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Sabores de la Teorı́a de Números
IV. La Teorı́a Cuántica
Tim Gendron
Instituto de Matemáticas, Universidad Nacional Autónoma de
México
29 junio 2017
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Introducción
Introducción
¿Que es la Teorı́a
Cuántica de Números?
Toros Cuánticos
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
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¿Que es la Teorı́a Cuántica de Números?
Introducción
¿Que es la Teorı́a
Cuántica de Números?
Toros Cuánticos
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
3
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¿Que es la Teorı́a Cuántica de Números?
Introducción
¿Que es la Teorı́a
Cuántica de Números?
Toros Cuánticos
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
3
El consenso en la comunidad matemática está todavı́a
evolucionando
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¿Que es la Teorı́a Cuántica de Números?
Introducción
¿Que es la Teorı́a
Cuántica de Números?
Toros Cuánticos
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
3
El consenso en la comunidad matemática está todavı́a
evolucionando y hay varias propuestas rivales.
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¿Que es la Teorı́a Cuántica de Números?
Introducción
¿Que es la Teorı́a
Cuántica de Números?
Toros Cuánticos
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
3
El consenso en la comunidad matemática está todavı́a
evolucionando y hay varias propuestas rivales. En esta
plática
quisiera sugerir que La Teorı́a Cuántica de Números es:
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¿Que es la Teorı́a Cuántica de Números?
Introducción
¿Que es la Teorı́a
Cuántica de Números?
Toros Cuánticos
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
3
El consenso en la comunidad matemática está todavı́a
evolucionando y hay varias propuestas rivales. En esta
plática
quisiera sugerir que La Teorı́a Cuántica de Números es:
La Teorı́a Algebraica de los Reales
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Introducción
¿Que es la Teorı́a
Cuántica de Números?
Toros Cuánticos
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
3
El consenso en la comunidad matemática está todavı́a
evolucionando y hay varias propuestas rivales. En esta
plática
quisiera sugerir que La Teorı́a Cuántica de Números es:
La Teorı́a Algebraica de los Reales
¿Por qué?
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Cuántica de Números?
Toros Cuánticos
Invariante Modular
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Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
3
El consenso en la comunidad matemática está todavı́a
evolucionando y hay varias propuestas rivales. En esta
plática
quisiera sugerir que La Teorı́a Cuántica de Números es:
La Teorı́a Algebraica de los Reales
¿Por qué? Pues...
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Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
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Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
3
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evolucionando y hay varias propuestas rivales. En esta
plática
quisiera sugerir que La Teorı́a Cuántica de Números es:
La Teorı́a Algebraica de los Reales
¿Por qué? Pues... ya que no hay una Teorı́a Algebraica Clásica
par
los Reales:
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Introducción
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Toros Cuánticos
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
3
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evolucionando y hay varias propuestas rivales. En esta
plática
quisiera sugerir que La Teorı́a Cuántica de Números es:
La Teorı́a Algebraica de los Reales
¿Por qué? Pues... ya que no hay una Teorı́a Algebraica Clásica
par
los Reales: en particular
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Toros Cuánticos
Invariante Modular
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Cuántico II
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Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
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evolucionando y hay varias propuestas rivales. En esta
plática
quisiera sugerir que La Teorı́a Cuántica de Números es:
La Teorı́a Algebraica de los Reales
¿Por qué? Pues... ya que no hay una Teorı́a Algebraica Clásica
par
los Reales: en particular
� Los reales no cuentan con enteros.
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Invariante Modular
Cuántico II
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Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
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evolucionando y hay varias propuestas rivales. En esta
plática
quisiera sugerir que La Teorı́a Cuántica de Números es:
La Teorı́a Algebraica de los Reales
¿Por qué? Pues... ya que no hay una Teorı́a Algebraica Clásica
par
los Reales: en particular
� Los reales no cuentan con enteros. Bueno, tampoco los
tienen
los complejos, pero...
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Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
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El consenso en la comunidad matemática está todavı́a
evolucionando y hay varias propuestas rivales. En esta
plática
quisiera sugerir que La Teorı́a Cuántica de Números es:
La Teorı́a Algebraica de los Reales
¿Por qué? Pues... ya que no hay una Teorı́a Algebraica Clásica
par
los Reales: en particular
� Los reales no cuentan con enteros. Bueno, tampoco los
tienen
los complejos, pero...
� Los reales no cuentan con simetrı́as notriviales:
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Caracterı́stica Positiva
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Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
3
El consenso en la comunidad matemática está todavı́a
evolucionando y hay varias propuestas rivales. En esta
plática
quisiera sugerir que La Teorı́a Cuántica de Números es:
La Teorı́a Algebraica de los Reales
¿Por qué? Pues... ya que no hay una Teorı́a Algebraica Clásica
par
los Reales: en particular
� Los reales no cuentan con enteros. Bueno, tampoco los
tienen
los complejos, pero...
� Los reales no cuentan con simetrı́as notriviales: Aut(R) =
1.
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Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
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Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
3
El consenso en la comunidad matemática está todavı́a
evolucionando y hay varias propuestas rivales. En esta
plática
quisiera sugerir que La Teorı́a Cuántica de Números es:
La Teorı́a Algebraica de los Reales
¿Por qué? Pues... ya que no hay una Teorı́a Algebraica Clásica
par
los Reales: en particular
� Los reales no cuentan con enteros. Bueno, tampoco los
tienen
los complejos, pero...
� Los reales no cuentan con simetrı́as notriviales: Aut(R) =
1.Por otro lado, Aut(C) es enorme.
