Tema 3 Las preferencias del consumidor y la función de utilidad

Tema 3

Las preferencias del consumidor y la función de utilidad

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Cestas de consumo

• Los objetos que elige el consumidor se denominan cestas de consumo

• Éstas consisten en una lista completa de los bienes y servicios a disposición del consumidor

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Las preferencias

• Las preferencias (gustos) de un consumidor ordenan las cestas de consumo según su atractivo

• Utilizaremos el signo para indicar que una ≻cesta se prefiere estrictamente a otra: (x1,x2) (y≻ 1,y2) quiere decir que (x1,x2) es estrictamente preferida a (y1,y2)

• Para abreviar a veces denominaremos la cesta (x1,x2) como la cesta X y la cesta (y1,y2) como la cesta Y

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Las preferencias

• Si un consumidor es indiferente entre dos cestas utilizamos el símbolo ~

• (x1,x2) ~ (y1,y2) señala que la cesta (x1,x2) es indiferente a (y1,y2)

• Si el individuo prefiere una de las dos cestas o es indiferente entre ellas decimos que prefiere débilmente la (x1,x2) a la (y1,y2) y escribimos (x1,x2) (y≽ 1,y2)

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Supuestos sobre las preferencias

• Completas: suponemos que es posible para el consumidor comparar dos cestas cualesquiera

• Transitivas: Si (x1,x2) (y≽ 1,y2) y (y1,y2) ≽(z1,z2), suponemos que (x1,x2) (z≽ 1,z2). En otras palabras. Si el consumidor piensa que la cesta X es tan buena como la Y y que la Y es al menos tan buena como la Z, piensa que la X es al menos tan buena como la Z

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Supuestos sobre las preferencias

• La transitividad es un requisito para que la elección del consumidor esté bien definida

• Supongamos que no se cumple. Por ejemplo, si tenemos (x1,x2) (y≻ 1,y2) y (y1,y2) (z≻ 1,z2) y además tuviéramos que (z1,z2) (x≻ 1,x2)

• Entonces no queda claro cuál es su elección, ya que independientemente de la elección siempre habría una cesta que es preferida a la elegida

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Las curvas de indiferencia

• Representa las cestas que son indiferentes entre sí

• La transitividad implica que las curvas de indiferencia no pueden cortarse

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xx22

xx11

XXYY

ZZ

II11

I2

9


• Tenemos tres cestas la X, Y y la Z. Z e Y pertenecen a curvas de indiferencia diferentes. La X se encuentra en la intersección de las dos curvas de indiferencia

• Como pertenecen a curvas de indiferencia diferentes Z e Y no pueden ser indiferentes. Supongamos que Y es preferida estrictamente a Z

10


• Según la definición de curvas de indiferencia tenemos que X es indiferente a Z y a Y

• La transitividad implicaría que Z e Y son indiferentes, lo cual es una contradicción

11

Sustitutivos perfectos• Si un consumidor está siempre

dispuesto a sustituir un bien por otro a una tasa constante entonces los bienes son sustitutivos perfectos

• La tasa de sustitución no es necesariamente igual a 1. Ejemplo: botellas de ½ litro de agua y botellas de 1 litro agua

• Las C.I. son Las C.I. son líneas rectas

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Sustitutivos perfectos

Coca-colaCoca-cola

FantaFanta88

88

1010

1010 CI2

CI1

Ejemplo: botellas de 1L de Ejemplo: botellas de 1L de coca-cola y de 1L de fanta.coca-cola y de 1L de fanta.El consumidor está indiferente El consumidor está indiferente entre ambas.entre ambas.La tasa de sustitución es 1La tasa de sustitución es 1

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Coca-colaCoca-cola

FantaFanta88

44

1010

55 CI2

CI1

Ejemplo: botellas de 1L de Ejemplo: botellas de 1L de coca-cola y de 0.5L fanta.coca-cola y de 0.5L fanta.La tasa de sustitución es 0.5La tasa de sustitución es 0.5

