20.12 Un congelador tiene un coeficiente de rendimiento de 2.4 y debe convertir 1.8 kg de agua a 25oC en 1.8kg de hielo a -5oC en una hora.

a) ¿Cuánto calor es necesario extraer de esa agua?

b) ¿Cuánta energía eléctrica consume el congelador en esa hora?

c) ¿Cuánto calor de desecho fluye al cuarto donde está el congelador?

a)

J

kgKJkg

kgKJkgkgJkg

TmcTmcmLQ aahh

5

3

109.8

)05)(/2100)(8.1(

)250)(/4186)(8.1()/10334)(8.1(

−=

=−−+

+−+−=

=∆+∆+−=

b) JJ

K

QW 5

5

1037.34.2

109.8===

c)

Negativo respecto al sistema del agua, pero corresponde al Qf positivo para el sistema del refrigerador

JJJWQQc555 1027.121037.3109.8 =+=+=

LA SEGUNDA LEY DE LA TERMODINÁMICA

La segunda ley de la termodinámica se expresa a través del “planteamiento de Kelvin” y del “planteamiento de Clausius”:

Planteamiento de Kelvin

Es imposible que un sistema efectúe un proceso en el que absorba calor de un depósito de temperatura uniforme y lo convierta totalmente en trabajo mecánico, terminando en el mismo estado en que inició.

Planteamiento de Clausius

Es imposible que un proceso tenga como único resultado la transferencia de calor de un cuerpo más frío a uno más caliente.

(Eficiencia de una máquina térmica)

(Flujo de calor)

Deposito caliente Tc

Deposito frío Tf

Qc

Qf

W

Qf

Qc

Deposito caliente Tc

Deposito frío Tf

WQc

equivale a

X XX

Suponemos que es posible violar el planteamiento de Clausius y construir un refrigerador sin trabajo. Si lo usamos junto con una máquina de calor, bombeando el calor rechazado por la máquina de vuelta al depósito caliente. Esta máquina compuesta violaría también el planteamiento de Kelvin

Deposito caliente Tc

Deposito frío Tf

W

Qf

Qc

Deposito caliente Tc

Deposito frío Tf

equivale a

Si pudiéramos crear una máquina térmica con eficiencia térmica de 100%, violando el planteamiento de Kelvin, podríamos operarla tomando calor del depósito caliente y usar el trabajo producido para operar un refrigerador que bombee calor del depósito frío al caliente. Este dispositivo violaría el planteamiento de Clausius.

Qf

QcX X

MOTORES DE COMBUSTIÓN INTERNA

El motor a gasolina es un ejemplo de máquina térmica. Una mezcla de aire y gasolina fluye al interior de un cilindro por una válvula de admisión abierta mientras el pistón desciende, aumentando el volumen del cilindro desde un mínimo V hasta un máximo de rV (r=razón de compresión, suele ser entre 8 y 10). Al final de ésta “carrera de admisión” la válvula se cierra y la mezcla se comprime a un volumen V (proceso adiabático, “carrera de compresión”). Luego la bujía enciende la mezcla y el gas caliente se expande empujando el pistón y efectuando trabajo (“carrera de potencia”). Se abre la válvula y se expulsan los productos de combustión. (“carrera de escape”).

V

p

W

ab

c

dQc

Qf

Ciclo Otto

(modelo idealizado)a b: Carrera de compresión

(compresión adiabática)

b c: Encendido de combustible

(calentamiento a V constantec d: Carrera de potencia

(compresión adiabática)d a: Expulsión de calor

(enfriamiento a V constante)

1

11

−−= γr

e

EL CICLO DIESEL

La operación del motor diesel es similar a la del motor a gasolina. La diferencia más importante es que no hay combustible en el cilindro al principio de la carrera de compresión. Un poco antes de iniciar la carrera de potencia, los inyectores comienzan a inyectar combustible directamente al cilindro, con la rapidez justa para mantener la presión casi constante durante la primera parte de la carrera de potencia. A causa de la elevada temperatura desarrollada durante la compresión adiabática, el combustible se enciende espontáneamente al inyectarse.

