SVEUČILIŠTE U ZAGREBU - GEODETSKI FAKULTET UNIVERSITY OF ZAGREB - FACULTY OF GEODESY

Zavod za inženjersku geodeziju i upravljanje prostornim informacijama Institute of Engineering Geodesy and Spatial Information Management

Kačićeva 26; HR-10000 Zagreb, CROATIA Web: www.igupi.geof.hr; Tel.: (+385 1) 45 61 222; Fax.: (+385 1) 48 28 081

Usmjerenje: Inženjerska geodezija i upravljanje prostornim informacijama

Geodetski nadzor i kontrola objekata niskogradnje

SEMINARSKI RAD

Metode konačnih elemenata

Izradio:

Rinaldo Paar, dipl. ing. geod.

Ulica Grada Wirgesa 8

Samobor 10430

rpaar@geof.hr

Mentor: prof. dr. sc. Zdravko Kapović

Zagreb, siječanj 2003.

2

S A D R Ž A J

1. UVOD .............................................................................................................. 4

2. OSNOVE NA KOJIMA SE ZASNIVA MKE .................................................... 4

2.1. RAZLIČITI ASPEKTI MKE .............................................................................. 5 2.2. ALGORITAMSKI KONCEPTI MKE ................................................................... 6

3. OPĆA TEORIJA MKE .................................................................................... 6

3.1. VARIJABILNA METODA ................................................................................. 7 3.1.1. Metoda deformacije .......................................................................... 7

3.1.1.1 Analiza elemenata ............................................................................................................ 9 3.2. DIREKTNA METODA ................................................................................... 10 3.3. METODA REZIDUUMA ................................................................................. 10

4. ANALIZA REZULTATA MJERENJA POMAKA ŽELJEZNIČKOG MOSTA PREKO SAVE KOD GRADA JASENOVCA NAKON REKONSTRUKCIJE ....... 11

4.1. TEORIJSKI MODEL MOSTA .......................................................................... 11 4.2. ISPITIVANJE MOSTA ................................................................................... 12 4.3. REZULTATI ISPITIVANJA ............................................................................. 12

5. ZAKLJUČAK ................................................................................................ 16

Literatura

3

Sažetak:

U radu je opisana metoda konačnih elemenata. Dane su osnove na kojima se zasniva metoda konačnih elemenata – različiti aspekti metode konačnih elemenata. Isto tako objašnjena je opća teorija metode konačnih elemenata. Prikazana je i primjena metode konačnih elemenata kod teoretske analize željezničkog mosta preko Save kod grada Jasenovca. Uspoređeni su rezultati dobiveni teoretskom analizom i rezultati ispitivanja.

Abstract:

In this work the method of finite elements is being described, as well as the principle, on which the method is based on – different aspects of the method of finite elements. The use of this method in the theoretic analises of the railway bridge across the Sava river near city of Jasenovac is also shown. The results obtained by theoretic analises are compared with the results of research.

4

1. Uvod

Metoda konačnih elemenata spada u suvremene metode numeričke analize. Njezina primjena prvo je počela u oblasti proračuna inženjerskih konstrukcija. Osnovna ideja o tzv. fizičkoj diskretizaciji kontinuuma, na kojoj se zasniva MKE je vrlo stara, otprilike koliko i ljudsko nastojanje da se teško rješivi problemi zamjene jednostavnijim, za koje se lakše nalaze rješenja.

Kao primjer za ilustraciju može se navesti problem određivanja opsega ili površine kruga, na osnovu njegove podjele na manje dijelove pravilnog oblika. Grčki matematičar i fizičar Arhimed, računao je broj π, odnosno granice između kojih se nalazi numerička vrijednost ovog broja na taj način što je konturu kruga aproksimirao upisanim odnosno opisanim poligonom sa konačnim brojem stranica. Sa povećanjem broja stranica poligona, odnosno sa smanjivanjem njihove dužine, smanjivala se i razlika između granica u kojima se nalazi broj π, a povećavala točnost njegove numeričke vrijednosti. Otprilike u isto vrijeme, na sličan način, u starom Egiptu je računat volumen piramide i površina sfere, a u Kini je dat dokaz poznatog Pitagorinog teorema. Sa ovim prvim jednostavnim primjerima, otvorena su neka fundamentalna pitanja, kao što su: točnost rješenja, gornja i donja granica aproksimacije, monotonost i brzina konvergencije i dr. koja su i danas u MKE veoma aktualna i značajna sa teoretskog i praktičnog stajališta.

