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Una barra de plástico de longitud L=2.5 cm está uniformemente cargada con una carga total Qtot=5 nC. Calcule la densidad de carga lineal.
DENSIDADES UNIFORMES:
m
nC
m
C
m
C
L
Q
LdldlQdl
dq
tot
tot
20010200025.0
105 99
====
====
−−
∫ ∫
λ
λλλλ
Una superficie circular con radio R=0.5 cm está uniformemente cargada con densidad de carga superficial σ = 50 nC/m2. Calcule la carga total Qtot.
CmmCRQ
SdSdSQdS
dq
tot
tot
92292 1000125.0)005.0()/1050( −− ==⋅=
==== ∫ ∫ππσ
σσσσ
Un cubo de lado a=0.5 m tiene una densidad de carga volumétrica uniforme ρ = 5 nC/m3. Calcule la carga total Qtot del cubo.
CmmCaQ
VdVdVQdV
dq
tot
tot
93393 10625.0)5.0)(/105( −− ===
==== ∫ ∫ρ
ρρρρ
DENSIDADES NO UNIFORMES:
Una esfera de radio R = 0.8 m está cargada con una densidad de carga volumétrica no uniforme:
krr =)(ρ 0 < r < R k = 10-8 C/m4
Calcule la carga total Qtot de la esfera.
R ∫=⇒= dVrQrdV
dqtot )()( ρρ
drrdV 24π=
∫ ∫∫ ==== drrkrdrrrdVrQ
RR
tot )4)(()4)(()(0
2
0
2 ππρρ
CmmCR
krkdrrk
RR
84484
0
4
0
3 1028.1)8.0)(/10(4
44
44 −− ==
==∫ ππππ
∫ ∫ === 3
0
2
3
44 RdrrdVV
R
ππ
Calcule la carga total de la esfera en el caso de una densidad de carga no uniforme:
<<<<
=RrRrk
Rrkrr
2//
2/0)(ρ
+=
−+
=+=+
=+===
∫ ∫
∫ ∫∫∫
16
24
824
644
24
444
4
)4()4)(()4)(()(
24224
2/
02/2/
22/
0
43
2/
2
2/
0
2
0
2
RRk
RRk
Rk
rk
rkrdrkdrr
k
drrr
kdrrkrdrrrdVrQ
R
R
R
R
R
R
R
R
RR
tot
πππ
ππππ
πππρρ
21.45 En un sistema de coordinadas rectangulares se coloca una carga positiva puntual q = 6 10-9 C en el punto x = +0.15 m, y=0, y una carga idéntica en x =-0.150 m, y=0. Halle las componentes x y y, así como la magnitud y la dirección del campo eléctrico en los puntos siguientes:
a) el origen; b) x=0.3 m, y=0; c) x=0.15 m, y = -0.4 m; d) x=0, y=0.2 m.
q1 q2a
b
c
d
+
-
q1 q2P
E1E2
a) En el origen:
ir
qE
m
C
r
qE
ˆ4
1
)15.0(
106
4
1
4
1
2
1
1
0
1
2
9
0
2
1
1
0
1
πε
πεπε
=
==−
r
r
)ˆ(4
1
)15.0(
106
4
1
4
1
2
2
2
0
2
2
9
0
2
2
2
0
2
ir
qE
m
C
r
qE
−=
==−
πε
πεπεr
r
0=pEr
b) x=0.3 m y=0
C
�
C
�
m
CC�m
m
CC�m
r
q
r
qE
iEEiEiEE
p
p
6.2666)24006.266(
)15.0(
106)/109.8(
)45.0(
106)/109.8(
4
1
4
1
ˆ)(ˆˆ
2
9229
2
9229
2
2
2
0
2
1
1
0
2121
=+
=+=
=+=
+=+=
−−
πεπε
r
r
q1 q2 E1
E2r1=0.45 m