Ciclo Diesel

(modelo idealizado)p

W

a

b c

d

Qc

Qf

a b: Carrera de compresión

(compresión adiabática)b c: Encendido de combustible

(calentamiento a p constante)

c d: Carrera de potencia

(compresión adiabática)

d a: Expulsión de calor

(enfriamiento a V constante)

EL CICLO DE CARNOT

Según la segunda ley, ninguna máquina de calor puede tener eficiencia de 100%. ¿Qué eficiencia puede tener una máquina, dados dos depósitos de calor a temperaturas TC y TF? El ingeniero francés S. Carnot contestó esta pregunta en 1824 inventando una máquina de calor idealizada hipotética que tiene la máxima eficiencia posible congruente con la segunda ley: el ciclo de Carnot.

V

Pa

b

cd

El ciclo de Carnot consiste en dos procesos adiabáticos y dos isotérmicos.Qc

Qf

Tc

Tf

ab: El gas se expande isotérmicamente a temperatura Tc, absorbiendo calor Qc.

bc: El gas se expande adiabáticamentehasta que su temperatura baje a Tf.

da: El gas se comprime adiabáticamentehasta su estado inicial a temperatura baje a Tc.

ab: El gas se comprime isotérmicamente a temperatura Tf, expulsando calor Qf.

La energía interna U de un gas ideal depende sólo de la temperatura y por tanto es constante en cualquier proceso isotérmico.

Expansión isotérmica ab:

a

bCabc

abCab

V

VnRTWQ

WQU

ln

0

==

=−=∆

Compresión isotérmica cd:

d

cF

c

dFcdF

cdFcd

V

VnRT

V

VnRTWQ

WQU

lnln

0

−===

=−=∆

)/ln(

)/ln(

ab

ac

C

F

C

F

VV

VV

T

T

Q

Q−=

Expansión adiabática bc: 11 −− = γγcFbC VTVT

Compresión adiabática da:11 −− = γγ

dFaC VTVT

11 −−

=

γγ

d

c

a

b

V

V

V

V

C

F

C

F

C

F

C

F

T

T

Q

Q

T

T

Q

Q=−=

C

FC

C

F

T

TT

T

Te

−=−=1

Eficiencia de una máquina de Carnot

Una máquina de Carnot toma 2000 J de calor de un depósito a 500 K, realiza trabajo, y desecha calor a un depósito a 350K. ¿Cuánto trabajo efectúa, cuánto calor expulsa y qué eficiencia tiene?

JK

KJ

T

TQQ

T

T

Q

Q

C

FCF

C

F

C

F 1400500

350)2000( −=−=−=−=

Por la primera ley, el trabajo W efectuado es:

JJJQQW FC 600)1400(2000 =−+=+=

La eficiencia térmica es:

%3030.0500

35011 ==−=−=

K

K

T

Te

C

F

REFRIGERADOR DE CARNOT

Dado que el ciclo de Carnot es reversible, todo el ciclo podría revertirse convirtiendo la máquina en refrigerador. En este caso el coeficiente de rendimiento es:

FC

F

TT

TK

−=

CICLO DE CARNOT Y SEGUNDA LEY

Se puede demostrar que ninguna máquina puede ser más eficiente que una máquina de Carnot que opera entre las mismas dos temperaturas.

Esto es otro planteamiento equivalente de la segunda ley de la termodinámica y de él se sigue directamente que todas las máquinas de Carnot que operan entre dos temperaturas dadas tienen la misma eficiencia, sea cual sea la naturaleza de la sustancia de trabajo (no sólo para el gas ideal).