Razvoj metode konačnih elemenata počeo je polovicom prošlog stoljeća. U početnoj fazi on se odvijao kroz dva međusobno nezavisna pristupa, prvo inženjerski, a odmah zatim matematički. Složene prostorne konstrukcije, u inženjerskim proračunima zamjenjivane su diskretnim sustavima koji su se sastojali od štapova i koji su računati po poznatim postupcima statike linijskih nosača. Od strane matematičara, tražena su približna rješenja određenih graničnih zadataka pomoću diskretnih modela uz primjenu varijabilnih postupaka. Ova dva prilaza, inženjerski i matematički, kasnije su objedinjeni, što je bilo od ogromnog značaja za dalji brzi razvoj i široku primjenu MKE.

2. Osnove na kojima se zasniva MKE

Metoda konačnih elemenata spada u metode diskretne analize. Za razliku od ostalih numeričkih metoda, koje se zasnivaju na matematičkoj diskretizaciji jednadžbi graničnih problema, MKE se zasniva na fizičkoj diskretizaciji razmatranog područja. Umjesto elementa diferencijalno malih dimenzija, osnovu za sva proučavanja predstavlja dio područja konačnih dimenzija, manje područje ili konačni element. Zbog toga su osnovne jednadžbe pomoću kojih se opisuje stanje u pojedinim elementima, a pomoću kojih se formulira i problem u cjelini, umjesto diferencijalnih ili integralnih, obične algebarske.

Sa stajališta fizičke interpretacije, to znači da se razmatrano područje, kao kontinuum sa beskonačno mnogo stupnjeva slobode, zamjenjuje diskretnim modelom međusobno povezanih konačnih elemenata, sa konačnim brojem stupnjeva slobode. S obzirom na to da je broj diskretnih modela za jedan granični problem neograničeno veliki, osnovni zadatak je da se izabere onaj model koji najbolje aproksimira odgovarajući granični problem.

5

Suština aproksimacije kontinuuma po MKE, sastoji se u sljedećem:

1. Razmatrano područje kontinuuma, pomoću zamišljenih linija ili površina, dijeli se na određeni broj manjih područja konačnih dimenzija. Pojedina manja područja se nazivaju konačni elementi, a njihov skup za cijelo područje sustav ili mreža konačnih elemenata.

2. Pretpostavlja se da su konačni elementi međusobno povezani u konačnom broju točaka, koje se usvajaju na konturi elementa. Te točke se nazivaju čvorne točke ili čvorovi.

3. Stanje u svakom konačnom elementu (npr. polje pomaka, deformacija, naprezanja, rasprostiranja temperature i sl.) opisuje se pomoću interpolacionih funkcija i konačnog broja parametara u čvorovima koji predstavljaju osnovne nepoznate veličine u MKE.

4. Za analizu i proračun sustava konačnih elemenata važe svi principi i postupci koji važe za klasične diskretne sustave.

2.1. Različiti aspekti MKE

Prema načinu na koji se izvode i formuliraju osnovne jednadžbe MKE, odnosno jednadžbe za pojedine konačne elemente, postoje četiri osnovna aspekta MKE i to: direktna metoda, varijabilna metoda, metoda rezidiuma i metoda energetskog balansa.

Direktna metoda je analogna metodi deformacije u proračunu linijskih nosača. Ova metoda se može koristiti kod relativno jednostavnih problema, a pogodna je zbog jasnog geometrijsko-mehaničkog značenja pojedinih koraka aproksimacije.

Varijabilna metoda se zasniva na principu o stacionarnosti funkcija. U problemima mehanike čvrstog tijela funkcija je obično potencijalna odnosno komplementarna energija sustava ili se funkcija formulira na osnovu ove dvije energije (Hellinger-eissner, Hu-Washizy). Za razliku od direktne metode, koja se može primijeniti samo na elemente sasvim jednostavnog oblika, varijabilna metoda se podjednako uspješno primjenjuje na elemente jednostavnog i elemente složenog oblika.

Metoda reziduuma je opći aspekt aproksimacije po MKE, koji se zasniva na diferencijalnim jednadžbama razmatranog problema. Ova metoda ima naročito primjenu kod onih problema kod kojih je teško formulirati funkciju i onih problema kod kojih funkcija uopće ne egzistira.

