Universidad de Santiago de ChileFacultad de IngenieraDepartamento de Ingeniera Mecnica

LABORATORIO N1Vibraciones en sistemas de 1 grado de libertad

Alumno: Gonzalo de la Cuadra.Profesora: Dr. Marcela Cruchaga.Ayudante: Felipe Gonzlez. Asignatura: Tpicos III Slidos.Carrera: Ingeniera Civil Mecnica.Grupo: 3Fecha de entrega: 17/04/15.Contenido1.Resumen32.Objetivos de la experiencia32.1Objetivo general32.2Objetivos especficos33.Marco terico [1]43.1Vibracin libre sin amortiguamiento43.2Vibracin libre con amortiguamiento43.3Vibracin forzada63.3.1Sistema no amortiguado63.3.2Sistema amortiguado64.Desarrollo74.1Planteamiento del problema74.2Vibracin libre sin amortiguamiento74.3Vibracin libre con amortiguamiento84.4Vibracin forzada85.Anlisis de resultados106.Conclusiones107.Apndice117.1Cdigos de programacin en MATLAB117.1.1Solucin numrica117.1.2Vibracin libre sin amortiguamiento117.1.3Vibracin libre amortiguada127.1.4Vibracin forzada148.Bibliografa16

ResumenEl presente informe trata sobre el anlisis de respuesta de un sistema vibratorio compuesto por masa-resorte-amortiguador para diferentes casos. El primero de ellos corresponde a un problema libre de amortiguacin con una serie de valores de constante de rigidez, seguido despus de un sistema con amortiguacin, y luego se estudia el comportamiento un caso de vibracin forzada.Para ello, se elabora un programa computacional hecho en MATLAB para obtener las respuestas de posicin y velocidad en cada uno de los casos en estudio utilizando tanto mtodos analticos como el algoritmo numrico de Runge- Kutta de cuarto orden.Los resultados demuestran que el uso de programacin ayuda a la una mejor interpretacin de los grficos generados por el software. Objetivos de la experienciaObjetivo general Evaluar la respuesta vibratoria en sistemas de un grado de libertad ante variaciones de parmetros caractersticos en un sistema masa-resorte-amortiguador.Objetivos especficos Obtener los grficos las soluciones de posicin y tiempo para los casos de vibracin considerados. Usar herramientas de clculo para resolver la ecuacin de movimiento. Hacer una comparacin, a partir de los resultados generados, entre el mtodo analtico y el numrico.

Marco terico [1]Vibracin libre sin amortiguamientoLa ecuacin de movimiento est dado por la resolucin de la segunda ley de Newton del sistema

Cuya solucin sujeta a las condiciones iniciales es:

Adems:

Vibracin libre con amortiguamientoLa ecuacin de movimiento est dado por:

Para cualquier sistema amortiguado, la relacin de amortiguamiento se define como la relacin de la constante de amortiguamiento a la constante de amortiguamiento crtico:

Entonces la solucin al problema est dado por:

Donde C1 y C2 son constantes a determinar.El comportamiento de la solucin depende del valor de la constate de amortiguamiento. Se ve que en caso de conduce a las vibraciones no amortiguadas, por tanto suponemos valores no nulos de y se analiza tres casos.Caso 1: Sistema sub-amortiguado ( < 1).En esta condicin, es negativa y las races y se expresan como:

Y la solucin para x (t) es:

Entonces la velocidad es:

Caso 2: Sistema crticamente amortiguado ( = 1).Las races y se expresan como:

Dando la siguiente solucin

Se ve que el movimiento es aperidico, es decir, se reduce a cero para un tiempo infinito.Caso 3: Sistema sobre-amortiguado ( > 1).

Las ecuaciones muestran que el movimiento es aperidico independientemente de las condiciones iniciales impuestas en el sistema. Como las races s1 y s2 son negativas, el movimiento se reduce exponencialmente con el tiempo.

Vibracin forzadaSistema no amortiguadoPara nuestro caso, tenemos la siguiente ecuacin de movimiento.

Si wf/wn < 1 entonces la solucin es:

Si wf/wn = 1 entonces el sistema se encuentra en resonancia.