ENTROPÍA

La entropía es un medida cuantitativa del desorden. Consideremos una expansión isotérmica infinitesimal del gas ideal. Agregamos calor dQ y dejamos que el gas se expanda apenas lo suficiente para mantener constante la temperatura. Dado que la energía interna sólo depende de su temperatura, U también es constante. Por la primera ley, el trabajo dW efectuado por el gas es igual al calor dQ agregado:

nRT

dQ

V

dV

dVV

nRTpdVdWdQ

=

===

nRTpV =El gas está en un estado más desordenado después de la expansión porque las moléculas se mueven en un volumen mayor y tienen más aleatoriedad de posición. El cambio dV/V de volumen es una medida del aumento del desorden y es proporcional a dQ/T. Se define cambio infinitesimal dS de entropía:

T

dQdS = Proceso infinitesimal

reversible

Si se agrega un calor total Q durante un proceso isotérmico reversible a temperatura absoluta T, el cambio de entropía ∆S=S2-S1 está dado por:

T

QS =∆ Proceso isotérmico

reversibleUnidades de S : J/K

Una temperatura más alta implica mayor aleatoriedad de movimiento. Si la sustancia inicialmente está fría, con poco movimiento molecular, la adición de Q causa un aumento fraccionario considerable en el movimiento y la aleatoriedad molecular. Pero si la sustancia ya está caliente, la misma cantidad de calor aumenta relativamente poco el mayor movimiento molecular que ya existe. Así el cociente Q/T es una caracterización apropiada del aumento de desorden cuando hay un flujo de calor hacia un sistema.

La definición de cambio de entropía se puede generalizar para incluir cualquier proceso reversible que lleva de un estado al otro, sea isotérmico o no:

∫=∆2

1 T

dQS El cambio de entropía sólo depende del estado

inicial y del estado final, no del camino.

Un kilogramo de hielo a 0oC se derrite y se convierte en agua a 0oC. Calcule el cambio de entropía, suponiendo que la fusión es reversible. El calor de fusión del agua es Lf=3.34 105 J/kg.

KJK

J

T

QSSS /1022.1

273

1034.3 35

12 ===−=∆

La fusión se efectúa a una temperatura constante, así que se trata de un proceso isotérmico reversible:

PROCESO ISOTÉRMICO REVERSIBLE

Un kilogramo de agua a 0oC se calienta a 100oC. Calcule su cambio de entropía.

KJkgKJkg

T

Tcm

T

dTcm

T

dQS

dTcmdQ

aaaa

aa

/103.1)273

373)(ln/4186)(1(

ln

3

2

1 1

2

2

1

==

====∆

=

∫∫

PROCESO REVERSIBLE CON CAMBIO DE T

PROCESO ADIABÁTICO REVERSIBLE:

En un proceso adiabático reversible el calor dQ=0 (no entra ni sale calor del sistema), entonces ∆S=0, y la entropía es constante.

Una caja térmicamente aislada está dividida en dos compartimientos, cada uno con volumen V, por una membrana. Inicialmente, un compartimiento contiene n moles de gas ideal a temperatura T, y el otro está evacuado. Se rompe la membrana y el gas se expande hasta llenar los dos compartimientos. Calcule el cambio de entropía en este proceso de expansión libre.

En este proceso Q=0, W=0, ∆U=0. Podríamos pensar que el cambio de entropía es cero porque Q=0. Pero esta expansión no es un proceso reversible y sí hay un cambio de entropía.

PROCESO IRREVERSIBLE

Vimos que ∆S sólo depende del estado inicial y final y no del tipo de proceso. Podemos inventar un proceso reversible que tenga los mismos extremos y determinar el cambio de entropía para este proceso y así determinar ∆S para el proceso original. Podemos entonces considerar una expansión isotérmica de V a 2V a temperatura T:

2ln

)2ln(2

ln

nRT

QS

nRTV

VnRTQW

==∆

===

Para la máquina de Carnot, calcule el cambio de entropía total durante un ciclo, con Tc=500 K, Qc=2000J, Qf=-1400J y Tf=350K.

El ciclo de Carnot se compone de dos procesos adiabáticos y dos isotérmicos. En los procesos adiabáticos no hay cambio de entropía.

