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Preferencias - Función de Utilidad y el Problema de Maximización de la Utilidad.
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Preferencias, Función de Utilidad, y el
Problema de Maximización de la Utilidad.
J.C.Segura-Ortiz
Profesor Asistente, Facultad de Economía
Escuela Colombiana de Ingeniería
Bogotá, D.C., Colombia
Se han descrito y definido los elementos básicos del problema de elección del
consumidor:
• Su conjunto de Elección;
• Las restricciones que Enfrentan; y
• Sus preferencias.
En un contexto competitivo (los consumidores son tomadores de precios), los
precios y la riqueza entran como un dato y la conducta del consumidor consiste
en escoger el mejor plan de consumo alcanzable, esto es:
Encontrar x� ∈ ���p, �� que sea un elemento máximo de la relación de
preferencias ≿�
Un problema complicado e impráctico, ciertamente.
Por fortuna se ha logrado definir una función continua que a cada plan de
consumo le asigna un número único si es estrictamente preferido a otro. Este
resultado, desde el punto de vista formal, se resume en la siguiente definición:
Definición 1: La función ��: � → ℝ representa el preorden de preferencias ≿�
si para todo x� , x�� ∈ � se observa:
���� ≥ ��x�� ⟺ �� ≿� x�� La función �� se conoce como función de utilidad del i-ésimo consumidor.
Sobre la existencia de dicha función ya se han adelantado las pruebas en clase (el
estudiante deberá estar en la capacidad de replicar las pruebas y los resultados
pertinentes). Debreu (1959) aporta un resultado general al respecto:
Teorema 1: Sea ≿� una relación de preferencias definida sobre un subconjunto
conexo de ℝℓ. Entonces la relación ≿� puede representarse mediante una función
de utilidad contínua si y solo si ≿� es completa, transitiva (racional) y contínua.
Clases de Funciones de Utilidad
Las funciones de utilidad son susceptibles de ser clasificadas según diversas
propiedades que exhiben.
Funciones Monótonas y Estrictamente Cuasi-Cóncavas
La monotonía de las preferencias es heredada por la función de utilidad.
Considere la siguiente definición:
Definición 2: (Monotonía) La Función �: � ⊂ ℝ� → ℝ se dice monótona si para
todo �, �� ∈ �, � ≫ �� ⟹ ��� > ����
De esta definición se deriva que la función de utilidad construida sobre la
formulación axiomatica de las preferencias es, además de continua, monótona.
No Saciedad y No Saciedad Local
La No Saciedad y la No Saciedad Local de las preferencias se traduce
inmediatamente en la función de utilidad. En efecto, considere las siguientes
definiciones
Definición 3: (No Saciabilidad). La función ��: � → ℝ se dice no saciable si para
todo �� ∈ ℝ�ℓ existe un ��� ∈ ℝ�ℓ tal que ����� > ����.
Definición 3A: (No Saciabilidad Local). La función ��: � → ℝ se dice no saciable
localmente si para todo �� ∈ ℝ�ℓ y para todo escalar ℰ > 0, existe algún ��� ∈ ��� , ℰ tal que ����� > ����..
Una Función de Utilidad Cuasi-Cóncava Representa Preferencias
Estrictamente Convexas
Para demostrar este aserto, partamos de la definición común de función
estrictamente cuasi-cóncava (ver Escobar [2005])
Definición 4 (Funciones Estrictamente cuasi-cóncavas) Se dice que una
función �: � ⊂ ℝ� → ℝ es estrictamente cuasi-cóncava si para todo �, ! ∈ � y
cualquier " ∈ �0,1 se verifica:
��� ≥ ��! → �$"� + �1 − "!' > ��!
Recuerde que una relación de preferencias ≿� se dice estrictamente convexa si
dados �� , ��� ∈ �, y cualquier " ∈ �0,1 se verifica
�� ≿� ��� → "�� + �1 − "��� ≻� ���
Por lo tanto, si existe una función �: ℝℓ → ℝ que representa adecuadamente
la relación de preferencias ≿� , esta funcion ha de ser tal que: ���� ≥ ����� ⇔ �� ≿� ��� De modo que por la definición de convexidad estricta de las preferencias, y la
definición de función estrictamente cuasi-cóncava,
�$"�� + �1 − "���' > ����� ⇔ "�� + �1 − "��� ≻� ���
Observación 1: Cuando la función de utilidad es estrictamente cuasi-cóncava, el
problema de maximización de la utilidad sobre el conjunto presupuestal admite
cuando más una solución.
