Projektovanje algoritama - rt-rk.uns.ac.rs. Topološko... · Topološko sortiranje •Redosled elemenata takav da se element uvek nalazi nakon svih elemenata koji su mu preduslovi

Projektovanje algoritamaL09.1. Topološko sortiranje

Današnje teme

• Topološko sortiranje

• Povezanost grafa – jako povezane komponente

• Minimum Spanning Trees (razapinjuće stablo)

• Lektira:• 22. Elementary Graph Algorithms [22.4, 22.5, str. 612-621]

• 23. Minimum Spanning Trees [str. 624-638]

09 Maj 2019 L09. Topološko sortiranje. Povezanost grafa. MST 2

Podsetnik pojmova

• Graf kao struktura podataka

• Predstava grafa• Lista susedstva• Matrica susedstva

• Pretraga grafa• BFS (Breadth-First-Search), najkraće putanje• DFS (Depth-First-Search)

• Algoritmi najkraće putanje u grafu• Bellman-Ford• Dijsktra


Problem


Topološko sortiranje

• Redosled elemenata takav da se element uvek nalazi nakon svih elemenata koji su mu preduslovi.

• Redosled čvorova grafa takav da, ukoliko graf sadrži ivicu (u,v), čvor vse u redosledu nalazi nakon čvora u.


Topološko sortiranje


TOPOLOGICAL-SORT(G)

call DFS(G) to compute v.f for all v

insert v to the front of a list when finished

return the linked list of v

𝑻 𝑽, 𝑬 = 𝛉 𝑽 + 𝑬

28 Mar 2019 L06. Algoritmi iz teorije brojeva. Kriptografija 7

© 123RF

Projektovanje algoritamaL09.2. Pronalaženje jako povezanih komponenata

Problem


Strongly Connected Components

• Jako povezana komponenta grafa (Strongly Connected Component): deo grafa u kojem se iz svakog čvora može dostići svaki preostali čvor.

• Transponovan graf: graf u kojem su sve ivice „suprotne“ u odnosu na originalni graf.

• Vreme otkrivanja komponente je najmanje vreme otkrivanja nekog čvora komponente.

• Vreme završetka komponente je najveće vreme završetka nekog čvora komponente.


Strongly Connected Components


STRONGLY-CONNECTED-COMPONENTS(G)

DFS(G) to compute finish times

compute GT

DFS(GT) in decresing order of finish times

return sets of v discovered as trees in GT

𝑻 𝑽, 𝑬 = 𝛉 𝑽 + 𝑬

28 Mar 2019 L06. Algoritmi iz teorije brojeva. Kriptografija 12

© 123RF

Projektovanje algoritamaL09.3. Razapinjuće stablo minimalnog stepena

Problem


Razapinjuće stablo minimalnog stepena


Razapinjuće stablo minimalnog stepena


Osnovna ideja (Minimum Spanning Tree)


GENERIC-MST(G,w)

A = Ø

while A does not form a spanning tree

find an edge (u,v) that is safe for A

A = A + {(u,v)}

return A

Osnovna ideja (Minimum Spanning Tree)

• Odsečak (S, V-S) grafa je particija skupa čvorova V.

• Ivica prelazi odsečak ukoliko joj je jedan kraj u S, a drugi u V-S.

• Odsečak poštuje skup ivica ukoliko nijedna od njih ne prelazi odsečak.

• Ivica koja prelazi odsečak je lagana ukoliko je sa najmanjom težinom od svih ivica koje prelaze odsečak.

• Sigurna ivica za podskup ivica je ivica koja predstavlja deo najmanjeg razapinjućeg stabla i koju možemo dodati u taj podskup prilikom pravljenja najmanjeg razapinjućeg stabla.


Osnovna osobina (Minimum Spanning Tree)

• G(V, E) je povezan, neusmeren graf sa definisanom težinskom funkcijom w.

• A je podksup skupa E koji je sadržan u nekom najmanjem razapinjućem stablu grafa G.

• (S, V-S) je odsečak grafa G koji poštuje skup ivica A.

• (u, v) je lagana ivica koja prelazi odsečak (S, V-S).

• Tada je (u, v) sigurna ivica za skup A.


Kruskal algoritam


MST-KRUSKAL(G,w)

A = Ø

for vertex 𝑣 ∈ 𝐺. 𝑉MAKE-SET(v)

sort-nondecreasing G.E by w

for edge (u, 𝑣) ∈ 𝐺. 𝐸 from the sorted set

if FIND-SET(u) != FIND-SET(v)

A = A + {(u,v)}

UNION(u,v)

return A

𝑻 𝑽, 𝑬 = 𝑶 𝑬 𝐥𝐠𝑽

Prim algoritam


MST-PRIM(G,w,r)

for vertex 𝑢 ∈ 𝐺. 𝑉u.key = ∞u.p = NIL

r.key = 0

Q = G.V

while Q != ∅u = EXTRACT-MIN(Q)

for vertex 𝑣 ∈ 𝐺. 𝐴𝑑𝑗[𝑢]if 𝑣 ∈ 𝑄 and w(u,v) < v.key

v.p = u

v.key = w(u,v)

𝑻 𝑽, 𝑬 = 𝑶 𝑬 𝐥𝐠𝑽

© Universal Studios, Revealing Homes


Documents

Projektovanje algoritama - rt-rk.uns.ac.rs. Topološko... · Topološko sortiranje •Redosled elemenata takav da se element uvek nalazi nakon svih elemenata koji su mu preduslovi