UTILIZAREA ANALOGIEI ÎN REZOLVAREA PROBLEMELOR

IONESCU VALENTINA

O posibilă definiţie

• Analogia Asemănare; Izomorfism

• Două sisteme sunt analoge dacă ele concordă sub aspectul unor relaţii clar definite ale părţilor lor corespunzătoare (G.Polya, Matematica şi raţionamentele plauzibile)

Exemplul 1.

Triunghiul

din plan

Tetraedrul din spaţiu

De ce?Relaţia triunghiului faţă de plan este aceeaşi cu relaţia tetraedrului faţă de spaţiu, din cauza minimalităţii.

Exemplul 2.

Ar putea fi:

• Piramida triunghiulară regulată, dacă avem în vedere grupurile de izometrii

• Piramida triunghiulară cu feţele laterale echivalente, dacă avem în vedere măsura

Triunghiul isoscel

din plan

? din spaţiu

Sarcină de lucru

Veţi lucra în grupe de 2-3 membri.

Identificaţi analogul în spaţiu al triunghiului echilateral, considerând cel puţin trei relaţii diferite.

Timp de lucru: 10 min.

O posibilitate: folosim o proprietate caracteristică

• Un triunghi este echilateral dacă şi numai dacă suma distanţelor de la un punct interior la laturile triunghiului este constantă

• Din această perspectivă, analogul în spaţiu este tetraedrul echifacial

Sau...

• Un triunghi este echilateral dacă şi numai dacă centrul cercului înscris coincide cu centrul cercului circumscris

• Din această perspectivă, analogul în spaţiu este tetraedrul în care sfera înscrisă şi sfera circumscrisă au acelaşi centru

• Cele două noţiuni coincid!!

Sau...

• Un triunghi este echilateral dacă şi numai dacă grupul său de izometrii este “maximal”

• Din această perspectivă, analogul în spaţiu este tetraedrul regulat !!!

• În concluzie: analogiile depind de proprietăţile avute în vedere.

Analogia: importanţa didactică

1. Realizarea de conexiuni

Exemplu:

Injectivitatea: se referă la domeniu

Surjectivitatea: se referă la codomeniu

De aceea: proprietăţi de surjectivitate se obţin din proprietăţi de injectivitate schimbând domeniu – codomeniu, stânga – dreapta, mai mare – mai mic

Stânga - Dreapta

f este injectivă dacă şi numai dacă pentru orice mulţime C şi orice două funcţii

: A B f ®

g, h : C A®din

f g f h =o orezultă g = h.

f este surjectivă dacă şi numai dacă pentru orice mulţime C şi orice două funcţii

g f h f =o o

g,h : B C ®din

rezultă g = h.

Mai mic – Mai mare

• O funcţie numerică este injectivă dacă şi numai dacă numărul punctelor de intersecţie între graficul funcţiei şi orice dreaptă orizontală este 1.

• O funcţie numerică este surjectivă dacă şi numai dacă numărul punctelor de intersecţie între graficul funcţiei şi orice dreaptă orizontală este 1.

Analogia: importanţa didactică

2. Sursă de noi probleme

Exemplul 1: teorema bisectoarei

AD bisectoare

Care este analogul acestui rezultat pentru geometria în spaţiu?

AB DB

AC DC=A

B CD

Analogia: importanţa didactică

Exemplul 2: o proprietate a patrulaterelor

Mijloacele laturilor unui patrulater convex

determină un paralelogram

Care este analogul acestei proprietăţi în spaţiu?

Analogia: importanţa didactică

3. “Motor al descoperirilor”

Exemplu: determinarea sumei seriei

L. Euler a folosit analogia finit – infinit pentru a trece de la calculul polinomial la calculul unor serii:

...+ + + +1 1 1

14 9 16

sin( x ) x x x...

x= - + - +

× × × × × × × × ×

2 4 6

12 3 2 3 4 5 2 3 4 5 6 7

Analogia: importanţa didactică

4. Explicarea modului de rezolvare

Considerăm problema:

Pentru a, b, c > 0, să se arate că

Cea mai naturală rezolvare: efectuăm produsele. Mai trebuie demonstrat că:

(a b c ) ( )a b c

+ + × + +1 1 1

9

a a b b c c

b c a c a b+ + + + +

Analogia: importanţa didactică

5. Poate conduce Ia ideea de rezolvare

Sarcină de lucru (I)

Veţi lucra în grupe de 2-3 membri.

Demonstraţi că pentru orice număr natural n 6, un pătrat se poate descompune în n pătrate.

Timp de lucru: 10 min.

Analogia: importanţa didactică

Sarcină de lucru (II)

Veţi lucra în aceleaşi grupe.

Demonstraţi că pentru orice număr natural n 6, ecuaţia următoare are soluţii în Z* :

Timp de lucru: 10 min.n

... .x x x

+ + + =2 2 21 2

1 1 11

Analogia: importanţa didactică

Sarcină de lucru (III)

• Comparaţi cele două rezolvări. Ce legături există între ele?

Pericole ale analogiei

• Transformarea greşită de raţionamente

Cu cât este mai mare 40 decât 32?

Cu cât este mai mic 32 decât 40?

Cu câte procente este mai mare 40 decât 32?

Cu câte procente este mai mic 32 decât 40?

Pericole ale analogiei

• Transformarea greşită de proprietăţi

Exemplul 1

Înălţimile unui triunghi sunt concurente.

Analogul triunghiului în spaţiu este tetraedrul.

Deci: înălţimile unui tetraedru sunt concurente

Exemplul 2

Calculul unor sume infinite:

S ...= - + - + -1 1 1 1

12 3 4 5

Propunere de colaborare

Teste la clasele a XI-a – a XII-a, pentru un studiu privind percepţia elevilor asupra gradului de dificultate a unor probleme de analiză matematică.