puntualmentea cero en [0, 1] y, por el teorema de Egorov, la convergencia es casi uniforme. Sin embargo,dicha sucesion no converge uniformemente salvo un conjunto de medida nula.

3) La hipotesis m(E) < ∞ es esencial. Un ejemplo que lo prueba es la sucesion (χ[n,n+1))definida en E = [0,∞).

1.4. Integral de Lebesgue

Los conjuntos medibles y las funciones medibles seran los elementos basicos en la definicionde la integral de Lebesgue. Dicha integral sera una generalizacion de la integral de Riemann,manteniendo las propiedades basicas de linealidad pero aplicable a familias mas amplias defunciones. En particular, su interpretacion como area de figuras planas tambien es valida enlos casos usuales.

Definiremos el concepto de integral de Lebesgue progresivamente para familias de funcionescada vez mayores. En cada paso estableceremos las propiedades basicas, como la linealidad,aditividad y monotonıa, las cuales deberan mantenerse en las sucesivas extensiones.

El primer paso sera establecer la integral de funciones simples, para luego extenderla a fun-ciones medibles acotadas y medibles no negativas.

1.4.1. Definiciones y primeros resultados

Definicion. Si ϕ es una funcion simple que se anula fuera de un conjunto de medida finita,se define su integral de Lebesgue como∫

ϕ =∫ϕ(x) dx =

n∑i=1

ai ·m(Ai)


si ϕ =n∑i=1

ai · χAi es la representacion canonica de ϕ.

Si E es un conjunto medible, definimos∫Eϕ =

∫ϕ · χE .

Veamos en primer lugar que la definicion de integral no depende de la representacion de lafuncion.

Lema 1.4.1. Sea ϕ =n∑i=1

ai · χEi, con Ei ∩ Ej = ∅, para i 6= j. Si cada Ei es un conjunto

medible con medida finita, entonces∫ϕ =

n∑i=1

ai ·m(Ei).

Demostracion. LlamamosEa = x : ϕ(x) = a =

⋃ai=a

Ei.

Entonces los conjuntos Ea son disjuntos y a ·m(Ea) =∑ai=a

ai ·m(Ei) por la aditividad de m.

Ademas, ϕ =∑

a a · χEa , de donde∫ϕ =

∑a ·m(Ea) =

∑ai ·m(Ei).

Proposicion 1.4.2. Sean ϕ,ψ funciones simples que se anulan fuera de un conjunto demedida finita. Entonces

a)∫

(a · ϕ+ b · ψ) = a ·∫ϕ+ b ·

∫ψ.

b) Si ϕ ≥ ψ c.s., entonces∫ϕ ≥

∫ψ.

c) Si A ∩B = ∅, entonces∫A∪B

ϕ =∫Aϕ+

∫Bϕ.

d) |ϕ| es tambien una funcion simple y∣∣∣∣∫ ϕ

∣∣∣∣ ≤ ∫ |ϕ|.

Demostracion. a) Sean Ai y Bj los conjuntos correspondientes a las representacionescanonicas de ϕ y ψ, y A0 y B0 los conjuntos donde sea anulan ϕ y ψ, respectivamente.Entonces los conjuntos Ek = Ai ∩ Bj forman una familia disjunta de conjuntos medibles ypodemos escribir

ϕ =N∑k=1

ak · χEk, ψ =

N∑k=1

bk · χEk


de modo que

aϕ+ bψ =N∑k=1

(a · ak + b · bk) · χEk.

Por el lema anterior,∫

(aϕ+ bψ) = a

∫ϕ+ b

∫ψ.

b) Como la integral de una funcion simple no negativa c.s. es no negativa, entonces∫ϕ−

∫ψ =

∫(ϕ− ψ) ≥ 0.

c) Teniendo en cuenta que, si A y B son disjuntos, χA∪B = χA + χB, de modo que∫A∪B

ϕ =∫ϕ · χA∪B =

∫ϕ · χA +

∫ϕ · χB =

∫Aϕ+

∫Bϕ.

d) Si ϕ(x) =N∑k=1

ak ·χEk(x) es la representacion canonica de ϕ, entonces |ϕ(x)| =

N∑k=1

|ak|·χEk.

Por tanto, ∣∣∣∣∫ ϕ

∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣N∑k=1

ak ·m(Ek)

∣∣∣∣∣ ≤N∑k=1

|ak| ·m(Ek) =∫|ϕ|.

Observacion. De este resultado deducimos que la restriccion establecida en el lema anteriorde que Ei ∩ Ej = ∅ no es necesaria.

El siguiente paso del proceso consiste en definir la integral para funciones acotadas. Para ello,necesitaremos el siguiente resultado previo.

Proposicion 1.4.3. Sea f : E → R acotada con m(E) finita. Son equivalentes:

a) ınff≤ψ

∫Eψ = sup

f≥ϕ

∫Eϕ, para todas las funciones simples ϕ, ψ.

b) f es medible.

Demostracion. Supongamos que |f(x)| ≤M , ∀x ∈ E y que f es medible. Los conjuntos

Ek = x : kM/n ≥ f(x) > (k − 1)M/n, −n ≤ k ≤ n

son medibles y disjuntos y⋃nk=−nEk = E. Entonces m(E) =

∑nk=−nm(Ek).

Si definimos las funciones simples

ψn(x) =M

n

n∑k=−n

k · χEk(x)

ϕn(x) =M

n

n∑k=−n

(k − 1) · χEk(x)


entonces ϕn(x) ≤ f(x) ≤ ψn(x), de donde

ınfψ≥f

∫Eψ ≤

∫Eψn =

M

n

n∑k=−n

k ·m(Ek)

supϕ≤f

∫Eϕ ≥

∫Eϕn =

M

n

n∑k=−n

(k − 1) ·m(Ek).

Por tanto,

0 ≤ ınfψ≥f

∫Eψ − sup

ϕ≤f

∫Eϕ ≤ M

n

n∑k=−n

m(Ek) =M

nm(E).

Como n es arbitrario, ınfψ≥f

∫Eψ = sup

ϕ≤f

∫Eϕ.

Recıprocamente, supongamos que ınfψ≥f

∫Eψ = sup

ϕ≤f

∫Eϕ. Dado n ∈ N, existen ϕn y ψn tales

que ϕn(x) ≤ f(x) ≤ ψn(x) y∫ψn −

∫ϕn < 1/n.

Entonces las funciones ψ∗ = ınf ψn y ϕ∗ = supϕn son medibles y ϕ∗(x) ≤ f(x) ≤ ψ∗(x).

Por otra parte, el conjunto ∆ = x : ϕ∗(x) < ψ∗(x) es union de los conjuntos ∆ν = x :ϕ∗(x) < ψ∗(x) − 1/ν. Como ∆ν ⊂ x : ϕn(x) < ψn(x) − 1/ν y la medida de este ultimoconjunto es menor que ν/n, entonces m(∆ν) = 0.

En consecuencia, m(∆) = 0, lo que significa que ϕ∗ = ψ∗ excepto en un conjunto de medidacero, y ϕ∗ = f excepto en un conjunto de medida cero, con lo que f es tambien medible.

Definicion. Si f : E → R, con m(E) < ∞, es medible y acotada, se define la integral deLebesgue de f sobre E como∫

Ef = ınf

∫Eψ : ψ es una funcion simple con ψ ≥ f

.

Proposicion 1.4.4. Sea f : [a, b] → R acotada. Si f es integrable Riemann en [a, b], entonces

es medible y R∫ b

af =

∫[a,b]

f (donde indicamos por R∫ b

af a la integral de Riemann de f).

Demostracion. Como toda funcion escalonada es simple,

R

∫ b

a

f ≤ supϕ≤f

∫[a,b]

ϕ ≤ ınfψ≥f

∫[a,b]

ψ ≤ R

∫ b

af.

Como f es integrable Riemann, todas las desigualdades son igualdades y f es medible.

Proposicion 1.4.5. Si f, g : E → R, con m(E) <∞, son medibles y acotadas, entonces

i)∫E(af + bg) = a

∫Ef + b

∫Eg.

ii) Si f = g c.s.,∫Ef =

∫Eg.


iii) Si f ≤ g, c.s.,∫Ef ≤

∫Eg. En consecuencia,

∣∣∣∣∫Ef

∣∣∣∣ ≤ ∫E|f |.

iv) Si α ≤ f(x) ≤ β, α ·m(E) ≤∫Ef ≤ β ·m(E).

v) Si A y B son conjuntos medibles disjuntos de medida finita,∫A∪B

f =∫Af +

∫Bf .

Demostracion. i) Si ψ es simple, aψ tambien. Entonces

- si a > 0,∫Ea · f = ınf

ψ≥f

∫Eaψ = a · ınf

ψ≥f

∫Eψ = a

∫Ef .

- si a < 0,∫Ea · f = ınf

ϕ≤f

∫Eaϕ = a · sup

ϕ≤f

∫Eϕ = a · ınf

ψ≥f

∫Eψ = a

∫Ef.

Si ψ1 y ψ2 son funciones simples mayores o iguales que f y g, respectivamente, entoncesψ1 + ψ2 es una funcion simple mayor o igual que f + g. Ası pues,∫

E(f + g) ≤

∫E(ψ1 + ψ2) =

∫Eψ1 +

∫Eψ2.

Tomando ınfimos en el miembro de la derecha, resulta∫E(f + g) ≤

∫Ef +

∫Eg.

Analogamente, si ϕ1 ≤ f y ϕ2 ≤ g, entonces ϕ1 + ϕ2 ≤ f + g, de donde∫E(f + g) ≥

∫E(ϕ1 + ϕ2) =

∫Eϕ1 +

∫Eϕ2.

Tomando supremos sobre las funciones simples ϕ1 y ϕ2, resulta∫E(f + g) ≥

∫Ef +

∫Eg.

ii) Como f − g = 0 c.s., si ψ ≥ f − g, entonces ψ ≥ 0 c.s., de donde∫Eψ ≥ 0 =⇒

∫E(f − g) ≥ 0.

Analogamente se prueba que∫E(f − g) ≤ 0.

iii) Visto en ii).

iv) Basta observar que∫E 1 = m(E).

v) Basta observar que χA∪B = χA + χB y aplicar i).

1.4.2. Teoremas de convergencia

Llegados a este punto, ya estamos en condiciones de probar los resultados de convergenciaque convierten a la integral de Lebesgue en una herramienta basica del analisis y a la que nopuede llegar la integral de Riemann.


Las cuestiones basicas son las siguientes: dada una sucesion (fn) de funciones integrablesLebesgue en [a, b], tal que fn converge puntualmente a f c.s. en [a, b], ¿es f integrable Lebesgueen [a, b]? En caso afirmativo, ¿es cierto que el lımite de la integral es igual a la integral dellımite? Veamos un par de ejemplos que responden negativamente a estas preguntas.

1) Si, para cada n ∈ N, fn(x) =

x−1 si 1/n ≤ x ≤ 10 en el resto,

entonces fn converge puntualmente

a f(x) =

x−1 si 0 < x ≤ 10 si x = 0.

Sin embargo, fn es integrable Lebesgue en [0, 1], para todo n,

pero f no lo es.

2) Si gn(x) =

n si 0 < x < 1/n0 en el resto,

entonces gn converge puntualmente a f(x) = 0 en [0, 1].

En este caso, g es integrable Lebesgue en [0, 1], pero∫ 1

0g = 0 6= 1 = lım

n→∞

∫ 1

0gn.

Los siguientes resultados proporcionan condiciones para responder afirmativamente a lascuestiones citadas.

Teorema 1.4.6 (convergencia acotada). Sea (fn)n∈N una sucesion de funciones mediblesdefinidas en un conjunto E de medida finita. Supongamos que existe M ∈ R tal que |fn(x)| ≤M , para todos n y x. Si f(x) = lım fn(x), ∀x ∈ E, entonces

∫Ef = lım

∫Efn.

Demostracion. Como |fn(x)| ≤M y f(x) = lım fn(x), entonces |f(x)| ≤M .

Por el teorema de Egorov (proposicion 1.3.28), dado ε > 0, existen N ∈ N y A ⊂ E medible,con m(A) <

ε

4M, tales que |fn(x)− f(x)| < ε

2m(E), ∀x ∈ E \A, n ≥ N .

Entonces∣∣∣∣∫Efn −

∫Ef

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∫E(fn − f)

∣∣∣∣ ≤ ∫E|fn − f | =

∫E\A

|fn − f |+∫A|fn − f | < ε/2 + ε/2 = ε.

Observacion. Veamos que la hipotesis m(E) < ∞ es esencial. Para ello, supongamos que

E = R y fn =1n· χ[n,∞). Entonces |fn(x)| ≤ 1 y fn → 0 uniformemente. Sin embargo,

0 =∫

Rf 6= lım

∫Rfn = ∞.

Corolario 1.4.7. Si f ≥ 0 es acotada y definida en un conjunto E de medida finita y∫f = 0, entonces f = 0 c.s.

Demostracion. Para cada k ∈ N, sea Ek = x ∈ E : f(x) ≥ 1/k. Entonces

1k· χEk

(x) ≤ f(x) =⇒ 1k·m(Ek) ≤

∫f.

Por hipotesis, m(Ek) = 0 para todo k. Como x : f(x) > 0 =⋃k∈N

Ek, entonces f = 0 c.s.


El siguiente paso en la construccion de la integral de Lebesgue es el de las funciones mediblesno negativas pero no necesariamente acotadas.

Definicion. Si f : E → R es una funcion medible no negativa definida en un conjuntomedible E, definimos la integral de Lebesgue de f como∫

Ef = sup

h≤f

∫Eh,

donde h es una funcion medible acotada tal que m(x : h(x) 6= 0) es finita. En el caso de

que∫Ef <∞, diremos que f es integrable Lebesgue sobre E.

Ejemplos.

1) La funcion fα(x) =

|x|−α si |x| ≤ 1,0 si |x| > 1,

es integrable si y solo si 0 ≤ α < 1.

2) La funcion gα(x) =1

1 + |x|αes integrable si y solo si α > 1.

Proposicion 1.4.8. Si f, g son funciones medibles no negativas,

i)∫Ec · f = c

∫Ef , c > 0.

ii)∫E(f + g) =

∫Ef +

∫Eg.

iii) Si f ≤ g c.s.,∫Ef ≤

∫Eg.

iv) Si A y B son conjuntos medibles disjuntos de medida finita,∫A∪B

f =∫Af +

∫Bf .

v) Si g es integrable y 0 ≤ f ≤ g, entonces f es integrable y∫E(g − f) =

∫Eg −

∫Ef .

vi) Si f es integrable, entonces f(x) <∞ c.s.

vii) Si∫f = 0, entonces f = 0 c.s.

Demostracion. i) y iii) son consecuencia de la proposicion 1.4.5.

Para probar ii), sean h(x) ≤ f(x) y k(x) ≤ g(x). Entonces∫Eh+∫Ek ≤

∫E(f+g). Tomando

supremos,∫Ef +

∫Eg ≤

∫E(f + g).

Por otro lado, sea ` una funcion acotada y medible que se anula fuera de un conjunto demedida finita y que es menor o igual que f + g. Definimos entonces h(x) = mınf(x), `(x),k(x) = `(x)−h(x). De este modo, h(x) ≤ f(x) y, como h+g = mınf+g, `+g ≥ mın`, `+g,entonces h+ g ≥ `, de donde `− h ≤ g, es decir k(x) ≤ g(x). Ademas, h y k estan acotadas(por la misma cota de `) y se anulan donde ` se anula.

Entonces ∫E` =

∫Eh+

∫Ek ≤

∫Ef +

∫Eg,


de donde ∫Ef +

∫Eg ≥

∫E(f + g).

Para probar v), aplicamos ii) para concluir que∫Eg =

∫E(g − f) +

∫Ef. Como el lado

izquierdo es finito, tambien lo sera el lado derecho, con lo que f es integrable.

Veamos ahora el apartado vi). Sean Ek = x : f(x) ≥ k y E∞ = x : f(x) = ∞. Entonces∫f ≥

∫χEk

· f ≥ k ·m(Ek).

Por tanto, lımk→∞m(Ek) = 0. Como (Ek)k∈N es una sucesion decreciente que converge aE∞, entonces m(E∞) = 0.

Veamos a continuacion un importante resultado que no permite asegurar en general que

lım∫fn =

∫lım fn. De hecho, si consideramos la sucesion

fn(x) =

n si 0 < x < 1/n,0 en el resto,

entonces lım fn(x) = 0, pero∫fn = 1 para todo n.

Teorema 1.4.9 (lema de Fatou). Si (fn)n∈N es una sucesion de funciones medibles no

negativas y fn(x) → f(x) c.s. en E, entonces∫Ef ≤ lım inf

∫Efn.

Demostracion. Podemos suponer que la convergencia es en todo punto, pues las integralessobre conjuntos de medida cero son nulas.

Sea h una funcion medible acotada tal que h ≤ f y h(x) = 0 cuando x 6∈ E′, con m(E′) <∞.Definimos hn(x) = mınh(x), fn(x). Entonces hn es medible y acotada (con la misma cotaque h) y h(x) = 0, ∀x 6∈ E′. Veamos que, ademas, hn(x) → h(x), ∀x ∈ E′:

Dado ε > 0, como h ≤ f , existe n0 ∈ N tal que h(x)− ε < fn(x), ∀n ≥ n0. Ası,

h(x)− ε = mınh(x), h(x)− ε ≤ mınh(x), fn(x) = hn(x) ≤ h(x),

es decir |h(x)− hn(x)| ≤ ε.

Por el teorema de la convergencia acotada 1.4.6,∫Eh =

∫E′h = lım

∫E′hn ≤ lım inf

∫Efn.

Tomando supremos sobre h, resulta∫Ef ≤ lım inf

∫Efn.


Observaciones.

1. El lema de Fatou no es valido en el caso de funciones no positivas. Por ejemplo, si

fn = − 1n· χ[0,n], entonces lım fn = 0 y

∫fn = −1. Sin embargo,

∫lım inf fn = 0 >

lım inf∫fn.

Una variante del lema de Fatou, valida para funciones negativas, es la siguiente: Si h ≥ 0es medible con

∫h < ∞ y (fn) es una sucesion de funciones medibles con −h ≤ fn,

entonces

∫lım inf fn ≤ lım inf

∫fn.

2. La desigualdad en el lema de Fatou puede ser estricta como vemos en el siguienteejemplo.

Sea E un conjunto medible y fn =

χE si n es impar,1− χE si n es par.

Como 1−χE = χEc , resul-

ta que∫fn =

m(E) si n es impar,m(Ec) si n es par.

Entonces lım inf∫fn = mınm(E),m(Ec).

Ademas lım inf fn = 0, con lo que∫

lım inf fn = 0.

Si elegimos E para que m(E) 6= 0 y m(Ec) 6= 0, entonces∫lım inf fn < lım inf

∫fn.

Teorema 1.4.10 (convergencia monotona). Sean (fn) una sucesion creciente de fun-ciones medibles no negativas y f = lım fn. Entonces∫

f = lım∫fn.

Demostracion. Por el lema de Fatou, sabemos que∫f ≤ lım inf

∫fn. Pero como fn ≤ f ,

entonces∫fn ≤

∫f , de donde lım sup

∫fn ≤

∫f . En definitiva,

∫f = lım

∫fn.

Observacion. El teorema de la convergencia monotona no es cierto si la sucesion es decre-

ciente. Por ejemplo, si fn =1n·χ[n,∞), entonces fn → 0 y

∫f = 0 pero lım

∫fn = lım

∫∞n

1n =

lım 1n ·m[[n,∞)] = ∞.

Corolario 1.4.11 (teorema de Beppo Levi). Sea (un) una sucesion de funciones medibles

no negativas y f =∑∞

n=1 un. Entonces∫f =

∞∑n=1

∫un.


Proposicion 1.4.12. Sea f ≥ 0 y (Ei)i∈N una sucesion de conjuntos medibles disjuntos dosa dos. Si E =

⋃i∈N Ei, entonces ∫

Ef =

∑i∈N

∫Ei

f.

Demostracion. Llamamos ui = f ·χEi . Entonces f ·χE =∑

i∈N ui, de modo que basta aplicarel corolario anterior.

Ejemplo. Consideramos la funcion f(x) =

|x|−2 si x 6= 00 si x = 0.

Veamos que f es integrable

en cualquier conjunto x : |x| ≥ ε.

Definimos Ak = x : 2k ·ε < |x| ≤ 2k+1·ε y g(x) =∞∑k=0

ak(x), donde ak(x) =1

(2k · ε)2·χAk

(x).

De esta manera, f ≤ g, de donde∫f ≤

∫g. Como el conjunto Ak se obtiene mediante

dilatacion de factor 2k ·ε del conjunto A = x : 1 < |x| < 2, entonces m(Ak) = (2k ·ε) ·m(A).Por el teorema de Levi, ∫

g =∞∑k=0

m(Ak)(2kε)2

=2m(A)ε

.

En consecuencia, f es integrable en x : |x| ≥ ε y∫|x|≥ε

f ≤ 2m(A)ε

.

Proposicion 1.4.13. Sea f una funcion no negativa integrable sobre E. Dado ε > 0, existe

δ > 0 tal que∫Af < ε, ∀A ⊂ E con m(A) < δ.

Demostracion. La proposicion es trivial si f es acotada. Sea pues fn(x) = mınn, f(x).Ası fn es acotada y fn(x) → f(x). Por el teorema de la convergencia monotona, existe N ∈ N

tal que∫EfN >

∫Ef − ε/2 y

∫E(f − fN ) < ε/2. Elegimos δ < ε/2N , de modo que, si

m(A) < δ, entonces∫Af =

∫A(f − fN ) +

∫AfN <

∫A(f − fN ) +N ·m(A) < ε/2 + ε/2 = ε.

Corolario 1.4.14. La funcion F (t) =∫

(−∞,t]f es uniformemente convergente en R.

Una consecuencia directa de la proposicion 1.4.4 es el siguiente resultado sobre integralesimpropias.

Proposicion 1.4.15. Sea f : [0,∞) → R una funcion continua y no negativa. Entonces

lımb→∞

R

∫ b

0f =

∫[0,∞)

f .


Demostracion. Como [0,∞) =⋃∞n=1[0, n] y la sucesion de intervalos es creciente, entonces

m([0,∞)) = lımn→∞

m([0, n]). Basta aplicar la proposicion anterior para obtener∫[0,∞)

f = lımb→∞

∫[0,b]

f = lımb→∞

R

∫ b

0f.

El ultimo paso en la construccion de funciones integrables consiste en eliminar la restriccionde ser no negativas.

Definicion. Dada una funcion f , su parte positiva es la funcion f+(x) = maxf(x), 0y su parte negativa es la funcion f−(x) = max−f(x), 0. Se tiene que f = f+ − f− y|f | = f+ + f−. Es evidente que, si f es medible, tambien lo son f+ y f−.

Diremos que una funcion medible f es integrable sobre E si lo son f+ y f−. En este casodefinimos ∫

Ef =

∫Ef+ −

∫Ef−.

Observacion. De la definicion se deduce que, si tenemos dos descomposiciones f = f1−f2 =g1 − g2, donde f1, f2, g1, g2 ≥ 0 son integrables, entonces∫

Ef1 −

∫Ef2 =

∫Eg1 −

∫Eg2.

Para comprobarlo, basta observar que, si f1 − f2 = g1 − g2, entonces f1 + g2 = g1 + f2, yambos lados de la igualdad consisten en funciones medibles no negativas. Por tanto,∫

Ef1 +

∫Eg2 =

∫Eg1 +

∫Ef2 =⇒

∫Ef1 −

∫Ef2 =

∫Eg1 −

∫Eg2.

Por otra parte, teniendo en cuenta el apartado vi) de la proposicion 1.4.8, dos funcionesintegrables no negativas f y g solo toman el valor +∞ en un conjunto de medida nula, demodo que esta definida f − g en casi todo punto.

Proposicion 1.4.16. Sean f y g integrables sobre E. Entonces

i) c · f es integrable sobre E y∫Ec · f = c

∫Ef.

ii) f + g es integrable sobre E y∫E(f + g) =

∫Ef +

∫Eg.

iii) Si f ≤ g c.s.,∫Ef ≤

∫Eg.

iv) Si A y B son conjuntos medibles disjuntos contenidos en E,∫A∪B

f =∫Af +

∫Bf .

Demostracion. i) Es consecuencia de la definicion y de la proposicion 1.4.8.

ii) Si f y g son integrables, tambien lo son f+ + g+ y f− + g−. Como f + g = (f+ + g+)−(f− + g−), por la observacion previa tenemos:∫

(f + g) =∫

(f+ + g+)−∫

(f− + g−) =∫f+ +

∫g+ −

∫f− −

∫g− =

∫f +

∫g.


iii) Es consecuencia de ii) y de que la integral de una funcion integrable no negativa es nonegativa.

iv)∫A∪B

f =∫f · χA∪B =

∫f · χA +

∫f · χB =

∫Af +

∫Bf.

Teorema 1.4.17 (convergencia dominada de Lebesgue). Sean g una funcion integrablesobre E y (fn) una sucesion de funciones medibles tales que |fn| ≤ g en E y f(x) = lım fn(x)c.s. en E. Entonces ∫

Ef = lım

∫Efn.

Demostracion. La funcion g − fn es no negativa y, por el lema de Fatou,∫E(g − f) ≤ lım inf

∫E(g − fn).

Como |f | ≤ g, f es integrable y∫Eg −

∫Ef ≤

∫Eg − lım sup

∫Efn,

de donde∫Ef ≥ lım sup

∫Efn.

Analogamente, con g + fn llegamos a∫Ef ≤ lım inf

∫Efn.

Este resultado puede generalizarse debido a que la demostracion no necesita condiciones tanfuertes. En concreto, el siguiente resultado tambien es valido.

Teorema 1.4.18. Sea (gn)n∈N una sucesion de funciones integrables que converge c.s. a unafuncion integrable g. Sea (fn)n∈N una sucesion de funciones medibles tal que |fn| ≤ gn y fn

converge a f c.s. Si∫g = lım

∫gn, entonces

∫f = lım

∫fn.

Demostracion. Supongamos, para simplificar la notacion, que fn(x) ≥ 0, para todo n. En-tonces, como (g − fn)+ ≤ g, por el teorema de la convergencia dominada,

lım∫

(g − fn)+ =∫

(g − f)+.

Por otra parte, como gn − fn ≥ 0,

0 ≤∫

(g − fn)− =∫

(g − gn + gn − fn)− ≤∫

(g − gn)−.

Como ademas lım∫

(g − gn)− = 0, resulta que

lım∫

(g − fn) =∫

(g − f)+ =∫

(g − f),

ya que f(x) ≤ g(x).


Observacion. El lema de Fatou tiene las hipotesis mas debiles, fn acotadas inferiormente

por cero, de modo que la conclusion es mas debil:∫f ≤ lım inf

∫f .

El teorema de convergencia dominada requiere que fn esten acotadas superior e inferiormente

por funciones integrables fijas, ası que su conclusion es mas fuerte:∫f = lım

∫fn.

El teorema de la convergencia monotona es un hıbrido, necesita que fn esten acotadas infe-riormente por cero y superiormente por la propia funcion lımite f . Si f es integrable, se tratade un caso especial del teorema de la convergencia dominada. Sin embargo, junto con el lemade Fatou, se puede aplicar sin necesidad de que f sea integrable.

1.4.3. El espacio L1 de funciones integrables

La construccion dada en las secciones anteriores nos permite concluir que la familia de fun-ciones integrables en un conjunto medible E es un espacio vectorial. Por otra parte, si iden-tificamos las funciones que son iguales en casi todo punto, obtenemos el espacio L1(E) de lasclases de equivalencia de funciones integrables en E. Tambien es facil comprobar que se tratade un espacio normado1 si definimos la norma

‖f‖ = ‖f‖1 =∫E|f |.

Como una aplicacion directa de los teoremas de convergencia demostraremos que dicho espa-cio es completo, es decir que toda sucesion de Cauchy de funciones en L1(E) es convergente.

Para ello, sea (fn)n∈N ⊂ L1(E) una sucesion de Cauchy. Entonces, dado cualquier k ∈ N,existe nk tal que

‖fnk+1− fnk

‖ ≤ 2−k.

Definimos ahora

f(x) = fn1(x) +∞∑k=1

(fnk+1(x)− fnk

(x)) y g(x) = |fn1(x)|+∞∑k=1

|fnk+1(x)− fnk

(x)|.

Teniendo en cuenta que∫|fn1 |+

∞∑k=1

∫|fnk+1

− fnk| ≤

∫|fn1 |+

∞∑k=1

2−k <∞,

por el teorema de la convergencia monotona, g es integrable. Como ademas |f | ≤ g, tambienf es integrable. En particular, la serie que define f converge en casi todo punto y, como lassumas parciales son precisamente fnk

, resulta que fnk(x) → f(x) c.s.

Ademas, observando que |f−fnk| ≤ g, por el teorema de la convergencia dominada deducimos

que ‖fnk− f‖1 → 0.

Por ultimo, sea ε > 0 arbitrario. Entonces, por hipotesis, existe N ∈ N tal que ‖fn − fm‖1 <ε/2 ∀n,m > N . Tambien podemos elegir nk > N tal que ‖fnk

− f‖1 < ε/2. En definitiva,

‖fn − f‖1 ≤ ‖fn − fnk‖1 + ‖fnk

− f‖1 < ε, ∀n > N,

1Un estudio mas detallado de los espacios normados se realiza en el capıtulo 3.


lo que significa que fn → f .

De la propia demostracion deducimos que toda sucesion convergente en L1 posee algunasubsucesion que converge c.s.

1.4.4. Convergencia en medida

Supongamos que (fn) es una sucesion de funciones medibles tal que∫|fn| → 0. Queremos

saber que se puede decir de la sucesion (fn).

La propiedad mas importante serıa que la medida del conjunto x : |fn(x)| > η tiende acero cuando η → 0.

Definicion. Se dice que una sucesion (fn) de funciones medibles converge a f en medidasi, dado ε > 0 existe N ∈ N tal que

m(x : |f(x)− fn(x)| ≥ ε) < ε, ∀n ≥ N.

Ejemplo. Si n = k + 2ν , 0 ≤ k < 2ν , definimos fn(x) =

1 si x ∈ [k · 2−ν , (k + 1)2−ν ]0 en el resto

,

x ∈ [0, 1]. Entonces m(x : |fn(x)| > ε) ≤ 2/n, con lo que fn → 0 en medida pero, paracualquier x ∈ [0, 1], la sucesion (fn) toma el valor 1 para valores arbitrariamente grandes den, con lo que no converge a cero puntualmente.

Proposicion 1.4.19. Sea (fn)n∈N una sucesion de funciones medibles que converge en medidaa f . Entonces existe una subsucesion (fnk

)k∈N que converge a f c.s.

Demostracion. Dado ν > 0, existe nν ∈ N tal que

m(x : |fn(x)− f(x)| ≥ 2−ν) < 2−ν , ∀n ≥ nν .

Sea Eν = x : |fnν (x) − f(x)| ≥ 2−ν. Entonces, si x 6∈∞⋃ν=k

Eν , |fnν (x) − f(x)| < 2−ν para

ν ≥ k y ası fnν (x) → f(x). Por tanto, fnν → f(x), para todo x 6∈ A =∞⋂k=1

∞⋃ν=k

Eν .

Como m(A) ≤ m(∞⋃ν=k

Eν) ≤∞∑ν=k

m(Eν) = 2−k+1, entonces m(A) = 0.

Proposicion 1.4.20. El lema de Fatou y los teoremas de convergencia monotona y conver-gencia dominada de Lebesgue son ciertos sustituyendo convergencia c.s. por convergencia enmedida.

1.5. Derivacion e integracion de funciones medibles

Las dos cuestiones principales que queremos responder son:

42 1.5. Derivacion e integracion de funciones medibles

¿Bajo que condiciones existe la derivada de una funcion f (al menos c.s.) y cuando∫ b

af ′(x) dx = f(b)− f(a)?

¿Bajo que condiciones la integral de una funcion integrable f es derivable y cuando

d

dx

∫ x

af(t) dt = f(x)?

Veremos que la primera igualdad es cierta solo para una cierta clase de funciones (por ejemplo,la funcion f(x) = x2 · sen(x · e1/x2

), si x 6= 0, y f(0) = 0, es derivable pero f ′ no es integrableen un entorno que contiene al cero) pero la segunda sera cierta en casi todo punto. Para eldesarrollo de este tema seran fundamentales las nociones de variacion acotada y continuidadabsoluta de funciones.

1.5.1. Diferenciacion de funciones monotonas

Definicion. Decimos que una familia de intervalos I cubre a un conjunto E en el sentidode Vitali cuando

∀ε > 0, ∀x ∈ E, ∃I ∈ I : x ∈ I, m(I) < ε.

Lema 1.5.1 (Vitali). Sea E un conjunto con m∗(E) <∞ e I una familia de intervalos quecubre a E en el sentido de Vitali. Entonces, dado ε > 0, existe I1, . . . , IN ⊂ I disjuntos dos

a dos, tal que m∗(E \N⋃n=1

In) < ε. En consecuencia, existe una sucesion (In)n∈N de intervalos

disjuntos en I tal que m∗(E \∞⋃n=1

In) = 0.

Demostracion. Basta probar el lema para el caso en que cada I ∈ I es cerrado (si no, sepuede sustituir cada intervalo por su clausura ya que el conjunto de puntos extremos deI1, . . . , IN tiene medida cero).

Sea A un conjunto abierto de medida finita tal que E ⊂ A. Podemos suponer tambien quecada I ∈ I esta contenido en A.

Sea I1 ∈ I arbitrario. Una vez elegidos I1, . . . , In intervalos de I disjuntos, si E ⊂⋃ni=1 Ii, el

teorema esta demostrado. Si no, llamamos

In = I ∈ I : I ∩( n⋃i=1

Ii

)= ∅

y kn = supm(I) : I ∈ In.Como

⋃ni=1 Ii es cerrado, In 6= ∅, con lo que kn > 0. Ademas, como I ⊂ A, kn ≤ m(A) <∞.

Mientras que no sea E ⊂⋃ni=1 Ii, existe In+1 ∈ In tal que m(In+1) > kn/2.