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Complementarios perfectos

• Si el individuo consume siempre los bienes 1 y 2 en proporciones fijas, entonces dichos bienes son complementarios perfectos

• Las C.I. tienen forma de L• Ej: Al consumidor le gusta tomar 1 churro

(bien 1) con cada taza chocolate (bien 2)

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Complementarios perfectosTazas Tazas chocolatechocolate

ChurrosChurros

CI1

4545oo

55

99

55 99

Las cestas (5,5), (5,9) y (9,5) contienen5 “tazas completas” asi que todas ellas son igualmente preferidas

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Complementarios perfectosTazas Tazas chocolatechocolate

CI2

CI1

4545oo

55

99

55 99

Dado que las cestas (5,5), (5,9) y (9,5) contienen 5 tazas completas, cada una de ellas es menos preferida a la cesta (9,9) que contiene 9 tazas completas

ChurrosChurros

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Saciedad• Si una cesta es globalmente

estrictamente preferida a cualquier otra cesta, entonces constituye un punto de saciedad o de máxima felicidad

• Cuanto más lejos esté el consumidor de esta cesta, menor será su bienestar y por tanto, estará situado en C.I. “más bajas”

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SaciedadBien 2Bien 2

PuntoPuntodedesaciedadsaciedad

Bien 1Bien 1

19

Saciedad

Bien 2Bien 2

Bien 1Bien 1

Mejor

Mejor

Mej

or

Mej

or

Punto dePunto desaciedadsaciedad

Mejor

20

SaciedadBien 2Bien 2

Bien 1Bien 1

MejorMejorMejor

Mejor

Mej

or

Mej

or

PuntoPuntodedesaciedadsaciedad

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Males

• Un mal es un producto que disgusta al consumidor

• Para aceptar que aumente su consumo de un mal hay que compensarle con un aumento de un bien, de forma que las CI tienen pendiente positiva

• Ejemplos: el ruido, la suciedad, la delincuencia, el trabajo (!)…

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Malesmal

bien

23

Bienes neutrales• Si una mayor cantidad de consumo de

un bien proporciona la misma satisfacción a una cantidad menor, el bien en cuestión es un bien “neutral”.

• Ejemplos:- Cualquier otro bien que no sea dinero para un avaro (Montgomery Burns en Los Simpson).- Gemelos para alguien que no use camisas

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Bienes neutrales

Bien neu-tral

bien

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Bienes discretos

• Un bien es infinitamente divisible si puede ser adquirido en cualquier cantidad, por ejemplo, el agua y el queso

• Un bien es discreto si se compra en unidades enteras, por ejemplo, coches, lavadoras, casas, etc.

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Bienes discretos

• Supón que el bien 2 es infinitamente divisible (gasolina) mientras que el bien 1 es un bien discreto (aviones). ¿Cómo son las curvas de indiferencia en este caso?

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Bienes discretos

Gas-Gas-olinaolina

AvionesAviones00 11 22 3 44

Las curvas de Las curvas de indiferenciaindiferenciason un conjunto son un conjunto de puntos discretosde puntos discretos

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Preferencias regulares

• Monótonas “cuanto más mejor”

• Convexas: el conjunto de las cestas débilmente preferidas a una cesta es convexo. Esto implica que se prefieren las medias a los extremos

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• Las dos condiciones anteriores implican que las curvas de indiferencia tienen pendiente negativa y son funciones convexas

• Las cestas que están encima (por debajo) de una curva de indiferencia son mejores (peores) que las cestas en la curva de indiferencia

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X1

X2

Cestas mejores

Cestaspeores

31

Preferencias regulares -- convexidad.

xx22

yy22

xx22+y+y22

22

xx11 yy11xx11+y+y11

22

X

Y

Z = X+Y

2

La cesta media La cesta media Z es preferida a Z es preferida a las cestas las cestas extremas X e Yextremas X e Y

32

Preferencias no-convexas

xx22

yy22

xx11 yy11

ZZ

Mejor La combinación La combinación

Z es peorZ es peorque las cestas que las cestas extremas X e Yextremas X e Y

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Preferencias no convexas

xx22

yy22

xx11 yy11

ZZ

Mejor

La combinación La combinación Z es peor que las Z es peor que las cestas extremas cestas extremas X e YX e Y

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Pendiente de las curvas de indiferencia

• La pendiente de una curva de indiferencia es su relación marginal de sustitución (RMS)

• ¿Cómo podemos calcularla?