r2=0.15 m
ir
qE
m
C
r
qE
ˆ4
1
)45.0(
106
4
1
4
1
2
1
1
0
1
2
9
0
2
1
1
0
1
πε
πεπε
=
==−
r
r
ir
qE
m
C
r
qE
ˆ4
1
)15.0(
106
4
1
4
1
2
2
2
0
2
2
9
0
2
2
2
0
2
πε
πεπε
=
==−
r
r
hacia la derecha
c) x=0.15 m y=-0.4 m
q1 q2
E2 E1
E1x
E1y
r2=0.4 m
a=0.3 m
r1=0.5 m
myar 5.022
1 =+=
α
5.0
4.0)sin(
5.0
3.0)cos(
11
====r
y
r
aαα
iC
�i
r
qiEE
C
�
m
CC�m
r
qEE
xx
x
ˆ6.129ˆ)cos(4
1ˆ
6.1295.0
3.0
)5.0(
106)/109.8()cos(
4
1)cos(
2
1
1
0
11
2
9229
2
1
1
0
11
===
====−
απε
απε
α
rr
rr
jC
�j
r
qjEE
C
�
m
CC�m
r
qEE
yy
y
ˆ8.172)ˆ)(sin(4
1)ˆ(
8.1725.0
4.0
)5.0(
106)/109.8()sin(
4
1)sin(
2
1
1
0
11
2
9229
2
1
1
0
11
−=−=−=
====−
απε
απε
α
rr
rr
y
jC
�j
r
qE
C
�
m
C
C
�m
r
qE
ˆ5.337ˆ4
1
5.337)4.0(
106)109.8(
4
1
2
20
2
2
9
2
29
2
2
2
0
2
−=−=
==
==
−
πε
πε
r
r
hacia abajo
iC
�EEE xxx
ˆ6.12921 =+=rrr
jC
�j
C
�EEE yyy
ˆ3.510ˆ)8.1725.337(21 −=−−=+=rrr
q1 q2a=0.3 m
r1=0.5 m
C
�
C
�EEE yxtot 5.526)3.510()6.129( 2222 =−+=+=rrr
o74.75
6.129
3.510)(
−=
−==
ϕ
ϕx
y
E
Etg
Etot
Ex
Eyφ
q1 q2
E1E2
E1xE2x
E1yE2y
d) x = 0, y=0.2 m
xx EE 21
rr−=
α
x=0.15 m
y=0.2 mr1 r2
mm
yxrr
25.0)2.0()15.0( 22
22
21
=+=
=+==
25.0
15.0)cos(
1
==r
xα
25.0
2.0)sin(
1
==r
yα
jC
�j
m
C
C
�mj
r
qEEE
jEEjEE
r
qE
r
qE
yyy
yyyy
yy
ˆ1367ˆ25.0
2.0
)25.0(
106)109.8(2ˆ)sin(
4
12
ˆˆ
)sin(4
1)sin(
4
1
2
9
2
29
2
1
1
0
21
2211
2
1
2
0
22
1
1
0
1
===+=
==
===
−
απε
απε
απε
rrr
rrrr
rr
hacia arriba
yP EErr
=
q1 = - 6 nC q2 = + 6 nC
0.15 m0.15 m
0.2 m
0.3 m
p1
p3
p2
Una carga q1= -6 nC está en
x=-0.15m, y=0 y una carga q2=6 nCestá en x=0.15m, y=0.
Halle el campo eléctrico debido a las dos cargas en los puntos:
P1 x=0, y=0
P2 x=0 m, y=0.2
(P3 x=0.3, y=0)
q1 = - 6 nCq2 = + 6 nC
0.15 m 0.15 m
E1
E2
iC
�i
r
qE
m
C
r
qEE
Pˆ4800)ˆ(
4
12
)15.0(
106
4
1
4
1
2
1
1
0
2
9
0
2
1
1
0
21
−=−=
===−
πε
πεπεr
rr
q1 q2
r1 r2
mm
yxrr
25.0)2.0()15.0( 22
22
21
=+=
=+==
E1
E2
E1x
E2x
E1y
E2y
yy EE 21
rr−=
iC
�i
r
qE
m
C
r
qEE
P
xx
ˆ1037)ˆ(4
12
)25.0(
106
4
1
4
1
2
1
1
0
2
9
0
2
1
1
0
21
−=−=
===−
πε
πεπεr
rr
q1 q2
E2
E1
r2=0.15 m
r1=0.45 mi
C
�i
r
qE
m
C
r
qE
ˆ6.266)ˆ(4
1
)45.0(
106
4
1
4
1
2
1
1
0
1
2
9
0
2
1
1
0
1
−=−=
==−
πε
πεπεr
r
iC
�i
r
qE
m
C
r
qE
ˆ2400ˆ4
1
)15.0(
106
4
1
4
1
2
2
2
0
2
2
9
0
2
2
2
0
2
==
==−
πε
πεπεr
r
iC
�i
C
�Ep
ˆ3.2133ˆ)6.2662400( =−=r