Continuando este proceso, se define una sucesion (In)n∈N de intervalos disjuntos en I. Co-

mo⋃n∈N In ⊂ A, entonces

∞∑n=1

m(In) ≤ m(A) < ∞. Existe entonces N ∈ N tal que

∞∑n=N+1

m(In) < ε/5.

Llamamos F = E \N⋃n=1

In. Dado cualquier x ∈ F , existe I ∈ I tal que x ∈ I e I ∩ In = ∅

(n = 1, . . . , N).

Si I ∩Ii = ∅, i ≤ n, entonces m(I) ≤ kn < 2m(In+1). Como lımm(In) = 0 (por ser el terminogeneral de una serie convergente), debe existir n ∈ N tal que I ∩ In 6= ∅. Sea n0 el menorentero tal que I ∩ In 6= ∅. Entonces n0 > N y m(I) ≤ kn0−1 ≤ 2m(In0). Como x ∈ I, ladistancia de x al punto medio de In0 es menor o igual que m(I) + 1

2m(In0) ≤ 52m(In0), de

modo que x esta en el intervalo Jn0 que tiene el mismo punto medio que In0 y cinco veces sulongitud.

Con eso probamos que F ⊂⋃∞n=N+1 Jn, de donde

m∗(F ) ≤∞∑

n=N+1

m(Jn) = 5∞∑

n=N+1

m(In) < ε,

como querıamos demostrar.

Observacion. El lema de Vitali suele expresarse de la siguiente manera: dado ε > 0, existe

una coleccion finita I1, . . . , In de intervalos disjuntos de I tal quen∑i=1

m(Ii) > m∗(E)− ε.

Para comprobarlo, llamamos F =⋃ni=1 Ii, el cual es medible, y observamos que

m∗(E) = m∗(E ∩ F ) +m∗(E \ F ) ≤ m(F ) +m∗(E \ F ) <n∑i=1

m(Ii) + ε.

Definicion. Dada una funcion f , se definen sus derivadas (llamadas tambien numeros deDini) como

D+f(x) = lım suph→0+

f(x+ h)− f(x)h

, D−f(x) = lım suph→0+

f(x)− f(x− h)h

,

D+f(x) = lım infh→0+

f(x+ h)− f(x)h

, D−f(x) = lım infh→0+

f(x)− f(x− h)h

.

Es evidente que D+f(x) ≥ D+f(x) y D−f(x) ≥ D−f(x). Tambien es sencillo probar que almenos una de las derivadas es infinita si f no es continua en x.

Si D+f(x) = D+f(x) = D−f(x) = D−f(x) 6= ±∞, decimos que f es diferenciable en x ysu valor comun se denota por f ′(x).

Demostraremos a continuacion un resultado que generaliza el probado por Lebesgue en 1904de que toda funcion monotona es derivable. El resultado probado por Lebesgue necesitaba lahipotesis adicional de que la funcion fuera continua.


Teorema 1.5.2. Sea f : [a, b] → R creciente. Entonces f es diferenciable en casi todo punto.Su derivada f ′ es integrable y ∫ b

af ′(x) dx ≤ f(b)− f(a).

Demostracion. Veremos que los conjuntos donde dos de las derivadas son distintas tienenmedida cero. Consideraremos solo el caso en que D+f(x) > D−f(x) pues el resto de combi-naciones se maneja de forma similar.

Sea E la union de los conjuntos

Eu,v = x : D+f(x) > u > v > D−f(x), u, v ∈ Q.

Bastara probar que m∗(Eu,v) = 0. Si llamamos s = m∗(Eu,v), dado ε > 0, existe un abiertoA tal que Eu,v ⊂ A y m(A) < s+ ε.

Para cada x ∈ Eu,v, existe un intervalo [x− h, x] ⊂ A tal que f(x)− f(x− h) < v · h.Por el lema de Vitali, podemos encontrar una familia finita I1, . . . , IN de tales intervaloscuyos interiores cubren un subconjunto F de Eu,v cuya medida exterior es mayor que s− ε.Entonces

N∑n=1

[f(xn)− f(xn − hn)] < v ·N∑n=1

hn < v ·m(A) < v · (s+ ε).

Ahora, cada punto y ∈ F es el extremo izquierdo de un intervalo (y, y + k) arbitrariamentepequeno que esta contenido en algun In y tal que f(y + k)− f(y) > u · k. De nuevo el lemaanterior permite extraer una coleccion finita J1, . . . , JM de tales intervalos tal que su unioncontiene un subconjunto de F con medida exterior mayor que s− 2ε. Entonces

M∑i=1

[f(yi + ki)− f(yi)] > u ·M∑i=1

ki > u · (s− 2ε).

Cada Ji esta contenido en algun In, de modo que, sumando sobre aquellos i para los queJi ⊂ In, resulta ∑

[f(yi + ki)− f(yi)] ≤ f(xn)− f(xn − hn)

pues f es creciente. Ası

N∑n=1

[f(xn)− f(xn − hn)] ≥M∑i=1

[f(yi + ki)− f(yi)]

de donde v · (s+ ε) > u · (s− 2ε).

Al ser cierto para todo ε > 0, entonces v · s ≥ u · s. Como u > v, debe ser s = 0.

Esto demuestra que g(x) = lımh→0

f(x+ h)− f(x)h

esta definido en casi todo punto y f sera di-

ferenciable cuando g sea finito.

Para demostrar la segunda parte, llamamos gn(x) = n · [f(x+ 1/n)− f(x)], donde hacemosf(x) = f(b) cuando x ≥ b. Entonces gn(x) → g(x) c.s. de donde se deduce que g es medible.


Como f es creciente, gn ≥ 0. Por el lema de Fatou,∫ b

ag ≤ lım inf

∫ b

agn = lım inf n ·

∫ b

a[f(x+ 1/n)− f(x)] dx

= lım inf

[n

∫ b+1/n

bf − n

∫ a+1/n

af

]= lım inf

[f(b)− n

∫ a+1/n

af

]≤ f(b)− f(a).

Esto prueba que g es integrable y, por tanto, finita c.s. En definitiva, f es diferenciable c.s. yg = f ′ c.s.

Observaciones.

1. Veamos con un ejemplo que la desigualdad no puede mejorarse en el caso de las funcionescontinuas. Recordamos que el conjunto de Cantor C ⊂ [0, 1] se define como interseccionde cierta sucesion (Ck), donde Ck es union de 2k intervalos cerrados.

Definimos f1(x) =

0 si x = 0,1/2 si 1/3 ≤ x ≤ 2/3,1 si x = 1,

y lineal y continua en [0, 1]. De forma

similar definimos,

f2(x) =

0 si x = 0,1/4 si 1/9 ≤ x ≤ 2/9,1/2 si 1/3 ≤ x ≤ 2/3,3/4 si 7/9 ≤ x ≤ 8/9,1 si x = 1,

y lineal y continua en [0, 1].

1

92

91

32

37

98

91

1

4

1

2

3

4

1

En general, si llamamos En a la clausura del conjunto ([0, 1] \ Cn) ∪ 0, 1, definimosuna sucesion (fn) de modo que fn(0) = 0, fn(1) = 1, fn constante en cada subintervalode En, donde toma los valores 1/2n, 2/2n, etc., y hacemos fn lineal en el resto para quesea continua y creciente en [0, 1]. Ası, si m < n, fm(x) = fn(x), ∀x ∈ Em.


Es facil probar que |fn+1(x) − fn(x)| ≤ 2−n−1. Por tanto, dicha sucesion convergeuniformemente a una funcion continua y creciente, llamada funcion de Cantor-Lebesgue. Ademas, f(C) = [0, 1]. Como f es constante en cada intervalo del com-plementario del conjunto de Cantor y m(C) = 0, entonces f ′(x) = 0 c.s. aunquef(1)− f(0) = 1.

Posteriormente veremos que la igualdad se alcanza en el caso de funciones absolutamentecontinuas.

2. El resultado anterior tambien es valido si la funcion es decreciente. Durante muchotiempo se pensaba que la continuidad era condicion suficiente para la diferenciabilidaden casi todo punto. Sin embargo, Karl Weierstrass encontro en 1872 un ejemplo, el cualfue publicado por su alumno Emil du Bois-Reymond en 1875, de una funcion continuaen todo punto y diferenciable en ninguno. Dicha funcion esta definida por

f(x) =∞∑n=0

an cos(bnπx), a ∈ R, 0 < a < 1, b entero impar, ab > 1 + 3π/2.

Actualmente se reconoce que la mayorıa de las funciones continuas no son derivablesen ningun punto. Mostramos a continuacion el ejemplo obtenido por Bartel van derWaerden en 1930, considerado uno de los mas elementales.

Definimos la funcion f(x) =∞∑n=0

10nx10n

, donde t representa la distancia de t al entero

mas proximo.

0.5 1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Como 0 ≤ 10nx10n

≤ 12· 110n

y la serie12

∑10−n es convergente, la serie que define f

converge uniformemente en R (por el criterio de comparacion). Como todos los terminosde la serie son funciones continuas, f es continua en R.

Teniendo en cuenta que f es 1-periodica, basta probar que f no es derivable en elintervalo [0, 1). Para ello, consideramos la expresion decimal de x, x = 0.a1a2 . . . , dondeconvenimos en que la sucesion no termina en una cantidad infinita de nueves. Ası,

10nx =

0.an+1an+2 . . . si 0.an+1an+2 · · · ≤ 1/2,1− 0.an+1an+2 . . . si 0.an+1an+2 . . . > 1/2.

Llamamos hm =

−10−m si am es igual a 4 o 9,10−m en el resto.

Entonces x+hm = 0.a1a2 . . . a′m . . . ,

donde a′m =

am − 1 si am es igual a 4 o 9,am + 1 en el resto.


La expresion 10n(x + hm) − 10nx es cero si n ≥ m. Para n < m, tenemos que(a′m − am)10n−m = 10nhm si an+1 ≤ 4, y −(a′m − am)10n−m = −10nhm si an+1 ≥ 5.Ası pues,

f(x+ hm)− f(x)hm

=∞∑n=0

10n(x+ hm) − 10nx10nhm

=m−1∑n=0

±10nhm10nhm

=m−1∑n=0

±1.

Si m es par, el resultado de esta suma es un entero par y, si m es impar, el resultado es

impar. Por tanto, lımm→∞

f(x+ hm)− f(x)hm

no existe.

1.5.2. Funciones de variacion acotada

Una de las aplicaciones del calculo integral consiste en la determinacion de longitudes decurvas en el plano. Concretamente, dada una curva parametrizada por σ(t) = (x(t), y(t)),con a ≤ t ≤ b, se define su longitud como

L = supP

k∑i=1

|σ(ti)− σ(ti−1)|,

donde P = t0, t1, . . . , tk recorre el conjunto de particiones del intervalo [a, b]. Cuando L <∞se dice que la curva es rectificable. Esta condicion es el punto de partida para definir las fun-ciones de variacion acotada.

Definicion. Sea f : [a, b] → R y x0, x1, . . . , xk una particion de [a, b]. Definimos

p =k∑i=1

[f(xi)− f(xi−1)]+, n =k∑i=1

[f(xi)− f(xi−1)]−

y t = n+ p =k∑i=1

|f(xi)− f(xi−1)|. Ası, f(b)− f(a) = p− n.

Llamamos P = sup p, N = supn y T = sup t, sobre todas las particiones de [a, b]. Es evidenteque P ≤ T ≤ P +N.

Los numeros P = P ba , N = N ba y T = T ba reciben el nombre de variacion positiva, negativa

y total de f en [a, b], respectivamente. Si T <∞, decimos que f es de variacion acotadaen [a, b] y escribimos f ∈ VA[a, b].

De la definicion se deduce que la suma y el producto de funciones de variacion acotada es devariacion acotada. Es facil verificar que toda funcion de variacion acotada es acotada (bastaelegir x ∈ [a, b] tal que f(x) > n y calcular la variacion de f con respecto a la particiona, x, b) pero el recıproco es falso, como se comprueba con el siguiente ejemplo:

La funcion f(x) = χQ es acotada en [0, 1]. Para ver que no es de variacion acotada, para cadan ∈ N, sea an un numero irracional en el intervalo (1/(n+ 1), 1/n). Entonces, fijado N ∈ N,

N∑n=1

|f(1/n)− f(an)| =N∑n=1

1 = N,


de modo que T 10 = ∞.

De forma intuitiva podemos decir que una funcion de variacion acotada no puede teneroscilaciones demasiado pronunciadas ni frecuentes.

Ejemplos.

1. Todas las funciones monotonas y acotadas son de variacion acotada.

En efecto, si f es creciente y |f(x)| ≤M , entonces

k∑i=1

|f(xi)− f(xi−1)| =k∑i=1

[f(xi)− f(xi−1)] = f(b)− f(a) ≤ 2M.

2. Todas las funciones diferenciables con derivada acotada son de variacion acotada.

En efecto, si f es diferenciable en [a, b] y |f ′(x)| ≤ M , por el teorema del valor medio,|f(x)− f(y)| ≤M |x− y|, de donde

k∑i=1

|f(xi)− f(xi−1)| ≤k∑i=1

M |xi − xi−1| = M(b− a).

3. Sea f(x) =

xα sen(x−β) si 0 < x ≤ 1,0 si x = 0.

Entonces f es de variacion acotada en [0, 1] si y solo si α > β.

Es evidente que la suma de dos funciones crecientes es creciente y, por tanto, derivable en casitodo punto. Sin embargo, la resta de dos funciones crecientes no necesariamente es creciente.Veremos a continuacion (despues de un lema previo) que las funciones de variacion acotadase caracterizan precisamente por ser resta de dos funciones crecientes.

Lema 1.5.3. Si f es de variacion acotada en [a, b], entonces T ba = P ba +N ba y f(b)− f(a) =

P ba −N ba.

Demostracion. En cualquier particion de [a, b], p = n + f(b) − f(a) ≤ N + f(b) − f(a).Tomando supremos, P ≤ N +f(b)−f(a). Como N ≤ T <∞, entonces P −N ≤ f(b)−f(a).

Analogamente se prueba que N − P ≤ f(a)− f(b), por tanto P −N = f(b)− f(a).

Por ultimo, como T ≥ p+n = p+p−(f(b)−f(a)) = 2p+N−P , entonces T ≥ 2P +N−P =P +N .

Como T ≤ P +N , deducimos que T = P +N .

Teorema 1.5.4. f ∈ VA[a, b] ⇐⇒ f es diferencia de dos funciones reales crecientes.

Demostracion. Sea f ∈ VA[a, b] y llamamos g(x) = P xa , h(x) = Nxa . Entonces g y h son

funciones crecientes con valores reales pues

0 ≤ P xa ≤ T xa ≤ T ba <∞ y 0 ≤ Nxa ≤ T xa ≤ T ba <∞.


Por el lema anterior,

f(x) = g(x)− h(x) + f(a) = g(x)− (h(x)− f(a))

y f es la resta de dos funciones monotonas.

Recıprocamente, si f = g − h con g y h reales y crecientes, para cualquier particion de [a, b]resulta∑

|f(xi)− f(xi−1)| ≤∑

[g(xi)− g(xi−1)] +∑

[h(xi)− h(xi−1)] = g(b)− g(a) + h(b)− h(a)

lo que implica que T ba(f) ≤ g(b) + h(b)− g(a)− h(a).

Combinando este resultado con el teorema 1.5.2, se obtiene inmediatamente el siguiente.

Corolario 1.5.5. Si f ∈ VA[a, b], existe f ′(x) en casi todo x ∈ [a, b].

1.5.3. Derivacion de una integral

Dada una funcion f integrable en [a, b], la funcion F (x) =∫ x

af, x ∈ [a, b], recibe el nombre

de integral indefinida de f . Veremos en este apartado que la derivada de F es igual a f encasi todo punto de [a, b]. En primer lugar, demostramos que F es de variacion acotada y, enconsecuencia, derivable en casi todo punto.

Lema 1.5.6. Si f es integrable en [a, b], la funcion F (x) =∫ x

af(t) dt es continua y de

variacion acotada en [a, b].

Demostracion. La continuidad es consecuencia de la proposicion 1.4.13.

Para ver que es de variacion acotada, sea x0, x1, . . . , xk una particion de [a, b]. Entonces

k∑i=1

|F (xi)− F (xi−1)| =k∑i=1

∣∣∣∣∣∫ xi

xi−1

f(t) dt

∣∣∣∣∣ ≤k∑i=1

∫ xi

xi−1

|f(t)| dt =∫ b

a|f(t)| dt.

Por tanto, T ba(F ) ≤∫ b

a|f(t)| dt <∞.

Lema 1.5.7. Si f es integrable en [a, b] y∫ x

af(t) dt = 0, ∀x ∈ [a, b], entonces f(t) = 0 c.s.

en [a, b].

Demostracion. Supongamos que f(x) > 0 en un conjunto E de medida positiva. Por laproposicion 1.3.17, existe F ⊂ E cerrado con m(F ) > 0.

Si llamamos A = (a, b) \ F , entonces, o bien∫ b

af 6= 0 o bien 0 =

∫ b

af =

∫Ff +

∫Af , con lo

que∫Af = −

∫Ff 6= 0.


Como A es union disjunta de una familia numerable (an, bn)n∈N de intervalos abiertos,

por la proposicion 1.4.8,∫Af =

∑n∈N

∫ bn

an

f . Por tanto, para algun n,∫ bn

an

f 6= 0 con lo que∫ an

af 6= 0 o

∫ bn

af 6= 0.

En cualquier caso, vemos que, si f es positiva en un conjunto de medida positiva, para algun

x ∈ [a, b] se tiene que∫ x

af 6= 0.

Analogamente se prueba que f no puede ser negativa en un conjunto de medida positiva,ası que debe ser nula.

Lema 1.5.8. Si f es acotada y medible en [a, b] y F (x) =∫ x

af(t) dt + F (a), entonces

F ′(x) = f(x) para casi todo x ∈ [a, b].

Demostracion. Por el lema 1.5.6, F ∈ VA[a, b] de modo que existe F ′(x) en casi todo x ∈ [a, b].Sea |f | ≤ K.

Si llamamos fn(x) = n[F (x + 1/n) − F (x)

], entonces fn(x) = n

∫ x+1/n

xf(t) dt, de donde

|fn| ≤ K.

Como fn(x) → F ′(x) c.s., por el teorema de la convergencia acotada 1.4.6, tenemos∫ c

aF ′(x) dx = lım

n→∞

∫ c

afn(x) dx = lım

n→∞n

∫ c

a[F (x+ 1/n)− F (x)] dx

= lımn→∞

[n

∫ c+1/n

cF (x) dx− n

∫ a+1/n

aF (x) dx

]= F (c)− F (a) =

∫ c

af(x) dx

pues F es continua. Por tanto,∫ c

a[F ′(x) − f(x)] dx = 0, ∀c ∈ [a, b] de donde F ′(x) = f(x)

c.s. por el lema anterior.

Teorema 1.5.9. Sea f integrable en [a, b] y supongamos que F (x) = F (a) +∫ x

af(t) dt.

Entonces F ′(x) = f(x) c.s. en [a, b].

Demostracion. Sin perdida de generalidad, podemos suponer que f ≥ 0. Definimos fn(x) =

mınn, f(x). Ası f − fn ≥ 0 de donde Gn(x) =∫ x

a(f − fn) es una funcion creciente de x,

la cual tendra derivada c.s. y su derivada sera no negativa. Por el lema anterior,d

dx

∫ x

afn =

fn(x) c.s. y F ′(x) =d

dxGn(x) +

d

dx

∫ x

afn ≥ fn(x) c.s.

Como n es arbitrario, F ′(x) ≥ f(x) c.s. En consecuencia,∫ b

aF ′(x) dx ≥

∫ b

af(x) dx = F (b)− F (a).


Por el teorema 1.5.2,∫ b

aF ′(x) dx = F (b)− F (a) =

∫ b

af(x) dx =⇒

∫ b

a[F ′(x)− f(x)] dx = 0.

Como F ′(x)− f(x) ≥ 0, entonces F ′(x)− f(x) = 0 c.s.

Ejemplo. Si f(x) = [x] y F (x) =∫ x

0f , entonces F (x) = nx − n(n+ 1)

2, para todo x ∈

[n, n+ 1). Es evidente que F es continua y F ′(x) = f(x) para todo x 6∈ Z.

1.5.4. Continuidad absoluta

Ya hemos comprobado (corolario 1.5.5 y teorema 1.5.2) que, si f es una funcion de variacionacotada en [a, b], entonces f ′ existe y es integrable en [a, b]. Incluso, si g(x) =

∫ xa f

′, entoncesg′(x) = f ′(x) en casi todo punto x ∈ [a, b] (teorema 1.5.9). Sabemos tambien que, si f ∈C(1)([a, b]), entonces g(x) = f(x)− f(a). Esta igualdad no siempre es cierta como se muestraen las observaciones posteriores al teorema 1.5.2. En esta seccion queremos obtener estarelacion entre f y g bajo condiciones mas generales.

Definicion. Una funcion f : [a, b] → R es absolutamente continua en [a, b] cuando

∀ε > 0, ∃δ > 0 :n∑i=1

|f(x′i)− f(xi)| < ε

para toda coleccion finita (xi, x′i)ni=1 de intervalos disjuntos conn∑i=1

|x′i − xi| < δ.

Es evidente que toda funcion absolutamente continua es uniformemente continua, pero elrecıproco no es cierto. Para comprobarlo, consideramos la funcion f(x) = x sen(π/x), si x 6= 0,y f(0) = 0, la cual es uniformemente continua en [0, 1]. Para ver que no es absolutamentecontinua, sean n ∈ N y δ > 0 arbitrarios, y definimos an = 2/(4n+1) y bn = 2/(4n) y elegimosM,N ∈ N tales queM < N , 1/M < δ y

∑Nn=M an > 1. Ası, la familia (an, bn) : M ≤ n ≤ N

de intervalos disjuntos en [0, 1] verifica∑N

n=M (bn − an) < δ pero

N∑n=M

|f(bn)− f(an)| =N∑

n=M

an > 1.

De la proposicion 1.4.13, se deduce que toda integral indefinida es absolutamente continua.Veamos a continuacion que el concepto de continuidad absoluta es mas fuerte que el devariacion acotada.

Lema 1.5.10. Si f es absolutamente continua en [a, b], entonces f ∈ VA[a, b].

Demostracion. Por hipotesis, dado ε = 1, existe δ tal que

n∑i=1

|f(x′i)− f(xi)| < 1 sin∑i=1

|x′i − xi| < δ.


Sea M un entero positivo tal que Mδ > b − a. Dada cualquier particion P de [a, b], sea P ′

el refinamiento de P que consiste en anadir los puntos a + i(b − a)/M (i = 1, . . . ,M − 1).Entonces P ′ =

⋃Mk=1 Pk, donde Pk es una particion del intervalo

[a+ (k−1)(b−a)

M , a+ k(b−a)M

].

Por la definicion de M , en cada particion Pk se verifica que∑

Pk|x′i − xi| < δ. Por tanto,∑

Pk|f(x′i)−f(xi)| < 1. Ası pues, a lo largo de P ,

∑P |f(x′i)−f(xi)| < M y, en consecuencia,

f es de variacion acotada.

Observacion. El resultado anterior permite encontrar ejemplos de funciones continuas perono absolutamente continuas. En efecto, la funcion f(0) = 0, f(x) = x sen(1/x), si x ∈ (0, 1], escontinua en [0, 1] pero no es de variacion acotada, por tanto tampoco absolutamente continua.

Por el corolario 1.5.5 se deduce inmediatamente el siguiente.

Corolario 1.5.11. Si f es absolutamente continua, f tiene derivada en casi todo punto.

Definicion. Una funcion f : [a, b] → R se dice que es singular cuando f ′ = 0 c.s. en [a, b].

En calculo elemental se prueba que, si f ′(x) = 0, ∀x ∈ [a, b], entonces f es constante. Sinembargo, no toda funcion singular es constante (como por ejemplo la funcion de Cantor-Lebesgue). El siguiente resultado proporciona condiciones suficientes para que una funcionsingular sea constante.

Lema 1.5.12. Si f es absolutamente continua en [a, b] y f ′(x) = 0 c.s., entonces f esconstante.

Demostracion. Veamos que, para todo c ∈ [a, b], f(a) = f(c).

Sea E ⊂ (a, c) el conjunto de medida c−a en donde f ′(x) = 0 y sean ε y η numeros positivosarbitrarios. Para cada x ∈ E, existe un intervalo [x, x+h] ⊂ [a, c] tal que |f(x+h)− f(x)| <η · h.Por el lema de Vitali, existe una familia finita [xk, yk] : k = 1, . . . , n de intervalos que no sesolapan y cubren a E excepto por un conjunto de medida menor que δ, donde δ es el numeropositivo correspondiente a ε en la definicion de continuidad absoluta de f .

Si ordenamos los puntos xk para que xk ≤ xk+1, entonces

y0 = a ≤ x1 < y1 ≤ x2 < · · · ≤ yn ≤ c = xn+1

yn∑k=0

|xk+1 − yk| < δ.

Ahora bien,n∑k=1

|f(yk)− f(xk)| ≤ η ·n∑k=1

(yk − xk) < η · (c− a)

debido a la forma de construir los intervalos [xk, yk].

Ademasn∑k=0

|f(xk+1)− f(yk)| < ε por la continuidad absoluta de f . Ası

|f(c)− f(a)| =

∣∣∣∣∣n∑k=0

[f(xk+1)− f(yk)] +n∑k=1

[f(yk)− f(xk)]

∣∣∣∣∣ ≤ ε+ η · (b− a).


Como ε y η son arbitrarios, f(c)− f(a) = 0.

Teorema 1.5.13. Una funcion es una integral indefinida si y solo si es absolutamente con-tinua.

Demostracion. Si F es una integral indefinida, entonces es absolutamente continua por laproposicion 1.4.13.

Recıprocamente, si F es absolutamente continua en [a, b], entonces es de variacion acotada yF (x) = F1(x)− F2(x), donde F1 y F2 son crecientes.

Entonces existe F ′(x) c.s. y |F ′(x)| ≤ F ′1(x) + F ′

2(x). Por el teorema 1.5.2,∫ b

a|F ′(x)| dx ≤ F1(b) + F2(b)− F1(a)− F2(a).

Por tanto, F ′(x) es integrable.

Si llamamos G(x) =∫ x

aF ′(t) dt, G es absolutamente continua y, por tanto, tambien lo es

f = F −G.

Por el teorema 1.5.9, f ′(x) = F ′(x)−G′(x) = 0 c.s. de modo que f es constante por el lemaanterior.

En consecuencia, F (x) =∫ x

aF ′(t) dt+ F (a).

Corolario 1.5.14. Toda funcion absolutamente continua es la integral indefinida de suderivada.

Observacion. Veamos un ejemplo en el que f : [a, b] → R es monotona pero no es cierta la

igualdad∫ b

af ′ = f(b)− f(a).

Sea f : [0, 1] → R la funcion definida por f(x) =

1/2 si 0 ≤ x ≤ 1/2,1 si 1/2 < x ≤ 1.

Es claro que f es

monotona creciente y f ′(x) = 0 c.s. Por tanto,∫ b

af ′ = 0 pero f(1)− f(0) = 1/2 > 0.

1.5.5. Funciones convexas

Terminamos este capıtulo estudiando las funciones convexas, las cuales constituyen un ejem-plo sencillo de funciones absolutamente continuas.

Definicion. Una funcion ϕ : (a, b) → R es convexa si

∀x, y ∈ (a, b), 0 ≤ λ ≤ 1, ϕ(λx+ (1− λ)y) ≤ λ · ϕ(x) + (1− λ)ϕ(y).

Geometricamente, esto significa que todos los puntos de la cuerda que une (x, ϕ(x)) con(y, ϕ(y)) quedan por encima de la grafica de ϕ.


Lema 1.5.15. Si ϕ es convexa en (a, b) y x, x′, y, y′ ∈ (a, b) con x ≤ x′ < y′, x < y ≤ y′,entonces la cuerda sobre (x′, y′) tiene pendiente mayor que la cuerda sobre (x, y), es decir

ϕ(y)− ϕ(x)y − x

≤ ϕ(y′)− ϕ(x′)y′ − x′

.

Demostracion. Como y ∈ (x, y′), y = λx+ (1− λ)y′ =⇒ ϕ(y) ≤ λ · ϕ(x) + (1− λ)ϕ(y′).

Como x′ ∈ (x, y′), x′ = µx+ (1− µ)y′ =⇒ ϕ(x′) ≤ µ · ϕ(x) + (1− µ)ϕ(y′).

Entonces y − x = (λ − 1)x + (1 − λ)y′ = (1 − λ)(y′ − x) y y′ − x′ = µ(y′ − x). Por tanto,

y − x =1− λ

µ· (y′ − x′).

Por otra parte, ϕ(y)− ϕ(x) ≤ (λ− 1)ϕ(x) + (1− λ)ϕ(y′) = (1− λ)(ϕ(y′)− ϕ(x)) y

ϕ(y′)− ϕ(x′) ≥ µ · (ϕ(y′)− ϕ(x)) ≥ µ

1− λ· (ϕ(y)− ϕ(x)) =

y′ − x′

y − x· (ϕ(y)− ϕ(x)).

Esto implica queϕ(y)− ϕ(x)

y − x≤ ϕ(y′)− ϕ(x′)

y′ − x′.

Definicion. Si D−f(x) = D−f(x) < ∞, decimos que f es diferenciable en x por laizquierda, y si D+f(x) = D+f(x) < ∞, decimos que f es diferenciable en x por laderecha.

Proposicion 1.5.16. Si ϕ es convexa en (a, b), es absolutamente continua en cada subin-tervalo cerrado de (a, b). Las derivadas por la derecha y por la izquierda de ϕ existen en todox ∈ (a, b) y son iguales excepto en un conjunto numerable. Las derivadas por la izquierday por la derecha son funciones crecientes y, en cada punto, la derivada por la izquierda esmenor o igual que la derivada por la derecha.

Demostracion. Sea [c, d] ⊂ (a, b). Por el lema anterior,

∀x, y ∈ [c, d],ϕ(c)− ϕ(a)

c− a≤ ϕ(y)− ϕ(x)

y − x≤ ϕ(b)− ϕ(d)

b− d.

Ası, |ϕ(y)− ϕ(x)| ≤M · |x− y| en [c, d], de modo que ϕ es absolutamente continua.

Si x0 ∈ (a, b), entoncesϕ(x)− ϕ(x0)

x− x0es una funcion creciente de x (por el lema anterior),

con lo que los lımites cuando x tiende a x0 por la derecha y por la izquierda existen y sonfinitos.

Por tanto, ϕ es diferenciable por la derecha y por la izquierda en cada punto y la derivadapor la izquierda es menor o igual que la derivada por la derecha. Si x0 < y0, x < y0 y x0 < y,entonces

ϕ(x)− ϕ(x0)x− x0

≤ ϕ(y)− ϕ(y0)y − y0

y cualquier derivada en x0 es menor o igual que cualquier derivada en y0. En consecuencia,cada derivada es monotona y seran iguales en los puntos para los que alguna de ellas sea


continua. Como una funcion monotona solo puede tener una cantidad numerable de discon-tinuidades, deben ser iguales excepto en un conjunto numerable.

Definicion. Dada una funcion ϕ convexa en (a, b), si x0 ∈ (a, b), la recta y = m(x−x0)+ϕ(x0)se llama soporte en x0 si queda siempre por debajo de la grafica de ϕ, es decir si ϕ(x) ≥m(x− x0) + ϕ(x0).

Del lema 1.5.15 se deduce que la recta es soporte si y solo si su pendiente esta comprendidaentre las derivadas por la izquierda y por la derecha en x0. En particular, sabemos que siempreexiste una recta soporte en cada punto.

Proposicion 1.5.17 (Desigualdad de Jensen). Sea ϕ una funcion convexa en (−∞,∞)y f una funcion integrable en [0, 1]. Entonces∫

ϕ(f(t)) dt ≥ ϕ

(∫f(t) dt

).

Demostracion. Llamamos α =∫f(t) dt y sea y = m(x− α) + ϕ(α) la ecuacion de una recta

soporte en α. Entoncesϕ(f(t)) ≥ m(f(t)− α) + ϕ(α).

Basta integrar ambos lados para obtener el resultado.

Corolario 1.5.18. Sea f una funcion integrable en [0, 1]. Entonces∫exp f(t) dt ≥ exp

(∫f(t) dt

).

Observacion. Una funcion es convexa cuando su valor en el c.d.g. de dos puntos x1, x2

con masas λ y 1 − λ, respectivamente, es menor o igual que el promedio ponderado de susvalores en dichos puntos. La desigualdad de Jensen generaliza esta propiedad: si definimosla distribucion de masas µ sobre la recta mediante µ(a, b] = m(t : a < f(t) ≤ b), entonces∫f(t) dt es el c.d.g. de esta masa y

∫ϕ(f(t)) dt =

∫ϕ(x) dµ es el promedio ponderado de ϕ.

1.6. Calculo integral de funciones integrables

En este apartado estudiaremos diferentes propiedades relativas al calculo integral de funcionesintegrables Lebesgue. Veremos que las formulas del cambio de variable y de la integracionpor partes son validas tambien en la integral de Lebesgue.

1.6.1. Formulas de integracion

Proposicion 1.6.1 (cambio de variables). Sean g : [c, d] → R una funcion derivable conderivada acotada y f : g[c, d] → R una funcion continua. Si llamamos a = g(c), b = g(d),entonces ∫ b

af =

∫ d

c(f g) · g′.

56 1.6. Calculo integral de funciones integrables

Demostracion. Sea F (x) =∫ x

af . Entonces

∫ b

af = F (b)− F (a).

La funcion G(t) = F (g(t)) es derivable en [c, d] y G′(t) = F ′(g(t)) · g′(t) = f(g(t)) · g′(t).Como G′ es acotada,∫ d

cf(g(t)) · g′(t) dt = G(d)−G(c) = F (b)− F (a).

Proposicion 1.6.2 (integracion por partes). Sean F,G : [a, b] → R continuas en [a, b] yderivables en (a, b), con derivadas acotadas. Si F ′ = f , G′ = g en (a, b), entonces∫ b

aF · g = (F ·G)(b)− (F ·G)(a)−

∫ b

aG · f.