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Hilbert
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Rayos
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El consenso en la comunidad matemática está todavı́a
evolucionando y hay varias propuestas rivales. En esta
plática
quisiera sugerir que La Teorı́a Cuántica de Números es:
La Teorı́a Algebraica de los Reales
¿Por qué? Pues... ya que no hay una Teorı́a Algebraica Clásica
par
los Reales: en particular
� Los reales no cuentan con enteros. Bueno, tampoco los
tienen
los complejos, pero...
� Los reales no cuentan con simetrı́as notriviales: Aut(R) =
1.Por otro lado, Aut(C) es enorme.
Pero la razón más convincente
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Toros Cuánticos
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
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Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
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El consenso en la comunidad matemática está todavı́a
evolucionando y hay varias propuestas rivales. En esta
plática
quisiera sugerir que La Teorı́a Cuántica de Números es:
La Teorı́a Algebraica de los Reales
¿Por qué? Pues... ya que no hay una Teorı́a Algebraica Clásica
par
los Reales: en particular
� Los reales no cuentan con enteros. Bueno, tampoco los
tienen
los complejos, pero...
� Los reales no cuentan con simetrı́as notriviales: Aut(R) =
1.Por otro lado, Aut(C) es enorme.
Pero la razón más convincente es que los reales parametrizan
una
familia de sistemas cuánticos
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Toros Cuánticos
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
3
El consenso en la comunidad matemática está todavı́a
evolucionando y hay varias propuestas rivales. En esta
plática
quisiera sugerir que La Teorı́a Cuántica de Números es:
La Teorı́a Algebraica de los Reales
¿Por qué? Pues... ya que no hay una Teorı́a Algebraica Clásica
par
los Reales: en particular
� Los reales no cuentan con enteros. Bueno, tampoco los
tienen
los complejos, pero...
� Los reales no cuentan con simetrı́as notriviales: Aut(R) =
1.Por otro lado, Aut(C) es enorme.
Pero la razón más convincente es que los reales parametrizan
una
familia de sistemas cuánticos – llamados toros cuánticos –
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¿Que es la Teorı́a Cuántica de Números?
Introducción
¿Que es la Teorı́a
Cuántica de Números?
Toros Cuánticos
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
3
El consenso en la comunidad matemática está todavı́a
evolucionando y hay varias propuestas rivales. En esta
plática
quisiera sugerir que La Teorı́a Cuántica de Números es:
La Teorı́a Algebraica de los Reales
¿Por qué? Pues... ya que no hay una Teorı́a Algebraica Clásica
par
los Reales: en particular
� Los reales no cuentan con enteros. Bueno, tampoco los
tienen
los complejos, pero...
� Los reales no cuentan con simetrı́as notriviales: Aut(R) =
1.Por otro lado, Aut(C) es enorme.
Pero la razón más convincente es que los reales parametrizan
una
familia de sistemas cuánticos – llamados toros cuánticos –
algo que
veremos a continuación.
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Toros Cuánticos
Introducción
Toros Cuánticos
Toros Cuánticos
Foliaciones de
Kronecker
Espacio de Moduli de
Toros Cuánticos
Foliación de Anosov
Álgebras C∗
Geometrı́a No
Conmutativa
El Programa de
Multiplicación Real
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
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Foliaciones de
Kronecker
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Toros Cuánticos
Foliación de Anosov
Álgebras C∗
Geometrı́a No
Conmutativa
El Programa de
Multiplicación Real
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
5
Sea θ ∈ R−Q.
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Introducción
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Toros Cuánticos
Foliaciones de
Kronecker
Espacio de Moduli de
Toros Cuánticos
Foliación de Anosov
Álgebras C∗
Geometrı́a No
Conmutativa
El Programa de
Multiplicación Real
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
5
Sea θ ∈ R−Q. Consideremos el grupo
Λ = 〈1,θ〉
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Introducción
Toros Cuánticos
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Foliaciones de
Kronecker
Espacio de Moduli de
Toros Cuánticos
Foliación de Anosov
Álgebras C∗
Geometrı́a No
Conmutativa
El Programa de
Multiplicación Real
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
5
Sea θ ∈ R−Q. Consideremos el grupo
Λ = 〈1,θ〉 ⊂ R.
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Introducción
Toros Cuánticos
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Foliaciones de
Kronecker
Espacio de Moduli de
Toros Cuánticos
Foliación de Anosov
Álgebras C∗
Geometrı́a No
Conmutativa
El Programa de
Multiplicación Real
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
5
Sea θ ∈ R−Q. Consideremos el grupo
Λ = 〈1,θ〉 ⊂ R.
Teorema (Kronecker). Λ(θ) es denso en R.
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Toros Cuánticos
Introducción
Toros Cuánticos
Toros Cuánticos
Foliaciones de
Kronecker
Espacio de Moduli de
Toros Cuánticos
Foliación de Anosov
Álgebras C∗
Geometrı́a No
Conmutativa
El Programa de
Multiplicación Real
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
5
Sea θ ∈ R−Q. Consideremos el grupo
Λ = 〈1,θ〉 ⊂ R.
Teorema (Kronecker). Λ(θ) es denso en R.
Sigue que Λ(θ) no es retı́cula.
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Introducción
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Toros Cuánticos
Foliaciones de
Kronecker
Espacio de Moduli de
Toros Cuánticos
Foliación de Anosov
Álgebras C∗
Geometrı́a No
Conmutativa
El Programa de
Multiplicación Real
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
5
Sea θ ∈ R−Q. Consideremos el grupo
Λ = 〈1,θ〉 ⊂ R.
Teorema (Kronecker). Λ(θ) es denso en R.
Sigue que Λ(θ) no es retı́cula. El cociente
T(θ) :=
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Kronecker
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Foliación de Anosov
Álgebras C∗
Geometrı́a No
Conmutativa
El Programa de
Multiplicación Real
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
5
Sea θ ∈ R−Q. Consideremos el grupo
Λ = 〈1,θ〉 ⊂ R.
