Fisica3 gravitacion cap92

Gravitación universal

9

A finales del siglo XVII la comunidad científica ya interpretaba los movimientos de los planetas de acuerdo al sistema heliocéntrico. Este considera al Sol en el centro del sistema y a los planetas girando, descri-biendo trayectorias casi circulares (elipses en realidad) a su alrededor. Incluso se conocían algunos satélites que orbitaban alrededor de Júpiter con trayectorias similares.

Los planetas y sus satélites no se mueven con MRU, por lo tanto, de acuerdo a la primera ley de Newton no están en equilibrio; la fuerza neta sobre ellos no es nula.

¿Qué características tienen estas fuerzas que mantienen a los cuerpos celestes en órbita?

Newton respondió a esta incógnita en su libro “Principia”.Planteó que entre dos cuerpos celestes (el Sol y la Tierra, por ejemplo)

existen fuerzas de atracción gravitatoria. Estas fuerzas evitan que la Tie-rra siga moviéndose en línea recta y “se escape” del sistema solar (fig. 1).

Las fuerzas gravitatorias entre dos planetas A y B,

FBA

y

FAB

forman un par acción y reacción. Cada fuerza actúa sobre un cuerpo diferente, tienen igual módulo y dirección, su sentido es opuesto (fig. 2).

El módulo de este par de fuerzas es directamente proporcional al producto de las masas de los cuerpos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. Veamos este último concepto con un poco más de detalle.

v

Fg

Fg

Fig. 1. La fuerza gravitatoria hace posible que la Tierra orbite alrededor del Sol. Si no existiera esta fuerza, la Tierra se move-ría con MRU, de acuerdo a la primera ley de Newton.

Planeta A Planeta B

m Md

FBA

FAB

Fig. 2. Fuerza de atracción gravitatoria entre A y B. Las fuerzas

FAB

y

FBA

tienen

igual módulo y dirección pero sentido opuesto. Son un par acción-reacción.

134 interacciones • fuerzas y energía / física 3º C.B.Capítulo 9 • GRAVITACIÓN UNIVERSAL

Relación fuerza gravitatoria – masa de los cuerpos

Supongamos dos planetas “A” y “B” separados una distancia “d”. Si sustituimos el planeta “A” por otro del doble de su masa, la fuerza de atracción entre ambos planetas aumentará también al doble (fig. 3).

Lo mismo sucede si sustituimos el planeta “B” por otro del doble de su masa (fig. 4).

Planeta A Planeta B

2F

2F

2m Md

Fig. 3. Si una masa aumenta al doble, las fuerzas gravitatorias aumentan el doble.

Planeta A Planeta B

m 2Md

2F

2F

Fig. 4. La fuerza gravitatoria aumenta in-dependientemente de cuál cuerpo au-mente su masa.

Esto sucede porque la fuerza de atracción gravitatoria es directamen-te proporcional a la masa de cada cuerpo, que es equivalente a decir que es directamente proporcional al producto de las masas de los cuerpos.

Relación fuerza gravitatoria – distancia entre los cuerpos

Si aumentamos al doble la distancia que separa los cuerpos, el mó-dulo de la fuerza gravitatoria se reduce a la cuarta parte. Si aumentamos al triple la distancia que los separa, el módulo de la fuerza gravitatoria se reduce a la novena parte. Esto sucede porque el módulo de la fuerza gravitatoria es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre los cuerpos (fig. 5).

F

F

m Md

m M2d

m M3d

F4

F4

F9

F9

Fig. 5. La fuerza de atracción gravitatoria entre los dos planetas es inversamente pro-porcional al cuadrado de la distancia entre ellos.

Esta propuesta de Newton era coherente con las precisas medidas tomadas por Tycho Brahe y con las leyes del movimiento planetario de Johannes Kepler (fig. 6).

A

AASol

t

tt

Fig. 6. Johannes Kepler (1571-1630). As-trónomo, matemático y físico alemán. Utilizando la gran cantidad de medicio-nes realizadas por Brahe para estudiar los movimientos planetarios, publica en 1609 “Astronomía nova”, en la que enun-cia la ley de las áreas. Un planeta en su órbita elíptica “barre” áreas iguales en tiempos iguales. De esta ley se deduce que el planeta debe moverse a mayor velocidad si está más cerca del sol.

135interacciones • fuerzas y energía / física 3º C.B. GRAVITACIÓN UNIVERSAL • Capítulo 9

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Ley de Gravitación Universal de Newton

Newton postuló que este par de fuerzas de atracción no lo experi-mentan únicamente los cuerpos celestes sino que son fuerzas de carácter universal. Este planteo es conocido como ley de Gravitación Universal.