V

Pa

b

cd

Qc

Qf

Tc

KJK

J

T

QS

C

CC /4

500

2000===∆Proceso ab:

Proceso cd: KJK

J

T

QS

F

FF /4

350

1400−=

−==∆

0)/4(/4 =−+=∆ KJKJSTOT

El cambio de entropía del sistema reversible en un proceso cíclico de

Carnot es 0.

ENTROPÍA Y PROCESOS CÍCLICOS

En procesos cíclicos reversibles de una máquina de Carnot con cualquier sustancia de trabajo (gas ideal u otra) el cambio de entropía del sistema es cero. Este resultado puede generalizarse para cualquier proceso cíclico reversible.

∫ = 0T

dQ El cambio de entropía total en cualquier ciclo reversible es 0

PROCESOS IRREVERSIBLES:

Todos los procesos irreversibles implican un AUMENTO de entropía. La entropía no se conserva. La entropía de un sistema aislado puede cambiar, pero nunca puede disminuir.

Si se incluyen todos los sistemas que participan en un proceso (entorno + sistema) la entropía se mantiene constante o bien aumenta. No puede haber un proceso en que la entropía total disminuya.

Suponga que 1 kg de agua a 100oC se coloca en contacto térmico con 1 kg de agua a 0oC. Calcule el cambio total de entropía. Considere que el calor específico del agua (c=4186 J/kg K) es constante en este intervalo de temperaturas.

La temperatura final del agua es 50oC (=323 K). El cambio de entropía del agua caliente es:

PROCESO IRREVERSIBLE

KJK

KkgKJ

T

dTkgKJkg

T

dTmc

T

dQS

K

K

T

T

T

T

fr

/705273

323ln)/4186(

)/4186)(1(

323

273

2

1

2

1

==

====∆ ∫∫∫

Para el agua fría:

KJK

KkgKJ

T

dTkgKJkg

T

dTmc

T

dQS

K

K

T

T

T

T

cal

/603373

323ln)/4186(

)/4186)(1(

323

373

2

1

2

1

−==

====∆ ∫∫∫

KJKJKJSSS frcalTOT /102/705)/603( =+−=∆+∆=∆

20.13 Una máquina de Carnot cuyo depósito de alta temperatura está a 620K recibe 550 J de calor a esta temperatura en cada ciclo y cede 335 J al depósito de baja temperatura.

a) ¿Cuánto trabajo mecánico realiza la máquina en cada ciclo?

b) ¿A qué temperatura está el depósito frío?

c) Calcule la eficiencia térmica de la máquina.

JJJQQW FC 215)335(550 =−+=+=a)

b) KJ

JK

Q

QTT

T

T

Q

Q

C

FCF

C

F

C

F 6.377550

335)620( ===⇒=

c) %3939.0620

6.37711 ==−=−=

K

K

T

Te

C

F

20.15 Una máquina para hacer hielo opera en un ciclo de Carnot; toma calor de agua a 0oC y desecha calor a un cuarto a 24oC. Suponga que 85 kg de agua a 0oC se convierten en hielo a 0oC.

a) ¿Cuánto calor se desecha al cuarto?

b) ¿Cuánta energía debe aportarse al aparato?

JkgJkgmLQF33 1028390)/10334)(85( =−=−=

JJT

TQQ

F

CFC

53 10308273

297)1028390( ===

JQQW CF

6105.2=−=

20.24 Un estudiante agrega calor a 0.35 kg de hielo a 0oC hasta derretirlo todo.

a) Calcule el cambio de entropía del agua.

b) La fuente de calor es un cuerpo muy masivo que está a 25oC. Calcule el cambio de entropía de este cuerpo.

c) Determine el cambio de entropía total (agua + cuerpo).