Teorema (Kronecker). Λ(θ) es denso en R.
Sigue que Λ(θ) no es retı́cula. El cociente
T(θ) := R/〈1,θ〉
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Foliaciones de
Kronecker
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Geometrı́a No
Conmutativa
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Multiplicación Real
Invariante Modular
Cuántico I
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Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
5
Sea θ ∈ R−Q. Consideremos el grupo
Λ = 〈1,θ〉 ⊂ R.
Teorema (Kronecker). Λ(θ) es denso en R.
Sigue que Λ(θ) no es retı́cula. El cociente
T(θ) := R/〈1,θ〉
se llama el toro cuántico asociado a θ.
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Foliaciones de
Kronecker
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Toros Cuánticos
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Geometrı́a No
Conmutativa
El Programa de
Multiplicación Real
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
5
Sea θ ∈ R−Q. Consideremos el grupo
Λ = 〈1,θ〉 ⊂ R.
Teorema (Kronecker). Λ(θ) es denso en R.
Sigue que Λ(θ) no es retı́cula. El cociente
T(θ) := R/〈1,θ〉
se llama el toro cuántico asociado a θ.
� Su topologı́a cociente es trivial
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Toros Cuánticos
Foliaciones de
Kronecker
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Toros Cuánticos
Foliación de Anosov
Álgebras C∗
Geometrı́a No
Conmutativa
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Multiplicación Real
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
5
Sea θ ∈ R−Q. Consideremos el grupo
Λ = 〈1,θ〉 ⊂ R.
Teorema (Kronecker). Λ(θ) es denso en R.
Sigue que Λ(θ) no es retı́cula. El cociente
T(θ) := R/〈1,θ〉
se llama el toro cuántico asociado a θ.
� Su topologı́a cociente es trivial (los únicos abiertos son
T(θ) y∅)
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Foliaciones de
Kronecker
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Foliación de Anosov
Álgebras C∗
Geometrı́a No
Conmutativa
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Multiplicación Real
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
5
Sea θ ∈ R−Q. Consideremos el grupo
Λ = 〈1,θ〉 ⊂ R.
Teorema (Kronecker). Λ(θ) es denso en R.
Sigue que Λ(θ) no es retı́cula. El cociente
T(θ) := R/〈1,θ〉
se llama el toro cuántico asociado a θ.
� Su topologı́a cociente es trivial (los únicos abiertos son
T(θ) y∅) por lo que las únicas funciones contı́nuas son las
constantes.
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Kronecker
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Toros Cuánticos
Foliación de Anosov
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Geometrı́a No
Conmutativa
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Multiplicación Real
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
5
Sea θ ∈ R−Q. Consideremos el grupo
Λ = 〈1,θ〉 ⊂ R.
Teorema (Kronecker). Λ(θ) es denso en R.
Sigue que Λ(θ) no es retı́cula. El cociente
T(θ) := R/〈1,θ〉
se llama el toro cuántico asociado a θ.
� Su topologı́a cociente es trivial (los únicos abiertos son
T(θ) y∅) por lo que las únicas funciones contı́nuas son las
constantes.
� Ası́ que no hay análogo obvio de la función ℘ de
Weierstrass
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Kronecker
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Geometrı́a No
Conmutativa
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Multiplicación Real
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
5
Sea θ ∈ R−Q. Consideremos el grupo
Λ = 〈1,θ〉 ⊂ R.
Teorema (Kronecker). Λ(θ) es denso en R.
Sigue que Λ(θ) no es retı́cula. El cociente
T(θ) := R/〈1,θ〉
se llama el toro cuántico asociado a θ.
� Su topologı́a cociente es trivial (los únicos abiertos son
T(θ) y∅) por lo que las únicas funciones contı́nuas son las
constantes.
� Ası́ que no hay análogo obvio de la función ℘ de
Weierstrass⇒ no hay (hasta este momento) una noción de curva
elı́pticacuántica.
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Foliaciones de Kronecker
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Foliaciones de
Kronecker
Espacio de Moduli de
Toros Cuánticos
Foliación de Anosov
Álgebras C∗
Geometrı́a No
Conmutativa
El Programa de
Multiplicación Real
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
6
Dado θ ∈ R−Q recordemos la foliación de Kronecker,
F(θ) :
-
Foliaciones de Kronecker
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Kronecker
Espacio de Moduli de
Toros Cuánticos
Foliación de Anosov
Álgebras C∗
Geometrı́a No
Conmutativa
El Programa de
Multiplicación Real
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
6
Dado θ ∈ R−Q recordemos la foliación de Kronecker,
F(θ) :
el toro T2 = R2/Z2 dotada con la familia de lineas de pendiente
θ.