Metoda energetskog balansa se zasniva na balansu različitih aspekta energije i ima primjenu u termostatičkoj i termodinamičkoj analizi kontinuuma.

Od navedenih aspekta MKE, u mehanici čvrstih deformacijskih tijela od posebnog su značaja varijabilna metoda i metoda reziduuma, koje u području primjene predstavljaju dvije komplementarne metode podjednake točnosti.

Za razliku od klasičnih varijabilnih metoda u kojima izbor interpolacionih funkcija zavisi od konfiguracije razmatranog problema, u MKE to nije slučaj, s obzirom na to da se interpolacione funkcije definiraju isključivo u okvirima pojedinih konačnih

6

elemenata. Interpolacione funkcije su skup međusobno nezavisnih funkcija, koje se usvajaju za element, tako da su im vrijednosti u području svih ostalih elemenata, osim elemenata na koji se odnose, identično jednake nuli.

2.2. Algoritamski koncepti MKE

Analiza i rješavanje problema mehanike kontinuuma po MKE uvijek se svode na tzv. proces korak po korak, što je od ogromnog praktičnog značaja za primjenu računala u efektivnom proračunu. U tom procesu koji se može prikazati kao jednostavan algoritam, izdvaja se sljedećih šest najvažnijih koraka:

1. diskretizacija kontinuuma

2. izbor interpolacionih funkcija

3. računanje karakteristika elemenata

4. formiranje jednadžbi za mrežu konačnih elemenata

5. rješavanje sustava jednadžbi

6. proračun potrebnih utjecaja

Od navedenih šest koraka, prva tri su naročito važna. Način diskretizacije, izbor oblika elemenata, kao i ukupnog broja elemenata, zavise od prirode problema koji se rješava i potrebne točnosti traženog rješenja. Pored broja i oblika elemenata važan je i izbor čvorova, osnovnih nepoznatih u njima i interpolacionih funkcija. Pomoću interpolacionih funkcija se definira polje promjenjivih u svakom elementu, od njihovog izbora neposredno zavisi i kontinuitet na granicama između pojedinih elemenata, a samim tim i točnost aproksimacije. Promjenjive u elementu mogu biti skalarne, vektorske ili tenzorske veličine.

Karakteristike pojedinih elemenata određuju se nezavisno od mreže elemenata kao cjeline. Matrica krutosti se formira autonomno za pojedine elemente, a potom na osnovu njih, sasvim jednostavno, formira se matrica za sustav u cjelini. S obzirom na to da je geometrija elemenata po pravilu jednostavna, to praktično znači da se kompleksan problem razbija na niz jednostavnih.

Posljednja tri koraka, iako su za praktične proračune od velikog značaja, danas spadaju u okvire rutinskog posla, koji je prilagođen automatskom radu računala.

3. Opća teorija MKE

Osnovni princip na kojem se zasniva MKE, kao što sam već rekao, sastoji se u podjeli razmatranog područja na konačan broj manjih područja odnosno elemenata, tako da se analizom pojedinih elemenata, uz pretpostavku o njihovoj međusobnoj povezanosti, analizira cjelina. Ovaj pristup u analizi, gdje se od posebnog ide ka općem, od individualnog ka univerzalnom, u kome se analizom dijelova zaključuje o cjelini, je poznati induktivni pristup, koji se primjenjuje u mnogim područjima znanosti. Kod inženjerskih i drugih problema kod kojih se opća rješenja ne mogu dobiti u zatvorenom obliku induktivni pristup je od posebnog značaja.

7

U okviru MKE, razmatrano područje zamjenjuje se velikim brojem malih dijelova konačnih dimenzija, koji su međusobno povezani u određenom broju točaka. Na ovaj način, područje sa beskonačno mnogo stupnjeva slobode, zamjenjuje se diskretnim sustavom sa konačnim brojem stupnjeva slobode i analizira metodama diskretne analize. U matematičkoj formulaciji, ovo znači da se razmatrani problem prevodi iz područja analize u područje algebre. MKE se može shvatiti kao metoda numeričke analize o okviru koje se definira način prevođenja kontinuiranih fizičkih sustava u diskretne, odnosno način formiranja sustava algebarskih jednadžbi pomoću kojih se aproksimira određeni konturni zadatak. S obzirom na to da taj način nije jedinstven, to ni formulacija metoda konačnih elemenata nije jedinstvena. Postoje različite varijante MKE, koje u suštini znače isto, ali se razlikuju u pogledu formalnog pristupa. U poglavlju 2.1. su istaknuta četiri aspekta MKE koji će u nastavku biti elaborirani.