Sistema amortiguadoLa solucin particular para la ecuacin de movimiento est dada por:

La respuesta total es:

DesarrolloPlanteamiento del problema

Ilustracin 1 Problema de anlisis.Ecuacin de movimiento:

Vibracin libre sin amortiguamiento

Ilustracin 2. Respuestas de posicin y velocidad para una constante de rigidez de 1500 (azul), 4500 (amarillo) y 300 (verde).Vibracin libre con amortiguamiento

Ilustracin 3 Respuestas de posicin y velocidad para un sistema crticamente amortiguado (azul), sobre-amortiguado (amarillo) y sub-amortiguado (cyan).Vibracin forzada

Ilustracin 4 Sin amortiguacin y wf = 10

Ilustracin 5 Sin amortiguacin y wf = 20 (Resonancia)

Ilustracin 6 c = 200 y wf = 20

Ilustracin 7 c =1 200 y wf = 20Anlisis de resultadosA partir del anlisis de los grficos en los dos primeros casos se puede apreciar que no existe una diferencia entre la solucin analtica y numrica en la obtencin de las respuestas para posicin y velocidad. Una explicacin a esto sera que el mtodo de Runge Kutta presenta una mayor estabilidad y convergencia. Mientras que la vibracin forzada surge diferencias en las ilustraciones 4, 6 y 7, mostrando que la solucin numrica se encuentra desfasada de la curva analtica.Para el primer caso, se puede observar que mientras menor sea el coeficiente de rigidez k2, la amplitud aumenta y la frecuencia disminuye, dando origen a una mayor disipacin energtica.Respecto al segundo caso, se aprecia que la condicin crticamente amortiguado (c=1200) alcanza la posicin de reposo con mayor rapidez que un sistema sobre-amortiguado. Tambin se puede ver, antes de los 0.2 segundos, que la masa se desplaza a una distancia mayor con un amortiguador con un coeficiente c crtico.Para el caso tres, el momento aplicado al disco provoca grandes amplitudes cuando tiene el mismo sentido de giro que la direccin de rotacin del disco, mientras que el periodo de amplitudes bajas, el momento contrarresta el movimiento del disco. En la ilustracin 5 se observa que la resonancia aumenta indefinidamente a lo largo del tiempo, mientras que en las ilustraciones 6 y 7 se alcanza la estabilidad a los 0.4 y 0.3 segundo respectivamente.ConclusionesSe evalu la respuesta en un sistema compuesto por una masa-disco-amortiguador con un grado de libertad para diversos casos de vibraciones.Se identific mediante grficos las diversas respuestas que experimentaban el sistema al variar el coeficiente de amortiguacin y las constantes de rigidez en los dos primeros casos.El uso de software computacional result ser muy efectivo para el anlisis del sistema.