-
Foliaciones de Kronecker
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Toros Cuánticos
Toros Cuánticos
Foliaciones de
Kronecker
Espacio de Moduli de
Toros Cuánticos
Foliación de Anosov
Álgebras C∗
Geometrı́a No
Conmutativa
El Programa de
Multiplicación Real
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
6
Dado θ ∈ R−Q recordemos la foliación de Kronecker,
F(θ) :
el toro T2 = R2/Z2 dotada con la familia de lineas de pendiente
θ.El espacio de hojas de F(θ)
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Foliaciones de Kronecker
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Toros Cuánticos
Foliaciones de
Kronecker
Espacio de Moduli de
Toros Cuánticos
Foliación de Anosov
Álgebras C∗
Geometrı́a No
Conmutativa
El Programa de
Multiplicación Real
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
6
Dado θ ∈ R−Q recordemos la foliación de Kronecker,
F(θ) :
el toro T2 = R2/Z2 dotada con la familia de lineas de pendiente
θ.El espacio de hojas de F(θ) es
Hojas(F(θ))
-
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Toros Cuánticos
Foliaciones de
Kronecker
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Foliación de Anosov
Álgebras C∗
Geometrı́a No
Conmutativa
El Programa de
Multiplicación Real
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
6
Dado θ ∈ R−Q recordemos la foliación de Kronecker,
F(θ) :
el toro T2 = R2/Z2 dotada con la familia de lineas de pendiente
θ.El espacio de hojas de F(θ) es
Hojas(F(θ)) := T2/ ∼,
-
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Toros Cuánticos
Foliaciones de
Kronecker
Espacio de Moduli de
Toros Cuánticos
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Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
6
Dado θ ∈ R−Q recordemos la foliación de Kronecker,
F(θ) :
el toro T2 = R2/Z2 dotada con la familia de lineas de pendiente
θ.El espacio de hojas de F(θ) es
Hojas(F(θ)) := T2/ ∼, p ∼ p′
-
Foliaciones de Kronecker
Introducción
Toros Cuánticos
Toros Cuánticos
Foliaciones de
Kronecker
Espacio de Moduli de
Toros Cuánticos
Foliación de Anosov
Álgebras C∗
Geometrı́a No
Conmutativa
El Programa de
Multiplicación Real
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
6
Dado θ ∈ R−Q recordemos la foliación de Kronecker,
F(θ) :
el toro T2 = R2/Z2 dotada con la familia de lineas de pendiente
θ.El espacio de hojas de F(θ) es
Hojas(F(θ)) := T2/ ∼, p ∼ p′ ⇔ están en la misma hoja.
-
Foliaciones de Kronecker
Introducción
Toros Cuánticos
Toros Cuánticos
Foliaciones de
Kronecker
Espacio de Moduli de
Toros Cuánticos
Foliación de Anosov
Álgebras C∗
Geometrı́a No
Conmutativa
El Programa de
Multiplicación Real
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
6
Dado θ ∈ R−Q recordemos la foliación de Kronecker,
F(θ) :
el toro T2 = R2/Z2 dotada con la familia de lineas de pendiente
θ.El espacio de hojas de F(θ) es
Hojas(F(θ)) := T2/ ∼, p ∼ p′ ⇔ están en la misma hoja.
La hoja L por 0 es un subgrupo de un parámetro en T2
-
Foliaciones de Kronecker
Introducción
Toros Cuánticos
Toros Cuánticos
Foliaciones de
Kronecker
Espacio de Moduli de
Toros Cuánticos
Foliación de Anosov
Álgebras C∗
Geometrı́a No
Conmutativa
El Programa de
Multiplicación Real
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
6
Dado θ ∈ R−Q recordemos la foliación de Kronecker,
F(θ) :
el toro T2 = R2/Z2 dotada con la familia de lineas de pendiente
θ.El espacio de hojas de F(θ) es
Hojas(F(θ)) := T2/ ∼, p ∼ p′ ⇔ están en la misma hoja.
La hoja L por 0 es un subgrupo de un parámetro en T2 y
tenemos
Hojas(F(θ)) ∼= T2/L.
-
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Kronecker
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Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
6
Dado θ ∈ R−Q recordemos la foliación de Kronecker,
F(θ) :
el toro T2 = R2/Z2 dotada con la familia de lineas de pendiente
θ.El espacio de hojas de F(θ) es
Hojas(F(θ)) := T2/ ∼, p ∼ p′ ⇔ están en la misma hoja.
La hoja L por 0 es un subgrupo de un parámetro en T2 y
tenemos
Hojas(F(θ)) ∼= T2/L.
Teorema. Hojas(F(θ)) ∼= T(θ).
-
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Multiplicación Real
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
7
Teorema. Sean η,θ ∈ R−Q.
-
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Multiplicación Real
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
7
Teorema. Sean η,θ ∈ R−Q. Entonces T(θ) ∼= T(η)
-
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Kronecker
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Geometrı́a No
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Multiplicación Real
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
7
Teorema. Sean η,θ ∈ R−Q. Entonces T(θ) ∼= T(η)⇔ θ ∼ η.
-
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Multiplicación Real
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
7
Teorema. Sean η,θ ∈ R−Q. Entonces T(θ) ∼= T(η)⇔ θ ∼ η.
Ası́ que el espacio de moduli de toros cuánticos
-
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Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
7
Teorema. Sean η,θ ∈ R−Q. Entonces T(θ) ∼= T(η)⇔ θ ∼ η.
Ası́ que el espacio de moduli de toros cuánticos es
Modqt
-
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Invariante Modular
Cuántico II
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Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
7
Teorema. Sean η,θ ∈ R−Q. Entonces T(θ) ∼= T(η)⇔ θ ∼ η.
Ası́ que el espacio de moduli de toros cuánticos es
Modqt := (R−Q)/GL2(Z).
-
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Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
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Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
7
Teorema. Sean η,θ ∈ R−Q. Entonces T(θ) ∼= T(η)⇔ θ ∼ η.
Ası́ que el espacio de moduli de toros cuánticos es
Modqt := (R−Q)/GL2(Z).
Ya que GL2(Z) actua densamente en R−Q,
-
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Invariante Modular
Cuántico II
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Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
7
Teorema. Sean η,θ ∈ R−Q. Entonces T(θ) ∼= T(η)⇔ θ ∼ η.
Ası́ que el espacio de moduli de toros cuánticos es
Modqt := (R−Q)/GL2(Z).
Ya que GL2(Z) actua densamente en R−Q, Modqt también tienela
topologı́a cociente trivial.
-
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Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
7
Teorema. Sean η,θ ∈ R−Q. Entonces T(θ) ∼= T(η)⇔ θ ∼ η.
