PROBABILIDADE E ESTATSTICAProf. Nei RochaInstituto de Matemtica - UFRJRio de Janeiro2011-2Sumrio1 Reviso de Anlise Combinatria 21.1 lgebra de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Noes Bsicas de Tcnicas de Contagem . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Probabilidade 162.1 Denies e Resultados Bsicos da Teoria das Probabilidades . . . . . 162.1.1 Denio e Propriedades das Probabilidades . . . . . . . . . . 172.1.2 Probabilidade Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1.3 Independncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2 Lista de Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 Variveis Aleatrias 333.1 Conceito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2 Funo de Distribuio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.3 Variveis Aleatrias Discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.4 Variveis Aleatrias Contnuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 Esperana Matemtica 415 A Funo Geratriz de Momentos 446 Variveis Aleatrias Discretas 476.1 O Ensaio de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.2 A Distribuio Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.3 A Distribuio Geomtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.4 A Distribuio de Poisson e o Processo de Poisson . . . . . . . . . . . 506.5 A Distribuio Hipergeomtrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.6 Exerccios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547 Variveis Aleatrias Contnuas 627.1 A Distribuio Uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627.2 A Distribuio Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637.3 A Distribuio Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647.3.1 A Distribuio Normal Padro . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647.3.2 A Distribuio Normal com mdia j e varincia o2. . . . . . 657.3.3 Teorema Central do Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677.3.4 Aproximao Normal Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . 69iOBJETIVOS GERAIS: Habilitar o aluno a sintetizar informaes que soministradas com vistas elaborao de conceitos mais complexos; resolver problemassimples usando raciocnio probabilstico.PROGRAMAUNIDADE I - ProbabilidadeConceitos Bsicos. Interpretaes de Probabilidade; Propriedades da Probabili-dade; Espaos amostrais simples tcnicas de contagem; Probabilidade Condicional; Independncia; Teorema de Bayes..UNIDADE II - Variveis Aleatrias UnivariadasVariveis aleatrias discretas:Denio e exemplos; Funo de Probabilidade;Valor esperado e varincia de uma varivel aleatria discreta; Propriedades do valoresperado e da varincia; Funo de distribuio acumulada: denio e propriedades;Principais modelos probabilsticos para variveis aleatrias discretas:Geomtrico,Binomial, Hipergeomtrico e Poisson.UNIDADE III - Variveis aleatrias UnivariadasVariveis aleatrias contnuas: Conceituao; Modelo Uniforme; Modelo Normal;Aproximao Normal da Binomial.UNIDADE IV - Variveis Aleatrias Multidimensionais (Noes Bsicas)Distribuio conjunta para o caso discreto; Distribuies Marginais e condicionais(caso discreto); Funes de variveis aleatrias; Propriedades da esperana e davarincia; Aplicaes da distribuio normal (soma de variveis aleatrias normais);Teorema Central do Limite (enunciado e exemplos de aplicao).iiUNIDADE V - Introduo Inferncia EstatsticaPopulao e Amostra. Parmetro e Estatstica. Problemas de Inferncia; Amostragem.Amostra Aleatria Simples; Distribuio Amostral: mdia e proporo. Estimaopor intervalo:mdia e proporo; Distribuio t-de-Student para o caso de popu-lao normal com varincia desconhecida e amostra de tamanho moderado. Testessobre a mdia e proporo.AVALIAESProva 1 - 05 de outubro de 2011.Prova 2 - 07 de dezembro de 2011.Reposio - 12 de dezembro de 2011.Prova Final - 14 de dezembro de 2011.iiiBIBLIOGRAFIA[1] Magalhes, M. N. - Probabilidade e Variveis Aleatrias - Ed. Universidadede So Paulo - 2004.