8/14/2019 Rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuaiilor

1/31

REZOLVAREA PROBLEMELOR CU AJUTORUL ECUAIILOR

OBIECTIVELE ACESTUI CAPITOL

Prin rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuaiilor, cunotinele de algebr aleelevilor se ncheag, n sensul c aici se aplic aproape tot ce au nvat ei la algebr:calcul algebric, rezolvarea ecuaiilor i a sistemelor de ecuaii i, mai ales, ei nva saplice aceste cunotine la situaii concrete ct mai variate. Trebuie, totui, subliniat c,dac este adevrat c aceste probleme au un coninut concret, cele mai multe dintre elenu sunt cu adevrat practice. Cnd parcurgi zecile de probleme care se gsesc n manualei n culegeri, vei gsi cu greu o problem care s fi izvort efectiv din activitateapractic din zilele noastre. Cele mai multe dintre ele dateaz din Evul Mediu sau sunt imai vechi. n lumea colar, temele vechi au fost reluate i amplificate, uneori li s-a

schimbat haina, aa c astzi dispunem de un stoc imens de probleme, dintre care unelesunt foarte complicate. Trebuie s ne ferim de exagerri. S nu transformm acesteprobleme ntr-un scop n sine. Ele sunt un exerciiu util al spiritului, dar numai att. Pentrustudiile de mai trziu, aceste probleme nu sunt absolut necesare. n aplicaii, ori de cteori trebuie scris ecuaia care descrie o anumit situaie, se dau toate explicaiile. Deexemplu, la fizic apare, n legtur cu calorimetrul, o ecuaie destul de lung careexprim c cantitatea de cldur pe care o cedeaz un corp este egal cu cantitatea decldur pe care o primete un alt corp. Aceast problem, pus ntr-o culegere deprobleme de algebr, ar fi considerat ca o problem uoar. Totui, n crile de fizic seexplic amnunit cum se ajunge la ea. Din aceste motive nu se poate formula precis caresunt obiectivele acestui capitol. Se poate spune doar att: elevii s fie n stare s rezolvecu ajutorul ecuaiilor probleme de greutate mijlocie; nu se poate spune precis ce este oproblem de greutate mijlocie, dar se poate face recomandarea ca profesorul s pstrezemsura.

CE ESTE O PROBLEM DE ALGEBR

1. Ce este o problem de algebr? 2. Problemele inverse 3. n ce const

dificultatea de a rezolva unele probleme pe cale aritmetic?4. Caracterul relativ al acestei clasificri

n lumea colar se face distincie ntre probleme de aritmetic, ce se pot rezolvape baza cunotinelor care se capt la aritmetic i probleme de algebr, care se rezolvcu ajutorul ecuaiilor, sau ntre soluia aritmetic i soluia algebric a unei probleme. nultim analiz, orice problem care se poate rezolva cu ajutorul unei ecuaii de gradul I

8/14/2019 Rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuaiilor

2/31

sau a unui sistem de dou ecuaii de gradul I cu dou necunoscute se poate rezolva i pecale aritmetic. Acest lucru este uneori foarte anevoios, dar este totdeauna posibil. Careeste atunci deosebirea dintre problemele de aritmetic propriu-zis i problemele dealgebr? De ce este uneori foarte greu s rezolvi pe acestea din urm pe cale aritmetic?

1.Ce este o problem de algebr?Mijlocul cel mai bun de a clasifica problemele la carene referim este de a examina ce fel de relaii ntre date i necunoscute intervin n ele.Acest lucru se vede cel mai bine pe ecuaiile respective. Orice problem de aritmeticpoate fi pus n ecuaie. Cazurile cele mai banale sunt, de exemplu, probleme ca: O ladare akg, o alt lad are bkg; ct au cele dou lzi mpreun? sau: O lad conine akg; ctconin b lzi? crora le corespund ecuaiile: x = a + b i x = ab. Aceste cazuri suntbanale fiindc ecuaia apare gata rezolvat. Lucrurile se schimb ndat ce ecuaia conineo operaie n care unul din componeni este necunoscut, ca n problemele inverse celor demai sus: Dou lzi au mpreun akg, iar una din ele are bkg; ct are cealalt? respectiv: Olad conine akg, cte lzi conin bkg? De data aceasta, ecuaiile snt respectiv: a + x =

bi ax = b, i trebuie rezolvate n raport cu x. Totui, aceste probleme sunt privite caprobleme de aritmetic, nu de algebr. Aceasta se datorete faptului c n coal lucrurilese prezint altfel. Ecuaiile a + x= bi ax= bnu sunt prezentate ca ecuaii. Cu ajutorullor se definesc dou operaii noi: n loc de: a rezolva ecuaia a + x= b, se spune: a scdeaa din b; aceast operaie se noteaz i i se d o semnificaie concret (a scoate bobiecte dintr-o colecie de aobiecte, a micora a cu b .a.m.d.). Tot aa, n loc de arezolva ecuaia ax= b,se spune: a mpri bprin a; aceast operaie se noteaz : i areo semnificaie concreta (de cte ori se cuprinde an b, cte pri de msur ase pot facedintr-un obiect de msur b.a.m.d.).

Datorit operaiilor inverse, se ocolete noiunea de ecuaie i cu ajutorul celorpatru operaii aritmetice se pot rezolva un numr mare de probleme puse de practic.Problemele complexe se descompun n probleme simple, care duc la forma x = a+ b, x=a - b, x = ab, x = a:b, unde ai bsunt numere date sau care se afl n prealabil tot prinprobleme de acest tip. n cadrul aritmeticii se rezolv i probleme a cror ecuaie estemai complicat. Cele mai importante sunt cazurile cnd ecuaia are forma: x:a = b:csaua:x = b:c. Aceste probleme sunt obiectul unui capitol special Regula de trei. La

capitolul Procente apare nevoia de a rezolva ecuaia:100

NpP= n raport cu N sau n

raport cu p (aflarea ntregului cnd se cunoate un numr de procente din el, aflarearaportului procentual a dou numere); la probleme de amestec i aliaj apare nevoia de arezolva ecuaia bft := (t -titlul, f - greutatea metalului preios, b- greutatea (brut) a ntregului aliaj). Aceste probleme se rezolv prin regula de trei simpl sau pe bazaproprietilor operaiilor. Comun acestor ecuaii este faptul c necunoscuta figureaz osingur dat.

2

8/14/2019 Rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuaiilor

3/31

S considerm n schimb problema: Ce numr trebuie s adugm la ambii termeni ai

fraciei18

11ca s obinem o fracie egal

3

2? Este drept c problema se poate rezolva

pe cale aritmetic (aflarea a doi termeni cnd se cunoate diferena 18 11 = 7 i raportul2:3), dar n mod obinuit aceast problem este privit ca problem de algebr. Ecuaia eieste:

32

1811 =

++xx .

Deosebirea esenial dintre aceast ecuaie i cele precedente const n faptul cnecunoscuta figureaz aici de dou ori. n general, se poate spune c: dac n ecuaia uneiprobleme necunoscuta figureaz cel puin de dou ori, avem de-a face cu o problem dealgebr. Acest fapt a fost verificat pe un numr mare de probleme din diferite manualede algebr. Aici avem n vedere problemele cu o singur necunoscut. Problemele cu dousau mai multe necunoscute sunt, n general, probleme de algebr - n afar de cazul cndproblema se reduce uor la o problem cu o singur necunoscut, valorile celorlalte

necunoscute fiind uor de aflat ndat ce s-a aflat valoarea uneia din ele. Nu avem nvedere aa-numitele probleme tipice, nici problemele care se rezolv prin metode speciale(metoda ipotezelor, metoda retrograd etc).

2. Problemele inverse. Deosebirea dintre problemele de aritmetic i problemele dealgebr cu o singur necunoscut se poate pune n eviden i cu ajutorul noiunii deproblem invers. Am artat mai sus c ecuaiile cele mai simple apar la definireaoperaiilor inverse. Aceast idee se poate generaliza. Fiind dat o problem n careintervin nnumere cunoscute, a1, a2, ..., ani un numr necunoscut x,o problem invers fade cea dat este aceeai problem, dar n care xi numerele a1, a2,..., ak-1, ak+1, ..., ansuntdate, iar ak este necunoscut. O problem admite attea probleme inverse cte numerecunoscute intervin n enunul ei.

La aritmetic, problema invers se folosete deseori pentru a face proba. De celemai multe ori,o problem de algebr este inversa unei probleme de aritmetic(v. i I, 4;3, unde acest fapt a aprut ntr-o ordine de idei apropiat). Vom verifica aceastafirmaie pe un exemplu. Considerm situaia urmtoare: oseaua care unete doulocaliti A i B urc tot timpul. Un biciclist merge la deal cu o vitez v kmlor, iar cndmerge la vale viteza sa este cu v kmlor mai mare. El face drumul de la A la B n t ore, iarde la B la A n t ore.

Cnd merge la deal, biciclistul are viteza vi parcurge drumul ABn tore, deci AB =vt;cnd merge la vale, el are viteza v+ vi parcurge distana ABn tore, deci AB= (v+v)t. Scriind c cele dou expresii ale distanei AB sunt egale, obinem relaia:

( .'' tvvvt += Aici intr patru numere v, v, t, t, deci se pot compune patru probleme, dupcum se cere unul sau altul dintre aceste numere, i anume:

a) Se d: v= 9, v'= 6, t =5; se cere t.Aceasta corespunde unei probleme uoare dearitmetic, i anume: Biciclistul merge la deal cu 9 km/or i parcurge un drum ABn 5

3

8/14/2019 Rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuaiilor

4/31

ore. Viteza cu care merge la vale este cu 6 km/or mai mare. n ct timp va parcurge

biciclistul drumul de la Bla A? Se obine uor pe cale aritmetic: .369

59' oret =+

=

Dac privim aceast problem ca direct, celelalte probleme sunt:b) Se d v= 9, v= 6, t= 3 i se cere t.c) Se d v =9, t =5, t= 3 i se cere v.

d) Se d v= 6, t =5, t =3; se cere v. Textul corespunztor se compune uor.Problemele b) i c) sunt probleme uoare de aritmetic. Problema d) ns este o

problem de algebr. Ecuaia ei este: ( ).635 += xxAadar, din cele patru probleme posibile, trei sunt de aritmetic i una este de

algebr. Acest lucru se putea vedea direct pe ecuaia (1). Se constat c t, t i vfigureaz cte o singur dat, iar vfigureaz de dou ori. Mai observm c, dac pornimde la problema d), toate problemele inverse sunt uoare. Acest fapt va fi folosit ca mijlocde a-i nva pe elevi s pun probleme n ecuaie (v. 3; 2).

Independent de scopul urmrit aici, acest procedeu poate fi folosit pentru a

compune probleme de algebr.