Demostracion. Las funciones F,G, f, g son acotadas y (F ·G)(x) =∫ x

aF · g +G · f . Por la

regla de Barrow,

(F ·G)(b)− (F ·G)(a) =∫ b

a(F · g +G · f).

Proposicion 1.6.3 (integrales impropias). Sea f : (a,∞) → R una funcion medible. Si

f es integrable, entonces∫ ∞

af = lım

b→∞

∫ b

af.

Demostracion. Definimos la sucesion fn(x) = f(x) · χ[a,a+n](x). Entonces lım fn(x) = f(x),∀x > a y |fn(x)| ≤ |f(x)|. Por el teorema de la convergencia dominada,

lımn→∞

∫ ∞

afn =

∫ ∞

af =⇒ lım

n→∞

∫ a+n

af =

∫ ∞

af.

De este resultado deducimos que, si F es primitiva de f , continua en [a,∞) y f es acotada

en [a, b], ∀b > a, entonces∫ ∞

af = lım

b→∞(F (b)− F (a)).

En el caso de que f sea integrable en (a, b), ∀b > a, f sera medible en (a,∞) porque f =lımn→∞ f · χ(a,a+n).

a) Si f ≥ 0 y existe lımb→∞

∫ b

af < ∞, entonces f es integrable en (a,∞) (basta aplicar el

teorema de la convergencia monotona a la sucesion fn = f · χ(a,a+n)).

b) Si f tiene signo variable y existe lımb→∞

∫ b

a|f | <∞, entonces f es integrable en (a,∞) (por

serlo |f |).


Ejemplo. Dado a > 0, sea f : [a,∞) → R la funcion definida por f(x) = 1/xα. Entonces∫ b

a

1xα

dx =

ln b− ln a si α = 1,

11−α(b1−α − a1−α) si α 6= 1.

Ası, f es integrable en (a,∞) si y solo si α > 1.

La integral valea1−α

α− 1.

Proposicion 1.6.4 (criterio de comparacion). Sean f, g : (a,∞) → [0,∞) funciones

medibles y g > 0. Si f, g son integrables en (a, b), ∀b > a y existe lımx→∞

f(x)g(x)

= λ, entonces:

a) Si λ ∈ (0,∞), f es integrable si y solo si g es integrable.

b) Si λ = 0, g integrable =⇒ f integrable.

c) Si λ = ∞, f integrable =⇒ g integrable.

Demostracion. a) Si λ ∈ (0,∞),∣∣∣∣f(x)g(x)

− λ

∣∣∣∣ < λ

2, ∀x ≥M ≥ b⇐⇒ λ

2· g(x) < f(x) <

3λ2· g(x).

b) Si λ = 0, ∣∣∣∣f(x)g(x)

∣∣∣∣ < ε⇐⇒ |f(x)| < ε|g(x)|.

c) Si λ = ∞, ∣∣∣∣f(x)g(x)

∣∣∣∣ > k ⇐⇒ |f(x)| > k|g(x)|.

Ejemplo. La funcion f(x) =x2 + 5

3x4 + 7x· senx es integrable en (1,∞).

Basta observar que |f(x)| ≤ x2 + 53x4 + 7x

y que lımx→∞

x2 + 53x4 + 7x

/1x2

= 1/3.

Observacion. Si f tiene signo variable, puede existir lımb→∞

∫ b

af y no ser integrable. Por

ejemplo, la funcion f(x) = senx/x no es integrable en (0,∞) pero existe lımb→∞

∫ b

0

senxx

dx <

∞.

En efecto, como lımx→0+

senxx

= 1, entonces f es integrable en (0, b), para todo b > 0. Sin

embargo,

∫ nπ

π

∣∣∣senxx

∣∣∣ dx =n−1∑k=1

∫ (k+1)π

kπ

∣∣∣senxx

∣∣∣ dx ≥ n−1∑k=1

1(k + 1)π

∫ (k+1)π

kπ| senx| dx =

2π

n−1∑k=1

1k + 1

.

Esto implica que∫ ∞

π

∣∣∣senxx

∣∣∣ dx = ∞, de modo que f no es integrable en (0,∞).

58 1.6. Calculo integral de funciones integrables

Por otro lado, ∫ b

π

senxx

dx = −cos bb

− 1π−∫ b

π

cosxx2

dx.

Como∣∣∣cosxx2

∣∣∣ ≤ 1x2

y 1/x2 es integrable en (π, b), tambien lo escosxx2

. Entonces existe

lımb→∞

∫ b

π

senxx

dx = − 1π−∫ ∞

π

cosxx2

dx <∞.

Como f es integrable en (0, π), existe lımb→∞

∫ b

0

senxx

dx <∞.

1.6.2. Integrales dependientes de un parametro

En los siguientes resultados, supondremos que f : R × I → R es una funcion tal que, para

cada t ∈ I, la funcion f(·, t) es integrable. Esto permite definir F (t) =∫

Rf(x, t) dx.

Teorema 1.6.5. Sea t0 punto de acumulacion de I. Si existe lımt→t0 f(x, t) para casi todox ∈ R y existe un funcion integrable g tal que |f(x, t)| ≤ g(t), ∀t ∈ I, t 6= t0, y para casi todox ∈ R, entonces

lımt→t0

F (t) =∫

Rlımt→t0

f(x, t) dx.

Demostracion. Sea (tn)n∈N ⊂ I una sucesion convergente a t0, tn 6= t0. Si definimos fn(x) =f(x, tn), por hipotesis lımn→∞ fn(x) = f(x, t0) en casi todo x ∈ R.

Por el teorema de la convergencia dominada,

lımn→∞

F (tn) = lımn→∞

∫Rfn =

∫R

lımn→∞

fn =∫

Rlımt→t0

f(x, t) dx.

Teorema 1.6.6 (formula de Leibniz). Si existe∂f

∂t(x, t), ∀t ∈ I y casi todo x ∈ R, y

existe g integrable en R tal que∣∣∣∣∂f∂t (x, t)

∣∣∣∣ ≤ g(x), ∀t ∈ I y casi todo x ∈ R, entonces F es

derivable en I y F ′(t) =∫

R

∂f

∂t(x, t) dx.

Demostracion. Por definicion,

F ′(t0) = lımt→t0

F (t)− F (t0)t− t0

= lımt→t0

∫R

f(x, t)− f(x, t0)t− t0

dx.

Por otra parte,

∃E1 ⊂ R, m(E1) = 0 : ∀x 6∈ E1, lımt→t0

f(x, t)− f(x, t0)t− t0

=∂f

∂t(x, t0);

∃E2 ⊂ R, m(E2) = 0 : ∀x 6∈ E2,

∣∣∣∣∂f∂t (x, s)∣∣∣∣ ≤ g(x), ∀s ∈ I.


Por tanto, ∀x 6∈ E1 ∪ E2, ∣∣∣∣f(x, t)− f(x, t0)t− t0

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∂f∂t (x, s)∣∣∣∣ ≤ g(x).

Por el teorema anterior, F ′(t0) =∫

Rlımt→t0

f(x, t)− f(x, t0)t− t0

dx =∫

R

∂f

∂t(x, t0) dx.

1.7. Ejercicios

1. Si A es un conjunto medible Lebesgue con m(A) > 0, probar que el conjuntox − y : x, y ∈ A contiene un intervalo centrado en el origen.

Solucion. Podemos suponer, sin perdida de generalidad, que A ⊂ [0, 1] y A cerrado.Veamos por que:

Como A =⋃∞n=−∞(A ∩ [n, n+ 1]), existe q ∈ Z tal que m(A ∩ [q, q + 1]) > 0. Entonces

m(A ∩ [q, q + 1]− q) > 0 y C = A ∩ [q, q + 1]− q ⊂ [0, 1]. Por un teorema conocido, Ccontiene un subconjunto cerrado de medida positiva.

Hecha la suposicion inicial, definimos Un =⋃a∈A(a− 1/n, a+ 1/n), n ∈ N. Ası, Un es

abierto, A ⊂ Un y A = A =⋂n∈N Un. Entonces m(A) = lımn→∞m(Un).

Sea q ∈ N tal que m(Uq) < (3/2)m(A), y elegimos δ tal que 0 < δ < 1/q. Basta ver que(−δ, δ) ⊂ x− y : x, y ∈ A.Dado z ∈ (−δ, δ), sea B = A− z. Entonces B ⊂ Uq y m(A) = m(B), de donde

m(Uq \ (A ∩B)) ≤ m(Uq \A) +m(Uq \B) = m(Uq)−m(A) +m(Uq)−m(B)

= 2m(Uq)− 2m(A) <23m(Uq).

Por tanto, A ∩ B 6= ∅, es decir existe y ∈ A ∩ B, con lo que y = x − z, con x ∈ A, dedonde z = x− y, x, y,∈ A.

2. Si A es un conjunto medible Lebesgue, con m(A) > 0, probar que A contieneun subconjunto no medible.

Solucion. Podemos suponer que A ⊂ [0, 1].

Sea (En) la sucesion de conjuntos no medibles construida en la teorıa y llamamosAn = A ∩ En. Entonces A =

⋃An es una union disjunta.

Si todos los conjuntos An fueran medibles, 0 < m(A) =∑m(An) deberıa existir n0 tal

que m(An0) > 0.

Dados x, y ∈ An0 , x 6= y, existen u, v ∈ E tales que x = u+ rn0 , y = v + rn0 , de dondex − y = u − v 6∈ Q. Esto quiere decir que el conjunto x − y : x, y ∈ An0 no contienepuntos racionales, excepto el cero, lo que contradice el ejercicio anterior.

3. Sean A, B ⊂ R, con B medible. Demostrar:

a) Existe G ∈ Gδ tal que A ⊂ G y m(G) = m∗(A).

b) Si m∗(A) < ∞, B ⊂ A y m(B) = m∗(A), entonces A es medible.

60 1.7. Ejercicios

c) Si m(B) < ∞ y A ⊂ B, entonces A es medible si y solo si m(B) =m∗(A) + m∗(B \ A).

Solucion. a) Si m∗(A) = ∞, basta elegir G = R.

Si m∗(A) < ∞, para cada n ∈ N existe An abierto tal que A ⊂ An y m(An) <

m∗(A) + 1/n. Si definimos G =⋂n∈N

An, entonces G ∈ Gδ, A ⊂ G y m∗(A) = m(G).

b) Como B es medible, m∗(A) = m∗(A ∩B) +m∗(A ∩Bc) = m(B) +m∗(A \B).

Como m(B) = m∗(A), m∗(A \ B) = 0 de donde A \ B es medible. En definitiva,A = B ∪ (A \B) es medible.

c) Si A es medible, m(B) = m(B ∩A) +m(B ∩Ac) = m(A) +m(B \A).

Recıprocamente, si m(B) = m∗(A) +m∗(B \A), por el apartado a), existe E1 medibletal que A ⊂ E1 y m(E1) = m∗(A).

Si llamamos E = E1∩B, entonces E es medible, A ⊂ E, B\E ⊂ B\A ym(E) = m∗(A).

Como E es medible, m∗(A) +m∗(B \ A) = m(B) = m(B ∩ E) +m(B \ E) = m(E) +m(B \ E).

Por tanto, m∗(B\A) = m(B\E). Por el apartado b), B\A es medible y A = B\(B\A)es medible.

4. Sean h y g funciones medibles. Demostrar que los conjuntos

x ∈ Ω : h(x) < g(x), x ∈ Ω : h(x) ≤ g(x), x ∈ Ω : h(x) = g(x)

son medibles.

Solucion. Basta observar que

x ∈ Ω : h(x) < g(x) =⋃r∈Q

(h(x) < r ∩ r < g(x)).

El segundo conjunto es el complementario del primero (intercambiando g con h) y eltercero es la diferencia entre los dos primeros.

5. Sea E ⊂ R un conjunto medible. Si f : E → R es continua en casi todopunto, probar que f es medible.

Solucion. Sea D el conjunto de discontinuidades de f . Como m(D) = 0, cualquiersubconjunto de D es medible.

Dado r ∈ R, es claro que

x ∈ E : f(x) > r = x ∈ E \D : f(x) > r ∪ x ∈ D : f(x) > r.

Basta pues probar que C = x ∈ E \D : f(x) > r es medible.

Como f es continua en C, para cada x ∈ C, existe δx > 0 tal que f(t) > r, ∀t ∈(x− δx, x+ δx) ∩ E.

Como U =⋃x∈C(x− δx, x+ δx) es abierto, es medible. Por tanto, C = U ∩ (E \D) es

medible.


6. Si f : R → R tiene derivada en todo punto, demostrar que f ′ es medible.

Solucion. Por ser derivable, f es continua y, por tanto, medible. Tambien son medibleslas funciones fn(x) = n[f(x+ 1/n)− f(x)]. Como fn → f ′, f ′ es medible.

7. Sea f ≥ 0 integrable. Demostrar que, para todo ε > 0, existe A medible,

con µ(A) < ∞, tal que∫

f <

∫A

f + ε.

Solucion. Sea An = x : f(x) ≥ 1/n. Entonces An → A = x : f(x) > 0. Ademas

µ(An) <∞ (porque (1/n)µ(An) =∫An

1/n ≤∫An

f <∞) y∫An

f →∫Af =

∫f .

8. Sean f, fn ≥ 0 integrables y tales que fn → f c.s. Probar que∫fn →

∫f ⇐⇒

∫|fn − f | → 0.

Solucion. Para la primera parte, basta observar que∣∣∣∣∫ fn −∫f

∣∣∣∣ ≤ ∫ |fn − f |.

Recıprocamente, como (f − fn)+ ≤ f y (f − fn)+ → 0, entonces

|fn − f | = (fn − f)+ + (fn − f)− = fn − f + 2(f − fn)+ =⇒∫|fn − f | → 0.

9. Sean f , fn integrables y tales que fn → f c.s. Probar que∫|fn − f | → 0 ⇐⇒

∫|fn| →

∫|f |.

Solucion. Construimos la sucesion gn = |fn| − |fn − f |. Ası, |gn| ≤ |f | y gn → |f |. Porel teorema de la convergencia dominada∫

|fn| −∫|fn − f | =

∫gn →

∫|f |.

10. Decidir la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones:

a) Si f es medible, f+ y f− son medibles.

b) Si f y |f | son medibles, f+ y f− son medibles.

c) Si f no es medible, ni f+ ni f− son medibles.

d) Si |f | es medible, f es medible.

Solucion. a) Como f+ = maxf, 0 y f− = max−f, 0, ambas funciones son medibles.

b) Consecuencia de a).

c) Falso. Sean A y B conjuntos disjuntos, A medible y B no medible. La funcionf = χA − χB no es medible pero f+ = χA es medible.

62 1.7. Ejercicios

d) Falso. Sea A la σ-algebra de los conjuntos A ⊂ R tales que A o Ac es numerable.

El intervalo I = [a, b], con a < b no pertenece a A. Por tanto, la funcion f(x) =1 si x ∈ I−1 si x ∈ Ic,

no es medible. Sin embargo, |f(x)| = 1, ∀x ∈ R, de modo que |f | es

medible.

11. Probar que las siguientes proposiciones son falsas:

a) Si f es una funcion integrable en R, dado ε > 0, existe M > 0 tal que|f(x)| < ε para casi todo x con |x| ≥ M .

b) Si K ⊂ R es compacto, la medida de su frontera es nula.

c) Si f : (0, 1] → R es una funcion continua tal que lıma→0

∫ 1a f existe y es

finito, entonces f es integrable Lebesgue en (0, 1].

Solucion. a) Definimos la funcion f(x) =

2n(x− n) + 1 si x ∈ [n− 1/2n, n]−2n(x+ n) + 1 si x ∈ [n, n+ 1/2n]0 en el resto,

para

n ∈ N. De este modo,∫f =

∑n∈N 1/2n = 1, con lo que f es integrable. Sin embargo,

dado ε ∈ (0, 1), el conjunto x : |f(x)| ≥ ε =⋃n∈N In y para todo M > 0, m(x :

|f(x)| ≥ ε ∩ x : |x| ≥M) > 0.

b) Sean Q∩ [0, 1] = x1, x2, . . . y ε ∈ (0, 1/4). Si llamamos An = (xn−ε/2n, xn+ε/2n),entonces Fn = [0, 1]\An es cerrado y compacto. Ademas F =

⋂n∈N Fn = [0, 1]\

⋃n∈N An

es compacto. Como F no contiene numeros racionales, intF = ∅. Por tanto, frF = Fy m(frF ) > 1− 2ε > 0.

c) Definimos la funcion f : (0, 1] → R de manera que∫ 1/n1/(n+1) f = (−1)n+1/n (n ∈ N).

Ası lıma→0

∫ 1a f =

∑n∈N(−1)n+1/n < ∞ y, sin embargo,

∫(0,1]

|f | =∑n∈N

1/n = ∞ con

lo que f no es integrable Lebesgue.

12. Probar que ln z = lımn→∞ n(

n√

z − 1), ∀z > 0.

Solucion. Sea fn(x) = n√x/x, n ∈ N. Entonces lımn→∞ fn(x) = 1/x, ∀x > 0.

Para x > 1 la sucesion (fn) es decreciente. Ası pues, fijado z > 1, por el teorema de laconvergencia monotona,

− ln z =∫ z

1−1xdx = lım

n→∞

∫ z

1−fn(x) dx = − lım

n→∞n(

n√z − 1

).

Analogamente, como la sucesion (fn) es creciente si 0 < x < 1, se llega al mismoresultado cuando 0 < z < 1.

13. Calcular∫

1

x2· χ[0,1](x) dx y

∫1

√x

· χ[0,1](x) dx.

Solucion. Sea ε ∈ (0, 1) arbitrario. La funcion fε(x) = 1x2 · χ[ε,1](x) es lımite de una

sucesion (sn) de funciones simples, donde sn se define como la suma inferior de Riemanncon respecto a una particion de [ε, 1] con n subintervalos iguales.


Por el teorema de la convergencia monotona,∫1x2· χ[ε,1](x) dx =

1ε− 1.

Basta por tanto elegir una sucesion fn(x) = 1x2 · χ[εn,1](x), donde 0 < εn < 1 y εn → 0

y aplicar el teorema de la convergencia monotona para obtener∫1x2· χ[0,1](x) dx = lım

∫1x2· χ[0,εn](x) dx = lım

ε→0

(1ε− 1)

= ∞.

La segunda integral se resuelve de forma similar.

14. Calcular

lımn→∞

∫ 1

0

1 + nx2

(1 + x2)ndx.

Solucion. Se comprueba facilmente que (fn) es una sucesion decreciente de funcionesno negativas

1 + nx2

(1 + x2)n≥ 1 + (n+ 1)x2

(1 + x2)n+1⇐⇒ 1 + x2 ≥ 1 + (n+ 1)x2

1 + nx2= 1 +

x2

1 + nx2

y tiene lımite cero

1 + nx2

(1 + x2)n≤ 1 + nx2

1 + nx2 + n(n− 1)x4/2→ 0.

Por el teorema de la convergencia monotona, el lımite de la integral es cero.

15. Calcular lımn→∞

∫ n

0

(1 +

x

n

)n

eax dx, con a < −1.

Solucion. Consideramos la sucesion fn(x) =(1 +

x

n

)neax · χ[0,n](x) de funciones medi-

bles no negativas en (0,∞).

Ademas fn(x) ≤ fn+1(x), ∀x > 0, y lım fn(x) = e(a+1)x.

Podemos aplicar el teorema de la convergencia monotona:

lımn→∞

∫ ∞

0fn(x) dx =

∫ ∞

0lım fn(x) dx.

Por tanto,

lımn→∞

∫ n

0fn(x) dx =

∫ ∞

0e(a+1)x dx = − 1

a+ 1.

16. Demostrar que

a) lımn→∞

∫ n

1

(1 −

t

n

)n

ln t dt =∫ ∞

1e−t ln t dt.

b) lımn→∞

∫ 1

0

(1 −

t

n

)n

ln t dt =∫ 1

0e−t ln t dt.

64 1.7. Ejercicios

Solucion. Veamos primero que la sucesion fn(t) =(

1− t

n

)nes creciente, es decir que

(1− t

n

)n≤(

1− t

n+ 1

)n+1

⇐⇒ (n− t)n

(n+ 1− t)n+1≤ nn

(n+ 1)n+1.

Para verlo, consideramos la funcion f(x) =(n− x)n

(n+ 1− x)n+1. Teniendo en cuenta que

f(0) =nn

(n+ 1)n+1, lo unico que necesitamos es probar que f(x) ≤ f(0), para 0 ≤ x ≤ n,

es decir que f es decreciente en [0, n]. Se puede comprobar por calculo directo quef ′(x) ≤ 0, si x ∈ [0, n].

Ası pues, 0 ≤ χ(1,n)(t) · fn(t) · ln t y, por el teorema de la convergencia monotona,

lımn→∞

∫ n

1

(1− t

n

)nln t dt =

∫ ∞

1lımn→∞

(1− t

n

)nln t dt =

∫ ∞

1e−t ln t dt.

La segunda parte es similar. En este caso se trata de una sucesion decreciente de fun-ciones negativas.

17. Sea f ≥ 0 integrable, con 0 <∫

f = c < ∞ y sea 0 < α < ∞. Demostrar

que lımn→∞

∫n · ln (1 + (f/n)α) =

∞ si 0 < α < 1c si α = 10 si 1 < α < ∞.

Solucion. Consideramos la sucesion fn = n · ln (1 + (f/n)α). Tenemos ası que fn ≥ 0.

Si α ≤ 1, la sucesion (fn) es creciente. Ademas,

lım fn = lım ln(

1 +1

(n/f)α

)(n/f)α·n·(f/n)α

= lımn1−α · fα =

f si α = 1∞ si α < 1,

de modo que podemos aplicar el teorema de la convergencia monotona.

Si α > 1, como 1 + xα ≤ (1 + x)α, entonces

fn ≤ n · ln (1 + (f/n)α) = α · n · ln(1 + f/n) ≤ α · f

y se puede aplicar el teorema de la convergencia dominada. Por tanto,

lım∫n · ln (1 + (f/n)α) =

∫lımn · ln (1 + (f/n)α) =

∫lımn1−α · fα = 0.

18. Calcular

a) lımn→∞

∫ ∞

0(1 + (x/n))−n · sen(x/n) dx.

b) lımn→∞

∫ ∞

0n · sen(x/n) · (x(1 + x2))−1 dx.

c) lımn→∞

∫ ∞

an(1 + n2x2)−1 dx segun los valores de a.


Solucion. a) La sucesion (1 + x/n)−n es decreciente y converge a e−x. Por tanto,∣∣∣∣(1 +x

n

)−nsen(xn

)∣∣∣∣ ≤ (1 +x

2

)−2

y g(x) =(1 +

x

2

)−2es integrable.


lım∫

(1 + (x/n))−n·sen(x/n) dx =∫

lım (1 + (x/n))−n·sen(x/n) dx =∫ ∞

0e−x·0 dx = 0.

b) Si x > 0,

|n · sen(x/n) · (x(1 + x2))−1| ≤ n · (x/n) · (x(1 + x2))−1 = (1 + x2)−1.

Ademas g(x) = (1 + x2)−1 es integrable en (0,∞).


lım∫n · sen(x/n) · (x(1 + x2))−1 dx =

∫lımn · sen(x/n) · (x(1 + x2))−1 dx

=∫ ∞

0(1 + x2)−1 dx = π/2.

c) Si hacemos el cambio t = nx, resulta:∫ ∞

an(1 + t2)−1 dt = π/2− arc tg an.

Por tanto, lım∫a∞n(1 + n2x2)−1 dx = 0 si a > 0 y lım

∫a∞n(1 + n2x2)−1 dx = π/2

si a = 0.

19. Dadas las funciones

f(x) =(∫ x

0e−t2 dt

)2

, g(x) =∫ 1

0

e−x2(t2+1)

t2 + 1dt,

probar:

a) f(x) + g(x) = π/4.

b)∫ ∞

0e−x2

dx =√

π/2.

Solucion. a) Veamos que f ′(x) + g′(x) = 0:

f ′(x) = 2e−x2

∫ x

0e−t

2dt, g′(x) =

∫ 1

0−2x·e−x2(t2+1) dt = −2x·e−x2

∫ 1

0e−x

2t2 dt = f ′(x),

al hacer en la ultima integral el cambio de variable tx = u.

Ademas, f(0) = 0 y g(0) = π/4.

b) Basta observar que lımx→∞ g(x) = 0 y aplicar a).

66 1.7. Ejercicios

20. Demostrar:

a)∫ ∞

−∞x2ne−x2

dx =(2n)!

√π

4n · n!.

b) Si a ≥ 0,∫ ∞

−∞e−x2

cos ax dx =√

π · e−a2/4.

c) Si p > 0,∫ 1

0xp−1(x − 1)−1 ln x dx =

∞∑n=0

1

(p + n)2.

Solucion. Probaremos la primera parte por induccion.

El caso n = 0 esta resuelto en el ejercicio anterior.

Si suponemos la igualdad cierta para n, entonces, integrando por partes:∫ ∞

−∞x2ne−x

2dx =

x2n+1

2n+ 1· e−x2

∣∣∣∞−∞

+∫ ∞

−∞2x · x

2n+1

2n+ 1e−x

2dx

=2

2n+ 1

∫ ∞

−∞x2(n+1)e−x

2dx.

Por tanto,∫ ∞

−∞x2(n+1)e−x

2dx =

(2n+ 2)!√π

4n+1 · (n+ 1)!.

b) Utilizamos el desarrollo en serie cos ax =∞∑n=0

(−1)n(ax)2n

(2n)!y aplicamos el apartado

a). Entonces,∫ ∞

−∞e−x

2cos ax dx =

∫ ∞

−∞

∞∑n=0

(−1)na2n

(2n)!e−x

2 · x2n dx

=∞∑n=0

(−1)na2n

(2n)!· (2n)!

√π

4n · n!=√π · e−a2/4.

c) En este caso, utilizamos el desarrollo1

1− x=

∞∑n=0

xn, con lo que:

∫ 1

0xp−1(x− 1)−1 lnx dx = −

∞∑n=0

∫ 1

0xn+p−1 · lnndx.

Ahora bien, como (xn+p · lnx)′ = xn+p−1 + (n+ p)xn+p−1 · lnx, obtenemos:

−∞∑n=0

∫ 1

0xn+p−1 · lnndx = −

∞∑n=0

∫ 1

0

1n+ p

[(xn+p · lnx)′ − xn+p−1

]dx

=∞∑n=0

1n+ p

· xn+p

n+ p

∣∣∣10

=∞∑n=0

1(p+ n)2

.


21. Demostrar que la funcion Γ(y) =∫ ∞

0e−x ·xy−1 dx es de clase C(∞) en (0, ∞)

y verifica

i) Γ(y + 1) = y · Γ(y), y > 0.

ii) Γ(n + 1) = n!, n ≥ 0.

iii) Γ(1/2) =√

π.

Solucion. Veamos que f(x, y) = e−x · xy−1 y sus derivadas parciales∂kf

∂yk= e−x ·

xy−1 · (lnx)k estan acotadas por una funcion integrable, para todo y ∈ (a, b), con0 < a < b <∞.

Si 0 < x < 1, y = xr es decreciente en r y, si x > 1, la funcion y = xr es creciente en r.Por tanto, para todo y ∈ (a, b):

f(x, y) = e−x · xy−1 ≤ g(x) =

xa−1 si 0 < x ≤ 1M · e−x/2 si 1 ≤ x

(pues e−x/2 · xy−1 ≤M <∞ cuando x ≥ 1 ya que lımx→∞ e−x/2 · xb−1 = 0).

Ademas la funcion g es integrable.

Al ser f(x, y) continua, tambien lo es Γ(y).

Analogamente, como∣∣∣∣∂f∂y∣∣∣∣ = e−x · xy−1 · | lnx| ≤ h(x) =

xa−1 · | lnx| si 0 < x ≤ 1N · e−x/2 si 1 ≤ x

(pues lımx→∞ e−x · xb−1 · | lnx| = 0) y h es integrable, entonces Γ′(y) =∫ ∞

0e−x · xy−1 ·

lnx dx, con lo que Γ′ es continua.

El mismo procedimiento permite demostrar que las demas derivadas son continuas.

Las demas propiedades se demuestran por integracion y utilizando los ejercicios ante-riores.


∫ n

0

(1 −

x

n

)n

e−x dx.

Solucion. Consideramos la sucesion fn(x) =(1− x

n

)ne−x ·χ[0,n](x) de funciones medi-

bles en (0,∞). Entonces lım fn(x) = e−2x.

Como |fn(x)| ≤ e−x y la funcion g(x) = e−x es medible e integrable en (0,∞), se puedeaplicar el teorema de la convergencia dominada. Ası pues,

lımn→∞

∫ n

0fn(x) dx = lım

n→∞

∫ ∞

0fn(x) dx =

∫ ∞

0lım fn(x) dx =

∫ ∞

0e−2x dx =

12.


∫ ∞

0

1(1 + x

n

)nx1/n

dx.

68 1.7. Ejercicios

Solucion. Para cada n ∈ N, la funcion fn(x) =1(

1 + xn

)nx1/n

es positiva y continua.

Por tanto es medible e integrable en (0,∞).

Queremos encontrar una funcion g medible e integrable en (0,∞) tal que fn(x) ≤ g(x),∀x > 0 y ası aplicar el teorema de la convergencia dominada.

Sabemos que, para todo n ≥ 2,

fn(x) = fn(x) · χ(0,1](x) + fn(x) · χ[1,∞)(x) ≤1x1/2

· χ(0,1](x) +1

(1 + x/2)2· χ[1,∞)(x)

y la funcion g(x) =1x1/2

·χ(0,1](x)+1

(1 + x/2)2·χ[1,∞)(x) es medible porque las funciones

g1(x) =1x1/2

y g2(x) =1

(1 + x/2)2son continuas en (0,∞).

Ademas,∫ 10 g1(x) dx = 2 y

∫∞1 g2(x) dx = 4/3 con lo que g1 y g2 son integrables.


lımn→∞

∫ ∞

0fn(x) dx =

∫ ∞

0lımn→∞

fn(x) dx =∫ ∞

0e−x dx = 1.


∫ n

0

(1 −

x

2n

)n

· ex dx.

Solucion. La sucesion fn(x) =(1− x

2n

)n· ex · χ[0,n](x) de funciones medibles no nega-

tivas tiene lımite puntual lım fn(x) = ex/2.

Por el lema de Fatou,

lım inf∫ n

0fn(x) dx ≥

∫ ∞

0lım inf fn(x) dx =

∫ ∞

0ex/2 dx = ∞.

Por tanto, lımn→∞

∫ n

0fn(x) dx = ∞.


∫ 1

0

nx sen x

1 + (nx)pdx, con 1 < p < 2.

Solucion. Como 0 < x < 1,∣∣∣∣ nx senx1 + (nx)p

∣∣∣∣ ≤ nx

1 + (nx)p≤ 1

(nx)p−1≤ 1xp−1

.

La funcion g(x) =1

xp−1es continua y, por tanto, medible. Ademas, como

∫g(x) dx <

∞, g es integrable.

Podemos aplicar el teorema de la convergencia dominada, con lo que

lımn→∞

∫ 1

0

nx senx1 + (nx)p

dx =∫ 1

0lımn→∞

nx senx1 + (nx)p

dx =∫ 1

0lımn→∞

senx1nx + (nx)p−1

dx = 0.



∫ 1

0

ln(n + x)

n· e−x cos x dx.

Solucion. Si llamamos fn(x) =ln(n+ x)

n· e−x cosx, como 0 < x < 1,

|fn(x)| ≤ln(n+ 1)n+ 1

· n+ 1n

· e−x ≤ 1 + 1/n ≤ 2.

Basta pues definir g(x) = 2, que es medible e integrable, y aplicar el teorema de laconvergencia dominada. Ası,

lımn→∞

∫ 1

0fn(x) dx =

∫ 1

0lım fn(x) dx =

∫ 1

00 dx = 0.

27. Sea f : [a, b] → R y c ∈ (a, b). Probar que f ∈ V A[a, b] si y solo si f ∈V A[a, c] y f ∈ V A[c, b]. Ademas, T b

a = T ca + T b

c .

Solucion. Es evidente que, si f ∈ V A[a, b], entonces f ∈ V A[a, c] y f ∈ V A[c, b].

Sean P1 = x0, x1, . . . , xk y P2 = xk+1, xk+2, . . . , xn particiones de [a, c] y [c, b],respectivamente. Entonces P = P1 ∪ P2 es particion de [a, b] y

k∑i=1

|f(xi)− f(xi−1)|+n∑

i=k+1

|f(xi)− f(xi−1)| =n∑i=1

|f(xi)− f(xi−1)| ≤ T ba .

Tomando supremos, resulta que T ca + T bc ≤ T ba .

Por otra parte, si P = x0, x1, . . . , xn es una particion de [a, b], supongamos quec ∈ [xk, xk+1]. Entonces P1 = x0, x1, . . . , xk, c y P2 = c, xk+1, . . . , xn son particionesde [a, c] y [c, b], respectivamente. Ademas,

n∑i=1

|f(xi)− f(xi−1)| =k∑i=1

|f(xi)− f(xi−1)|+ |f(xk+1)− f(xk)|+n∑

i=k+2

|f(xi)− f(xi−1)|

≤k∑i=1

|f(xi)− f(xi−1)|+ |f(c)− f(xk)|

+|f(k + 1)− f(c)|+n∑

i=k+2

|f(xi)− f(xi−1)| ≤ T ca + T bc .

Tomando supremos nuevamente, obtenemos que T ba ≤ T ca + T bc .

28. Sea f ∈ V A[a, b]. Probar:

a) f tiene como maximo una cantidad numerable de puntos de discon-tinuidad.

b) Existe f ′ ∈ L1[a, b].

Solucion. a) Como f = f1 − f2, con f1 y f2 crecientes, entonces f ′1 y f ′2 existen en casitodo punto. Por tanto, f = f1 − f2 es continua en casi todo punto.

b) Como ademas, f ′1 y f ′2 son integrables en [a, b], entonces f es integrable en [a, b].