• Y, ¿qué mide?

35

Relación marginal de sustitución

xx22

xx11

X’X’

RMS en X’ es la RMS en X’ es la pendiente de pendiente de la curva de la curva de indiferencia en X’indiferencia en X’

36


xx22

xx11

RMS en X’ esRMS en X’ es lim { lim {xx22//xx11}}

xx11 0 0

= dx= dx22/dx/dx11 en X’ en X’xx22

xx11

X’X’

37


xx22

x1

dxdx22

dxdx11

dxdx22 = RMS = RMS dx dx11

La RMS en X’ es la tasa a La RMS en X’ es la tasa a la que el consumidor está la que el consumidor está dispuesto a intercambiar el dispuesto a intercambiar el bien 2 por una pequeña bien 2 por una pequeña cantidad del bien 1cantidad del bien 1

X’X’

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• RMS = -2. El consumidor está dispuesto a dar 2 unidades de x2 por 1 más de x1

• RMS = -1. El consumidor está dispuesto a dar 1 unidad de x2 por 1 más de x1

• RMS = -0,5. El consumidor está dispuesto a dar media unidad de x2 por 1 más de x1

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RMS y las curvas de indiferencia

Nejor

Nejor

PeorPeor

Bien 2Bien 2

Bien 1Bien 1

Con 2 bienes Con 2 bienes una curva de una curva de indiferencia con indiferencia con pendiente negativa pendiente negativa implica que RMS < 0implica que RMS < 0

40


Mejor

Mejor

PeorPeor

Bien 2Bien 2

Mal 1Mal 1

Con un bien y un mal Con un bien y un mal la curva de la curva de indiferencia tiene indiferencia tiene pendiente positiva, pendiente positiva, por lo que RMS > 0por lo que RMS > 0

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Bien 2Bien 2

Bien 1Bien 1

MRS = - 5MRS = - 5

MRS = - 0.5MRS = - 0.5

La RMS siempre aumenta La RMS siempre aumenta con xcon x11 (se vuelve menos (se vuelve menos

negativa) cuando las negativa) cuando las preferencias son preferencias son estrictamente convexasestrictamente convexas

42

Función de utilidad

• Una función de utilidad es un instrumento para asignar números a todas las cestas de forma que las que se prefieran tengan un número más alto que las que no se prefieran

• Es una forma de resumir la información que contienen las preferencias

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Función de utilidad• Una función de utilidad U(X) representa

una relación de preferencia si y sólo si:

X’ X” U(X’) > U(X”)

X’ X” U(X’) < U(X”)

X’ X” U(X’) = U(X”).

~

44

Función de utilidad

• La utilidad es un concepto ordinal (se refiere a un ranking) y no cardinal (no conlleva información sobre la intensidad de las preferencias)

• Ej. si U(X) = 6 y U(Y) = 2, la cesta X es mejor que la cesta Y. Sin embargo, no indica que X sea tres veces mejor que Y

• Podríamos haber hecho U(X) = 3 y U(Y) = 2

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Función de utilidad• Considera las cestas (4,1), (2,3) y (2,2).

Supón que (2,3) (4,1) (2,2)

• Podemos representar estas preferencias asignando a estas cestas números que respeten el orden de preferencia;e.g. U(2,3) = 6 > U(4,1) = U(2,2) = 4

• Estos números representan diferentes niveles de utilidad. Los números concretos asignados son irrelevantes

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Curvas de indiferencia• Las preferencias se pueden representar

a través de una función de utilidad o de un mapa de C.I.