3. n ce const dificultatea de a rezolva unele probleme pe cale aritmetic?n modobinuit, pentru a rezolva o problem de aritmetic, se procedeaz astfel: problemapropus se descompune n probleme simple, care se rezolv printr-o singur operaie,astfel nct fiecare din ele s se poat rezolva pe baza datelor din problem sau folosindrezultatele problemelor simple rezolvate n prealabil, iar rezultatul ultimei problemesimple s constituie totodat rspunsul la problema propus. S lum, de exemplu,problema urmtoare care nu este dintre cele mai uoare.

ntr-un camion s-au ncrcat 2 200 kg de cereale, i anume: 11 saci de gru de cte80 kg sacul, 7 saci de orz i 12 saci de porumb; 3 saci de orz cntresc cu 20 kg mai multdect 2 saci de gru. Ct cntrete 1 sac de porumb?

Aceast problem se descompune n urmtoarele probleme simple care ndeplinesccondiiile de mai sus:I. Ct cntresc cei 11 saci de gru? kg8801180 =II. Ct cntresc 2 saci de gru? kg160280 =III. Ct cntresc 3 saci de orz? 160 + 20 = 180 kgIV. Ct cntrete 1 sac de orz? 180 : 3 = 60 kg

V.Ct cntresc 7 saci de orz? 60 7 = 420 kgVI.Ct cntresc cei 11 saci de gru i cei 7 saci de orz mpreun? 880 + 420 = 1300 kgVII. Ct cntresc cei 12 saci de porumb? 2200 1300 = 900 kgVIII. Ct cntrete 1 sac de porumb? 900:12 = 75 kgSoluia problemei este dat de expresia: VII I VI II III IV V VIII ( )[ ]{ }{ } ,12:73:2028011802200 ++=x n care cifreleromane puse deasupra semnelor operaiilor indic problema la care se rspunde prinoperaia respectiv. Pentru ca elevii s poat rezolva astfel de probleme, se face o

4

8/14/2019 Rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuaiilor

5/31

pregtire n dou direcii. n primul rnd, pe msur ce se nainteaz n predareaaritmeticii, n decursul anilor, se rezolv n prealabil multe probleme simple. Datoritacestei pregtiri, elevii rezolv cu mare uurin fiecare dintre problemele simple i, maimult, ei parvin s recunoasc i s pun astfel de probleme atunci cnd este cazul. Secreeaz astfel un anumit fond de prefabricate, de piese gata fcute pentru a fiasamblate. n al doilea rnd, nu se trece de-a dreptul la probleme att de lungi ca cea demai sus. Astfel de probleme se dau abia dup ce s-au rezolvat probleme care sedescompun n dou, apoi n trei probleme simple .a.m.d. i unde problemele simplecomponente se rezolv prin operaii felurite: o adunare i o mprire, o nmulire i oscdere .a.m.d. n felul acesta, elevii nva treptat s descompun o problem nprobleme simple. Aceast descompunere este de multe ori nlesnit de ordinea n careapar datele n enunul problemei i de faptul c problemele de aritmetic au de cele maimulte ori o form narativ. La nevoie, i dm noi aceast form, cutm s vedem cum s-au petrecut lucrurile. n cazul problemei de fa, se consider c s-au depus n camionnti sacii de gru, apoi sacii de orz - cci putem afla greutatea lor - , iar la urm sacii de

porumb, care figureaz n ntrebare. Astfel, apar problemele I i V de mai sus, iarproblema a V-a ne oblig s ne punem i s rezolvm problemele II-IV. Aciunile concretedin care se compune ncrcarea camionului corespund problemelor simple n care trebuies descompunem problema propus i ne arat cum s facem descompunerea.

Aadar, elevii parvin s rezolve probleme aritmetice obinuite datorit unei dublepregtiri ndelungate: rezolvarea problemelor simple i descompunerea problemelorcomplexe n probleme simple, aceast descompunere fiind de multe ori nlesnit de unanumit paralelism cu nite aciuni concrete. Aceste probleme sunt obinuite nu princaracterul lor propriu, ci prin faptul c n coal se obinuiete s se rezolve astfel de

probleme - lucru determinat n parte de faptul c ele sunt apropiate de probleme ce aparn practic.

Alta este situaia problemelor care se rezolv cu ajutorul ecuaiilor. Exemplu:oseaua care unete localitile A i B urc mereu. Viteza cu care un biciclist merge lavale este cu 6 km/or mai mare dect viteza cu care merge la deal. El face drumul de la Ala B n 5 ore, iar drumul de la B la A n 3 ore. Cu ce vitez merge biciclistul la deal?

Soluia aritmetic nu este deloc uoar. Problema se poate descompune n problemesimple astfel:

I. Dac biciclistul merge la deal timp de 3 ore, ci kilometri i mai rmn de fcut

ca s ajung n B? ............ .1836 km= (cci, dac merge la vale, ar parcurge n 3 oretot drumul; mergnd la deal el face n fiecare or cu 6 km mai puin, deci n 3 ore - cu

.1836 km= mai puin dect tot drumul)II. n ct timp face el acest drum? .............. 5 3 = 2 oreIII. Cu ce vitez merge? ............ 18 : 2 = 9 km/orSoluia problemei este dat de expresia: I III II

6 3 : (5 2), unde cifrele romaneindic problema simpl corespunztoare. Aceast problem se rezolv prin aceeai metod

5

8/14/2019 Rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuaiilor

6/31

ca i cea precedent, i anume: prin descompunere n probleme simple. Ea este mai scurt,cci se rezolv doar prin trei operaii. Totui, ea este cu mult mai grea. Care este cauza?

Este o chestiune de obinuin. Am artat mai sus c elevii reuesc s descompunprobleme complexe n probleme simple datorit faptului c au rezolvat n prealabil multeprobleme simple i astfel ajung s le recunoasc cu uurin atunci cnd se ivesc, n cazulde fa, aceast condiie nu este ndeplinit, cci elevii nu au rezolvat n prealabil oproblem cu enunul urmtor: oseaua care unete dou localiti A i B urc mereu.Viteza cu care un biciclist merge la vale este cu 6 km/or mai mare dect viteza cu caremerge la deal. Biciclistul parcurge drumul de la Bla An 3 ore.

Ci kilometri i mai rmn de fcut dac merge la deal timp de 3 ore? Dac elevii arfi obinuii cu probleme de acest fel, ca de exemplu: 1 kg de piersici cost cu 6 lei maimult dect 1 kg de prune. Dac, n loc de 3 kg de piersici, cumpr 3 kg de prune, ci banimi rmn? Sau: O lad mare conine cu 6 kg mai mult dect o lad mic. n loc de 3 lzimari, am primit 3 lzi mici. Cte kilograme de marf mai am de primit? - formulareaproblemei simple I ar fi mult uurat. Dar n practica colar astfel de probleme se pun

rareori; de cele mai multe ori se cunoate viteza, preul unui kilogram de fructe,greutatea unei lzi, nu diferena de viteze, de preuri, de greutate; de aceea ne vine greus desprindem din problema n cauz prima problem simpl.

Aadar, deosebirea dintre problemele de aritmetic i cele de algebr nu esteesenial. Totul depinde de felul problemelor simple cu care suntem obinuii. Unui elevcare a fcut foarte puine probleme simple, prima problem i pare tot att de grea ca adoua. n general, greutatea de a rezolva unele probleme pe cale aritmetic se datoretefaptului c nu suntem destul de familiarizai cu problemele simple n care ele se potdescompune.

4. Caracterul relativ al acestei clasificri. mprirea unui anumit cerc de probleme ndou clase: probleme de aritmetic i probleme de algebr, nu are aadar nici un temeiobiectiv. Totul depinde de gradul de familiarizare a rezolvitorului cu problemele simplecorespunztoare. Dac n coal s-ar cultiva mai mult unele tipuri de probleme, hotaruldintre problemele de aritmetic i cele de algebr s-ar deplasa n favoarea primelor.Pentru a arta i mai bine ct de relativ este aceast clasificare, s punem i ipotezainvers. S presupunem pentru un moment c la aritmetic s-ar nva cele dou operaiidirecte, adunarea i nmulirea, iar scderea i mprirea nu ar fi cristalizate ca operaii

deosebite. Atunci probleme att de simple ca: un muncitor are de fcut 38 de piese i afcut pn n prezent 15 piese; cte mai are de fcut? Sau: un muncitor face 15 piese peor; n ct timp face el 180 de piese? ar fi privite ca probleme de algebr, care se rezolvcu ajutorul ecuaiilor 3815 =+ x i 18015 =x . n aceste condiii, prima dintre problemelede mai sus ar fi o problem de algebr care se rezolv cu ajutorul sistemului de ecuaii:

6

8/14/2019 Rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuaiilor

7/31

=++

+=

,2 2 071 18 01 2

2 028 03

yx

y

unde yreprezint greutatea unui sac de orz, iar xgreutatea unui sac de porumb (s se

observe c n aceste ecuaii intervin numai adunri i nmuliri, nici o operaie invers).Hotarul dintre problemele de aritmetic i cele de algebr s-ar deplasa astfel sen-sibil n favoarea acestora din urm. Practic, acest hotar - care nu este foarte precis - arezultat din condiiile de organizare a nvmntului. Chestiunea are i un aspect social.nainte de Reforma nvmntului din 1948, exista n ara noastr coala primar nchis,fr perspectiva ca absolvenii ei s poat trece n nvmntul mediu i apoi n celsuperior. La aceast coal primar se preda numai aritmetica, algebra fiind rezervatpentru licee (pn i n fostele coli normale se fcea foarte puin algebr). Sunt nsunele probleme care nu sunt aplicaii imediate ale celor patru operaii aritmetice i serezolv mai uor cu ajutorul ecuaiilor, dar care trebuie incluse n programa colii primaredin cauza caracterului lor practic (procentele, problemele de amestec i aliaj). Acestechestiuni au fost incluse n programa de aritmetic. Un exemplu caracteristic suntproblemele de sut mrit i sut micorat. Ele sunt probleme tipice de algebr, ecuaia

este de forma bax

x =+100

(necunoscuta intervine de dou ori), iar la aritmetic ele

formeaz un capitol deosebit.ncheiem aceste consideraiuni cu observaia c n condiiile generalizrii

nvmntului, cnd toi copiii capt i cunotine de algebr, devine actualreexaminarea coninutului aritmeticii colare. Toate problemele tip care se rezolv prin

metode speciale ar urma s fie trecute la algebr - unde i gsesc locul firesc - chiardac rezolvarea lor pe cale aritmetic este un prilej de a stimula inventivitatea unoradintre elevi. Mai mult, i o serie de teme care fac parte din programa tradiional dearitmetic ar putea fi trecute la algebr.