[2] Hoel, P.G. e Stone, C. J. - Introduo Teoria da Probabilidade - EditoraIntercincia - 1978.[3] Ross, S. - Introduction to Probability Models - Sixth Edition. Academic Press- 1997.[4] Bussab, W. O. e Morettin, P.A. - Estatstica Bsica. Quinta edio. EditoraSaraiva - 2002.[5] Morgado, A. C. O., Carvalho, J. B. P., Carvalho, P. C. P. e Fernandez,P. - Anlise Combinatria e Probabilidade. Sexta edio. Coleo Professor deMatemtica. SBM. - 2004.1Captulo 1Reviso de Anlise Combinatria1.1 lgebra de ConjuntosLetras maisculas, como por exemplo , 1, ..., 1 , 2, representaro conjuntos.A letra gregarepresentar o conjunto universal em uma situao determinada.Letras minsculas c, /, ..., , ., indicaro elementos desses conjuntos.A relao de pertinncia ser grafada pelo smbolo e escrevemos, por exemploc para indicar que c membro de (ou c pertence a ).O conjunto vazio representado pelo smbolo O.Um conjunto tambm pode ser descrito por uma propriedade j, comum a todosos seus elementos, e escrevemos = r [ r tem a propriedade jExemplo 1 = r [ r = 2/, / = 1. 2. ... descreve o conjunto dos nmeros in-teiros pares positivos.Usaremos o smbolo # para indicar o nmero de elementos de um determinadoconjunto (ou cardinalidade de ).Diremos que 1 ( est contido em 1) se todo elemento de tambm umelemento de 1, e diremos tambm que subconjunto de 1.2Se 1 mas existe um elemento / 1 tal que / , , (/ no pertence a ),diremos que um subconjunto prprio de 1.Para mostrar que no est contido em 1, basta exibir um elemento c talque c , 1.Proposio 1 O , para qualquer conjunto .Prova. (Em aula.)Denio 1 Dados dois conjuntos A e B indicaremos por ' 1 o conjunto doselementos que pertencem a A ou a B, isto o conjunto dos elementos que pertencema pelo menos um dos conjuntos A e B. Este conjunto chamado unio de A comB. ' 1 = . [ . ou . 1Extenso: Seja a coleo de conjuntos 1, 2, ..., a. Entoa'i=1i = . [ . 1 ou . 2 ... ou . aDenio 2 Dados dois conjuntos A e B, denimos o conjunto interseo de Ae B como o conjunto dos elementos que pertencem simultaneamente a A e B, isto 1 = . [ . e . 1Extenso: Seja a coleo de conjuntos 1, 2, ..., a. Entoai=1i = . [ . 1 e . 2 ... e . aDenio 3 Dados dois conjuntos e 1, diz-se que eles so disjuntos, se notm elementos comuns, isto , se 1 = O.Por extenso, dada uma coleo deconjuntos 1, ..., a, dizemos que eles so (mutuamente) disjuntos, ou disjuntosdois a dois, se i ) = O, para todo i ,= ,.3Denio 4 Dado um conjunto A, denimos o conjunto complementar de A oconjunto dos elementos deque no pertencem a A. Simbolicamentec= . [ . , Denio 5 Dados dois conjuntos A e B, dene-se o conjunto diferena de A eB como o conjunto dos elementos de A que no pertencem a B, isto 1 = . [ . e . , 1Observe que 1 = 1c.A proposio seguinte lista as propriedades mais importantes que relacionam osconceitos denidos anteriormente.Proposio 2 Dado um conjunto universale conjuntos A, B e C, os seguintesitens se vericam:(i) Para todo conjunto , ' O = , O = O.(ii) 1 se e somente se ' 1 = 1.(iii) 1 se e somente se 1 = .(iv) ' (1 ' C) = ( ' 1) ' C.(v) (1 C) = ( 1) C.(vi) (1 ' C) = ( 1) ' ( C).(vii) ' (1 C) = ( ' 1) ( ' C).(viii) ' c= , c= O, Oc= , c= O.(ix) (c)c= .(x) 1 se e somente se 1c c.