• Una C.I. contiene cestas que proporcionan la misma satisfacción

• Misma satisfacción mismo nivel de utilidad

• Todas las cestas situadas en una misma C.I. tienen el mismo nivel de utilidad

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Curvas de indiferencia

• Las cestas (4,1) y (2,2) están en una C.I. con nivel de utilidad U

• Pero la cesta (2,3) está en una C.I. con nivel de utilidad U 6.

• En un diagrama de C.I., podríamos representar dicha información de la siguiente manera:

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Curvas de indiferencia

U 6U 4

(2,3) > (2,2) ~ (4,1)

x1

x2

49

Funciones de utilidad

• Existen infinitas funciones de utilidad capaces de representar una cierta relación de preferencia

• Si U(.) representa las preferencias y V(.) es otra función que satisface

V(X) > V(Y) si y sólo si U(X) > U(Y)

para todo X, Y, entonces V(.) también representa dichas preferencias

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Funciones de utilidad• Supón que U(x1,x2) = x1x2 representa

una relación de preferencia. Considera de nuevo las cestas (4,1), (2,3) y (2,2).

• Dado que U(x1,x2) = x1x2, entonces:

U(2,3) = 6 > U(4,1) = U(2,2) = 4

• Por lo tanto, (2,3) (4,1) (2,2)

51

Funciones de utilidad• U(x1,x2) = x1x2 (2,3) (4,1) (2,2).

• Define V = U3

• Entonces V(x1,x2) = x13x2

3 y V(2,3) = 216 > V(4,1) = V(2,2) = 64

• De nuevo,(2,3) (4,1) (2,2).

• V establece el mismo ranking que U sobre todas las cestas y, por tanto, representa las mismas preferencias

52


• U(x1,x2) = x1x2 (2,3) (4,1) (2,2).

• Define W = 2U - 10.

• Entonces W(x1,x2) = 2x1x2 – 10, por lo que W(2,3) = 2 > W(4,1) = W(2,2) = -2. De nuevo,(2,3) (4,1) (2,2).

• W establece el mismo ranking que U y V y representa las mismas preferencias

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• Supongamos que U es una función de utilidad que representa una relación de preferencias y que f es una función estrictamente creciente

• Entonces V = f(U) también representará la misma relación de preferencia

• Decimos que f(U) es una transformación monótona creciente de U

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• Cualquier función de utilidad de la forma

U(x1,x2) = C x1a x2

b

con C > 0, a > 0 y b > 0 se denomina Cobb-Douglas

• Por ejemplo, U(x1,x2) = x11/2 x2

1/2 (aquí C=1, a = b = 1/2)

• V(x1,x2) = 5 x1 x23 (C=5, a=1, b=3)

55

Preferencias Cobb-Douglasx2

x1

Todas las C.I. son hipérbolas, siendo los ejessus asíntotas

56


• Considera la función de utilidad:V(x1,x2) = x1 + x2

• Para representar las preferencias, dibujamos varias C.I. asignando diferentes niveles de utilidad.

• Por ejemplo, todas las cestas que cumplen x1 + x2= 8 o x2 = 8 - x1

conllevan la misma utilidad

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4

4

8

8

12

12

x1

x2

x1 + x2 = 4

x1 + x2 = 8

x1 + x2 = 12

V(x1,x2) = x1 + x2.

58


4

8

8

12

12

x1

x2

V(x1,x2) = x1 + x2

Las C.I. son líneas rectas paralelas (con la misma pendiente)

4

Al individuo le interesa únicamente la cantidad total consumida:

59


• En general las preferencias por sustitutivos perfectos se pueden representar por la función de utilidad:

• En esta expresión a y b miden el “valor” que tienen los bienes para el consumidor.

V(x1,x2) =a x1+bx2

60


• Considera ahora:

W(x1,x2) = min{x1,x2}

¿Qué forma tienen las C.I.?

