Tema 2Microeconomía I MICROECONOMÍA I TEMA 2 UTILIDAD, PREFERENCIAS Y ELECCIÓN DEL CONSUMIDOR Juan Perote Peña Depto. de Análisis Económico Facultad de

Tema 2 Microeconomía I

MICROECONOMÍA I

TEMA 2

UTILIDAD, PREFERENCIAS Y ELECCIÓN DEL CONSUMIDOR

Juan Perote PeñaDepto. de Análisis Económico

Facultad de CC.EE. y EE.Universidad de Zaragoza

(Basado en apuntes elaborados por los profesores de la asignatura y en la bibliografía básica y recomendada)


Estructura del tema• El objetivo del tema es estudiar el modelo

básico de conducta del consumidor– 2.1. Introducción a la teoría del consumo– 2.2. Axiomática de la estructura de

preferencias– 2.3. Función de utilidad– 2.4. Restricción presupuestaria– 2.5. El equilibrio del consumidor


2.3. La función de utilidad• Como dijimos en la introducción, en los orígenes

de la tª de la conducta del consumidor (cardinalismo introspeccionista) se acuñó el término “utilidad” como forma de expresar la satisfacción, el placer, felicidad, etc. del consumidor (el fin último del consumo).

• Los economistas del siglo XIX intentaron además cuantificar y medir la utilidad, pero finalmente se abandonó la idea al demostrarse que la medición de la “utilidad” no es necesaria para explicar el comportamiento del consumidor

• Incluso es posible prescindir de la idea misma de “utilidad”: las preferencias son suficientes.


2.3. La función de utilidad• No obstante lo anterior, resulta útil

disponer de una función que proporcione una representación numérica de la ordenación de preferencias. Se trata de un criterio para asociar a cada cesta de bienes un número real que represente el lugar que ocupa en la ordenación de preferencias del consumidor, facilitando el proceso de optimización condicionada y permitiéndonos utilizar el cálculo.


2.3. La función de utilidad• ¿Cómo se define y construye una “función

de utilidad”?

• Por ahora, las preferencias del consumidor vienen descritas (y ordenadas) en conjuntos de indiferencia. Vamos a asignar a cada conjunto un nº real de esta forma:– Las cestas en el mismo conjunto de

indiferencia llevan asignado el mismo nº real– Las cestas en conjuntos de indiferencia

preferidos llevarán asignado un nº real más alto


2.3. La función de utilidad• Dadas 2 cestas de consumo q , q 2

les asignamos 2 nºs reales tales que:– U(q ) = U(q ) q s q– U(q ) > U(q ) q % q– U(q ) > U(q ) q % q

• Cualquier función que lo cumpla será una función de utilidad del consumidor:

• F: R+

• (q , q ) U = f(q , q )

0 1

0 0

0 0

00

1 1

11

1 1

1 1 22

Para el caso de dos bienes Q1 y Q2 : es una función

ordinal: la diferencia entre los números asociados a

diferentes cestas no significa nada, solo el signo


2.3. La función de utilidad• No importa el número en sí U(q1, q2), sino

sólo la ordenación!• Ejemplo: Dadas 3 cestas q, q, q 2 con

q % q % q , una posible ordenación por una función de utilidad sería U(q )=10, U(q )=8 y U(q )=5, pero eso no quiere decir que se valore q “el doble” que q …

• Otra función de utilidad igualmente válida podría asignar valores: U(q )=75, U(q )=6 y U(q )=1.3, y ambas contienen la misma información!

0

0 1

1 2

2

0

1 2

0 2

0 1

2


2.3. La función de utilidad• ¿Cómo construir una función de utilidad?

• A partir de las preferencias en el espacio de consumo (conjuntos de indiferencia)…

q2

q1I0

I1

I2

Mayor preferencia



• Trazamos un rayo vector arbitrario desde el origen y encontramos las cestas para

q2

q1I0

I1

I2

las que corta a lascurvas de indiferencia

qq

q

0

1

2



• Finalmente asignamos a cada curva el nº real que es la cantidad de q1 que se

q2

q1I0

I1

I2

corresponde concada punto de corte

qq

q

0

1

2

q1 q1 q10 1 2

U(q )=0

=U(q )2


• Y de ese modo asignamos a cada curva de indiferencia un número positivo:

• I(q ) U = f(q )• I(q ) U = f(q )• I(q ) U = f(q )• Y está claro que se trata de una función

de utilidad: todas las cestas del espacio de consumo tienen asignado un nº real positivo, único dentro de cada curva de indif. y tal que y las más alejadas, un nº mayor

2.3. La función de utilidad

0 0 0

1 1 1

2 2 2


2.3. La función de utilidad• Además, como lo único que importa es el

orden, la función de utilidad que representa las preferencias del consumidor no es única: toda transformación monótona creciente de una función de utilidad dada representa la misma ordenación de preferencias

• Dada U = f(q), consideremos V =U = [f(q)]

• ( dV/dU = 2U > 0 ): transf. Monótona crec.

• Representa las mismas preferencias!

2 2


2.3. La función de utilidad• La importancia de la función de utilidad

reside en que nos permite utilizar el cálculo (optimización condicionada) para resolver el problema del consumidor

• Se puede garantizar que si se cumplen los axiomas (1) a (7) sobre la ordenación de preferencias, siempre existirá una función de utilidad que las represente con las siguientes propiedades:


2.3. La función de utilidad• Propiedades de la función de utilidad:

• U = f(q) cumple:

• i) U > U q % q

• ii) U = U q s q

• iii) U es continua y doblemente diferenciable

• iv) U es monótona creciente

• v) U es estrictamente cuasicóncava

0 0

00

1 1

11


2.3. La función de utilidad• Propiedades de la función de utilidad:

• U = f(q) cumple:

• i) U > U q % q

• ii) U = U q s q

• iii) U es continua y doblemente diferenciable

• iv) U es monótona creciente

• v) U es estrictamente cuasicóncava

0 0

00

1 1

11

Representa las preferencias

Nos permite aplicar el cálculo

diferencialConsecuencia directa

del Axioma 4 (Insaciabilidad)


2.3. La función de utilidad• Si tenemos 2 bienes Q1 y Q2 y U = f(q1,q2)

• La monotonía creciente de (iv) implica que: U/q1 > 0 y U/q2 > 0.

• La cuasiconcavidad de U es lo mismo que decir que el conjunto de no inferioridad es estrictamente convexo: 8q 2 NI(q )= {q 2 q % q } = = {q 2 f(q) f(q )}.

• (v)

0

0 0

0



• La continuidad y doble diferenciabilidad de (iii) implican que U posee primeras y segundas derivadas respecto de todos los bienes: U/q1 = f1 y U/q2 = f2. Además son positivas por (iv): la utilidad marginal de cada bien es positiva (= en utilidad debido a qi ).

• Uqi qi qj

U2 2

2 = fii = fij (fij = fji)

Simetría

Las fii y fijpuedentener

cualquiersigno



• La estricta cuasiconcavidad de U (v) se define formalmente como sigue: Una función f(q) definida sobre un conjunto convexo es estrictamente cuasicóncava si 8q, q 2 tal que q = q , se cumple: f[ q + (1- )q ] > min { f(q ), f(q ) }, con 0<<

1 2 1 2

Si la desigualdad anterior se cumple con “” sedice que f es cuasicóncava (no “estrictamente”)

1 1 22


2.3. La función de utilidad• Propiedad:• La estricta cuasiconcavidad de la función de

utilidad U (v) implica que los conjuntos de no inferioridad son estrictamente convexos

• O sea, equivale a postular el axioma de convexidad estricta de las preferencias

• Formalmente: Dadas unas preferencias % y una función de utilidad U = f(q) que las representa, si % son estrictamente convexas (8q 2 NI(q ) es estrictamente convexo) f es estrictamente cuasicóncava.

0 0


2.3. La función de utilidad• Una vez definida la función de utilidad

(FU), podemos analizar su relación con los conjuntos de indiferencia de las preferencias % que representa.

• Fijamos la utilidad U en un determinado nivel U : U = f(q1, q2) expresa el conjunto de cestas de consumo que proporcionan la misma utilidad al consumidor = expresión analítica de un conjunto de indiferencia determinado, a partir de una FU que representa las preferencias %.

