Robert Král

rkral@met.mff.cuni.cz

Poruchy krystalové mříže4. část

Dislokace – napěťové pole

Obr. Válcové souřadnice pro šroubovou dislokaci

Odpovídající skluz potom je

a smykové napětí působící na čela válce

a složky σrr a τrΘ jsou nulové.

Šroubovou dislokaci uvažujeme jako válcový mezistěn o délce l a vnějším poloměru r, viz obrázek níže, nacházející se v elasticky izotropním médiu. Nespojistost ve vychýlení atomů je pouze ve změru z, tj. rovnoběžném s dislokací.

Elastické deformace musí eliminovat výchylku b na délce 2πr. V elasticky izotropním materiálu musí k eliminaci výchylky dojít rovnoměrně podél celého obvodu, takže v polárních souřadnicích je posuv dán výrazem w=bθ/2π v polárních souřadnicích (r, θ, z).

rbz 2/

rbz 2/

Dislokace – napěťové poleV kartézských souřadnicích (x, y, z), dostáváme nenulové složky

Pro hranovou dislokaci je v kartézských souřadnicích

kde

22

22

2/

2/

yxbx

yxby

yz

xz

222

22

)(

)3(

yx

yxyDxz

222

22

)(

)(

yx

yxyDyy

222

22

)(

)(

yx

yxxDxy

)1(2/ bD

Dislokace je čárová porucha, která se v krystalu rozprostírá na velké vzdálenosti. Vzhledem k tomu, že je o poruchu perfektního krystalu, je s ní spojena určitá deformační energie (angl. strain energy). Kromě celkové energie můžeme dislokaci charakterizovat i energií na jednotku délky (rozměr J m-1).

Pro šroubovou dislokaci můžeme odhadnout elastickou deformační energii, pokud energii (tj. 1/2 napětí defomace, na jednotkový objem) v prstenci kolem dislokace s poloměrem r a tloušťkou dr vyjádříme jako

Celkovou deformační energii potom získáme integrací od poloměr jádra dislokace r0 po vnější poloměr napěťového pole r.

Dislokace – deformační energie

rdrrbrb 2)2/()2/(2

1

0

22

ln44 0 r

rb

r

drbE

r

r

V případě hranové dislokace je energie modifikována členem 1/(1-ν) a je tudíž cca o 50% vyšší než u šroubové dislokace. V typickém krystalu platí r0 0.25 nm, r 2.5 μm a ln [r/r0] 9.2, takže energie je přibližně μb2 na jednotkovou délku dislokace.

V případě mědi dostáváme pro μ = 40 GPa, b 0.25 nm a 1eV = 1.6 10-19J hodnotu cca 4 eV na každou atomovou rovinu, kterou dislokace zkroutí do šroubovice. K tomu je třeba přičíst energii jádra dislokace, která je cca μb2/10, neboli ½ eV, na jednu rovinu.

V silně deformovaných kovech může hustota dislokací (m/m3=m-2) dosahovat až 1016m-2, což vede k vysoké hodnotě energie uložené v mřížce, např. 4J/g u mědi.

Je jasné, že v důsledku této vysoké energie bude mít dislokace tendenci ke zkrácení své délky na minimální hodnotu a z tohoto pohledu můžeme uvažovat, že její čára má napětí analogické např. plošné energii filmu mýdlové vody T αμb2, kde α ½.

Dislokace – deformační energie

Napěťové pole dislokace bude vzhledem ke svému dalekému dosahu ovlivňovat mj. ostatní dislokace v krystalu. Lze si snadno představit, že dislokace jedné orientace (např. pozitivní) bude přitahovat dislokaci opačné orientace (negativní) tak, aby se jejich napěťová pole mohla vyrušit.

Obecně platí pravidlo, že dislokace budou vzájemně interagovat tak, aby celková energie krystalu byla minimální.

Dvě dislokace stejného znaménka se tak budou vzájemně odpuzovat, protože jejich celková energie při velké vzdálenosti bude odpovídat 2 b2, zatímco pokud by splynuly v jednu dislokaci s Burgersovým vektorem 2b, jejich energie by odpovídala (2b)2 =4b2.

Pokud uvážíme, že pro šroubovou dislokaci je napětí ve vzdálenosti r rovno τ = μb/2πr a síla na dislokaci F = τb, dostáváme

F = μb2/2πr

kde r je vzdálenost a b je Burgersův vektor stejný pro obě dislokace.

Dislokace – vzájemná interakce

Dislokace – vzájemná interakce

Obr. Interakce dislokací opačného znaménka na různých skluzových rovinách.

Hranové dislokace stejného znaménka se odpuzují a opačného přitahují podél spojnice mezi nimi, ale složka síly ve směru skluzu, která je podstatná pro pohyb dislokace, se mění s úhlem θ.

