REZOLVAREA NUMERICĂ A ECUAŢIILOR DIFERENŢIALE Introducere Acest tip de probleme provine din cadrul vast al analizei funcţionale. Ecuaţiile diferenţiale sau cu derivate

parţiale constituie modelele matematice pentru majoritatea problemelor inginereşti: studiul eforturilor la care sunt supuse elementele de rezistenţă: bare, grinzi, plăci subţiri, groase, conducte; studiul problemelor de câmp electric în dielectrici, câmp magnetic, câmp termic, propagarea undelor, curgerea fluidelor etc.

Odată stabilit fenomenul fizico-tehnic şi ecuaţiile diferenţiale care îl guvernează, ca formă, coeficienţi, condiţii la limită (pe frontieră) rămâne de rezolvat ultima problemă: rezolvarea acestui model matematic. Din diverse motive: neomogenităţile fizice, frontiere cu geometrie dificilă, număr de necunoscute, etc., rezolvarea o vom face căutând o soluţie aproximativă cu ajutorul unui cod numeric, folosind calculatorul.

O ecuaţie diferenţială este o ecuaţie în care necunoscuta este o funcţîe şi în care intervine funcţia

necunoscută, derivatele ei de diverse ordine şi variabile independente de care depind aceste funcţii. In cazul în care funcţia necunoscută depinde de o singură variabilă independentă, ecuaţia se numeşte

ecuaţie diferenţială ordinară, iar în situaţia în care funcţia necunoscută depinde de mai multe variabile independente, ecuaţia se numeşte cu derivate parţiale.

Ordinul unei ecuaţii diferenţiale este cel mai înalt ordin a derivatei funcţiei necunoscute ce figurează în

ecuaţia respectivă. Expresia generală a unei ecuaţii diferenţiale, sub formă implicită este:

0,...,,,, 2

2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛n

n

dxyd

dxyd

dxdyyxF

unde . )(xyy = Forma explicită se poate scrie:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −

−

1

1

2

2

,...,,,, n

n

n

n

dxyd

dxyd

dxdyyxf

dxyd

Privitor la condiţiile la limită există două tipuri: (i). Condiţii Cauchy: se cunosc într-un punct atât valoarea funcţiei necunoscute cât şi valorile derivatelor, până la ordinul cel mai mare ce figurează în ecuaţie;

0x

(ii). Condiţii la limită: se cunosc valorile funcţiei necunoscută în puncte diferite. Rezolvarea numerică a unei probleme asociate unei ecuaţii diferenţiale poate fi privită sub două aspecte:

(a). determinarea unei funcţii )(~~ xyy = , aparţinând unei anumite clase de funcţii (în general polinoame, dată fiind importanţa lor teoretică fundamentală), şi care aproximează „suficient de bine” soluţia exactă )(xyy = ; (b). determinarea valorilor aproximative ale soluţiei exacte )(xyy = , într-o mulţime de puncte date

. ,...1,0 , =ixi

Vom expune în continuare principalele metode numerice al căror algoritm are un cost de calcul redus şi se

pretează la implementarea pe calculator pentru rezolvarea numerică a ecuaţiilor diferenţiale. Pentru ecuaţii diferenţiale ordinare acestea se pot clasifica în două mari tipuri: - metode unipas (de tip Euler, Runge-Kutta) în care determinarea valorii aproximative a soluţiei în fiecare

punct se va obţine direct, pe baza informaţiilor din punctul precedent;

- metode multipas, în care valoarea soluţiei exacte în fiecare punct este aproximată folosind informaţiile din mai multe puncte anterioare.

Evident este vorba de soluţii aproximative pe care nu avem cum să le comparăm cu o soluţie exactă, deoarece practic aceasta este imposibil de găsit.

De aceea în practică trebuie să procedăm cu atenţie pentru alegerea algoritmilor cei mai potriviţi pentru problema concretă de rezolvat.

1. METODE DE TIP EULER

1.1. Metoda Euler

Se consideră ecuaţia diferenţială:

y′ = ƒ(x, y) (1) cu condiţia iniţială:

y(x0) = y0, (2) unde funcţia ƒ este definită într-un domeniu D din planul xOy. Perechea (1),(2) constituie o problemă Cauchy. Presupunem asigurate existenţa şi uniciitatea soluţiei. Se defineşte un câmp de direcţii în D dacă în fiecare punct M(x, y) ∈ D se ia direcţia α = arctg ƒ(x, y) (α fiind unghiul format de direcţie cu sensul pozitiv al axei Ox).

Acest câmp de direcţii are următoarea interpretare: graficul soluţiei ecuaţiei (1) cu condiţia (2) trece prin punctul M(x0, y0) şi este tangent în orice punct al său direcţiilor câmpului.

Metoda lui Euler propune aproximarea soluţiei printr-o linie poligonală în care fiecare segment este coliniar cu direcţia câmpului definită de extremitatea sa stângă. Astfel se consideră nodurile echidistante xi = x0 + ih, n0i ,= . În punctul M0(x0, y0) se calculează direcţia câmpului definită de M0 şi se scrie ecuaţia dreptei determinate de M0 şi de această direcţie:

y = y0 + ƒ(x0, y0)(x – x0) (3) Funcţia (3) se propune ca aproximantă a soluţie problemei (1)+(2) pe [x0,x1]. Valoarea aproximativă a

soluţiei în x1 este dată de: y1 = y0 + ƒ(x0, y0)(x1 – x0) = y0 + ƒoh Repetăm procedeul şi presupunând că în xi s-a calculat valoarea aproximativă yi, atunci pe intervalul [xi,

xi+1] se aproximează soluţia cu: y = yi + ƒ(xi, yi)(x – xi) = yi + ƒi(x – xi),

iar în punctul xi+1 se obţine valoarea aproximativă: yi+1 = yi + hƒi.

Aproximarea este justificată şi de următoarea teoremă:

Teoremă.

a) Dacă: y ∈ C2[a, b], atunci ∈ξ∃ 1)( (x, x + h) cu proprietatea )(''y2h)x('y

h)x(y)hx(y

1ξ+=−+

b) Dacă y ∈ C2[a, b], atunci ∈ξ∃ 2)( (x – h, x) cu proprietatea )(''y2h)x('y

h)hx(y)x(y

2ξ−=−−

Demonstraţie. Din formula lui Taylor avem:

y(x + h) = y(x) + )(''y2

h)x('hy 1

2

ξ+ , ∈ξ1 (x, x + h)

y(x – h) = y(x) – )(''y2

h)x('hy 2

2

ξ+ , ∈ξ2 (x – h, x)

)(''y2h)x('y

h)x(y)hx(y

1ξ+=−+

⇒

)(''y2h)x('y

h)hx(y)x(y

2ξ−=−−

⇒

Deci

=)x('y )h(h

)x(y)hx(y1ε+

−+ ; =)x('y )h(h

)hx(y)x(y2ε+

−−

Considerând cunoscută aproximarea yi a soluţiei problemei (1)+(2) în xi, procedeul de aproximare Euler, poate fi acum rezumat astfel:

(4) ,...1,0),(

1

1 =⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=+=

=

+

+ ihfyyhxxyxff

iii

ii

iii

Observaţii: (i).Neglijarea termenilor de ordin superior în (4) face ca metoda să fie comodă în calcul, dar puţin precisă, erorile cumulându-se la fiecare pas. (ii).Metoda se poate aplica şi dacă nodurile xi nu sunt echidistante, având la fiecare iteraţie alt pas h în acest caz. In general o metodă unipas poate fi scrisă sub forma:

);,(1 hyxhyy iiii Γ+=+

Pentru soluţie a problemei Cauchy (1)+(2) (şi pentru orice )(xyy = }1,...,2,1,0{ −∈ ni ) considerăm:

( ) ));(,()()(1)( 1 hxyxxyxyh

h iiiii Γ−−= +τ

Cantitatea de mai sus se numeşte eroare de consistenţă a metodei în şi reprezintă o măsură a calităţii metodei de aproximare.

ix

Pentru metoda Euler, ţinând cont de algoritmul acesteia, de expresia erorii de consistenţă şi de faptul că

obţinem că ),();,( iiii yxfhyx ≡Γ

),( ),(''21)( hxxhyhi +∈= ξξτ

In consecinţă eroarea de consistenţă este de ordinul . )(hO

Exemplul 1 Se consideră problema Cauchy:

[ ]⎪⎩

⎪⎨

⎧

∈=

−=

0,1 x,1)0(yyx2y'y

Ne propunem să determinăm o soluţie aproximativă a acestei probleme folosind metoda Euler cu pasul h = 0,2.

Rezolvare Folosind formulele (4) pentru x0 = 0; x1 = 0,2; x2 = 0,4;

x3 = 0,6; x4 = 0,8; x5 = 1 şi y0 = 1, obţinem:

y1 = y0 + hf(x0, y0); f(x0, y0) = y0 – 0

0

yx2

= 1.

Deci y1 = 1 + 0,2 · 1 = 1,2.

y2 = y1+0,2f(x1, y1) = y1+0,2 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

1

11 y

x2y = 1,2 + 0,2·0,8667 =

= 1,3733. Obţinem în final următorul tabel, ultima coloană reprezentând valorile exacte ale soluţiei problemei

propuse (y = 1x2 + ).

xi yi(Euler) yi (exact) 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

1 1,2 1,3733 1,5294 1,6786 1,8237

1 1,1832 1,3416 1,4832 1,6124 1,7320

În continuare, vor fi prezentate câteva variante îmbunătăţite ale algoritmului Euler. 1.2. Metoda Euler modificată Considerăm pe [xi, xi+1] ca direcţie a segmentului MiMi+1 direcţia definită de punctul de la mijlocul

segmentului (nu de extremitatea stângă ca în formula iniţială) se obţine metoda Euler modificată. Dacă xi, yi sunt valori calculate, procesul iterativ este următorul:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+=

+==+=

++

++++

+

;hfyy ;y,xff ;f2hyy

;2hxx );y,x(ff ;ihxx

21ii1i

21i

21i

21iii

21i

i21iiii0i

Pentru această metodă )(hiτ este de ordinul . )( 2hO Exemplul 2 Vom aplica metoda Euler modificată în rezolvarea aceleiaşi probleme de la exemplul 1 pentru a putea face

o comparaţie rapidă privind eficienţa sporită a metodei. Deci:

[ ]1,0x ,1)0(y

yx2y'y

∈⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

−=, h = 0,2

Rezolvare x0 = 0; x1 = 0,2; x2 = 0,4; x3 = 0,6; x4 = 0,8; x5 = 1;

f(x,y) = y –yx2

x1/2 = x0 + 2h = 0,1; y1/2 = y0 +

2h f(x0, y0) = 1,1

f(x1/2, y1/2) = 0,9182 = f1/2 y1 = y0 + hf1/2 = 1 + 0,2 · 0,9182 = 1,1836

Continuând în acelaşi mod obţinem tabelul:

xi yi (Euler modificat) yi (exact) 0, 0,2

1 1,1836

1 1,1832

0,4 0,6 0,8 1

1,3426 1,4850 1,6152 1,7362

1,3416 1,4832 1,6124 1,7320

1.3. Metoda Euler–Cauchy Introducând y′ ca o nouă variabilă, se poate înlocui ecuaţia diferenţială (1) cu următorul sistem de ecuaţii:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

).y,x(f'y

'ydxdy

Integrând prima ecuaţie a sistemului de la xi la xi+1, unde xi = x0 + ih se obţine:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

+= ∫+

+

)y,x(fy

;dx'yyy

ii'i

1x

xi1i

i

i

Folosind metoda dreptunghiului pentru aproximarea integralei din prima ecuaţie obţinem: yi+1 = yi + hy′i = yi + hƒ(xi, yi). (5) Dacă aplicăm metoda trapezului pentru aproximarea aceleiaşi integrale se obţine:

yi+1 = yi + )(2

'1

'++ ii yyh = yi + ))y,x(f)y,x(f(

2h

1i1iii +++ =

= yi + )(2 1++ ii ffh . (6)

Ecuaţia (6) poate fi rezolvată iterativ, relativ la necunoscuta yi+1. Dacă se alege ca aproximaţie iniţială dată de (5), obţinem pentru yi+1 valoarea:

)0(1+iy

)),(),((2

)0(11

)1(1 +++ ++= iiiiii yxfyxfhyy . (7)

Deci pentru construirea liniei poligonale care aproximează soluţia problemei (1) + (2) este dat algoritmul Euler–Cauchy:

,...1,0

).(2

);,(

;

;

)0(1

)1(11

)0(11

)0(1

)0(1

1

=

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

++==

=

+=

+=

+++

+++

+

+

i

ffhyyy

yxff

hfyy

hxx

iiiii

iii

iii

ii

Pentru această metodă )(hiτ este de ordinul . )( 2hO

Observaţie: In scopul ameliorării aproximaţiilor se pot utiliza metodele prezentate de o manieră iterativă. Astfel, metode euler-Cauchy ne conduce la următorul algoritm de calcul:

;)0(1 iii hfyy +=+

)(2

)1(1

)(1

−++ ++= k

iiik

i ffhyy , k = 1, 2, …

cu ( ))1k(1i1i

)1k(1i y,xff −

++−

+ = Se demonstrează că dacă funcţia este lipsichitziană în y, de constantă L şi dacă h este suficient de mic cu

hL < 2 atunci , pentru k . 1)(1 ++ → i

ki yy ∞→

În practică, se continuă iteraţiile după indicele k până când un criteriu de eroare impus de exemplu:

)k(1i

)1k(1i

)k(1i

yyy

+

−++ − < ε, ε impus, 0, este satisfăcut. ≠+

)k(1iy

Exemplul 3 Să se găsească soluţia aproximativă a problemei Cauchy:

[ ]⎩⎨⎧

∈=+=

1,0x,1)0(yyx'y

folosind metoda Euler-Cauchy şi o precizie de 10-4. Rezolvare Vom folosi pasul h = 0,05; x0 = 0; x1 = 0,05; y0 = 1;

f(x, y) = x + y; )0(

1y = y0 + hf(x0, y0) = 1 + 0,05 · 1 = 1,05 )1(

1y = y0 + 2h ( )( ))0(

1100 y,xf)y,x(f + =

= 1 + 205,0 (1 + 1,1) = 1,0525

( ) ( )( ))1(11000

)2(1 y,xfy,xf

205,0yy +++ =

= 1 + 205,0 (1 + 1,1025) = 1,0525625

Deci fiind stabile primele 4 zecimale rezultă: y1 = 1,0525. Similar cu x2 = 0,1 obţinem:

)y,x(hfyy 111)0(

2 += =1,1077 )1(

2y = 1,11036; = 1,11042. )2(2y

Deci y2 = 1,1104. Soluţia exactă fiind y = 2ex – x – 1, obţinem în x = 0,1 valoarea: y(0,1) = 1,1103 eroarea fiind de 0,0001.

1.4. Metoda Euler–Heun

Vom încheia trecerea în revistă a variantelor Euler pentru rezolvarea ecuaţiilor de tipul (1) prezentând o

ultimă variantă de ordinul doi a metodei lui Euler şi anume aceea propusă de Heun, [26]. Presupunând calculată valoarea yi la pasul xi, se propune pentru calcularea soluţiei la pasul xi+1 expresia:

41hyy ii +=+ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++ iiiiii yxhfyhxfyxf ,(

32,

323),( .

2. Metode de tip Runge-Kutta

Metodele de tip Euler prezentate sunt explicite şi nu necesită valori de start. Faptul că au un ordin scăzut

al erorii de consistenţă conduce la o aplicabilitate limitată. In scopul obţinerii unor metode de ordin ridicat trebuie renunţat fie la proprietatea de a fi unipas şi pastrată liniaritatea, fie viceversa. Metodele de tip Runge-Kutta sunt neliniare şi conservă caracteristicile metodelor unipas, având un ordin ridicat. Ele au trei proprietăţi principale:

1. Sunt metode directe, adică pentru determinarea aproximării soluţiei la pasul i+1 avem nevoie de

informaţiile existente în punctul precedent xi, yi. 2. Sunt identice cu seriile Taylor până la termenii hn, unde h este pasul curent iar n este diferit pentru

metode diferite din această familie şi defineşte ordinul metodei. 3. în procesul de calcul nu necesită decât evaluarea funcţiei din memebrul drept pentru diverse valori x şi y . Nu este nevoie de calculul derivatelor acesteia.

Metodele de tip Euler pot fi şi ele incluse în familia Runge-Kutta şi putem astfel observa că metoda Euler

este o metodă R-K de ordinul întâi iar metodele Euler-Cauchy şi Euler-Heun sunt metode R-K de ordinul 2.

2.1. Construirea formulelor Runge-Kutta Ne ocupăm în special de rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale ordinare cu condiţii iniţiale. Adică pentru

ecuaţii diferenţiale ordinare de ordinul întâi ne interesează rezolvarea problemei Cauchy:

⎩⎨⎧

==

00 y)x(y))x(y,x(f)x('y

, x ∈ [a, b], x0 = a (8)

Metodele Runge-Kutta constau în aproximarea soluţiei problemei (8) astfel:

∑=

+=≈+m

iii hkcxyhzhxy

1)()()()(

unde

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+++++=

++==

−− 11,2211

12122

1

...,()(........................

),()(),()(

mmmmmmm kbkbkbyhaxhfhk

kbyhaxhfhkyxhfhk

şi mibai

jiji ,...,3,2 ,

1

1== ∑

−

=

c1, ci, ai, bij – urmând a fi determinaţi (i = m,2 ; j = 1i,1 − )

Observaţie: Pentru a fi consisente, metodele Runge-Kutta trenuie să satisfacă condiţia: . ∑=

=m

iic

1

1

Notăm ε(h) = y(x+h) – z(h) (eroarea de aproximare). Vom determina parametrii c1, ci, ai, bij din condiţiile:

⎢⎢⎣

⎡

≠ε

=ε==ε=ε+ f funcţie anumită opentru ,0)0(

şi f funcţie oricepentru ,0)0(...)0(')0()1p(

)p(

Din formula lui Taylor în 0 avem:

ε(h) = ∑=

++

ξε+

+εp

0k

)1p(1p

)k(k

)h()!1p(

h)0(!k

h ⇒

ε(h) = )h()!1p(

h )1p(1p

ξε+

++

, 0 < ξ < 1 (9)

expresie ce indică ordinul de mărime al erorii de aproximare (deci O(hp)); Cazuri particulare

1) Dacă m = 1, atunci: ε(h) = y(x+h) – y(x) – c1k1(h) = y(x+h) – y(x) – c1hf(x,y) Se verifică uşor că ε(0) = 0 pentru orice funcţie f. ε’(h) = y’(x+h) – c1f(x,y) Obţinem ε’(0) = y’(x) – c1f(x,y) = (1 – c1)f(x,y). Se observă că pentru c1 = 1, ε’(0) = 0 pentru orice funcţie f. ε’’(h) = y’’(x+h), deci ε’’(0) = y’’(x) = fx(x,y) + f(x,y) · fy(x,y) Se observă că ε’’(0) ≠ 0 pentru o anumită funcţie f. De exemplu, pentru f(x,y) = y se obţine ε’’(0) = y. Deci p = 1.

Astfel, pentru c1 = 1, se obţine formula: y(x+h) = y(x) + hf(x,y)

care, este formula din metoda Euler. Eroarea este de ordinul lui h.

2) Dacă m = 2, atunci: ε(h) = y(x+h) – y(x) – c1k1(h) – c2k2(h) = y(x+h) – y(x) –

– c1hf(x,y) – c2hf(x + a2h, y + b21k1) Se verifică uşor că ε(0) = 0 pentru orice funcţie f. ε’(h) = y’(x+h) – c1f(x,y) – c2f(x + a2h, y + b21k1) –

-c2h [ + )kby,hax(fa 1212hax2 2+++ )kby,hax(f)y,x(fb 1212kby21 121

+++ ]

Notăm cu: expresia inclusă în parantezele drepte. /hf )kby,hax( 1212 ++

Obţinem: ε’(0) = y’(x) – c1f(x,y) – c2f(x,y) = (1 – c1– c2)f(x,y). ε’’(h) = y’’(x+h) – 2c2[ (x + a2h, y + b21k1)] – hf ′

–c2h[ (x + a2h, y + b21k1)] . hhf ′′Obţinem: ε’’(0) = y’’(x) – 2c2[a2fx (x,y) + b21f(x,y) · fy(x,y)] =