0 0


2.3. La función de utilidad• A cada uno de los conjuntos de

indiferencia anteriores los llamamos “curvas de indiferencia” (= contornos de la FU = representación de los conjunto de indiferencia de las preferencias % que representa la FU)

• Fijamos la utilidad U en un determinado nivel U : U = f(q1, q2). Ahora diferenciamos totalmente la expresión:

• dU = f1dq1 + f2dq2

• Como el nivel U está fijo, dU=0, así que:

00

0


2.3. La función de utilidad• dU = 0 = f1dq1 + f2dq2

• Despejando dq2/dq1 (bajo el supuesto de constancia de la U = U ):

• = - < 0, dado que f1, f2 > 0.

• La pendiente en cada punto de una curva de indiferencia es el cociente de las utilidades marginales y es siempre negativa (= las curvas de indiferencia son decrecientes = Axioma 4)

0

0

dq2

dq1U

f1f2


• Por otro lado, sabemos que las curvas de indiferencia son estrictamente convexas respecto del origen, es decir, cada una tiene que ser estrictamente convexa respecto de cada uno de los ejes.

• Demostraremos que si una curva de indif. es decreciente y convexa respecto a uno de los ejes, ello implica que también es convexa respecto del otro, o sea:

• Si < 0 y > 0 > 0


0

dq2

dq1U

dq2

dq1

dq1

dq2

2

2

2

2


• Si < 0 y > 0 > 0

• Consecuencia: el determinante hessiano orlado por las primeras derivadas es positivo


0dq2

dq1

Udq2

dq1

dq1

dq22

2

2

2

También se puede formula como…

dq2

dq1

2

2 > 0 H =

f11 f12 -f1f21 f22 -f2-f1 -f2 0

> 0


• Un concepto importante asociado a la pendiente de una curva de indiferencia es el de la relación marginal de sustitución (RMS).

• RMS = R1 : RMS del bien Q2 por el Q1.

• Indica la variación que experimenta la cantidad de Q2 (q2) ante un cambio en la cantidad de Q1 (q1) con la utilidad constante

• RMS = . O bien: RMS =


q2

q1 U=cte

q1

q2q1

q2

U=cte

q1

q2

2


• Como las curvas de indiferencia tienen una pendiente negativa por lo que la tasa de variación de un bien ante cambios en la cantidad de otro será negativa. Por convenio, la RMS lleva implícito el signo negativo.

• La RMS define, por tanto, el grado de sustitución entre los bienes = la tasa subjetiva de sustitución entre los bienes.

• RMS = - . O bien: RMS = -


q2

q1 U=cte

q1

q2q1

q2

U=cte

q1

q2


• Si consideramos variaciones infinitesimales en las cantidades, tenemos:



dq2

dq1 U=cte

dq1

dq2q1

q2

U=cte

q1

q2

q1

q2

U0

q1

q0

q1q1

q2

q2

0

0

1

1

Gráficamente…


• Así que la RMS coincide con la pendiente de una curva de indiferencia en un punto



dq2

dq1 U=cte

dq1

dq2q1

q2

U=cte

q1

q2

q1

q2

U0

q1

q0

q1q1

q2

q2

0

0

1

1

q1

q2


• RMS (q ) = - = tg ()

• RMS (q ) = - = tg ()


dq2

dq1

U=cte

dq2

q1

q2

q1

q2

U0

q0

q1

q2

0

0

q2

q1

0

0

dq1 U=cte

RMS en una cesta q cualquiera de la curva de

indiferencia U0

0


• dRMS

• dRMS


q1

q2

q1

q2

U0

A

q1

q2

0

0

q2

q1

Principio de decrecimiento de la RMS: partimos de A

dq1

dq2

< 0

< 0

Pasamos a un punto B más a la derecha de A

sobre la misma curva de indiferencia U0


• RMS (A) = tg (); RMS (A) = tg ().

• RMS (B) = tg (’); RMS (B) = tg ’


q1

q2

q1

q2

U0

A

q2

q1

’

’

B

q1

q1

q2

q2


• RMS (A) = tg () > RMS (B) = tg (’).

•

• RMS (A) = tg < RMS (B) = tg ’


q2

q1

q1

q2

U0

A

q2

q1

’

’

B

q2

q1

q1

q2

Por tanto, si q1 RMS q1

q2

dRMS dq1

< 0q1q2


• RMS (A) = tg () > RMS (B) = tg (’).