JkgJkgmLQ 33 10117)/10334)(35.0( ===

KJK

J

T

QS /5.428

273

10117 3

===∆

a) Proceso isotérmico reversible

b) KJK

J

T

QS /6.392

298

10117 3

=−

=−

=∆

c) KJKJKJS /9.35/6.392/5.428 =−=∆

20.27 Calcule el cambio de entropía que tiene lugar cuando 1 kg de agua a 20oC se mezcla con 2 kg de agua a 80oC.

CTJT

JTJT

TkgKJkgTkgKJkg

TcmTcm

o

ff

ff

ff

6075348912558

0669769)4186(2837204186

0)80)(/4186)(2()20)(/4186)(1(

02211

==

=−+−

=−+−

=∆+∆

El cambio para el agua a 20oC es:

KJK

KkgKJkg

T

Tmc

T

dTmcS

i

f

T

T

f

i

/6.535293

333ln)/4186)(1(ln ====∆ ∫

KJK

KkgKJkg

T

Tmc

T

dTmcS

i

f

T

T

f

i

/15.244353

333ln)/4186)(1(ln −====∆ ∫

El cambio para el agua a 80oC es:

KJKJS /45.291/)15.2446.535( =−=∆

20.28 Tres moles de gas ideal sufren una compresión isotérmica reversible a 20oC, durante la cual se efectúa 1850 J de trabajo sobre el gas. Calcule el cambio de entropía del gas.

En una compresión reversible isotérmica, T=U=constante, y Q=W:

KJK

J

T

QS /31.6

293

1850===∆

20.32 Un bloque de cobre de 3.50 kg, inicialmente a 100oC, se pone en 0.8 kg de agua que está inicialmente a 0oC (cCu=390 J/kg K).

a) Calcule la temperatura final del sistema;

b) Calcule el cambio de entropía para el sistema (agua+cobre).

CT

TJT

TKgKJkgTkgKJkg

TcmTcm

o

f

ff

ff

aaaCuCuCu

9.28

08.33481365001365

0)0)(/4186)(8.0()100)(/390)(5.3(

0

=

=+−

=−+−

=∆+∆a)

b) KJkgKJkgT

dTcmS

f

i

T

T

CuCuCu /6.288373

9.301ln)/390)(5.3( −===∆ ∫

KJkgKJkgT

dTcmS

f

i

T

T

aaCu /337273

9.301ln)/4186)(8.0( ===∆ ∫

KJKJSTOT /4.48/)6.288337( =−=∆

20.37 Se está diseñando una máquina de Carnot que usa dos moles de CO2 como sustancia de trabajo. El gas puede tratarse como gas ideal. El CO2 debe tener una temperatura máxima de 527oC y una presión máxima de 5 atm. Con un aporte de 400 J por ciclo, se desea obtener 300 J de trabajo útil.

a) Calcule la temperatura del depósito frío;

b) ¿Durante cuántos ciclos debe operar esta máquina para derretir totalmente un bloque de hielo con masa de 10 kg que inicialmente estaba a 0oC, empleando únicamente el calor expulsado por la máquina?

a)

CKJ

JT

T

T

Q

Q

JQWQ

QQW

JQJW

o

f

C

f

c

f

Cf

fC

C

73200)273527(400

100

100

400300

−==+=⇒=

−=−=

+=

==

b)

33400100

10334

10334)/10334)(10(

4

43

===⇒=

===

J

J

Q

QnnQQ

JkgJkgmLQ

f

f

20.40 Una máquina de calor opera con un ciclo abcd. La sustancia de trabajo es CO2 gaseoso, que puede tratarse como gas ideal. La temperatura máxima del gas durante el ciclo es de 1000 K. La presión y el volumen del gas en cada estado son pa=pd=2 105 Pa; pb=pc=6 105 Pa; Va=Vb=0.01 m3; Vc=Vd=0.03m3. Calcule:

a) El número de moles de CO2;

b) El suministro de calor en cada ciclo;

c) El calor desechado por ciclo;

d) El trabajo realizado por la máquina en cada ciclo;

e) La eficiencia térmica de la máquina.

16.2)1000)(/31.8(

)03.0)(106()

35

===⇒=KKmolJ

mPa

RT

VpnnRTVpa

c

ccccc

La temperatura máxima de 1000 K es en el punto c, donde p y V son máximos.