3.1. Varijabilna metoda

Varijabilna formulacija MKE se zasniva na varijabilnim principima mehanike kontinuuma. Ona je opća i jednostavna, sa širokim područjem primjene, pa se stoga može smatrati osnovnom formulacijom u MKE. U mehanici čvrstog deformabilnog tijela kao osnovni varijabilni principi smatraju se

• princip o minimumu potencijalne energije

• princip o minimumu komplementarne energije

• Reissner-ov varijabilni princip

Na osnovu svakog od ovih principa. može se formulirati odgovarajući aspekt MKE koji se međusobno razlikuju po načinu izbora osnovnih nepoznatih veličina kod rješavanja problema. Kada se polazi od principa o minimumu potencijalne energije za osnovne nepoznate se usvajaju kinematičke (deformacijske) veličine, kada se polazi od principa o minimumu komplementarne energije, za osnovne nepoznate se usvajaju statičke veličine, a kada se polazi od Reissner-ovog varijabilnog principa, za osnovne nepoznate se usvajaju djelom statičke, a djelom kinematičke veličine. Na taj način se dobivaju tri osnovna oblika varijabilne formulacije MKE, koji su poznati pod nazivom: metoda deformacija, metoda sila, i mješovita ili hibridna metoda.

3.1.1. Metoda deformacije

Na slici 1. prikazano je područje D elastičnog kontinuuma, koji je ograničen konturom S, tako da su na djelu konture Sσ zadani konturni uvjeti po silama, a na djelu Su konturni uvjeti po pomacima. U području D djeluju zapreminske sile F (Fx, Fy, Fz), a na konturi Sσ površinske sile p (px, py, pz).

Za pomake u u području D se pretpostavlja da su neprekidne funkcije koordinata u=u (x, y, z) odnosno: u=u (x, y, z) v=v (x, y, z) (1) w=w (x, y, z)

8

Slika 1. Područje D elastičnog kontinuuma

Zadatak teorije elastičnosti, kada se problem formulira po pomacima, odnosno po metodi deformacije, sastoji se u određivanju funkcija pomaka, koje zadovoljavaju uvjete ravnoteže i uvjete na konturi, odnosno diferencijalne jednadžbe i konturne uvjete. Granični zadatak koji je formuliran na ovaj način, u kinematičkom smislu, predstavlja sustav s beskonačnim brojem stupnjeva slobode. Zadatak je da se odredi rješenje ovog graničnog problema pomoću odgovarajućeg diskretnog sustava, sa konačnim brojem stupnjeva slobode, odnosno kao rješenje odgovarajućeg sustava algebarskih jednadžbi.

Razmatrano područje D dijeli se na konačan broj malih dijelova – konačnih elemenata, koji su međusobno povezani u određenom broju točaka, koje se nazivaju čvorovi (slika 2.).

Slika 2. Područje D podijeljeno na konačan broj elemenata

Ako se pretpostavi da se pomaci u bilo kojoj točci konačnog elementa mogu, na određeni način, prikazati u zavisnosti od pomaka u čvorovima, onda se problem

9

određivanja polja pomaka u području D svodi na određivanje pomaka u čvorovima, a broj pomaka u čvorovima je konačan. Pomaci u čvorovima u području D i na konturi Sσ određuju se iz sustava jednadžbi, koje predstavljaju uvjete ravnoteže u čvorovima, uvjete kontinuiteta u čvorovima i konturnih uvjeta na konturi Sσ. Ove jednadžbe se mogu formirati na osnovu principa virtualnih pomaka ili na osnovu varijabilnog principa o minimumu potencijalne energije. Kada je poznato polje pomaka, nije teško dobiti polje deformacija i polje napona.

3.1.1.1 Analiza elemenata

Na slici 3. prikazan je konačni element, koji je izdvojen iz sustava elemenata sa slike 2. Zbog jednostavnosti, element je prikazan kao dvodimenzionalni, ograničen sa pravolinijskim konturama. Ovim se ne želi suziti opseg razmatranja, koja važe za jednodimenzionalne i višedimenzionalne elemente sa ravnim i krivim konturama.