70 1.7. Ejercicios

29. Dada una funcion f ∈ V A[a, b], se define g(x) = T xa (f), x ∈ (a, b], g(a) = 0

(donde T xa (f) representa la variacion total de f en [a, x]). Probar:

a) g es creciente.

b) Si g es continua en x, entonces f es continua en x.

c) Si f es continua en x, entonces g es continua en x.

Solucion. El apartado a) es evidente por definicion de g.

b) Si x < y, 0 ≤ |f(y)− f(x)| ≤ g(y)− g(x). Por tanto, lımy→x+ |f(y)− f(x)| = 0.

Analogamente se procede con el lımite por la izquierda.

c) Sean x ∈ [a, b) y ε > 0. Existe P = x0, x1, . . . , xn particion de [a, b] tal que

T ba(f)− ε <n∑i=1

|f(xi)− f(xi−1)| ≤ T ba(f).

Supongamos que xk−1 ≤ x < xk y elegimos y ∈ [a, b] tal que x < y < xk. LlamamosP ′ = x0, x1, . . . , xk−1, x, y, xk, . . . , xn. Entonces

T ba(f)− ε <∑P ′

|∆f | ≤ T ba(f).

Como g es creciente,∑

P ′ ∆g = T ba(f). Por tanto,

0 ≤∑P ′

(∆g − |∆f |) < ε.

En particular, 0 ≤ g(y) − g(x) − |f(y) − f(x)| < ε. Como lımy→x |f(y) − f(x)| = 0,entonces lımy→x(g(y)− g(x)) = 0.

30. Sea f integrable en [a, b]. Si F =∫ xa f , probar que T b

a(F ) =∫ ba |f |.

Solucion. La desigualdad T ba(F ) ≤∫ ba |f | esta probada en teorıa.

Sea (gn) una sucesion de funciones escalonadas en [a, b] tal que lım gn(x) = f(x) c.s.

Definimos hn(x) =

1 si n · gn(x) > 1−1 si n · gn(x) < −1n · gn(x) si − 1 ≤ n · gn(x) ≤ 1.

Entonces hn es escalonada,

|hn(x)| ≤ 1 y lımhn(x) = 1 c.s. si f(x) > 0, y lımhn(x) = −1 c.s. si f(x) < 0.

Como |hn · f | ≤ |f |, lımhn(x) · f(x) = |f(x)| c.s.

Por el teorema de la convergencia dominada, lım∫ ba hn · f =

∫ ba |f |.

Si hn(x) =∑n

i=1 ci ·χ(xi−1,xi), donde x0, x1, . . . , xn es una particion de [a, b], entonces∫ b

ahn ·f =

n∑i=1

∫ xi

xi−1

hn ·f =n∑i=1

ci · (F (xi)−F (xi−1)) ≤n∑i=1

|F (xi)−F (xi−1)| ≤ T ba(F ).

Esto implica que∫ ba |f | ≤ T ba(F ).


31. Si f : [a, b] → R es absolutamente continua, probar que f aplica conjuntosde medida cero en conjuntos de medida cero.

Solucion. Sea E ⊂ [a, b], con m(E) = 0.

Dado ε > 0, elegimos δ de acuerdo a la continuidad absoluta de f . Sea A ⊂ (a, b) abiertotal que E ⊂ A y m(A) < δ.

Escribimos A como union de intervalos disjuntos, A =⋃∞k=1(ak, bk). Para cada k, sea

[ck, dk] ⊂ [ak, bk] tal que

m(f [ak, bk]) = |f(dk)− f(ck)|.

Como∑n

k=1(dk − ck) ≤ m(A) < δ, ∀n ∈ N, entonces∑n

k=1 |f(dk) − f(ck)| < ε. Portanto,

m∗(f(E)) ≤ m∗(f(A)) ≤∞∑k=1

m(f [ak, bk]) =∞∑k=1

|f(dk)− f(ck)| ≤ ε.

Como ε es arbitrario, m∗(f(E)) = 0.

32. (Teorema de derivacion de Fubini) Sea (fn) una sucesion de funciones crecientesen [a, b] tal que

∑fn(x) = f(x), ∀x ∈ [a, b]. Probar que

∑f ′

n(x) = f ′(x)c.s.

Solucion. Supongamos, sin perdida de generalidad, que fn ≥ 0, ∀n (basta considerar lasucesion gn(x) = fn(x)− fn(a), y el lımite g(x) = f(x)− f(a)).

Consideramos la sucesion Sk =∑k

n=1 fn. Ası, dados x, x+ h ∈ [a, b],

Sk(x+ h)− Sk(x)h

≤ Sk+1(x+ h)− Sk+1(x)h

≤ f(x+ h)− f(x)h

.

Si E es el conjunto de medida cero donde no tienen derivada la sucesion (fn) y la funcionf , entonces

S′k(x) ≤ S′k+1(x) ≤ f(x), ∀x ∈ [a, b] \ E.

Por tanto, (S′k(x)) es una sucesion acotada y creciente, con lo que tambien converge.Veamos que contiene alguna subsucesion que converge a f ′.

Definimos Skjde modo que f(b)− Skj

(b) < 2−j (j ∈ N). Como f − Skjes una funcion

creciente, entonces f(x) − Skj(x) < 2−j , ∀x ∈ [a, b]. Por tanto,

∑j∈N(f(x) − Skj

(x))converge ∀x ∈ [a, b].

Aplicando la primera parte de la demostracion,∑

j∈N(f ′(x) − S′kj(x)) converge ∀x ∈

[a, b] \ E. Esto implica que lımj→∞(f ′(x)− S′kj(x)) = 0, es decir

∑S′kj

(x) = f ′(x) c.s.

33. Sea f absolutamente continua en [a, b]. Probar que g(x) = T xa (f) es absolu-

tamente continua en [a, b].

Solucion. Dado ε > 0, existe δ > 0 tal quen∑i=1

|f(x′i)− f(xi)| < ε si (xi, x′i)ni=1 es una

familia de intervalos disjuntos, con∑n

i=1 |x′i − xi| < δ.

72 1.7. Ejercicios

Para cada i = 1, . . . , n, sea Pi = zi0, . . . , ziri una particion de [xi, x′i]. Entonces

n∑i=1

ri∑j=1

|zij − zij−1| =n∑i=1

|x′i − xi| < δ.

Por tanto,n∑i=1

ri∑j=1

|f(zij)− f(zij−1)| < ε.

Tomando supremos sobre las particiones de [xi, x′i], resulta∑n

i=1 Tx′ixi (f) ≤ ε de donde∑n

i=1 |g(x′i)− g(xi)| ≤ ε.

Capıtulo 2

Teorıa de la medida abstracta

La teorıa de la medida e integracion de Lebesgue desarrollada en el capıtulo anterior fuegeneralizada por Caratheodory a un contexto abstracto, en el cual la mayorıa de propiedadesque son ciertas en el caso real siguen valiendo en el caso general. En este capıtulo desarrolla-mos dicha teorıa.

2.1. Espacios de medida

Fue Frechet en 1915 el primero en observar que los conjuntos medibles Lebesgue no jugabanun papel esencial en la definicion de integral. Lo importante es que la familia de dichosconjuntos forme una σ-algebra.

Recordamos que una σ-algebra definida en un conjunto X es una familia Ω de subconjuntosde X que verifica

i) ∅ ∈ Ω.

ii) A ∈ Ω =⇒ Ac ∈ Ω.

iii) (Ai)i∈N ⊂ Ω =⇒⋃i∈N

Ai ∈ Ω.

Definicion. Un espacio medible es un par (X,Ω) formado por un conjunto X y una σ-algebra Ω de subconjuntos de X. Un subconjunto A ⊂ X es medible si A ∈ Ω.

Definicion. Dado un espacio medible (X,Ω), una medida µ es una funcion µ : Ω → R talque

i) µ(A) ≥ 0, ∀A ∈ Ω.

ii) µ(∅) = 0.

iii) µ(⋃i∈N

Ai) =∑i∈N

µ(Ai), si Ai ∈ Ω, Ai ∩Aj = ∅ (i 6= j).

Un espacio de medida es una terna (X,Ω, µ) formada por un espacio medible (X,Ω) y unamedida definida en el.

73

74 2.1. Espacios de medida

Ejemplos.

1. (R,M,m) es un espacio de medida si M son los conjuntos medibles y m la medida de

Lebesgue. Tambien es un espacio de medida (R,M, µ) si µ(E) =∫Ef , donde f es una

funcion medible no negativa.

2. Si B es la clase de los conjuntos de Borel en R y m la medida de Lebesgue, (R,B,m)es un espacio de medida.

3. Si m es el cardinal de un conjunto (llamada medida de contar), (R, P (R),m) es unespacio de medida.

4. Si X es un conjunto no numerable, Ω la familia de subconjuntos A ⊂ X tales que A

o Ac es numerable, y µ(A) =

0 si A es numerable,1 si X \A es numerable,

entonces (X,Ω, µ) es un

espacio de medida.

5. Sea F : R → R una funcion no decreciente y continua por la izquierda. Defini-mos m[a, b) = F (b) − F (a), m(a, b) = F (b) − F (a+), m(a, b] = F (b+) − F (a+),m[a, b] = F (b+) − F (a). Si extendemos esta funcion a las uniones e interseccionesde estos conjuntos, ası como a los abiertos y cerrados, obtenemos la llamada medidade Lebesgue-Stieltjes.

6. Otro ejemplo usual es la medida de Dirac: dado un conjunto arbitrario X y unelemento x ∈ X, se define la medida de Dirac en x, δx : P (X) → R como δx(A) = 1 six ∈ A, y δx(A) = 0 si x 6∈ A.

Proposicion 2.1.1. Sea (X,Ω, µ) un espacio de medida. Si A,B ∈ Ω y A ⊂ B, entoncesµ(A) ≤ µ(B).

Demostracion. Basta escribir B = A∪(B\A), con lo que µ(B) = µ(A)+µ(B\A) ≥ µ(A).

Proposicion 2.1.2. Si (Ai)i∈N ⊂ Ω, µ(⋃i∈N Ai) ≤

∑i∈N µ(Ai).

Demostracion. Sea En = An \⋃n−1i=1 Ai. Entonces En ⊂ An y Ei ∩ Ej = ∅ (i 6= j).

Por tanto, µ(En) ≤ µ(An) y µ(⋃i∈N Ai) = µ(

⋃i∈N Ei) =

∑i∈N µ(Ei) ≤

∑i∈N µ(Ai).

Proposicion 2.1.3. Sea (Ai)i∈N ⊂ Ω una sucesion de conjuntos medibles.

a) Si Ai ⊂ Ai+1 (i ∈ N), entonces µ(⋃i∈N

Ai) = lımn→∞

µ(An).

b) Si µ(A1) <∞ y Ai ⊃ Ai+1 (i ∈ N), entonces µ(⋂i∈N

Ai) = lımn→∞

µ(An).

Capıtulo 2. Teorıa de la medida abstracta 75

Demostracion. a) Si definimos B1 = A1, Bn = An \An−1 (n > 1), entonces los conjuntos Bnson disjuntos dos a dos y, para cada n ∈ N, An = B1 ∪ · · · ∪Bn. Por tanto,

µ(⋃i∈N

Ai) = µ(⋃i∈N

Bi) =∑i∈N

µ(Bi)

= lımn→∞

n∑i=1

µ(Bi) = lımn→∞

µ(n⋃i=1

Bi) = lımn→∞

µ(An).

b) Llamamos A =⋂i∈N Ai. Ası

A1 = A ∪⋃i∈N

(Ai \Ai+1)

es una union disjunta de modo que

µ(A1) = µ(A) +∑i∈N

µ(Ai \Ai+1)

= µ(A) +∑i∈N

(µ(Ai)− µ(Ai+1)

)= µ(A) + lım

n→∞

n−1∑i=1

(µ(Ai)− µ(Ai+1)

)= µ(A) + µ(A1)− lımµ(An).

Definicion. Una medida µ es finita si µ(X) < ∞ y es σ-finita si existe (Xn)n∈N ⊂ Ω talque X =

⋃n∈N Xn y µ(Xn) <∞, ∀n. Una medida de probabilidad es aquella que verifica

µ(X) = 1.

Por ejemplo, la medida de Lebesgue en [0, 1] es finita pero la medida de Lebesgue en R esσ-finita. La medida de contar en un conjunto no numerable no es σ-finita.

Un conjunto A tiene medida finita si A ∈ Ω y µ(A) <∞ y tiene medida σ-finita si existe(An)n∈N ⊂ Ω tal que µ(An) <∞ y A =

⋃n∈N An.

Si µ es una medida σ-finita, todo conjunto medible tiene medida σ-finita.

Definicion. Un espacio de medida (X,Ω, µ) es completo si Ω contiene todos los subconjun-tos de conjuntos de medida cero. Por ejemplo, la medida de Lebesgue es completa pero surestriccion a la σ-algebra de los conjuntos de Borel no es completa.

Proposicion 2.1.4 (complecion). Si (X,Ω, µ) es un espacio de medida, existe un espaciocompleto (X,Ω0, µ0) tal que

i) Ω ⊂ Ω0.

ii) A ∈ Ω =⇒ µ(A) = µ0(A).

iii) A ∈ Ω0 ⇐⇒ A = U ∪ V , con V ∈ Ω y U ⊂ C, C ∈ Ω, µ(C) = 0.

Esquema de la prueba.

La familia Ω0 definida en iii) es σ-algebra.

76 2.2. Funciones medibles

Si A ∈ Ω0, µ(V ) es la misma para cualquier conjunto V ∈ Ω tal que A = U ∪ V , conU ⊂ C, C ∈ Ω, µ(C) = 0.

Se define µ0(A) = µ(V ) y se prueba que (X,Ω0, µ0) es un espacio completo.

2.2. Funciones medibles

A lo largo de esta seccion, (X,Ω, µ) sera un espacio de medida.

Proposicion 2.2.1. Sea f : X → R. Son equivalentes:

i) x : f(x) < α ∈ Ω, ∀α.

ii) x : f(x) ≤ α ∈ Ω, ∀α.

iii) x : f(x) > α ∈ Ω, ∀α.

iv) x : f(x) ≥ α ∈ Ω, ∀α.

Demostracion. Identica al caso real.

Definicion. Si una cualesquiera de las proposiciones anteriores se cumple, decimos que f esuna funcion medible.

Teorema 2.2.2. Si f, g son medibles, f + g, c · f y f · g son medibles.

Ademas, si (fn) es una sucesion de funciones medibles, sup fn, ınf fn, lım sup fn y lım inf fnson medibles.

Demostracion. Analoga al caso real.

Definicion. Toda combinacion lineal de funciones caracterısticas de conjuntos mediblesf(x) =

∑ni=1 ci · χEi(x) es una funcion simple.

Es facil probar que las funciones simples forman un algebra. Basta comprobar que χA+χB =χA\B + 2χA∩B + χB\A y que χA · χB = χA∩B.

Proposicion 2.2.3. Sea f ≥ 0 medible. Entonces existe una sucesion (ϕn)n∈N creciente defunciones simples no negativas tal que f(x) = lımn→∞ ϕn(x), ∀x ∈ X. Si f esta definida enun espacio de medida σ-finito, podemos elegir ϕn para que se anule fuera de un conjunto demedida finita.

Demostracion. Sea n ∈ N. Definimos los conjuntos medibles

Enk =x ∈ X :

k

2n≤ f(x) <

k + 12n

, k = 0, 1, . . . , n · 2n − 1,

E∞ = x ∈ X : f(x) ≥ n.

Definimos a continuacion ϕn(x) =

k/2n si x ∈ Enk, k = 0, 1, . . . , n · 2n − 1n si x ∈ E∞.

Ası definida, ϕn es simple no negativa y la sucesion (ϕn)n∈N es creciente. Tambien es sencillocomprobar que lımn→∞ ϕn(x) = f(x).


Corolario 2.2.4. Si f es una funcion medible real, entonces es lımite de una sucesion defunciones simples.

Basta considerar la sucesion ϕn − ψn, donde ϕn → f+ y ψn → f−.

Proposicion 2.2.5. Si µ es una medida completa y f es una funcion medible tal que f = gc.s., entonces g es medible.

2.3. Integracion de funciones medibles

Tambien supondremos a lo largo de esta seccion que (X,Ω, µ) es un espacio de medida.

Definicion. Si ϕ(x) =n∑i=1

ci · χEi(x) una funcion simple no negativa, definimos

∫ϕdµ =

n∑i=1

ci · µ(Ei),

donde convenimos que 0 · ∞ = 0 cuando µ(Ei) = ∞ y ci = 0.

Si E es un conjunto medible, definimos∫Eϕdµ =

∫ϕ · χE dµ =

n∑i=1

ci · µ(Ei ∩ E).

Es facil ver que el resultado es independiente de la representacion de ϕ (primero se pruebaque pueden elegirse Ei disjuntos y luego que pueden hacerse ci distintos).

Si a, b ≥ 0 y ϕ,ψ son funciones simples no negativas, de la definicion se deduce que∫(aϕ+ bψ) dµ = a

∫ϕdµ+ b

∫ψ dµ;

ϕ ≤ ψ =⇒∫ϕdµ ≤

∫ψ dµ.

Definicion. Si f : X → R es una funcion medible no negativa en (X,Ω, µ), se define∫f dµ = sup

∫ϕdµ : ϕ es una funcion simple con 0 ≤ ϕ ≤ f.

Del mismo modo, se define∫Ef dµ =

∫f · χE dµ si E ∈ Ω.

Proposicion 2.3.1. Sean f, g : X → [0,∞] medibles y A,B ∈ Ω. Entonces

i) f ≤ g c.s =⇒∫f dµ ≤

∫g dµ.

ii) A ⊂ B =⇒∫Af dµ ≤

∫Bf dµ.

78 2.3. Integracion de funciones medibles

iii) f(x) = 0 para casi todo x ∈ A =⇒∫Af dµ = 0.

iv) µ(A) = 0 =⇒∫Af dµ = 0.

Demostracion. La primera parte es evidente. Para probar ii), basta observar que f ·χA ≤ f ·χBy aplicar i).

El apartado iii) es evidente porque, si ϕ es una funcion simple tal que 0 ≤ ϕ ≤ f , entonces

ϕ = 0, de donde∫Aϕdµ = 0.

Por ultimo, si ϕ =∑

k∈N ck · χEkes una funcion simple tal que 0 ≤ ϕ ≤ f , entonces∫

Aϕdµ =

∑k∈N

ck · µ(Ek ∩A) = 0

ya que Ek ∩A ⊂ A y µ(A) = 0.

Proposicion 2.3.2. Sea f : X → [0,∞] medible.

a) Para todo α > 0, µ(x : f(x) ≥ α) ≤ 1α

∫f dµ.

b) Si E es medible,∫Ef dµ = 0 =⇒ f = 0 c.s. en E.

c) Si E es medible,∫Ef dµ <∞ =⇒ f <∞ c.s. en E.

Demostracion. a) Si llamamos E = x : f(x) ≥ α, entonces

α · µ(E) =∫α · χE dµ ≤

∫Ef dµ ≤

∫Xf dµ.

b) Para cualquier n ∈ N,

µ(x : f · χE ≥ 1/n) ≤ n

∫f · χE dµ = n

∫Ef dµ = 0.

Comox : f · χE > 0 =

⋃n∈N

x : f · χE ≥ 1/n,

entonces µ(x : f > 0 ∩ E) = µ(x : f · χE > 0) = 0.

c) Por el apartado a), para todo k ∈ N, µ(x : f · χE ≥ k) ≤ 1k

∫Ef dµ <∞.

Comox : f · χE = ∞ =

⋂k∈N

x : f · χE ≥ k,

entonces µ(x : f · χE = ∞) ≤ µ(x : f · χE ≥ k) = 0.


Proposicion 2.3.3. Sea (X,Ω, µ) es un espacio de medida completo.

a) Si f = g c.s. y f es medible, entonces g es medible.

b) Si, ∀k ∈ N, fk son reales y medibles y fk → f c.s., entonces f es medible.

Demostracion. a) Sean α ∈ R, B ∈ Ω con µ(B) = 0 tal que f(x) = g(x), si x ∈ Bc. Entonces

x : g(x) < α = (x : g(x) < α ∩Bc) ∪ (x : g(x) < α ∩B)= (x : f(x) < α ∩Bc) ∪ (x : g(x) < α ∩B).

El primero de estos conjuntos es medible por serlo f y el segundo tambien es medible porestar contenido en B y por ser el espacio completo.

b) Sea B ∈ Ω con µ(B) = 0 y fk(x) → f(x), ∀x ∈ Bc.

Si gk = fk · χBc , entonces gk es medible y gk → f · χBc . Entonces f · χBc es medible. Comof · χBc = f c.s., entonces f es tambien medible.

La aditividad de la integral ya no es evidente y se prueba utilizando los teoremas de conver-gencia.

Teorema 2.3.4 (lema de Fatou). Sea (fn)n∈N una sucesion de funciones medibles nonegativas que converge a f c.s. en E. Entonces∫

Ef dµ ≤ lım inf

∫Efn dµ.

Demostracion. Supongamos (por simplicidad en la notacion) que fn(x) → f(x), ∀x ∈ E.Probaremos que∫

Eϕdµ ≤ lım inf

∫Efn dµ, ∀ϕ funcion simple con 0 ≤ ϕ ≤ f.

Si∫Eϕdµ = ∞, entonces existe A medible, con A ⊂ E y µ(A) = ∞, tal que ϕ > M > 0

en A, ∀M > 0.

Llamamos An =⋂k≥n

x ∈ E : fk(x) > M. Ası, (An)n∈N es una sucesion creciente de

conjuntos medibles tal que A ⊂⋃n∈N An (pues ϕ ≤ lım fn) y, si x ∈ A, ϕ(x) > M .

Entonces lımµ(An) ≥ µ(A) = ∞.

Como∫Efn dµ ≥

∫An

fn dµ > M · µ(An), entonces lım∫Efn dµ = ∞ =

∫Eϕdµ.

Si∫Eϕdµ <∞, existe un conjunto medible A ⊂ E con µ(A) <∞, tal que ϕ se anula

en E \A. Si M = maxϕ, dado ε > 0, definimos

An =⋂k≥n

x ∈ A : fk(x) ≥ (1− ε)ϕ(x).

80 2.3. Integracion de funciones medibles

Ası (An)n∈N es una sucesion creciente de conjuntos medibles tal que A ⊂⋃n∈N An de

modo que (A \An)n∈N es una sucesion decreciente con⋂n∈N(A \An) = ∅.

Como µ(⋂n∈N A \ An) = lımµ(A \ An) = 0, existe n0 ∈ N tal que µ(A \ Ak) < ε,

∀k ≥ n0. Por tanto,∫Efk dµ ≥

∫Ak

fk dµ ≥ (1− ε)∫Ak

ϕdµ = (1− ε)∫Eϕdµ− (1− ε)

∫A\Ak

ϕdµ

≥ (1− ε)∫Eϕdµ−

∫A\Ak

ϕdµ ≥∫Eϕdµ− ε

(∫Eϕdµ+M

),

de donde lım inf∫Efn dµ ≥

∫Eϕdµ− ε(

∫Eϕdµ+M).

Com ε es arbitrario, lım inf∫Efn dµ ≥

∫Eϕdµ.

Teorema 2.3.5 (convergencia monotona). Sea (fn)n∈N una sucesion creciente de fun-ciones medibles no negativas que converge c.s. a f . Entonces∫

f dµ = lım∫fn dµ.

Demostracion. Como fn ≤ fn+1,∫fn dµ ≤

∫fn+1 dµ. Por tanto, la sucesion

(∫fn dµ

)n∈N

tiene lımite (finito o infinito).

Como∫fn dµ ≤

∫f dµ, entonces lım sup

∫fn dµ ≤

∫f dµ.

Por el lema de Fatou,∫f dµ ≤ lım inf

∫fn dµ ≤ lım sup

∫fn dµ ≤

∫f dµ.

Combinando ambas desigualdades se obtiene el resultado.

Proposicion 2.3.6. Sean f, g ≥ 0 funciones medibles y a, b ≥ 0. Entonces

a)∫

(af + bg) dµ = a

∫f dµ+ b

∫g dµ.

b)∫f dµ ≥ 0. La igualdad es cierta solo si f = 0 c.s.

Demostracion. a) Sean (ϕn)n∈N y (ψn)n∈N sucesiones crecientes de funciones simples no ne-gativas que convergen a f y g, respectivamente. Entonces (aϕn + bψn)n∈N es una sucesioncreciente de funciones simples no negativas que converge a af + bg. Por el teorema anterior,∫

(af + bg) dµ = lım∫

(aϕn + bψn) dµ = lım(a

∫ϕn dµ+ b

∫ψn dµ

)= a

∫f dµ+ b

∫g dµ.


b) Es evidente que∫f dµ ≥ 0. Si

∫f dµ = 0, llamamos An = x : f(x) ≥ 1/n. Entonces

f ≥ 1n · χAn y µ(An) =

∫χAn dµ = 0. Como x : f(x) > 0 =

⋃n∈N An, entonces dicho

conjunto tiene medida cero.

Corolario 2.3.7. Sea (fn)n∈N una sucesion de funciones medibles no negativas. Entonces∫ ∑n∈N

fn dµ =∑n∈N

∫fn dµ.

Corolario 2.3.8. Si A =⋃n∈N An, donde (An)n∈N es una sucesion de conjuntos medibles

disjuntos, y f ≥ 0 es una funcion medible, entonces∫Af dµ =

∑n∈N

∫An

f dµ.

Definicion. Una funcion f ≥ 0 se dice integrable sobre un conjunto medible E si es

medible y∫Ef dµ <∞.

Sea f : X → R una funcion medible. Se define∫Ef dµ =

∫Ef+ dµ −

∫Ef− dµ si alguna de

las integrales de la derecha es finita. Decimos que f es integrable cuando ambas son finitas.Si E ∈ Ω, f es integrable en E cuando f · χE es integrable.

Proposicion 2.3.9. Sean E un conjunto medible y f una funcion real y medible. Entonces

f es integrable en E si y solo si |f | es integrable en E. Ademas∣∣∣∣∫Ef dµ

∣∣∣∣ ≤ ∫E|f | dµ.

Corolario 2.3.10. Sean E un conjunto medible y f una funcion real y medible. Entonces fes integrable en E si y solo si existe h integrable, con |f | ≤ h c.s.

Proposicion 2.3.11. Sean f , g funciones reales y medibles y E un conjunto medible. En-tonces

i) Si f, g son integrables y f ≤ g, entonces∫f dµ ≤

∫g dµ.

ii) Si f = g c.s, entonces f integrable ⇐⇒ g integrable.

iii) Si f = 0 para casi todo x ∈ E, entonces∫Ef dµ = 0.

iv) Si µ(E) = 0, entonces∫Ef dµ = 0.

Demostracion. i) Si f ≤ g, entonces f+ ≤ g+ y f− ≥ g−. Por tanto,∫(f+ − f−) dµ ≤

∫(g+ − g−) dµ.

ii) Basta observar que |f | = |g| c.s.

El resto es evidente.

Proposicion 2.3.12. i) Si f , g son integrables y a, b ∈ R, entonces af + bg es integrable y∫E(af + bg) dµ = a

∫Ef dµ+ b

∫Eg dµ.

82 2.4. Teoremas generales de convergencia

ii) Si f es integrable en un conjunto medible E, con E =⋃k∈N

Ak (union disjunta), entonces∫Ef dµ =

∑k∈N

∫Ak

f dµ.

iii) Si∫Ef dµ = 0, para todo E ∈ Ω, entonces f = 0 en casi todo x ∈ X.

Demostracion. iii) Como∫f+ dµ =

∫x:f(x)≥0

f dµ = 0, entonces f+ = 0 c.s. Analogamente

se prueba que f− = 0 c.s.

Teorema 2.3.13 (convergencia dominada de Lebesgue). Sea g real e integrable sobreE y (fn)n∈N una sucesion de funciones medibles reales tal que |fn(x)| ≤ |g(x)|, ∀x ∈ E, y

fn(x) → f(x) c.s. en E. Entonces∫Ef dµ = lım

n∈N

∫Efn dµ.

Demostracion. Basta aplicar el lema de Fatou a g + fn y g − fn.

2.4. Teoremas generales de convergencia

Definicion. Dado un espacio medible (X,Ω) y una sucesion (µn)n∈N de medidas definidasen Ω, decimos que µn converge a µ cuando

∀E ∈ Ω, µ(E) = lımµn(E).

Proposicion 2.4.1. Si (µn)n∈N es una sucesion de medidas en (X,Ω) que converge a unamedida µ y (fn)n∈N es una sucesion de funciones medibles que converge puntualmente a f ,entonces ∫

f dµ ≤ lım inf∫fn dµn.

Demostracion. Si ϕ es simple, por hipotesis∫ϕdµn = lım

∫ϕdµ.

Por la definicion de∫f dµ, basta probar que

∫ϕdµ ≤ lım inf

∫fn dµn para cualquier

funcion simple ϕ ≤ f .

• Caso∫ϕdµ <∞.

La funcion ϕ se anula fuera de un conjunto E de medida finita. Dado ε > 0, llamamos

En = x : fk(x) ≥ (1− ε)ϕ(x), ∀k ≥ n.

Ası (En)n∈N es una sucesion creciente de conjuntos tal que E ⊂⋃n∈N En con lo que (E\En)n∈N

es una sucesion decreciente de conjuntos medibles con interseccion vacıa. Por tanto, existem ∈ N tal que µ(E \Em) < ε. Como µ(E \Em) = lımk→∞ µk(E \Em), podemos elegir n ≥ mpara que µk(E \ Em) < ε, ∀k ≥ n.


Como E \ Ek ⊂ E \ Em, µk(E \ Ek) < ε, ∀k ≥ n. Entonces∫fk dµk ≥

∫Ek

fk dµk ≥ (1− ε)∫Ek

ϕdµk

≥ (1− ε)∫Eϕdµk −

∫E\Ek

ϕdµk ≥ (1− ε)∫Eϕdµk −M · ε,

donde M = maxϕ. Ası pues,

lım inf∫fk dµk ≥

∫Eϕdµ− ε

(∫ϕdµ+M

).

Como ε es arbitrario,∫Eϕdµ ≤ lım inf

∫fk dµk.

• Caso∫ϕdµ = ∞.

Analogo al anterior.

Proposicion 2.4.2. Si (µn)n∈N es una sucesion de medidas en (X,Ω) que converge a unamedida µ, y (fn)n∈N y (gn)n∈N dos sucesiones de funciones medibles, tales que |fn| ≤ |gn|, que

convergen puntualmente a f y g, respectivamente, y lım∫gn dµn =

∫g dµ < ∞, entonces

lım∫fn dµn =

∫f dµ.

Demostracion. Basta aplicar la proposicion anterior a gn + fn y gn − fn.

2.5. Medidas con signo

Teniendo en cuenta que el espacio de medidas no permite la multiplicacion por constantesnegativas y, a fin de generalizar el concepto de continuidad absoluta de funciones reales,necesitamos contar con espacios de medida que incluyan funciones de conjuntos con valorespositivos y negativos. Esto nos lleva a definir las medidas con signo.

Definicion. Dado un espacio medible (X,Ω), una funcion ν : Ω → R es una medida consigno si

i) ν alcanza como maximo uno de los valores +∞ o −∞.

ii) ν(∅) = 0.

iii) ν(⋃i∈N Ei) =

∑i∈N ν(Ei), si (Ei)i∈N es una sucesion de conjuntos medibles disjuntos.

Observaciones. 1) La condicion i) se impone para evitar terminos de la forma ∞−∞ en lacondicion iii).

2) La igualdad en iii) significa que la serie de la derecha converge absolutamente si ν(⋃i∈N Ei)

es finito y que diverge en otro caso. Para comprobarlo, supongamos que |ν(⋃i∈N Ei)| < ∞.

Si definimos

E+i =

Ei si ν(Ei) ≥ 0∅ si ν(Ei) < 0

, E−i =

Ei si ν(Ei) < 0∅ si ν(Ei) ≥ 0

,

84 2.5. Medidas con signo

entonces ν(⋃i∈N

E+i ) =

∑i∈N

ν(E+i ) y ν(

⋃i∈N

E−i ) =

∑i∈N

ν(E−i ). Como los terminos de estas series

tienen signo constante y ν solo puede tomar uno de los valores +∞ o −∞, al menos una de

estas series converge. Ahora bien,∑i∈N

ν(E+i ) +

∑i∈N

ν(E−i ) = ν

(⋃i∈N

Ei

)=∑i∈N

ν(Ei), la cual

es convergente por hipotesis. Por tanto, ambas series son convergentes y la serie∑

i∈N ν(Ei)es absolutamente convergente.

Ejemplos. 1) Si (X,Ω, µ) es un espacio de medida y f es medible con al menos uno de los

valores∫f+ dµ o

∫f− dµ finito, la funcion ν(E) =

∫Ef dµ, ∀E ∈ Ω, es una medida con

signo.

2) Si µ1 y µ2 son dos medidas en (X,Ω) y al menos una de ellas es finita, entonces µ1 − µ2

es una medida con signo.

Proposicion 2.5.1. Si |ν(A)| < ∞, para cualquier B ∈ Ω con B ⊂ A, se cumple que|ν(B)| <∞ y ν(A \B) = ν(A)− ν(B).

Demostracion. Escribimos A = B∪(A\B) (union disjunta). Ası pues, ν(A) = ν(B)+ν(A\B).Como ν(A) ∈ R, entonces ν(B) ∈ R y ν(A \B) ∈ R.

Proposicion 2.5.2 (continuidad monotona). Sea ν una medida con signo en un espaciomedible (X,Ω) y (An)n∈N una sucesion de conjuntos medibles.

a) Si (An)n∈N es creciente, entonces ν(⋃n∈N

An) = lımn→∞

ν(An).

b) Si (An)n∈N es decreciente y |ν(A1)| <∞, entonces ν(⋂n∈N

An) = lımn→∞

ν(An).

La demostracion es analoga a la de las proposiciones 1.3.15 y 1.3.16.

Una especie de recıproco de la proposicion anterior es el siguiente.