=(fx + f·fy) – 2c2(a2fx + b21f · fy) = (1 – 2c a )f + (1 – 2c b )ff 2 2 x 2 21 y

[ ])kby,hax(f 1212hhε’’’(h) = y’’’(x+h) – 3c2 ++′′ – – c2h [ ])kby,hax(f 1212hhh ++′′′

Obţinem: ε’’’(0) = y’’’(x)–3c2( fxx+a2b21f·fxy+a2b21f·fyx+ f2·fyy) = 22a 2

21b= (fxx + f·fxy + f·fyx + fx·fy + f·f2

y + f2·fyy) – 3c2( fxx + a2b21f·fxy+ a2b21f·fyx + f2·fyy) = (1 – 3c2 ) fxx + (1 – 3c2a2b21) f·fxy+

22a 2

21b 22a

+ (1 – 3c2a2b21)f·fyx + (1 – 3c2 ) f2 · fyy + fx·fy + f ·221b 2

yf Dacă:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−=−=−−

0bc210ac210cc1

212

22

21

sau ⎪⎩

⎪⎨

⎧

==

=+

2212

21

c21ba

1cc (10)

atunci ε(0) = ε’(0) = ε’’(0) = 0 pentru orice funcţie f. Sistemul (10) este compatibil nedeterminat. De asemenea, ε’’’(0) nu este identic nulă pentru orice funcţie f. De exemplu, pentru funcţia f(x,y) = y, se

obţine ε’’’(0) = y. Deci p= 2. Pentru m = p = 2 se pot obţine oricâte formule dorim, alegând parametrii c1, c2, a2, b21 astfel încât să

verifice (10). Din (9) rezultă că eroarea în aceste formule este de ordinul lui h2.

Astfel, o soluţie a sistemului (10) este: c1 = c2 = 21 , a2 = b21= 1, şi pentru această soluţie se obţine formula

Runge-Kutta simplă:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

++==

++=+

)ky,hx(hfk)y,x(hfk

)kk(21)x(y)hx(y

12

1

21

(10’)

Observaţie. Dacă f nu depinde de y obţinem:

[ ])hx(f)x(f2h)x(y)hx(y ++=−+

Pe de altă parte:

∫ ∫+ +

==−+hx

x

hx

x

dt)t(fdt)t('y)x(y)hx(y

Din cele două relaţii de mai sus rezultă formula trapezului (vezi § 5.1.).

[ ]∫+

++=hx

x

)hx(f)x(f2hdt)t(f

O altă formulă Runge-Kutta de ordinul 2 se obţine pentru

c1 = 41 , c2 =

43 , a2 = b21 =

32 şi anume:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

=

++=+

12

1

21

k32y,h

32xhfk

)y,x(hfk

)k3k(41)x(y)hx(y

(11)

cunoscută ca formula Euler-Heun. Pentru calculul aproximativ al soluţiei unei probleme Cauchy (8) pe un interval [a, b] de noduri

echidistante de pas h procedăm astfel : - presupunem cunoscute valorile xi, yi (yi ≅ y(xi)) – de exemplu, pentru i = 0 cunoaştem din (8) x0, y0; - calculăm, folosind de exemplu (10’) xi+1 = xi + h

yi+1 = yi + 21 (k1 + k2), unde

k1 = hf(xi, yi) k2 = hf(xi + h, yi + k1) Exemplul 4

Se consideră problema Cauchy: ⎩⎨⎧

==

1)0(yxy'y

Folosind o formulă Runge-Kutta de ordinul 2, să se aproximeze soluţia problemei date în xi = 0.1·i, 1 ≤ i 3. ≤

Rezolvare f(x,y) = xy; x0 = 0; y0 = 1; h = 0.1 Se observă că soluţia exactă este y(x) = . Deci 2/x2

e

y(0,1) 1,005013 ≅y(0,2) 1,020201 ≅y(0,3) 1,046027 ≅Vom întocmi următorul tabel:

I 0 1 2 3 xi 0 0.1 0.2 0.3 yi 1 1.005 1.0201755 1.0459859f(xi,yi) 0 0.1005 0.2040351 k1 = hf(xi,yi) 0 0.01005 0.0204035 xi + h 0.1 0.2 0.3 yi + k1 1 1.01505 1.040579 f(xi + h, yi + k1) 0.1 0.20301 0.3121737 k2= hf(xi+h, yi+k1) 0.01 0.020301 0.0312174 (k1 + k2) /2 0.005 0.0151755 0.0258104

3) Pentru m = 3, avem: ε(h) = y(x + h) – y(x) – c1k1 – c2k2 – c3k3, unde:

k1 = hf(x,y); k2 = hf(x+a2h, y+b21k1); k3 = hf(x+a3h, y+b31k1 + b32k2) Efectuând calcule asemănătoare ca în cazul 2) se constată că ε(0) = ε’(0) = ε’’(0) = ε’’’(0) = 0, ∀ f, dacă:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==+=

=+=+=++

61bac;ba;bba

31acac;

21acac;1ccc

322321232313

233

2223322321

care este de asemenea un sistem compatibil nedeterminat cu o infinitate de soluţii. O soluţie a acestui sistem este:

c1 = 61 ; c2 =

32 ; c3 =

61 ; a2 =

21 , a3 = 1

b21 = 21 , b31 = -1, b32 = 2

obţinându-se următoarea formulă Runge-Kutta de ordinul 3:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+−+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

=

+++=+

)2,(2

,2

),(

)4(61)()(

213

12

1

321

kkyhxhfk

kyhxhfk

yxhfk

kkkxyhxy

(12)

O altă formulă tot de ordinul 3 este următoarea:

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

=

++=+

23

12

1

31

32,

32

3,

3

),(

)3(41)()(

kyhxfhk

kyhxfhk

yxfhk

kkxyhxy

(13)

Şi în acest caz se constată că nu există formule Runge-Kutta cu m = 3 şi p = 4, deoarece εIV(0) nu este identic nulă pentru orice funcţie f. Într-adevăr pentru f(x,y) = y se obţine εIV(0) = y.

Observaţii. (i). Din (9) rezultă că eroarea în aceste formule este de ordinul lui h3. (ii).Dacă funcţia f nu depinde de y, atunci

∫+hx

x

dt)t(f = ∫+hx

x

dt)t('y =y(x+h)–y(x) = ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++ hxf

2hxf4)x(f

6h

adică formula de integrare numerică Simpson. 4) m = 4. Raţionamente şi calcule asemănătoare celor anterioare conduc la construirea unei mulţimi de

formule Runge-Kutta de ordinul 4, din care mai cunoscute sunt:

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

++=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

=

++++=+

),( 21,

21

2,

2

),(

)22(61)()(

34

23

12

1

4321

kyhxfhk

kyhxfhk

kyhxfhk

yxfhk

kkkkxyhxy

(14)

formula propriu-zisă Runge-Kutta şi

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

+−++=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

=

++++=+

),( 31,

32

3,

3

),(

)33(81)()(

3214

213

12

1

4321

kkkyhxfhk

kkyhxfhk

kyhxfhk

yxfhk

kkkkxyhxy

(15)

formula Kutta-Simpson Observaţie. Aceste formule sunt de ordinul patru. .