•

• RMS (A) = tg < RMS (B) = tg ’


q2

q1

q1

q2

U0

A

q2

q1

’

’

B

q2

q1

q1

q2

Por tanto, si q2 RMS q2

q1

dRMS dq2

< 0q2q1


• Propiedad: El principio de decrecimiento de la RMS es equivalente a afirmar la estricta convexidad de las curvas de indiferencia

• Demostración:

• = = - < 0 >0

• = = - < 0 >0


dRMSq1q2

dq1 dq1 dq1 dq1

dq22

2 2dq2d(-dq2/dq1)

2

Convexa respecto al eje q1

dRMS

dq2

d(-dq1/dq2)dq2 dq2

dq1 dq1

dq2

q1q2

2

2 2

2


• Relación entre la RMS y las utilidades marginales.

• RMS = - =

• RMS = - =

• La RMS es igual al cociente invertido de las utilidades marginales, y por tanto, el axioma de convexidad estricta es equivalente al decrecimiento de la RMS


dq2

dq1

U=cte

q2

U=cteq1

dq2

dq1q1

q2

f1

f1f2f2


• Así pues:

• < 0 H > 0

• El concepto de RMS es más simple que el de utilidad marginal porque es invariante ante transformaciones monótonas crecientes de la función de utilidad


dq1

dRMSq1q2


• Dada U = f (q1, q2), definimos RMS =

• Sea V = F [ U(q1, q2)] tal que = F’ > 0

• RMS = = = =

•

• = RMS sobre U.

• Lo cual es lógico, ya que toda transformación monótona creciente de la función de utilidad representa los mismos gustos del consumidor.


q1

q2 f1f2dV

dU

q1

q2 V/ q1

V/ q2

F’ U/q1

F’ U/q2

F’ f1F’ f2

f1 f2

q1

q2


2.3. La restricción presupuestaria• Ahora vamos a analizar qué impide al

consumidor elegir una cesta de consumo tan preferida como desee.

• El consumidor se enfrenta a una serie de restricciones de tipo económico:– El hecho de que los bienes sean escasos

implica que tienen un precio positivo.– El ingreso con el que el consumidor acude al

mercado es también limitado.


2.3. La restricción presupuestaria• Respecto de los precios:

– No consideramos los bienes libres, que son aquellos que existen en cantidades ilimitadas y por lo tanto, no hay que pagar por ellos.

– Consideraremos los bienes escasos, con precios positivos.

• Los precios de los “n” bienes Q1,…, Qn los denotamos como p1,…, pn, con pi > 0, 8i = 1,…, n.

• Nos situamos en un sistema de asignación competitivo: el consumidor es precio-aceptante: los precios son variables exógenas.


2.3. La restricción presupuestaria• Respecto del ingreso (= conjunto de recursos

con los que el consumidor acude al mercado), cabe considerar las alternativas siguientes:– Renta monetaria dada (= variable exógena), que es

un dato para el consumidor y no nos importa cómo la ha obtenido

– El consumidor acude con una dotación de recursos formada por los bienes físicos (o renta monetaria) y el total de tiempo disponible, con el que puede trabajar obteniendo un salario.

– Mezcla de las 2 anteriores: Una parte de los recursos lo constituye su renta monetaria inicial y otra parte una dotación física de bienes.


2.3. La restricción presupuestaria• Definición: Denominamos RB ó RP a a la

frontera del conjunto presupuestario:– Y = p1q1 + p2q2

– Gráficamente:

q1

q2




– Gráficamente:

q1

q2 Y = p1q1+ p2q2Y/P2

Y/P1

q2 = - q1Yp2 p2

p1




– Gráficamente:

q1

q2 Y = p1q1+ p2q2Y/P2

Y/P1

q2 = - q1Yp2 p2

p1

Y = cte

dq2

dq1=

- p1

p2< 0


2.3. La restricción presupuestaria• En este caso si conocemos los precios,

p1, p2, el gasto total en el que incurre el consumidor al elegir una cesta de consumo q = (q1, q2) es:– GT = p1q1 + p2q2

• El consumidor no puede gastar más que el volumen de su renta monetaria. La restricción económica o presupuestaria asequible: GT = p1q1 + p2q2 = Y.


