Seminar Ski Sistemi Diferencijalnih Jednacine

Ma{inski fakultet u Ni{u

Izborni predmet iz matematike

Stojanovi} Milo{ 10399 Sistemi diferencijalni jedna~ina -

seminarski rad-

prof: dr Predrag Rajkovi}

Februar, 2012

[SEMINARSKI RAD - SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAINA

-SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNACINE-

1.1.

Definicija sistema diferencijalnih jedna~ina

i re{enja sistema. Pojam prvog intergrala. 1.1.1.Definicja. Neka je F, data funkcija koja preslikava neki podskup iz Rm+2 u R. Jedna~ina koja sadrì bar neki od izvoda nepoznate funkcije y=y(x) nezavisno promenljive x, oblika (( )

)

naziva se obi~na diferencijalnih jedna~ina u implicitnom obliku. Red jedna~ine odredjen je redom najvi{eg izvoda koji se u njoj pojavljuje. Poseban oblik ove jedna~ine je jedna~ina re{ena po ,najvi{em izvodu( )

(

(

)

)

koja se naziva obi~na diferencijalna jedna~ina u normalnom obliku reda m.

1.1.1.Definicja. Neka su F,....., F date funkcije koje preslikavaju neki podskup iz R u R. Sistem jedna~ina ( ) * + ( )

naziva se eksplicitni sistem diferencijalnih jedna~ina prvog reda po nepoznatim ( ) * + funkcijama

1.1.2.Definicija. Re{enje sistema (1) je uredjena n-torkaStojanovi} Milo{ 10399 2

Februar, 2012


( ( )

( ))

( ) * + ( )) takva da stavljaju}i funkcija ( ( ) u (1) ovaj sistem postaje identitet tj. vaì ( ) ( ( ) ( )) * +

Sistem (1) poznat je kao normalni sistem i uop{te bilo koji sistem diferencijalnih jedna~ina re{en po najvi{im izvodima naziva se normalnim. 1 Svaki sistem od n jedna~ina prvog reda moè se svesti na normalni sistem oblika (1) 2 Svaki normalni sistem od n jedna~ina prvog reda moè se svesti na jednu jedna~inu n-tog reda po jednoj od nepoznatih funkcija

Obrnuto, svaka jedna~ina n-tog reda po nepoznatoj funkciji y moè se svesti na normalni sistem od n jedna~ina prvog reda. i.) Zaista, prvu jedna~inu diferenciramo n-1 puta:

Kako je

to je

( ) gde je sa Dakle, ozna~ena desna strana poslednje jedna~ine. Ovaj postupak moè se nastaviti sve do:

Stojanovi} Milo{ 10399

3

Februar, 2012

[SEMINARSKI RAD - SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAINA( )

(

)

ii.)

Prvih n-1 jedna~ina u i.) posmatramo kao sistem od n-1 jedna~ina sa n-1 nepoznatih y2,.., yn: ( ) ( ) ...( )

(

)

Pram teoremi o implicitnoj funkciji, ako je

| |

| |

0

sistem ima jedinstveno re{enje po y2,...,yn iii.) Neka je re{enje dato sa ( ... ( iv.)( ) ( )

)

)

Zamena y2,...,yn u poslednju jedna~inu u i.)( )

(

( (

( (

)

) ))

)

Dobijena jedna~ina je oblika( )

(

(

)

)

i predstavlja jedna~inu n- tog reda po y1 Eliminacijom nepoznatih funkcija iz prve jedna~ine sistema (1) i svih ostalih jedna~ina dobijenih diferenciranjem dobi}e se:Stojanovi} Milo{ 10399 4

Februar, 2012( )


(

(

)

)

( )

Obrnuto, jedna~ina (2) moè se svesti na normalni sistem od n jedna~ina prvog reda slede}im relacijama:

........

(

)

( Dakle, dobijen je sistem

)

........