V případě šroubové dislokace je napěťové pole válcově symetrické, síla vzájemné interakce závisí pouze na vzdálenosti a uvedený vztah platí i pro šroubové dislokace na sousedních skluzových rovinách.

Pro rovnoběžné hranové dislokace je situace složitější. Pokud leží ve stejné skluzové rovině, vztah je obdobný jako pro šroubové dislokace a má tvar F = μb2/(1-ν)2πr. Pokud dislokace neleží na stejné skluzové rovině, síla závisí také na úhlu θ mezi Burgersovým vektorem a spojnicí obou dislokací, viz obr.

Dislokace – vzájemná interakce

Obr. Interakce dislokací stejného znaménka na různých skluzových rovinách.

Pokud mají hranové dislokace opačná znaménka, působí pro θ > 45° mezi dislokacemi přitažlivá síla a pro θ < 45° síla odpudivá a v rovnovážné poloze se dislokace nachází, pokud je úhel právě 45°.

Pro dislokace s stejnými znaménky platí výše uvedené obráceně a poloha θ = 45° představuje labilní rovnovážnou polohu a stabilní rovnovážná poloha se nachácí v pozici θ = 90°. Dislokace se proto uspořádají jedna nad druhou v rovině kolmé na rovinu skluzu.

Takováto stěna dislokací vytváří maloúhlovou hranici zrna (angl. low-angle nebo small-angle boundary), viz obr.Pokud je vzdálenost jednotlivých rovin stejná a rovna h je úhel na hranici roven

θ = b/h .

Dislokace – vzájemná interakceTento typ pole dislokací (angl. array) se někdy nazývá hranicí subzrna (angl. sub-grain boundary) a hraje důležitou roli při žíhání deformovaných kovů (angl. annealing).

Při tomto uspořádání se pole dalekého dosahu jednotlivých dislokací vyruší ve vzdálenosti od hranice rovné řádově h. Z toho plyne, že energie hranice subzrna bude rovná součtu energií jednotlivých dislokací, z nichž každá je rovna

na jednotkovou délku dislokace (ve směru kolmo k rovině obrázku na předcházejícím snímku).

Na jednotkovou délku hranice subzrna (ve svislém směru na obr.) připadá 1/h neboli θ/b dislokací a tudíž můžeme energii na jednotkovou plochu hranice subzrna γgb, vyjádřit v závislosti na úhlu hranice subzrna θ = b/h následující rovnicí.

)/ln()1(4/ 02 rhb

Dislokace – vzájemná interakce

ln

ln)1(4

ln)1(4

0

0

2

0

2

AE

r

bb

br

hb

gb

gb

gb

)1(4/0 bEKde jsme zavedli a .

Tento vztah se nazývá Readovou-Shockleyho rovnicí a hodnoty plošné energie určené na jejím základě se shodují s experimentálně zjištěnými hodnotami dokonce i pro relativně velké úhly.

Pro θ 25° je γgb μb/25 neboli 0.4J/m2, což je překvapivě blízko hodnotě plošné energie obecné vysokoúhlové (angl. Large-angle) hranice zrna.

)/ln( 0rbA

Dislokace v iontových strukturách

Obr. Dvě navíc vložené polovrstvy iontů u hranové dislokace v NaCl. Kationty znázorněny stínovaně.

Rovina s nejtěsnějším uspořádáním {100} obvykle není preferovanou rovinou skluzu, vzhledem k silné k elektrostatické interakci, ke které by docházelo ve skluzové rovině v průběhu skluzu.

Iontové krystaly s velkými rozdíly ve velikosti iontů mají většinou strukturu fcc jak NaCl. Při malých rozdílech ve velikosti je to kubická prostá struktura.

Na obrázku níže je znázorněna struktura NaCl se „vsunutou“ polorovinou skládající se z jedné vrstvy Na+ iontů a jedné vrstvy Cl- iontů. Skluzový systém v materiálech se strukturou obdobnou NaCl je převážně a/2<110>{110}.

Dislokace v iontových strukturách Stejné ionty jsou přemísťovány v rovině skluzu do sousední pozice v případě roviny (110), ale ne (100). Dislokace v těchto materiálech jsou proto jednodušší než v fcc kovech, ale na druhou stranu mohou nést elektrický náboj, jako dislokace na rovině {110} v našem případě.

Na obr níže jsou ukázány různé stupně na dislokaci, které jsou buďto nabité nebo nenabité. Stupně v místě B a C mají kladný nápoj +e/2 protože celý úsek BC má celkový náboj e. Stupeň D nemá náboj.

Obr. Hranová dislokace v NaCl s nabitými a nenabitými stupni (jogs).