Todos los cuerpos se atraen ejerciéndose fuerzas mutuamente (par de acción y reacción). El módulo de dichas fuerzas es di-rectamente proporcional a la masa de cada cuerpo e inversa-mente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.

La expresión matemática de esta ley es la siguiente:

F G m mdG . .1 2

2

“m1” y “m2” son las masas de los cuerpos, expresadas en kilogramos. “d” es la distancia que separa los cuerpos, expresada en metros. “G” es una constante, llamada “constante de gravitación univer-

sal” y fue determinada por primera vez por Henry Cavendish

(fig. 7) en 1798. Su valor es G = 6,67 ´ 10-11 Nmkg

2

2 .

Ejemplo 1

Fuerza de atracción gravitatoria entre la Tierra y la Luna

Utilicemos la ley de Gravitación Universal para determinar la fuer-za de atracción ente la Tierra y la Luna, para ello necesitaremos los si-guientes datos.

Masa de la Tierra: 5,97 ´ 1024kgMasa de la Luna: 7,35 ´ 1022kgDistancia media Tierra-Luna: 3,84 ´ 108m

F G m mdG . .1 2

2 Sustituyendo por los valores

F

Nmkg

kg kg

mG =

× × ×

×( )=

−6 67 10 5 97 10 7 35 10

3 84 101

112

224 22

82

, . , . ,

,,,98 1020× N

Recuerda que se cumple la tercera ley de Newton. Este valor que aca-bamos de calcular es el módulo de la fuerza que la Tierra ejerce sobre la Luna

FG T

L y el módulo de la fuerza que la Luna ejerce sobre la Tierra

FG L

T(fig. 8).

Fig. 7. Henry Cavendish, científico britá-nico (1731 - 1810).

d

FG L

T

FG T

L

Fig. 8. Fuerzas de atracción gravitatoria entre la Tierra y la Luna. Es un par de fuer-zas acción y reacción, ejercidas a distan-cia.



http://es.wikipedia.org/wiki/Reino_de_Gran_Breta%C3%B1a

http://es.wikipedia.org/wiki/Reino_de_Gran_Breta%C3%B1a

http://es.wikipedia.org/wiki/1731

http://es.wikipedia.org/wiki/1810

Ejemplo 2

Fuerza de atracción graavitatoria entre dos compañeros

De acuerdo a esta teoría de Newton, en este momento estás experi-mentando fuerzas de atracción gravitatoria con tus compañeros y con los objetos que te rodean.

¿No notas los efectos estas fuerzas? No, claro que no. Calculemos la fuerza de atracción gravitatoria entre dos compañeros de clase, Alejan-dro y Ernesto (fig. 9), a partir de los siguientes datos.

Masa de Alejandro: 60kg.Masa de Ernesto: 75kgDistancia entre ellos: 0,30m

F G m md

Nmkg

kg kg

mNG = =

×

( )= ×

−

−. ., . .

,,1 2

2

112

2

26

6 67 10 75 60

0 303 3 10

El módulo de la fuerza de atracción gravitatoria que actúa sobre cada uno de ellos es muy pequeño, menos de una millonésima de Newton, despreciable al compararlo con otras fuerzas que actúan sobre Ernesto y Alejandro. Por ejemplo, el peso de cada una es 750N y 600N respectiva-mente. Por este motivo no percibimos el efecto de dichas fuerzas.

Campo gravitatorio

Para explicar mejor las interacciones a distancia de origen gravitato-rio, magnético o eléctrico en física se utiliza el concepto de campo. La Tierra y en general cualquier objeto, genera a su alrededor un campo gravitatorio que actúa sobre los cuerpos que se encuentran dentro de él, ejerciéndoles fuerzas gravitatorias. Se puede representar utilizando líneas de campo (fig. 10).

La dirección y sentido de estas líneas corresponde a la dirección y sentido de la fuerza gravitatoria sobre un cuerpo situado en ese punto y es más intenso en la zona en que las líneas están más juntas.

El campo gravitatorio es vectorial por lo que a cada punto del espacio alrededor de la Tierra le corresponde un vector campo gravitatorio con las siguientes características (fig. 11).

Su notación es gLa dirección es radial El sentido, hacia el centro de la Tierra

El módulo se determina

gFm

g

Su unidad en el Sistema Internacional es Nkg

.

