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SERIE DE NÚMEROS REALES.
Definición: Dada una sucesión denúmeros reales xn , se considera unanueva sucesión sn de la forma :s1 x1s2 x1 x2s3 x1 x2 x3
..
sk sk1 xkAl par ordenado (xn, sn se le llamaserie infinita o simplemente serie y laescribiremos como
n1
xn.
- A la sucesión sn se le denominasucesión de sumas parciales.- A los xk términos de la sucesión .- En ocasiones no empezaremos la seriepor n 1, sino que será convenienteempezar por n 5,n 0, . . .Aún cuando
por lo general los subíndices de loselementos de una serie son los númerosnaturales.CARACTER DE UNA SERIE.
- Si sn es convergente,nlim sn s ,
diremos que la serie es convergente y s
será la suma de la serie:n1
xn s.
- Si sn es divergente, diremos que laserie es divergente y su suma será
:
n1
xn .
- Si sn no tiene límite , diremos que laserie es oscilante.
Nota: El carácter de una serie no sealtera si se suprime un número finito de
sumandos.
SERIES CONVERGENTES.PROPIEDADES.
Teorema:i Si las series xn y yn convergen,entonces la seriexn yn converge ysu suma será :
xn yn xn yn
i Si la serie xn converge y c ,entonces la serie cxn converge y susuma será :
cxn c xn
Teorema:(condición necesaria deconvergencia)
Sin1
xn es convergente nlim xn 0
SERIES DE TÉRMINOS NONEGATIVOS.
Definición: Se dice quen1
xn es de
términos positivos si xn 0,n .- Las series de términos negativos setratan de forma análoga a la de terminospositivos.- Se pueden considerar y tratar comoserie de términos positivos aquellas paralas que xn 0, n N 0.
Teorema: Una serie de términospositivos, o es convergente o divergente,no puede ser oscilante.
CRITERIOS DE CONVERGENCIA.
Definición: Dadas dos series de términos
positivosn1
xn yn1
yn, diremos que
n1
xn es mayorante den1
yn, si n0
tal que xn yn, n n0.
n1
xn es minorante den1
yn, si n0
tal que xn yn, n n0.
1.Criterio de comparación de la mayorante
Seann1
xn yn1
yn series de términos
positivos.
i Sin1
xn es mayorante den1
yn yn1
xn
es convergente n1
yn es convergente.
ii Sin1
xn es minorante den1
yn yn1
xn
es divergente n1
yn es divergente.
2. Comparación con paso al límite.
Seann1
xn yn1
yn dos series de
términos positivos connlim xn
yn l 0,.
i Si l 0 y l , las dos series tienen elmismo carácter, es decir, convergen odivergen simultáneamente.
ii Si l 0 yn1
yn es convergente
n1
xn es convergente.
Si l 0 yn1
xn es divergente n1
yn es
divergente.
iii Si l yn1
yn es divergenten1
xn
es divergente.
Si l yn1
xn es convergenten1
yn
es convergente.
3. Serie armónica.Definición: Llamamos serie armónicageneralizada de orden a la serie
n1
1n
Teorema: (Convergencia de la seriearmónica generalizada).
La serien1
1n converge si 1 y
diverge si 1.
4. Criterio de la raíz.
Sean1
xn una serie de términos
positivos con
limn n xn l 0,
Entonces se cumple:
i) Si l 1 n1
xn es convergente.
ii) Si l 1 n1
xn es divergente.
iii) Si l 1 no se sabe.
5. Criterio del cociente.
Sean1
xn una serie de términos
positivos con
limnxn1xn l 0,
Entonces se cumple:
i Si l 1 n1
xn es convergente.
ii Si l 1 n1
xn es divergente.
iii Si l 1 no se sabe.
6. Criterio de Raabe.
Sean1
xn una serie de términos
positivos con
limn n1 xn1xn l
Entonces se cumple:
i Si l 1 n1
xn es convergente.
ii Si l 1 n1
xn es divergente.
iii Si l 1 no se sabe.
