21.32 La carga puntual q1=-5.0 nC está en el origen y la carga puntual q2=3 nCestá sobre el eje de las x en x = 3 cm. El punto P está en y=4 cm. a) Calcule los campos eléctricos debidos a las dos cargas en P. b) Obtenga el campo eléctrico resultante en P, expresado en forma de vectores unitarios.

q1 q2

- +1̂r

2̂r

2rr

1rr

myxr 05.022

2 =+=r

myr 04.01 ==r

jiji

r

rr

jj

r

rr

ˆ8.0ˆ6.005.0

ˆ04.0ˆ03.0ˆ

ˆ04.0

ˆ04.0ˆ

2

22

1

11

+−=+−

==

===

r

r

r

r

jC

�j

m

CC�mr

r

qE ˆ1081.2ˆ

)04.0(

)105()/109.8(ˆ

4

1 4

2

9229

12

1

1

0

1 −=−

==−

πε

r

P

E1

jC

�i

C

�

jim

CC�mr

r

qE

ˆ)1064.8(ˆ)1048.6(

)ˆ8.0ˆ6.0()05.0(

)103()/109.8(ˆ

4

1

33

2

9229

22

2

2

0

2

+−=

=+−==−

πε

r

q1 q2

- +

E1

E2

1̂r2̂r

2rr

1rr

jC

�

C

�i

C

�EE ˆ)1064.81081.2(ˆ)1048.6( 333

21 +−+−=+rr

Ex Eyx

y

yxP

E

E

EEE

=

+=

)tan(

22

ϕ

Ep

CAMPO DE UNA LINEA CON CARGA UNIFORME

P

dQdy

y

x

r

α

a

-a

Una carga eléctrica Q está distribuida uniformemente a lo largo de una línea de longitud 2a, que yace sobre el eje “y”entre y=a y y=-a. Halle el campo eléctrico en el punto P situado sobre el eje “x” a una distancia x del origen.

Se divide la carga lineal en segmentos infinitesimales, cada uno de los cuales actúa como carga puntual. Consideremos el elemento dQ, de longitud dy.

La densidad lineal de carga λ es: a

Q

2=λ

La carga dQ en un segmento de longitud dy es:

a

QdydydQ

2== λ

22

22

)cos(

)sin(

yx

x

r

x

yx

y

r

y

+==

+==

α

α

22 yxr +=

P

dQdy

y

x

r

α

a

-a

dE

dEx

dEy

La magnitud del campo dE en P debido al segmento dQ es:

)(

1

24

1

1

24

1

4

1

22

0

2

0

2

0

yxa

Qdy

ra

Qdy

r

dQdE

+=

===

πε

πεπε

dQ

r2

Representemos este campo en términos de sus componentes dEx y dEy:

2/322

02222

0 )(24)(24)cos(

yxa

xdyQ

yx

x

yxa

dyQdEdEx +

=++

==πεπε

α

2/322

02222

0 )(24)(24)sin(

yxa

ydyQ

yx

y

yxa

dyQdEdEy +

=++

==πεπε

α

22 yxr +=

22

22

)cos(

)sin(

yx

x

r

x

yx

y

r

y

+==

+==

α

α

P

dQdy

y

x

r

α

a

-a

dE

dEx

dEy

Para hallar las componentes Ex y Eydel campo total, se integran estas expresiones de y=-a hasta y=a.

∫− +

=a

a

xyx

dy

a

QxE

2/322

0 )(24

1

πε

Se integra en y, la x se considera como una constante

2222222222222/322

2111

)( ax

a

xax

a

xax

a

xyx

y

xyx

dya

a

a

a+

=+

−−

+=

+=

+∫− −

220

222

0

2/322

0

1

4

2

24

1

)(24

1

axx

Q

ax

a

xa

Qx

yx

dy

a

QxE

a

a

x

+=

+=

+= ∫

− πεπεπε

P

dQdy

y

x

r

α

a

-a

dE

dEx

dEy

Si consideramos el segmento dQ’en la parte negativa se ve que la componente dEy es igual y opuesta, así que todas las componentes en y de todos los elementos se cancelan.