(xi) ( ' 1)c= c 1c.(xii) ( 1)c= c' 1c.Prova. (Deixada como exerccio.)41.2 Noes Bsicas de Tcnicas de ContagemNeste captulo, exporemos todos os objetos presentes na anlise combinatria, fazendouma reexo minuciosa sobre eles, quando for necessria.Princpio da Adio: Sejam 1, ..., a, conjuntos diferentes e disjuntos dois adois, tendo, respectivamente, :1, ..., :a elementos diferentes, isto , #1 = :1,..., #a = :a. Ento o nmero de formas de selecionar um objeto de um dos: conjuntos :1 +... +:a.Princpio da Multiplicao: Suponha que um experimento possa ser realizadoem : fases. Suponha que a fase 1i (i = 1. .... :) tenha :i receitas diferentespara cumpri-la. Se o nmero de receitas em cada fase independente dasescolhas nas fases anteriores, e se os resultados compostos so todos distintos,ento o nmero de formas de se realizar o experimento nas : fases :1...:a.Exemplo 2 Prof. Cludio tem 40 estudantes no curso de lgebra e 40 no curso degeometria. Quantos estudantes diferentes h nessas duas classes, supondo que noh estudantes em ambas as classes?Exemplo 3 Dois dados, um verde e um vermelho, so lanados. Quantos resulta-dos diferentes existem neste experimento?Exemplo 4 H 5 livros diferentes de Espanhol, 6 livros diferentes de Francs e 8livros diferentes de Ingls. Quantas formas h de tomar um par (no ordenado) delivros de lnguas diferentes?Exemplo 5 Quantas maneiras existem de formar uma seqncia de trs letras,usando as letras a, b, c, d, e, f:5(a) com a repetio de letras permitida?(b) sem a repetio de qualquer letra?(c) sem a repetio e contendo a letra e?(d) com repetio e contendo a letra e?Exemplo 6 Quantas colees diferentes e no-vazias podem ser formadas com 5mas idnticas e 8 laranjas idnticas?Exemplo 7 Uma indstria fabrica 100 produtos diferentes, que j esto no mer-cado. Para facilitar a identicao via computador ser criado um cdigo de barrasonde cada barra [ ou .Qual o nmero de barras necessrias para que se possaidenticar cada um dos 100 produtos?Denio 6 Dado um nmero natural :, dene-se o fatorial de :, representadopor :!, como:! = :(: 1)(: 2)...3.2.1= 1.2.3...(: 2)(: 1):Por conveno, 0!= 1. Esta conveno est amparada no mundo fsico, comoveremos a seguir.Proposio 3 (Permutao) Sejam : objetos distintos, ordenados em la. Entoo nmero de conguraes das ordenaes possveis, ou por outra, o nmero depermutaes dos objetos dado por1a = :!1a chamado de permutao de n objetos distintos.6Prova. (Em aula.)Exemplo 8 Suponha que um carteiro bbado tenha : cartas a serem distribudasaleatoriamente em : casas diferentes. Suponha que ele o faa colocando uma cartaem cada caixa de correio. De quantas formas ele pode distribuir as cartas?Exemplo 9 Suponha agora o carteiro bbado tenha : cartas a serem distribudasaleatoriamente em / casas diferentes (/ _ :). Suponha que ele o faa colocandouma carta em cada caixa de correio.(a) De quantas formas ele pode distribuir as cartas?(b) Justique, com base nos dois ltimos exemplos, o fato de 0! = 1.O resultado do exemplo anterior chamado de arranjo de : objetos em / com-partimentos, ou simplesmente arranjo de :, / a /, como veremos na proposio aseguir.Proposio 4 (Arranjo) Suponha que : objetos devam ser alocados em / com-partimentos (/ _ :), de forma ordenada.O nmero de alocaes possveis dadopora,I =:!(: /)!Prova. (Em aula.)Exemplo 10 Suponha que 20 corredores disputam uma corrida de Frmula 1. Quan-tos resultados de pdium (primeiro, segundo e terceiro lugares) so possveis?Exemplo 11 Suponha que 5 pessoas entrem num elevador que conduz aos 10 an-dares de um edifcio. De quantas maneiras podemos ter pessoas saindo sozinhas emandares diferentes?7Proposio 5 (Combinao) Suponha que : objetos devam ser alocados em /compartimentos (/ _ :), de forma no-ordenada. O nmero de alocaes possveis dado por_:/_=a,I/!