Fig. 9. Fuerza de atracción gravitato-ria entre Alejandro y Ernesto. Su valor es despreciable comparado con otras fuer-zas que actúan sobre ellos, como el peso o el rozamiento.

Fig. 10. Líneas de campo gravitatorio al-rededor de la Tierra, tienen dirección ra-dial y sentido hacia el centro de la Tierra. El campo es más intenso en las zonas donde las líneas están más juntas.

g

Fg

A

Fig. 11. El campo gravitatorio

g en el punto A tiene igual dirección y sentido que la fuerza gravitatoria sobre un cuer-po ubicado en ese punto.



Ejemplo 3

Campo gravitatorio en la superficie de la Tierra Determinemos las características del campo gravitatorio en la super-

ficie de la Tierra. Para ello situaremos un cuerpo de masa 75kg en su superficie. Necesitaremos los siguientes datos:

Masa de la Tierra: 5,97 ´ 1024kgRadio de la Tierra: 6,37 ´ 106m

Considerando que la distancia entre el cuerpo y el centro de la Tierra es igual al radio de la Tierra, podemos plantear:

gFm

G m mdm

G md

gT

T

. ..2

2

Podemos apreciar que la intensidad del campo gravitatorio terrestre no depende de la masa del cuerpo que se utilice para determinarlo. So-lamente depende de la masa de la Tierra y de la distancia a su centro.

g G md

Nmkg

kg

mNkg

T= =× ×

×=

−

., . ,

( , ),2

112

224

6 2

6 67 10 5 97 10

6 37 109 81

Peso y campo gravitatorio

En el capítulo 1 estudiamos las características de la fuerza peso, y vi-mos un procedimiento sencillo para determinar su módulo.

“Si la masa de un cuerpo es 1,0kg, entonces la fuerza peso sobre él es aproximadamente 10N”

Ahora conocemos un poco más sobre esta fuerza. y podemos plan-tear una definición más precisa.

La fuerza peso es la fuerza gravitatoria que ejerce la Tierra a los cuerpos que están en su cercanía.

Utilizando la definición de campo gravitatorio,

gFm

g Pm

P m gg

= ⇒ = ⇒ = .

En la superficie de la Tierra

g Nkg

9 81, , aproximadamente 10 Nkg

.

El módulo del campo gravitatorio terrestre no es constante en su su-perficie debido a la forma de la Tierra.

En los polos el módulo es 9,83 Nkg

y en el ecuador 9,78 Nkg

.

El valor del campo gravitato-rio en la superficie terrestre es 9,81 N

kg.

Esto significa que sobre un cuerpo situado en la superficie de la Tierra, de masa 1,00kg, actúa una fuerza gravitatoria de 9,81N

Fig. 12. Módulo de la fuerza gravitatoria.

El módulo del peso de un cuerpo se calcula

P m g . , siendo g el módulo del cam-po gravitatorio en la posición del cuerpo.

Fig. 13. Cálculo del módulo de la fuer-za peso.



Aceleración gravitatoria

Analicemos con detalle las unidades del campo gravitatorio

g Nkg

= Como 1 1 2N kg ms

.

planteemos lo siguiente: g Nkg

kg ms

kgms

= = =. 2

2

Observa que las unidades del campo gravitatorio son unidades de

aceleración. g Nkg

ms

= = 2

Movimiento de caída libre

El valor del campo gravitatorio en un punto es el valor de la acele-ración que experimenta un cuerpo que se deja caer desde ese punto, si sobre él actúa solamente la fuerza gravitatoria.

Las características de esta aceleración, módulo, dirección y sentido, no dependen de la masa del cuerpo. Esto determina que los cuerpos que se suelten desde el mismo punto experimentarán la misma aceleración, si sobre ellos actúa solamente la fuerza gravitatoria.

El movimiento de los cuerpos en estas condiciones se denomina “caída libre” (fig. 15) y lo estudiaremos con más detalle en el próximo capítulo.

Ejemplo 4

Campo gravitatorio en la superficie de la Luna

Basados en lo realizado en el ejemplo anterior, si conocemos la masa y el radio de la Luna podemos calcular el módulo del campo gravitato-rio en su superficie.

Masa de la Luna: 7,35 ´ 1022kgRadio de la Luna: 1, 74 ´ 106m

Considerando que la distancia entre el cuerpo y el centro de la Luna es igual al radio de la Luna, podemos plantear:

gFm

mdm

GdL

GL

G . m . . mL2

2

g Gd

N mkg

kg

mL = =× ×

×=

−

. m .