Proposicion 2.5.3. Si µ : Ω → R es una funcion de conjuntos aditiva, tal que µ(∅) = 0 yverifica alguna de las condiciones

a) si (Bn)n∈N es una sucesion creciente de conjuntos medibles tal que B =⋃n∈N Bn ∈ Ω,

entonces lımµ(Bn) = µ(B);

b) si (Bn)n∈N es una sucesion decreciente de conjuntos medibles tal que⋂n∈N Bn = ∅, entonces

lımµ(Bn) = 0;

entonces µ es numerablemente aditiva.

Demostracion. Sea (An)n∈N ⊂ Ω una sucesion de conjuntos disjuntos tal que A =⋃n∈N An ∈

Ω. Si definimos Bn =⋃ni=1Ai, entonces (Bn)n∈N es creciente y

⋃n∈N Bn = A, con lo que

n∑i=1

µ(Ai) = µ(n⋃i=1

Ai) = µ(Bn).


Si se verifica a), resulta

∞∑i=1

µ(Ai) = lımn→∞

n∑i=1

µ(Ai) = lımn→∞

µ(Bn) = µ(A).

En caso de que se verifique b), como (A\Bn)n∈N es una sucesion decreciente cuya intersecciones vacıa, y como µ(A) = µ(A \Bn) + µ(Bn), entonces

µ(A) = lımn→∞

µ(Bn) =∞∑i=1

µ(Ai).

Definicion. Un conjunto A es positivo respecto a una medida con signo ν si A esmedible y para todo subconjunto medible E ⊂ A, ν(E) ≥ 0.

Analogamente, un conjunto B es negativo si es medible y para todo subconjunto medibleE ⊂ B, ν(E) ≤ 0.

Un conjunto positivo y negativo a la vez se llama conjunto nulo.

Lema 2.5.4. Todo suconjunto medible de un conjunto positivo es un conjunto positivo. Launion numerable de conjuntos positivos es positivo.

Demostracion. La primera parte es consecuencia de la definicion.

SiA =⋃n∈N An, conAn positivos, y E ⊂ A es medible, llamamos En = E∩An∩Acn−1∩· · ·∩Ac1.

Ası, En es medible y En ⊂ An, de donde ν(En) ≥ 0.

Como E =⋃n∈N En es union disjunta, ν(E) =

∑∞n=1 ν(En) ≥ 0. Por tanto, A es un conjunto

positivo.

El siguiente resultado garantiza la existencia de algun conjunto positivo no vacıo.

Lema 2.5.5. Sea E un conjunto medible con 0 < ν(E) <∞. Entonces existe A ⊂ E conjuntopositivo tal que ν(A) > 0.

Demostracion. O bien E es un conjunto positivo (con lo cual no hay nada que probar) ocontiene conjuntos de medida negativa. En este caso, sea n1 el menor entero positivo tal queexiste E1 ⊂ E medible con ν(E1) < −1/n1.

Por induccion, llamamos nk al menor entero positivo para el cual existe Ek medible tal queEk ⊂ E\

⋃k−1j=1 Ej y ν(Ek) < −1/nk. Si hacemos A = E\

⋃∞k=1Ek, entonces E = A∪

⋃∞k=1Ek.

Como es una union disjunta, ν(E) = ν(A) +∑∞

k=1 ν(Ek) y la serie converge absolutamentepues ν(E) < ∞. Entonces

∑1/nk < ∞ y nk → ∞. Como ν(Ek) ≤ 0 y ν(E) > 0, debe ser

ν(A) > 0.

Para ver que A es un conjunto positivo, sea ε > 0 arbitrario. Como nk →∞, podemos elegirk tal que 1

nk−1 < ε.

Como A ⊂ E \⋃kj=1Ej , A no contiene subconjuntos medibles con medida menor que −1

nk−1 ,la cual es mayor que −ε.

86 2.5. Medidas con signo

Como ε es arbitrario, A no contiene conjuntos de medida negativa con lo que ha de ser unconjunto positivo.

Proposicion 2.5.6 (teorema de descomposicion de Hahn). Sea ν una medida consigno en un espacio medible (X,Ω). Existen A positivo y B negativo tales que X = A ∪ B yA ∩B = ∅.

Demostracion. Supongamos, por ejemplo, que ν no toma el valor +∞.

Sea λ = supν(A) : A positivo. Como ∅ es positivo, λ ≥ 0.

Sea (Ai)i∈N una sucesion de conjuntos positivos tal que λ = lımi→∞ ν(Ai) y llamamos A =⋃∞i=1Ai, el cual es tambien un conjunto positivo, de donde λ ≥ ν(A). Pero A \ Ai ⊂ A, con

lo que ν(A \Ai) ≥ 0.

Ası ν(A) = ν(Ai) + ν(A \Ai) ≥ ν(Ai). Por tanto, ν(A) ≥ λ, de donde ν(A) = λ y λ <∞.

Sea B = Ac y supongamos que E es un subconjunto positivo de B. Entonces E ∩ A = ∅ yE ∪A es un conjunto positivo. Por tanto,

λ ≥ ν(E ∪A) = ν(E) + ν(A) = ν(E) + λ

de donde ν(E) = 0, pues 0 ≤ λ <∞. Ası que B no contiene subconjuntos positivos de medidapositiva y, en consecuencia, no contiene subconjuntos de medida positiva. Entonces B es unconjunto negativo.

La descomposicion de Hahn de una medida con signo no es unica. Sin embargo, se puede verque la descomposicion es unica excepto para conjuntos nulos.

Definicion. Dos medidas ν1 y ν2 en un espacio (X,Ω) son mutuamente singulares (loque denotaremos por ν1⊥ν2) si existen A y B medibles y disjuntos tales que X = A ∪ B yν1(A) = ν2(B) = 0.

A veces tambien se dice que ν1 es singular respecto a ν2.

Por definicion, dos medidas mutuamente singulares tienen como soporte dos conjuntos dis-juntos.

Proposicion 2.5.7. Sea ν una medida con signo en un espacio (X,Ω). Entonces existe ununico par de medidas ν+ y ν− mutuamente singulares tales que ν = ν+ − ν−.

Demostracion. Sea A,B una descomposicion de Hahn de ν. Definimos

ν+(E) = ν(E ∩A), ν−(E) = −ν(E ∩B)

las cuales verifican que ν = ν+ − ν−.

Veamos que dichas medidas estan bien definidas. Para ello, si tenemos dos descomposicionesde Hahn X = A1 ∪B1 = A2 ∪B2, si E es un conjunto medible,

E ∩ (A1 \A2) ⊂ E ∩A1 =⇒ ν(E ∩ (A1 \A2)) ≥ 0E ∩ (A1 \A2) ⊂ E ∩Ac2 = E ∩B2 =⇒ ν(E ∩ (A1 \A2)) ≤ 0.


Entonces ν(E ∩ (A1 \A2)) = 0 y, por simetrıa, ν(E ∩ (A2 \A1)) = 0. Por tanto, ν(E ∩A1) =ν(E ∩A1 ∩A2) = ν(E ∩A2).

De forma analoga se obtiene que ν(E ∩B1) = ν(E ∩B2).

Las medidas ν+ y ν− son mutuamente singulares debido a que ν+(B) = ν(A ∩ B) = 0 yν−(A) = −ν(A ∩B) = 0.

Para probar la unicidad, hay que ver que cualquier par de medidas mutuamente singularesdetermina una descomposicion de Hahn.

Definicion. La descomposicion de ν dada por la proposicion anterior se llama descomposi-cion de Jordan de ν. Las medidas ν+ y ν− se llaman parte positiva y parte negativade ν, respectivamente.

Como ν toma como maximo uno de los valores +∞ o −∞, una de las medidas ν+ o ν− esfinita. Si ambas lo son, decimos que ν es una medida con signo finita.

La medida |ν| = ν+ + ν− se llama valor absoluto o variacion total de ν.

Un conjunto E es positivo para ν si ν−(E) = 0 y es nulo si |ν|(E) = 0.

2.6. Teorema de Radon-Nikodym

La nocion contraria a la de medidas mutuamente singulares es la de medidas absolutamentecontinuas.

Definicion. Decimos que ν es absolutamente continua respecto a µ (lo que escribiremoscomo ν << µ) si

µ(A) = 0 =⇒ ν(A) = 0.

Dos medidas µ y ν tales que µ << ν y ν << µ se dicen equivalentes lo que se denota comoµ ≡ ν.

En el caso de que ν y µ sean medidas con signo, se dice que ν es absolutamente continuarespecto a µ si ν << |µ|.

Proposicion 2.6.1. Si µ es una medida y f una funcion integrable, y definimos

ν(E) =∫Ef dµ, ∀E ∈ Ω,

entonces ν es una medida con signo y ν << µ.

Demostracion. Por un lado, si f es integrable, entonces es finita c.s. con lo que ν(E) =∫Xf · χE dµ es finita. Ademas, ν(∅) =

∫∅f dµ = 0.

Para ver que ν es numerablemente aditiva, sea (En)n∈N una sucesion de conjuntos mediblesdisjuntos dos a dos y supongamos que f ≥ 0.

Llamamos A =⋃n∈N

En y Ak =k⋃

n=1

En. Ası pues, (f · χAk)k∈N es una sucesion creciente de

funciones integrables no negativas tal que lımk→∞ f · χAk= f · χA. Por el teorema de la

88 2.6. Teorema de Radon-Nikodym

convergencia monotona,

ν(A) = lımk→∞

∫Xf · χAk

dµ = lımk→∞

k∑n=1

ν(En) =∑n∈N

ν(En).

En el caso general, basta descomponer f = f+ − f−, donde f+, f− ≥ 0.

Falta comprobar que ν << µ. Para ello, supongamos que E es un conjunto medible tal queµ(E) = 0. Entonces f · χE = 0 sobre Ec, con lo que f · χE = 0 c.s. con respecto a µ. Esto

significa que ν(E) =∫Xf · χE dµ = 0.

El recıproco de este resultado necesita alguna hipotesis adicional y algun resultado previo.

Lema 2.6.2. Sea D ⊂ R un conjunto numerable y supongamos que, para cada α ∈ D, existeBα ∈ Ω tal que Bα ⊂ Bβ si α < β. Entonces existe f : X → R medible tal que f ≤ α en Bαy f ≥ α en X \Bα (es decir, x : f(x) < α ⊂ Bα ⊂ x : f(x) ≤ α).

Demostracion. Para cada x ∈ X, sea f(x) = ınfα : x ∈ Bα (donde convenimos queınf ∅ = ∞).

Si x ∈ Bα, f(x) ≤ α.

Si x 6∈ Bα, x 6∈ Bβ , ∀β < α, de donde f(x) ≥ α.

Para probar que f es medible, veamos que

x : f(x) < α =⋃β<α

Bβ .

Si f(x) < α, por la definicion de f , x ∈ Bβ para algun β < α.

Si x ∈ Bβ para algun β < α, entonces f(x) ≤ β < α.

Lema 2.6.3. Sea D ⊂ R un conjunto numerable y supongamos que, para cada α ∈ D, existeBα ∈ Ω tal que µ(Bα \ Bβ) = 0, α < β. Entonces existe f medible tal que f ≤ α c.s. en Bαy f ≥ α c.s. en X \Bα.

Demostracion. Sea C =⋃α<β Bα \Bβ . Entonces µ(C) = 0.

Llamamos B′α = Bα ∪ C. Si α < β, entonces

B′α \B′

β = (Bα \Bβ) \ C = ∅.

Por el lema anterior, existe f medible tal que f ≤ α en B′α y f ≥ α en X \B′

α. De este modo,f ≤ α en Bα y f ≥ α en X \Bα, excepto si x ∈ C.

Teorema 2.6.4 (Radon-Nikodym). Sea (X,Ω, µ) un espacio de medida σ-finito, y seaν << µ. Entonces existe f ≥ 0 medible tal que

ν(E) =∫Ef dµ, ∀E ∈ Ω.

La funcion f es unica en el sentido que, si g es medible y tiene la misma propiedad, entoncesg = f c.s.


Demostracion. Veremos unicamente el caso en que µ es finita. La extension a medidas σ-finitas ya no es difıcil.

Para cualquier α ∈ Q, ν − αµ es una medida con signo, y sea (Aα, Bα) una descomposicionde Hahn de dicha medida, donde A0 = X, B0 = ∅.Como Bα \Bβ = Bα∩Aβ, entonces (ν−αµ)(Bα \Bβ) ≤ 0 y (ν−βµ)(Bα \Bβ) ≥ 0. Si β > α,esto implica que µ(Bα \Bβ) = 0.

Por el lema 2.6.3, existe f medible tal que, para todo α ∈ Q, f ≥ α c.s. en Aα y f ≤ α c.s.en Bα.

Como B0 = ∅, podemos elegir f ≥ 0.

Sea ahora E ∈ Ω arbitrario. Para cualquier N ∈ N, llamamos

Ek = E ∩ (B(k+1)/N \Bk/N ), E∞ = E \∞⋃k=0

Bk/N .

Entonces E = E∞ ∪∞⋃k=0

Ek (union disjunta). Por tanto,

ν(E) = ν(E∞) +∞∑k=0

ν(Ek).

Como Ek ⊂ B(k+1)/N ∩Ak/N , resulta k/N ≤ f ≤ (k + 1)/N en Ek y

k

Nµ(Ek) ≤

∫Ek

f dµ ≤ k + 1N

µ(Ek).

Como ademask

Nµ(Ek) ≤ ν(Ek) ≤

k + 1N

µ(Ek), tenemos

ν(Ek)−1Nµ(Ek) ≤

∫Ek

f dµ ≤ ν(Ek) +1Nµ(Ek).

En E∞, tenemos f = ∞ c.s. porque f ≥ α, para todo α.

Si µ(E∞) > 0, debe ser ν(E∞) = ∞ pues (ν − αµ)(E∞) es positivo para todo α.

Si µ(E∞) = 0, debe ser ν(E∞) = 0 pues ν << µ.

En cualquier caso, ν(E∞) =∫E∞

f dµ.

Anadiendo esta igualdad a las desigualdades anteriores, obtenemos:

ν(E)− 1Nµ(E) ≤

∫Ef dµ ≤ ν(E) +

1Nµ(E).

Como µ(E) es finito y N arbitrario, ν(E) =∫Ef dµ.

Para probar la unicidad, basta observar que, si∫Ef dµ =

∫Eg dµ, entonces

∫E(f−g) dµ = 0,

de donde f = g c.s.

90 2.6. Teorema de Radon-Nikodym

Observacion. La funcion f dada por el teorema se llama derivada de Radon-Nikodym

de ν respecto a µ, y se denota pordν

dµ.

Las propiedades de las derivadas de Radon-Nikodym hacen recordar el formalismo de lasdiferenciales. Por ejemplo, las siguientes propiedades son validas en este contexto:

a) Si existed(ν1 + ν2)

dµ, entonces

d(ν1 + ν2)dµ

=dν1

dµ+dν2

dµc.s. con respecto a µ.

b) Si µ1, µ2 y µ3 son medidas σ-finitas tales que µ2 << µ1 y µ3 << µ2, entoncesdµ3

dµ1=

dµ3

dµ2· dµ2

dµ1c.s. con respecto a µ1.

c) Si ν y µ son medidas σ-finitas tales que ν << µ y si f es una funcion medible finita para

la cual esta definida∫f dν, entonces

∫f dν =

∫f · dν

dµdµ.

El resultado final de esta seccion muestra que toda medida con signo puede descomponerseen una parte absolutamente continua y una parte singular respecto a otra medida con signo.

Proposicion 2.6.5 (descomposicion de Lebesgue). Sea (X,Ω, µ) un espacio de medidaσ-finito y ν una medida σ-finita definida en Ω. Entonces existen ν0⊥µ y ν1 << µ tales queν = ν0 + ν1. Dichas medidas son unicas.

El par (ν0, ν1) recibe el nombre de descomposicion de Lebesgue de ν respecto a µ.

Demostracion. Nos limitaremos al caso de medidas positivas.

La medida λ = µ+ ν es σ-finita. Como µ y ν son absolutamente continuas respecto a λ, porel teorema anterior, existen f y g medibles y no negativas tales que

µ(E) =∫Ef dλ, ν(E) =

∫Eg dλ, ∀E ∈ Ω.

Sean A = x : f(x) > 0 y B = x : f(x) = 0. Entonces X = A ∪ B, con A ∩ B = ∅ yµ(B) = 0.

Si definimos ν0(E) = ν(E ∩B), entonces ν0(A) = 0, de donde ν0⊥µ.

Si definimos ν1(E) = ν(E ∩ A) =∫E∩A

g dλ, entonces ν = ν0 + ν1. Solo queda probar que

ν1 << µ.

Para ello, sea E un conjunto tal que µ(E) = 0. Entonces∫Ef dλ = 0, de donde f = 0 c.s. en

E con respecto a λ.

Como f > 0 en A ∩ E, debe ser λ(A ∩ E) = 0. Por tanto, ν(A ∩ E) = 0 y tambien ν1(E) =ν(A ∩ E) = 0.

Para probar la unicidad, sean (ν0, ν1) y (ν ′0, ν′1) dos descomposiciones de ν respecto a µ. Como

ν = ν0 + ν1 = ν ′0 + ν ′1, entonces ν0 − ν ′0 = ν ′1 − ν1. Pero ν0 − ν ′0⊥µ y ν ′1 − ν1 << µ, de modoque ν0 = ν ′0 y ν1 = ν ′1.


2.7. Ejercicios

1. Dada una aplicacion F : Ω → Ω′, demostrar que:

(a) Si A es una σ-algebra de Ω, A′ = B ⊂ Ω′ : F −1(B) ∈ A lo es de Ω′.

(b) Si A′ es una σ-algebra de Ω′, A = F −1(A′) = F −1(B) ⊂ Ω : B ∈ A′lo es de Ω.

(c) Si C ⊂ P (Ω′), σ[F −1(C)] = F −1[σ(C)] (σ(C) representa la σ-algebragenerada por C).

2. Consideremos las siguientes extensiones de una familia C de subconjuntosde Ω:

C1 = A ⊂ Ω : A ∈ C o Ac ∈ C;

C2 = A1 ∩ · · · ∩ An : Ai ∈ C1, n ∈ N;

C3 = A1 ∪ · · · ∪ An : Ai ∈ C2, n ∈ N.

Demostrar que C3 es el algebra generada por C.

Solucion.- Si llamamos α(C) al algebra generada por C, tenemos que C ⊂ C1 ⊂ C2 ⊂C3 ⊂ α(C). Por tanto, basta demostrar que C3 es algebra.

Es evidente que ∅,Ω ∈ C3. Ademas, si A = A1 ∪ · · · ∪An ∈ C3, entonces

Ac = Ac1 ∩ · · · ∩Acn = (m1⋃j=1

B1j) ∩ · · · ∩ (mn⋃j=1

Bnj) =m1⋃j1=1

· · ·mn⋃jn=1

[n⋂i=1

Biji ] ∈ C3,

donde Bij ∈ C1.

Por ultimo, por su propia definicion es evidente que C3 es cerrado para uniones finitas.

3. ¿Puede una σ-algebra infinita contener solo una coleccion numerable deelementos?

Solucion. No, porque al contener una coleccion numerable An de conjuntos disjuntos,las uniones arbitrarias de estos conjuntos serıan distintas. Por tanto, identificando cadaAn con n ∈ N, las uniones se podrıan identificar con P (N) que es no numerable.

4. Dado un espacio de medida (Ω, A, µ) y una sucesion An ∈ A, demostrar:

a) µ(lım inf An) ≤ lım inf µ(An).

b) Si µ(⋃

An) < ∞, entonces lım sup µ(An) ≤ µ(lım sup An).

Solucion. Definimos Bn =⋂∞i=nAi y Cn =

⋃∞i=nAi. Ası, (Bn) es una sucesion creciente,

(Cn) es una sucesion decreciente, Bn ⊂ An ⊂ Cn, µ(Bn) ≤ µ(An) ≤ µ(Cn) y lımBn =lım inf An, lımCn = lım supAn.

5. (Lema de Borel-Cantelli) Sea (Ω, A, µ) un espacio de medida y Cn ∈ A. De-mostrar que

∞∑n=1

µ(Cn) < ∞ =⇒ µ(lım sup Cn) = 0.

92 2.7. Ejercicios

Solucion. Sea Dn =⋃∞i=nCi. Ası, (Dn) es una sucesion decreciente tal que µ(D1) <∞,

µ(Dn) → 0 y Dn → lım supCn.

6. Sea Ω un espacio no numerable. Si definimos A = E ⊂ Ω : E o Ec es numerable,

µ(E) =

0 si E es numerable1 si Ec es numerable

, demostrar que A es σ-algebra y µ una

medida.

Solucion. Si An ∈ A son todos numerables, entonces⋃An ∈ A por ser numerable; si

existe algun i tal que Aci es numerable, entonces (⋃An)c =

⋂Acn ⊂ Aci es numerable.

Si An son disjuntos y numerables, µ(⋃An) = 0 =

∑µ(An) y, si algun Ai no es numer-

able, para todo j 6= i, Aj ⊂ Aci es numerable y µ(⋃An) = 1 = µ(Ai) =

∑µ(An).

7. Si µ y ν son medidas en (X, Ω) tales que µ << ν y µ⊥ν, probar que µ = 0.

Solucion. Supongamos, por el contrario, que existe E ∈ Ω tal que µ(E) 6= 0. Comoµ⊥ν, existen A,B ∈ Ω tales que X = A ∪B, A ∩B = ∅, µ(A) = ν(B) = 0.

Si escribimos E = (E ∩ A) ∪ (E ∩ B), entonces µ(E) = µ(E ∩ A) + µ(E ∩ B). PeroE ∩B ⊂ B y ν(B) = 0. Como µ << ν, entonces µ(E ∩B) = 0.

Ademas, E ∩ A ⊂ A y µ(A) = 0, con lo que µ(E ∩ A) = 0. Llegamos ası a unacontradiccion.

8. Dadas dos medidas µ y ν (ν finita), probar la equivalencia:

a) ν << µ.

b) ∀ε > 0, ∃δ > 0 : µ(A) ≤ δ =⇒ ν(A) ≤ ε.

Solucion. a) =⇒ b): Supongamos, por el contrario, que ∃ε > 0 tal que ∀δ > 0, existe Amedible con µ(A) ≤ δ pero ν(A) > ε.

Si elegimos δ = 1/2n, existe una sucesion (An)n∈N con µ(An) ≤ 1/2n pero ν(An) > ε.Si definimos B =

⋃n∈N

(⋃k>nAk

), entonces

µ(⋃k>n

Ak

)≤∑k>n

µ(Ak) ≤12n

de donde ν(⋃

k>nAk

)> ε. Ası pues, µ(B) = lımn→∞ µ(

⋃k>nAk

)= 0 pero ν(B) ≥ ε

lo que contradice la suposicion inicial.

b) =⇒ a): Es evidente.

9. Sean µ y ν medidas con signo. Probar la equivalencia entre las siguientesproposiciones:

a) ν << µ.

b) ν+ << µ y ν− << µ.

c) |ν| << |µ|.


Solucion. a) =⇒ b): Sea E medible tal que |µ| = 0 y consideramos una descomposicionde Hahn X = A ∪B respecto a µ. Entonces

0 ≤ |µ|(E ∩A) ≤ |µ|(E) = 0 y 0 ≤ |µ|(E ∩B) ≤ |µ|(E) = 0.

Por tanto,ν+(E) = ν(E ∩A) = 0 y ν−(E) = ν(E ∩B) = 0.

b) =⇒ c): Si |µ|(E) = 0, entonces ν+(E) = ν−(E) = 0. Como |ν|(E) = ν+(E)+ν−(E),es claro que |ν|(E) = 0.

c) =⇒ a): Si |µ|(E) = 0, entonces |ν|(E) = 0. Como 0 ≤ |ν(E)| ≤ |ν|(E), deducimosque ν(E) = 0.

10. Sean µ y ν medidas σ-finitas con ν << µ y sea λ = µ + ν. Demostrar que

ν << λ y, si f =dν

dλ, entonces 0 ≤ f < 1 c.s. con respecto a µ y que

dν

dµ=

f

1 − f.

Solucion. Sea g =dν

dµ, con 0 ≤ g <∞. Entonces g+1 =

dλ

dµy f(g+1) =

dν

dµ. Por tanto,

g = f(g + 1) c.s. con respecto a µ, con lo que 0 ≤ f =g

g + 1< 1 c.s. con respecto a µ

y g =f

1− fc.s. con respecto a µ.

11. Sean λ y µ medidas σ-finitas en (Ω, A). Demostrar la equivalencia entre lasproposiciones siguientes.

a) µ << λ y λ << µ.

b) A ∈ A : µ(A) = 0 = A ∈ A : λ(A) = 0.

c) Existe g : Ω → (0, ∞) medible tal que λ(A) =∫A g dµ.

Solucion. La equivalencia entre a) y b) es evidente.

a) =⇒ c): Por el teorema de Radon-Nikodym, 0 ≤ dλ

dµ<∞. Por el ejercicio anterior,

1 =dµ

dµ=dµ

dλ· dλdµ.

Por tanto,dλ

dµes invertible c.s. y, en consecuencia, positiva c.s.

c) =⇒ a): Como existe g−1 ≥ 0, es integrable y, si llamamos ν(A) =∫Ag−1 dλ, entonces

dν

dµ=dν

dλ· dλdµ

= g−1 · g = 1 =⇒ ν = µ.

94 2.7. Ejercicios

12. Sea (Ω, A, µ) un espacio de medida σ-finita. Probar que existe una medidafinita λ con los mismos conjuntos nulos que µ.

Solucion. Sea Ω =⋃An, con 0 < µ(An) < ∞ (si alguno tiene medida nula, lo unimos

con otro de medida positiva).

Si g =∑ 1

2n·µ(An) · χAn , el resultado es consecuencia del ejercicio anterior para λ(A) =∫A g dµ.

13. Sea (Ω, A, µ) un espacio de medida finita y f : Ω → C integrable. Demostrarque, si S ⊂ C es cerrado tal que para cada E ∈ A, con µ(E) > 0, se cumple

1

µ(E)

∫E

f dµ ∈ S, entonces f(x) ∈ S c.s.

Solucion. Hay que demostrar que µ(x : f(x) ∈ Sc) = 0.

Como Sc es abierto, Sc =⋃∞i=1 Ii, con Ii intervalos abiertos. Basta pues probar que

µ(f−1(Ii)) = 0 para algun i.

Si suponemos que E = f−1(Ii) tiene medida positiva, Ii = (a− r, a+ r), entonces

r <

∣∣∣∣ 1µ(E)

∫Ef dµ− a

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ 1µ(E)

∫E(f − a) dµ

∣∣∣∣ ≤ 1µ(E)

∫E|f − a| dµ ≤ r,

lo que es absurdo.

14. Probar las siguientes propiedades:

a) Si existed(ν1 + ν2)

dµ, entonces

d(ν1 + ν2)

dµ=

dν1

dµ+

dν2

dµc.s. con respecto

a µ.

b) Si µ1, µ2 y µ3 son medidas σ-finitas tales que µ2 << µ1 y µ3 << µ2,

entoncesdµ3

dµ1=

dµ3

dµ2·

dµ2

dµ1c.s. con respecto a µ1.

c) Si ν y µ son medidas σ-finitas tales que ν << µ y si f es una funcion

medible finita para la cual esta definida∫

f dν, entonces∫

f dν =∫

f ·dν

dµdµ.

Solucion. a) Como ν1 << µ y ν2 << µ, entonces ν1 + ν2 << µ. Por tanto, si existenf = dν1

dµ y g = dν2dµ , entonces existe h = d(ν1+ν2)

dµ . Ademas, ∀E ∈ Ω,

ν1(E) + ν2(E) =∫Ef dµ+

∫Eg dµ =

∫E(f + g) dµ

y (ν1 + ν2)(E) =∫Eh dµ. Por tanto, f + g = h c.s. con respecto a µ.

b) Llamemos f = dµ3

dµ2y g = dµ2

dµ1. Si suponemos que µ3 es positiva (en caso contrario,

basta descomponer µ3 = µ+3 − µ−3 ), entonces f ≥ 0 con respecto a µ2.


Sea (fn)n∈N una sucesion creciente de funciones simples no negativas que converge

a f . Entonces, para todo E ∈ Ω, lım∫Efn dµ2 =

∫E

lım fn dµ2 y lım∫Efng dµ1 =∫

Elım fng dµ1.

Teniendo en cuenta que∫Efn dµ2 =

∫Efng dµ1 (basta probarlo para funciones carac-

terısticas:∫E χB dµ2 = µ2(E ∩ B) =

∫E∩B g dµ1 =

∫E χBg dµ1), resulta que, tomando

lımites:

µ3(E) =∫Ef dµ2 =

∫E

lım fn dµ2 = lım∫Efn dµ2

= lım∫Efng dµ1 =

∫E

lım fng dµ1 =∫Efg dµ1.

c) Basta escribir λ(E) =∫E f dν y aplicar el apartado b) para obtener

λ(E) =∫Ef dν =

∫Efg dµ,

con g = dνdµ .

15. Sean ν1 << µ1 en (Ω1, A1), ν2 << µ2 en (Ω2, A2) medidas σ-finitas. Entonces

ν1 × ν2 << µ1 × µ2 yd(ν1 × ν2)

d(µ1 × µ2)(x, y) =

dν1

dµ1(x) ·

dν2

dµ2(y).

Solucion. Sea A = A1 ×A2 y E ∈ A tal que µ(E) = µ1 × µ2(E) = 0.

Como µ(E) =∫µ2(Ex) dµ1, entonces µ2(Ex) = 0 c.s. con respecto a µ1. Por tanto,

µ2(Ex) = 0 c.s. con respecto a ν1 y ν2(Ex) = 0 c.s. con respecto a ν1.

Como ν(E) = ν1 × ν2(E) =∫ν2(Ex) dν1, entonces ν(E) = 0.

Sean ahora f =dν1

dµ1, g =

dν2

dµ2y h(x, y) = f(x) · g(y). Entonces

ν(E) =∫ν2(Ex) dν1 =

∫ [∫Ex

g dµ2

]dν1

=∫ [∫

Ex

g dµ2

]f dµ1 =

∫ [∫hx · χEx dµ2

]dµ1 =

∫Eh dµ.

Capıtulo 3

Espacios Lp

El espacio de funciones integrables respecto de una medida arbitraria es un caso particularde una familia de espacios de funciones integrables, los llamados espacios Lp que estudiaremosen este capıtulo. Como dichos espacios poseen una estructura algebraica precisa, repasaremosen primer lugar los conceptos necesarios para entender las propiedades de tales espacios.

3.1. Espacios normados. Definicion y ejemplos

En esta seccion consideraremos metricas definidas en espacios dotados de alguna estructuraalgebraica, mas concretamente en espacios vectoriales, ya que las funciones integrables poseendicha estructura.

En un espacio vectorial X son de particular importancia las metricas que verifican

i) d(x+ a, y + a) = d(x, y), es decir, d es invariante por traslaciones,

ii) d(αx, αy) = |α| · d(x, y), es decir, d aumenta proporcionalmente a la dilatacion,

pues basta conocer d(x, 0), ∀x ∈ X para determinar completamente la distancia entre doselementos cualesquiera, ya que d(x, y) = d(x−y, 0). Definimos entonces la longitud o norma deun vector x por ‖x‖ = d(x, 0). Esto sugiere, en un contexto abstracto, la siguiente definicionaxiomatica.

Definicion. Un espacio normado es un par (X, ‖ · ‖) formado por un espacio vectorial Xy una aplicacion ‖ · ‖ : X → R, llamada norma, con las siguientes propiedades:

(i) ‖x‖ ≥ 0, ∀x ∈ X.

(ii) ‖x‖ = 0 ⇐⇒ x = 0.

(iii) ‖αx‖ = |α| · ‖x‖, ∀x ∈ X, α ∈ C.

(iv) ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖, ∀x, y ∈ X (desigualdad triangular).

Si no se exige la condicion (ii), la aplicacion ‖ · ‖ se llama seminorma.

Observaciones. 1) Todo espacio normado es a su vez un espacio metrico, pues basta, da-do (X, ‖ · ‖), definir d(x, y) = ‖x − y‖. Ası todas las nociones de espacios metricos estan

97

98 3.1. Espacios normados. Definicion y ejemplos

definidas tambien para los espacios normados. En particular, los conjuntos B(0, 1) = x ∈X : ‖x‖ < 1, B(0, 1) = x ∈ X : ‖x‖ ≤ 1 son las bolas unitarias abierta y cerrada de X,respectivamente.

2) El recıproco de lo anterior no es cierto, es decir, no todo espacio metrico es normado.Por ejemplo, X = (a1, . . . an, . . . ) : an ∈ C sobre el cuerpo C es espacio vectorial; si

definimos d(x, y) =∞∑i=1

12i· |ai − bi|

1 + |ai − bi|, se puede ver que es espacio metrico, pero, dado

λ ∈ C, d(λx, λy) 6= |λ| d(x, y) con lo que, si definieramos la “norma” a partir de la distancia,obtendrıamos ‖λx− λy‖ 6= |λ| · ‖x− y‖ y X no serıa espacio normado de esa forma.

Otro ejemplo sencillo es la metrica discreta pues ‖2x‖ = d(2x, 0) = 1 pero |2| · ‖x‖ =2 · d(x, 0) = 2.

Sin embargo, la motivacion dada al principio permite probar lo siguiente.

Proposicion 3.1.1. Si (X, ‖·‖) es un espacio normado, la aplicacion d : X×X → R definidapor d(x, y) = ‖x− y‖, ∀x, y ∈ X verifica

i) d(x+ z, y + z) = d(x, y);

ii) d(λx, λy) = |λ| · d(x, y).Recıprocamente, si X es un espacio vectorial y (X, d) es un espacio metrico en el que severifican i) y ii), entonces (X, ‖ · ‖) es un espacio normado, donde ‖x‖ = d(x, 0).

La demostracion es evidente.

Definicion. Sea X un espacio vectorial normado, en el que se define la metrica d(x, y) =‖x− y‖. Si (X, d) es completo, X se dice espacio de Banach.

Ejemplos.

1. X = R o C con la norma del valor absoluto son espacios de Banach.

2. X = Rn o Cn con la norma ‖x‖ = (∑n

i=1 |xi|p)1/p ( p ≥ 1) es de Banach. Los axiomas i),

ii) y iii) de norma son evidentes y la desigualdad triangular se deduce de la desigualdadde Minkowski (ver seccion 3.2). Veamos que es completo:

Sea xk = (xk1, . . . , xkn), k ∈ N una sucesion de Cauchy en Rn. Entonces

‖xp − xq‖ < ε, ∀p, q > N =⇒ |xpi − xqi| < ε, ∀p, q > N, 1 ≤ i ≤ n.