Pentru calculul aproximativ al soluţiei unei probleme Cauchy (8), pe un interval [a, b], cu pasul h procedăm astfel:

x0 = a, xi = x0 + ih, i = N,0 cu xN = b , deci h = N

ab −

cunoscând pentru xi, valorile yi (yi y(xi)) – de exemplu pentru i = 0, cunoaştem x0, y0. ≈Calculăm: xi+1 = xi + h

yi+1 = yi + 61 (k1 +2k2 + 2k3 + k4)

k1 = hf(xi, yi)

k2 = hf ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

2ky,

2hx 1

ii

k3 = hf ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

2ky,

2hx 2

ii

k4 = hf(xi + h, yi +k3) Exemplul 5

Se consideră problema Cauchy: . ⎩⎨⎧

==

1)0(yxy'y

Să aproximăm soluţia acestei ecuaţii în punctele xi = ih, i = 9,1 , h = 0.1, folosind o metodă Runge-Kutta de ordin 4. xi yi valoarea soluţiei exacte 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1.005013 1.020202 1.046028 1.083287 1.133148 1.197217 1.277621 1.377128 1.499303

1.005013 1.020201 1.046027 1.083286 1.133148 1.197217 1.277620 1.377128 1.499303

y(x) = 2/x2

e

2.2. Metodă de tip Runge-Kutta implicit Metodele de tip Runge-Kutta, expuse anterior, sunt explicite. Pentru a ameliora proprietăţile de

stabilitate ale acestor metode se consideră cele de tip implicit.

Prin proprietăţi de stabilitate ne referim la restricţiile impuse asupra pasului de integrare în situaţia

utilizării metodei respective.

Forma generală a unei astfel de metode Runge-Kutta implicită de tip este: m

∑=

+

=Φ

Φ+=m

jjjii

iiii

kchyx

hyxhyy

1

1

);,(

);,(

mjba

mjkbhyhaxfk

m

sjsj

m

ssjsjj

,...,2,1 ,

,...,2,1 ,,(

1

1

==

=++=

∑

∑

=

=

Comparativ cu metodele explicite, funcţiile kj numai sunt definite explicit, ci printr-un set de m

ecuaţii implicite, în general neliniare. În practică, se foloseşte cazul metodelor Runge-Kutta implicite cu

= 2

m

m

Astfel:

kj = f(x + haj, y + bj1hk1 + bj2hk2), j = 2,1

Considerând k1, k2 dezvoltabile sub forma

kj = Aj + hBj + h2Cj + h3Dj + O(h4), j = 2,1

pe baza dezvoltării în serie Taylor în raport cu (x, y) a lui kj, j = 2,1 se obţine prin identificarea puterilor lui

h:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==

±=

;41bb

;63

21a

2211

1

41ab;

41ab

63

21a

221112

2

−=−=

= m (16)

Observaţie. Prin simetrie se observă faptul că valorile date prin alternarea semnelor, în relaţiile

(16), conduc la aceeaşi metodă.

În concluzie, o metodă Runge-Kutta implicită de ordinul patru, este dată de formulele:

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

++=+

212

211

211

41

63

41,

63

21

63

41

41,

63

21

)(2

kkyhxfk

kkyhxfk

kkhyy

ii

ii

ii

(17)

Remarcă. Este importantă precizarea existenţei unei metode Runge-Kutta de tip semi-explicit de ordinul

patru, descrisă de relaţiile de mai jos:

( )

( )

( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

++=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++=

=

+++=+

23

212

1

3211

,41

41,

21

,

46

kyhxfk

kkyhxfk

yxfk

kkkhyy

ii

ii

ii

ii

(18)

3. Metode numerice multipas

Fie problema Cauchy

(19) ],[ ],,[ )(

),()('0

00

baxbaxyxy

yxfxy∈∈

⎩⎨⎧

==

şi diviziunea intervalului dată de: ],[ ba bxxxa n ≤<<<≤ ...10 . Forma generală a unei metode multipas este dată printr-o relaţie de recurenţă ce exprimă valoarea în

raport cu valorile lui şi în şi în punctele precedente: 1+iy

)(xy )(' xy 1+ix

(*

110111

101211

N ,...,,1

),(...),(),( ...

∈−=

++++ )++++=

−+−+−++

−+−−−+

mmmi

yxfbyxfbyxfbhyayayay

mimiiimiim

miimimi

(20) Observatie: Dacă numim metoda explicită; altfel o numim implicită. 0=mb Se numeşte eroare de consistenţă a metodei în , cantitatea: ix

( )

))(,(..))(,())(,(

)(...)()(1)(

110111

10111

mimiiimiim

miimii

xyxfbxyxfbxyxfb

xyaxyaxyh

h

−+−+−++

−+−−+

−−−−

−−−−=τ

(21)

Printre metodele explicite multipas, cele mai utilizate sunt cele de tip Adams-Bashforth: (i). de ordinul trei, cu trei paşi:

,...3,2

)),(5),(16),(23(12 22111

=

+−+= −−−−+

i

yxfyxfyxfhyy iiiiiiii

(22) (ii). de ordinul patru, cu patru paşi:

,...4,3

)),(9),(37),(59),(55(24 3322111

=

−+−+= −−−−−−+

i

yxfyxfyxfyxfhyy iiiiiiiiii

(23)

Cele mai cunoscute metode implicite, multipas, sunt cele de tip Adams-Moulton: (i). de ordinul trei, cu doi paşi:

,...2,1

)),(),(8),(5(12 11111

=

−++= −−+++

i

yxfyxfyxfhyy iiiiiiii

(24) (ii). de ordinul patru, cu trei paşi:

,...3,2

)),(),(5),(19),(9(24 2211111

=

+−++= −−−−+++

i

yxfyxfyxfyxfhyy iiiiiiiiii

(25)

4. Metode numerice de tip predictor-corector

O metodă nmerică de tip predictor-corector este o combinaţie între o metodă numerică explicită şi o

metodă numerică implicită. Metoda explicită permite predicţia unei valori aproximative şi cea implicită corectează (odată sau de mai multe ori) această predicţie.

Metodele predictor-corector, oferă o precizie superioară faţă de metodele prezentate în paragrafele anterioare, fără a implica sporiri ale numărului de operaţii aritmetice.

În ceea ce priveşte comportarea metodelor de tip predictor-corector, acestea au eroarea de procedeu mai mică, dar sunt puternic afectate de eventualele erori ale valorilor de pornire necesare algoritmului.