Ası́ que el espacio de moduli de toros cuánticos es
Modqt := (R−Q)/GL2(Z).
Ya que GL2(Z) actua densamente en R−Q, Modqt también tienela
topologı́a cociente trivial. Es decir, no hay posibilidad definir
un
invariante modular cuántico
-
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Cuántico I
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Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
7
Teorema. Sean η,θ ∈ R−Q. Entonces T(θ) ∼= T(η)⇔ θ ∼ η.
Ası́ que el espacio de moduli de toros cuánticos es
Modqt := (R−Q)/GL2(Z).
Ya que GL2(Z) actua densamente en R−Q, Modqt también tienela
topologı́a cociente trivial. Es decir, no hay posibilidad definir
un
invariante modular cuántico como función no constante y
contı́nuo
en Modqt.
-
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Rayos
8
Sea (µ,θ) ∈ (C−R)× (R−Q).
-
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Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
8
Sea (µ,θ) ∈ (C−R)× (R−Q). Se puede definir la foliación
deKronecker de “µ-pendiente θ”
F(µ,θ).
-
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Hilbert
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Rayos
8
Sea (µ,θ) ∈ (C−R)× (R−Q). Se puede definir la foliación
deKronecker de “µ-pendiente θ”
F(µ,θ).
La acción
A · (µ,θ)
-
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Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
8
Sea (µ,θ) ∈ (C−R)× (R−Q). Se puede definir la foliación
deKronecker de “µ-pendiente θ”
F(µ,θ).
La acción
A · (µ,θ) := (A(µ), A−T (θ))
-
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Hilbert
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Rayos
8
Sea (µ,θ) ∈ (C−R)× (R−Q). Se puede definir la foliación
deKronecker de “µ-pendiente θ”
F(µ,θ).
La acción
A · (µ,θ) := (A(µ), A−T (θ))reproduce la relación de
isomorfismo de tales foliaciónes.
-
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Cuántico I
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Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
8
Sea (µ,θ) ∈ (C−R)× (R−Q). Se puede definir la foliación
deKronecker de “µ-pendiente θ”
F(µ,θ).
La acción
A · (µ,θ) := (A(µ), A−T (θ))reproduce la relación de
isomorfismo de tales foliaciónes. Entonces
el espacio de moduli de foliaciones de Kronecker
-
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Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
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Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
8
Sea (µ,θ) ∈ (C−R)× (R−Q). Se puede definir la foliación
deKronecker de “µ-pendiente θ”
F(µ,θ).
La acción
A · (µ,θ) := (A(µ), A−T (θ))reproduce la relación de
isomorfismo de tales foliaciónes. Entonces
el espacio de moduli de foliaciones de Kronecker es
Modfk =
(
(C− R)× (R−Q))/
GL2(Z) :
una foliación del haz tangente unitario T∗1(Mod)
-
Foliación de Anosov
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Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
8
Sea (µ,θ) ∈ (C−R)× (R−Q). Se puede definir la foliación
deKronecker de “µ-pendiente θ”
F(µ,θ).
La acción
A · (µ,θ) := (A(µ), A−T (θ))reproduce la relación de
isomorfismo de tales foliaciónes. Entonces
el espacio de moduli de foliaciones de Kronecker es
Modfk =
(
(C− R)× (R−Q))/
GL2(Z) :
una foliación del haz tangente unitario T∗1(Mod) llamada
lafoliación de Anosov.
-
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Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
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Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
8
Sea (µ,θ) ∈ (C−R)× (R−Q). Se puede definir la foliación
deKronecker de “µ-pendiente θ”
F(µ,θ).
La acción
A · (µ,θ) := (A(µ), A−T (θ))reproduce la relación de
isomorfismo de tales foliaciónes. Entonces
el espacio de moduli de foliaciones de Kronecker es
Modfk =
(
(C− R)× (R−Q))/
GL2(Z) :
una foliación del haz tangente unitario T∗1(Mod) llamada
lafoliación de Anosov.
Teorema. Hoja(Modfk) ≈ Modqt.
-
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9
Un álgebra C∗
-
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Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
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Cuántico II
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Hilbert
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9
Un álgebra C∗ es un álgebra de Banach compleja A
-
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Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
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Cuántico II
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Hilbert
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9
Un álgebra C∗ es un álgebra de Banach compleja A dotado conuna
involución ∗ : A → A.
-
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Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
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9
Un álgebra C∗ es un álgebra de Banach compleja A dotado conuna
involución ∗ : A → A.Ejemplo. Si X es un espacio compacto y de
Hausdorff,
-
Álgebras C∗
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Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
9
Un álgebra C∗ es un álgebra de Banach compleja A dotado conuna
involución ∗ : A → A.Ejemplo. Si X es un espacio compacto y de
Hausdorff, el espacio
C0(X)
-
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9
Un álgebra C∗ es un álgebra de Banach compleja A dotado conuna
involución ∗ : A → A.Ejemplo. Si X es un espacio compacto y de
Hausdorff, el espacio
C0(X) = {f : X → C contı́nua}
-
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Un álgebra C∗ es un álgebra de Banach compleja A dotado conuna
involución ∗ : A → A.Ejemplo. Si X es un espacio compacto y de
Hausdorff, el espacio
C0(X) = {f : X → C contı́nua}
es una álgebra C∗
-
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9
Un álgebra C∗ es un álgebra de Banach compleja A dotado conuna
involución ∗ : A → A.Ejemplo. Si X es un espacio compacto y de
Hausdorff, el espacio
C0(X) = {f : X → C contı́nua}
es una álgebra C∗ conmutativa
-
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Un álgebra C∗ es un álgebra de Banach compleja A dotado conuna
involución ∗ : A → A.Ejemplo. Si X es un espacio compacto y de
Hausdorff, el espacio
C0(X) = {f : X → C contı́nua}
es una álgebra C∗ conmutativa donde f∗ = f̄
-
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Un álgebra C∗ es un álgebra de Banach compleja A dotado conuna
involución ∗ : A → A.Ejemplo. Si X es un espacio compacto y de
Hausdorff, el espacio
C0(X) = {f : X → C contı́nua}
es una álgebra C∗ conmutativa donde f∗ = f̄
(conjugacióncompleja).
