Resolución 3 de Ecuacionescolegiomariscalcaceressurco.com/wp...de-ecuaciones.pdf · ambas ecuaciones Hay diversas formas de resolver un sistema de ecuaciones, nosotros nos centraremos

Raz. Matemático - 1ro Sec.

Capítulo

3Resoluciónde Ecuaciones

• 3 x + 5 = 11 → solución: x = 2

incógnita

igualdad

• x 2 = 4 → soluciones:

incógnita

igualdad

eCUaCión

2. ClasifiCaCión de las eCUaCiones segÚn sUs solUCiones

Es una relación de igualdad que se establece entre dos expresiones matemáticas que tienen como mínimo una variable. a las variables que intervienen en una ecuación se les denomina incógnitas y a los valores que satisfacen la igualdad se les llama soluciones de la ecuación.

Ejemplo:

Pueden ser compatibles o incompatibles:

ecuación compatible

Es aquella que tiene al menos una solución posible. Se subdivide en:

DeterminadaSi tiene un número finito de soluciones.

1. definiCión

• 3x + 2 = 14 → tiene una solución: 4

x = 2 x = -2

ecuación incompatible Es aquella que no tiene solución posible.

• x + 3 = x - 3

• 0 . x = 3

* 4(x + 3) + 2 = 3(x + 2) - 5 + x 4x + 12 + 2 = 3x + 6 - 5 + x 4x - 4x = 1 - 14 0 = -13

Conjunto de ecuaciones cuyas soluciones comunes se busca obtener en caso que existan.

x + y = 5x - y = 3

(Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.)

• x2 = 16 → tiene dos soluciones: 4 y -4* 3x + 5 = 2x + 11 ⇒ x = 6

IndeterminadaSi tiene infinitas soluciones.

Ejemplos:

• x - 5 = x - 3 - 2 • xº - 1 ; x ≠ 0 * 5(x + 3) + 7 = 4(x + 3) + x + 10 ⇒ 5x+ 15 + 7 = 4x + 12 + x + 10 5x - 5x = 22 - 22 0 = 0

Ejemplos:

3. sisTema de eCUaCiones

Ejemplo:


x = 4y = 1Solución:

ya que satisface ambas ecuaciones

Hay diversas formas de resolver un sistema de ecuaciones, nosotros nos centraremos en resolver utilizando los siguientes métodos:- Método de reducción o eliminación.- Método de sustitución.- Método de igualación.

Por reducción o eliminaciónMultiplicamos la ecuación (ii) por 3 y luego sumamos, con lo cual eliminaremos la incógnita “y” y obtendremos el valor de “x”.

2x + 3y = 139x - 3y = 9

11x = 22

→ ∴ x = 2

Conocido el valor “x” se reemplaza en (i) o (ii) para determinar el valor de “y”.

Reemplazamos en (i):2(2) + 3y = 13

∴ y = 3

x = 2y = 3

Solución:

Ejemplo:

Resuelve el sistema siguiente:

2x + 3y = 13 ... (i)3x - y = 3 ... (ii)

utilizando los tres métodos mencionados.

Resolución:

Por sustituciónde (ii) despejamos la variable “y” para luego reemplazarlo en (i).

3x - y = 3 → 3x - 3 = y .... a

2x + 3 y = 132x + 3(3x - 3) = 132x + 9x - 9 = 13 → ∴ x = 2

Con “x” conocido, reemplazamos en a y hallamos “y”.

y = 3

Por igualaciónde(i) y (ii) despejamos “x” o “y”, en este caso vamos a despejar “y”.

de i: 2x + 3y = 13 → 3y = 13 - 2x

→ y =

de ii: 3x - y = 3 → 3x - 3 = y ... B

igualando a y B :

13 - 2x3

... a

13 - 2x3

= 3x - 3 → 13 - 2x = 9x - 9 22 = 11x ∴ x = 2

Reemplazando en a o B obtenemos:

y = 3

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Resuelve: 3(x - 7) + 5 = 2x + 4

Primero desaparecemos los paréntesis, multiplicando 3 por (x - 7).

transponiendo términos:3x - 2x = 4 - 5 + 21 x = 20

3x - 21 + 5 = 2x + 4

Resolución:

nicolás oresme (1323 - 1382) fue probablemente el primero en usar el signo + para la suma en su libro Algorismus proportionum, escrito supuestamente entre 1356 y 1361. anteriormente “+” se escribía “et” del latín “y”. después también se uso p (plus).

+


2. Resuelve: (x + 3)2 + 7 = (x + 6) (x + 4)

Primero desaparecemos los paréntesis, aplicando productos notables.

(x + 3)2 + 7 = (x + 6) (x + 4)

Se tiene:

x2 + 6x + 9 + 7= x2 + 10x + 24

transponiendo y agrupando términos:9 + 7 - 24 = x2 - x2 - 6x + 10x

Reduciendo: -8 = 4xluego: -2 = x

Observación: nota que se procura tener a la incógnita con coeficiente positivo.