Slika 3. Konačni element izdvojen iz sustava elemenata

Na elementu je usvojen određen broj točaka na konturi, koje se nazivaju čvorne točke ili čvorovi. Čvorovi su obilježeni brojevima 1,2, … k … K, gdje je K ukupan broj čvorova. Ovi čvorovi se nazivaju vanjski čvorovi, da bi se razlikovali od čvorova koji mogu biti usvojeni u elementu i koji se nazivaju unutrašnji čvorovi. Ukupan broj unutrašnjih čvorova obilježen je sa R.

U čvorovima elementa kao osnovne nepoznate veličine, usvajaju se parametri pomaka. Pod pomacima, ovdje se podrazumijevaju pomaci u generaliziranom smislu, tj. komponente pomaka, njihove kombinacije i sl. Broj parametara pomaka u čvorovima zavisi od prirode razmatranog problema. Npr. kod trodimenzionalnih problema u svakom čvoru, za parametre pomaka se usvajaju po tri komponente pomaka (u, v, w) kod dvodimenzionalnih po dvije (u, v), kod savijanja ploča najmanje po tri (w, θx=w,y, θy=w,x) itd. Parametri pomaka u čvorovima često se nazivaju stupnjevi slobode, po analogiji sa značenjem koje ove veličine imaju u statici linijskih sustava. Ako je u svakom čvoru usvojeno po S parametara pomaka, element ima SxK vanjskih stupnjeva slobode i SxR unutrašnjih stupnjeva slobode.

10

3.2. Direktna metoda

Za prikaz MKE najbolja je direktna metoda zbog svoje jednostavnosti i očiglednog fizičkog značaja pojedinih koraka u formulaciji. Zbog toga se ova metoda uzima kao polazna osnova za interpretaciju MKE. Opći teorija MKE objašnjena je u okviru varijabilne metode. Razmatranja se ilustriraju primjerima linijskih sustava u statici konstrukcija, u kojima su konačni elementi štapovi sustava. Štapovi predstavljaju vrlo jednostavne konačne elemente, za koje je moguće sve statičke i deformacijske zavisnosti uspostaviti neposredno, direktnim putem. S obzirom na to da su štapovi međusobno povezani diskretno a ne kontinuirano, MKE kod linijskih sustava se svodi na matričnu formulaciju metode deformacije, pomoću koje se u okviru date teorije mogu dobiti točna rješenja. Postupak direktnog određivanja osnovnih zavisnosti štapa, nije moguće jednostavno prenjeti na dvodimenzionalne i trodimenzionalne elemente, koji su znatno složeniji po obliku i po načinu njihovog međusobnog povezivanja. Zbog toga direktna formulacija MKE, iako je vrlo jednostavna, nema karakter opće metode koja se može primjeniti kod složenih višedimenzionalnih problema.

3.3. Metoda reziduuma

Ako je neki problem opisan pomoću funkcije koja ima stacionarnu vrijednost, njegovo rješenje se može dobiti u okviru varijabilne formulacije MKE. Međutim za one probleme kod kojih funkcija ne postoji, varijabilna fomulacija MKE nije moguća. U takvim slučajevima se primjenjuju druge metode aproksimacije, među kojima najčešće metoda reziduuma. Za metodu reziduuma polaznu osnovu predstavljaju diferencijalne jednadžbe problema. Ako se pri određivanju rješenja po klasičnoj metodi reziduuma izvrši podjela razmatranog područja na manja područja, tako da se tražene funkcije aproksimiraju u manjim područjima, uz vođenje računa o uvjetima neprekidnosti na granicama između manjih područja, dobija se rezidualna formulacija MKE. S obzirom da postoji više različitih metoda reziduuma, u principu je moguće razviti više različitih varijanti MKE. Međutim, u primjeni je uglavnom samo onaj aspekt MKE koji se formulira na osnovu metode Galerkina.

11

4. Analiza rezultata mjerenja pomaka željezničkog mosta preko Save kod grada Jasenovca nakon rekonstrukcije

Probno ispitivanje željezničkog mosta preko Save kod Jasenovca (slika 4.) je izvršeno radi dokazivanja njegove stabilnosti nakon rekonstrukcije. Spomenuti željeznički most je stradao u domovinskom ratu tako, da mu je srednji raspon dužine l=55.6 m bio srušen. Taj dio konstrukcije mosta je duže vremena bio djelomično potopljen u vodi, da bi konačno bio podignut i postavljen na svoje staro mjesto uz adekvatnu sanaciju. Probno ispitivanje je trebalo dati odgovor na pitanje kakav je uspjeh postignut ovom sanacijom.