2.3. La restricción presupuestaria• Def: Conjunto alcanzable o

presupuestario: es el conjunto de cestas de consumo que verifican la RP– B = { q p1q1 + p2q2 < Y }

• La frontera del conjunto la componen todas aquellas cestas que implican gastar íntegramente la renta Y, es decir, las que verifican la Restricción Presupuestaria con estricta igualdad.


2.3. La restricción presupuestaria• De dicha representación se deducen las

siguientes propiedades fundamentales:– Conjunto no vacío (contiene al origen)– Es cerrado (contiene a la frontera)– Está acotado– Es convexo

• Movimientos de la RB:– Varía la renta y los precios constantes:

(Y, p1, p2) (Y, p1, p2), con Y > Y– Varía sólo un precio: p1 p1 ( p1)

0 0 0 0 01 01

0 1


2.3. La restricción presupuestaria– Varía la renta y los precios constantes:

(Y, p1, p2) (Y, p1, p2), con Y > Y0 0 0 0 01 01

q1

q2

Y

p2

0

Yp1

0

0

0

Y = p1 q1 + p2 q21 0 0


2.3. La restricción presupuestaria– Varía la renta y los precios constantes:

(Y, p1, p2) (Y, p1, p2), con Y > Y0 0 0 0 01 01

q1

q2

Y

p2

0

Yp1

0

0

0

Y = p1 q1 + p2 q21 0 0

Yp1

1

0

Yp2

1

0


2.3. La restricción presupuestaria– Varía el precio del bien 1:

(Y, p1, p2) (Y, p1, p2), con p1 < p10 0 0 1 00 01

q1

q2

Y

p2

0

Yp1

0

0

0

Y = p1 q1 + p2 q20 01


2.3. La restricción presupuestaria– Varía el precio del bien 1:

(Y, p1, p2) (Y, p1, p2), con p1 < p10 0 0 1 00 01

q1

q2

Y

p2

0

Yp1

0

0

0

Y = p1 q1 + p2 q20 01

Yp11

0


2.5. El equilibrio del consumidor• En este apartado combinamos la

estructura de preferencias hasta ahora analizada y los elementos que determinan el conjunto asequible

• Hemos visto que el supuesto de racionalidad asegura que el consumidor elegirá aquella combinación de cantidades, dentro del conjunto asequible, tal que sea óptimo, es decir, lo más preferidas de entre todas las cestas alcanzables


2.5. El equilibrio del consumidor• El axioma de insaciabilidad de las preferencias

implica que las curvas de indiferencia más alejadas del origen representan mayores niveles de satisfacción y también que el consumidor gasta toda su renta monetaria, eligiendo alguna cesta situada sobre la RP (frontera del conjunto presupuestario)

q1

q2

q0 q

Supongamos que el consumidor

elige q del interior del conjunto

presupuestario

0


2.5. El equilibrio del consumidor• El axioma de insaciabilidad de las preferencias

implica que las curvas de indiferencia más alejadas del origen representan mayores niveles de satisfacción y también que el consumidor gasta toda su renta monetaria, eligiendo alguna cesta situada sobre la RP (frontera del conjunto presupuestario)

q1

q2

q0

q

q

1

2

Supongamos que el consumidor

elige q del interior del conjunto

presupuestario

0

Será cierto queq % q y q % q 0 01 2


2.5. El equilibrio del consumidor• Consecuentemente, la elección óptima del

consumidor es la consecuencia de resolver el siguiente problema de maximización condicionada:

• Max U = U (q1, q2)

• (q1, q2)

• s.a. p1q1 + p2q2 = Y

q1 > 0; q2 > 0

Función objetivo

RestricciónPresupuestaria


2.5. El equilibrio del consumidor• Resolución gráfica:• Gráficamente, el equilibrio del consumidor se

alcanza en el punto de tangencia entre la curva de indiferencia más alejada del origen y la RB: se alcanzará el nivel de utilidad más alto de entre todas las crestas de consumo alcanzables

q1

q2YP2

Y/p1


2.5. El equilibrio del consumidor• Resolución gráfica:• Gráficamente, el equilibrio del consumidor se

alcanza en el punto de tangencia entre la curva de indiferencia más alejada del origen y la RB: se alcanzará el nivel de utilidad más alto de entre todas las cestas de consumo alcanzables

q1

q2YP2

Y/p1q1*

q1*

U*E


2.5. El equilibrio del consumidor• Dado el mapa de curvas de indiferencia,

en el punto E se encuentra la línea de indiferencia de nivel más alto de entre todas las pertenecientes al conjunto asequible. La combinación E = (q1, q2) es la elección óptima del consumidor, proporcionando el nivel de utilidad más alto que se puede alcanzar entre las cestas del conjunto asequible, dados los precios de los bienes y la renta monetaria.