=:!/!(: /)!_aI_(ou Ca,I ou CIa) chamado de combinao de :, / a /, e sua distino bsica como conceito de arranjo de :, / a / reside no fato de que, na combio, a ordenaodos objetos no relevante, embora o seja no contexto de arranjo.Prova. (Em aula.)Exemplo 12 Suponha que desejemos formar uma comisso de 4 pessoas retiradasaleatoriamente de 10 pessoas. Quantas comisses so possveis?Exemplo 13 Quantos padres distintos usando-se / letras e : / letras 1 sopossveis de serem criados? (As palavras assim formadas so chamadas de ana-gramas.)Exemplo 14 Numa recepo h 50 homens e 30 mulheres. Qual o nmero deapertos de mo possveis, sabendo que 70% das mulheres no se cumprimentamentre si?Vejamos agora a construo do conceito de permutao com repetio, que gen-eraliza o conceito de combinao.Proposio 6 (Permutao com Repetio) Se h : objetos, com :1 objetosdo tipo 1, :2 objetos do tipo 2, ..., e :n objetos do tipo :, onde :1 +:2... +:n = :,8ento o nmero de permutaes distintas geradas pelos objetos dado por1(:; :1. :2. .... :n) = _ ::1__ : :1:2__ : :1:2:3_..._ : :1:2... :n1:n_=:!:1!:2!...:n!Prova. (Em aula.)Exemplo 15 Numa universidade h 7 professores de Matemtica e 4 de Fsica. Dequantas formas uma equipe composta de 4 matemticos e 2 fsicos pode ser feita?Exemplo 16 Quantos nmeros de 7 dgitos, maiores que 6.000.000, podem ser for-mados usando apenas os algarismos 1, 3, 6, 6, 6, 8, 8?Exemplo 17 Quantos so os anagramas da palavra PIRACICABA que no pos-suem duas letras A juntas?Os prximos exemplos ilustram o conceito de Combinaes Completas, onde oconceito de distinguibilidade de objetos no mais se d.Exemplo 18 De quantas formas diferentes podemos comprar 6 cachorros-quentes,se h 3 variedades possveis (mini, regular e super)?Exemplo 19 Quantas solues inteiras h para a equaor1 +r2 +r3 +r4 = 12(a) com ri _ 0?(b) com ri _ 1?(c) com r1 _ 2, r2 _ 2, r3 _ 4, r4 _ 0?Exemplo 20 Quantas so as solues inteiras no-negativas de r + +. +n < 6.9Exemplo 21 Quantos arranjos das letras a, e, i, o, u, x, x, x, x, x, x, x, x (8 xs)existem se no pode haver duas vogais consecutivas?Exemplo 22 A fbrica X produz 8 tipos de bombons que so vendidos em caixas de30 bombons (de um mesmo tipo ou sortidos). Quantas caixas diferentes podem serformadas?Finalmente encerraremos, nossa breve introduo anlise combinatria com oconceito de permutao circular.Proposio 7 (Permutao Circular) Suponha : objetos distintos dispostos cir-cularmente. Ento o nmero de padres circulares gerados pelos : objetos dadopor1a1 = (: 1)!Prova. (Em aula.)Exemplo 23 De quantos modos 5 meninos e 5 meninas podem formar uma rodade ciranda de modo que pessoas de mesmo sexo no quem juntas?Exemplo 24 Um grupo constitudo por 4 mulheres e 4 homens deve ocupar as 8cadeiras dispostas ao redor de uma mesa circular. O grupo deve ser acomodado demodo que cada homem sente entre duas mulheres. Joo e Maria esto nesse grupode pessoas; entretanto por motivos de ordem estritamente pessoal no podem sentar-se lado a lado. Duas acomodaes de pessoas ao redor da mesa so consideradasdiferentes quando pelo menos uma das pessoas no tem o mesmo vizinho direita,nas duas acomodaes. Determine o nmero de diferentes acomodaes possveisdessas 8 pessoas ao redor da mesa circular.10Proposio 8 (Princpio da Incluso e Excluso) Sejamo conjunto univer-sal, 1, 2 , ..., a subconjuntos deeo0 = #o1 =a

i=1#(i)o2 = 1i