-
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Un álgebra C∗ es un álgebra de Banach compleja A dotado conuna
involución ∗ : A → A.Ejemplo. Si X es un espacio compacto y de
Hausdorff, el espacio
C0(X) = {f : X → C contı́nua}
es una álgebra C∗ conmutativa donde f∗ = f̄
(conjugacióncompleja).
Teorema de Gelfand-Naimark. La asociación X 7→ C0(X)
-
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Un álgebra C∗ es un álgebra de Banach compleja A dotado conuna
involución ∗ : A → A.Ejemplo. Si X es un espacio compacto y de
Hausdorff, el espacio
C0(X) = {f : X → C contı́nua}
es una álgebra C∗ conmutativa donde f∗ = f̄
(conjugacióncompleja).
Teorema de Gelfand-Naimark. La asociación X 7→ C0(X) defineun
functor
-
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Un álgebra C∗ es un álgebra de Banach compleja A dotado conuna
involución ∗ : A → A.Ejemplo. Si X es un espacio compacto y de
Hausdorff, el espacio
C0(X) = {f : X → C contı́nua}
es una álgebra C∗ conmutativa donde f∗ = f̄
(conjugacióncompleja).
Teorema de Gelfand-Naimark. La asociación X 7→ C0(X) defineun
functor que da una equivalencia de categorı́as
-
Álgebras C∗
Introducción
Toros Cuánticos
Toros Cuánticos
Foliaciones de
Kronecker
Espacio de Moduli de
Toros Cuánticos
Foliación de Anosov
Álgebras C∗
Geometrı́a No
Conmutativa
El Programa de
Multiplicación Real
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
9
Un álgebra C∗ es un álgebra de Banach compleja A dotado conuna
involución ∗ : A → A.Ejemplo. Si X es un espacio compacto y de
Hausdorff, el espacio
C0(X) = {f : X → C contı́nua}
es una álgebra C∗ conmutativa donde f∗ = f̄
(conjugacióncompleja).
Teorema de Gelfand-Naimark. La asociación X 7→ C0(X) defineun
functor que da una equivalencia de categorı́as
EspcompHaus −→ AlgC∗con.
-
Geometrı́a No Conmutativa
Introducción
Toros Cuánticos
Toros Cuánticos
Foliaciones de
Kronecker
Espacio de Moduli de
Toros Cuánticos
Foliación de Anosov
Álgebras C∗
Geometrı́a No
Conmutativa
El Programa de
Multiplicación Real
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
10
La Geometrı́a No Conmutativa
-
Geometrı́a No Conmutativa
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Toros Cuánticos
Toros Cuánticos
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Kronecker
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Geometrı́a No
Conmutativa
El Programa de
Multiplicación Real
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
10
La Geometrı́a No Conmutativa es el estudio de extensiones
del
functor de Gelfand-Naimark
-
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La Geometrı́a No Conmutativa es el estudio de extensiones
del
functor de Gelfand-Naimark a espacios no conmutativos
-
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Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
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Hilbert
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La Geometrı́a No Conmutativa es el estudio de extensiones
del
functor de Gelfand-Naimark a espacios no conmutativos –
e.g.cocientes malos –
-
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La Geometrı́a No Conmutativa es el estudio de extensiones
del
functor de Gelfand-Naimark a espacios no conmutativos –
e.g.cocientes malos – al asociarles álgebras C∗
-
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del
functor de Gelfand-Naimark a espacios no conmutativos –
e.g.cocientes malos – al asociarles álgebras C∗ no
conmutativas.
-
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del
functor de Gelfand-Naimark a espacios no conmutativos –
e.g.cocientes malos – al asociarles álgebras C∗ no
conmutativas.
� No hay manera canónica hacerlas
-
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La Geometrı́a No Conmutativa es el estudio de extensiones
del
functor de Gelfand-Naimark a espacios no conmutativos –
e.g.cocientes malos – al asociarles álgebras C∗ no
conmutativas.
� No hay manera canónica hacerlas (como no hay manera
canónica cuantizar un sistema mecánico clásico).
-
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La Geometrı́a No Conmutativa es el estudio de extensiones
del
functor de Gelfand-Naimark a espacios no conmutativos –
e.g.cocientes malos – al asociarles álgebras C∗ no
conmutativas.
� No hay manera canónica hacerlas (como no hay manera
canónica cuantizar un sistema mecánico clásico).
� Si un espacio no conmutativo es el espacio de hojas de una
foliación,
-
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del
functor de Gelfand-Naimark a espacios no conmutativos –
e.g.cocientes malos – al asociarles álgebras C∗ no
conmutativas.
� No hay manera canónica hacerlas (como no hay manera
canónica cuantizar un sistema mecánico clásico).
� Si un espacio no conmutativo es el espacio de hojas de una
foliación, hay una construcción debido a Alain Connes.
-
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del
functor de Gelfand-Naimark a espacios no conmutativos –
e.g.cocientes malos – al asociarles álgebras C∗ no
conmutativas.
� No hay manera canónica hacerlas (como no hay manera
canónica cuantizar un sistema mecánico clásico).
� Si un espacio no conmutativo es el espacio de hojas de una
foliación, hay una construcción debido a Alain Connes.