ApndiceCdigos de programacin en MATLABSolucin numricaPara todos los casos analizados se ha implementado el algoritmo de Runge Kutta de cuarto orden para ecuaciones diferenciales de orden superior [2].function [t,x,v] = rk_2(f,ta,tb,xo,vo,N) h = (tb-ta)/N; t = ta:h:tb; x = zeros(N+1,1); %reserva memoria para n+1 elementos del vector x v = zeros(N+1,1); x(1) = xo; v(1) = vo; for i=1:N k1=h*v(i); l1=h*f(t(i),x(i),v(i)); k2=h*(v(i)+l1/2); l2=h*f(t(i)+h/2,x(i)+k1/2,v(i)+l1/2); k3=h*(v(i)+l2/2); l3=h*f(t(i)+h/2,x(i)+k2/2,v(i)+l2/2); k4=h*(v(i)+l3); l4=h*f(t(i)+h,x(i)+k3,v(i)+l3); x(i+1)=x(i)+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6; v(i+1)=v(i)+(l1+2*l2+2*l3+l4)/6; endendVibracin libre sin amortiguamiento% Item 1% Vibracin libre no amortiguada.m1 = 10;m2 = m1;r = 0.1;a = 0.2;Io = 0.1;k1 = 3000;K2 = [1500 4500 300];c = 0;Mo = 0;xo = 0.05;vo = 2;M = m1+m2+Io/r^2; n = c/(2*(m1+m2+Io/r^2)); for j = 1:3 k2 = K2(j); wn = sqrt((k1+k2*((a/r)^2+a/r))/(m1+m2+Io/r^2)); f=@(t,x,v) -2*n*v-wn*wn*x+Mo/(r*M)*sin(wn*t); % Ec. de movimiento % Tiempo ta = 0; tb = 2; N = 320; hold on % Solucin numrica [t,x,v] = rk_2(f,ta,tb,xo,vo,N); subplot(2,1,1) plot(t,x,'*') hold on subplot(2,1,2) plot(t,v,'*') % Solucin analtica hold on x = xo*cos(wn*t)+vo/wn*sin(wn*t); % Determinacin posicin subplot(2,1,1) plot(t,x,'-') hold on v = vo*cos(wn*t)-xo*wn*sin(wn*t); % Determinacin velocidad subplot(2,1,2) plot(t,v,'-')end subplot(2,1,1)grid onxlabel('t')ylabel('x');legend('aproximado','exacto')title('Posicin')gtext('k2 = 1500','Color','b')gtext('k2 = 4500','Color','y')gtext('k2 = 300','Color','g') subplot(2,1,2)grid onxlabel('t')ylabel('x^.(t)');legend('aproximado','exacto')title('Velocidad')gtext('k2 = 1500','Color','b')gtext('k2 = 4500','Color','y')gtext('k2 = 300','Color','g')Vibracin libre amortiguada% Item 2% Vibracin libre amortiguadam1 = 10;m2 = m1;r = 0.1;a = 0.2;Io = 0.1;k1 = 3000;k2 = 1500;C = [1200 2400 200];Mo = 0;xo = 0.05;vo = 2;M = m1+m2+Io/r^2;wn = sqrt((k1+k2*((a/r)^2+a/r))/(m1+m2+Io/r^2));for j = 1:3 c = C(j); n = c/(2*(m1+m2+Io/r^2)); f=@(t,x,v) -2*n*v-wn*wn*x+Mo/(r*M)*sin(wn*t); % Ecuacin de movimiento % Relacin de amortiguamiento e = c/(2*(m1+m2+Io/r^2)*wn); % Tiempo ta = 0; tb = 2; N = 320; hold on % Solucin numrica [t,x,v] = rk_2(f,ta,tb,xo,vo,N); subplot(2,1,1) plot(t,x,'.') hold on subplot(2,1,2) plot(t,v,'.') % Solucin analtica if e < 1 % Sistema subamortiguado Xo = sqrt(xo^2*wn^2+vo^2+2*xo*vo*e*wn)/(sqrt(1-e^2)*wn); PHIo = atan((xo*wn*sqrt(1-e^2))/(vo+wn*xo*e)); hold on x = Xo*exp(-e*wn*t).*sin(sqrt(1-e^2)*wn*t+PHIo); subplot(2,1,1) plot(t,x,'-') hold on v = -Xo*e*wn*exp(-e*wn*t).*sin(sqrt(1-e^2)*wn*t+PHIo)+... Xo*exp(-e*wn*t)*sqrt(1-e^2)*wn.*cos(sqrt(1-e^2)*wn*t+PHIo); subplot(2,1,2) plot(t,v,'-') elseif e == 1 % Sistema crticamente amortiguado hold on x = (xo+(vo+wn*xo)*t).*exp(-wn*t); subplot(2,1,1) plot(t,x,'-') hold on v = (vo+wn*xo).*exp(-wn*t)-(xo+(vo+wn*xo)*t)*wn.*exp(-wn*t); subplot(2,1,2) plot(t,v,'-') else % Sistema sobreamortiguado s1 = (-e+sqrt(e^2-1))*wn; s2 = (-e-sqrt(e^2-1))*wn; C1 = (xo*wn*(e+sqrt(e^2-1)+vo))/(2*wn*sqrt(e^2-1)); C2 = (-xo*wn*(e+sqrt(e^2-1)-vo))/(2*wn*sqrt(e^2-1)); hold on x = C1*exp(s1*t)+C2*exp(s2*t); subplot(2,1,1) plot(t,x,'-') hold on v = C1*s1*exp(s1*t)+C2*s2*exp(s2*t); subplot(2,1,2) plot(t,v,'-') endend subplot(2,1,1)grid onxlabel('t')ylabel('x');legend('aproximado','exacto')title('Posicin')gtext('c = 1200','Color','b')gtext('c = 2400','Color','y')gtext('c = 200','Color','c') subplot(2,1,2)grid onxlabel('t')ylabel('x^.(t)');legend('aproximado','exacto')title('Velocidad')gtext('c = 1200','Color','b')gtext('c = 2400','Color','y')gtext('c = 200','Color','c')Vibracin forzada% Item 3am1 = 10;m2 = m1;r = 0.1;a = 0.2;Io = 0.1;k1 = 3000;k2 = 1500;c = 0;Mo = 1500;xo = 0.05;vo = 2;wf = 10;M = m1+m2+Io/r^2;wn = sqrt((k1+k2*((a/r)^2+a/r))/(m1+m2+Io/r^2));q = Mo/(r*M); n = c/(2*(m1+m2+Io/r^2)); f=@(t,x,v) -2*n*v-wn*wn*x+q*sin(wf*t); % Ecuacin de movimiento% Relacin de amortiguamientoe = c/(2*(m1+m2+Io/r^2)*wn);% Tiempota = 0;tb = 2;N = 320; hold on% Solucin numrica [t,x,v] = rk_2(f,ta,tb,xo,vo,N);subplot(2,1,1)plot(t,x,'.')hold onsubplot(2,1,2)plot(t,v,'.')