Esto implica que ∃xi ∈ R : |xki − xi| < ε, 1 ≤ i ≤ n.

Si llamamos x = (x1, . . . , xn), resulta que ‖xk − x‖p =∑n

i=1 |xki − xi|p < nεp.

3. Sea `p = x = (xn)n∈N : xn ∈ C,∑∞

n=1 |xn|p < ∞ (p ≥ 1), y definimos ‖x‖p =(∑∞n=1 |xn|p

)1/p.

Al igual que en el ejemplo 2, la desigualdad de Minkowski (para sumas infinitas) per-mite probar que es una norma. La completitud de este espacio sera consecuencia de lacompletitud del espacio Lp (ver seccion 3.3).

4. Sea `∞ = x = (xn)n∈N : xn ∈ C, xnn∈N acotada, y definimos ‖x‖∞ = supn |xn|.Ası definido, (X, ‖ · ‖∞) es un espacio de Banach, como veremos en la seccion 3.3.

Capıtulo 3. Espacios Lp 99

5. X = C[a, b] (funciones continuas en [a, b]), con la norma ‖f‖∞ = maxx∈[a,b]

|f(x)| es de

Banach.

Para probarlo, sea fnn∈N una sucesion de Cauchy en C[a, b].

Por definicion, maxx∈[a,b]

|fn(x) − fm(x)| < ε, para n,m > N. Entonces |fn(x) − fm(x)| <

ε, ∀x ∈ [a, b]. Por tanto, por el criterio de convergencia de Cauchy, fnn∈N convergeuniformemente en [a, b] y, como fn son continuas, la funcion lımite tambien lo sera.

6. El mismo espacio anterior C[a, b] con la norma ‖f‖p =(∫ b

a |f(x)|p dx)1/p

no es com-pleto.

Si hacemos por ejemplo a = −1, b = 1, la sucesion fnn∈N definida por

fn(x) =

0 si − 1 ≤ x ≤ 0nx si 0 < x ≤ 1/n,1 si 1/n < x ≤ 1

es de Cauchy en C[−1, 1] con respecto a ‖ · ‖p, para todo p ≥ 1, pero el lımite f(x) =0 si − 1 ≤ x ≤ 01 si 0 < x ≤ 1,

no es continua en x = 0.

Sin embargo, este espacio puede completarse y su complecion es precisamente el espacioLp[a, b].

7. Si X = B(A) es el espacio de las funciones acotadas en A, la norma ‖f‖ = supx∈A

|f(x)|

tambien da lugar a un espacio de Banach.

8. La clase VA[a, b] de funciones de variacion acotada en [a, b] es un espacio vectorial conlas operaciones usuales y se define la norma ‖f‖ = |f(a)|+V (f) donde V (f) representala variacion total de f que convierte al espacio VA[a, b] en un espacio de Banach.

3.2. Desigualdades de Holder y Minkowski

En algunos ejemplos de espacios normados la desigualdad triangular se deduce de la desigual-dad de Minkowski que probaremos en este apartado como consecuencia de la desigualdad deHolder. En el siguiente apartado utilizaremos estas desigualdades para definir normas en otrosejemplos de espacios de funciones, que han sido fundamentales en el desarrollo del AnalisisFuncional.

Lema 3.2.1. Sean α, β > 0, 0 < λ < 1. Entonces αλβ1−λ ≤ λα + (1 − λ)β. Ademas laigualdad es cierta si y solo si α = β.

Demostracion. Se define ϕ(t) = (1− λ) + λt− tλ para t ≥ 0.

Ası ϕ′(t) = λ− λtλ−1 que sera negativo si t < 1 y positivo si t > 1. Por tanto, el punto t = 1corresponde a un mınimo.

100 3.2. Desigualdades de Holder y Minkowski

Como ϕ(t) ≥ ϕ(1) = 0, entonces 1− λ+ λt ≥ tλ.

Haciendo t = α/β se deduce el resultado (para β 6= 0).

Si β = 0, el resultado es trivial.

Observaciones. 1) El lema anterior expresa que la media geometrica es menor o igual a lamedia aritmetica, porque si hacemos λ = k/n, 1 − λ = (n− k)/n, tenemos αk/n · βn−k/n ≤kα/n+ (n− k)β/n de donde

n

√α (k). . . α · β (n−k). . . β ≤ α+ (k). . . +α+ β+ (n−k). . . +β

n.

2) Si α = ex1 , β = ex2 , el lema indica que

eλx1+(1−λ)x2 = eλx1e(1−λ)x2 ≤ λex1 + (1− λ)ex2 ,

es decir que la funcion exponencial es convexa.

Teorema 3.2.2. Sean (X,S, µ) un espacio medible, f, g : X → [0,∞] funciones medibles,1 < p <∞ y 1/p+ 1/q = 1. Entonces:

a) (desigualdad de Holder)∫X

(fg) dµ ≤(∫

Xfp dµ

)1/p

·(∫

Xgq dµ

)1/q

.

b) (desigualdad de Minkowski)(∫X

(f + g)p dµ)1/p

≤(∫

Xfp dµ

)1/p

+(∫

Xgp dµ

)1/p

.

Demostracion. a) Llamamos A =(∫

Xfp dµ

)1/p

, B =(∫

Xgq dµ

)1/q

y distinguimos trescasos:

♦ A = 0 (o B = 0). Como f ≥ 0, fp = 0 c.s. =⇒ f = 0 c.s. =⇒ f · g = 0 c.s. Ası pues∫Xfg dµ = 0.

♦ A = ∞ (o B = ∞). Es evidente que∫Xfg dµ ≤ ∞.

♦ 0 < A,B <∞. Debemos probar que∫Xfg dµ ≤ A ·B, o bien

∫X

f

A· gBdµ ≤ 1.

Si aplicamos el lema anterior a α = fp/Ap, β = gq/Bq, λ = 1/p, 1− λ = 1/q, resulta:

f

A· gB≤ 1p· f

p

Ap+

1q· g

q

Bq,

desigualdad valida ∀x ∈ X. Integrando miembro a miembro,∫X

f

A· gBdµ ≤ 1

p ·Ap·Ap +

1q ·Bq

·Bq = 1, c.q.d.


b) Debido a que (f + g)p = (f + g)(f + g)p−1 = f(f + g)p−1 + g(f + g)p−1, aplicando ladesigualdad de Holder a cada uno de los sumandos, tenemos:

∫Xf(f + g)p−1 dµ ≤

(∫Xfp dµ

)1/p(∫X

(f + g)q(p−1) dµ

)1/q

,∫Xg(f + g)p−1 dµ ≤

(∫Xgp dµ

)1/p(∫X

(f + g)q(p−1) dµ

)1/q

,

=⇒∫X

(f + g)p dµ ≤

[(∫Xfp dµ

)1/p

+(∫

Xgp dµ

)1/p]·(∫

X(f + g)p dµ

)1/q

,

debido a que q(p− 1) = p. Si llamamos ahora C =(∫

X(f + g)p dµ

)1/q

, caben los siguientescasos:

C = 0 =⇒∫X

(f + g)pdµ = 0 y la desigualdad es evidente.

C = ∞ =⇒∫X

(f + g)pdµ = ∞. Como la funcion y = xp es convexa,(f(x)

2+g(x)

2

)p≤

f(x)p

2+g(x)p

2, de donde:

12p

(f + g)p ≤ 12(fp + gp) =⇒ 1

2p

∫X

(f + g)p dµ ≤ 12

[∫Xfp dµ+

∫Xgp dµ

].

Como∫X

(f + g)p dµ = ∞, debe ser∫Xfp dµ = ∞ o

∫Xgp dµ = ∞.

0 < C < ∞ =⇒[∫

X(f + g)p dµ

]1−1/q

≤(∫

Xfp dµ

)1/p

+(∫

Xgp dµ

)1/p

, lo que da

lugar al resultado deseado.

El teorema anterior tiene las siguientes consecuencias.

Corolario 3.2.3. Si f, g : X → [0,∞] son medibles y 0 < p < 1, 1/p+ 1/q = 1, entonces

a)∫Xfg dµ ≥

(∫Xfp dµ

)1/p(∫Xgq dµ

)1/q

.

b)(∫

X(f + g)p dµ

)1/p

≥(∫

Xfp dµ

)1/p

+(∫

Xgp dµ

)1/p

,

donde suponemos que las integrales involucradas son finitas y(∫

Xgq dµ

)1/q

6= 0.

102 3.2. Desigualdades de Holder y Minkowski

Demostracion. a) Sea p′ = 1/p y llamamos ψ = (fg)p = (fg)1/p′, ϕ = g−p = g−1/p′ . De este

modo, 1 < p′ <∞, fp = ψϕ y ψ,ϕ son medibles. Entonces∫Xfp dµ =

∫Xψϕdµ ≤

(∫Xψp

′dµ

)1/p′ (∫Xϕq

′dµ

)1/q′

,

donde 1/p′ + 1/q′ = 1. Debido a que ϕq′= gq y ψp

′= fg, obtenemos:∫

Xfp dµ ≤

(∫Xfg dµ

)1/p′ (∫Xgq dµ

)1/pq′

.

De las relaciones anteriores se deduce que pp′ = 1, pq′ = −q, con lo que:(∫Xfp dµ

)1/p

·(∫

Xgq dµ

)1/q

≤(∫

Xfg dµ

), c.q.d.

b) De la igualdad (f + g)p = f(f + g)p−1 + g(f + g)p−1, se deduce:∫X

(f + g)p dµ =∫Xf(f + g)p−1 dµ+

∫Xg(f + g)p−1 dµ

≥(∫

Xfp dµ

)1/p

·(∫

X(f + g)q(p−1) dµ

)1/q

+(∫

Xgp dµ

)1/p

·(∫


)1/q

=

[(∫Xfp dµ

)1/p

+(∫

Xgp dµ

)1/p]·(∫


)1/q

.

Suponiendo que∫X(f + g)p dµ <∞, se deduce el resultado.

Corolario 3.2.4. En las condiciones del teorema 3.2.2, la desigualdad de Holder se convierteen igualdad si y solo si existen λ1, λ2 constantes no nulas a la vez tales que λ1f

p = λ2gq c.s.

Demostracion. Al igual que en el lema 3.2.1, la igualdad es cierta si y solo si

fp∫X f

p dµ=

gq∫X g

q dµ, es decir fp ·

∫Xgq dµ = gq ·

∫Xfp dµ,

con λ1 =∫Xgq dµ y λ2 =

∫Xfp dµ no nulas ambas.

Podemos suponer ademas λ1 = 0, λ2 6= 0 pues entonces 0 = λ2gq c.s. =⇒ gq = 0 c.s.

=⇒ g = 0 c.s. y se verifica la igualdad.

Observaciones. 1) Si X es un conjunto numerable, digamos por comodidad X = N, P (N) laσ-algebra formada por los subconjuntos de N, µ : P (N) → [0,∞] la medida de contar, definidapor µ(A) = cardA, toda aplicacion f : N → C es medible pues ∀V abierto, f−1(V ) ⊂ N =⇒f−1(V ) ∈ P (N). Ası pues, si f : N → [0,∞] es medible, f(n) = |xn|,∫

Nfp dµ =

∫⋃

n∈Nnfp dµ =

∑n∈N

∫n

fp dµ =∑n∈N

f(n)p =∑n∈N

|xn|p.


Esto permite escribir las desigualdades de Holder y Minkowski para sumas finitas o seriesnumericas. Estas serıan:

∞∑i=1

|xiyi| ≤

( ∞∑i=1

|xi|p)1/p

·

( ∞∑i=1

|yi|q)1/q

,

( ∞∑i=1

|xi + yi|p)1/p

≤

( ∞∑i=1

|xi|p)1/p

+

( ∞∑i=1

|yi|p)1/p

.

2) En el caso de p = 1 o p = ∞ se prueban tambien desigualdades analogas que quedan dela forma ∑

i∈N

|xiyi| ≤∑i∈N

|xi| · supi∈N

|yi|,

supi∈N

|xi + yi| ≤ supi∈N

|xi|+ supi∈N

|yi|.

3) En el caso particular de que p = q = 2, la desigualdad de Holder se llama desigualdadde Cauchy-Schwarz, de importancia en espacios dotados de una estructura geometrica.

3.3. Espacios Lp

Los ejemplos mas utiles de espacios normados corresponden a los llamados espacios Lp. Fueronademas los que dieron impulso al desarrollo de la teorıa de espacios de Hilbert y espaciosnormados.

Supondremos en esta seccion que (X,Ω, µ) es un espacio de medida. Es conocido el espaciode funciones de modulo integrable, representado por

L1(µ) = f : X → C : f medible y∫X|f | dµ <∞.

Si ahora hacemos 1 ≤ p < ∞, definimos analogamente el espacio de funciones de potenciap-esima integrable, como

Lp(µ) = f : X → C : f medible y∫X|f |p dµ <∞.

Si definimos la aplicacion ‖ · ‖p : Lp(µ) → R por ‖f‖p =(∫X |f |

p dµ)1/p, es evidente que

Lp(µ) = f : X → C : f medible y ‖f‖p <∞.En el caso de p = ∞ procedemos de una forma algo diferente:

Si g : X → C es una funcion medible, tambien es medible |g|; sabemos que ∀α ∈ R, |g|−1(α,∞]es medible y podemos definir el conjunto

S = α ∈ R : µ(|g|−1(α,∞]) = 0.

Llamamos supremo esencial de |g| a ‖g‖∞ = ınf S, cuando S 6= ∅, y ‖g‖∞ = ∞, cuandoS = ∅. Probemos en primer lugar la existencia de dicho ınfimo; para ello basta probar que 0es una cota inferior de S:

104 3.3. Espacios Lp

En efecto, si existiera α ∈ S tal que α < 0, entonces de la inclusion [0,∞] ⊂ (α,∞] se deduceque

|g|−1[0,∞] ⊂ |g|−1(α,∞] =⇒ µ(X) = µ(|g|−1[0,∞]) ≤ µ(|g|−1(α,∞]) = 0=⇒ µ(X) = 0,

lo cual es absurdo.

Lo anterior permite definir el espacio

L∞(µ) = f : X → C : f medible y ‖f‖∞ <∞

que llamaremos espacio de las funciones medibles esencialmente acotadas.

Una caracterizacion del supremo esencial la proporciona el siguiente lema:

Lema 3.3.1. Dada f : X → C medible, se tiene

|f(x)| ≤ λ para casi todo x⇐⇒ ‖f‖∞ ≤ λ.

En consecuencia, |f(x)| ≤ ‖f‖∞ para casi todo x (haciendo λ = ‖f‖∞) y ‖f‖∞ es la mınimacota superior (c.s.) de |f |.

Demostracion. Supongamos que |f | ≤ λ c.s., es decir |f(x)| ≤ λ, ∀x ∈ Ac con µ(A) = 0.Entonces, si |f(x)| > λ, es x ∈ A y

|f |−1(λ,∞] ⊂ A =⇒ µ(|f |−1(λ,∞]) ≤ µ(A) = 0 =⇒ λ ∈ S y ‖f‖∞ ≤ λ.

Recıprocamente, suponiendo que ‖f‖∞ ≤ λ, veamos que |f | ≤ λ c.s., lo que equivale a probarque µ(A) = 0, siendo A = x : |f(x)| > λ.Por hipotesis, existe α ∈ S tal que α ≤ λ pues si fuese α > λ, ∀α ∈ S, λ serıa cota inferiorde S y λ < ‖f‖∞, lo que es absurdo. Entonces

A = |f |−1(λ,∞] ⊂ |f |−1(α,∞] =⇒ µ(A) ≤ µ(|f |−1(α,∞]) = 0.

Aplicando las desigualdades de Holder y Minkowski, se prueban los siguientes resultados.

Proposicion 3.3.2. Sean p, q exponentes conjugados, es decir 1/p+1/q = 1, con 1 ≤ p ≤ ∞.Si f ∈ Lp(µ) y g ∈ Lq(µ), entonces fg ∈ L1(µ) y ‖fg‖1 ≤ ‖f‖p‖g‖q.

Demostracion. Si 1 < p <∞, por la desigualdad de Holder, tenemos:∫X|fg| dµ =

∫X|f | · |g| dµ ≤

(∫X|f |p dµ

)1/p(∫X|g|q dµ

)1/q

= ‖f‖p‖g‖q <∞.

Si p = ∞, q = 1, entonces |f(x)| ≤ ‖f‖∞ c.s., con lo que existe A de medida nula tal que|f(x)| ≤ ‖f‖∞, ∀x ∈ Ac. De este modo,∫

X|fg| dµ =

∫X|f | · |g| dµ =

∫Ac

|f | · |g| dµ ≤∫Ac

‖f‖∞|g| dµ

= ‖f‖∞∫Ac

|g| dµ ≤ ‖f‖∞∫X|g| dµ = ‖f‖∞‖g‖1 <∞.


Proposicion 3.3.3. Si 1 ≤ p ≤ ∞, entonces Lp(µ) es un espacio vectorial sobre C y ‖ · ‖pes una seminorma.

Demostracion. Estudiaremos por separado los siguientes casos:

a) Si 1 ≤ p <∞ y f, g ∈ Lp(µ), de la desigualdad de Minkowski deducimos que f+g ∈ Lp(µ)y ‖f + g‖p ≤ ‖f‖p + ‖g‖p. Ademas

‖αf‖p =(∫

X|αf |p dµ

)1/p

=(∫

X|α|p|f |p dµ

)1/p

= |α| · ‖f‖p =⇒ αf ∈ Lp(µ).

b) Si p = ∞, debido a que |f | ≤ ‖f‖∞ y |g| ≤ ‖g‖∞ c.s., entonces tambien |f+g| ≤ |f |+ |g| ≤‖f‖∞ + ‖g‖∞ c.s. Esto implica que ‖f‖∞ + ‖g‖∞ es cota superior esencial de |f + g|. Al ser‖f + g‖∞ la mınima, se deduce que ‖f + g‖∞ ≤ ‖f‖∞ + ‖g‖∞.

Por otro lado, si suponemos α 6= 0:

‖αf‖∞ = ınfβ ∈ R : µ(|αf |−1(β,∞]) = 0 = ınf S1

supuesto S1 6= ∅. Ahora bien,

x ∈ |αf |−1(β,∞] ⇐⇒ |αf |(x) > β ⇐⇒ |αf(x)| > β ⇐⇒ |α| · |f(x)| > β

⇐⇒ |f(x)| > β/|α| ⇐⇒ x ∈ |f |−1(β/|α|,∞]

con lo que

ınf S1 = ınfβ ∈ R : µ(|f |−1(β/|α|,∞]) = 0= ınf|α|β/|α| ∈ R : µ(|f |−1(β/|α|,∞]) = 0= ınf|α|β1 ∈ R : µ(|f |−1(β1,∞]) = 0= |α| · ınfβ1 ∈ R : µ(|f |−1(β1,∞]) = 0 = |α| · ınf S2 = |α| · ‖f‖∞.

De este modo, si f ∈ L∞(µ), ‖αf‖∞ = ınf S1 = |α| · ‖f‖∞.

Observacion. En general, ‖ · ‖p no es norma pues no se verifica la implicacion ‖f‖p = 0 =⇒f(x) = 0, ∀x ∈ X. Sin embargo, en el caso de las funciones reales continuas en un intervalo[a, b], X = C[a, b], ‖f‖1 =

∫ ba |f(x)| dx = 0 =⇒ f = 0. Tambien, en los espacios `p, ‖ · ‖p es

una norma.

Para obtener espacios normados de las seminormas anteriores, definimos la relacion de equi-valencia

∀f, g ∈ Lp(µ), f ∼ g ⇐⇒ f = g c.s., o bien ‖f − g‖p = 0.

El espacio cociente, que seguiremos denotando por Lp(µ), es ahora un espacio normado sidefinimos ‖f‖p = ‖f‖p, donde f es un representante de la clase de equivalencia f .

Probaremos por ultimo la completitud de los espacios recien definidos, resultado obtenido deforma simultanea e independiente por F. Riesz y E. Fischer en 1907.

Teorema 3.3.4 (Riesz-Fischer). Si 1 ≤ p ≤ ∞, entonces (Lp(µ), ‖ · ‖p) es de Banach.

106 3.3. Espacios Lp

Demostracion. a) Veamos primero el caso 1 ≤ p <∞.

Sea pues (fn)n∈N una sucesion de Cauchy en Lp(µ). Tomando ε = 1/2i, sabemos que ∃ni talque ‖fn − fm‖p < 1/2i, ∀n,m ≥ ni. Esto permite extraer una subsucesion (fni)i≥1 tal que‖fni+1 − fni‖p < 1/2i, ∀i.

Llamamos ahora gk =∑k

i=1 |fni+1−fni | y g =∑∞

i=1 |fni+1−fni |. Debido a que |fni+1−fni | ∈Lp(µ), se deduce que gk ∈ Lp(µ). Ası pues,

‖gk‖p =(∫

X|gk|p dµ

)1/p

=

[∫X

(k∑i=1

|fni+1 − fni |

)pdµ

]1/p

≤k∑i=1

[∫X|fni+1 − fni |p dµ

]1/p

=k∑i=1

‖fni+1 − fni‖p <k∑i=1

12i< 1.

Como ademas lımk gk = g, tambien lımk |gk|p = |g|p y deducimos que∫X|g|p dµ =

∫X

lımk|gk|p dµ ≤ lım inf

k

∫X|gk|p dµ ≤ 1 =⇒ ‖g‖p ≤ 1,

por lo que |g|p es finita c.s. y tambien g(x) <∞ c.s.

Lo anterior indica que la serie∑

i≥1(fni+1 − fni) es absolutamente convergente c.s., ası comotambien lo es la serie fn1 +

∑i≥1(fni+1 − fni). Definimos

f(x) =

fn1(x) +

∑i≥1(fni+1(x)− fni(x)) si x ∈ Ac

0 si x ∈ A,donde µ(A) = 0.

Debido a que fn1 +∑k−1

i=1 (fni+1 − fni) = fnk, resulta que f(x) = lımi fni(x) c.s. Veamos que

fn → f y que f ∈ Lp(µ).

Dado ε > 0, sabemos que ∃N tal que ‖fn−fm‖p < ε, ∀n,m ≥ N . Tomando m ≥ N , tenemos:

‖f − fm‖pp =∫X|f − fm|p dµ =

∫X| lımifni − fm|p dµ =

∫X

lımi|fni − fm|p dµ

≤ lım infi

∫X|fni − fm|p dµ = lım inf

i‖fni − fm‖pp ≤ εp,

tomando ni ≥ N . Esto implica que f − fm ∈ Lp(µ) y en consecuencia f ∈ Lp(µ) debido aque f = (f − fm) + fm. Por otra parte, al ser ‖f − fm‖p ≤ ε, ∀m ≥ N , la sucesion originalconverge a f .

b) Si p = ∞, tomamos nuevamente una sucesion (fn)n∈N de Cauchy en L∞(µ). De este modo,‖fn − fm‖∞ < ε, ∀n,m > N(ε).

Si Am,n = x : |fn(x) − fm(x)| ≥ ‖fn − fm‖∞ + ε, resulta que µ(Am,n) = 0, con lo que, siA =

⋃m,nAm,n, entonces µ(A) = 0. Esto prueba que (fn(x))n∈N converge uniformemente en

E \A.

Si definimos f(x) =

lımn fn(x) si x ∈ E \A0 si x ∈ A

, se ve inmediatamente que lımn ‖fn−f‖∞ =


0, pues

|f(x)− fm(x)| = | lımnfn(x)− fm(x)|

= lımn|fn(x)− fm(x)|

c.s.≤ lım

n‖fn − fm‖∞ + ε < 2ε, ∀m,n ≥ N.

Entonces 2ε es cota superior esencial de f − fm, de modo que ‖f − fm‖∞ < 2ε, ∀m ≥ N =⇒f − fm ∈ L∞(µ) =⇒ f ∈ L∞(µ) y fm → f en L∞(µ).

Observaciones. 1) A partir de la definicion son inmediatas las inclusiones `1 ⊂ `p ⊂ `q ⊂`∞, 1 < p < q <∞.

2) Analogamente, en el espacio (X,S, µ), si µ(X) < ∞, entonces L∞ ⊂ Lq ⊂ Lp ⊂ L1, para1 < p < q <∞.

En efecto, si llamamos r = q/p > 1,∫X|f |p dµ ≤

∥∥|f |p∥∥r· ‖1‖r′ =

(∫|f |q dµ

)1/r

· µ(X)1/r′.

Esto implica que ‖f‖p ≤ ‖f‖q · µ(X)1/p−1/q.

De la misma forma, ‖f‖q ≤ µ(X)1/q · ‖f‖∞.

3) En general, Lp 6⊂ Lq y Lq 6⊂ Lp (por ejemplo, si f(x) = (1 + |x|)−1, entonces f ∈ L2(R)pero f 6∈ L1(R)); ahora bien, si f ∈ Lp ∩ Lq, entonces f ∈ Lr con p < r < q:∫

X|f |r dµ =

∫|f |≤1

|f |r dµ+∫|f |>1

|f |r dµ

≤∫|f |≤1

|f |p dµ+∫|f |>1

|f |q dµ ≤ ‖f‖pp + ‖f‖qq <∞.

Se verifica tambien la desigualdad de interpolacion

‖f‖r ≤ ‖f‖αp · ‖f‖αq , donde1r

=α

p+

1− α

q(0 ≤ α ≤ 1).

3.4. Propiedades de los espacios normados

Probaremos en esta seccion las propiedades fundamentales de los espacios normados.

Teorema 3.4.1. Sea X un espacio vectorial normado. Son equivalentes:

i) X es de Banach.

ii) Si ann∈N ⊂ X y∑

n∈N ‖an‖ <∞ =⇒∑

n∈N an converge en X.

Esto indica que en los espacios de Banach la convergencia absoluta implica la convergencia.

Demostracion. i) =⇒ ii). Sea Sn =∑n

k=1 ak. Si m > n,

‖Sm − Sn‖ =

∥∥∥∥∥m∑

k=n+1

ak

∥∥∥∥∥ ≤m∑

k=n+1

‖ak‖ ≤∞∑

k=n+1

‖ak‖ < ε.

108 3.4. Propiedades de los espacios normados

Esto implica que Smm∈N es de Cauchy en X y por tanto converge.

ii) =⇒ i). Sea ann∈N de Cauchy en X. Hacemos an0 = 0 y elegimos

n1 ∈ N : ‖an1 − am‖ < 1/2, ∀m > n1,

n2 > n1 : ‖an2 − am‖ < 1/22, ∀m > n2,

...nk > nk−1 : ‖ank

− am‖ < 1/2k, ∀m > nk.

Ası∑∞

k=1 ‖ank− ank−1

‖ ≤ ‖an1‖+∑∞

k=1 1/2k <∞.

Por hipotesis,∑

k∈N(ank− ank−1

) es convergente. Entonces

a =∞∑k=1

(ank− ank−1

) = lımh→∞

h∑k=1

(ank− ank−1

) = lımh→∞

anh,

y esto implica que anhh∈N es convergente.

Como ann∈N es de Cauchy y tiene una subsucesion convergente, ella misma es convergentey X es completo.

Proposicion 3.4.2. Sea X un espacio vectorial normado sobre el cuerpo E. Si definimosen X × X o E × X la metrica producto ‖(u, v)‖ = ‖u‖ + ‖v‖, entonces las aplicaciones(x, y) 7→ x+ y y (α, x) 7→ αx, definidas en X ×X y E ×X, respectivamente, son continuas.Ademas, la norma ‖ · ‖ : X → R es uniformemente continua.

Demostracion. Es facil comprobar que la metrica producto verifica los axiomas de norma.De este modo:

Como ‖x+ y − (x0 + y0)‖ ≤ ‖x− x0‖+ ‖y − y0‖, la primera es continua.

Para demostrar que la aplicacion (α, x) 7→ αx es continua en (α0, x0), elegimos α, x tales que|α− α0| < mın1, ε

2(1+1+‖x0‖) y ‖x− x0‖ < ε2(1+1+|α0|) . Entonces

|α| − |α0| ≤ |α− α0| < 1 =⇒ |α| < 1 + |α0|.

Ademas,

‖αx− α0x0‖ ≤ |α| · ‖x− x0‖+ ‖x0‖ · |α− α0|

< |α| · ε

2(1 + 1 + |α0|)+ ‖x0‖ ·

ε

2(1 + 1 + ‖x0‖)< ε.

Por ultimo, para probar que la norma es uniformemente continua, dado ε > 0, debemosencontrar δ > 0 tal que

∣∣‖x‖ − ‖x0‖∣∣ < ε si ‖x− x0‖ < δ. Ahora bien, como

∣∣‖x‖ − ‖x0‖∣∣ ≤

‖x− x0‖, basta elegir δ = ε.

Corolario 3.4.3. Si (X, ‖ · ‖) es un espacio normado, x0 ∈ X, λ0 ∈ E, λ0 6= 0, entonces lasaplicaciones x 7→ x + x0 (traslacion de vector x0) y x 7→ λ0x (homotecia de razon λ0) sonhomeomorfismos.


Demostracion. Basta probar que son bicontinuas. La primera de ellas es composicion def : X → X ×X, dada por f(x) = (x, x0), y g : X ×X → X, dada por g(x, x0) = x+ x0. Porel teorema anterior, g es continua; es facil probar que f es tambien continua, de modo queg f es continua. Ademas, el mismo argumento prueba que la inversa x 7→ x−x0 es continua.

Analogamente se prueba que la segunda es continua.

Proposicion 3.4.4. Un subespacio M de un espacio de Banach X es completo si y solo siM es cerrado en X.

Demostracion. Sea M completo. Entonces, ∀x ∈ M, ∃xnn∈N con xn ∈ M, ∀n tal quexn → x. Pero como xnn∈N converge, es de Cauchy; por tanto converge en M , lo que pruebaque x ∈M.

Recıprocamente, sea M cerrado y xnn∈N de Cauchy en M . Por ser X completo, xn → x ∈X =⇒ x ∈ M =⇒ x ∈M.

Ejemplo. El espacio c = x = (xn)n∈N ∈ `∞ : (xn)n∈N converge en C es completo con lametrica inducida por `∞.

En efecto, sea x = (xn)n∈N ∈ c. Entonces

∃yk = (ykn)n∈N ∈ c : yk → x =⇒ |ykn − xn| ≤ d(yk, x) < ε/3, ∀k ≥ N.

Como yNn n∈N es convergente, es de Cauchy y |yNp − yNq | < ε/3, ∀p, q ≥ N1. Entonces

|xp − xq| ≤ |xp − yNp |+ |yNp − yNq |+ |yNq − xq| < ε.

Esto implica que (xn)n∈N es de Cauchy y, en consecuencia, x ∈ c.

Un hecho importante de la completitud es que todo espacio normado puede verse comosubespacio de un espacio normado completo.

Teorema 3.4.5 (complecion). Sea (X, ‖ · ‖) un espacio normado. Existe un espacio deBanach X∗ y una isometrıa A : X → W donde W es un subespacio denso de X∗. Dichoespacio X∗ es unico salvo isometrıas.

Demostracion. En primer lugar, veamos que existe un espacio metrico (X∗, d) y una isometrıaA : X →W , donde W ⊂ X∗ es un subespacio denso.

Sea X∗ el conjunto de las clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy en X, mediante larelacion:

xnn∈N ∼ ynn∈N ⇐⇒: lımnd(xn, yn) = 0.

Se define d∗ : X∗ ×X∗ → R como d∗(x∗, y∗) = lımn d(xn, yn) siendo xn ∈ x∗, yn ∈ y∗.Se debe probar:

a) Dicho lımite existe (para ello basta que d(xn, yn) sea de Cauchy en R).

b) La definicion no depende de los representantes elegidos.

110 3.5. Funcionales lineales acotados en Lp

c) d∗ es una metrica.

d) X∗ contiene un subespacio X0 isometrico a X. Para ello definimos

X0 = x∗ ∈ X∗ : (x, x, . . . ) ∈ x∗

y f : X → X0 como f(x) = x∗.

e) X0 = X∗.

f) X∗ es completo.

g) Si (X∗∗, d∗∗) es complecion de X, ∃f : X∗ → X∗∗ isometrıa.

Falta probar que podemos dotar a X∗ de una estructura de espacio vectorial normado.

Recordando que x∗ e y∗ son clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy en X, elegimosxnn∈N ∈ x∗, ynn∈N ∈ y∗, y hacemos zn = xn + yn. Ası, znn∈N es de Cauchy en Xpues ‖zn − zm‖ ≤ ‖xn − xm‖ + ‖yn − ym‖. Por tanto, definimos z∗ = x∗ + y∗ como la clasede equivalencia que contiene a znn∈N (esta definicion no depende de la eleccion de losrepresentantes).

Tambien definimos αx∗ ∈ X∗ como la clase que contiene a αxnn∈N (de nuevo esta definicionno depende de los representantes).

Ası obtenemos un espacio vectorial. En W las operaciones inducidas por X∗ coinciden conlas inducidas por X a traves de A.

Ademas A induce en W una norma ‖ · ‖1 ası: si y∗ = Ax ∈W, ‖y∗‖1 = ‖x‖.Como la metrica en W es la restriccion de d∗ a W (ya que A es isometrico), podemos extenderla norma ‖ · ‖1 a X∗ ası :

‖x∗‖2 = d∗(0∗, x∗),∀x∗ ∈ X∗.

Para comprobar los axiomas, basta aplicar a ‖ · ‖1 un proceso de lımite.

3.5. Funcionales lineales acotados en Lp

3.5.1. Teorema de representacion de Riesz

Definicion. Dado un espacio normado X, un funcional lineal es una aplicacion f : X → Rtal que f(αx+ βy) = αf(x) + βf(y), ∀x, y ∈ X.

Decimos que un funcional lineal es acotado cuando existe K > 0 tal que |f(x)| ≤ K · ‖x‖,∀x ∈ X.