( 1.1.3.Definicija.Prvi integral sistem (1) je svaka relacija ( ) (

)

) ( )) koja je re{enje sistema (1)

koju zadovoljava svaka n-torka ( ( ) 1.1.4.Teorema. Relacija ( sistema (1) ako i samo ako je )

(

) je prvi integral

Dokaz. Diferenciranjem po x relacijaStojanovi} Milo{ 10399 5

Februar, 2012


( dobi}e se

)

( )

( ) Po{to re{enje ( ( ) ( )) sistema (1) zadovoljava relaciju (3) bi}e

pa je relacija (4) oblika ( ) Obrnuto, neka za(3) vaì relacija(5). Razume se, diferenciranjem (3) po x dobi}e se istovremeno (4) i (5) tj.

( ) Oduzimanjem prve od druge jedna~ine sistema (6) dobi}e se ( Funkcije ) ( ) ( )

su linearno nezavisne pa je relacija (7) mogu}a ako je


6

Februar, 2012


{to zna~i da proizvoljno re{enje ( ( ) ) relaciju (

( )) sistema (1) zadovoljava

1.1.5.Primer.Re{iti slede}i sistem diferencijalnih jedna~ina

Re{enje.Sabiranjem jedna~ina ovog sistema dobi}e se ( Neka je u=x+y. Tada je Njeno re{enje je )

pa je poslednja jedna~ina oblika . Dakle,

je jedan prvi integral sistema (*). Oduzimanjem druge od prve jedna~ine sistema (*) dobi}e se ( )

Smenom x-y=v ova jedna~ina postaje , a njeno re{enje je . Vra}anjem na smenu x-y=v dobi}e se jo{ jedan prvi integral sistema (*) oblika .Stojanovi} Milo{ 10399 7

Februar, 2012


Iz ove dve relacije izra~unava se x i y u obliku

{to je re{enje sistema(*).

1.1.6.Definicija. Sistem diferencijalnih jedna~ina prvog reda po nepoznatim funkcijama oblika ( (8) gde su ( sistemom. ) poznate funkcije po naziva se simetri~nim ) ( )

Neposredno se zaklju~uje da se svaka od nepoznatih funkcija u sistemu (8) moè uzeti za nezavisnu promenljivu, a da se preostalih n-1 nepoznatih, nekom od metoda, izraze u funkciji od te nezavisno promenljive. 1.1.7.Teorema.Relacija ( sistema (8) ako i samo ako je ) ( ) je prvi integral

Ova teorema je direktna posledica teoreme 1.1.4. 1.1.8.Primer. Re{iti slede}i simetri~ni sistem diferencijalnih jedna~ina ( ) ( ) ( )Stojanovi} Milo{ 10399 8

Februar, 2012


(**) Re{enje.Neka je x-nezavisno promenljiva, a y i z funkcija od x. Iz (**) sledi ( ( Dakle, ( dobijamo ( tj. ( ) ( ) ) ( ) ) ) ( ) ( ) )

, a to je jedan prvi integral datog sistema. Zatim, iz ( ) ( ) ( )

) Poslednja jedna~ina je totalni diferencijal ~ije re{enje je ( {to zna~i da je takodje prvi integral sistema (**). Iz ova dva prva integrala dobja se re{enje za y i z, tj. op{ti integral sistema(**). 1.2.Homogeni sistemi linearnih diferencijalnih jedna~ina Radi jednostavnosti pri pisanju ovde }e biti razmotren sistem od tri jedna~ine sa tri nepoznate funkcije. Izloène metode neposredno se primenjuju na sistem od n linearnih diferencijalnih jedna~ina sa n nepoznatih funkcija. Sistem jedna~ina oblika

(9)

* +) date neprekidne funkcije promenljive t, a x,y,z gde su ( nepoznate funkcije iste promenljive t, naziva se homogeni sistem linearnih jedna~ina.Stojanovi} Milo{ 10399 9