Konstrukciju mosta čine 3 raspona od čeličnih rešetki. Dva prema gradu Jasenovcu su jednake dužine l=55.6 m i kontinuirano su spojeni preko srednjeg ležajnog stupa, a treći je dvostruko duži, s većom visinom rešetke i odvojen od prvog i drugog.

Slika 4. Željeznički most preko Save kod Jasenovca

4.1. Teorijski model mosta

Teorijski model za određivanje pomaka iz kojih dobivamo progibe (izraz 1.) bazira se na metodi konačnih elemenata (K. J. Bathe 1990). Konstrukcija mosta je modelirana na određeni broj manjih područja konačnih dimenzija pomoću štapnih elemenata, koje nazivamo konačni elementi, a njihov skup za cijeli most sustav ili mreža konačnih elemenata. Pretpostavlja se da su konačni elementi međusobno povezani u konačnom broju točaka – čvorova.

U skladu s konstrukcijom mosta izrađen je teorijski model (slika 5.) koji ima 17 čvorova. Za obradu teorijskog modela korišten je program "SAP90".

12

Slika 5. Teorijski model mosta za statičko opterećenje

4.2. Ispitivanje mosta

Statičko ispitivanje mosta je provedeno pomoću dvije dizel lokomotive ukupne dužine l=18.6 m sa 6 osovina svaka težine 110 tona. Ispitivanje je obavljeno na dva manja raspona mosta. Opterećenje je obavljeno u 3 faze (faza 2, 4, 6). U fazi 2 je opterećen prvi raspon do upornjaka s obje lokomotive, u fazi 4 drugi raspon s obje lokomotive, a u fazi 6 svaki raspon sa jednom lokomotivom u sredini raspona. Tijekom svake faze opterećenja mjereni su vertikalni pomaci na karakterističnim mjestima konstrukcije, koja su obilježena u pripremnim radovima duž dviju linija - A i B (slika 5.).

Vertikalni pomaci pri statičkom opterećenju određivani su modificiranom metodom geometrijskog nivelmana. Za određivanje vertikalnih pomaka upotrebljavana su dva precizna WILD-ova nivelira, NA2 s planparalelnim pločama.

Na mjerna mjesta postavlja se nivelmanska letva i očitava visinska razlika razmatrane točke od ravnine horizonta vizure. Iz razlike očitanja neopterećenog i opterećenog mosta dobivene su vrijednosti vertikalnih pomaka uslijed opterećenja, a iz razlike prije i poslije opterećenja, vrijednosti zaostalih deformacija.

4.3. Rezultati ispitivanja

Rezultati ispitivanja statičkim opterećenjem su progibi koje dobivamo iz mjerenih pomaka na karakterističnim mjestima konstrukcije. Progib je pomak u sredini, reduciran na aritmetičku sredinu pomaka na krajevima raspona (izraz 2., slika 6.). Prikaz pomaka dobivenih geodetskim ispitivanjem (slika 11.) dan je u tablici 1.

1

2

3

Slika 6. Progib

w2=L2-(L1+L3)2 (2)

13

Tablica 1. Pomaci dobiveni geodetskim ispitivanjima [mm] Mjerno mjesto

F2(1) F3(1) F4(3) F5(3) F6(5) F7(5) A B A B A B A B A B A B

1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 10 10 0 0 -1 -1 0 0 2 3 0 0 3 17 17 0 0 -3 -2 0 0 6 7 0 1 4 23 22 1 1 -6 -5 0 0 9 10 0 1 5 14 14 0 0 -5 -4 0 0 4 5 0 0 6 9 8 0 0 -1 -2 0 0 1 1 0 0 7 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 8 -2 -2 0 0 8 9 0 0 2 2 0 0 9 -4 -5 0 0 14 15 0 0 7 6 0 0

10 -5 -5 0 0 24 24 1 2 9 10 0 0 11 -3 -3 0 0 16 17 0 0 5 5 0 0 12 0 0 0 0 9 10 0 0 2 2 0 0 13 0 0 0 0 2 1 0 0 1 0 0 0

Maksimalna vrijednost progiba dobivenog iz mjerenih pomaka u sredini prvog raspona prema gradu Jasenovcu iznosi:

w(l/2)1izmjereno=21,25 mm.