L2

112

222

6 2

6 67 10 7 35 10

1 74 101

, . ,

( , ),,61 N

kg

Fig. 14. El campo gravitatorio es leve-mente mayor en los polos que en el ecuador. Como valor medio suele con-siderarse 9,8m

s2 o redondearse en 10ms2

para simplificar los cálculos.

Fig. 15. Todos los cuerpos en caída libre en la superficie de la Tierra experimentan la misma aceleración, aproximadamente

9,8ms2 .

El valor del campo gravitatorio en la superficie lunar es aproxi-madamente 6 veces menor que en la superficie terrestre. Esto significa que un cuerpo situado en la superficie lunar pesa 6 veces menos que en la Tierra.

Fig. 16. Campo gravitatorio lunar.



Actividad experimentalFuerza gravitatoria

Como está completamente fuera de nuestro alcance experimentar con masas lo suficientemente grandes como para medir la fuerza de atracción gravitatoria entre ellas, te proponemos realizar una actividad con un “applet”. Es un programa de simulación, en el que podremos va-riar las masas de los cuerpos y la distancia entre ellos y ver cómo varía el módulo de la fuerza gravitatoria. Puedes realizar esta actividad en el siguiente sitio web de la Universidad de Colorado, Estados Unidos: http://phet.colorado.edu/en/simulation/gravity-force-lab

Fig. 17. Captura de pantalla del “applet”.

a) Manteniendo constante la distancia, estudiaremos cómo varía el módulo de la fuerza gravitatoria al variar la masa de uno de los cuerpos.- Deja constante la masa del cuerpo 1 en 10kg.- Varía la masa del cuerpo 2 y registra los valores de fuerza co-

rrespondientes, hasta completar la Tabla 1- Construye la gráfica FG = f(m2)

b) Ahora manteniendo constantes las masas de los cuerpos estudia-remos cómo varía el módulo de la fuerza gravitatoria al variar la distancia entre los cuerpos.- Deja constante ambas masas en 10kg.- Varía la distancia entre los centros de los cuerpos y registra los

valores de fuerza correspondientes, hasta completar la Tabla 2.- Construye la gráfica FG = f(d)

¿Qué puedes concluir analizando cada gráfica?¿Coinciden los resultados con la ley de Gravitación Universal?

m2 (kg) FG (N)

20

40

60

80

100Fig. 18. Tabla 1.

d (m) FG (N)

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0Fig. 19. Tabla 2.



Autoevaluación 1. ¿Cuál de los siguientes diagramas (fig. 20) describe mejor la inte-

racción gravitatoria entre dos cuerpos de masas diferentes?

a)

F1

F2

b)

F1

F2

c)

F1

F2

Fig. 20. Autoevaluación 1.

d)

F2

2. La fuerza de atracción gravitatoria entre dos cuerpos de masas m1 y m2 es de 36N, cuando están separados una distancia “d”.

a) Si m1 aumenta al triple, el módulo de la fuerza gravitatoria será: a) 4,0N b) 9,0N c) 12N d) 18N e) 72N f) 108N g) 144N

b) Si m2 disminuye a la mitad, el módulo de la fuerza gravitatoria será:

a) 4,0N b) 9,0N c) 12N d) 18N e) 72N f) 108N g) 144N

c) Si “d” aumenta al triple, el módulo de la fuerza gravitatoria será: a) 4,0N b) 9,0N c) 12N d) 18N e) 72N f) 108N g) 144N

d) Si “d” se reduce a la mitad, el módulo de la fuerza gravitatoria será:

a) 4,0N b) 9,0N c) 12N d) 18N e) 72N f) 108N g) 144N

3. Elige la gráfica que mejor represente cómo varía el módulo de la fuerza gravitatoria entre dos cuerpos al variar la distancia entre ellos (fig. 21).

F

d

a) F

d

b) F

d

c)

Fig. 21. Autoevaluación 3.

F

d

d)



Preguntas 1. La fuerza gravitatoria ¿es una de las cuatro fuerzas fundamentales

de la naturaleza? 2. ¿Qué sucedería con el movimiento de la Luna si desaparece la fuer-

za gravitatoria entre ella y la Tierra? 3. Describe algún efecto de la fuerza gravitatoria ejercida por la Luna

sobre la Tierra (fig. 22). 4. ¿En qué unidades se mide la fuerza gravitatoria? 5. ¿Qué significa que la fuerza gravitatoria entre dos cuerpos es direc-

tamente proporcional al producto de las masas de los cuerpos? 6. ¿Qué significa que la fuerza gravitatoria entre dos cuerpos es inver-

samente proporcional al cuadrado de la distancia entre los cuerpos? 7. En un cumpleaños de 15, Santiago se acerca a Florencia y le dice:

“de acuerdo a la ley de Gravitación Universal, tú y yo nos atraemos” ¿es esto cierto?