Februar, 2012


Re{enje sisema (9) je bilo koja uredjena trojka funkcija ( ( ) ( ) ( )) koja identi~ki zadovoljava (9). Op{te re{enje sistema (9) je re{enje koje sadrì tri proizvoljne konstante ( ) koje se mogu oderediti tako da re{enje zadovoljava uslov ( ) ( ) gde su dati brojevi. Slede}e ~injenice lako se proveravaju. ) re{enje sistema (9), tada je ( 1 Ako je ( konstanta, takodje re{enje tog sistema. 2 Ako su ( re{enje sistema (9). 3 Ako su ( ( gde su proizvoljne konstante, takodje re{enjetog sistema. ),( )i( ) tri re{enja sistema (9), tada je ), (10) )i( ) gde je A proizvoljna

) dva re{enja sistema (9), tada je ( ), gde su proizvoljne konstante, takodje

4 Re{enje (10) je op{te re{enje sistema (9) ako je

za svako t iz posmatranog intervala. 1.3. Nehomogeni sistemi linearnih diferencijalnih jedna~ina Neka je poznato op{te re{enje homogenih sistema

(11)

u obliku:10


Februar, 2012


(12)

gde su proizvoljne konstante. Tada varijacijom konstanata mogu}e je odrediti op{te re{enje sisema nehomogenih jedna~ina

(13)

gde su (12)

neprekidne funkcije promenljive t. funkcije promenljive t, tada je iz

Zaista ako se pretpostavi da su

(14)

Zamenjuju}i (12) i (14) u (11) i vode}i ra~una da je (12) op{te re{enje sistema (11) dobi}e se:

(15)

Kako je (12) op{te re{enje sistema (11), determinanta

pa sistem algebarskih jedna~ina (15) ima jedinstveno re{enje po

.11


Februar, 2012


Integracijom ovih funkcija dobi}e se traène funkcije

.

1.4.Homogeni sistem sa konstantnim koeficijentima Ovde se razmatra sistem oblika:

(16)

gde su

(

*

+) date konstante.

Re{enje sistema (16) moè se traìti u obliku: ( gde su i r konstante koje se odredjuju slede}im postupkom: )

Iz (17) je

pa zamenom u (16) dobi}e se slede}i sistem ( ( ) ) ( ) ako je ( ) (18)

Homogeni sistem (19) ima netrivijalna re{enja po


12

Februar, 2012


Neka su koreni jedna~ine (20) razli~iti i neka su ozna~eni sa . Svakom korenu odgovara netrivijalno re{enje ( ) sistema (19) gde je k=1,2,3. Tada op{te re{enje sistema diferencijalnih jedna~ina (16) je oblika:

gde su

proizvoljne konstante.

1.4.1.Primeri. 1) Dat je sistem:

Stavimo:

Dobija se:

odnosno karakteristi~na jedna~ina u obliku:

t.j.

. Koreni su

Za

dobijamo:


13

Februar, 2012


t.j.

. Uzmimo da je

.

za ( Za

dobijamo ) ( ) ( )

bi}e:

Ili,

.

Odgovaraju}i sistem partikularnih integrala je: Za Zatim:(

.

)

(

)

(

)

t.j.

(

)

(

)

Za poslednji koren

dobija se:

odnosno:


14

Februar, 2012


(

)

(

)

Op{ti integral je:

(

)

(

)

(

)

(

)

odnosno posle sredjivanja ( * * ( (

)

) )

( (

)+ )+.

2) Dat je sistem:

Stavimo:

Dobi}emo karakteristi~nu jedna~inu: ( gde je .Stojanovi} Milo{ 10399 15

)

Februar, 2012


Za

i uzimaju}i

imamo:

Za

imamo dva sistema partikularnih integrala oblika: ( ( ( ) ) )

Posle zamene u sistemu dobijamo jedna~ine iz kojih sleduje rezultat:

Uvedemo li

, dobijamo , dobi}emo:

U slede}im jedna~inama ako uzmemo

Prema tome: ( ( ( i op{ti integral sistema je: ( ( ) ) ) ) ) ( ( ) )


16

Februar, 2012



17

Documents

Seminar Ski Sistemi Diferencijalnih Jednacine