3. Resuelve: 10x + 2x + 3(x + 8) - 30 = 0

Efectuando el paréntesis:

10x + 2x + 3x + 24 - 30 = 0

15 x - 6 = 0

Resolución:

Resolución:

despejando “x”: 15x = 6

→ x = 615

4. Resuelve:

2 4 9 12 21 2 9 6 21 1 9 3 31 1 3 1 31 1 1 1

3x2

+ 14 =

13x9 +

512

MCM = 2 x 2 x 3 x 3MCM = 36

18 (3x) + 9(1) = 4(13x) + 3(5) 54x + 9 = 52x + 15 54x - 52x = 15 - 9 2x = 6 x = 3

5. Resuelve:

x = 4x2 - 5x + 50 - x

x + x = 4x2 - 5x + 50

2x = 4x2 - 5x + 50

Elevando al cuadrado:

(2x)2 = 4x2 - 5x + 50 4x2 = 4x2 - 5x + 50 0 = -5x + 50

x = 505

x = 10

Resolución:

Resolución:


Resolviendo en claseResolviendo en clase

Para ReforzarPara Reforzar

6) Resuelve: 5(x - 2) + 3x = 2(3x + 4)

Rpta: _____

5) Indica el valor que verifica: 3(x - 1) + 4(x + 2) = 26

Rpta: _____

1) Halla "x": 3x - 1 = x + 9

Rpta: _____

2) Halla "x": 5(x - 1) + 3(x + 2) = 7(x + 1)

Rpta: _____

1) Halla "x": 2x + 3 = x + 5

2) Halla "x": 3(2x + 14) + 20 = 6(3x - 5)- 28

3) Halla "x":2x + 6

4= 3x - 7

5

6) Halla “x” en la ecuación: 3(x - 1) - 4(5 - x)= 2(6 + x)

5) Resuelve: 3(x + 1) + 4(x - 2) = 16

4) Halla "x":3 x2

- x5 =

x10

+ 12

3) Resuelve:

Rpta: _____

4(x - 2)5 =

2(5 - x)2

4) Resuelve:

Rpta: _____

x - 12

+ x - 24 = 2

Rpta: _____Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____


PROBLEMAS PARA CLASE N° 3

Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2

Para el alumno:Para el alumno:Para el profesor:Para el profesor:

Resuelve:

a) 12 b) -8 c) 8d) 9 e) -6

Resolución: Resolución:

Resolución:Resolución:

Resuelve: (-x -4) - (4x - 2 + 3) = -(6x - 8) + (2x - 4 + 3)

a) 7 b) 5 c) -12d) 8 e) -5

Resuelve: 5(x + 8) + 4(x - 6) = 71

a) 6 1/9 b) 5 3/7 c) 5 2/9d) 6 2/3 e) 6

-2x - 1

3=3x +

x + 1324

5(x + 1)8

Resuelve:

a) -12 b) 8 c) 15d) -7 e) 9

12

+ x - x6 =

13

+ 16 - 2 x9


Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4 Si: a + b = 12 b + c = 8 c + a = 6 Calcular: "a"

a) 3 b) 4 c) 7d) 5 e) 6


Si x + y = 12 y + z = 8 x + z = 10 Calcula x + y + z

a) 15 b) 12 c) 14d) 11 e) 13

Resolución:

Resolución:

Resuelve: 3x + 2y = 18 x - y = -4

a) x = 2 b) x = 4 c) x = 2 y = 2 y = 3 y = 6

b) x = 3 e) x = 5 y = 6 y = 6

Calcula a + b, si: 3a - 8 = -b a = b + 4

a) -1 b) 3 c) 0d) 4 e) 2


5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

Resolución:

Resolución:


Si: a - b + c = 5 b - c + d = 7 c - d - e = 4 a + b + d = 9 e - a + f = 2 , Calcula: 2(a + b + c + d + f).

a) 27 b) 26 c) 54d) -28 e) -14

Si x = 2y 2y = 3z x + y + z = 11, halla x + 2 y + 2z .

a) 32 b) 18 c) 26d) 29 e) 27

Calcula "x" en: 5x = 4y x(x + 2y) = (9 + y) (9 - y)

a) 3 b) 5 c) 3.5d) 6 e) 4

Si: 4 y = 9 x y - x = 40 , calcula "x".

a) 24 b) 48 c) 32d) 56 e) 40


Clave:Clave:

Clave:Clave:

7

Sello y Firma del Profesor

7

8 8

NOTA

Calcule el valor de "a" en:

a) mn

b) mn 1−

c) mn 1+

d) m nm n

+−

e) mn

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Indica el valor de “x” que verifica las siguientes igualdades:

a) 12 b) -8 c) 8d) 9 e) -6

-x2

x4

x = - 9

Resuelve:

a) 10 b) 5 c) 13d) -6 e) 12

x + 52x - 2

= 34

Calcula el valor de "x" en:

a) a b) ab c) bd) a - b e) a+b

x +1x - 1 =

a + b + 1a + b -1

1 1

1 1

− − +=

+ + −a m na m n

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