8. El campo gravitatorio, ¿es una magnitud escalar o vectorial? 9. En este momento, ¿estás situado dentro del campo gravitatorio de

la Tierra?, ¿cómo puedes probarlo? 10. Describe las características de las líneas de campo gravitatorio de la

Tierra. 11. ¿Qué sucede con el valor del campo gravitatorio terrestre si nos ale-

jamos de la superficie de la Tierra? 12. Un cuerpo “A” de masa 10kg y un cuerpo “B” de masa 20kg están

situados en el suelo. ¿Experimentan la misma fuerza gravitatoria con la Tierra?

13. El campo gravitatorio en los puntos donde están los cuerpos de la pregunta anterior, ¿es de igual módulo?

14. Sobre una mesa están apoyadas una bolita de acero y una bolita de vidrio, la masa de ambas es 10g. Las siguientes afirmaciones son erróneas, explica por qué.

a) La bolita de acero tiene mayor peso que la bolita de vidrio. b) No se atraen porque son de diferente material. c) Se atraen porque son de material diferente. d) La fuerza de atracción gravitatoria que le realiza la bolita de ace-

ro a la bolita de vidrio es mayor a la que realiza la bolita de vidrio sobre la de acero.

e) La fuerza de atracción gravitatoria que le realiza la bolita de ace-ro a la bolita de vidrio es menor a la que realiza la bolita de vidrio sobre la de acero.

Fig. 22. Pregunta 3.



Problemas 1. Calcula y representa las fuerzas gravitatorias entre dos esferas me-

tálicas de masas m1 = 3,42 ´ 103kg y m2 = 6,38 ´ 103kg, sabiendo que la distancia entre sus centros es 4,00m (fig. 23).

2. Utilizando la tabla, calcula la fuerza gravitatoria entre cada planeta y el Sol. Masa del Sol = 1,99 ´ 1030kg.

Planeta Masa(kg) Radio medio(m) Dist. media al sol (m)

Venus 4,87 ´ 1024 6,05 ´ 106 1,08 ´ 1011

Tierra 5,97 ´ 1024 6,37 ´ 106 1,50 ´ 1011

Marte 6.42 ´ 1023 3,40 ´ 106 2,28 ´ 1011

Júpiter 1,90 ´ 1027 7,15 ´ 107 7,78 ´ 1011

Saturno 5,69 ´ 1026 6,03 ´ 107 1,43 ´ 1012

3. Imagina que estás parado en la superficie de cada uno de los plane-tas mencionados en la tabla.

a) Calcula la fuerza gravitatoria sobre ti en cada planeta. b) Calcula el módulo del campo gravitatorio en cada planeta. c) Calcula la fuerza gravitatoria que tú ejerces sobre los planetas.

4. Morcillo López (primer uruguayo en la Luna de acuerdo al Cuarte-to de Nos) está realizando una caminata lunar.

Radio de la Luna: 1,74 ´ 106m Masa de la Luna: 7,35 ´ 1022kg Masa de Morcillo: 150kg (incluye el traje) Con los datos proporcionados calcula: a) La fuerza gravitatoria sobre Morcillo. b) El módulo del campo gravitatorio en la superficie de la Luna. c) La relación existente entre los campos gravitatorios en la super-

ficie de la Luna y de la Tierra.

5. Seguramente has leído “El Principito”, de Antoine de Saint-Exupéry. Si no lo has hecho, ¡estás a tiempo! De acuerdo a la imagen (fig. 24), podemos estimar los siguientes datos

Masa del Principito: 50kg Masa de su planeta: 2,0 ´ 106kg Radio de su planeta: 2,0m a) Determina la fuerza de atracción gravitatoria entre El Principito

y su planeta, suponiendo que está acostado en el suelo. b) Determina el valor del campo gravitatorio en la superficie de su

planeta. c) Compara los valores hallados en a y b con los correspondientes

a El Principito en la superficie de la Tierra.

d

m1

m2

Fig. 23. Problema 1.

Fig. 24. Problema 5. El Principito parado en la superficie de su pequeño planeta.



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