INDICAII METODICE

1. Consideraii generale 2. Regula fundamental 3. Exerciii pariale 4.Analiza ecuaiei unei probleme 5. Una sau mai multe necunoscute 6.ntocmirea unor tabele 7. Probleme care duc la ecuaii de aceeai form

8. Lecii speciale de punere a problemelor n ecuaie

1. Consideraii generale. n multe manuale de algebr se spune c nu se poate da nici oregul dup care se pun probleme n ecuaie. Acest lucru este adevrat. Este i firesc s

7

8/14/2019 Rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuaiilor

8/31

fie aa. Ecuaiile nsele sunt un instrument de rezolvare a problemelor. Un instrumentmatematic, ca orice instrument, este util numai dac tim s-l mnuim. n aceast mnuireintervine totdeauna un element viu, gndirea omului, care nu poate fi eliminat - cel puin nnvmnt. Punerea problemelor n ecuaie constituie tocmai acest element viu, care nupoate fi turnat n tipare. De aceea, ne vom mrgini n cele ce urmeaz la cteva indicaiisistematice cu caracter didactic. n multe manuale se d un plan de rezolvare aproblemelor cu ajutorul ecuaiilor (alegerea necunoscutei, punerea problemei n ecuaie,rezolvarea ecuaiei, proba). Acest plan este de puin folos. El d o imagine fals arealitii prin faptul c pune punctul al doilea - formarea ecuaiei - pe acelai plan cucelelalte, cnd, de fapt, acest punct conine aproape totul. Singura indicaie care s-arputea da n aceast privin ar fi urmtoarea: se exprim sub form de ecuaie relaiiledintre datele problemei i necunoscute. Dar aceast indicaie este prea general pentru afi util. n cele ce urmeaz facem, ntr-o ordine ntmpltoare, unele recomandri.

2. Regula fundamental. Greutatea principal pe care o ntmpin elevii la punerea

problemelor n ecuaie se datorete nu att de mult faptului c ei nu-i dau seama cerelaii exist ntre mrimile ce intervin n problem, ct faptului c nu sunt obinuii sexprime aceste relaii cu ajutorul necunoscutei sau necunoscutelor. De exemplu, n cazulrelaiei S= vt, orice elev tie s calculeze drumul parcurs de un mobil care are o micareuniform cnd cunoate viteza i timpul, dar pentru aceasta v i t trebuie s fie dainumeric; le vine greu s exprime drumul parcurs cnd vsau tconine necunoscuta. Deaceea, punerea problemelor n ecuaie este mult uurat dac se ia mai nti pentrunecunoscut un numr luat la ntmplare i se rezolv problema invers, apoi se pune nlocul numrului arbitrar litera x,ca n exemplele urmtoare:

1) Dou maini pleac n acelai timp din oraul A i merg spre oraul B. Prima mainmerge cu viteza de 60 km/or, a doua merge cu o vitez de 40 km/or i ajunge n oraulB mai trziu cu dou ore dect prima. Se cere distana dintre cele dou orae.

Presupunem c am rezolvat problema, c am aflat c distana este de 300 km, deexemplu, i facem proba, calculnd cu ct ajunge maina a doua mai trziu - trebuie s deadou ore. Se obine:

timpul n care prima main face drumul: ore560

300= ;

timpul n care maina a doua face drumul: ore217

40

300= ;

ntrzierea: .22125

217

60

300

40

300==

Bineneles, proba nu a ieit - nu am ghicit rezultatul. Acum notm cu xdistana

dintre cele dou localiti. n loc de ;60

apare60

300 xn loc de .

40

xapare

40

300Facem

8

8/14/2019 Rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuaiilor

9/31

scderea6040

xx i punem condiia ca diferena s fie egal cu 2. Obinem ecuaia:

,26040

=xx

care d x= 240. Lucrrile se pot aeza pe dou coloane astfel:300

300

60=5

30040

=712

71

252

}

x

x

60

x

40

x

40

x

60=2

Mai frumos este dac rezultatul problemei numerice se exprim direct printr-oformul, apoi se taie peste tot numrul 300 i se nlocuiete cu x.Pe tabl apare direct

ecuaia problemei: .26040

=xx

S observm c, dac notm cu Vi vvitezele, cu ddistana dintre cele dou orae,

iar cu intrzierea, ntre aceste mrimi exist relaia: .V

d

v

di = n problema propus,

necunoscuta este d.Problema preliminar rezolvat de noi a fost o problem uoar dearitmetic n care necunoscuta era i; vi V intr de asemenea cte o singur dat, decilund aceste mrimi ca necunoscute, obinem de asemenea probleme de aritmetic. Estegreu de spus de ce am preferat problema n care necunoscuta este i.2) n magazia unui restaurant se gsesc 1-20 kg de orez, 150 kg de gri. S-a consumat de3 ori mai mult gri dect orez i n magazie a rmas de dou ori mai mult gri dect orez.Ct orez s-a consumat?

Presupunnd c s-au consumat 20 kg de orez, lucrrile se prezint astfel:

9

8/14/2019 Rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuaiilor

10/31

.3,231 5 0

1 2 02

31 5 0

1 2 0

31 5 03

1 2 0

29 0

1 0 0

9 06 01 5 06 032 0

1 0 02 01 2 0

2 0

==

=

=

=

=

xx

x

x

x

x

x

x

x

n cazul cnd se folosete o formul numeric, se obine: .2203150

20120

3) S lum i o problem destul de grea, cu dou necunoscute: A spune lui B: Eu am acum

de 2 ori mai muli ani dect ai avut tu cnd eu am avut vrsta ta de acum, iar cnd tu veiavea vrsta pe care o am eu acum, vom avea mpreun 36 de ani. Ce vrst are fiecare dinei?

Presupunnd c A are, de exemplu, 14 ani, iar Bare 10 ani se poate judeca astfel: Aa avut vrsta lui Bn urm cu 14 10 = 4 ani; atunci Ba avut 10 4 = 6 ani. Raportul dintrevrsta lui A de acum i vrsta lui Bde atunci este de 26:14 .a.m.d. Se obine schema:

( )

( )( ) 3 62

2

22

2

;

3 63 21 41 81 841 4

41 01 4

26

1 4

641 0

41 01 4

1 0;1 4

=+

=+

=

=

=+

=+

=

=

=

xyxyxyxx

yx

xy

x

xyyxy

yx

yxa n ia n i

10

8/14/2019 Rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuaiilor

11/31

Se obine sistemul:

=

=

=

=

1

1

3 63

43

y

x

yx

yx.

Dat fiind caracterul neobinuit al acestei probleme, n clas se simte nevoia de aface lucrrile din stnga liniei verticale de 2 ori, lund pentru xi yalte valori. Acestprocedeu izvorte din nsi metoda algebric de a aborda problemele i din faptul corice problem de algebr poate fi privit ca problema invers a unei probleme dearitmetic.Dm i soluia aritmetic a problemei, care este interesant prin faptul c prima ecuaiese obine pe cale intuitiv, fr calcul algebric, iar ecuaia a doua nu apare de loc. Fie OA

vrsta lui A, iar OB vrsta lui B. n fiecare an, fiecare dintre punctele A i B sedeplaseaz spre dreapta cu o unitate. Cnd punctul A se gsea n B, Bse gsea ntr-unpunct B,astfel nct BB= BA.

Din prima parte a enunului rezult c OA = 2OB, adic OB= BA. Dar BA esteformat din dou segmente, BB = BA.Atunci OBeste format din 3 segmente egale cu BA,iar OA din 4 segmente egale cu BA (adic OB:OA = 3:4 sau 3OA = 4OB 3x =4y- primaecuaie a sistemului). Cnd Bva fi n A, adic atunci cnd va fi naintat cu BA, A va finaintat i el cu un segment egal cu BA i se va gsi ntr-un punct A.Atunci vrstele lorvor fi: OB= 4 segmente, OA= 5 segmente, suma vrstelor lor va fi reprezentat de 4 + 5= 9 segmente. Aceast sum este 36, deci un segment reprezint 36: 9 = 4. Bare 4 3 =12 ani, iar A are 4 4 = 16 ani.

Totui, nu trebuie abuzat de acest procedeu, cci duce la diluri inutile. Procedeultrebuie folosit cu tact, i anume: la nceput, cnd se ncepe un gen nou de probleme(probleme de micare, de amestec etc.) i ori de cte ori punerea unei probleme n ecuaiemerge greu.

3. Exerciii pariale. De multe ori elevii nu reuesc s pun o problem n ecuaie nu dincauza unei ignorane totale, ci pentru c nu tiu s foloseasc una sau alta din dateleproblemei. De aceea, sunt utile exerciii de exprimare sub form algebric a unor relaiisau de formare a unor expresii algebrice ca urmtoarele:

11

O B A

B

A

A

O B B

A

8/14/2019 Rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuaiilor

12/31

a) S ncepem cu transcrierea cu semne matematice a afirmaiilor: aeste mai mare(mai mic) dect bcu... i aeste mai mare (mai mic) dect bde... ori. Elevii fac deseorigreeala de tipul urmtor: pentru a exprima c aeste mai mare dect bcu 2, ei scriu a+ 2= b. Aceasta se datorete unei confuzii ntre aeste mai mare dect bcu 2 i a mrit cu 2este b, i faptului c se poate folosi semnul + sau .

7 este mai mare dect 5 cu 2; acest lucru se poate exprima n trei moduri: 7 5 =2, 5 + 2 = 7, 7 2 = 5. Dup acest model se fac exerciii ca urmtoarele:

xeste cu 5 mai mare dect 17... x= 17 + 5 sau x 5 = 17 sau x 17 = 5;xeste cu 8 mai mic dect a... x= a 8 sau a= x+ 8 sau a x= 8;5(x+ 1) este cu 18 mai mare dect 3(x 2) ... 5(x+ 1) = 3(x 2) + 18 sau 5(x + 1)

3(x 2) = 18 sau 5(x+1) 18 = 3(x 2).Trebuie continuate exerciiile de tipul ultimului pn cnd elevii dau rapid i sigur

rspunsurile sub cele trei forme. Un sfat practic i simplu este urmtorul: pentru a scrie,de exemplu, c aeste cu 5 mai mare dect b, se scrie provizoriu a= b; apoi se adaug 5 la

numrul mai mic, adic la b,i apare a = b+ 5; sau se scade 5 din numrul mai mare iapare a 5 = 6. Se recomand s se procedeze la fel pentru expresiile: mai mare (mai mic)de ... ori. Aici, mai mult dect n cazul precedent, este util ca elevii s tie s exprimerelaia n dou moduri, astfel nct ea s apar i sub forma de raport. De exemplu: 2x+ 5este de 3 ori mai mare dect x 2 se scrie: 2x+ 5 = 3(x 2) sau x 2 = 3.