Maksimalna vrijednost progiba dobivenog iz mjerenih pomaka u sredini drugog raspona iznosi:

w(l/2)2izmjereno=23,0 mm.

Maksimalna vrijednost teorijskog progiba u sredini prvog i drugog raspona iznosi:

w(l/2)1,2računato=25,67 mm.

Teorijski 3D model mosta prilikom opterećenja prvog raspona prikazan je na slici 7, a prilikom opterećenja prvog i drugog raspona na slici 8. Dobiveni su programom "SAP90".

14

Slika 7. Teorijski 3D model mosta prilikom opterećenja 1. raspona

Slika 8. Teorijski 3D model mosta prilikom opterećenja 1. i 2. raspona

Grafički prikaz pomaka dobivenih geodetskim ispitivanjima prilikom opterećenja prikazan je na slici 9.

15

Slika 9. Grafičko/tabelarni prikaz izmjerenih pomaka

Teorijske vrijednosti progiba i vrijednosti progiba dobivene rezultatima geodetskih mjerenja pomaka prikazani su na slici 10. Možemo uočiti da su vrijednosti dobivenih progiba manje od očekivanih – teorijskih. Iz toga možemo zaključiti da je izvedena konstrukcija mosta kruća od teorijske.

Slika 10. Grafičko/tabelarni prikaz izmjerenih i teorijskih veličina progiba

Veličine izmjerenih progiba i deformacija na elementima saniranih rasponskih sklopova su u očekivanim granicama i sukladne su teorijskim veličinama.

Zaostale vrijednosti progiba i deformacija na elementima saniranog dijela mosta su također u granicama očekivanja te se ponašanje konstrukcije može smatrati elastičnim.

16

Slika 11. Geodetski radovi prilikom statičkog ispitivanja

5. Zaključak

Osnovni pristup MKE u analizi pojedinih elemenata, da se analizom dijelova zaključuje o cjelini, je poznati induktivni pristup, koji se primjenjuje u mnogim područjima znanosti. Kod inženjerskih i drugih problema kod kojih se opća rješenja ne mogu dobiti u zatvorenom obliku induktivni pristup je od posebnog značaja. MKE prvo je počela imati primjenu u oblasti proračuna inženjerskih konstrukcija.

Rješenja koja dobijemo MKE su približna ili aproksimativna rješenja. Zato treba postaviti pitanje njihove točnosti, stabilnosti i konvergencije. Sa praktičnog stajališta treba znati sa koje su strane približna rješenja u odnosu na točno rješenje, odnosno da li su dobijeni rezultati na strani sigurnosti.

Pod pojmom točnosti ovdje se podrazumijeva bliskost približnog rješenja točnom, odnosno odstupanje približnog od točnog rješenja, dok se pod stabilnošću podrazumijeva stabilnost u numeričkom odnosno proračunskom procesu kod određivanja rješenja. Ako se razlika između uzastopnih rješenja sukcesivno smanjuje, postupak je konvergentan. O konvergenciji MKE zaključuje se na osnovu analize rezultata u zavisnosti od promjene određenih parametara, kao što su veličina i broj konačnih elemenata, ili broj članova ili interpolacionih funkcija u približnom rješenju. Dokazom o konvergenciji daje se odgovor i na pitanje o njegovoj stabilnosti, pošto je po pravilu, za konvergentno rješenje numerički postupak stabilan.

Greške u MKE, po svojoj prirodi mogu biti dvojake: greške diskretizacije, koje predstavljaju razliku između realne geometrije tijela i njegove aproksimacije sustavom konačnih elemenata; i greške interpolacionih funkcija, koje predstavljaju razliku između stvarnog polja nepoznatih funkcija i njihove aproksimacije pomoću polinoma. Greške diskretizacije se smanjuju povećanjem broja konačnih elemenata odnosno smanjenjem njihove veličine, one teže nuli.

17

Literatura:

M. Sekulović (1984): Metod konačnih elemenata. IRO "Građevinska knjiga", Beograd.

M. Rak., J. Krolo (2000): Izvješće o probnom ispitivanju željezničkog mosta preko Save kod Jasenovca nakon rekonstrukcije. Građevinski fakultet Sveučilišta u Zagrebu, Zavod za tehničku mehaniku.

P. Staykov, N. Rangelov (1998): Two span continuous truss railway bridge over Sava at Jasenovac – project for proof loading test. Sofija.

K. J. Bathe (1990): Finite elemente methoden, Berlin.