Llamamos norma de un funcional lineal acotado a

‖f‖ = supx 6=0

|f(x)|‖x‖

.

Ejemplos. 1) ‖ · ‖ : X → R es un funcional no lineal.


2) Para cada a ∈ Rn, fa : Rn → R definido por fa(x) = a · x = a1x1 + · · ·+ anxn (productoescalar por un vector fijo) es un funcional lineal y acotado:

|fa(x)| = |x · a| ≤ ‖x‖ · ‖a‖ =⇒ ‖f‖ ≤ ‖a‖.

Pero ademas, si hacemos x = a, resulta ‖fa‖ ≥ |fa(x)|‖x‖ = ‖a‖2

‖a‖ =⇒ ‖fa‖ ≥ ‖a‖. De lo que sededuce que ‖fa‖ = ‖a‖.3) La aplicacion f : `2 → R, definida por f(x) =

∑i∈N aixi donde (ai)i∈N ∈ `2 es fijo, es

tambien un funcional lineal y acotado pues, por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, |f(x)| ≤‖x‖2 · ‖a‖2. Del mismo modo, el operador f : `p → R definido por f(x) = a · x, con a ∈ `q

fijo, es tambien lineal y acotado.

4) El operador f : C[a, b] → R definido por f(x) =∫ ba x(t) dt (integral definida) es lineal y

acotado:

|f(x)| =∣∣∣ ∫ b

ax(t) dt

∣∣∣ ≤ (b− a) · maxa≤t≤b

|x(t)| = (b− a) · ‖x‖ =⇒ ‖f‖ ≤ b− a.

Si elegimos en particular x0 = 1, ‖f‖ ≥ |f(x0)|‖x0‖ =

∫ ba dt

1 = b − a. De aquı se deduce que‖f‖ = b− a.

Proposicion 3.5.1. Sea X un espacio normado y f un funcional lineal en X. Entonces fes continuo si y solo si su nucleo N(f) es cerrado.

Demostracion. a) La prueba de que N(f) es cerrado es directa.

b) Supongamos que N = N(f) es cerrado. Si N = X, entonces f = 0 y es continuo.

Si N 6= X, existe x1 ∈ X : f(x1) 6= 0. Sea x0 = x1/f(x1). Como f(x0) = 1 y N es cerrado,d(x0, N) = d > 0.

Por otra parte, ∀x ∈ X, x = x − f(x) · x0 + f(x) · x0, donde x − f(x) · x0 ∈ N . Esto indicaque X = N ⊕ λx0 : λ ∈ E. Si escribimos entonces x = n+ λx0, con n ∈ N , λ ∈ E, resulta:

‖x‖ = |λ| · ‖x0 + n/λ‖ ≥ |λ| · d = |f(λx0 + n)| · d = |f(x)| · d.

Esto implica que |f(x)| ≤ (1/d) · ‖x‖ y f es continuo.

Nos centraremos a continuacion en la caracterizacion de los funcionales lineales acotados enLp. En primer lugar estudiaremos el caso de la medida de Lebesgue en [0, 1].

Proposicion 3.5.2. Si g ∈ Lq, el funcional F : Lp → R definido por F (f) =∫fg es lineal,

acotado y ‖F‖ = ‖g‖q.

Demostracion. Por la desigualdad de Holder, F es acotado y ‖F‖ ≤ ‖g‖q. Ademas dadaf = |g|q/p · sign(g), es evidente que |f |p = |g|q = f · g. Por tanto, f ∈ Lp y ‖f‖p = (‖g‖q)q/p.Ahora bien,

F (f) =∫fg =

∫|g|q = ‖g‖qq = ‖g‖q · ‖f‖p

(porque q = 1 + q/p), con lo que ‖F‖ ≥ ‖g‖q.


Observacion. Los casos p = 1 y p = ∞ se dejan como ejercicio.

El resultado fundamental de esta seccion sera el recıproco de la proposicion anterior, conocidocomo el teorema de representacion de Riesz. Un resultado previo es el lema siguiente.

Lema 3.5.3. Sea g una funcion integrable en [0, 1] y supongamos que existe M > 0 tal que∣∣∣∣∫ fg

∣∣∣∣ ≤M · ‖f‖p, para toda f medible y acotada. Entonces g ∈ Lq y ‖g‖q ≤M .

Demostracion. Caso 1 < p < ∞. Definimos la sucesion de funciones medibles y acotadas

gn(x) =

g(x) si |g(x)| ≤ n

0 si |g(x)| > ny llamamos fn = |gn|q/p · sign(gn). Entonces ‖fn‖p = ‖gn‖q/pq

y |gn|q = fn · gn = fn · g de donde

‖gn‖qq =∫fn · g ≤M‖fn‖p = M · ‖gn‖q/pq .

Como q − q/p = 1, resulta que ‖gn‖q ≤M y∫|gn|q ≤M q.

Como |gn|q converge a |g|q c.s., tenemos (por el lema de Fatou):∫|g|q ≤ lım

∫|gn|q ≤M q.

Ası, g ∈ Lq y ‖g‖q ≤M .

Caso p = 1. Sea E = x : |g(x)| ≥ M + ε y llamamos f = (sign g) · χE . Entonces‖f‖1 = m(E) y

M ·m(E) = M · ‖f‖1 ≥∣∣∣∣∫ fg

∣∣∣∣ ≥ (M + ε) ·m(E).

Por tanto, m(E) = 0 y ‖g‖∞ ≤M .

Teorema 3.5.4 (representacion de Riesz). Sea F un funcional lineal acotado en Lp

(1 ≤ p <∞). Entonces existe g ∈ Lq tal que F (f) =∫fg. Ademas ‖F‖ = ‖g‖q.

Demostracion. Para cada s ∈ [0, 1], denotaremos por χs a la funcion caracterıstica de [0, s] ydefinimos la funcion Φ(s) = F (χs). Veamos que Φ es absolutamente continua:

Dado cualquier ε > 0, sea (si, s′i) : i = 1, . . . , n una familia finita de intervalos disjuntos en

[0, 1] con longitud total menor que δ. Si f =n∑i=1

(χs′i − χsi) · sign(Φ(s′i)− Φ(si)), entonces

∑i

|Φ(s′i)− Φ(si)| = F (f).

Como ‖f‖pp =∫ 1

0|f |p ≤

n∑i=1

∫ 1

0|χs′i − χsi |p =

n∑i=1

|s′i − si| < δ, resulta

∑i

|Φ(s′i)− Φ(si)| = F (f) ≤ ‖F‖ · ‖f‖p < ‖F‖ · δ1/p


de modo que la variacion total de Φ es menor que ε si tomamos δ = εp/‖F‖p.

Por el teorema 1.5.13, existe g integrable en [0, 1] tal que Φ(s) =∫ s

0g, con lo que F (χs) =∫ 1

0g · χs.

Sea ahora ψ una funcion escalonada. Como es combinacion lineal de funciones caracterısticas,

es facil deducir que F (ψ) =∫ 1

0g · ψ.

Si f es ahora una funcion medible y acotada en [0, 1], sabemos que f es lımite c.s. de unasucesion (ψn) de funciones escalonadas.

La sucesion (|f − ψn|p) es uniformemente acotada y tiende a cero c.s. Por el teorema de laconvergencia acotada, ‖f − ψn‖p → 0. Como ademas

|F (f)− F (ψn)| = |F (f − ψn)| ≤ ‖F‖ · ‖f − ψn‖p,

deducimos que F (f) = lımF (ψn).

Teniendo en cuenta que gψn < |g| · supψn, por el teorema de la convergencia dominada deLebesgue, ∫

fg =∫

(lımψn) · g =∫

lım(ψn · g) = lım∫ψn · g = F (f).

Como |F (f)| ≤ ‖F‖ · ‖f‖p, por el lema anterior deducimos que g ∈ Lq y ‖g‖q ≤ ‖F‖.Por ultimo, sea f ∈ Lp arbitrario. Entonces, dado ε > 0, existe una funcion escalonada ψ tal

que ‖f − ψ‖p < ε. Como ψ es acotada, F (ψ) =∫ψ · g, de donde

∣∣∣∣F (f)−∫fg

∣∣∣∣ ≤ |F (f)− F (ψ)|+∣∣∣∣F (ψ)−

∫fg

∣∣∣∣ = |F (f − ψ)|+∣∣∣∣∫ (ψ − f)g

∣∣∣∣≤ ‖F‖ · ‖f − ψ‖p + ‖g‖q · ‖f − ψ‖p < ε(‖F‖+ ‖g‖q).

Por tanto, F (f) =∫fg.

De la proposicion 3.5.10 se deduce que ‖F‖ = ‖g‖q.

Veamos a continuacion el caso de medidas arbitrarias en un espacio X.

Proposicion 3.5.5. Si f ∈ Lp(µ) (1 ≤ p < ∞), dado ε > 0, existe ϕ simple, que se anulafuera de un conjunto de medida finita, tal que ‖f − ϕ‖p < ε.

Lema 3.5.6. Si (X,Ω, µ) es un espacio de medida finito y g una funcion integrable tal queexiste M > 0 con ∣∣∣∣∫ gϕ dµ

∣∣∣∣ ≤M‖ϕ‖p, ∀ϕ funcion simple,

entonces g ∈ Lq.

Demostracion. Supongamos que p > 1 y sea (ψn) una sucesion creciente de funciones simplesno negativas que converge a |g|q. Llamamos ϕn = (ψn)1/p sign g.


Entonces ϕn es una funcion simple y ‖ϕn‖p =(∫ψn dµ

)1/p. Como

ϕn · g ≥ |ϕn| · |ψn|1/q = |ψn|1/p+1/q = ψn,

resulta ∫ψn dµ ≤

∫ϕn · g dµ ≤M‖ϕn‖p ≤M

(∫ψn dµ

)1/p

,

de donde(∫ψn dµ

)1/q ≤M o bien∫ψn dµ ≤M q.

Queda como ejercicio el caso p = 1.

Lema 3.5.7. Sea (En) una sucesion de conjuntos medibles disjuntos y (fn) una sucesion defunciones en Lp (1 ≤ p <∞), tal que fn(X \ En) = 0. Si f =

∑fn, entonces

f ∈ Lp ⇐⇒∑

‖f‖p <∞.

En este caso, ‖f‖p =∑∞

n=1 ‖fn‖p.

Teorema 3.5.8 (representacion de Riesz). Sea F : Lp(µ) → R (1 ≤ p <∞) un funcionallineal acotado con µ medida σ-finita. Entonces existe un unico g ∈ Lq (1/p+1/q = 1) tal que

F (f) =∫fg dµ.

Ademas ‖F‖ = ‖g‖q.

Demostracion. Veamos el caso en que µ es finita.

Entonces toda funcion medible acotada esta en Lp(µ). Definimos

ν(E) = F (χE).

Si (En) es una sucesion de conjuntos medibles disjuntos y E =⋃En, llamamos αn =

signF (χEn) y f =∑αnχEn .

Por el lema anterior y la acotacion de F , tenemos

∞∑n=1

|ν(En)| = F (f) <∞ y∞∑n=1

ν(En) = F (χE) = ν(E).

Por tanto, ν es una medida con signo y, por el teorema de Radon-Nikodym, existe g medibletal que ν(E) =

∫E g dµ, ∀E medible. Como ν es finita, g es integrable.

Si ϕ es simple, por linealidad se prueba que

F (ϕ) =∫ϕg dµ.

Como |F (ϕ)| ≤ ‖F‖ · ‖ϕ‖p, entonces g ∈ Lq (por el lema 3.5.6). Definimos el funcional linealacotado

G(f) =∫fg dµ.


Entonces G − F es un funcional lineal acotado que se anula en el subespacio de funcionessimples. Por la proposicion 3.5.5, las funciones simples son densas en Lp con lo que G−F = 0.Ası pues

F (f) =∫fg dµ, ∀f ∈ Lp

y es facil verificar que ‖F‖ = ‖G‖ = ‖g‖q.La unicidad es evidente: si g1 y g2 determinan el mismo funcional F , g1 − g2 da el funcionalcero, con lo que ‖g1 − g2‖q = 0, es decir g1 = g2 c.s.

Para ver el caso σ-finito, sea (Xn) una sucesion creciente de conjuntos medibles de medidafinita cuya union es X. Ya hemos probado la existencia de una sucesion (gn) ⊂ Lq tal quegn(X \Xn) = 0 y F (f) =

∫fgn dµ, ∀f ∈ Lp que se anula fuera de Xn. Ademas ‖gn‖q ≤ ‖F‖.

Como tal funcion gn esta unıvocamente determinada en Xn salvo para conjuntos de medidacero, y gn+1 tiene la misma propiedad, podemos suponer gn = gn+1 en Xn.

Para x ∈ Xn, definimos g(x) = gn(x). Ası g es una funcion medible bien definida y |gn| crecepuntualmente hacia |g|. Por el teorema de la convergencia monotona,∫

|g|q dµ = lım∫|gn|q dµ ≤ ‖F‖q

y g ∈ Lq.Si f ∈ Lp, definimos fn = f en Xn y fn = 0 fuera de Xn. Entonces fn → f puntualmente yen Lp. Como |fg| es integrable y |fng| ≤ |fg|, por el teorema de la convergencia dominadade Lebesgue, ∫

fg dµ = lım∫fng dµ = lım

∫fngn dµ = lımF (fn) = F (f).

Si p = 1, es necesaria la hipotesis σ-finita pero no lo es en los demas casos.

Teorema 3.5.9. Sea F un funcional lineal acotado en Lp(µ) (1 < p <∞). Entonces existeun unico g ∈ Lq tal que

F (f) =∫fg dµ

y ‖F‖ = ‖g‖q.

Demostracion. Por el teorema anterior, si E es un conjunto medible de medida σ-finita, existeun unico gE ∈ Lq que se anula fuera de E, tal que

F (f) =∫fgE dµ, ∀f ∈ Lp que se anula fuera de E.

Por la unicidad de gE , si A ⊂ E, entonces gA = gE c.s. en A.

Para cada E de medida σ-finita, sea λ(E) =∫|gE |q dµ. Entonces, si A ⊂ E, λ(A) ≤ λ(E) ≤

‖F‖q.


Sea (En) una sucesion de conjuntos de medida σ-finita tal que λ(En) tiende al valor maximom de λ. Entonces H = ∪En es un conjunto de medida σ-finita y λ(H) = m.

Si g = gH en H y g = 0 en el resto, entonces g ∈ Lq y, si H ⊂ E y E es un conjunto demedida σ-finita, entonces gE = gH c.s. en H.

Como ∫|gE |q = λ(E) ≤ λ(H) =

∫|gH |q,

entonces gE = 0 c.s. en E \H. Por tanto, gE = g c.s. en E.

Si f ∈ Lp, el conjunto N = x : f(x) 6= 0 tiene medida σ-finita y tambien E = N ∪ H.Entonces

F (f) =∫fgE dµ =

∫fg dµ.

Del teorema anterior se deduce que ‖F‖ = ‖g‖q.

3.5.2. Espacio dual

En espacios vectoriales de dimension finita es conocido el hecho de que si e1, . . . , en esuna base de X, entonces el espacio X∗, llamado dual algebraico de X, definido por X∗ =f : X → R : f lineal, tiene dimension n y el conjunto f1, . . . , fn, donde fi(ek) = δik, esuna base de X∗. Un resultado analogo puede demostrarse en dimension infinita, utilizando elconcepto de base de Schauder.

Este hecho es el punto de partida para definir el concepto de espacio dual en espacios normadosarbitrarios.

Definicion. Sea X un espacio normado; llamamos espacio dual de X a

X ′ = f : X → R : f es lineal y acotado.

Si dimX <∞, este concepto coincide con el de dual algebraico.

Proposicion 3.5.10. El espacio X ′ con la norma ‖f‖ = supx 6=0|f(x)|‖x‖ es de Banach.

Demostracion. Debemos ver que toda sucesion de Cauchy enX ′ converge en el mismo espacio.

Consideramos para ello una sucesion fnn∈N de Cauchy enX ′, es decir, tal que ‖fn−fm‖ < ε,si n,m > N(ε). Entonces

∀x ∈ X, ‖fn(x)− fm(x)‖ ≤ ‖fn − fm‖ · ‖x‖ < ε‖x‖.

Esto implica que fn(x)n∈N es de Cauchy en R, de donde ∃y ∈ R : fn(x) → y, porque R escompleto.

Definimos f : X → R como f(x) = y. Entonces

f es lineal (evidente).

f es acotado: Si n > N ,

‖fn(x)− f(x)‖ = ‖fn(x)− lım fm(x)‖ = lımm‖fn(x)− fm(x)‖ ≤ ε · ‖x‖.


Entonces fn−f es acotado para n > N . Como fn tambien es acotado, f = fn−(fn−f)es acotado.

fn → f : Como ‖fn(x)− f(x)‖ ≤ ε · ‖x‖, entonces ‖fn − f‖ ≤ ε.

Es a menudo conveniente estudiar el espacio dual de un espacio normado para obtenerpropiedades del mismo espacio, por lo que estudiaremos su estructura en algunos ejemplosclasicos.

Ejemplos.

1. El dual de Rn con la norma euclıdea es Rn (en realidad es un espacio isometrico a Rn).

Como dim Rn = n, todo f lineal es acotado.

Si x =∑n

i=1 αiei, f(x) =∑n

i=1 αif(ei). Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz,

|f(x)| ≤n∑i=1

|αif(ei)| ≤

(n∑i=1

|αi|2)1/2( n∑

i=1

|f(ei)|2)1/2

= ‖x‖ ·

(n∑i=1

|f(ei)|2)1/2

,

de donde ‖f‖ ≤(∑n

i=1 |f(ei)|2)1/2

.

Tomando en particular x = (f(e1), . . . , f(en)), se obtiene la igualdad. Ası, ‖f‖ =(∑ni=1 |f(ei)|2

)1/2 coincide con la norma euclıdea y la aplicacion definida por f 7→(f(e1), . . . , f(en)) es un isomorfismo isometrico de (Rn)′ en Rn.

2. El dual de `1 es `∞.

∀x ∈ `1, podemos escribir x =∑∞

k=1 αkek, donde ek = (δkj)∞j=1 forma una base de

Schauder de `1, porque x−∑n

k=1 αkek = (0, (n). . ., 0, αn+1, . . . ) y∥∥∥∥∥x−n∑k=1

αkek

∥∥∥∥∥ =

∥∥∥∥∥∞∑

k=n+1

αkek

∥∥∥∥∥→ 0

por ser el resto de una serie convergente.

Definimos la aplicacion Tf = (f(ek))k∈N, ∀f ∈ (`1)′. Como f(x) =∑k∈N

αkf(ek), en-

tonces |f(ek)| ≤ ‖f‖ · ‖ek‖ = ‖f‖, pues ‖ek‖ = 1. En consecuencia, supk |f(ek)| ≤ ‖f‖de donde (f(ek))k∈N ∈ `∞.

? T es sobre: ∀b = (βk)k∈N ∈ `∞, definimos g : `1 → E como g(x) =∑

k∈N αkβk six = (αk)k∈N ∈ `1.El funcional g es lineal y acotado, pues

|g(x)| ≤∑k∈N

|αkβk| ≤ supk|βk| ·

∑k∈N

|αk| = ‖x‖1 · supk|βk| =⇒ g ∈ (`1)′.

Ademas, como g(ek) =∑

j∈N δkjβj = βk, Tg = (g(ek))k∈N = (βk)k∈N = b.


? T es inyectiva: Si Tf1 = Tf2, entonces f1(ek) = f2(ek), ∀k. Como f1(x) =∑

k∈N xkf1(ek)y f2(x) =

∑k∈N xkf2(ek), entonces f1 = f2.

? T es isometrıa:Por una parte, ‖Tf‖∞ = supk |f(ek)| ≤ ‖f‖ y de

|f(x)| = |∑k∈N

αkf(ek)| ≤ supk|f(ek)| ·

∑k∈N

|αk| = ‖x‖ · supk|f(ek)|

(para probar la desigualdad se toman sumas parciales y, debido a la convergencia dela serie, calcular el lımite), tenemos que ‖f‖ ≤ supk |f(ek)| = ‖Tf‖.

Ası los espacios (`1)′ y `∞ son isometricos.

3. El dual de `p es `q si 1p + 1

q = 1, (1 < p <∞).

Una base de Schauder de `p es ek = (δkj)∞j=1.

∀x ∈ `p, x =∑

k∈N αkek. Si f ∈ (`p)′, f(x) =∑

k∈N αkf(ek). Definimos como antesTf = (f(ek))k∈N.

Para probar que la imagen de T esta en `q, definimos para cada n, la sucesion x(n) =

(ξ(n)k )∞k=1 con ξ(n)

k =

|f(ek)|qf(ek) si k ≤ n y f(ek) 6= 0,

0 si k > n o f(ek) = 0.

Entonces f(x(n)) =∑

k∈N ξ(n)k f(ek) =

∑nk=1 |f(ek)|q.

Como ademas,

f(x(n)) ≤ ‖f‖ · ‖x(n)‖p = ‖f‖

(n∑k=1

|ξ(n)k |p

)1/p

= ‖f‖

(n∑k=1

|f(ek)|pq−p)1/p

= ‖f‖

(n∑k=1

|f(ek)|q)1/p

,

resulta que(

n∑k=1

|f(ek)|q)1− 1

p

=(

n∑k=1

|f(ek)|q)1/q

≤ ‖f‖.

Haciendo n→∞,

( ∞∑k=1

|f(ek)|q)1/q

≤ ‖f‖ de donde (f(ek))k∈N ∈ `q.

T es sobre: Dado b = (βk)k∈N ∈ `q, podemos asociarle un funcional lineal y acotado gen `p, mediante g(x) =

∑∞k=1 αkβk con x = (αk)k∈N ∈ `p (la acotacion se deduce de la

desigualdad de Holder). Entonces g ∈ (`p)′.

Se ve facilmente que T es tambien inyectiva.

Por ultimo veamos que la norma de f es la norma en `q de Tf :

|f(x)| =

∣∣∣∣∣∑k∈N

αkf(ek)

∣∣∣∣∣ ≤(∑k∈N

|αk|p)1/p(∑

k∈N

|f(ek)|q)1/q

= ‖x‖

(∑k∈N

|f(ek)|q)1/q

.


Tomando el supremo sobre los x de norma 1, sale que ‖f‖ ≤(∑

k∈N |f(ek)|q)1/q

.

Como la otra desigualdad tambien es cierta, se deduce la igualdad ‖f‖ =(∑

k∈N |f(ek)|q)1/q

,con lo que se establece el isomorfismo f 7→ (f(ek))k∈N deseado.

4. El dual de c0 = a = (an)n∈N : an ∈ C, an → 0 es `1.

Definimos F : `1 → (c0)′ por Ff = f , donde f(x) =∑n≥1

fnxn, ∀x ∈ c0.

• Eligiendo x = (x1, . . . , xN , 0, . . . ),

|f(x)| ≤N∑n=1

|fnxn| ≤ max |xn| ·N∑n=1

|fn|.

Haciendo N →∞, |f(x)| ≤ ‖x‖∞ · ‖f‖1 =⇒ ‖f‖ ≤ ‖f‖1 =⇒ ‖F‖ ≤ 1.

• F es isometrıa: Dado f ∈ (c0)′, llamamos fn = f(en).Ası, si x = (x1 . . . , xN , 0, . . . ), f(x) =

∑Nn=1 fnxn. Como fn = eiϕn · |fn|, definimos

g(N) = (g(N)n )n∈N, donde g(N)

n =

e−iϕn si 0 < n ≤ N

0 si n > N.Entonces:

|f(g(N))| =N∑n=1

|fn| ≤ ‖f‖ · ‖g(N)‖∞ = ‖f‖ <∞.

Esto implica que f = (fn)n∈N ∈ `1 y ‖f‖1 ≤ ‖f‖ =⇒ ‖F‖ = 1.

• F es sobre: Dado f ∈ (c0)′, ∀x ∈ c0, escribimos x =∑

n∈N xnen con lo que f(x) =∑n∈N xnf(en). Basta probar que (f(en))n∈N ∈ `1, es decir

∑n∈N |f(en)| < ∞. Para

ello tomamos: x(N) =∑N

n=1f(en)

|f(en)|· en ∈ c0, de donde

N∑n=1

|f(en)| =N∑n=1

f(en)

|f(en)|· f(en) = f(x(N)) ≤ ‖f‖.

Si hacemos N →∞,∑∞

n=1 |f(en)| <∞.

Observaciones. 1) Otros ejemplos se pueden obtener debido al hecho de que si X0 es sub-espacio denso de X e Y es completo, entonces L(X0, Y ) = L(X,Y ), se deduce en particularque X ′

0 = X ′.

2) Los resultados anteriores prueban tambien que los espacios `p (p ≥ 1) son completos. Bastaobservar que `p es isomorfo a (`q)′ y, por la proposicion 3.5.10, el dual de un espacio normadoes completo.

3) El teorema de representacion de Riesz demuestra que el dual de Lp (con 1 < p < ∞)es isometricamente isomorfo a Lq (si 1/p + 1/q = 1). Una demostracion similar prueba que(L1)′ ∼= L∞. Sin embargo, no es cierto que (L∞)′ sea equivalente a L1.

120 3.6. Ejercicios

3.6. Ejercicios

1. Supongamos que µ(X) = 1 y sean f y g funciones medibles no negativas,con f · g ≥ 1. Probar que

(∫f dµ

)·(∫

g dµ)

≥ 1.

Solucion. Basta aplicar la desigualdad de Jensen a la funcion convexa ϕ(t) = 1/t.Ası pues, ∫

φ(f) ≥ ϕ

(∫f

)=⇒

∫1f≥ 1∫

f.

Como 1/f ≤ g, entonces∫

1/f ≤∫g, de donde

∫f ·∫g ≥ 1.

2. Demostrar que, si 0 < r < p < s < ∞, entonces Lr ∩ Ls ⊂ Lp ⊂ Lr + Ls.

Solucion. Sea A = x : |f | ≤ 1. Si f ∈ Lr ∩ Ls,∫|f |p =

∫A|f |p +

∫Ac

|f |p ≤∫A|f |r +

∫Ac

|f |s ≤∫|f |r +

∫|f |s <∞.

Por otra parte, si f ∈ Lp,

f = f · χA + f · χAc con f · χA ∈ Ls, f · χAc ∈ Lr.

3. Supongamos que 0 < r < s < ∞ y f ∈ Lr ∩ Ls. Probar:

a) f ∈ Lp para todo p ∈ [r, s].

b) La funcion φ(p) = ln∫

|f |p es convexa en [r, s].

c) ‖f‖p ≤ max‖f‖r, ‖f‖s.

Solucion. El apartado a) esta resuelto en el ejercicio anterior.

Para que φ sea convexa, debemos probar que, si t ∈ [0, 1] y r ≤ a < b ≤ s, entonces

eφ[ta+(1−t)b] ≤ etφ(a)+(1−t)φ(b),

es decir ∫|f |c ≤

(∫|f |a

)t(∫|f |b)1−t

,

donde c = ta+ (1− t)b.

Si llamamos p = 1/t y q = 1/(1− t), entonces1p

+1q

= 1. Como ademas g = |f |a/p ∈ Lp

y h = |f |b/q ∈ Lq, por el teorema de Holder,∫|f |c =

∫g · h ≤

(∫|g|p)1/p

·(∫

|h|q)1/q

=(∫

|f |a)t·(∫

|f |b)1−t

.

Por ultimo,

‖f‖cc ≤ ‖f‖ata · ‖f‖b(1−t)b =⇒ ‖f‖c ≤ ‖f‖at/ca · ‖f‖b(1−t)/cb ≤ max‖f‖a, ‖f‖b.


4. Demostrar que, si f, g ∈ Lp, con 0 < p < 1, entonces

‖f + g‖p ≤ 21p

−1(‖f‖p + ‖g‖p).

Solucion. Teniendo en cuenta la desigualdad (a + b)k < ak + bk cuando a, b > 0 y0 < k < 1 (lo que equivale a la desigualdad (1 + x)k < 1 + xk la cual se prueba pormetodos de calculo diferencial), resulta:

‖f + g‖pp2

=∫|f + g|p

2≤∫

(|f |p + |g|p)2

=∫

(|f |p +∫|g|p)

2.

Ahora, por la concavidad de la funcion y = xp, resulta:

‖f + g‖pp2

≤

((∫|f |p)1/p + (

∫|g|p)1/p

2

)p.

5. Demostrar que, si µ(Ω) < ∞ y 0 < r < s < ∞, entonces Ls ⊂ Lr y quepara f ∈ Ls,

‖f‖r ≤ ‖f‖s · µ(Ω)1r

−1s .

Solucion. Si f ∈ Ls, llamamos p = s/r > 1 y q el conjugado de p. Por hipotesis,∫|f |pr <∞. Por la desigualdad de Holder,

∫|f |r · 1 ≤

(∫|f |pr

)1/p

·(∫

1q)1/q

= ‖f‖rs · (µ(Ω))1/q.

6. Sea f ∈ L1[a, b]. Probar que

lımh→0+

1

h

∫ h

0|f(x + t) + f(x − t) − 2f(x)| dt = 0 c.s.

[El conjunto de los puntos x ∈ (a, b) para los cuales se cumple lo anteriorse llama conjunto de Lebesgue de f .]

Solucion. Si r ∈ Q, definimos

Er = x ∈ [a, b] : lımh→0+

1h

∫ h

0|f(x+ t)− r| dt 6= |f(x)− r|

o lımh→0+

1h

∫ h

0|f(x− t)− r| dt 6= |f(x)− r|.

Veamos que m(Er) = 0:

1h

∫ h

0|f(x+ t)− r| dt =

1h

∫ x+h

x|f(u)− r| du = (∗)

122 3.6. Ejercicios

Si G(x) =∫ x0 |f(u)− r| du, entonces G′(x) = |f(x)− r| c.s. Ademas

(∗) =G(x+ h)−G(x)

h.

Tomando lımites, lımh→0+1h

∫ h0 |f(x+ t)− r| dt = G′(x) = |f(x)− r| c.s.

Si x 6∈ E, dado ε > 0, existe r ∈ Q tal que |f(x)− r| < ε/4. Ademas

lımh→0+

1h

∫ h

0|f(x+ t)− r| dt = |f(x)− r| y lım

h→0+

1h

∫ h

0|f(x− t)− r| dt = |f(x)− r|.

Por tanto,

0 ≤ lımh→0+

1h

∫ h

0|f(x+ t) + f(x− t)− 2f(x)| dt

≤ lımh→0+

[1h

∫ h

0|f(x+ t)− f(x)| dt+

1h

∫ h

0|f(x− t)− f(x)| dt

]≤ lım

h→0+

[1h

∫ h

0|f(x+ t)− r| dt+

1h

∫ h

0|r − f(x− t)| dt

+1h

∫ h

0|f(x− t)− r| dt+

1h

∫ h

0|r − f(x)| dt

]= |f(x)− r|+ |f(x)− r|+ |f(x)− r|+ |f(x)− r| < ε.

7. (Derivada de Gateaux) Sean f, g ∈ Lp(µ), con 1 < p < ∞. Probar que lafuncion

N(t) =∫

X|f + tg|p, t ∈ R,

es derivable y su derivada en t = 0 es

dN

dt(0) =

p

2

∫X

|f |p−2[f · g + f · g].

Solucion. En primer lugar, se prueba que

lımt→0

|f + tg|p − |f |p

t= |f |p−2(f · g + f · g)

(basta considerar la funcion h(t) = |f + tg|p y calcular su derivada en el origen).

Por otra parte, como la funcion h(t) = |f + tg|p es convexa, tenemos que

h(t · 1 + (1− t) · 0) ≤ t · h(1) + (1− t) · h(0) = t · |f + g|p + (1− t) · |f |p,

de donde1t[|f + tg|p−|f |p] ≤ |f + g|p−|f |p. Analogamente se prueba que

1t[|f + tg|p−

|f |p] ≥ |f |p − |f − g|p.Como

dN

dt(0) = lım

t→0

N(t)−N(0)t

= lımt→0

∫|f + tg|p − |f |p

t,

las desigualdades obtenidas permiten aplicar el teorema de la convergencia dominadapara deducir el resultado deseado.

Capıtulo 4

Construccion de medidas abstractas

Es frecuente que una medida este definida unicamente en una clase reducida de conjuntos(por ejemplo, si F : R → R es una funcion creciente y continua por la derecha, la funcionµ(a, b] = F (b) − F (a) es una medida sobre la clase de los intervalos semiabiertos por laizquierda). En este capıtulo estudiaremos la forma de extender estas medidas a la σ-algebragenerada por la clase inicial de conjuntos. El metodo utilizado generaliza el de construccion dela medida de Lebesgue a partir de una medida exterior definida sobre los conjuntos abiertos.

Por ultimo aplicaremos este procedimiento en la construccion de medidas producto.

4.1. Medida exterior

Definicion. Dado un conjunto X, una aplicacion µ∗ : P (X) → [0,∞] es una medidaexterior si verifica

i) µ∗(∅) = 0.

ii) Monotonıa: A ⊂ B =⇒ µ∗(A) ≤ µ∗(B).

iii) Subaditividad numerable: E ⊂∞⋃i=1

Ei =⇒ µ∗(E) ≤∞∑i=1

µ∗(Ei).

De ii) y iii) se deduce que µ∗(∞⋃i=1

Ei) ≤∞∑i=1

µ∗(Ei) si (Ei) es una familia de conjuntos disjuntos.

Decimos que µ∗ es finita si µ∗(X) <∞.

Ejemplos. 1) La funcion µ∗(∅) = 0, µ∗(A) = 1, en cualquier otro caso, define una medidaexterior en P (X).

2) Si X es un conjunto infinito, la funcion µ∗(A) = 0 si A es numerable, y µ∗(A) = 1 si A noes numerable, tambien es una medida exterior en P (X).

En la seccion 4.2 veremos un metodo general de construccion de medidas exteriores.

123

124 4.1. Medida exterior

Definicion. Un conjunto E ⊂ X es medible (segun Caratheodory) con respecto a µ∗ (oµ+-medible) si

µ∗(A) = µ∗(A ∩ E) + µ∗(A ∩ Ec), ∀A ⊂ X,

lo cual equivale simplemente a

µ∗(A) ≥ µ∗(A ∩ E) + µ∗(A ∩ Ec), ∀A ⊂ X,

ya que la desigualdad contraria es consecuencia de la definicion de medida exterior.