Aceste exerciii, ca i cele precedente, pot fi puse n legtur i cu modul n care oecuaie se transform ntr-o alt ecuaie echivalent cu ea. De exemplu, n cazul x= a + 8,celelalte relaii se deduc din prima, trecnd termenul asau 8 n partea stng.

Exerciii de acest fel, ca i de felul celor care urmeaz se pot face sistematic sau

atunci cnd se simte nevoia, adic nainte de a aborda problemele n care intervinasemenea expresii sau atunci cnd apar greeli. n ultimul caz se ntrerupe problema, sedau explicaiile necesare i se face un numr suficient de exerciii.

b)La problemele n care intervin procente apar greuti din cauz c elevii tiu scalculeze cu procente numai n cazuri numerice. Sunt recomandabile exerciii caurmtoarele:

( ) ( )

( )( )

100

7203203din%7

1002150150din%2;

100483483din%

100

5din%5;

100

5483483din%5

++

++

x

x

x

x

x

x

x

x

c) Situaia este asemntoare la problemele n care intervine concentraia uneisoluii sau titlul unui aliaj, dar puin mai grea, fiindc nu toi elevii au idei clare despreaceste noiuni. nainte de a trece la probleme de acest fel trebuie s revenim asupra no-

12

8/14/2019 Rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuaiilor

13/31

iunilor respective i s-i nvm pe elevi s foloseasc formule - nu regula de trei. Deexemplu, concentraia unui amestec dintr-o substan oarecare (alcool sau un acid) i apeste dat n procente (grade) de formula:

.1000

:aliajunuititluliar,100

=

=

brutagreutatea

finagreutateatitlul

totalagreutatea

alcooluluigreutateaiaconcentrat

Dup ce elevii au neles bine aceste formule sunt necesare exerciii caurmtoarele:Concentraia unei soluii care conine:

15 g de sare i 250 g de ap.................................................... 10015250

15

+

agrame de sare i 100 g de ap..............................................100

100100

100 +=

+ aa

a

a

(x+ 20) kg de alcool i ykg de ap.........................................( )

20

10020

+++

yx

x

(x+ 3y) kg de alcool i ctrete n total (15x+ y) kg............. ( ) yxyx ++15 1003

De asemenea:titlul unui aliaj care conine 12 g de aur

i ag de cupru.............................................................................. 100012

12

+atitlul unui aliaj care conine 3 kg de nichel

i cntrete xkg............................................................................ 10003

x

titlul unui aliaj care cntrete (a+ 12) kg,

n care greutatea metalului fin este cu bkgmai mic dect greutatea total...................................................... 1000

12

12

++

a

ba.a.m.d.

Poate nu este necesar s se fac i exerciii inverse, de exemplu, s se exprimegreutatea fin ca funcie de titlu i greutatea total.

d) Situaia este asemntoare cu formula S = vt. Elevii trebuie s nvee s ofoloseasc i atunci cnd S, vi tsunt expresii algebrice. De data aceasta sunt necesaretoate formele (i t = s : vi v= s: t).

Exemple de exerciii:1) Un mobil merge timp de t+ 2 secunde cu viteza v 3; se cere drumul parcurs.2) Un automobil parcurge distana de 380 km n t 2 ore n loc de tore; cu ct i-a

mrit el viteza?

13

8/14/2019 Rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuaiilor

14/31

3) Un motociclist trebuia s fac un drum mergnd timp de tore cu o vitez de vkm/or. El a mers o or mai puin, dar viteza sa a fost cu 12 km/or mai mare. S se aflediferena dintre drumul pe care trebuia s-l parcurg i cel parcurs.

Rspunsuri: ( )( ) ( )( ) .1212112)3;380

2

380)2;32)1 =+

+ vttvvt

ttvt

e) Menionm, n sfrit, problemele cu privire la cifrele unui numr scris nsistemul zecimal, n care intervine, de exemplu, suma cifrelor unui numr, rsturnatul unuinumr .a. nainte de a aborda aceste probleme sunt utile exerciii ca urmtoarele - dacnu au fost fcute n cadrul capitolelor anterioare:

S se scrie numrul n care cifra zecilor este x, iar cifra unitilor este y;s sescrie rsturnatul numrului care se scrie cu cifrele x, y, z (luate de la stnga spredreapta); un numr este format din cifrele x, y, z; s se calculeze numrul care se obinescznd din el suma cifrelor sale (apare regula de divizibilitate cu 9) .a.

n legtur cu aceste probleme, dar n alt ordine de idei, menionm c ele au un

oarecare dezavantaj. Dat fiind c necunoscutele pot lua numai valori cuprinse ntre 0 i 9,sistemele corespunztoare se pot rezolva i dac numrul ecuaiilor este cu 1 mai micdect numrul necunoscutelor. Obligndu-i pe elevi s le rezolve numai prin metodaobinuit, ncurajm tendina lor de a aplica mereu metodele nvate, fr a ine seamade specificul problemei pe care o au n fa. Probleme cu aceast tem pot fi date cu folosn legtur cu soluiile unei singure ecuaii cu dou necunoscute.

4. Analiza ecuaiei unei probleme.a) n primul rnd trebuie respectat regula, general valabil, de a nu trece la

rezolvarea unei probleme nainte de a ne asigura c elevii cunosc bine enunul ei - ceea cenu se face totdeauna. Pentru aceasta se scriu datele schematic pe tabl i se cere unuielev s repete enunul ei cu cuvinte proprii, eventual se mai repet o dat, apoi sestabilete bine ce se d i ce se cere. Abia pe urm se trece la rezolvare.

b) La fixarea necunoscutei se folosete de obicei o exprimare prescurtat, ca:notm cu xtimpul sau: notm cu xgrul i cu yporumbul. Acest lucru nu este ru. Estens mai bine s obligm elevii, cel puin la nceput, s se exprime complet, s spun: notmcu xnumrul care arat cte ore merge..., respectiv: notm cu xnumrul care arat ctekilograme de gru... i cu y cte kilograme de porumb... Aceasta nu nseamn s fim

pedani. Aceste formulri, dei sunt lungi, i fac pe elevi s vad mai clar lucrurile.c) Trebuie s avem grij ca elevii s-i dea perfect seama de semnificaia fiecruifactor i a fiecrui termen din ecuaie. S lum, de exemplu, problema urmtoare (alegemnadins o problem uoar, cci ne referim aici n special la primele probleme): Pentru atransporta nite cereale de la magazia unei cooperative agricole de producie la gar sefolosete o camionet i un camion... n camion ncap cu 700 kg mai mult dect ncamionet. Camioneta afcut de 5 ori drumul, camionul l-a fcut de 3 ori i au fost trans-portate n total 16500 kg de cereale. Ce capacitate are fiecare din aceste vehicule?

14

8/14/2019 Rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuaiilor

15/31

Dup ce s-a scris ecuaia: ( ) ,1650070035 =++ xx ea trebuie analizat prin ntrebrica: Ce reprezint factorul 5?, Factorul x?, Ce arat termenul 5x?, Ce exprimecuaia? (cantitatea de cereale pe care le transport camioneta i cea transportat decamion fac mpreun 16500 kg).

Am considerat cazul cnd aceast analiz se face dup ce ecuaia a fost scris. Eaeste util n primul rnd celorlali elevi, care au avut un rol receptiv dac nu chiar pasiv la formarea ecuaiei, dar ea este util i elevului de la tabl cci astfel el i d i mai bineseama de ceea ce a fcut. Ar fi enervant s-l obligm s dea toate explicaiile acestea ntimp ce scrie ecuaia, dar ele pot deveni utile cnd elevul se poticnete. De exemplu, ncazul ecuaiei de mai sus, elevul a scris 5Xi nu vede clar cum trebuie s continue. Atuncieste util ntrebarea: Ce reprezint 5x? pentru a fi urmat de recomandarea:Exprim n acelai fel cantitatea de cereale pe care o transport camionul.

Dac aceast analiz face apel la posibilitile elevilor de a se exprima, ntrebri caurmtoarele merg mai direct la int: Cum se schimb ecuaia problemei dac camionetaface de 7 ori drumul?, Dac camionul face de 4 ori drumul?, Dac capacitatea

camionului este cu 1200 kg mai mare dect a camionetei?, Dac s-au transportat n total25000 kg de cereale?. Pentru a rezolva o problem ca aceasta, s-a format ecuaia:

( ) ;300001200811 =++ xx care a fost problema?La aceste ntrebri n afar de ultima, s-ar putea ntmpla ca un elev s rspund

nlocuind mecanic numrul corespunztor din ecuaie. Profesorul va ti s deosebeascrspunsurile gndite de celelalte.

Se poate trece apoi la ntrebri ca urmtoarele, care privesc operaiile: Cum seschimb ecuaia dac n camion se ncarc cu 300 kg mai puin dect n camionet?, Daccapacitatea camionului este de dou ori mai mare dect a camionetei?, Dac se folosete

i o cru cu cai care are o capacitate cu 800 kg mai mic dect camioneta i crua facede 4 ori drumul?.

Astfel de exerciii sunt foarte bine primite de clas. Elevii au satisfacia pe carei-o d nelegerea deplin a unui lucru. Rspunsurile fiind scurte, se pot antrena mulielevi.

d) Trebuie s explicm elevilor c se pot aduna (sau scdea) numai expresii carereprezint mrimi de acelai fel i c se obine o mrime tot de acelai fel. Astfel, nexemplul de mai sus, 5xreprezint o mas exprimat n kilograme, expresia 3(x +700) -

de asemenea, tot aa i 16500. Acest lucru este util cnd se formeaz ecuaia. Se evit ogreeal frecvent: avnd de rezolvat problema: Apa unui ru curge cu o vitez de 2,5km/or. Un vapor parcurge o anumit distan la deal n 6 ore, iar la vale n 8 ore. Careeste viteza proprie a vaporului?

Un elev scrie ecuaia: 5,285,26 =+ xx , n loc de ( ) ( )5,285,26 =+ xx . El a adunatx 6, care reprezint o lungime, cu 2,5, care reprezint o vitez - aceeai greeal npartea dreapt a ecuaiei.

15

8/14/2019 Rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuaiilor

16/31

e) De mare importan este ca elevii s exprime n cuvinte relaia care duce laformarea ecuaiei. Exemple:n cazul problemei de mai sus cu privire la transportareacerealelor la c),s-a artat cum se exprim ecuaia n cuvinte.

n cazul ultimei probleme, trebuie spus: exprimm n dou moduri distana pe care oparcurge vaporul i egalm expresiile. Asemenea formulri nu se pot obine la nceput.Elevul, chiar cnd scrie ecuaia, nu este n stare s arate n cuvinte ce exprim ecuaia. Ellucreaz corect, dar i vine greu s spun ce face. De aceea, este util ca, la nceput, scerem elevilor s dea formularea dup ce au scris ecuaia. Ar fi bine ca i la problemele pecare le rezolv acas s dea asemenea formulri n scris, de exemplu, dup ce au rezolvatecuaia. Treptat, ns, trebuie s ajungem ca elevii s formuleze relaia n cuvinte, naintede a scrie ecuaia: Voi scrie c... este egal cu....