Ejemplo. El álgebra C∗ de la foliación de Kronecker F(θ)
-
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functor de Gelfand-Naimark a espacios no conmutativos –
e.g.cocientes malos – al asociarles álgebras C∗ no
conmutativas.
� No hay manera canónica hacerlas (como no hay manera
canónica cuantizar un sistema mecánico clásico).
� Si un espacio no conmutativo es el espacio de hojas de una
foliación, hay una construcción debido a Alain Connes.
Ejemplo. El álgebra C∗ de la foliación de Kronecker F(θ) se
llamael álgebra de rotaciones iracionales:
-
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del
functor de Gelfand-Naimark a espacios no conmutativos –
e.g.cocientes malos – al asociarles álgebras C∗ no
conmutativas.
� No hay manera canónica hacerlas (como no hay manera
canónica cuantizar un sistema mecánico clásico).
� Si un espacio no conmutativo es el espacio de hojas de una
foliación, hay una construcción debido a Alain Connes.
Ejemplo. El álgebra C∗ de la foliación de Kronecker F(θ) se
llamael álgebra de rotaciones iracionales:
A(θ)
-
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del
functor de Gelfand-Naimark a espacios no conmutativos –
e.g.cocientes malos – al asociarles álgebras C∗ no
conmutativas.
� No hay manera canónica hacerlas (como no hay manera
canónica cuantizar un sistema mecánico clásico).
� Si un espacio no conmutativo es el espacio de hojas de una
foliación, hay una construcción debido a Alain Connes.
Ejemplo. El álgebra C∗ de la foliación de Kronecker F(θ) se
llamael álgebra de rotaciones iracionales:
A(θ) := 〈X,Y |XY = e2πiθY X〉C∗ .
-
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del
functor de Gelfand-Naimark a espacios no conmutativos –
e.g.cocientes malos – al asociarles álgebras C∗ no
conmutativas.
� No hay manera canónica hacerlas (como no hay manera
canónica cuantizar un sistema mecánico clásico).
� Si un espacio no conmutativo es el espacio de hojas de una
foliación, hay una construcción debido a Alain Connes.
Ejemplo. El álgebra C∗ de la foliación de Kronecker F(θ) se
llamael álgebra de rotaciones iracionales:
A(θ) := 〈X,Y |XY = e2πiθY X〉C∗ .
Hay un diccionario parcial que asocia a ciertos conceptos
geométricos
-
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del
functor de Gelfand-Naimark a espacios no conmutativos –
e.g.cocientes malos – al asociarles álgebras C∗ no
conmutativas.
� No hay manera canónica hacerlas (como no hay manera
canónica cuantizar un sistema mecánico clásico).
� Si un espacio no conmutativo es el espacio de hojas de una
foliación, hay una construcción debido a Alain Connes.
Ejemplo. El álgebra C∗ de la foliación de Kronecker F(θ) se
llamael álgebra de rotaciones iracionales:
A(θ) := 〈X,Y |XY = e2πiθY X〉C∗ .
Hay un diccionario parcial que asocia a ciertos conceptos
geométricos contrapartes en la categorı́a de álgebras C∗:
-
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del
functor de Gelfand-Naimark a espacios no conmutativos –
e.g.cocientes malos – al asociarles álgebras C∗ no
conmutativas.
� No hay manera canónica hacerlas (como no hay manera
canónica cuantizar un sistema mecánico clásico).
� Si un espacio no conmutativo es el espacio de hojas de una
foliación, hay una construcción debido a Alain Connes.
Ejemplo. El álgebra C∗ de la foliación de Kronecker F(θ) se
llamael álgebra de rotaciones iracionales:
A(θ) := 〈X,Y |XY = e2πiθY X〉C∗ .
Hay un diccionario parcial que asocia a ciertos conceptos
geométricos contrapartes en la categorı́a de álgebras C∗: pero
esun diccionario incompleto.
-
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Rayos
11
Si θ ∈ R−Q es cuadrático,
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11
Si θ ∈ R−Q es cuadrático, T(θ) tiene Multiplicacion Real:
-
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Cuántico I
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Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
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11
Si θ ∈ R−Q es cuadrático, T(θ) tiene Multiplicacion Real: siK =
Q(θ)
-
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Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
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Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
11
Si θ ∈ R−Q es cuadrático, T(θ) tiene Multiplicacion Real: siK =
Q(θ)
Z ( End(T(θ))
-
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Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
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Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
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11
Si θ ∈ R−Q es cuadrático, T(θ) tiene Multiplicacion Real: siK =
Q(θ)
Z ( End(T(θ)) ⊂ OK .
-
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Campo de Clase de
Hilbert
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Rayos
11
Si θ ∈ R−Q es cuadrático, T(θ) tiene Multiplicacion Real: siK =
Q(θ)
Z ( End(T(θ)) ⊂ OK .
Programa de Multiplicación Real (Manin, 2004). Solucionar el
12
Problema de Hilbert en el caso de extensiones cuadráticas
reales
-
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Campo de Clase de
Hilbert
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Rayos
11
Si θ ∈ R−Q es cuadrático, T(θ) tiene Multiplicacion Real: siK =
Q(θ)
Z ( End(T(θ)) ⊂ OK .
Programa de Multiplicación Real (Manin, 2004). Solucionar el
12
Problema de Hilbert en el caso de extensiones cuadráticas
reales
en el estilo de Weber-Fueter,
-
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Cuántico II
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Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
11
Si θ ∈ R−Q es cuadrático, T(θ) tiene Multiplicacion Real: siK =
Q(θ)
Z ( End(T(θ)) ⊂ OK .