7.Criterio de condensación de Cauchy.
Sean1
xn una serie de términos
positivos decreciente, es decir, xn1xnn.
Entonces las seriesn1
xn yn1
2n x2n
tienen el mismo carácter.
SERIES ALTERNADAS.CRITERIO DELEIBNITZ .
Definición: Diremos que una serie detérminos reales es alternada si sussumandos son alternativamente positivosy negativos . Es decir si xn xn1 0,n .
Nota1. La forma más común depresentar una serie alternada es1n1xn ó1nxn con xn 0.
Nota 2. La serie xn también puedeconsiderarse alternada si xn xn1 0,n n0.
Criterio de Leibnitz.
Sean1
1n1xn una serie alternada. Si
la sucesión de términos positivos xnverifica:
i)nlim xn 0
ii) xn1 xn n (monótonadecreciente).Entonces la serie alternada esconvergente.Nota1:Observar que las condicionespara aplicar el criterio son dos, no hayque olvidar la monotonia.
Ej: 11 15 12
152
. . . . . . . 1n 15n . .
Esta serie es divergente aunque sutérmino general tienda a cero. Falla lamonotonía.
Nota 2: El criterio de Leibnitz es unacondicion suficiente pero no esnecesaria.
Ej: 113 122
133 142
. . . 12n 13
12n2
Esta serie es convergente , aunque nosea monótona.
SERIES DE TÉRMINOS ARBITRARIOS.CONVERGENCIA ABSOLUTA.
Definición: Una serie de términosarbitrarios, es aquella que no esnecesariamente ni de términos positivosni alternada.
Definición: Diremos que una serie xnes absolutamente convergente si|xn |es convergente.
Teorema: Si una serie xn esabsolutamente convergente, entonces esconvergente.
Nota: El teorema anterior es unaestrategia a seguir cuando intentamosestudiar el carácter de una serie detérminos arbitrarios. Estudiamospreviamente|xn | que es de términospositivos y que por tanto tenemos los
criterios para deducir su carácter.
Definición: Una serie escondicionalmente convergente cuandoes convergente pero no absolutamenteconvergente.
1. Criterio de Dirichlet.
La serien1
xnyn es convergente si se
cumple:i La sucesión de sumas parciales
den1
xn está acotada.
ii) yn es una sucesión monótonadecreciente con
nlim yn 0
2. Criterio de Abel.
La serien1
xnyn esconvergente si se
cumple:
iLa serien1
xn es convergente.
ii yn es una sucesión monótona yacotada.
SUMA DE SERIES.
1. Series aritmético -geométricas.Son de la forma:
n0
Pnrn
Donde Pn es un polinomio de gradomayor o igual que 1 y r es la razón.Será convergente cuando r 1.La suma se obtiene de forma similar alas geométricas.
2. Series hipergeométricas.
Son la que cumplen xn1xn an ban c
donde a,b,c , a 0.Son convergentes cuando c b a.Su suma vale S x1c
c a b
3. Series cuyo término general es dela forma Pn
n k! .
Se hace la descomposición en fraccionessimples del término general (en p 1) yentonces a partir de la fórmula
n0
1n! 1 1
1! 12!
13! . . . .
1n! . . e
se suman todas las series.
4. Series telescópicas.
La serie
n0
xn es telescópica si su
término general se puede poner de laforma.xn yn yn1 donde yn es otra sucesión.La serie será convergente cuando
nlim yn l
En este caso
n0
xn x1 l.
5. Series de StirlingSon aquellas cuyo término general es elcociente de dos polinomios de la forma:
xn PnQn
donde Pn es un polinomio de grado p yQn es un polinomio de grado m p 2.
xn Pn
n b1n b1 b2 . . .n b1 bmdonde b1 , b2,b3,.........,bm .Se hace la descomposición en fraccionessimples y al identificar coeficientesllegamos a que:a0 a1 . . . . . . . .am 0.
Una vez hecho esto se suman las seriesde las fracciones.