5. Una sau mai multe necunoscute. Dac parcurgem problemele dintr-o culegereoarecare, gsim probleme care sunt, categoric, probleme cu o singur necunoscut i

probleme care sunt, tot att de categoric, cu dou sau mai multe necunoscute. Exist nsprobleme care se afl la hotarul dintre aceste dou feluri de probleme, ca de exemplu: Oprghie AB de genul I are o lungime de 40 cm. La captul A acioneaz o for de 50 N,iar la captul B de 30 N. La ce distan de punctul A trebuie s fie punctul de sprijin caprghia s fie n echilibru?

n cazul acestei probleme se poate proceda n dou feluri:1) M fiind punctul de sprijin al prghiei, se pune AM = x, MB = y i se obine

sistemul x+ y= 40, 5X=3y.2) Dac braul AMare lungimea x,cellalt bra va avea lungimea 4 x. Legea bine

cunoscut din fizic ne d ecuaia 5x = 3(40 x). Considerm c o asemenea problemtrebuie rezolvat cu ajutorul unui sistem din urmtorul motiv: avantajul metodei algebricede rezolvare a problemelor const n faptul c ea ne scutete de raionamente carevariaz de la o problem la alta, de artificii. Enunul problemei se traduce n limbajulecuaiilor i cu aceasta problema este n principiu rezolvat, cci tot restul se face pebaza unor reguli bine stabilite. Metoda algebric se folosete din plin atunci cnd aceasttraducere este ct mai fidel, orice transformare prealabil a enunului constituie oabatere de la metoda algebric. n nvmnt este util s pstrm puritatea metodei. iaceasta nu de dragul ei, ci din motive didactice: n felul acesta, elevii i nsuesc mai bine

metoda algebric.Or, pentru a rezolva aceast problem printr-o singur ecuaie, enunul ei trebuie

transformat n prealabil. Cnd avem n faa ochilor un segment ABi un punct interior O,relaia dintre prile OA, OBi segmentul ntreg ABpe care o sugereaz este OA + OB =AB, (x+ y= 40). Cnd notm lungimea unuia dintre segmente cu xi scriem c lungimeaceluilalt este 40 x, folosim o relaie dedus, care nu este dat direct n enunulproblemei.

16

8/14/2019 Rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuaiilor

17/31

Considerm c o problem trebuie rezolvat cu ajutorul unei singure ecuaii cu osingur necunoscut numai atunci cnd enunul ei permite s se exprime direct toatemrimile din problem prin expresii liniare n funcie de una din ele. Spunem c mrimea yse exprim direct n funcie de x; atunci simpla transcriere cu semne matematice a priicorespunztoare din enun d o relaie de forma y = f(x),fr o explicitare prealabil.

Vom lmuri aceasta prin trei exemple:1) O main a fcut n 3 ore 187 km. n ora a doua ea a fcut cu 7 km mai mult dect nprima or, iar n ora a treia - dublul drumului fcut n prima or. S se afle drumul pecare l-a fcut maina n prima or.

-notm cu xdrumul parcurs n prima or; celelalte mrimi sunt: drumul parcurs nora a doua 7+= x , drumul parcurs n ora a treia x2= ; condiia este ndeplinit, deciproblema se rezolv printr-o singur ecuaie: ( ) .18727 =+++ xxx2) O main a parcurs un drum de 210,5 km n patru ore. n ora a doua a fcut cu 21 kmmai mult dect n prima or, n ora a treia- dou treimi din drumul fcut n ora a doua, iarn ora a patra - ct media dintre drumurile parcurse n primele dou ore. S se afle

drumul parcurs de main n prima or.- dac notm cu xdrumul parcurs n prima or, celelalte mrimi sunt:

( ) ( ).

2

212

2

21,

3

212,21

+=

++++

xxxx

x

i aceast problem, dei este mai grea, se rezolv printr-o singur ecuaie:

( )( ) ( )

.5,2102

212

2

21

3

21221 =

++

+++

++++

xxxxxx

Dac introducem mai multe necunoscute, obinem sistemul:

( )

=+++

+=

+=

+=

5,2 1 0

2

2 12

3

2 12

2 1

uzyx

xu

xz

xy

care se reduce prin simple substituii la ecuaia de mai sus. Observaie analog cu privirela prima problem.3)Problema urmtoare este extras dintr-o culegere de probleme, unde figureaz nainte

de sistemele de ecuaii: n trei clase sunt n total 119 elevi. n clasa nti sunt cu 4 elevimai mult dect n clasa a doua i cu 3 elevi mai puin dect n a treia. Ci elevi snt nfiecare clas?

- aceast problem duce la sistemul:

17

8/14/2019 Rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuaiilor

18/31

=

+=

=++

3

4

1 1

zx

yx

zyx

Problema nu ndeplinete condiia. Ea trebuie considerat ca o problem cu treinecunoscute. n legtur cu chestiunea discutat aici, mai observm urmtoarele: dacpornim pe drumul de a transforma n prealabil enunul, deosebirea dintre problemele dealgebr i cele de aritmetic se terge uneori complet. De exemplu, n cazul ultimeiprobleme, dac suntem obligai s folosim o singur necunoscut, trebuie s judecmastfel: notm cu ynumrul elevilor din clasa a doua; atunci n clasa nti vor fi y+ 4 elevi;apoi, dac n clasa nti sunt cu 3 elevi mai puin dect n clasa a treia, atunci n clasa atreia sunt cu 3 elevi mai mult dect n clasa nti, deci (y + 4) + 3 = y + 7 elevi; acumecuaia problemei este (y+ 4) + y+ (y + 7) = 119; transformarea informaiei cu privire laclasa a treia revine, de fapt, la urmtoarele: din ecuaia x= z 3 se scoate z= x+ 3, iar x

se nlocuiete cu y+ 4; se fac n mod camuflat transformri ale sistemului; de aici pn larezolvarea sistemului pe cale aritmetic nu este dect un pas, cci acum enunul problemeisun astfel: n clasa nti sunt cu 4 elevi mai mult dect n clasa a doua, n clasa a treia cu7 elevi mai mult dect n clasa a doua, iar n total sunt 119 elevi; nu avem dect s scdemdin totalul de 119 elevi 4 + 7 = 11 elevi, diferena 119 11 = 108 s o mprim prin 3.a.m.d.

Pe de alt parte, s-a spus mai sus c exist probleme care sunt categoric problemecu o singur necunoscut. Acest lucru este adevrat numai n cazul problemelor foartesimple. Cnd rezolvm o problem compus de aritmetic (care se rezolv prin mai multe

operaii), introducem, de fapt, nite necunoscute ajuttoare. Situaia este aceeai laproblemele de geometrie cnd trebuie aplicat o formul i nu se dau direct toateelementele necesare. De exemplu, ntr-un trapez dreptunghic se dau bazele B= 11 cm, b=7 cm i latura oblic c = 5 cm. Se cere aria trapezului. Pentru a afla aria, se afl nprealabil diferena bazelor i (prin teorema lui Pitagora) nlimea. Deci i aceastproblem ar putea fi privit ca problem cu mai multe necunoscute, dar sistemelecorespunztoare sunt foarte simple.

Toate acestea arat c clasificarea problemelor dup numrul necunoscutelor esterelativ, ca i mprirea problemelor n probleme de aritmetic i probleme de algebr. n

coal exist tendina de a rezolva printr-o singur ecuaie cu o singur necunoscut iunele probleme n care enunul trebuie transformat n prealabil, de exemplu, primaproblem de la acest punct cu privire la prghie. Pregtirea elevilor are numai de ctigatdac rezolvarea acestor probleme se amn cu cteva sptmni, pn ce elevii vor fi nvat i sisteme de ecuaii. Dac mai trziu, cnd elevii i-au format o oarecaredexteritate n punerea problemelor n ecuaie, un elev sau altul prefer s lucreze cu osingur ecuaie, nu exist nici un motiv s-l mpiedicm.

18

8/14/2019 Rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuaiilor

19/31

6. ntocmirea unor tabele. Uneori este recomandabil s se ntocmeasc tabele, fiepentru a pune n eviden ce se d i ce se cere n problem, fie pentru a urmri mai uortransformrile la care sunt supuse mrimile din problem. Dm dou exemple:

a) Distana dintre dou localiti A i B este de 48 km. Din A pleac spre B un biciclist iun motociclist. Viteza motociclistului este de 4 ori mai mare dect viteza biciclistului.

Motocictistul pleac cu 211 ore mai trziu dect biciclistul i ajunge n B cu 2

11 or

naintea lui. S se afle viteza fiecruia dintre ei. Se formeaz urmtorul tabel:

v t SBiciclistul x y 48Motociclistul 4x y -

348

Urmrind enunul, se completeaz nti coloana a treia, apoi prima i la sfrit a

doua (expresia y 3 se obine adunnd n prealabil 211 cu 2

11 ).Cele dou ecuaii ale

problemei se obin apoi scriind c n fiecare rnd S= vt.Ele sunt: xy =48, 4x(y 3) = 48i dau x= 12, y =48. Asemenea tabele sunt utile n cele mai multe probleme de micare.

Soluia aritmetic. Viteza motociclistului este de 4 ori mai mare dect abiciclistului. n acelai timp, motociclistul ar parcurge un drum de 4 ori mai mare dectbiciclistul, adic km192448 = . El ar ajunge astfel ntr-un punct C situat dincolo de B,

unde AC= 192 km, deci BC= 192 48 = 144km. Pentru a parcurge drumul ABi trebuie cu3 ore mai puin dect biciclistului. n aceste 3 ore, el poate s parcurg drumul BC,careeste de 144 km, deci viteza sa este de 144 :3 = 48 km/or. Viteza biciclistului este de 4ori mai mic, deci de 48 : 4= 12 km/or.

b) Avem dou vase A i B, care conin fiecare o anumit cantitate de lichid. Turnm din An B jumtate din ct conine B, apoi turnm din B n A jumtate din ct conine A i nsfrit turnm din A n B jumtate din ct conine B. Dup aceste trei operaii, n fiecarevas se gsesc 27 l. Ct se gsea la nceput n fiecare dintre aceste vase?