61

Complementarios perfectosx2

x1

45o

min{x1,x2} = 8

3 5 8

35

8

min{x1,x2} = 5

min{x1,x2} = 3

W(x1,x2) = min{x1,x2}

62

Complementarios perfectosx2

x1

45o

3 5 8

35

8

Todas tienen forma de L con los vérticessituados en una línea imaginaria construidadesde el origen

63

Complementarios perfectos

• En general, la forma general de la función de utilidad que describe las preferencias de complementarios perfectos es:

• Aquí a y b son dos números que indican las proporciones que se consumen de cada bien

• En concreto, x2 = (a/b)x1

W(x1,x2) = min{ax1, bx2}

64

Preferencias cuasilineales

• Una función de utilidad con la forma

U(x1,x2) = f(x1) + x2

es lineal en x2 y se denomina cuasi-lineal (por ser parcialmente lineal).

• Por ejemplo, U(x1,x2) = 2x11/2 + x2

65

Preferencias Cuasilinealesx2

x1

Las C.I. son traslaciones verticales de una única C.I.

66

Utilidad marginal

• La utilidad marginal con respecto al bien i es la variación obtenida en la utilidad al variar única y marginalmente la cantidad consumida del bien i:

ii x

UUM

67

Utilidades marginales

• Por ejemplo, si U(x1,x2) = x11/2 x2

2 entonces:

22

2/11

11 xx

2

1

x

UUM

68

Utilidad marginal

• Si U(x1,x2) = x11/2 x2

2 entonces:

221

12

2 2 xxx

UUM /

69


•La RMS es, gráficamente, la pendiente de la C.I. ¿Cómo se calcula?•A lo largo de la C.I., la utilidad permanece constante•Introduzcamos una pequeña variación en el consumo del bien 1: Δx1.

•Debido a ello, la utilidad varía en:

ΔU = UM1* Δx1

70


• Variamos ahora la cantidad del bien 2 de forma que el individuo esté ahora indiferente entre la cesta original y la nueva cesta (x1 + Δx1, x2 + Δx2):

ΔU= UM1* Δx1 + UM2* Δx2 = 0

71


• Podemos reescribir esta expresión como:

Δx2/Δx1 = -UM1/UM2 =

= -(U/x1)/(U/x2)

• Esta es la pendiente de la CI y, por lo tanto, la RMS

72


• Supongamos U(x1,x2) = x1x2. Entonces

Ux

x x

Ux

x x

12 2

21 1

1

1

( )( )

( )( )

1

2

2

1

1

2

/

/

x

x

xU

xU

xd

xdRMS

•Así:

73


1

2

x

xRMS

RMS(1,8) = - 8/1 = -8 RMS(6,6) = - 6/6 = -1.

x1

x2

8

6

1 6U = 8

U = 36

U(x1,x2) = x1x2;

74


• Cualquier transformación monótona de una función de utilidad nos proporciona otra función de utilidad que representa las mismas preferencias

• ¿Qué le ocurre al valor de la RMS cuando aplicamos una transformación monótona a la función de utilidad?

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Relación marginal de sustitución• Si V = f(U) donde f es una función

estrictamente creciente en U, entonces aplicando la regla de la cadena:

2

1

2

1

x/U)U('f

x/U)U(f

x/V

x/VRMS

2

1

/

/

xU

xU

• La RMS no se altera

76


• Para U(x1,x2) = x1x2, la RMS = - x2/x1

• La transformamos en V = U2. Es decir, V(x1,x2) = x1

2x22. ¿Cuál es la RMS

asociada a V?

• La misma que la asociada a U

1

2

221

221

2

1

2

2

/

/

x

x

xx

xx

xV

xVRMS

77


• Las transformaciones monótonas sí alteran las utilidades marginales

• Las transformaciones monótonas no alteran el cociente de las utilidades marginales y por lo tanto, no alteran la RMS

• Es una nueva forma de ver que las preferencias son las mismas

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