* *


2.5. El equilibrio del consumidor• Equilibrio: tangencia entre CI y RB

– Pte de la CI: RMS (E) = - = = tg()

– Pte de la RB: - = tg()

q1

q2YP2

Y/p1q1*

q1*

U*E

q1

q2 dq2

dq1U*

f1f2

p1

p2


2.5. El equilibrio del consumidor• Equilibrio: tangencia entre CI y RB

– Pte de la CI: RMS (E) = - = = tg()


q1

q2YP2

Y/p1q1*

q1*

U*E

q1

q2 dq2

dq1U*

f1f2

p1

p2

RMS (E) = = f1

f2

p1

p21

2


2.5. El equilibrio del consumidor• En el equilibrio se igualan la valoración

subjetiva del consumidor (RMS) y la valoración objetiva del mercado (RB)

• Supongamos que el consumidor eligiera una cesta F no de tangencia entre CI y RB:

q1

q2YP2

Y/p1q1*

q1*

U*E

RMS (E) = = f1

f2

p1

p212

F


2.5. El equilibrio del consumidor• La cesta F no es de equilibrio:

– Pte de la CI: RMS (F) = - = = tg()


q1

q2YP2

Y/p1q1*

q1*

U*E

q1

q2 dq2

dq1U*

f1f2

p1

p2

RMS (F) = > f1

f2

p1

p21

2

F

tg() > tg()


2.5. El equilibrio del consumidor• En la cesta F, la valoración subjetiva de

Q1 respecto de Q2 del consumidor es mayor que la del mercado: interesa comprar más Q1 y reducir gasto en Q2 hasta llegar al punto E.

• Por E pasa una curva de indiferencia más alejada del origen que por F.

• Reordenando términos de la condición de equilibrio: f1 f2=

p2p1

Ley de igualdad de las utilidades marginales

ponderadas


2.5. El equilibrio del consumidor• Reordenando términos de la condición de

equilibrio:

• El aumento de la utilidad debido al gasto en una unidad adicional es el mismo para ambos bienes.

f1 f2=

p2p1

Ley de igualdad de las utilidades marginales

ponderadas

Aumento en la utilidad que se consigue

gastándose el último € en comprar bien Q1

Aumento en la utilidad que se consigue

gastándose el último € en comprar bien Q2


2.5. El equilibrio del consumidor• Resolución analítica: problema de

maximización condicionada del consumidor: encontrar q = (q1, q2) t.q.

• Max U = U (q1, q2)

• (q1, q2)

• s.a. p1q1 + p2q2 = Y

q1 > 0; q2 > 0

Función objetivo

RestricciónPresupuestaria

No negatividad delas qi


2.5. El equilibrio del consumidor• Suponemos además que la solución es

interior al conjunto factible, es decir que el equilibrio o la elección óptima del consumidor E = (q1, q2) interior al conjunto factible: el consumidor demanda cantidades estrictamente positivas de los bienes: qi > 0, i {1,…,n}.

• Hay dos formas de resolución analítica:– Convertir el problema en uno de

maximización no condicionada de una sola variable

– Solucionar el problema de max. condicionada

* *

*


2.5. El equilibrio del consumidor• Conversión del problema en uno de

maximización no condicionada de una sola variable:– 1). Despejamos q2 como función de q1 en la

ecuación presupuestaria: q2 = - q1

– 2). Introducimos la restricción en la función objetivo (utilidad): U = f(q1, - q1) = f(q1)

• La condición de 1er orden de máximo es:

• = + = f1 + f2 (- ) = 0

Yp2

p1

p2

Yp2

p1

p2

dU Uq1 q2

Udq1 dq1 dq1

dq2dq2 p1

p2


2.5. El equilibrio del consumidor• De donde se deduce que:

• = RMS =

• Que es la condición de equilibrio del consumidor

• La condición de segundo orden es:

• < 0

f1f2

p1

p2 p2

p1

q1

q2

dU

dq1

2

2 H > 0

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