Vasul A Vasul BLa nceput

Dup primaoperaie

Dup operaia a

x

2

2

2

yxyx

=

4

36

2

2

2

1

2

2 yxyxyx =

+

8

1314

4

27

2

1

4

36 yxxyyx =

y

2

3

2

yyy =+

4

27

2

2

2

1

2

3 xyyxy =

8

621

4

27

2

1

4

27 xyxyxy =

+

19

8/14/2019 Rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuaiilor

20/31

II-a

Dup operaia aIII-a

Nu rmne dect s se scrie c fiecare dintre expresiile obinut dup operaia atreia este egal cu 27. Se obine sistemul:

=

=

=

=

2

3

2 7

8

62 1

2 78

1 31 4

y

x

xy

yx

n cursul lucrrilor care merg destul de greu n clas, este util s se fac probadup fiecare operaie; suma celor dou expresii din aceeai linie trebuie s fie egal cu x+ y. Se pot compune diferite variante. De exemplu, se d c dup operaia a treia celedou vase conin cantiti egale de lichid (ceea, ce d ecuaia 10x=17y),sau se d raportuldintre aceste cantiti i nc o relaie dintre xi y,de exemplu cele dou vase conineaula nceput 54 l. De asemenea, numrul operaiilor se poate mri orict de mult.Problemele de acest tip se rezolv uor prin metoda retrograd. Se tiec dup a treiaoperaie, fiecare din cele dou vase conineau cte 27 l. La aceast situaie s-a ajunsadugnd la vasul Bjumtate din coninutul lui. Deci, cei 27 din B reprezint o dat ijumtate, adic 3 jumti din ct se gsea n el nainte de ultima operaie; 27 : 3 = 9; 9 2 = 18. Prin operaia a treia s-au adugat la vasul B= 27 18 = 91, care s-au luat din vasulA,deci n vasul A se gseau nainte de operaia a treia 27 + 9 = 36 l. Aadar, dup operaiaa doua, n vasul A se gseau 36 l, iar n B18 l. Acum raionamentul se repet: 36 : 3 = 12;12 - 2 = 24; 36 24 = 12; 18 + 12 = 30; dup prima operaie n A se gseau 24 l, iar n B30l. Apoi 30 : 3 = 10; 20210 = ; 30 20 = 10; 24 + 10 = 34.

7. Probleme care duc la ecuaii de aceeai form. Pentru a nva pe elevi s punproblema n ecuaie este util s se rezolve n aceeai or mai multe probleme care duc laecuaii sau la sisteme de aceeai form, sau unele dintre ele s se lucreze n clas, iaraltele s se dea ca tem pentru acas. n felul acesta ei nva mai uor s desprinddintr-o situaie concret relaiile matematice - cnd aceeai relaie apare n diferitesituaii, ei o recunosc mai uor. n unele manuale i culegeri, problemele sunt chiargrupate n acest fel, dar este bine ca profesorul s le poat compune singur - aa cum vomarta n exemplele urmtoare.

20

8/14/2019 Rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuaiilor

21/31

1) S lum, de exemplu, problema a)de la pagina anterioar care duce la sistemul: xy= 48,4x(y 3) = 48, adic la un sistem de forma xy =a,bx(y c) = a. Aici produsele apardatorit relaiei S = vt . Unde mai exist relaii asemntoare? Producia total =(producia n unitatea de timp) x timpul; costul = (preul unitar) x cantitatea; suma total= (contribuia fiecruia) x (numrul celor care contribuie) - cnd se face o colect;cantitatea de material transportat = (capacitatea unui camion) x (numrul camioanelor),aria dreptunghiului sau a paralelogramului = baza x nlimea .a.m.d. Se obin probleme noinlocuind mrimile din problema dat cu altele. Analogia este deosebit de vizibil dac seiau producia total, producia n unitatea de timp i timpul; muncitorul face piese, iarbiciclistul sau motociclistul face kilometri, producia total corespunde drumului totalparcurs. Obinem astfel enunul:a) Doi muncitori trebuie s confecioneze cte 48 de piese. Primul muncitor face de 4 ori

mai multe piese pe or dect al doilea (piesele lui se fac mai uor);el ncepe lucrul cu 211

ore mai trziu dect al doilea i-l termin cu2

11 ore naintea lui. Cte piese face

fiecare din ei pe or?Dac se ia dreptunghiul, se obine enunul:

b) Aria unui dreptunghi este de 48 m2. Dac mrim baza de 4 ori i suprimm 2 fiiparalele cu baza, late de cte 1,5 m, obinem un dreptunghi care are aceeai arie. S seafle dimensiunile dreptunghiului.c)Este util i enunul sub forma abstract: Produsul a dou numere este 100. Dac mrimunul din ele de 5 ori i-l micorm pe cellalt cu 4, produsul rmne neschimbat. S se aflecele dou numere.

Dac se pstreaz n diferite variante aceleai date - aa cum am procedat lavariantele a)i b)- elevii vd mai uor asemnarea dintre probleme, dar ei se orienteazi dup criterii neeseniale - ceea ce este, poate, admisibil la nceput; la varianteleurmtoare, datele numerice trebuie neaprat schimbate. Pentru a obine rezultaterotunde, se poate proceda astfel: se rezolv ecuaia literal, apoi se nlocuiesc n expresiasoluiei literele prin valori convenabile. De cele mai multe ori, condiiile concrete ne obligs dm literelor valori cuprinse ntre anumite limite. De exemplu, n problema aceasta se

obine( )

.1

bc

bax

= Parametrul b nu poate varia prea mult (viteza cu care merge un

motociclist este de 3 - 6 ori mai mare dect viteza cu care merge un biciclist); am luat b=

4. Atunci formula devine .43cax = Pentru a nu se putea lua o valoare prea mare, un drum

de 48 km este destul de mult pentru un biciclist, rmne s se aleag i c,astfel nct sse obin pentru xun numr ntreg, am ales c =3.

2) Considerm problema: A are 29 de lei, B are 11 lei. Fiecare din ei capt cte 1 leu pezi. Dup cte zile va avea A de dou ori mai mult dect B? Aritmetic, problemele de acestfel se rezolv observnd c diferena dintre banii lui A i banii lui Brmne constant.

21

8/14/2019 Rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuaiilor

22/31

Problema revine la aflarea a dou numere cnd se cunoate diferena lor (= 29 11 = 18) iraportul (=2).

Se obine ecuaia:

;211

29=

++x

xadic de forma: .k

xb

xa=

++

Variante:

a)ntr-un vas se gsesc 29 l de ap, iar n alt vas 11 l. n fiecare vas intr cte 1 l de appe minut. Peste ct timp va conine primul vas de dou ori mai mult ap dect al doilea?b) A are 29 de ani, Bare 11 ani. Peste ci ani va fi vrsta lui A de dou ori mai mare dectvrsta lui B?

Aceast variant este ceva mai grea, cci n enun nu se spune c n fiecare an seadaug un an la vrsta fiecruia. Cu aceast ocazie, menionm c aceste probleme, attde rspndite n manuale, sunt ct se poate de nefireti. Cnd se compar vrstele a doioameni se ntreab cu ct, nu de cte ori este mai mare unul dect cellalt.c)ntr-o clas au fost 17 biei i 7 fete. Au venit acelai numr de biei i de fete i

acum sunt n clas de dou ori mai muli biei dect fete. Ci biei au venit?Varianta urmtoare are o form mai abstract.

d)Ce numr trebuie s adunm la ambii termeni ai fraciei39

19ca s obinem o fracie

egal cu ?5

3

Pentru a potrivi datele numerice, se poate folosi, aa cum am artat n exemplele

precedente, soluia literal .1

=

k

kbax Cnd ni-l dm pe kdinainte, se poate proceda mai

simplu. n cazul de fa am luat la ntmplare o fracie egal cu 2, i anume18

36, apoi am

sczut din ambii termeni numrul 7 (luat la ntmplare, dar avnd grij s obinem ofracie ireductibil).

Foarte util este s cerem elevilor s compun ei variante. Prin aceasta stimulmimaginaia lor i, totodat, ei ajung s ptrund mai bine legtura dintre enunul uneiprobleme i ecuaia corespunztoare. Dac punerea problemelor n ecuaie poate ficomparat cu o traducere dintr-o limb n alta, compunerea unei probleme care scorespund unei ecuaii date corespunde cu o retroversiune i este tiut ct de utile suntretroversiunile n nvarea unei limbi strine.

Procedeul recomandat aici are dou avantaje. Primul: elevii nva mai uor sdesprind dintr-o situaie concret relaiile matematice cnd aceeai relaie apare ndiferite situaii concrete, ei o recunosc mai uor. Al doilea: procedeul pune n evidencaracterul general al relaiilor matematice. Prin aceeai ecuaie sau prin acelai sistem deecuaii se rezolv probleme care, la prima vedere, nu au nimic comun.

Se poate da variantelor o alt direcie, compunnd probleme care duc la ecuaiiasemntoare, nu chiar de aceeai form. De exemplu, n cazul problemei 1) de mai sus,datele se pot schimba astfel: a)n loc de: viteza motociclistului este de 4 ori mai mare

22

8/14/2019 Rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuaiilor

23/31

dect viteza biciclistului, se poate da c viteza motociclistului este cu 36 km/or maimare dect a biciclistului (ecuaia a doua devine (x+ 36)(y 3) = 48; b)n locul datelor cuprivire la momentul plecrii i momentul sosirii motociclistului, din care rezult c timpul n care motociclistul parcurge drumul este y 3, se poate da c timpul n caremotociclistul parcurge drumul este 1/4 din timpul necesar biciclistului - diferenavitezelor fiind de 36 km.

Mai multe posibiliti ofer problema a doua, de exemplu:a) A are 60 de lei, iar Bare 154 de lei. Fiecare din ei cheltuiete cte 1 leu pe zi.

Dup cte zile va avea Bde 3 ori mai mult dec A? [15 zile]b) A are 27 de lei, iar B are 78 de lei. A capt n fiecare zi cte 1 leu, iar B

cheltuiete n fiecare zi cte 1 leu. Dup cte zile va avea Bde dou ori mai mult dect A?[8 zile]

Problema devine ceva mai grea dac ntrebarea se formuleaz astfel: ct trebuie sdea Blui A ca Bs aib de 2 ori mai mult dect A?

Elevii au tendina s scrie: micoreaz numrtorul, dar omit s mreasc numitorul

sau fac greeala invers.c) A are 33 de lei i Bare 49 de lei. Ei primesc n fiecare zi cte 3lei. Peste cte

zile va fi raportul dintre banii lor egal cu 3/4? [5 zile]d) A are 50 de lei, iar B 221 de lei. A capt n fiecare zi cte 4 lei, iar B

cheltuiete n fiecare zi cte 6 lei. Peste cte zile va fi raportul dintre banii lor egal cu2/5? [6 zile]

e) Doi drumei A i Bmerg pe aceeai osea care trece printr-o localitate O. La unmoment dat, distanele de la localitatea Osunt: OA = 50 km, OB= 221 km. Drumeul A sedeprteaz de localitatea Ocu 4 km/or, iar Bse apropie de Ocu 6 km/or. Dup cte

ore va fi raportul dintre aceste distane egal cu ?5

2

8. Lecii speciale de punere a problemelor n ecuaie. Se tie c la problemele ce serezolv cu ajutorul ecuaiilor, partea cea mai important este formarea ecuaiei sau asistemului. De aceea este util ca unele lecii s fie consacrate numai acestor lucrri.Problema se consider rezolvat n momentul n care a fost pus n ecuaie, n felul acestase concentreaz efortul asupra greutii principale i densitatea leciilor crete pentru cse elimin munca, mai puin interesant n acest moment, de rezolvare a ecuaiei sau a

sistemului. Totodat se ridic nivelul leciilor. Se pot face diferite comentarii, aceeaiproblem se poate pune n ecuaie n mai multe feluri, se pot rezolva mai multe problemeasemntoare .a.m.d. n special, exerciii ca cele indicate la punctul precedent nici nu sepot face cu spor dac se duc calculele pn la capt. Bineneles, acest procedeu nu poatefi folosit permanent, ci numai cnd elevii sunt mai avansai i n mod sporadic.

23

8/14/2019 Rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuaiilor

24/31

ALTE RECOMANDRI

1. Comparaia dintre soluia aritmetic i cea algebric 2. Probleme ncare trebuie fcute unele operaii suplimentare 3. Probleme cu date n

litere 4. Probleme n aparen nedeterminate 5. Observaii finale

n paragraful precedent am indicat o serie de mijloace prin care i putem nva pe

elevi s pun probleme n ecuaie. n cele ce urmeaz dm unele recomandri speciale, princare se urmrete o adncire a cunotinelor elevilor, dincolo de limitele obinuite.

1. Comparaia dintre soluia aritmetic i cea algebric. Nu este cazul s se rezolve nmod sistematic problemele de algebr i pe cale aritmetic. Aceasta ar constitui o imensrisip de timp i de energie. Mai mult, ntr-un anumit sens acest lucru este chiar con-traindicat. Scopul acestor probleme este s-i nvm pe elevi s mnuiasc instrumentulalgebric. Rezolvnd n paralel problemele sau un mare numr dintre ele pe cale aritmeticriscm s avem soarta vntorului care alearg dup doi iepuri. Considerm c uneori este,

totui, util s se compare metoda algebric cu cea aritmetic, atunci cnd elevii cunosc ipe aceasta din urm, i s se dea interpretri concrete ale metodelor de rezolvare asistemelor liniare.

1) n primul rnd vin n consideraie problemele care se rezolv printr-o ecuaie de forma

Nncbaundenc

x

b

x

a

x=++ ,,,,, . Asemenea probleme se rezolv n numr mare la

aritmetic i calculele care se fac sunt foarte asemntoare cu cele care se fac pentru arezolva ecuaia. S lum, de exemplu, problema: Cineva a avut o sum de bani. El a cheltuitpe rnd 1/3, 1/6 i 2/9 din ea i i-au rmas 85 de lei. Ci bani a avut?

La aritmetic, aceast problem se rezolv prin operaiile urmtoare:

,30618

5:85;

18

5

18

131;

18

13

9

2

6

1

3

1===++ iar ecuaia problemei este: 85

9

2

63=

++xxx

x

sau .859

2

63x

xxx=+++

24

8/14/2019 Rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuaiilor

25/31

Pentru a pune n eviden analogia cu soluia aritmetic, este mai bine s seefectueze unele calcule nainte de a scrie ecuaia, astfel:

.306;8518

5;

18

5

18

13;

18

13

9

2

63====++ x

xxxx

xxxx

Calculele sunt aceleai ca la soluia aritmetic (n clas, lucrrile se pot aeza

frumos pe dou coloane). Faptul c ecuaia 8518

5=

xse rezolv de obicei prin doi pai

( )306,18855 == xx , iar la aritmetic se face o singur operaie

18

5:85 nu are

importan; se poate scrie18

5:85;85

18

5== xx sau n prima soluie, ultima lucrare se poate

descompune n dou: se afl nti18

1din sum, apoi toat suma, ceea ce revine la

simplificarea ecuaiei cu 5. Rmne numai operaia a doua. Desczutul este xn loc de 1. nprivina aceasta, se poate observa c la soluia aritmetic acest punct este cel mai greu.Elevii scriu cu uurin diferitele fracii, nelegnd c fiecare fracie este o fracie din

ceva, care nu se menioneaz niciodat la calculele cu fracii, dar se mpac greu cu ideeade a scrie 1 pentru suma ntreag, cci aceast sum nu este de 1 leu. n soluia algebric,aceast dificultate nu apare, se scade din toat suma partea cheltuit.

2) Se poate da metodei comparaiei o interpretare concret. Considerm, de exemplu,problema: 16 caiete i 15 creioane cost mpreun 58 de lei, 12 caiete i 7 creioane costmpreun 38,40 de lei. Ct cost un caiet? Ct cost un creion?

Problema se rezolv cu ajutorul sistemului:

=+

=+

4,3 871 2

5 81 51 6

yx

yx

Pentru a rezolva sistemul, se nmulete prima ecuaie cu 3 i a doua cu 4, apoi sescade ecuaia a doua din prima. n loc s spunem c nmulim prima ecuaie cu 3, putemspune c aflm ct am plti dac am cumpra de 3 ori mai multe caiete i de 3 ori maimulte creioane; n mod analog se interpreteaz nmulirea ecuaiei a doua cu 4.

Punem fa n fa lucrrile prin care se rezolv sistemul i soluia aritmetic:

lei1,20costacreion.....1........................................1,20......

lei20,40costacreioane..17........................................20,40.....17

lei153,60costacreioane28sicaiete....48....................153,60....2848

lei174costacreioane45sicaiete......48....................174.......4548lei38,40costacreioane7sicaiete......12....................38,40.....712

lei58costacreioane15sicaiete16...................................581516

==

=+

=+=+

=+

y

y

yx

yxyx

yx

n partea dreapt, rndul al 5-lea se obine comparnd cele dou rnduriprecedente. De fiecare dat s-a cumprat acelai numr de creioane, 48; diferena de

25

8/14/2019 Rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuaiilor

26/31

pre se datoreaz faptului c s-a cumprat a doua oar cu 45 28 = 17 creioane mai puini de aceea s-a pltit cu 174 153,60 = 20,40 lei mai puin. Deci, 17 creioane cost 20,40lei. De aici se obine costul unui creion.

n aritmetic, procedeul folosit n coloana din dreapta se numete uneori metodaegalrii termenilor. Fie c elevii l cunosc de la aritmetic, fie c nu-l cunosc, el poate fifolosit pentru a da o frumoas interpretare intuitiv metodei eliminrii prin reducere.

3) n mod asemntor se poate interpreta metoda eliminrii prin substituie. Fie, deexemplu, problema: La o cantin iau masa 80 de copii i 24 de aduli. Raia de lapte a unuicopil este cu 100 ml mai mare dect dublul raiei unui adult. ntr-o zi se consum 54 l delapte. Care este raia de lapte a unui copil? A unui adult?

Sistemul corespunztor este:

+=

=+

1,02

52 48 0

yx

yx, el se rezolv prin metoda substituiei:

( ) .25,0;46184;548184;54248160;54241,0280 ===+=++=++ yyyyyyy

Aritmetic, problema se rezolv astfel: se presupune c tot laptele este mprit nporii, 80 de porii de copii i 24 porii de aduli, i se cere s se transforme totul nporii de adult. Din datele problemei rezult c din fiecare porie mare se fac dou poriimici i rmn 100 ml, care se strng ntr-un vas. Se obine astfel 80 2 = 160 de poriimici i n vas se strng 0,1 80 = 8 l de lapte. Mai sunt 24 de porii mici i n total sunt 54l de lapte, deci 160 + 24 = 184 de porii mici i 8 l reprezint n total 54 l; prin urmare,cele 184 de porii reprezint 54 8 = 46 l; o singur porie mic are 0,250 l. Substituiriilui xdin prima ecuaie prin 2y+ 0,1 i corespunde operaia concret de a nlocui poriile de

copil prin porii de adult. Calculele care se fac cnd se d soluia aritmetic corespundntocmai celor care se fac pentru a rezolva sistemul, aa cum ele au fost prezentatedesfurat.

2. Probleme n care trebuie fcute unele operaii suplimentare. Elevii, cnd se gsescn faa unei probleme la algebr, trec imediat la punerea ei n ecuaie. Aa i obinuim noi.Pentru dezvoltarea intelectual a elevilor este util s dm i unele probleme care s nu fiegata aranjate pentru a fi puse n ecuaie. Bineneles, aceasta se poate face abia cndelevii sunt mai avansai n rezolvarea problemelor.

n manuale i n culegeri, asemenea probleme sunt foarte rare dac nuinexistente, profesorul trebuie s i le compun singur, complicnd probleme cunoscute.Dm cteva exemple:

1) Pornim de la o problem care duce la o ecuaie de forma date,numere,, bakxb

xa=

de

exemplu:

26

8/14/2019 Rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuaiilor

27/31

A are un salariu de 1380 de lei, B are un salariu de 1650 de lei. Fiecare din ei cheltuieteaceeai sum de bani i la sfritul lunii i rmne lui B de 2 ori mai mult dect lui A. Ctcheltuiete fiecare din ei ntr-o lun?

Complicm enunul, nlocuind prima fraz prin urmtoarea: A a avut un salariu de1200 de lei i Bde 1500 de lei; salariul lui A s-a mrit cu 15%, iar salariul lui Bcu 10%.

nainte de toate trebuie s aflm ce salariu are fiecare din ei acum; abia pe urm

se poate trece la punerea problemei n ecuaie. Se obine ecuaia ,2

1

1650

1380=

x

xcare d x

= 1110.2) O secie a unei uzine trebuie s livreze la un termen anumit o anumit cantitate depiese. Dac se fac cte 80 de piese pe zi, se produc pn la termenul stabilit cu 36 depiese mai puin dect trebuie. Dac, ns, producia zilnic se mrete cu 12 piese,lucrarea se termin cu 3 zile nainte de termen i se fac chiar cu 12 piese mai mult. Decte piese a fost comanda i n ct timp trebuiau fabricate piesele comandate?