Observación 2: Al maximizar una función estrictamente cuasi-cóncava sobre un
conjunto convexo (como el conjunto presupuestario), todo máximo local es un
máximo global (por el Teorema Global-Local).
Funciones de Utilidad Homogéneas
Definición 5 (Función Homogénea). La función ��: ℝ�ℓ → ℝ es homogénea de
grado k, si para todo " > 0 y para todo �� se verifica: ���"�� = ",�����.
En general, la función de utilidad se considera homogénea de grado uno, es decir,
���"�� = "�����
Que es una simplificación admisible porque cualquier función de utilidad
homogénea de grado uno es una representación equivalente de una función de
utilidad homogénea de grado k.
Las Funciones Homogéneas Corresponden a Preferencias Homotéticas
Se dice que las preferencias son homotéticas si sus curvas de indiferencia se
relacionan mediante expansiones proporcionales.
Definición 6 (Preferencias Homotéticas): La relación de preferencias ≿� definida
sobre ℝ�ℓ se dice homotética si �� ~� ��� implica .�� ~� .��� para todo . ≥ 0.
Es fácil mostrar que una relación de preferencias es homotética si y solo si admite
una representación mediante una función de utilidad homogénea de grado 1 (Esta
demostración queda como tarea).
En el caso de las funciones de utilidad homogéneas, la TMS entre dos bienes es
constante sobre cualquier rayo que parta del origen:
0000 Bien 1Bien 1Bien 1Bien 1
Bien 2Bien 2Bien 2Bien 2
Si bien las funciones homogéneas constituyen un caso específico de funciones,
pueden exhibir diferencias notables:
Funciones de Utilidad Lineales (p. ej. Sustitutos Perfectos):
���/� = Σ,12ℓ .,��,
Curvas de Indiferencia (en ℝ�3 )
Mapa de Utilidad (en ℝ�4 )
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.25
0.5
0.75
10
0.25
0.5
0.75
1
0
0.5
1
1.5
2
0
0.25
0.5
0.75
1
Funciones de Utilidad tipo Leontief (Complementariedad Perfecta). ���/� = min, 8.,��,9
Curvas de Indiferencia (en ℝ�3 )
Mapa de Utilidad (en ℝ�4 )
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.25
0.5
0.75
10
0.25
0.5
0.75
1
0
0.25
0.5
0.75
1
0
0.25
0.5
0.75
1
Funciones de Utilidad Tipo Cobb-Douglas (Generan funciones de demanda en
las que el gasto en cada mercancía es fracción constante del ingreso)
���/� = Π,12ℓ ��,;< con Σ,12ℓ ., = 1
Curvas de Indiferencia (en ℝ�3 )
Mapa de Utilidad (en ℝ�4 )
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
100.25
0.50.75
1
0
0.250.5
0.751
0
0.25
0.5
0.75
1
0
0.25
0.5
0.75
1
Funciones de Utilidad de Elasticidad Constante de Sustitución (CES)
���/� = Σ,12ℓ =.,��,> ?@A
Curvas de Indiferencia (en ℝ�3 )
Mapa de Utilidad (en ℝ�4 )
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
100.25
0.50.75
1
0
0.250.5
0.751
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
Observación: Puede mostrarse que:
• Las funciones de utilidad lineales se obtienen de la funcion CES cuando B = 1.
• Las funciones de utilidad Cobb-Douglas aparecen como el límite de la función
CES cuando B → 0, y
• Las funciones de utilidad del tipo Leontief pueden generarse a partir de la
función CES cuando B → −∞.
(Se deja como tarea mostrar estas afirmaciones).
La Maximización de la Utilidad
Considere un consumidor cuyo conjunto de consumo es � = ℝ�ℓ . El consumidor
es tomador de precios que se representan mediante un vector p = �D2, ⋯ , Dℓ del
espacio ℝ�ℓ (todas las mercancías son deseables). El costo de adquirir un plan de
consumo o vector de mercancías x� = ���2, ⋯ , ��ℓ está dado por:
px� = Σ,12ℓ D,��,
Considere los siguientes supuestos:
Supuesto C1: � = ℝ�ℓ
Supuesto C2: La relación de preferencias ≿� se puede representar mediante una
función de utilidad ��: � → ℝ contínua, estrictamente cuasi-cóncava y monótona.
Supuesto C3: El vector de precios es estrictamente positivo y la riqueza es no
negativa: p ≫ 0, �� ≥ 0.
Si los supuestos C1 y C2 se verifican, el problema del equilibrio del consumidor se
puede formular como:
F �G� ���/�H. G. px� ≤ ��/� ≥ 0 J $K�L'
El Supuesto C2 garantiza que las preferencias son continuas, estrictamente
convexas y monótonas. La continuidad garantiza que [PMU] tiene solución
siempre que el conjunto de oportunidades sea compacto y no vacío. La monotonía
implica unicidad de las soluciones.
La Convexidad Estricta y la Monotonia implican: (1) Si existen soluciones, estarán
en el umbral de las oportunidades, (2) El problema tiene solución si los precios
son estrictamente positivos y la riqueza no negativa; (3) el problema no tiene
solucion si alguno de los precios es 0 o si la riqueza es negativa. El supuesto C3 se
deriva de esta última conclusión: al tomar p ≫ 0, �� ≥ 0 se garantiza que el
conjunto presupuestal sea compacto y no-vacío.
La Función de Demanda Individual
Considere de nuevo el programa [PMU]:
F �G� ���/�H. G. px� ≤ ��/� ≥ 0 J $K�L'
Se puede probar que bajo los supuestos C1, C2, y C3 existe una única solución x�∗
para todo �p, �� ∈ ℝ��ℓ × ℝ�ℓ . Esta solución es una función contínua de los datos �p, ��. Por lo tanto, x�∗ = O��p, ��
Donde O��p, �� es la función de demanda que dice cómo varía el plan de
consumo óptimo cuando cambian los precios y la riqueza.
Determinación de la Demanda para unos precios y una riqueza dados. Caso ℓ = 2.
Bien 1
Bien 2
p( )ii M,pβ
( )*2
*1
* , iii xxx
Propiedades de la Función de Demanda Individual:
• Bajo los supuestos C1, C2, y C3, el problema de maximizacion de la utilidad
[PMU] tiene una única solución, x�∗ = O��p, ��.
Observación 1: Si la �� < 0 y p ∈ ℝ�ℓ el conjunto preupuestario es vacío y [PMU]
no tiene solución.
Observacion 2: Si p ∈ ℝ�ℓ tiene algún elemento igual a cero, [PMU] tampoco
tendrá solución, pues todos los bienes se suponen deseables. En efecto, si por
ejemplo D, = 0, entonces �� siempre podrá incrementarse aumentando la
cantidad del k-ésimo bien, que no cuesta nada.
Bajo los supuestos C1, C2, y C3 la función de demanda O� es contínua en �p, ��.
La continuidad de la demanda requiere que los precios sean estrictamente
positivos. En efecto, si el vector de precios p tiene algún elemento nulo, la
demanda no estará definida y no puede ser contínua.
La continuidad de la demanda depende de que el supuesto de convexidad
estricta se cumpla. En efecto, suponga que este no es el caso y que las curvas de
indiferencia son como las que aparecen en el gráfico a continuación, de acuerdo
con las cuales el consumidor prefiere un bien a otro, antes que combinaciones
convexas (ejemplo: vino y cerveza en forma simultánea).
La no convexidad estricta implica discontinuidad de la demanda…
Bien 1
Bien 2
p
p’
p’’
Bajo estas circunstancias en las que las preferencias son no convexas, el cambio
en los precios relativos muestra como la demanda de los dos bienes presenta una
discontinuidad para cierto valor de p�:
Bien 1
*1p
1p
Sea x�∗ = O��p, �� la demanda del i-ésimo consumidor para �p, ��. Bajo los
supuestos C1 y C2 se verifica que:
i. px�∗ = ��
ii. ��x� ≥ ��x�∗ ⟹ px� ≥ px�∗ , con px� > px�∗ si ��x� > ��x�∗
Esta proposición asegura i.- que en el equilibrio el consumidor gastará toda su
riqueza, y ii.- que los planes de consumo mejores o iguales que el óptimo no
pueden ser mas baratos y de hecho serán más costosos si son estrictamente
preferidos.
La Función de Demanda cuando la Utilidad es Diferenciable
A los supuestos C1., C2., y C3., adiciónese el supuesto de que la función de utilidad
es diferenciable, de modo que el supuesto C queda:
Supuesto C1: � = ℝ�ℓ
Supuesto C2: La relación de preferencias ≿� se puede representar mediante una
función de utilidad ��: � → ℝ contínua, estrictamente cuasi-cóncava y monótona.
Supuesto C3: El vector de precios es estrictamente positivo y la riqueza es no
negativa: p ≫ 0, �� ≥ 0.
Supuesto C4: La función ��: � → ℝ es diferenciable.
Con el supuesto C4 es posible ahora recurrir al cálculo en la solución del problema
de elección del consumidor.
Observación 1: Bajo los supuestos C1 y C2 se cumple el Teorema Global-Local por
el cual todo máximo local es un máximo global por lo que la búsqueda de
máximos y mínimos vía cálculo diferencial es plenamente efectiva.
Observación 2: Si �� es diferenciable, la cuasi-concavidad estricta y la monotonía
(supuesto C2) implican que R���/� R⁄ /� > 0 para todo k y para todo /� .
Optimalidad en un Problema de Optimización de Funciones cuasi-cóncavas
Considere el siguiente programa [P]:
F �G� T�/�H. G. U�/� ≥ 0/� ≥ 0 J $K'
Donde T: ℝℓ → ℝ es función estrictamente cuasi-cóncava y U: ℝ�ℓ → ℝ,es un
conjunto de k funciones que definen una regín factible convexo y no vacío. Si /V∗ ∈ ℝ�ℓ resuelve [P], el teorema de Kuhn-Tucker exige que se cumplan las
siguientes condiciones en el óptimo: �W T′�/V∗ − "U′�/V∗ ≤ 0�WW /V∗$T′�/V∗ − "U′�/V∗' = 0�WWW "U�/V∗ = 0�WY RT�/V∗ R�Z∗[ > 0
La Analogía de [P] con el problema del consumidor [PMU] es directa:
F �G� ���/�H. G. px� ≤ ��/� ≥ 0 J $K�L'
Si el conjunto de restricciones U�/� ≥ 0 een [P] equivale a la restricción de
presupesto px� ≤ �� las condiciones (i) a (iv) serán:
�W′ \]^_/V∗`\a^< − "D, ≤ 0�WW′ �V∗ b\]^_/V∗`\a^< − "D,c = 0�WWW′ "$�� − p/V∗' = 0�WY′ R���/V∗R��, > 0
Examine las condiciones (i’) a (iv’) de cerca:
La cuasiconcavidad estricta y la monotonía de las preferencias (supuesto C2)
implican que para todo d = 1, ⋯ , ℓ y todo /� ∈ ℝ�ℓ la condición (iv’) será
satisfecha, es decir, R���/V∗ R��,⁄ > 0 se cumple.
Este resultado implica, junto con (i’) que " > 0. En efecto,
\]^_/V∗`\a^< − "D, ≤ 0 → \]^_/V∗`\a^< ≤ "D,
Puesto que el LHS de esta inecuación es positivo y los precios son positivos, se
requiere que " > 0 de modo que en el óptimo, 0 < ef^_/V∗`eg^< ≤ "D,.
En consecuencia, la condición (iii’) implica que en el óptimo, el consumidor
deberá gastar todo su ingreso. En efecto, dado que " > 0, la única manera de que
se cumpla "$�� − p/V∗' = 0, es que
�� = p/V∗
Finalmente la condición (i’) tiene un contenido interesante: Considere dos
mercancías k, j. Si en el óptimo se cumple que ��, > 0 y ��Z > 0
La condición (i’) puede escribirse en forma de igualdad reflejando la propiedad de
que en el equilibrio, la tasa marginal de sustitución es igual al ratio de los precios: R���/�∗ R��,∗⁄R��_/�∗` R��Z∗[ = "" D,DZ , d, h = 1,2, ⋯ , ℓ
Bien 1
Bien 2
p( )ii M,pβ
( )*2
*1
* , iii xxx
Suponga que ��,∗ = 0 para algún k. En este caso se tiene una solución de esquina,
evento que es posible incluso si R���/�∗ R��,∗⁄ > 0 y D, > 0 según se muestra a
continuación:
Bien 1
Bien 2
( )ii M,pβ
La Demanda Neta del Consumidor
La riqueza de un individuo está dada por el valor de sus activos. Si estos pueden
ser simbolizados mediante i� , ∀W = 1, ⋯ , k, la riqueza del individuo a los precios
p es:
�� = li�
Aquí se identifican tres componentes: Mi es la riqueza total del individuo, i� es un
vector de mercancías de propiedad del i-ésimo consumidor e incluye los recursos
materiales como los activos que puede vender en el mercado de factores.
Finalmente p es un vector de los precios de los bienes. Cada consumidor viene
caracterizado por la tupla:
_ � , ��,i�`�12m
De este modo, la riqueza del consumidor entra como un dato (un parámetro o una
variable exógena) que no cambia durante el análisis.
Con esta definición de la riqueza, se tiene una formulación alternativa de [PMU]
$K�L'
F �G� ���/�H. G. px� ≤ ��/� ≥ 0 J $K�L − i'
F �G� ���/�H. G. lx� ≤ li�/� ≥ 0 J
Donde con el término $K�L − i' se quiere significar el hecho de que en esta
versión el presupuesto des de naturaleza walrasiana. Las soluciones de este
problema son:
x�∗ = O�_p, ���p` ⟹ x�∗ = O��p
Esto es, la demanda del consumidor bajo $K�L − i' varían contínuamente con los precios p (recuerde que en el contexto
competitivo, los consumidores son price takers de modo que los precios son
exógenos).
Considere ahora la función O�n: ℝ�ℓ ⟶ ℝℓ definida como sigue:
O�n�p = O� − i�
La función O�n es la función de demanda neta y da la diferencia entre lo que un
individuo posee i� y lo que desea O�n.
En la figura el consumidor demanda un
plan de consumo /∗ = ��2∗, �3∗ mientras
que sus posesiones de esas mercancías
están definidas en el vector i.
Para satisfacer sus deseos, el
consumidor deberá ceder parte de sus
posesiones de mercancía 1 �i2 − �2∗
para obtener la cantidad faltante de
mercancía 2 ��3∗ − i3 que le hace falta
para disponer del plan de consumo
deseado, /∗ = ��2∗, �3∗.
Mercancía 1
Mercancía 2
ω
ω1
ω2
*1x
*2x
*x
Mercancía 1
Mercancía 2
ω
ω1
ω2
*1x
*2x
*x
Aún cuando las dotaciones del consumidor sean un parámetro fijo, su riqueza
puede variar con los precios (¿Puede proporcionar un ejemplo de la vida real de
este fenómeno?); en efecto, la riqueza es el valor de los recursos del consumidor;
por ejemplo, una disminución de la tasa de salario, hace que su riqueza se
reduzca.
El conjunto de puntos que describen elecciones óptimas del consumidor, dados
cambios en el sistema de precios (relativos) se conoce como curva de oferta-
demanda del consumidor y se nota OCi(p)
En la fihura a continuación, la línea punteada es precisamente la Curva de Oferta-
Demanda del i-ésimo consumidor en el caso ℓ = 2 que se obtiene de variar los
precios relativos:
Cada punto en OCi(p) es un
plan de consumo óptimo,
garantizado por la igualdad
entre la tasa marginal de
sustitución y la relación de
precios, que da la
pendiente de la curva de
presupuesto.
La posición de ésta función
está dada por ωi, a través
de la cual la línea
presupuestal ha de pasar
necesariamente.
OCi(p) que está en el
conjunto MIi(p) de planes
de consumo mejores o
iguales que ωi . Mercancía 1
Mercancía 2
iωMercancía 1
Mercancía 2
iω
( )iOC p
Propiedades de las curvas de oferta-demanda pqV�l:
i. Cada uno de los puntos sobre rs��p es un plan de consumo óptimo: es un
punto de tangencia entre la curva de indiferencia y la restricción de
presepuesto, esto es, allí las Tasas Marginales de Sustitución igualan los
precios relativos;
ii. El plan de consumo �� = i� siempre será un plan alcanzable para cualquier p
porque, según se observa en [PMU- i], lx� ≥ li� .
iii. Para cualquier l ∈ ℝ�t , ���x�∗ ≥ ���i� siendo x�∗ = O��p. En palabras, el
plan de consumo óptimo dado cualquier vector de precios siempre le
proporcionará una utilidad mayor o igual a la de los recursos que posee: La
utilidad de i� da pues el nivel mínimo de satisfacción que un consumidor
puede obtener en un mercado competitivo; en general el funcionamiento de
los mercados genera una distribución de bienestar que depende en buena
parte de la distribución inicial de los recursos entre los agentes económicos.
La Función de Exceso de Demanda
Suponga que en la economía hay W = 1, ⋯ , k consumidores, cada uno
caracterizado por una tupla de datos:
_ � , ��,i�`�12m
Para cada uno de ellos, la función de demanda neta individual está dada por una
función O�n: ℝ�ℓ ⟶ ℝℓ definida por:
O�n�p = O��p − i�
Dado un vector l ∈ ℝ�t la demanda neta agregada es la suma de las demandas
netas de todos los consumidores,
u O�n�pvV1w
Que es una función contínua de los precios de mercado.
Definición: La Función de Exceso de Demanda o Demanda Neta Agregada es una
función z: ℝ�ℓ ⟶ ℝℓ tal que para cada l ∈ ℝ�t :
z�p = ∑ O�n�pvV1w = ∑ O��p − ∑ i�vV1wvV1w
Que dice cual es la diferencia entre lo que el conjunto de todos los consumidores
demanda y lo que poseen.
Observación:
• Si z,�p > 0 la demanda de la mercancía k a los precios p es mayor que las
existencias totales de esa mercancía: es una situación de exceso de demanda.
• Si z,�p = 0 la demanda de la mercancía k a los precios p es igual a la oferta
(dada por ∑ i�vV1w )
• Si z,�p < 0 la oferta de la mercancía k a los precios p es mayor que las
existencias totales de esa mercancía: se presenta una situación de exceso de
oferta.
Es posible mostrar que si los precios son estrictamente positivos y la riqueza es
tal que i� > 0 la demanda neta del i-ésimo consumidor es una función continua
de los precios. Esta propiedad es heredada por la función de exceso de demanda
z, que también será función continua de los precios.
Gracias a los supuestos de monotonía y convexidad, el consumidor gastará toda
su riqueza en el equilibrio, lo cual significa que,
pz�p = u pO�n�pvV1w = u p�O��p − i�v
V1w = 0
Que es una propiedad conocida como Ley de Walras y dice que, para cualquier
vector de precios, el valor de la demanda neta agregada es igual a cero.
Observación: Suponga que los precios son estrictamente positivos, esto es,
suponga que p ≫ 0. Si sucede que la k-ésima mercancía presenta exceso de
oferta es decir, si z,�p < 0 (la oferta supera a la demanda de la mercancía k),
entonces deberá haber otra mercancía, por ejemplo la mercancía t tal que z{�p > 0 (habrá algún otro mercado en el que la demanda supere la demanda).
La Ley de Walras también describe la siguiente propiedad: si para cierto vector
de precios estrictamente positivo p ≫ 0 se verifica que z,�p = 0 para todo d = 1,2, ⋯ , ℓ − 1, entonces, necesariamente, zℓ�p = 0.
ℓ − 1 mercados estarán en equilibrio si y solo si lo están los ℓ mercados
existentes.