Programa de Multiplicación Real (Manin, 2004). Solucionar el
12
Problema de Hilbert en el caso de extensiones cuadráticas
reales
en el estilo de Weber-Fueter, usando toros cuánticos con MR
-
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Hilbert
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11
Si θ ∈ R−Q es cuadrático, T(θ) tiene Multiplicacion Real: siK =
Q(θ)
Z ( End(T(θ)) ⊂ OK .
Programa de Multiplicación Real (Manin, 2004). Solucionar el
12
Problema de Hilbert en el caso de extensiones cuadráticas
reales
en el estilo de Weber-Fueter, usando toros cuánticos con MR
en
lugar de curvas elı́pticas con MC.
-
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Si θ ∈ R−Q es cuadrático, T(θ) tiene Multiplicacion Real: siK =
Q(θ)
Z ( End(T(θ)) ⊂ OK .
Programa de Multiplicación Real (Manin, 2004). Solucionar el
12
Problema de Hilbert en el caso de extensiones cuadráticas
reales
en el estilo de Weber-Fueter, usando toros cuánticos con MR
en
lugar de curvas elı́pticas con MC.
Manin esperaba la necesidad trabajar con los álgebras de
rotaciones iracionales A(θ),
-
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Si θ ∈ R−Q es cuadrático, T(θ) tiene Multiplicacion Real: siK =
Q(θ)
Z ( End(T(θ)) ⊂ OK .
Programa de Multiplicación Real (Manin, 2004). Solucionar el
12
Problema de Hilbert en el caso de extensiones cuadráticas
reales
en el estilo de Weber-Fueter, usando toros cuánticos con MR
en
lugar de curvas elı́pticas con MC.
Manin esperaba la necesidad trabajar con los álgebras de
rotaciones iracionales A(θ), pero hay un problema serio con
esteacercamiento:
-
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Si θ ∈ R−Q es cuadrático, T(θ) tiene Multiplicacion Real: siK =
Q(θ)
Z ( End(T(θ)) ⊂ OK .
Programa de Multiplicación Real (Manin, 2004). Solucionar el
12
Problema de Hilbert en el caso de extensiones cuadráticas
reales
en el estilo de Weber-Fueter, usando toros cuánticos con MR
en
lugar de curvas elı́pticas con MC.
Manin esperaba la necesidad trabajar con los álgebras de
rotaciones iracionales A(θ), pero hay un problema serio con
esteacercamiento: NO hay una nocion de π1 para álgebras C
∗
-
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11
Si θ ∈ R−Q es cuadrático, T(θ) tiene Multiplicacion Real: siK =
Q(θ)
Z ( End(T(θ)) ⊂ OK .
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12
Problema de Hilbert en el caso de extensiones cuadráticas
reales
en el estilo de Weber-Fueter, usando toros cuánticos con MR
en
lugar de curvas elı́pticas con MC.
Manin esperaba la necesidad trabajar con los álgebras de
rotaciones iracionales A(θ), pero hay un problema serio con
esteacercamiento: NO hay una nocion de π1 para álgebras C
∗ (para
construir series de Eisenstein, funciones ℘, etc.)
-
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Si θ ∈ R−Q es cuadrático, T(θ) tiene Multiplicacion Real: siK =
Q(θ)
Z ( End(T(θ)) ⊂ OK .
Programa de Multiplicación Real (Manin, 2004). Solucionar el
12
Problema de Hilbert en el caso de extensiones cuadráticas
reales
en el estilo de Weber-Fueter, usando toros cuánticos con MR
en
lugar de curvas elı́pticas con MC.
Manin esperaba la necesidad trabajar con los álgebras de
rotaciones iracionales A(θ), pero hay un problema serio con
esteacercamiento: NO hay una nocion de π1 para álgebras C
∗ (para
construir series de Eisenstein, funciones ℘, etc.)
Nota. La seudo-retı́cula 〈1,θ〉 no sirve par este propósito
-
El Programa de Multiplicación Real
Introducción
Toros Cuánticos
Toros Cuánticos
Foliaciones de
Kronecker
Espacio de Moduli de
Toros Cuánticos
Foliación de Anosov
Álgebras C∗
Geometrı́a No
Conmutativa
El Programa de
Multiplicación Real
Invariante Modular
Cuántico I
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
11
Si θ ∈ R−Q es cuadrático, T(θ) tiene Multiplicacion Real: siK =
Q(θ)
Z ( End(T(θ)) ⊂ OK .
Programa de Multiplicación Real (Manin, 2004). Solucionar el
12
Problema de Hilbert en el caso de extensiones cuadráticas
reales
en el estilo de Weber-Fueter, usando toros cuánticos con MR
en
lugar de curvas elı́pticas con MC.
Manin esperaba la necesidad trabajar con los álgebras de
rotaciones iracionales A(θ), pero hay un problema serio con
esteacercamiento: NO hay una nocion de π1 para álgebras C
∗ (para
construir series de Eisenstein, funciones ℘, etc.)
Nota. La seudo-retı́cula 〈1,θ〉 no sirve par este
propósitosiendodenso, sumas sobre sus elementos producen ∞.
-
Invariante Modular Cuántico I
Introducción
Toros Cuánticos
Invariante Modular
Cuántico I
Definición
Unidades y
Discriminantes
Fundamentales
Experimentos
Gráfica para La Razón
Áurea
Conjetura Principal
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
12
-
Definición
Introducción
Toros Cuánticos
Invariante Modular
Cuántico I
Definición
Unidades y
Discriminantes
Fundamentales
Experimentos
Gráfica para La Razón
Áurea
Conjetura Principal
Caracterı́stica Positiva
Invariante Modular
Cuántico II
Campo de Clase de
Hilbert
Campos de Clase de
Rayos
13
Sea θ �
