of 31 /31
REZOLVAREA PROBLEMELOR CU AJUTORUL ECUAŢIILOR Prin rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuaţiilor, cunoştinţele de algebră ale elevilor se încheagă, în sensul că aici se aplică aproape tot ce au învăţat ei la algebră: calcul algebric, rezolvarea ecuaţiilor şi a sistemelor de ecuaţii şi, mai ales, ei învaţă să aplice aceste cunoştinţe în situaţii concrete cât mai variate. Trebuie, totuşi, subliniat că, dacă este adevărat că aceste probleme au un conţinut concret, cele mai multe dintre ele nu sunt cu adevărat practice. Când parcurgi zecile de probleme care se găsesc în manuale şi în culegeri, vei găsi cu greu o problemă care să fi izvorât efectiv din activitatea practică din zilele noastre. Cele mai multe dintre ele datează din Evul Mediu sau sunt şi mai vechi. În lumea şcolară, temele vechi au fost reluate şi amplificate, uneori li s-a schimbat haina, aşa că astăzi dispunem de un stoc imens de probleme, dintre care unele sunt foarte complicate. Trebuie să ne ferim de exagerări. Să nu transformăm aceste probleme într-un scop în sine. Ele sunt un exerciţiu util al spiritului, dar numai atât. Pentru studiile de mai târziu, aceste probleme nu sunt absolut necesare. În aplicaţii, ori de câte ori trebuie scrisă ecuaţia care descrie o anumită situaţie, se dau toate explicaţiile. De exemplu, la fizică apare, în legătură cu calorimetrul, o ecuaţie destul de lungă care exprimă că cantitatea de căldură pe care o cedează un corp este egală cu cantitatea de căldură pe care o primeşte un alt corp. Această problemă, pusă într-o culegere de probleme de algebră, ar fi considerată ca o problemă uşoară. Totuşi, în cărţile de fizică se explică amănunţit cum se ajunge la ea. Din aceste motive nu se poate formula precis care sunt obiectivele acestui capitol. Se poate spune doar atât: elevii să fie în stare să rezolve cu ajutorul ecuaţiilor probleme de greutate mijlocie; nu se poate spune precis ce este o problemă de greutate mijlocie, dar se poate face recomandarea ca profesorul să păstreze măsura. CE ESTE O PROBLEMĂ DE ALGEBRĂ 1. Ce este o problemă de algebră? 2. Problemele inverse 3. În ce constă dificultatea de a rezolva unele probleme pe cale aritmetică? 4. Caracterul relativ al acestei clasificări În lumea şcolară se face distincţie între probleme de aritmetică, ce se pot rezolva pe baza cunoştinţelor care se capătă la aritmetică şi probleme de algebră, care se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor, sau între soluţia aritmetică şi soluţia algebrică a unei probleme. În ultimă analiză, orice problemă care se poate rezolva cu ajutorul unei ecuaţii de gradul 1 sau a unui sistem de două ecuaţii de gradul 1 cu două necunoscute se poate rezolva şi pe cale aritmetică. Acest lucru este uneori foarte anevoios, dar este totdeauna posibil. Care

REZOLVAREA PROBLEMELOR CU AJUTORUL ECUAŢIILOR · REZOLVAREA PROBLEMELOR CU AJUTORUL ECUAŢIILOR Prin rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuaţiilor, cunoştinţele de algebră ale

  • Author
    others

  • View
    87

  • Download
    6

Embed Size (px)

Text of REZOLVAREA PROBLEMELOR CU AJUTORUL ECUAŢIILOR · REZOLVAREA PROBLEMELOR CU AJUTORUL ECUAŢIILOR...

  • REZOLVAREA PROBLEMELOR CU AJUTORUL ECUAIILOR

    Prin rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuaiilor, cunotinele de algebr ale

    elevilor se ncheag, n sensul c aici se aplic aproape tot ce au nvat ei la algebr:

    calcul algebric, rezolvarea ecuaiilor i a sistemelor de ecuaii i, mai ales, ei nva s

    aplice aceste cunotine n situaii concrete ct mai variate. Trebuie, totui, subliniat c,

    dac este adevrat c aceste probleme au un coninut concret, cele mai multe dintre ele

    nu sunt cu adevrat practice. Cnd parcurgi zecile de probleme care se gsesc n manuale

    i n culegeri, vei gsi cu greu o problem care s fi izvort efectiv din activitatea

    practic din zilele noastre. Cele mai multe dintre ele dateaz din Evul Mediu sau sunt i

    mai vechi. n lumea colar, temele vechi au fost reluate i amplificate, uneori li s-a

    schimbat haina, aa c astzi dispunem de un stoc imens de probleme, dintre care unele

    sunt foarte complicate. Trebuie s ne ferim de exagerri. S nu transformm aceste

    probleme ntr-un scop n sine. Ele sunt un exerciiu util al spiritului, dar numai att. Pentru

    studiile de mai trziu, aceste probleme nu sunt absolut necesare.

    n aplicaii, ori de cte ori trebuie scris ecuaia care descrie o anumit situaie, se

    dau toate explicaiile. De exemplu, la fizic apare, n legtur cu calorimetrul, o ecuaie

    destul de lung care exprim c cantitatea de cldur pe care o cedeaz un corp este

    egal cu cantitatea de cldur pe care o primete un alt corp. Aceast problem, pus

    ntr-o culegere de probleme de algebr, ar fi considerat ca o problem uoar. Totui, n

    crile de fizic se explic amnunit cum se ajunge la ea. Din aceste motive nu se poate

    formula precis care sunt obiectivele acestui capitol. Se poate spune doar att: elevii s

    fie n stare s rezolve cu ajutorul ecuaiilor probleme de greutate mijlocie; nu se poate

    spune precis ce este o problem de greutate mijlocie, dar se poate face recomandarea ca

    profesorul s pstreze msura.

    CE ESTE O PROBLEM DE ALGEBR

    1. Ce este o problem de algebr? 2. Problemele inverse 3. n ce const

    dificultatea de a rezolva unele probleme pe cale aritmetic?

    4. Caracterul relativ al acestei clasificri

    n lumea colar se face distincie ntre probleme de aritmetic, ce se pot rezolva

    pe baza cunotinelor care se capt la aritmetic i probleme de algebr, care se rezolv

    cu ajutorul ecuaiilor, sau ntre soluia aritmetic i soluia algebric a unei probleme. n

    ultim analiz, orice problem care se poate rezolva cu ajutorul unei ecuaii de gradul 1

    sau a unui sistem de dou ecuaii de gradul 1 cu dou necunoscute se poate rezolva i pe

    cale aritmetic. Acest lucru este uneori foarte anevoios, dar este totdeauna posibil. Care

  • 2

    este atunci deosebirea dintre problemele de aritmetic propriu-zis i problemele de

    algebr? De ce este uneori foarte greu s rezolvi pe acestea din urm pe cale aritmetic?

  • 3

    1. Ce este o problem de algebr? Mijlocul cel mai bun de a clasifica problemele la care

    ne referim este de a examina ce fel de relaii ntre date i necunoscute intervin n ele.

    Acest lucru se vede cel mai bine pe ecuaiile respective. Orice problem de aritmetic

    poate fi pus n ecuaie. Cazurile cele mai banale sunt, de exemplu, probleme ca: O lad

    are a kg, o alt lad are b kg; ct au cele dou lzi mpreun? sau: O lad conine a kg; ct

    conin b lzi? crora le corespund ecuaiile: x = a + b i x = ab. Aceste cazuri sunt

    banale fiindc ecuaia apare gata rezolvat. Lucrurile se schimb ndat ce ecuaia conine

    o operaie n care unul din componeni este necunoscut, ca n problemele inverse celor de

    mai sus: Dou lzi au mpreun a kg, iar una din ele are b kg; ct are cealalt? respectiv: O

    lad conine a kg, cte lzi conin b kg?

    De data aceasta, ecuaiile snt respectiv: a + x = b i ax = b, i trebuie rezolvate

    n raport cu x. Totui, aceste probleme sunt privite ca probleme de aritmetic, nu de

    algebr. Aceasta se datorete faptului c n coal lucrurile se prezint altfel.

    Ecuaiile a + x = b i ax = b nu sunt prezentate ca ecuaii. Cu ajutorul lor se

    definesc dou operaii noi: n loc de: a rezolva ecuaia a + x = b, se spune: a scdea a din

    b; aceast operaie se noteaz i i se d o semnificaie concret (a scoate b obiecte

    dintr-o colecie de a obiecte, a micora a cu b .a.m.d.). Tot aa, n loc de a rezolva ecuaia

    ax = b, se spune: a mpri b prin a; aceast operaie se noteaz : i are o semnificaie

    concreta (de cte ori se cuprinde a n b, cte pri de msur a se pot face dintr-un

    obiect de msur b .a.m.d.).

    Datorit operaiilor inverse, se ocolete noiunea de ecuaie i cu ajutorul celor

    patru operaii aritmetice se pot rezolva un numr mare de probleme puse de practic.

    Problemele complexe se descompun n probleme simple, care duc la forma x = a + b, x =

    a - b, x = ab, x = a:b, unde a i b sunt numere date sau care se afl n prealabil tot prin

    probleme de acest tip. n cadrul aritmeticii se rezolv i probleme a cror ecuaie este

    mai complicat. Cele mai importante sunt cazurile cnd ecuaia are forma: x:a = b:c sau

    a:x = b:c. Aceste probleme sunt obiectul unui capitol special Regula de trei.

    La capitolul Procente apare nevoia de a rezolva ecuaia: 100

    NpP n raport cu N

    sau n raport cu p (aflarea ntregului cnd se cunoate un numr de procente din el,

    aflarea raportului procentual a dou numere); la probleme de amestec i aliaj apare nevoia

    de a rezolva ecuaia bft : (t - titlul, f - greutatea metalului preios, b - greutatea brut a ntregului aliaj). Aceste probleme se rezolv prin regula de trei simpl sau pe baza

    proprietilor operaiilor. Comun acestor ecuaii este faptul c necunoscuta figureaz o

    singur dat.

    S considerm n schimb problema: Ce numr trebuie s adugm la ambii termeni ai

    fraciei 18

    11 ca s obinem o fracie egal

    3

    2? Este drept c problema se poate rezolva pe

    cale aritmetic (aflarea a doi termeni cnd se cunoate diferena 18 11 = 7 i raportul

  • 4

    2:3), dar n mod obinuit aceast problem este privit ca problem de algebr. Ecuaia ei

    este:

    3

    2

    18

    11

    x

    x.

    Deosebirea esenial dintre aceast ecuaie i cele precedente const n faptul c

    necunoscuta figureaz aici de dou ori. n general, se poate spune c: dac n ecuaia unei

    probleme necunoscuta figureaz cel puin de dou ori, avem de-a face cu o problem de

    algebr. Acest fapt a fost verificat pe un numr mare de probleme din diferite manuale

    de algebr. Aici avem n vedere problemele cu o singur necunoscut. Problemele cu dou

    sau mai multe necunoscute sunt, n general, probleme de algebr - n afar de cazul cnd

    problema se reduce uor la o problem cu o singur necunoscut, valorile celorlalte

    necunoscute fiind uor de aflat ndat ce s-a aflat valoarea uneia din ele. Nu avem n

    vedere aa-numitele probleme tipice, nici problemele care se rezolv prin metode speciale

    (metoda ipotezelor, metoda retrograd etc).

    2. Problemele inverse. Deosebirea dintre problemele de aritmetic i problemele de

    algebr cu o singur necunoscut se poate pune n eviden i cu ajutorul noiunii de

    problem invers. Am artat mai sus c ecuaiile cele mai simple apar la definirea

    operaiilor inverse. Aceast idee se poate generaliza. Fiind dat o problem n care

    intervin n numere cunoscute, a1, a2, ..., an i un numr necunoscut x, o problem invers

    fa de cea dat este aceeai problem, dar n care x i numerele a1, a2,..., ak-1, ak+1, ..., an

    sunt date, iar ak este necunoscut. O problem admite attea probleme inverse cte

    numere cunoscute intervin n enunul ei.

    La aritmetic, problema invers se folosete deseori pentru a face proba. De cele

    mai multe ori, o problem de algebr este inversa unei probleme de aritmetic (v. i I, 4;

    3, unde acest fapt a aprut ntr-o ordine de idei apropiat). Vom verifica aceast

    afirmaie pe un exemplu. Considerm situaia urmtoare: oseaua care unete dou

    localiti A i B urc tot timpul. Un biciclist merge la deal cu o vitez v kmlor, iar cnd

    merge la vale viteza sa este cu v kmlor mai mare. El face drumul de la A la B n t ore, iar

    de la B la A n t ore.

    Cnd merge la deal, biciclistul are viteza v i parcurge drumul AB n t ore, deci AB =

    vt; cnd merge la vale, el are viteza v + v i parcurge distana AB n t ore, deci AB = (v +

    v)t. Scriind c cele dou expresii ale distanei AB sunt egale, obinem relaia:

    .'' tvvvt Aici intr patru numere v, v, t, t, deci se pot compune patru probleme, dup cum se cere unul sau altul dintre aceste numere, i anume:

    a) Se d: v = 9, v' = 6, t = 5; se cere t. Aceasta corespunde unei probleme uoare de

    aritmetic, i anume: Biciclistul merge la deal cu 9 km/or i parcurge un drum AB n 5

    ore. Viteza cu care merge la vale este cu 6 km/or mai mare. n ct timp va parcurge

    biciclistul drumul de la B la A? Se obine uor pe cale aritmetic: .369

    59' oret

  • 5

    Dac privim aceast problem ca direct, celelalte probleme sunt:

    b) Se d v = 9, v = 6, t = 3 i se cere t.

    c) Se d v = 9, t = 5, t = 3 i se cere v.

    d) Se d v = 6, t = 5, t = 3; se cere v. Textul corespunztor se compune uor.

    Problemele b) i c) sunt probleme uoare de aritmetic. Problema d) ns este o

    problem de algebr. Ecuaia ei este: .635 xx Aadar, din cele patru probleme posibile, trei sunt de aritmetic i una este de

    algebr. Acest lucru se putea vedea direct pe ecuaia (1). Se constat c t, t i v

    figureaz cte o singur dat, iar v figureaz de dou ori. Mai observm c, dac pornim

    de la problema d), toate problemele inverse sunt uoare. Acest fapt va fi folosit ca mijloc

    de a-i nva pe elevi s pun probleme n ecuaie (v. 3; 2).

    Independent de scopul urmrit aici, acest procedeu poate fi folosit pentru a

    compune probleme de algebr.

    3. n ce const dificultatea de a rezolva unele probleme pe cale aritmetic? n mod

    obinuit, pentru a rezolva o problem de aritmetic, se procedeaz astfel: problema

    propus se descompune n probleme simple, care se rezolv printr-o singur operaie,

    astfel nct fiecare din ele s se poat rezolva pe baza datelor din problem sau folosind

    rezultatele problemelor simple rezolvate n prealabil, iar rezultatul ultimei probleme

    simple s constituie totodat rspunsul la problema propus. S lum, de exemplu,

    problema urmtoare care nu este dintre cele mai uoare.

    ntr-un camion s-au ncrcat 2 200 kg de cereale, i anume: 11 saci de gru de cte

    80 kg sacul, 7 saci de orz i 12 saci de porumb; 3 saci de orz cntresc cu 20 kg mai mult

    dect 2 saci de gru. Ct cntrete 1 sac de porumb?

    Aceast problem se descompune n urmtoarele probleme simple care ndeplinesc

    condiiile de mai sus:

    I. Ct cntresc cei 11 saci de gru? kg8801180

    II. Ct cntresc 2 saci de gru? kg160280

    III. Ct cntresc 3 saci de orz? 160 + 20 = 180 kg

    IV. Ct cntrete 1 sac de orz? 180 : 3 = 60 kg

    V.Ct cntresc 7 saci de orz? 60 7 = 420 kg

    VI.Ct cntresc cei 11 saci de gru i cei 7 saci de orz mpreun? 880 + 420 = 1300 kg

    VII. Ct cntresc cei 12 saci de porumb? 2200 1300 = 900 kg

    VIII. Ct cntrete 1 sac de porumb? 900:12 = 75 kg

    Soluia problemei este dat de expresia: VII I VI II III IV V VIII

    ,12:73:2028011802200 x n care cifrele romane puse deasupra semnelor operaiilor indic problema la care se rspunde prin operaia respectiv. Pentru ca elevii

    s poat rezolva astfel de probleme, se face o pregtire n dou direcii. n primul rnd,

    pe msur ce se nainteaz n predarea aritmeticii, n decursul anilor, se rezolv n

    prealabil multe probleme simple. Datorit acestei pregtiri, elevii rezolv cu mare uurin

  • 6

    fiecare dintre problemele simple i, mai mult, ei parvin s recunoasc i s pun astfel de

    probleme atunci cnd este cazul. Se creeaz astfel un anumit fond de prefabricate, de

    piese gata fcute pentru a fi asamblate.

    n al doilea rnd, nu se trece de-a dreptul la probleme att de lungi ca cea de mai

    sus. Astfel de probleme se dau abia dup ce s-au rezolvat probleme care se descompun n

    dou, apoi n trei probleme simple .a.m.d. i unde problemele simple componente se

    rezolv prin operaii felurite: o adunare i o mprire, o nmulire i o scdere .a.m.d. n

    felul acesta, elevii nva treptat s descompun o problem n probleme simple. Aceast

    descompunere este de multe ori nlesnit de ordinea n care apar datele n enunul

    problemei i de faptul c problemele de aritmetic au de cele mai multe ori o form

    narativ. La nevoie, i dm noi aceast form, cutm s vedem cum s-au petrecut

    lucrurile. n cazul problemei de fa, se consider c s-au depus n camion nti sacii de

    gru, apoi sacii de orz - cci putem afla greutatea lor - , iar la urm sacii de porumb, care

    figureaz n ntrebare. Astfel, apar problemele I i V de mai sus, iar problema a V-a ne

    oblig s ne punem i s rezolvm problemele II-IV. Aciunile concrete din care se

    compune ncrcarea camionului corespund problemelor simple n care trebuie s

    descompunem problema propus i ne arat cum s facem descompunerea.

    Aadar, elevii parvin s rezolve probleme aritmetice obinuite datorit unei duble

    pregtiri ndelungate: rezolvarea problemelor simple i descompunerea problemelor

    complexe n probleme simple, aceast descompunere fiind de multe ori nlesnit de un

    anumit paralelism cu nite aciuni concrete. Aceste probleme sunt obinuite nu prin

    caracterul lor propriu, ci prin faptul c n coal se obinuiete s se rezolve astfel de

    probleme - lucru determinat n parte de faptul c ele sunt apropiate de probleme ce apar

    n practic.

    Alta este situaia problemelor care se rezolv cu ajutorul ecuaiilor. Exemplu:

    oseaua care unete localitile A i B urc mereu. Viteza cu care un biciclist merge la

    vale este cu 6 km/or mai mare dect viteza cu care merge la deal. El face drumul de la A

    la B n 5 ore, iar drumul de la B la A n 3 ore. Cu ce vitez merge biciclistul la deal?

    Soluia aritmetic nu este deloc uoar. Problema se poate descompune n probleme

    simple astfel:

    I. Dac biciclistul merge la deal timp de 3 ore, ci kilometri i mai rmn de fcut

    ca s ajung n B? ............ .1836 km (cci, dac merge la vale, ar parcurge n 3 ore

    tot drumul; mergnd la deal el face n fiecare or cu 6 km mai puin, deci n 3 ore - cu

    .1836 km mai puin dect tot drumul)

    II. n ct timp face el acest drum? .............. 5 3 = 2 ore

    III. Cu ce vitez merge? ............ 18 : 2 = 9 km/or

    Soluia problemei este dat de expresia: I III II

    6 3 : (5 2), unde cifrele romane indic problema simpl corespunztoare.

  • 7

    Aceast problem se rezolv prin aceeai metod ca i cea precedent, i anume: prin

    descompunere n probleme simple. Ea este mai scurt, cci se rezolv doar prin trei

    operaii. Totui, ea este cu mult mai grea. Care este cauza?

    Este o chestiune de obinuin. Am artat mai sus c elevii reuesc s descompun

    probleme complexe n probleme simple datorit faptului c au rezolvat n prealabil multe

    probleme simple i astfel ajung s le recunoasc cu uurin atunci cnd se ivesc, n cazul

    de fa, aceast condiie nu este ndeplinit, cci elevii nu au rezolvat n prealabil o

    problem cu enunul urmtor: oseaua care unete dou localiti A i B urc mereu.

    Viteza cu care un biciclist merge la vale este cu 6 km/or mai mare dect viteza cu care

    merge la deal. Biciclistul parcurge drumul de la B la A n 3 ore.

    Ci kilometri i mai rmn de fcut dac merge la deal timp de 3 ore? Dac elevii ar

    fi obinuii cu probleme de acest fel, ca de exemplu: 1 kg de piersici cost cu 6 lei mai

    mult dect 1 kg de prune. Dac, n loc de 3 kg de piersici, cumpr 3 kg de prune, ci bani

    mi rmn? Sau: O lad mare conine cu 6 kg mai mult dect o lad mic. n loc de 3 lzi

    mari, am primit 3 lzi mici. Cte kilograme de marf mai am de primit? - formularea

    problemei simple I ar fi mult uurat. Dar n practica colar astfel de probleme se pun

    rareori; de cele mai multe ori se cunoate viteza, preul unui kilogram de fructe,

    greutatea unei lzi, nu diferena de viteze, de preuri, de greutate; de aceea ne vine greu

    s desprindem din problema n cauz prima problem simpl.

    Aadar, deosebirea dintre problemele de aritmetic i cele de algebr nu este

    esenial. Totul depinde de felul problemelor simple cu care suntem obinuii. Unui elev

    care a fcut foarte puine probleme simple, prima problem i pare tot att de grea ca a

    doua. n general, greutatea de a rezolva unele probleme pe cale aritmetic se datorete

    faptului c nu suntem destul de familiarizai cu problemele simple n care ele se pot

    descompune.

    4. Caracterul relativ al acestei clasificri. mprirea unui anumit cerc de probleme n

    dou clase: probleme de aritmetic i probleme de algebr, nu are aadar nici un temei

    obiectiv. Totul depinde de gradul de familiarizare a rezolvitorului cu problemele simple

    corespunztoare. Dac n coal s-ar cultiva mai mult unele tipuri de probleme, hotarul

    dintre problemele de aritmetic i cele de algebr s-ar deplasa n favoarea primelor.

    Pentru a arta i mai bine ct de relativ este aceast clasificare, s punem i ipoteza

    invers. S presupunem pentru un moment c la aritmetic s-ar nva cele dou operaii

    directe, adunarea i nmulirea, iar scderea i mprirea nu ar fi cristalizate ca operaii

    deosebite. Atunci probleme att de simple ca: un muncitor are de fcut 38 de piese i a

    fcut pn n prezent 15 piese; cte mai are de fcut? Sau: un muncitor face 15 piese pe

    or; n ct timp face el 180 de piese? ar fi privite ca probleme de algebr, care se rezolv

    cu ajutorul ecuaiilor 3815 x i 18015 x . n aceste condiii, prima dintre problemele

    de mai sus ar fi o problem de algebr care se rezolv cu ajutorul sistemului de ecuaii:

  • 8

    ,22007118012

    202803

    yx

    y

    unde y reprezint greutatea unui sac de orz, iar x greutatea unui sac de porumb (s se

    observe c n aceste ecuaii intervin numai adunri i nmuliri, nici o operaie invers).

    Hotarul dintre problemele de aritmetic i cele de algebr s-ar deplasa astfel

    sensibil n favoarea acestora din urm. Practic, acest hotar - care nu este foarte precis -

    a rezultat din condiiile de organizare a nvmntului. Chestiunea are i un aspect social.

    nainte de Reforma nvmntului din 1948, exista n ara noastr coala primar nchis,

    fr perspectiva ca absolvenii ei s poat trece n nvmntul mediu i apoi n cel

    superior. La aceast coal primar se preda numai aritmetica, algebra fiind rezervat

    pentru licee (pn i n fostele coli normale se fcea foarte puin algebr). Sunt ns

    unele probleme care nu sunt aplicaii imediate ale celor patru operaii aritmetice i se

    rezolv mai uor cu ajutorul ecuaiilor, dar care trebuie incluse n programa colii primare

    din cauza caracterului lor practic (procentele, problemele de amestec i aliaj). Aceste

    chestiuni au fost incluse n programa de aritmetic. Un exemplu caracteristic sunt

    problemele de sut mrit i sut micorat. Ele sunt probleme tipice de algebr, ecuaia

    este de forma bax

    x 100

    (necunoscuta intervine de dou ori), iar la aritmetic ele

    formeaz un capitol deosebit.

    ncheiem aceste consideraiuni cu observaia c n condiiile generalizrii

    nvmntului, cnd toi copiii capt i cunotine de algebr, devine actual

    reexaminarea coninutului aritmeticii colare. Toate problemele tip care se rezolv prin

    metode speciale ar urma s fie trecute la algebr - unde i gsesc locul firesc - chiar

    dac rezolvarea lor pe cale aritmetic este un prilej de a stimula inventivitatea unora

    dintre elevi. Mai mult, i o serie de teme care fac parte din programa tradiional de

    aritmetic ar putea fi trecute la algebr.

    INDICAII METODICE

    1. Consideraii generale 2. Regula fundamental 3. Exerciii pariale 4.

    Analiza ecuaiei unei probleme 5. Una sau mai multe necunoscute 6.

    ntocmirea unor tabele 7. Probleme care duc la ecuaii de aceeai form

    8. Lecii speciale de punere a problemelor n ecuaie

    1. Consideraii generale. n multe manuale de algebr se spune c nu se poate da nici o

    regul dup care se pun probleme n ecuaie. Acest lucru este adevrat. Este i firesc s

    fie aa. Ecuaiile nsele sunt un instrument de rezolvare a problemelor. Un instrument

    matematic, ca orice instrument, este util numai dac tim s-l mnuim. n aceast mnuire

  • 9

    intervine totdeauna un element viu, gndirea omului, care nu poate fi eliminat - cel puin n

    nvmnt. Punerea problemelor n ecuaie constituie tocmai acest element viu, care nu

    poate fi turnat n tipare. De aceea, ne vom mrgini n cele ce urmeaz la cteva indicaii

    sistematice cu caracter didactic.

    n multe manuale se d un plan de rezolvare a problemelor cu ajutorul ecuaiilor

    (alegerea necunoscutei, punerea problemei n ecuaie, rezolvarea ecuaiei, proba). Acest

    plan este de puin folos. El d o imagine fals a realitii prin faptul c pune punctul al

    doilea - formarea ecuaiei - pe acelai plan cu celelalte, cnd, de fapt, acest punct conine

    aproape totul. Singura indicaie care s-ar putea da n aceast privin ar fi urmtoarea: se

    exprim sub form de ecuaie relaiile dintre datele problemei i necunoscute. Dar

    aceast indicaie este prea general pentru a fi util. n cele ce urmeaz facem, ntr-o

    ordine ntmpltoare, unele recomandri.

    2. Regula fundamental. Greutatea principal pe care o ntmpin elevii la punerea

    problemelor n ecuaie se datorete nu att de mult faptului c ei nu-i dau seama ce

    relaii exist ntre mrimile ce intervin n problem, ct faptului c nu sunt obinuii s

    exprime aceste relaii cu ajutorul necunoscutei sau necunoscutelor. De exemplu, n cazul

    relaiei S = vt, orice elev tie s calculeze drumul parcurs de un mobil care are o micare

    uniform cnd cunoate viteza i timpul, dar pentru aceasta v i t trebuie s fie dai

    numeric; le vine greu s exprime drumul parcurs cnd v sau t conine necunoscuta. De

    aceea, punerea problemelor n ecuaie este mult uurat dac se ia mai nti pentru

    necunoscut un numr luat la ntmplare i se rezolv problema invers, apoi se pune n

    locul numrului arbitrar litera x, ca n exemplele urmtoare:

    1) Dou maini pleac n acelai timp din oraul A i merg spre oraul B. Prima main

    merge cu viteza de 60 km/or, a doua merge cu o vitez de 40 km/or i ajunge n oraul

    B mai trziu cu dou ore dect prima. Se cere distana dintre cele dou orae.

    Presupunem c am rezolvat problema, c am aflat c distana este de 300 km, de

    exemplu, i facem proba, calculnd cu ct ajunge maina a doua mai trziu - trebuie s dea

    dou ore. Se obine:

    timpul n care prima main face drumul: ore560

    300 ;

    timpul n care maina a doua face drumul: ore217

    40

    300 ;

    ntrzierea: .22125

    217

    60

    300

    40

    300

    Bineneles, proba nu a ieit - nu am ghicit rezultatul. Acum notm cu x distana

    dintre cele dou localiti. n loc de ;60

    apare60

    300 x n loc de .

    40

    xapare

    40

    300 Facem scderea

    6040

    xx i punem condiia ca diferena s fie egal cu 2. Obinem ecuaia: ,2

    6040

    xxcare

    d x = 240. Lucrrile se pot aeza pe dou coloane astfel:

  • 10

    26040

    40

    60

    252

    17

    217

    40

    300

    560

    300

    300

    xx

    x

    x

    x

    Mai frumos este dac rezultatul problemei numerice se exprim direct printr-o

    formul, apoi se taie peste tot numrul 300 i se nlocuiete cu x. Pe tabl apare direct

    ecuaia problemei: .26040

    xx

    S observm c, dac notm cu V i v vitezele, cu d distana dintre cele dou orae,

    iar cu i ntrzierea, ntre aceste mrimi exist relaia: .V

    d

    v

    di n problema propus,

    necunoscuta este d. Problema preliminar rezolvat de noi a fost o problem uoar de

    aritmetic n care necunoscuta era i; v i V intr de asemenea cte o singur dat, deci

    lund aceste mrimi ca necunoscute, obinem de asemenea probleme de aritmetic. Este

    greu de spus de ce am preferat problema n care necunoscuta este i.

    2) n magazia unui restaurant se gsesc 1-20 kg de orez, 150 kg de gri. S-a consumat de

    3 ori mai mult gri dect orez i n magazie a rmas de dou ori mai mult gri dect orez.

    Ct orez s-a consumat?

    Presupunnd c s-au consumat 20 kg de orez, lucrrile se prezint astfel:

    .36,23150

    1202

    3150

    120

    3150

    3

    120

    290

    100

    9060150

    60320

    10020120

    20

    xx

    x

    x

    x

    x

    x

    x

    x

    n cazul cnd se folosete o formul numeric, se obine: .2203150

    20120

    3) S lum i o problem destul de grea, cu dou necunoscute: A spune lui B: Eu am acum

    de 2 ori mai muli ani dect ai avut tu cnd eu am avut vrsta ta de acum, iar cnd tu vei

    avea vrsta pe care o am eu acum, vom avea mpreun 36 de ani. Ce vrst are fiecare din

    ei?

    Presupunnd c A are, de exemplu, 14 ani, iar B are 10 ani se poate judeca astfel: A

    a avut vrsta lui B n urm cu 14 10 = 4 ani; atunci B a avut 10 4 = 6 ani. Raportul dintre

    vrsta lui A de acum i vrsta lui B de atunci este de 26:14 .a.m.d. Se obine schema:

  • 11

    362

    2

    22

    2

    ;

    36321418

    18414

    41014

    26

    14

    6410

    41014

    10;14

    xyx

    yxyxx

    yx

    xy

    x

    xyyxy

    yx

    yxaniani

    Se obine sistemul:

    12

    16

    363

    43

    y

    x

    yx

    yx.

    Dat fiind caracterul neobinuit al acestei probleme, n clas se simte nevoia de a

    face lucrrile din stnga liniei verticale de 2 ori, lund pentru x i y alte valori. Acest

    procedeu izvorte din nsi metoda algebric de a aborda problemele i din faptul c

    orice problem de algebr poate fi privit ca problema invers a unei probleme de

    aritmetic.

    Dm i soluia aritmetic a problemei, care este interesant prin faptul c prima

    ecuaie se obine pe cale intuitiv, fr calcul algebric, iar ecuaia a doua nu apare deloc.

    Fie OA vrsta lui A, iar OB vrsta lui B. n fiecare an, fiecare dintre punctele A i B se

    deplaseaz spre dreapta cu o unitate. Cnd punctul A se gsea n B, B se gsea ntr-un

    punct B, astfel nct BB = BA.

    Din prima parte a enunului rezult c OA = 2OB, adic OB = BA. Dar BA este

    format din dou segmente, BB = BA. Atunci OB este format din 3 segmente egale cu BA,

    iar OA din 4 segmente egale cu BA (adic OB :OA = 3 : 4 sau 3OA = 4OB 3x = 4y -

    prima ecuaie a sistemului). Cnd B va fi n A, adic atunci cnd va fi naintat cu BA, A va

    fi naintat i el cu un segment egal cu BA i se va gsi ntr-un punct A. Atunci vrstele lor

    vor fi: OB = 4 segmente, OA = 5 segmente, suma vrstelor lor va fi reprezentat de 4 + 5

    = 9 segmente. Aceast sum este 36, deci un segment reprezint 36: 9 = 4. B are 4 3 =

    12 ani, iar A are 4 4 = 16 ani.

    Totui, nu trebuie abuzat de acest procedeu, cci duce la diluri inutile. Procedeul

    trebuie folosit cu tact, i anume: la nceput, cnd se ncepe un gen nou de probleme

    (probleme de micare, de amestec etc.) i ori de cte ori punerea unei probleme n ecuaie

    merge greu.

    3. Exerciii pariale. De multe ori elevii nu reuesc s pun o problem n ecuaie nu din

    cauza unei ignorane totale, ci pentru c nu tiu s foloseasc una sau alta din datele

    problemei. De aceea, sunt utile exerciii de exprimare sub form algebric a unor relaii

    sau de formare a unor expresii algebrice ca urmtoarele:

    a) S ncepem cu transcrierea cu semne matematice a afirmaiilor: a este mai mare

    (mai mic) dect b cu... i a este mai mare (mai mic) dect b de... ori. Elevii fac deseori

  • 12

    greeala de tipul urmtor: pentru a exprima c a este mai mare dect b cu 2, ei scriu a + 2

    = b. Aceasta se datorete unei confuzii ntre a este mai mare dect b cu 2 i a mrit cu 2

    este b, i faptului c se poate folosi semnul + sau .

    7 este mai mare dect 5 cu 2; acest lucru se poate exprima n trei moduri: 7 5 =

    2, 5 + 2 = 7, 7 2 = 5. Dup acest model se fac exerciii ca urmtoarele:

    x este cu 5 mai mare dect 17... x = 17 + 5 sau x 5 = 17 sau x 17 = 5;

    x este cu 8 mai mic dect a ... x = a 8 sau a = x + 8 sau a x = 8;

    5(x + 1) este cu 18 mai mare dect 3(x 2) ... 5(x + 1) = 3(x 2) + 18 sau 5(x + 1)

    3(x 2) = 18 sau 5(x+ 1) 18 = 3(x 2).

    Trebuie continuate exerciiile de tipul ultimului pn cnd elevii dau rapid i sigur

    rspunsurile sub cele trei forme. Un sfat practic i simplu este urmtorul: pentru a scrie,

    de exemplu, c a este cu 5 mai mare dect b, se scrie provizoriu a = b; apoi se adaug 5 la

    numrul mai mic, adic la b, i apare a = b + 5; sau se scade 5 din numrul mai mare i

    apare a 5 = 6. Se recomand s se procedeze la fel pentru expresiile: mai mare (mai mic)

    de ... ori. Aici, mai mult dect n cazul precedent, este util ca elevii s tie s exprime

    relaia n dou moduri, astfel nct ea s apar i sub forma de raport. De exemplu: 2x + 5

    este de 3 ori mai mare dect x 2 se scrie: 2x + 5 = 3(x 2) sau x 2 = 3.

    Aceste exerciii, ca i cele precedente, pot fi puse n legtur i cu modul n care o

    ecuaie se transform ntr-o alt ecuaie echivalent cu ea. De exemplu, n cazul x = a + 8,

    celelalte relaii se deduc din prima, trecnd termenul a sau 8 n partea stng.

    Exerciii de acest fel, ca i de felul celor care urmeaz se pot face sistematic sau

    atunci cnd se simte nevoia, adic nainte de a aborda problemele n care intervin

    asemenea expresii sau atunci cnd apar greeli. n ultimul caz se ntrerupe problema, se

    dau explicaiile necesare i se face un numr suficient de exerciii.

    b) La problemele n care intervin procente apar greuti din cauz c elevii tiu s

    calculeze cu procente numai n cazuri numerice. Sunt recomandabile exerciii ca

    urmtoarele:

    100

    7203203din%7

    100

    2150150din%2;

    100

    483483din%

    100

    5din%5;

    100

    5483483din%5

    xx

    xx

    xx

    xx

    c) Situaia este asemntoare la problemele n care intervine concentraia unei

    soluii sau titlul unui aliaj, dar puin mai grea, fiindc nu toi elevii au idei clare despre

    aceste noiuni. nainte de a trece la probleme de acest fel trebuie s revenim asupra

    noiunilor respective i s-i nvm pe elevi s foloseasc formule - nu regula de trei. De

  • 13

    exemplu, concentraia unui amestec dintr-o substan oarecare (alcool sau un acid) i ap

    este dat n procente (grade) de formula:

    .1000

    :aliajunuititluliar,100

    brutagreutatea

    fina greutateatitlul

    totalagreutatea

    alcooluluigreutateaiaconcentrat

    Dup ce elevii au neles bine aceste formule sunt necesare exerciii ca

    urmtoarele:

    Concentraia unei soluii care conine:

    15 g de sare i 250 g de ap.................................................... 10015250

    15

    a grame de sare i 100 g de ap..............................................100

    100100

    100

    a

    a

    a

    a

    (x + 20) kg de alcool i y kg de ap.........................................

    20

    10020

    yx

    x

    (x + 3y) kg de alcool i ctrete n total (15x + y) kg.............

    yx

    yx

    15

    1003

    De asemenea:

    titlul unui aliaj care conine 12 g de aur

    i a g de cupru.............................................................................. 100012

    12

    a

    titlul unui aliaj care conine 3 kg de nichel

    i cntrete x kg............................................................................ 10003

    x

    titlul unui aliaj care cntrete (a + 12) kg,

    n care greutatea metalului fin este cu b kg

    mai mic dect greutatea total...................................................... 100012

    12

    a

    ba .a.m.d.

    Poate nu este necesar s se fac i exerciii inverse, de exemplu, s se exprime

    greutatea fin ca funcie de titlu i greutatea total.

    d) Situaia este asemntoare cu formula S = vt. Elevii trebuie s nvee s o

    foloseasc i atunci cnd S, v i t sunt expresii algebrice. De data aceasta sunt necesare

    toate formele (i t = s : v i v = s: t).

    Exemple de exerciii:

    1) Un mobil merge timp de t + 2 secunde cu viteza v 3; se cere drumul parcurs.

    2) Un automobil parcurge distana de 380 km n t 2 ore n loc de t ore; cu ct i-a

    mrit el viteza?

  • 14

    3) Un motociclist trebuia s fac un drum mergnd timp de t ore cu o vitez de v

    km/or. El a mers o or mai puin, dar viteza sa a fost cu 12 km/or mai mare. S se afle

    diferena dintre drumul pe care trebuia s-l parcurg i cel parcurs.

    Rspunsuri: .1212112)3;380

    2

    380)2;32)1

    vttvvttt

    vt

    e) Menionm, n sfrit, problemele cu privire la cifrele unui numr scris n

    sistemul zecimal, n care intervine, de exemplu, suma cifrelor unui numr, rsturnatul unui

    numr .a. nainte de a aborda aceste probleme sunt utile exerciii ca urmtoarele - dac

    nu au fost fcute n cadrul capitolelor anterioare:

    S se scrie numrul n care cifra zecilor este x, iar cifra unitilor este y; s se

    scrie rsturnatul numrului care se scrie cu cifrele x, y, z (luate de la stnga spre

    dreapta); un numr este format din cifrele x, y, z; s se calculeze numrul care se obine

    scznd din el suma cifrelor sale (apare regula de divizibilitate cu 9) .a.

    n legtur cu aceste probleme, dar n alt ordine de idei, menionm c ele au un

    oarecare dezavantaj. Dat fiind c necunoscutele pot lua numai valori cuprinse ntre 0 i 9,

    sistemele corespunztoare se pot rezolva i dac numrul ecuaiilor este cu 1 mai mic

    dect numrul necunoscutelor. Obligndu-i pe elevi s le rezolve numai prin metoda

    obinuit, ncurajm tendina lor de a aplica mereu metodele nvate, fr a ine seama

    de specificul problemei pe care o au n fa. Probleme cu aceast tem pot fi date cu folos

    n legtur cu soluiile unei singure ecuaii cu dou necunoscute.

    4. Analiza ecuaiei unei probleme.

    a) n primul rnd trebuie respectat regula, general valabil, de a nu trece la

    rezolvarea unei probleme nainte de a ne asigura c elevii cunosc bine enunul ei - ceea ce

    nu se face ntotdeauna. Pentru aceasta se scriu datele schematic pe tabl i se cere unui

    elev s repete enunul ei cu cuvinte proprii, eventual se mai repet o dat, apoi se

    stabilete bine ce se d i ce se cere. Abia pe urm se trece la rezolvare.

    b) La fixarea necunoscutei se folosete de obicei o exprimare prescurtat, ca:

    notm cu x timpul sau notm cu x grul i cu y porumbul. Acest lucru nu este ru. Este ns

    mai bine s obligm elevii, cel puin la nceput, s se exprime complet, s spun: notm cu x

    numrul care arat cte ore merge..., respectiv: notm cu x numrul care arat cte

    kilograme de gru... i cu y cte kilograme de porumb... Aceasta nu nseamn s fim

    pedani. Aceste formulri, dei sunt lungi, i fac pe elevi s vad mai clar lucrurile.

    c) Trebuie s avem grij ca elevii s-i dea perfect seama de semnificaia fiecrui

    factor i a fiecrui termen din ecuaie. S lum, de exemplu, problema urmtoare (alegem

    nadins o problem uoar, cci ne referim aici n special la primele probleme): Pentru a

    transporta nite cereale de la magazia unei cooperative agricole de producie la gar se

    folosete o camionet i un camion... n camion ncap cu 700 kg mai mult dect n

    camionet. Camioneta a fcut de 5 ori drumul, camionul l-a fcut de 3 ori i au fost

    transportate n total 16500 kg de cereale. Ce capacitate are fiecare din aceste vehicule?

  • 15

    Dup ce s-a scris ecuaia: ,1650070035 xx ea trebuie analizat prin ntrebri ca: Ce reprezint factorul 5?, Factorul x?, Ce arat termenul 5x?, Ce exprim

    ecuaia? (cantitatea de cereale pe care le transport camioneta i cea transportat de

    camion fac mpreun 16500 kg).

    Am considerat cazul n care aceast analiz se face dup ce ecuaia a fost scris.

    Ea este util n primul rnd celorlali elevi, care au avut un rol receptiv dac nu chiar

    pasiv la formarea ecuaiei, dar ea este util i elevului de la tabl cci astfel el i d i

    mai bine seama de ceea ce a fcut. Ar fi enervant s-l obligm s dea toate explicaiile

    acestea n timp ce scrie ecuaia, dar ele pot deveni utile cnd elevul se poticnete. De

    exemplu, n cazul ecuaiei de mai sus, elevul a scris 5X i nu vede clar cum trebuie s

    continue. Atunci este util ntrebarea: Ce reprezint 5x? pentru a fi urmat de

    recomandarea: Exprim n acelai fel cantitatea de cereale pe care o transport

    camionul.

    Dac aceast analiz face apel la posibilitile elevilor de a se exprima, ntrebri ca

    urmtoarele merg mai direct la int: Cum se schimb ecuaia problemei dac camioneta

    face de 7 ori drumul?, Dac camionul face de 4 ori drumul?, Dac capacitatea

    camionului este cu 1200 kg mai mare dect a camionetei?, Dac s-au transportat n total

    25000 kg de cereale?. Pentru a rezolva o problem ca aceasta, s-a format ecuaia:

    ;300001200811 xx care a fost problema? La aceste ntrebri n afar de ultima, s-ar putea ntmpla ca un elev s rspund

    nlocuind mecanic numrul corespunztor din ecuaie. Profesorul va ti s deosebeasc

    rspunsurile gndite de celelalte.

    Se poate trece apoi la ntrebri ca urmtoarele, care privesc operaiile: Cum se

    schimb ecuaia dac n camion se ncarc cu 300 kg mai puin dect n camionet?, Dac

    capacitatea camionului este de dou ori mai mare dect a camionetei?, Dac se folosete

    i o cru cu cai care are o capacitate cu 800 kg mai mic dect camioneta i crua face

    de 4 ori drumul?.

    Astfel de exerciii sunt foarte bine primite de clas. Elevii au satisfacia pe care

    i-o d nelegerea deplin a unui lucru. Rspunsurile fiind scurte, se pot antrena muli

    elevi.

    d) Trebuie s explicm elevilor c se pot aduna (sau scdea) numai expresii care

    reprezint mrimi de acelai fel i c se obine o mrime tot de acelai fel. Astfel, n

    exemplul de mai sus, 5x reprezint o mas exprimat n kilograme, expresia 3(x + 700) -

    de asemenea, tot aa i 16500. Acest lucru este util cnd se formeaz ecuaia. Se evit o

    greeal frecvent: avnd de rezolvat problema: Apa unui ru curge cu o vitez de 2,5

    km/or. Un vapor parcurge o anumit distan la deal n 6 ore, iar la vale n 8 ore. Care

    este viteza proprie a vaporului?

  • 16

    Un elev scrie ecuaia: 5,285,26 xx , n loc de 5,285,26 xx . El a adunat x 6, care reprezint o lungime, cu 2,5, care reprezint o vitez - aceeai greeal

    n partea dreapt a ecuaiei.

    e) De mare importan este ca elevii s exprime n cuvinte relaia care duce la

    formarea ecuaiei. Exemple: n cazul problemei de mai sus cu privire la transportarea

    cerealelor la c), s-a artat cum se exprim ecuaia n cuvinte.

    n cazul ultimei probleme, trebuie spus: exprimm n dou moduri distana pe care o

    parcurge vaporul i egalm expresiile. Asemenea formulri nu se pot obine la nceput.

    Elevul, chiar cnd scrie ecuaia, nu este n stare s arate n cuvinte ce exprim ecuaia. El

    lucreaz corect, dar i vine greu s spun ce face. De aceea, este util ca, la nceput, s

    cerem elevilor s dea formularea dup ce au scris ecuaia. Ar fi bine ca i la problemele pe

    care le rezolv acas s dea asemenea formulri n scris, de exemplu, dup ce au rezolvat

    ecuaia. Treptat, ns, trebuie s ajungem ca elevii s formuleze relaia n cuvinte, nainte

    de a scrie ecuaia: Voi scrie c... este egal cu....

    5. Una sau mai multe necunoscute. Dac parcurgem problemele dintr-o culegere

    oarecare, gsim probleme care sunt, categoric, probleme cu o singur necunoscut i

    probleme care sunt, tot att de categoric, cu dou sau mai multe necunoscute. Exist ns

    probleme care se afl la hotarul dintre aceste dou feluri de probleme, ca de exemplu: O

    prghie AB de genul I are o lungime de 40 cm. La captul A acioneaz o for de 50 N,

    iar la captul B de 30 N. La ce distan de punctul A trebuie s fie punctul de sprijin ca

    prghia s fie n echilibru?

    n cazul acestei probleme se poate proceda n dou feluri:

    1) M fiind punctul de sprijin al prghiei, se pune AM = x, MB = y i se obine

    sistemul x + y = 40, 5X = 3y.

    2) Dac braul AM are lungimea x, cellalt bra va avea lungimea 40 x. Legea bine

    cunoscut din fizic ne d ecuaia 5x = 3(40 x). Considerm c o asemenea problem

    trebuie rezolvat cu ajutorul unui sistem din urmtorul motiv: avantajul metodei algebrice

    de rezolvare a problemelor const n faptul c ea ne scutete de raionamente care

    variaz de la o problem la alta, de artificii. Enunul problemei se traduce n limbajul

    ecuaiilor i cu aceasta problema este n principiu rezolvat, cci tot restul se face pe

    baza unor reguli bine stabilite. Metoda algebric se folosete din plin atunci cnd aceast

    traducere este ct mai fidel, orice transformare prealabil a enunului constituie o

    abatere de la metoda algebric. n nvmnt este util s pstrm puritatea metodei. i

    aceasta nu de dragul ei, ci din motive didactice: n felul acesta, elevii i nsuesc mai bine

    metoda algebric.

    Pentru a rezolva aceast problem printr-o singur ecuaie, enunul ei trebuie

    transformat n prealabil. Cnd avem n faa ochilor un segment AB i un punct interior O,

    relaia dintre prile OA, OB i segmentul ntreg AB pe care o sugereaz este OA + OB =

  • 17

    AB, (x + y = 40). Cnd notm lungimea unuia dintre segmente cu x i scriem c lungimea

    celuilalt este 40 x, folosim o relaie dedus, care nu este dat direct n enunul

    problemei.

    Considerm c o problem trebuie rezolvat cu ajutorul unei singure ecuaii cu o

    singur necunoscut numai atunci cnd enunul ei permite s se exprime direct toate

    mrimile din problem prin expresii liniare n funcie de una din ele. Spunem c mrimea y

    se exprim direct n funcie de x; atunci simpla transcriere cu semne matematice a prii

    corespunztoare din enun d o relaie de forma y = f(x), fr o explicitare prealabil.

    Vom lmuri aceasta prin trei exemple:

    1) O main a fcut n 3 ore 187 km. n ora a doua ea a fcut cu 7 km mai mult dect n

    prima or, iar n ora a treia - dublul drumului fcut n prima or. S se afle drumul pe care

    l-a fcut maina n prima or.

    - notm cu x drumul parcurs n prima or; celelalte mrimi sunt: drumul parcurs n

    ora a doua 7 x , drumul parcurs n ora a treia x2 ; condiia este ndeplinit, deci

    problema se rezolv printr-o singur ecuaie: .18727 xxx

    2) O main a parcurs un drum de 210,5 km n patru ore. n ora a doua a fcut cu 21 km

    mai mult dect n prima or, n ora a treia - dou treimi din drumul fcut n ora a doua, iar

    n ora a patra - ct media dintre drumurile parcurse n primele dou ore. S se afle drumul

    parcurs de main n prima or.

    - dac notm cu x drumul parcurs n prima or, celelalte mrimi sunt:

    .

    2

    212

    2

    21,

    3

    212,21

    xxxxx

    i aceast problem, dei este mai grea, se rezolv printr-o singur ecuaie:

    .5,2102

    212

    2

    21

    3

    21221

    xxxxxx

    Dac introducem mai multe necunoscute, obinem sistemul:

    5,210

    2

    212

    3

    212

    21

    uzyx

    xu

    xz

    xy

    care se reduce prin simple substituii la ecuaia de mai sus. Observaie analog cu privire

    la prima problem.

    3) Problema urmtoare este extras dintr-o culegere de probleme, unde figureaz nainte

    de sistemele de ecuaii: n trei clase sunt n total 119 elevi. n clasa nti sunt cu 4 elevi

    mai mult dect n clasa a doua i cu 3 elevi mai puin dect n a treia. Ci elevi sunt n

    fiecare clas?

  • 18

    - aceast problem duce la sistemul:

    3

    4

    119

    zx

    yx

    zyx

    Problema nu ndeplinete condiia. Ea trebuie considerat ca o problem cu trei

    necunoscute. n legtur cu chestiunea discutat aici, mai observm urmtoarele: dac

    pornim pe drumul de a transforma n prealabil enunul, deosebirea dintre problemele de

    algebr i cele de aritmetic se terge uneori complet. De exemplu, n cazul ultimei

    probleme, dac suntem obligai s folosim o singur necunoscut, trebuie s judecm

    astfel: notm cu y numrul elevilor din clasa a doua; atunci n clasa nti vor fi y + 4 elevi;

    apoi, dac n clasa nti sunt cu 3 elevi mai puin dect n clasa a treia, atunci n clasa a

    treia sunt cu 3 elevi mai mult dect n clasa nti, deci (y + 4) + 3 = y + 7 elevi; acum

    ecuaia problemei este (y + 4) + y + (y + 7) = 119; transformarea informaiei cu privire la

    clasa a treia revine, de fapt, la urmtoarele: din ecuaia x = z 3 se scoate z = x + 3, iar x

    se nlocuiete cu y + 4; se fac n mod camuflat transformri ale sistemului; de aici pn la

    rezolvarea sistemului pe cale aritmetic nu este dect un pas, cci acum enunul problemei

    sun astfel: n clasa nti sunt cu 4 elevi mai mult dect n clasa a doua, n clasa a treia cu

    7 elevi mai mult dect n clasa a doua, iar n total sunt 119 elevi; nu avem dect s scdem

    din totalul de 119 elevi 4 + 7 = 11 elevi, diferena 119 11 = 108 s o mprim prin 3

    .a.m.d.

    Pe de alt parte, s-a spus mai sus c exist probleme care sunt categoric probleme

    cu o singur necunoscut. Acest lucru este adevrat numai n cazul problemelor foarte

    simple. Cnd rezolvm o problem compus de aritmetic (care se rezolv prin mai multe

    operaii), introducem, de fapt, nite necunoscute ajuttoare. Situaia este aceeai la

    problemele de geometrie cnd trebuie aplicat o formul i nu se dau direct toate

    elementele necesare. De exemplu, ntr-un trapez dreptunghic se dau bazele B = 11 cm, b =

    7 cm i latura oblic c = 5 cm. Se cere aria trapezului. Pentru a afla aria, se afl n

    prealabil diferena bazelor i (prin teorema lui Pitagora) nlimea. Deci i aceast

    problem ar putea fi privit ca problem cu mai multe necunoscute, dar sistemele

    corespunztoare sunt foarte simple.

    Toate acestea arat c clasificarea problemelor dup numrul necunoscutelor este

    relativ, ca i mprirea problemelor n probleme de aritmetic i probleme de algebr. n

    coal exist tendina de a rezolva printr-o singur ecuaie cu o singur necunoscut i

    unele probleme n care enunul trebuie transformat n prealabil, de exemplu, prima

    problem de la acest punct cu privire la prghie. Pregtirea elevilor are numai de ctigat

    dac rezolvarea acestor probleme se amn cu cteva sptmni, pn ce elevii vor fi

    nvat i sisteme de ecuaii. Dac mai trziu, cnd elevii i-au format o oarecare

    dexteritate n punerea problemelor n ecuaie, un elev sau altul prefer s lucreze cu o

    singur ecuaie, nu exist nici un motiv s-l mpiedicm.

  • 19

    6. ntocmirea unor tabele. Uneori este recomandabil s se ntocmeasc tabele, fie

    pentru a pune n eviden ce se d i ce se cere n problem, fie pentru a urmri mai uor

    transformrile la care sunt supuse mrimile din problem. Dm dou exemple:

    a) Distana dintre dou localiti A i B este de 48 km. Din A pleac spre B un biciclist i

    un motociclist. Viteza motociclistului este de 4 ori mai mare dect viteza biciclistului.

    Motocictistul pleac cu 211 ore mai trziu dect biciclistul i ajunge n B cu 2

    11 or

    naintea lui. S se afle viteza fiecruia dintre ei. Se formeaz urmtorul tabel:

    v t S

    Biciclistul x y 48

    Motociclistul 4x y - 3 48

    Urmrind enunul, se completeaz nti coloana a treia, apoi prima i la sfrit a

    doua (expresia y 3 se obine adunnd n prealabil 211 cu 2

    11 ). Cele dou ecuaii ale

    problemei se obin apoi scriind c n fiecare rnd S = vt. Ele sunt: xy = 48, 4x(y - 3) = 48

    i dau x = 12, y = 48. Asemenea tabele sunt utile n cele mai multe probleme de micare.

    Soluia aritmetic. Viteza motociclistului este de 4 ori mai mare dect a

    biciclistului. n acelai timp, motociclistul ar parcurge un drum de 4 ori mai mare dect

    biciclistul, adic km192448 . El ar ajunge astfel ntr-un punct C situat dincolo de B,

    unde AC = 192 km, deci BC = 192 48 = 144 km. Pentru a parcurge drumul AB i trebuie cu

    3 ore mai puin dect biciclistului. n aceste 3 ore, el poate s parcurg drumul BC, care

    este de 144 km, deci viteza sa este de 144 : 3 = 48 km/or. Viteza biciclistului este de 4

    ori mai mic, deci de 48 : 4= 12 km/or.

    b) Avem dou vase A i B, care conin fiecare o anumit cantitate de lichid. Turnm din A

    n B jumtate din ct conine B, apoi turnm din B n A jumtate din ct conine A i n

    sfrit turnm din A n B jumtate din ct conine B. Dup aceste trei operaii, n fiecare

    vas se gsesc 27 l. Ct se gsea la nceput n fiecare dintre aceste vase?

    Vasul A Vasul B

    La nceput

    Dup prima operaie

    Dup operaia a 2-a

    Dup operaia a 3-a

    x

    2

    2

    2

    yxyx

    4

    36

    2

    2

    2

    1

    2

    2 yxyxyx

    8

    1314

    4

    27

    2

    1

    4

    36 yxxyyx

    y

    2

    3

    2

    yyy

    4

    27

    2

    2

    2

    1

    2

    3 xyyxy

    8

    621

    4

    27

    2

    1

    4

    27 xyxyxy

  • 20

    Nu rmne dect s se scrie c fiecare dintre expresiile obinute dup operaia a

    treia este egal cu 27. Se obine sistemul:

    20

    34

    278

    621

    278

    1314

    y

    x

    xy

    yx

    n cursul lucrrilor care merg destul de greu n clas, este util s se fac proba

    dup fiecare operaie; suma celor dou expresii din aceeai linie trebuie s fie egal cu x

    + y. Se pot compune diferite variante. De exemplu, se d c dup operaia a treia cele

    dou vase conin cantiti egale de lichid (ceea, ce d ecuaia 10x = 17y), sau se d

    raportul dintre aceste cantiti i nc o relaie dintre x i y, de exemplu cele dou vase

    conineau la nceput 54 l. De asemenea, numrul operaiilor se poate mri orict de mult.

    Problemele de acest tip se rezolv uor prin metoda retrograd. Se tie c dup

    a treia operaie, fiecare din cele dou vase conineau cte 27 l. La aceast situaie s-a

    ajuns adugnd la vasul B jumtate din coninutul lui. Deci, cei 27 din B reprezint o dat

    i jumtate, adic 3 jumti din ct se gsea n el nainte de ultima operaie; 27 : 3 = 9; 9

    2 = 18. Prin operaia a treia s-au adugat la vasul B = 27 18 = 91, care s-au luat din

    vasul A, deci n vasul A se gseau nainte de operaia a treia 27 + 9 = 36 l. Aadar, dup

    operaia a doua, n vasul A se gseau 36 l, iar n B 18 l. Acum raionamentul se repet:

    36 : 3 = 12; 12 - 2 = 24; 36 24 = 12; 18 + 12 = 30; dup prima operaie n A se

    gseau 24 l, iar n B 30 l. Apoi 30 : 3 = 10; 20210 ; 30 20 = 10; 24 + 10 = 34.

    7. Probleme care duc la ecuaii de aceeai form. Pentru a nva pe elevi s pun

    problema n ecuaie este util s se rezolve n aceeai or mai multe probleme care duc la

    ecuaii sau la sisteme de aceeai form, sau unele dintre ele s se lucreze n clas, iar

    altele s se dea ca tem pentru acas. n felul acesta ei nva mai uor s desprind

    dintr-o situaie concret relaiile matematice - cnd aceeai relaie apare n diferite

    situaii, ei o recunosc mai uor. n unele manuale i culegeri, problemele sunt chiar

    grupate n acest fel, dar este bine ca profesorul s le poat compune singur - aa cum vom

    arta n exemplele urmtoare.

    1) S lum, de exemplu, problema a) de la pagina anterioar care duce la sistemul: xy = 48,

    4x(y - 3) = 48, adic la un sistem de forma xy = a, bx(y - c) = a. Aici produsele apar

    datorit relaiei S = vt. Unde mai exist relaii asemntoare? Producia total =

    (producia n unitatea de timp) x timpul; costul = (preul unitar) x cantitatea; suma total

    = (contribuia fiecruia) x (numrul celor care contribuie) - cnd se face o colect;

    cantitatea de material transportat = (capacitatea unui camion) x (numrul camioanelor),

    aria dreptunghiului sau a paralelogramului = baza x nlimea .a.m.d. Se obin probleme noi

    nlocuind mrimile din problema dat cu altele. Analogia este deosebit de vizibil dac se

    iau producia total, producia n unitatea de timp i timpul; muncitorul face piese, iar

  • 21

    biciclistul sau motociclistul face kilometri, producia total corespunde drumului total

    parcurs. Obinem astfel enunul:

    a) Doi muncitori trebuie s confecioneze cte 48 de piese. Primul muncitor face de 4 ori

    mai multe piese pe or dect al doilea (piesele lui se fac mai uor); el ncepe lucrul cu

    211 ore mai trziu dect al doilea i-l termin cu 2

    11 ore naintea lui. Cte piese face

    fiecare din ei pe or?

    Dac se ia dreptunghiul, se obine enunul:

    b) Aria unui dreptunghi este de 48 m2. Dac mrim baza de 4 ori i suprimm 2 fii

    paralele cu baza, late de cte 1,5 m, obinem un dreptunghi care are aceeai arie. S se

    afle dimensiunile dreptunghiului.

    c) Este util i enunul sub forma abstract: Produsul a dou numere este 100. Dac mrim

    unul din ele de 5 ori i-l micorm pe cellalt cu 4, produsul rmne neschimbat. S se afle

    cele dou numere.

    Dac se pstreaz n diferite variante aceleai date - aa cum am procedat la

    variantele a) i b) - elevii vd mai uor asemnarea dintre probleme, dar ei se orienteaz

    i dup criterii neeseniale - ceea ce este, poate, admisibil la nceput; la variantele

    urmtoare, datele numerice trebuie neaprat schimbate. Pentru a obine rezultate

    rotunde, se poate proceda astfel: se rezolv ecuaia literal, apoi se nlocuiesc n expresia

    soluiei literele prin valori convenabile. De cele mai multe ori, condiiile concrete ne oblig

    s dm literelor valori cuprinse ntre anumite limite. De exemplu, n problema aceasta se

    obine

    .1

    bc

    bax

    Parametrul b nu poate varia prea mult (viteza cu care merge un

    motociclist este de 3 - 6 ori mai mare dect viteza cu care merge un biciclist); am luat b =

    4. Atunci formula devine .4

    3

    c

    ax Pentru a nu se putea lua o valoare prea mare, un drum

    de 48 km este destul de mult pentru un biciclist, rmne s se aleag i c, astfel nct s

    se obin pentru x un numr ntreg, am ales c = 3.

    2) Considerm problema: A are 29 de lei, B are 11 lei. Fiecare din ei capt cte 1 leu pe

    zi. Dup cte zile va avea A de dou ori mai mult dect B? Aritmetic, problemele de acest

    fel se rezolv observnd c diferena dintre banii lui A i banii lui B rmne constant.

    Problema revine la aflarea a dou numere cnd se cunoate diferena lor (= 29 11 = 18) i

    raportul (= 2).

    Se obine ecuaia:

    ;211

    29

    x

    xadic de forma: .k

    xb

    xa

    Variante:

    a) ntr-un vas se gsesc 29 l de ap, iar n alt vas 11 l. n fiecare vas intr cte 1 l de ap

    pe minut. Peste ct timp va conine primul vas de dou ori mai mult ap dect al doilea?

    b) A are 29 de ani, B are 11 ani. Peste ci ani va fi vrsta lui A de dou ori mai mare dect

    vrsta lui B?

  • 22

    Aceast variant este ceva mai grea, cci n enun nu se spune c n fiecare an se

    adaug un an la vrsta fiecruia. Cu aceast ocazie, menionm c aceste probleme, att

    de rspndite n manuale, sunt ct se poate de nefireti. Cnd se compar vrstele a doi

    oameni se ntreab cu ct, nu de cte ori este mai mare unul dect cellalt.

    c) ntr-o clas au fost 17 biei i 7 fete. Au venit acelai numr de biei i de fete i

    acum sunt n clas de dou ori mai muli biei dect fete. Ci biei au venit?

    Varianta urmtoare are o form mai abstract.

    d) Ce numr trebuie s adunm la ambii termeni ai fraciei 39

    19ca s obinem o fracie

    egal cu ?5

    3

    Pentru a potrivi datele numerice, se poate folosi, aa cum am artat n exemplele

    precedente, soluia literal .1

    k

    kbax Cnd ni-l dm pe k dinainte, se poate proceda mai

    simplu. n cazul de fa am luat la ntmplare o fracie egal cu 2, i anume 18

    36, apoi am

    sczut din ambii termeni numrul 7 (luat la ntmplare, dar avnd grij s obinem o

    fracie ireductibil).

    Foarte util este s cerem elevilor s compun ei variante. Prin aceasta stimulm

    imaginaia lor i, totodat, ei ajung s ptrund mai bine legtura dintre enunul unei

    probleme i ecuaia corespunztoare. Dac punerea problemelor n ecuaie poate fi

    comparat cu o traducere dintr-o limb n alta, compunerea unei probleme care s

    corespund unei ecuaii date corespunde cu o retroversiune i este tiut ct de utile sunt

    retroversiunile n nvarea unei limbi strine.

    Procedeul recomandat aici are dou avantaje. Primul: elevii nva mai uor s

    desprind dintr-o situaie concret relaiile matematice cnd aceeai relaie apare n

    diferite situaii concrete, ei o recunosc mai uor. Al doilea: procedeul pune n eviden

    caracterul general al relaiilor matematice. Prin aceeai ecuaie sau prin acelai sistem de

    ecuaii se rezolv probleme care, la prima vedere, nu au nimic comun.

    Se poate da variantelor o alt direcie, compunnd probleme care duc la ecuaii

    asemntoare, nu chiar de aceeai form. De exemplu, n cazul problemei 1) de mai sus,

    datele se pot schimba astfel: a) n loc de: viteza motociclistului este de 4 ori mai mare

    dect viteza biciclistului, se poate da c viteza motociclistului este cu 36 km/or mai

    mare dect a biciclistului (ecuaia a doua devine (x + 36)(y - 3) = 48; b) n locul datelor cu

    privire la momentul plecrii i momentul sosirii motociclistului, din care rezult c timpul

    n care motociclistul parcurge drumul este y 3, se poate da c timpul n care

    motociclistul parcurge drumul este 1/4 din timpul necesar biciclistului - diferena

    vitezelor fiind de 36 km.

    Mai multe posibiliti ofer problema a doua, de exemplu:

  • 23

    a) A are 60 de lei, iar B are 154 de lei. Fiecare din ei cheltuiete cte 1 leu pe zi.

    Dup cte zile va avea B de 3 ori mai mult dec A? [15 zile]

    b) A are 27 de lei, iar B are 78 de lei. A capt n fiecare zi cte 1 leu, iar B

    cheltuiete n fiecare zi cte 1 leu. Dup cte zile va avea B de dou ori mai mult dect A?

    [8 zile]

    Problema devine ceva mai grea dac ntrebarea se formuleaz astfel: ct trebuie s

    dea B lui A ca B s aib de 2 ori mai mult dect A?

    Elevii au tendina s scrie: micoreaz numrtorul, dar omit s mreasc numitorul

    sau fac greeala invers.

    c) A are 33 de lei i B are 49 de lei. Ei primesc n fiecare zi cte 3 lei. Peste cte

    zile va fi raportul dintre banii lor egal cu 3/4? [5 zile]

    d) A are 50 de lei, iar B 221 de lei. A capt n fiecare zi cte 4 lei, iar B

    cheltuiete n fiecare zi cte 6 lei. Peste cte zile va fi raportul dintre banii lor egal cu

    2/5? [6 zile]

    e) Doi drumei A i B merg pe aceeai osea care trece printr-o localitate O. La un

    moment dat, distanele de la localitatea O sunt: OA = 50 km, OB = 221 km. Drumeul A se

    deprteaz de localitatea O cu 4 km/or, iar B se apropie de O cu 6 km/or. Dup cte

    ore va fi raportul dintre aceste distane egal cu ?5

    2

    8. Lecii speciale de punere a problemelor n ecuaie. Se tie c la problemele ce se

    rezolv cu ajutorul ecuaiilor, partea cea mai important este formarea ecuaiei sau a

    sistemului. De aceea este util ca unele lecii s fie consacrate numai acestor lucrri.

    Problema se consider rezolvat n momentul n care a fost pus n ecuaie, n felul acesta

    se concentreaz efortul asupra greutii principale i densitatea leciilor crete pentru c

    se elimin munca, mai puin interesant n acest moment, de rezolvare a ecuaiei sau a

    sistemului. Totodat se ridic nivelul leciilor. Se pot face diferite comentarii, aceeai

    problem se poate pune n ecuaie n mai multe feluri, se pot rezolva mai multe probleme

    asemntoare .a.m.d. n special, exerciii ca cele indicate la punctul precedent nici nu se

    pot face cu spor dac se duc calculele pn la capt. Bineneles, acest procedeu nu poate

    fi folosit permanent, ci numai cnd elevii sunt mai avansai i n mod sporadic.

    ALTE RECOMANDRI

  • 24

    1. Comparaia dintre soluia aritmetic i cea algebric 2. Probleme n

    care trebuie fcute unele operaii suplimentare 3. Probleme cu date n

    litere 4. Probleme n aparen nedeterminate 5. Observaii finale

    n paragraful precedent am indicat o serie de mijloace prin care i putem nva pe

    elevi s pun probleme n ecuaie. n cele ce urmeaz dm unele recomandri speciale, prin

    care se urmrete o adncire a cunotinelor elevilor, dincolo de limitele obinuite.

    1. Comparaia dintre soluia aritmetic i cea algebric. Nu este cazul s se rezolve n

    mod sistematic problemele de algebr i pe cale aritmetic. Aceasta ar constitui o imens

    risip de timp i de energie. Mai mult, ntr-un anumit sens acest lucru este chiar

    contraindicat. Scopul acestor probleme este s-i nvm pe elevi s mnuiasc

    instrumentul algebric. Rezolvnd n paralel problemele sau un mare numr dintre ele pe

    cale aritmetic riscm s avem soarta vntorului care alearg dup doi iepuri. Considerm

    c uneori este, totui, util s se compare metoda algebric cu cea aritmetic, atunci cnd

    elevii cunosc i pe aceasta din urm, i s se dea interpretri concrete ale metodelor de

    rezolvare a sistemelor liniare.

    1) n primul rnd vin n consideraie problemele care se rezolv printr-o ecuaie de forma

    Nncbaundenc

    x

    b

    x

    a

    x ,,,,, . Asemenea probleme se rezolv n numr mare la

    aritmetic i calculele care se fac sunt foarte asemntoare cu cele care se fac pentru a

    rezolva ecuaia. S lum, de exemplu, problema: Cineva a avut o sum de bani. El a cheltuit

    pe rnd 1/3, 1/6 i 2/9 din ea i i-au rmas 85 de lei. Ci bani a avut?

    La aritmetic, aceast problem se rezolv prin operaiile urmtoare:

    ,30618

    5:85;

    18

    5

    18

    131;

    18

    13

    9

    2

    6

    1

    3

    1 iar ecuaia problemei este: 85

    9

    2

    63

    xxxx

    sau .859

    2

    63x

    xxx

    Pentru a pune n eviden analogia cu soluia aritmetic, este mai bine s se

    efectueze unele calcule nainte de a scrie ecuaia, astfel:

    .306;8518

    5;

    18

    5

    18

    13;

    18

    13

    9

    2

    63 x

    xxxx

    xxxx

    Calculele sunt aceleai ca la soluia aritmetic (n clas, lucrrile se pot aeza

    frumos pe dou coloane). Faptul c ecuaia 8518

    5

    xse rezolv de obicei prin doi pai

    306,18855 xx , iar la aritmetic se face o singur operaie

    18

    5:85 nu are

    importan; se poate scrie 18

    5:85;85

    18

    5 xx sau n prima soluie, ultima lucrare se

  • 25

    poate descompune n dou: se afl nti 18

    1 din sum, apoi toat suma, ceea ce revine la

    simplificarea ecuaiei cu 5. Rmne numai operaia a doua. Desczutul este x n loc de 1. n

    privina aceasta, se poate observa c la soluia aritmetic acest punct este cel mai greu.

    Elevii scriu cu uurin diferitele fracii, nelegnd c fiecare fracie este o fracie din

    ceva, care nu se menioneaz niciodat la calculele cu fracii, dar se mpac greu cu ideea

    de a scrie 1 pentru suma ntreag, cci aceast sum nu este de 1 leu. n soluia algebric,

    aceast dificultate nu apare, se scade din toat suma partea cheltuit.

    2) Se poate da metodei comparaiei o interpretare concret. Considerm, de exemplu,

    problema: 16 caiete i 15 creioane cost mpreun 58 de lei, 12 caiete i 7 creioane cost

    mpreun 38,40 de lei. Ct cost un caiet? Ct cost un creion?

    Problema se rezolv cu ajutorul sistemului:

    40,38712

    581516

    yx

    yx

    Pentru a rezolva sistemul, se nmulete prima ecuaie cu 3 i a doua cu 4, apoi se

    scade ecuaia a doua din prima. n loc s spunem c nmulim prima ecuaie cu 3, putem

    spune c aflm ct am plti dac am cumpra de 3 ori mai multe caiete i de 3 ori mai

    multe creioane; n mod analog se interpreteaz nmulirea ecuaiei a doua cu 4.

    Punem fa n fa lucrrile prin care se rezolv sistemul i soluia aritmetic:

    lei 1,20 costacreion .....1........................................1,20......

    lei 20,40 costa creioane ..17........................................20,40.....17

    lei 153,60 costa creioane 28 si caiete ....48....................153,60....2848

    lei 174 costa creioane 45 si caiete ......48....................174.......45 48

    lei 38,40 costa creioane 7 si caiete ......12....................38,40.....7 12

    lei 58 costa creioane 15 si caiete16...................................581516

    y

    y

    yx

    yx

    yx

    yx

    n partea dreapt, rndul al 5-lea se obine comparnd cele dou rnduri

    precedente. De fiecare dat s-a cumprat acelai numr de creioane, 48; diferena de

    pre se datoreaz faptului c s-a cumprat a doua oar cu 45 28 = 17 creioane mai puin

    i de aceea s-a pltit cu 174 153,60 = 20,40 lei mai puin. Deci, 17 creioane cost 20,40

    lei. De aici se obine costul unui creion.

    n aritmetic, procedeul folosit n coloana din dreapta se numete uneori metoda

    egalrii termenilor. Fie c elevii l cunosc de la aritmetic, fie c nu-l cunosc, el poate fi

    folosit pentru a da o frumoas interpretare intuitiv metodei eliminrii prin reducere.

    3) n mod asemntor se poate interpreta metoda eliminrii prin substituie. Fie, de

    exemplu, problema: La o cantin iau masa 80 de copii i 24 de aduli. Raia de lapte a unui

    copil este cu 100 ml mai mare dect dublul raiei unui adult. ntr-o zi se consum 54 l de

    lapte. Care este raia de lapte a unui copil? A unui adult?

  • 26

    Sistemul corespunztor este:

    1,02

    542480

    yx

    yx, el se rezolv prin metoda

    substituiei: .25,0;46184;548184;54248160;54241,0280 yyyyyyy Aritmetic, problema se rezolv astfel: se presupune c tot laptele este mprit n

    porii, 80 de porii de copii i 24 porii de aduli, i se cere s se transforme totul n

    porii de adult. Din datele problemei rezult c din fiecare porie mare se fac dou porii

    mici i rmn 100 ml, care se strng ntr-un vas. Se obine astfel 80 2 = 160 de porii

    mici i n vas se strng 0,1 80 = 8 l de lapte. Mai sunt 24 de porii mici i n total sunt 54

    l de lapte, deci 160 + 24 = 184 de porii mici i 8 l reprezint n total 54 l; prin urmare,

    cele 184 de porii reprezint 54 8 = 46 l; o singur porie mic are 0,250 l. Substituirii

    lui x din prima ecuaie prin 2y + 0,1 i corespunde operaia concret de a nlocui poriile de

    copil prin porii de adult. Calculele care se fac cnd se d soluia aritmetic corespund

    ntocmai celor care se fac pentru a rezolva sistemul, aa cum ele au fost prezentate

    desfurat.

    2. Probleme n care trebuie fcute unele operaii suplimentare. Elevii, cnd se gsesc

    n faa unei probleme la algebr, trec imediat la punerea ei n ecuaie. Aa i obinuim noi.

    Pentru dezvoltarea intelectual a elevilor este util s dm i unele probleme care s nu fie

    gata aranjate pentru a fi puse n ecuaie. Bineneles, aceasta se poate face abia cnd

    elevii sunt mai avansai n rezolvarea problemelor.

    n manuale i n culegeri, asemenea probleme sunt foarte rare dac nu

    inexistente, profesorul trebuie s i le compun singur, complicnd probleme cunoscute.

    Dm cteva exemple:

    1) Pornim de la o problem care duce la o ecuaie de forma date,numere,, bakxb

    xa

    de

    exemplu:

    A are un salariu de 1380 de lei, B are un salariu de 1650 de lei. Fiecare din ei cheltuiete

    aceeai sum de bani i la sfritul lunii i rmne lui B de 2 ori mai mult dect lui A. Ct

    cheltuiete fiecare din ei ntr-o lun?

    Complicm enunul, nlocuind prima fraz prin urmtoarea: A a avut un salariu de

    1200 de lei i B de 1500 de lei; salariul lui A s-a mrit cu 15%, iar salariul lui B cu 10%.

    nainte de toate trebuie s aflm ce salariu are fiecare din ei acum; abia pe urm

    se poate trece la punerea problemei n ecuaie. Se obine ecuaia ,2

    1

    1650

    1380

    x

    x care d x

    = 1110.

    2) O secie a unei uzine trebuie s livreze la un termen anumit o anumit cantitate de

    piese. Dac se fac cte 80 de piese pe zi, se produc pn la termenul stabilit cu 36 de

    piese mai puin dect trebuie. Dac, ns, producia zilnic se mrete cu 12 piese,

    lucrarea se termin cu 3 zile nainte de termen i se fac chiar cu 12 piese mai mult. De

    cte piese a fost comanda i n ct timp trebuiau fabricate piesele comandate?

  • 27

    Problema se poate rezolva cu ajutorul sistemului:

    .2196

    27

    12392

    3680

    y

    x

    yx

    yx

    Se poate introduce, de exemplu, urmtoarea complicaie. n loc s se dea c

    producia zilnic se mrete cu 12 piese, se d c ea se mrete cu 15%; iar n loc de: se

    fac chiar cu 12 piese mai mult, se d c se fac cu 48 de piese mai mult dect s-ar fi fcut

    dac se produceau numai cte 80 de piese pe zi; sau: se fac mai multe piese dect se cere

    n comand, i anume 1/3 din numrul pieselor care ar lipsi dac s-ar produce numai cte

    80 de piese pe zi.

    3) La o cooperativ agricol de producie se cultiv gru pe 2 loturi de pmnt. Recolta de

    pe primul lot a fost evaluat la 1600 kg/ha, cea de pe lotul al doilea la 2000 kg/ha i s-a

    calculat c n felul acesta recolta total va fi de 32 de vagoane. n realitate, recolta de pe

    primul lot a fost cu 10% mai mare, iar recolta de pe lotul al doilea a fost cu 5% mai mic i

    a coninut 6% corpuri strine. Producia total a fost cu 112 kg mai mic dect s-a

    prevzut. Cte hectare are fiecare din aceste loturi?

    Problema se rezolv cu ajutorul sistemului:

    .7

    10

    3188817861760

    3200020001600

    y

    x

    yx

    yx

    Calculele suplimentare intervin n calcularea coeficienilor din ecuaia a doua: 10%

    din 1600 = 160; 1600 + 160 = 1760; 5% din 2000 = 100; 2000 100 = 1900; 6% din 1900 =

    114; 1900 114 = 1786 (ar fi greit s se ia dintr-o dat 5% + 6% = 11%); 32000 112 =

    31888.

    Complicaii mici de acest fel se pot introduce aproape n toate problemele,

    exprimnd mrimile date n uniti diferite: kilograme i grame, metri i centimetri

    .a.m.d. Ceva mai greu este cazul cnd, n aceeai problem, viteza se exprim n km/or i

    m/min. Subliniem c toate calculele acestea trebuie s aib un caracter aritmetic, adic

    ele trebuie s intervin n aflarea constantelor care intervin n ecuaia sau n sistemul de

    ecuaii ale problemei. Aceluiai scop, dar n msur mai mic, i servesc problemele care

    cer un mic calcul dup ce ecuaia sau sistemul a fost rezolvat.

    Aceste complicaii, orict de mici, sunt utile prin faptul c datorit lor elevii sunt

    obligai s ias din tiparele obinuite. La un examen s-a dat o problem n care trebuia

    aflat n ct timp se face o anumit lucrare, dar ntrebarea a fost formulat cam astfel:

    lucrarea trebuia s fie terminat la data de 5 septembrie; la ce dat va fi terminat? (Din

    ecuaie rezult c lucrarea se termin cu un anumit numr de zile nainte de termen.

    Foarte muli elevi au rezolvat bine problema, dar au greit la aflarea datei - nu au inut

    seama c luna august are 31 zile.)

    3. Probleme cu date n litere. Se pare c aceste probleme sunt prea grele pentru coala

    general. Sunt, totui, recomandabile cteva probleme care se rezolv efectiv la

    aritmetic i unde ele nu sunt privite ca simple exerciii, ci fiecare formeaz un tip

    special, care se rezolv prin metode speciale. Este vorba de urmtoarele trei probleme:

    1) S se afle dou numere, cunoscnd suma lor s i diferena lor d.

  • 28

    2) S se afle dou numere cunoscnd suma lor s i raportul lor q

    p.

    3) S se afle dou numere cunoscnd diferena lor d i raportul lor q

    p.

    Aceste probleme au avantajul c scot elevii din labirintul de metode pe care le-au

    nvat la aritmetic. Acest lucru se poate arta elevilor, ca ei s devin contieni de

    progresul pe care l-au fcut prin faptul c au nvat algebra. Au disprut metodele

    speciale. Acum, fiecare din aceste probleme este o problem ca oricare alta, care se

    rezolv cu ajutorul unui sistem de ecuaii. Pe de alt parte, revenirea asupra procedeelor

    din aritmetic are avantajul c, i n cadrul lor, se folosesc litere - ceea ce nu se face la

    aritmetic.

    4. Probleme n aparen nedeterminate. Deosebit de instructive sunt problemele care

    duc la un sistem n care numrul ecuaiilor este mai mic dect numrul necunoscutelor i

    care se pot, totui, rezolva. n unele cazuri, aceasta se datorete faptului c n problem

    nu se cere s se afle valorile necunoscutelor x i y, ci o anumit expresie, cum ar fi x + y

    sau xy, care este determinat de datele problemei; n alte cazuri, una dintre necunoscute

    se reduce. Aceste probleme sunt interesante, pentru c ies din cadrul problemelor

    obinuite i i oblig pe elevi s reflecteze. Dm cteva exemple:

    1) Un dreptunghi are nsuirea urmtoare: dac mrim una dintre laturile sale cu 25 cm,

    iar cealalt cu 15 cm, perimetrul lui devine de 180 cm. Se cere perimetrul dreptunghiului.

    cmdeesteperimetrulyxyx 100;10022;180152252 Variante: ambele laturi se micoreaz; o latur se mrete i cealalt se micoreaz.

    2) Dac mrim o latur a unui dreptunghi de 3 ori, iar cealalt de 4 ori, aria sa devine de

    132 cm2. Se cere aria dreptunghiului.

    211;11;13243 cmdeesteariaxyyx Variante analoge cu cele de la problema precedent.

    3) Aria unui trapez este de 70 cm2, iar nlimea sa este de 7 cm. Se cere linia mijlocie a

    trapezului.

    4) O barc merge pe un ru. Dac viteza cu care curge apa ar fi cu 0,5 km/or mai mare,

    iar viteza proprie a brcii ar fi cu 6 km/or mai mare, barca ar merge la vale cu o vitez

    de 18,5 km/or. Cu ce vitez merge barca la vale?

    orakmcuvalelemergebarcayxyx /12;12;5,1865,0 Problema analog cnd barca merge la deal ./13;12;5,185,06 orakmxyxy 5) Doi bicicliti A i B trec peste un pod MN mergnd cu viteze egale. Biciclistul A merge

    de la M spre N, iar B de la N spre M i ei se ntlnesc ntr-un punct P, unde MP este 85 -

    din lungimea podului. O main trece peste acelai pod de la M spre N. Ea intr pe pod n

    acelai timp cu biciclistul A i se ntlnete cu biciclistul B n momentul cnd acesta intr

    pe pod. Viteza mainii este de 60 km/or. Se cere viteza biciclitilor.

  • 29

    Fie a lungimea podului socotit n kilometri, t momentul ntlnirii (timpul fiind

    socotit n ore, de la momentul n care biciclistul A intr pe pod), iar x viteza biciclitilor n

    km/or. Timpul necesar mainii pentru a parcurge podul este 60a , deci biciclistul B intr

    pe pod cu 60a ore mai trziu dect A. Pn n momentul ntlnirii, biciclistul A merge timp

    de t ore, iar B timp de 60at ore i ei parcurg, respectiv MP = tx km i NP = 60at x km. Se obine o prim ecuaie, scriind c suma acestor drumuri este de a km:

    .60

    axa

    ttx

    A doua ecuaie se obine scriind c MP este 85 din lungimea

    podului: .8

    5atx Avem astfel un sistem de dou ecuaii cu trei necunoscute: t, x i a.

    Totui, problema se poate rezolva.

    Se nlocuiete n prima ecuaie tx prin 85 a, se mparte ecuaia prin a 0a i se obine x = 15. Biciclitii merg cu o vitez de 15 km/or. Este remarcabil c a i t rmn

    nedeterminai (legai prin relaia a = 24 t), ceea ce nseamn c viteza biciclitilor este

    aceeai oricare ar fi lungimea podului.

    Soluia aritmetic: studiem micarea biciclitilor din momentul n care biciclistul A

    intr pe pod. n acest moment, biciclistul B se afl ntr-un punct N. Deoarece ei merg cu

    aceeai vitez, ei trebuie s se ntlneasc la mijlocul drumului, deci MP=PN. Cum MP este

    egal cu 5 diviziuni (o diviziune este a 8-a parte din pod), PN este de asemenea de 5

    diviziuni, deci NN este de dou diviziuni. Pe de alt parte, se d c maina i bibiclistul B

    se ntlnesc n N, iar cnd maina se afl n M, B se afl n N (A se afl n M). Rezult c

    n timpul n care maina parcurge tot podul, care este de 8 diviziuni, B parcurge drumul

    NN, care este de numai dou diviziuni, deci de 4 ori mai mic. Rezult c viteza biciclistului

    este a patra parte din viteza mainii.

    6) Un nottor noat pe Neva mpotriva curentului. n dreptul podului Republica pierde o

    plosc goal. Dup ce mai noat 20 min i d seama de pierdere; se ntoarce i ajunge

    plosca n dreptul podului Schmidt. S se afle cu ce vitez curge apa, dac distana dintre

    cele dou poduri este de 2 km.

    Fie S podul Schmidt, R podul Republica, T punctul n care se gsete nottorul n

    momentul cnd i d seama c a pierdut plosca, t timpul (n ore) ct merge nottorul n

    sensul apei dup ce a pierdut plosca (n care face drumul RT), SR - d km, v i x, respectiv

    viteza nottorului i a apei (n km/or). nottorul merge n sensul apei cu viteza v x, iar

    n jos cu viteza v + x; plosca merge cu viteza x.

    Avem: RT = (v - x)t, ST = (v - x)t + d. Scriem c timpul n care nottorul face

    drumul de la R la T i de aici napoi la S (cu viteza v + x) este egal cu timpul n care plosca

    face drumul RS (cu viteza x) i obinem ecuaia:

    .x

    d

    xv

    dtxvt

    n problem se dau numai d = 2 km i t = 31 ore, deci ecuaia conine dou

    necunoscute: v i x. Totui, problema se poate rezolva, cci, fcnd calculele, v se reduce

    i se obine t

    dx

    2 . Cu datele din problem: x = 3 km/or.

  • 30

    Soluie aritmetic: Presupunem c totul s-ar petrece ntr-o ap stttoare. Atunci

    lucrurile ar fi foarte simple. nottorul ar merge un timp t pn ntr-un punct T i de aici

    s-ar ntoarce pn n punctul R, unde ar gsi plosca, care st pe loc. Deci, el ar gsi plosca

    dup 2t ore (t ore pentru a merge din R pn n T i tot att pentru a merge napoi). Acest

    rezultat rmne valabil i ntr-o ap curgtoare, cci distana dintre nottor i plosc

    rmne neinfluenat de faptul c apa curge la vale. ntr-adevr, fie v viteza nottorului,

    iar x viteza apei (a plotii). ntr-o ap stttoare, nottorul, cnd merge n sus, s-ar

    deprta de plosc ntr-o unitate de timp cu o distan v; datorit faptului c apa curge la

    vale, nottorul parcurge numai drumul v x, n schimb plosca parcurge la vale un drum de

    lungime x, deci distana dintre ei crete tot cu v. Cnd merge la vale, nottorul parcurge

    ntr-o unitate de timp un drum v + x, dar plosca parcurge un drum de lungime x, deci

    distana dintre nottor i plosc scade cu v ca ntr-o ap stttoare (acest lucru devine

    mai clar dac ne nchipuim o plut foarte lung, de la R la T, i c nottorul, n loc s

    noate, ar merge pe plut de la R la T i napoi, unde ar gsi plosca; faptul c pluta este

    antrenat de ap la vale nu are nici o influen).

    Rezult c i ntr-o ap curgtoare nottorul prinde plosca dup 2t ore, timp n

    care plosca parcurge drumul d. Dac viteza plotii este d : 2t. Aceasta este i viteza apei.

    Acum devine clar de ce rezultatul este independent de viteza nottorului, cci s-a

    dat timpul ct merge nottorul n susul apei, din R pn n T, nu distana RT. Dac viteza

    proprie a nottorului devine mai mare sau mai mic, distana RT crete sau scade, dar

    timpul necesar nottorului pentru a face drumul de la R la T i napoi rmne acelai, 2t.

    Viteza v intervine numai cnd, pentru a pune problema n ecuaie, calculm lungimea

    segmentului RT.

    5. Observaii finale.

    a) La acest capitol, mai mult dect la altele, se aplic proverbul: Nu multe, ci mult. La

    partea care se refer la calculul algebric sunt ntradevr necesare multe exerciii, ca

    elevii s ajung s calculeze rapid i sigur. Aici, ns, situaia este alta. Conteaz mai puin

    cantitatea problemelor rezolvate, important este ca elevii s neleag bine problemele

    care se rezolv.

    b) Pe ct posibil, s nu se considere o problem terminat n momentul n care s-a aflat

    valoarea necunoscutei, chiar dac se face proba - n enun, nu n ecuaie. Este util s se

    fac, de la caz la caz, observaii, s se discute alte posibiliti de a pune problema n

    ecuaie .a.m.d. Acest lucru devine mai clar dac ne nchipuim o plut foarte lung, de la R

    la T, i c nottorul, n loc s noate, ar merge pe plut de la R la T i napoi, unde ar gsi

    plosca. Faptul c pluta este antrenat de ap la vale nu are nici o influen.

    c) Faptul c nu exist o metod de a pune problema n ecuaie nu nseamn c, n clas,

    putem rezolva probleme luate la ntm-plare. Tocmai aici, unde ordinea de predare nu este

    bine determinat de coninut, ca la alte capitole, organizarea predrii joac un rol mai

    mare. Problemele trebuie grupate pe criterii; greutatea de a le pune n ecuaie, forma

    ecuaiei, coninutul .a.

  • 31

    d) S nu pierdem din vedere ce este esenial la acest capitol: punerea n ecuaie. Asupra

    acestei laturi s ne ndreptm atenia, att la problemele pe care le rezolvm n clas, ct

    i la cele pe care le dm ca teme pentru acas. n special la acestea din urm, la

    verificare, s discutm cu toat clasa cum au fost puse problemele n ecuaie.

    e) Problemele ce se rezolv cu ajutorul ecuaiilor nu snt un scop n sine, ele sunt exerciii

    de a aplica algebra la descrierea unor situaii i relaii din realitate. Aceluiai scop i

    servesc i alte exerciii i probleme, care nu duc la ecuaii ci la ua simplu calcul algebric.

    Asemenea exerciii trebuie fcute tot anul, n cadrul calculului algebric.