dQ’

Ya sabemos que Ey = 0, efectivamente:

∫− +

=a

a

yyx

ydy

a

QE

2/322

0 )(24

1

πε

∫− −

=+

−−

+

−=

+

−=

+

a

a

a

aaxaxyxyx

ydy0

111

)( 2222222/322

xpy EEErr

=⇒= 0hacia la derecha

En el límite x >> a la expresión del campo eléctrico se reduce a la expresión del campo eléctrico de una carga puntual:

axx

Q

axx

QEx >>≈

+=

2

022

0

1

4)(

1

4 πεπε

LINEAS DE CAMPO ELECTRICO

El campo eléctrico no se puede ver directamente. Las líneas de campo eléctrico pueden ser de gran ayuda para visualizar los campos eléctricos.

Una línea de campo eléctrico es una curva imaginaria trazada a través de una región del espacio, de modo tal que su tangente en cualquier punto tenga la dirección del vector campo eléctrico en ese punto.

Carga puntual Cargas opuestas Cargas iguales

Ejemplo de distribución de las líneas de campo eléctrico:

ElectricField 2.01

http://www.physics-software.com/software.html

DIPOLO ELECTRICO

+

-

d

-q

q

p

Un dipolo eléctrico es un par de cargas puntuales de igual magnitud y signos opuestos separados por una distancia d.

Se define “momento dipolar eléctrico p” el vector con la dirección de la línea que une las dos cargas, sentido hacia la carga positiva y magnitud el producto qd. Las unidades son Cm.

La molécula del agua es un dipolo eléctrico, con p=6.13 10-13 Cm.

qdp =r

FUERZA Y MOMENTO DE TORSION EN UN DIPOLO ELECTRICO

+

-

d

-q

q

p

E

φdsinφ

F-=-qE

F+=qEColoquemos un dipolo eléctrico en un campo eléctrico externo uniforme E.

Las fuerzas F+ y F- sobre las dos cargas tienen la misma magnitud y dirección opuesta y suman 0. La fuerza eléctrica neta sobre un dipolo eléctrico en un campo eléctrico externo uniforme es 0.

Las dos fuerzas no actúan a lo largo de la misma recta, sus momentos de torsión no suman 0.

Con respecto al centro del dipolo, las magnitudes de los momentos de torsión son:

)sin(2)()sin(

2

)sin(2)()sin(

2

φφτ

φφτ

dqE

dF

dqE

dF

==

==

−−

++Ambos tienden a hacer girar el dipolo en el sentido del reloj y tienen la misma magnitud. La magnitude del momento neto es la suma:

)sin()sin()( φφτττ pEdqE ==+= −+

En forma vectorial:

)sin(φτ

τ

pE

Ep

=

×=r

rrr

El momento de torsión es máximo cuando p y E son perpendiculares, y es cero cuando son paralelos o antiparalelos. El momento de torsión siempre tiende a hacer girar p a modo de alinearlo con E.

La posición φ=0 es una posición de equilibrio estable, y la posición φ=π es una posición de equilibrio inestable.

+-p

E

Equilibrio estable + -p

E

Equilibrio inestable

(producto vectorial)

Cuando un dipolo cambia dirección en un campo eléctrico, el momento de torsión del campo eléctrico realiza trabajo (dW) sobre él, con un cambio correspondiente de energía potencial.

ENERGIA POTENCIAL DE UN DIPOLO EN CAMPO ELECTRICO

φφφτ dpEddW )sin(−==El momento de torsión es en la dirección en que φ disminuye, se pone el signo negativo

En un desplazamiento finito de φ1 a φ2, el trabajo realizado sobre el dipolo es:

)()cos()cos()sin()( 1212

2

1

UUpEpEdpEW −−=−=−= ∫ φφφφφ

φ

El trabajo es el negativo del cambio de energía potencial U, la energía potencial U del sistema se define como:

EppEUrr

⋅−=−= )cos()( φφ (producto escalar)

El valor mínimo de U corresponde a la posición de equilibrio estable (p y E paralelos)

El valor máximo de U corresponde a la posición de equilibrio inestable (p y E antiparalelos)