Problema se poate rezolva cu ajutorul sistemului:

( )

==

+==

.2

2

1 239 2

3 68 0

y

x

yx

yx

Se poate introduce, de exemplu, urmtoarea complicaie. n loc s se dea cproducia zilnic se mrete cu 12 piese, se d c ea se mrete cu 15%; iar n loc de: sefac chiar cu 12 piese mai mult, se d c se fac cu 48 de piese mai mult dect s-ar fi fcutdac se produceau numai cte 80 de piese pe zi; sau: se fac mai multe piese dect se ceren comand, i anume 1/3 din numrul pieselor care ar lipsi dac s-ar produce numai cte80 de piese pe zi.3) La o cooperativ agricol de producie se cultiv gru pe 2 loturi de pmnt. Recoltade pe primul lot a fost evaluat la 1600 kg/ha, cea de pe lotul al doilea la 2000 kg/ha i s-a calculat c n felul acesta recolta total va fi de 32 de vagoane. n realitate, recolta depe primul lot a fost cu 10% mai mare, iar recolta de pe lotul al doilea a fost cu 5% maimic i a coninut 6% corpuri strine. Producia total a fost cu 112 kg mai mic dect s-aprevzut. Cte hectare are fiecare din aceste loturi?

Problema se rezolv cu ajutorul sistemului:

=

=

=+

=+

.7

1

3 1 8 81 7 8 61 7 6 0

3 2 0 02 0 0 01 6 0 0

y

x

yx

yx

27

8/14/2019 Rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuaiilor

28/31

8/14/2019 Rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuaiilor

29/31

se reduce. Aceste probleme sunt interesante, pentru c ies din cadrul problemelorobinuite i i oblig pe elevi s reflecteze. Dm cteva exemple:1) Un dreptunghi are nsuirea urmtoare: dac mrim una dintre laturile sale cu 25 cm,iar cealalt cu 15 cm, perimetrul lui devine de 180 cm. Se cere perimetrul dreptunghiului.

( ) ( )[ ]cmdeesteperimetrulyxyx 100;10022;180152252 =+=+++

Variante: ambele laturi se micoreaz; o latur se mrete i cealalt se micoreaz.2) Dac mrim o latur a unui dreptunghi de 3 ori, iar cealalt de 4 ori, aria sa devine de132 cm2. Se cere aria dreptunghiului.

( )211;11;13243 cmdeesteariaxyyx ==Variante analoge cu cele de la problema precedent.3) Aria unui trapez este de 70 cm2, iar nlimea sa este de 7 cm. Se cere linia mijlocie atrapezului.4) O barc merge pe un ru. Dac viteza cu care curge apa ar fi cu 0,5 km/or mai mare,iar viteza proprie a brcii ar fi cu6 km/or mai mare, barca ar merge la vale cu o vitezde 18,5 km/or. Cu ce vitez merge barca la vale?

( ) ( )[ ]orakmcuvalelemergebarcayxyx /12;12;5,1865,0 =+=+++Problema analog cnd barca merge la deal ( ) ( )[ ] ./13;12;5,185,06 orakmxyxy ==++ 5) Doi bicicliti A i B trec peste un pod MN mergnd cu viteze egale. Biciclistul A mergede la M spre N, iar B de la N spre M i ei se ntlnesc ntr-un punct P, unde MP este 85 -din lungimea podului. O main trece peste acelai pod de la M spre N. Ea intr pe pod nacelai timp cu biciclistul A i se ntlnete cu biciclistul B n momentul cnd acesta intrpe pod. Viteza mainii este de 60 km/or. Se cere viteza biciclitilor.

Fie a lungimea podului socotit n kilometri, t momentul ntlnirii (timpul fiindsocotit n ore, de la momentul n care biciclistul A intr pe pod), iar xviteza biciclitilor n

km/or. Timpul necesar mainii pentru a parcurge podul este 60a

, deci biciclistul Bintrpe pod cu 60a ore mai trziu dect A. Pn n momentul ntlnirii, biciclistul A mergetimp de tore, iar B timp de ( )60at ore i ei parcurg, respectiv MP = txkm i NP =( )60at xkm. Se obine o prim ecuaie, scriind c suma acestor drumuri este de akm:

.60

axa

ttx =

+ A doua ecuaie se obine scriind c MPeste 85 din lungimea

podului: .8

5atx = Avem astfel un sistem de dou ecuaii cu trei necunoscute: t, x i a.

Totui, problema se poate rezolva.Se nlocuiete n prima ecuaie txprin 85 a,se mparte ecuaia prin a ( )0a i se

obine x =15. Biciclitii merg cu o vitez de 15 km/or. Este remarcabil c ai trmnnedeterminai (legai prin relaia a= 24 t), ceea ce nseamn c viteza biciclitilor esteaceeai oricare ar fi lungimea podului.

Soluia aritmetic: studiem micarea biciclitilor din momentul n care biciclistul Aintr pe pod. n acest moment, biciclistul Bse afl ntr-un punct N.Deoarece ei merg cuaceeai vitez, ei trebuie s se ntlneasc la mijlocul drumului, deci MP=PN.Cum MPesteegal cu 5 diviziuni (o diviziune este a 8-a parte din pod), PN este de asemenea de 5

29

8/14/2019 Rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuaiilor

30/31

diviziuni, deci NNeste de dou diviziuni. Pe de alt parte, se d c maina i bibiclistul Bse ntlnesc n N, iar cnd maina se afl n M, Bse afl n N (A se afl n M).Rezult cn timpul n care maina parcurge tot podul, care este de 8 diviziuni, Bparcurge drumulNN, care este de numai dou diviziuni, deci de 4 ori mai mic. Rezult c viteza biciclistuluieste a patra parte din viteza mainii.6) Un nottor noat pe Neva mpotriva curentului. n dreptul podului Republica pierde oplosc goal. Dup ce mai noat 20 min i d seama de pierdere; se ntoarce i ajungeplosca n dreptul podului Schmidt. S se afle cu ce vitez curge apa, dac distana dintrecele dou poduri este de 2 km.

Fie Spodul Schmidt, Rpodul Republica, Tpunctul n care se gsete nottorul nmomentul cnd i d seama c a pierdut plosca, ttimpul (n ore) ct merge nottorul nsensul apei dup ce a pierdut plosca (n care face drumul RT), SR - dkm, vi x,respectivviteza nottorului i a apei (n km/or). nottorul merge n sensul apei cu viteza v x, iarn jos cu viteza v+ x;plosca merge cu viteza x.

Avem: RT= (v x)t, ST= (v x)t+ d.Scriem c timpul n care nottorul face

drumul de la Rla Ti de aici napoi la S (cu viteza v+ x)este egal cu timpul n care ploscaface drumul RS(cu viteza x)i obinem ecuaia:

( ).

x

d

xv

dtxvt =

+

++

n problem se dau numai d = 2 km i t = 31 ore, deci ecuaia conine dounecunoscute: vi x.Totui, problema se poate rezolva, cci, fcnd calculele, vse reduce

i se obinet

dx

2= . Cu datele din problem: x= 3 km/or.

Soluie aritmetic:Presupunem c totul s-ar petrece ntr-o ap stttoare. Atuncilucrurile ar fi foarte simple. nottorul ar merge un timp tpn ntr-un punct Ti de aici

s-ar ntoarce pn n punctul R,unde ar gsi plosca, care st pe loc. Deci, el ar gsi ploscadup 2tore (tore pentru a merge din Rpn n Ti tot att pentru a merge napoi). Acestrezultat rmne valabil i ntr-o ap curgtoare, cci distana dintre nottor i ploscrmne neinfluenat de faptul c apa curge la vale. ntr-adevr, fie vviteza nottorului,iar x viteza apei (a plotii). ntr-o ap stttoare, nottorul, cnd merge n sus, s-ardeprta de plosc ntr-o unitate de timp cu o distan v;datorit faptului c apa curge lavale, nottorul parcurge numai drumul v x,n schimb plosca parcurge la vale un drum delungime x,deci distana dintre ei crete tot cu v. Cnd merge la vale, nottorul parcurge ntr-o unitate de timp un drum v + x, dar plosca parcurge un drum de lungime x, decidistana dintre nottor i plosc scade cu v ca ntr-o ap stttoare(acest lucru devinemai clar dac ne nchipuim o plut foarte lung, de la R la T, i c nottorul, n loc snoate, ar merge pe plut de la R la Ti napoi, unde ar gsi plosca; faptul c pluta esteantrenat de ap la vale nu are nici o influen).

Rezult c i ntr-o ap curgtoare nottorul prinde plosca dup 2t ore, timp ncare plosca parcurge drumul d.Dac viteza plotii este d:2t.Aceasta este i viteza apei.

Acum devine clar de ce rezultatul este independent de viteza nottorului, cci s-adat timpul ct merge nottorul n susul apei, din Rpn n T, nu distana RT.Dac viteza

30

8/14/2019 Rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuaiilor

31/31

proprie a nottorului devine mai mare sau mai mic, distana RTcrete sau scade, dartimpul necesar nottorului pentru a face drumul de la Rla Ti napoi rmne acelai, 2t.Viteza v intervine numai cnd, pentru a pune problema n ecuaie, calculm lungimeasegmentului RT.

5. Observaii finale.a)La acest capitol, mai mult de ct la altele, se aplic proverbul: Nu multe, ci mult. Lapartea care se refer la calculul algebric sunt n adevr necesare multe exerciii, ca eleviis ajung s calculeze rapid i sigur. Aici, ns, situaia este alta. Conteaz mai puincantitatea problemelor rezolvate, important este ca elevii s neleag bine problemelecare se rezolv.b)Pe ct posibil, s nu se considere o problem terminat n momentul n care s-a aflatvaloarea necunoscutei, chiar dac se face proba - n enun, nu n ecuaie. Este util s sefac, de la caz la caz, observaii, s se discute alte posibiliti de a pune problema necuaie .a.m.d. Acest lucru devine mai clar dac ne nchipuim o plut foarte lung, de la R

la T, i c nottorul, n loc s noate, ar merge pe plut de la Rla Ti napoi, unde ar gsiplosca. Faptul c pluta este antrenat de ap la vale nu are nici o influen.c)Faptul c nu exist o metod de a pune problema n ecuaie nu nseamn c, n clas,putem rezolva probleme luate la ntm-plare. Tocmai aici, unde ordinea de predare nu estebine determinat de coninut, ca la alte capitole, organizarea predrii joac un rol maimare. Problemele trebuie grupate pe criterii; greutatea de a le pune n ecuaie, formaecuaiei, coninutul .a.d)S nu pierdem din vedere ce este esenial la acest capitol: punerea n ecuaie. Asupraacestei laturi s ne ndreptm atenia, att la problemele pe care le rezolvm n clas, ct

i la cele pe care le dm ca teme pentru acas. n special la acestea din urm, laverificare, s discutm cu toat clasa cum au fost puse problemele n ecuaie.e) Problemele ce se rezolv cu ajutorul ecuaiilor nu snt un scop n sine, ele sunt exerciiide a aplica algebra la descrierea unor situaii i relaii din realitate. Aceluiai scop iservesc i alte exerciii i probleme, care nu duc la ecuaii ci la ua simplu calcul algebric.Asemenea exerciii trebuie fcute tot anul, n cadrul calculului algebric.