De la definicion se deduce inmediatamente que conjuntos de medida exterior cero son µ∗-medibles.

Teorema 4.1.1. La clase B de conjuntos µ∗-medibles es una σ-algebra. Si µ = µ∗|B, entoncesµ es una medida completa en B.

Demostracion. Es evidente que ∅ ∈ B y que E ∈ B =⇒ Ec ∈ B.

Sean E1, E2 ∈ B. Por un lado,

∀A ⊂ X, µ∗(A) = µ∗(A ∩ E2) + µ∗(A ∩ Ec2)

y, por otro,µ∗(A) = µ∗(A ∩ E2) + µ∗(A ∩ Ec2 ∩ E1) + µ∗(A ∩ Ec2 ∩ Ec1).

Ahora bien, como A ∩ (E1 ∪ E2) = (A ∩ E2) ∪ (A ∩ E1 ∩ Ec2),

µ∗(A ∩ (E1 ∪ E2)) ≤ µ∗(A ∩ E2) + µ∗(A ∩ Ec2 ∩ E1),

de dondeµ∗(A) ≥ µ∗(A ∩ (E1 ∪ E2)) + µ∗(A ∩ (E1 ∪ E2)c).

Esto indica que E1 ∪ E2 ∈ B.

Por recurrencia se prueba que la union finita de conjuntos µ∗-medibles es µ∗-medible.

Por ultimo, sea E =⋃∞i=1Ei, (Ei)i∈N ⊂ B disjuntos. Si llamamos Gn =

⋃ni=1Ei, entonces

Gn ∈ B y ∀A ⊂ X,

µ∗(A) = µ∗(A ∩Gn) + µ∗(A ∩Gcn) ≥ µ∗(A ∩Gn) + µ∗(A ∩ Ec).

Como Gn ∩ En = En y Gn ∩ Ecn = Gn−1, tenemos que

µ∗(A ∩Gn) = µ∗(A ∩ En) + µ∗(A ∩Gn−1).

Procediendo de forma recurrente,

µ∗(A ∩Gn) =n∑i=1

µ∗(A ∩ Ei),

con lo que

µ∗(A) ≥ µ∗(A ∩ Ec) +n∑i=1

µ∗(A ∩ Ei), ∀n,

Capıtulo 4. Construccion de medidas abstractas 125

de donde

µ∗(A) ≥ µ∗(A ∩ Ec) +∞∑i=1

µ∗(A ∩ Ei) ≥ µ∗(A ∩ Ec) + µ∗(A ∩ E)

pues A ∩ E ⊂∞⋃i=1

(A ∩ Ei).

Veamos a continuacion la aditividad finita de µ.

Sean E1, E2 ∈ B disjuntos. Entonces

µ(E1 ∪ E2) = µ∗(E1 ∪ E2) = µ∗((E1 ∪ E2) ∩ E2) + µ∗((E1 ∪ E2) ∩ Ec2)= µ∗(E2) + µ∗(E1) = µ(E2) + µ(E1).

El caso finito se prueba por recurrencia.

Si E =∞⋃i=1

Ei, con (Ei)i∈N ⊂ B disjuntos, entonces

µ(E) ≥ µ(n⋃i=1

Ei) =n∑i=1

µ(Ei),

de donde µ(E) ≥∞∑i=1

µ(Ei).

Pero, por la subaditividad numerable de µ∗, µ(E) ≤∞∑i=1

µ(Ei). Ası, µ es una medida pues

es no negativa y µ(∅) = 0.

Para ver que µ es completa, B debe contener todos los subconjuntos de conjuntos de medidanula.

Sea pues E ∈ B, con µ∗(E) = 0 y F ⊂ E. Entonces, ∀A ⊂ X,

µ∗(A ∩ F ) + µ∗(A ∩ F c) ≤ µ∗(A ∩ E) + µ∗(A ∩ F c) ≤ µ∗(E) + µ∗(A) = µ∗(A)

con lo que F ∈ B.

4.2. Teorema de extension de Caratheodory

En la seccion anterior hemos visto como caracterizar conjuntos medibles a partir de unamedida exterior. Sin embargo, la medida exterior se define a su vez mediante una idea masprimitiva de medida en una clase mas amplia de funciones. Esto es lo que desarrollaremos enesta seccion partiendo de medidas sobre un algebra de conjuntos.

Definicion. Dada un algebra de conjuntos A, una funcion µ : A → [0,∞] es una medidasobre el algebra A si

i) µ(∅) = 0.

ii) µ(⋃∞i=1Ai) =

∑∞i=1 µ(Ai), si (Ai)i∈N ⊂ A es una sucesion disjunta tal que

⋃i∈N Ai ∈ A.

126 4.2. Teorema de extension de Caratheodory

Ası pues, una medida sobre un algebra es medida si y solo si A es σ-algebra.

Veremos en esta seccion que toda medida µ sobre un algebra A puede extenderse a unamedida definida en una σ-algebra B con A ⊂ B. El procedimiento sera construir una medidaexterior µ∗ y ver que la medida inducida µ (segun el teorema 4.1.1) es la extension deseada.

La construccion sera analoga a la construccion de la medida exterior de Lebesgue a partir delas longitudes de intervalos. Definimos

µ∗(E) = ınf∞∑i=1

µ(Ai)

donde (Ai)i∈N ⊂ A es una sucesion tal que E ⊂⋃∞i=1Ai.

Lema 4.2.1. Sea µ una medida sobre el algebra A. Si A ∈ A y (Ai)i∈N ⊂ A es una sucesion

tal que A ⊂⋃∞i=1Ai, entonces µ(A) ≤

∞∑i=1

µ(Ai).

Demostracion. Llamamos Bn = A∩An∩Ac1∩· · ·∩Acn−1. Ası Bn ∈ A, son disjuntos, Bn ⊂ Any A =

⋃∞n=1Bn. Por la aditividad numerable de µ,

µ(A) =∞∑n=1

µ(Bn) ≤∞∑n=1

µ(An).

Corolario 4.2.2. Si A ∈ A, µ∗(A) = µ(A).

Demostracion. Por definicion, µ ∗ (A) ≤ µ(A). Por el lema anterior, como µ(A) ≤∞∑i=1

µ(Ai),

con A ⊂⋃∞i=1Ai, entonces µ(A) ≤ µ∗(A).

Lema 4.2.3. µ∗ es una medida exterior.

Demostracion. Por la propia definicion, µ∗ es monotona y µ∗(∅) = 0.

Sea E ⊂⋃∞i=1Ei. Si µ∗(Ei) = ∞ para algun i, µ∗(E) ≤

∑µ∗(Ei) = ∞.

Si µ∗(Ei) < ∞ para todo i, dado ε > 0, existe (Aij)∞j=1 ⊂ A tal que Ei ⊂⋃∞j=1Aij y∑∞

j=1 µ(Aij) < µ∗(Ei) + ε/2i. Entonces

µ∗(E) ≤∑i,j

µ(Aij) <∞∑i=1

µ∗(Ei) + ε.

Como ε es arbitrario, µ∗(E) ≤∑∞

i=1 µ∗(Ei).

Lema 4.2.4. Si A ∈ A, entonces A es µ∗-medible.


Demostracion. Sea E ⊂ X con µ∗(E) < ∞ y sea ε > 0 arbitrario. Existe una sucesion(Ai)i∈N ⊂ A tal que E ⊂

⋃i∈N Ai y∑

i∈N

µ(Ai) < µ∗(E) + ε.

Por la aditividad de µ en A,

µ(Ai) = µ(Ai ∩A) + µ(Ai ∩Ac),

de donde

µ∗(E) + ε >∞∑i=1

µ(Ai ∩A) +∞∑i=1

µ(Ai ∩Ac) > µ∗(E ∩A) + µ∗(E ∩Ac)

debido a que E ∩A ⊂⋃i∈N(Ai ∩A) y E ∩Ac ⊂

⋃i∈N(Ai ∩Ac).

Como ε es arbitrario, µ∗(E) ≥ µ∗(E ∩A) + µ∗(E ∩Ac), con lo que A es medible.

La medida exterior µ∗ definida antes se llama medida exterior inducida por µ. Dado unalgebra A, denotaremos por Aσ a la clase de conjuntos que son union numerable de conjuntosde A y por Aσδ los conjuntos que son interseccion numerable de conjuntos de Aσ.

Proposicion 4.2.5. Sea µ una medida sobre un algebra A, µ∗ la medida exterior inducidapor µ y E ⊂ X arbitrario. Entonces

∀ε > 0, ∃A ∈ Aσ : E ⊂ A, µ∗(A) ≤ µ∗(E) + ε.

Ademas, existe B ∈ Aσδ tal que E ⊂ B y µ∗(E) = µ∗(B).

Demostracion. Por la definicion de µ∗, existe (Ai)i∈N ⊂ A tal que E ⊂⋃i∈N Ai y

∞∑i=1

µ(Ai) ≤ µ∗(E) + ε.

Si A =⋃i∈N Ai, µ

∗(A) ≤∑

i∈N µ∗(Ai) =

∑i∈N µ(Ai) ≤ µ∗(E) + ε.

Para demostrar la segunda parte, sabemos que, para cada n ∈ N existe An ∈ Aσ tal queE ⊂ An y µ∗(An) < µ∗(E) + 1/n.

Si B =⋂n∈N An, B ∈ Aσδ y E ⊂ B.

Como B ⊂ An, µ∗(B) ≤ µ∗(An) < µ∗(E) + 1/n.

Como n es arbitrario, µ∗(B) ≤ µ∗(E). Pero E ⊂ B, de donde µ∗(E) ≤ µ∗(B).

Si aplicamos esta proposicion a un conjunto µ∗-medible E de medida finita, resulta que Ees diferencia de un conjunto de Aσδ y un conjunto de medida exterior cero. Esto nos da laestructura de los conjuntos µ∗-medibles de medida finita. Veamos a continuacion la extensionde este resultado a medidas σ-finitas.

Proposicion 4.2.6. Sea µ una medida σ-finita sobre un algebra A y µ∗ la medida exteriorinducida por µ. Un conjunto E es µ∗-medible si y solo si E = A\B, con A ∈ Aσδ y µ∗(B) = 0.Ademas, dado B, con µ∗(B) = 0, entonces existe C ∈ Aσδ, con B ⊂ C y µ∗(C) = 0.

128 4.2. Teorema de extension de Caratheodory

Demostracion. Como los conjuntos medibles forman una σ-algebra, todo conjunto A ∈ Aσδes medible; como ademas µ es completo (por el teorema 4.1.1), los conjuntos con µ∗-medidacero son medibles. Con todo ello, si E = A \ B, con A ∈ Aσδ y µ∗(B) = 0, entonces E esµ∗-medible.

Recıprocamente, sea (Xi)i∈N ⊂ A una sucesion de conjuntos disjuntos con µ(Xi) < ∞ yX =

⋃i∈N Xi. Si E es medible y llamamos Ei = E ∩ Xi, entonces E =

⋃i∈N Ei (union

disjunta). Por la proposicion anterior, para cada n ∈ N, existe Ani ∈ Aσ tal que Ei ⊂ Ani y

µ(Ani) ≤ µ(Ei) +1

n · 2i.

Hacemos An =⋃∞i=1Ani , con lo que E ⊂ An y An \ E ⊂

⋃∞i=1(Ani \ Ei). Por tanto,

µ(An \ E) ≤∞∑i=1

µ(Ani \ Ei) ≤∞∑i=1

1n · 2i

=1n.

Como An ∈ Aσ, el conjunto A =⋂∞n=1An ∈ Aσδ y, para cada n, A \ E ⊂ An \ E, de donde

µ(A \ E) ≤ µ(An \ E) ≤ 1/n.

Como es cierto para todo n, µ(A \ E) = 0.

La segunda parte es consecuencia directa de la proposicion anterior.

Teorema 4.2.7 (Caratheodory). Sea µ una medida sobre un algebra A y µ∗ la medidaexterior inducida por µ. Entonces la restriccion µ de µ∗ a los conjuntos µ∗-medibles es unaextension de µ a una σ-algebra que contiene a A. Si µ es finita (o σ-finita), tambien lo esµ. Si µ es σ-finita, µ es la unica medida sobre la mınima σ-algebra que contiene a A queextiende a µ.

Demostracion. Solo queda probar la unicidad de µ cuando µ es σ-finita.

Sea S la mınima σ-algebra que contiene a A y µ alguna medida en S que coincide con µ enA. Como los conjuntos de Aσ son union numerable disjunta de conjuntos de A, µ = µ enAσ.Sea B ∈ S con µ∗(B) <∞. Por la proposicion 4.2.5, existe A ∈ Aσ tal que B ⊂ A y

µ∗(A) ≤ µ∗(B) + ε.

Peroµ(B) ≤ µ(A) = µ∗(A) ≤ µ∗(B) + ε =⇒ µ(B) ≤ µ∗(B).

Como la clase de conjuntos µ∗-medibles es una σ-algebra que contiene a A, los conjuntos B ∈S son µ∗-medibles. Ası pues, si B es µ∗-medible y A ∈ Aσ, con B ⊂ A y µ∗(A) ≤ µ∗(B) + ε,entonces

µ∗(A) = µ∗(B) + µ∗(A \B),

de donde µ∗(A \B) ≤ ε, si µ∗(B) <∞.

Por tanto,µ∗(B) ≤ µ∗(A) = µ(A) = µ(B) + µ(A \B) ≤ µ(B) + ε.


Esto implica que µ∗(B) ≤ µ(B), con lo que µ∗(B) = µ(B).

Si µ es una medida σ-finita, sea (Xi)i∈N ⊂ A una sucesion disjunta tal que X =⋃i∈N Xi y

µ(Xi) < ∞. Si B ∈ S, entonces B =⋃i∈N(B ∩ Xi) (union disjunta), con B ∩ Xi ∈ S, de

modo queµ(B) =

∑i∈N

µ(B ∩Xi) y µ(B) =∑i∈N

µ(B ∩Xi).

Como µ∗(B ∩Xi) <∞, µ(B ∩Xi) = µ(B ∩Xi), de donde µ(B) = µ(B).

Observaciones. El metodo anterior no solo extiende µ a una medida en la mınima σ-algebraB que contiene a A, sino que completa la medida. Si µ es σ-finita, la extension a los conjuntosµ∗-medibles es simplemente la complecion de µ.

Si µ no es σ-finita, la extension de µ a B no tiene que ser unica aunque cualquier otra extensionµ coincide con µ en los conjuntos B ∈ B tales que µ(B) <∞ y siempre sera µ(B) ≤ µ∗(B).

A menudo conviene empezar con una funcion µ0 : C → R, donde C ⊂ P (X) es una semialge-bra, es decir que cumple las propiedades:

i) A,B ∈ C =⇒ A ∩B ∈ C.

ii) A ∈ C =⇒ existen Ai ∈ C disjuntos tales que Ac =⋃ni=1Ai.

Si C es una semialgebra, la familia A que contiene el conjunto vacıo y todas las unionesfinitas disjuntas de conjuntos de C es un algebra, llamada algebra generada por C. Si µ0

esta definido en C, se define µ en A por µ(A) =∑n

i=1 µ0(Ei), si A =⋃ni=1Ei, con Ei ∈ C

disjuntos.

Para que esta medida este bien definida sobre A hacen falta algunas condiciones como lasindicadas a continuacion.

Proposicion 4.2.8. Sea C una semialgebra de conjuntos y µ : C → R, con µ ≥ 0 y µ(∅) = 0(si ∅ ∈ C). Entonces µ tiene una unica extension a una medida sobre el algebra A generadapor C si se cumplen:

i) C ∈ C, C =⋃ni=1Ci, Ci ∈ C disjuntos =⇒ µ(C) =

∑ni=1 µ(Ci).

ii) C ∈ C, C =⋃∞i=1Ci, Ci ∈ C disjuntos =⇒ µ(C) ≤

∑∞i=1 µ(Ci).

Ejemplo (medida exterior de Lebesgue). Dada la familia C = (a, b] : a, b ∈ R, a ≤ b, lafuncion

m∗(A) = ınf

∞∑n=1

(bn − an) : an, bn ∈ R, an ≤ bn, A ⊂∞⋃n=1

(an, bn]

es una medida exterior.

4.3. Medidas producto

Sean (X,A, µ) e (Y,B, ν) dos espacios de medida completos. Si A ⊂ X y B ⊂ Y , el conjuntoA×B se llama rectangulo. Si A ∈ A y B ∈ B, el conjunto A×B es un rectangulo medible.

130 4.3. Medidas producto

La coleccion R de rectangulos medibles es una semialgebra pues

(A×B) ∩ (C ×D) = (A ∩ C)× (B ∩D)

y(A×B)c = (Ac ×B) ∪ (A×Bc) ∪ (Ac ×Bc).

Si A×B es un rectangulo medible, definimos

λ(A×B) = µ(A) · ν(B).

Lema 4.3.1. Sea (Ai×Bi)i∈N una sucesion de rectangulos medibles disjuntos cuya union esun rectangulo medible A×B. Entonces

λ(A×B) =∑i∈N

λ(Ai ×Bi).

Demostracion. Fijado x ∈ A, para cada y ∈ B, el par (x, y) pertenece exactamente a unrectangulo Ai × Bi. Por tanto B es la union disjunta de los Bi para los que x esta en elcorrespondiente Ai. Ası, ∑

i∈N

ν(Bi) · χAi(x) = ν(B) · χA(x)

pues ν es numerablemente aditiva. Por el teorema de Beppo Levi,∑i∈N

∫ν(Bi) · χAi dµ =

∫ν(B) · χA dµ

o bien ∑i∈N

ν(Bi) · µ(Ai) = ν(B) · µ(A).

Este lema implica que λ cumple las condiciones de la proposicion 4.2.8 de modo que tiene unaunica extension a una medida sobre el algebra R′ de las uniones finitas disjuntas de conjuntosde R.

Por el teorema de Caratheodory, λ puede extenderse a una medida completa en una σ-algebraS que contiene a R. Esta medida es la llamada medida producto de µ y ν, que se denotapor µ× ν.

Si µ y ν son finitas (o σ-finitas), tambien lo es µ× ν.

Si X = Y = R y µ = ν es la medida de Lebesgue, µ× ν es la llamada medida de Lebesguebidimensional en el plano.

Veamos a continuacion la estructura de los conjuntos medibles respecto a la medida producto.

Si E ⊂ X × Y y x ∈ X, definimos las secciones

Ex = y ∈ Y : (x, y) ∈ E, Ey = x ∈ X : (x, y) ∈ E.


Todas las propiedades relativas a la seccion Ex son aplicables a la seccion Ey de modo queenunciaremos unicamente las relativas a la primera de ellas.

Es facil ver que (Ec)x = (Ex)c y (⋃Eα)x =

⋃(Eα)x para cualquier familia (Eα). Ademas la

funcion caracterısica de Ex verifica que χEx(y) = χE(x, y).

Lema 4.3.2. Si x ∈ X y E ∈ Rσδ, entonces Ex es un subconjunto medible de Y .

Demostracion. El resultado es trivial si E ∈ R pues, si E = A × B, con A,B medibles,entonces Ex = B, que es medible. Veamos que tambien es cierto si E ∈ Rσ.

Sea E =⋃∞i=1Ei, con Ei ∈ R. Entonces

χEx(y) = χE(x, y) = supχEi(x, y) = supχ(Ei)x(y).

Como Ei es un rectangulo medible, χ(Ei)x(y) es una funcion medible de y. Por tanto, χEx

tambien es medible, con lo que Ex es medible.

Sea, por ultimo, E =⋂∞i=1Ei, con Ei ∈ Rσ. Entonces

χEx(y) = χE(x, y) = ınf χEi(x, y) = ınf χ(Ei)x(y),

de lo que deducimos que χEx es medible y Ex sera medible para todo E ∈ Rσδ.

Lema 4.3.3. Sea E ∈ Rσδ, con µ× ν(E) < ∞. Entonces la funcion g, definida por g(x) =ν(Ex), es una funcion µ-medible y ∫

g dµ = µ× ν(E).

Demostracion. El resultado es trivial si E ∈ R pues g(x) =

ν(B) si x ∈ A,0 en el resto.

Sea E =⋃i∈N Ei, con Ei ∈ R disjuntos. Definimos

gi(x) = ν[(Ei)x].

Ası, cada gi es una funcion medible no negativa y, si g =∑

i∈N gi, g es medible. Por el teoremade Beppo Levi, ∫

g dµ =∑i∈N

∫gi dµ =

∑i∈N

µ× ν(Ei) = µ× ν(E).

Por ultimo, sea E ∈ Rσδ un conjunto de medida finita. Entonces existe una familia (Ei)i∈N ⊂Rσ tal que Ei+1 ⊂ Ei y E =

⋂i∈N Ei.

Por la proposicion 4.2.5, podemos hacer µ × ν(E1) < ∞. Si definimos gi(x) = ν[(Ei)x],entonces lım gi(x) es una funcion medible. Como∫

g1 dµ = µ× ν(E1) <∞,

entonces g1(x) <∞ c.s.

132 4.3. Medidas producto

Para cada x con g1(x) <∞, (Ei)xi∈N es una sucesion decreciente de conjuntos medibles demedida finita cuya interseccion es Ex. Por la proposicion 2.1.3, tenemos

g(x) = ν(Ex) = lım ν[(Ei)x] = lım gi(x).

Por tanto, gi → g c.s., con lo que g es medible.

Como 0 ≤ gi ≤ g1, el teorema de la convergencia dominada de Lebesgue implica que∫g dµ = lım

∫gi dµ = lımµ× ν(Ei) = µ× ν(E),

nuevamente por la proposicion 2.1.3.

Lema 4.3.4. Sea E un conjunto tal que µ× ν(E) = 0. Para casi todo x, ν(Ex) = 0.

Demostracion. Por la proposicion 4.2.5, existe F ∈ Rσδ tal que E ⊂ F y µ× ν(F ) = 0. Dellema anterior deducimos que ν(Fx) = 0 c.s. Pero Ex ⊂ Fx con lo que ν(Ex) = 0 c.s. ya queν es completa.

Proposicion 4.3.5. Sea E un conjunto medible en X × Y tal que µ× ν(E) <∞. EntoncesEx es un conjunto medible en Y para casi todo x. La funcion g(x) = ν(Ex) es una funcionmedible definida en casi todo x y ∫

g dµ = µ× ν(E).

Demostracion. Por la proposicion 4.2.5, existe F ∈ Rσδ tal que E ⊂ F y µ×ν(F ) = µ×ν(E).Sea G = F \ E, el cual es medible y

µ× ν(F ) = µ× ν(E) + µ× ν(G) =⇒ µ× ν(G) = 0.

Por el lema anterior, ν(Gx) = 0 c.s. de donde

g(x) = ν(Ex) = ν(Fx) c.s.

y ası g es tambien una funcion medible por el lema 4.3.3.

Tambien por el lema 4.3.3, ∫g dµ = µ× ν(F ) = µ× ν(E).

Los dos siguientes resultados dan condiciones para calcular de forma explıcita integrales conrespecto a medidas producto mediante un proceso iterativo.

Teorema 4.3.6 (Fubini). Sean (X,A, µ) e (Y,B, ν) dos espacios de medida completos y funa funcion integrable en X × Y . Entonces

i) fx(y) = f(x, y) es una funcion integrable en Y para casi todo x y fy(x) = f(x, y) es unafuncion integrable en X para casi todo y.


ii)∫Yf(x, y) dν(y) es una funcion integrable en X y

∫Xf(x, y) dµ(x) es una funcion inte-

grable en Y .

iii)∫X

[∫Yf dν

]dµ =

∫X×Y

f d(µ× ν) =∫Y

[∫Xf dµ

]dν.

Demostracion. Basta probar el caso en que f ≥ 0 (pues f = f+ − f−, con f+, f− ≥ 0).

Por la proposicion anterior, el teorema es cierto si f es la funcion caracterıstica de un conjuntomedible de medida finita. Por tanto tambien es cierto si f es una funcion simple que se anulafuera de un conjunto de medida finita. Por la proposicion 2.2.3, toda funcion integrable nonegativa es lımite de una sucesion (ϕn)n∈N creciente de funciones simples no negativas. Comocada ϕn es simple e integrable, se anula fuera de un conjunto de medida finita. Entonces fxes lımite de la sucesion creciente (ϕn)xn∈N y es medible. Por el teorema de la convergenciamonotona, ∫

Yf(x, y) dν(y) = lım

∫Yϕn(x, y) dν(y)

con lo que esta integral es una funcion medible en X.

Nuevamente por el teorema de la convergencia monotona,∫X

[∫Yf dν

]dµ = lım

∫X

[∫Yϕn dν

]dµ = lım

∫X×Y

ϕn d(µ× ν) =∫X×Y

f d(µ× ν).

Observemos que, para aplicar el teorema de Fubini, hay que verificar primero que f es inte-grable respecto a µ× ν, lo cual no siempre es facil.

Ejemplo. Sean X = Y = [0, 1], A = B los borelianos en [0, 1], µ la medida de Lebesgue y νla medida de contar. Si llamamos E = (x, y) ∈ X × Y : x = y y consideramos la funcion

f = χE , entonces∫ 1

0fx dν = 1 y

∫ 1

0fy dµ = 0. Por tanto,

∫ 1

0

[∫ 1

0fx dν

]dµ = 1 pero

∫ 1

0

[∫ 1

0fy dµ

]dν = 0.

En el caso de que µ y ν sean σ-finitas, la integrabilidad de f se puede determinar porintegracion iterada usando el siguiente resultado.

Teorema 4.3.7 (Tonelli). Sean (X,A, µ) e (Y,B, ν) dos espacios de medida σ-finitos y funa funcion medible no negativa en X × Y . Entonces

i) fx(y) = f(x, y) es una funcion medible en Y para casi todo x y fy(x) = f(x, y) es unafuncion medible en X para casi todo y.

ii)∫Yf(x, y) dν(y) es una funcion medible en X y

∫Xf(x, y) dµ(x) es una funcion medible

en Y .

134 4.4. Ejercicios

iii)∫X

[∫Yf dν

]dµ =

∫X×Y

f d(µ× ν) =∫Y

[∫Xf dµ

]dν.

Demostracion. Si µ y ν son σ-finitas, tambien lo es µ×ν y toda funcion medible no negativaen X×Y puede aproximarse segun la proposicion 2.2.3 por una sucesion de funciones simples.Ası pues, la demostracion del teorema anterior sigue valiendo aquı.

Corolario 4.3.8. Dadas f ∈ L1(X) y g ∈ L1(Y ), la funcion h(x, y) = f(x)·g(y) es integrableen X × Y y ∫

X×Yh d(µ× ν) =

(∫Xf dµ

)·(∫

Yg dν

).

Corolario 4.3.9. Sea (X,Ω, µ) un espacio de medida σ-finita y f : X → R una funcionmedible no negativa. Si E = (x, y) ∈ X×R : 0 ≤ y < f(x) y F (y) = µ(x ∈ X : y < f(x)),entonces E ∈ Ω× B(R), F es medible y

µ×m(E) =∫f dµ =

∫ ∞

0F dm

(donde denotamos por m a la medida de Lebesgue en R).

Demostracion. Si consideramos las funciones medibles F (x, y) = f(x) y Π(x) = y, entoncesE = (x, y) ∈ X × R : 0 ≤ Π < F ∈ Ω× B(R).

Como Ey = ∅ si y < 0, por el teorema de Tonelli,∫f(x) dµ =

∫m[0, f(x)] dµ =

∫m(Ex) dµ = µ×m(E) =

∫µ(Ey) dm =

∫ ∞

0F dm.

En particular, si µ es la medida de Lebesgue en R, m×m(E) =∫f dm, es decir, la integral

de f es el “area bajo la grafica de f”.

4.4. Ejercicios

1. Sean C la familia de intervalos del tipo (−∞, x), −∞ < x < ∞, y µ : C → R+

la funcion definida por

µ(−∞, x) =1

√2π

∫ x

−∞e−t2/2 dt.

Obtener una medida que extienda a µ sobre la σ-algebra de Borel en R.

Solucion. Sea A el algebra generada por C y µ : A → R+ la funcion definida por

µ(A) =1√2π

∫RχA(t) · e−t2/2 dt, ∀A ∈ A.

Es claro que µ es aditiva. Como ademas R =⋃n∈N(−∞, n) y µ(−∞, n) =

1√2π

∫ n

−∞e−t

2/2 dt,

entonces µ es σ-finita.


Por el teorema de extension de Caratheodory, µ puede extenderse a la σ-algebra deBorel en R.

2. a) Probar que la funcion f(x) = sen xx

no es integrable Lebesgue en (0, ∞)

b) Probar que lımb→∞∫ b0

sen xx

dx = π2.

Solucion. a) Basta observar que∫ ∞

0

∣∣∣senxx

∣∣∣ dx =∞∑n=0

∫ (n+1)π

nπ

∣∣∣senxx

∣∣∣ dx ≥ ∞∑n=0

1(n+ 1)π

∫ (n+1)π

nπ| senx| dx

=∞∑n=0

2(n+ 1)π

= ∞.

Como |f | no es integrable, tampoco lo es f .

b) En primer lugar, observemos que∫ ∞

0x · e−xt dt = 1. Si aplicamos el teorema de

Fubini, ∫ b

0

senxx

dx =∫ b

0

∫ ∞

0e−xt · senx dtdx =

∫ ∞

0

∫ b

0e−xt · senx dxdt,

debido a que |e−xt · senx| ≤ |x · e−xt| ≤ a en el rectangulo (x, t) ∈ [0, b]× [0,∞).

Al integrar por partes, obtenemos∫ b

0

senxx

dx =∫ ∞

0

1− e−bt cos b− te−bt sen b1 + t2

dt.


lımb→∞

∫ b

0

senxx

dx =π

2−∫ ∞

0lımb→∞

e−bt cos b1 + t2

dt−∫ b

0lımb→∞

te−bt sen b1 + t2

dt =π

2.

Bibliografıa

[AB] Charalambos Aliprantis y Owen Burkinshaw, Principles of real analysis. Aca-demic Press, 1990.

[FF] Jose A. Facenda y Francisco J. Freniche, Integracion de funciones de variasvariables. Piramide, 2002.

[Ge] Jean Genet, Measure et integration: theorie elementaire. Vuibert, 1976.

[Go] Russell Gordon, The integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron and Henstock. AmericanMathematical Society, 1994.

[GR] Miguel de Guzman y Baldomero Rubio, Integracion: teorıa y tecnicas. Alhambra,1979.

[HS] Norman Haaser y Joseph Sullivan, Real Analysis. Van Nostrand, 1971.

[KF] Andrei Kolmogorov y Sergei Fomin, Elementos de la teorıa de funciones y delanalisis funcional. Mir, 1978.

[Ro] Halsey Royden, Real Analysis, 3a ed. McMillan, 1988.

[SS] Elias Stein y Rami Shakarchi, Real Analysis, III. Princeton University Press.

137

Indice alfabetico

Fσ, 10Gδ, 10Aσ, 127Aσδ, 127σ-algebra, 73σ-algebra de Borel, 11σ-algebra de conjuntos, 10algebra de conjuntos, 10algebra generada por una semialgebra, 129

c.s., 25conjunto abierto, 10conjunto acotado, 10conjunto cerrado, 10conjunto compacto, 10conjunto de Cantor, 13conjunto de Vitali, 22conjunto medible, 16conjunto medible (Caratheodory), 123conjunto negativo respecto a una medida,

85conjunto nulo respecto a una medida, 85conjunto positivo respecto a una medida,

85convergencia de una sucesion de medidas,

82convergencia en medida, 41cubrimiento de Vitali, 42

derivada de Radon-Nikodym, 90descomposicion de Jordan de una medida,

87desigualdad de Cauchy-Schwarz, 103desigualdad de Holder, 100desigualdad de Jensen, 55desigualdad de Minkowski, 100

espacio Lp, 103

espacio de Banach, 98espacio de medida, 73espacio de medida completo, 75espacio dual, 116espacio medible, 73espacio normado, 97

funcion absolutamente continua, 51funcion convexa, 53funcion de Cantor-Lebesgue, 46funcion de variacion acotada, 47funcion diferenciable

por la derecha, 54por la izquierda, 54

funcion escalonada, 25funcion integrable sobre un conjunto med-

ible, 81funcion medible, 76funcion medible Lebesgue, 23funcion simple, 25, 76funcion singular, 52funcional lineal, 110funcional lineal acotado, 110

integralde funciones medibles no negativas, 77de funciones simples, 77

integral de Lebesguede funciones medibles, 38de funciones medibles no negativas, 34de funciones medibles y acotadas, 31de funciones simples, 28

lema de Fatou, 35, 79lema de Vitali, 42

medida σ-finita, 75medida absolutamente continua, 87medida abstracta, 73

139

140 INDICE ALFABETICO

medida de contar, 74medida de Dirac, 74medida de Lebesgue, 18medida de Lebesgue bidimensional, 130medida de probabilidad, 75medida exterior, 12, 123medida exterior inducida por una medida,

127medida finita, 75medida producto, 130medida sobre un algebra, 125medidas con signo, 83medidas equivalentes, 87medidas mutuamente singulares, 86

numeros de Dini, 43norma de un funcional lineal acotado, 110

parte negativa de una funcion, 38parte negativa de una medida, 87parte positiva de una funcion, 38parte positiva de una medida, 87propiedad de Heine-Borel, 10

rectangulo medible, 129recta soporte, 55

semialgebra de conjuntos, 129seminorma, 97

teorema de complecion de una medida, 75teorema de descomposicion de Hahn, 86teorema de descomposicion de Lebesgue,

90teorema de Egorov, 27teorema de extension de Caratheodory, 128teorema de Fubini, 132teorema de la convergencia acotada, 33teorema de la convergencia dominada, 39,

82teorema de la convergencia monotona, 36,

80teorema de Levi, 36teorema de Radon-Nikodym, 88teorema de representacion de Riesz, 112,

114teorema de Riesz-Fischer, 105

teorema de Tonelli, 133

variacion negativa, 47variacion positiva, 47variacion total, 47variacion total de una medida, 87

Documents

Teor´ıa de la medida - UPV/EHU