Cea mai simplă metodă de acest tip este cea prezentată sub numele de Euler-Cauchy. Astfel pentru predictorul ne dă valoarea ihxxi += 0

),( ,)0(1 yxfffyy iiii =+=+

şi corectorul o corectează cu formula

,...2,1 ),(2

)1(1

)(1 =++= −

++ kffhyy kiii

ki

Criteriul de oprire este:

ε≤− −++

)1(1

)(1

ki

ki yy sau ε≤

−

+

−++

)(1

)1(1

)(1

ki

ki

ki

y

yy cu şi 0)(

1 ≠+k

iy ε precizia de calcul impusă.

4.1 Metoda lui Milne

Algoritmul de calcul este următorul:

( )

( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+++=

+−+=

+=

+−−+

−−−+

+

)0(1111

123)0(1

1

43

223

4

iiiii

iiiii

ii

fffhyy

fffhyy

hxx

(26)

unde . ),( )0(11

)0(1 +++ = iii yxff

Observatii:

(i). este o metodă de ordinul ; )( 4hO(ii). In scopul ameliorării rezultatelor putem aplica formulele de calcul de manieră iterativă:

( ) ,...2,1 ,43

)1(111

)(1 =+++= −

+−−+ kfffhyy ik

iiik

i

4.2 Metoda Adams-Bashforth-Moulton de ordinul patru

Pentru problema Cauchy

],[ ],,[ )(

),()('0

00

baxbaxyxy

yxfxy∈∈

⎩⎨⎧

==

predictorul este representat de metoda Adams-Bashforth de ordinul patru:

,...4,3 )),(9),(37

),(59),(55(24

3322

11)0(1

=−+

+−+=

−−−−

−−+

iyxfyxf

yxfyxfhyy

iiii

iiiiii

(27)

Remarcă: Pentru determinarea valorilor utilizăm o metodă de ordinul patru. iiii yyyy ,, 1,23 −−−

Corectăm aproximarea genertă mai sus prin intermediul corectorului dat de metoda Adams-Moulton de

ordinul patru:

,...2,1 ,...,3,2

)),(),(5),(19),(9(24 2211

)1(11

)(1

==

+−++= −−−−−

+++

ki

yxfyxfyxfyxfhyy iiiiiik

iiik

i

BIBLIOGRAFIE 1. R. Burden, J. Faires, Numerical Analysis, PWS-Kent, 2001.

2. C. Carasso, Analyse Numérique, Lidec, Canada, 1970. 3. B. Demidovitch. I. Maron, Éléments de Calcul Numérique, Mir, Moscow, 1973. 4. D. Ebâncă, Metode de Calcul Numeric, Editura Sitech, Craiova, 1994. 5. R. Militaru Méthodes Numériques. Théorie et Applications Ed. Sitech, 2008 6. J.P. Nougier, Méthodes de Calcul Numérique, Hermes Sciences Publication, Paris, 2001. 7. M. Popa, R. Militaru, Metode Numerice –algoritmi si aplica�ii, Ed. Sitech, Craiova, 2007. 8. M. Popa, R. Militaru, Analiză numerică – note de curs, Editura Sitech, Craiova, 2003.

1. REZOLVAREA NUMERICA A SISTEMELOR DE ECUATII DIFERENTIALE

Metodele numerice uilizate pentru o singură ecuaţie diferenţială, anterior prezentate, se pot extinde şi în cazul sistemelor de ecuaţii diferenţiale. Considerăm situaţia metodelor numerice de tip Runge-Kutta. Metodele Runge-Kutta, prezentate pentru ecuaţii diferenţiale, pot fi aplicate cu uşurinţă şi la sisteme de ecuaţii diferenţiale. Fie sistemul de ecuaţii diferenţiale:

(1) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=′

=′

)y...,y,x(fy................................),y,...,y,x(fy

n1nn

n111

şi urmărim să determinăm soluţia care satisface condiţiile iniţiale: yi(x0) = yi,0 , i = n,1 (2)

Presupunând că dispunem de soluţia problemei (1) + (2) la pasul i: y1,i , ..., yn,i metoda Runge-Kutta de ordinul 4 calculează soluţia în pasul i+1 cu formulele:

y1,i+1 = y1,i + Δy1,i ...........................

(3) yn,i+1 = yn,i + Δyn,i Corecţiile: Δy1,i , Δy2,i , ... , Δyn,i care intervin în formulele precedente se calculează cu ajutorul relaţiilor:

Δy1,i = 14

13

12

11 k

61k

31k

31k

61

+++ ;

....................................................

Δyn,i = n4

n3

n2

n1 k

61k

31k

31k

61

+++ ;

iar coeficienţii au următoarea formă: n4

n1

14

11 k,...,k,...,k,...,k

)y....,y,x(hfk i,ni,1ijj1 = , j = n,1 ;

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++=

2ky,...,

2ky,

2hxhfk

n1

i,n

11

i,1ijj2 , j = n,1 ;

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++=

2ky,...,

2ky,

2hxhfk

n2

i,n

12

i,1ijj3 , j = n,1 ;

( )n3i,n

13i,1ij

j4 ky,...,ky,hxhfk +++= , j = n,1 ;

Exemple Folosind o formulă Runge-Kutta de ordinul 4, să se rezolve problema Cauchy:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==

+=′

=′

1)1(z1)1(y

)xy/()yx(zzy/xy

222

pentru x ∈[0, 1]. Rezolvare Considerăm 10 noduri echidistante xi pe [0, 1], de pas h = 0.1. Din (14), pentru fiecare i = 0, 1, …, 9, avem :

yi+1 = yi + ( )14

13

12

11 kk2k2k

61

+++

zi+1 = zi + ( )24

23

22

21 kk2k2k

61

+++

unde: )z,y,x(hfk iiij

j1 = ; j = 1, 2

)2kz,

2ky,

2hx(hfk

21

i

11

iijj2 +++= ; j = 1, 2

)2kz,

2ky,

2hx(hfk

22

i

12

iijj3 +++= ; j = 1, 2

)kz,ky,hx(hfk 23i

13iij

j4 +++= ; j = 1, 2

Obţinem următoarele valori:

x1 = 1.1 ⇒ y1 = 1,1000000000; z1 = 1,2099979386 x2 = 1.2 ⇒ y2 = 1,2000000000; z2 = 1,4399959714 x3 = 1.3 ⇒ y3 = 1,3000000000; z3 = 1,6899940413 x4 = 1.4 ⇒ y4 = 1,4000000000; z4 = 1,9599921095 x5 = 1.5 ⇒ y5 = 1,5000000000; z5 = 2,2499901493 x6 = 1.6 ⇒ y6 = 1,6000000000; z6 = 2,5599881417 x7 = 1.7 ⇒ y7 = 1,7000000000; z7 = 2,8899860729 x8 = 1.8 ⇒ y8 = 1,8000000000; z8 = 3,2399839328 x9 = 1.9 ⇒ y9 = 1,9000000000; z9 = 3,6099817135 x10 = 2 y10 = 2,0000000000; z10 = 3,9999794092 ⇒

soluţia exactă fiind , deci ⎩⎨⎧

=

=2x)x(z

x)x(y

pentru x1 = 1,1 ⇒ y(x1) = 1,1; z(x1) = 1,21 x2 = 1,2 ⇒ y(x2) = 1,2; z(x2) = 1,44 x3 = 1,3 ⇒ y(x3) = 1,3; z(x3) = 1,69 x4 = 1,4 ⇒ y(x4) = 1,4; z(x4) = 1,96 x5 = 1,5 ⇒ y(x5) = 1,5; z(x5) = 2,25 x6 = 1,6 ⇒ y(x6) = 1,6; z(x6) = 2,56 x7 = 1,7 ⇒ y(x7) = 1,7; z(x7) = 2,89 x8 = 1,8 ⇒ y(x8) = 1,8; z(x8) = 3,24 x9 = 1,9 ⇒ y(x9) = 1,9; z(x9) = 3,61 x10 = 2,0 ⇒ y(x10) = 2,0; z(x10) = 4,00