% Para c = 0 y wf = 10C1 = xo;C2 = vo/wn-(q*wf/wn)/(wn^2-wf^2);hold onx = C1*cos(wn*t)+C2*sin(wn*t)+q/(wn^2+wf^2)*sin(wf*t);subplot(2,1,1)plot(t,x,'-')hold onv = -C1*wn*sin(wn*t)+C2*wn*cos(wn*t)+q*wf/(wn^2+wf^2)*cos(wf*t);subplot(2,1,2)plot(t,v,'-') % Para c = 0 y wf = 20% Resonanciahold onx = -q/(2*wn^2)*(wn*t.*cos(wn*t)-sin(wn*t));subplot(2,1,1)plot(t,x,'-')hold onv = -q/(2*wn^2)*(wn.*cos(wn*t)-wn^2*t.*sin(wn*t)-wn*cos(wn*t));subplot(2,1,2)plot(t,v,'-')

% Para c = 200 y wf = 20 Xo = sqrt(xo^2*wn^2+vo^2+2*xo*vo*e*wn)/(sqrt(1-e^2)*wn);PHIo = atan(xo*wn*sqrt(1-e^2))/(vo+wn*xo*e);hold onxh = Xo*exp(-e*wn*t).*sin(sqrt(1-e^2)*wn*t+PHIo);xp = q*2*n*wf*sin(wf*t)/(4*n^2*wf^2+(wn^2-wf^2))+q*(wn^2-wf^2)*cos(wf*t)... /(4*n^2*wf^2+(wn^2-wf^2));x = xh+xp;subplot(2,1,1)plot(t,x,'-')hold onvh = -Xo*e*wn*exp(-e*wn*t).*sin(sqrt(1-e^2)*wn*t+PHIo)+... Xo*exp(-e*wn*t)*sqrt(1-e^2)*wn.*cos(sqrt(1-e^2)*wn*t+PHIo);vp = q*2*n*wf^2*cos(wf*t)/(4*n^2*wf^2+(wn^2-wf^2))-... q*wf*(wn^2-wf^2)*sin(wf*t)/(4*n^2*wf^2+(wn^2-wf^2));v = vh + vp;subplot(2,1,2)plot(t,v,'-')

% Para c = 1200 y wf = 20hold onxh = (xo+(vo+wn*xo)*t).*exp(-wn*t);xp = q*2*n*wf*sin(wf*t)/(4*n^2*wf^2+(wn^2-wf^2))+q*(wn^2-wf^2)*cos(wf*t)... /(4*n^2*wf^2+(wn^2-wf^2));x = xh+xp;subplot(2,1,1)plot(t,x,'-')hold onvh = (vo+wn*xo).*exp(-wn*t)-(xo+(vo+wn*xo)*t)*wn.*exp(-wn*t);vp = q*2*n*wf^2*cos(wf*t)/(4*n^2*wf^2+(wn^2-wf^2))-... q*wf*(wn^2-wf^2)*sin(wf*t)/(4*n^2*wf^2+(wn^2-wf^2));v = vh + vp;subplot(2,1,2)plot(t,v,'-')

subplot(2,1,1)grid onxlabel('t')ylabel('x');legend('aproximado','exacto')title('Posicin') subplot(2,1,2)grid onxlabel('t')ylabel('x^.(t)');legend('aproximado','exacto')title('Velocidad')

Bibliografa

[1] S. S. RAO, Vibraciones mecnicas, Mxico: PEARSON EDUCACIN, 2012. [2] [En lnea]. Available: http://www.sc.ehu.es/sbweb/energias-renovables/MATLAB/numerico/diferencial/diferencial.html.

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