2. REZOLVAREA NUMERICA A ECUATIILOR DIFERENTIALE DE ORDIN SUPERIOR Fie ecuaţia diferenţială de ordinul scrisă sub formă explicită n

(4) ))(),...,('),(,()( )1()( xyxyxyxfxy nn −=

cu condiţiile asociate

(5)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

==

−−

10)1(

10

00

)(..................

)(')(

nn txy

txytxy

Introducem notaţiile

(6) n1,2,..,j ),()( )1( == − xyxz jj

Remarcă: 1,..,2,1 ),()( 1

' −== + njxzxz jj

Tinând cont de (4), (5) şi (6) avem:

(7)

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=

=

=

−

))(),...,(,()(

)()(......................)()(

)()(

1'

'1

3'2

2'1

xzxzxfxz

xzxz

xzxz

xzxz

nn

nn

respectiv:

(8)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

==

−10

102

001

)(..................)()(

nn txz

txztxz

In concluzie (7) şi (8) reprezintă un sistem având n ecuaţii diferenţiale ordinare cu n condiţii iniţiale. Putem astfel să îl rezolvăm cu tehnica prezentată mai sus. 7. Folosind o formulă Runge-Kutta de ordinul 4 să se rezolve problema Cauchy:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−==

−+=

1)0('y1)0(y

'yyx''y

pentru x ∈[0, 1].

Rezolvare Transformăm ecuaţia diferenţială de ordinul doi în sistemul de ordinul întâi:

⎩⎨⎧

−=−+=====

1)0(z ;zyx)z,y,x(f'z1)0(y ;z)z,y,x(f'y

2

1

Considerăm 10 noduri echidistante xi pe [0,1] de pas h = 0.1. Din (14), pentru fiecare i = 0, 1, …, 9 avem:

( )14

13

12

11i1i kk2k2k

61yy ++++=+

( 24

23

22

21i1i kk2k2k

61zz ++++=+ ) - variabile auxiliare

unde )z,y,x(hfk iiij

j1 = ; j = 1,2

)2

kz,2ky,

2hx(hfk

21

i

11

iijj2 +++= ; j = 1,2

)2

kz,2

ky,2hx(hfk

22

i

12

iijj3 +++= ; j = 1,2

)kz,ky,hx(hfk 23i

13iij

j4 +++= ; j = 1,2

Obţinem următoarele valori : x1 = 0.1 ⇒ y1 = 0.90968333333; x2 = 0.2 ⇒ y2 = 0.83758567267; x3 = 0.3 ⇒ y3 = 0.78223901323; x4 = 0.4 ⇒ y4 = 0.74247458668; x5 = 0.5 ⇒ y5 = 0.71738325383; x6 = 0.6 ⇒ y6 = 0.70628213912; x7 = 0.7 ⇒ y7 = 0.70868659523; x8 = 0.8 ⇒ y8 = 0.72428672347; x9 = 0.9 ⇒ y9 = 0.75292779297; x10 = 1 y10 = 0.79459400090; ⇒

3. METODE NUMERICE CU PAS VARIABIL PENTRU REZOLVAREA NUMERICA A ECUATIILOR DIFERENTIALE

Sunt tehnici utilizate pentru controlul erorii unei metode numerice pentru rezolvarea numerică a unei

probleme de tip Cauchy:

⎩⎨⎧

=+∈=

00

00

)(],[ )),(,()('

yxyhxxxxyxfxy

făcând apel la o manieră eficientă de alegere a mulţimii de puncte în care se va aproxima soluţia exactă . )(xyIdeea de bază este utilizarea unor metode numerice de ordine diferite în scopul caracterizării erorii de consistenţă şî alegerii pasului de integrare astfel încât eroarea globală să fie inferioară unei anumite precizii ε impuse. Considerăm în continuare două metode numerice care conduc la aproximaţiile următoare ale soluţiei exacte

în : )(xy hxx ii +=+1

(a) 0 ),,,(1 >Φ+=+ ihyxhyy iiii

0 ),,~,(~~

1 >Φ+=+ ihyxhyy iiii (b)

Presupunem că iii yyxy ~)( =≅ şi că (a) şi (b) sunt obţinute cu acelaşi pas . h

Atunci:

)()),(,()()( ),,()()(

11

111

hhhxyxhxyxyhyxhyxyyxy

iiiii

iiiiii

++

+++

=Φ−−≅≅Φ−−=−

τ

Tinând cont că şi că )()(1

ni hOh =+τ )()(~ 1

1+

+ = ni hOhτ rezultă

( 111~1)( +++ −≅ iii yy

hhτ ) (c)

de unde (d) n

i khh ≅+ )(1τk constantă ce nu depinde de . h

In consecinţă pentru un nou pas de integrare : qh

)()( 11 hqqh in

i ++ ≅ ττ

Impunând ετ ≤+ )(1 qhi obţinem: n

ii yyhq

/1

11~ ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−≤

++

ε

Un exemplu de metodă numerică de acest tip este metoda Runge-Kutta-Fehlberg. Ea constă în utilizarea unei metode Runge-Kutta de ordin 5:

654311 552

509

5643028561

128256656

135126~ kkkkkyy ii +−+++=+

în scopul estimării erorii de consistenţă pentru o metodă Runge-Kutta de ordin 4:

54311 51

41042197

25651408

21625~ kkkkyy ii −+++=+ unde

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−+−+⋅=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−++⋅=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−++⋅=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++⋅=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⋅=

⋅=

543216

43215

3214

213

12

1

4011

41041859

256535442

278,

2

4104845

51336808

216439,

21977296

21977200

21971932,

1312

329

323,

83

41,

4

),(

kkkkkyhxfhk

kkkkyhxfhk

kkkyhxfhk

kkyhxfhk

kyhxfhk

yxfhk

ii

ii

ii

ii

ii

ii

4. ECUATII DIFERENTIAL-ALGEBRICE

Sub formă implictă acestea se scriu:

0))('),(,( =xyxyxF

unde funcţia necunoscută este o funcţie scalară sau vectorială. )(xyy =

Vom aborda în continuare cazul ecuaţiilor diferenţial-algebrice care sub formă explicită devin:

)()()()(')( xfxyxAxyxM +=

Exemplu:

Dându-se ecuaţia diferenţial-algebrică , aceasta se poate explicita sub forma

, unde , ,

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++−=

+−=

2424'

467'

wvuvuv

xvuu

)()()()(')( xfxyxAxyxM +=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

000010001

M⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−

=111924067

A⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

240

4xf

Ecuaţiile diferenţial-algebrice se clasifică în funcţîe de diverşi parametrii:

-numărul de condiţii de tip algebric: din ecuaţia diferenţial-algebrică; an

-numărul de condiţii de tip diferenţial: din ecuaţia diferenţial-algebrică; dn

-indexul diferenţial: - numărul de operaţii de diferenţiere necesare convertirii ecuaţîei diferenţial-algebrice într-un sistem de ecuaţii diferenţiale.

di

Există o mare diferenţă între ecuaţiile diferenţial-algebrice şi ecuaţiile diferenţiale în privinţa condiţiilor la iniţiale ataşate pentru asigurarea unicităţii soluţiei: astfel, pentru o ecuaţie diferenţială ştim precis câte condiţii iniţiale sunt necesare, pe când pentru o ecuaţie diferenţial-algebrică situaţia devine neclară. De exemplu, pentru ecuaţia (trivială), privind-o doar ca ecuaţie neliniară nu necesită nici o condiţie iniţială asociată. 0=ye

Pentru rezolvarea numerică a ecuaţiei diferenţial-algebrică

0))('),(,( =xyxyxF

presupunând cunoscute valorile aproximative ale soluţiei exacte )(xyy = în punctele , pentru

determinarea valorii aproximative în punctul , utilizând o metodă numerică de rezolvarea a ecuaţiilor

diferenţiale, vom înlocui printr-o relaţie de forma .

knii xxx −− ...,, ,1

1+ix

)(' 1+ixy ∑=

−+

k

ii xyc0

1 )(α

α

Astfel, ecuaţia iniţială, pentru devine: 1+= ixx

∑=

−+++ =k

iiii ycyxF0

111 0),,(α

α

adică o ecuaţie neliniară în raport cu . Rezolvarea acesteia se va efectua prin intermediul metodei Newton sau metodei aproximaţiilor succesive, sau a oricărei metode specifice acestui tip de ecuaţii.

)( 11 ++ ≅ ii xyy

5. METODA DIFERENTELOR FINITE PENTRU PROBLEMA STURM-LIOUVIILLE

Considerăm problema bilocală (Sturm-Liouville) dată de:

(P) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

==

∈++=

βα

)()(

],[ ),()()()(')()(''

byay

baxxrxyxqxyxpxy

Teoremă: Dacă: (i). sunt continue pe ; )( ),( ),( xrxqxp ],[ ba (ii). ],[)( ,0)( baxxq ∈∀>atunci problema (P) admitt o soluţie unică.

Fie Δ o diviziune echidistantă de pas h a lui [a, b], x0 = a, xi = a + ih, 0 i n cu xn = b. ≤ ≤

Teoremă a) Fie y ∈ C3 [a, b], x ∈ (a, b), h > 0 astfel încât x – h, x + h ∈ (a, b). Atunci (x – h, x + h) astfel încât: ∈ξ∃)(

h2)hx(y)hx(y −−+ = )('''y

6h)x('y

2

ξ+

b) Fie y ∈ C4 [a, b], x ∈ (a, b), h > 0 astfel încât x – h, x + h ∈ (a, b). Atunci (x – h, x + h) astfel încât: ∈ξ∃)(

2h)hx(y)x(y2)hx(y −+−+ = )(y

12h)x(''y IV

2

ξ+

Demonstraţie. Se foloseşte formula dezvoltării în serie Taylor şi Teorema de medie

Pentru i = 1n,1 − facem aproximările:

h2)x(y)y(x )x('y 1i1i

i−+ −

= (*)

21ii1i

i h)x(y)x(y2)x(y)x(''y −+ +−

= (**)

Dacă în ecuaţia (P) considerăm x = xi, 1 ≤ i ≤ n – 1 şi folosim (*) şi (**) avem

211 )()(2)(

hxyxyxy iii −+ +−

=h

xyxyxp iii 2

)()()( 11 −+ − )()()( iii xrxyxq ++

iar condiţiile (25) devin ⎩⎨⎧

β=α=

)x(y)x(y

n

0

Obţinem în final schema:

(S) 211 2

hyyy iii −+ +−

-h

yyp iii 2

11 −+ −- 11 , −≤≤= niryq iii

βα == nyy ,0

unde )( ),( ),( ),( iiiiiiii xyyxrrxqqxpp ==== i)(∀ , care reprezintă un sistem liniar de n-1 ecuaţii şi n-1 necunoscute y1, y2, ..., yn-1, matricea sistemului fiind tridiagonală dominant diagonală.

Exemplu: Fie problema

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−==

∈++=

2)1(1)0(

]1,0[,44 3

yy

xeyyy xIII

Să se aproximeze valorile soluţiei în punctele , hixi ⋅= 31 ≤≤ i , 4/1=h , cu ajutorul metodei

diferenţelor finite. Soluţie: Schema (S) ne conduce la sistemul următor:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−==

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + +−

21

3,1 ,214221

4

0

312212

yy

ieyhh

yh

yhh

ixiii

Folosind o metodă numerică, pentru 4/1=h rezultă: ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−===

5910,01754,06468,0

3

2

1

yyy

BIBLIOGRAFIE şi Webografie: 1. Berbente C., Mitran S., Zancu, S., Metode Numerice, Editura Tehnică, Bucureşti, 1997 2. R. Burden, J. Faires, Numerical Analysis, PWS-Kent, 2005. 3. C. Carasso, Analyse Numérique, Lidec, Canada, 1970. 4. P.Ciarlet, J.Lions, Finite Difference Methods, North-Holland, Amsterdam, 1989. 5. B. Demidovitch. I. Maron, Éléments de Calcul Numérique, Mir, Moscow, 1973. 6. D. Ebâncă, Metode de Calcul Numeric, Editura Sitech, Craiova, 1994. 7. Kinkaid, D., Cheney, W., Numerical Analysis – Mathematics of Scientific Computing,

American Mathematical Society, 2009. 8. R. Militaru Méthodes Numériques. Théorie et Applications Ed. Sitech, 2008 9. J.P. Nougier, Méthodes de Calcul Numérique, Hermes Sciences Publication, Paris, 2001. 10. M. Popa, R. Militaru, Metode Numerice în pseudocod–aplica�ii, Ed. Sitech, Craiova, 2010. 11. M. Popa, R. Militaru, Analiză numerică – note de curs, Editura Sitech, Craiova, 2009. http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/physique/divers/MethodNum/method-num.htm http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/physique/divers/MethodNum/Schw- doc/EULER03.pdf

http://ta.twi.tudelft.nl/nw/users/vuik/wi211/disasters.html